有关定义域和值域的逆向问题
函数定义域值域求法十一种
高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足x 2 2x 15 0①11 或 x>5。
3且x 11} {x |x 5}。
1例2求函数y '定义域。
*16 x 2解：要使函数有意义，则必须满足sinx 0 ① 16 x 2 0② 由①解得2k x 2k ，k Z ③ 由②解得4x4④由③和④求公共部分，得4 x 或 0 x故函数的定义域为(4， ］ (0,］评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
(1)已知f(x)的定义域，求f ［g(x)］的定义域。
(2)其解法是：已知f (x)的定义域是］a , b ］求f ［g(x)］的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。
例3已知f(x)的定义域为［—2, 2］,求f (x 23 x 3，故函数的定义域是｛x |x(2)已知f ［g(x)］的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f ［g(x)］的定义域是］a ， b ］，求f(x)定义域的方法是：由 a x b ，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4已知f(2x 1)的定义域为］1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。
即函数f(x)的定义域是｛x 13 x 5｝。
三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为 R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
分析：函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立，由x 2项例1求函数y,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。
高中数学,函数定义域值域求法总结
函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：1分母不为零2偶次根式的被开方数非负; 3对数中的真数部分大于0;4指数、对数的底数大于0,且不等于15y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等; 6 0x 中x 0≠二、值域是函数y=fx 中y 的取值范围;常用的求值域的方法： 1直接法 2图象法数形结合 3函数单调性法 4配方法 5换元法 包括三角换元6反函数法逆求法7分离常数法 8判别式法 9复合函数法 10不等式法 11平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终;定义域的求法1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0,即x=2时,分式21-x 无意义,而2≠x 时,分式21-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0,即x<-32时,根式23+x 无意义,而023≥+x ,即32-≥x 时,根式23+x 才有意义,∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x-21同时有意义,∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义,必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： 3,3-②要使函数有意义,必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 ∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义,必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x Rx即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x2 定义域的逆向问题例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R,求实数a 的取值范围 定义域的逆向问题解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-a ax ax∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于练习：322log+-=mx x y 定义域是一切实数,则m 的取值范围；3 复合函数定义域的求法例4 若函数)(x f y =的定义域为1,1,求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义,必须：∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x例5 已知fx 的定义域为－1,1,求f2x －1的定义域;分析：法则f 要求自变量在－1,1内取值,则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 －1,1内取值,即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f2x －1中2x －1与fx 中的x 位置相同,范围也应一样,∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;注意：fx 中的x 与f2x －1中的x 不是同一个x,即它们意义不同; 解：∵fx 的定义域为－1,1, ∴－1≤2x －1≤1,解之0≤x ≤1,∴f2x －1的定义域为0,1;例6已知已知fx 的定义域为－1,1,求fx 2的定义域;答案：－1≤x2≤1⇒ x2≤1⇒－1≤x ≤1练习：设)(x f 的定义域是3,2,求函数)2(-x f 的定义域解：要使函数有意义,必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}2460|+≤≤x x 例7 已知f2x －1的定义域为0,1,求fx 的定义域因为2x －1是R 上的单调递增函数,因此由2x －1, x ∈0,1求得的值域－1,1是fx 的定义域;练习：1 已知f3x －1的定义域为－1,2,求f2x+1的定义域;[2,25-提示：定义域是自变量x 的取值范围 2 已知fx 2的定义域为－1,1,求fx 的定义域3 若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是Ａ．[]1,1-Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4 已知函数()11xf x x+=-的定义域为Ａ,函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ,则 Ａ．A B B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =求值域问题利用常见函数的值域来求直接法一次函数y=ax+ba ≠0的定义域为R,值域为R ； 反比例函数)0(≠=k x ky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R,当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≤}.例1 求下列函数的值域① y=3x+2-1≤x ≤1 ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f③ xx y 1+=记住图像 解：①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是-1,5 ②略③ 当x>0,∴xx y 1+==2)1(2+-xx 2≥,当x<0时,)1(xx y -+--==－2)1(2----xx -≤∴值域是 ]2,(--∞2,+∞.此法也称为配方法 函数xx y 1+=的图像为： 二次函数在区间上的值域最值：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为2,-3,顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }.②∵顶点横坐标2∉3,4,当x=3时,y= -2；x=4时,y=1；∴在3,4上,min y =-2,m ax y =1；值域为-2,1.③∵顶点横坐标2∉ 0,1,当x=0时,y=1；x=1时,y=-2, ∴在0,1上,min y =-2,m ax y =1；值域为-2,1.④∵顶点横坐标2∈ 0,5,当x=0时,y=1；x=2时,y=-3, x=5时,y=6,∴在0,1上,min y =-3,m ax y =6；值域为-3,6.