平面的基本性质(1)PPT课件
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《平面的基本性质》课件
平面不能被弯曲或折叠，始终保持平直。
无厚度
平面没有高度，只具有长度和宽度。
由无数个线段组成
平面由无数条线段相连组成，形成各种图形。
平面的基本性质
1
平面上的直线相互作用的规定
2
平面上的直线可以平行、垂直或有其
他特定的相
角度是指由两个线段或直线围成的空 间。
平面上的点与直线的关系
总结
1 明确平面的特征与定义
了解平面的基本性质，包括无限大、无厚度和无法折叠曲折。
2 控制平面的性质和规则
理解平面上的点与直线的关系，以及角度和夹角的度量规则。
3 应用平面知识到实际中
将平面的应用领域应用到不同领域，如地理学、图形设计和工程学。
点和直线可以在平面上相互交叉、相 连或相切。
平面上直线的夹角
夹角是指两条直线在平面上的交叉程 度，可以是锐角、直角或钝角。
平面的相关性质
垂直、平行
垂直的线段间的夹角为90度， 平行线始终保持相同的距离。
完美相等与相似的关系
相等的图形的线段和角度完全 相同，相似的图形只需保持比 例关系。
角度的度量与求和
《平面的基本性质》PPT 课件
本课件详细介绍了平面的基本性质，包括定义、特征和应用。通过丰富的布 局和图像，旨在使演示内容更加生动有趣。
平面的定义
平面是指由无限个线段组成的，并且没有厚度的二维图形。与几何体相比，平面只有两个维度。
平面的特征
无限大
平面在两个方向上是无限延展的，没有边界 限制。
无法折叠曲折
角度通过度量单位（如度或弧 度）来表示，多个角度可以相 加为一个新角度。
平面的应用
地理学中的平面
地图是平面的应用之一，用于表示地球表面 的二维信息。
无厚度
平面没有高度，只具有长度和宽度。
由无数个线段组成
平面由无数条线段相连组成，形成各种图形。
平面的基本性质
1
平面上的直线相互作用的规定
2
平面上的直线可以平行、垂直或有其
他特定的相
角度是指由两个线段或直线围成的空 间。
平面上的点与直线的关系
总结
1 明确平面的特征与定义
了解平面的基本性质，包括无限大、无厚度和无法折叠曲折。
2 控制平面的性质和规则
理解平面上的点与直线的关系，以及角度和夹角的度量规则。
3 应用平面知识到实际中
将平面的应用领域应用到不同领域，如地理学、图形设计和工程学。
点和直线可以在平面上相互交叉、相 连或相切。
平面上直线的夹角
夹角是指两条直线在平面上的交叉程 度，可以是锐角、直角或钝角。
平面的相关性质
垂直、平行
垂直的线段间的夹角为90度， 平行线始终保持相同的距离。
完美相等与相似的关系
相等的图形的线段和角度完全 相同，相似的图形只需保持比 例关系。
角度的度量与求和
《平面的基本性质》PPT 课件
本课件详细介绍了平面的基本性质，包括定义、特征和应用。通过丰富的布 局和图像，旨在使演示内容更加生动有趣。
平面的定义
平面是指由无限个线段组成的，并且没有厚度的二维图形。与几何体相比，平面只有两个维度。
平面的特征
无限大
平面在两个方向上是无限延展的，没有边界 限制。
无法折叠曲折
角度通过度量单位（如度或弧 度）来表示，多个角度可以相 加为一个新角度。
平面的应用
地理学中的平面
地图是平面的应用之一，用于表示地球表面 的二维信息。
平面的基本性质
三、平面的基本性质： 平面的基本性质：
公理1:如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上 公理 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上 如果一条直线的两点在一个平面内 的所有点都在这个平面内. 的所有点都在这个平面内 这时我们说直线在平面内或平面经过直线. 注 : ①这时我们说直线在平面内或平面经过直线 ②符号表示:若A∈l, B∈l,A∈α, B∈α, 则 l ⊂ α . 符号表示 若 ∈ ∈ ∈ ∈ 是借用集合的符号,点 不在直线 不在直线l上 直线 直线l不 ③∈, ⊂ 是借用集合的符号 点A不在直线 上,直线 不 内记作什么? 在平面α内记作什么 A∉l l⊄α ∉ ⊄ 作用: 判断直线在平面内的依据 直线在平面内的依据. ④作用 判断直线在平面内的依据
α
A B
公理2:如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其它公 公理 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公 如果两个平面有一个公共点 共点,这些公共点的集合是一条直线 这些公共点的集合是一条直线. 共点 这些公共点的集合是一条直线 对于不重合的两个平面,只要它们有公共点 只要它们有公共点,它们就是相 注: ①对于不重合的两个平面 只要它们有公共点 它们就是相 交的位置关系,交集是一条直线 且交线有且只有一条.) α 交集是一条直线.(且交线有且只有一条 交的位置关系 交集是一条直线 且交线有且只有一条 符号表示:若 ∈ ②符号表示 若P∈α, P∈ β ，则 α ∩ β =l且P∈l . ∈ 且 ∈ A 作用:判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 判断两个平面相交的依据,找两个平面的交线 ③作用 判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 证明点共线或线共点的依据。 证明点共线或线共点的依据。 公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面. 公理 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 注: ①过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面, 过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面 过不在同一直线上的四点不一定有平面. 