1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
2021学年高中数学1.1.1第2课时圆柱圆锥圆台和球的结构特征学案含解析人教A版必修2.doc
第2课时圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征[目标] 1.记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征；2.能用圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征解答一些相关问题．[重点] 圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征．[难点] 圆柱、圆锥、圆台之间关系的理解．知识点一圆柱[填一填]以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．棱柱和圆柱统称为柱体．[答一答]1．①在圆柱中，圆柱的任意两条母线是什么关系？过两条母线的截面是怎样的图形？②在圆柱中，过轴的截面是轴截面，圆柱的轴截面是什么图形？轴截面含有哪些重要的量？③圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？提示：①圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形．②圆柱的轴截面是矩形，轴截面中含有圆柱的底面直径与圆柱的母线．③不一定．圆柱的母线与轴是平行的．知识点二圆锥[填一填]以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．棱锥与圆锥统称为锥体．[答一答]2．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥吗？提示：不是．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底面圆锥组成的几何体．知识点三圆台[填一填]用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．棱台与圆台统称为台体．[答一答]3．类比圆柱、圆锥的形成过程，圆台可以由平面图形旋转而成吗？提示：(1)圆台可以看作是直角梯形以垂直底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周而成的曲面所围成的几何体．(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其两底边的中点连线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．知识点四球体[填一填]以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．[答一答]4．半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？它与球有区别吗？提示：半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面．球面是一曲面，它只能度量面积而不能度量体积，球是由球面围成的几何体，它不仅可以度量球的表面积，还可以度量其体积．5．用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？提示：不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部．类型一旋转体的结构特征[例1](1)下列叙述中，正确的个数是()①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台．③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．④圆面绕它的任一直径旋转一周形成的几何体是球．A．0个B．1个C．2个D．3个(2)给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④[解析](1)以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥，故①错；以直角梯形的一斜腰为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故②错；当截面与底面不平行时，得到的两个几何体不是圆锥和圆台，故③错．故只有④是正确的．故选B.(2)由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．[答案](1)B(2)D简单旋转体判断问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．(2)解题时要注意两个明确：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．。
圆柱、圆锥、圆台和球
似三角形的性质得
3 r 3 l 4r
解得l=9.
所以，圆台的母线长为9cm.
例2. 我国首都北京靠近北纬40度。
求北纬40度纬线的长度约为多少千米 （地球半径约为6370千米）?
解：如图，设A是北纬40°圈上一点，AK 是它的半径，所以 OK⊥AK，
设c是北纬40°的纬线长， 因为∠OAK= ∠AOB = 40°，
3．表示方法：用表示它的轴的字母表示， 如圆柱OO’ .
4．有关性质： （1）用平行于底面的平面去截，截面都 是圆。 （2）圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是 全等的矩形、全等的等腰三角形、全等的 等腰梯形；
5.侧面展开图：
（1）圆柱的侧面展开图是矩形。 （2）圆锥的侧面展开图是扇形. （3）圆台的侧面展开图是扇环.
所以 c=2π·AK=2π·OA·cos∠OAK =2π·OA·cos40° ≈2×3.1416×6370×0.7660 ≈3.066×104(km)，
即北纬40°的纬线长约为3.066×104km.
练习： 1、圆柱的轴截面是正方形，它的面
h
积为9 ,求圆柱的高与底面的周长。
(h=3， c=2πr=3π)
即O到截面圆心O1的距离；
（4）大圆与小圆：球面被经过球心的平面截 得的圆叫做球的大圆， 被不经过球心的平面截得的圆叫做球 的
小圆；
5．球面距离：在球面
上，两点之间的最短距
离就是经过这两点的大
A
圆在这两点间的一段劣
弧的长度。这个弧长叫 B
做两点的球面距离。
O
三．旋转体的概念
由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的 曲面所围成的几何体叫做旋转体，这条直线 叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、 圆锥、圆台和球.
基本立体图形 第2课时—圆柱、圆锥、圆台、球-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球
圆柱、圆锥、圆台的结构特征
这些几何体 是如何形成 的？它们的 结构特征是
什么？
一、 圆柱的结构特征:
旋转轴 1、定义：以矩形的一边
底面
所在直线为旋转轴，其余
A′
O′
三边旋转形成的曲面所围 成的旋转体叫做圆柱。
(1)旋转轴叫做圆柱的轴。
(2)垂直于轴的边旋转而成的 圆面叫做圆柱的底面。
母 线
A
O B
轴 成的旋转体叫做圆锥。
侧 (1)旋转轴叫做圆锥的轴。 面 (2) 垂直于轴的边旋转而成
的圆面叫做圆锥的底面。 (3)不垂直于轴的边旋转而
成的曲面叫做圆锥的侧面。
(4)无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆 锥的母线。
S
轴
侧面
B
O
母线
A
底面
2、圆锥的表示法:用表示它的轴的字母表 示，如圆锥SO。
圆锥的截面图 轴截面 横截面 斜截面 斜截面
三、圆台的结构特征:
1、定义：用一个平行于圆锥底面的平面去 截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几 何体叫做圆台。
上底面
轴
O'
侧面
O
母线 下底面
2、圆台的表示法：用表示它的轴的字母 表示，如圆台OO′。
思考？
圆柱、圆锥和圆台都是旋转体，当底面发 生变化时，它们能否互相转化？
上底扩大
上底缩小
四、球的结构特征:
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半 圆面旋转一周形成的几何体，叫做球体。
A
半径
球心
O
B 2、球的表示法：用表示球心的字母表示，
如球O .
2014年新课标人教A版必修2数学1.1.2圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征随堂优化训练课件
矩形的一边 以____________ 所在直线为旋转 轴，其余三边旋 圆柱 转形成的面所围 成的______ 旋转体叫做 圆柱
表示它 圆柱用_______ 的轴的字母 __________ 表示，左图 中圆柱表示 圆柱 OO′ 为_________
(续表)
名称 定义 相关概念 旋转轴 轴： ______叫做圆锥的轴； 底面：垂直于轴 ________的边旋转 圆面 叫做圆锥的 而成的______ 底面；侧面：直角三角形 斜 边旋转而成的 的 ____ 曲面 叫做圆锥的侧面； ______ 母线：无论旋转到什么位 置，不垂直于轴的边都叫 做圆锥侧面的母线 图形 表示法 圆 锥 用 表示它的 __________ 轴的字母 表 ________ 示，左图中 圆锥表示为 圆锥 SO __________
1．棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底面吗？
答案：不一定． 一 条母线． 2．通过圆台侧面上一点，有______
题型 1 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 【例 1】 将下列几何体按结构特征分类填空： ①集装箱；②一桶方便面；③排球；④羽毛球；⑤魔方； ⑥金字塔；⑦三棱镜；⑧滤纸卷成的漏斗；⑨烧杯；⑩一个四 棱锥形的建筑物被飓风刮走了一个顶，剩下的上底面与地面平
题型 2 旋转体的构成 【例 2】 如图 1-1-6 是由哪个平面图形旋转得到的( )
圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 - 副本
A’ O’ B’ 轴 侧 面
母 线
圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的 曲面叫做圆柱的侧面。 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置， 不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
A
O B
底面
注：棱柱与圆柱统称为柱体
特征:
A O B
① 两底面是圆面且平行全等,
轴 侧面 底面
母线
A O B
② 母线互相平行且平行于轴,
③ 母线及母线端点与底面 圆心的连线与轴围成矩形.