注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时,①当a>0时,则当a b x 2-=时,其最小值ab ac y 4)4(2min-=； ②当a<0时,则当ab x 2-=时,其最大值ab ac y 4)4(2max -=;⑵若定义域为x ∈ a,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b. ①若0x ∈a,b,则)(0x f 是函数的最小值a>0时或最大值a<0时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大小值.②若0x ∉a,b,则a,b 是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大小值.注：①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大小值；②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y =3+x 32-的值域解：由算术平方根的性质,知x32-≥0,故3+x32-≥3;∴函数的值域为[)+∞,3 .2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域 解： 对称轴 []5,01∈=x[]20,420,54,1max min 值域为时时∴====∴y x y x1 单调性法例3 求函数y=4x －x31-x ≤1/3的值域;设fx=4x,gx= －x31-,x ≤1/3,易知它们在定义域内为增函数,从而y=fx+gx=4x-x31-在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f1/3+g1/3=4/3,因此,所求的函数值域为｛y|y ≤4/3｝;小结：利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域;练习：求函数y=3+x-4的值域;答案：｛y|y ≥3｝2 换元法例4 求函数x x y -+=12 的值域解：设t x =-1,则)0(122≥++-=t t t y点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域;这种解题的方法体现换元、化归的思想方法;它的应用十分广泛;练习：求函数y=x x --1的值域;答案：｛y|y ≤－3/4｝求xx x x cos sin cos sin 1++的值域；例5 三角换元法求函数21x x y -+=的值域解： 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x小结：1若题目中含有1≤a ,则可设)0,cos (22,sin πθθπθπθ≤≤=≤≤-=a a 或设2若题目中含有122=+b a 则可设θθsin ,cos ==b a ,其中πθ20<≤3若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 4若题目中含有21x +,则可设θtan =x ,其中22πθπ<<-5若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ,则可设θθ22sin ,cos r y r x ==其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ3 平方法例5 选求函数x x y -+-=53 的值域 解：函数定义域为：[]5,3∈x 4 分离常数法 例6 求函数21+-=x x y 的值域 由1231232≠+-=+-+=x x x y ,可得值域{}1≠y y小结：已知分式函数)0(≠++=c dcx b ax y ,如果在其自然定义域代数式自身对变量的要求内,值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ；如果是条件定义域对自变量有附加条件,采用部分分式法将原函数化为)(bc ad dcx c adb c a y ≠+-+=,用复合函数法来求值域;练习 求函数6412+-=x x y 的值域 求函数133+=x xy 的值域求函数 y =1212+-xx 的值域；y ∈-1,1例7 求13+--=x x y 的值域解法一：图象法可化为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y观察得值域{}44≤≤-y y解法二：不等式法114)1(134)1()3(13+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x 练习：1y x x =++的值域 )[∞+,1 例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域解：换元法设t x =3 ,则 31≤≤t 原函数可化为 例9求函数xx y 2231+-⎪⎭⎫⎝⎛= 的值域解：换元法令1)1(222+--=+-=x x x t ,则)1(31≤⎪⎭⎫⎝⎛=t y t由指数函数的单调性知,原函数的值域为例10 求函数 )0(2≤=x y x 的值域 解：图象法如图,值域为(]1,0 换元法设t x=+13 ,则()111131113113>-=+-=+-+=t t y x xx 例13 函数1122+-=x x y 的值域解法一：逆求法110112<≤-∴≥-+=y yyx解法二：换元法设t x =+12 ,则2解法三：判别式法原函数可化为 010)1(2=++⋅+-y x x y 1） 1=y 时 不成立2） 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-⇒≥+--⇒≥∆y y y 综合1、2值域}11|{<≤-y y 解法四：三角换元法∴∈Rx 设⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2tan ππθθx ,则∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 例14 求函数34252+-=x x y 的值域 解法一：判别式法化为0)53(422=-+-y yx yx10=y 时,不成立 20≠y 时,0≥∆得综合1、2值域}50|{≤<y y解法二：复合函数法令t x x =+-3422,则ty 5=50≤<∴y 所以,值域}50|{≤<y y例15 函数11++=xx y 的值域解法一：判别式法原式可化为 01)1(2=+-+x y x解法二：不等式法1当0>x 时,321≥∴≥+y xx 2） 0<x 时,12)(1)(1-≤∴-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+y x x x x综合12知,原函数值域为(][)∞+-∞-,31,例16 选 求函数)1(1222->+++=x x x x y 的值域 解法一：判别式法原式可化为 02)2(2=-+-+y x y x解法二：不等式法原函数可化为 当且仅当0=x 时取等号,故值域为[)∞+,2例17 选 求函数)22(1222≤≤-+++=x x x x y 的值域解：换元法令t x =+1 ,小结：已知分式函数)0(2222≠+++++=d a fex dx c bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 选)(二次式一次式或一次式二次式==y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数)0(≠+=x xa x y 的单调性去解; 练习：1 、)0(9122≠++=x x x y ； 解：∵x ≠0,11)1(91222+-=++=x x x x y ,∴y ≥11. 另外,此题利用基本不等式解更简捷：11929122=+≥++=x x y 或利用对勾函数图像法2 、34252+-=x x y 0<y ≤5.3 、求函数的值域 ①x x y -+=2； ②242x x y --=解：①令x u -=2≥0,则22u x -=, 原式可化为49)21(222+--=+-=u u u y ,②解：令 t=4x 2x ≥0 得 0≤x ≤4在此区间内 4x 2x m ax =4 ,4x 2x m in =0∴函数242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2}4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ,画出它的图象下图,由图象可知,函数的值域是{y|y ≥3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是3,+∞. 如图5、求函数x x y -+=142的值域解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=12t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==4)1(224222+--=++-=t t t∵t ≥0 ∴y ≤46、选求函数66522-++-=x x x x y 的值域 方法一：去分母得 y12x +y+5x6y6=0 ①当 y1时 ∵xR ∴△=y+52+4y1×6y+1≥0由此得 5y+12≥0检验 51-=y 有一个根时需验证时 2)56(2551=-⋅+--=x 代入①求根 ∵2 定义域 { x| x2且 x3} ∴51-≠y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y1综上所述,函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y1且 y 51-} 方法二：把已知函数化为函数36133)3)(2()3)(2(--=+-=+---=x x x x x x x y x2 由此可得 y1,∵ x=2时51-=y 即 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y1且 y 51-}。
