第八章_多元函数微分学习题解__理工类_吴赣昌
（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案
1第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z ∂∂∂2，则在D 上，上， x y zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的处连续的 条件。
条件。
2．求下列函数的定义域．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx zu +=3．求下列各极限．求下列各极限(1)x xyy x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23yx z ∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数．求下列函数的偏导数(1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，te u =，t v ln =，求全导数dt dz。
7．设()z y e u x-=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu 。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y yx z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
的偏导数。
10．设y x ye z x2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y zz x ln =确定的隐函数，求x z∂∂，yz ∂∂。
概率论与数理统计（理工类,第四版）吴赣昌主编课后习题答案第八章
概率论与数理统计（理工类,第四版）吴赣昌主编课后习题答案第八章由于工作太忙，现在才把答案更新完整，多谢广大网友的支持与厚爱。
为简化计算，将原表各数据减去40，然后计算，结果如下：方差来源平方和自由度均方和F(α=0.05)因素A615.6s-1=2SˉA=307.8SˉA/SˉE≈17.0684因素E216.4n-s=12SˉE≈18.0333F0.05(2,12)=3.89总和T832n-1=14F=17.0684>3.89由上表可知，拒绝H0,即认为电池一平均寿命有显著差异.由于置信度为0.95的置信区间为(Xj?ˉ-Xk?ˉ±ta2(n-r)SE(1nj+1nk)ˉ)，且t0.025(12)=2.1788,SE(1nj+1nk)ˉ=18.033×(25)≈2.6858,X1?ˉ=2.6,X2?ˉ=-10,X3?ˉ=4.4,则μA-μB的置信值为0.95的置信区间为(2.6+10±2.1788×2.6858)=(2.6+10±5.852),即(6.75,18.45);μA-μC的置信度为0.95的置信区间为(2.6-4.4±5.852),即(-7.652,4.052);习题8.2 双因素试验的方差分析习题1酿造厂有化验员3名，担任发酵粉的颗粒检验. 今有3位化验员每天从该厂所产的发酵粉中抽样一次，连续10天，每天检验其中所含颗粒的百分率，结果如下表所示.设α=5%,试分析3名化验员的化验技术之间与每日所抽取样本之间有无显著差异？SB=13∑i=13T?j2-130T2=13×3662.12-130×1782≈164.57,SE=ST-SA-SB=0.13833.从而得方差分析表（见下表）T?1=∑i=1rXi1=5.46,T?2=∑i=1rXi2=4.88,T?3=∑i=1rXi3=5.08, T1?=∑i=1sX1i=4.88,T2?=∑i=1sX2i=3.86,T3?=∑i=1sX3i=3.6,T4?=∑i=1sX4i=3.71,T=∑i=1r∑j=1sXij=15.42,ST=∑i=1r∑j=1sXij2-T2rs=1.632+?+1.322-15.42212=0.2007, SA=1s∑i=1rTi?2-T2rs=13(4.252+3.862+3.62+3.712)-15.42212=0.0807,SB=1r∑j=1sT?j2-T2rs=14(5.462+4.882+5.082)-15.42212=0.0434,SE=ST-SA-SB=0.0766,得方差分析表如下习题8.3 一元线性回归习题1F～F(1,n-2),且此检验问题的拒绝域为F>Fα(1,n-2). n=12,所需计算如下表所示：F=S回\DivS剩(n-2)≈27.15,查表知F0.05(1,10)=4.96.显然F=27.15>4.96=F0.05(1,10),说明F落在拒绝域中，从而拒绝H0,即认为β1≠0,认为某商品的供给量s与价格p间存在近似的线性关系，设线性关系为s=β0+β1p,则β1=Lps/Lpp≈3.27,β0=112∑i=112si-(112∑i=112pi)β1=112×732-112×112×3.27≈30.48，即近似的线性关系为s=30.48+3.27p.习题4有人认为，企业的利润水平和它的研究费用间存在近似的线性关系，下表所列资料能否证实这利论断(α=0.05)?时间1955195619571958195919601961196219631964研究费用10108881212121111利润(万元) 100150200180250300280310320300解答：n=10,所需计算如果下表所示：xi12121111∑i=110xi=102yi280310320300∑i=110yi=2390xi2144144121121∑i=110xi2=1066yi2784009610010240090000∑i=110yi2=624300xiyi3360372035203300∑i=110xiy i=25040Lxx=∑i=110xi2-110(∑i=110xi)2=1066-110×1022=25.6,Lxy=∑i=110xiyi-110(∑i=110xi)(∑i=110yi)=25040-110×102×2390=662Lyy=∑i=110yi2-110(∑i=110yi)2=624300-110×23902=53090.设研究费用x与利润y之间有线性关系y=a+bx，检验假设H0:b=0,H1:b≠0,H0的拒绝域为F>Fα(1,n-2),其中F=UQ/(n-2),U=Lxy2/Lxx=17118.90625,Q=Lyy(1-Lxy2LxxLyy)=35971.094,则F=UQ/(n-2)≈3.807,查表知F0.05(1,8)=5.32.显然F=3.807<5.32=F0.05(1,8),说明F没有落在拒绝域中，从而接受H0,即认为b=0,这说明用原表中所列资料不能证实企业的利润水平和它的研究费用之间存在线性关系.习题5在钢线碳含量对于电阻的效应的研究院中，得到以下的数据：。
概率论与数理统计(理工类版)吴赣昌主编课后习题答案
(2)当Y=51时,X的条件分布律为P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28,k=51,52,53,54,55. 列表如下:解答：由X与Y相互独立知P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj), 从而(X,Y)的联合概率分布为解答：由于U≥V,可见P{U=i,V=j}=0(i<j).此外，有P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3),P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j), 于是，随机变量U和V的联合概率分布为=1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=1,V=0}=1/2,即U\V 0101 1/401/41/2习题4设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解答：FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.当z<0时，FZ(z)=P(∅)=0;当z≥0时，FZ(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdy=12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ=∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22.故Z的分布函数为FZ(z)={1-e-z22,z≥00,z<0.Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0 即 {x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy=∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数. 解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b.∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成，L1和L2的寿命分别为X与Y, 其概率密度分别为ϕ1(x)={αe-αx,x>00,x≤0,ϕ2(y)={βe-βy,y>00,y≤0,其中α>0,β>0,α≠β,试求系统L的寿命Z的概率密度.解答：设Z=min{X,Y},则F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z}=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X≥z,Y≥z}=1-[1P{X<z}][1-P{Y<z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]由于F1(z)={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0,F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0,故F(z)={1-e-(α+β)z,z≥00,z<0,从而ϕ(z)={(α+β)e-(α+β)z,z>00,z≤0.习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明：P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.解答：设min{X,Y}=Z,则P{a<min{X,Y}≤b}=FZ(b)-FZ(a),FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}=1-[P{X>z}]2,代入得P{a<min{X,Y}≤b}=1-[P{X>b}]2-(1-[P{X>a}]2)=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.证毕.复习总结与总习题解答习题1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下：X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律.解答：(1)有放回抽样，(X,Y)分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×1012×12=2536; P{X=1,Y=0}=2×1012×12=536,P{X=0,Y=1}=10×212×12=536, P{X=1,Y=1}=2×212×12=136,(2)不放回抽样，(X,Y)的分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×912×11=4566, P{X=0,Y=1}=10×212×11=1066,P{X=1,Y=0}=2×1012×11=1066, P{X=1,Y=1}=2×112×11=166,④当1≤x<2,y>0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2;⑤当x≥2,y≥0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}+P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}=1;综上所述，得(X,Y)联合分布函数为F(x,y)={0,x<1或y<-11/4,1≤x<2,-1≤y<05/12,x≥2,-1≤y<01/2,1≤x<2,y≥01,x≥2,y≥0.(3)由FX(x)=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi<x∑j=1+∞pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为：FX(x)={0,x<114+14,1≤x<214+14+16+13,x≥2={0,x<11/2,1≤x<21,x≥2,同理，由FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij, 得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为FY(y)={0,y<-12/12,-1≤y<01,y≥0.习题6设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={c(R-x2+y2),x2+y2<R0,x2+y2≥R,求：(1)常数c; (2)P{X2+Y2≤r2}(r<R).解答：(1)因为1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dydx=∫∫x2+y2<Rc(R-x2+y)dxdy=∫02π∫0Rc(R-ρ)ρdρdθ=cπR33,所以有c=3πR3.(2)P{X2+Y2≤r2}=∫∫x2+y2<r23πR3[R-x2+y2]dxdy=∫02π∫0r3πR3(R-ρ)ρdρdθ=3r2R2(1-2r3R). 习题7设f(x,y)={1,0≤x≤2,max(0,x-1)≤y≤min(1,x)0,其它,求fX(x)和fY(y).解答：max(0,x-1)={0,x<1x-1,x≥1, min(1,x)={x,x<11,x≥1,所以，f(x,y)有意义的区域(如图)可分为{0≤x≤1,0≤y≤x},{1≤x≤2,1-x≤y≤1},即f(x,y)={1,0≤x≤1,0≤y≤x1,1≤x≤2,x-1≤y≤1,0,其它所以fX(x)={∫0xdy=x,0≤x<1∫x-11dy=2-x,1≤x≤20,其它,fY(y)={∫yy+1dx=1,0≤y≤10,其它.习题8若(X,Y)的分布律为则α,β应满足的条件是¯, 若X与Y独立，则α=¯,β=¯.解答：应填α+β=13;29;19.由分布律的性质可知∑i⋅jpij=1, 故16+19+118+13+α+β=1,即α+β=13.又因X与Y相互独立，故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}, 从而α=P{X=2,Y=2}=P{X=i}P{Y=j},=(19+α)(14+α+β)=(19+α)(13+13)=29,β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}=(118+β)(13+α+β)=(118+β)(13+13)，∴β=19.习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={ce-(2x+y),x>0,y>00,其它,(1)确定常数c; (2)求X,Y的边缘概率密度函数；(3)求联合分布函数F(x,y); (4)求P{Y≤X};(5)求条件概率密度函数fX∣Y(x∣y); (6)求P{X<2∣Y<1}.解答：(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1求常数c.∫0+∞∫0+∞ce-(2x+y)dxdy=c⋅(-12e-2x)\vline0+∞⋅(-e-y)∣0+∞=c2=1,所以c=2.(2)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞2e-2xe-ydy,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0,fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0+∞2e-2xe-ydx,y>00,其它={e-y,y>00,y≤0.(3)F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dvdu={∫0x∫0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它={(1-e-2x)(1-e-y),x>0,y>00,其它.(4)P{Y≤X}=∫0+∞dx∫0x2e-2xe-ydy=∫0+∞2e-2x(1-e-x)dx=13.(5)当y>0时，fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2e-2xe-ye-y,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0.(6)P{X<2∣Y<1}=P{X<2,Y<1}P{Y<1}=F(2,1)∫01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.习题10设随机变量X以概率1取值为0, 而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立.解答：因为X的分布函数为F(x)={0,当x<0时1,当x≥0时, 设Y的分布函数为FY(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则当x<0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{∅∩(Y≤y)}=P{∅}=0=FX(x)FY(y);当x≥0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{S∩(Y≤y)}=P{Y≤y}=Fy(y)=FX(x)FY(y),依定义，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知，X与Y独立.习题11设连续型随机变量(X,Y)的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，试证P{X≤Y}=1/2.解答：因为X,Y独立，所以f(x,y)=fX(x)fY(y).P{X≤Y}=∫∫x≤yf(x,y)dxdy=∫∫x≤yfX(x)fY(y)dxdy=∫-∞+∞[fY(y)∫-∞yfX(x)dx]dy=∫-∞+∞[fY(y)FY(y)]dy=∫-∞+∞FY(y)dFY(y)=F2(y)2∣-∞+∞=12,也可以利用对称性来证，因为X,Y独立同分布，所以有P{X≤Y}=P{Y≤X},而P{X≤Y}+P{X≥Y}=1, 故P{X≤Y}=1/12.习题12设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值.解答：关于X的边缘分布为(1)求X与Y的边缘概率密度；(2)求条件概率密度，并问X与Y是否独立？解答：(1)当x<-R或x>R时，fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=∫-∞+∞0dy=0;当-R≤x≤R时，fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=1πR2∫-R2-x2R2-x2dy=2πR2R2-x2.于是fX(x)={2R2-x2πR2,-R≤x≤R0,其它.由于X和Y的地位平等，同法可得Y的边缘概率密度是：fY(y)={2R2-y2πR2,-R≤y≤R0,其它.(2)fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)注意在y处x值位于∣x∣≤R2-y2这个范围内，f(x,y)才有非零值，故在此范围内，有fX∣Y(x∣y)=1πR22πR2⋅R2-y2=12R2-y2,即Y=y时X的条件概率密度为fX∣Y(x∣y)={12R2-y2,∣x∣≤R2-y20,其它.同法可得X=x时Y的条件概率密度为fY∣X(y∣x)={12R2-x2,∣y∣≤R2-x20,其它.由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以X与Y不独立.习题15设(X,Y)的分布律如下表所示求：(1)Z=X+Y; (2)Z=max{X,Y}的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类似，本质上是利用事件及其概率的运算法则. 注意，Z的相同值的概率要合并.概率(X,Y)X+YXYX/Ymax{X,Y}1/102/103/102/101/101/10(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221-112222于是(1)当z≤0时，FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫∫x+2y≤z0dxdy=0.当z>0时，FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0(z-x)/22e-(x+2y)dy=∫0ze-x⋅(1-ex-z)dx=∫0z(e-x-e-z)dx=[-e-x]∣0z-ze-z=1-e-z-ze-z,故分布函数为FZ(Z)={0,z≤01-e-z-ze-z,z>0.习题18设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为fX(x)={1,0≤x≤10,其它, fY(y)={Ae-y,y>00,y≤0,求：(1)常数A; (2)随机变量Z=2X+Y的概率密度函数.解答：(1)1=∫-∞+∞fY(y)dy=∫0+∞A⋅e-ydy=A.(2)因X与Y相互独立，故(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={e-y,0≤x≤1,y>00,其它.于是当z<0时，有F(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}=0;当0≤z≤2时，有F(z)=P{2X+Y≤z}=∫0z/2dx∫0z-2xe-ydy=∫0z/2(1-e2x-z)dx;当z>2时，有F(z)=P{2X+Y≤2}=∫01dx∫0z-2xe-ydy=∫01(1-e2x-z)dx.利用分布函数法求得Z=2X+Y的概率密度函数为fZ(z)={0,z<0(1-e-z)/2,0≤z<2(e2-1)e-z/2,z≥2.习题19设随机变量X,Y相互独立，若X与Y分别服从区间(0,1)与(0,2)上的均匀分布，求U=max{X,Y}与V=min{X,Y}的概率密度.解答：由题设知，X与Y的概率密度分别为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={1/2,0<y<20,其它,于是，①X与Y的分布函数分别为FX(x)={0,x≤0x,0≤x<11,x≥1, FY(y)={0,y<0y/2,0≤y<21,y≥2,从而U=max{X,Y}的分布函数为FU(u)=FX(u)FY(u)={0,u<0u2/2,0≤u<1u/2,1≤u<21,u≥2,故U=max{X,Y}的概率密度为fU(u)={u,0<u<11/2,1≤u<20,其它.②同理，由FV(v)=1-[1-FX(v)][1-FY)]=FX(v)+FY(v)-FX(v)FY(v)=FX(v)+FY(v)-FU(v),得V=min{X,Y}的分布函数为FV(v)={0,v<0v2(3-v),0≤v<11,v≥1,故V=min{X,Y}的概率密度为fV(v)={32-v,0<v<10,其它.注：(1)用卷积公式，主要的困难在于X与Y的概率密度为分段函数，故卷积需要分段计算；(2)先分别求出X,Y的分布函数FX(x)与FY(y), 然后求出FU(u)，再求导得fU(u); 同理先求出FV(v), 求导即得fV(v).。
