高等数学实验2 微分、积分
高等数学微积分公式
高等数学微积分公式高等数学微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
在微积分的学习中，我们需要掌握许多公式，在处理函数的变化过程中起到了非常重要的作用。
下面是高等数学中常见的微积分公式。
一、导数公式1.常数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} C=0\]其中C为常数。
2.幂函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} x^{n}=nx^{n-1}\]其中n为常数。
3.自然指数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} e^{x}=e^{x}\]4.对数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} ln(x)=\frac{1}{x}\]5.三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin(x)=cos(x)\]\[\frac{d}{dx} cos(x)=-sin(x)\]6.反三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\] \[\frac{d}{dx} cos^{-1}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]7.复合函数的导数公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\]二、微分公式1.常数函数的微分公式：\[d(C)=0\]其中C为常数。
2.幂函数的微分公式：\[d(x^{n})=nx^{n-1}dx\]其中n为常数。
3.指数函数的微分公式：\[d(e^{x})=e^{x}dx\]4.三角函数的微分公式：\[d(sin(x))=cos(x)dx\]\[d(cos(x))=-sin(x)dx\]5.反三角函数的微分公式：\[d(sin^{-1}(x))=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]\[d(cos^{-1}(x))=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]6.复合函数的微分公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[dy=\frac{dy}{du}\times du\]三、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它可以将一个函数在某点的值表示为一系列关于该点的导数的和。
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。
下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。
高数微积分公式大全3篇
高数微积分公式大全第一篇：高数微积分公式大全（上）微积分是数学中的重要分支，也是物理、工程、经济等领域中不可或缺的工具。
下面将介绍一些高等数学中常用的微积分公式，包括极限、导数、微分等，供读者参考。
1. 极限极限是微积分中的基本概念，它描述的是函数在某一点附近的取值趋近于某个常数的情况。
极限公式如下：（1）左极限$$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=A$$（2）右极限$$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=A$$（3）无穷远处的极限$$\lim_{x\to \infty}f(x)=A$$（4）无穷小量$$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$2. 导数导数是微积分中的重要概念，它描述的是函数在某一点处的变化率。
导数公式如下：（1）切线的斜率$$k=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$（2）函数的导数$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$3. 微分微分是微积分中的基本运算，它可以帮助我们研究函数的变化趋势。
微分公式如下：$$df=f'(x)dx$$其中，$dx$表示自变量$x$的微小变化量，$df$表示因变量$y$的微小变化量。
4. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以帮助我们将一个函数表示为一系列多项式的和，从而简化函数的计算。
泰勒公式如下：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$其中，$f^{(n)}(x)$表示函数$f(x)$的$n$阶导数。
5. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复分析中的重要定理，它描述了复函数的导数和复共轭函数的关系。
柯西-黎曼方程如下：$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partialv}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$其中，$u(x,y)$和$v(x,y)$分别表示复函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的实部和虚部。