高中数学解题技巧之函数反函数求解
高中数学解题技巧之函数反函数求解在高中数学中，函数反函数是一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
理解和掌握函数反函数的求解方法，对于解题和理解数学概念具有重要意义。
本文将介绍函数反函数的求解技巧，并通过具体的例题进行解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。
函数反函数的求解是指在已知一个函数的情况下，找到它的反函数。
反函数是指将原函数的自变量和因变量互换位置后得到的新函数。
要求一个函数有反函数，首先需要保证原函数是一一对应的，即每个自变量对应唯一的因变量。
接下来，我们将介绍函数反函数的求解方法。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个函数 f(x) = 2x + 3，我们需要求解它的反函数。
我们可以按照以下步骤进行求解：1. 将 f(x) = 2x + 3 中的 x 和 f(x) 互换位置，得到 x = 2f(x) + 3。
2. 解方程 x = 2f(x) + 3，将 f(x) 表示为 x 的函数。
3. 将方程 x = 2f(x) + 3 移项得到 2f(x) = x - 3。
4. 将方程 2f(x) = x - 3 中的 x 和 f(x) 互换位置，得到 f(x) = (x - 3) / 2。
通过以上步骤，我们成功地求解出了函数 f(x) = 2x + 3 的反函数 f^(-1)(x) = (x - 3) / 2。
这个例子展示了函数反函数求解的基本步骤。
接下来，我们来看一个更复杂的例子。
假设有一个函数 g(x) = e^(2x + 1)，我们需要求解它的反函数。
对于指数函数的反函数求解，我们可以按照以下步骤进行：1. 将 g(x) = e^(2x + 1) 中的 x 和 g(x) 互换位置，得到 x = e^(2g(x) + 1)。
2. 将方程 x = e^(2g(x) + 1) 取对数，得到 ln(x) = 2g(x) + 1。
3. 将方程 ln(x) = 2g(x) + 1 中的 g(x) 表示为 x 的函数。
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
逆向型函数题的十种类型
逆向型函数题的十种类型由于逆向型问题能很好考查学生的思维能力，已成为近年高考的热点题型．本文仅谈函数中的逆向型问题，它主要是以已知函数的性质求参数的取值范围形式出现，下面对此类问题加以归纳总结，供参考．一 已知函数定义域型例1 若函数y ＝lg(242x x a -+-)的定义域为R ，求a 的取值范围． 解：由原函数的定义域为全体实数，故不等式242x x a -+-＞0对一切实数恒成立．即a ＜2x ＋4·2－x恒成立．则a 应小于2x ＋4·2－x 的最小值，而2x ＋4·2－x ≥4，最小值是4，故a ＜4．点评：此类问题常可转化为不等式恒成立问题来解决.二 已知函数值(或值域)型例2 若函数y ＝lg(2x ＋4·2－x －a )的值域为R ，求a 的取值范围． 解：要使函数的值域为R ，等价于2x ＋4·2－x －a 应能够取到所有的正实数，即2x ＋4·2－x －a 的最小值为零或负数(最大值不存在)，而由基本不等式得2x ＋4·2－x －a ≥4－a ，令4－a ≤0，有a ≥4．故a 的取值范围为[)4,+∞．点评：此类问题常用等价转化思想来解决，同时应把握内层函数的变化规律.三、已知函数图象型常规题已知函数的解析式，画出函数的图象；而逆向题是已知函数的图象，求函数的解析式或参数的值．例3 设函数y f x =()是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图像为如图1所示的线段AB ，则在区间[1，2]上，f x ()=___________．解：根据奇偶性与周期性画图象，知在区 间[1，2]上是斜率为1，过点B （1，1）的线段. 故f (x )＝x .点评：此类题要充分利用函数的图象的特殊点、特殊线等性质．四、已知函数奇偶性型主要是已知函数奇偶性，求解析式中待定系数或求函数值．例4 已知函数1().21x f x a =-+若()f x 为奇函数，则______.a = 解法1：由于在R 上的奇函数过原点，即f (0)＝0，则有0＝a －12，解得a ＝12． 解法2：由f (x )为奇函数，则121x a --+＝121x a -++，即2a ＝121x +＋121x -+＝121x +＋221x x +＝1，解得a ＝12． 点评：解法1是利用在R 上的奇函数过原点，而解法2是运用奇函数的定义来解决．五、已知函数对称性型例5⑴函数()y f x =的图像与函数2()l o g (0)g x x x =>的图像关于原点对称，则()f x 的表达式为（A ）21()(0)log f x x x => （B ）21()(0)log ()f x x x =<- （C ）2()log (0)f x x x =-> （D ）2()log ()(0)f x x x =--<⑵已知函数y ＝x e 的图像与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则( )(A) f (2x )＝2x e (x ∈R ) (B) f (2x )＝ln2•ln x (x ＞0)(C) f (2x )＝2x e (x ∈R ) (D) f (2x )＝ln x ＋ln2 (x ＞0)解：⑴由于关于原点对称，将点(－x ，－y )代换原来的(x ，y )，则－y ＝2log ()x -，则y ＝－2log ()x -，即2()l o g ()(0)f x x x =--<，而选(D)．⑵由于关于直线y ＝x 对称，等价转化为求y ＝x e 的反函数，即反函数为f (x )＝ln x ，故有f (2x )＝ln2x ＝ln x ＋ln2 (x ＞0)，而选(D)．点评：对于五类常见的对称结论，即关于x 轴、y 轴、原点、y ＝±x 应熟记．六、 已知函数单调性型例6已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --⎧=⎨≥⎩＜，是（－∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）（A ）(1，+∞) （B ）(－∞,3) (C)⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,53 (D)(1,3)解：当x ＜1时，f 1(x )＝(3a －1)x ＋4a 为增函数，则需3－a ＞0，得a ＜3；当x ≥1时，f 2(x )＝log a x 为增函数，则需a ＞1．综上知1＜a ＜3，故选(D)．点评：要熟练掌握基本初等函数的单调性，并能运用导数解决单调性问题．七、已知反函数的值例7 已知函数()43x f x a a =-+的反函数的图象经过点（－1，2），那么a 的值等于_________．解：由题意，知1f -(－1)＝2，则f (2)＝－1，即a 2－4a ＋3＝－1，解得a ＝2．点评：原函数过点(a ，b )，则其反函数过(b ，a )，即有f (a )＝b ⇔f －1(b )＝a . 利用方程的思想就可求出参数．八、 已知函数最值型例8 函数y ＝x a 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝___. 解： 由题意知，a ＞0，且a ≠1．显然此函数是单调函数，将原题的文字语言转化为符号语言，得10a a + ＝3，即a ＝2．点评：求函数最值方法很多，本题是运用单调性得出最值．九、 已知函数恒成立型例9已知函数f (x )＝22x x a x++，x ∈[)1,+∞．若对任意x ∈[)1,+∞，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：在区间[)1,+∞上，f (x )＝22x x a x++＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，分离参数a ，得－a＞x2－2x＝－(x＋1)2＋1恒成立．又在[)1,+∞上，由函数的单调性得－(x＋1)2＋1≤－3．所以只有a＞－3，就有f(x)＞0．故a的取值范围是[)3,-+∞．点评：此类问题解法是把参数分离出来，即可转化为用“大于时在大于值域上限，小于时小于值域下限”，从而得到参数的范围.十、已知多种性质型是指已知函数的多种性质如周期性、奇偶性及单调性等，进行考查函数的解析式、参数的取值范围等问题.例10下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A.3,y x x R=-∈ B. sin,y x x R=∈ C. ,y x x R=∈ D.1(),2xy x R =∈解：y＝－x3既奇又减；而y＝sin x是奇但不具有单调性；y＝x既奇又增；1()2xy=是减函数但不具有奇偶性，而选(A)．点评：多性质的函数选择题，是高考的一个重点，往往只能逐一判断．。
反函数怎么求定义域和值域
反函数怎么求定义域和值域
根据原函数的定义域是反函数的值域，如果我们能从原函数求出值域，那么我们求反函数的定于域就可以直接用了!
