一、数与式
高中数学必修一知识点总结(全)
高中数学必修一知识点总结(全)一、数与式1、常数、变量和运算符号：常数是除变量外的有限定义的数量，变量是可以任意取值的量，而运算符号则是进行数学运算的符号。
2、十进制及其他进制：十进制是分别使用0～9十个数字、以及逢十进一的一种进制制度，而其他进制则有二进制、八进制、十六进制等。
3、有理数的表示及其运算：有理数可以使用两个整数的商和余数的形式来表示，其中余数可以是负数，而有理数的运算则有加减乘除求倒数等。
4、无理数及其后结果：无理数是不能用有理数恒等式表达的数，通常用∞或“无穷不等式”来表示。
结果表明，无理数不是有理数的整数倍。
5、算术表达式的因式分解：分解因式是把一个多项式拆分成几个不同的因式的过程，在因式分解得到的两个因子可以进行乘、除、幂数运算，从而继续分解多项式，直到把多项式分解成几个不可继续分解的因式。
二、等差数列1、等差数列的定义：等差数列是一系列数按照一定规律等间隔排列而成的数列，在其中数字之间的差值成等差数列，可以表示为a1，a2，…， an，an＋1，…，其中，a2－a1＝a3－a2＝…an＋1－an＝d，可以看出所有数之间都是等差的。
2、等差数列的求和：求和是求等差数列所有数字的和，其求和的公式为Sn=（n）（2a1+d（n－1））／2，在给定等差数列第一项和项数的情况下，即可直接求出等差数列的求和。
三、函数与方程1、定义域和值域：所谓“定义域”是指函数中可以取什么值，而“值域”则是指函数的值能够到达的最小和最大结果。
2、函数的定义及其基本性质：函数是定义域和值域之间的关系，函数的基本性质有单调性、统一性、性质等，其中单调性指函数上升或是下降，统一性指当定义域多于值域时，将多余的值合并为一个值。
3、折线图：折线图是一种表达定义域与值域变化关系的图表，用折线就能清楚地反映函数的变化，而其反映出的变化规律可以帮助我们分析函数的特性。
4、一元一次方程的求解：一元一次方程是一个有一个未知数的一元一次方程，其求解的方法有解析解法和求根解法，在一元一次方程求解得到未知数的值之后，可以利用求根解法把它带回原方程，验算正确性。
初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时)(可编辑修改word版)
专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。
2.乘法公式平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。
2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。
三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算：（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy（2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy（3）( x y)2( x y)2 4 xy（4）x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3：已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析： a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式：已知：x2- 3x +1= 0 ，求x3+1x3的值。
高一数学单元知识点专题讲解1---数与式的运算
【例 8】计算：
(1) ( a + b + 1)(1 − a + b ) − ( a + b )2
(2)
a
a
+
a − ab a + ab
解： 原式 (1) = (1 + b)2 − ( a )2 − (a + 2 ab + b) = −2a − 2 ab + 2 b + 1
【例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
3 (1)
2+ 3
11 (2) +
ab
(3) 2
x −
x3 +
8x
2
解： 原式 (1)
=
3(2 − 3)
3(2 − =
3) = 6 − 3 3
(2 + 3)(2 − 3) 22 − 3
原式 a + b a2b + ab2
(2) =
=
ab
ab
3/7
解：（ ）原式 1
= 43 + m3 = 64 + m3
（ ）原式 2
= (1 m)3 − (1 n)3 = 1 m3 − 1 n3
5
2 125 8
（ ）原式 3
= (a 2 − 4)(a 4 + 4a 2 + 42 ) = (a 2 )3 − 43 = a 6 − 64
（ ）原式 4
= (x + y)2 (x 2 − xy + y 2 )2 = [(x + y)(x 2 − xy + y 2 )]2
三、分式
4/7
高一数学数与式知识点总结
高一数学数与式知识点总结数与式是高一数学中的基础知识点，它们是我们学习数学的基础。
本文将对高一数学数与式的相关知识进行总结与归纳。
一、数的性质与运算1. 数的分类整数、有理数、无理数、实数等是我们常见的数的分类。
整数包括自然数、零、负整数，而有理数则指可以表示为两个整数的比值的数，无理数则无法表示为有理数的根号形式。
2. 数的绝对值与相反数绝对值是一个数到零的距离，用符号“|x|”表示。
相反数是指一个数与其绝对值相等且符号相反的数，如-5与5就是相反数。
3. 数的加减乘除运算数的加减乘除是我们常见的运算方式，加法是两个数的和，减法是两个数的差，乘法是两个数的积，除法则是两个数的商。
二、方程与不等式1. 方程的定义与解方程是等号连接的两个代数式构成的等式，包括一元一次方程、二元一次方程等。
解方程就是找出使得方程成立的未知数值。
2. 不等式的定义与解不等式是用不等号连接两个代数式构成的不等关系，解不等式就是找出使得不等式成立的解集。
三、一次函数与二次函数1. 一次函数的性质与表示一次函数又称为线性函数，其图像为一条直线。
一次函数可以表示为y = kx + b的形式，其中k是斜率，b是截距。
2. 二次函数的性质与表示二次函数的图像为抛物线，其一般形式为y = ax² + bx + c。
其中a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的位置。
四、等差数列与等比数列1. 等差数列的概念与性质等差数列是指数与数之间的差值保持恒定的数列。
等差数列的通项公式为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁为第一项，d为公差，n为项数。
2. 等比数列的概念与性质等比数列是指数与数之间的比值保持恒定的数列。
等比数列的通项公式为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为第一项，r为公比，n为项数。
五、四边形与三角形1. 四边形的性质与分类四边形是指具有四条边的多边形，包括矩形、正方形、菱形、梯形等。
超详细初一数学知识点总结