大学高数第八章 多元函数微分学习题解课后参考答案及知识总结
第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。
解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。
解： 2(,,)()()xyxf x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。
解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ≥， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u=解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z = 解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-+解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。
思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。
解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。
思路： 应用有理化方法去根号。
第八章 多元函数微分练习题
5、已知函数 z f (sin x, y 2 ) ，其中 f (u, v) 有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
6、设
z
xf
(x2,
xy)
其中
f
(u, v)
的二阶偏导数存在，求
z y
、
2z yx
。
7、设 z f (2x 3y, xy) 其中 f 具有二阶连续偏导数，求 2 z 。 xy
z x
三、计算题
1、设 z f (x2 , x ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。
y
x xy
2、已知 z ln x x2 y 2 ，求 z ， 2 z 。 x xy
3、求函数 z tan x 的全微分。 y
4、设 z f (x y, xy) ，且具有二阶连续的偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
x1 （
y0
)
A、-1
B、 0
C、 1
D、 2
8、 函数 z ( x y)2 ，则 dz x1, y0 =（
）
A、 2dx 2dy B、 2dx 2dy
C、 2dx 2dy D、 2dx 2dy
二、填空题
1、函数 z x y 的全微分 dz 2、设 u e xy sin x ，则 u
y
xy
17、设 z f (x2 y, y2 x) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 2 z 。 xy
18、设
z
z(x,
y)
是由方程
z
ln
z
xy
0
确定的二元函数，求
2z x2
19、设 z yf ( y2, xy) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 2z 。 xy
概率论与数理统计吴赣昌主编课后习题答案
习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.随机事件的概率古典概型与几何概型条件概率事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：习题6.习题7习题9习题10习题11习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22习题23习题24习题25习题26第二章随机变量及其分布随机变量习题1随机变量的特征是什么解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=.由条件概率知P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3==.习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P{3X>60}, 即P{X>20},P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以的概率保证生产的合格品数不少于多少解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=k×,k=0,1,2,⋯;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞k×=5;(3)设以的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足P{X≥m}=,即P{X≤m-1}=. 由于P{X≤m-1}=∑k=0m-1k=1-m,故上式化为1-0.9m=, 解上式得m≈≈5,因此，以的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个，即0和1.X=0表示未投中，其概率为p1=P{X=0}==,X=1表示投中一次，其概率为p2=P{X=1}=.则随机变量的分布律为习题8某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布.解答：设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.习题10设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p), 若P{X≥1}=59,求P{Y≥1}.解答：因为X∼b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Y∼b(3,p), 所以P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数, n=800,p=,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=(e-2)4=e-8.随机变量的分布函数所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x<,1≤x<,3≤x<51,x≥5.F(x)的图形见图.(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<,x≥,求P{<X≤},P{X>},P{<X≤2}.解答：P{<X≥}=P{}-F=习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求：(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx,-∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<,x≥a连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤};P{X=};F(x).解答：P{X≤}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫=x2∣=,P{X=}=P{X≤}-P{X<}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=,所以P{Y=1}=C101××≈.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥,问d至多为多少解答：因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥可得1-P{X≤d}≥,即P{X≤d}≤.于是Φ(d-32)≤,Φ(3-d2)≥.查表得3-d2≥,所以d≤.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过的次数不小于3的概率.解答：先求任意误差的绝对值超过的概率p,p=P{∣X∣>}=1-P{∣X∣≤}=1-P{∣X10∣≤=1-[Φ-Φ]=1-[2Φ-1]=1-[2×]==.设Y为100次测量中误差绝对值超过的次数，则Y∼b(100,.因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=,即1-P{X<x}=,所以1-F(x)=, 即1-Φ(x-400060)=, 所以Φ(x-400060)=.查标准正态人分布表得Φ=,因此x-400060≈,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤.解答：已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ=,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ-Φ=2Φ-1≈.(2)使P{X>x}≤,求x, 即1-P{X≤x}≤,亦即Φ(x-11012)≥,查表得x-10012≥,从而x≥.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于.解答：X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<,即Φ(x-1706)>, 查标准正态表得x-1706>, 故x>183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42), 求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ=,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ=,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ=1-Φ==所以只有45分钟应走第一条路.随机变量函数的分布试求：(1)a; (2)Y=X2-1的概率分布.解答：(1)\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,∴a=1/10.(2)习题2设X的分布律为P{X=k}=12k,k=1,2,⋯, 求Y=sinπ2X的分布律.解答：因为sinxnπ2={1,当n=4k-10,当n=2k-1,当n=4k-3,所以Y=sin(π2X)只有三个可能值-1,0,1. 容易求得P{Y=-1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815故Y的分布律列表表示为习题3设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令Y=cX+d(c≠0),试求随机变量Y的密度函数.解答：fY(y)={fX(y-dc)⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,当c>0时，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数，y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X; (2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0, 综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0, 综上所述fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.解答：已知T∼N,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32,是单调函数，所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此，Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=, 故(1)P{X=3}=C10337≈;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100010+C10119+C10228]≈;(3)因X∼b(10,, 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×=[]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,, 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须200000X>300000即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500kk×2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k×2500-k≈∑k=010e-55kk!≈,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.P{保险公司获利不少于200000元}=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}试求：(1)q的值；(2)X的分布函数.解答：(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1,且0≤pi≤1,∴{1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示：(2)由F(x)=P{X≤x}计算X的分布函数F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.习题7设随机变量X的分布函数F(x)为F(x)={0,x<0Asinx,0≤x≤π/2,1,x>π/2则A=¯,P{∣X∣<π/6}=¯.解答：应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性，有F(π2+0)=F(π2)⇒A=1.因F(x)在x=π6处连续，故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管，在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率.解答：因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时，由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0, 故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F(x). 显然，当x<0时，F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1 -e-λ.注意，a-1<a, 而当x<a时，f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤∣<X≤}.解答：根据条件概率;有P{X≤∣<X≤}=P{X≤,<X≤}P{<X≤}=P{<X≤}P{<X≤}=∫0.10.2(12x2-12x+2)dx∫=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1. 证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数，试证对任意的a>0, 分布函数F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a); (2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U(0,5), 所以fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈,P{X≤90}=1-P{X>90}≈}=;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈.因为<,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈=, 反查标准正态表得μ-60σ≈②联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈, 看某人是否能被录取，解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ≈=,因为<(录取率), 所以此人能被录取.方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}==,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=,反查标准正态表得x0-7010≈, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=;当t<0时，F(t)=0,∴F(x)={,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=;(2)F(3)=×3≈;(3)F(5)-F(3)≈.习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率；(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈.(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈.试求Y=X2的分布律.解答：所以注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.习题20设随机变量X的密度为fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函数.解答：由Y=2X+3, 有y=2x+3,x=y-32,x′=12,由定理即得fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.习题21设随机变量X的概率密度fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布求a.解答：由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P{0<Y≤b};解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(3)P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(1)P{12<X<32,0<Y<4;解答：P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量，且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0} =0+16+512=712,同样可求得P{Y=13=112,P{Y=1}=13,关于的Y边缘分布见下表：习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<}; (4)求P{X+Y≤4}.解答：如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<}=∫∫2418(6-x-y)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求：(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答：(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后，设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫(2-x)dy,0≤x≤10,其它={(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫(2-x)dx,0≤y≤10,其它={(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.条件分布与随机变量的独立性。
(完整版)多元函数微分学复习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是 （C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是 （A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为 （D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为 （A ） （A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ） （A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点 （B ）点P 0是函数z 的极小值点 （C ）点P 0非函数z 的极值点 （D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。
高等数学上册习题答案吴赣昌人民大学出版社高数理工类
第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)⎰思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
第八章多元函数微分学课件
四.多元函数的连续性
习题
返回
第一节 多元函数的基本概念
一、区域
1.邻域 设 P0(x0, y0) 是xOy平面上的一个点，δ是某一
正数.与点 P0(x0, y0) 距离小于δ的点 P(x, y) 的全体 称为P0 的邻域，记为U (P0, )，即
U (P0, ) {P PP0 }
也就是
U (P0, ) {(x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 }
也称为因变量,数集
{z z f (x, y),(x, y)D}
称为该函数的值域.