过不在同一直线上的四点不一定有平面 ②“有 是说明图形存在,即存在性 只有一个” 即存在性;“ ②“有”是说明图形存在 即存在性 “只有一个”说明图 形唯一,即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面. 即唯一性;本定理强调的是存在和唯一两方面 形唯一 即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面 符合某一条件的图形既然存在且只有一个,说明图形 ③符合某一条件的图形既然存在且只有一个 说明图形 是确定的,因此 有且只有一个” 因此“ 确定”是同义词; 是确定的 因此“有且只有一个”和“确定”是同义词 过不共线三点A、 、 的平面又可记为 平面ABC”; 的平面又可记为“ ④过不共线三点 、B、C的平面又可记为“平面 ” 作用:确定平面的依据 证明两个平面重合的依据. 确定平面的依据.证明两个平面重合的依据 ⑤作用 确定平面的依据 证明两个平面重合的依据
9.1.1平面的基本性质
练习 下列命题：
(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面
重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，宽是20m；
(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象
的数学概念．其中正确命题的个数为( A )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
1.常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的 一个角上，如平面α、平面β等 2.用代表平面的四边形的四个顶点 3.用相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称
数学中的“平面”是指光滑并且可以无限延展的图形
思考:将一条直线向两端无限伸展得到 的图形是什么？将课桌面、平静的水面、 田径场地面向四周无限伸展得到的图形 是什么？ 直线是否有长短、粗细之分？平面 是否有大小、厚薄之别？
平面的特点:
1.平的 2.四周无限延展 3.不计大小 4.不计厚薄 不是凹凸不平 没有边界 无所谓面积 没有体积
D A
C B
记作：平面 平面 ABCD 平面 AC 或平面 BD
动脑思考
探索新知
当平面水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°， 横边画成邻边的2倍长． 当平面竖直放置的时候，通常把平面画成矩形．
D
C
A
B
巩固知识
典型例题
例1 表示出正方体 ABCD A1B1C1D 1 （如图）的 6个面． 解 这6个面可以分别表示为：平面AC 、平面 A1C1、
生活中经常看到用三角架支撑照相机．
文字语言：
基本性质3 图像语言：
存在性
唯一性
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
B
A
C
符号语言： A, B, C三点不共线 有且只有一个平面
1.2.1平面的基本性质
例题讲解
例2、在长方体A C1中, P为棱BB1的中点, 画出 由A1 ,C1 ,P三点所确定的平面 与长方体 表面的交线.
D1 A1 D A B1 P B C C1
D1 A1 D A B1 P B
C1
C
例题讲解
例3、两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 已知：AB∩AC=A， AB∩BC=B， AC∩BC=C
D A B C
D1
C1 B1
A1
3．根据下列符号表示的语句，说出有关 点、线、面的关系，并画出图形．
(1) A , B (2)l , m
(3) l
(4) P l , P , Q l , Q
4填空
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面 内 点A在平面 外 直线l在平面 内 直线l在平面 外
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. B a 已知：点A a. A C
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
β
b
C
数学语言表示:
直线a b C 有且只有一个平面， 使得a ，b .
推论2的证明
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 已知：直线a与b交与A 求证：经过直线a、b有且只有一个平面α。 【证明】（存在性）如图所示，在直线a,b上分别 取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三 点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面α(公 理2)。又 (公理1) 所以平面α是过相交直线a，b的平面。
B
A
C
求证：直线AB，BC，AC共面. 证法一： 因为AB∩AB=A 所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2） 因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈， 故BC.（公理1） 因此直线AB，BC，CA共面.
1.2.1平面的基本性质与推论ppt课件
a与A共属于平面α且平面α唯一 .
（2）推论2 文字语言 :经过两条相交直线，有且只有一 个平面. 图形语言： a是任意一条直线 符号语言： b是任意一条直线 a∩b=A a，b共面于平面α，且α是唯一的 .
（2）推论3 文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一 个平面. 图形语言： a ， b 是两条直线 符号语言： a//b
异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托, 异面直 线不同在任何一个平面的特点.
