讲课课件

称轴的方程； (2)将该函数的图像向右平移 φ 个单位长度后， 图像关于原点 对称，求 φ 的最小正值． 2π 解：(1)由 2x＋ ＝kπ，得函数的对称轴方程是 3 π kπ x＝－ ＋ ，k∈Z. 3 2
π 所以函数的图像离 y 轴距离最近的那条对称轴方程为 x＝ . 6
(2)将函数
2π y＝2cos2x＋ 3 的图像向右平移
答案：A
[研一题] [例 2] 已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的
3π π 偶函数，其图像关于点 M( ，0)对称，且在区间[0， ]上是单 4 2 调函数，求 φ 和 ω 的值． [自主解答] 由 f(x)是偶函数，得 f(－x)＝f(x)，
即函数 f(x)的图像关于 y 轴对称， ∴f(x)在 x＝0 时取得最值．即 sin φ＝1 或－1. π 依题设 0≤φ≤π，∴φ＝ . 2
步骤如下： (1)求 A，一般由图像的最高点、最低点确定或代入特殊点 的坐标通过解方程求出． 2π (2)求 ω，确定函数周期 T，则 ω＝ . T (3)求 φ， 求 φ 的值时常把特殊点代入， 解简单的三角方程， 再结合图形确定．
[通一类]
1．把函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的 π 图像向左平移 个单位长度，所得曲线的 3 一部分图像如图所示，则 ω、φ 的值分 别是 3π A．3，－ 4 π C.2，4 ( )
如图所示是函数y＝Asin(ωx＋φ)的
图像，试确定A，ω，φ的值．
[解] 法一：(起点法，即利用对应点 中的第一个零点) 由图像可知振幅 A＝3， 5π π 2π 2π 又 T＝ －(－ )＝π，∴ω＝ T ＝ ＝2. 6 6 π π 由于点(－ ，0)在图像上，且为图像的第一个零点，因此令 6 π π － ×2＋φ＝0，得 φ＝ . 6 3
例1 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(|φ|<π）， 的图象如图所示，求f(x)的表达式；
y 2 1
o
8 3 8 7 8
x
2
π [练习 2] 已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(|φ|< ， 2 ω>0，A>0)的图像的一部分如图所示． (1)求 f(x)的表达式； (2)试写出 f(x)的对称轴方程．
3 B．3， π 4 π D．2，－ 4
5 π 2π 解析：∵( π－ )×4＝T，∴T＝ ，∴ω＝3， 12 4 3 π 则图中函数的解析式应为 y＝sin[3(x＋ )＋φ]， 3 即 y＝sin(3x＋π＋φ)， 5π 9π 3π 3π 又过( ，－1)，∴ ＋φ＝ ，φ＝－ . 12 4 2 4
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2．函数 y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤ φ<2π)的部分图象如图，则 ( C ) π π π π A．ω＝ ，φ＝ B．ω＝ ，φ＝ 2 4 3 6 π π π 5π C．ω＝ ，φ＝ D． ω＝ ， φ＝ 4 4 4 4 T 解析 由所给图象可知， 4＝2，∴T＝8. 2π π 又∵T＝ ω ，∴ω＝4. π π ∵图象在 x＝1 处取得最高点，∴4＋φ＝2＋2kπ(k∈Z)， π ∴φ＝2kπ＋4(k∈Z)， π ∵0≤φ<2π，∴φ＝4.
2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)定义域：R. (2)值域：[－A，A]． 2π (3)最小正周期：T＝ . ω kπ－φ kπ π－2φ (4)对称性：对称中心( ，0)，对称轴是 x＝ ＋ ω ω 2ω (k∈Z)．
整体代换思想： ωx＋φ=kπ； ωx＋φ=π/2＋kπ
[点评]

法一，若从图像可确定振幅和周期，则可直
接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“
第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ
＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
法二，通过将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定 系数 A，ω，φ.依据五点列表法原理，点的序号与所列式子的关 π 系如下：“第一点”为 ωx＋φ＝0；“第二点”为 ωx＋φ＝ ； 2 3π “第三点”为 ωx＋φ＝π；“第四点”为 ωx＋φ＝ ；“第五 2 点”为 ωx＋φ＝2π. 法三，运用逆向思维的方法，先确定函数 y＝Asin ωx，再 根据图像平移规律确定相关的参数．
法二：(五点作图法，即利用五点作图对应点的方法) π 5π 由图像知振幅 A＝3，又图像过点( ，0)和( ，0)，根据五 3 6 点作图法原理 ( 以上两点可判为 “ 五点法 ” 中的第三点和第五 π ω＋φ＝π， 3 · 点)，有 5π· ω＋φ＝2π. 6 ω＝2， 解得 π φ ＝ . 3
φ 个单位长度后，得
到函数图像的解析式是 因为
2π y＝2cos2x＋ 3 －2φ.
