人教A版必修1 第4章节对数函数同步练习卷 (解析版)

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人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数综合检测培优卷(含详细解析)

第4章指数函数与对数函数（原卷版）本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．在下面四个等式运算中，正确的是A ．22133aa -=B ．2133a a ÷=C ．342=D 8=-2．若实数x 、y 满足x y a b ab ==（0a >，0b >且a b ¹），则11x y+的值为A ．2-B ．2C ．1-D ．13．三个数3log 0.3a =，3log 2b =，12c =的大小顺序是A ．a b c <5．若a ､b ､c 都是正数，且469a b c ==，那么A ．2ac bc ab +=B ．ac bc ac +=C ．221c a b=+D ．121c b a=-6．若直线2y a =与函数21xy =-的图象有两个公共点，则a 的取值可以是A ．14B ．12C ．2D ．47．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如图所示，则函数()2xg x a b =+-的图象是A．B．C．D．8．已知()1313logf x x x=-时，当0a b c<<<时，满足()()()0f a f b f c⋅⋅<，则关于以下两个结论正确的判断是①函数()y f x=只有一个零点；②函数()y f x=的零点必定在区间（a，b）内．A．①②均对B．①对，②错C．①错，②对D．①②均错二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若0a>，且1a≠，Rx∈，Ry∈，且0xy>，则下列各式不恒成立的是①2log2loga ax x=；②2log2loga ax x=；③()log log loga a axy x y=+；④()log log loga a axy x y+＝．A．①B．②C．③D．④10．已知23a =，3log 2b =，则A ．2a b +>B ．1ab =C ．82339b b-+=D ．()911log 122a b a++=11．给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是A ．函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,0)B ．化简2log312lg5log lg 23+++的结果为25C ．已知函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是()1,2D ．若22ln ln()x y x y -->--（0x >，0y <），则0x y +<12．已知函数()12log ,0410,4x x f x x x⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若方程()f x a =有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则A ．121=x x B ．实数a 的取值范围为50,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．312x x x 的取值范围为[)5,+∞D ．()2f x >的解集为()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数2322xx y -+=的单调递增区间为__________．14．已知0x >，y R ∈，定义*y x y x =，则(13*22⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．15．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，定义函数f (x )=x -[x ]．有下列结论：①函数的图象是一条直线；②函数f (x )的值域为[0，1)；③方程f (x )=12有无数个解；④函数是R 上的增函数．其中正确的是__________．(填序号)16．已知()41,0121,1x x x f x x -<<⎧=⎨-≥⎩，设0b a >>，若()()f a f b =，则()a f b ⋅的取值范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）化简与求值．（1）化简：3142111136431645x yx y x y ----⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（x ，0y >）；（2）已知()110a a a --=>，求()()22442a a a a --+--的值．18．（12分）（1123182-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）已知102m =，103n =，求32210m n-的值．19．（12分）在飞机制造业中，发现一条规律：制造第2架飞机所需的工时数是第1架的80%；第4（即22）架又是第2架的80%；第8（即32）架又是第4架的80%；……这就是说，通过积累经验，可以提高效率．这也是符合学习规律的，这里的80%称为“进步率”，所制造的飞机架数与所需工时数之间的函数关系所确定的曲线常称为“学习曲线”．设制造第1架飞机需要用k 个工时，进步率为r ，试求出制造第x 架飞机与需用的工时数y 之间的函数表达式．20．（12分）设正整数a 、b 、c 满足：对任意的正整数n ，都有1n n n a b c ++=成立．（1）求证：a b c +≥；（2）求出所有满足题设的a 、b 、c 的值．21．（12分）函数()()4122x xf x a a =-+⋅-+．（1）当3a =时，求函数()f x 在区间[]0,2上的最值；（2）已知方程()0f x =的两个实数根1x ，2x ，满足1201x x <<<，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数()y f x =，()2log 2ax f x x -=+，其中0a >且1a ≠．（1）求()()()()()()2020101050550510102020f f f f f f -+-+-+++；（2）若对于[]4,3x ∈--，()()2log 59a f x a a >-+恒成立，求实数a 的取值范围．第4章指数函数与对数函数（解析版）本卷满分150分，考试时间120分钟。

高一数学(必修一)《第四章对数函数》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第四章对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列函数中，增长速度最快的是（）A ．2020x y =B ．2020y x =C ．2020log y x =D ．2020y x =2．函数()cos lg f x x x =-零点的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．03．函数()22e xx x f x -=的图象大致是( ) A ． B ． C ． D ．4．十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为（）（提示：31.065 1.208≈）A ．93.8万亿元B ．97万亿元C ．99.9万亿元D ．106.39万亿元 5．函数2sin 2()cos x x f x x x +=+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ． 6．下列图象中，不可能是()()1R f x ax a x=+∈的图象的是（） A ． B ．C ．D ．7．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据.现有如下5个模拟函数：①0.580.16y x =-；②2 3.02x y =-；③2 5.58y x x =-+；④2log y x =．请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律（）A ．① B ．②C ．③D ．④二、填空题8．旅行社为某旅游团租飞机旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过35人，则飞机票每张收费800元；若旅游团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票每张少收10元，但旅游团的人数不超过60人．设该旅游团的人数为x 人，飞机票总费用为y 元，旅行社从飞机票中获得的利润为Q 元，当旅游团的人数x =_____________时，旅行社从飞机票中可获得最大利润．三、解答题9．函数121.1()ln 1((,)),x f g x x h x x x ===+的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a ，b ，c ，d ，e 为分界点)．10．2020年11月24日4时30分，长征五号遥五运载火箭在中国文昌航天发射场点火升空，顺利将嫦娥五号探测器送入预定轨道．探测器实施2次轨道修正，2次近月制动后，顺利进入环月轨道，于12月1日23时11分在月球正面预选区域成功着陆，并开展采样工作．12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，实现了中国首次月球无人采样返回，助力月球成因和演化历史等科学研究．某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度V （单位：km/s ）满足ln m M V W M+=，其中W （单位：km/s ）表示它的发动机的喷射速度，m （单位：t ）表示它装载的燃料质量，M （单位：t ）表示它自身的质量（不包括燃料质量）．(1)某单级火箭自身的质量为50t ，发动机的喷射速度为3 km/s ，当它装载100 t 燃料时，求该单级火箭的最大速度（精确到0.1 km/s ）．(2)根据现在的科学技术水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2 km/s ，该单级火箭的最大速度能否超过7.9 km/s ？（参考数据： 2.71828e =…和ln3 1.10≈）11．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观测站，测量最大积雪深度x 与当年灌溉面积y 现有连续6年的实测资料，如下表所示：（1）描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图像；（2）建立一个基本反映灌溉面积关于最大积雪深度的函数模型；（3）根据所建立的函数模型，问：若今年最大积雪深度用25cm 来估算，可以灌溉土地多少公顷？12．下表是弹簧伸长长度x （单位：cm ）与拉力F （单位：N ）的相关数据：描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式．参考答案与解析1．A【分析】直接根据一次函数，幂函数，对数函数和指数函数的增长差异判断.【详解】2020x y =是指数函数，2020y x =是幂函数，2020log y x =是对数函数， 2020y x =是一次函数因为当x 足够大时，指数函数增长速度最快故选：A2．A 【分析】由()cos lg 0f x x x =-=，得cos lg x x =，则将函数()f x 零点的个数转化为cos ,lg y x y x ==图象的交点的个数，画出两函数的图象求解即可【详解】由()cos lg 0f x x x =-=，得cos lg x x =所以函数()f x 零点的个数等于cos ,lg y x y x ==图象的交点的个数函数cos ,lg y x y x ==的图象如图所示由图象可知两函数图象有4个交点所以()f x 有4个零点故选：A3．B【分析】根据f (x )的零点和x →+∞时函数值变化情况即可判断求解．【详解】由()0f x =得0x =或2，故排除选项A ；当x →+∞时，函数值无限靠近x 轴，但与x 轴不相交，只有选项B 满足．故选：B ．4．C【分析】依题意可得2020年的国内生产总值约为()382.71 6.5%⨯+从而计算可得；【详解】解：依题意可得2020年的国内生产总值约为()382.71 6.5%82.7 1.20899.901699.9⨯+≈⨯=≈ 故选：C【点睛】本题考查指数函数的应用，属于基础题.5．D【分析】根据函数的奇偶性可排除AC ；再根据2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小即可排除B ，即可得解. 【详解】解：()2sin 2()cos x x f x f x x x ---==-+所以函数()f x 为奇函数，故排除AC ；又()224111124f πππππππ+++⎛⎫==>> ⎪⎝⎭，排除B. 故选：D.6．B【分析】利用特殊值，分类讨论，借助反比例函数、对勾函数的图象与性质以及函数单调性的性质进行排除.【详解】当a ＝0时，则()1f x x=，为反比例函数，对应A 中图象，故A 错误；当0a >时，则()1f x ax x =+是对勾函数，函数为奇函数，且0x >时()f x在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，对应D 中图象，故D 错误；当0a <时，则()1f x ax x=+为奇函数，且0x >时y ax =，1y x =均单调递减，故()f x 在(0,)+∞单调递减，对应C 中图象，故C 错误.故选：B.7．D【分析】根据表中提供的数据，可通过描点，连线，画出图象，看哪个函数的图象能接近所画图象，这个函数便可反应这些数据的规律．【详解】解：根据表中数据，画出图象如下：通过图象可看出，2log y x =能比较近似的反应这些数据的规律．故选：D ．8．57或58【分析】根据题意，写出y 与x 的分段函数模型，进而表示出Q 与x 的分段函数模型，然后根据二次函数的性质求解最大值.【详解】解析：依题意，得2800(135),101150(3560),x x x y x x x x ≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N 且且则旅行社的利润280015000(135),1500010115015000(3560).x x x Q y x x x x -≤≤∈⎧=-=⎨-+-<≤∈⎩N N 且且当135x ≤≤且x N ∈时，max 800351500013000Q =⨯-=；当3560x <≤且x N ∈时2115361251022Q x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当57x =或58x =时，Q 最大最大为18060．综上，当57x =或58x =时，旅行社可获最大利润．【点睛】利用分段函数模型解决实际问题的策略：对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小；在求解最值时，一般可利用函数的性质求解，也可以利用基本不等式计算.9．见解析【分析】由题意结合函数图像分别讨论函数在点1，a ，b ，c ，d ，e 时函数值的大小即可得出函数增长的差异.【详解】由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得:曲线C 1对应的函数是f (x )＝1.1x ，曲线C 2对应的函数是12()h x x =曲线C 3对应的函数是g (x )＝ln x ＋1由题图知，当x <1时，f (x )>h (x )>g (x )；当1<x <e 时，f (x )>g (x )>h (x )；当e <x <a 时，g (x )>f (x )>h (x )；当a <x h (x )>f (x )；当b <x <c 时，h (x )>g (x )>f (x )；当c <x <d 时，h (x )>f (x )>g (x )；当x >d 时，f (x )>h (x )>g (x )．10．(1)3.3 km/s(2)该单级火箭的最大速度不能超过7.9 km/s【分析】（1）把3W =，50M =和100m =，代入m M V WlnM +=，即可求出结果．（2）由9m M ，2W =可得210m MV Wln ln M +=，由对数的运算性质结合参考数据可知7.97.9210lne ln =>，从而求出7.9V <．(1)由题知3W =，50M =和100m = ∴10050ln 3ln 3ln 3 3.350m M V W M ++==⨯=≈ ∴该单级火箭的最大速度约为3.3 km/s ．(2) 由题知9m M≤，2W =∴110m M m M M +=+≤ ∴ln2ln10m M V W M +=≤． ∵7.97.9722128100e >>=>∴7.97.9ln ln1002ln10e =>=，∴7.9V <．∴该单级火箭的最大速度不能超过7.9 km/s ．11．（1）见解析；（2） 2.2 1.8y x =+；（3）47.2公顷【分析】（1）根据表中的数据，在坐标轴中描出各点即可；（2）观察（1）中的图像，判断问题所适用的函数模型，并用待定系数法确定函数解析式；（3）把25x =代入（2）求得的函数解析式，求出的函数值即为答案；【详解】解:（1）描点作图如图（2）从图中可以看出，效据点大致都落在条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y （公顷）最大积雪深度x （crn ）满足一次函数模型：y a bx =+取其中的两组数据()10.4,21.1，()24.0,45.8代入y a bx =+得21.110.445.824a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得 2.21.8a b ≈⎧⎨≈⎩. 这样我们得到一个函数模型： 2.2 1.8y x =+（3）由25x =得 2.2 1.82547.2y =+⨯=，即当积雪深度为25cm 时，可以灌溉土地约47.2公顷.【点睛】本题考查了散点图以及求直线方程，解题的关键是把表中的数据处理，构建模型，属于基础题.12．图见解析14.40.20x F F .【分析】本题可结合表中数据绘出函数图像，然后令x kF b ，取点1,14.1、4,57.5代入函数解析式进行计算，即可得出结果.【详解】如图，结合表中数据绘出函数图像：结合函数图像选择一次函数建立函数模型设函数解析式为x kF b取点1,14.1、4,57.5代入函数解析式中得14.157.54k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得14.4k0.2b故函数解析式为14.40.20x F F，经检验满足题意.。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(66)

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为( )A．y=[x10]B．y=[x+310]C．y=[x+410]D．y=[x+510]2.函数y=e x−e−xe x+e−x的图象大致为( ) A．B．C ．D ．3. 人们用分贝（dB ）来划分声音的等级，声音的等级 d (x )（单位：dB ）与声音强度 x （单位：W/m 2）满足 d (x )=9lgx 1×10−13，一般两人小声交谈时，声音的等级约为 54 dB ，在有 40 人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的 10 倍，则老师声音的等级约为 ( ) A ． 36 dB B ． 63 dB C ． 72 dB D ． 81 dB4. 给出下列各式：① √a n n =a ；② (a 2−3a +3)0=1；③ √−33=√−326．其中正确的个数是( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 35. 下列函数是幂函数的是 ( ) A ． y =2x 2 B ． y =x 3+x C ． y =3xD ． y =x 126. 化简 √(log 23)2−4log 23+4+log 213 得 ( ) A ． 2B ． 2−2log 23C ． −2D ． 2log 23−27. 已知 a =(13)13，b =(12)12，c =log 2π4，则 ( )A ． a >b >cB ． b >a >cC ． c >b >aD ． c >a >b8. 对于 a >0，a ≠1，下列结论中：（1）a m +a n =a m+n ；（2）(a m )n =a m n；（3）若 M =N ，则 log a M =log a N ；（4）若 log a M 2=log a N 2，则 M =N ．正确的结论有 ( ) A ． 3 个 B ． 2 个 C ． 1 个 D ． 0 个9. 已知 a =0.72021，b =20210.7，c =log 0.72021，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ． a >b >cB ． a >c >bC ． b >a >cD ． b >c >a10. 计算 (2a −3b −23)×(−3a −1b )÷(4a −4b −53)= ( ) A ． −32b 2B ． 32b 2C ． −32b 73D ． 32b 73二、填空题（共6题）11. 若函数 f (x )=∣2x −2∣−b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是．12. 823×(1681)−34= ．13. 某商品降价 10%，欲恢复原价，应提价的百分比是． 14. 3log 34−2723= ．15. 已知 1≤lg (xy )≤4，−1≤lg xy ≤2，则 lg x 2y 的取值范围是．16. 已知方程 2x 2+x −5=0 的两个实根为 x 1，x 2，则 ∣x 1−x 2∣=三、解答题（共6题）17. 把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式．(1) 5−2=125； (2) 8x =30； (3) 3x =1； (4) log 139=−2；(5) x =log 610； (6) x =ln 13；(7) 3=lgx ．18. 已知函数 f (x )={∣x +1∣,x ≤0(x −1)2,x >0．(1) 在平面直角坐标系内作出函数 y =f (x ) 的大致图象；(2) 试找出一组 b 和 c 的值，使得关于 x 的方程 f 2(x )+b ⋅f (x )+c =0 有 7 个不同的实数解，并说明理由．19. 我国个人所得税法规定，公民全月收入所得不超过 5000 元不必纳税，超过 5000 元的部分为全月应纳税金额．若应纳税金额在 (0,3000]（元）之间税率为 3%，在 (3000,12000]（元）之间税率为 10%．某职工某月纳税 160 元，求他的当月工资收入．20. 零点存在定理一般地，如果函数 y =f (x ) 在区间 [a,b ] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f (a )⋅f (b )<0，那么在区间 (a,b ) 内至少存在一个实数 c ，使得 f (c )=0，即 y =f (x ) 在 (a,b ) 上至少有一个零点．如何理解零点存在性？21. 某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费 1.5 元；公司B 在用户每次上网的第 1 小时内收费 1.7 元，第 2 小时内收费 1.6 元，以后每小时减少 0.1 元（若用户一次上网时间超过 17 小时，按 17 小时计算）．假设该同学一次上网时间总和小于 17 小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？22. 有一条长为 120 米的步行道 OA ，A 是垃圾投放点 ω1，若以 O 为原点，OA 为 x 轴正半轴建立直角坐标系，设点 B (x,0)，现要建设另一座垃圾投放点 ω2(t,0)，函数 f t (x ) 表示与 B 点距离最近的垃圾投放点的距离．(1) 若 t =60，求 f 60(10)，f 60(80)，f 60(95) 的值，并写出 f 60(x ) 的函数解析式；(2) 若可以通过 f t (x ) 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点ω2建在何处才能比建在中点时更加便利？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】根据规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表，即余数分别为 7，8，9 时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为 y =[x+310]．故选B ．【知识点】建立函数表达式模型2. 【答案】B【解析】因为 f (−x )=e −x −e x e −x +e x =−e x −e −xe −x +e x =−f (x )，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除A ．当 x =1 时，y >0，所以排除C ．因为 y =e x −e −x e −x +e x =e x +e −x −2e −xe −x +e x=1−2e −xe −x +e x =1−2e 2x +1，所以当 x →+∞ 时，y →1，所以排除D ．故选：B ．【知识点】函数的奇偶性、指数函数及其性质3. 【答案】B【知识点】对数的概念与运算4. 【答案】B【解析】对于① √a n n=a ，当 n 为偶数时，结果应该是 ∣a ∣；当 n 为奇数时，结果是 a ，故错误．对于② (a 2−3a +3)0=1，因为 a 2−3a +3>0 恒成立，所以等式成立，故正确．对于③ √−33=√−326，偶数次根式下被开方数不能是负数，故错误．【知识点】幂的概念与运算5. 【答案】D【解析】 y =2x 2，y =x 3+x 不是幂函数；y =3x是指数函数；y =x 12是幂函数．【知识点】指数函数及其性质6. 【答案】B【知识点】对数的概念与运算7. 【答案】B【解析】因为 a =3−13，b =2−12，ab=3−132−12<3−132−13=(23)13<1，所以 a a >c ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质8. 【答案】D【知识点】幂的概念与运算、对数的概念与运算9. 【答案】C【解析】因为 0<0.72021<0.70=1，20210.7>20210=1，log 0.72021<log 0.71=0，所以 b >a >c ．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质10. 【答案】A【解析】原式=−6a −4b 134a −4b −53=−32b 2．【知识点】幂的概念与运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (0,2)【解析】由 f (x )=∣2x −2∣−b =0，得 ∣2x −2∣=b ．在同一平面直角坐标系中画出 y =∣2x −2∣ 与 y =b 的图象，如图所示，则当 0<b <2 时，两函数图象有两个交点，从而函数 f (x )=∣2x −2∣−b 有两个零点．【知识点】函数的零点分布12. 【答案】272【解析】 823×(1681)−34=(23)23×(23)4×(−34)=22×(23)3=272.【知识点】幂的概念与运算13. 【答案】11.1%【解析】由题知所求百分比为 (11−0.1−1)×10%≈11.1%．【知识点】函数模型的综合应用14. 【答案】 −5【解析】本题考查对数指数运算，原式=4−9=−5 . 【知识点】幂的概念与运算、对数的概念与运算15. 【答案】 [−1,5]【解析】由 1≤lg (xy )≤4，−1≤lg xy ≤2 得 1≤lgx +lgy ≤4，−1≤lgx −lgy ≤2，而 lgx 2y=2lgx −lgy =12(lgx +lgy )+32(lgx −lgy )，所以 −1≤lg x 2y≤5．【知识点】对数函数及其性质16. 【答案】√412【知识点】函数的零点分布三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) −2=log 5125； (2) x =log 830； (3) x =log 31； (4) (13)−2=9；(5) 6x =10； (6) e x =13；(7) 103=x ．【知识点】对数的概念与运算18. 【答案】(1) 如图：(2) b =−32，c =12 满足条件．设 f (x )=t ，则 t 2+bt +c =0，故必有一个解为 t =1，另一个解在区间 (0,1) 上，才有方程 f 2(x )+b ⋅f (x )+c =0 有 7 个不同的实数解．其中 f (x )=1 有 3 个解，f (x )=a ∈(0,1) 有 4 个解．令 t 1=1，t 2=12，可得方程 x 2−32x +12=0，则 b =−32，c =12．【知识点】函数的零点分布、函数图象19. 【答案】设月工资收入为 x 元，则纳税额 y 与月工资 x 之间的函数表达式为y ={0,0≤x ≤5000(x −5000)×3%,5000<x ≤8000(x −8000)×10%+3000×3%,8000<x ≤17000，所以当 y =160 时，x =8700 元．【知识点】函数模型的综合应用20. 【答案】（1）当函数 y =f (x ) 同时满足：①函数的图象在 [a,b ] 上是连续曲线；② f (a )⋅f (b )<0．则可判定函数 y =f (x ) 在区间 (a,b ) 内至少有一个零点，但是不能明确肯定有几个零点，也不是说可能有 1 个、 2 个、 3 个、 4 个、 ⋯⋯ 零点．（2）不满足零点存在性定理并不能说明不存在零点，即当函数 y =f (x ) 的图象在 [a,b ] 上是连续的曲线，但是不满足 f (a )⋅f (b )<0 时，函数 y =f (x ) 在区间 (a,b ) 内可能存在零点，也可能不存在零点．【知识点】零点的存在性定理21. 【答案】假设一次上网 x 小时，则公司A 收取的费用为 1.5x 元，公司B 收取的费用为x (35−x )20元．若能够保证选择A 比选择B 费用少，则x (35−x )20>1.5x (0<x <17)，整理得 x 2−5x <0，解得 0<x <5，所以当一次上网时间在 5 小时以内时，选择公司A 的费用少；超过 5 小时，选择公司B 的费用少；上网 5 小时，公司A ，B 的费用一样．【知识点】函数模型的综合应用22. 【答案】(1) 投放点 ω1(120,0)，ω2(60,0)，f 60(10) 表示与 B (10,0) 距离最近的投放点（即 ω2）的距离，所以 f 60(10)=∣60−10∣=50，同理分析：f 60(80)=∣60−80∣=20，f 60(95)=∣120−95∣=25．由题意，f 60(x )={∣ 60−x∣ ,∣ 120−x ∣}min ，所以分类讨论，当 ∣60−x ∣≤∣120−x ∣，即 x ≤90 时，f 60(x )=∣60−x ∣；当 ∣60−x ∣>∣120−x ∣，即 x >90 时，f 60(x )=∣120−x ∣；综上，f 60(x )={∣60−x ∣,x ≤90∣120−x ∣,x >90．(2) 由题意，f t (x )={∣ t −x∣ ,∣ 120−x ∣}min ，所以 f t (x )={∣t −x ∣,x ≤0.5(120+t )∣120−x ∣,x >0.5(120+t )，f t (x ) 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以 S =12t 2+14(120−t )2=34t 2−60t +3600，由题意，S <S (60)，即 34t 2−60t +3600<2700，解得 20<t <60，即垃圾投放点 ω2 建在 (20,0) 与 (60,0) 之间时，比建在中点时更加便利．【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用。

