测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
F F ( L , X x) F ( L, X 0 ) A Bx
2018/11/9 17
~ 条件平差法： F (L ) F ( L) rA O r ,1 r ,1 , n n ,1 r ,1
sin L2 S 2 S1 sin L1
2018/11/9
5
第二节 函数模型
在日常生活和科学技术领域中，时常见到许多模型， 一般可将其分为两大类，一类是将实物尺寸放大或缩小而 得的模型，称为实物模型；另一类是用文字、符号、图表 或者对研究的对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它 的某种特征或内在联系的模型。前者称为模拟模型，后者 称为数学模型。总称为抽象模型。 在测量工程中，涉及的是通过观测量确定某些几何量或 物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学 模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同， 它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以 平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研 究任何平差方法时必须同时予以考虑。
2018/11/9
差法。
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10
由图知
方程的个数等于观测值的个数。 一般而言，如果某平差问题有n个观测值，t个必要观测 ~ 值，选择t个独立量作为平差参数 X ，则每个观测量必定可 t ,1 以表达成这个t个参数的函数，即有 ~ ~ L F(X ) n ,1
如果这种表达式是线性的，一般为 ~ ~ L B X d n ,1 n ,t t ,1 n ,1 例如
0
F L
~ L, X 0
F1 L2 F2 L2 Fn L2
~ ~ ~
F X
~ L, X 0
x
F1 X2 F2 X2 Fn X2
第四章 平差数学模型与最小二乘平差原理 (1)
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
三、最小二乘原理 例：作匀速运动的质点在时刻 下： 在不同时刻
的位置是
y ，函数如
y
测定质点位置，得一组观测值
y1 , y2 .... yn
1 , 2 .... n
由运动方程可得： v y i i i 或 用图解表示如图： V B X Y
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要观测数：确定某个模型所必需的最少的 观测值的个数，称为必要观测数。 必要观测数用符号t表示。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
什么是测量平差？
观测值中包含有“误差”
对某“量”进行多次观测，多次观测结果并不相等 问：如果对该“量”只作一次观测，该观测值是否 不含误差？ 此时观测值所含误差不能被发现，结果是不可靠 的。为了保证观测结果的正确性必须对该“量” 进行两次或两次以上的观测，使得误差通过观测 值之间的差异表现出来，平差的一个主要任务就 是“消除差异”，求出被观测量的最可靠结果。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
平差问题存在的条件
总观测数用n表示： 当n<t时： 模型不能确定 当n=t时： 模型能唯一确定 当n>t时 可以确定多个模型 平差问题存在的条件是：n>t
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t 个元素表示，即形成r个条件。
必要元素数的概念
确定某个模型所必需的最少的元素个数， 称为必要元素数。 记必要元素数的符号为t。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要元素数的性质
平差数学模型与最小二乘原理
平差数学模型与最小二乘原理
§ 1 测量平差概述 § 2 测量平差的数学模型 § 3 函数模型的线性化 § 4 最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程， 需要建立水准网，为了确定待定点的平面 坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、 测边网、边角网），我们常把这些网称为 几何模型。每种几何模型都包含有不同的 几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边 的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等 元素。这些元素都被称为几何量。
A L~
rn n1
A0
r 1
0 r 1
将 L~ L 代入，并令 W (AL A0 )
则
A W 0
上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础
的平差计算称为条件平差法。
2. 附有参数的条件平差法