《高等数学实验》课程教学大纲
《高等数学实验》课程教学大纲开课单位（系、教研室、实验室）：数学与统计学院高等数学教研室学分：1 总学时：16H课程类别：选修考核方式：考查课程负责人：赵振华课程编号：10801-2基本面向：全校性选修课一、本课程的目的、性质及任务本课程是将高等数学知识、数学软件和计算机应用有机地结合，将高等数学的基本知识直观形象地演示出来的课程。
课程性质：高等数学实验是一门全校性选修课及0402，0405，0408专业的专业选修课程。
课程目的和任务：从高等数学的基本知识出发，借助计算机，让学生能直观理解高等数学的知识,充分调动学生学习的主动性。
培养学生的创新意识，使用计算机并利用数学软件理解高等数学基本知识的能力，最终达到提高学生数学素质和综合能力的目的。
本课程的基本任务是教师主要讲授一些MATLAB的基本知识及其MATLAB软件实现，包括函数图形画法,微分计算,积分计算,级数敛散性判别，矩阵计算,线性方组的解等。
二、本课程的基本要求本课程的教学要求分为三个层次。
凡属较高要求的内容，必须使学生熟练掌握；在教学要求上一般的内容必须使学生掌握；在教学上要求较低的内容要求学生了解（一）MATLAB简介1、了解MATLAB环境，MATLAB的基本使用方法2、熟练掌握MATLAB的基本元素及使用方法、程序语言的编写、函数及M文件（二）基本函数图形的绘制1、熟练掌握常用绘图函数、函数图形的绘制2、熟练掌握函数图形的绘制（三）微积分实验1、熟练掌握用MATLAB表示函数，求极限2、熟练掌握用MATLAB求导数，3、掌握用MATLAB求数值微分4、熟练掌握用MATLAB求一元函数的积分，了解多元函数的积分计算（四）无穷级数实验1、熟练掌握用Matlab判别数项级数的敛散性、2、熟练掌握用Matlab数项级数求和、3、掌握用Matlab求函数项级数的和函数、4、掌握用Matlab求函数()f x的Taylor级数展开式及Fourier级数展开式（五）常微分方程实验1、熟练掌握用Matlab求常微分方程（组）的解析解2、熟练掌握用Matlab求常微分方程（组）初值问题的数值解（六）线性代数实验1、熟练掌握用MATLAB作矩阵的基本运算2、熟练掌握用MATLAB判断向量的相关性3、熟练掌握用MATLAB求线性方程组的解；4、熟练掌握用MATLAB求矩阵的特征值与特征向量5、掌握用MATLAB化二次型标准型（七）综合实验1、熟练掌握通过分析问题来建立数学模型，进而用MATLAB对模型的求解三、本课程与其它课程的关系1、本课程的先修课程：（1）高等数学极限，导数，积分、级数、微分方程等是高等数学实验课程所需要重要知识。
高等数学实验2 微分、积分(含答案)
班级 学号 姓名高等数学实验2 微分、积分一. 用MA TLAB 计算下列导数：diff 函数（1）已知2xy e =，求y '、y ''、(10)y 。
（2）已知nx y e =，求y '''。
（3）已知210x y xe-=,求y '、y ''与(8)y 。
(4)设2sin ()43x f x x x =++，求()f x '、()f x ''及()6f π''。
二．用MA TLAB 解方程。
solve 函数1．一元方程与线性方程（组）（1） 解方程 062=--x x（2）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+060622x y y x （3）解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=++-=++012412324543213214321431x x x x x x x x x x x x x x2．非线性方程（组）（4）解非线性方程组⎩⎨⎧=+-=--0sin 3.0cos 5.00cos 3.0sin 5.0212211x x x x x x 三。
用MA TLAB 计算极值：(1)已知销售额R 是价格P 的函数，且200184R P P ⎛⎫=-⎪+⎝⎭。
当价格P 为何值时， 销售额R 有最大值，且求此最大值。
(2)已知某公司收益函数210xR xe -=，成本函数32(1085)/100C x x =++，其中x 为产（销）量，求最大收益、最低平均成本和最大利润。
四．用MATLAB 计算下列不定积分 int 函数1．ln xdx ⎰； 2。
321x x e dx -⎰； 3． 42(31)sin(21)x x x dx -++⎰； 4．(sin sin cos )ax bx cx dx ⨯⨯⎰； 5．（练习）5(4)ln(32)x x x dx --⎰； 6．（练习）4sin(25)x x e dx +⎰；五．用MATLAB 计算下列定积分 int 函数1．120(1)x xe dx x +⎰ 2。
高等数学二函数知识点总结
高等数学二函数知识点总结在高等数学二中，函数是一个非常重要的概念，它是描述数学关系的一种工具。
在本文中，我们将总结高等数学二中关于函数的重要知识点，包括函数的定义、性质、极限与连续性等内容。
一、函数的定义在高等数学二中，函数是一个非常基础的概念。
函数可以理解为一种特殊的关系，它将一个或多个自变量映射到一个或多个因变量上。
严格的定义是：设A和B是两个非空的集合，如果按照某个确定的对应关系f，对于A中的每一个元素x都有唯一确定的B中的元素y与之对应，那么就称这样的对应关系f为从A到B的函数，记作f：A→B，y=f(x)。
其中，A称为函数f的定义域，B称为函数f的值域。