表示:
圆柱用表示它的轴的字母表示.如：圆柱OO
思考1：平行于圆柱底面的截面，经过 圆柱任意两条母线的截面分别是什么图 形？
思考2：经过圆柱的轴的截面称为轴截面， 你能说出圆柱的轴截面有哪些基本特征 吗？
圆柱、圆锥、圆台和球
请欣赏下面几幅图片
再请欣赏下面几幅图片
圆锥 圆柱
圆台
§1.1.1 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特 征
这些几何体 是如何形成 的？它们的 结构特征是 什么？
1.圆柱的结构特征
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形 成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴。
④矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱． A．1 C．3
[答案] B
B．2 D．4
2.圆锥的结构特征：
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其 余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。
S
顶点
底面：另外一条直角边旋转形成的圆 面叫做圆锥的底面。 侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲 面叫做圆锥的侧面。 顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点
1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球(2014年人教A版数学必修二导学案)
课题：1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成．
2．如图，将平行四边形 绕 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？
3．充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成？
【课后巩固】
1．下列几何体中不是旋转体的是（）
3．圆柱、圆锥、圆台和球的表示．
4．旋转体的有关概念
【课堂研讨】
例1、如图，将直角梯形 绕 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？
例2指出图1、2中的几何体是由哪些简单的几何体构成的．
图
图
例3、直角三角形 中， ，将三角形 分别绕边 ， ， 三边所在直线旋转一周，由此形成的几何体是哪一种简单的几何体？或由哪几种简单的几何体构成？
6．如图是一个圆台，请标出它的底面、轴、母线，并指出它是怎样生成的．
7．请指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．
2．图中的几何体可由一平面图形绕轴旋转 形成，该平面图形是（）
A
B
C
D
3．用平行与圆柱底面的平面截圆柱，截面是__________________________________．
4．__________________可以看作圆柱的一个底面收缩为圆心时，形成的空间几何体．
5．用平行于圆锥底面的一平面去截此圆锥，则底面和截面间的部分的名称是______．
课题：1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、了解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念．
2、认识圆柱、圆锥、圆台和球及其简单组合体的机构特征
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
组合体
简单组合体
日常生活中我们常用到的日用品，比如：消毒液、 暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么？ 由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体．认 识它们的结构特征要注意整体与部分的关系．
圆柱
圆台
圆柱
简单组合体
走在街上会看到一些物体，它们的主要几何结构特 征是什么？
简单组合体
一些螺母、带盖螺母又是有什么主要的几何结构特 征呢？
90° 60° 66.5°北极圈
40°
20° 30° 0° 20° 40° 60° 90° 60° 90° 120° 150° 赤道 23.5° 南回归线 23.5° 北回归线
南极圈 66.5°
P地的纬度就是经过 P点的球半径和赤道 平面所成的线面角 ∠POA的度数
北极
G
r R
P
O
A
南极
球面离
简单组合体
蒙古大草原上遍布蒙古包，那么蒙古包的主要几 何结构特征是什么？
简单组合体
居民的住宅又有什么主要几何结构特征？
简单组合体
下图是著名的中央电视塔和天坛，你能说说它们的 主要几何结构特征吗？
你能从旋转体的概念说说它们是由什么图形旋转而 成的吗？
旋转体
你能想象这条曲线绕轴旋转而成的几何图形吗？
O S
O
2、表示：如圆锥SO。
圆台
O1 O
用一个平行于圆锥底面的平面去截 圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.
思考：圆柱、圆锥和圆台都是旋转体，当 底面发生变化时，它们能否互相转化？
上底扩大 上底缩小
思考：圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分 别是什么图形？
例1. 用一个平行圆锥底面的平面截这个 圆 锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，截 去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长。
立体几何和平面解析几何知识点
必修2 数学基础知识第1章立体几何初步§1.1.1 棱柱、棱锥和棱台§1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球§1.1.3 中心投影和平行投影三视图：主视图（从前向后）；左视图（从左向右）、俯视图（从上向下）主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；长对正俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；高平齐左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度；宽相等已知几何体的三视图时，通常以正方体为载体画出该几何体的直观图§1.1.4 直观图画法斜二测画法：①原来与x轴平行的线段仍然与x轴平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y轴平行且长度为原来的一半.§1.2.1 平面的基本性质1. 点与平面的关系：点A在平面α内，记作Aα∈；点A不在平面α内，记作Aα∉点与直线的关系：点A在直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A∉l；直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作α⊂l；直线l不在平面α内，记作α⊄l2. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（即直线在平面内，或者平面经过直线）用符号语言表示公理1：,,,A lB l A B lααα∈∈∈∈⇒⊂3. 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：①经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；②经过两条相交直线，有且只有一个平面；③经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据；②它是证明平面重合的依据4. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线若平面α和平面β相交，交线是l，记作l=⋂βα.用符号语言表示公理3：P∈α, P∈β且l=⋂βα⇒P∈l.公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法；②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系, 即交线必过公共点；③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据.§1.2.2 空间两条直线的位置关系1. 平行关系 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这个两角相等 2. 异面直线异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线. 它们既不平行，又不相交. 异面直线所成的角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ′∥a ，b ′∥b ，则把直线a ′ 和b ′ 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角.两条异面直线所成角的取值范围是（0°，90°].若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.§1.2.3 直线与平面的位置关系1. 三种位置关系 直线在平面内――有无数个公共点．直线不在平面内（即直线在平面外）：①相交――只有一个公共点；②平行――没有公共点；三种位置关系的符号表示：α⊂a ； A a =⋂α； a ∥α. 2. 直线与平面平行的判定定理和性质定理 判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 则该直线与此平面平行. 线线平行⇒线面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.线面平行⇒线线平行3. 直线与平面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.线线垂直⇒线面垂直性质定理：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.线面垂直⇒线线垂直②如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 4. 直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线和平面所成角的取值范围是[0°，90°]. §1.2.4 平面与平面的位置关系1. 两平面平行的判定定理和性质定理 判定定理：①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行⇒面面平行）；②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行.（线线平行⇒面面平行）；③垂直于同一条直线的两个平面平行；性质定理： ①如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行；（面面平行⇒线面平行）②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行；（面面平行⇒线线平行）2. 两平面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直⇒面面垂直）性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直⇒线面垂直） 3. 二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线l 出发的两个半平面βα,所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作βα--l .②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.③二面角的取值范围[ 0°, 180° ]， 平面角是直角的二面角叫直二面角. §1.3.1 空间几何体的表面积空间几何体的表面积公式（c 为底面周长，h 为高，h ′为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表§1.3.2 空间几何体的体积1. 柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱13V Sh =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =台'2211()()33V S S h r rR R h π==++圆台2. 球体的表面积和体积公式V 球=343R π ；S 球面=24R π3. 若多面体的表面积为S ，内切球的半径为R , 则该多面体的体积SR V 31=第2章 平面解析几何初步§2.1.1 直线的斜率1. 