高中数学人教A版选修4-4模块检测卷(一) Word版含解析

模块检测卷(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A ．π
B ．4π
C ．8π
D ．9π
解析：选B 设P 点的坐标为(x ，y )， ∵|PA |＝2|PB |，
∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]． 即(x －2)2＋y 2＝4.
故P 点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π. 2．柱坐标⎝⎛⎭⎫2，π
3，1对应的点的直角坐标是( ) A ．(3，－1,1) B ．(3，1,1) C ．(1，3，1)
D ．(－1，3，1)
解析：选C 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
z ＝z
可得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝1，
y ＝3，
z ＝1.
3．在极坐标系中，点A 的极坐标是(1，π)，点P 是曲线C ：ρ＝2sin θ上的动点，则|PA |的最小值是( )
A ．0
B. 2
C.2＋1
D.2－1
解析：选D A 的直角坐标为(－1,0)，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，|AC |＝2，则|PA |min ＝2－1.
4．直线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝sin θ＋t sin 15°
，y ＝cos θ－t sin 75°(t 为参数，θ是常数)的倾斜角是( )
A ．105°
B ．75°
C ．15°
D ．165°
解析：选A 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θ＋t sin 15°，y ＝cos θ－t sin 75°⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝sin θ＋t cos 75°
，y ＝cos θ－t sin 75°，
消去参数t 得，y －cos θ＝－tan 75°(x －sin θ)， ∴k ＝－tan 75°＝tan (180°－75°)＝tan 105°. 故直线的倾斜角是105°.
5．双曲线⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝tan θ，y ＝21
cos θ(θ为参数)的渐近线方程为( )
A ．y ＝±2
2x
B ．y ＝±1
2
x
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±2x
解析：选D 把参数方程化为普通方程得y 2
4
－x 2＝1，渐近线方程为y ＝±2x .
6．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )
A ．圆、直线
B ．直线、圆
C ．圆、圆
D ．直线、直线
解析：选A ∵ρ＝cos θ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．
∵⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1－t ，
y ＝2＋3t ，∴y ＋3x ＝－1表示直线． 7．已知点P 的极坐标为(π，π)，则过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( ) A ．ρ＝π B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝
π
cos θ
D ．ρ＝
－π
cos θ
解析：选D
设M (ρ，θ)为所求直线上任意一点，
由图形知|OM |cos ∠POM ＝π，∴ρcos(π－θ)＝π.∴ρ＝
－π
cos θ
. 8．直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ相交，则k 满足的条件是( ) A ．k ≤－3
4
B ．k ≥－3
4
C ．k ∈R
D ．k ∈R 且k ≠0
解析：选A 由题意可知直线l 过定点(0，－2)，曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.由图可知，直线l 与圆相切时，有一个交点，此时|k ＋2|
k 2＋1
＝1，得－k ＝3
4.若满足题意，只需－
k ≥34
.
即k ≤－3
4
即可．
9．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋sin θ，
y ＝cos 2⎝⎛⎭
⎫
π4－θ2(θ为参数，0≤θ<2π)所表示的曲线是( ) A ．椭圆的一部分 B ．双曲线的一部分
C ．抛物线的一部分，且过点⎝⎛⎭⎫－1，1
2 D ．抛物线的一部分，且过点⎝⎛⎭
⎫1，12 解析：选D 由y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－θ2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ2＝1＋sin θ2
，可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ得x 2－1＝sin θ，∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y ， 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]．∴表示抛物线的一部分，且过点⎝⎛⎭
⎫1，1
2. 10．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π
3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为
( )
A.14
B.3－34
C.2－34
D.13
解析：选B 三条直线的直角坐标方程依次为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，如图所示，围成的图形为△OPQ ，可得S △OPQ ＝12|OQ |·|y P |＝
1
2×1×
3
3＋1
＝3－34.
11．设曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋3cos θ，
y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，
则曲线C 上到直线l 的距离为
710
10
的点的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B 曲线C 的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，它表示以(2，－1)为圆心，3为半径的圆，其中圆心(2，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|2＋3＋2|10＝71010且3－
710
10<710
10
，故过圆心且与l 平行的直线与圆交于两点，满足题意的点即为该两点． 12．已知直线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2－t sin 30°，y ＝－1＋t sin 30°(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝8相交于B 、C 两点，O 为原点，则△BOC 的面积为( )
A ．27 B.30 C.