超详细初一数学知识点总结一、数与式1. 整数（1）正整数与负整数（2）绝对值（3）相反数（4）比较大小（5）绝对值的计算（6）整数的加减法2. 小数（1）有限小数与无限循环小数（2）小数点左移、右移（3）小数的加减法（4）小数的乘除法（5）小数的化为分数3. 分数（1）分数的意义（2）分子、分母（3）真分数、假分数、带分数（4）分数的加减法（5）分数的乘除法（6）分数的化简（7）分数的比较4. 百分数（1）百分数的意义（2）百分数、百分数的小数表示（3）百分数的计算（4）增长率、减少率5. 算式（1）算式的意义（2）算式的组成（3）算式的展开与因式分解（4）算式的值6. 有关量（1）比例（2）比例性质（3）分配和合并（4）速度和单位换算7. 一元一次方程（1）解一元一次方程（2）一元一次方程的应用（3）一元一次方程组（4）一元一次方程的解法8. 二元一次方程（1）解二元一次方程（2）二元一次方程的应用二、图形与尺度1. 角与角度（1）角的度量（2）角的分类（3）同位角、内错角、异角（4）邻角、对顶角2. 三角形（1）三角形的分类（2）三角形的性质（3）三角形的判定3. 四边形（1）四边形的分类（2）四边形的性质（3）平行四边形、矩形、菱形、正方形4. 圆（1）圆的构造（2）圆周角、圆心角（3）弧长、扇形面积（4）圆与平行线、垂直线5. 三棱锥、四棱锥、五棱锥（1）棱锥的分类（2）棱锥的性质（3）棱锥的体积计算6. 体积（1）图形的体积计算（2）立体图形的表面积7. 尺规作图（1）细分尺（2）圆规（3）尺规作图的基本步骤（4）尺规作图举例三、函数与方程1. 函数（1）函数的概念（2）函数的图象（3）函数的性质（4）函数的运算（5）函数的应用2. 一次函数（1）一次函数的概念（2）一次函数的图象（3）一次函数的性质（4）一次函数的应用3. 二次函数（1）二次函数的概念（2）二次函数的图象（3）二次函数的性质（4）二次函数的应用4. 不等式（1）一元一次不等式（2）一元二次不等式（3）一元不等式的解法（4）一元不等式的应用5. 实数区间（1）实数区间的表示（2）实数区间的性质四、统计与概率1. 统计（1）数据的收集与整理（2）数据的表示（3）频数分布表、频率分布图（4）中心位置指标、离散程度指标2. 概率（1）随机事件（2）概率的概念（3）概率的计算（4）古典概率、几何概率以上就是初一数学的知识点总结，不难看出，初一数学内容主要围绕着数与式、图形与尺度、函数与方程，以及统计与概率四个方面展开。
初一数学几个单元
初一数学课程大纲
一、单元一:数与式
本单元将介绍初中数学的基础知识，包括有理数、实数、代数式和方程式等内容。
通过学习本单元，学生将掌握数的分类、数的运算、代数式的基本性质和方程式的解法等基础技能。
二、单元二:图形与几何
本单元将介绍平面几何的基础知识，包括点线、面、角等基本元素。
学生将学习图形的性质和分类，掌握基本的几何定理和推论，以及解决几何问题的基本方法。
三、单元三:统计与概率
本单元将介绍统计学的基础知识，包括数据的收集、整理、描述和分析。
学生将学习如何制作统计图表，如何进行数据的分析和推断，以及理解概率的基本概念。
四、单元四:实践与应用
本单元将介绍数学在实际生活中的应用，包括代数在实际问题中的应用、几何在实际问题中的应用、统计在实际问题中的应用等。
学生将通过解决实际问题，提高数学应用能力和解决问题的能力。
五、单元五:复习与总结
本单元将对前面所学的内容进行复习和总结，帮助学生巩固所学知识，提高数学综合能力。
学生将通过复习和总结，加深对数学概念和方法的理解，提高解题能力和思维能力。
总体而言，初一数学课程包括数与式、图形与几何、统计与概率、实践与应用和复习与总结等五个单元。
通过系统地学习这些内容，学生将掌握初中数学的基本知识和技能，为后续的学习打下坚实的基础。
高一数学知识点归纳总结ppt
高一数学知识点归纳总结ppt 一、数与式1. 自然数与整数- 自然数的定义及性质- 整数的定义及性质2. 有理数与无理数- 有理数的定义及性质- 无理数的定义及性质3. 实数与复数- 实数的定义及性质- 复数的定义及性质4. 数的分类与运算- 实数的分类- 数的加法、减法、乘法、除法5. 代数式与多项式- 代数式的基本概念- 多项式的定义及性质二、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义及应用- 函数的性质与分类2. 一次函数与二次函数- 一次函数的特征与图像- 二次函数的特征与图像3. 指数函数与对数函数- 指数函数的定义与性质4. 幂函数与根式函数- 幂函数的定义与性质- 根式函数的定义与性质5. 方程的解与解法- 一元一次方程的解与解法 - 一元二次方程的解与解法三、几何与三角1. 几何基础知识与证明方法 - 几何基础概念回顾- 几何证明方法讲解2. 直线、射影与平行- 直线与射影的基本概念3. 三角形与四边形- 三角形的分类与性质- 四边形的分类与性质4. 圆和圆心角- 圆的基本概念与性质- 圆心角与弧的关系5. 三角函数与三角恒等式- 三角函数的定义与性质- 常用三角恒等式的证明与应用四、概率与统计1. 统计基础概念与分析- 数据的收集与整理方法- 统计分析的基本方法2. 概率的定义与计算- 概率的概念与性质- 概率的计算方法3. 随机变量与概率分布- 随机变量的定义与性质- 概率分布的类型与应用4. 统计图与统计量- 统计图的绘制与应用- 均值、中位数、众数等统计量的计算5. 抽样与推断- 抽样方法与样本误差- 统计推断的基本原理与应用以上是高一数学知识点的归纳总结，希望这个PPT能够帮助你对数学知识的整体把握和理解。
祝你学业顺利！。
“高中数学必修一第一章课件：数与式”
分数的概念与运算
分数是我们日常生活中经常遇到的数，学会理解分数的概念，并掌握分数的 加减乘除运算规则，将大大提高数学运算的灵活性。
百分数的概念与运算
百分数是非常实用的数学概念，我们将学习百分数的意义和转换方法，以及 如何进行百分数的加减乘除运算。
指数与幂的概念
指数与幂是数学中的重要概念，了解它们的定义和性质，可以帮助我们简化 复杂的计算和解决实际问题。
高中数学必修一第一章课 件：数与式
本课件将带你领略高中数学必修一第一章的魅力，从数的概念与分类开始， 一直到分式的乘除法。让我们一起探索数学的奇妙世界吧！
数的概念与分类
我们将学习数的基本概念，如自然数、整数、有理数和实数，并了解它们之间的关系。通过各种实例和 练习，加深对数的理解。
数的四则运算
掌握加法、减法、乘法和除法的运算规则，通过实际问题计算并解决。从简 单到复杂，让我们逐步掌握数的四则运算。
科学记数法
科学记数法是一种用来表示非常大或非常小的数的方法，它简化了计算并提 高了可读性。学会使用科学记数法，将帮助我们更好地理解大量数据。
一元二次方程的概念与解法
一元二次方程是高中数学中的重要内容，通过学习方程的定义和求解方法， 我们可以解决与实际问题相关的方程。
高一上册数学全套知识点
高一上册数学全套知识点本文将介绍高一上册数学的全套知识点。
包括数与式、一元一次方程与应用、函数与图像、三角形的性质等内容。