在平差问题中，设观测值个数为n，必要 观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方 程，现又增设了u个独立量作为未知参数， 且0 <u<t,每增加一个参数应增加一个条 件方程，因此，共需列出r+u个条件方程， 以含有参数的条件方程为平差函数模型 的平差方法，称为附有参数的条件平差 法。
4. 附有限制条件的间接平差
其函数模型的一般形式为
L~ F (X~)
n1
( X~) 0
S 1
线性形式的函数模型为
测量平差概述
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据 一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定 另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接 测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充 分说明要确定一个几何模型，并不需பைடு நூலகம்知道其 中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就 可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描 述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间 的关系式称为函数模型。
第四章 平差数学模型与最小二乘原理(4.1-4.3)
天津城市建设学院土木工程系
§4.1 测量平差概述
一、几何模型的必要观测、多余观测 3 ．必要观测 γ ♣确定平面三角形的形状 观测三个内角的任意两个即可。 α ♣确定平面三角形的形状与大小 必须有选择地观测三个元 素，其中至少有一条边。如，任 意2个角度+1个边、2个边+1个角 度、三个边。
h2 − h3 − h4 = w ≠ 0
h6 + h4 − h5 = w ≠ 0
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
天津城市建设学院土木工程系
§4.1 测量平差概述
二、测量平差 1. 条件方程 一个几何模型若进行多余观测，则每增加一 个多余观测，就必然增加且只增加一个确定的函 数关系式，有多少个多余观测，就会增加多少个 这样的关系式。这种函数关系式，在测量平差中 称为条件方程。 条件方程 2. 闭合差：以观测值代入条件方程，由于存 闭合差 在观测误差，条件式将不能满足。测量平差中将 观测值代入后所得值称为闭合差。
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
天津城市建设学院土木工程系
二、测量平差
必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。 可见若有多余观测必然可用这t 个元素表示，即形 成r 个条件。 n=3 t =2 r =n−t =1
γ
~ ~ ~ α + β + γ ≠ 180 α + β + γ = 180 ο 实际上：
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
天津城市建设学院土木工程系
3．必要观测 （1）必要观测个数t 只与几何模型有关，与 实际观测量无关。 （2）必要元素不仅要考虑其个数，并且还 要考虑类型。 （3）一个几何模型的必要观测元素之间是 不存在任何确定的函数关系的，即其中的任何一 函数关系 个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素 的函数。这些彼此不存在函数关系的量称为函数 独立量，简称独立量。
测量平差基础参考资料
第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。
二、如何学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。
只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。
2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。
3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。
第一章绪论本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。
第二章误差散布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。
重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。
难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。
要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。
第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。
重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。
重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。
难点：函数模型的线性化，随机模型。