在高等数学二中，我们还介绍了多种不同形式的函数，例如常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数在不同的数学领域具有重要的应用，因此对它们的性质和变化规律进行深入的了解是非常重要的。
二、函数的性质在高等数学二中，我们学习了函数的一些重要性质，例如奇偶性、周期性、单调性等。
这些性质可以帮助我们更加深入地了解函数的特点和变化规律，从而能够更加灵活地应用函数进行问题的求解。
（一）奇偶性对于函数f(x)，如果满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
根据奇偶性的定义，我们可以得出以下结论：1. 偶函数的图像关于y轴对称；2. 奇函数的图像关于原点对称；3. 对于任意函数f(x)，都可以分解为一个偶函数和一个奇函数的和。
（二）周期性对于函数f(x)，如果存在一个正数T，使得对于任意x都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数，T称为函数f(x)的周期。
周期函数在实际问题中有着广泛的应用，例如正弦函数、余弦函数等。
（三）单调性对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意x1，x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么称f(x)在该区间上是单调增加的；如果对于定义域内的任意x1，x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，那么称f(x)在该区间上是单调减少的。
《高等数学2》教案
教学目标与要求
素质目标
培养学生的创新意识和实 践能力；
培养学生的数学素养和逻 辑思维能力；
培养学生的自主学习和终 身学习能力。
教材选用及内容安排
教材选用
《高等数学（第二版）》，同济大学数学系编，高等教育出版社。该教材系统全面，难度适中，适合作为本课 程的教材。
内容安排
本课程共分为四个部分，分别是一元函数微积分、多元函数微积分、级数和常微分方程。每个部分包含若干章 节，每个章节后附有习题供学生练习。课程安排合理，循序渐进，有助于学生逐步掌握所学知识。
4 无穷级数题型
主要包括常数项级数、幂级数、傅里叶级数的审敛法、 求和方法和应用题。解题技巧包括熟练掌握基本概念和 性质，灵活运用比较审敛法、比值审敛法等方法判断级 数的敛散性，以及掌握幂级数的和函数求法和应用等。
下一步学习建议
加强重积分的计算和应用能力， 尤其是三重积分的计算和应用， 提高空间想象能力和数学建模能 力。
课程的基础。
02
课程在人才培养中的作用
通过本课程的学习，学生将掌握数学分析的基本方法，培养逻辑思维和
抽象思维能力，为未来的学习和工作奠定坚实的基础。
03
课程与前后课程的联系
本课程是《高等数学1》的延续，将进一步深化学生对微积分、级数、
常微分方程等内容的理解，并为后续课程如《线性代数》、《概率论与
数理统计》等提供必要的数学工具。
03
平面与直线之间的 位置关系
讲解平面与直线平行、相交和垂 直等位置关系的判断方法和求解 过程。
二次曲面方程的建立和求解
二次曲面的一般方程与标准方程
阐述二次曲面的一般方程和标准方程的概念，以及两种方程之间的 转换方法。
高数常用微积分公式24个
高数常用微积分公式24个为了更好地帮助大家理解高等数学中的微积分，本文主要介绍高数常用的微积分公式24个。
首先，介绍最基本的微积分概念。
微积分是一个广义的概念，它包括微分学和积分学。
微分学是研究变动数量的变化率，变量可以表达为函数。
积分学则是将某一函数在不同区域上的积分和运算，可以表示为面积、重量或其他距离变化的概念。
其次，介绍高数常用的微积分公式。
1、微分中的基本公式：（1）函数的定义域x的导数，表示为f′(x)（2）复合函数的导数，表示为f′(g(x))（3）二阶导数的定义，表示为f″(x)2、积分中的基本公式：（1）求解定积分，表示为∫[a, b]f(x)dx（2）定积分的换折叠公式，表示为∫[a, b]f(x)dx=[a,c]f(x)dx+[c, b]f(x)dx（3）求解不定积分，表示为∫f（4）二重积分的定义，表示为∫[a, b]∫[c, d]f(x,y)dydx （5）定义域积分，表示为∫[S]f(x,y)ds3、微分与积分的关系：微分与积分有着相互联系的关系。
积分是将函数某一段区间的值累积为某一量，而微分则是积分的反过程，求出函数在有限的区间内的变化率。
这一关系也被称为微分法和积分法的反射关系。
4、偏微分的基本公式：偏微分是指关于同一变量的偏导数。
它是微分中比较复杂的一种形式，通常与多元函数相关，旨在研究函数变化率在同一点上受其他变量影响的情况。
它的基本公式为f′(x, y)=f/x, f′(x, y)=f/y。
5、常见的微分与积分公式：（1）指数函数的求导公式，表示为f′(x)=ae^(ax)（2）对数函数的求导公式，表示为f′(x)=1/x（3）三角函数的求导公式，表示为f′(x)=cos(x),f′(x)=sin(x)（4）椭圆函数的求导公式，表示为f′(x)=2a(a+bx)/(b^2-a^2)（5）反椭圆函数的求导公式，表示为f′(x)=-2a(a+bx)/(b^2-a^2)（6）求极限的求导公式，表示为limX→0f′(x)=f(0)（7）求微积分的积分公式，表示为∫[a,b]f(x)=F(b)-F(a)最后，本文介绍了高数常用的微积分公式24个，包括微分、积分、偏微分以及极限的求导公式，利用这些公式，大家就可以更好地理解微积分的概念，从而更好地学习高等数学中的微积分内容。
应用高等数学第2章 微分学及其应用
7
例2-1 求函数y=c(c为常数)的导数.