一、数与式1.自然数与整数的概念及表示方法2.有理数的性质与运算法则3.无理数的概念及表示方法4.实数的性质及数轴表示5.幂与指数的基本概念与运算法则6.根式的概念及运算法则7.分数的概念与运算法则8.科学计数法的表示与运算9.万位数以上数的读法与写法二、一元一次方程与应用1.一元一次方程的定义与解法2.一元一次方程的实际应用3.关于方程组的基本概念与解法4.含绝对值的一元一次方程的解法5.含有分数的一元一次方程的解法6.实际问题中一元一次方程的应用三、函数与图像1.函数的概念与基本性质2.常量函数、线性函数与二次函数的图像3.函数的符号表示与运算法则4.函数的定义域与值域的概念5.函数的增减性、奇偶性与周期性6.反函数的概念与求解方法7.复合函数的概念与求解方法8.函数与方程的关系与应用四、三角形的性质1.三角形的定义与分类2.勾股定理与勾股数的概念3.角平分线分割的性质4.三角形的内、外接圆与垂心、重心、外心、内心的概念5.相似三角形的定义与性质6.三角形面积的计算公式及应用7.正弦定理、余弦定理与正切定理的概念与应用8.不等式在三角形中的应用五、数列与数列的求和1.数列的概念与基本性质2.等差数列的定义与求和公式3.等比数列的定义与求和公式4.数列的迭代与递推关系5.数列在实际问题中的应用六、平面向量与坐标系1.平面向量的定义及表示方法2.向量的运算法则与性质3.空间直角坐标系与平面直角坐标系的建立4.平面向量在坐标系中的表示与运算5.向量的模、方向角与相等性质6.向量在几何中的应用七、解析几何基础1.坐标系中点与直线的表示方法2.点与线的相关性质及判定条件3.点到直线的距离公式与角平分线的性质4.直线的方程与图像的表示5.平行线、垂直线与角平分线的性质与判定条件6.直线之间关系的判定条件及应用以上是高一上册数学的全套知识点。
初一,数与式
第一讲：数与式（一）【知识要点one 】1．正数和负数正数:像3，2，1.8%这样大于0的数叫正数.负数:像-3，-2，-2.7%这样在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
0既不是正数也不是负数。
2．有理数整数可以看作分母为1的分数，正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
3.有理数的分类：【典型例题】例1．（1）如果把上升20m 记作+20m ，那么下降15m 记作 。
（2）海平面的高度一般用数表示，比海平面高8848m 的山峰处，它的高度记作海拔m ，比海平面低11034m 的海沟处，它的高度记作海拔 m 。
例2．把下列各数填在相应的大括号里。
16,0.618,3.14,260,2001,,5%37--- 解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无限循环小数负有限小数负分数正无限循环小数正有限小数正分数分数负整数零正整数整数有理数【经典练习】1．（1）某地最高气温是＋C 15，最低气温是C 30-，则该地的温差是（2）设向东走为正，向东走90米记作 米，向西走70米记作 米，原地不动记作2．把下列各数填在相应的数的集合内：－4，21，3.7，－323，0，＋97，－0.03，16 整数集合：｛ …｝；分数集合｛ …｝负分数集合：｛ …｝；非负数集合｛ …｝【知识要点two 】1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
2．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数．例如+3与-3互为相反数，其中-3是+3的相反数．零的相反数是0．注意：写代数式的相反数时要注意添括号，如2a +的相反数应写成(2)a -+。
3．相反数的几何意义：互为相反数的两个数在原点的两旁，且离原点的距离相等．零的相反数是原点．4．相反数的性质：若a 与b 互为相反数，则0=+b a ；反之，若0=+b a ，则a 与b 互为相反数．互为相反数的两数商为-1，（0除外），即若a 与b 互为相反数，则)0(1≠-=b a b【典型例题】例1、如下图所示，数轴中正确的是（ ）例2、试比较-0.3，13-，0.03，0，3，33%-的大小，并用“<”连接起来。
初一数学目录
初一数学目录
一、数与式初步
自然数的性质与运算
整数的认识整数的加法与减法整数的乘法与除法整数的混合运算小数的性质与运算
小数的认识小数的加法与减法小数的乘法与除法小数的混合运算分数的性质与运算
分数的认识分数的加法与减法分数的乘法与除法分数的混合运算因数与倍数
最大公约数与最小公倍数素数与合数二、方程与不等式
一元一次方程
方程的概念与性质一元一次方程的解法一元一次方程的应用
不等式及其性质
不等式的概念与性质不等式的解法不等式在实际问题中的应用三、函数初步
函数的概念
函数的定义与性质函数的表示方法
函数的图像
平面直角坐标系函数的图像绘制函数的图像与性质的关系四、图形与几何
平面图形
常见的平面图形及其性质平面图形的周长与面积
立体图形
常见的立体图形及其性质立体图形的表面积与体积
图形的运动与变换
平移、旋转与对称相似与全等五、角与三角形
角的概念与性质
角的定义与度量角的分类与性质
三角形的概念与性质
三角形的分类与性质三角形的全等与相似三角形的边与角的关系六、统计与概率
统计
数据的收集与整理数据的描述与分析统计图表
概率
概率的概念与性质概率的计算方法概率在实际问题中的应用七、综合与实践
数学在实际生活中的应用
数学与经济数学与科技数学与社会
数学实验与探究
实验设计数据处理与分析结论的得出与讨论以上即为初一数学的目录内容，涵盖了数与式初步、方程与不等式、函数初步、图形与几何、角与三角形、统计与概率以及综合与实践等方面。
学生在学习过程中，应注重理论与实践相结合，深入理解数学的基础概念，培养解决实际问题的能力。
中专高一数学知识点归纳总结
中专高一数学知识点归纳总结一、代数与函数1. 数与式中专高一数学的第一个重点是数与式。
学生需掌握自然数、整数、有理数、无理数、实数等数的概念与性质，并且必须能够进行数的分类与比较。
在数与式中，学生还需熟练掌握算术运算法则，包括整数的加减乘除运算，有理数的加减乘除运算，以及算数基本性质和运算法则。
对于式的概念与简单的等式、不等式的变形也是重点中的重点。
2. 一次函数一次函数是中专高一数学中的进阶内容。
学生首先需掌握函数的概念，理解自变量、因变量、函数的定义域与值域等基本概念。
对于一次函数，学生需熟悉线性方程与一次函数的关系，能够根据线性方程的一些特定数据（如零点与斜率等）画出函数的图像，理解斜率的意义与特征。
3. 二次函数在学习了一次函数的基础上，中专高一数学还涉及到二次函数。
学生需了解二次函数的标准形式、顶点形式和根式形式，能够根据这些形式来描述函数的性质。
对于二次函数，学生还需掌握函数的对称轴、顶点坐标等基本概念，并且学会利用这些概念来求解实际问题。
4. 进阶函数与方程在数学学科中，还有一些函数与方程的高级概念需要中专高一学生掌握。
例如，指数函数、对数函数、幂函数等。
这些函数的性质与图像表现形式与一次、二次函数有所不同，因此学生需要进行特别的学习。
对于高级方程，如一次方程组、二次方程组、分式方程等，学生需要通过适当的方法与技巧来解答。
二、几何与空间1. 几何基本概念中专高一数学中，几何是一个重要的模块。
学生需了解几何中的基本概念，如点、线、面、角等，能够通过几何图形来描述几何概念的性质。
学生还学习了解直线与平面的性质，以及直线与平面的相互位置关系。
2. 相似与全等中专高一数学中，相似与全等是几何的重点。
学生需了解相似与全等的概念与判定条件，并且熟练运用这些条件来解决实际问题。
学生还需了解三角形、四边形等基本图形的相似与全等的性质，并且能够利用这些性质进行相关的证明与计算。
3. 圆的性质圆是几何中的重要内容。
数与代数在这一部分内容主要包含一、数与式；二、方程与
数与代数在这一部分内容主要包含：一、数与式；二、方程与不等式；三函数。
一数与式（一）重点是：关于数与式的主要内容，包括有理数、实数、代数式和二次根式，代数式主要是整式和分式。
这一部分内容的重点应当是强调理解数的意义，建立数感，理解代数式的表述功能，建立符号感，同时理解运算的意义，强调运算的必要性。
（二）内容的变化（1）降低了对于实数运算的要求。