反函数怎么求
设原函数y=ax+b
化成x=(y-b)／a,
再写成y=(x-b)／a,
就是它的反函数
设原函数y=x²+b
化成x=√(y-b) (y-b≥0)
再写成y=√(x-b) (x-b≥0)
就是它的反函数
求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。
定义域
定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=tanx中x≠kπ+π/2,
y=cotx中x≠kπ等等。
值域是函数y=f(x)中y的取值范围。
值域
值域：函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。
f：A→B中，值域是集合B的子集。
如：f(x)=x,那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。
在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数
域中，值域是复数。
函数的定义域与值域求法典型例题(解析版)
专题13：函数的定义域与值域求法典型例题（解析版）函数定义域的常见其一、已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1、求函数yx 2 2x 15的定义域。
x 3 82 x 5或x3 x 2x 15 0解：要使函数有意义，则必须满足即 x 5且x 11 x 3 8 0解得x 5或x 3且x 11即函数的定义域为x x 5或x 3且x 11 。
二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。
（一）已知f (x )的定义域，求f g (x ) 的定义域。
其解法是：已知f (x )的定义域是[a ,b ]求f g (x ) 的定义域是解a g (x ) b ，即为所求的定义域。
例2、已知f (x )的定义域为[ 2,2]，求f (x 1)的定义域。
2解： 2 x 2， 2 x 1 2，解得 3 x 23即函数f (x 1)的定义域为x 3 x 3（二）已知fg (x ) 的定义域，求f (x )的定义域。
2其解法是：已知f g (x ) 的定义域是[a ,b ]求f (x )的定义域的方法是：a x b ，求g (x )的值域，即所求f (x )的定义域。
例3、已知f (2x 1)的定义域为[1,2]，求f (x )的定义域。
解： 1 x 2， 2 2x 4， 3 2x 1 5。
即函数f (x )的定义域是x |3 x 5 。
三、逆向思维型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例4、已知函数ymx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
22分析：函数的定义域为R ，表明mx 6mx m 8 0，使一切x R 都成立，由x 项的系数是m ，所以应分m 0或m 0进行讨论。
高中数学函数与反函数应用解题方法
高中数学函数与反函数应用解题方法高中数学中，函数与反函数是一个重要的概念。
函数是一种对应关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值上。
而反函数则是函数的逆过程，它将一个因变量的值映射回自变量的值上。
在解题过程中，我们经常会遇到与函数与反函数相关的问题，因此掌握函数与反函数的应用解题方法是非常重要的。
一、函数与反函数的概念在学习函数与反函数的应用解题方法之前，我们首先需要了解函数与反函数的概念。
函数是一种对应关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值上。
函数通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。
反函数则是函数的逆过程，它将一个因变量的值映射回自变量的值上。
反函数通常用f^(-1)(x)表示，其中x为因变量，f^(-1)(x)为自变量。
二、函数与反函数的应用解题方法1. 函数与反函数的关系函数与反函数是互为逆函数的关系。
如果函数f(x)的定义域为D，值域为R，那么反函数f^(-1)(x)的定义域为R，值域为D。
函数与反函数之间有以下关系：- 函数f(x)的定义域上的每一个元素x，经过函数f(x)后得到一个对应的y值，再经过反函数f^(-1)(x)后又得到原来的x值。
- 反函数f^(-1)(x)的定义域上的每一个元素x，经过反函数f^(-1)(x)后得到一个对应的y值，再经过函数f(x)后又得到原来的x值。
2. 函数与反函数的性质函数与反函数有一些重要的性质：- 函数f(x)与反函数f^(-1)(x)的图像关于直线y=x对称。
- 函数f(x)与反函数f^(-1)(x)的图像关于直线y=x镜像对称。
3. 函数与反函数的应用举例函数与反函数的应用举例可以帮助我们更好地理解解题方法。
例如，假设有一个函数f(x)，它的定义域为[-1, 1]，值域为[0, 2]。
我们需要求出函数f(x)的反函数f^(-1)(x)。
首先，我们可以通过观察函数f(x)的图像来确定函数f(x)的性质。
根据题目给出的定义域和值域，我们可以得知函数f(x)是一个将[-1, 1]映射到[0, 2]的函数。
函数与反函数的性质
函数与反函数的性质一、函数与反函数的概念在数学中，函数是一种映射关系，它描述了一个元素集合到另一个元素集合的对应关系。
如果函数 f 的定义域为 X，值域为 Y，对于 X中的每个元素 x，都存在一个唯一的 y 属于 Y，使得 f(x)=y，则称 f 为定义在 X 到 Y 的函数。
函数的一个重要性质是它是由左向右的一一对应关系。
反函数是函数的逆运算，它是指如果函数 f 的定义域为 X，值域为Y，在 X 和 Y 中的每个元素 x 和 y，如果存在一个唯一的x′属于 X，使得f(x′)=y，则称 f 的反函数为 f^-1，并且它的定义域为 Y，值域为 X。
二、函数与反函数的特性函数与反函数之间有一些重要的性质。
1.函数与反函数的关系函数与反函数是互为逆运算的关系。
对于函数f 和它的反函数f^-1，对任意的 x 属于 X，有 f^-1(f(x))=x，对任意的 y 属于 Y，有 f(f^-1(y))=y。
这意味着函数与反函数互为逆运算，通过函数可以得到反函数，通过反函数也可以得到函数。
2.一一对应关系函数和它的反函数是一一对应的关系。
对于函数 f 和它的反函数 f^-1，如果f(x1)=f(x2)，那么 x1=x2；如果f^-1(y1)=f^-1(y2)，那么y1=y2。
这意味着函数与反函数彼此之间是一一对应的关系，不存在一个元素映射到两个不同的元素，保证了映射的唯一性。
3.图像关系函数与反函数的图像关系是关于直线 y=x 对称的。
对于函数 f，如果点 (x1, y1) 在 f 的图像上，那么点 (y1, x1) 在 f^-1 的图像上。
反之，如果点 (x1, y1) 在 f^-1 的图像上，那么点 (y1, x1) 在 f 的图像上。
这意味着函数与反函数的图像是关于 y=x 对称的。
4.增减性质如果函数 f 在 X 上是严格递增的（即对于任意的 x1, x2 属于 X，如果 x1<x2，那么 f(x1)<f(x2)），那么它的反函数 f^-1 在 Y 上也是严格递增的。
值域和定义域的例题讲解
高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
定义域和值域的逆向问题
1. 函数与映射的异同点是什么？答：函数和映射都是建立在两个非空集合A,B 之间的一种特殊的对应，对应法则f 使得集合A 中的任一元素在B 中都有唯一的元素相对应。
二者的区别是：函数强调A 和B 是非空的数集而已。
2．给定两个非空集合A 和B ，从A 到B 可以建立多少个不同的映射？ 例如：A={1,23},B={6,7}从A 到B 建立映射就是确定一个对应法则f 把A 中每一个元素在B 中得到唯一对应的元素。
这样的对应法则有几个，就是映射有几个。