直线的倾斜角 x 轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 因此，直线倾斜角的取值范围是[0°,180°).2. 直线的斜率①定义：倾斜角α不是90°的直线，α的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率通常用k 表示. 即tan k α=. 当α＝0°时，k ＝0；当α∈(0°, 90°)时，k ＞0；当α∈(90°, 180°)时，k ＜0；当α＝90°时，k 不存在. ②经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=§2.1.2 直线的方程1. 点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率为k ，且过点(x 1, y 1).注意：当直线的倾斜角为0°时，直线的斜率k ＝0，直线的方程是y ＝y 1；当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，直线的方程是x ＝x 1；2. 斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b （b ∈R ）3. 两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)4. 截矩式：1x ya b+= 直线l 过点(,0)a 和点(0,)b , 即l 在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b .（a ≠0且b ≠0）注意：直线l 在坐标轴上的截距相等时，斜率为－1或经过原点；直线l 在坐标轴上的截距互为相反数时，斜率为1或经过原点； 5. 一般式：Ax ＋By ＋C ＝0（A , B 不全为0）注意： ①平行于x 轴的直线：y ＝b （b 为常数）, 直线的斜率为0；②平行于y 轴的直线：x ＝a （a 为常数）, 直线的斜率不存在；③直线在坐标轴上的截距可以为一切实数 §2.1.3 两条直线的平行与垂直设直线l 1：11b x k y +=，直线l 2：22b x k y +=.则 ① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ②12121-=⇔⊥k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行或垂直时，要注意斜率的存在与否. §2.1.4 两条直线的交点1. 若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 ，与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交则交点坐标为方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解. 方程组无解21//l l ⇔ ；方程组有无数解⇔l 1与l 2重合 2. 过定点的直线系①斜率为k 且过定点(x 0 , y 0)的直线系方程为y －y 0＝k (x －x 0)；②过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 ，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为 (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ( A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中. §2.1.5 平面上两点间的距离设A(x 1 , y 1) , B(x 2 , y 2)是平面直角坐标系中的两点，则||AB =若线段AB 的中点为M(x 0 ,y 0) , 则2,2210210y y y x x x +=+= §2.1.6 点到直线的距离1. 点到直线距离公式：点P(x 0 , y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离2200||BA C By Ax d +++=2. 两条平行直线 l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0 ，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离2221||BA C C d +-=y §2.2.1 圆的方程1. 标准方程 222)()(r b y a x =-+-，圆心坐标为(a , b )，半径为r ；2. 一般方程 022=++++F Ey Dx y x当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心坐标为)2,2(ED --，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.§2.2.2 直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系有三种情况：相离，相切，相交；可由下列两种方法判断： ①设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22||BA C Bb Aa d +++=则有d ＞r ⇔l 与C 相离；d ＝r ⇔l 与C 相切；d ＜r ⇔l 与C 相交；②设直线0:=++C By Ax l ，圆C ：222)()(r b y a x =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为△，则有△＜0⇔l 与C 相离；△＝0⇔l 与C 相切；△＞0⇔l 与C 相交； 2. 直线l 被圆C 截得的弦长公式：222d r AB -=3. 过圆C ：x 2＋y 2＝r 2 上一点P(x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 24. 过圆C ：x 2＋y 2＝r 2 外一点P(x 0，y 0)作圆C 的两条切线PA, PB （A, B 为切点）， 切点弦AB 所在直线的方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2 §2.2.3 圆与圆的位置关系设圆C 1：22121)()(r b y a x =-+-， 圆C 2：22222)()(R b y a x =-+-. 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（或差），与圆心距（d ＝C 1C 2）之间的大小比较来确定.当r R d +>时，两圆相离； 当r R d +=时，两圆外切； 当r R d r R +<<-时，两圆相交；当r R d -=时，两圆内切； 当r R d -<时，两圆内含； 当d ＝0时，为同心圆.§2.3.1 空间直角坐标系如右图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是单位正方体. 以A 为坐标原点O ，分别以OB, OD,OA 1的方向为正方向，建立三条数轴x 轴，y 轴，z 轴. 这时建立了一个空间直角坐标系O －xyz. 空间一点M 的坐标可以表示为M(x , y , z)（x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标） §2.3.2 空间中两点间的距离设空间中两点P 1(x 1 , y 1 , z 1) , P 2(x 2 , y 2 , z 2) 则P 1P 2 ＝221221221)()()(z z y y x x -+-+-；线段P 1P 2 的中点P 0)2,2,2(212121z z y y x x +++。
高中数学必修2教学同步讲练第一章《圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征》练习题(含答案)
第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱②六棱锥③正方体④球体⑤四面体A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体．答案：D2．如图所示的简单组合体的结构特征是()A．由两个四棱锥组合成的B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成．答案：A3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．答案：A4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为()解析：截面图形应为图C所示的圆环面．答案：C5．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是()A．2 B．2πC.2π或4πD.π2或π4解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝4；π同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2.所以选C.π答案：C二、填空题6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥．答案：圆锥7．给出下列说法：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是____________(填序号)．解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确．答案：②④8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是__________．答案：圆柱三、解答题9．如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？解：此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l －12l ＝25，所以l ＝20 cm. 故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B 级 能力提升1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A ．一个球体B ．一个球体中间挖出一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球体中间挖去一个长方体解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱．答案：B2．一个半径为5 cm 的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm ，则截面圆面积为__________cm 2.解析：如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .由球的性质，OO1⊥CD.在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·O1C2＝9π.答案：9π3．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋（2π）2＝21＋π2，所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.。
1.1.1圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征
情境引入
我 们 生 活 在 几 何 的 空 间
情境引入 一个形的世界，我处处离不开你
请欣赏下面几幅图片
再请欣赏下面几幅图片
圆柱
圆锥
圆台
情境引入
情境引入
情境引入
情境引入
学生活动
问题：观察这些几何体，它们有什么共同特点或生成规律？
建构数学
矩形
直角三角形
直角梯形
截面的性质：
1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面. 2.球心到截面的距离d与球的半径r,有下面的关系:
O
Rd
ß
r
数学运用
例1．如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转 一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？
D
C
A
B
课堂练习
如图，将平行四边形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周， 由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？
思考2：经过圆锥的轴的截面称为轴截面，你
能说出圆锥的轴截面有哪些基本特征吗？
圆锥的侧面展开图是扇形
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的 侧面展开图是什么?．
圆台的侧面展开图是扇环
概念检测
1、判断下列几何体是否是圆柱、圆锥、圆台
×
（1）
×
（2）
×
（3）
练习：
1．圆柱的母线长为10，则其高等于( )
旋转体
封闭的旋转面围成的几何体
拓展延伸
类比棱柱、棱锥、棱台的生成过程，认识圆柱、圆锥、 圆台的结构特征.
