高三数学一轮复习 第7篇 第5节 直线、平面垂直的判定与性质课件 理

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(新课标)高考数学一轮总复习 第七章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质课件

(新课标)高考数学一轮总复习 第七章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质课件

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:
文字语言 判 如果一个平面过另 定 一个平面的一条 图形语言 符号语言
垂线 ,则这两个 定 _____
理 平面互相垂直.
l ⊥α ______ ⇒α⊥β l ⊂ β _____
性 质 定 理
如果两个平面互相 垂直,那么在一个 平面内垂直于它们 α⊥β l⊂β ⇒l⊥α α∩β=a l⊥a
5 . 将 正 方 形 ABCD 沿 AC 折 成 直 二 面 角 后 , ∠ DAB =
________. [ 解析]
如图,取 AC 的中点 O,连接 DO,
BO,BD,则 DO⊥AC,BO⊥AC,故∠DOB 为 二面角的平面角,从而∠DOB=90° .设正方形边 2 长为 1,则 DO=BO= 2 ,所以 DB=1,故△ ADB 为等边三角形,所以∠DAB=60° .
(2)线面角 θ
3.平面与平面垂直
(1) 二面角的有关概念:
①二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做 二面角的面. 如图,记作:二面角 α - l - β 或二面角 α - AB - β 或二面角 P -
AB-Q.
②二面角的平面角.在二面角 α - l - β 的棱 l 上任取一点
性 质 定 理
a ⊥α _____ ⇒a∥b b⊥α _____
2.直线与平面所成的角
(1)定义
射影 所成的_____ 锐角 ,叫做 平面的一条斜线和它在平面上的_____ 这条直线和这个平面所成的角. 如图,
∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角. _______
π 0, . 2 的范围:______.

高三数学一轮复习 第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理 新人教A版

高三数学一轮复习 第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理 新人教A版

(2)当直线与平面垂直和平行(或平直面线上在的平射面影内)时,规定直 线和平面所成的角分别为_________.
90°和0°
新课标 ·理科数学(广东专用)
1.一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直,可以说这 条直线和这个平面垂直吗?
【提示】 不可以.如果这无数条直线是平行的,则这条 直线和这个平面的位置关系不确定.
新课标 ·理科数学(广东专用)
【解析】 A显然正确,根据面面垂直的判定,B正确. 对于命题C,设α∩γ=m,β∩γ=n,在平面γ内取一点P不
在l上,过P作直线a,b,使a⊥m,b⊥n.∵γ⊥α,a⊥m, 则a⊥α,∴a⊥l,同理有b⊥l.又a∩b=P,a ,且l β.故在α内存在直线 不垂直于平面β,即命题D错误. 【答案】 D
新课标 ·理科数学(广东专用)
4.(2012·浙江高考)设l是直线,α,β是两个不同的平面 ()
A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
新课标 ·理科数学(广东专用)
【解析】 设α∩β=a,若直线l∥a,且l α,l β,则 l∥α,l∥β,因此α不一定平行于β,故A错误;由于l∥α, 故在α内存在直线l′∥l,又因为l⊥β,所以l′⊥β,故α⊥β, 所以B正确;若α⊥β,在β内作交线的垂线l,则l⊥α,此 时l在平面β内,因此C错误;已知α⊥β,若α∩β=a, l∥a,且l不在平面α,β内,则l∥α且l∥β,因此D错误.
又 A′O=CO= 22a, ∴A′C= a22+a22=a,即折叠后 AC 的长(A′C)为 a.
【答案】 D
新课标 ·理科数学(广东专用)
3.下列命题中错.误.的是( ) A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平 行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不 存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面γ ,α ∩β =l, 那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直 于平面 β