8
例2-2 求函数y=sinx的导数.
9
三、函数可导性与连续性的关系 x0 定理2-1 若函数y=f(x)在点x0可导，则f(x)在点 .
例2-3 证明函数
在点x=0连续，但不可导.
10
图2-3
11
四、曲线的切线与法线 根据导数的几何意义，如果函数y=f(x)在点x0 可导，则曲线y=f(x)在点M0（x0，y0）处的切线方 程为
33
图2-4
34
三、微分的运算 由导数运算法则可推出微分的运算法则：
35
例2-26 已知y=lnsin(2x+1)，求dy.
36
四、由参数方程所确定的函数的导数 前面研究的都是形如y=f(x)的函数关系.但在某 些情况下，函数y与自变量x的函数关系是通过第3 个变量（叫做参变量）给出的，如方程
19
例2-10
已知
解 因为y=ax与x=logay互为反函数，由反函数 求导法，得
20
定理2-4 如果u=φ(x)在点x处有导数
函数y=f(u)在对应点u处有导数 则复合函数y=f［φ(x)］在点x处有导数，并且
21
例2-11 已知y=sin2x，求
解 y=sin2x由y=sinu,u=2x复合而成.
2
图2-1
3
2 设曲线L的方程为y=f(x)，求此曲线上点M0处 切线的斜率K（见图2-2）.
图2-2
4
二、导数定义 求瞬时速度与切线斜率这两个问题，在数学上 共同地被表示为一个函数在某点的增量与自变量增 量比的极限.除了这两个在历史上与导数概念形成 有着密切关系的问题外，在科学和工程技术领域中 还有大量类似的问题.例如：物理学中的电流强度 ，化学中的反应速度等等，都可以用增量比的极限 来描述，这就是我们要引入的导数.
高等数学微积分方程
2 求极限
在Matlab语言中求多元函数的极限，具体到 二元函数不能求二重极限，只能求二次极限。
例6 求极限 lim(2 xy exy) y x x0 输入语句： syms x y; z=2+x*y+exp(x*y); limit(limit(z,y,sqrt(x)),x, 0) 并观察输出的结果。
输出：
％默认变量为t，不是我们所需的解
s=
(1/2*exp(-x*(x-2*t))+C1)*exp(-2*x*t)
（2）输入：
s = dsolve(’Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)’, ’x’)
％指定变量为t，为所求
输出：
s=
(1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)
1、微分方程
例4 求微分方程 xy y ex 0在初始条件 y x1 2e
％ 二阶导数用“D2y”表示 输出： ans =
-1/4*exp(x)-1/3*exp(-3*x)*C1+C2
1、微分方程
例5
求微分方程
d2y
dx2
4
dy dx
29
y
0
的特解。
y(0) 0, y(0) 15
输入： z = dsolve(’D2y+4*Dy+29*y=0’, ’y(0)=0, Dy(0)=15’, ’ 输出：
％ sym(’x’)申明x为符号变量
f = symsum(k^2, k, 0, n-1)
g = symsum(1/n^2, 1, inf) ％ 由Matlab中的函数findsym确定自变量
高等数学2教材内容
高等数学2教材内容高等数学2教材作为大学数学课程中的重要组成部分，主要涵盖了微积分和线性代数等方面的内容。
它是一门具有较高难度的数学课程，对学生的数学思维和分析能力提出了更高的要求。
下面将对高等数学2教材的内容进行详细介绍。
第一章：微分方程微分方程是高等数学2教材的重要内容之一。
本章主要介绍了一阶微分方程和二阶线性微分方程的基本理论与方法。
学生将学习到如何求解微分方程以及应用微分方程解决实际问题的方法。
同时，还包括变量可分离方程、齐次线性微分方程、常系数非齐次线性微分方程等内容。
第二章：多元函数微分学多元函数微分学是高等数学2教材的第二章内容，它是微积分的一个重要分支。
本章主要介绍了多元函数的偏导数、全微分、方向导数、梯度以及多元函数的极值等概念和方法。
学生将学会如何根据函数的特点求解极值、应用多元函数解决实际问题等。
第三章：多元函数积分学多元函数积分学是高等数学2教材的第三章内容。
本章主要介绍了重积分、曲线积分和曲面积分等重要概念和计算方法。