A
b
a
b
B
l
a
小组讨论以下问题：
6.空间中两两相交的三条直线一定确定一个平面； 7.空间中两两平行的三条直线一定确定一个平面； 8.分别在两个平面内的直线一定是异面直线；
把长方体的棱看作直线，试指出这些 练习：
（3）平面α与平面β相交于直线l，记作 α∩β=l； （4）直线l和m相交于点A，记作l∩m={A}, 简记为l∩m=A.
例1．如图，平面ABEF记作α，平面 ABCD记作β，根据图形填写： （1）A∈α，B ∈α，E ∈ α， C α，D α； （2）A∈β，B ∈β，C ∈ β， D ∈ β，E β，F β； （3）α∩β= AB ；
a，b共面于平面α，且α是惟一的 .
练习：A组4
思考与讨论：
已知两条直线相交，过其中任意一条 直线上的点作另一条直线的平行线，这些 平行线是否都共面？为什么？
A
a
B
b
l
空间中两直线的三种位置关系
(1)相交
m l
(2)平行
m
(3)异面直线
m
P
l
l
P
只有一个公共点 没有公共点
语文版中职数学基础模块下册9.1《平面的基本性质》ppt课件1
1：如果直线l上的两个点都在平面 内，那么直线l上的 所有点都在平面 内．
此时称直线l在平面 内或平面 经过直线l．记作 l ．
画直线l在平面
内的图形表示时，要 将直线画在平行四边 形的内部 ．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
创设情境 兴趣导入
观察教室里墙角上的一个点，它是相邻两个墙面的公共点， 可以发现，除这个点外两个墙面还有其他的公共点，并且这些 公共点的集合就是这两个墙面的交线．
本章中的两个平面 是指不重合的两个平面， 两条直线是指不重合的 两条直线．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
动脑思考 探索新知
9.1 画两个平面相交的图形时，一定要画出它们的交线．图形中被遮住
平 面 部分的线段，要画成虚线（如图（1）），或者不画（如图（2））．
的 基 本 性 质
创设情境 兴趣导入
本
性
质
分别将这三个点两两连接，得到直线 AD1、AC、CD1 就是为由 A、C、D1三点所确定的平面γ与长方体的表面的 交线．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
运用知识 强化练习
1．“平面与平面 只有一个公共点”的说法正确吗？
2．梯形是平面图形吗？为什么？ 3．已知A、B、C是直线l上的三个点，D不是直线l上的点． 判断直线AD、BD、CD是否在同一个平面内．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
动脑思考 探索新知
平面性质2： 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且
所有公共点的集合是过这个点的一条直线（如图）．
此时称这两个平面相交，并把所有公共点组成的直线 l 叫做两个
平面的交线．平面 与平面 相交，交线为 情境 兴趣导入
此时称直线l在平面 内或平面 经过直线l．记作 l ．
画直线l在平面
内的图形表示时，要 将直线画在平行四边 形的内部 ．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
创设情境 兴趣导入
观察教室里墙角上的一个点，它是相邻两个墙面的公共点， 可以发现，除这个点外两个墙面还有其他的公共点，并且这些 公共点的集合就是这两个墙面的交线．
本章中的两个平面 是指不重合的两个平面， 两条直线是指不重合的 两条直线．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
动脑思考 探索新知
9.1 画两个平面相交的图形时，一定要画出它们的交线．图形中被遮住
平 面 部分的线段，要画成虚线（如图（1）），或者不画（如图（2））．
的 基 本 性 质
创设情境 兴趣导入
本
性
质
分别将这三个点两两连接，得到直线 AD1、AC、CD1 就是为由 A、C、D1三点所确定的平面γ与长方体的表面的 交线．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
运用知识 强化练习
1．“平面与平面 只有一个公共点”的说法正确吗？
2．梯形是平面图形吗？为什么？ 3．已知A、B、C是直线l上的三个点，D不是直线l上的点． 判断直线AD、BD、CD是否在同一个平面内．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
动脑思考 探索新知
平面性质2： 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且
所有公共点的集合是过这个点的一条直线（如图）．
此时称这两个平面相交，并把所有公共点组成的直线 l 叫做两个
平面的交线．平面 与平面 相交，交线为 情境 兴趣导入
平面的基本性质：三个公理,三个推论.