思考1：平行于圆柱底面的截面，经过 圆柱任意两条母线的截面分别是什么图
形？
思考2：经过圆柱的轴的截面称为轴截面， 你能说出圆柱的轴截面有哪些基本特征
苏教版高中数学必修2全册同步练习及单元检测含答案
苏教版高中数学必修2 全册同步练习及检测第1章立体几何§1.1空间几何体1.1.1 棱柱、棱锥和棱台1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1．一般地，由一个________________沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的________，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的________，两侧面的公共边叫________．2．当棱柱的一个底面__________________时，得到的几何体叫做棱锥(如图所示)．3．棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，______和________之间的部分．4．将________、________________、______________分别绕着它的________、______________、____________________所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做______，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做________，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做________，无论旋转到什么位置，这条边都叫做________．5．________绕着它的______所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做______，简称______．一、填空题1．将梯形沿某一方向平移形成的几何体是________．2．有下列命题：①棱柱的底面一定是多边形；②棱台的底面一定是梯形；③棱柱被平面截成的两部分可以都是棱柱；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确命题的序号是________．3．棱台具备的性质是________(填序号)．①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点．4．下列命题中正确的是________(填序号)．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台．5．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．6．右图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的________(填序号)．7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是______(填序号)．9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是______．二、解答题10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．11．如图所示，已知△ABC，以AB为轴，将△ABC旋转360°．试指出这个旋转体是由怎样的简单几何体构成的？画出这个旋转体的直观图．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列______图形．(填序号)13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A 点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．2．在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连结两点的线段长求解．第1章立体几何初步§1.1空间几何体1．1.1棱柱、棱锥和棱台1．1.2圆柱、圆锥、圆台和球答案知识梳理1．平面多边形底面侧面侧棱2．收缩为一个点3．截面底面4．矩形直角三角形直角梯形一边一直角边垂直于底边的腰轴底面侧面母线5．半圆直径球体球作业设计1．四棱柱 2.①③3．①②④解析用棱台的定义去判断．4．③解析①、②的反例图形如图所示，④显然不正确．5．球体 6.①7.①②③④8．(1)(5)解析一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．9．①②10．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．11．解这个旋转体可由一个大圆锥挖去一个同底面的小圆锥而得到，直观图如图所示．12．②13．解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连结AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.1．1．3中心投影和平行投影【课时目标】1．了解中心投影和平行投影．2．能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图．3．能识别三视图所表示的立体模型．1．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是________，而中心投影的投影线________．2．三视图包括__________、__________和__________，其中几何体的____________和__________高度一样，__________与____________长度一样，__________与__________宽度一样．一、选择题1．人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将________．2．两条相交直线的平行投影是________．3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(填序号)________．4．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是________(填序号)．5．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是________________________________．6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．8．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．9．如图1所示，E，F分别为正方体的面AD1，BC1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图2中的________．(填上可能的序号)二、解答题10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．能力提升12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．13．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？在绘制三视图时，要注意以下三点：1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．1．1.3中心投影和平行投影答案知识梳理1．平行的交于一点2．主视图左视图俯视图左视图主视图俯视图主视图左视图俯视图作业设计1．变长解析中心投影的性质．2．两条相交直线或一条直线3．②④解析在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．4．① 5.四棱锥6．2 4解析三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.7．78．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B9．②③解析图②为四边形BFD1E在正方体前后及上下面上的正投影，③为其在左右侧面上的正投影．10．解图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．11．解该图形的三视图如图所示．12．解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．13．解由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．1.1.4直观图画法【课时目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：(1)在空间图形中取互相________的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz ＝________，且∠yOz＝________．(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝______(或______)，∠x′O′z′＝________，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度________；平行于y 轴的线段，长度为原来的________．一、填空题1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有__________(填序号)．2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD的形状是____________．3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是________ cm．4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是______(填序号)．5．△ABC面积为10，以它的一边为x轴画出直观图，其直观图的面积为________．6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于__________．7．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是______________．8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______．二、解答题10．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD ＝3 cm，试画出它的直观图．能力提升12．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．直观图与原图形的关系1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．1．1．4直观图画法答案知识梳理 (1)垂直 90° 90° (2)45° 135° 90° (4)不变 一半 作业设计 1．①②⑤解析 由斜二测画法的规则判断． 2．直角梯形 3．8 解析根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC 为平行四边形，OB ＝22，OA ＝1，AB ＝3，从而原图周长为8 cm ．4．③ 5．522 解析 设△ABC 面积为S ，则直观图面积S ′＝24S ＝522．6．2＋ 2解析 如图1所示，等腰梯形A ′B ′C ′D ′为水平放置的原平面图形的直观图，作D ′E ′∥A ′B ′交B ′C ′于E ′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A ′B ′C ′D ′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD ，且AB ＝2，BC ＝1＋2，AD ＝1，所以S ABCD ＝2＋2．图1图27．①②解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．8．2．5解析由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2．5．9．2 2解析画出直观图，则B ′到x ′轴的距离为22·12OA ＝24OA ＝22． 10．解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图a 所示；(2)再以上底面A 1B 1C 1D 1的对角线交点为原点建立x ′，y ′，z ′轴，如图b 所示，在z ′上取点V ′，使得V ′O ′的长度为棱锥的高，连结V ′A 1，V ′B 1，V ′C 1，V ′D 1，得到四棱锥的直观图，如图b ；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c ．11．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ．如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°．(2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E ．在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2．598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm ．(3)连结A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．12．6 2a2解析画△ABC直观图如图(1)所示：则A′D′＝32a，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝62a．画△ABC的实际图形，如图(2)所示，AO＝2A′O′＝6a，BC＝B′C′＝a，∴S△ABC＝12BC·AO＝62a2．13．解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．§1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质【课时目标】 1．了解平面的概念及表示法．2．了解公理1、2、3及推论1、2、3，并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：________________．2．公理2：如果________________________________，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的______________．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ． 3．公理3：经过不在同一条直线上的三点，________________________．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(1)推论1 经过________________________________________，有且只有一个平面． (2)推论2 经过____________，有且只有一个平面． (3)推论3 经过____________，有且只有一个平面．一、填空题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为________．2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系用符号可记作____________．3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形；④三个点．6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)AD/∈α，a⊂α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．二、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．§1．2 点、线、面之间的位置关系1．2．1 平面的基本性质答案知识梳理1．两点⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α 2．两个平面有一个公共点 一条直线 3．有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线作业设计 1．1解析 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．2．M ∈b ⊂β 3．1,2或3 4．③解析 ∵A ∈α，A ∈β，∴A ∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A 的一条直线而不是A ． 故α∩β＝A 的写法错误．5．③6．1或4解析四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1P l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．1.2.2空间两条直线的位置关系【课时目标】1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义及判定定理，会求两异面直线所成的角．3．能用公理4及等角定理解决一些简单的相关证明．1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：________、____________、____________．2．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．3．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．4．异面直线(1)定义：________________________的两条直线叫做异面直线．(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是______________．5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使__________，__________，我们把a′与b′所成的________________叫做异面直线a与b所成的角．如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角α的取值范围是____________．一、填空题1．若空间两条直线a，b没有公共点，则其位置关系是____________．2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱共有________条．4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是________．5．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________．6．有下列命题：①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直；④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．其中正确命题的序号为________．7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．二、解答题10．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F 分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．能力提升12．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．13．如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF 和CD所成的角是______．1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角α的范围为0°<α≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．1．2．2空间两条直线的位置关系答案知识梳理1．相交直线平行直线异面直线2．互相平行3．相等4．(1)不同在任何一个平面内(2)异面直线5．a′∥a b′∥b锐角(或直角)直角0°<α≤90°作业设计1．平行或异面2．相交、平行或异面解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．3．64．矩形解析易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．2解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．6．③7．60°或120°8．(1)60°(2)45°解析连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．9．①③解析。
圆柱、圆锥、圆台、球—高中数学湘教版(2019)必修二
(1)(2)
截挖型
由简单几何体截去或挖去一部分而成
(3)(4)
微练习
如图,第一排中的图形绕虚线旋转一周,能形成第二排中的某个几何体,请
把第一、第二排中相应的图形用线连起来.
答案 ①—C
③—D
②—B
④—A
探究一
旋转体的结构特征
例1(多选面都是矩形
B.以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周
球中的计算问题
例4(1)平面α截球O所得截面圆的半径为1,球心O到平面α的距离为 2,则此
球的半径为
.