学生将学会如何计算二重积分、三重积分以及应用积分解决实际问题。
第四章：无穷级数无穷级数是高等数学2教材的第四章内容。
本章主要介绍了数项级数、级数的敛散性以及收敛级数的性质。
进一步讲解了幂级数、傅里叶级数等概念和方法。
学生将学会判断级数的敛散性，并应用级数解决相关数学问题。
第五章：二次型与正定性二次型与正定性是高等数学2教材的第五章内容。
本章主要介绍了二次型的定义、矩阵表示和正定性等概念。
学生将学会如何通过矩阵运算和矩阵变换来研究二次型的性质，并应用二次型解决相关的线性代数问题。
第六章：常微分方程初步常微分方程初步是高等数学2教材的最后一章内容。
本章主要介绍了常微分方程的初等解法，包括一阶常微分方程和二阶常微分方程的初等解法。
学生将学会如何通过变量分离、齐次化、常数变易法等方法求解常微分方程，并应用常微分方程解决相关的实际问题。
以上是高等数学2教材的主要内容概括。
高等数学二全部笔记
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x =→)(lim 0左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1． 无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
高等数学数学实验报告(两篇)2024
引言概述:高等数学数学实验报告（二）旨在对高等数学的相关实验进行探究与研究。
本次实验报告共分为五个大点，每个大点讨论了不同的实验内容。
在每个大点下，我们进一步细分了五到九个小点，对实验过程、数据收集、数据分析等进行了详细描述。
通过本次实验，我们可以更好地理解高等数学的概念和应用。
正文内容:一、微分方程实验1.利用欧拉法求解微分方程a.介绍欧拉法的原理和步骤b.详细阐述欧拉法在实际问题中的应用c.给出具体的实例，展示欧拉法的计算步骤2.应用微分方程建立模型求解实际问题a.介绍微分方程模型的建立方法b.给出一个具体的实际问题，使用微分方程建立模型c.详细阐述模型求解步骤和结果分析3.使用MATLAB求解微分方程a.MATLAB求解微分方程的基本语法和函数b.给出一个具体的微分方程问题，在MATLAB中进行求解c.分析结果的准确性和稳定性二、级数实验1.了解级数的概念和性质a.简要介绍级数的定义和基本概念b.阐述级数收敛和发散的判别法c.讨论级数的性质和重要定理2.使用级数展开函数a.介绍级数展开函数的原理和步骤b.给出一个函数，使用级数展开进行近似计算c.分析级数近似计算的精确度和效果3.级数的收敛性与运算a.讨论级数收敛性的判别法b.介绍级数的运算性质和求和法则c.给出具体的例题，进行级数的运算和求和三、多元函数极值与最值实验1.多元函数的极值点求解a.介绍多元函数的极值点的定义和求解方法b.给出一个多元函数的实例，详细阐述求解过程c.分析极值点对应的函数值和意义2.多元函数的条件极值与最值a.讨论多元函数的条件极值的判定法b.给出一个具体的多元函数，求解其条件极值和最值c.分析条件极值和最值对应的函数值和意义3.利用MATLAB进行多元函数极值与最值的计算a.MATLAB求解多元函数极值与最值的基本语法和函数b.给出一个多元函数的具体问题，在MATLAB中进行求解c.分析结果的准确性和可行性四、曲线积分与曲面积分实验1.曲线积分的计算方法与应用a.介绍曲线积分的定义和计算方法b.给出一个具体的曲线积分问题，详细阐述计算过程c.分析曲线积分结果的几何意义2.曲线积分的应用举例a.讨论曲线积分在实际问题中的应用b.给出一个实际问题，使用曲线积分进行求解c.分析曲线积分结果的实际意义和应用价值3.曲面积分的计算方法与应用a.介绍曲面积分的定义和计算方法b.给出一个具体的曲面积分问题，详细阐述计算过程c.分析曲面积分结果的几何意义五、空间解析几何实验1.空间曲线的参数方程表示与性质a.介绍空间曲线的参数方程表示和性质b.给出一个具体的空间曲线，转化为参数方程表示c.分析参数方程对应的几何意义和性质2.平面与空间直线的位置关系a.讨论平面与空间直线的位置关系的判定方法b.给出一个具体的平面与空间直线的问题，判定其位置关系c.分析位置关系对应的几何意义和应用实例3.空间直线与平面的夹角和距离计算a.介绍空间直线与平面的夹角和距离的计算方法b.给出一个具体的空间直线和平面，计算其夹角和距离c.分析夹角和距离计算结果的几何意义总结:通过本次高等数学数学实验报告（二），我们深入了解了微分方程、级数、多元函数极值与最值、曲线积分、曲面积分以及空间解析几何的相关概念和应用。
