人教版数学高二理科选修2-1第一章全称量词与存在量词 (共31张)

课堂归纳小结 1.判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是 否含有全称量词． 2．判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每 一个元素 x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个 x0， 使 p(x0)为假，则全称命题为假． 3．判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找 到一个元素 x，使命题 p(x)为真，否则命题为假.
[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于 360°，故为 全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题． (4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题． (5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含 有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全 称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
(2) 特 称 命 题 的 常 见 题 型 是 以 适 合 某 种 条 件 的 结 论 “ 存 在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般 要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合 已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决； 若导致矛盾，则否定了假设．
师生互动 合作探究
题型一 全称命题与特称命题 思考：全称命题和特称命题中是否一定含有全称量词和特称 量词？ 提示：命题“正方形是特殊的菱形”，该命题中没有全称量 词，即全称命题不一定含有全称量词．
判断下列语句是全称命题，还是特称命题． (1)凸多边形的外角和等于 360°； (2)有的向量方向不定； (3)对任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1； (4)矩形的对角线不相等； (5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． [思路导引] 找命题中的量词及其命题的含义．
特称命题的否定是_全__称__命__题__．_
[反思诊断] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．在全称命题和特称命题中，量词都可以省略．( ) 2．“有的等差数列也是等比数列”是特称命题．( ) 3．“三角形内角和是 180°”是全称命题．( ) [答案] 1.× 2.√ 3.√
课堂互动探究 K
p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”， 故选 C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定 形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定 形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得 n<x2”．
[答案] (1)C (2)D
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个 命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把 命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时 否定结论．
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n<x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n<x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得 n<x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得 n<x2 [思路导引] 明确命题是全称命题还是特称命题，把全称量 词和特称量词互换，再把结论否定．
[解析] (1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈
请做：随堂达标验收 S
[跟踪训练]
已知 p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，q：“∃x0∈R，使 x20＋
2ax0＋2－a＝0”．若命题“p 且 q”是真命题，求实数 a 的取值
范围．
[解] p 为真时，x2－a≥0，即 a≤x2. ∵x∈[1,2]时，上式恒成立，而 x2∈[1,4]，∴a≤1. q 为真时：Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0， 即 a≥1 或 a≤－2. ∵p 且 q 为真命题，∴p，q 均为真命题． ∴a＝1 或 a≤－2. 即实数 a 的取值范围是(－∞，－2]∪
1.4
全称量词与存在量词
课前自主预习 K
教材为本 梳理新知
[教材研读] 1．预习教材 P21 和 P22 思考，回答以下问题 (1)命题的语句中的限定短语有什么特点？
(2)命题中限定短语的出现对命题真假的判断可以用什么方 法？
2．预习教材 P24 探究：对三个命题的否定在形式上有什么特 点？
[解] (1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被 3 整除． (2)是全称命题，否定为：∃x0∈Z，x02与 3 的和等于 0. (3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为 60°. (4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角． (5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与 圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆 只有一个公共点的直线不是圆的切线．
[知识梳理] 1．全称量词与全称命题
2.存在量词与特称命题
3．全称命题与特称命题的否定 (1)全称命题 p：∀x∈M，p(x)的否定綈 p：∃__x_0_∈__M__，__綈__p_(_x_0)_；
全称命题的否定是_特__称__命__题__．_ (2)特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)的否定綈 p：∀__x_∈__M_，__綈___p_(_x)_；
[跟踪训练] 用全称量词或存在量词表示下列语句 (1)不等式 x2＋x＋1>0 恒成立； (2)当 x 为有理数时，13x2＋12x＋1 也是有理数； (3)等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 对有些角 α，β 成立； (4)方程 3x－2y＝10 有整数解．
[解] (1)对任意实数 x，不等式 x2＋x＋1>0 成立． (2)对任意有理数 x，13x2＋12x＋1 是有理数． (3)存在角 α，β，使 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成立． (4)存在一对整数 x，y，使 3x－2y＝10 成立．
题型三 利用全称命题与特称命题求参数 思考：如何用命题的真假求参数？. 提示：转化为集合的关系或转化为求最值问题．
若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命 题，求实数 a 的取值范围．
[思路导引] 令 f(x)＝x2－2ax＋2，求最值或参变分离法．
[解] 解法一：由题意，∀x∈[－1，＋∞)， 令 f(x)＝x2－2ax＋2≥a 恒成立， 所以 f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a 可转化为∀x∈[－1，＋∞)， f(x)min≥a 恒成立，而∀x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝21－＋aa2， 2＋a≥2－－a12，，a<－1. 由 f(x)的最小值 f(x)min≥a， 知 a∈[－3,1]． 解法二：x2－2ax＋2≥a， 即 x2－2ax＋2－a≥0， 令 f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0 恒成立，所
题型二 全称命题与特称命题的否定 思考：全称命题和特称命题的否定有什么特点？ 提示：全称命题和特称命题的否定分别是特称命题和全称命 题．
(1)设命题 p：∃n∈N，n2>2n，则綈 p 为( )
A．∀n∈N，n2>2n C．∀n∈N，n2≤2n
B．∃n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式是 ()
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写 成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
[跟踪训练] 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的 否定． (1)有一个奇数不能被 3 整除； (2)∀x∈Z，x2 与 3 的和不等于 0； (3)有些三角形的三个内角都为 60°； (4)每个三角形至少有两个锐角； (5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
Δ＝4a2－42－a>0， 以 Δ≤0 或a<－1，
f－1≥0，
即－2≤a≤1 或－3≤a<－2. 所以－3≤a≤1. 综上，所求实数 a 的取值范围是[－3,1]．
利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型 (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真 时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所 以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函 数等数学知识来解决．