高考数学一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件 文

高考数学一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件 文

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19
解析:如图,∵PO⊂平面PAB,
∴l⊥PO. ∴PO就是P到直线l的距离, ∵α⊥β,∴四边形PAOB为矩形, PO= 12+22= 5. 答案: 5
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20
考点
互动探究
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21
考点一 直线与平面垂直的判定与性质 证明直线和平面垂直的常用方法有 (1)利用判定定理. (2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α). (3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β). (4)利用面面垂直的性质.
24
【思路启迪】 第(1)问通过DC⊥平面PAC证明;也可通过 AE⊥平面PCD得到结论;第(2)问利用线面垂直的判定定理证明 直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直.
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25
【证明】 (1)由四棱锥P-ABCD中, ∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A, ∴PD⊥平面ABE.
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27
破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与 性质,注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用,这是 证明空间垂直关系的基础.由于“线线垂直”、“线面垂 直”、“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围 绕着线面垂直这个核心而展开,这是化解空间垂直关系难点的 技巧所在.
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17
解析:由PA⊥平面ACB,可得PA⊥BC,A正确;由BC⊥ PA,BC⊥AC,PA∩AC=A,可得BC⊥平面PAC,BC⊥PC,即 B、D正确,故选C.
答案:C
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高考数学总复习 第七章第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理

高考数学总复习 第七章第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理

C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面
γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
6
【解析】 A显然正确,根据面面垂直的判定,B正确. 对于命题C,设α∩γ=m,β∩γ=n,在平面γ内取一点P不在l上,
过 P 作直线 a , b ,使 a⊥m , b⊥n.∵γ⊥α , a⊥m ,则 a⊥α ,
第五节
直线、平面垂直的判定及其性质如果直线l与平面α内的__________ 任意一条 直线都垂直,则直线l与平 面α垂直. (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条________ 直线都垂直,则 相交 该直线与此平面垂直. (3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线________ 平行.
∴ a⊥l ,同理有 b⊥l. 又 a∩b = P , a⊂γ , b⊂γ , ∴ l⊥γ. 故命题 C 正确.
对于命题D,设α∩β=l,则l⊂α,但l⊂β.故在α内存在直线不垂
直于平面β,即命题D错误. 【答案】 D
7
3.已知命题:“若x⊥y,y∥z,则x⊥z”成立,那么字母x, y,z在空间所表示的几何图形有可能是:①都是直线;②都是
与α的位置关系为(
A.b⊂α C.b⊂α或b∥α
)
B.b∥α D.b与α相交
【解析】 由a⊥b,a⊥α知b⊂α或b∥α,但直线b不与α相交. 【答案】 C
5
2.(2011·浙江高考)下列命题中错误的是(
)
A.如果平面 α⊥平面β,那么平面 α内一定存在直线平行于平
面β
B.如果平面 α不垂直于平面 β,那么平面 α内一定不存在直线 垂直于平面β
25
(2)连结FG.
因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,

高三数学一轮总复习第七章立体几何7.5直线平面垂直的判定及其性质课件

高三数学一轮总复习第七章立体几何7.5直线平面垂直的判定及其性质课件
12
1.已知平面α,β,直线l,若α⊥β,α∩β=l,则( ) A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l D.垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直 解析:A中平面可与α平行或相交,不正确。 B中直线可与α垂直或斜交,不正确。 C中平面可与直线l平行或相交,不正确。 答案:D
34
(3)若SA=SD,M为BC的中点,在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN⊥平面 ABCD?并证明你的结论。
解析:(3)存在点N为SC的中点, 使得平面DMN⊥平面ABCD。 连接PC、DM交于点O,连接PM、SP、NM、ND、NO, 因为PD∥CM, 且PD=CM, 所以四边形PMCD为平行四边形,所以PO=CO。 又因为N为SC的中点,所以NO∥SP。 易知SP⊥AD, 因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD= AD,且SP⊥AD, 所以SP⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD。 又因为NO⊂平面DMN,所以平面DMN⊥平面ABCD。
23
(2)若AB=BC,求证:BD⊥面SAC。
证明: (2)方法一:若AB=BC,则BD⊥AC, 由(1)可知,SD⊥面ABC,而BD⊂面ABC, ∴SD⊥BD, ∵SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D, ∴BD⊥面SAC。 方法二:若AB=BC,则BD⊥AC。由(1)知SD⊥平面ABC,又SD⊂平面SAC, ∴平面ABC⊥平面SAC, 又平面ABC∩平面SAC=AC。 ∴BD⊥平面SAC。
条直线和这个平面所成的角。如图, □10 ____∠__P_A_O______就是斜线AP与平面α所成的
□ 角。 (2)线面角θ的范围:θ∈
11
___0_,__π2_ _____。