资源信息表14．1 （2）平面及其基本性质——三个公理三个推论一、教学内容分析本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何.二、教学目标设计理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.三、教学重点及难点三个公理，三个推论.四、教学过程设计一、讲授新课（一）公理1如果直线l上有两个点在平面α上，那么直线l在平面α上.（直线在平面上）用集合语言表述：,,,A l B l A B l ααα⊂∈∈∈∈⇒≠ （二）公理2如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l .（平面与平面相交）用集合语言表述：l A l A ∈=⋂⇒⋂∈且βαβα （三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A ，B ，C 确定一个平面 推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面. 证明：设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能确定平面α.又因为点,B C α∈，所以由公理1可知B ，C 所在直线l α⊂≠，即平面α是由直线l 和点 A 确定的平面.用集合语言表述：,A l A l α∉⇒确定平面 推论2：两条相交的直线确定一个平面. 用集合语言表述：,a b A a b α⋂=⇒确定平面 推论3：两条平行的直线确定一个平面. 用集合语言表述：//,a b a b α⇒确定平面 （四）例题解析例1如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是111,B C BB 的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：111111E B C E B C EF B C F B B F B C ∈⇒∈⎫⇒⊂⎬∈⇒∈⎭≠平面平面平面 又1BC B C ⊂≠平面，则直线EF 和BC 共面； 1111//EF BC BC B C EF BC EF B C E ⎫⎪⇒⎬⎪⋂=⎭与共面与相交 设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上.1D 1C 1B 1A DCBA FE[说明]利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若,,,a b c a b P αβαχβχ⋂=⋂=⋂=⋂=，求证：直线C 必过点P.解：a P b P P c P c c αββαχβχχβχβχ⋂=⎫⎫∈⎧⎪⎪⋂=⇒⇒∈⋂⎬⎨⎪⇒∈∈⎬⎩⎪⋂=⎭⎪⎪⋂=⎭[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.[说明]公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面； 四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面. [说明]推论2的简单应用.例5 如图，AB//CD ，,AB E CD F αα⋂=⋂=，求作BC 与平面α的交点.解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面 的交点.（公理3和公理2）[说明]推论3的简单应用.三、课堂小结1.公理1：确定直线在平面内；2.公理2：平面与平面相交于一直线；3.公理3和三个推论确定平面的条件；四、课后作业练习14.1（1）2 练习14.1（2）1，2，3五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明.αFBCDEA公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.。
平面的基本性质ppt8 人教课标版
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
平面的基本性质
公理1常用于判定点在面内： P∈l，l⊂P∈． 公理2常用于：
①找两平面的交线；
②判定点在线上： P∈，P∈，且∩＝l P∈l．
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
推论1证明二： 在直线l上任取两点A，B． ∵P∈l ∴A，B，P确定一个平面．
又A∈l，B∈l，A∈，B∈，
∴l⊂． 故直线l和点A确定一个平面．
苏教版高中数学教材必修2
第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
苏教版高中数学教材必修2
第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
练习：
1．两个平面重合的条件是（ D ）
A．有三个公共点
B．有无数多个公共点 C．有一条公共直线 D．有三个公共点，且三点不共线
苏教版高中数学教材必修2
第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
2．下列命题中正确的个数为（ C ） a．三点确定一个平面；b．过三点至少 有一个平面；c．四条线段顺次首尾连接，所 得图形必为平面图形；d．两两平行的三条直 线必在同一平面内；e．两两相交的三条直线 必在同一平面内；f．在空间，两组对边分别 平行的四边形是平行四边形；g．在空间，两 组对边分别相等的四边形是平行四边形； h．梯形为平面图形． A． 1 个 B．2个 C． 3 个 D． 4 个
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2 点、线、面之间的位置关系
平面的基本性质
公理1常用于判定点在面内： P∈l，l⊂P∈． 公理2常用于：
①找两平面的交线；
②判定点在线上： P∈，P∈，且∩＝l P∈l．
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
推论1证明二： 在直线l上任取两点A，B． ∵P∈l ∴A，B，P确定一个平面．
又A∈l，B∈l，A∈，B∈，
∴l⊂． 故直线l和点A确定一个平面．
苏教版高中数学教材必修2
第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
苏教版高中数学教材必修2
第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
练习：
1．两个平面重合的条件是（ D ）
A．有三个公共点
B．有无数多个公共点 C．有一条公共直线 D．有三个公共点，且三点不共线
