二重积分计算(课堂PPT)

f (x ,y )d f (x ,y )d f (x ,y )d .
D
D 1
D 2
性质４ 若 为D的面积，1dd.
D
D
性质５ 若在D上 f(x ,y ) g (x ,y ),
则有 f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
特殊地 f(x,y)df(x,y)d.
D
D
10
性质６ 设 M 、 m 分 别 是 f(x,y)在 闭 区 域 D上 的
第3章 重积分
3.1 二重积分的概念与性质
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积×高 特点：平顶.
zf(x,y) 柱体体积=？ 特点：曲顶.
D
1
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
播放 2
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底，z
并取典型小区域，
zf(x,y)
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
y
顶柱体的体积，x D
•
(i ,i )
n
i
曲顶柱体的体积
Vlim
0
f(i,i)i.
i1
3
２．求平面薄片的质量
设 有 一 平 面 薄 片 ， 占 有 xo 面 上 y 的 闭 区 域
D ， 在 点 (x ,y)处 的 面 密 度 为 (x ,y)， 假 定 (x ,y)在 D 上 连 续 ， 平 面 薄 片 的 质 量 为 多 少 ？
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
•
(i,i )
看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
i
o
n
x
Ml i0m(i,i)i. i1
4
二、二重积分的概念
定义 设 f (x, y)是有界闭区域 D 上的有界函
数， 将 闭 区域 D 任 意 分成 n 个 小闭 区 域 1 ，
c
x2(y)
f(x ,y)ddd y 2(y)f(x ,y)d.x
D
c 1(y)
14
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
2, ， n，其中 i表示第i 个小闭区域，
也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点
( i , i )，
作乘积 f ( i , i ) i ，
(i 1,2, , n) ，
n
并作和 f ( i , i ) i ，
i1
5
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, y
A(x0 )
y2(x)
x
b x0 a
得
f(x ,y)db dx 2(x)f(x ,y)d.yy1(x)
a 1(x)
D
13
如果积分区域为：cyd, 1 (y ) x 2 (y ).
［Y－型］
d
x1(y) c
D x2(y)
d
x1(y) D
(2 )当 f(x ,y )在 闭 区 域 上 连 续 时 ， 定 义 中 和 式
的 极 限 必 存 在 ， 即 二 重 积 分 必 存 在 .
二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
7
在直角坐标系下用平 y 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，
则面积元素为 ddxdy
o
故二重积分可写为
D
x
f(x,y)df(x,y)dxdy
D
D
8
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 性质２
当k为常数时，
k (x f,y)d kf(x,y)d .
D
D
[f(x,y)g(x,y)d ]
D
f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
9
性质３ 对区域具有可加性 (D D 1D 2)
0
2
140
18
例 3 计算二重积分 xyd , 其中 D是由抛物线 D
y2 x及直线 yx2所围成的闭区域.
3 1
3 0
2
16
例 1 计算 y 1x2y2d, 其中 D是由直线 D
yx 、 x 1 和 y1所围成的闭区域.
解
若视为X型, 则原积分
1 2
.
yx
若视为 Y型, 则
1 y y1 x 2 y 2 dy [ 1 x 2 y 2 d] d x , 1 1
D
其中关于 x的积分计算比较麻烦, 故合理选择积
最 大 值 和 最 小 值 ， 为 D的 面 积 ， 则
m f(x,y)dM
D
（二重积分估值不等式）
性质７ 设 函 数 f(x ,y)在 闭 区 域 D 上 连 续 ，为 D 的 面 积 ， 则 在 D 上 至 少 存 在 一 点 (,)使 得
f(x,y)df(,)
D
（二重积分中值定理）
11
3.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为：axb, 1 (x )y2 (x ).
［X－型］
y2(x)
D
y1(x)
a
b
y2(x)
D
y1(x)
a
b
其中函数1(x)、2(x) 在区间 [a,b]上连续.
12
f(x,y)d的值等D于 为以 底，以 z曲面 D f(x,y)为曲顶柱体的体z积 f(． x,y) z
D3 D1
D2
.
D
D1
D2
D3
15
例 1 计算 y 1x2y2d, 其中 D是由直线 D
yx 、 x 1 和 y1所围成的闭区域.
解 如图, D既是 X型, 又是Y型.
若视为X型, 则
原式
11
[ y1x2y2d]d yx
1 x
yx
1 3 1 1[1 (x2y2)3/2]1 xdx
1 1 (x |3 1 ) d x 2 1 ( x 3 1 ) d 1 x .
f (x, y)在闭区域D 上的二重积分，
记为 f (x, y)d ，
D
n
即
D
f
(
x,
y)d
lim
0 i1
f
(i
,i
)
i
.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
6

对二重积分定义的说明：
(1 ) 在 二 重 积 分 的 定 义 中 ， 对 闭 区 域 的 划 分 是 任 意 的 .
分次序对重积分的计算非常重要.
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例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
x y2
解 两 曲 线 的 交 点
yx2 xy2(0,0) ,(1,1),
y x2
(x2 y)dxdy01dxx2x(x2y)dy
D
1[x2( xx2)1(xx4)d ]x33 .