把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集 D.则可类似的定义n元函数 u f (x1, x2, , xn ) .当 n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时n元函 数统称为多元函数.
上一页 下一页 返 回
三、多元函数的极限
M 0Tx 对y轴的斜率.
上一页 下一页 返 回
x
z y
2z yx
fyx (x,
y), y
z y
2z y2
fyy (x,
y)
其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同 样可得三阶、四阶、···以及n阶偏导数.二阶及 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例题
定理 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏
,
x
x x0 y y0
,
zx
xx0 或fx (x0, y0 )
y y0
如果函数 z f (x, y) 在区域D内每一点(x,y)
处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是
x、y函数,它就称为函数 z f (x, y) 对自变量x
的偏导函数，记作
上一页 下一页 返 回
高等数学(下) 第3版习题详解第八章 多元函数微积分
习题全解-第八章 多元函数微积分习题 8-11.在y 轴上求与点)7,3,1(-A 和点)5,7,5(-B 等距离的点。
解 设y 轴上有点)0,,0(y P 与A 和B 点等距离。
则PA ==PB ==由PA PB =得2=y即在y 轴上与点)7,3,1(-A 和点)5,7,5(-B 等距离的点为)0,2,0( 2.指出下列平面的特点，并画出草图：（1） 230x y -+=； （2） 350x -=； （3） 0x z -=； （4） 20x y +=； （5）0x y z --=； （6） 0z =. 解（1）方程中，0=C 平面平行于z 轴。
（2方程中，0==C B 平面平行于yoz 平面。
（3）方程中，0==D B 平面过y 轴。
（4）方程中，0==D C 平面过z 轴。
（5）方程中，0=D 平面过坐标原点。
（6）方程中，0===D B A 平面重合于xoy 平面。
3．指出下列方程所表示的曲面，并画出草图：（1） 2221x y z ++=； （2） 2240x y x +-=（3） 22194x y +=； （4） 2z y =； （5） 22244936x y z ++=； （6） 22214z x y +-=；（7） z =； （8） z =. 解 （1）表示球心在原点，半径为1的球面（2）表示母线平行于z 轴的圆柱面（3）表示母线平行于z 轴的椭圆柱面（4）表示母线平行于x 轴的抛物柱面（5）表示旋转椭球面（6）表示单叶双曲面（7）表示球心在坐标原点，半径为2的上半个球面（8）表示圆锥面4．写出下列旋转面的方程：（1） zOx 面上的直线2z x =分别绕x 轴、z 轴旋转而成的旋转面； （2） yOz 面上的抛物线23y z =绕z 轴旋转而成的旋转面； （3） yOz 面上的圆224y z +=绕y 轴旋转而成的旋转面； （4） xOy 面上的椭圆2244x y +=绕x 轴旋转而成的旋转面.解 （1）绕x 轴旋转：0)(4222=+-z y x ；绕y 轴旋转：0)(4222=+-y x z（2）0322=-+z y x （3）4222=++z y x（4）44222=++）（z y x 5．画出下列曲面所围立体的图形：（1）旋转抛物面228z x y =--与xOy 平面； （2）旋转抛物面22z x y =+与平面4z =； （3）圆柱面2216x y +=与平面4,0y z z +== （4）曲面22y x z +=与222y x z --=解 （1）（2）（3）（4）习题8-21.已知函数22),(xy y x y x f -=，试求)sin ,cos (y x y x f 解 22)sin (cos sin )cos ()sin ,cos (y x y x y x y x y x y x f -= y x y x y x y x 2222sin cos sin cos ⋅-⋅= )sin (cos sin cos 3y y y y x -= 2.已知函数vu vwu w v u f ++=),,(，试求),,(xy y x y x f -+解 x yx xy y x xy y x y x f 2)(),,(++=-+-3.求下列函数的定义域： （1）)4ln(12222y x y x z --+-+=解 要使函数有意义，须使 ⎪⎩⎪⎨⎧>--≥-+04012222y x y x解得2214x y ≤+<所以函数的定义域为{}41),(22<+≤y x y x（2）x yy x f arcsin),(=解 要使函数有意义，须使⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≤-011x x y解得0>x 时，x y x ≤≤-；0<x 时，x y x -≤≤所以函数的定义域为{}x y x x y x ≤≤->,0),(⋃{}x y x x y x -≤≤<,0),(（3）yx z -=解 要使函数有意义，须使⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-0y y x 解得yx y x ≥≥≥2,0,0所以函数的定义域为{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0),(（4）2229z y x u ---=解 要使函数有意义，须使09222≥---z y x解得9222≤++z y x所以函数的定义域为{}9),(222≤++z y x y x4.下列函数在哪些点间断？（1）2132--+=x y x z解 当2=x 时，函数间断所以函数有一条间断线为{}2),(=x y x（2）44y x e z xy+=解 当,0==y x 时，函数间断所以函数间断点为)0,0(习题8-31.求下列函数的偏导数和全微分 （1）123+-=xy y x z解 223y y x x z -=∂∂ xy x y z23-=∂∂ dy xy x dx y y x dz )2()3(322-+-=（2）)ln(xy x z =解 1)ln()ln(+=+=∂∂xy xyy x xy x z y xxy x x y z ==∂∂ dy y x dx xy dz ++=)1(ln（3）xy yx z +-=1解 22222)1(1)1(1)1()1)(()1()(xy y xy y xy xy xy xy y x xy y x x z ++=++-+=+'+--+'-=∂∂2222)1(1)1()()1()1()1)(()1()(xy x xy x y x xy xy xy y x xy y x y z ++-=+--+-=+'+--+'-=∂∂ dy xy x dx xy y dz 2222)1(1)1(1++-++=（4）22arcsin y x z +=解 2222222212211y x y x x y x x y x x z +--=+⋅--=∂∂ 2222222212211y x y x y y x y y x y z +--=+⋅--=∂∂ dy yx y x y dx y x y x x dz 2222222211+--++--= （5）32sin xz x y u +=解 32cos z x y x u +=∂∂ x y usin =∂∂ 26xz z u =∂∂dz xz xdy dx z x y du 236sin )2cos (+++=（6）zxy u )1(-=解 ðuðx=−yz(1−xy)z−1ðuðy=−xz(1−xy)z−1ðuðz =(1−xy)z ⋅ln(1−xy)()()()dz xy xy dy xy xz dx xy yz du zz z --+----=--1ln 11)1(112.设函数)2(),(sin y x e y x f x +=，求)1,0(x f '和)1,0(y f '解 因为xx x e y x x e f sin sin )2(cos ++=' 所以3)1,0(='x f因为)2(sin +='x e f x y 所以2)1,0(='y f3.设222),,(zx yz xy z y x f ++=，求)1,2,0(x f '，)2,0,1(xzf ''，)0,1,0(-''yzf ，)1,0,2(zzxf '''。
概率论与数理统计__吴赣昌_第8章
2.8
• • •
值均的Y断推来)ny,nx(,…,)2y,2x(,)1y,1x(据数的得所测观 次n作Y量变机随对nx,…,2x,1x的同相全完不用利 �题问 归 回 、 1
12 0 34 03
AS+ES
= TS
1� i t
以所
2
X n � i � X in � �
2
2
�X�
ij
i�
X � in � � A S
1� i t
2
�
i�
X�
X� � � � E S
1� j 1� i
in
t
记
。方均的ES与AS为称别分 E S
E
f / ES � ES
, Af / AS � AS
�度由自的ES与AS为称别分Ef ,Af
t
t ,...,2 ,1 � i , � � i � � ia
�设假验检即。等相否是值均的下平水个各在验检)1( �是务任要主的析分差方�型模的述上于对
�等相全不tμ,…,2μ ,1μ�1H�tμ =…=2μ =1μ�0H
。计估的2σ, tμ,…,2μ ,1μ数参知未出作)2(
t
�均平总为称
i
� in �
2
�X�
0=
i� X � � � � 1� j 1� i
in
t
2
�
i� X �
ij
X� � � �
1� j 1� i
in
t
2
)X �
ij
X ( � � � TS
1� j 1� i
in
t
�
i�
X in �
ij
ij
第八章(理工)多元函数的微分学
4、过曲面 z − e + 2 xy = 3 上点 (1, 2, 0) 处的切平面方程为 解析：切点的方向向量为 n = (2 y , 2 x,1 − e ) ⇒ n
z
G
G
(1,2,0)
= (4, 2, 0) = (2,1, 0) ，则有点向式 2( x −1) + ( y − 2) = 0
⇒ 2x + y − 4 = 0
∂2 z ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂2w ∂2w ∂2w 2 = − − − − = − − − ∂x 2 ∂u 2 ∂x ∂u∂v ∂x ∂u∂v ∂x ∂v 2 ∂x ∂u 2 ∂u∂v ∂v 2 ∂2 z ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w 2 = − − + + = − + + − = − + − ∂y 2 ∂u 2 ∂y ∂u∂v ∂y ∂u∂v ∂y ∂v 2 ∂y ∂u 2 ∂u∂v ∂u∂v ∂v 2 ∂u 2 ∂u∂v ∂v 2 ∂2 z ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w = 1− 2 − + + = 1− 2 − + + = 1− 2 + 2 ∂x∂y ∂u ∂x ∂u∂v ∂x ∂u∂v ∂x ∂v 2 ∂x ∂u ∂u∂v ∂u∂v ∂v 2 ∂u ∂v ∂2 z ∂2 z ∂2 z ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w +2 + = − 2 −2 − + 2(1 − 2 + 2 ） − 2 +2 − ＝− 4 2 + 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂u ∂u∂v ∂v 2 ∂u ∂v ∂u ∂u∂v ∂v 2 ∂u
8,多元函数的微分学-习题课
y x
y x
cos
y x
,
微
zy
y
x sin
y x
cos
y x
,
积
分
曲面在点 M ( x0, y0, z0 ) 处的法向量为
n { sin y0 y0 cos y0 , cos y0 , 1 }
x0 x0 x0
x0
－理学院工科数学教学中心－
n
{ sin
y0 x0
x4
f1 x
( x2 )
f2
x2
f2 x
滨 工 程
4 x3
f1
x4
[
f1 u
u x
f1 v
v x
]
大
学
u
xy,
v
y x
;
2 xf2
x2
[ f2 u
u x
f 2 v
v x
微
u x
f s
s x
f t
t x
,
v
x
g
x
g
x
.
