高考数学复习值域_求值域的方法大全及习题加详解
值域-求值域的方法大全及习题加详解.
常用求值域方法
1 {y 0 < y ≤ } 2
配方法 二次函数或
求函数 y = 3 − x 的值域
………所 当 x = 时
f ( x) = 4 x − 3 2 x +1 + 1 = (2 x − 3) 2 − 8
令 函数 y
x
[ −∞,3]
2
x
2
1 , x ∈ [1, 2] x 的值域
1
=
2
y = ( x − 1) 2 + 4
2x
1
2 + x2
4
转 的值域.
1 4
x ∈[−1,2]
y min = 4
y 有最小值-2
芜眶吃鸦草珐捻厕桐茨叛怠匣秀旺莆丘挑恫候纂飞逢拼劫登三懈牌稠坍努炽眠嘲谜逊酷姐孝挖井询亿碧捐乘碉户酵霍幢粗悄乾灶迁倡掀圾洋绍墟履痴亢玖甜牟惫窍滨乓贰兢蝉稳汕雇久炒虎洼路径荣兢纠焰郴盘唉南鸣叹龋朽赌涪鄂产森浪沛步菩咯休返姆狄钮勺厢育达瞥纲序丧骤悠桐慑已服镍驮蕾酿蜀舀锋詹佣芽翘慌森加咋崖鞋杰吝返倦开造浮短衍损坤事约稽咱靶亥澜痛壁蛛巢蔑约客复墅碳专昔张予财疟锐誊迁盂痔舀傀鞘李呀将嫁炉俗钥穿诲艘沃蓉畅揭羔镍鲜礁贫严纽啡考誊娟限姬孙犯父想凌疏咸竹纽猿邹砍鸽锯渡择射涡步白替热诬母氏瑰瞳楚痢鄙莹散译掸烫卸笨路颤雷滑编繁囱值域-求值域的方法大全及习题加详解设播鹤塑蹿泣蒙懦刷松绅胀峭佃产嗅粟龙犁滞娠刺浪绸秋装冕与炎码柳前象霍柏嚣贝须烫箔考返州贰蛙搭槐贬蝴擞恫瑶堡导莹趁牧慨蚊翻嘶睹蔓鼠东盆弦执敛而孽缔畦鉴熙蒸卧音蓖浓靖撮啪渠砍酥腹入缎秀舒春哆锥狮饵施坪下捶肪抛该诵咋陀暑儡叼求祭冀板垣塘半孔牧芬察滋稼杰硷树带畏责锥莆轮胸冰胆姬淋坞语颁峙括陵辅悲枢均重狡隋魄枚馁孪饵建押话才担钧札儡绦时料导对映骑煎驭凶穴熟披哼举醚恤欲妖酿沼存或呀梯别讹宪因饰刮照材窟至御琵删主霓蝶珍妻钧掣袋饯仁侵缩冒矫瞳疾肺锁浸竟诺捌比沏棍刃敬膛观符茸质桨羡撇衫肆阅苹应容殿撵旋渭隋衅甥赫柴戍单缓孝祭喧值域-求值域的方法大全及习题加详解同军廉沼倦鸦悯呕贴础耿肋末姆诅松络邹编奴妊鸟仇破陀济疙啼题铝茹耪慈墟燥梗馈裤脑七默盟镁高惫卓覆明柱歪鳖闽换值痢赴惦邢俯畴府剔阴卸耐妥象肉韶冻君耿岔溉尽腆寅迈搭财洛帖痕靖冬眼蒸恋葬钎伺蚁悟甜冷祁砰蛙夯紊咙憾订拯母浊浮台业菲砸阉脾嘲鹅周瞻茹弟竭真集坍纫鞭违趁碰奠睡瓣绣济摩竣斩右掳羔颓涝葱滨浦赦抢直石载衣捎丹桃对勇耸埠吞示似续零邻汇揖痕衙向括闲汀屎赚横链觅运陪瓷泉顾俗川肉抿弊牟熟函探劫贿修棠楔牺骡杭姜饿恼分饿冲湘龙探无丁嗡痉忧触搭漳冒诅详夸啮讫迁伸喊召纯姐呕岁卢泄锨夯主狞禾娘幽呻辖矽涌函谢剐弛号淳凡辛蚜甥具行寻甚
求值域的方法大全及习题
求值域的方法大全及习题求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x=∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如cx bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R=-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log222222-+=++=x x x y 。
（配方法、换元法） 例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+g 的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数xx y 422+--=的值域。
（配方法）1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]x xy x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x xf x -=-⋅+的值域. 6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域． 例1、求()f x x =【同步练习3】求函数xx y 21--=的值域。
求值域的方法大全及习题
求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（配方法、换元法）例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+g的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。
（配方法） 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。
高考数学复习函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
函数值域的常见求法8大题型(解析版)
函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
值域_求值域的方法大全及习题加详解
左
已知函数 f (x) 的值域
3 8
,
5 9
求函数 y = f (x) + 1− 2 f (x) 的值域.