2π 2π π y＝2cos 2x＋ 3 －2φ 的图像关于原点对称， 所以 －2φ＝ 3 2
π kπ ＋kπ.所以 φ＝ － ，k∈Z. 12 2 π 所以 φ 的最小正值是 . 12
[悟一法] 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的综合应用，往往涉及三 角函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等，研 究函数的性质，要采用整体代换的思想，应用函数的性质
要用化归的思想．
[通一类] 2π 2．已知函数 y＝2cos2x＋ 3 . (1)在该函数的图像的对称轴中， 求离 y 轴距离最近的那条对
希望与一（13）班全体学生合作愉快！
人教A版高一数学必修四
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (二）
实验高中 李佳
一、复习 如何由y=sinx的图象得到函数 y A sin( x )的图象.
二 读教材·填要点 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中各参数的物理
π [练习 2] 已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(|φ|< ， 2 ω>0，A>0)的图像的一部分如图所示． (1)求 f(x)的表达式； (2)试写出 f(x)的对称轴方程．
[自主解答] (1)观察图像可知： A＝2 且点(0,1)在图像上，∴1＝2sin(ω· 0＋φ)， 1 π π 即 sin φ＝ .∵|φ|< ，∴φ＝ . 2 2 6
意义
2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)定义域：R. (2)值域：[－A，A]． 2π (3)最小正周期：T＝ . ω kπ－φ kπ π－2φ (4)对称性：对称中心( ，0)，对称轴是 x＝ ＋ ω ω 2ω (k∈Z)．
整体代换思想： ωx＋φ=kπ； ωx＋φ=π/2＋kπ
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．已知函数 数的图象
π f(x)＝sinωx＋ (ω>0)的最小正周期为 3
π，则该函 ( A )
π A．关于点 ，0 对称 3
π B．关于直线 x＝ 对称 4 π C．关于点 ，0 对称 4 π D．关于直线 x＝ 对称 3
法三：(图像变换法，即利用图像变换的方法看待已知图像与 函数 y＝sin x 的图像之间的关系) π ∵T＝π，A＝3，图像过点(－ ，0)，可知图像是由 y＝3sin 2x 6 π 向左平移 个单位长度而得， 6 π π ∴有 y＝3sin 2(x＋ )，即 y＝3sin(2x＋ )． 6 3 π ∴A＝3，ω＝2，φ＝ . 3
本例中图像若变为如右图所示， 试求f(x)的表达式．
T 3π 解：由 ＝ ， 2 2 2 得 T＝3π，ω＝ . 3 2 π π ∴y＝5sin( x＋φ)，代入点( ，5)，又|φ|< ， 3 4 2 π 2 π ∴φ＝ ，∴y＝5sin( x＋ )． 3 3 3
[悟一法] 由函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0)的图像确定其解析式的
11 又∵ π 是函数的一个零点，且是图像上升时穿过 x 轴形 12 11π π 成的零点，∴ ω＋ ＝2π，∴ω＝2. 12 6 π ∴f(x)＝2sin2x＋ . 6 π (2)设 2x＋ ＝A，则函数 y＝2sin A 的对称轴方程为 6 π π π A＝ ＋kπ，k∈Z，即 2x＋ ＝ ＋kπ，k∈Z， 2 6 2 kπ π 解得 x＝ ＋ ，k∈Z， 2 6 π kπ π ∴f(x)＝2sin2x＋ 的对称轴方程为 x ＝ ＋ ，k∈Z. 6 2 6
由 f(x)的图像关于点 M 对称，可知 3π π sin( ω＋ )＝0， 4 2 3π π 4k 2 则 ω＋ ＝kπ，k∈Z，解得 ω＝ － ，k∈Z， 4 2 3 3 π 又 f(x)在[0， ]上是单调函数， 2 2π ∴T≥π，即 ≥π，∴ω≤2.又 ω>0， ω 2 ∴当 k＝1 时，ω＝ ；当 k＝2 时，ω＝2. 3 π 2 ∴φ＝ ，ω＝2 或 . 2 3