高一数学(必修一)《第四章-指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第四章指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：①如一次性购物不超过200元不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款176元和441元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（）A ．608元B ．591.1元C ．582.6元D ．456.8元2．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A ．4329dB ．30323dC ．60150dD ．90670d3．函数()f x = ）A ．()1,0-B ．(),1-∞-和()0,1C ．()0,1D ．(),1-∞-和()0,∞+4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（）A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<5．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（）A ．2p q +；B ．()()1112p q ++-；C ；D 1．6．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C （单位：3mg/m ）随时间t （单位：h ）的变化关系可近似的用函数()()()210010419t C t t t t +=>++刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h7．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：以下函数中最符合变量y 与x 的对应关系的是（）A ．129y x =+B ．245y x x =-+C ．112410x y =⨯- D ．3log 1y x =+ 8．某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该植物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间x (x ∈N )(单位：月)的关系有三种函数模型x y pa =(0p >，1a >)､log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)可供选择，则下列说法正确的是（）A ．应选x y pa =(0p >，1a >)B ．应选log a y m x =(0m >，1a >)C ．应选y nx α=(0n >，01α<<)D ．三种函数模型都可以9．已知函数()21,1,8, 1.x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若()8f x =，则x =（） A ．3-或1 B ．3- C ．1 D ．310．函数e 1()sin 2e 1x x f x x +=⋅-的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．二、填空题11．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G 的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．若不改变信道带宽W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递速率C 大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：2log 3 1.58≈和2log 5 2.32≈）12．已测得(,)x y 的两组值为(1,2)和(2,5)，现有两个拟合模型，甲21y x =+，乙31y x =-.若又测得(,)x y 的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．13．半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD ，设梯形的上底2BC x =，则梯形ABCD 的最长周长为_________．三、解答题14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？15．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (百元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为212800200y x x =-+． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为y x） (2)该单位每月处理成本y 的最小值和最大值分别是多少百元？ 16．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在线段AB 上，点Q 在线段DC 上．(1)当2PB AP =，且点P 关于y 轴的对称点为M 时，求PM ；(2)当点P 是面对角线AB 的中点，点Q 在面对角线DC 上运动时，探究PQ 的最小值．17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X （单位： t ，100150)X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[100X ∈，110），则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100，110)的频率），求T 的分布列．18．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入()0a a >万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（*x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为275x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m 同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x （N x +∈且1x >）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为()20x x +万元，该项目每年运行的总收入为50万元．(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出．假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．20．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5％．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ekt P P -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80％，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，求正整数n 的最小值．21．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x （0200x <，N x ∈）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为11402y x =+万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为2264002080101y x x =+-万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)a y b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．四、多选题23．函数()()22x x af x a R =+∈的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．五、双空题24．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数;t 表示时间,单位:小时;y 表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.25．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x ，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据题意求出付款441元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.【详解】由题意得购物付款441元，实际标价为10441=4909元如果一次购买标价176+490=666元的商品应付款5000.9+1660.85=591.1元.故选：B.2．【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''2r r '= 结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '由题意知2r r '= 10753T d '= 所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=故选：B.3．【答案】B【分析】分别讨论0x ≥和0x <，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当0x ≥时()f x 210x -+≥解得11x -≤≤，又21y x =-+为开口向下的抛物线，对称轴为0x =，此时在区间()0,1单调递减当0x <时()f x == ()21y x =+为开口向上的抛物线，对称轴为1x =-，此时在(),1-∞-单调递减综上所述：函数()f x =(),1-∞-和()0,1.故选：B.4．【答案】A【分析】首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据0y >，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.【详解】设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元则290,(10)(40020)1040020200a x y x x x x =+=+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加，则必须使0y >，即2100x x -<，得010,9090100x x <<∴<+<，所以a 的取值为90100a <<.故选：A5．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++解得11x =，21x =因为20x <不合题意，舍去故选D ．6．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值可得．【详解】依题意，0t >，所以11t +>所以()()()()()()221001100110010010164191012116121t t C t t t t t t t ++===≤==++++++++++ 当且仅当1611t t +=+，即t ＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h ．故选：A ．7．【答案】D 【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢A 选项，函数129y x =+增长速度不变，不符合题意. BC 选项，当3x ≥时，函数245y x x =-+、112410x y =⨯-增长越来越快，不符合题意. D 选项，当3x ≥时，函数3log 1y x =+的增长速度越来越慢，符合题意.故选：D8．【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数的增长速度结合题意即可得结果.【详解】该植物生长蔓延的速度越来越快，而x y pa =(0p >，1a >)的增长速度越来越快 log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)的增长速度越来越慢故应选择x y pa =(0p >，1a >).故选：A.9．【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.【详解】根据题意得x ≤1x2−1=8或188x x >⎧⎨=⎩ 解得3,x =-故选：B10．【答案】B【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x 趋近0时判断排除得选项.【详解】解：()e 1sin 2e 1x x f x x +=⋅-的定义域为()(),00,∞-+∞()()()e 1e 1sin 2sin 2e 1e 1x x x xf x x x f x --++-=⋅-=⋅=⎡⎤⎣⎦-- ()f x ∴是偶函数，排除A ，C . 又0x >且无限接近0时，101x x e e +>-且sin 20x >，∴此时()0f x >，排除D故选：B .11．【答案】2.5【分析】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，根据题意求出21C C ，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可【详解】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，则由题意可知()122log 111log 12C W W =+= ()222log 1499log 500C W W =+= 所以()()232322222222122222log 25log 500log 2log 523log 523 2.328.96 2.5log 12log 2log 32log 32 1.58 3.58log 23C W C W ⨯+++⨯====≈=≈+++⨯所以最大信息传递速率C 会提升到原来的2.5倍．故答案为：2.512．【答案】甲【分析】将3x =分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.【详解】对于甲：3x =时23110y =+=，对于乙：3x =时8y =因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲13．【答案】5【分析】计算得出AB CD ==ABCD 的周长为y，可得出22y x =++()0,1t，可得出224y t =-++，利用二次函数的相关知识可求得y 的最大值.【详解】过点B 、C 分别作BE AD ⊥、CF AD ⊥垂足分别为E 、F则//BE CF ，//BC EF 且90BEF ∠=，所以，四边形BCFE 为矩形所以2EF BC x ==AB CD =，BAE CDF ∠=∠和90AEB DFC ∠=∠= 所以，Rt ABE Rt DCF ≅所以12AD EF AE DF x -===-，则OF OD DF x =-= CF =AB CD ∴===设梯形ABCD 的周长为y ，则2222y x x =++=++其中01x <<令()0,1t =，则21x t =-所以()2222212425y t t t ⎛=+-+=-++=-+ ⎝⎭所以，当t =y 取最大值，即max 5y =. 故答案为：5.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．14．【答案】(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.【分析】（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得(502)S x x =-，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-由题意得(502)300x x -=解得1215,10x x ==50225x -≤12.5x ∴≥15x ∴=所以，AB 的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得()()22502250212.5312.5,12.525S x x x x x x =-=-+=--+≤<12.5x ∴=时， S 取得最大值，此时312.5S =所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．15．【答案】(1)400吨 (2)最小值800百元，最大值1400百元【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为18002200y x x x =+-，显然[]400,600x ∈由基本不等式得：1800222200y x x x =+-≥= 当且仅当1800200x x =，即400x =时，等号成立故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）212800200y x x =-+ 对称轴220012200x -=-=⨯ 函数212800200y x x =-+在[400，600]单调递增当400x =时，则2min 14002400800800200y =⨯-⨯+= 当600x =时，则2max 160026008001400200y =⨯-⨯+= 答：该单位每月处理成本y 的最小值800百元，最大值1400百元.16．【答案】【分析】（1）根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标，再由2PB AP =求得121,,33OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到P 与M 的坐标，再利用两点距离公式求解即可；（2）由中点坐标公式求得111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据题意设点(,1,)Q a a ，最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求PQ 的最小值.（1）所以()22211222131133333PM ⎛⎫⎛⎫=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）因为点P 是面对角线AB 的中点，所以111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而点Q 在面对角线DC 上运动，故设点(,1,)Q a a[0,1]a ∈则(PQ a ===[0,1]a ∈所以当34a =时，PQ 取得最小值33,1,44Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 17．【答案】(1)80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧=⎨∈⎩(2)0.7(3)59400 【分析】（1）由题意先分段写出，当[100x ∈，130)和[130x ∈，150)时的利润值，利用分段函数写出即可；（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150x ，再由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，由此估计得出结论；（3）先求出利润与X 的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．（1）解：由题意得，当[100X ∈，130)时500300(130)80039000T X X X =--=-当[130X ∈，150]时50013065000T =⨯=80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩（2）解：由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ．由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7；（3）解：由题意及（1）可得：所以T 的分布列为：18．【答案】(1)最多有75人 (2)存在 7m =【分析】（1）根据题目要求列出方程求解即可得到结果（2）根据题目要求①先求解出m 关于x 的取值范围，再根据x 的取值范围求得m 的取值范围，之后根据题目要求②列出不等式利用基本不等式求解出m 的取值范围，综上取交集即可（1）依题意可得调整后研发人员有()100x -人，年人均投入为()14%x a +万元则()()10014%100x x a a -+≥，解得075x ≤≤.又4575x ≤≤，*x ∈N 所以调整后的奇数人员最多有75人.（2）假设存在实数m 满足条件.由条件①，得225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+. 又4575x ≤≤，*x ∈N 所以当75x =时，2125x +取得最大值7，所以7m ≥. 由条件②，得()()210014%25x x x a a m x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，不等式两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++因为10033725x x ++≥=，当且仅当10025x x =，即50x =时等号成立，所以7m ≤. 综上，得7m =.故存在实数m 为7满足条件.19．【答案】(1)第4年 (2)选择方案②，理由见解析【分析】（1）设项目运行到第x 年的盈利为y 万元，可求得y 关于x 的函数关系式，解不等式0y >可得x 的取值范围，即可得出结论；（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.（1）解：设项目运行到第x 年的盈利为y 万元则()25020813081=-+-=-+-y x x x x x由0y >，得230810x x -+<，解得327x <<所以该项目运行到第4年开始盈利．（2）解：方案①()22308115144=-+-=--+y x x x当15x =时，y 有最大值144．即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为14456200+=万元方案②818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当81x x=，即9x =时，等号成立．即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12992200⨯+=万元.综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．20．【答案】10【分析】由题可得()400180%e k P P --=，求得ln 54k =，再由000.5%e kt P P -≥可求解. 【详解】由题意，前4个小时消除了80％的污染物因为0e kt P P -=⋅，所以()400180%ek P P --= 所以40.2e k -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =则由000.5%e kt P P -≥，得ln 5ln 0.0054t ≥- 所以4ln 20013.2ln 5t ≥≈ 故正整数n 的最小值为14410-=．21．【答案】(1)2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.【分析】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.（1）当070x <<，*N x ∈时 211100406006060022W x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭；当70200x ≤≤，*N x ∈时26400208064001001016001480W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴.2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）①当070x <<，*N x ∈时 221160600(60)120022W x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，y 取得最大值，最大值为1200万元.②当70200x ≤≤，*N x ∈时6400148014801320W x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当6400x x =，即80x =时，y 取得最大值1320∵13201200>∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.22．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元(3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围．（1）由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠ ()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)a y b a x =+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．（2）得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．（3）令()()()1701010210f x g x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增 ∴当10x =+()g x取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥23．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项.【详解】当0a =时()2x f x =，图象A 满足；满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立.故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.24．【答案】2ln2 1024【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=12e k ,∴k=2ln 2,∴y=e 2t ln 2 当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024.25．【答案】1 1212【详解】S ＝(4＋x) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x)＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252,故填1和252.。

人教A版高中数学必修第一册《第四章指数函数与对数函数》复习参考题及答案

(2)令 ,即方程 ,设 ,用二分法可求得函数的零点,即所求交点的横坐标约为2.5 .
(第3 (1)题)
4.观察图象可知,当时,1个实数解;当时,2个实数解;当时,3个实数解.
(第4题)
5. (1) A.(2) D.(3) .
6. (1)因为 ,
所以 .
(2)因为 ,
所以 .
(3)因为 ,
所以
(1)写出函数的一个解析式;
(2)提出一个能满足函数图象变化规律的实际问题.
答案：
1. (1) C.(2) .(3) .
2. (1) . (2) . (3) . (4) . (5) . (6) .
3. (1)令 ,由函数图象可知,它分别在和(2,3)内与轴有交点,所以方程的最大的根应该在(2,3)内.用二分法可得原方程的最大根约为2.515625 .
7.函数 ,其图象顶点的横坐标为 .
由已知图象可知, ,则 .
8.设核电站爆炸时锶90最初的量为 .依题意,经年后,锶90的量变为 ,即 .因为 ,所以,800年后原有的锶90还剩0.000000204%.
9. (1)由可知,当时, ;当 5时, ,于是有 ,解得 ,那么 .所以,当时, ,即后还剩下的污染物.
(2)因为函数的定义域为(-1,1),且 ,所以函数是偶函数.
12. (1)因为函数分别在和上是减函数,则函数分别在和上是增函数,函数也分别在和上是增函数;又因为函数在上是增函数,则函数在上也是增函数,值域为 .所以,函数在上是增函数.证明如下:
在上任取 ,且 ,则 ,由可知 ,则 ,所以 ,即 .所以, 都是上的增函数.
8. 1986年4月26日,乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸,核泄漏导致事故所在地波严重污染.主要的核污染物是锶90 ,它每年的衰减率为 .专家估计,要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年,到那时原有的锶90还剩百分之几?

人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数综合检测基础卷(含详细解析)

第4章指数函数与对数函数（原卷版）本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知75x =，则x 的值为ABC ．D ．2．函数f (x )＝2x 与g (x )＝－2－x 的图象关于A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称3．已知32log log (0)x =，那么x =A ．1B ．2C ．3D ．44．设0m >，下列计算中正确的是A ．330m m -=B ．4334m m m ÷=C ．2323m m m ⋅=D ．251542()m m--=5．设a ，1b >，且满足1log 2>a b ，则A ．a b C ．2a b <D ．2a b >6．若lg 2,lg 3a b ==，则12log 5=A ．12a a b -+B ．2a b a b++C ．12a a b-+D ．2a b a b++7．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是A ．22log log a b ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11a b<D ．22a b <8．已知函数21,2()5,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程()0f x m -=恰有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围是A ．(0,1)B ．[1,3)C ．(1,3){0}⋃D ．[1,3){0}⋃二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设0a >，则下列运算中正确的是A ．4334a a a ⋅=B ．5233a a a÷=C ．55330a a-⋅=D ．5335a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭10．若10a ＝4，10b ＝25，则A ．a +b ＝2B ．b ﹣a ＝1C ．ab ＞8lg 22D ．b ﹣a ＞lg611．在同一坐标系中，()f x kx b =+与()log b g x x =的图象如图，则下列关系不正确的是A ．0k <，01b <，1b >C ．()100f x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，()()00g x x >>D ．1x >时，()()0f xg x ->12．已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，实数a ，b ，()c a b c <<满足()()()0f a f b f c <，若0x 是函数()f x 的一个零点，则下列结论中可能成立的是A ．0x a 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13112220.160.363-⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭____________．14．已知函数()2120log 0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩，，，则()()2f f -=____________．15．已知1log ,log 32aa m n ==，求2m n a +的值____________．16．函数()2()445f x xx =--的单调递减区间为____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）120.5037(27)0.1(2)39π--++-；（2）2115113366221()(3)()3a b a b a b ⋅-÷．18．（12分）计算求值：（1）()11.530.0014-+（2）(42log 923lg 2lg 250082log 9log 4⨯+⨯++⋅．19．（12分）已知函数()154262xx f x +=-⋅-，其中[]0,3x ∈．（1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若实数a 满足()0f x a +≥恒成立，求实数a 的取值范围．20．（12分）已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若3()25f =，求使()0f x >成立的x 的集合．21．（12分）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y （单位dB ），定义0lgIy I =10，其中I 为声场中某点的声强度，其单位为/W m 2（瓦/平方米）12010I -=/W m 2为基准值．（1）如果一辆小轿车内声音是50dB ，求相应的声强度；（2）如果飞机起飞时的声音是120dB ，两人正常交谈的声音是60dB ，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍?22．（12分）已知函数()12(log 94343)x x f x +=-⨯+，函数()222log 7g x x mx =-+．（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）若[][]121,2,1,2x x ∀∈∃∈，使()()12f x g x ≥，求实数m 的取值范围．第4章指数函数与对数函数（解析版）本卷满分150分，考试时间120分钟。

(新教材)人教A版-数学必修第一册第四章指数函数与对数函数测试题含答案

绝密★启用前（新教材）人教A 版-数学必修第一册第四章指数函数与对数函数测试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟第Ⅰ卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分) 1.下列各式中，根式与分数指数幂的互化，正确的是() A ．－√x ＝(−x)12(x >0)B ．√y 26＝y 13(y <0)C ．x −34＝√(1x )34(x >0)D ．x −13＝－√x 3(x ≠0)2.下列各式中成立的是( )A ． (m n )7＝m 7n 17B ．√(−3)412＝√−33C ．√x 3+y 34＝(x ＋y)34D ．√√93＝√333.当a >1时，函数f (x )＝1＋2a x −1是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数4.若函数f (x )＝a －22+1是奇函数，则a 的值为( )A ． 0B ．－1C ． 1D ． 25.若log 72＝a ，log 75＝b ，则lg5用a ，b 表示为( )A ．abB ．ba+bC．1+aba+bD．ab1+ab6.已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为() A．a＋bB．a－bC．abD．ab7.已知x=1log1213+1log1513，则x的值属于区间()A． (－2，－1)B． (1,2)C． (－3，－2)D． (2,3)8.已知镭经过100年后，剩余质量为原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩余量为y，则()A．y＝0.957 6xB．y＝0.9576x100C．y＝1－0.957 6xD．y＝0.957 6100x9.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为如图所示的()A． B． C． D．10.下列函数中增加得最快的是()A．y＝2xB．y＝3xC．y＝4xD．y＝e x11.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A．上午10∶00B．中午12∶00C．下午4∶00D．下午6∶0012.下表是函数y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最符合的函数模型是()A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数第Ⅱ卷二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.函数f(x)＝2x＋2－x的奇偶性是________．14.若函数y＝a·2x−1−a为奇函数，则a的值为________．2x−115.如图是某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积会超过30 m2；③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延至2 m2、3 m2、6 m2所需的时间分别为t1、t2、t3则有t1＋t2＝t3；其中正确的说法有________．(请把正确的说法的序号都填在横线上)16.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，有以下结论： ①当x ＞1时，甲走在最前面；②当x ＞1时，乙走在最前面；③当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________．(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分)三、解答题(共6小题, 共70分)17.计算：(√23×√3)6＋(√2√2)43－4×(1649)−12－√24×80.25－(－2 011)0. 18.计算：lg 5＋lg 2－(－13)－2＋(√2－1)0＋log 28.19.已知f (x )＝12−1＋a 是奇函数，求a 的值及函数值域．20.已知奇函数f (x )，偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝ax (a >0且a ≠1)，求证：f (2x )＝2f (x )·g (x )． 21.某林场现有木材30 000 m 3，如果每年平均增长5%，经过x 年，树林中有木材y m 3.(1)写出木材储量y (m 3)与x 之间的函数关系式；(2)经过多少年储量不少于60 000 m 3？(结果保留一个有效数字，参考数据：lg 2≈0.3，lg 105≈2.02)22.设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比．一天购票人数为25人时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100人时，该旅游景点需另交保险费200元．设每天的购票人数为x 人，赢利额为y 元．(1)求y 与x 之间的函数关系；(2)该旅游景点希望在人数达到20人时不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元(取整数)？注：①利润＝门票收入－固定成本－变动成本；②可选用数据：√2＝1.41，√3＝1.73，√5＝2.24.答案1.【答案】C【解析】A.－√x ＝－x 12(x >0)，故A 错；B ．√y 26＝(y 2)16，故B 错；C ．x −34＝√(1x)34(x >0)，故C 正确； D ．x −13＝1x 13＝√x 3，故D 错．故选C.2.【答案】D【解析】(m n )7＝m 7n 7＝m 7n －7≠m 7−n 17； √(−3)412＝√3412＝√33≠√−33；＝√x 3+y 34＝(x 3+y 3)14≠(x ＋y)34；√√93＝(32)13×12＝313＝√33. 故选D.3.【答案】A【解析】由ax －1≠0得x ≠0，∴此函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又∵f (x )＝1＋2a x −1＝a x +1a x −1， ∴f (－x )＝a −x +1a −x −1＝(a −x +1)a x (a −x −1)a x ＝1+a x 1−a x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )为奇函数．4.【答案】C【解析】∵f (0)＝a －220+1＝a －1＝0，∴a ＝1，故选C.5.【答案】B【解析】由换底公式可得：a ＝lg2lg7，b ＝lg5lg7，∴a b ＝lg2lg5＝1−lg5lg5，∴lg 5＝ba+b . 6.【答案】D【解析】∵ln 2＝a ，ln 3＝b ，又∵log 32＝ln2ln3，∴log 32＝ab .故选D.7.【答案】D【解析】x=log 1312+log 1315＝log 32＋log 35＝log 310，而32<10<33，所以，x ∈(2,3)，答案为D. 8.【答案】B【解析】注意95.76%是按100年为单位计算的．9.【答案】D【解析】设原来森林蓄积量是a ，则a (1＋10.4%)y ＝ax,1.104y ＝x ，所以y ＝log 1.104x ，故选D.10.【答案】D【解析】由于函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 是正比例函数，函数y ＝e x 是指数函数，又指数函数的增长速度最快，故选D.11.【答案】C【解析】当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ，把(4,320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x .当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)代入，得{4k 2+b =320，20k 2+b =0，解得{k 2=−20，b =400，∴y ＝400－20x .∴y ＝f (x )＝{80x ，0≤x ≤4，400−20x ，4<x ≤20，由y ≥240，得{0≤x ≤4，80x ≥240或{4<x ≤20，400−20x ≥240，解得3≤x ≤4或4<x ≤8，∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4∶00.故选C.12.【答案】C【解析】画出散点图，如图所示．随着自变量增加，函数值的增量是快速的，故为指数函数模型．故选C.13.【答案】偶函数【解析】定义域为R ，∵f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．14.【答案】－12【解析】∵函数y ＝a·2x −1−a2x −1，∴y ＝a －12x −1. 由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12−x −1＋a －12x −1＝0，∴2a ＋1−2x1−2＝0，即a ＝－12. 15.【答案】①②④【解析】∵其关系为指数函数，图象过(4,16)点，∴指数函数的底数为2，故①正确；当t ＝5时，s ＝32＞30，故②正确；4对应的t ＝2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26，∴有t 1＋t 2＝t 3，故④正确．综上可知，①②④正确．故答案为①②④.16.【答案】③④⑤【解析】路程fi (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系是f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型．当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，∴命题①不正确；当x ＝4时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面，命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为③④⑤.17.【答案】原式＝22×33＋(234×43－4×74－214×234－1)＝4×27＋2－7－2－1＝100. 18.【答案】原式＝lg 10－9＋1＋3＝1－9＋1＋3＝－4.19.【答案】①∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )对定义域内的每一个x 都成立．即－[12x −1＋a ]＝12−x −1＋a ，∴2a ＝－12−x −1－12x −1＝1，∴a ＝12.②∵2x －1≠0，∴x ≠0，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵u ＝2x －1>－1且u ≠0，∴1u <－1或1u>0， ∴12x −1＋12<－12或12x −1＋12>12，∴f (x )的值域为(－∞，－12)∪(12，＋∞)．20.【答案】∵f (x )＋g (x )＝ax ，①∴f (－x )＋g (－x )＝a －x .∵f (x )，g (x )分别为奇函数、偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．∴－f (x )＋g (x )＝a －x .②解由①，②所组成的方程组，得f (x )＝a x −a −x 2，g (x )＝a x +a −x 2. f (x )·g (x )＝a x −a −x 2·a x +a −x 2＝a 2x −a −2x 4＝12f (2x )，即f (2x )＝2f (x )·g (x )，故原结论成立． 21.【答案】(1)y ＝30 000(1＋0.05)x (x ∈N )．(2)由题意可得30 000(1＋0.05)x ≥60 000.即(1＋0.05)x ≥2.两边取对数得x ≥lg2lg1.05＝15.答经过15年木材储量可达60 000 m3.22.【答案】(1)依题意，设变动成本y1＝k√x，当x＝25时，有30×25－500－k√25＝0⇒k＝50.故y＝30x－500－50√x(0＜x≤100，x∈N*)；当x＞100时，y＝30x－500－50√x－200＝30x－50√x－700.∴y＝{30x−50√x−500(0<x≤100，x∈N∗)，30x−50√x−700(x>100，x∈N∗).(2)设每张门票至少需要a元，则有20a－50√20－500≥0⇒20a≥50×2√5＋500⇒a≥5√5＋25＝5×2.24＋25＝36.2，又a取整数，故取a＝37.故每张门票至少要37元．。