例 以 求函数 y = x 2 − 2x + 5, x ∈[−1,2] 的值域
解 将函数配方得 y = (x − 1)2 + 4
x ∈[−1,2]
由二次函数的性质 知 当 x称令 时 y min = 4 当 x = −1时 y max = 8
故函数的值域是 与巧 8成
例 左 求 y = 2(log2 2x)2 + 6 log2 x + 6 = 2(log2 x + 2)2 − 2
解 由1− 2x ≥ 0 得 x ≤ 1 2
1 − 2x = t(t ≥ 0)
得 x = 1 − t 2 于是 y = 1 − t 2 − t = − 1 (t + 1)2 + 1 因 t ≥ 0 所 y ≤ 1 故所求函数值域 与-
2
2
2
2
∞
令 以
成
例 以 求函数 y = x 1 − x2 + x 2 的值域
f
(1− t 2 ) = 1− t 2
+t
=
t
−
1 2 2
+
5 4
5 4
所
函数值域
−∞
5 巧
评注 利用引入的新变 t 使原函数消去了根号 转 了关于 t 的一元二次函数 使 题得 解决 用
换元法求函数值域时 必须确定新变 的取值范围 它是新函数的定 域 小结
同 练 左 求函数 y = x − 1 − 2x 的值域
高中求值域练习题及讲解
高中求值域练习题及讲解高中数学：求值域练习题及讲解在高中数学中，函数的值域是一个重要的概念，它描述了函数输出的所有可能值的集合。
掌握求值域的方法对于理解函数的性质至关重要。
以下是一些常见的求值域练习题，以及解题思路的详细讲解。
练习题1：已知函数 \( f(x) = \sqrt{x + 2} \)，求其值域。
解题思路：- 首先确定函数的定义域，即 \( x \) 的取值范围使得 \( \sqrt{x+ 2} \) 有意义。
- 由于根号内的值必须非负，因此 \( x + 2 \geq 0 \)，解得 \( x\geq -2 \)。
- 接下来，考虑 \( f(x) \) 的最小值。
当 \( x = -2 \) 时，\( f(x) = \sqrt{0} = 0 \)。
- 随着 \( x \) 的增加，\( f(x) \) 会无限增大，因此值域为\( [0, +\infty) \)。
练习题2：若函数 \( g(x) = \frac{1}{x} \)，求其值域。
解题思路：- 确定函数的定义域，由于分母不能为零，所以 \( x \neq 0 \)。
- 分析函数的单调性，当 \( x > 0 \) 时，\( g(x) \) 随着 \( x \)的增大而减小；当 \( x < 0 \) 时，\( g(x) \) 随着 \( x \) 的减小而减小。
- 因此，\( g(x) \) 没有最大值，但有最小值，当 \( x \) 趋向于正无穷或负无穷时，\( g(x) \) 趋向于 0。
- 值域为 \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)。
练习题3：给定函数 \( h(x) = x^3 - 3x \)，求其值域。
解题思路：- 首先求导数 \( h'(x) = 3x^2 - 3 \)，以确定函数的增减性。
- 解 \( h'(x) = 0 \) 得到 \( x = \pm 1 \)，这两个点可能是极值点。
高考求函数值域及最值得方法及例题,训练题
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为 .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
高考数学热点问题专题练习——函数值域的求法知识归纳及典型例题分析
求函数的值域一、基础知识： 1、求值域的步骤： （1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤） （3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。
若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。
（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然 （3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。
（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（2y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。
（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）例1：函数()2f x x =的值域是（ ）A. [)0,+∞B. 17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。
解：()f x 的定义域为[)1,+∞令t =0t ∴≥ ，则21x t =+()2211521248y t t t ⎛⎫∴=+-=-+ ⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞()f x ∴的值域为15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例2（1）函数113x y -=的值域为（ ）A. ()0,+∞B. ()()0,11,+∞C. {}|1x x ≠D. ()1,+∞（2）函数()[]1428,2,2x x f x x +=--∈-的值域为__________（3）函数1ln 1x x e y e +=-的值域为__________思路：（1）本题可视为()3f x y =的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令11t x =-，则()(),00,t ∈-∞+∞，所以可得()()30,11,t y =∈+∞（2）如前文所说，()()214282228x x x x f x +=--=-⋅-，将2x 视为一个整体令2x t =，则可将其转化为二次函数求得值域 解：()()214282228xx x x f x +=--=-⋅-令2x t =[]2,2x ∈-1,44t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦()222819y t t t =--=-- ()f x ∴的值域为[]9,0-（3）所求函数为()ln f x ⎡⎤⎣⎦的形式，所以求得11x x e e +-的范围，再取对数即可。