比如“会用平方运算求某些非负数的平方根与算术平方根，用立方运算求某些数的立方根”转化为“会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根”。
（2）取消了对“有效数字”的要求，但重视学生的估算能力，要求学生理解近似数。
例如“能用有理数估计一个无理数的大致范围”, “了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值”。
（3）与实验稿比较，加强了对二次根式的要求，比如对二次根式的化简，分母有理化，但二次根式的运算仅仅限于根号下是数的情况。
（4）在具体情境中理解字母表示数的意义。
例如要求“借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。
”（5）注重代数式的实际应用和实际意义。
例如要求“能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。
”以及“会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。
”（6）对于代数式的意义，除了关注数学意义外，还关注现实的意义。
（7）强调几何直观的作用。
（8）知道｜a｜的含义（这里a 表示有理数）。
二方程与不等式（一）重点方程与不等式在初中阶段主要涉及到这样一些内容，一个就是关于方程的，比方说一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，可化为一元一次方程的分式方程。
不等式主要是一元一次不等式，和一元一次不等式组。
方程和不等式这部分内容一个我们强调方程和不等式的模型思想，也就是说如何从现实生活中去把问题进行抽象，用这种方程的形式和不等式的关系刻划出来，然后进行讲学，最后运用到现实问题。
模型1-数与式
模型一数与式模型一、知识浅析数与式的内容在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位，有着重要的教育价值.数与式的内容包括实数、整式和分式等知识.它们是表达与刻画数量之间的关系以及变化规律的数学工具，这部分内容极为突出地体现着其基础性与核心性.“数”和“式”的本质意义都是用来表示数量和数量关系的；教材中，“数”是沿着由“算术数”到有理数再到实数这样的系列扩展的，相应地，“式”是沿着由整式到有理式(引入分式)再到根式这样的系列扩展的.而两个系列之间，由于“用字母表示数”的生成过程是由“特殊”向“一般”发展，这便使两个系列之间具有良好的类比关系；数和式的有关运算构成了这部分知识的核心内容.由于数和式是两个逐步扩张的知识系列，所以相关概念就比较多，其间的转化关系也比较多.其层层递进并形成新知识的逻辑思维过程也大量蕴涵其中.“数与式”在初中数学中的地位主要体现在它的基础性和广泛的应用性上：从内容构成来看，“数与式”不仅是方程(组)、不等式(组)、函数等知识表达和运算的基础，而且也是许多图形问题中有关数量表达与计算的基础；从数学思想方法的角度来看，这部分知识所蕴含的思想方法对后继知识的学习具有十分重要的作用，如，转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、类比思想等对方程、不等式、函数的研究，以及几何和概率等内容具有重要的指导意义.此外，“数与式”这部分内容中所渗透的“数感”和“符号感”也是理解方程和函数意义的本质及进行相关运用的基础.二、知识和考点分析第一部分：实数(一)解题方法和技巧1.数形结合法去绝对值解绝对值的计算问题时，首先要脱去绝对值符号，化成一般的实数计算.脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值定义脱去绝对值符号，而可以转化为去处理.1．实数a、b、c在数轴上的点如图所示，化简：.解：原式.2.比较实数大小时，要灵活选择以下几种常见的方法：(1)数轴比较法；(2)绝对值比较法；(3)求差比较法；(4)求商比较法；(5)倒数法；(6)中间值比较法；(7)分子、分母有理化法；(8)平方法.2．比较大小：与.解：，(二)试题分类1.有理数的运算下列式子中结果为负数的是( ).A. B. C. D.解：选C.2.倒数、相反数、绝对值和数轴(1)如图，点A、B在数轴上对应的实数分别为m、n，则A、B之间的距离是___________.(用含m、n的代数式表示).解：.(2)如图，数轴上点P表示的数可能是( ).A. B. C. D.解：由于，所以选B.3.无理数的算术平方根是___________.解：3.4.实数的运算(1)若，则的值是( ).A.0B.1C.D.2007解：根据数的非负性，可知，，于是.选C.(2)计算：.解：原式.5.近似数、有效数字和科学记数法北京市申办2008年奥运会，得到了全国人民的热情支持，据统计，某日北京申奥网站的访问人次达到了201 949，用四舍五入法取近似值保留两个有效数字，得( ).A. B. C. D.解：选A.6.实数综合与创新(1)小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的数学排列为：1，1，2，3，5，8，…，那么这列数得第8个数应该是___________.解：从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，故第8个数为21.(2)先阅读下列材料，再解答后面的问题.材料：一般地，n个相同的因数相乘：.如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为.一般地，若(且，)，则n叫做以为底b的对数，记为(即).如，则4叫做以3为底81的对数，记为(即).问题：①计算以下各对数的值：___________，_________，_________.②观察①中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？③由②的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？___________(且，，).④根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论.解：①，，.②.③.④设，，则，，于是.第二部分：代数式(一)解题方法和技巧1.整体思想就是把握条件和结论的关系，用整体的方法来处理问题，从而促进问题的解决.1．已知x为实数，且，求的值.解：设，则，所以，解得，.因此，或.2.从特殊到一般的思维意识从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律.通过对特殊现象的研究而得出一般结论的方法是数学上常用的归纳法.2．已知：，，，….若(、均为实数)，请推测___________，___________.解：，.(二)试题分类1.整式(1)若单项式与是同类项，则___________.(2)下列计算中，正确的是( ).A.2a+3a=6a2B.C. D.解：(1).(2)选D.2.因式分解(1)分解因式：___________.(2)因式分解：___________.(3)把代数式分解因式，下列结果中正确的是( ).A. B. C. D.解：(1).(2).(3)选A.3.分式(1)若分式的值为零，则x的值等于___________.(2)化简：___________.(3)如果，则___________.解：(1)且，所以.(2).(3)将代入，原式=.4.代数式的值(1)若，则的值为___________.