高一数学(必修一)《第四章-对数函数的概念》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第四章对数函数的概念》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列函数是对数函数的是（）A ．log (2)a y x =B ．2log 2x y =C ．2log 1y x =+D ．lg y x =2．已知对数函数()f x 的图象经过点21,9A ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点则（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a b c <<3．对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（）A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x4．与函数2y x =表示同一函数是（）A ．2y =B ．u =C ．y =D ．22n m n=5．函数y 的定义域是（）A ．(]0,4B ．(],4-∞C ．()0,∞+D ．()0,1．6．下列各组函数是同一函数的是（）①()f x ()g x = ②()f x x =与()g x =③()0f x x =与01()g x x=； ④2()21f x x x =--与2()21g t t t =-- A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④7．下列各式为y 关于x 的函数解析式是（）A ．()3y x x =--B ．y =．1,01,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩ D ．0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为实数8．若集合{}220,{03}A x x x B x x =--<=<<，则A B =（）A ．(0,2)B ．(2,3)C ．(1,0)-D ．(1,3)-二、填空题9．已知对数函数()()233log m f x m m x =-+，则m =______．10．已知函数(()ln 3f x x =+，若()f a m =，则()f a -=_________.三、解答题11．已知对数函数()2(1)()1log ,m f x m m x +=--求(27)f 的值.12．已知函数()()4log 65x x f x m =+⋅.(1)当1m =-时，求()f x 的定义域；(2)若()2f x ≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，求m 的取值范围.13．已知函数()()()ln 1ln 1f x ax x =++-的图象经过点()3,3ln 2.(1)求a 的值，及()f x 的定义域；(2)求关于x 的不等式()()ln 2f x x ≤的解集.14．判断下列函数的奇偶性：(1)()f x =(2)()22,0,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩；(3)()(2log f x x =．参考答案与解析1．【答案】D【分析】根据对数函数的定义即可判断.【详解】由对数函数的定义：形如log (0a y x a =>且1)a ≠的形式，则函数为对数函数，只有D 符合. 故选D【点睛】本题考查对数函数的定义，需掌握对数函数的定义.2．【答案】D【分析】求出对数函数()f x 的解析式，可求出t 的值，再利用中间值法可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】设()log m f x x =（其中0m >且1m ≠），则11log 299m f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，解得3m = 则()3log f x x =，所以3log 814t ==所以，0.10.10.1log log 4log 10a t ==<=和400.20.20.21t b ==<=且0b >，即01b <<0.10441c =>=，因此，c b a >>.故选：D.3．【答案】A【分析】设对数函数y ＝log ax (a >0，且a ≠1)，将点代入即可求解.【详解】设函数解析式为y ＝log ax (a >0，且a ≠1)．由于对数函数的图像过点M (125，3)所以3＝log a 125，得a ＝5.所以对数函数的解析式为y ＝log 5x .故选：A.4．【答案】B【分析】先化简所给函数，根据相同的函数定义域、对应关系相同即可求解.【详解】对于A ，函数22(0)y x x ==，与函数2()y x x R =∈的定义域不同，不是同一函数；对于B ，函数2()u v v R =∈，与函数2()y x x R =∈的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C ，函数2||()y x x R =∈，与函数2()y x x R =∈的定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数；对于D ，函数222(0)n m n n n==≠，与函数2()y x x R =∈的定义域不相同，不是同一函数．故选：B5．【答案】A【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式，由此求得函数的定义域.【详解】依题意2222log 0log 2log 40400x x x x x -≥≤=⎧⎧⇒⇒<≤⎨⎨>>⎩⎩所以()f x 的定义域为(]0,4.故选：A6．【答案】C【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得.【详解】①()f x =()g x ={}|0x x ≤，而()f x =-数不是同一函数；②()f x x =与()g x =R ，()g x x =这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；③()0f x x =与()01g x x =的定义域是{}|0x x ≠，并且()()g 1f x x ==，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；④()221f x x x =--与()221g t t t =--是同一函数；所以是同一函数的是③④.故选：C.7．【答案】C【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可【详解】A 项，()33y x x =--=定义域为R ，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，所以不是函数，A 项错误；B 项，y =2010x x -≥⎧⎨-≥⎩，无解，所以不是函数，B 项错误； C 项，1,01,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩定义域为R ，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C 项正确； D 项，0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为实数当1x =时，y 有两个值0，1与之对应，所以不是函数，D 项错误. 故选：C.8．【答案】A【分析】化简集合，然后利用交集的定义运算即得.【详解】由题可知(1,2),(0,3)A B =-=所以(0,2)A B ⋂=.故选：A ．9．【答案】2【分析】利用对数函数的解析式，求出m ，然后求解函数值即可．【详解】由对数函数的定义可得233101m m m m ⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩解得2m =．故答案为2．10．【答案】6m -+ ##6m -【分析】注意到((ln ln 0x x +-= ，将x a =- 代入函数解析式运算即可求解. 【详解】由已知：函数定义域为R，(ln 3m a =+和(ln 3a m =- 则()((()ln 3ln 3336f a a a m m -=-+=-+=--+=-+ 故答案为：6m -+11．【答案】3【分析】由2111011m m m m ⎧--=⎪+>⎨⎪+≠⎩可得m 的值，从而通过()f x 的解析式求()27f . 【详解】因为()f x 是对数函数，故2111011m m m m ⎧--=⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得2m = 所以()3log f x x = ()327log 273f ==12．【答案】(1)()0,∞+ (2)(]1,2-【分析】（1）根据对数函数、指数函数的性质计算可得；（2）依题意可得06516x x m <+⋅≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，参变分离可得6166555x xx m ⎛⎫⎛⎫-<≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的[]0,1x ∈恒成立，再根据指数函数的性质计算可得；（1）解：当1m =-时()()4log 65x x f x =-，令650x x ->即65x x >，即615x⎛⎫> ⎪⎝⎭，解得0x >，所以()f x 的定义域为()0,∞+. （2）解：由()2f x ≤对任意的[]0,1x ∈恒成立所以06516x x m <+⋅≤对任意的[]0,1x ∈恒成立即6166555x xx m ⎛⎫⎛⎫-<≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的[]0,1x ∈恒成立因为165x y =是单调递减函数，65xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是单调递减函数所以()16655xx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,1上单调递减，所以()()min 12g x g == 所以()65x h x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,1上单调递减，所以()()max 01h x h ==- 所以12m -<，即m 的取值范围为(]1,2-.13．【答案】(1)1a =，定义域为()1,+∞(2){112}xx <+∣ 【分析】（1）直接将()3,3ln 2代入函数解析式，即可求出参数a 的值，从而求出函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得()()2ln 1ln 2x x -，再根据对数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；（1）解：由题意可得()()ln 31ln 313ln2a ++-=，即()ln 312ln2a +=，所以314a +=解得1a =则()()()ln 1ln 1f x x x =++-. 由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得1x >. 所以()f x 的定义域为()1,+∞.（2）解：由（1）可得()()()()2ln 1ln 1ln 1,1f x x x x x =++-=->不等式()()ln 2f x x 可化为()()2ln 1ln 2x x -因为ln y x =在()0,+∞上是增函数所以20121x x x ⎧<-⎨>⎩ 解得112x <+.故不等式()()ln 2f x x 的解集为{}|112x x <+.14．【答案】(1)既是奇函数又是偶函数(2)奇函数(3)奇函数【分析】（1）求出函数定义域后化简函数式，由奇偶性定义可得；（2）根据奇偶性定义分类讨论判断()f x -与()f x 的关系；（3）确定定义域后，根据奇偶性定义及对数运算法则变形可得． (1)由2230,30,x x ⎧-≥⎨-≥⎩得x 2=3，解得x =即函数f (x )的定义域为{从而f (x因此f (－x )=－f (x )且f (－x )=f (x )∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0则f (－x )=－(－x )2－x =－x 2－x =－f (x )；当x >0时，－x <0则f (－x )=(－x )2－x =x 2－x =－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )=－f (x )成立 ∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为R f (－x )=log2[－x=log 2x)=log 2x )－1=－log 2x )=－f (x )故f (x )为奇函数．。

【精选练习】部编统编版高中数学必修A版第一册第四章《指数函数与对数函数》课后作业同步练习含答案解析

【新教材统编版】高中数学必修A版第一册第四章《指数函数与对数函数》全章课后练习（含答案解析）4.1.1 n 次方根与分数指数幂1．已知0a >=( )A ．12a B ．32a C ．23aD ．13a2．下列各式正确的是（）A a =B ．01a =C 4=-D π=-3．已知x 5=–243，那么x= A ．3 B ．–3 C ．–3或3 D ．不存在4= A.2 B.–2 C.±2D.45．已知0a > ）A ．712aB ．512a C ．56aD ．13a6．若2x ＝16，则x ＝________.7= __________． 8．计算：(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2．9．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（） A.12()x =-B.13x -=C.34(),0)x x y y -=≠13y =10．已知10m ＝2，10n ＝4，则3210m n -的值为( )A ．2B CD ．11．120.5233274()(3)(0.008)825--+⨯=______．12．计算题()1132081274e π-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．（1）计算：122303112163125π--⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知12,23x y ==参考答案1. 【答案】D23a=2113323aa aa-===.故选D.2. 【答案】D【解析】对于A=a，当a为负数时等式不成立，故A不正确；对于B，a0＝1，当a＝0时无意义，故B不正确；对于C4=-，左边为正，右边为负，故C不正确；对于Dπ=-，故D正确．故选：D．3. 【答案】B【解析】∵x5=–243，∴3==-．故选B．4. 【答案】A=|–2|=2，故选A．5. 【答案】B【解析】512a a>=====，故选B.6. 【答案】4【解析】函数2xy=在R上单调递增，又因为4216=，所以4x=.7. 【答案】3π-3π==-.8. 【答案】12【解析】(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2=(94)12−1−(23)3×23+(23)2=32−1=12．9. 【答案】C【解析】A．12x=-（x≥0），因此不正确；B．13x-=（x ≠0），因此不正确； C．)34,0x x y y -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭（xy ＞0），因此正确； D13y=，因此不正确．故选：C ． 10. 【答案】B【解析】3210m n -＝3221010m n ＝()()32121010m n ＝321224.答案：B11. 【答案】52【解析】120.5233274()(3)(0.008)825--+⨯，211332332314()3()2525⎛⎫⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭=-+⨯ 353422=-+=．故答案为：52．12. 【答案】2()1132081274e π-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11323221132⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5212233=--+=.13. 【答案】（1）41；（2）-【解析】（1）()()1221313322333112163(653125)1π------⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-+=36+9-5+1=41；（2==，将12,23x y==236==-=---4.1.2《无理指数幂及其运算》一、选择题1.（2019·四川高一期末）计算：21031()8(2019)2-++=（）A ．6B ．7C ．8D ．322．（2019·广西桂林十八中高一期中）化简√−2√23的结果是 A.−213B.−212C.−223D.−2323．（2019·福建高一期中）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（）A.12()x =-B.13x-=C.34(),0)x x y y -=≠13y = 4．已知234x-=，则x 等于( )A ．18±B ．8±C．4D ．±5．（2019·全国高一课时练习）=则实数a 的取值范围是( )A.a ∈RB.a ＝12 C.a ＞12D.a ≤126．（2019·全国高一课时练）化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果为( )A.1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭B.11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭D.12二、填空题7．化简1142a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭(a ，b ＞0)的结果是 8．（2019·北京师大附中高一期中）计算：化简552261a a a ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的结果是____________。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(39)

人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 对实数 a 和 b ，定义运算：a ⊗b ={a,a −b ≤1b,a −b >1，设函数 f (x )=(x 2−x )⊗(x −1)，x ∈R ，若函数 y =f (x )−c 恰有两个零点，则实数 c 的取值范围是 ( ) A ． (−1,1]∪[2,+∞) B ． (−2,−1]∪(1,2] C ． (−∞,−2)∪(1,2] D ． [−2,−1]2. 函数 f (x )，按照下述方式定义，当 x ≤2 时，f (x )=−x 2+2x ；当 x >2 时，f (x )=12f (x −3)，方程 f (x )=15 的所有实数根之和是 ( ) A ． 8 B ． 12C ． 18D ． 243. 已知函数 f (x )=x x+1+x+1x+2+x+2x+3，给出下列判断：（1）函数 f (x ) 的值域为 R ；（2）f (x ) 在定义域内有三个零点；（3）f (x ) 图象是中心对称图象．其中正确的判断个数为 ( ) A ． 0 个 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个4. 已知 log x 8=3，则 x 的值为 ( ) A ． 12B ． 2C ． 3D ． 45. 如图所示，曲线是对数函数 f (x )=log a x 的图象，已知 a 取 √3，43，35，12，则对应于 C 1，C 2，C 3，C 4 的 a 值依次为 ( )A ． √3，43，35，12B ． √3，43，12，35C ． 43，√3，35，12D ． 43，√3，12，356. 已知 a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d ，若 f (x )=2017−(x −a )(x −b ) 的零点为 c ，d ，则下列不等式正确的是 ( ) A ． a >c >b >d B ． a >b >c >d C ． c >d >a >b D ． c >a >b >d7. 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为 L 1=−x 2+21x 和 L 2=2x （其中销售量 x 的单位：辆）．若该公司在两地共销售 15 辆，则能获得的最大利润为 ( ) A ． 90 万元 B ． 60 万元 C ． 120 万元 D ． 120.25 万元8. 已知函数 y =f (x ) 是定义域为 R 的偶函数．当 x ≥0 时，f (x )={516x 2,0≤x ≤2(12)x +1,x >2．若关于 x 的方程 [f (x )]2+af (x )+b =0，a,b ∈R 有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (−52,−94)B ． (−94,−1)C ． (−52,−94)∪(−94,−1) D ． (−52,−1)9. 如果方程 x 2+(m −1)x +m 2−2=0 的两个实根一个小于 1，另一个大于 1，那么实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (−√2,√2)B ． (−2,0)C ． (−2,1)D ． (0,1)10. 设 a =40.4，b =log 0.40.5，c =log 50.4，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ． a <b <c B ． b <c <a C ． c <a <b D ． c <b <a二、填空题（共6题）11. 某工厂在 2017 年和 2018 年两年中，若月产值的增长率相同，且为 P ，那么这两年间年产值的增长率为．12. 已知函数 f (x )={2x ,x ≥2(x −1)3,x <2，若关于 x 的方程 f (x )=k 有两个不同的实根，则实数 k的取值范围是．13. 若关于 x 的方程 x 2+(m −1)x −m =0 有两个大于 12 的不相等正根，则实数 m 的取值范围为．14. 已知函数 f (x )={−4x +1,x >−1x 2+6x +10,x ≤−1关于 x 的不等式 f (x )−mx −2m −2<0 的解集是(x 1,x 2)∪(x 3,+∞)，若 x 1x 2x 3>0，则 x 1+x 2+x 3 的取值范围是．15. 函数 f (x )=∣log 4x ∣ 在区间 [a,b ] 上的值域是 [0,1]，则 b −a 的最小值是．16. 函数 y =log a (2x −1)+2(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 P ，点 P 在指数函数 f (x ) 的图象上，则 f (−1)= ．三、解答题（共6题） 17. 已知函数 f (x )=23x +1+a (a ∈R ) 为奇函数．(1) 求 a 的值；(2) 当 0≤x ≤1 时，关于 x 的方程 f (x )+1=t 有解，求实数 t 的取值范围； (3) 解关于 x 的不等式 f (x 2−m )≥f (2−2m )．18. 已知函数 f (x )=a x (a >0,a ≠1)，且 f (x ) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大 2．(1) 求 a 的值；(2) 若函数 y =f (2x )+f (−2x )+2m [f (x )−f (−x )] 在区间 [1,+∞) 的最小值是 −2，求实数m 的值．19. 已知 A 地到 B 地的电话线路发生故障（假设线路只有一处发生故障），这是一条 10 km 长的线路，应如何迅速查出故障所在？20. 对于函数 f (x )=−x 2+2∣x ∣+3．(1) 画出函数的图象并指出函数的单调区间．(2) 利用图象回答：当 k 为何值时，函数 y =f (x )−k 有两个零点？有四个零点？21.实数x取何值时，log3x(4x−1)的值为正数？22.季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且从第一周开始每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，从第11周开始平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．(1) 试建立价格P与周次t之间的函数关系式；(2) 若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q=−0.125(t−8)2+12，t∈[0,16]，t∈N∗，试问该服装在第几周时每件销售利润L最大？最大利润为多少？（注：每件销售利润=售价−进价）答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】因为 a ⊗b ={a,a −b ≤1b,a −b >1，所以函数 f (x )=(x 2−2)⊗(x −1)={x 2−2,−1≤x ≤2x −1,x <−1或x >2，由图可知，当 c ∈(−2,−1]∪(1,2]，函数 f (x ) 与 y =c 的图象有两个公共点，所以 c 的取值范围是 (−2,−1]∪(1,2]．【知识点】函数的零点分布2. 【答案】D【知识点】函数的零点分布3. 【答案】D【解析】由题意可知，函数f (x )=xx+1+x+1x+2+x+2x+3=(1−1x+1)+(1−1x+2)+(1−1x+3)=3−(1x+1+1x+2+1x+3),其定义域为 {x∣ x ≠−1,x ≠−2,x ≠−3}．对于（1），当 x <0，x →−1+ 时，f (x )→−∞；x →−1− 时，f (x )→+∞，所以函数的值域是 R ，所以（1）正确；对于（2），因为f (x )=x x+1+x+1x+2+x+2x+3=(1−1x+1)+(1−1x+2)+(1−1x+3)=3−(1x+1+1x+2+1x+3),所以函数 f (x ) 在 x ∈(−1,+∞) 是单调递增函数，又 f (−34)=−3+311+715<0，f (0)=12+23>0，所以函数 f (x ) 在 (−34,0) 上，有且只有一个零点；当 x ∈(−2,−1) 时，f (−74)=3−(−43+4+45)=13−45<0，f (−54)=4−13−47>0，所以函数在 (−2,−1) 有一个零点；当 x ∈(−3,−2) 时，f (−145)=3−(−59−54+5)=−1+14+59<0，f (−52)=2+23>0，所以函数在 (−3,−1) 有一个零点，当 x <−3 时，f (x )>0，所以 f (x ) 在定义域内有三个零点，所以（2）正确；对于（3），因为 f (x )=3−(1x+1+1x+2+1x+3)，所以f (−4−x )=3+(1x+1+1x+2+1x+3)=6−[3−(1x+1+1x+2+1x+3)]=6−f (x ),所以 f (x )+f (−4−x )=6．所以函数的图象关于点 (−2,3) 中心对称，所以（3）正确．【知识点】函数的零点分布4. 【答案】B【解析】由 log x 8=3，得 x 3=8，所以 x =2．【知识点】对数的概念与运算5. 【答案】A【知识点】对数函数及其性质6. 【答案】D【解析】由题意设 g (x )=(x −a )(x −b )，则 f (x )=2017−g (x )，所以 g (x )=0 的两个根是 a ，b ，由题意知：f (x )=0 的两根 c ，d ，也就是 g (x )=2017 的两根，画出 g (x )（开口向上）以及直线 y =2017 的大致图象，则与 f (x ) 交点横坐标就是 c ，d ，f (x ) 与 x 轴交点就是 a ，b ，又 a >b ，c >d ，则 c ，d 在 a ，b 外，由图得，c >a >b >d ．【知识点】零点的存在性定理7. 【答案】C【知识点】函数模型的综合应用8. 【答案】C【解析】依题意 f (x ) 在 (−∞,−2) 和 (0,2) 上递增，在 (−2,0) 和 (2,+∞) 上递减，当 x =±2 时，函数取得极大值 54；当 x =0 时，取得极小值 0．要使关于 x 的方程 [f (x )]2+af (x )+b =0，a,b ∈R 有且只有 6 个不同实数根，设 t =f (x )，则则有两种情况符合题意：（1）t 1=54，且 t 2∈(1,54)，此时 −a =t 1+t 2，则 a ∈(−52,−94)；（2）t 1∈(0,1]，t 2∈(1,54)，此时同理可得 a ∈(−94,−1)．综上可得 a 的范围是 (−52,−94)∪(−94,−1)．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】C【知识点】函数的零点分布10. 【答案】D【解析】因为 a =40.4>1，0<b =log 0.40.5<log 0.40.4=1，c =log 50.4<0，所以 c <b <a ，故选D ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (1+P)12−1【知识点】指数函数及其性质12. 【答案】 (0,1)【解析】作出函数 y =f (x ) 的图象如图．则当 0<k <1 时，关于 x 的方程 f (x )=k 有两个不同的实根．【知识点】函数的零点分布13. 【答案】 (−∞,−1)∪(−1,−12)【解析】由题意得 {Δ=(m −1)2+4m >0,−m−12>12,14+12(m −1)−m >0,即 {m 2+2m +1>0,m <0,m <−12,解得 m <−12，且 m ≠−1，故实数 m 的取值范围为 (−∞,−1)∪(−1,−12)．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】 [2√7−12,+∞)【解析】 f (x )<m (x +2)+2，数形结合，y =m (x +2)+2 表示斜率为 m 且经过 (−2,2) 的直线，同时 (−2,2) 也在 f (x ) 图象上，设三个交点为 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，C (x 3,y 3)，易知 x 1<−2，x 2=−2，因为 x 1x 2x 3>0，所以需满足 x 3>0，结合图形可得直线斜率 m ∈(−4,−12)，由 {y =m (x +2)+2,y =x 2+6x +10, 得 x 2+(6−m )x +8−2m =0，所以 x 1+x 2=m −6，由 {y =m (x +2)+2,y =−4x +1, 可得 x 3=−2m−1m+4所以 x 1+x 2+x 3=m −6−2m+1m+4=m +4+7m+4−12，因为 m +4∈(0,72)，所以 m +4+7m+4−12∈[2√7−12,+∞)．【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 34【知识点】对数函数及其性质16. 【答案】 12【解析】根据题意，令 2x −1=1，得 x =1，此时 y =2，所以定点 P 的坐标是 (1,2) 因为点 P 在指数函数 f (x ) 的图象上，所以 f (x )=2x ，所以 f (−1)=12．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 因为 a ∈R ，所以f(0)=0，所以a=−1．−1，(2) 因为f(x)=23x+1，所以f(x)+1=23x+1因为0≤x≤1，所以2≤3+1≤4，≤f(x)+1≤1，所以12≤t≤1．所以12−1在R上单调递减，(3) f(x)=23x+1f(x2−m)≥f(2−2m)2−m≤2−2m，x2−(m+2)+2m≤0(−2)(−m)≤0．①当m>2时，不等式的解集是{2≤x≤m}．②当m=2时，不等式的解集是{x∣ x=2}．③当m<2时，不等式的解集是{x∣ m≤x≤2}．【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质、函数的奇偶性18. 【答案】(1) 当a>1时，函数f(x)=a x在区间[1,2]上单调递增，则该函数的最大值为f(x)max=f(2)=a2，最小值为f(x)min=f(1)=a，由题意，得a2−a=2，解得a=2，或a=−1（舍去）；当0<a<1时，函数f(x)=a x在区间[1,2]上单调递减，则该函数的最大值为f(x)max=f(1)=a，最小值为f(x)min=f(2)=a2，由题意，得a−a2=2，即a2−a+2=0，该方程无实数解．综上，a=2．(2) 函数y=f(2x)+f(−2x)+2m[f(x)−f(−x)]=22x+2−2x+2m(2x−2−x)，令g(x)=2x−2−x，x∈[1,+∞)，任取x1>x2≥1，因为g(x1)−g(x2)=(2x1−2−x1)(2x2−2−x2)=(2x1−2x2)+(2−x2−2−x1)，又x1>x2，所以−x2>−x1，有2x1>2x2，2−x2>2−x1，所以g(x1)>g(x2)．．则函数y=g(x)在[1,+∞)上单调递增，故g(x)≥g(1)=32令g(x)=t，因此，t≥3，2故问题转化为：函数 ℎ(t )=t 2+2mt +2 在 [32,+∞) 上有最小值 −2，求实数 m 的值．因 ℎ(t )=(t +m )2+2−m 2，对称轴方程为 t =−m ，当 −m ≤32 时，即当 m ≥−32 时，函数 y =ℎ(t ) 在 [32,+∞) 上单调递增，故 ℎ(t )min =ℎ(32)=3m +174，由 3m +174=−2，解得 m =−2512 与 m ≥−32 矛盾；当 −m >32 时，即当 m <−32 时，ℎ(t )min =ℎ(−m )=2−m 2，由 2−m 2=−2，解得 m =−2 或 m =2（舍去）．综上，m =−2．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值、指数函数及其性质19. 【答案】如图，可首先从中点 C 开始检查，若 AC 段正常，则故障在 BC 段；再从 BC 段中点 D 检查，若 CD 段正常，则故障在 BD 段；再从 BD 段中点 E 检查，⋯⋯，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，这样即可迅速找到故障所在．【知识点】二分法求近似零点20. 【答案】(1) 画出图象如图所示．(2) 单调减区间是 [−1,0]，[1,+∞)；单调增区间是 (−∞,−1]，[0,1]．【知识点】函数的零点分布、函数的单调性21. 【答案】 x ∈(14,13)∪(12,+∞)．【知识点】对数函数及其性质22. 【答案】(1) P ={10+2t,t ∈[0,5]且t ∈N ∗20,t ∈(5,10]且t ∈N ∗40−2t,t ∈(10,16]且t ∈N ∗．(2) 因为每件的销售利润 = 售价 − 进价，即 L =P −Q ，当 t ∈[0,5] 且 t ∈N ∗ 时，L =10+2t +0.125(t −8)2−12=18t 2+6，当 t =5 时，L max =9.125 元；当 t ∈(5,10] 且 t ∈N ∗ 时，L =20+0.125(t −8)2−12，当t=6或10时，L max=8.5元；当t=(10,16]且t∈N∗时，L=40−2t+0.125(t−8)2−12，当t=11时，L max=7.125元．所以第五周时每件的销售利润最大，最大利润为9.125元．【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用。