苏教版高中数学教材必修2
第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
2．下列命题中正确的个数为（ C ） a．三点确定一个平面；b．过三点至少 有一个平面；c．四条线段顺次首尾连接，所 得图形必为平面图形；d．两两平行的三条直 线必在同一平面内；e．两两相交的三条直线 必在同一平面内；f．在空间，两组对边分别 平行的四边形是平行四边形；g．在空间，两 组对边分别相等的四边形是平行四边形； h．梯形为平面图形． A． 1 个 B．2个 C． 3 个 D． 4 个
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
《平面的基本性质》课件
平面解析几何在实际问题中的应用案例
物理学中的应用
在物理学中，许多概念和公式可以通过平面解析几何来描述和解 释，例如力学、电磁学和光学中的许多概念。
工程学中的应用
在工程学中，平面解析几何被广泛应用于机械设计、建筑设计、航 空航天等领域。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，平面解析几何是生成和处理二维图形的基础， 例如在游戏开发、动画制作和计算机视觉等领域的应用。
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平面与几何体的关系
总结词
平面是几何体的重要组成部分，它可以作为几何体的边界或 表面。
详细描述
在几何学中，许多常见的几何体都是由平面构成的。例如， 长方体的每个面都是一个平面，球体的表面也是一个平面。 此外，平面还可以用来定义其他几何体的形状和大小，例如 通过平面的交线来定义三维空间的形状。
CHAPTER 02
平面上的直线的方程
两点式方程
通过平面上两点的坐标，可以求出直 线的方程。
点斜式方程
已知直线上的一个点和直线的斜率， 可以求出直线的方程。
平面上的点与直线的位置关系
点在直线上
如果一个点的坐标满足直线的方程，则该点在直线上。
点在直线外
如果一个点的坐标不满足直线的方程，则该点在直线外。
CHAPTER 04
与线性代数的联系
线性代数提供了研究平面几何对象 （如向量、矩阵和线性变换）的工 具。
平面解析几何的发展历程与未来展望
发展历程
从早期的欧几里得几何到文艺复兴时 期的笛卡尔几何，再到现代的解析几 何，平面解析几何经历了漫长的发展 历程。
未来展望
随着数学和其他学科的发展，平面解 析几何将继续发展，与其他数学分支 的交叉将更加深入，新的研究方法和 视角也将不断涌现。
中职教育数学《平面及基本性质》课件
例、求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
方法：利用推论２
Ｂ
Ｃ
题目变型：两两相交且不过同一点的三条直线共面。
如图，在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，
Ｐ为棱ＢＢ１的中点，画出 由Ａ１，Ｃ１，Ｐ三点所确定
的平面 与长方体表面的交线．
分析：因为点Ｐ既在平面
证明：设直线a、b满足a平行于b ，由平行线的定义， 直线a、b在同一平面内，这就是说，过直线a、b有平 面α。
设点A为直线a上任一点，则点A在直线b外，点A 和直线b在过直线a、b的平面α内，由公理3的推论1， 过点A和直线b的平面只有一个。过直线a、b的平面只 有一个。
反馈练习
1、选择题:
D （１)两个平面的公共点的个数可能有......( )
图形语言：通常用平行四边形来表示平面．
D
C
A
B
平面α、平面AC 、平面ABCD
表示：1、通常用希腊字母 , , 等来表示，如：
平面 ，2、用表示平行四边形的两个相对顶点的字母 来表示，如：平面AC．3、用平面的顶点字母表示，如 平面ABCD
(1) 当平面是水平放置的时候，通常把平行 四边形的锐角画成45°，横边画成邻边长的2倍。
A
B
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α内： 记为：A∈α
点B不在平面α上： 记为：B∈ α α
B A
文字叙述
图形表示
符号表示
直线l在平 面α内
l α
直线l在平
l
l
面α外
α
α
直线l1 l2交于 点Ｐ
平面α 、 ß相 交于直线 l
P l1
l2
l
l l1 l2 P
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第2节点、线、面之间的位置关系
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法二： ∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
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D [A错误，不共线的三点可以确定一个平面． B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面． C错误，四边形不一定是平面图形． D正确，两条相交直线可以确定一个平________．
α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A [由题图可知平面 α 与平面 β 相交 于直线 m，且直线 n 在平面 α 内，且与直线 m 相交于点 A，故用符 号可表示为：α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A.]
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2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)理解平面的概念及空间图形画法要求． (2)文字语言、符号语言、图形语言的转换方法． (3)证明点、线共面的方法． (4)证明点共线、线共点的方法． 3．本节课的易错点是平面基本性质运用中忽略重要条件．
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当堂达标 固双基
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1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的个数( )
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的 交线，并说明理由．
[解] 设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1 ∩平面BDC1＝MN，
如图．理由如下： ∵点M∈平面ACD1， 点N 平面ACD1， 所以MN 平面ACD1.