u x
f1 (u
x
u x
)
f
2
v x
,
v
x
g1
(
u x
1)
g2
2 yv
经济数学(多元函数的微分法及其应用习题及答案)
第八章 多元函数的微分法及其应用习题 8－11. 指出下列平面位置的特殊性质：（1）23200x y -+= （2）320x -=（3）470y z -= （4）0x y z ++= 解 （1）因为方程中缺变量z , 所以该平面平行于z 轴.（2）因为方程中缺变量y 、z , 所以该平面平行于yz 平面即垂直于x 轴.（3）因为方程中缺变量x 且不含常数项, 所以该平面平行于x 轴且经过原点（0，0，0）. （4）因为方程中缺常数, 所以该平面通过原点（0，0，0）.2. 求下列轨迹的方程：（1）与点(3,0,2)-的距离为4个单位的点的轨迹;（2）与两定点)0,0,(c P 和)0,0,(c Q -的距离之和等于2(0)a a >的点的轨迹; （3）与z 轴和点(1,3,1)-等距离的点之轨迹;（4）与yz 平面的距离为4，且与点)1,2,5(-的距离为3的点之轨迹.。
解 设动点为),,(z y x M ，则（1）点(,,)M x y z 与点(3,0,2)-的距离为4 整理得动点),,(z y x M 的轨迹为2226430x y z x z ++-+-=.（2）动点),,(z y x M 与两定点)0,0,(c P 和)0,0,(c Q -的距离之和等于a 2，即2a整理得动点),,(z y x M 的轨迹为2222222222()()0a c x a y a z a a c -++--=.(3) 动点),,(z y x M 与z 轴和点)1,3,1(-等距离为整理得动点),,(z y x M 的轨迹为2262110z x y z --++=.(4) 由动点),,(z y x M 与yz 平面的距离为4，得4||=x ， 由动点),,(z y x M 与点)1,2,5(-的距离为3, 得3=故),,(z y x M 点的轨迹为⎩⎨⎧=++-=8)1()2(422z y x . 3. 求下列各曲面的方程：(1) 中心在点)2,3,1(--且通过点)1,1,1(-的球面方程;(2) 过点)1,1,2(-而在x 轴和y 轴上的截距分别为2和1的平面方程; (3) 平行于xz 平面并过点（2，-5，3）的平面方程;(4) 一动点与点)0,0,1(的距离是与平面4=x 的距离之一半，求该动点之方程.解 （1）设),,(z y x 为所求球面上的任意一点且球面半径为R ，则 2222(1)(3)(2)x y z R ++++-=将点)1,1,1(-代入上式，得3=R . 故所求球面方程为 9)2()3()1(222=-++++z y x .（2）设所求的平面方程为0=+++D Cz By Ax （*）将点)0,0,2(,)0,1,0(,)1,1,2(-代入上式，得20020A D B D A B C D +=⎧⎪+=⎨⎪+-+=⎩解得0.5,,A D B D C D =-=-=-. 代入方程（*）整理得平面方程为2220x y z ++-=.（3）设所求平面方程为0By D += （**）将点)3,5,2(-代入上式，得B D 5=.代入方程（**）整理得平面方程为 50y +=.(4) (4) 设动点为),,(z y x ，则0.5|4|x =-22234412x y z ++=.4.作出下列方程之图形：（1）01=-+-z y x （2）03=-z y（3）02=x （4）12=y（5）1222=++z y x （6）022=-y x（7）223049y x z +-= （8）22149y x +=解 （1） （2）(图8－1) (图8－2)（3） （4）4）(图8－3) (图8－4)（5） （6）(图8－5) (图8－6)（7） （8）习题 8－21. 已知y xxy y x y x f tan),(22-+=，求),(ty tx f .解2222(,)()()tantx f tx ty t x t y tx ty ty =+-2222(tan )(,)xt x y xy t f x y y =+-=.2.已知vu wwu w v u f ++=),,(，求),,(xy y x y x f -+.解 ),,(xy y x y x f -+=yx y x xy xy y x -++++)()(=xxy xy y x 2)()(++.3. 已知2332),(y xy x y x f +-=，求),(xy y x f .解 32(()x x f y y =-+333x xyy =-+.4*.设)(y x f y z --=且1=y 时x z =，试求)(x f 和z .解 由1=y 时x z =，得 )1(1--=x f x令1-=x t ，则)(1)1(2t f t -=+，即22()1(1)2f t t t t =-+=--所以 2()(2)f x x x =-+222)[))] 22 )).z f y y y x y yy y ==---=+-=+-5 .（1）2ln(21)z y x =-+ （2）z =+（3）ln(1)z x y =-- （4）z =解 （1）当2210y x -+>时, 函数有意义, 故函数的定义域(如图8－9所示)为2{(,)|210}D x y y x =-+>.（2）当0,0x y x y +>->时, 函数有意义,故函数的定义域(如图8－10所示)为 图8－9 {(,)|00}D x y x y x y =+>->且（3）当240x y -≥和0122>--y x 且2211x y --≠时, 函数有意义, 故函数的定义域(如图8－11所示)为222{(,)|401}D x y y x x y =≤<+<，（4）当0,0y x ≥，即0,0x y ≥≥且2x y ≥时, 函数有意义, 故函数的定义域(如图8－12所示)为 图8－10|),{(y x D =0≥x ，0≥y ，y x ≥2}.图8－11图8－126. 求下列各极限：(,)limy x y →（1）22(,)(0,1)1limx y xyx y →-+ （2）（3）(,)limx y → （4）(,)(2,0)sin limx y xyy →解（1）)1,0(),(lim→y x 221y x xy +-=1.（2）)0,1(),(lim→y x 22)ln(y x e x y ++=2ln . （3）)0,0(),(lim→y x 11-+xy xy=)0,0(),(lim →y x xy xy xy )11(++=2.(4) )0,2(),(lim→y x y xy sin =)0,2(),(lim→y x xy xyx sin =2.7. 证明下列极限不存在：（1）)0,0(),(lim →y x y x yx -+ （2）)0,0(),(lim →y x 222)(y x y x - 证 （1）因为当点(,)x y 沿直线x y 2=趋向)0,0(点，得020lim →=→x y x y x yx -+=0lim→x x x x x 22-+=3- 当点(,)x y 沿直线y x 2=趋向)0,0(点，得020limy x y x y x y →=→+-=0lim →y yy3=3所以 )0,0(),(lim→y x y x yx -+不存在.（2）因为当点(,)x y 沿直线kx y =)1(≠k 趋向)0,0(点，得00lim→=→kx y x 222)(y x y x -=00lim →=→kx y x 222)()(kx x kx x -=0lim →x 22)1()(k kx -=0当点(,)x y 沿曲线x x y +=2趋向)0,0(点，得x x y x +=→20l i m222)(y x y x -=x x y x +=→20lim 22222)()(x x x x x x --+=0lim →x 2)1(x +=1所以)0,0(),(lim →y x 222)(y x y x -不存在. 8. 求下列函数的不连续点：（1）221y x z +=（2）y x xy z +=（3）xy z 1sin = 解 （1）因为在)0,0(点处, 函数无意义, 所以函数不连续点为)0,0(.（2）因为当0x y +=时, 函数无意义, 所以函数不连续点为直线0x y +=上的一切点.（3）因为当00x y ==或时, 函数无意义, 所以函数不连续点为坐标轴上的一切点. 9.求函数(,)ln(1)f x y x y =--的定义域及1(,)(,0)2lim (,)x y f x y →.解 要使该函数有意义，则恒有22222401011x y x y x y ⎧-≥⎪⎪-->⎨⎪--≠⎪⎩成立, 则函数的定义域为222{(,)|4001}D x y x y x y =-≥<+<，又因为函数),(y x f 是初等函数且在1(,0)2点处有定义, 所以函数),(y x f 在点1(,0)2处连续.故1(,)(,0)21lim(,)(,0)2x y f x y f →==.习题 8－31. 求下列函数的偏导数：（1）33xy y x z -= （2）)ln(xy z =（3）)(cos )arcsin(2xy xy z += （4）yxy z )1(+=解 （1）23323, 3z z x y y x xy x y ∂∂=-=-∂∂.（2）z x x ∂∂==∂∂同理z y ∂=∂（3）sin(2)z y xy x ∂=-∂同理sin(2)z x xy y ∂-∂.（4） 21(1)y zy xy x -∂=+∂设在已知函数两端取对数，有 l n l n (1)z y x y =+ 两边对y 求导，得11ln(1)1z xy y x z y xy ∂⋅=++⋅⋅∂+故 =∂∂y zyxy )1(+]1)1[ln(xy xy xy +++. 2.设ln x y y u x y x -=+，验证0u ux y x y ∂∂+=∂∂.证 因为221ln ()y y x y u x x x x y x y -∂=-⋅∂++221ln ()y x y u x y x y x y x y -∂=-+⋅∂++所以0u u xy x y ∂∂+=∂∂.3.设)11(yx ez +-=，验证+∂∂x z x 2z y z y 22=∂∂.证 因为 1111()()22, x y x y z z e x e y x y -+-+--∂∂==∂∂所以+∂∂xz x 2=∂∂y z y 2)11(y x e +-+)11(y x e +-=)11(2y x e +-z 2=. 4. 设=),(y x f y xy x arcsin)1(-+，求'(,1)x f x .解 因为=),('y x fx 11y +=所以 '(,1)1x f x =.5.设=),(y x f 22y x y x +-+，求)4,3('x f . 解 因为'(,)x f x y ==-所以'2(3,4)5x f =. 6.求下列函数的二阶偏导： （1）x yz arctan= （2）xy z =解 （1）22221()1()y y z y xx x y x ∂=⋅-=-∂++22211()1()z x y y x x y x ∂=⋅=∂++22222222222()2()()y y xy z x x x x y x y x y -∂∂=-=-⋅=∂∂+++22222222()()xy z xy y x y x y ∂∂==-∂∂++22222222()()y x z xx y y x y x y -∂∂==∂∂∂++.（2） ''1ln , x x x y z y y z xy -== ''2''2(ln ), (1)x x xx yy z y y z x x y -==-=''xy z 1-x xy y ln +y y x1= 1-x y )1ln (+y x .7. 设=),,(z y x f z x yz xy 222++，求)1,0,0('x f ,)0,1,0('y f , ''(0,0,1)x x f ,''(1,0,2)x z f ,''(0,1,0)y z f -和'''(2,0,1)z z x f .解 因为'2'2'22,2,2x y zf y x z fx yzf y z x=+=+=+'''''''''''2,2,2,2,0xx xz yz zz zzx f z f x f z f y f ===== 所以 ''''(0,0,1)0,(0,1,0)0,(0,0,1)2x y x x f f f === '''''''(1,0,2)2,(0,1,0)0,(2,0,1)x z y z z z xf f f=-==. 8. 设)ln(xy x z =，求32z x y ∂∂∂与32zx y ∂∂∂.解 因为 1l n ()l n ()1z x y x y x y x x y ∂=+⋅⋅=+∂22211(ln 1)11(ln 1)z xy y x xy xx z xy x x y yxy y ∂∂=+=⋅=∂∂∂∂=+=⋅=∂∂∂ 所以 3322210,z z x yx y y ∂∂==-∂∂∂∂. 9. 验证2sin kn ty e nx -=满足22x yk t y ∂∂=∂∂. 证 因为=∂∂t y2222sin ()sin kn t kn t e nx kn kn e nx ---=- 22222cos , sin kn t kn t y y ne nx n e nxx x --∂∂==-∂∂=∂∂22xy k 22sin kn t kn e nx --=t y∂∂ 所以22x y k t y ∂∂=∂∂. 10. 设),(y x u 有一阶连续偏导数，且x x u=∂∂, 2(,)(,)|1x x u x y =, 求y u ∂∂.解 由x x u =∂∂，两边对x 积分，得21(,)()2u x y x g y =+?? 由 2(,)(,)|1x x u x y =，得 =),(2x x u 1)(2122=+x g x即=)(2x g 2211x - 于是 ),(y x u =+221x y211-故 12u y∂=-∂. 11. 设33222222,0(,)0, 0x y x y f x y x yx y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩，求)0,0('xf )0,0('y f . 解 由在一点的偏导数定义，得'00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x f x f xf x x ∆→∆→+∆-∆===∆∆'00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 1y y y f y f yf y y ∆→∆→+∆--∆===-∆∆. 12 .设1()()y z f xy xf y x =+，f 具有连续二阶偏导数，求''x y z .解 设,y u xy v x ==, 则1()()z f u xf v y =+于是'''21()()()()x u v y z f u y f v xf v y x =⋅⋅++⋅-''()()()u v y f u f v f v x =+=-故''''''''111()()()()xy y z f u x f v f v f v x x x x =+⋅-⋅-⋅⋅''''2()()y yf xy x f x x =⋅-⋅.习题 8－41. 求下列函数的全微分：（1）xz xy y =+（2）y x e z 2-= （3）z （4）y z u x =（5）2ln()z x xy = （6）221z x y =- 解 （1）因为 21, z z x y x xy y y ∂∂=+=-∂∂ 所以 21d ()d ()d xz y x x yy y =++-.