完成这一事情分三步：第一步给A 中元素1找对象，有两种选择，同理第二步给2找对象有两种选择，第三步给3找对象也有两种选择，故不同的对应法则有2*2*2=8个。
重点例习题整理：1.已知集合{}2540A x x x =-+|≤，集合{}2|220B x x ax a =-++≤（1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；2.已知函数)(x f 的定义域为[)b a ,，值域为[]d c ,，则)12(+-x f 的定义域为________； 值域为__________3.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0,20,2)(22x x x x x x x f ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是______ 4.函数f(x)=⎩⎨⎧x 2+1，x ≥01 ，x<0,则满足不等式f(1－x 2)>f(2x)的x 的范围是______5. 若函数)(x f 的定义域是[]1,1-，则函数的定义域是xx f )12(-__________ 变式1：若函数2(2)f x -的定义域是[1-，1]，则函数(32)f x +的定义域为____________ 变式2：若函数()y f x =的定义域是[-2,4]，则函数()()()g x f x f x =+-的定义域_______ 6. 已知一个函数的解析式为y=x 2,它的值域为[1,4],这样的函数的个数为 变式：函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个 7. 函数12++=x x y 的值域为 ；函数216x y -=值域为 ；递减区间为函数251xy x =+的值域为 ；单调区间为8.直接写出函数=y xx3121+-的值域为____________，曲线的对称中心为________；若添加条件[]1,0∈x ，则值域为________；9. 已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：的解为10. 设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为8. 函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 2.1]3,-=-[2]2,-=-[2.2]2=,如果[2,0]x ∈-，那么()y f x =的值域为 ____11. 函数2()2()g x x x R =-∈，()4,12()(),12g x x x x f x g x x x ++<->⎧=⎨--≤≤⎩或,()f x 的值域是 ___12. 函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f（1）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值. （2）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. （3）若)(x f 的值域为),0[+∞，求实数a 的取值范围. 13.已知函数13+-=x ax y 在区间()1,-∞-上是增函数，则实数a 的取值范围是_________ 14.函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-+≥-+=0,)3()4(0),1()(22222x a x a a x x a k x k x f ,其中R a ∈. 若对任意的非零实数1x ,存在唯一的非零实数)(212x x x ≠,使得)()(21x f x f =成立,则k 的取值范围为_____函数模型四：可化为二次函数的绝对值型复合函数 引例1：已知R a ∈，函数a x x x f -=)(（1）判断函数)(x f 的奇偶性，请说明理由；（2）求函数)(x f 在区间[]2,1上的最小值； （3）设0≠a ，函数)(x f 在区间),(n m 上既有最大值又有最小值，请分别求出n m ,的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）思考：已知a R ∈，函数2()f x x x a =-.求函数()y f x =在区间[1,2]上的最小值. 练习：1. 已知函数ax x x f +-=22)(R)(∈x 有最小值，则实常数a 的取值范围是 变式：函数1)(-+=x a x x f 在()+∞,0上有最大值，则实数a 的取值范围是___2. 已知函数3)(2-=x x x f ，[]m x ,0∈，其中R m ∈，且0>m .（1）如果函数)(x f 的值域是[]2,0，则实数m 的取值范围为___________； （2）如果函数)(x f 的值域是[]2,0m λ，实数λ的最小值为_________一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
函数的逆函数及应用
函数的逆函数及应用函数是高中数学中十分重要的一个概念，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。
一般来说，函数都是从自变量到因变量的映射，但是我们也可以考虑从因变量到自变量的映射，这就是函数的逆函数。
在本文中，我们将介绍函数的逆函数的概念和性质，并探讨一些应用。
一、函数的逆函数的定义和性质1. 定义设函数 $f$ 的定义域为 $D_f$，值域为 $R_f$。
如果对于 $f$ 中的任意 $y\in R_f$，都有唯一的 $x\in D_f$，满足 $f(x)=y$，那么我们称 $f$ 是一种单射，或者叫一一映射。
此时，我们可以定义$f$ 的逆函数为 $f^{-1}$，满足 $f^{-1}(y)=x$。
随后，我们还需要验证 $f^{-1}$ 也是函数。
2. 性质函数 $f$ 和其逆函数 $f^{-1}$ 有如下性质：（1）$f(f^{-1}(y))=y$，$f^{-1}(f(x))=x$；（2）$f$ 和 $f^{-1}$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称；（3）如果 $f$ 连续，则 $f^{-1}$ 也连续。
其中，（1）表明 $f$ 和 $f^{-1}$ 是互逆函数，即反函数；（2）解释了为什么 $f$ 和 $f^{-1}$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，这是因为 $x$ 和 $y$ 的位置互换了；（3）说明了连续函数 $f$ 的逆函数 $f^{-1}$ 也是连续的。
二、逆函数的求法1. 利用解方程的方法求逆函数设 $y=f(x)$，将 $y$ 看作自变量 $x$，$x$ 看作因变量 $y$，即$x=f(y)$。
我们要做的就是求得 $f^{-1}(y)$，即 $x=f^{-1}(y)$。
于是，我们可以得到如下方程：$$f(x)=y\Rightarrow x=f^{-1}(y)$$$$f(f^{-1}(y))=y\Rightarrow f^{-1}(f(y))=y$$由于 $f(x)$ 一般是不可逆的，所以我们通常需要对该方程进行化简。
函数定义域值域求法(全十一种)
实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例 1求函数 y x 22x15| x 3 |8的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足x 22x150①| x 3 |8 0②由①解得x3或 x 5 。
③由②解得x5或 x11④③和④求交集得x3且 x11或x>5。
故所求函数的定义域为{ x | x 3且x11}{ x | x5} 。
例 2求函数 y sin x1的定义域。
16x 2解：要使函数有意义，则必须满足sin x0①16x 20②由①解得2k x2k，k Z③由②解得 4 x4④由③和④求公共部分，得4x或 0x故函数的定义域为(4， ](0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。
（ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。
例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 21) 的定义域。
解：令 2 x21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。
（ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。
其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a x b，求g(x) 的值域，即所求f(x) 的定义域。
例 4已知 f (2x1) 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为 1 x2，22x4，32x 1 5 。
即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。
三角函数的逆函数与应用
三角函数的逆函数与应用三角函数是高中数学中的重要知识点，它们在几何学、物理学等学科中有广泛的应用。
在学习三角函数时，我们常常会接触到三角函数的逆函数，以及它们在实际问题中的应用。
本文将介绍三角函数的逆函数的概念以及其在实际问题中的具体应用。
一、三角函数的逆函数概念1. 逆函数的定义在数学中，函数的逆函数是指一个函数与之前的函数互为相反操作的关系。
对于三角函数而言，我们可以通过定义域、值域和反函数的关系来理解逆函数。
2. 三角函数的逆函数常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的逆函数分别是反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）和反正切函数（arctan）。
这些逆函数可以将三角函数的值反向计算回原始的角度值。
二、三角函数的逆函数的性质及应用1. 逆函数的性质三角函数的逆函数具有一些特殊性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性等。
这些性质在实际问题中的应用提供了重要的便利。
2. 逆函数的求解方法为了求解逆函数在特定范围内的值，我们可以利用图像、性质、计算器等多种方法。
这些方法在解决实际问题时能够提供帮助。
3. 逆函数在实际问题中的应用三角函数的逆函数在实际问题中有广泛的应用。
例如，在测量角度时，我们可以利用反正弦函数、反余弦函数和反正切函数来求解。
此外，在物理学、工程学等领域，逆函数也常常被用于计算角度、速度、位移等相关的物理量。
三、三角函数的逆函数的具体例子1. 例子一：求解角度假设一个直角三角形的斜边长度为5，邻边长度为3，我们需要求解该三角形的两个角度。
可以利用反正弦函数来求解。
根据反正弦函数的性质，我们可以得出角度为arcsin(3/5)。
2. 例子二：计算速度在机械学中，求解物体的速度往往涉及到三角函数的逆函数。
例如，一个半径为2m的圆盘上的一个物体以角速度2rad/s绕圆盘旋转，我们需要求解该物体的线速度。
可以利用反正弦函数来求解，即线速度为2 * 2 * arcsin(1) = 4m/s。
三角函数的反函数与逆三角函数
三角函数的反函数与逆三角函数三角函数是数学中的重要概念之一，用于描述角的性质和关系。
而反函数与逆函数是用于描述函数之间关系的概念。
在三角函数中，反函数与逆函数起着重要的作用，它们与三角函数之间存在着密切的联系。
1. 反函数在数学中，如果一个函数f的定义域和值域分别为A和B，且对于B中的每一个元素y，存在唯一的x属于A，使得f(x)=y。
则称f的反函数为g，表示为g=f^(-1)。
如果f(x)=y，则g(y)=x。
对于三角函数，它们也存在着反函数。
以正弦函数为例，正弦函数的定义域是实数集R，值域是[-1,1]。
如果对于[-1,1]中的每一个元素y，存在唯一的x属于R，使得sin(x)=y，则可以得到它的反函数arcsin(x)。
反函数可以看作是将函数输入的值转化为其对应的角度值。
2. 逆三角函数逆三角函数是指与三角函数相对应的函数，可以看作是三角函数的反函数的一种特殊情况。
逆三角函数能够将三角函数的值转化为对应的角度值。
常用的逆三角函数包括：- 反正弦函数（arcsin），表示为y=arcsin(x)；- 反余弦函数（arccos），表示为y=arccos(x)；- 反正切函数（arctan），表示为y=arctan(x)。
逆三角函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]，用来表示角度值。
3. 三角函数与逆三角函数之间的关系三角函数与逆三角函数之间存在着密切的关系。
正弦函数与反正弦函数、余弦函数与反余弦函数、正切函数与反正切函数之间具有互逆的关系。
以正弦函数和反正弦函数为例，它们之间有如下关系：- sin(arcsin(x)) = x，其中x属于[-1,1]；- arcsin(sin(x)) = x，其中x属于[-π/2,π/2]。
这说明正弦函数与反正弦函数互为反函数，可以相互转化。
同样地，余弦函数和反余弦函数、正切函数和反正切函数之间也具有类似的关系。
4. 使用反函数与逆函数求解三角函数的值反函数与逆函数在求解三角函数的值时起着重要的作用。
定义域和值域的逆向问题
定义域和值域的逆向问题定义域和值域的逆向问题，是数学中的常见问题，解决好此类问题，可以锻炼同学们的逆向思维能力，因此要重视此类问题的解决。
一、已知定义域求值域例1 求定义域在［-1，1］上的函数)0(>>-+=b a bxa bx a y 的值域。
解：函数式变形为bx a ay -+-=21，显然y ≠-1由原函数表达式可得)1()1(+-=y b y a x 。
又11≤≤-x ，得)1()1(1+-≤-y b y a 1≤，解得ba b a y ba b a -+≤≤+-，即此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-b a b a b a b a ，。
注：此法是把函数式视为关于x 的方程，解出x ，再运用已知的定义域，解关于y 的不等式求得值域。
二、已知值域求定义域 例2 已知函数112--=x x y 的值域是}30|{≥≤y y y 或，求此函数的定义域。
解：由0112≤--x x ，解得121<≤x 。
由3112≥--x x ，解得21≤<x 。
∴此函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠≤≤1221|x x x 且。
注：此题直接由函数值域得出表达式的不等式，进而求得定义域，同时还可以利用反比例函数图象直观地得出结论，同学们不妨试一试。
三、已知定义域求解参数问题 例3 已知函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题意知R x ∈时，012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立。
（1）当012=-a 且01≠+a 时，有a=1，此时f(x)=1，显然对R x ∈时，012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立。
（2）当012≠-a 时，有⎪⎩⎪⎨⎧≤+⋅---=∆>-012)1(4)1(01222a a a a 解不等式组得91≤<a 。
综上知，当R x ∈时，使得)(x f 有意义的a 的取值范围是［1，9］。
函数性质的逆解例析