指数函数与对数函数高中数学好题解析-人教a版(2019)必修第一册《第四章》2023年最热同步卷

人教A版（2019）必修第一册《第四章指数函数与对数函数》2023年最热同步卷一．选择题（共15小题）1．已知x＜1，则(−1)2=（）A．x﹣1B．1﹣x C．﹣x﹣1D．x+12．若函数y＝（2a﹣1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（）A．a＞0且a≠1B．a≥0且a≠1C．a＞12且a≠1D．a≥123．某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣0.2t.若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为t1，t2，则t2﹣t1的值为（）（取ln2＝0.7，e＝2.718…）A．−72B．−27C．72D．274．已知a＝0.30.4，b＝0.40.4，c＝0.3﹣0.3，则（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c5．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝ae﹣bt，其中a，b都是正常数，则该种放射性元素的原子数由a个减少到2个时所经历的时间为t1，由2个减少到4个时所经历的时间为t2，则12=（）A．2B．1C．ln2D．e 6．设(12)=5b＝m，且1−1=2，则m＝（）A．110B．10C．10D．10107．下列说法正确的是（）A．因为12＝1，所以log11＝2B．因为32＝9，所以log39＝2C．因为（﹣3）2＝9，所以log（﹣3）9＝2D．因为32＝9，所以log92＝38．设a＝20.6，b＝30.4，c＝log310，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a．B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c9．已知函数f（x）＝|log2（x﹣1）|，若x1≠x2，f（x1）＝f（x2），则11+12=（）A．12B．1C．2D．52 10．已知函数f（x）＝log3（x+2），若a＞b＞c＞0，则op，op，op的大小关系（）A．op＜op＜op B．op＜op＜op C．op＜op＜op D．op＜op＜op11．设a∈R，若f（x）＝log2（x+a）的反函数的图象经过点（3，1），则a＝（）A．7B．3C．1D．﹣1 12．已知函数op=l(1+2)−11+|U，若实数a满足ol3p+ol13p≤2o1)，则a 的取值范围（）A．[1，3]B．(0，13]C．（0，3]D．[13，3]13．设函数f（x）＝x+lgx满足f（a）f（b）f（c）＜0（a＜b＜c），f（x）的零点为x0，则下列选项中一定错误的是（）A．x0∈（a，c）B．x0∈（a，b）C．x0∈（b，c）D．x0∈（c，+∞）14．函数f（x）＝e x+x+1零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）15．已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x+1＝0在区间(12，+∞)上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A．23＜＜32B．23＜≤1C．a≥9D．23＜≤9二．填空题（共10小题）16=．17．函数y＝（a2﹣5a+5）a x是指数函数，则a的值为．18．函数y＝a x+2020+2022（a＞0，a≠1）的图象恒过定点．19．已知log a b＝lg100．若b＝10，则a＝，若b＝a+2，则a＝．20．设log c a、log c b是方程x2+5x﹣3＝0的两个实根，则log c＝．21．已知55＜84，134＜85，设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则a，b，c的大小关系为．22．函数f（x）=l13(−32++54)（0≤x≤12）的最大值为．23．对指数函数、幂函数、对数函数增长的对比知：若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定要a x x n log a x（填≥，＞，≤，＜）．24．幂函数f（x）的图象过点（4，2），其反函数为f﹣1（x），则f﹣1（3）＝．25．已知x2﹣5x＝14，则（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1＝．三．解答题（共5小题）26．(23⋅−12⋅−12⋅13δ（Ⅱ）计算：(0.027)−13−(−17)−2+(279)12−3×(2−1)0+[(−2)2]12．27．已知函数f（x）＝a x﹣1（a＞0，且a≠1）．（1）若函数f（x）的图象过点（3，4），求实数a的值；（2）求关于x的不等式f（x）＞a3的解集．28．计算：（1）（278）−23−（499）0.5+（0.2）﹣2×225−（0.081）0；（2）（lg2）3+（lg5）3+3lg2•lg5．29．已知a＞1，函数f（x）＝log a（3﹣x）+log a（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的零点；（Ⅲ）若函数f（x）的最大值为2，求a的值．30．在①op=−22+1②op=l4(2++p③op=l3(+1)，＞0−l3(B+1)，≤0这三个条件任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．已知______，若函数f（x）为奇函数，且函数y＝f（ax﹣m）的零点在区间（﹣2，3）内，求m的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．人教A版（2019）必修第一册《第四章指数函数与对数函数》2023年最热同步卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．已知x＜1，则(−1)2=（）A．x﹣1B．1﹣x C．﹣x﹣1D．x+1【解答】解：因为x＜1，所以1﹣x＞0，所以(−1)2=(1−p2=1−，故选：B．2．若函数y＝（2a﹣1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（）A．a＞0且a≠1B．a≥0且a≠1C．a＞12且a≠1D．a≥12【解答】解：函数y＝（2a﹣1）x（x是自变量）是指数函数，则2−1＞02−1≠1，解得a＞12且a≠1；所以a的取值范围是{a|a＞12且a≠1}．故选：C．3．某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣0.2t.若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为t1，t2，则t2﹣t1的值为（）（取ln2＝0.7，e＝2.718…）A．−72B．−27C．72D．27【解答】解：由题意，θ（t）＝15+（62﹣15）e﹣0.2t＝15+47e﹣0.2t，令15+47−0.21=45，可得−0.21=3047，令15+47−0.22=30，可得−0.22=1547．两式作比可得：0.2(2−1)=2，即0.2（t2﹣t1）＝ln2＝0.7，则t2﹣t1=0.70.2=72．故选：C．4．已知a＝0.30.4，b＝0.40.4，c＝0.3﹣0.3，则（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c【解答】解：由幂函数y＝x0.4在（0，+∞）上单调递增，且0.3＜0.4＜1，所以0.30.4＜0.40.4＜1，即a＜b＜1；由指数函数y＝0.3x是单调减函数，所以c＝0.3﹣0.3＞1；综上知，a＜b＜c．故选：D．5．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝ae﹣bt，其中a，b都是正常数，则该种放射性元素的原子数由a个减少到2个时所经历的时间为t1，由2个减少到4个时所经历的时间为t2，则12=（）A．2B．1C．ln2D．e【解答】解：由N随t的变化规律是N＝ae﹣bt，当t＝0时N＝a，若N=2，则e﹣bt=12，所以﹣bt＝ln12=−ln2，解得t=l2；若N=4，则e﹣bt=14，所以﹣bt＝ln14=−2ln2，解得t=2l2；所以t1=l2，t2=2l2−l2=l2，所以12=1．故选：B．6．设(12)=5b＝m，且1−1=2，则m＝（）A．110B．10C．10D．1010【解答】解：（12）a＝5b＝m，∴a=l12，b＝log5m，∴1−1=log m12−log m5＝﹣log m2﹣log m5＝﹣（log m2+log m5）＝﹣log m10＝2，则m﹣2＝10，解得m=故选：D．7．下列说法正确的是（）A．因为12＝1，所以log11＝2B．因为32＝9，所以log39＝2C．因为（﹣3）2＝9，所以log（﹣3）9＝2D．因为32＝9，所以log92＝3【解答】解：对数的底数大于0且不等于1，∴A，C错误；log39＝2正确，∴B正确；log92＜1，∴D错误．故选：B．8．设a＝20.6，b＝30.4，c＝log310，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a．B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c【解答】解：a＝20.6＝（23）0.2＝80.2，b＝30.4＝（32）0.2＝90.2，∵80.2＜90.2，∴a＜b，∵c＝log310＞log39＝2，∴c＞2，∵=30.4＜30.5=3＜2，∴a＜b＜c，故选：D．9．已知函数f（x）＝|log2（x﹣1）|，若x1≠x2，f（x1）＝f（x2），则11+12=（）A．12B．1C．2D．52【解答】解：∵f（x）＝|log2（x﹣1）|，且x1≠x2，f（x1）＝f（x2），故可设1＜x1＜x2，∴﹣log2（x1﹣1）＝log2（x2﹣1），∴log2（x1﹣1）（x2﹣1）＝0＝log21，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝1＝x1•x2﹣（x1+x2）+1，∴x1•x2＝x1+x2，∴11+12=1，故选：B．10．已知函数f（x）＝log3（x+2），若a＞b＞c＞0，则op，op，op的大小关系（）A．op＜op＜op B．op＜op＜op C．op＜op＜op D．op＜op＜op【解答】解：∵函数f（x）＝log3（x+2），则op，op，op可分别看作（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））与原点连线的斜率，如图：当a＞b＞c＞0时，有op＜op＜op，故选：A．11．设a∈R，若f（x）＝log2（x+a）的反函数的图象经过点（3，1），则a＝（）A．7B．3C．1D．﹣1【解答】解：若y＝log2（x+a）的反函数的图象经过点（3，1），则函数y＝log2（x+a）的图象经过点（1，3），即log2（a+1）＝3，解得：a＝7，故选：A．12．已知函数op=l(1+2)−11+|U，若实数a满足ol3p+ol13p≤2o1)，则a 的取值范围（）A．[1，3]B．(0，13]C．（0，3]D．[13，3]【解答】解：函数op=l(1+2)−11+|U，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）为偶函数，若实数a满足ol3p+ol13p≤2o1)，即f（log3a）+f（﹣log3a）≤2f（1），f（log3a）≤f（1），∴|log3a|≤1，即﹣1≤log3a≤1，故13≤a≤3，故选：D．13．设函数f（x）＝x+lgx满足f（a）f（b）f（c）＜0（a＜b＜c），f（x）的零点为x0，则下列选项中一定错误的是（）A．x0∈（a，c）B．x0∈（a，b）C．x0∈（b，c）D．x0∈（c，+∞）【解答】解：函数f（x）＝x+lgx的定义域为{x|x＞0}，函数是增函数，满足f（a）f（b）f（c）＜0（a＜b＜c），说明f（a），f（b），f（c），有1个是负数一定是f（a），两个正数或3个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在（a，c），在（a，b），在（c，+∞），不可能在（b，c）．故选：C．14．函数f（x）＝e x+x+1零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）【解答】解：函数f（x）＝e x+x+1是连线增函数，f（﹣2）＝e﹣2﹣2+1＜0，f（﹣1）＝e﹣1﹣1+1＞0，由函数零点的存在性定理，函数f（x）＝e x+x+1的零点所在的区间为（﹣2，﹣1）．故选：C．15．已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x+1＝0在区间(12，+∞)上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A．23＜＜32B．23＜≤1C．a≥9D．23＜≤9【解答】解：显然a≠0，可设f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1，当a＞0时，3−2＞12，且f（12）=14a+K32+1＞0，且Δ＝（a﹣3）2﹣4a≥0，即为0＜a＜32且a＞23，且a≥9或a≤1，则23＜a≤1；当a＜0时，3−2＞12，且f（12）=14a+K32+1＜0，且Δ＝（a﹣3）2﹣4a≥0，即为0＜a＜32且a＜23，且a≥9或a≤1，则a∈∅．综上可得，a的取值范围是23＜a≤1．故选：B．二．填空题（共10小题）16=213．【解答】解：原式=2223=21−23=213．故答案为：213．17．函数y＝（a2﹣5a+5）a x是指数函数，则a的值为4．【解答】解：根据指数函数定义，∴a2﹣5a+5＝1，且a＞0，a≠1，解得a＝4或a＝1（舍去）故答案为4．18．函数y＝a x+2020+2022（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2020，2023）．【解答】解：∵函数y＝a x+2020+2022，∴令x+2020＝0得：x＝﹣2020，此时y＝2023，∴函数的图象恒过定点（﹣2020，2023）．故答案为：（﹣2020，2023）．19．已知loga b＝lg100．若b＝10，则a b＝a+2，则a＝2．【解答】解：∵log a b＝lg100＝2，∴a2＝b，∴当b＝10时，a=10（负值舍），当b＝a+2时，a2﹣a﹣2＝0，则a＝2（负值舍）．故答案为：10；2．20．设log c a、log c b是方程x2+5x﹣3＝0的两个实根，则log c＝±3737．【解答】解：根据题意，log c a、log c b是方程x2+5x﹣3＝0的两个实根，则l+l=−5l⋅l=−3，变形可得：（log c a﹣log c b）2＝（log c a+log c b）2﹣4×（log c a log c b）＝37，则log c a﹣log c b＝±37，即log c=±37，则log c=1l=±3737，故答案为：±3737．21．已知55＜84，134＜85，设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则a，b，c的大小关系为a ＜b＜c．【解答】解：∵134＜85，∴4ln13＜5ln8，即45＜l8l13=log138，∴c＞45，∵55＜84，同理可知，l85＜45，即b＜45，∵a＝log53=l3l5，∴a﹣b=l3l5−l5l8=l3l8−(l5)2l5⋅l8＜(l3+l82)2l5⋅l8−(l5)2l5l8=ln(l24+l25)(l24−l25)4l5⋅l8＜0，∴a＜b，综上a＜＜45＜故答案为：a＜b＜c22．函数f（x）=l13(−32++54)（0≤x≤12）的最大值为0．【解答】解：令y＝﹣3x2+x+54=−3（x−16）2+43，对称轴为x=16∈[0，12]，当x=16时，y max=43，当x=12时，y min＝1，∴函数f（x）=l13(−32++54)（0≤x≤12）的最大值为：log131＝0，故答案为：0．23．对指数函数、幂函数、对数函数增长的对比知：若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定要a x＞x n＞log a x（填≥，＞，≤，＜）．【解答】解：由于a＞1，则函数y＝a x为增函数，而y＝x n在n＞0时也是增函数，不过该函数的增长速度要比函数y＝a x的增长速度小，根据函数y＝a x与y＝log a x互为反函数，得到它们的图象关于直线直线y＝x对称，可知当x足够大时，a x，x n，log a x的大小关系是a x＞x n＞log a x，故答案为：＞，＞．24．幂函数f（x）的图象过点（4，2），其反函数为f﹣1（x），则f﹣1（3）＝9．【解答】解：令幂函数解析式为y＝x a，又幂函数的图象过点（4，2），∴2＝4a，∴a=12∴幂函数的解析式为y=12，那么f（9）＝3，即原函数过（9，3），所以其反函数过（3，9）故答案为：9．25．已知x2﹣5x＝14，则（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1＝15．【解答】解：（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1＝2x2﹣x﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣1+1＝x2﹣5x+1，当x2﹣5x＝14时，原式＝14+1＝15，故答案为：15．三．解答题（共5小题）26．(23⋅−12⋅−12⋅13（Ⅱ）计算：(0.027)−13−(−17)−2+(279)12−3×(2−1)0+[(−2)2]12．【解答】解：（Ⅰ）原式=−13−12−16•12+13−56=a﹣1b0=1；（Ⅱ）原式=(0.3)3×(−13)−49+53−3×1+2=103−49+53−3+2＝﹣45．27．已知函数f（x）＝a x﹣1（a＞0，且a≠1）．（1）若函数f（x）的图象过点（3，4），求实数a的值；（2）求关于x的不等式f（x）＞a3的解集．【解答】解：（1）函数f（x）的图象过点（3，4），则a2＝4，∵a＞0，且a≠1，则a＝2，（2）由f（x）＞a3可得a x﹣1＞a3，当0＜a＜1时，x﹣1＜3，解得x＜4，即不等式的解集为（﹣∞，4），当a＞1时，x﹣1＞3，解得x＞4，即不等式的解集为（4，+∞）．28．计算：（1）（278）−23−（499）0.5+（0.2）﹣2×225−（0.081）0；（2）（lg2）3+（lg5）3+3lg2•lg5．【解答】解：（1）原式=(32)3×(−23)−73+25×225−1=49−73+2﹣1=−89；（2）原式＝（lg2+lg5）（lg22﹣lg2lg5+lg25）+3lg2lg5，＝lg22﹣lg2lg5+lg25+3lg2lg5，＝lg22+lg25+2lg2lg5，＝（lg2+lg5）2，＝1．29．已知a＞1，函数f（x）＝log a（3﹣x）+log a（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的零点；（Ⅲ）若函数f（x）的最大值为2，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，f（x）＝log a（3﹣x）+log a（1+x），必有3−＞01+＞0，解可得﹣1＜x＜3，即函数的定义域为（﹣1，3），（Ⅱ）f（x）＝log a（3﹣x）+log a（1+x），若f（x）＝log a（3﹣x）+log a（1+x）＝0，即log a[（3﹣x）（1+x）]＝0，即（3﹣x）（1+x）＝1，解可得：x＝1+3或x＝1−3，即函数f（x）的零点为1+3或1−3，（Ⅲ）f（x）＝log a（3﹣x）+log a（1+x）＝log a[（3﹣x）（1+x）]＝log a（﹣x2+2x﹣3），设t＝﹣x2+2x+3，x∈（﹣1，3），则t＝﹣（x﹣1）2+4≤4，有最大值4，又由a＞1，则函数f（x）有最大值log a4，则有log a4＝2，解可得a＝2，故a＝2．30．在①op=−22+1②op=l4(2++p③op=l3(+1)，＞0−l3(B+1)，≤0这三个条件任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．已知______，若函数f（x）为奇函数，且函数y＝f（ax﹣m）的零点在区间（﹣2，3）内，求m的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】选①：因为f（x）是奇函数，且定义域为R，则f（0）＝a−220+1=0，所以a＝1，则f（x）＝1−22+1，易知f（x）在R上是增函数，所以f（x）有唯一零点0，因为函数y＝f（x﹣m）的零点在区间（﹣2，3）内，所以x﹣m＝0在（﹣2，3）上有解，所以m＝x，即m∈（﹣2，3），故实数m的取值范围为（﹣2，3）；选②：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）+f（x）＝log4（2+−）+log4（2++）＝0，解得a＝1，∴f（x）＝log4（2+1+），易知f（x）在R上是增函数，∴f（x）有唯一零点0，∵函数y＝f（x﹣m）的零点在区间（﹣2，3）内，∴x﹣m＝0在（﹣2，3）上有解，∴m＝x，即m∈（﹣2，3），故m的取值范围为（﹣2，3）；选③：当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝log3（﹣x+1），∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，解得a＝﹣1，∴f（x）=l3(+1)，＜0−l3(−+1)，≤0，易知f（x）在R上是增函数，∴f（x）有唯一零点0，∵函数y＝f（﹣x﹣m）的零点在区间（﹣2，3）内，∴﹣x﹣m＝0在（﹣2，3）上有解，∴m＝﹣x，即m∈（﹣3，2），故实数m的取值范围为（﹣3，2）．。