要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；关于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。
第四章测量平差-最小二乘
为常数向量
L~ L
代入上式，并令
W
AL A0
则得
A W 0
rn n1 r1 r1
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
A L~
rn n1
A0
r1
0
r1
或
A W 0
rn n1 r1 r1
为条件平差的函数模型。
条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程的个数。
条件平差的缺点：有时待求量并非观测量，因而应用不便
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
4. 附有条件的间接平差的函数模型
L~ F X~
非线性形式
n1
u1
X~ 0
s1 u1
线性形式 L~ B X~ d 或 l B X~
n1 nu u1 n1
n1 n1 nu u1
C X~ Ws 0
su u1 s1 s1
l Ld
习题：4.2.06 采用何种平差方法要根据实际情况灵活选择
A L~
cn n1
B
cu
X~
u1
A0
c1
0
c1
或
A B X~ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
式中 W AL A0
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
附有参数的条件平差，其特点是观测量 L~ 和参数 X~ 同时作为
模型中的未知量参与平差，是一种间接平差和条件平差的混合 模型。 此平差问题，由于增选了u个参数，条件方程总数由r个增加到 c=r+u个，平差自由度即多余观测数不变，仍为r（r=c-u）。
P
1
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
条件平差 间接平差
误差理论与测量平差四章
引用参数 X=H1
X%
h%1 h%4 h%5 0
h%1 h%2 h%6 0
h%3 h%4 h%6 0
h%1
1 0
1
1
0 0
1 0
X% HA
011 000 110 000
0
0
1
1
0
hh%%12
1
2
x
2 m in
1
nE(
1
2
)
2
n
得证
二、最小二乘原理 1.最小二乘法
例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：
yˆ ˆ ˆ
实际上： y v ˆ ˆ
为了求ˆ 与
ˆ, 在
1， 2，L
测定其位置，
n
得y1, y2 L yn ,则：
vi ˆ ˆ yi , (i 1, 2L n)
W AL A0
二、附有参数的条件平差函数模型 例 引用参数 X=SAB 参数的个数 U=1 n=5, t=3
r=n-t=5-3=2 条件方程个数：
C=r+U=3 可以列出三个条件方程：
S%12 S%22 X%2 2S%2 X%cos L%1 0 S%12 S%22 X%2 2S%1X%cos L%2 0 S%12 S%22 X%2 2S%1 S%2 X%cos L%3 0
hh%%34
hh%%56
0
0
0 1
X%
0
0
0
H
A
测绘技术中的平差计算方法详解
测绘技术中的平差计算方法详解测绘技术是一个复杂而多样化的领域，涉及到测量和计算等多个方面。
其中，平差计算是测绘技术中的一个重要环节，用于处理测量数据的误差，并确定准确的测量结果。
本文将详细介绍测绘技术中的平差计算方法，包括主要的几种方法以及其原理和应用。
一、最小二乘法平差最小二乘法平差是测绘技术中常用的一种平差方法，其原理是通过最小化测量数据的残差平方和，找到最优的平差结果。
具体而言，最小二乘法平差可以分为两个步骤，即观测方程的建立和最小二乘平差计算。
观测方程的建立是最小二乘法平差的首要步骤。
观测方程是通过观测数据和控制点坐标之间的关系建立的，通常采用线性模型，分为多余观测方程和未知数观测方程。
多余观测方程用于约束未知数之间的关系，而未知数观测方程用于计算未知数的值。
最小二乘平差计算是基于观测方程的误差理论和最小二乘法原理进行的。
具体而言，最小二乘平差计算首先确定观测方程的权阵，即观测误差的方差-协方差矩阵的逆阵。
然后，通过迭代计算的方式，不断更新未知数的值，直到满足平差条件为止。
最终，得到的平差结果可以用于控制点坐标的计算和精度评定等。
最小二乘法平差在测绘技术中有广泛的应用。
例如，地理信息系统（GIS）中的空间数据处理和地图制图，常常需要进行最小二乘法平差来获得准确的空间坐标。
此外，最小二乘法平差还在大地测量、工程测量和海洋测绘等领域中得到广泛的应用。
二、权值平差除了最小二乘法平差外，权值平差也是测绘技术中常用的一种平差方法。
它通过给予不同观测量不同的权值，来提高平差结果的准确性。
具体而言，权值平差可以分为权值设计和平差计算两个步骤。
权值设计是权值平差的首要步骤。
权值设计是通过评定每个观测量的精度，为观测方程赋予权值。
通常情况下，权值可以根据观测量的可靠性、测量仪器的准确性和操作员的经验等因素来确定。
平差计算是基于观测方程的权值进行的。
权值平差首先通过测量原始数据的残差和权阵，确定观测方程的权阵。
平差数学模型与最小二乘原理