高三数学一轮复习 第7章 第5课时 直线、平面垂直的判定与性质课件 文 新人教版

高三数学一轮复习 第7章 第5课时 直线、平面垂直的判定与性质课件 文 新人教版

13
教材梳理 基础自测
二、平面与平面垂直
[自测 5] 设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b
在平面 β 内,且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A
1
14
教材梳理 基础自测
三、线面角、二面角
高三总复习.数学(文)
第七章 立体几何 第5课时 直线、平面垂直的判定与性质

考点一 直线与平面垂直的判定与性质

考点二 平面与平面垂直的判定与性质
考点三 空间垂直关系的探索
规范答题•系列
应考迷津•展示
1
1
考纲·展示
1.以命题形式,判定“直线、平面垂直的判定和性质”运用是否正确. 2.以常见的几何体为背景,进行线线垂直,线面垂直,面面垂直的转化与 应用. 3.借助于线面垂直求线面角. 4.借助于面面垂直研究二面角.
与此平面垂直
符号语言
a,b⊂α
a∩b=O l⊥a l⊥b
⇒l⊥α
1
4
教材梳理 基础自测
一、直线与平面垂直
①垂直于同一个 平面的两条直线 平行 性质 ②如果两个平面 定理 同垂直于一条直 线,那么这两个 平面平行
1
a⊥α b⊥α
⇒a∥b
ll⊥⊥βα⇒α∥β
5
教材梳理 基础自测
一、直线与平面垂直
A.a⊥b,且 a 与 b 相交
B.a⊥b,且 a 与 b 不相交
C.a⊥b
D.a 与 b 不一定垂直
C
1
7
教材梳理 基础自测

高三数学,一轮复习人教A版, 第7章 第5节, 直线、平面垂直,的判定及其性质, 课件

高三数学,一轮复习人教A版,     第7章 第5节, 直线、平面垂直,的判定及其性质,  课件

=BC,得∠ABC=30° .4 分 设 AD=1,由 3AD=DB,得 DB=3,BC=2 3,由余弦定理得 CD2=DB2 +BC2-2DB· BCcos 30° =3, 所以 CD2+DB2=BC2,即 CD⊥AO.10 分 因为 PD⊥平面 ABC,CD⊂平面 ABC, 所以 PD⊥CD,由 PD∩AO=D,得 CD⊥平面 PAB,又 PA⊂平面 PAB,所 以 PA⊥CD.15 分
垂线 , _____ 则这两个平面垂直
两个平面垂直,则一个平
性质定理 面内垂直于_____ 交线 的直线 与另一个平面垂直
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直,则 l⊥α.( (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) ) )
面面垂直的判定与性质
4 [∵PA⊥平面 ABC, ∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC, 则△PAB,△PAC 为直角三角形. 由 BC⊥AC,且 AC∩PA=A, ∴BC⊥平面 PAC,从而 BC⊥PC. 因此△ABC,△PBC 也是直角三角形.]
图 751
5.边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,则折叠后 AC 的 长为________. a [如图所示,取 BD 的中点 O,连接 A′O,CO,则∠A′OC 是二面角
(4)直线和平面垂直的性质:
平行 . ①垂直于同一个平面的两条直线_____
②直线垂直于平面,则垂直于这个平面内的_____ 任一 直线.
平行 . ③垂直于同一条直线的两平面_____
2.直线和平面所成的角
平面上的射影 所成的锐角叫做这条直线和这 (1) 平面的一条斜线和它在 _______________