高中数学人教A新版必修1《44_对数函数》同步练习卷(有答案)

人教A新版必修1《4.4 对数函数》同步练习卷一、解答题（共11小题，满分0分）1. 求下列函数的定义域（1）y＝ln(1−x)；（2）y=1lg x；（3）y＝log711−3x；（4）y＝loga|x|(a>0，且a≠1)．2. 画出下列函数的图象：（1）y＝lg10x；（2）y＝10lg x．3. 已知集合A＝{1, 2, 3, 4, ...}，集合B＝{2, 4, 8, 16, ...}，下列函数能体现集合A与集合B对应关系的是________①y＝2x；②y＝x2；③y＝log2x④y＝2x．4. 在同一直角坐标系中画出函数y＝log3x和y＝log13x的图象，并说明它们的关系．5. 比较下列各题中两个值的大小（1）lg0.6，lg0.8；（2）log0.56，log0.54；（3）logm 5，logm7．6. 某地去年的GDP（国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%．（1）设经过x年达到的年GDP为y亿元，试写出未来5年内，y关于x的函数解析式；（2）经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？7. 求下列函数的定义域：（1）y=√log2x3；（2）y=√log0.5(4x−3)．8. 已知下列不等式，比较正数m，n的大小．（1）log3m<log3n；（2）log0.3m>log0.3n．（3）loga m<logan(0<a<1)；（4）loga m>logan(a>1)9. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是v＝2000ln(1+Mm)．当燃料质量是火箭质量的百分之几时，火箭的最大速度可达到12km/s？10. 函数y＝log2x，y＝log5x，y＝lg x的图象如图所示，（1）试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；（2）以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出y＝log12x，y＝log13x，y＝log110x的图象；（3）从（2）的图中你发现了什么？11. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为v=12log3O100，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．（1）当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是多少？（2）计算一条鱼静止时耗氧量的单位数．二、选择题在2ℎ内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（）A. B.C. D.三、解答题（共5小题，满分0分）判断下列各对函数是否互为反函数．若是，则求出它们的定义域和值域：（1）y＝ln x，y＝e x．（2）y＝−loga x，y＝(1a)x．设y＝f(x)表示某学校男生身高为xcm时平均体重为ykg，（1）如果函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，那么y＝g(x)表示什么？（2）如果f(170)＝55，那么求g(55)，并说明其实际意义，三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如表其中关于x呈指数增长的变量是________（2）（3）分别是函数y＝3x和y＝5x在不同范围的图象，借助计算工具估算出使3x> 5x的x的取值范围（精确到0.01）如图，对数函数y＝lg x的图象与一次函数y＝f(x)的图象有A，B两个公共点，求一次函数y＝f(x)的解析式．三、选择题函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)可能是（）A.y=32−(12)x，x∈(0, +∞) B.y＝1−x−1，x∈(0, +∞)C.y＝x−1，x∈(0, +∞)D.y＝ln x五、解答题（共5小题，满分0分）某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年15%的比例降低．要将当前的患病率降低一半，需要多少年？声强级L1（单位：dB）由公式L1＝10lg(I10−12)给出，其中I为声强（单位：W/m2）．（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10−12W/m2，求人听觉的声强级范围．（2）平时常人交谈时的声强约为10−6W/m2，求其声强级．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元．如表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2002年以来经过的年数．（1）求函数P1＝f(t)的解析式；（2）求函数P2＝g(t)的解析式；（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．已知log a12<1．(12)a<1，a12<1，求实数a的取值范围．比较下列各题中三个值的大小：（1）log0.26，log0.36，log0.46；（2）log23，log34，log45．参考答案与试题解析人教A新版必修1《4.4 对数函数》同步练习卷一、解答题（共11小题，满分0分）1.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】函都接硫故及其构成要素【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】对数函数表础象与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】对数函表的透义域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】对数函数表础象与性质【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、选择题【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（共5小题，满分0分）【答案】此题暂无答案【考点】反函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】反函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】进行简根的合情亮理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于析式偏速站及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、选择题【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答五、解答题（共5小题，满分0分）【答案】此题暂无答案【考点】等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】指数体数白单调员与说殊点对数射数长单介性与滤殊点幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(50)

人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 若 a =e 0.2，b =log 3e ，c =log 0.9e ，其中 e 为自然对数的底，则 a ，b ，c 三者的大小关系是 ( ) A ． c <a <b B ． b <c <a C ． c <b <a D ． a <b <c2. 函数 f (x )=ln (x +1)−2x 的一个零点所在的区间是 ( )A ． (0,1)B ． (1,2)C ． (2,3)D ． (3,4)3. 若函数 y =(13)∣x−1∣+m 有零点，则实数 m 的取值范围是 ( )A ． (−∞,−1]B ． [−1,+∞)C ． [−1,0)D ． (0,+∞)4. 已知 a =(12)13，b =log 23，c =log 47，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ． a 2b B ． a <2bC ． a >b 2D ． a <b 26. 已知定义在 R 上的函数 f (x )={x 2+2,x ∈[0,1)2−x 2,x ∈[−1,0)，且 f (x +2)=f (x )．若方程 f (x )−kx −2=0 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ( ) A ． (13,1)B ． (−13,−14) C ． (−1,−13)∪(13,1)D ． (−13,−14)∪(14,13)7. 我国古代著名的思想家庄子在《庄子 ⋅ 天下篇》中写道：一尺之棰，日取其半，万世不竭．用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之棰”看成单位长度“1”，那么 x 天后剩下的部分的长度 y 与 x 的函数关系式为 ( ) A ． y =12x (x ∈N +)B ． y =x 12(x ∈N +)C ． y =2x (x ∈N +)D ． y =12x (x ∈N +)8. 设 f (x )，g (x ) 是定义在 R 上的两个周期函数，f (x ) 的周期为 4，g (x ) 的周期为 2，且 f (x )是奇函数．当 x ∈(0,2] 时，f (x )=√1−(x −1)2，g (x )={k (x +2),0<x ≤1−12,1<x ≤2，其中 k >0．若在区间 (0,9] 上，函数 ℎ(x )=f (x )−g (x ) 有 8 个不同的零点，则 k 的取值范围是 ( ) A ． (13,√24) B ． [13,√24) C ． (0,13]D ． (0,13)9. 函数 f (x )=ln (x 2+1) 的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．10. 函数 f (x )=2x +3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A ． (−2,−1) B ． (−1,0) C ． (0,1)D ． (1,2)二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={x 2+2x +14x 2+8x ,−2<x <0x 2+2x −1,x ≤−2或x ≥0，若函数 g (x )=a ∣f (x )∣+1 有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是．12. 已知函数 f (x )={x 2+4x,−3≤x ≤0,2x −3,x >0,若方程 f (x )+∣x −2∣−kx =0 有且只有三个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是．13. 已知函数 f (x )={lnx+1x ,x >0−x 2−2x,x <0，若函数 g (x )=f (x )−mx 有三个零点，则实数 m 的取值范围是．14. 已知函数 f (x )={ax +1,x ≤0∣lnx ∣,x >0．给出下列三个结论：①当 a =−2 时，函数 f (x ) 的单调递减区间为 (−∞,1)； ②若函数 f (x ) 无最小值，则 a 的取值范围为 (0,+∞)；③若 a <1 且 a ≠0，则 ∃b ∈R ，使得函数 y =f (x )−b 恰有 3 个零点 x 1，x 2，x 3，且 x 1x 2x 3=−1．其中，所有正确结论的序号是．15. 函数 f (x )=a x−1−2(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx −ny −1=0 上，其中 m >0，n >0，则 1m +2n 的最小值为．16. 若函数 f (x )={2x ,x ≤0−x 2+m,x >0 的值域为 (−∞,1]，则实数 m 的取值范围是．三、解答题（共6题）17. 如图，A ，B 两地相距 100 公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在 A ，B 之间选址 P点建造储备仓库，共享民生物资，当点 P 在线段 AB 的中点 C 时，建造费用为 2000 万元，若点 P 在线段 AC 上（不含点 A ），则建造费用与 P ，A 之间的距离成反比，若点 P 在线段 CB 上（不含点 B ），则建造费用与 P ，B 之间的距离成反比，现假设 P ，A 之间的距离为 x 千米 (0<x <100)，A 地所需该物资每年的运输费用为 2.5x 万元，B 地所需该物资每年的运输费用为 0.5(100−x ) 万元，f (x ) 表示建造仓库费用，g (x ) 表示两地物资每年的运输总费用（单位：万元）．(1) 求函数 f (x ) 的解析式；(2) 若规划仓库使用的年限为 n (n ∈N ∗)，H (x )=f (x )+ng (x )，求 H (x ) 的最小值，并解释其实际意义．18. 已知函数 f (x ) 的定义域为 D ，值域为 f (D )，即 f (D )={y∣ y =f (x ),x ∈D }．若 f (D )⊆D ，则称 f (x ) 在 D 上封闭．(1) 试分别判断函数 f (x )=2017x +log 2017x ，g (x )=x 2x+1 在 (0,1) 上是否封闭，并说明理由； (2) 函数 f (x )=√x +1+k 的定义域为 D =[a,b ]，且存在反函数 y =f −1(x )．若函数 f (x )在 D 上封闭，且函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上也封闭，求实数 k 的取值范围；(3) 已知函数 f (x ) 的定义域是 D ，对任意 x,y ∈D ，若 x ≠y ，有 f (x )≠f (y ) 恒成立，则称f (x ) 在 D 上是单射．已知函数 f (x ) 在 D 上封闭且单射，并且满足 f n (D )⫋D ，其中 f n+1(x )=f(f n (x ))，（n ∈N ∗），f 1(x )=f (x )．证明：存在 D 的真子集 D n ⫋D n−1⫋⋯⫋D 3⫋D 2⫋D 1⫋D ，使得 f (x ) 在所有 D i (i =1,2,3,⋯,n ) 上封闭．19. 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙，研究某种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度v （单位：m ⋅s −1）与其耗氧量 Q 之间的关系为 v =a +blog 3Q10（其中 a ，b 是常数）．据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，飞行速度为 1 m ⋅s−1．若这种候鸟为赶路程，飞行的速度不能低于2m⋅s−1，求其耗氧量至少要多少个单位．20.如图，已知A，B两个城镇相距20千米，设M是AB的中点，在AB的中垂线上有一高铁站P，P，M的距离为10千米．为方便居民出行，在线段PM上任取一点O（点O不与P，M重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到O处，再铺设快速路分别到A，B两处．因地质条件等各种因素，其中快速路PO造价为 1.5百万元/千米，快速路OA造价为1百万元/千米，快速路OB造价为2百万元/千米．设∠OAM=θ(rad)，总造价为y（单位：百万元）．(1) 求y关于θ的函数关系式，并指出函数的定义域；(2) 求总造价的最小值，并求出此时θ的值．21.设函数f(x)=Q0(1+r)x，且f(10)=20.23，f(11)=23.26．(1) 求函数f(x)的增长率r；(2) 求f(12)的值．22.已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx（k∈R）为偶函数．(1) 求k的值．)>0（a>0）．(2) 解关于x的不等式f(x)−log9(a+1a答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】 a =e 0.2>e 0=1，00，且 f (x ) 在 (0,+∞) 上是增函数，所以 f (x ) 在 (1,2) 上必存在零点，故选B ．【知识点】零点的存在性定理3. 【答案】C【解析】因为函数 y =(13)∣x−1∣+m 有零点，所以方程 (13)∣x−1∣+m =0 有解，即方程 (13)∣x−1∣=−m 有解，因为 ∣x −1∣≥0，所以 0<(13)∣x−1∣≤1，即 0<−m ≤1，因此 −1≤m <0．【知识点】函数的零点分布4. 【答案】D【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质5. 【答案】B【解析】 2a +log 2a =22b +log 2b <22b +log 2(2b )，令 f (x )=2x +log 2x ，则 f (a )<f (2b )，又易知 f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增，所以 a <2b ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质、函数的单调性6. 【答案】C【知识点】函数的零点分布7. 【答案】D【解析】由题意可得，剩下的部分长度为 12，14，18,⋯，所以 x 天后剩下部分的长度 y 与 x 的函数关系式为 y =12x(x ∈N +)．【知识点】建立函数表达式模型8. 【答案】B【解析】作出两函数的图象，如图所示：由图可知，函数 y =f (x ) 和 y =g (x )=−12 在 (0,9] 上的图象有 2 个不同的交点，故函数 y =f (x ) 和 y =g (x )=k (x +2) 在 x ∈(0,1] 上的图象有 2 个不同的交点，才可以满足题意．所以，圆心 (1,0) 到直线 kx −y +2k =0 的距离为 d =√k 2+1<1，解得 0<k <√24，因为两点 (−2,0)，(1,1) 连线斜率为 13，所以，13≤k <√24．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】A【解析】 f (x )=ln (x 2+1)，x ∈R ，当 x =0 时，f (0)=ln1=0，即 f (x ) 过点 (0,0)，排除B ，D ．因为 f (−x )=ln [(−x )2+1]=ln (x 2+1)=f (x )，所以 f (x ) 是偶函数，其图象关于 y 轴对称．【知识点】对数函数及其性质、函数图象10. 【答案】B【解析】因为 f (x ) 为增函数，f (0)=1>0，f (−1)=2−1−3<0，所以 f (x ) 的零点位于区间 (−1,0) 内．【知识点】零点的存在性定理二、填空题（共6题） 11. 【答案】 [−1,−45)【知识点】函数的零点分布12. 【答案】[−23,3−2√2)【解析】f(x)+∣x−2∣−kx=0有且只有三个不相等的实数根，等价于y=f(x)+∣x−2∣与y=kx的图象有且只有三个交点，画出y=f(x)+∣x−2∣={x2+3x+2,−3≤x≤0x−1,0<x≤23x−5,x>2与y=kx的图象如图所示，当直线y=kx与抛物线y=x2+3x+2相切时，k=3−2√2；当直线y=kx过点(−3,2)时，k=−23，所以根据图象可知−23≤k<3−2√2时，两函数图象有且只有三个交点，所以若方程f(x)+∣x−2∣−kx=0有且只有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是[−23,3−2√2)．【知识点】函数的零点分布13. 【答案】(0,e2)【知识点】函数的零点分布14. 【答案】②③【知识点】函数的最大（小）值、函数的单调性、分段函数、函数的零点分布15. 【答案】3+2√2【知识点】均值不等式的应用、指数函数及其性质16. 【答案】0<m≤1【知识点】指数函数及其性质、函数的值域的概念与求法三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 当0<x≤50，f(x)=100000x；当 50<x <100，f (x )=100000100−x．(2) 50n +400√5n ．【知识点】利用导数处理生活中的优化问题、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) 因为函数 f (x ) 的定义域为 (0,+∞)，值域为 (−∞,+∞)，（取一个具体例子也可以），所以 f (x ) 在 (0,1) 上不封闭．令 t =x +1∈(1,2)，g (x )=ℎ(t )=(t−1)2t=t +1t −2∈(0,12)⊆(0,1)，g (x ) 在 (0,1) 上封闭．(2) 函数 f (x ) 在 D 上封闭，则 f (D )⊆D ．函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上封闭，则 D ⊆f (D )，得到：D =f (D )．f (x )=√x +1+k 在 D =[a,b ] 上单调递增．则 f (a )=a ，f (b )=b ⇔f (x )=√x +1+k =x 在 [−1,+∞) 上有两个不等的实数根．设 g (x )=x 2−(2k +1)x +k 2−1({x ≥−1,x ≥k,)，故 {(2k +1)2−4(k 2−1)>0,g (−1)≥0,g (k )≥0,2k+12>k,2k+12>−1,解得 k ∈(−54,−1]．或：⇔f (x )=√x +1+k =x 在 [−1,+∞) 有两个不等的实数根．令 t =√x +1(t ≥0)，k +1=t 2−t 在 t ∈[0,+∞) 有两个不等根，画图，由数形结合可知，k +1∈(−14,0]，解得 k ∈(−54,−1]．(3) 如果 f (D )=D ，则 f n (D )=D ，与题干 f n (D )⫋D 矛盾．因此 f (D )⫋D ．取 D 1=f (D )，则 D 1⫋D ．接下来证明 f (D 1)⫋D 1．因为 f (x ) 是单射，因此取一个 p ∈D 且 p ∉D 1，由于 f (x ) 在 D 上单射，p 是唯一使得 f (x )=f (p ) 的根，即 f (p )∉f (D 1) 且 f (p )∈f (D )，所以 f (D 1)⫋f (D 1)∪f (p )≤f (D )=D 1，f (D 1)⫋D 1 得证．接着令 D n+1=f (D n )，并重复上述论证证明 D n+1⫋D n ．【知识点】函数的零点分布、对数函数及其性质19. 【答案】由题意，知 {a +blog 33010=0,a +blog 39010=1,解得 {a =−1,b =1, 所以 v =−1+log 3Q10．要使飞行速度不能低于 2 m ⋅s −1，则有 v ≥2，即 −1+log 3Q10≥2，即 log 3Q10≥3，解得 Q10≥27，即 Q ≥270，所以耗氧量至少要270个单位．【知识点】函数模型的综合应用20. 【答案】(1) 因为∠OAM=θ，PM⊥AB，M为AB的中点，所以OA=OB=10cosθ，OM=10tanθ，OP=10−10tanθ，所以y=10cosθ×1+10cosθ×2+(10−10tanθ)×1.5=30cosθ−15tanθ+15=15(2cosθ−tanθ)+15(0<θ<π4).(2) 设f(θ)=2cosθ−tanθ=2−sinθcosθ(0<θ<π4),则fʹ(θ)=−cos2θ+sinθ(2−sinθ)cos2θ=2sinθ−1cos2θ.令fʹ(θ)=0，得sinθ=12，又0<θ<π4，所以θ=π6．当0<θ<π6时，sinθ<12，fʹ(θ)<0，f(θ)单调递减；当π6<θ<π4时，sinθ>12，fʹ(θ)>0，f(θ)单调递增．所以f(θ)的最小值为f(π6)=√3，此时总造价最小．所以当θ=π6时，总造价最小，最小值为(15√3+15)百万元．【知识点】利用导数处理生活中的优化问题、建立函数表达式模型21. 【答案】(1) 因为f(11)f(10)=23.2620.23≈1.15，所以1+r=1.15，r=0.15．(2) 因为f(12)f(11)=f(12)23.26=1.15，所以f(12)≈26.75．【知识点】指数函数及其性质22. 【答案】(1) 因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，即log9(9−x+1)−kx=log9(9x+1)+kx，所以log99x+19x−log9(9x+1)=2kx，所以(2k+1)x=0，所以k=−12．(2)f(x)−log9(a+1a)>0⇒log9(9x+1)−x2>log9(a+1a)⇒log99x+19x2>log9(a+1a)⇒9x+13x>a+1a⇒(3x)2−(a+1a)3x+1>0⇒(3x−a)(3x−1a)>0.① a>1时⇒3x>a或3x<1a ⇒{x∣∣x>log3a或x<log31a}；② 0<a<1时⇒3x>1a 或3x<a⇒{x∣∣x>log31a或x<log3a}；③ a=1时⇒3x≠1⇒{x∣ x≠0}．【知识点】对数函数及其性质、函数的奇偶性。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(15)