(2)若球的半径为R,则球的内接正方体的棱长是
.
答案 (1) 3
2 3
(2) R
3
解析 (1)如图,设截面圆的圆心为 O',M 为圆 O'上任一点.
由题意得 OO'= 2,O'M=1,
2
∴OM= ( 2) + 1 = 3.即球的半径为 3.
侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长,所以选项D
不正确,很明显选项A正确.
微判断
(1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.(
)
(2)用平面去截圆柱,会得到一个圆柱和一个圆台.(
)
(3)用一个平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台.(
答案 (1)√
(2)×
(3)×
)
知识点四:球
球
图形及表示
当堂检测
1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是(
A.圆柱 B.圆锥
C.圆台 D.两个共底面的圆锥
答案 D
)
2.下列说法正确的是(
)
A.将正方形旋转不可能形成圆柱
《圆柱、圆锥、圆台、球》教学设计
1．1 空间几何体的结构1．1．3 圆柱、圆锥、圆台、球(张伟)一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解圆柱、圆锥、球的定义，培养空间想象能力，体会立体几何的特点．（二）学习目标1．通过实例，了解圆柱、圆锥、球的定义和性质．2．会识别圆柱、圆锥的展开图．3．会处理和圆柱、圆锥、球的截面有关的简单问题．（三）学习重点1．圆柱、圆锥、球的概念．2．圆柱、圆锥、球的性质．（四）学习难点1．利用圆柱、圆锥的展开图处理最短路径问题．2．球的截面．3．棱柱、棱锥的外接球和内切球问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第4页至第6页，填空：圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，圆柱的侧面又称为圆柱面，无论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，圆锥的侧面又称为圆锥面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧面的母线．圆台的定义：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台．还可以看成是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截面与底面之间的部分．旋转轴叫做圆台的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆台的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆台侧面的母线．球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的旋转体称为球体，简称球．半圆的圆心称为球心，连接球面上任意一点与球心的线段称为球的半径，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径．大家观察课本第2页的图，结合定义，找出其中的圆柱、圆锥、圆台、球．大家举例说明，生活中那些物体含有圆柱、圆锥、圆台、球？2．预习自测（1）圆柱的轴截面一定为（）A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形【答案】A．【知识点】圆柱的定义【解题过程】圆柱的轴截面不一定为正方形，B错；但一定为矩形【思路点拨】以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱．（2）以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做（）A．圆柱B．圆锥C．圆台D．球【答案】C．【知识点】圆台的定义【解题过程】圆台的有轴、底面、侧面、母线，本题中垂直于底边的腰所在的直线是圆台的轴线，另一条腰是母线，故选C．【思路点拨】空间想象出由一平面图形得到的旋转体．（3）球的截面一定是（）A．圆B．圆或三角形C．圆或矩形D．圆或椭圆【答案】A．【知识点】球的定义【解题过程】球的任一截面一定是圆，故选A．【思路点拨】空间想象出球的截面．(二)课堂设计1．知识回顾：上节课我们主要学习了棱锥和棱台．我们一起回忆一下：（1）有一面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的多面体叫做棱锥．（2）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．（3）底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥叫正棱锥．（4）由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．2．问题探究探究一认识圆柱、圆锥、圆台，球★我们可以这样认识圆柱、圆锥、圆台：静态的观点：底面为圆，侧面是曲面（圆锥的顶点可以看作退化的点圆）．动态的观点：平面图形绕某条边旋转形成的面围成的旋转体．OO圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱'圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO．OO圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台'球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O●活动①性质分析通过定义，我们分析一下圆柱、圆锥、圆台，球的性质．类比上节课我们对棱锥和棱台的分析，大家可以用表格的形式来比较．大家讨论完毕之后，老师总结如下：结构特征圆柱圆锥圆台球定义以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的几何体称为球体，简称球底面两底面是平行且半径相等的圆圆两底面是平行但半径不相等的圆无侧面展开图矩形扇形扇环不可展开母线平行且相等相交于顶点延长线交于一点无【设计意图】类比棱柱、棱锥、棱台，培养对知识的归纳整理能力．●活动②辨析概念请大家判断正误：（1）以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．（2）圆柱、圆锥、圆台都有两个底面．（3）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．（4）圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径．分析与解答：根据圆锥的定义，（1）正确；圆锥仅有一个底面，所以（2）不正确以直角梯形垂直于底的腰为轴，旋转所得的旋转体才是圆台，所以（3）不正确圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以（4）不正确大家做对了吗？【设计意图】通过概念辨析，加深对概念内涵与外延的理解，突破重点．●活动③简单的组合体问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？现实生活中的物体大多是简单组合体．简单组合体的构成有两种方式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成．将下列几何体按结构特征分类填空：（1）集装箱；（2）运油车的油罐；（3）排球；（4）羽毛球；（5）魔方；（6）金字塔；（12）三棱镜；（8）滤纸卷成的漏斗；（9）量筒；（10）量杯；（11）地球；一桶方便面；（13）一个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；①棱柱结构特征的有________________________；②棱锥结构特征的有________________________；③圆柱结构特征的有________________________；④圆锥结构特征的有________________________；⑤棱台结构特征的有________________________；⑥圆台结构特征的有________________________；⑦球的结构特征的有________________________；⑧简单组合体有_____________________________答案：棱柱结构：（1）、（5）、（7）棱锥结构：（6）圆柱结构：（2）、（9）圆锥结构：（8）棱台结构：（13）圆台结构：（10）、（12）球结构：（3）、（11）简单组合体：（4）请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的．观察上图，结合生活实际经验，简单组合体有几种组合形式？请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体．它们之间具有怎样的关系？让学生仔细观察上图，教师适当时候再提示．图中的三个组合体分别代表了不同形式．学生可以分组讨论，教师可以制作有关模型展示．讨论结果总结：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成．图（1）是一个四棱锥和一个长方体拼接成的，这是多面体与多面体的组合体．图（2）是一个圆台挖去一个圆锥构成的，这是旋转体与旋转体的组合体；图（3）是一个球和一个长方体拼接成的，这是旋转体与多面体的组合体．【设计意图】通过生活中的数学模型，对抽象的数学概念有直观的理解． 探究二 多面体和旋转体的整体比较★●活动① 理清我们学过的多面体和旋转体的关系⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧球圆台圆锥圆柱旋转体棱台棱锥棱柱多面体简单几何体【设计意图】通过复习，加深对多面体和旋转体的认识．●活动② 截面问题请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形？ 请同学积极思考，发言对于正方体的分割，可通过实物模型，实际切割实验，还可借助于多媒体手段进行切割实验．对于切割所得的平面图形可根据它的定义进行证明，从而判断出各个截面的形状． 探究：本题考查立体几何的空间想象能力，通过尝试、归纳，可以有如下各种肯定或否定性的 教师总结如下：（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形．（2）截面三角形是锐角三角形，截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形．（3）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形至少有一组对边平行． （4）截面不能是直角梯形．（5）截面可以是五边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形．（6）截面可以是六边形：截面六边形必须有分别平行的边，同时有两个角相等． （7）截面六边形可以是等角（均为120°）的六边形，即正六边形． 