高三数学一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件

高三数学一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件

⑤若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于
另一个平面.
其中正确的是( )
A.①②⑤ B.②③⑤ 精C品.①③④ D.①
8
【解析】选D.①正确.否则两个平面应平行. ②错误.当该点是交线上的点时,l与β不一定垂直. ③错误.异面直线所成角的范围是 ( 0 ,而 ] 二, 面角的范围是[0,π].
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
精品
15
(2)(2013·广东高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不 同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
过空间一点P作m′∥m,n′∥n.
则m′,n′可确定平面γ.
由题意知:l⊥γ,l′⊥γ.
所以l∥l′.
精品
18
(2)选D.对于选项A,分别在两个垂直平面内的两条直线平行、 相交、异面都可能,但未必垂直;对于选项B,分别在两个平行平 面内的两条直线平行、异面都可能;对于选项C,两个平面分别经 过两垂直直线中的一条,不能保证两个平面垂直;对于选项 D,m⊥α,m∥n,则n⊥α;又因为n∥β,则β内存在与n平行的直线l, 因为n⊥α,则l⊥α,由于l⊥α,l⊂β,所以α⊥β.
精品
16
【解题视点】(1)作出与直线m,n平行的直线,证明平面α,β相交, 然后可证交线与直线l平行. (2)利用面面平行与垂直的判定与性质进行判断.
精品
17
【规范解答】(1)选D.因为m,n为异面直线,m⊥平面α,

高考数学大一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件 理

高考数学大一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件 理
答案:③
.
18
1.证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义:a 与 α 内任何直线都垂直⇒a⊥α;
(2)判定定理 1: ml⊥、mn,⊂lα⊥,nm∩n=A⇒l⊥α; (3)判定定理 2:a∥b,a⊥α⇒b⊥α; (4)面面平行的性质:α∥β,a⊥α⇒a⊥β; (5)面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的 垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.
.
21
热点命题·突破 02
考点突破 解码命题
.
22
直线与平面垂直的判定与性质 【例 1】 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥ 底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA= AB=BC,E 是 PC 的中点.
.
15
C 中,因为 CF∥AB,AB⊂平面 PAB,CF⊄平面 PAB, 所以 CF∥平面 PAB; 而 D 中 CF 与 AD 不垂直,故选 D.
答案:D
.
16
5.如图,在三棱锥 D—ABC 中,若 AB=CB,AD= CD,E 是 AC 的中点,则下列命题中正确的有________(填 序号).
“×”)
(1) 直 线 l 与 平 面 α 内 的 无 数 条 直 线 都 垂 直 , 则
l⊥α.( )
(2)若直线 a⊥平面 α,直线 b∥α,则直线 a 与 b 垂
直.( )
(3)直线 a⊥α,b⊥α,则 a∥b.( )
答案:(1)× (2)√ (3)√
.
8
2.(2014·辽宁卷)已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示 平面,下列说法正确的是( )
.

高三数学(理)一轮复习(课件)第七章 立体几何7-5

高三数学(理)一轮复习(课件)第七章 立体几何7-5

因为 SA=SB,所以△SAB 为等腰三角形, 所以 SE⊥AB。 又 SE∩DE=E,所以 AB⊥平面 SDE。 又 SD⊂平面 SDE,所以 AB⊥SD。 在△SAC 中,SA=SC,D 为 AC 的中点, 所以 SD⊥AC。 又 AC∩AB=A,所以 SD⊥平面 ABC。 (2)由于 AB=BC,则 BD⊥AC, 由(1)可知,SD⊥平面 ABC,又 BD⊂平面 ABC, 所以 SD⊥BD, 又 SD∩AC=D,所以 BD⊥平面 SAC。
1.证明面面垂直的常用方法:(1)利用面面垂直的定义;(2)利用面面 垂直的判定定理,转化为从现有直线中(或作辅助线)寻找平面的垂线,即 证明线面垂直。
2.两个平面垂直问题,通常是通过“线线垂直→线面垂直→面面垂 直”的过程来实现的。
【变式训练】 (2019·唐山市摸底考试)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PC⊥底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD =2,E 是 PB 的中点。
考点三 开放型问题 【例 3】如图所示,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,DB=BC, DB⊥AC,点 M 是棱 BB1 上一点。
(1)求证:B1D1∥平面 A1BD。 (2)求证:MD⊥AC。 (3)试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1⊥平面 CC1D1D。
解 (1)证明:由直四棱柱,得 BB1∥DD1,且 BB1=DD1,
(1)如图,连接 OA,OB,OC,OP,在 Rt△POA,Rt△POB 和 Rt△POC 中,PA=PB=PC,所以 OA=OB=OC,即 O 为△ABC 的外心。
(2)如图,延长 AO,BO,CO 分别交 BC,AC,AB 于 H,D,G。因为 PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,所以 PC⊥平面 PAB,又 AB⊂平面 PAB, 所以 PC⊥AB,因为 AB⊥PO,PO∩PC=P,所以 AB⊥平面 PGC,又 CG ⊂平面 PGC,所以 AB⊥CG,即 CG 为△ABC 边 AB 上的高。同理可证 BD, AH 分别为△ABC 边 AC,BC 上的高,即 O 为△ABC 的垂心。