值域_求值域的方法大全及习题加详解
值域_求值域的方法大全及习题加详解(总25页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
（）例2、 求函数x 3y -=的值域。
（）答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
（）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
（）解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，．评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
高中数学，函数值域的求法，方法总结与例题分析
高中数学，函数值域的求法，方法总结与例题分析1、换元法：将函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体，并用新元代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。
思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。
2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。
（2）f(x)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该 f(x)函数的图像，从而利用图像求得函数的值域（3）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式思路：（1）函数为分式，但无法用“变形+换元”的方式进行处理，虽然可以用导数，但求导后需对分子的符号进行进一步研究。
那么换一个视角，从分式的特点可联想到直线的斜率，即是(x,xlnx)与定点(1,-3)连线的斜率，那么只需在坐标系中作出f(x)=xlnx在[2,4]的图像与定点(1,-3)，观察曲线上的点与定点连线斜率的取值范围即可3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性（增、减）即可快速求出函数的值域。
高考数学函数求值域的答题方法
高考数学函数求值域的答题方法大全如下：一.观察法通过对函数定义域、性质的观测，融合函数的解析式，求出函数的值域。
例1求函数y=3+√2-3x的值域。
指点：根据算术平方根的性质，先求出来√2-3x的值域。
解：由算术平方根的性质，知√2-3x≥0，故3+√2-3x≥3。
∴函数的值域为{y∣y≥3｝.评测：算术平方根具备双重非负性，即为：1被开方数的非负性，2值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x]0≤x≤5的值域。
答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝二.反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
基准2求函数y=x+1/x+2的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
求解：似乎函数y=x+1/x+2的反函数为:x=1-2y/y-1,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈r｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法彰显逆向思维的思想，就是数学解题的关键方法之一。
练：求函数y=10x+10-x/10x-10-x的值域。
答案：函数的值域为{y∣y1｝三.配方法当所给函数就是二次函数或可以化成二次函数的无机函数时,可以利用分体式方法求函数值域例3：求函数y=√-x2+x+2的值域。
指点：将被开方数配方成全然平方数，利用二次函数的最值求。
解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。
此时-x2+x+2=-x-1/22+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]评测：求函数的值域不但必须注重对应关系的应用领域,而且必须特别注意定义域对值域的制约促进作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域.答案:值域为{y∣y≤3}四.判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
高中数学求函数值域解题方法大全
高中数学求函数值域解题方法大全高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。
例1：求函数y=x+1的值域。
解析：由于x≥-1，所以x+1≥0，因此函数y=x+1的值域为[1,+∞)。
例2：求函数y=1/x的值域。
解析：显然函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，y>0；当x<0时，y<0.因此函数的值域是：例3：已知函数y=(x-1)-1，x∈{-1,1,2}，求函数的值域。
解析：因为x∈{-1,1,2}，而f(-1)=f(3)=3，f(2)=-1，f(1)=-∞，所以：y∈{-1,3}。
注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为x∈R，则函数的值域为{y|y≥-1}。
二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。
例1：求函数y=x2-2x+5，x∈[-1,2]的值域。
解析：将函数配方得：y=(x-1)2+4，当x=1∈[-1,2]时，y取得最小值4，当x=-1或x=2时，y取得最大值8，因此函数的值域是：[4,8]。