截面图形如图12中各图所示：【设计意图】培养立体几何的空间想象能力，培养学生联想、尝试、归纳，构造的能力．活动③巩固基础，检查反馈例1 圆台的上底面和下底面是（）A．全等的圆B．不全等的圆C．全等的多边形D．相似的多边形【知识点】棱台和圆台的区别．【数学思想】【解题过程】由圆台的定义可知B正确．【思路点拨】对比定义逐一分析即可．【答案】B．同类训练圆锥的轴截面一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．圆D．直角三角形【知识点】圆锥的定义．【数学思想】【解题过程】圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的母线为其两腰．【思路点拨】准确理解圆锥定义．【答案】A．例2 下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱．其中正确的有（）个．A．1B．2 C．3 D．4【知识点】多面体和旋转体的综合问题．【数学思想】【解题过程】①中两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，①错误．②中两个底面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，也有可能两底面根本就不相似，②错误．③中底面不一定是正方形，所以③不正确根据定义④是正确的．【思路点拨】使用定义逐一分析．【答案】A．●活动④强化提升、灵活应用例3 一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如下图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC=____________．【知识点】多面体的展开图．【数学思想】构造．【解题过程】如下图所示，折成正方体，很明显点A、B、C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC=90°【思路点拨】发挥空间想象能力，将正方体还原．【答案】90°同类训练有一粒正方体的骰子每一个面有一个英文字母，如下图所示．从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是___________．【知识点】柱体性质．【数学思想】【解题过程】正方体的骰子共有6个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公共顶点的三个面，与标有S的面相邻的面共有四个，由这三个图,知这四个面分别标有字母H、E、O、p、d，因此只能是标有“p”与“d”的面是同一个面，p与d是一个字母；翻转图②，使S面调整到正前面，使p转成d，则O为正下面，所以H的反面是O．【思路点拨】空间想象，还原正方体六个面上的字母．【答案】O．3．课堂总结知识梳理（1）以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱．（2）以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．（3）以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台．（4）以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的旋转体称为球体．重难点归纳（1）圆柱和圆锥的轴截面性质．（2）圆柱和圆锥的展开图．（三）课后作业基础型自主突破1．圆台的轴截面一定是（）A．矩形B．三角形C．直角梯形D．等腰梯形【知识点】圆台的定义．【数学思想】【解题过程】由定义可知圆台的轴截面为等腰梯形．【思路点拨】准确理解圆台的定义．【答案】D．2．圆锥的底面半径为1，母线长度为2，则圆锥的高为（）A ．1B ．2C ．3D ．5【知识点】圆锥的高与母线的区别．【数学思想】 【解题过程】由勾股定理，高等于31222=-．【思路点拨】分离局部图形，立体几何问题平面几何化．【答案】C ．3． 球O 与棱长为1的正方体的所有面均相切，则球O 的半径为（ ）A ．1B ．2C ．21D ．22【知识点】简单的内切球问题．【数学思想】 【解题过程】正方体的内切球直径等于正方体的棱长，故半径为21．【思路点拨】想象出球与正方体相切的状态． 【答案】C ． 4．下列叙述中正确的个数是（ ）①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③一个圆绕其直径所在的直线旋转半周所形成的曲面围成的几何体是球；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】柱体和锥体的定义． 【数学思想】【解题过程】①错误．应以直角三角形的一条直角边为轴；②错误．应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；③错误．应把“圆”改成“圆面”；④错误，应是平面与圆锥底面平行时．【思路点拨】紧扣定义，逐一判断．【答案】A ． 5．请描述下图所示的组合体的结构特征．【知识点】识别简单的组合体．【数学思想】 【解题过程】 图（1）是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；图（2）是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体；图（3）是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体．【思路点拨】准确理解简单多面体的定义，对简单的多面体有直观的判断．【答案】见解题过程． 6．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm ，求圆台的母线长．【知识点】圆台轴截面的性质．【数学思想】 【解题过程】设圆台的母线为，截得圆台的上、下底面半径分别为r ，4r ． 根据相似三角形的性质得：l 33=rr 4，解得l =9． 所以圆台的母线长为9cm ．【思路点拨】分离出圆台的轴截面，利用相似三角形求解．【答案】9cm ． 能力型 师生共研 7．连接正方体的相邻各面的中心（所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点），所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体．【知识点】构造多面体．【数学思想】构造 【解题过程】如上图(1)，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 1、O 2、O 3、O 4、O 5、O 6分别是各表面的中心．由点O 1、O 2、O 3、O 4、O 5、O 6组成了一个八面体，而且该八面体共有6个顶点，12条棱．该多面体的图形如图（2）所示．【思路点拨】先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可．【答案】见解题过程．8．下图为某竞赛中，获得第一名的代表队被授予的奖杯，试分析这个奖杯是由哪些简单几何体组成的？【知识点】简单的组合体．【数学思想】【解题过程】奖杯由一个球，一个四棱柱和一个四棱台组成．【思路点拨】熟悉各种简单多面体的直观图． 【答案】见解题过程．探究型 多维突破9．设圆锥母线长为2，高为1，过圆锥的两条母线作一个截面，求截面面积的最大值．【知识点】圆锥轴截面的性质．【数学思想】数形结合 【解题过程】由已知圆锥轴截面等腰三角形的顶角为 120，截面面积θsin 21⋅⋅⋅=l l S ， 其中l 为圆锥的母线，θ为截面等腰三角形的顶角，且 1200<<θ故当 90=θ时面积最大，最大值为221max =⋅⋅=l l S ．【思路点拨】写出截面的函数解析式，再求它的最大值．【答案】2．10．将一个半径为R 的木球削成尽可能大的正方体，求正方体的棱长．【知识点】正方体的外接球．【数学思想】构造 【解题过程】正方体的体对角线为球的直径，设正方体的棱长为x ，则R x R x x x 3322222=⇒=++．【思路点拨】想象出内接正方体的状态，再列方程求解． 【答案】R 332． 自助餐1．把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是（ ）A ．圆锥B ．圆柱C ．圆台D ．由两个底面贴近的圆锥组成的组合体【知识点】旋转体．【数学思想】【解题过程】可以想象出几何体是两个“背靠背”的圆锥．【思路点拨】画出图形分析即可．【答案】D ． 2．下列几何体的轴截面一定是圆面的是（ ）A ．圆柱B ．圆锥C ．球D ．圆台【知识点】旋转体．【数学思想】【解题过程】由球的定义可知，它的轴截面一定是圆面．【思路点拨】按照定义，逐一分析．【答案】C ． 3．下列几个命题中，正确的有 （填序号）．①圆锥的截面一定是三角形；②棱台的侧面一定是等腰梯形；③棱柱的上下底面一定是全等的多边形；④圆台截面可能是圆面．【知识点】多面体和旋转体的定义与性质．【数学思想】【解题过程】与圆锥底面平行的截面为圆，故①错误；棱台的侧面一定是梯形，未必等腰，故②错误；由棱柱定义可知③正确；与圆台底面平行的截面为圆，故④正确．【思路点拨】按照定义，逐一验证．【答案】③④．4．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，圆台的上底面半径为1 cm，则圆台的高为．【知识点】圆台轴截面．【数学思想】数形结合【解题过程】∵圆台的上底半径为1，故下底半径为4，根据相似三角形可知圆台的母线长度等于9，如下图所示，在Rt△A′HA中A′H＝AA′2－AH2＝92－32＝62．故圆台的高为62cm．【思路点拨】分离出轴截面，用平几知识求解．【答案】6 2 cm．5．已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如下图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．【知识点】旋转体． 【数学思想】 【解题过程】（1）以AB 边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示．（2）以BC 边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示（3）以CD 边为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示（4）以AD 边为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．① ② ③ ④【思路点拨】以直角梯形的不同边所在直线为轴旋转，所得到的几何体是不同的． 【答案】见解题过程．6．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，求该圆锥的高．【知识点】圆锥的轴截面． 【数学思想】方程思想．【解题过程】设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的高h ＝42－r 2．所以由题意可知12·(2r )·h ＝r 42－r 2＝8，∴r 2＝8，∴h ＝22．【思路点拨】设字母表示未知量，列方程求解．【答案】22．。