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同理，MN 平面BDC1， ∴平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1 的交线．
平面及其基本性质(1)
公理１怎样用符号示？ 公理１怎样用符号示？
Ａ∈Ｌ Ｂ∈Ｌ Ａ∈α Ｂ∈α
直线 Ｌ ∩ α
公理2 如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他公共点，且所有这些公 共点的集合是一条过这个公共点的直线．
公理２用符号表示： 公理２用符号表示： Ｐ ∈α ∈β
直线ＡＢ 直线ＡＢ∩
α
公理２说明了空间中的什么问题？它可 公理２说明了空间中的什么问题？ 以帮助我们解决哪些几何问题？ 以帮助我们解决哪些几何问题？
直线AA 不在平面AC内 直线 1不在平面 内
· · P
M
Ｃ
Ｂ
AA1 ∩ 平面 平面AC
平面的基本性质
α
Ａ Ｂ
公理1 如果一条直线上的两点 两点在 公理1 如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直线上所有的 一个平面内，那么这条直线上所有的 都在这个平面内． 点都在这个平面内．
应 用：
将一把直尺置于桌面上， 将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光 就能检查桌面是否平整． 就能检查桌面是否平整．
例4
如图9－8，直线AB、BC、CA两两相交， 交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面．
三.平面的画法： 平面的画法： ）垂直放置的平面： （1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面： ）水平放置的平面：
ß a
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450 通常把表示平面的平行四边形的锐角画成
（3）在画图时，如果图形的一部分被另一 ）在画图时， 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也 可以不画。 可以不画。
A, B, C不共线 ⇒ A, B, C确定一平面
讨
论：
你是怎么样来理解公理3 你是怎么样来理解公理3中的 有且只有一个” “有且只有一个” 这句话的 ？ 有且只有一个” 含义： 答：“有且只有一个”的 含义： 是存在性和唯一性。 是存在性和唯一性。 注意： 注意： 条件中提到三点不共线的含义。
第六章 立体几何.ppt
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６．２空间两条直线
三、两条异面直线所成的角
直线ａ，ｂ是异面直线，经过空间任意一点Ｏ，分别引直线ａ ′∥ａ，ｂ′∥ｂ，因为这两条相交直线和另外两条相交直线分别平行 时，两组直线所成的锐角（或直角）相等，所以直线ａ′和ｂ′所成的 锐角（或直角）的大小，只由直线ａ、ｂ的相互位置来确定，与点Ｏ 的位置无关，我们把直线ａ′和ｂ′所成的锐角（或直角）叫做异面直 线和ｂ所成的角，如图６－１５（ａ）～（ｃ）所示。
两个平面平行的判定定理１：如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面，那么这两个平面平行． （三）二面角
修筑堤坝时，为了使它经济耐久，必须使水坝面和水平面成适当 角度；车刀刀口也要根据用途的不同，磨成不同的角度，这些都说明 有必要讨论两个平面相交所成的角的问题．
平面内的一条直线，把这个平面分面两部分，每一部分叫做半平 面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直 线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面．
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６．１平面和平面的基本性质
图为几何里的平面是无限延展的，所以平行四边形仅是它所表 示的平面的一部分．平面通常用一个希腊字母α，β，γ等来表示。有 时亦用表示平面的平行四边形的两个相对顶点字母表示，如图６－１ （ａ）所示的平面记作平面ＡＣ。 （二）平面的基本性质
公理１ 如果一条直线上的两个点在一平面内，那么这条直线上 所有的点都在这个平面内。如图６－２（ａ）所示。
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６．５多面体
（三）棱柱的种类 ①以侧棱的位置分 侧棱和底面斜交，叫做斜棱柱；侧棱和底面垂直，叫做直棱柱； 底面是正多边形的直棱柱，叫做正棱柱． ②以侧棱的条数分 一个棱柱有几条侧棱就是几棱柱，也可说底面是几边形就是几棱 柱．
６．２空间两条直线
三、两条异面直线所成的角
直线ａ，ｂ是异面直线，经过空间任意一点Ｏ，分别引直线ａ ′∥ａ，ｂ′∥ｂ，因为这两条相交直线和另外两条相交直线分别平行 时，两组直线所成的锐角（或直角）相等，所以直线ａ′和ｂ′所成的 锐角（或直角）的大小，只由直线ａ、ｂ的相互位置来确定，与点Ｏ 的位置无关，我们把直线ａ′和ｂ′所成的锐角（或直角）叫做异面直 线和ｂ所成的角，如图６－１５（ａ）～（ｃ）所示。
两个平面平行的判定定理１：如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面，那么这两个平面平行． （三）二面角
修筑堤坝时，为了使它经济耐久，必须使水坝面和水平面成适当 角度；车刀刀口也要根据用途的不同，磨成不同的角度，这些都说明 有必要讨论两个平面相交所成的角的问题．
平面内的一条直线，把这个平面分面两部分，每一部分叫做半平 面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直 线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面．
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６．１平面和平面的基本性质
图为几何里的平面是无限延展的，所以平行四边形仅是它所表 示的平面的一部分．平面通常用一个希腊字母α，β，γ等来表示。有 时亦用表示平面的平行四边形的两个相对顶点字母表示，如图６－１ （ａ）所示的平面记作平面ＡＣ。 （二）平面的基本性质
公理１ 如果一条直线上的两个点在一平面内，那么这条直线上 所有的点都在这个平面内。如图６－２（ａ）所示。
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６．５多面体
（三）棱柱的种类 ①以侧棱的位置分 侧棱和底面斜交，叫做斜棱柱；侧棱和底面垂直，叫做直棱柱； 底面是正多边形的直棱柱，叫做正棱柱． ②以侧棱的条数分 一个棱柱有几条侧棱就是几棱柱，也可说底面是几边形就是几棱 柱．
平面的基本性质.ppt
于是可得到 M∈面 ABD∩面 BCD＝BD. 即点 M 在直线 BD 上。
有关共面、共线、共点问题的证明方法 1．证明共面问题 证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个 平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素 确定若干个平面，再证明这些平面重合． 2．证明三点共线问题 证明空间三点共线问题，先考虑两个平面的交线，再证有关 的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再 证明其他点也在这条直线上． 3．证明三线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第 三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上的问题． 而 这条直线往往归结为平面与平面的交线．
A, B, C三点不共线
B A
C
有且只有一个平面，使A , B , C
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过这个点的公共直线。 符号语言：
P P
l且P l
四、跟踪训练 巩固新知
问题4：（教材 P38—3）一扇门，可以想象成平面 的一部分，通常用两个合页把它固定在门框的一 边上，当门不锁上的时候，可以自由转动，如果 门锁上，则门就固定在墙面上，这个事实说明平 面具有哪条基本性质?