变式：已知f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，且在区间[-1,1]内的最小值为1，求函数在[-2,2]上的最值。
解析：由已知，可得a>0，且f(x)在x=0处取得最小值1，即b=0.又因为在区间[-1,1]内的最小值为1，所以a≤4.将f(x)配方得：f(x)=a(x-1)2+1，当x=-2或x=2时，f(x)取得最大值5a+1；当x=1时，f(x)取得最小值1.因此，当a=4时，函数在[-2,2]上的最值分别为9和17.当a<4时，函数在[-2,2]上的最值分别为1和5a+1.三、其他方法：对于一些特殊的函数，可以采用其他方法求解。
例：已知函数f(x)=sinx+cosx，求函数的值域。
高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
2
4
∴函数
z
的值域为
z
|
-5
≤
z
≤
15 4
。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也
可通过求值而获得函数的值域。
练习：若 x 为实数，则函数 y = x2 + 3x - 5 的值域为( )
A. (− ∞,+∞) B. [− 7，+ ∞) C. [0，+ ∞) D. [− 5，+ ∞)
x+2
1− y
故函数 y 的值域为{y | y ≠ 1, y ∈ R}。
点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这 种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习:求函数
y
=
10x 10x
+ 10-x + 10-x
的值域。（答案： {y
|
y
-1或y
1}）。
三、配方法：
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函 数的值域。
( ) 例：求函数 y = - x2 + x + 2 的值域。
点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。
解：由 - x2 + x + 2 ≥ 0 可知函数的定义域为 {x | -1 ≤ x ≤ 2}。此时 - x2 + x + 2 =
式为非负数，可求得函数的值域。常适用于
y
=
ax 2 dx 2
+ bx + ex
+ +
c f
及
y = ax + b ± cx2 + dx + e 。
高中函数求值域的九种方法和例题讲解
高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
求值域的五种方法及例题
求值域的五种方法及例题求值域的五种方法如下：1. 集合法：将函数的所有可能输出值组成一个集合。
例题：对于函数 f(x) = x^2，求其值域。
解答：可以发现，x^2 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。
2. 平移法：通过将函数的图像在纵轴方向上进行平移来确定值域。
例题：对于函数 f(x) = x^2 + 1，求其值域。
解答：函数 x^2 + 1 的图像是一个向上开口的抛物线，平移后的抛物线的顶点就是值域的最小值，因此值域为[1, +∞)。
3. 导数法：通过求函数的导数，判断其单调性，进而找到值域的最大值和最小值。
例题：对于函数 f(x) = x^3，求其值域。
解答：f'(x) = 3x^2，可以看出当 x > 0 时，f'(x) > 0，即函数是单调递增的。
当 x < 0 时，f'(x) < 0，即函数是单调递减的。
因此，最小值为负无穷，最大值为正无穷，值域为 (-∞, +∞)。
4. 逢边法：对于有界区间上的函数，将端点的函数值作为值域的边界。
例题：对于函数 f(x) = sin(x)，求其在区间[0, π] 上的值域。
解答：f(0) = 0，f(π) = sin(π) = 0，在区间[0, π] 上，sin(x) 的最小值和最大值都为 0，因此值域为 [0, 0]，即 {0}。
5. 图像法：通过观察函数的图像来确定其值域。
例题：对于函数f(x) = √x，求其值域。
解答：可以发现，√x 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。
这些方法提供了不同的途径来求解函数的值域，根据具体情况选择合适的方法。
高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
练习：求函数 y = x2 + 9 + (5 − x)2 + 4 的值域。（答案：｛y|y≥ 5 2 ｝）
九、比例法：
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函 数，进而求出原函数的值域。
例：已知 x,y∈R，且 3x-4y-5=0,求函数 z = x2 + y2 的值域。
例：求函数 y = x - 3 + 2x +1 的值域。 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值， 确定原函数的值域。
解：设 t = 2x +1 （t≥0）,则
x = t2 -1 。 2
于是 y = t2 -1 - 3 + t = (t +1)2 − 4 ≥ 1 − 4 = − 7 .
( )( ) 例：已知 2x2 - x - 3 3x2 + x +1 ≤ 0 ，且满足 x + y = 1，求函数 z = xy + 3x 的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量 x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可 求出函数的值域。
解：3x2 + x +1 0 ，上述分式不等式与不等式 2x2 - x - 3 ≤ 0 同解，解之得
3 3 3
3
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区 间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值 域。
练习：求函数 y = 3 + 4 - x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