02圆柱、圆锥、圆台和球
第2课时圆柱、圆锥、圆台和球教学目标:（1）感知并认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，初步形成空间观念；（2）了解圆柱、圆锥、圆台和球的概念，能画出圆柱、圆锥、圆台和球的示意图；（3）能用运动变化的观点认识圆柱、圆锥、圆台和球的辨证关系．教学重点、难点:（1）圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征和有关概念．（2）圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．教学过程:一．问题情境问题：我们知道棱柱是由平面图形沿一个给定的方向平移而成的，请观察这些几何体，它们有什么共同特点或生成规律？归纳：__________________________________________________________。
二、自主建构数学1.旋转体的定义（1）圆柱、圆锥、圆台的定义：______________________________________________________ （2）轴______________________________；底面___________________侧面______________________________；母线_________________________（3）球面的定义：_____________________________________________________ 球体（或球）_____________________________________________________2.圆柱、圆锥、圆台和球的表示方法：_______________________________________________。
3.旋转体的性质：（1）轴截面定义：过圆柱、圆锥、圆台的轴的截面称为圆柱、圆锥、圆台的轴截面。
（1）圆柱、圆锥、圆台的性质：①轴截面的形状：______________________________________②轴与底面的位置关系：____________________________. （2）球的性质：_________________________________________________.4.旋转面：___________________________________________________________________.5.旋转体：___________________________________________________________________.三、数学运用例1、（1）如下图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？(2)指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的？例2、下列说法中：（1）圆锥的侧面上存在线段；（2）球的直径是球面上任意两点间连线段长度的最大值；（3）用一个平面截圆柱，所得截面一定是圆；（4）过圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；（5）圆柱的任意两条母线平行，其中说法正确的是_____________例3、（1）长和宽分别为3和4的矩形绕它的一条边旋转得到的圆柱，则该圆柱的体积为________（2）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底的半径之比为1：4，圆台的母线长是9，则圆锥的母线长为__________（3）已知圆锥的母线长为5，底面半径为4，则过圆锥的顶点的平面截圆锥所得三角形的面积的最大值为______________(4) 已知圆锥的母线长为5，底面半径为4，有一个正方体内接于圆锥（4个顶点在侧面上，4个顶点在底面上），则正方体的边长为__________四、回顾小结：五、课外作业1． 有下列命题：（1）以直角三角形的一边为轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥；（2）以直角梯形的一腰为轴，旋转一周所得的旋转体是圆台；（3）圆锥、圆台的底面都是圆；（4）圆锥被平行于底面的平面所截，得到两个几何体，其中一个仍然圆锥，另一个是圆台，其中正确命题的个数为___________2． 将一个边长为4和8的矩形纸片卷成一个圆柱，则圆柱的体积为__________3． 将等边三角形绕它的一边上的中线旋转180 ，所得到的几何体为__________4． 下列结论中：（1）各个面都是三角形的几何体是三棱锥；（2）以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体为圆锥；（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；（4）圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线，其中不正确的结论是__________5． （1）如果一个球内切于一个棱长为10的正方体盒子（球与正方体的6个面都相切），那么这个球的半径为__________；（2）如果一个球与一个棱长为10的正方体盒子8条棱都相切，那么这个球的半径为__________；6． 一个正方体内接于一个球（8个顶点都在球面上），过球心作截面，下面几个截面中正确的是____________（4）（3）（2）（1）7． 已知半径为1的球内切于一个轴截面为直角三角形的圆锥，求此圆锥的轴截面面积8．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面的面积为4：9，母线长为9cm，求圆锥的母线长。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.2 圆柱、圆锥和圆台数学教案
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球【教学目标】1.了解旋转的定义和特点；2.借助于旋转掌握圆柱、圆锥、圆台和球的概念，明确其各自相应的基本图形和性质；3．理解旋转体的概念。
【教学重点】理解圆柱、圆锥、圆台和球的概念的生成过程。
【教学难点】组合体的分割。
【过程方法】利用实物模型、计算机软件观察空间图形、认识圆柱、圆锥、圆台、球、旋转体及其简单组合体的结构特征，并能找出它们之间的联系，确立正确的认识问题的世界观。
【教学过程】一、导入新课：下面的几何体与多面体不同，仔细观察这些几何体，他们有什么共同特点或生成规律？1．旋转旋转是指将一个图形上所有点绕着一个固定点或一条固定直线转过相同的角度。
2．圆柱、圆锥、圆台的定义将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一条直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台，这条直线叫做轴（旋转轴），垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线。
3．圆柱、圆锥、圆台的结构特征（1）圆柱①圆柱的轴通过上、下底面的圆心，并且垂直于底面；②圆柱的母线长都相等，并且等于圆柱的高；③平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是与底面相等的圆；④经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是全等的矩形。
这样的截面称为圆柱轴截面。
（2）圆锥①圆锥的轴过顶点和下底面的圆心，并且垂直于底面；②圆锥的母线长都相等，并且相交于一点；③平行于圆锥底面的平面截圆锥所得的截面是圆面；④经过圆锥的轴的平面截圆锥所得的截面是全等的等腰三角形。
这样的截面称为圆锥轴截面。
（3）圆台①圆台的轴通过上、下底面的圆心，并且垂直于底面；②圆台的所有母线长都相等；③平行于圆台底面的平面截圆台所得的截面是圆面；④经过圆台轴的平面截圆台所得的截面是全等的等腰梯形。
这样的截面称为圆台轴截面。
（4）圆柱、圆锥、圆台的画法4．球的定义半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球，亦称球体；半圆弧旋转而形成的曲面叫做球面。
高中数学教材目录(苏教版)
第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1函数的概念和图象函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质映射的概念2.2指数函数分数指数幂指数函数2.3对数函数对数对数函数2.4幂函数2.5函数与方程二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解2.6函数模型及其应用数学2第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第4章平面解析几何初步4.1直线与方程直线的斜率直线的方程两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离4.2圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系4.3空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离数学3第5章算法初步5.1算法的意义5.2流程图5.3基本算法语句5.4算法案例第6章统计6.1抽样方法6.2总体分布的估计6.3总体特征数的估计6.4线性回归方程第7章概率7.1随机事件及其概率7.2古典概型7.3几何概型7.4互斥事件及其发生的概率数学4第8章三角函数8.1任意角、弧度8.2任意角的三角函数8.3三角函数的图象和性质第9章平面向量9.1向量的概念及表示9.2向量的线性运算9.3向量的坐标表示9.4向量的数量积9.5向量的应用第10章三角恒等变换10.1两角和与差的三角函数10.2二倍角的三角函数10.3几个三角恒等式数学5第11章解三角形11．1正弦定理11．2余弦定理11．3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列12．1等差数列12．2等比数列12．3数列的进一步认识第13章不等式13．1不等关系13．2一元二次不等式13．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题13．4基本不等式选修系列11-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线与方程第3章导数及其应用3．1导数的概念3．2导数的运算3．3导数在研究函数中的应用3．4导数在实际生活中的应用1-2第1章统计案例1．1假设检验1．2独立性检验1．3线性回归分析1．4聚类分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图5．2结构图选修系列22-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑连接词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．2空间向量的应用2-2第1章导数及其应用1．1导数的概念1．2导数的运算1．3导数在研究函数中的应用1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3数学归纳法2．4公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入6．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义2-3第1章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理第2章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2．4二项分布2．5离散型随机变量的均值与方差2．6正态分布第3章统计案例3．1假设检验3．2独立性检验3．3线性回归分析4．4聚类分析。