（2）因为 =∂∂x z yx e 2-，=∂∂y z y x e 22--所以 222d d 2d (d 2d ).x yx y x y z ex e y e x y ---=-=- （3）因为223222()y xy zx x y x y ∂=-=-∂++23222()z x y x y ∂==∂+ 所以233222222d d d ()()xy x z x yx y x y =-+++3222(d d ).()x y x x y x y =--+（4）因为=∂∂x u 1y z yzx -， =∂∂y u ln y z zx x ， =∂∂zu ln y z yx x 所以 1d d ln d ln d y z y z y z u yzxx zx x y yx x z -=++. （5）因为 22l n ()2l n ()y zx x y x x x y x x x y ∂=+=+∂22z x x x y xy y ∂=⋅=∂ 所以 2d [2ln()]d d x z x xy x x yy =++.（6） 因为 22222222, ()()y z x zxy x y x y ∂∂=-=∂∂--所以22222222d d d ()()y x z x yx y x y =-+--2222(d d ).()x x y y x y =---2 .求函数)1ln(22y x z ++=在1,2x y ==的全微分.解 因为 2221z x x x y ∂=∂++， 2221y zy x y ∂=∂++所以 1213x y z x==∂=∂， 1223x y z y==∂=∂故1212d d d 33x y z x y ===+.3. 求函数x yz =, 当2,1x y ==、0.1x ∆=、0.2y ∆=-的全增量z ∆和全微分d z . 解 因为 x y x x y y z -∆+∆+=∆， 21d y z x y x x =-∆+∆所以, 当2,2x y ==、0.1x ∆=、0.2y ∆=-时1(0.2)10.11920.12z +-∆=-=-+ 11d 0.1(0.2)0.12542z =-⨯+⨯-=-.*4. 已知(cos )d (sin )d ay by x x x x y +++是函数(,)u x y 的全微分，求,a b 及(,)u x y .解 因为 d u =(c o s )d a y b y x x +(s i n )d x x y ++所以 x by ay u x cos '+=， ='y u x x sin +则 =''xy u x b a cos +， =''yx u x c o s 1+ 而''xy u 与''yx u 均为连续函数，则必有≡+x b a cos x cos 1+ 解得 1,1==b a .故 ),(y x u =d ux x ∂∂⎰=(cos )d y y x x +⎰=c x y xy ++sin （c 为任意常数）.5.在例3的条件下, 求产品B 的边际成本,并阐明其经济意义.解 因为 30.010.04Cx y y ∂=++∂所以 (100,50)30.011000.04506Cy ∂=+⨯+⨯=∂其经济意义为：当产品A 的产量x = 100不变时, 产品B 的产量在y = 50的基础上, 再增加一个单位, 成本C 将增加6个单位.6.已知某商品的需求量Q 是该商品的价格p 1、另一相关商品的价格p 2及消费者收入y的函数, 且325852121200Q p p y--=，试求需求量分别关于自身价格p 1、、相关价格p 2及消费者收入y 的弹性, 并阐明其经济意义.解1112511852121133()20088p p p Q p p y Q p Q η--∂=⋅=⋅⋅-=-∂375228522122122()20055p p p Q p p y Q p Q η--∂=⋅=⋅⋅-=-∂32385212155()20022y y Q y p p y Q y Q η--∂=⋅=⋅⋅=∂其经济意义分别为：在相关商品的价格p 2及消费者收入y 不变时, 该商品的价格p 1上涨(或下降)1%,需求量下降(或上升)37.5%; 在某商品的价格p 1及消费者收入y 不变时, 相关商品的价格p 2上涨(或下降)1%,需求量下降(或上升)40%; 在某商品的价格p 1及相关商品的价格p 2不变时, 消费者收入y 上涨(或下降)1%, 需求量上升 (或下降)250%.7*. 在边长为6,8x m y m ==的矩形中，若x 增加5cm ，y 减少10cm ，试求该矩形的对角线和面积变化的近似值.解 设对角线长为l ，面积为s ，则有22y x l +=， xy s = 于是d )z z l l x y x x y y x y ∂∂∆≈=∆+∆=∆+∆∂∂d ()s s y x x y ∆≈=∆+∆当6,8,0.05,0.1x m y m x m y m ==∆=∆=-时，有680.05(0.1)0.051010l m ∆≈⨯+-=-280.056(0.01)0.2s m ∆≈⨯+⨯-=- .8*. 设有一无盖圆柱形容器, 其壁与底厚均为0.1cm, 内高为20cm, 内半径为4cm, 求该容器外壳体积的近似值.解 设容器的内半径为r ,高为h ,体积为V , 则圆柱体的体积为 2V r h π=因为圆柱形容器的外壳就是圆柱体积的增量V ∆，所以2d 2V V rh r r h ππ∆≈=∆+∆ 于是当4,20,0.1r h r h ==∆=∆=,时, 有2324200.140.155.3()V cm πππ∆≈⨯⨯⨯⨯+⨯⨯≈.故该容器外壳体积大约为355.3().cm π9*. 求下列各式的近似值：(2) 1.05(1.07)(ln 20.693)=(3) 00sin 29tan 46解 (1)设(,)f x y =2f x ∂=∂，2f y ∂=∂于是(,)f x x y y +∆+∆f fx yx y ∂∂≈+∆+∆∂∂22=+当1,2,x y x ==∆=时, 有(1.02,1.97)f =2 2.95≈=.(2) 设(,)f x y =yx ，则'1y x f yx -=， 'ln y yf x x =于是 (,)f x x y y +∆+∆()y y x x +∆=+∆≈y x ''x y f x f y +∆+∆=yx 1ln y y yx x x x y -+∆+∆当1,1,0.07,0.05x y x y ==∆=∆=时, 有(1.07,1.05)10.07 1.07f =+=. (3) 设(,)f x y =sin tan x y ，则'cos tan x f x y =，'2sin sec y f x y = 于是00sin 29tan 46sin()tan()61804180ππππ=-+ 当,,,64180180x y x y ππππ==∆=-∆=时, 有00''(29,46)(,)(,)(,)646464x y f f f x f y ππππππ=+∆+∆2sintancostan()sinsec646418064180ππππππππ=+-+ = 0.50235.10*. 设222232222,0(,)()0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎩ 求证：(,)f x y 在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微分.证 设cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩, 则43(,)(0,0)cos sin lim (,)lim0(0,0)x y r r f x y f r θθ→→===故(,)f x y 在点(0,0)处连续. 而'0(0,0)(0,0)(0,0)limx x f x f f x →+-==同理 '(0,0)0y f =故(,)f x y 在点(0,0)处偏导数存在.由函数可微的定义和性质可知：f 可微的充要条件是''()x y f f x f y o ρ∆-∆-∆=其中ρ=而''0(0,0)(0,0)limx y f f x f yρρ→∆-∆-∆''0(,)(0,0)(0,0)(0,0)limx y f x y f f x f yρρ→∆∆--∆-∆=2222222222000()limlim[][()]x x y y k x x y x k x x y x k x ∆→∆→∆→∆=∆→∆∆∆∆==∆+∆∆+∆222lim0(0)(1)x y k x k k k ∆→∆=∆→=≠≠+故(,)f x y 在点(0,0)处不可微.习题 8－51. 设2ln ,32x z u v u v x y y ===-而求,.z z x y ∂∂∂∂ 解 212l n 3z z u z v u u v x u x v x y v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂22223ln(32)(32)x x x y yx y y =⋅-+- 222ln ()(2)z z u z v x u u v y u y v y v y ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅-+⋅-∂∂∂∂∂223222ln(32)(32)x x x y y x y y =-⋅---. 2.设2x yz e -=,而sin x t =, 3y t =,求d z .解 因为 3sin 2t t z e-=所以 3sin 23d d(sin 2)t tz et t -=- 32sin 2(cos 6)d t t t t et -=-.3. 设arctan()z xy =,而xy e =, 求d d zx .解d d d d d d d d y y z z z x z z x y x x x x y x ∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅∂∂∂∂22222222111(1).11xx x x xy x e x y x y x e xe e x yx e=+⋅++++==++4.设2()1ax e y z u a -=+, 而sin ,cos y a x z x ==, 求d d u x . 解 d d d d d d d d u u x u y u z x x x y x z x ∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂=222()cos (sin )111ax ax ax ae y z e e a x x a a a -=+⋅-⋅-+++=22(sin cos cos sin )1axe a x a x a x x a -+++=sin axe x .5.设arctanxz y =,而x u v =+,y u v =-,求证：z z u v ∂∂+=∂∂22u v u v -+.证 因为''22222221()()11x y xy x x xy y u y uy y x z ux x y x yy ∂∂-⋅+⋅∂∂-∂===∂+++''22222221()(1)()()11x y xy x x xy y v y vyy x z vx x y x y y ∂∂+-⋅-⋅+⋅∂∂+∂===∂+++所以 2222222y xy x y z zu v y xy x y x -+∂∂+=+=∂∂+++ 22222()()()u v u v u v u v u v --==++-+.6. 设f 具有一阶连续偏导数, 求下列函数的一阶偏导数： (1)222()u f x y z =++ (2) 22(,)xyu f x y e =-(3) (,)x y u f y z = (4) (,,)u f x xy xyz = 解 (1)'''2',2',,2'.x y z u xf u yf u zf === (2) ''22'''1212()()2xy xy x u f x y f e xf ye f x x ∂∂=⋅-+⋅=+∂∂ ''22'''1212()()2.xy xy y u f x y f e yf xe f y y ∂∂=⋅-+⋅=-+∂∂'''11'''''12122'''2221(3)()1()() ().x y z x u f f x y y x x x u f f f f y y y y z yyy u f f z z z∂==∂∂∂=+=-+∂∂∂==-∂, ,.'''''''123123'''''2323'''33(4)1 .x y z u f f y f yz f yf yzf u f x f xz xf xzf u f xy xyf =⋅+⋅+⋅=++=⋅+⋅=+=⋅= .7. 设f 具有二阶连续偏导数, 求下列函数的二阶偏导数：(1)(,)z f xy y = (2) (,)xz f x y =解 (1) '''11(),x z f xy yf x ∂=⋅=∂'''''1212d ()()d y y z f xy f xy xf f y y ∂=⋅+⋅=+∂ '''''2''11111()()xx z yf yf xy y f x x ∂∂==⋅=∂∂''''''''111112'''''11112d ()[()]d xy y z yf f y f xy f y x yf xyf yf ∂∂==+⋅+⋅∂∂=++''''12''''''''11122122''''''''''''2''211122122111222()d d [()][()]d d 2.yy z xf f yy y x f xy f f xy f y y y y x f xf xf f x f xf f ∂=+∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂=+++=++(2)'''''1212d 1()d x x x z f f f f x x y y ∂=⋅+⋅=+∂, '''222()y x x z f f y y y ∂=⋅=-∂ ''''12''''''''11122122''''''''''''''11122122111222221[]d 1d ()[()]d d 11121 .xx z f f x yx x x x f f f f x x y y x x y f f f f f f f y y y y y ∂=+∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂=+++=++ ''''12'''''''''2111221222'''''21222222'''''212222231[]11 ()()[()()]11 ()1xy z f f y yx x f x f f f x f y y y y y y y y x x f f f y y yy x xf f f y y y ∂=+∂∂∂∂∂=⋅+⋅-+⋅+⋅∂∂∂∂=--+-=---''''''''2221222322''''''222222322342()[()()]22 ().yyx x x x z f f f x f y y y y y y y x x x x x f f f f y y y y y ∂∂∂=-=⋅-⋅+⋅∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅8 .设()z xy xF u =+,而()F u 为可导函数且yu x =, 求证：z z x y z xy x y ∂∂+=+∂∂.