人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 下列指数式与对数式互化不正确的是 ( ) A ． e 0=1 与 log e 1=0 B ． 8−13=12 与 log 812=−13 C ． log 39=2 与 912=3D ． log 77=1 与 71=72. 函数 y =2√−x 2+x+2的单调递增区间是 ( )A ． (−∞,12)B ． (−∞,−1]C ． [−1,12]D ． [−1,2]3. 若 a =log 332，b =ln 12，c =0.6−0.2，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ． c >b >aB ． c >a >bC ． b >a >cD ． a >c >b4. 函数 y =log a (x +b )(a >0,a ≠1) 的图象经过 (−1,0) 和 (0,1) 两点，则 ( ) A ． a =√2，b =√2 B ． a =√2，b =2 C ． a =2，b =1 D ． a =2，b =25. 下列不等式成立的是 ( )A ． log 32<log 23<log 25B ． log 32<log 25<log 23C ． log 23<log 32<log 25D ． log 23<log 25<log 326. 已知函数 f (x )={−x +1,x ≤0−x 2+2x,x >0，则方程 f 2(x )−bf (x )=0，b ∈(0,1) 根的个数是 ( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 57. 已知 0<a <1，log a m <log a n <0，则 ( ) A ． 1<n <m B ． 1<m <n C ． m <n <1 D ． n <m <18. 一个玩具厂一年中 12 月份的产量是 1 月份产量的 a 倍，那么该玩具厂这一年中产量的月平均增长率是 ( ) A ． √a 11−1B ． √a 12−1C ． a11D ． a129. 若将定义域为 N +，的指数函数称为正整数指数函数，则下列函数：① y =4x 2，② y =6x ，③ y=32x，④ y=3⋅2x，⑤ y=2x+1．（以上各函数定义城为x∈N+）其中正整数指数函数的个数为( )A．0B．1C．2D．3−1，若f(a)=1，则f(−a)=( )10.已知函数f(x)=(e x+e−x)ln1−x1+xA．1B．−1C．3D．−3二、填空题（共6题）11.已知a>0，若关于x的不等式(x−1)2>(ax)2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是．12.放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A，B，开始记录时容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质A的半衰期为7.5小时，则物质B的半衰期为小时．13.用二分法求图象连续不断的函数f(x)在区间[1,5]上的近似解，验证f(1)⋅f(5)<0，给定精=3，计算得f(1)⋅f(x1)<0，f(x1)⋅f(5)>0，则度ɛ=0.01，取区间(1,5)的中点x1=1+52此时零点x0∈．（填区间）14.若log23⋅log325⋅log5m=2，则m=．15.定义：函数f(x)=[x]（其中[x]表示不超过x的最大整数），如f(1.6)=[1.6]=1，f(−2.4)=[−2.4]=−3，则f(lg81)=．16.函数f(x)=(a−1)x在R上是减函数，则a的取值范围是．三、解答题（共6题）17.某花卉种植基地为了增加经济效益，决定对花卉产品以举行展销会的方式进行推广、促销．经分(0<x≤4)，假设培育析预算，投入展销费为x万元时，销售量为m万个单位，且m=2x−1x的花卉能全部销售完．已知培育m万个花卉还需要投入成本2m+1万元（不含展销费），花卉万元/万个单位．（注：利润=售价×销售量−投入成本−展销费）的售价为11+4m(1) 试求出该花卉基地利润y万元与展销费为x万元的函数关系式并化简；(2) 求该花卉基地利润的最大值，并指出此时展销费为多少万元？18.已知下表为函数y=ax3+cx+d(a,c,d∈R)部分自变量取值及其对应函数值，为了便于研究，相关函数值取非整数值，取值精确到0.01．x−0.61−0.59−0.56−0.3500.260.42 1.57 3.27y0.070.02−0.03−0.2200.210.20−10.04−101.63根据表中数据，研究该函数的一些性质：(1) 判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 判断函数y=f(x)在区间[0.55,0.6]上是否存在零点，并说明理由．19.牧场中羊群的最大蓄养量为m只．为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只与实际蓄养量x只和空闲率（空闲率指空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(1) 写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2) 求羊群年增长量的最大值；(3) 当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．20.已知2lg x−y2=lgx+lgy，求xy的值．21.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=ax2+b（其中a，b为常数）模型．求a，b的值．22.已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，将汽车离开A地的距离f(x)表示为时间x（小时）的函数表达式．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】由指数的定义可知A ，B ，D 都正确；C 中，log 39=2⇔32=9．【知识点】对数的概念与运算2. 【答案】C【解析】设 y =2t ，t =√m ，m =−x 2+x +2，函数定义域为 [−1,2]，所以先排除A ，B ；在 [−1,2] 上函数 m 先增后减，故排除D ；由图象（图略）可知，该复合函数单调递增区间为 [−1,12]．【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质3. 【答案】B【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质4. 【答案】D【知识点】对数函数及其性质5. 【答案】A【知识点】对数函数及其性质6. 【答案】B【解析】由 f 2(x )−bf (x )=0 得，f (x )[f (x )−b ]=0，即 f (x )=0 或 f (x )=b ，由于 f (x )={−x +1,x <0−x 2+2x,x >0，由图象知 f (x )=0 时有 1 解， f (x )=b 时，b ∈(0,1)，故有 2 个解，综上，共有 3 个解．【知识点】函数的零点分布7. 【答案】A【解析】由已知得log a m<log a n<log a1，因为0<a<1，所以1<n<m．【知识点】对数函数及其性质8. 【答案】A【解析】设月平均增长率为x，一月份的产量为1，因为一年中12月份的产量是1月份产量的a倍，所以(1+x)11=a，即1+x=√a11，即x=√a11−1．【知识点】指数函数及其性质9. 【答案】C【解析】由题意可得y=6x，y=32x=9x为正整数指数函数，題中所给的其余函数不是正整数指数函数，即正整数指数函数的个数为2．【知识点】指数函数及其性质10. 【答案】D【解析】由题得(e a+e−a)ln1−a1+a−1=1，所以(e a+e−a)ln1−a1+a=2，所以−(e a+e−a)ln1+a1−a=2，所以(e a+e−a)ln1+a1−a=−2，所以f(−a)=(e−a+e a)ln1+a1−a−1=−2−1=−3．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质二、填空题（共6题）11. 【答案】[43,3 2 )【解析】记题中不等式的解集为A，易知0∈A，而1∉A，因此只有−1∈A，−2∈A，所以−3∉A．设方程(1−x)2=(ax)2的两根为x1，x2，则有−3≤x1<−2，0<x2≤1，记f(x)=(ax)2−(1−x)2=(a2−1)x2+2x−1，f(1)=a2≠0，所以 0<x 2<1，此时 f (0)f (1)=−a 2<0 恒成立，若 f (−3)=9(a 2−1)−7=0，a =43，因为 (a >0)，此时原不等式为 (x −1)2>169x 2，解集为 (−3,37)，满足题意，若 f (−3)≠0，则 −3<x 1<−2，所以 f (−3)⋅f (−2)=(9a 2−16)(4a 2−9)<0，169<a 2<94，所以 43<a <32(a >0)．综上，a 的取值范围是 [43,32)．【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 8【解析】1207.5=16，设 mB =1，则 mA =2，设物质 B 的半衰期为 t ，由题意得：2×(12)16=(12)120t．解得 t =8 . 故答案为：8 .【知识点】函数模型的综合应用13. 【答案】 (1,3)【解析】由 f (1)⋅f (5)<0，f (1)⋅f (x 1)<0 及 f (x 1)⋅f (5)>0 可知 f (1) 与 f (x 1) 异号，f (x 1) 与 f (5) 同号，则 x 0∈(1,x 1) 即 x 0∈(1,3)．【知识点】零点的存在性定理14. 【答案】 2【解析】因为log 23⋅log 325⋅log 5m =lg3lg2⋅lg25lg3⋅lgm lg5=lg3lg2⋅2lg5lg3⋅lgm lg5=2lgm lg2= 2.所以 lgm =lg2，所以 m =2．【知识点】对数的概念与运算15. 【答案】1【解析】lg10<lg81<lg100，即1<lg81<2，所以f(lg81)=[lg81]=1．【知识点】对数的概念与运算16. 【答案】(1,2)【知识点】指数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由题意，可得y=m(11+4m)−(2m+1)−x=9m+3−x=9⋅2x−1x+3−x=21−(x+9x),x∈(0,4].(2) 由（1）可得，y=21−(x+9x)，x∈(0,4]，因为x+9x ≥2√x⋅9x=6，当且仅当x=9x，即x=3时取等号，所以y max=21−(x+9x )min=15，所以该花卉基地利润的最大值为15万元，此时展销费为3万元．【知识点】建立函数表达式模型、均值不等式的应用18. 【答案】(1) 由表可得f(0)=0，故d=0，即f(x)=ax3+cx(x∈R)．对于任意x∈R，f(−x)=−ax3−cx=−f(x)．故f(x)=ax3+cx(x∈R)为奇函数．(2) 由f(x)为奇函数，得f(0.56)=−f(−0.56)=0.03>0，f(0.59)=−f(−0.59)=−0.02<0，且f(0.56)⋅f(0.59)<0．故y=f(x)在区间[0.56,0.59]上存在零点．【知识点】函数的奇偶性、零点的存在性定理19. 【答案】(1) 由题意知，y=kx(1−xm )=−kmx2+kx(0<x<m)．(2) 对原二次函数配方，得y=−km (x2−mx)=−km(x−m2)2+km4．即当x=m2时，y取得最大值km4．(3) 由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即 0<x +y <m ．因为当 x =m2 时，y 最大=km 4，所以 0<m 2+km 4<m ，解得 −2<k <2．又因为 k >0，所以 0<k <2．【知识点】函数模型的综合应用、建立函数表达式模型20. 【答案】 lgx 2+y 2−2xy4=lg (xy )⇒x 2+y 2−2xy =4xy⇒x 2−6xy +y 2=0⇒(x y )2−6(xy )+1=0⇒x y=3±2√2,又因为 x >y >0，所以 x y >1，所以x y=3+2√2．【知识点】对数的概念与运算21. 【答案】由题意知，点 M ，N 的坐标分别为 (5,40)，(20,2.5)，将其分别代入 y =a x 2+b，得 {a25+b =40,a400+b=2.5,解得 {a =1000,b =0.【知识点】函数模型的综合应用22. 【答案】f (x )={60x,0≤x ≤52150,52<x ≤72325−50x,72<x ≤132．【知识点】建立函数表达式模型。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(44)

人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 若 0<m <n ，则下列结论正确的是 ( ) A ． log 12m >log 12nB ． log 2m >log 2nC ． (12)m <(12)nD ． 2m >2n2. 设 a 是函数 f (x )=2x −log 12x 的零点，若 x 0>a ，则 f (x 0) 满足 ( )A ． f (x 0)=0B ． f (x 0)>0C ． f (x 0)<0D ．以上都有可能3. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 ( )A ．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D ．某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油4. 我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为 70 元，不收附加税时，每年大约销售 100 万瓶；若每销售 100 元，国家要征收附加税 x 元（叫做税率 x%），则每年销售量将减少 10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于 112 万元，那么 x 的最小值为 ( ) A ． 2B ． 6C ． 8D ． 105. 函数 f (x )=x 13−12x 的零点所在的区间为 ( ) A ． (0,14)B ． (13,12)C ． (14,13)D ． (12,1)6. 已知函数 f (x )={∣log 3(2−x )∣,x <2−(x −3)2+2,x ≥2，g (x )=x +1x −1，则方程 f(g (x ))=a 的实根个数最多为 ( ) A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 97. 若方程 (lgx )2+(lg7+lg5)lgx +lg7⋅lg5=0 的两根为 α，β，则 αβ 等于 ( ) A ．lg7⋅lg5B ．lg35C ．35D ．1358. 某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再步行走余下的路程，如图中，纵轴表示离开家的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生走法的是 ( ) A ． B ．C ．D ．9. 已知函数 f (x )=log 2(x 2−3x −4)，若对于任意 x 1,x 2∈I ，当 x 1<x 2 时，总有 f (x 1)<f (x 2)，则区间 I 有可能是 ( ) A ． (−∞,−1) B ． (6,+∞) C ． (−∞,32)D ． (32,+∞)10. 已知函数 f (x )=−∣x −a ∣+a ，g (x )=x 2−4x +3，若方程 f (x )=∣g (x )∣ 有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (12,32)∪(138,+∞)B ． (12,138)∪(5+√132,+∞)C ． (12,5−√132)∪[32,138]D ． (12,5−√132]∪[32,138]二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )=x ∣x −a ∣+3x ．若存在 a ∈[−3,4]，使得关于 x 的方程 f (x )=tf (a ) 有三个不相等的实数根，则实数 t 的取值范围是．12. 已知函数 f (x )={e x ,x ≤0lnx,x >0，g (x )=f (x )+x +k ，若 g (x ) 存在两个零点，则实数 k 的取值范围是．13. 若方程 x 2−2x +a =0 有两个不相等的正实数根，则实数 a 的取值范围是．14. 设函数 f (x ) 的定义域为 D ，若对于任意的 x 1∈D ，存在唯一的 x 2∈D ，使得f (x 1)+f (x 2)2=C（C 为常数），则称函数 f (x ) 在 D 上的均值为 C ．给出下列四个函数：① y =x 2；② y =x ；③ y =2x ；④ y =lgx ，则满足其在定义域上均值为 2 的所有函数是（填写序号）．15. 已知 f (x ) 是以 2e 为周期的 R 上的奇函数，当 x ∈(0,e )，f (x )=lnx ，若在区间 [−e,3e ]，关于 x 的方程 f (x )=kx 恰有 4 个不同的解，则 k 的取值范围是．16. 某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过 0.1%．若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少 13，至少应过滤次才能达到市场要求（已知 lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）．三、解答题（共6题）17. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1) f (x )=x+3x ；(2) f (x )=x 2+2x +4．18. 对于函数 f (x )，若存在 x 0∈R ，是 f (x 0)=x 0 成立，则称 x 0 为 f (x ) 的一个不动点，设函数f (x )=ax 2+bx +1(a >0)．(1) 当 a =2，b =−2 时，求 f (x ) 的不动点． (2) 若 f (x ) 有两个相异的不动点 x 1，x 2：①当 x 1<1<x 2 时，设 f (x ) 的对称轴为直线 x =m ，求证：m >12． ②若 ∣x 1∣<2，且 ∣x 1−x 2∣=2，求实数 b 的取值范围．19. 如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙的长度足够长），现用 50 米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设平行于墙的边长为 x 米，要使鸡场面积最大，该边的长度应为多少米？20. 已知 lg2≈0.30103，试确定 21000 是几位数．21. 已知函数 g (x )=ax 2−2ax +1+b (a ≠0,b <1)，在区间 [2,3] 上有最大值 4，有最小值 1，设 f (x )=g (x )x．(1) 求 a,b 的值；(2) 不等式 f (2x )−k ⋅2x ≥0 在 x ∈[−1,1] 时恒成立，求实数 k 的取值范围；(3) 若方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的实数解，求实数 k 的取值范围．22. 设函数 f m (x )=log 2(x +m )（m ∈R ）．(1) 解不等式 f 2(1x )<1．(2) 关于 x 的方程 f 10(x )=(√2)x+λ 在区间 [−2,6] 上有实数解，求实数 λ 的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【解析】因为 0<m <n ，根据指数函数单调性，所以 2m <2n ，(12)m >(12)n，根据对数函数的单调性，所以 log 2m <log 2n ，log 12m >log 12n ．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质2. 【答案】B【解析】画出 y =2x 与 y =log 12x 的图象（图略），可知当 x 0>a 时，2x 0>log 12x 0，故f (x 0)>0．【知识点】零点的存在性定理3. 【答案】D【解析】对于选项A ，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 40 km/h 时的燃油效率大于 5 km/L ，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大于 5 千米，所以A 错误．对于选项B ，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少．C ．根据图象可知，甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，行程 80 千米，此时油耗为 10 千米每升，所以消耗 8 升汽油．D ．从图象可以看出速度不超过 80 千米/小时时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，所以用丙车比用乙车更省油．【知识点】函数模型的综合应用4. 【答案】A【解析】由题意知，征收附加税 x 元，则每年销售量将减少 10x 万瓶，则销量变为 (100−10x ) 万瓶，要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于 112 万元，则 (100−10x )×70×x 100≥112，解得 2≤x ≤8，故 x 的最小值为 2．故选A ．【知识点】函数模型的综合应用5. 【答案】B【解析】易知 f (x ) 在 R 上单调递增，且其图象是一条连续的曲线．因为 f (13)=(13)13−(12)13<0，f (12)=(12)13−(12)13>0，所以 f (x ) 的零点所在的区间为 (13,12)．【知识点】零点的存在性定理6. 【答案】C【解析】由题得函数 g (x )=x +1x −1 的值域为 (−∞,−3]∪[1,+∞)，设 g (x )=t(t ∈(−∞,−3]∪[1,+∞))，作出函数 f (x ) 的图象为：则方程转化为 f (t )=a ，当 1≤a <2 时，直线和图象交点个数最多，有四个交点，也就是 t 有四个实根．且一个 t ≤−1，有三个 t >1．因为函数 g (x )=x +1x −1 在 (0,1)，(−1,0) 上单调递减，在 (1,+∞)，(−∞,−1) 上单调递增．所以 g (x )=t ，当 t 在 [1,+∞)∪(−∞,−3] 每取一个 t 值时，x 都有两个值和它对应，因为 t 最多有 4 个根，所以 x 最多有 8 个解．【知识点】函数的零点分布7. 【答案】D【解析】因为 lgα+lgβ=−(lg7+lg5)=−lg35=lg 135，所以 α⋅β=135．【知识点】对数的概念与运算8. 【答案】C【解析】 x =0 时，y =0，所以排除B 、D 两项；而A 项中刚开始时 y 随 x 变化的小，所以A 是先慢后快．【知识点】函数模型的综合应用9. 【答案】B【解析】对于任意 x 1,x 2∈I ，当 x 1<x 2 时，总有 f (x 1)<f (x 2)，则函数 f (x ) 在区间 I 上单调递增．函数 f (x ) 是由 y =log 2u 与 u =x 2−3x −4 两个函数复合而成，因为 y =log 2u 在 (0,+∞) 上单调递增，由复合函数的单调性可知，只需 u =x 2−3x −4 在 I 上单调递增 (u >0) 即可，令 u =x 2−3x −4>0，得 x >4 或 x <−1，由二次函数的单调性可知 u =x 2−3x −4 在 (4,+∞) 上单调递增，所以区间 I 可能是 (4,+∞) 或它的子区间．【知识点】对数函数及其性质10. 【答案】A【解析】依题意画出 ∣g (x )∣ 的图象如图所示：因为函数 f (x )=−∣x −a ∣+a ，所以 f (x )={x,x <a−x +2a,x ≥a．当直线 y =−x +2a 与 y =−x 2+4x −3(x ∈[1,3]) 相切时，即联立 {y =−x +2a,y =−x 2+4x −3,令 Δ=0，得 a =138． ①当 a <12 时，函数 f (x ) 的图象与 ∣g (x )∣ 的图象无交点，不满足题意； ②当 a =12 时，函数 f (x ) 的图象与 ∣g (x )∣ 的图象交于 (1,0) 点，不满足题意； ③当 12<a <138 时，当 f (x )=−x +2a 经过函数 ∣g (x )∣ 图象上的点 (2,1) 时，恰好也经过函数 ∣g (x )∣ 图象上的点 (3,0)，则要使方程 f (x )=∣g (x )∣ 恰有 2 个不同的实数根，只需 2a <3，即 a <32，故 12<a <32； ④当 a =138 时，函数 f (x ) 的图象与 ∣g (x )∣ 的图象有 3 个交点，不满足题意； ⑤当 a >138时，函数 f (x ) 的图象与 ∣g (x )∣ 的图象有 2 个交点，满足题意．综上：a ∈(12,32)∪(138,+∞)．【知识点】函数的零点分布、函数的图象变换二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (1,4948)【解析】由题意得 f (x )={x 2+(3−a )x,x ≥a−x 2+(3+a )x,x <a ，且关于 x 的方程 f (x )=3at 有三个不相等的实数根．（1）当 −3≤a ≤3 时，−3−a 2≤a ≤a+32，且 −3−a 2≤0≤a+32，可知 f (x ) 在 (−∞,+∞) 上是增函数，此时关于 x 的方程 f (x )=3at 不可能有三个不相等的实数解；（2）当 3<a ≤4 时，0<−3−a 2<a+32<a ，可知 f (x ) 在区间 (−∞,a+32]，[a,+∞) 上分别是增函数，而在区间 [a+32,a] 上是减函数（如图所示）．当且仅当 3a <3at <(a+3)24 时，方程 f (x )=3at 有三个不相等的实数解．即 1<t <(a+3)212a =112(a +9a +6)．令 g (a )=a +9a ，则 g (a ) 在 a ∈(3,4] 时是增函数，则得 g (a )max =g (4)=254．所以，所求实数 t 的取值范围是 (1,4948)．【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 [−1,+∞)【知识点】函数的零点分布13. 【答案】 (0,1)【解析】首先方程有 2 个不相等的根，则 Δ=4−4a >0，即 a <1．设两根分别为 x 1 和 x 2．则由韦达定理知 x 1+x 2=2，x 1x 2=a ，所以 {x 1+x 2=2>0,x 1x 2=a >0,所以 0<a <1．故 a 的取值范围是 (0,1)．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】②④【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质15. 【答案】 (−∞,−1e ]∪[13e ,1e )【知识点】函数的零点分布16. 【答案】 8【解析】设过滤 n 次才能达到市扬要求，则 2%(1−13)n≤0.1%，即 (23)n≤120，所以 nlg 23≤lg 120，即 n ≥1+lg2lg3−lg2≈7.39，所以 n =8．【知识点】函数模型的综合应用三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 令x+3x=0，解得x=−3，所以函数f(x)=x+3x的零点是x=−3．(2) 令x2+2x+4=0，由于Δ=22−4×1×4=−12<0，所以方程x2+2x+4=0无实数根，所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点．【知识点】函数零点的概念与意义18. 【答案】(1) 依题意：f(x)=2x2−2x+1=x，即2x2−3x+1=0，解得x=12或1．所以f(x)的不动点为12和1．(2) ①由f(x)=ax2+bx+1得对称轴x=m=−b2a．设g(x)=f(x)−x=ax2+(b−1)x+1(a>0)，由x1，x2是方程f(x)=x得两个相异的根，且x1<1<x2，所以g(1)<0即a+b<0．所以−ba>1．所以m=−b2a >12得证．② Δ=(b−1)2−4a>0⇒(b−1)2>4a．因为x1+x2=1−ba ，x1x2=1a，所以∣x1−x2∣2=(x1+x2)2−4x1x2=(1−ba )2−4a=22．所以(1−b)2=4a2+4a. ⋯⋯①因为∣x1−x2∣=2，所以x1，x2到g(x)的对称轴x=1−b2a的距离都为1．又因为∣x1∣<2，即−2<x1<2，所以x=1−b2a∈(−3,3)．所以 ∣∣1−b 2a∣∣<3．所以 a >16∣1−b∣．代入①式得 (1−b )2>4×[16(1−b )]2+46∣1−b∣，43(1−b )2>∣1−b∣， 169(1−b )4>(1−b )2，(1−b )2>916．解得 b <14 或 b >74．所以 b 的取值范围是 (−∞,14)∪(74,+∞)．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的零点分布19. 【答案】因为平行于墙的边长为 x 米，所以垂直于墙的边长为50−x 3 米，设鸡场面积为 S 平方米，则 S =x ⋅50−x 3=−13(x 2−50x )=−13(x −25)2+6253，所以当 x =25 时，S max =6253，即平行于墙的边长为 25 米时，鸡场面积最大．【知识点】函数模型的综合应用20. 【答案】 302 位．【知识点】对数的概念与运算21. 【答案】(1) 由条件得，{a >0,g (2)=1+b =1,g (3)=9a −6a +1+b =4, 或 {a <0,g (2)=1+b =4,g (3)=9a −6a +1+b =1, 解得：a =1,b =0 或 a =−1,b =3（舍去）(2) g (x )=x 2−2x +1，所以 f (x )=x 2−2x+1x，令 2x =t ，因为 x ∈[−1,1]，所以 t ∈[12,2]，不等式 f (2x )−k ⋅2x ≥0，可化为：t 2−2t+1t −k ⋅t ≥0，问题等价于 t 2−2t+1t −k ⋅t ≥0 在 t ∈[12,2] 时恒成立；即：k ≤(1t )2−2⋅1t +1 在 t ∈[12,2] 时恒成立，而此时 1t ∈[12,2] 所以 [(1t )2−2⋅1t +1]min =0，所以 k ≤0．(3) 令 m =∣2x −1∣，则方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的实数解 ⇔ 关于 m 的方程 f (m )+k (2m −3)=0 有两个不等的根，其中一个根大于 1，另一根大于 0 且小于 1；f (m )+k (2m −3)=0 可化为：m 2−2m+1m +k (2m −3)=0．化简得：m 2−(2+3k )m +1=0，它的两根分别介于 (0,1) 和 (1,+∞)．只要 12−(2+3k )⋅1+1<0，所以 k >0 为所求的范围．当 m =1 为方程的1根时，检验得不合题意，舍去.【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值、恒成立问题22. 【答案】(1) 由题意，知 log 2(1x +2)<1，由函数单调性，则 {1x +2>0,1x +2<2, 解得 {x <−12或x >0,x <0,故 x <−12，原不等式的解集为 (−∞,−12)．(2) log 2(x +10)=(√2)x +λ，即 λ=log 2(x +10)−(√2)x在 [−2,6] 上递增， x =−2 时，λmin =1；x =6 时，λ=318，所以，实数 λ 的取值范围是 [1,318]．【知识点】函数的零点分布、对数函数及其性质。