微分和积分电路原理
微分和积分电路原理
微分电路原理
微分电路是一种能够实现电信号的微分运算的电路。
微分运算可以理解为对输入信号的斜率进行测量或计算。
微分电路的核心部件是电容器和电阻器。
当输入信号经过电阻器到达电容器时，电容器将对信号进行积分操作。
通过将输出信号与输入信号相减，可以得到信号的微分部分。
微分电路的数学模型可以表示为：
Vout = -RC(dVin/dt)
其中，Vout为输出电压，Vin为输入电压，R为电阻值，C为电容值，dt为时间微元。
通过适当选择电容和电阻的数值，可以调节微分电路的工作频率范围。
积分电路原理
积分电路是一种能够对输入信号进行积分运算的电路。
积分运算可以理解为对输入信号的面积进行测量或计算。
积分电路的核心部件是电容器和电阻器。
当输入信号经过电阻器到达电容器时，电容器将对信号进行积分操作。
通过将输出信号与输入信号相加，可以得到信号的积分部分。
积分电路的数学模型可以表示为：
Vout = -1/(RC) ∫(Vin dt)
其中，Vout为输出电压，Vin为输入电压，R为电阻值，C为电容值，∫为积分运算符，dt为时间微元。
通过适当选择电容和电阻的数值，可以调节积分电路的工作频率范围。
高等数学2微积分教材
高等数学2微积分教材微积分是高等数学的重要分支之一，对于大多数学科而言，都是不可或缺的基础知识。
在高等数学2课程中，微积分的学习进一步深入，并囊括了更加复杂的概念和技巧。
本教材旨在帮助学生更好地理解和掌握高等数学2微积分领域的知识。
第一章：导数1.1 导数的定义在本章中，我们将详细讲解导数的定义及其几何意义。
通过导数的概念，我们可以研究函数的变化率和曲线的切线，为后续章节的学习奠定了坚实的基础。
1.2 导数的计算本小节将介绍常见函数的导数计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
同时，我们还将讲解导数运算中常用的性质和规则，如和差法、积法和商法等。
1.3 高阶导数与隐函数求导进一步探讨导数的性质，引入高阶导数的概念。
此外，我们还将学习如何求解含有隐函数的导数问题，为后续章节提供了更广泛的应用场景。
第二章：微分学及其应用2.1 微分学基本定理介绍微分学的基本定理，包括费马定理、罗尔定理和拉格朗日中值定理等。
这些定理是微积分的重要工具，可以用于解决函数的最值问题和证明函数性质等。
2.2 极值与最值通过极值和最值的概念，我们可以研究函数的局部特性和全局特性。
本节将详细介绍求解极值和最值的方法，如一元函数求极值和二元函数求最值等。
2.3 函数的图形与曲线的凹凸性借助微分学的知识，我们可以研究函数的图形和曲线的凹凸性。
在本小节中，我们将学习求解函数的图形、拐点以及曲线的凹凸性的方法，丰富了对函数性质的理解。
第三章：积分学及其应用3.1 不定积分介绍不定积分的概念和性质，学习基本的积分法，如换元积分法、分部积分法和有理函数的积分等。
同时，我们还将讲解一些特殊函数的积分方法。
3.2 定积分深入学习定积分的概念和性质，探讨定积分与面积、长度以及物理学中的应用。
此外，我们还将学习计算定积分的基本方法，如分割求和法和换元法等。
3.3 积分中值定理与反常积分引入积分中值定理和反常积分的概念，进一步拓展了积分学的应用范围。
湖南高等数学2课本教材
湖南高等数学2课本教材高等数学是大学数学课程中的一门重要课程，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有至关重要的作用。
湖南高等数学2课本教材是湖南省高等教育出版社出版的教材，旨在帮助学生全面掌握高等数学的基本理论和方法，提高数学水平。
第一章微积分基本概念微积分作为高等数学的重要分支，是研究变化过程和量的增减的数学工具。
在第一章中，教材首先介绍了微积分的起源和发展历史，为学生提供了一个对微积分产生兴趣的背景。
接下来，教材详细介绍了微积分的基本概念，包括函数的概念、极限的定义和性质、连续性以及导数的计算等内容。