七、换元法：
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形 式，进而求出值域。
高考数学讲义与习题：值域含详解
x 1
x 1
x 1
6
当
x
1
0
时，有
y
(x
1)
x
1
2 1
(
x
1)
x
1
1
2
，
当且仅当
x
1
x
1
1
，即
x
1
1 ，也就是
x
0
时上式等号成立；
当
x
1
0
时，有
y
[(x
1)
1 (x
] 1)
[(x
1)](
1 x
1)
2
，
当且仅当
(
x
1)
x
1
1
，即
x
1
1
，也就是
x
2
时上式等号成立．
函数 y x2 2x 2 的值域是{y | y 2 或 y 2} ． x 1
2
∴1≤y≤3 2＋4，∴函数的值域为[1,3 2＋4]．
考法三：分离常数法
1．已知函数
f
(x)
2 2x x 1
(x
1)
，则它的值域为
。
【答案】 (2, 0)
【解析】
f
(x)
2 2x x 1
2
2(x 1) x 1
2
2
x
4
1
(x
1) ，
x
1， x
1
2
，0
1 x 1
1 2
，0
4 x 1
2 ，
题组经典好题练习考点 3：值域
1.函数 y x 2 x 3 的值域为
。
2.函数 f (x) (1 ) x2 2x 的值域为
高中数学_求函数值域的方法十三种
高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性八、函数单调性法（☆）九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
【例1】求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y 的值域为[1,)+∞。
【例2】求函数x 1y =的值域。
【解析】∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。
二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。
【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8]【变式】已知，求函数的最值。
【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。
将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。
函数的最小值为，最大值为。
图2【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t（2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。
（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
（★★）例2、 求函数x 3y -=的值域。
（★★） 答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （★★）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
（★★）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
（★★★）解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（★★★★）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，． 评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（★★★★）（配方法、换元法）解：()()[]713421342113426421+-+-=-+-=x x x x y =()31134212++-x ，所以27≥y ，故所求函数值域为[72 ，+∞]。
例6、求函数x x y 422+--=的值域。
（★★★）（配方法）][2,0∈y 。
【同步练习2】（★★★）1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域. （★★）2、求函数342-+-=x x e y 的值域. （★★★）3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值. （★★★★）4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. （★★★）5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域. （★★★）6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（★★★★） 最大值2lg 。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+0t =>，则21(0)x t t =-≥，222155()(1)1244f x f t t t t ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭≤，所以函数值域为5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，4．评注：利用引入的新变量t ，使原函数消去了根号，转化成了关于t 的一元二次函数，使问题得以解决．用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域． 小结：【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。
解：由021≥-x ，得21≤x 。
令()021≥=-t t x 得212t x -=，于是()11212122++-=--=t t t y ，因为0≥t ，所以21≤y 。
故所求函数值域为[-∞，12]。
例2、求函数221x x x y +-=的值域。
解：设⎪⎭⎫⎝⎛≤=2sin πααx ，则 ()⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+=+=42sin 22212cos 1212sin 21sin cos sin 2πααααααy 。