x =-24-d22d 2=52-12d ,由于-247<d <-3,有6<52-12d <6.5,所以当n =6时,S 6最大.说明:根据项的值判断前n 项和的最值有以下结论:(1)当a 1>0,d >0时,a 1<a 2<a 3<<a n <a n+1<,则S n 最小;(2)当a 1>0,d <0时,a 1>a 2>a 3>>a n >0a n +1>,则S n 最大;(3)当a 1<0,d >0时,a 1<a 2<a 3<<a n <0a n +1<,则S n 最大;(4)当a 1<0,d <0时,a 1>a 2>a 3>>a n >a n+1>,则S n 最小.安徽省岳西县城关中学(246600)聂文喜函数性质的逆解例析如果给出一个函数,要我们判断它的性质,应当说不是什么难题,但是它的逆向问题,既给出函数的性质,要求参数的范围,却是一种别致、新颖而又颇需功力的问题,因而成为近年高考的热点问题,本文通过典型例题剖析这类逆向问题的求解策略,希望能给同学们以启示.一、已知函数定义域求参数例1已知函数f (x )=lo g 21+2x+4xa3的定义域是(-,1),求a 的值.解:由题意,不等式1+2x +4xa >0的解集是(-,1),分离参数,得不等式a >-[(12)x+(14)x]=g (x)的解集是(-,1),因为g (x)在R 上单调递增,所以不等式g (1)>g (x)的解集是(-,1),所以a =g (1)=-34.二、已知函数在某区间上恒成立求参数例2(1990年广东省高考题)已知函数f (x)=+x+x3在x (,]上恒有意义,求a 的取值范围.解:依题意x(-,1]时,1+2x+4xa >0恒成立,分离参数,得a >-[(12)x +(14)x]=g (x)恒成立,即a >[g (x )]max ,又g (x )在(-,1]上是增函数,所以[g (x)]ma x =g (1)=-34,所以a >-34.评注:(1)f (x)>a 恒成立[f (x)]m i n >a;(2)f (x )<a 恒成立[f(x )]max < a.分离参数法就是把方程或不等式中的参数分离出来,然后利用函数的值域或最值来确定参数的范围.例3(2000年上海市高考题)已知函数f (x )=x 2+2x +a x ,x[1,+).若对任意x[1,+),f(x)>0恒成立,求a 的取值范围.解x [,+)时,f (x)=x 2+2x +ax>恒成立x +x +>恒成立数理化学习(高中版)log 2124-1:1022a 0.18分离参数,得a>-x2-2x=-(x+1)2+ 1恒成立.又-(x+1)2+1在[1,+)上的最大值为-3,故a>-3.例4(2003年全国高考题)已知c>0,设P:函数y=c x在R上单调递减.Q:不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确,求c的取值范围.解:y=c x在R上单调递减0<c<1.不等式x+|x-2c|>1的解集为R函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1.因为y=x+|x-2c|=2x-2c,x2c, 2c,x<2c.所以y=x+|x-2c|在R上的最小值为2c.所以不等式x+|x-2c|>1的解集为R2c>1c>1 2 .如果P正确,且Q不正确,则0<c12;如果P不正确,且Q正确,则c1,所以c的取值范围是(0,12][1,+).三、已知函数值域求参数例5已知函数f(x)=lg(x2+2x+a)的值域为R,求a的取值范围.解:要使函数f(x)的值域为R,等价于x2+ 2x+a能取到所有的正实数,即x2+2x+a的最小值非负(最大值不存在),即=4-4a0,故a1.评注:(1)y=lg(ax2+b x+c)的值域为R a>0,=b2-4a c0或a=0,b0.(2)y=lg(ax2+b x+c)的定义域为Ra>0,=b2-4a c<0或a=b=0,c>0.四、已知函数奇偶性求参数例6(年广东省高考题)函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是()(A)a b=0(B)a2+b2=0(C)a=b(D)a+b=0.解:因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,f(-a)=-f(a),所以b=0,a=0,选(B).例7(2001年天津高考题)设a>0,f(x)=e xa+ae x是R上的偶函数,求a的值.解:依题意,对一切x R,f(-x)=f(x),即1a e x+a e x=e xa+ae x,所以(a-1a)(e x-1e x)=0对一切x R成立.所以a-1a=0,又a>0,所以a=1.五、已知函数图像求参数例8(2000年春季高考题)已知函数f(x)=ax3+b x2+c x+d的图像如图1,则()(A)b(-,0)(B)b(0,1)(C)b(1,2)(D)b(2,)解:将三点(0,0),(1,0),(2,0)分别代入f(x)得d=0,a+b+c+d=0,8a+4b+2c+d=0,解得b=-3a.又f(x)=ax(x-1)(x-2),而x>2时,f(x)>0,所以b=-3a<0.选(A).六、已知函数单调性求参数例9(2002年上海市高考题)已知函数f(x)=x2+2ax+2在区间[-5,5]上是单调函数,求a的取值范围.解:由已知得-a-5或-a5,解得a的取值范围是(-,-5][5,+).例10(2000年全国高考题)设函数f(x)=x2+1-ax,其中a>0,求a的取值范围使函数f(x)在区间[0,+)上单调函数.解设x>x,则f(x)f(x)数理化学习(高中版) 2002:2102-119=x22+1-x21+1-a(x2-x1)=x22-x21x2+1+x22+1-a(x2-x1)=(x2-x1)(x1+x2x2+1+x22+1-a).因为0<x1+x2x21+1+x22+1<1,所以a1时,f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),故a>1时,f(x)是单调减函数.七、已知函数最值求参数例11(2002年全国高考题)函数y=a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a=.解:由题意知a>0,a1,因为y=a x在[0,1]上是单调函数,所以a1+a0=3,即a= 2.八、已知反函数值求参数例12(2000年上海高考题)已知f(x)= 2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图像经过点Q(5,2),则b=.解:由题意知f-1(5)=2,所以f(2)=5,即22+b=5,所以b=1.评注:利用结论f(a)=b f-1(b)=a常可回避求反函数.湖北省广水市第一中学(432700)张定强含参数的不等式的解法含参数的不等式,由于参数的不确定性,导致解答过程的复杂性.其主要解答方法是分类讨论法.在不等式的转化变形、写解集时,因参数的取值范围的不同而导致结果不同时,就需要分类讨论.确定讨论的标准,做到不重复、不遗漏.即把参数所取值的集合I,分成若干个非空真子集A1、A2A n(n2),使满足A i A j =(i,j N*,i j),A1A2A n=I.分类讨论后,解集的表达式是确定的.例1解不等式(m+1)x2-4x+10(m R).解析:因二次项系数中含有参数m,所以先按m+1=0,m+1>0,m+1<0进行第一级分类.由于不能分解因式,不要按判别式0,<0进行第二级分类.()当+=即=时,x(2)当m+1>0即m>-1时,方程(m+ 1)x2-4x+1=0的判别式=4(3-m).当0即-1<m3时,2-3-mm+1x2+3-mm+1.当<0即m>3时,原不等式无解.(3)当m+1<0即m<-1时,因为2+3-mm+1<2-3-mm+1.所以x2+3-mm+1或x2-3-mm+1.综上可得,当m<-1时,原不等式的解集为{x|x2+3-mm+1或x2-3-mm+1};当=时,解集为{x|x};当<数理化学习(高中版)1m10m-114.m-114-1m20。
例谈导数运算法则的逆向应用
例谈导数运算法则的逆向应用————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：例谈导数运算法则的逆向应用-中学数学论文例谈导数运算法则的逆向应用江苏昆山中学陆增宏近年来，导数在高考中所处的位置越来越重要，导数的应用很广，而导数的运算是基础，这就要求学生必须熟练掌握导数四则运算法则。
逆向运用导数运算法则解题，不仅能使学生进一步巩固对运算法则的理解，而且还能培养学生的数学思维品质，提高学生的数学解题能力。