高三数学课件:第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质

高三数学课件:第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
PA∩AF=A,故DF⊥平面PAF,即B正确.故选D.
(2)①由等腰三角形PBC,得BE⊥PC, 又DE垂直平分PC,
∴DE⊥PC,
∵BE⊂平面BDE且DE⊂平面BDE,
BE∩DE=E,
∴PC⊥平面BDE
②由①得,PC⊥BD, 因为PA⊥底面ABC, 所以PA⊥BD. ∵PC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PC∩PA=P, ∴BD⊥平面PAC ∴当点Q是线段PA上任一点时都有BD⊥DQ.
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 任意一条直线 都垂直. 直线l与平面α 内的_____________ 直线l与平面α 垂直
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理
文字语言 判 定 定 理 如果一条直线与一 两条 个平面内的_____ 相交直线 都垂直, _________ 那么该直线与此平 面垂直
值,如果不存在,说明理由.
【解题指南】(1)结合图形猜测EF与平面ABC垂直.由条件
AE AF 知EF∥CD,由∠BCD=90°及AB⊥平面BCD,易证 = AC AD
CD⊥平面ABC.
(2)由EF∥CD可得,问题相当于过点B作一个平面与平面ACD垂
直,这样的平面一定存在,故只需计算出λ即可,由条件不难 得到BE⊥CD,故只需BE⊥AC.
2 2
36 则 AE = 7 = 6 , 即 λ= AE = 6 时,BE⊥AC, AC 7 7 AC 7
又BE⊥CD,AC∩CD=C, ∴BE⊥平面ACD, ∵BE⊂平面BEF, ∴平面BEF⊥平面ACD.
所以存在λ,且当 λ= 6 时,平面BEF⊥平面ACD.
7
【反思·感悟】证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证
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(2)线面角θ的范围:
0,
π 2
.
3.二面角、平面与平面垂直 (1)二面角 ①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角 的棱.这两个半平面叫做二面角的面. 如图,记作:二面角α l β或二面角α AB β或二面角 P AB Q. ②二面角的平面角:在二面角α l β的棱 l 上任 取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面α和β内分别 作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构 成的∠AOB 叫做二面角的平面角.
3.(2015天津市新华中学质检)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,
则a⊥b的一个充分条件是( C )
(A)a⊥α,b∥β,α⊥β (B)a⊥α,b⊥β,α∥β
(C)a⊂α,b⊥β,α∥β
(D)a⊂α,b∥β,α⊥β
解析:若 b⊥β,α∥β,所以 b⊥α,又 a α,所以 b⊥a,即 a⊥b.
证明:(1)连接 AC、AN、BN, ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AC.
在 Rt△PAC 中,
∵N 为 PC 的中点,∴AN= 1 PC. 2
∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC.
又 BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面 PAB,∴BC⊥PB. 从而在 Rt△PBC 中,
BN 为斜边 PC 上的中线,∴BN= 1 PC, 2
符号语言
l l