《对数函数》同步练习4(新人教A版必修1).doc

对数函数(2)【本课重点】1、通过函数图彖的变换，画岀两数图象，便于直观地研究两数的有关性质。

2、利用化归的思想解决有关对数函数的单调性及最值，值域问题。

【预习导引】1、若y = log^2 |在(0,+8)上是增函数，求a的取值范围。

2、卩og“3| = log“3,则GW _____________3、log“兀vloga(x-l)，则dW ___________4、.f(x)是对数函数，若于(、疗+ 1) + /(、© —1)二丄，则/(VT7+1) + /(V17-1)= _________ 【三基採讨】_____________________________________________________________________【典例练讲】1、画出下列函数图象。

(1)y = log2(x-l)(2) y = log2x-2(3) y = iog)兀+1⑷ y = |log4(x4-2)| + 222、直接写出下列函数的单调区间。

（1）y = log2（~v_2）（2）y = log）（r_2v）（3）y = log广即3、函数y = \og^2-ax+3a）在区间［2,+oo）上是减函数，求实数的取值范围。

4、设/（x） = log“x（d>l）,设知兀2是两个不等正数，试比较/（乞竺）与/（石）+ /（勺）2 2的大小，并证明你的结论。

【陵壹反馈】1、已知0vdVl,0vbvl,且€Z,O§U-V_3） < 1 ,贝山的取值范围是_________________________2、己知log（g）（l —兀）<1,则•的取值范围是__________________________【课后检测】1、函数y = a x与y = log/（G>0,aHl）,下列说法不正确的是A 、两者的图彖关于直线y = %对称B 、前者的定义域和值域分别是后者的值域和定义域C 、两函数在各自的定义域内增减性相同D 、 y = a x 的图象经过平移可得y = log,的图象2、设函数‘ /Cr ） = log “卜|在（-oo,0） ±单调递增，则/（Q + 1）与/（2）的大小关系（）B 、/(d + l) = /(2) D 、不确定 ( ) n i (—x+2) B 、y = log 2 £D 、y = log 3x4、函数y = log ］（-X 2 + 2x + 3）的单调增区间是 __________________5、已知函数y = log a （2-at ）在［0,1］上是的减函数，。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(31)

人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足：①对任意 x ，都有 f (x +3)=f (x ) 成立；②当 x ∈[0,32]时，f (x )=32−∣∣32−2x ∣∣，则方程 f (x )=1∣x∣在区间 [−4,4] 上根的个数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．72. 用二分法求如图所示的函数 f (x ) 的零点时，不可能求出的零点是 ( )A ． x 1B ． x 2C ． x 3D ． x 43. 已知集合 M ={x∣ −2<x <3}，N ={x∣ lg (x +2)≥0}，则 M ∩N = ( ) A ． (−2,+∞)B ． [−1,3)C ． (−2,−1]D ． (−2,3)4. 某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为 60∘（如图），考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 9√3 平方米，且高度不低于 √3 米．记防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长（梯形的上底线段 BC 与两腰长的和）为 y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米，则其腰长 x 的范围为 ( )A ． [2,4]B ． [3,4]C ． [2,5]D ． [3,5]5. 已知 x 1=log 132，x 2=2−12，x 3 满足 (13)x 3=log 3x 3，则 ( )A ． x 1<x 2<x 3B ． x 1<x 3<x 2C ． x 2<x 1<x 3D ． x 3<x 1<x 26. 定义域为 R 的偶函数 f (x )，满足对任意的 x ∈R 有 f (x +2)=f (x )，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2x 2+12x −18，若函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 R 上至少有六个零点，则 a 的取值范围是 ( )A ． (0,√33) B ． (0,√77)C ． (√55,√33)D ． (0,13)7. 已知函数 f (x )={−x 2+6x,x <42x−1,x ≥4，若存在实数 a ，b ，c 满足 f (a )=f (b )=f (c )，其中 c >b >a ，则 (a +b )f (c ) 的取值范围是 ( ) A ． (24,36) B ． (48,54) C ． (24,27) D ． (48,+∞)8. 已知当 x ∈[0,1] 时，函数 y =(mx −1)2 的图象与 y =√x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,1]∪[2√3,+∞) B ． (0,1]∪[3,+∞)C ． (0,√2]∪[2√3,+∞)D ． (0,√2]∪[3,+∞)9. 函数 f (x )=ln (x 2−2x −8) 的单调递增区间是 ( )A ． (−∞,−2)B ． (−∞,1)C ． (1,+∞)D ． (4,+∞)10. 函数 f (x )=(lnx )2−3lnx +2 的零点是 ( ) A ． (e,0) 或 (e 2,0) B ． (1,0) 或 (e 2,0) C ． 1 或 e 2D ． e 或 e 2二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )=x ∣x −a ∣+3x ．若存在 a ∈[−3,4]，使得关于 x 的方程 f (x )=tf (a ) 有三个不相等的实数根，则实数 t 的取值范围是．12. 设函数 f (x )=∣log a x ∣(0<a <1) 的定义域为 [m,n ](m <n )，值域为 [0,1]，若 n −m 的最小值为 13，则实数 a 的值为．13. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是．14. y =a x+2+3（a >0 且 a ≠1）恒过定点．15. 化简 lg1000+813−3log 34= ．16. 函数 y =log 12(x 2−5x +6) 的单调递增区间为．三、解答题（共6题）17.在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2−3∣x∣+2=0．解：设∣x∣=y，y≥0，则原方程可化为y2−3y+2=0，解得y1=1，y2=2．当y=1时，∣x∣=1，所以x=±1；当y=2时，∣x∣=2，所以x=±2．所以原方程的解集是{−1,1,−2,2}．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1) 解方程：x4−10x2+9=0；(2) 若实数x满足x2+1x2−3x−3x=2，求x+1x的值．18.已知函数f(x)=mx∣x−1∣−∣x∣+1，x∈R．(1) 若m=1，试指出函数f(x)的单调区间，并选择一个区间，在此区间上证明函数f(x)是单调递减函数；(2) m在何范围内取值时，f(x)有三个零点．19.已知f(x)=2x−a2x+1(a∈R)的图象关于坐标原点对称．(1) 求a的值，并求方程f(x)+4x−52x+1=0的根．(2) 解关于x的不等式f(2x−1)>f(x−1)．(3) 若存在x∈(0,1)，使不等式f(x)+2x−b2x+1<0成立，求实数b的取值范围．20.定义：若函数f(x)的定义域为R，且存在实数a和非零实数k（a，k都是常数），使得f(2a−x)=k⋅f(x)对x∈R都成立，则称函数f(x)是具有“理想数对(a,k)”的函数．比如，函数f(x)有理想数对(2,−1)，即f(4−x)=−f(x)，f(4−x)+f(x)=0，可知函数图象关于点(2,0)成中心对称图形．设集合M是具有理想数对(a,k)的函数的全体．(1) 已知函数f(x)=2x−1，x∈R，试判断函数f(x)是否为集合M的元素，并说明理由；(2) 已知函数g(x)=2x，x∈R，证明：g(x)∉M；(3) 数对(2,1)和(1,−1)都是函数ℎ(x)的理想数对，且当−1≤x≤1时，ℎ(x)=1−x2．若正比例函数y=mx(m>0)的图象与函数ℎ(x)的图象在区间[0,12]上有且仅有5个交点，求实数m的取值范围．21.已知非零实数x，y，z满足3x=12y=6z，求证：1x +1y=2z．22.已知函数f(x)=∣x∣+2ax−1，（a为常数）．(1) 当a=1时，判断f(x)在(−∞,0)的单调性，并用定义证明；(2) 若对任意x∈R，不等式f(2x)>0恒成立，求a的取值范围；(3) 讨论f(x)零点的个数．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】因为 f (x +3)=f (x )，所以 f (x ) 周期为 3，当 x ∈[0,32] 时，f (x )={2x,0<x ≤34,3−2x,34<x ≤32.画出 y =f (x ) 和 y =1∣x∣ 的图象如下．由图象知方程 f (x )=1∣x∣ 在区间 [−4,4] 上根的个数是 5 个．【知识点】函数的零点分布、函数的图象、函数的奇偶性、函数的周期性2. 【答案】C【解析】 x 3 是不变号零点，不能用二分法求解．【知识点】二分法求近似零点3. 【答案】B【解析】 N ={x∣ x ≥−1}，则 M ∩N =[−1,3)．【知识点】对数函数及其性质、交、并、补集运算4. 【答案】B【解析】根据题意知，9√3=12(AD +BC )ℎ，其中 AD =BC +2⋅x2=BC +x ，ℎ=√32x ，所以 9√3=12(2BC +x )√32x ，得 BC =18x−x2，由 {ℎ=√32x ≥√3,BC =18x −x2>0, 得 2≤x <6．所以 y =BC +2x =18x+3x 2(2≤x <6)，由 y =18x+3x 2≤10.5，解得 3≤x ≤4．因为 [3,4]⊆[2,6)，所以腰长 x 的范围是 [3,4]．【知识点】建立函数表达式模型5. 【答案】A【解析】由题意可知 x 3 是函数 y 1=(13)x与 y 2=log 3x 的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系画出函数 y 1=(13)x与 y 2=log 3x 的图象，如图所示，由图象可知 x 3>1，而 x 1=log 132<0，0<x 2=2−12<1，所以 x 3>x 2>x 1，故选A ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质6. 【答案】A【解析】当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2x 2+12x −18=−2(x −3)2，图象为开口向下，顶点为 (3,0) 的抛物线．因为函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 (0,+∞) 上至少有三个零点，令 g (x )=log a (∣x∣+1)，因为 f (x )≤0，所以 g (x )≤0，可得 0<a <1．要使函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 (0,+∞) 上至少有三个零点，如图要求 g (2)>f (2)． log a (2+1)>f (2)=−2⇒log a 3>−2，可得 3<1a 2⇒−√33<a <√33，a >0，所以 0<a <√33．【知识点】函数的零点分布7. 【答案】B【知识点】函数的零点分布8. 【答案】B【解析】当0<m≤1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx−1)2与y=√x+m 的图象，如图①．易知此时两函数图象在x∈[0,1]上有且只有一个交点；当m>1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx−1)2与y=√x+m的图象，如图②．要满足题意，则(m−1)2≥1+m，解得m≥3或m≤0（舍去），所以m≥3．综上，正实数m的取值范围为(0,1]∪[3,+∞)．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】D【解析】由x2−2x−8>0可得x>4或x<−2，所以x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令u=x2−2x−8，则u=x2−2x−8在x∈(−∞,−2)上单调递减，在x∈(4,+∞)上单调递增．又因为y=lnu在u∈(0,+∞)上单调递增，所以y=ln(x2−2x−8)在x∈(4,+∞)上单调递增．【知识点】复合函数、函数的单调性、对数函数及其性质10. 【答案】D【解析】f(x)=(lnx)2−3lnx+2=(lnx−1)(lnx−2)，由f(x)=0得x=e或x=e2．【知识点】函数零点的概念与意义二、填空题（共6题）)11. 【答案】(1,4948【解析】由题意得 f (x )={x 2+(3−a )x,x ≥a−x 2+(3+a )x,x <a ，且关于 x 的方程 f (x )=3at 有三个不相等的实数根．（1）当 −3≤a ≤3 时，−3−a 2≤a ≤a+32，且 −3−a 2≤0≤a+32，可知 f (x ) 在 (−∞,+∞) 上是增函数，此时关于 x 的方程 f (x )=3at 不可能有三个不相等的实数解；（2）当 3<a ≤4 时，0<−3−a 2<a+32<a ，可知 f (x ) 在区间 (−∞,a+32]，[a,+∞) 上分别是增函数，而在区间 [a+32,a] 上是减函数（如图所示）．当且仅当 3a <3at <(a+3)24 时，方程 f (x )=3at 有三个不相等的实数解．即 1<t <(a+3)212a =112(a +9a +6)．令 g (a )=a +9a，则 g (a ) 在 a ∈(3,4] 时是增函数，则得 g (a )max =g (4)=254．所以，所求实数 t 的取值范围是 (1,4948)．【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 23【解析】作出 y =∣log a x ∣(0<a <1) 的大致图象如图，令 ∣log a x ∣=1，得 x =a 或 x =1a ，又 1−a −(1a −1)=1−a −1−a a=(1−a )(a−1)a<0，故 1−a <1a −1，所以 n −m 的最小值为 1−a =13，a =23．【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1，当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点，若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10，此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点，所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时，只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点，因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点，所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点； ② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为k∈(−∞,−32]∪[2,+∞)时，g(x)在(0,+∞)上无零点，所以k∈(−2,−32]时，g(x)有且仅有2个零点，综上所述：k∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】(−2,4)【解析】因为函数y=a x恒过(0,1)，而函数y=a x+2+3可以看作是函数y=a x向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以y=a x+2+3（a>0且a≠1）恒过定点(−2,4)．【知识点】指数函数及其性质15. 【答案】1【解析】lg1000+813−3log34 =lg103+(23)13−3log34 =3+2−4= 1.【知识点】对数的概念与运算16. 【答案】(−∞,2)【解析】由题知x2−5x+6>0，解得x>3或x<2，又由复合函数单调性可得x<2，故所求函数单调增区间为(−∞,2)．故答案为：(−∞,2)．【知识点】对数函数及其性质、二次函数的性质与图像三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 设x2=a，a≥0，则原方程可化为a2−10a+9=0，即(a−1)(a−9)=0，解得a=1或a=9．当a=1时，x2=1，所以x=±1；当a=9时，x2=9，所以x=±3．所以原方程的解集是{−1,1,−3,3}．(2) 设x+1x =y，当x>0时，y=x+1x≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1时取等号，当x<0时，y=x+1x =−[−x+(−1x)]≤−2√(−x)(−1x)=−2，当且仅当x=−1时取等号，所以 y 的取值范围为 (−∞,−2]∪[2,+∞)．原方程可化为 y 2−2−3y =2，即 y 2−3y −4=0，所以 (y +1)(y −4)=0，解得 y =−1（舍去）或 y =4，故 x +1x =4．【知识点】函数零点的概念与意义18. 【答案】(1) f (x )=x ∣x −1∣−∣x ∣+1，f (x )={−x 2+2x +1,x <01−x 2,0≤x ≤1x 2−2x +1,x >1，在 (−∞,0) 和 (1,+∞) 是递增区间，在 [0,1] 上是递减区间．任取 x 1,x 2∈[0,1]，设 0≤x 1≤x 2≤1，f (x 1)−f (x 2)=1−x 12−1+x 22=(x 2−x 1)(x 2+x 1)，因为 x 2−x 1>0，x 2+x 1>0，所以，f (x 1)−f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)，所以 f (x ) 在 [0,1] 上是单调递减函数．(2) f (x )=mx ∣x −1∣−∣x ∣+1=0，显然，x =1 是一个零点； mx =∣x∣−1∣x−1∣={1+2x−1,x <0−1,0≤x <11,x >0，将问题转化为求 m 在何范围取值时，直线 y =mx 与曲线 g (x )=∣x∣−1∣x−1∣={1+2x−1,x <0−1,0≤x <11,x >0有两个交点的问题，显然，当 0<m <1 时，直线 y =mx 与曲线 g (x )=∣x∣−1∣x−1∣ 有两个交点；当 m <0 时，还有可能有两个交点，此时考虑 mx =x+1x−1，得 mx 2−(m +1)x −1=0，令 Δ=(m +1)2+4m =m 2+6m −1>0，得 m >−3+2√2，m <−3−2√2；所以当 −3+2√2<m <0 时，直线 y =mx 与曲线 g (x )=∣x∣−1∣x−1∣ 有两个交点；综上，当 0<m <1 或 −3+2√2<m <0 时，f (x ) 有三个零点．【知识点】函数零点的概念与意义、函数的单调性19. 【答案】(1) 由已知条件得 f (x ) 是 R 上的奇函数，所以 f (0)=0，即1−a 2=0，解得：a =1，f (x )+4x −52x +1=0，即 2x −12x +1+4x −52x +1=0，所以 4x +2x −6=0，即 (2x −2)(2x +3)=0，因为 2x >0，所以 2x =2，解得 x =1．(2) f (x )=2x −12x +1=2x +1−22x +1=1−22x +1，因为 f (x ) 在 R 上单调递增，所以由 f (2x −1)>f (x −1)，得 2x −1>x −1，解得 x >0，故不等式 f (2x −1)>f (x −1) 的解集是 (0,+∞)．(3) 令 ℎ(x )=2x −12x +1+2x−b2x +1=(2x )2+2x+1−1−b2x +1，由题意知，∃x ∈(0,1)，使 ℎ(x )<0 成立，所以 ∃x ∈(0,1)，使不等式 (2x )2+2.2x −1−b <0 成立，即 ∃x ∈(0,1)，使 b >(2x )2+2.2x −1 成立，令 t =2x ，则 (2x )2+2.2x −1=t 2+2t −1=(t +1)2−2，当 x ∈(0,1) 时，t =2x ∈(1,2)，所以 (2x )2+2.2x −1=(t +1)2−2>2，所以 b >2，即实数 b 的取值范围是 (2,+∞)．【知识点】指数函数及其性质、函数的奇偶性20. 【答案】(1) 依据题意，知 f (x )=2x −1，若 f (2a −x )=k ⋅f (x )，即 2(2a −x )−1=k (2x −1)．化简得 −2x +4a −1=2kx −k ，此等式对 x ∈R 都成立，则 {2k =−2,4a −1=−k,解得 {k =−1,a =12.于是，函数 f (x )=2x −1 有理想数对 (12,−1)．所以，函数 f (x )∈M ．(2) 用反证法证明 g (x )∉M ．假设 g (x )∈M ，则存在实数对 (a,k )(k ≠0) 使得 g (2a −x )=k ⋅g (x ) 成立．又 g (x )=2x ，于是，22a−x =k ⋅2x ，即 22a =k ⋅22x ．一方面，此等式对 x ∈R 都成立；另一方面，该等式左边是正的常数，右边是随 x 变化而变化的实数．两方面互相矛盾，故假设不成立．因此，函数 g (x ) 不存在理想数对 (a,k )(k ≠0) 使 g (x )∈M ，即 g (x )∉M ．(3) 因为数对 (2,1) 和 (1,−1) 都是函数 ℎ(x ) 的理想数对，所以 ℎ(4−x )=ℎ(x )，ℎ(2−x )=−ℎ(x )，x ∈R ，所以ℎ(4+x )=ℎ(4−(4+x ))=ℎ(2−(2+x ))=−ℎ(2+x )=−ℎ(4−(2−x ))=−ℎ(2−x )=ℎ(x ).所以函数 ℎ(x ) 是以 4 为周期的周期函数．由 ℎ(2−x )=−ℎ(x )，ℎ(2−x )+ℎ(x )=0，x ∈R ，可知函数 ℎ(x ) 的图象关于点 (1,0) 成中心对称图形．又 −1≤x ≤1 时，ℎ(x )=1−x 2，所以 1<x ≤3 时，−1≤2−x <1，则 ℎ(x )=−ℎ(2−x )=(2−x )2−1．先画出函数 ℎ(x ) 在 [−1,3] 上的图象，再根据周期性，可得到函数 ℎ(x ) 的图象如图：所以 ℎ(x )={1−(x −2k )2,k 为偶数,2k −1≤x <2k +1(x −2k )2−1,k 为奇数,2k −1≤x <2k +1，所以 ℎ(x )=1−(x −8)2，7≤x ≤9；ℎ(x )=1−(x −12)2，11≤x ≤13．由 {ℎ(x )=1−(x −8)2,y =mx (7≤x ≤9) 有且仅有一个交点，解得 m =16−6√7（m =16+6√7，舍去）．由 {ℎ(x )=1−(x −12)2,y =mx (11≤x ≤13) 有且仅有一个交点，解得 m =24−2√143（m =24+2√143，舍去）．所以函数 y =mx (m >0) 的图象与函数 ℎ(x ) 的图象在区间 [0,12] 上有且仅有 5 个交点时，实数 m 的取值范围是 24−2√143<m <16−6√7．【知识点】恒成立问题、函数的零点分布、反证法、函数的周期性21. 【答案】令 3x =12y =6z =a ，则 x =1log a 3，y =1log a 12，z =1log a 6．【知识点】对数的概念与运算22. 【答案】(1) 当 a =1 时，且 x <0 时，f (x )=−x +2x −1 是单调递减的．证明：设 x 1<x 2<0，则f (x 1)−f (x 2)=(−x 1+2x 1−1)−(−x 2+2x 2−1)=(x 2−x 1)+(2x 1−2x 2)=(x 2−x 1)+2(x 2−x 1)x 1x 2=(x 2−x 1)(1+2x1x 2).又因为 x 1<x 2<0，所以 x 2−x 1>0 且 1+2x 1x 2>0，所以 f (x 1)−f (x 2)>0，所以 f (x 1)>f (x 2)，故当 a =1 时，f (x ) 在 (−∞,0) 上是单调递减的． (2) 由 f (2x )>0 得 ∣2x ∣+2a 2x−1>0，变形为 (2x )2−2x +2a >0，即 2a >−(2x )2+2x ，设 y =−(2x )2+2x ，令 t =2x ，t ∈(0,+∞)，则 y =−t 2+t ，t ∈(0,+∞)，由二次函数的性质，可得 y max =14，所以 2a >14，解得 a >18． (3) 由 f (x )=0 有 2 个零点可得 ∣x ∣+2a x−1=0 有两个解，转化为方程 2a =−x ∣x ∣+x ，x ≠0 有两个解，令 g (x )=x −x ∣x ∣={−x 2+x,x >0x 2+x,x <0，作 y =g (x ) 的图象及直线 y =2a 图象有两个交点，由图象可得：Ⅰ）当 2a >14 或 2a <−14，即 a >18 或 a <−18 时，f (x ) 有 1 个零点； Ⅰ）当 a =18 或 a =−18 或 a =0 时，f (x ) 有 2 个零点； Ⅰ）当 0<a <18 或 −18<a <0 时，f (x ) 有 3 个零点．【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值、函数的单调性。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(60)