(2)若非零实数、()满足，，则___________.(3)有一道题：“先化简，再求值：，其中“”.小亮同学做题时把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事.解：(1)2009.(2)、是方程的两个不等实根，因此.(3)，因此把“”错抄成了“”，并不影响的值，故结果仍然是正确的.5.二次根式(1)在下列二次根式中，与是同类二次根式的是( ).A. B. C. D.(2)估计的大小应( ).A.在9.1～9.2之间B.在9.2～9.3之间C.在9.3～9.4之间D.在9.4～9.5之间解：(1)选C；(2)选C.6.代数式的综合与创新(1)已知，当时，；当时，；当时，；…；则的值为___________.(2)已知：m、n是两个连续自然数()，且，设，则( ).A.总是奇数B.总是偶数C.有时是奇数，有时是偶数D.有时是有理数，有时是无理数(3)任何一个正整数n都可以进行这样的分解：(s、t是正整数，且)，如果在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：.例如，18可以分解成、、这三种，这时就有.给出下列关于的说法：①，②，③，④若n是一个完全平方数，则；其中正确的说法的个数是( ).A.1B.2C.3D.4(4)数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数：.例如把(3，)放入其中，就会得到.现将实数对(，3)放入其中得到实数m，再将实数对(m，1)放入其中后，得到的实数是___________.解：(1).(2)可知m、n为连续自然数，所以必为奇数.选A.(3)正确的是①③④，选C.(4)66.数与式综合测试一、选择题1.一个代数式减去等于，则这个代数式是( ).A. B. C. D.2.下列去括号正确的是( ).A. B.C. D.3.下列各组代数式中，属于同类项的是( ).A.与B.与C.与D.p与q4.下列计算正确的是( ).A. B. C. D.5.a = 255，b = 344，c = 433，则 a、b 、c的大小关系是( ).A.a＞c＞bB.b＞a＞cC.b＞c＞aD.c＞b＞a6.如果甲数为，甲数是乙数的倍，则乙数是( ).A. B. C. D.7.一个两位数，十位数字是，个位数字是，如果把它们的位置颠倒一下，得到的数是( ).A. B. C. D.8.如果，则下列等式成立的是( ).A. B. C. D.9.设，都是实数，且，，则，的大小关系是( ).A. B. C. D.10.下列多项式属于完全平方式的是( ).A.x2-2x+4B.x2+x+C.x2-xy+y2D.4x2-4x-111.若，则k的值为( ).A. 2B.C. 1D. –112.若x2+mx+25 是一个完全平方式，则m的值是( ).A.20B.10C. ± 20D.±1013.若代数式，那么代数式的值是( ).A. B. C. D.14.如果，那么x的取值范围是( ).A.x≥3B. x≤2C.x＞3D.2≤x≤3二、填空题1.计算：_________.2.36 x4y8= (_________)23._________.4.小明在文具店买了三支2B铅笔和五个练习本，2B铅笔每支x元，练习本每个y元，小明共花了_____元.5.一台电视机成本价为元，销售价比成本价增加，因库存积压，所以就按销售价的出售.则每台电视机的实际售价为_________.6.如果与是同类项，则的值为_________，的值为_________.7.若，则ab=_________.8.0.0000057用科学记数法表示为_________.9.三角形三边a=7，b=4，c=2，则周长是_________.10.已知，求_________.11.如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=_________.12.把分解因式的结果是_______________________.13.化简=_________.14.在下面由火柴杆拼出的一列图形中，第个图形由个正方形组成：通过观察可以发现，第个图形中有_________根火柴杆.15.观察等式：，，，，….设表示正整数，请用关于的等式表示这个观律为：_________.三、解答下列各题1.已知A=-4a3-3+2a2+5a，B=3a3-a-a2，求：A-2B.2.已知x+y=7，xy=2，求：①2x2+2y2的值；②(x-y)2的值.3.如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，求剩下的钢板的面积.4.已知A=a+2，B=a2-a+5，C=a2+5a-19，其中a＞2.(1)求证：B-A＞0，并指出A与B的大小关系；(2)指出A与C哪个大？说明理由.5.a、b、c为三边，利用因式分解说明的符号.6.某餐厅中张餐桌可以坐人，有以下两种摆放方式：一天中午，餐厅要接待位顾客共同就餐，但餐厅中只有张这样的餐桌，假设你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种拼接方式来摆餐桌？参考答案一、1.B 2.C 3.C 4.D 5.C 6.A 7.C 8.C 9.D 10.B 11.C 12.D 13.C 14.D 15.B二、1.； 2.； 3.b； 4.(3x+5y)； 5.0.875a元； 6.2，3；7.1；8.；9. ；10.；11.5；12.；13.；14.3n+1 15..三、1.-10a3+4a2+7a-3 2.(1)90 (2)41 3.ab4.(1)B-A=(a-1)2+2＞0，所以B＞A；(2)C-A=(a+7)(a-3)，因为a＞2，所以a+7＞0；从而当2＜a＜3时，A＞C，当a=2时，A=C，当a＞3时，A＜C.5.6.两种摆放方式各有规律：第一种张餐桌可容纳人，第二种张餐桌可容纳：人，通过计算，第二种摆放方式要容纳人是不可能的，而第一种可以.。
第一单元 数与式 实数的大小比较及运算
= 1312 = 3.
第一单元 数与式
【解题模板】
第一单元 数与式
1. 2.
3ห้องสมุดไป่ตู้ 4.
第一单元 数与式
类型二 实数的大小比较
例2 （'13宜宾）下列各数中,最小的数是 ( B )
A. 2
B. -3
C. 1
D.0
3
【小解的析数】 ,只由需正在数-3＞与０＞13 负中数找知即，可要,再在由2,两-3,个负13 ,数0中比找较最 大小,绝对值大的反而小可得结果.
第一单元 数与式
第2课时 实数的大小比较及运算
第一单元 数与式
考点1 实数的运算
１． 四则运算的法则 (1)加法：同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值 相加.异号两数相加,绝对值相等时和为0；绝对值不 等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值 减去较小的绝对值.一个数同０相加,仍得这个数. (2)减法:减去一个数等于加上这个数的① 相反数 . (3)乘法:两数相乘,同号得② 正 ,异号得③ 负 ,
第一单元 数与式
考点2 实数的大小比较
１.数轴比较法:数轴上的两个数右边的数总比左边的 数大. ２.性质比较法:正数大于０和一切负数，负数小于０; 两个负数比较大小,绝对值大的数反而小.如 1 1 ,
5
2 4.
３.作差比较法:(1)a-b＞0 a＞b ;(2)a-b＜０ a＜b ;(3) a-b=０ a =b.