α⊥β
l
I
a
la
⇒ l⊥α
质疑探究1:若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则 α⊥β吗?
(提示:不一定,若这无数条直线都平行,则得不到α内的这条直线垂直 于β,从而得不到α⊥β)
质疑探究2:若α⊥β,则α内的任意直线都与β垂直吗?
(提示:不一定,平面α内只有垂直于交线的直线才与β垂直)
4.在三棱柱 ABC A1B1C1 中 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( C ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
解析:如图所示,取 BC 的中点 E,连接 AE、DE,可知 AE⊥侧面 BB1C1C.∠ADE 就是 AD 与侧面 BB1C1C 所成 的角.设各棱长为 a,则在 Rt△AED
(2)平面与平面的垂直 ①定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角, 就说这两个平面互相垂直.
②平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
判定 一个平面过另一个平面的垂线,则这两 定理 个平面垂直
性质 定理
两个平面互相垂直,则一个平面内垂直 于交线的直线垂直于另一个 平面
图形语言
基础自测
1.(2014高考浙江卷)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的 平面( C ) (A)若m⊥n,n∥α,则m⊥α (B)若m∥β,β⊥α,则m⊥α (C)若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α (D)若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α 解析:选项A,B,D中m与平面α可能平行、相交或m在平面内α;对 于C,若m⊥β,n⊥β,则m∥n,而n⊥α,所以m⊥α.
第5节 直线、平面垂直的判定与 性质
最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理 为出发点,认识和理解空间中线面 垂直的有关性质与判定定理.
2.能运用公理、定理和已获 得的结论证明一些空间垂 直关系的简单命题.
编写意图 直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质是立体 几何的基础,也是高考重点考查的内容之一,难度不大.本节重点突 破了线面垂直、面面垂直判定及性质定理的应用,以及线面角、二 面角传统的求解方法.选题中图形样式丰富,注意了对翻折问题与探 索问题的探讨,突出转化与化归思想的应用.
定 直

性 质
垂直于同一个平面的两条直线平行 定 理
符号语言
a,b
aI
b
O

l
la
l b
⊥α
a b

a∥b
2.直线与平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的 射影 所成的 锐角 ,叫做这条直线 和这个平面所成的角. 如图, ∠PAO 就是斜线AP与平面α所成的角.
2.(2014咸阳模拟)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出 下列说法: ①若l⊥α,α⊥β,则l⊂β;②若l∥α,α∥β,则l⊂β; ③若l⊥α,α∥β,则l⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β. 其中说法正确的个数为( A ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0
解析:对于①②,l β或 l∥β;对于③,若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β,正确; 对于④,若 l∥α,α⊥β,则 l β或 l∥β或 l⊥β或 l 与β斜交,错误.
中,ED= 1 a,AE= 3 a,tan ∠ADE= 3 ,所以
2
2
∠ADE=60°.故选 C.
5.(2014 合肥模拟)如图,PA⊥☉O 所在平面,AB 是☉O 的直径,C 是
☉O 上除 A、B 外的一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;
②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC,其中真命题的序号

.
解析:由题意知BC⊥AC,又PA⊥BC,所以 BC⊥平面PAC,故BC⊥AE.又AE⊥PC,所以 AE⊥平面PBC,故PB⊥AE,又AF⊥PB,所以 PB⊥平面AEF,故EF⊥PB.故真命题序号为① ②④.
答案:①②④
考点突破
剖典例 找规律
考点一 直线与平面垂直的判断与性质
【例1】 如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD.
∴AN=BN.
∴△ABN 为等腰三角形.又 M 为底边 AB 的中点,∴MN⊥AB. 又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.
(2)连接 PM、CM, ∵∠PDA=45°,PA⊥AD, ∴AP=AD. ∵四边形 ABCD 为矩形, ∴AD=BC,∴PA=BC. 又∵M 为 AB 的中点, ∴AM=BM,而∠PAM=∠CBM=90°, ∴△PAM≌△CBM,∴PM=CM. 又∵N 为 PC 的中点, ∴MN⊥PC. 由(1)知,MN⊥CD,PC∩CD=C, ∴MN⊥平面 PCD.
夯基固本
考点突破
思想方法
夯基固本
知识梳理
抓主干 固双基
1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直,就说直线l与平面α互 相 垂直 .
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理
文字语言
图形语言
判 一条直线与一个平面内的两条相交
定 直线都垂直,则该直线与此平面垂
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