人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知函数 f (x )={x 2−2x,x ≤01x−1,x >0，则 f (x ) 的零点个数为 ( )A ． 0B ． 1C ． 2D ． 32. 若方程 2ax 2−x −1=0 在 (0,1) 内恰有一解，则 a 的取值范围是 ( ) A ． a <−1 B ． a >1 C ． −1<a <1 D ． 0≤a <13. 设 a >0，m ，n 是正整数，且 n >1，则下列各式 a mn=√a m n，a 0=1，a −m n=√a mn，正确的个数是 ( ) A ． 3B ． 2C ． 1D ． 04. 设 x ∈R ，则“2x >4”是“lg (∣x ∣−1)>0”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 用二分法求如图所示的函数 f (x ) 的零点时，不可能求出的零点是 ( )A ． x 1B ． x 2C ． x 3D ． x 46. 已知函数 f (x )=(x −a )(x −b )−2，并且 α，β 是方程 f (x )=0 的两个根，则 a ，b ，α，β 的大小关系可能为 ( ) A ． a <α<b <β B ． α<a <β<b C ． α<a <b <β D ． a <α<β<b7. 已知函数 f (x )=ax 2−bx +1，则 f (lg3)+f (lg 13) 的值等于 ( ) A ． 2 B ． 0 C ． 3 D ． 98. log 28−log 24 等于 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 5 D ． 69. 式子 a√−1a 经过计算可得 ( )A ． √−aB ． √aC ． −√aD ． −√−a10. 已知 x ∈(12,1)，a =x 12，b =2x−1，c =lnx +1，则下列关系正确的是 ( ) A ． c 0，且 a ≠1）是指数函数，则 k = ，b = ．12. 已知函数 f (x )=2019x −2019−x +1，则不等式 f (2x −1)+f (2x )>2 的解集为．13. 若函数 y =f (x ) 的图象是连续不断的，有如下的对应值表：x 123456y −52812−5−10则函数 y =f (x ) 在 x ∈[1,6] 上的零点至少有个．14. 已知 f (x )={log 3x,x >0a x +b,x ≤0，且 f (0)=2，f (−1)=3，则 f(f (−3))= ．15. 已知 f (x )=log 2x ，则 f (14)= ．16. 函数 y =log a (2x −1)+2(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 P ，点 P 在指数函数 f (x ) 的图象上，则 f (−1)= ．三、解答题（共6题）17. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时，f (x )=x 2−2x −3．(1) 求 f (x ) 的解析式；(2) 画出函数 f (x ) 的图象，并根据图象直接写出函数的单调区间；(3) 若函数 g (x )=f (x )+x −m 有且仅有一个零点，求实数 m 的取值范围．18. 已知函数 f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，方程 f (x )=x 的两根是 x 1，x 2，且 x 2−x 1>1a ，若0<t <x 1，试比较 f (t ) 与 x 1 的大小．19. 若 log (x+1)(x +1)=1 成立，求 x 的取值范围．20. 设 a 是实数，若关于 x 的方程 x 2+x +a =0 的两根一个大于 1 、一个小于 1，求 a 的取值范围．21.已知集合A={x∣a−1<x<2a+1}，函数y=lg(x−x2)的定义域为B．(1) 若a=1，求集合A∩(∁R B)；(2) 若A∩B=∅，求实数a的取值范围．22.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的解的近似值时，令f(x)=ln(2x+6)+2−3x，并用计算器得到下表：x 1.00 1.25 1.375 1.50f(x) 1.07940.1918−0.3604−0.9989由表中的数据，求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解．（精确度为0.1）答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】x≤0时，x2−2x=0，则x=0或x=2（舍）；−1=0，则x=1，x>0时，1x故f(x)共有2个零点，为0和1．【知识点】函数的零点分布2. 【答案】B【解析】令f(x)=2ax2−x−1，因为f(x)=0在(0,1)内恰有一解，所以f(0)⋅f(1)<0，即(−1)⋅(2a−2)<0，所以a>1．故选B．【知识点】零点的存在性定理3. 【答案】A【知识点】幂的概念与运算4. 【答案】A【知识点】对数函数及其性质、充分条件与必要条件5. 【答案】C【解析】由二分法的原理可知，x3不能用二分法求出，因为其左右两侧的函数值同负．故选C．【知识点】二分法求近似零点6. 【答案】C【解析】由题意得，f(a)=f(b)<0，而f(α)=f(β)=0，借助图象（图略）并结合选项可知，a，b，α，β的大小关系可能为α<a<b<β，故选C．【知识点】函数零点的概念与意义7. 【答案】A+1，【解析】因为函数f(x)=ax3−bx+1，所以f(−x)=−ax3+bx所以 f (x )+f (−x )=ax 3−b x+1−ax 3+bx+1=2，因为 lg3=−lg 13，所以 f (lg3)+f (lg 13)=f (lg3)+f (−lg3)=2．【知识点】对数的概念与运算8. 【答案】A【知识点】对数的概念与运算9. 【答案】D【解析】因为 √−1a 成立，所以 a <0，所以 a√−1a =−√−a 2a=−√−a ．故选D ．【知识点】幂的概念与运算10. 【答案】A【解析】利用图象法，分别画出 x ∈(12,1)，a =x 12，b =2x−1，c =lnx +1 的图象，结合图象，可得 c <b <a ．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质二、填空题（共6题） 11. 【答案】 −1 ； 2【解析】由题意可知 {k +2=1,2−b =0, 解得 {k =−1,b =2.【知识点】指数函数及其性质12. 【答案】 (14,+∞)【知识点】指数函数及其性质、函数的奇偶性、函数的单调性13. 【答案】 2【知识点】函数的零点分布14. 【答案】 2【知识点】对数的概念与运算15. 【答案】 −2【知识点】对数函数及其性质16. 【答案】 12【解析】根据题意，令 2x −1=1，得 x =1，此时 y =2，所以定点 P 的坐标是 (1,2) 因为点 P 在指数函数 f (x ) 的图象上，所以 f (x )=2x ，所以 f (−1)=12．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) f (x )={−x 2−2x +3,x <00,x =0x 2−2x −3,x >0．(2) 图象略，单调增区间：(−∞,−1)，(1,+∞)，单调减区间：(−1,0)，(0,1)． (3) m ∈(−∞,−134)∪(134,+∞)．【知识点】函数的零点分布、函数的奇偶性、函数的单调性18. 【答案】因为 f (x )=x 的两根是 x 1，x 2，所以 f (x )−x =a (x −x 1)(x −x 2)，得 f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)+x ．所以 f (t )−x 1=a (t −x 1)(t −x 2)+t −x 1=(t −x 1)[a (t −x 2)+1]，因为 0<t <x 1，所以 t −x 1<0．因为 x 2−x 1>1a ，所以 x 1−x 2<−1a ，得 t −x 2=(t −x 1)+(x 1−x 2)<−1a ．因为 a >0，所以 a (t −x 2)+1<0，所以 f (t )−x 1=(t −x 1)[a (t −x 2)+1]>0，即 f (t )>x 1．【知识点】函数零点的概念与意义19. 【答案】x>−1且x≠0．【知识点】对数的概念与运算20. 【答案】(x1−1)(x2−1)<0⇒x1x2−(x1+x2)+1<0⇒a+1+1<0⇒a<−2．【知识点】函数的零点分布21. 【答案】(1) 因为B={x∣0<x<1}，所以∁R B={x∣x≤0或x≥1}．又A={x∣0<x<3}，所以A∩(∁R B)={x∣1≤x<3}．(2) 若A=∅，则a−1≥2a+1，解得a≤−2，满足A∩B=∅．若A≠∅，则由A∩B=∅，可知{2a+1>a−1,2a+1≤0或{2a+1>a−1,a−1≥1.解得−2<a≤−12或a≥2．综上可知a的取值范围是{a∣∣a≤−12或a≥2}．【知识点】对数函数及其性质、交、并、补集运算22. 【答案】因为f(1.25)⋅f(1.375)<0，所以根据二分法的思想，可知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取区间(1.25,1.375)的中点 1.3125，两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0.1，因此 1.3125是一个近似解．【知识点】二分法求近似零点。

高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册第四章《指数函数与对数函数》对数函数同步练测

4.4对数函数同步练测
考试时间：120分钟
满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．函数()log (2)(01)a f x x a =+<<的图象过（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限10．关于函数2
0.4log (34)y x x =-++，下列说法正确的是（
）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
参考答案：
10．ACD
【解析】令2340x x -++>，得即函数(2
0.4log 34y x x =-++。

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对数函数同步练习卷一、选择题（共12小题）.1．函数的定义域为（）A．（﹣∞，6）B．[4，6）C．[4，+∞）D．（4，6）2．函数y＝log a（4x﹣1）（a＞0且a≠1）图象必过的定点是（）A．（4，1）B．（1，0）C．（0，1）D．（，0）3．已知函数f（x）＝x，x∈[，]，则f（x）的值域是（）A．[，2]B．[﹣，2]C．[0，2]D．[0，]4．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：第x天12345被感染的计算机数量y（台）10203981160则下列函数模型中能较好地反映计算机在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是（）A．y＝10x B．y＝5x2﹣5x+10C．y＝5•2x D．y＝10log2x+105．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b6．已知函数f（x）＝log（3x2﹣ax+5）在[﹣1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，﹣6]B．（﹣∞，﹣6]C．（﹣8，﹣6]D．7．对任意实数x，都有log a（e x+3）≥1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（）A．B．（1，3]C．（1，3）D．[3，+∞）8．若A（a，b），B（e，c）（其中e为自然对数的底数）是f（x）＝lnx图象上不同的两点，则下列各点一定在f（x）图象上的是（）A．（ae，b+1）B．（a+e，b+1）C．（a+e，b）D．（ae，b）9．若a＞0且a≠1，则“a x＞a y”是“log a|x|＞log a|y|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．若函数f（x）＝log a x（a＞0，且a≠1）在[2，4]上的最大值为4，且函数g（x）＝（1﹣m）a x在R上是减函数，则实数m的取值范围为（）A．m＞1B．m＜1C．m＞0D．m＜011．在同一直角坐标系中，函数y＝a﹣x，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝lg（x2+ax﹣a﹣1），给出下述论述，其中正确的是（）A．当a＝0时，f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．f（x）一定有最小值C．当a＝0时，f（x）的值域为RD．若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥﹣4}二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图所示的曲线是对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为．14．函数f（x）＝log2•log（2x）+log162的最小值为．15．若函数f（x）＝log a（x+1）+2（a＞0且a≠1），图象恒过定点P（m，n），则m+n＝；函数的单调递增区间为．16．已知f（x）＝的值域为R，那么a的取值范围是．三、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）＝log3．（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性并证明；（2）解方程f（2x﹣1）＝0．18．已知函数，若函数g（x）＝2x+a的图象过点（0，4）．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的值域．19．已知函数．（Ⅰ）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是一切实数，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．20．已知函数，函数g（x）＝4x﹣2x+1﹣3．（1）求函数f（x）的值域；（2）若不等式f（x）﹣g（a）≤0对任意实数恒成立，试求实数x的取值范围．附加题（本大题共2小题，每小题10分，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．已知函数f（x）＝log a（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域．（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[1，2]上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．22．已知实数t满足关系式log a（a＞0且a≠1，t＞0且t≠1）．（1）令t＝a x，求y＝f（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，若x∈（0，2]时，y有最小值8，求a和x的值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．函数的定义域为（）A．（﹣∞，6）B．[4，6）C．[4，+∞）D．（4，6）【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．解：由题意得：，解得：7≤x＜6，故选：B．2．函数y＝log a（4x﹣1）（a＞0且a≠1）图象必过的定点是（）A．（4，1）B．（1，0）C．（0，1）D．（，0）【分析】令对数的真数为1，求得x的值和y的值，即可得到函数图象经过的定点坐标．解：令4x﹣1＝1，x＝，此时y＝5，故函数的图象经过定点（，0），故选：D．3．已知函数f（x）＝x，x∈[，]，则f（x）的值域是（）A．[，2]B．[﹣，2]C．[0，2]D．[0，]【分析】利用对数函数的单调性求解即可．解：函数f（x）＝x，x∈[，]，是减函数，所以函数的最小值为：f（）＝＝，函数的值域为：[，2]．故选：A．4．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：第x天12345被感染的计算机数量y（台）10203981160则下列函数模型中能较好地反映计算机在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是（）A．y＝10x B．y＝5x2﹣5x+10C．y＝5•2x D．y＝10log2x+10【分析】根据选项中的函数，依次代入x值求出y的值，通过y的值与表格中所给出的y的值进行比较，误差越小则拟合度越高，误差越大则拟合度越小，计算即可得到答案．解：对于选项A，当x＝1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，30，40，50，对于选项B，当x＝3，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，40，70，110，对于选项D，当x＝1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，10+10log23，30，10+10log28，通过比较，即可发现选项C中y的值误差最小，即y＝5•2x能更好的反映y与x之间的关系．故选：C．5．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．解：由题意，可知：a＝log27＞log24＝2，c＝0.30.8＜1，故选：A．6．已知函数f（x）＝log（3x2﹣ax+5）在[﹣1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，﹣6]B．（﹣∞，﹣6]C．（﹣8，﹣6]D．【分析】令t＝3x2﹣ax+5，则t＝3x2﹣ax+5在[﹣1，+∞）上是增函数，且t＞0，故可建立不等式组，即可得到结论．解：令t＝3x2﹣ax+5，则t＝3x2﹣ax+8在[﹣1，+∞）上是增函数，且t＞0∴，∴﹣8＜a≤﹣6故选：C．7．对任意实数x，都有log a（e x+3）≥1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（）A．B．（1，3]C．（1，3）D．[3，+∞）【分析】根据对数函数的单调性转化为参数恒成立进行求解即可．解：∵log a（e x+3）≥1＝log a a，∴若a＞1，则e x+3≥a恒成立，∵e x+8＞3，∴此时1＜a≤3，综上所述，1＜a≤3，故选：B．8．若A（a，b），B（e，c）（其中e为自然对数的底数）是f（x）＝lnx图象上不同的两点，则下列各点一定在f（x）图象上的是（）A．（ae，b+1）B．（a+e，b+1）C．（a+e，b）D．（ae，b）【分析】由A（a，b），B（e，c）在f（x）＝lnx的图象上，可知b＝lna，c＝lne＝1，结合选项作出判断．解：∵A（a，b），B（e，c）在f（x）＝lnx的图象上，∴b＝lna，c＝lne＝1，∴（ae，b+1）一定在f（x）的图象上，故选：A．9．若a＞0且a≠1，则“a x＞a y”是“log a|x|＞log a|y|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】结合指数函数和对数函数的单调性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若a＞1，由a x＞a y得x＞y，由log a|x|＞log a|y|得|x|＞|y|＞0，则x＞y，无法推出|x|＞|y|＞0，反之也不成立，若0＜a＜1，由a x＞a y得x＜y，由log a|x|＞log a|y|得|y|＞|x|＞0，则x＜y，无法推出|y|＞|x|＞3，反之也不成立，故选：D．10．若函数f（x）＝log a x（a＞0，且a≠1）在[2，4]上的最大值为4，且函数g（x）＝（1﹣m）a x在R上是减函数，则实数m的取值范围为（）A．m＞1B．m＜1C．m＞0D．m＜0【分析】根据f（x）在[2，4]上的最大值为4即可讨论a：a＞1时，可得出log a4＝4，从而求得a＝，满足a＞1，再根据g（x）是R上的减函数即可得出m＞1，同样的方法讨论0＜a＜1即可．解：∵f（x）在[2，4]上的最大值为4；∴①a＞1时，log a4＝4；∴a x在R上是增函数；∴6﹣m＜0；②0＜a＜1时，log a4＝2；∴这种情况不存在；故选：A．11．在同一直角坐标系中，函数y＝a﹣x，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】对a进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；解：由函数y＝a﹣x，y＝1og a（x+），当a＞1时，可得y＝a﹣x是递减函数，图象恒过（0，1）点，当1＞a＞5时，可得y＝a﹣x是递增函数，图象恒过（0，1）点，∴满足要求的图象为：A，C故选：AC．12．已知函数f（x）＝lg（x2+ax﹣a﹣1），给出下述论述，其中正确的是（）A．当a＝0时，f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．f（x）一定有最小值C．当a＝0时，f（x）的值域为RD．若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥﹣4}【分析】此题是一道多选题，主要考查了复合函数的定义域，值域和单调性，属于中档题．解：对于A选项，∵a＝0，∴f（x）＝lg（x2﹣1），即x2﹣1＞0，∴x＜﹣1或x＞1．∴A正确；对于B选项，令u（x）＝x2+ax﹣a﹣1，则复合函数y＝f（x）是由y＝lgu，u＝x2+ax﹣a﹣1 复合而成的对于选项C，当a＝0时，f（x）＝lg（x2﹣1）中的u＝x2﹣1 中的u能够取到所有的正数，∴f（x）的值域为R，∴C选项是正确的；∴u＝x2+ax﹣a﹣1在区间[2，+∞）上是单调递增的，则有，即a≥﹣8．﹣﹣﹣﹣﹣（1）∴a＞﹣3，所以，选项D是错误的．故选：AC．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图所示的曲线是对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为b＞a＞1＞d＞c＞0．【分析】利用对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象，能判断a，b，c，d与1的大小关系．解：对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象如图：∴b＞a＞1＞d＞c＞0．故答案为：b＞a＞1＞d＞c＞0．14．函数f（x）＝log2•log（2x）+log162的最小值为0．【分析】先化简函数为，再换元利用二次函数求最小值．解：由题得，，，则，所以当时，，故答案为：0．15．若函数f（x）＝log a（x+1）+2（a＞0且a≠1），图象恒过定点P（m，n），则m+n ＝2；函数的单调递增区间为（﹣1，+∞）．【分析】令真数等于1，求出x、f（x）的值，可得它的图象经过定点的坐标；根据函数的单调递增区间，即函数y＝x2+nx＝x2+2x的增区间，从而得出结论．解：∵对于函数f（x）＝log a（x+1）+2（a＞0且a≠1），令x+1＝6，求得x＝0，f（x）＝2，可得它的图象（0，2），再根据图象恒过定点P（m，n），则m＝2，n＝2，m+n＝2．故答案为：2；（﹣1，+∞）．16．已知f（x）＝的值域为R，那么a的取值范围是﹣1．【分析】根据函数解析式得出x≥1，lnx≥0，即满足：求解即可．解：∵f（x）＝∴x≥1，lnx≥8，∴1﹣2ax+3a必须到﹣∞，即故答案为：．三、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）＝log3．（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性并证明；（2）解方程f（2x﹣1）＝0．【分析】（1）先根据对数函数有意义的条件求得函数的定义域为（﹣1，1），再结合函数奇偶性的概念和对数的运算法则即可判断f（x）的奇偶性；（2）由f（2x﹣1）＝0，推出log3＝0，解得x的值后，检验2x﹣1是否属于（﹣1，1）即可．解：（1）函数y＝f（x）为奇函数，证明如下：∵f（x）有意义，∴＞0，解得﹣1＜x＜1，∵f（﹣x）＝log2＝log3＝﹣f（x），（2）∵f（6x﹣1）＝0，检验知，﹣1＜20﹣1＜3，故原方程的解为x＝0．18．已知函数，若函数g（x）＝2x+a的图象过点（0，4）．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的值域．【分析】（1）把点（0，4）代入函数g（x）即可求得a值；（2）由（1）中求得的a值可得函数f（x）的解析式，求出函数的定义域，再由换元法结合函数的单调性求值域．解：（1）函数g（x）＝2x+a的图象过点（0，4），∴20+a＝4，解得a＝4，（2）由（1）可知a＝3，∵，∴﹣3＜x＜1，设t＝﹣（x+1）2+4，则t∈（2，4]，∴．∴函数f（x）的值域是[﹣8，+∞）．19．已知函数．（Ⅰ）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是一切实数，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，解得a的值；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是一切实数，恒成立．即恒成立，进而可得答案；（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，则，解得答案．解：（Ⅰ）函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，求得a＝0．……………………又此时f（x）＝﹣x是R上的奇函数．（Ⅱ）函数f（x）的定义域是一切实数，则恒成立．故只要a≥0即可………………………………………………………………最小值是．…………………………………故为所求．…………………………………………20．已知函数，函数g（x）＝4x﹣2x+1﹣3．（1）求函数f（x）的值域；（2）若不等式f（x）﹣g（a）≤0对任意实数恒成立，试求实数x的取值范围．【分析】（1）根据对数的运算性质即可得到f（x）＝（log2x﹣1）2﹣4，即可求出函数的值域，（2）先求出g（a）的最小值，再得到（log2x﹣1）2≤（﹣1）2，解得即可解：（1），＝（log7x﹣log28）（log22+log2x），＝log22x﹣2log5x﹣3＝（log2x﹣7）2﹣4≥﹣4，（2）∵不等式f（x）﹣g（a）≤8对任意实数恒成立，∵g（x）＝4x﹣2x+4﹣3＝（2x）2﹣2•2x﹣3＝（5x﹣1）2﹣4，∴g（a）＝（2a﹣1）2﹣6，∴g（a）min＝g（）＝﹣1﹣2，∴（log2x﹣1）2≤3﹣2＝（﹣1）2，∴6﹣≤log2x≤，故x的取值范围为[2，]附加题（本大题共2小题，每小题10分，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．已知函数f（x）＝log a（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域．（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[1，2]上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意只需要3﹣ax＞0，即可解得x的取值范围．（2）令u＝3﹣ax，则u＝3﹣ax在[1，2]上的函数值恒为正，因为a＞0，a≠1，则必须3﹣2a＞0，解得a∈（0，1）∪（1，），又函数f（x）在[1，2]上单调递减，推出a＞1，所以a∈（1，），所以f（x）max＝f （1）＝1．解：（1）要使得函数f（x）＝log a（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）有意义，只需要3﹣ax＞0，所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，）．令u＝3﹣ax，则u＝3﹣ax在[1，2]上的函数值恒为正，所以u＝4﹣ax在[1，2]上单调递减，所以a∈（0，1）∪（8，），所以a＞1，因为函数f（x）在[8，2]上的最大值为1，即log a（3﹣a）＝1，所以a＝，所以不存在实数a，使得函数f（x）在[1，2]上单调递减，并且最大值为1．22．已知实数t满足关系式log a（a＞0且a≠1，t＞0且t≠1）．（1）令t＝a x，求y＝f（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，若x∈（0，2]时，y有最小值8，求a和x的值．【分析】（1）直接将t＝a x的代入化简消去t即得到y＝f（x）的表达式；（2）利用复合函数的单调性，对底数a进行讨论最值情况，从而求出a和x的值．解：（1）由题意：log a（a＞0且a≠1，t＞3且t≠1）可得：log a t﹣3＝log t y﹣3log t a∴log a y＝x2﹣3x+3，即（x≠0）（2）由（1）可得，那么：f（x）＝a u①若0＜a＜1，要使y＝a u有最小值6，则u＝（x﹣）2+在（0，4]上应有最大值，但u在（0，2]上不存在最大值．②若a＞1，要使y＝a u有最小值8，u＝（x﹣）2+在（0，2]上应有最小值．∴当x＝时，则u min＝，y min＝，解得：a＝16．因此：所求a和x的值分别为16，．。