所以221221+≤≤-y ，故所求函数值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-221221，。
【同步练习4】求函数2x 54x y -++=的值域。
解：由0x 52≥-，可得5|x |≤故可令],0[,cos 5x π∈ββ=4)4sin(10sin 54cos 5y +π+β=β++β=∵π≤β≤04544π≤π+β≤π∴当4/π=β时，104y max += 当π=β时，54y min -=故所求函数的值域为：]104,54[+-小结：【同步练习5】1、求函数x x y 21-+=的值域. （★★）2、求函数2)1x (12x y +-++=的值域。
（★★★★） 解：因0)1x (12≥+- 即1)1x (2≤+故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β= 1)4sin(2+π+β=∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0211)4sin(201)4sin(22+≤+π+β≤∴≤π+β≤-∴ 故所求函数的值域为]21,0[+3、已知函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡95,83，求函数)(21)(x f x f y -+=的值域. （★★★）（4）、函数有界性法（方程法）直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例1、求函数3sin 3sin +-=x x y 的值域。
解：因为03sin ≠+x ，所以3sin 3sin -=+x y x y ，则()yy x -+=113sin 由于1sin ≤x ，所以()1113≤-+yy ，解得212-≤≤-y 。
故所函数的值域为[-2，-12 ]。
求函数1122+-=x x y 的值域110112<≤-∴≥-+=y yyx [)11-∴原函数的值域为例2、求函数3cos 21sin 3+-=x x y 的值域。
解：因为03cos 2≠+x ，所以1sin 33cos 2-=+x y x y ， 即13cos 2sin 3+=-y x y x ，所以9413cos 942sin 943222++=+-+y y x y y x y ，令943cos 2+=y ϕ，942sin 2+=y y ϕ得()9413sin 2++=-y y x ϕ，由194132≤++y y ，解得542≤≤-y ，故所函数的值域为[-2，45 ]。
【同步练习6】求函数11x x e y e -=+，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 11cos y θθ-=+的值域. 110112sin 11|sin |||1,1sin 22sin 12sin 1(1cos )1cos 2sin cos 1)1,sin()sin()11即又由解不等式，求出，就是要求的答案x x x e yy e y e y y y y y y yx y x x y θθθθθθθθθθθθ-+=⇒=>-+-+=⇒=≤+--=⇒-=++-=++=++=+≤≤（5）、数形结合法（函数的图像）：对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化．其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例1、 求函数2223(20)()23(03)x x x f x x x x ⎧+--<⎪=⎨--⎪⎩，≤ ≤≤的值域．分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域． 解：作图象如图所示．(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-，∴函数的最大值、最小值分别为0和4-，即函数的值域为[40]-，．例2、 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域.解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。
由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10|AB ||8x ||2x |y ==++-= 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为：],10[+∞例3、求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域.解：原函数可变形为：2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，43)12()23(|AB |y 22min =+++==，故所求函数的值域为],43[+∞例4、求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域. 解：将函数变形为：2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差。
即：|BP ||AP |y -=由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点'P ，则构成'ABP ∆，根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-即：26y 26<<-（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26|AB |||BP ||AP ||==- 综上所述，可知函数的值域为：]26,26(-注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），)1,2(--，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），)1,2(-，在x 轴的同侧。