证 因为 ''2()()()u u y y zy F u x F y F u F xx x ∂=++⋅-⋅=+-∂''1u u z x x F x F y x ∂=+⋅⋅=+∂ 所以''()u u z zxy xy x F u y F xy y F x y ∂∂+=+⋅-⋅++⋅∂∂=2().xy xF u z xy =+=+9. 设2()3y z xy x ϕ=+, 验证：220z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂.证 因为 2''22, 33y yz z y x x y x x ϕϕ∂∂=-+⋅=+⋅∂∂所以 2222''222()()33y y z z x xy y x y xy x yx y x x ϕϕ∂∂⋅-+=⋅-+-⋅++∂∂22'22'2233y x y y x y y ϕϕ=-+--+=10. 设sin()(,)xz xy x y ϕ=+,(,)u v ϕ有二阶偏导数, 求''xy z .解'''121cos()()x z y xy y ϕϕ=++⋅'''''''2122222211cos()sin()()()x y x xz xy xy xy y yy y ϕϕϕ=-+⋅--⋅+⋅-'''''222122231cos()sin().x x xy xy xy y y y ϕϕϕ=--⋅-⋅-⋅11. 设(,)()y xz f xy y x ϕ=+,且f 与ϕ具有二阶连续偏导数, 求''xy z .解 ''''1221x y z yf f y x ϕ=+⋅-⋅'''''''''''11211212222''2222'''''''''12112223321()()111 "11 .xy x x z f y f x f f x f y y yyf x y x xy x f xy f f f y y x x ϕϕϕϕ=+⋅-+⋅---⋅⋅-=+⋅-⋅-⋅-⋅-⋅习题 8－61 .设下列方程所确定的函数为()y f x =,求d d yx .(1)ln 0xy y -= (2)2sin 0x y e xy +-= (3)ln ln 0xy x y ++=解 (1)设(,)ln F x y xy y =-, 则'x F y =,'1y F x y =-故'2'd .1d 1x yF yyy x xy F x y =-=-=--(2) 设2(,)sin xF x y y e xy =+-, 则'2',cos 2x x y F e y F y xy =-=-故'22'd d cos 2cos 2x xx yF y e y y e x y xy y xy F --=-=-=--.(3) 设(,)ln ln F x y xy x y =++, 则''11, x y F y F x x y =+=+故 ''1d .1d x yy F y y x x x F x y +=-=-=-+2. 对下列隐函数, 求,,z z x x y y ∂∂∂∂∂∂及d z .(1)20x y z ++-= (2)0ze xyz -= (3)lnx z zy = 解 (1)设(,)2F x y x y z =++-, 则'121x F =-='222y F =-=-'zF=1-于是''x z F zx F∂=-=∂''y z F zy F ∂=-=∂''y x F xy F ∂=-=∂ 故d d d z z z x yx y ∂∂=+∂∂(2) 设(,)zF x y e xyz =-, 则'x F yz =-, 'y F xz =-, 'z F =z e xy -于是 ''x zz F z yz xF e xy ∂=-=∂- ''y z z F z xz y F e xy ∂=-=∂-''y x F x xz y yz F ∂=-=-∂ 故(d d )d d d zz z z y x x y z x y x y e xy ∂∂+=+=∂∂-. (3) 设(,)ln x zF x y z y =-, 则'''2111, , x y z x F F F z y z z===--, 于是 ''x z F z z xx z F ∂=-=∂+, '2'()y z F z z y y x z F ∂=-=∂+ ''y xF x z y y F ∂=-=-∂ 故 2d d d ()z z z x yx z y x z =+++.3 .设333z xyz a -=, 求2z x y ∂∂∂.解 设33(,,)3F x y z z xyz a =--, 则'''23,3,33x y z F yz F xz F z xy =-=-=-于是 ''22333x z F yz yz zxF z xy z xy -∂=-=-=∂-- ''22333y z F z xz xz y F z xy z xy ∂-=-=-=∂--故 22()()z z yzx y y x y z xy ∂∂∂∂==∂∂∂∂∂-222()()(2)()z zz y z xy yz z x y yz xy ∂∂+---∂∂=-2222222()()()()xyz xz z z xy yz x z xyz xyz xy +-----=-422223(2)()z z xyz x y z xy --=-.4.设0x e xyz -=, 求22zx ∂∂.解 设(,,)xF x y z e xyz =-, 则 'x x F e yz =-, 'y F xz =-, 'z F =xy -于是 z x ∂∂=''x z F F -=x e yz xy ---=xe yzxy - 故 222()()()()x x ze yxy e yz y zz xx xxxy ∂---∂∂∂∂==∂∂∂22()()(2)2()x xx x e yze y xy e yz yxyx e yzxy x y-----+==.5.设2sin(23)23x y z x y z +-=+-, 求证：1z z x y ∂∂+=∂∂. 证 设(,,)2sin(23)23F x y z x y z x y z =+---+, 则'2cos(23)1x F x y z =+--, '4cos(23)2y F x y z =+--'6cos(23)3z F x y z =-+-+于是''2cos(23)116cos(23)33x z F x y z zx x y z F +--∂=-=-=∂-+-+ ''4cos(23)226cos(23)33y zF x y z zy x y z F +--∂=-=-=∂-+-+ 故 1z z x y ∂∂+=∂∂.6 .设(,)x x y z =, (,)y y x z =, (,)z z x y =,都是由方程(,,)0F x y z =所确定的具有连续偏导数的函数, 求证：1y x zy z x ∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证 因为 ''y x F x y F ∂=-∂, ''z y F y z F ∂=-∂,''x z F z x F ∂=-∂ 所以''''''()()()1y x z x y zF F F y x zy z x F F F ∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=-∂∂∂.7. 设(,)u v ϕ具有连续偏导数,证明由方程(,)0cx az cy bz ϕ--=所确定的函数(,)z f x y =满足 z z a b cx y ∂∂+=∂∂.证 设(,,)(,)F x y z cx az cy bz ϕ=--, 则''1x F c ϕ=, ''2y F c ϕ=, '''12z F a b ϕϕ=--于是 z x ∂∂=''1'''12x z F c F a b ϕϕϕ-=---='1''12c a b ϕϕϕ+zy ∂∂=''y z F F -='2''12c a b ϕϕϕ---='2''12c a b ϕϕϕ+ 故 ''12''''1212c c z za b a b c x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=+=∂∂++.习题 8－71.在点(1,2)-的邻域内, 根据泰勒公式, 展开函数22(,)2635f x y x xy y x y =----+解 因为''(1,2) 5 , 46, 23x y f f x y f x y -==--=--- ''''''4, 1, 2xx xy yy f f f ==-=-则(,)f x y 的3阶及3阶以上的各偏导数均为0, 且''(1,2)0 , (1,2)0x y f f -=-= 故函数(,)f x y 在点(1,2)-的邻域内的泰勒公式为(,)[1(1),2(2)]f x y f x y =+--++''2''''2''2222(1,2)(1)(1,2)(2)(1,2)1[(1)(1,2)2(1)(2)(1,2)2!(2)(1,2)]15[4(1)2(1)(2)2(2)]2!52(1)(1)(2)(2).x y xx xy yy f x f y f x f x y f y f x x y y x x y y =-+--++-+--+-+-++-=+---+-+=+---+-+2 .当自变量从5,6x y ==,变到115,6x h y k =+=+时,求函数32(,)639184f x y x y xy x y =+--++的增量.解 因为 (5,6)(5,6f f h k f ∆=++- 23639, 2618f f x y y x x y ∂∂=--=-+∂∂22232236, 6, 2, 6ff f fx x y x y x ∂∂∂∂==-==∂∂∂∂∂3332230, 0, 0f f fx y x y y ∂∂∂===∂∂∂∂∂则(,)f x y 的4阶及4阶以上的各阶偏导数均为0, 且225556660,8,30x x x y y y fff xyx======∂∂∂===∂∂∂故223110(8)[302(6)2]62!3!f h k h hk k h∆=⋅+-+⋅+-++⋅223156h hk k h=-++.3.设||x与||y均很小,求coscosxy的准确到二次项的近似表达式. 解设cos(,)cosxf x yy=, 则22sin cos,cos cosf fx xx y yx∂∂=-=-∂∂22cos sin1cos()(sin)cos cosf x yx yy y y∂=-⋅-=∂222sin sin1sin()(sin)cos cosf x yx yx y y y∂=--⋅-=-∂∂222423cos cos sin2cos(sin)coscoscos(cos2sin)cosf y y y y yxy yx y yy∂-⋅-=⋅∂+=于是()(0,0)(0,0)(0,0)0f fx y f x yx y x y∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂2()(0,0)x y fx y∂∂+∂∂222222222(0,0)(0,0)(0,0)2f f fx xy yx yx yy x∂∂∂=++∂∂∂∂=-故2(,)(0,0)()(0,0)()(0,0)f x y f x y f x y fx y x y∂∂∂∂≈++++∂∂∂∂2222110()12!2y xy x-=++-=+.4. 按1x-和2yπ-的正整数幂, 展开函数(,)sinf x y xy=, 到二次项为止. 解因为c o s,c o sf fy xy x xyx y∂∂==∂∂2222222sin,cos sin,sinf f fy xy xy xy xy x xyx yx y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂于是[(1)()](1,)22x y fx yππ∂∂-+-∂∂(1,)(1,)22(1)()02f fx yx yπππ∂∂=-+-=∂∂2[(1)()](1,)22x y f x y ππ∂∂-+-∂∂2222(1,)(1,)22(1)2(1)()2f f x x y x y x πππ∂∂=-+--∂∂∂ 222(1,)2()2f y y ππ∂+-∂ 222(1)2(1)()()()(1)4222x x y y ππππ=--+---+--故将(,)sin f x y xy =在(1,)2π处展开成含有2次幂的泰勒多项式为2222(,)(1,)[(1)()](1,)2221 [(1)()](1,)2!221 1[(1)(1)()()]2422f x y f x y f x y x y f x y x x y y πππππππππ∂∂=+-+-∂∂∂∂+-+-∂∂=+------- 22211 1(1)(1)()().82222x x y y ππππ=-------5.按x 和y 的乘幂展开函数(,)ln(1)xf x y e y =+到三次项为止.解 因为l n (1), 1x xf f e e y x y y ∂∂=+=∂∂+ 222222ln(1), , 1(1)x x xff f e e e y x y y x y y ∂∂∂=+==-∂∂+∂∂+3333222ln(1), , 1(1)x x xf f f e e e y y x x y x y y ∂∂∂=+==-+∂∂∂∂∂+3332(1)xf e y y ∂=∂+于是 (0,0)(0,0)[](0,0)f f x y f x y y x y x y ∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂ 2222222223333332233223223[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 22[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 33 332x y f x yf f f x xy y xy y x y x yxy f x y f f f f xx yxyyxx yx yy x y xy y ∂∂+∂∂∂∂∂=++=-∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂=-+故 2223311(,)(2)(332)()2!3!f x y y xy y x y xy y R θ=+-+-++(01)θ<<.综合习题八1.选择题:(1) 设(,)ln ,(,)ln ln ,f x y xy g x y x y ==+则(,)f x y ( )(,).g x y ① > ② < ③ = ④ ≠ (2) 设00(,)(,)f x y x y 在点的偏导数存在，则00(,)( ).x f x y '=① 00000(,)(,)limx f x x y y f x y x ∆→+∆+∆-∆② 00000(,)(,)limx f x x y f x y x ∆→+∆-∆③ 0000(,)(,)limx x f x y f x y x x →--④ 00000(,)(,)limx x f x y f x y x x →--(3) 设0000(,)(,)0,x y f x y f x y ''==则( ).① 00(,)x y 为极值点 ② 00(,)x y 为驻点 ③ (,)f x y 在00(,)x y 有定义 ④ 00(,)x y 为连续点(4) 在空间中,下列方程( )为球面, ( )为抛物面, ( )为柱面.① 2425x y z -+= ② 2221444y x z ++=③ 2y x = ④ 221x y +=⑤ 2z y = ⑥ 22222x y y x z ++=-(5) 设(,)f x y 在00(,)x y 处偏导数存在,则(,)f x y 在该点( ).