一、逆向运用乘法运算法则例1：设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集为。
析：由f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，得[f（x）g（x）]′＞0令F（x）=f（x）g（x）。
则F（x）在（-∞，0）上是单调增函数又因为f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数所以F（x）是奇函数，所以F（-3）=-F（3）=0借助于F（x）的草图即得不等式f（x）g（x）＜0的解集为{x|x＜-3，或0＜x＜3}。
二、逆向运用除法运算法则三、逆向运用加减法运算法则例3：f（x）的定义域为R，f（-1）=-6，对于任意x∈R，导函数f′（x）＞2恒成立，则不等式f（x）＜2x-4的解集为析：由f（x）＜2x-4，得f（x）-2x+4＜0令F（x）=f（x）-2x+4，则F′（x）=f′（x）-2＞0所以F（x）在（-∞，+∞）上是增函数又F（-1）=f（-1）-2×（-1）-4=0所以由f（x）＜2x-4得F（x）＜0，F（x）＜F（-1），x＜-1所以不等式（x）＜2x-4的解集为{x|x＜-1}。
事实上，本题也可以这样考虑：由导函数f′（x）＞2恒成立，得f′（x）-2＞0，从而有[f（x）-2x]′＞0，令F（x）=f（x）-2x，则F′（x）＞0，所以F（x）在（-∞，+∞）上是增函数，又F（-1）=f（-1）-2×（-1）=-4，所以由f（x）＜2x-4，得f（x）-2x＜-4，即F（x）＜F（-1），所以x＜-1，不等式f（x）＜2x-4的解集为{x|x＜-1}。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定义域和值域的逆向问题
定义域和值域的逆向问题，是数学中的常见问题，解决好此类问题，可以锻炼同学们的逆向思维能力，因此要重视此类问题的解决。
一、已知定义域求值域
例1 求定义域在［-1，1］上的函数)0(>>-+=
b a bx a bx a y 的值域。
解：函数式变形为bx a a y -+
-=21，显然y ≠-1 由原函数表达式可得)1()1(+-=
y b y a x 。
又11≤≤-x ，得)
1()1(1+-≤-y b y a 1≤， 解得b
a b a y b a b a -+≤≤+-， 即此函数的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++-b a b a b a b a ，。
注：此法是把函数式视为关于x 的方程，解出x ，再运用已知的定义域，解关于y 的不等式求得值域。
二、已知值域求定义域
例2 已知函数112--=
x x y 的值域是}30|{≥≤y y y 或，求此函数的定义域。
解：由0112≤--x x ，解得12
1<≤x 。
由31
12≥--x x ，解得21≤<x 。
∴此函数的定义域为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≠≤≤1221|x x x 且。
注：此题直接由函数值域得出表达式的不等式，进而求得定义域，同时还可以利用反比例函数图象直观地得出结论，同学们不妨试一试。
三、已知定义域求解参数问题
例3 已知函数12)1()1()(22++-+-=
a x a x a x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题意知R x ∈时，01
2)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立。
（1）当012=-a 且01≠+a 时，有a=1，此时f(x)=1，显然对R x ∈时，
01
2)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立。
（2）当012≠-a 时，有⎪⎩
⎪⎨⎧≤+⋅---=∆>-012)1(4)1(01222a a a a 解不等式组得91≤<a 。
综上知，当R x ∈时，使得)(x f 有意义的a 的取值范围是［1，9］。
注：此问题转化为不等式恒成立问题，但要注意二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论。
四、已知值域求解参数问题
例4 已知函数1
222+++=x b ax x y 的值域为［1，3］，求a 、b 的值。
解：由题意知R x ∈，把原函数变形为0)2(2=-+--b y ax x y
当02=-y 时，满足题意
当02≠-y 时，因R x ∈，所以0))(2(42≥---=∆b y y a ，即08)2(4422≤-++-a b y b y 。
因31≤≤y ，所以1和3是方程08)2(4422=-++-a b y b y 的两个实根，由韦达定理解得22=±=b a ，。
注：解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的系数，列方程求出参数的值。
五、已知定义域和值域求解参数问题
例5 已知二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 满足条件)3()5(-=+-x f x f ，
0)2(=f ，且方程x x f =)(有两个相等实根。
问是否存在实数)(n m n m <、，使得)(x f 的定义域为［m ，n ］时，值域为［3m ，3n ］。
如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，请说明理由。
解：因)3()5(-=+-x f x f ，所以函数)(x f 的图象的对称轴为直线
235-=x =1，可得12=-a b ①
由0)2(=f ，得024=++c b a
② 因方程x x f =)(有两个相等实根，即0)1(2=+-+c x b ax 有相等实根，所以04)1(2=--=∆ac b ③
将①代入②，得0=c 。
由③知，b=1，所以21-
=a 。
则2121)1(2121)(22≤+--=+-
=x x x x f ， 所以213≤n ，即6
1≤n 。
)(x f 在［m ，n ］上单调递增，假设存在满足条件的m 、n ，则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-==+-=n n n n f m m m m f 321)(321)(22 解得⎩
⎨⎧-=-=4040或或n m 又61≤
<n m ，则m=-4，n=0，即存在m=-4，n=0满足条件。
注：解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出解决问题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决。
练一练：
1. 求下列函数的值域： ①3
4252+-=x x y ；②2312-+=x x y ；③212+-+=x x y 。
2. 求函数)0(≥-=
x x x y 的最大值。
答案： 1. ①]50(，
∈y （提示：1
)1(252+-=x y ，而11)1(22≥+-x ，
所以11)1(2102≤+-<x ，可得51
)1(2502≤+-<x 。
另外，原函数变形为053422=-+-y yx yx ，因R x ∈，
所以0)53(24)4(2≥-⨯--=∆y y y ，
即50052≤≤≤-y y y ，且0≠y ） ②⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠
∈32|y R y y 且 （提示：)23(3732-+=x y ，而0)
23(37≠-x ，所以32≠y ） ③]4(，
-∞∈y （提示：因4)11(2+---=x y ，所以]4(，
-∞∈y 。
另外，令)0(1≥-=t x t ，则2
1t x -=， 所以)0(4)1(3222≥+--=++-=t t t t y ，也可能]4(，
-∞∈y ） 2. 4
1 （提示：4
1)21(2+
--=x y ，所以，当21=x ，即41=x 时，y 取最大值）。