B．|a|＞|b|
C．-a＜-b
D．b-a＞0
C
3.（2012•常德）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各
式正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab＞0
C．|a|+b＜0 D．a-b＞0
数学高一必修一前两章知识点
数学高一必修一前两章知识点在高一的数学学习中，必修一的前两章是非常重要的。
这两章主要介绍了数与式、二次函数与一次函数两大知识点。
下面将详细讨论这些知识点，以便帮助同学们更好地理解和掌握。
一、数与式1. 自然数、整数、有理数和无理数自然数是人们最早接触的数，用来表示不经过人工加工的物品的数量。
它包括正整数和零。
整数是自然数的扩展，包括正整数、零和负整数。
有理数是除了无理数之外的数，可以表示为两个整数的比。
无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比。
2. 代数式与等式代数式是由数、变量和运算符组成的式子。
在代数式中，我们可以进行加减乘除等运算。
等式是指两个代数式相等的关系。
通过等式，我们可以解方程，求出方程中的未知数。
3. 实数运算实数运算包括加法、减法、乘法和除法。
在实数运算中，我们需要注意运算法则和优先级，确保计算结果的准确性。
4. 一元一次方程一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程。
求解一元一次方程的方法主要有等式两边加减法、等式两边乘除法和等式两边平方根法。
通过运用这些方法，我们可以解决实际生活中很多实际问题。
二、二次函数与一次函数1. 二次函数的概念与性质二次函数是指函数表达式中的最高次项为二次的函数。
它的标准形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
二次函数的图像是抛物线，其开口的方向由a的正负决定。
二次函数的性质包括对称轴、顶点坐标和判别式等。
2. 一次函数的概念与性质一次函数是指函数表达式中的最高次项为一次的函数。
它的标准形式是f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，可以通过两点确定。
一次函数的性质包括斜率、截距和函数值等。
通过学习这两章的知识点，我们可以更好地理解数学的基本概念与原理，为后续的学习打下坚实的基础。
希望同学们能够认真学习，并善于进行思考和应用，不断提高数学解题的能力。
这就是数学高一必修一前两章的知识点总结。
高一数学知识点总结大全(非常全面)
高一数学知识点总结大全(非常全面)高一数学知识点总结大全（非常全面）一、数与式1. 自然数和整数自然数是用来表示计数的数字，整数则包括正整数、零和负整数。
2. 有理数和无理数有理数包括整数和分数，能够表示为两个整数的比。
无理数是无限不循环小数，如π和根号2。
3. 数的相反数和绝对值相反数指两个数值的和为零的数。
绝对值是一个数到零的距离，总是非负数。
4. 数的运算数的运算分为四种基本运算：加法、减法、乘法和除法。
要注意运算法则与优先级。
5. 代数式的加减乘除代数式包括有数和字母构成的项，可以进行加减乘除运算，要注意合并同类项和项的系数。
6. 多项式多项式是由若干项相加（减）得到的，其中每一项都是数的乘积。
二、函数与方程1. 函数及其表示法函数是一个集合，它把一个集合的元素（自变量）对应到另一个集合的元素（函数值）。
2. 函数的性质函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
3. 方程及其解方程是指等号连接的两个代数式，方程的解满足使等号成立的条件。
4. 一元一次方程一元一次方程是指未知数的最高次数为一的方程，可以通过加减消元或代入法来求解。
5. 一元一次不等式一元一次不等式是指未知数的最高次数为一的不等式，可以通过图像法或代数法来求解。
6. 一元二次方程一元二次方程是指未知数的最高次数为二的方程，可以通过配方法、公式法或因式分解法来求解。
三、平面几何1. 点、线、面的基本概念点是几何图形中最基本的元素，线由无穷多个点组成，面由无穷多个线组成。
2. 直线、射线、线段的关系直线是无边界的，射线有一个起点但没有终点，线段有两个端点。
3. 角的概念和相关性质角是由两条射线共享一个端点构成的图形，可以根据角的大小分为锐角、直角、钝角等。
4. 平行线和垂直线平行线在同一个平面上不相交，垂直线两两相交且角度为90度。
5. 三角形及其性质三角形是由三条线段连接而成的图形，包括等腰三角形、等边三角形等。
6. 圆的概念及其性质圆是由平面上所有与一个确定点的距离相等的点组成的图形，包括半径、直径、弧等。
高一上册数学课本知识点
高一上册数学课本知识点一、数与式1. 自然数、整数、有理数和实数的概念及其关系2. 整式、分式的概念3. 项、系数、次数的概念4. 同类项的概念及合并同类项的方法5. 多项式的加减运算及其性质6. 因数与倍数的概念7. 因式及其性质8. 多项式的乘法公式二、方程与不等式1. 一元一次方程的基本概念及解法2. 一元一次方程的应用3. 一元一次方程组的基本概念及解法4. 一元一次方程与一元一次方程组的联系5. 一元二次方程的解的判别式及解法6. 一元二次方程的应用7. 一次不等式的基本概念及解法8. 一元一次不等式与一元一次方程的关系9. 一次不等式组的基本概念及解法三、函数1. 函数的概念及函数符号2. 一元一次函数的图象及函数表达式3. 一次函数的性质及应用4. 一元二次函数的图象及函数表达式5. 二次函数的性质及应用6. 一元二次函数与一元一次函数的关系7. 一元二次函数的图象与方程的解8. 分段函数的概念及图象四、平面向量1. 平面向量的概念及表示2. 平面向量的运算法则3. 向量的共线与方向向量4. 向量的线性运算性质及应用5. 点与向量坐标的关系6. 向量的模与单位向量五、解析几何1. 坐标系、坐标平面及坐标轴的概念2. 点的坐标与向量的关系3. 点的对称、中点及斜率4. 直线的方程及性质5. 直线的倾斜角及平行垂直关系6. 直线的截距式与一般式六、立体几何1. 空间图形的概念及表示2. 空间几何关系的判定3. 空间直线与平面的位置关系4. 空间直线间的位置关系5. 空间中的垂直关系6. 球与球的位置关系七、三角函数1. 任意角的概念及弧度制2. 三角函数的概念及定义3. 三角函数的周期性与奇偶性4. 三角函数的图象与性质5. 三角函数的基本变换与应用6. 核心基本图像的概念及图像的变换八、概率与统计1. 随机试验与样本空间2. 事件与事件间的关系3. 概率的定义及其性质4. 古典概型与几何概型的概率计算5. 相关事件的概率计算6. 离散型随机变量的概念及概率分布7. 频率与概率的关系8. 统计数据的图表解读与分析以上是《高一上册数学课本》所涵盖的知识点概述，通过学习这些知识点，可以为我们打下坚实的数学基础，更好地应对高中数学学习和应用。
七年级上册数学第一单元知识点
七年级上册数学第一单元知识点数学是一门理性的学科，也是一门需要良好基础的学科，因此对于初学者而言，数学的入门阶段显得尤为重要。
在初中人数学教材中，第一单元是学生们接触到的第一个数学知识点，也是他们学习数学的起点。
本文将详细介绍七年级上册的数学第一单元的知识点，以帮助初学数学的同学们更好地理解和掌握数学。
一、数与式数学中的数与式是非常基础的知识点，也是打下数学基础的关键知识点。
数学中的数是指具体的数值，如2、3.14等，而式则是由数、符号和运算符组成的算式，如2+3、3-2等。
理解数与式的概念是后续学习数学的关键，因此学生需要认真掌握并应用。
二、自然数与正整数自然数是指没有小数部分的正整数，包括0、1、2、3、4、5等。
而正整数则是指大于0的自然数，不包括0。
在日常生活中，自然数与正整数经常会被用到，因此学生需要牢记。
三、小数的加减法小数的加减法是七年级上册数学第一单元最重要的知识点之一。
计算小数的加减法需要掌握好数的位数和进位规则，才能避免出现精度偏差或错误的情况。
在学习小数的加减法时，学生需要掌握计算规则并反复练习。
四、小数和分数的比较小数和分数的比较是数学中经常涉及到的知识点之一。
在比较大小时，需要将小数转化为分数，并保证分母相同，然后比较分子的大小即可。
学生需要理解分数的概念，并掌握分数的转化和化简规则，才能在比较大小的过程中不出错。
五、有理数的概念在数学中，有理数是指可以化为两个整数之比的数，包括正整数、负整数、0、正分数和负分数。
在实际应用中，有理数的概念广泛应用于整数运算、根式运算和方程求解等方面。
学生需要注意有理数的概念及应用。
六、小数和百分数之间的转换小数和百分数是数学中不可或缺的概念，它们在很多实际计算中都会被广泛使用。
在转换小数和百分数时，需要将小数乘以100，再带上百分号即可。
而将百分数转换为小数时，则需要将百分数去掉百分号，再除以100即可。
学生需要理解这种转换方式，并在实际应用中熟练运用。
高中数学学习必备的初中知识技能(1[1].数与式的运算)