152 D.302
解析：选C ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2－t sin 30°
，y ＝－1＋t sin 30°⇒⎩⎨⎧
x ＝2－12t ＝2－2
2t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋2
2
t ′(t ′为参数)．
代入x 2＋y 2＝8，得t ′2－32t ′－3＝0，
∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝(32)2＋4×3＝30， 弦心距d ＝
8－
304＝22，S △BCO ＝12|BC |·d ＝15
2
. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．将参数方程⎩⎨⎧ x ＝a 2⎝⎛⎭
⎫t ＋1
t ，y ＝b 2⎝⎛⎭
⎫
t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．
解析：参数方程变为⎩⎨⎧
2x a ＝t ＋1t ，
2y b ＝t －1
t ，
∴(2x )2a 2－(2y )2b 2＝4，∴x 2a 2－y 2
b
2＝1.
答案：x 2a 2－y 2
b
2＝1
14．在极坐标中，直线ρsin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 解析：直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式，得2r 2－d 2＝2
42－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2222
＝4 3.
答案：4 3
15．(广东高考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2cos t ，
y ＝2sin t
(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切
线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．
解析：曲线C 的普通方程为：x 2＋y 2＝ ( 2 cos t )2＋( 2 sin t )2＝2(cos 2t ＋sin 2t )＝2，由圆的知识可知，圆心(0,0)与切点(1,1)的连线垂直于切线l ，从而l 的斜率为－1，由点斜式可得直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，可得l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.
答案：ρsin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4＝ 2
16．(重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t 2
，
y ＝t 3
(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.
解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4，①
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t 2
，y ＝t 3化为普通方程为y 2＝x 3，② ①②联立得A (4,8)，B (4，－8)， 故|AB |＝16. 答案：16
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α
为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ―→＝2OM ―→，P 点的轨迹为曲线C 2.
(1)求C 2的方程；
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π
3与C 1的异于极点的交
点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.
解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫
x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以
⎩⎨⎧
x
2＝2cos α，y
2＝2＋2sin α，
即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ1＝8sin θ.
射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π
3与C 2的交点B 的极径为ρ2
＝8sin π
3
.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.
18．(江苏高考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2tan 2
θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1，
y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y
＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.
同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .
联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫1
2，－1. 19．(福建高考)(本小题满分12分)已知方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0，(0≤θ＜2π)．
(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线； (2)θ为何值时，该抛物线在直线x ＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．
解：(1)证明：将方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)
∴图象为抛物线．
设其顶点为(x ，y )，则有⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos θ，
y ＝3sin θ，
消去θ得顶点轨迹是椭圆x 216＋y 2
9
＝1.
(2)联立⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝14，y 2－6y sin θ－2x －9cos 2
θ＋8cos θ＋9＝0 消去x ，得y 2－6y sin θ＋9sin 2θ＋8cos θ－28＝0. 弦长|AB |＝|y 1－y 2|＝47－2cos θ， 当cos θ＝－1，即θ＝π时，弦长最大为12. 20．(本小题满分12分)曲线的极坐标方程为ρ＝
2
1－cos θ
，过原点作互相垂直的两条直
线分别交此曲线于A 、B 和C 、D 四点，当两条直线的倾斜角为何值时，|AB |＋|CD |有最小值？并求出这个最小值．
解：由题意，设A (ρ1，θ)，B (ρ2，π＋θ)，C ⎝⎛⎭⎫ρ3，θ＋π2，D ⎝⎛⎭⎫ρ4，θ＋3π
2. 则|AB |＋|CD |＝(ρ1＋ρ2)＋(ρ3＋ρ4) ＝
21－cos θ＋21＋cos θ＋21＋sin θ＋21－sin θ＝16
sin 22θ
.
∴当sin 22θ＝1即θ＝π4或θ＝3π4时，两条直线的倾斜角分别为π4，3π
4时，|AB |＋|CD |有最
小值16.
21．(辽宁高考)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝t 3
＋a ，y ＝b 2
t 3＋1(t ∈R 为参数)．求a ，b 的值． 解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2
＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝0，y 1＝4，⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＝2，
y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.
由参数方程可得y ＝b 2x －ab
2＋1，所以⎩⎨⎧
b
2＝1，
－ab
2＋1＝2，
解得a ＝－1，b ＝2.
22．(辽宁高考)(本小题满分12分)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标
变为原来的2倍，得曲线C .
(1)写出C 的参数方程；
(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 1，
y ＝2y 1.
由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22
＝1，
即曲线C 的方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
故C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos t ，
y ＝2sin t (t 为参数)．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2
4＝1，2x ＋y －2＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝2.
不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝1
2，于是所求直线方程为y －1＝1
2⎝⎛⎭
⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得
2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝3
4sin θ－2cos θ
.。