2018版 第1章 1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的概念．(重点)2．通过与棱柱、棱锥、棱台的类比进一步认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．(难点、易混点)3．了解复杂几何体的组成情况，学会分析并掌握它们是由哪些简单几何体组合而成．(难点)[基础·初探]教材整理1圆柱、圆锥和圆台的概念阅读教材P8～P9第6行以上部分，完成下列问题．1．圆柱、圆锥和圆台的概念将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．2．与圆柱、圆锥、圆台有关的概念绕着旋转的这条直线叫做轴．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．(×)(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆．(×)(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．(×)2．如图1－1－18将图(1)(2)(3)(4)所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图(5)所示的几何体的是哪一个图中的三角形__________．(填序号)图1－1－18【答案】(2)教材整理2球阅读教材P9第7～10行的内容，完成下列问题．半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，如图1－1－19所示．图1－1－19下列说法中正确的是__________．(填序号)①半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆．【解析】半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体，叫球，①不正确；②正确；球面和球是两个不同的概念，③错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误．【答案】②教材整理3旋转体阅读教材P9第11行至例1上面部分，完成下列问题．。
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台
A 例 2 以下几何体是由哪些简单几何体构成的？
图1
图2
例 3 把一个圆锥截成一个圆台， 已知圆台的上下底面半径是 1∶4， 母线长 为 10 cm，求圆锥的母线长． 2．练习． （1)①如图 1 将平行四边形 ABCD 绕 AB 边所在的直线旋转一周， 由此形成 的几何体是由哪些简单几何体构成的？ ②如图 2 钝角三角形 ABC 绕 AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何 体是由哪些简单几何体构成的？
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2011-2012 学年度第二学期
高一数学学科电子教案
思考：圆柱、圆锥、圆台之间有何关系？（引导学生从概念的形成和结构特 征来分析三者之间的关系） 3．球面及球的概念； 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的曲面叫做球面， 球面围成的 几何体叫做球体． 球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 4．球的相关概念（球心、球半径、球的表示）； 5．旋转面、旋转体的概念（引导学生总结）． 四、数学运用 1．例题． 例 1 将直角梯形 ABCD 绕 AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体 是有哪些简单的几何体构成的？ D C B
④圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半 径． ⑤在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线 五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容： 1．圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念； 2．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征； 3．圆柱、圆锥、圆台和球的应用．
布置
P10 练习 1，2
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2011-2012 学年度第二学期
C A
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B
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o
s
o o'
o'
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分别表示为：圆柱oo'、圆锥so'、圆台oo' 圆柱、圆锥、圆台之间有何关系？
思考题：1．平行于圆柱，圆锥，圆台的底面的 截面是什么图形？ ２．过圆柱，圆锥，圆台的旋转轴的截 面是什么图形？
性质1：平行于底面的截面都是圆。 性质2：过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩 形，等腰三角形，等腰梯形。
l
F
A B
E D
C
例4：把一个圆锥截成一个圆台，已知圆 台的上下底面半径是1:4，母线长为 10 cm， 求圆锥的母线长． S
D O1
C
A
O
B
例4：把一个圆锥截成一个圆台，已知圆 台的上下底面半径是1:4，母线长为 10 cm， 求圆锥的母线长．
S D O1 C S
O1
C
O
B
A
O
B
填空题： （1）用一张６×８的矩形纸卷成一个圆柱，其轴 截面的面积为________ ．
下面几何体与多面体不同,仔细观察下列 几何体,它们有什么共同点? 思考：这个几何体的外部曲面是如何 形成的？几何体是如何形成的？
旋转轴
母线Βιβλιοθήκη 圆柱圆锥圆台
思考：圆柱、圆锥、圆台可由什么平面图 形如何运动而成？ 线动成面,面动成体
分别以矩形、直角三角形的直角边、
直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋
转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的
1.1.2 圆柱、圆锥、 圆台和球
复习:
1、平移 平移是指将一个图形上所有的点按某一 确定的方向移动相同的距离.
2、棱柱、棱锥、棱台 3、多面体的概念 4、棱柱、棱锥、棱台的画法步骤
名称 项目
棱柱
由一个平面多边形 沿某一方向平移形 成的空间几何体叫 做棱柱.平移起止 位置的两个面叫做 棱柱的底面,多边 形的边平移所形成 的面叫做棱柱的侧 面.两侧面的公共 边叫做棱柱的侧棱
棱锥 当棱柱的 一个底面 收缩为一 个点时,得 到的几何 体叫做棱 锥.
棱台 用平行于 棱锥底面 的平面去 截棱锥,截 面和底面 之间的部 分叫做棱 台
定 义
分类
根据底面多边形的边数多少,可将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五 棱柱等；同理，棱锥、棱台也这样分类。
性质
底面是多边形，侧 两个底面是相似的 两个底面是全等的多边形， 面是有一个公共顶 多边形，且对应边 且对应边互相平行，侧面 互相平行，侧面都 点的三角形 都是平行四边形 是梯形
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（2）圆台的上下底面的直径分别为２cm,10cm,高
5cm 为3cm，则圆台母线长为_______.
如图，一个半圆面绕其直径所在直线旋转一 球的概念：球也可以由一个平面图形旋转得到。 周所形成的几何体是什么？ 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫 球面。球面所围成的几何体叫球体，简称球。
球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴， 半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体， 简称球。 其中半圆的圆心叫做球的球心，半圆的 半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球 的直径。 球的表示方法：用表示球心的字母O表 示，如球O。
用一个平面去截球体得到 的截面是什么图形
？
性质3：用一个平面去截球体得到的截面是一个 圆。
课堂练习
判断题： （1）在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的 连 线是圆柱的母线． （ ）
（2）圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形．（ ）
（3）与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形．（ ）
例1：如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在 直线旋转一周，由此形成的几何体是由那 些简单几何体构成的？
D C
A
B
例2：指出图中的几何体是由那些简单几何体 构成的？
A''''' A'''' A'''' E'' E' A'
A'''''''
A''' A''''''''
A'''
E'
A'''''''
例3 如图ABCDEF是正六边形，将它绕AB 所在直线l旋转，画出旋转后的几何体，并 指出它是由那几几个简单几何体构成的．
几何体， 分别叫做圆柱，圆锥，圆台。
圆柱
圆锥
圆台
旋转面可看作一条曲线绕一条定 直线旋转一周所形成的轨迹,这条定直 线叫做旋转轴,简称轴.这条曲线叫做旋 转面的母线.封闭的旋转面所围成的几 何体叫做旋转体.旋转体可以看作是由 一封闭的平面图形包括其内部绕一条定 直线旋转一周所形成的轨迹.
圆柱、圆锥、圆台的表示方法：用表示 它们的轴的字母表示，如：