五、小结归纳 布置作业
课堂小结：
1、平面的基本性质、推论及应用：
2、有关共面、共线、共点问题的证明方法
作业： 1、教材P38----A组、 B组 2、学案
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这 条直线上所有的点都在这个平面内. B A A 符号语言： 直线 AB B 基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：
4、（教材P37——思考与讨论变式）
高中数学平面的基本性质(1)课件
当我们从适当的角度和距离来观察 桌面或黑板面时，感到它们都很象什么 图形呢？ 平行四边形
Page 14
通常画平行四边形来表示平面.
四面体
三个平面相交 且交于一点
Page 15
在画平行四边形表示平面时，所表示的 平面如果是水平平面，通常把锐角画成45°， 横边画成邻边的两倍.
45°
如果是非水平平面，只要画成平行四边形. 铅直平面
l A
平面α与平面β相 交于AB
α APage 23β NhomakorabeaB
AB
【例1】已知命题： ①10个平面重叠起来，要比5个平面 重叠起来厚； ②有一个平面的长是50m，宽是20m； ③黑板面是平面； ④平面是绝对的平，没有大小、没有厚 度，可以无限延展的抽象的数学概念. ④ 其中正确的的命题是__________.
Page 16
如果几个平面画在一起，当一个 平面有一部分被另一个平面遮住时， 应把被遮部分的线段画成虚线或不画.
Page 17
两相交平面的画法：
β α α β
Page 18
平面与平面相交的画法
E M F
N
α∩β=AB 两个平面的交线必须画出,被别的平面遮 盖的部分线段,画成虚线或不画.
3. 平面的表示法
Page 7
1. 平面的特点
问题：请同学们观察下面的纸盒，它 是由几个面构成的？
Page 8
Page 9
Page 10
问题：还有哪些面留给我们平面的形象 呢？ 桌面、黑板、地面、海平面等. 问题：当我们想象海平面是一平如镜时，它有 什么特点？ 很大、很平. 以上例子给我们“平面”的直观，但平面是 一个不加定义的概念，具有“平”、“无限 延展”、“无厚薄”的特点.
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通常画平行四边形来表示平面.
四面体
三个平面相交 且交于一点
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在画平行四边形表示平面时，所表示的 平面如果是水平平面，通常把锐角画成45°， 横边画成邻边的两倍.
45°
如果是非水平平面，只要画成平行四边形. 铅直平面
l A
平面α与平面β相 交于AB
α APage 23β NhomakorabeaB
AB
【例1】已知命题： ①10个平面重叠起来，要比5个平面 重叠起来厚； ②有一个平面的长是50m，宽是20m； ③黑板面是平面； ④平面是绝对的平，没有大小、没有厚 度，可以无限延展的抽象的数学概念. ④ 其中正确的的命题是__________.
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如果几个平面画在一起，当一个 平面有一部分被另一个平面遮住时， 应把被遮部分的线段画成虚线或不画.
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两相交平面的画法：
β α α β
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平面与平面相交的画法
E M F
N
α∩β=AB 两个平面的交线必须画出,被别的平面遮 盖的部分线段,画成虚线或不画.
3. 平面的表示法
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1. 平面的特点
问题：请同学们观察下面的纸盒，它 是由几个面构成的？
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问题：还有哪些面留给我们平面的形象 呢？ 桌面、黑板、地面、海平面等. 问题：当我们想象海平面是一平如镜时，它有 什么特点？ 很大、很平. 以上例子给我们“平面”的直观，但平面是 一个不加定义的概念，具有“平”、“无限 延展”、“无厚薄”的特点.