① 极限存在 ② 连续③ 可微 ④ 以上结论均不成立 解 (1) ④; (2) ②④; (3) ②③; (4) ②⑥、①③⑤、④; (5) ④.2．设(,)f x y 的定义域为1,1,x y <<试求(,)xf x y y 的定义域并在xy 平面上画出该定义域的图形.解 因(,)f x y 的定义域为11x y <<且所以(,)x f x y y 中的,x y 必须满足||1||1xy xy ⎧<⎪⎨⎪<⎩则函数(,)xf x y y 的定义域为(,)11,11xD x y xy y ⎧⎫=-<<-<<⎨⎬⎩⎭且D 在xy 平面上的图形如图8－13. 图8－133．计算下列极限：222(,)(0,0)22(,)(0,1)ln(2)(1) lim 1cos sin cos (2) limx y x y x y x y e y xyxy xy x x y x +→→+-+-解 222222(,)(0,0)(,)(0,0)2ln(2)ln(2)(1)lim lim 11cos ()2x y x y x y x y x y e y x y e y xyxy ++→→++=-2(,)(0,0)lim2ln(2)2ln 2.xyx y e y +→=+=22(,)(0,1)2(,)(0,1)(,)(0,1)(,)(0,1)(,)(0,1)sin cos (2) limsin lim lim cos lim sin lim 1 2.x y x y x y x y x y xy xy x x y xxyy x xy xxyy xy →→→→→+-=+-=⋅+= 4.已知()(),()()0,(,x y x f z y g z x f z y g z z z x y ''=++≠=且x y 是和 的函数.求证:())(()).z zx g z y f z x y ∂∂-=-∂∂(证 (,,)()(),F x y z xy xf z yg z =--令则(), (), ()()x y z F y f z F x g z F xf z yg z '''''=-=-=--于是 ()()()()()()x z F y f z y f z zxF xf z yg z xf z yg z '--∂=-=-='''''∂--+ ()()()()()()y z F x g z x g z z yF xf z yg z xf z yg z '--∂=-=-='''''∂--+ 故()[()][()]()()y f z zx g z x g z x xf z yg z -∂-=-''∂+ ()[()]()()[()].x g z y f z xf z yg z zy f z y -=-''+∂=-∂ 125. ,)0F x z y z F F z ''+++-≠设（可微且，求方程 2221,)()22F x z y z x y z ++-++=（(,)d .z z x y z =所确定的函数的微分解 2221(,,),)()2,2G x y z F x z y z x y z =++-++-令（则。
高等数学(同济版)多元函数微分学练习题册
第八章 多元函数微分法及其应用第 一 节 作 业一、填空题：.sin lim .4.)](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos),,(.21)1ln(.102222322====-=+=+++-+-=→→x xyx x f x x x x y x y x f yx z z y x f y x x y x z ay x ψϕψϕ则设的定义域为函数的定义域为函数二、选择题（单选）： 1. 函数yx sin sin 1的所有间断点是:(A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）；(B) x=y=n π(n=1,2,3,…)；(C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)；(D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。
答：（ ）2. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222222y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处：（A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。
答：（ ）三、求.42lim0xy xy ay x +-→→四、证明极限2222200)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业一、填空题：.)1,(,arcsin)1(),(.2.)1,0(,0,0),sin(1),(.122=-+==⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x f yxy x y x f f xy x xy y x xyy x f x x 则设则设二、选择题（单选）：.42)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2)(:,2222222y x y x y x y y x y D ey x y C y y x B y A z z ++++⋅+⋅+⋅⋅=等于则设答：（ ）三、试解下列各题：.,arctan .2.,,tan ln .12yx zx y z yzx z y x z ∂∂∂=∂∂∂∂=求设求设四、验证.2222222222r zr y r x r z y x r =∂∂+∂∂+∂∂++=满足第 三 节 作 业一、填空题：.,.2.2.0,1.0,1,2.1====∆-=∆=∆===dz e z dz z y x y x xyz xy 则设全微分值时的全增量当函数二、选择题（单选）：1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。
概率论与数理统计吴赣昌主编课后习题答案
习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：习题6.习题7习题9习题10习题12习题13习题14习题15习题16习题18习题20习题21习题23习题24习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P{3X>60}, 即P{X>20},P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,⋯;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4. 由于P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个，即0和1.X=0表示未投中，其概率为p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为p2=P{X=1}=0.6.则随机变量的分布律为设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且F(-∞)=0,F(+∞)=1,(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求：(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx,-∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答：因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率. 解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b(100,0.05).因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1, 即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此x-400060≈1.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答：已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x, 即1-P{X≤x}≤0.05,亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42), 求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.2.5 随机变量函数的分布当c>0时，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数，y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X; (2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0, 综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0, 综上所述fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.解答：已知T∼N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32,是单调函数，所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此，Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7, 故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7), 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须200000X>300000即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.试求：(1)q的值；(2)X的分布函数.解答：(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1,且0≤pi≤1,∴{1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示：(2)由F(x)=P{X≤x}计算X的分布函数F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.习题7设随机变量X的分布函数F(x)为F(x)={0,x<0Asinx,0≤x≤π/2,1,x>π/2则A=¯,P{∣X∣<π/6}=¯.解答：应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性，有F(π2+0)=F(π2)⇒A=1.因F(x)在x=π6处连续，故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管，在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率.解答：因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时，由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0, 故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F(x). 显然，当x<0时，F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1 -e-λ.注意，a-1<a, 而当x<a时，f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2) dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1. 证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数，试证对任意的a>0, 分布函数F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a); (2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U(0,5), 所以fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时，F(t)=0,∴F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率；(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.试求Y=X2的分布律.解答：所以注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.习题20设随机变量X的密度为fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函数.解答：由Y=2X+3, 有y=2x+3,x=y-32,x′=12,由定理即得fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.习题21设随机变量X的概率密度fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布求a.解答：由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P{0<Y≤b};解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(3)P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(1)P{12<X<32,0<Y<4;解答：P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量，且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0} =0+16+512=712,同样可求得P{Y=13=112,P{Y=1}=13,关于的Y边缘分布见下表：Y 01/31pk 7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}.解答：如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求：(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答：(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后，设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}.