通过对这些基本概念的学习，学生能够建立起对微积分的初步认识与理解。
第二章导数与微分在第二章中，教材深入探讨了导数与微分的概念与性质。
首先介绍了导数的定义及其几何意义，然后引入常见的导数公式和求导法则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的求导法则。
同时，教材还讲解了高阶导数和隐函数求导，为进一步学习微积分打下坚实基础。
第三章微分中值定理与导数应用第三章主要介绍了微分中值定理和导数的应用。
微分中值定理是微积分的重要定理之一，它能够帮助我们研究函数在某一区间内的性质。
在教材中，通过具体的例子和推导过程，学生能够深入理解微分中值定理的原理和应用。
此外，教材还介绍了导数的应用，包括切线方程的求解、函数的单调性、极值点的判断等内容。
这些应用将抽象的数学概念与实际问题相结合，使学生更好地理解导数的作用。
第四章不定积分不定积分是微积分的重要内容之一，它是求解元函数的原函数的过程。
在第四章中，教材详细讲解了不定积分的概念和性质，介绍了常见函数的不定积分表达式和求解方法。
同时，教材还引入了换元法和分部积分法等重要技巧，并通过实例演练帮助学生熟练掌握不定积分的运算方法。
第五章定积分与定积分的应用定积分是微积分的另一个重要概念，它可以用于计算曲线下面的面积、弧长以及平均值等。
在第五章中，教材详细介绍了定积分的定义和性质，通过具体的图像和计算例题，帮助学生理解定积分的几何意义和实际应用。
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班级 学号 姓名
高等数学实验2 微分、积分
一. 用MA TLAB 计算下列导数：
（1）已知2x
y e =，求y '、y ''、(10)y 。
（2）已知nx y e =，求y '''。
（3）已知210x y xe
-=,求y '、y ''与(8)y 。
(4)设2sin ()43x f x x x =++，求()f x '、()f x ''及()6
f π''。
二．用MA TLAB 解方程。
1．一元方程与线性方程（组）
（1） 解方程 062
=--x x
（2）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+060622x y y x （3）解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=++-=++0
1
2412324543213214321431x x x x x x x x x x x x x x
2．非线性方程（组）
（4）解非线性方程组⎩⎨⎧=+-=--0sin 3.0cos 5.00cos 3.0sin 5.0212
211x x x x x x 三。
用MA TLAB 计算极值：
(1)已知销售额R 是价格P 的函数，且200184R P P ⎛⎫=-
⎪+⎝⎭。
当价格P 为何值时， 销售额R 有最大值，且求此最大值。
(2)已知某公司收益函数210x
R xe -=，成本函数32(1085)/100C x x =++，其中x 为产（销）
量，求最大收益、最低平均成本和最大利润。
四．用MATLAB 计算下列不定积分
1．
ln xdx ⎰； 2。
321x x e dx -⎰； 3． 42(31)sin(21)x x x dx -++⎰； 4．(sin sin cos )ax bx cx dx ⨯⨯⎰； 5．（练习）5(4)ln(32)x x x dx --⎰
； 6．（练习）
4sin(25)x x e dx +⎰；
五．用MATLAB 计算下列定积分
1．120(1)x xe dx x +⎰ 2。
40⎰ 3．2x e dx +∞--∞⎰ 4．20cos ax e bxdx π
⎰
5．（练习）2
0arctan a
x x dx a ⎰ 6。
（练习）0arcsin a x x dx a ⎰ 六．案例解答 （1） 某产品边际成本函数1
21()2000
C x x -'=+，且知10000件产品的总成本是1200元，求
总成本函数。
（2） 已知某产品的边际成本和边际收入分别为
2()46,()1052C x x x R x x ''=-+=-
且固定成本为100。
其中x 为销售量。
当销售量为多少时有最大利润？最大利润是多少？。