平面的基本性质共点共线共面
“共点”、“共线”、 “共面” 问题 １、理论依据：
(1)公理1： 判断或证明直线是否在平面内 确定两个平面的交线， (2)公理2： 判定两平面相交 （“点共线”，“线共 点”） (3)公理3, 推论 1、2、3: 确定平面 证点、线共面的依据， 也是作辅助面的依据 ２、反证法
点共面、线共面、三点共线、三线共点 问题的一般方法．
例、两个平面两两相交，有三条交线，若其中两
条相交于一点，证明第三条交线也过这一点．
证法：先证两条交线交于一点，再证第三条直线也过改点
已知：如图1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c ＝p． 求证：p∈a． 证明：∵b∩c＝p， ∴p∈b． ∵β∩γ＝b， ∴p∈β． 同理，p∈α． 又∵α∩β=a， ∴个。
2个平面分空间有两种情况：
（1）两平面没有公共点时
（2）两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面 个平面把空间分成4，6，7或8个部分。
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
求证：直线AB和CD既不相交也不平行.
A
反证法
D B C
小结
１、要证“点共面” 、“线共面”可 先由部分点、直线确定一平面，在证 其余点、直线也在此平面内， 即纳入法 ２、反证法的应用的意识
1．空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下列 结论成立的是（ ） A．四点中必有三点共线． B．四点中有三点不共线． C．AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条 平行． D．直线AB与CD必相交．
例2、如图：在四面体ABCD中，E,F分别
是AB,BC的中点，G,H分别在CD,AD上,且 DG:DC=DH:DA=1:m(m>2) 求证：直线EH与FG,BD相交于一点
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练习:把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表 示出来。
a l α α a A β A B l β α A a
B
l
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
公理1.如果一条直线上有两个不同的点在同一平面 内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面
内（即直线在平面内）。
α
l
A
B
观察下列问题，你能得到什么结论？
天花板α
墙面γ
P
墙面β
β
α
P
l
公理2.如果两个不同的平面有一个公共点，那么 这两个平面相交于过这一点的一条直线。
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
B
A
C
α
A
C
公理3.经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.
公理1:直线L上两点在平面 α 内
直线 L在 平面α内
公理2:两平面相交,有且只有一条公共直线 公理3:不共面三点确定唯一平面
C1
B1Байду номын сангаасD
C
C
A
A
B
例3. 经过一点可作( 无数 经过两点可作( 无数
)个平面; )个平面;
经过三点可作( 一个或无数 )个平面.
例4.已知ΔABC在平面α外，AB、AC、BC的延长线分 别与平面α交于点M、N、P三点，求证：M、N、
P三点共线。
B
A C P
α
M
N
4.平面图形与空间图形的概念
公理1：判定直线在平面内的依据，同时说明了 平面的无限延展性（直线是无限延展的）。 公理2：说明两个不同平面相交于唯一一条交线， 给出了空间中三点或多点共线的证法。 公理3：给出了在空间确定一个平面的依据 与方法
（×） （×） （×） （ √） （×）
D1
O
A1
C1
A1
D1 F B1 D E B
如果一个图形所有点都在同一个平面内,则 称这个图形为平面图形,否则称为空间图形.
例5.求证:三角形是平面图形.
B α
A
C
课 外 作 业
第 八 页 至 第 九 页
:
3，4，5
a l α α a A β A B l β α A a
B
l
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
公理1.如果一条直线上有两个不同的点在同一平面 内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面
内（即直线在平面内）。
α
l
A
B
观察下列问题，你能得到什么结论？
天花板α
墙面γ
P
墙面β
β
α
P
l
公理2.如果两个不同的平面有一个公共点，那么 这两个平面相交于过这一点的一条直线。
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
B
A
C
α
A
C
公理3.经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.
公理1:直线L上两点在平面 α 内
直线 L在 平面α内
公理2:两平面相交,有且只有一条公共直线 公理3:不共面三点确定唯一平面
C1
B1Байду номын сангаасD
C
C
A
A
B
例3. 经过一点可作( 无数 经过两点可作( 无数
)个平面; )个平面;
经过三点可作( 一个或无数 )个平面.
例4.已知ΔABC在平面α外，AB、AC、BC的延长线分 别与平面α交于点M、N、P三点，求证：M、N、
P三点共线。
B
A C P
α
M
N
4.平面图形与空间图形的概念
公理1：判定直线在平面内的依据，同时说明了 平面的无限延展性（直线是无限延展的）。 公理2：说明两个不同平面相交于唯一一条交线， 给出了空间中三点或多点共线的证法。 公理3：给出了在空间确定一个平面的依据 与方法
（×） （×） （×） （ √） （×）
D1
O
A1
C1
A1
D1 F B1 D E B
如果一个图形所有点都在同一个平面内,则 称这个图形为平面图形,否则称为空间图形.
例5.求证:三角形是平面图形.
B α
A
C
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