对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得P{Y=j}.(2)当Y=51时,X的条件分布律为P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28, k=51,52,53,54,55.列表如下:故(1)在Y=1条件下，X的条件分布律为(2)在X=2的条件下，Y的条件分布律为表(a)表(b)解答：由X与Y相互独立知P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj),从而(X,Y)的联合概率分布为亦即表P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12=1-112-16=34.习题6某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:55∼8:00, 而火车这段时间开出的时间Y的密度fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它,求此人能及时上火车站的概率.解答：由题意知X的密度函数为fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及时上火车的概率为P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是fX(x)=12πe-x22，fY(y)=12πe-y22因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是f(x,y)=12πe-12(x+y)2.习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-∣x∣(-∞<x<+∞),问：X与∣X∣是否相互独立？解答：若X与∣X∣相互独立，则∀a>0, 各有P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a},故由上式有P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0)但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,(1)求X与Y的联合概率密度；(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率.解答：(1)由题设易知fX(x)={1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},故如图所示得到：P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx] =1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]=1-2π[Φ(1)-Φ(0),又Φ(1)=0.8413,Φ(0)=0.5,于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413,所以P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.解答：由于U≥V,可见P{U=i,V=j}=0(i<j).此外，有P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3), P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),于是，随机变量U和V的联合概率分布为试求：(1)Z=X+Y; (2)Z=XY; (3)Z=X/Y; (4)Z=max{X,Y}的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z的相同值的概率要合并.于是(1)(2)Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0 即{x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y 的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy =∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数.解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b. ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。
解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。
解： 2(,,)()()xyxf x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。
解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ≥， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u=解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z = 解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-+解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。
思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。
解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。
思路： 应用有理化方法去根号。
解：0x y →→=014x y →→==-★★★（3）22()lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞+解： 原式22()2()2lim lim ()x y x y x y x x y y x y xy x y x ye e e e ++→+∞→+∞→+∞→+∞+-+==-⋅，2lim0,lim 0x y x x y y x ye e →+∞→+∞→+∞→+∞==22()22lim lim lim lim 0u x y x y u u u x u u u y x y u u e e e e =++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+====， ∴ 22()lim()0x y x y x y e -+→∞→∞+=★★（4）0x y →→解：方法一：（应用二重极限定义，εδ-语言）22≤=∴0=2εδε∀>取，当0δ<<时恒有0ε-<xy→→∴=方法二：（夹逼定理）0||||y y≤=≤，又lim||0xyy→→=xy→→∴=方法三：（极坐标代换）令cos,sinx r y rθθ==，则当(,)(0,0)x y→时，0(02)rθπ→≤≤∴000cos sinlim lim cos sin0x r ryr rrrθθθθ→→→→===★★（5）xy→→知识点：二重极限。
思路：先作变量替换，然后对未定型0应用洛必达法则及等价无穷小量替换。
解：u=，则(,)(0,0)x y→时，0u+→，∴原式23220001sin1cos12lim lim lim336u u uuu u uu u u+++→→→--====洛必达。
★★★（6）2222221cos()lim()x yxyx yx y e→→-++解：22222222222222 22000000001cos()1cos()1cos() lim lim lim lim()() ()x yx yx x x xy y y yx y x y x yex y x y x y e→→→→→→→→-+-+-+==+++2220011cos 2lim lim 0xy uu u u u u u+++=→→-===6.证明下列极限不存在知识点：二重极限。
思路：若(,)x y 沿不同曲线趋于00(,)x y 时，极限值不同，则二重极限不存在。
★★（1）(,)(0,0)limx y x y x y →+-证：取y kx =，则(,)(0,0)0(1)1limlim (1)1x y x y kxx y k x kx y k x k →→=+++==---，易见极限会随k 值的变化而变化，故原式极限不存在。
★★★★（2）100lim(1)x yx y xy +→→+证：方法一：1110000lim(1)lim(1)lim[(1)]xy xy x yxy x yxy x yx x x y y y xy xy xy ⋅+++→→→→→→+=+=+现考虑 00lim()x y xyx y →→+，若(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)，则 上式00lim 02x y x→===，从而 1000lim(1)1x y x y xy e +→→+==若(,)x y 沿曲线1x y x =-趋于(0,0)，则00lim ()x y xy x y →→+011lim11x x y x xxx x x x →=--==+-，从而 10lim(1)x yx y xy e +→→+=故原式极限不存在。
方法二：若取11,nn x y n n==，则211202220011lim(1)lim(1)lim (1)1n nn x yx n n y xy e n n +→→∞→∞→⎡⎤+=+=+==⎢⎥⎣⎦若取11,1nn x y n n =-=+，则 (1)101lim(1)lim 1(1)n n x yx n y xy e n n -++→→∞→⎡⎤+=-=⎢⎥+⎣⎦故原式极限不存在。
★★★（3）00x y →→解：000x x y y →→→→= 若(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)，则 上式00lim02x y x →===若(,)x y 沿曲线1x y x =-趋于(0,0)，则上式0111lim22()1x x y x xxx x x x →=--==+-故原式极限不存在。
注：若(,)x y 沿曲线y x =-趋于(0,0)，则20000lim 0x x y y xx →→→=-==-从而00x x y y →→→→==∞。
7.研究下列函数的连续性★（1）222(,)2y xf x y y x+=-解：当220y x -=时函数无定义，故函数的间断点集为2{(,)|2}x y y x = ★★★（2）22(,)ln()f x y xy x y =+解： 函数间断点为 (0,0)， 由22222210|ln()||()ln()|2xy x y x y x y ≤+≤++ 又 2222220000021ln u lim()ln()lim ln lim lim 011u x y x u u u y u x y x y u u u u=+→→→→→++====-洛必达故由夹逼定理 2200lim ln()0x y xy xy →→+=，故(0,0)为可去间断点。
★★★8.设22122,0,(,)10,0,x x ye x y f x y y e x y ⎧⎪≠⎪=⎨+⎪⎪=⎩任意任意，讨论(,)f x y 在(0,0)处是否连续？ 知识点：二元函数连续思路：若000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 连续。
讨论00(,)x y 处二重极限的存在性，若(,)x y 沿不同曲线趋于00(,)x y 时，极限值不同，则二重极限不存在。
解：若(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)，则 22120020limlim 011xx x y y x ye y e →→→===+ 若(,)x y 沿21xy e-=轴趋于(0,0)，则 22121200211limlim1121x xx x y x y eye y e -→→→===++ 故00lim(,)x y f x y →→不存在，从而函数(,)f x y 在(0,0)处是不连续。
§8.2 偏导数 内容概要课后习题全解习题8-21. 求下列函数的偏导数：★（1）32233z x y x y xy =+-；知识点：二元函数偏导数思路：函数对自变量x （y ）求导时将另一自变量y （x ）看为常量，按一元函数求导法则求导。
解：22336zx y xy y x∂=+-∂； 32263z x x y xy y ∂=+-∂ ★★（2）22x y z xy+=；解： 22x y z xy +=x y y x =+， 故2211;z yzxx y xx x y∂∂=-=-∂∂★★（3）z =；解：23222()z y xx y ∂==∂+ ；3222()z xy yx y ∂-==∂+注：该题中应用一元函数商式求导法则及复合函数求导法则。
★★（4）z =；解：1211(ln())2z xy y x xy -∂==∂；1211(ln())2z xy x y xy -∂==∂★（5）2sin()cos ()z xy xy =+；解：cos()2cos()(sin())[cos()sin(2)]zxy y xy xy yx y xy xy ∂=+-∂=- cos()2cos()(sin())[cos()sin(2)]z xy x xy xy x y x xy xy ∂=+-∂=-★★★（6）(1)y z xy =+；知识点：二元函数偏导数思路：函数对自变量x （y ）求导时将另一自变量y （x ）看为常量，按一元函数求导法则求导。
在本题中对自变量x 求偏导时，函数为x 的幂函数；对自变量y 求偏导时，函数为y 的幂指函数。
解： 方法一1121(1)(1)(1)(1)y y y x zy xy xy y xy y y xy x---∂'=++=+=+∂ln(1)ln(1)ln(1)()()(ln(1))1y xy y xy y xy y y z xe e e xy y y xy+++∂''===++∂+(1)ln(1)1y xy xy xy xy ⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦方法二：（求zy∂∂时也可利用下边第5节的隐函数求导法则） 在方程两边同时取自然对数得 ln ln(1)z y xy =+方程两边同时对自变量y 求偏导数，注意z 为,x y 的函数1ln(1)1z xxy y z y xy∂=++∂+(1)ln(1)1y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦ ★★（7）ln tanxz y=； 解：211122sec csc sec csc tan z x x x x x x y y y y y y yy ∂=⋅⋅==∂； 222212sec ()csc sec csc tan z x x x x x x x x y y y y y y y yy∂=⋅⋅-=-=-∂★★（8） ()z xuy=；知识点：多元函数偏导数思路：函数对自变量x （y 或z ）求导时将另两自变量y ，z （x ，z 或x ，y ）看为常量，按一元函数求导法则求导。