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高中数学学习必备的初中知识技能（1[1].数与式的运算）第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca 证明：?(a?b?c)2?[(a?b)?c]2?(a?b)2?2(a?b)c?c2?a?2ab?b?2ac?2bc?ca?b?c?2ab?2bc?2ca222222 ?等式成立2【例1】计算：(x?22x?13132)2解：原式=[x?(?2x)?]121122222?(x)?(?2x)?()?2x(?2)x?2x??2??(?2x)333?x?22x?4383x?2223x?19说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方和公式)证明: (a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：(a?b)(a?ab?b)解：原式=[a?(?b)][a?a(?b)?(?b)]?a?(?b)?a?b 我们得到：【公式3】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：22332233332222322223332233（1）(4?m)(16?4m?m2) （2）(m?5112n)(125m2?110mn?14n)2（3）(a?2)(a?2)(a4?4a2?16) （4）(x2?2xy?y2)(x2?xy?y2)2 解：（1）原式=43?m3?64?m3（2）原式=(m)3?(n)3?52111125m?318n3（3）原式=(a2?4)(a4?4a2?42)?(a2)3?43?a6?64 （4）原式=(x?y)2(x2?xy?y2)2?[(x?y)(x2?xy?y2)]2?(x?y)?x?2xy?y3326336说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、?、20的平方数和1、2、3、4、?、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知x2?3x?1?0，求x?31x3的值．1x?3 1x)?3]?3(3?3)?1822解：?x2?3x?1?0 ?x?0 ?x?原式=(x?1x)(x?1?21x2)?(x?1x)[(x?说明：本题若先从方程x2?3x?1?0中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知a?b?c?0，求a(1b?1c)?b(1c?1a)?c(1a?1b)的值．解：?a?b?c?0,?a?b??c,b?c??a,c?a??b?原式=a?b?cbc?b?a?cac?c?a?bab222 ?a(?a)bc3?b(?b)ac?c(?c)ab2??a?b?cabc2 ①?a?b?(a?b)[(a?b)?3ab]??c(c?3ab)??c?3abc33?a?b?c?3abc ②，把②代入①得原式=?3333abcabc??3说明：注意字母的整体代换技巧的应用．引申：同学可以探求并证明：a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)333222二、根式式子a(a?0)叫做二次根式，其性质如下： (1) (a)2?a(a?0) (3)(2) (4) aba2?|a| baab?a?b(a?0,b?0) ?(a?0,b?0) 【例6】化简下列各式： (1)(3?2)2?(3?1) 2 (2)(1?x)?3?1?12(2?x) (x?1)2解：(1) 原式=|3?2|?|3?1|?2?3?(2) 原式=|x?1|?|x?2|???(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)?(x?1)?(x?2)?1 (1?x?2)说明：请注意性质a2?|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： (1)32?3 (2)1a?1b (3) 2x2?x?38x 解：(1) 原式=3(2?(2?3)3)2?3(2?23)3)(2?2?32?6?33 (2) 原式=a?bab?ab?abab(3) 原式=22x2?2?x?x2?2?2x?22x?xx?22x?32x?xx说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如x2ab32?3)或被开方数有分母(如)．这时可将其化为形式(如x2可化为x2) ，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如32?3化为3(2?(2?3)3)，其中2?3与2?3叫做互为有理化因式)．3)(2?【例8】计算： (1) (a?b?1)(1?a?b)?(a?2b)(2)aa?ab?a?aab解：(1) 原式=(1?b)?(a)?(a?2ab?b)??2a?2ab?2b?122 (2) 原式=aa(a?(a?(a?b)?aa(a?b)b)b)2a?1a?b?1a?b?b)?(a?b)(a??a?b说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设x?2?2?2?2?33333)2,y?2?2?33，求x3?y3的值．解：x??(2?22?3?7?43,y?7?43 ? x?y?14,xy?1原式=(x?y)(x2?xy?y2)?(x?y)[(x?y)2?3xy]?14(142?3)?2702说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例10】化简x?x1?xx?1x解法一：原式=x?x1?xx?1xxx?2?x?x(1?x)?x(x?1)(x?1)?x?xxx?1?xx?x?xx?1x(x?1)2?x(x?1)x2?x?1x解法一：原式=(1?x)?x(x?1x)?x?x?xx(1?x)x?12?x?xxx?1?x?x?x2?x?1x说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质AB?A?mB?m进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例11】化简x?3x?9x?27x?3x?9222?6x9x?x2?x?16?2x解：原式=(x?3)(x?3x?9)2?6xx(9?x)2?x?12(3?x)?(x?3)2?1x?3?6(x?3)(x?3)?x?12(x?3)?2(x?3)?12?(x?1)(x?3)2(x?3)(x?3)?2(x?3)(x?3)?3?x2(x?3)说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．练习A 组1．二次根式a A．a?02 ??a成立的条件是(B．a?0 )C．a?0 ) C．－９D．a是任意实数2．若x?3，则9?6x?x2?|x?6|的值是( A．－３ 3．计算： (1) (x?3y?4z)2B．３D．９(2) (2a?1?b)2?(a?b)(a?2b) (4) (a?4b)(a?4b?ab) 4122(3) (a?b)(a2?ab?b2)?(a?b)24．化简(下列a的取值范围均使根式有意义)：(1) (3)?8a4abab?ba3(2) a??(4)12?1a 13?2?23?15．化简：B 组1．若1x?35(1)m39m?10mm25?2m21m (2)2x?2yx?x?y2xy2 (x?y?0)1y?2，则3x?xy?3yx?xy?y的值为( )：5353 A． B．?35 C．? D． 2．计算：(1) (a?b?c)(a?b?c)(2) 1?(12?13)感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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±1 ． (2)倒数等于它本身的数是________
0或1 ． (3)平方等于它本身的数是________
(4)平方根等于它本身的数是________ ． 0
非负数 ． (5)绝对值等于它本身的数是________ ·新课标
│ 实数的运算与实数的大小比较
实数的运算与实数的大小比较
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│ 考点随堂练 │考点随堂练│
考点1 实数的运算法则
乘方 开方 an
1
1 ap
乘方
乘除
加减
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│ 考点随堂练
3．[2011· 镇江]计算： 1 1 1 1 2 ；－ ＝______ 2 ； －－2＝______ 2 10 1－1 － ＝______ －2 1 ；－ ＝______. 2 2
2．多项式 5x3y2－2y4－xy＋x4 是______ 五 次______ 四 项式，它的最 5x3y2 ， 高次项是______ 二次项系数为______ 把这个多项式按 y 降幂 －1 ， 4 3 2 4 －2y ＋5x y －xy＋x 排列得_________________________________ ．
π [解析] 无理数有 ，0.303003„，1－ 2. 2
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│ 考点随堂练
考点2 实数的有关概念
原点
1 a
正方向 单位长度
－a
没有
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1 －3 2.5 ， 4.－3的倒数是______，－2.5的绝对值是______ 1和－1 ． 0 ，倒数等于本身的数是_________ 0的相反数是______
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D )
│ 分式
分式
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│ 考点随堂练 │考点随堂练│
考点1 分式的有关概念
A 分式的 A， B 是整式，形如B的式子，当 B_________ 含有字母 概念 B≠0 时叫做分式． B， 且_________
没有公因式 的分式叫 最简分 分式的分子与分母 ________________ 式 做最简分式．
最高次幂的积 最简公 几个分式的分母中所有因式的 _____________ 分母 叫做这几个分式的最简公分母.
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│ 考点随堂练
x 1．使分式 有意义，则 x 的取值范围是( D ) 2x－1 1 1 A．x≥2 B．x≤2 1 1 C．x＞2 D．x≠2
[解析] 分母不为零，分式有意义．
3x－6 2．若分式 的值为 0，则( D ) 2x＋1 1 1 A．x＝－2 B．x＝－2 C．x＝2
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│归类示例 归类示例
类型之一 等式的概念和等式的性质
命题角度： 1．同类项的概念 2．由同类项的概念通过列方程组求解同类项指数的字母的值
1 4 若 3xm＋5y2 与 x3yn 的和是单项式，则 nm＝________.
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│归类示例
类型之二 整式的运算
命题角度： 1．整式的加、减、乘、除运算 2．乘法公式 [2011²成都] 下列计算正确的是( A．x＋x＝x2 B．x· x＝ 2x C．(x2)3＝x5 D．x3÷ x＝x2
11．[2010· 哈尔滨]地球与太阳之间的距离约为 149600000 千米， 用科学记数法表示(保留 2 个有效数字)约为________ 1.5×108 千米．
[解析] 用科学记数法表示为1.496×108≈1.5×108.
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│归类示例
类型之二 实数的有关概念
命题角度： 1．数轴、相反数、倒数等概念 2．绝对值的概念及计算 填空题：
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7.下列从左到右的变形，属于因式分解的是( D ) A．(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6 B．ax－ay＋1＝a(x－y)＋1 C．8a2b3＝2a2· 4b3 D．x2－4＝(x＋2)(x－2)
[解析] 因式分解是将多项式变成几个整式的积的形式．
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考点2 整式除法
幂的乘方 幂的运算包括：_______________ 、 同底数幂的乘法 、________________ 幂的运算 __________________ 、___________________. 积的乘方 同底数幂的除法
单项式 除以单 项式 将单项式的系数和同底数的幂__________ 分别相除 ， 只在被除式中出现的字母 连同其指数作为商的一个因式． ___________________________
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考点3 因式分解
几个整式的积 的形式叫 因式分解 将多项式分解成 _______________ 的定义 做因式分解．
因式分解 的方法 提公因 am＋bm＋cm＝____________. m(a＋b＋c) 式法 (a＋b)(a－b) a2－b2＝_______________. 公式法 2 a± 2ab＋b2＝_____________. (a± b)2
[解析] m－1＋n＝m＋n－1＝0－1＝1.
6．计算： 2 4 9 5 9 9 － － － －19. 9× 14－ 9× 14－14×
9 4 5 2 解：原式＝－149＋9－19 9 2 1 ＝－14×－9＝7.
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1.下列说法正确的是( A ) 6 6 A．单项式－7ab 的系数是－7，次数是 2 B．单项式 a 的系数是 1，次数是 0 C．单项式－5x y2 的系数是－5，次数是 2 D．2πr2 的系数是 2，次数是 3 6 6 6 [解析] －7ab 中的数字因数是－7，所以系数为－7，次数为 1＋1＝2.
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│ 整式及因式分解
整式及因式分解
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│ 考点随堂练 │考点随堂练│
考点1 整式的加减
单项式的系数指单项式的______________ 单项式的次数 数字因数 ， 单项式 字母的指数和 ． 是指______________ 多项式的项是____________________________________ ， 组成多项式的每个单项式 次数最高项的次数 ． 多项式 多项式的次数是__________________ 升幂排列 和__________ 降幂排列 ． 多项式的排列包括__________ 去括号与添括号时要特别注意的是如果括号前边是 “－”号，各项要________ 改变 符号． 整式的 系数 相加，字母及其字母指数 合并同类项：将同类项的______ 加减 不变 ． ______ 整式的加减：先去括号，然后合并多项式中的同类项.
实数的有关概念 实数的运算与实数的大小比较 整式及因式分解 分式 数的开方及二次根式
│ 实数的有关概念
实数的有关概念
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│ 考点随堂练 │考点随堂练│
考点1 实数的概念及分类
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π 22 3．下列各数 2 ，0， 9 ，0.23，cos60° ， 7 ，0.303003„， 1－ 2中无理数的个数为( B ) A．2 B．3 C．4 D．5
4．计算： 4＋(5－π) ＋(－1)
0 2011
－ －7
1－1 ＋3 .
解：原式＝2＋1－1－7＋3＝－2.
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考点2 实数的运算律
a＋b＋c
abc ab＋ac
ab＋c
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1 5.若 m，n 互为相反数，则 ． m－1＋n的值为______
4．下列计算正确的是( C ) A．a2· a3＝a6 C．(a3)5＝a15
B．a3÷ a＝a3 D．(3a2)4＝9a4
[解析] 根据幂的运算法则进行计算．
5． 已知 a＋b＝m， ab＝－4， 化简(a－2)(b－2)的结果是( D ) A．6 B．2m－8 C．2m D．－2m
[解析] (a－2)(b－2)＝ab－2a－2b＋4＝ab－2(a＋b)＋4＝ －4－2m＋4＝－2m.
[解析] 根据题意，最接近标准的数就是绝对值最小的那个 数，选A.
9．[2011· 遵义]某种生物细胞的直径约为 0.00056m，将 0.00056 用科学记数法表示为( B ) － － A．0.56×10 3 B. 5.6×10 4 － － C. 5.6×10 5 D. 56×10 5
[解析]将一个比较小的数表示成a×10p的形式，其中1≤|a|<10， p为整数，确定p的方法是第一个有效数字前有多个零，p就等于 多少．
基本性质 ，约分是将一个 约分与通 两者都是利用分式的__________ 分的联系 分式化成最简分式，而通分是将几个分母不同的 与区别 分式化成同分母的分式.
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2a 的 a，b 的值同时扩大到原来的 10 倍，则此分式 a＋ b 的值( D ) A．是原来的 20 倍 B．是原来的 10 倍 1 C．是原来的10 D．不变 [解析] 此题中 a， b 的值同时扩大到原来的 10 倍， 即为分式 的分子、分母都乘 10，根据分式的基本性质，确定选 D. 4.若分式
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考点3 实数的大小比较
＞ ＝ ＜ ＞ ＝
＜
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│归类示例 归类示例
类型之一 实数的运算
命题角度： 1．实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算 2．实数的运算在实际生活中的应用 [2011²滨州] 计算：
1－1 0 －(π＋ 3) －cos30°＋ 2 12＋ 3 － 1 . 2