而无法确定其大小,因此,必要元素不仅要考虑其个数, 而无法确定其大小,因此,必要元素不仅要考虑其个数, 而且要考虑以它的类型.由此可知, 而且要考虑以它的类型.由此可知,当某个几何模型给定 之后,能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型, 之后,能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型, 只与几何模型有关,与实际观测量无关. t只与几何模型有关,与实际观测量无关. 对于任一几何模型,它的t 对于任一几何模型,它的t个必要元素之间必要不存在函 数关系,亦即其只任一元素不能表达成其余( 数关系,亦即其只任一元素不能表达成其余(t-1)个元素 ~ ~ 的函数.例如,对于( 中的情况, 的函数.例如,对于(1)中的情况,若以L和 L作为必要 2 ~ ~ 1 元素, 元素,则 L1 L2间无函数关系;又如在(2)情况中, 与 间无函数关系;又如在( 情况中, ~ ~ ~ ~ ~ ~ 选 L , , ,则 L+ L L =180 ,三者之间存在函数关系, + 三者之间存在函数关系, L2 L3 3 1 1 2 就不能说t=3 实际必要元素只选了两个,而漏选了一个. t=3, 就不能说t=3,实际必要元素只选了两个,而漏选了一个. 因此必要元素t个量为函数独立量,简称独立量. 因此必要元素t个量为函数独立量,简称独立量. 在一个几何模型中,除了t个独立量以外, 在一个几何模型中,除了t个独立量以外,若再增加一个 则必然产生一个相应的函数关系式.仍以( 量,则必然产生一个相应的函数关系式.仍以(2)情况 ~~ ~ ~ ~ ~ 中,必要量选为 L1 L2 S1 若增加一个量L3,则存在 L+ L2 ,,, 1 ~=180 ,若再增加一个量 ~,则有 + L3 S2 ~ ~ ~ sin L2 S2 = S1 ~ 返回目录 sin L1
测绘技术中的最小二乘平差原理解析
测绘技术中的最小二乘平差原理解析测绘技术作为一门重要的测量科学，广泛应用于土地规划、建筑设计、地质勘探等领域。
而在测绘技术中，最小二乘平差原理是一种重要的数据处理方法。
本文将对最小二乘平差原理进行解析，揭示其在测绘技术中的应用和意义。
1. 最小二乘平差原理的概念和基本思想最小二乘平差原理是指通过对多组观测数据进行加权求和，使得加权残差的平方和最小。
最小二乘平差原理的基本思想是利用观测数据建立数学模型，通过最小化残差来获得最优解。
最小二乘平差原理的核心是建立目标函数，即将观测值与预测值之间的差异最小化。
通过构建目标函数，可以建立数学模型，得到一组准确的测量结果。
最小二乘平差原理在测绘技术中具有重要的应用价值。
2. 最小二乘平差原理在测绘技术中的应用最小二乘平差原理在测绘技术中应用广泛，主要包括以下几个方面：（1）测量数据处理最小二乘平差原理在测量数据处理中起到关键作用。
通过对一系列测量数据进行加权平差，可以得到更加准确的测量结果。
最小二乘平差原理可以根据观测值的精度进行加权处理，避免了测量误差的累积。
（2）测量误差分析最小二乘平差原理可用于对测量误差进行分析。
通过对观测数据进行平差处理，可以得到残差，进而分析测量数据中的误差来源。
这对于测绘工作者改进测量方法、提高测量精度具有重要意义。
（3）控制点协调计算最小二乘平差原理被广泛应用于控制点协调计算。
在测绘工程中，控制点的坐标是基础，直接关系到整个测绘工程的质量。
通过最小二乘平差原理进行控制点协调计算，可以提高测量结果的精度，保证工程的准确性。
（4）测图数据处理最小二乘平差原理在测图数据处理中也有着重要应用。
在进行地形图绘制和地图生成过程中，需要对大量观测数据进行处理和分析。
通过最小二乘平差原理，可以实现地图数据精度的提高，并且能够有效地解决地图表达的问题。
3. 最小二乘平差原理的意义和展望最小二乘平差原理在测绘技术中有着重要的意义。
它不仅可以提高测量数据的准确性，还可以对测量误差进行分析，为工程建设提供可靠的数据支持。
应用于测量平差模型解算的最小二乘法
应用于测量平差模型解算的最小二乘法摘要：任何观测数据总是不可避免地带有误差，为了最大程度地减小观测数据的误差以降低其对成果质量的影响，人们提出了测量平差这一理论方法。
在生产实践过程中，如何从带有误差的观测值中找到未知量的最佳估值成为了迫切需要解决的问题。
在十八世纪末，高斯首先提出了解决这个问题的方法——最小二乘法。
本文将主要介绍最小二乘法在解算平差模型中的应用。
关键字：测量平差模型结算最小二乘法1.测量平差相关内容在测量中，测量观测数据产生误差的原因可概括为测量仪器、观测者、外界条件三个方面。
影响测量结果的观测误差可分为偶然误差、系统误差和粗差三类。
对于带有误差的观测值我们运用测量平差（测量平差即对测量数据建立数学模型求解测量数据的最佳估值并对结果进行精度评定的理论与方法）进行数学模型的建立。
其中，带有偶然误差的观测数据占大多数，本文主要对带有偶然误差的观测值的平差处理以及数学模型的解算进行讨论。
平差的数学模型包含函数模型和随机模型两部分，函数模型包含四种基本平差方法即条件平差、附有参数的条件平差、间接平差以及附有限制条件的间接平差。
本文将以条件平差（以条件方程为函数模型的平差方法）为例介绍最小二乘法。
首先，条件平差的前提是有多余观测量，多余观测量将决定条件方程式的个数。
在测量工程中，想要及时发现粗差和错误，总观测个数 r必须要大于必要观测数t。
当r>t（r>0）时，则可以根据几何模型列出条件方程，得到函数模型未知量的最优估计值。
2.最小二乘法在条件平差中的应用假如有一如图1所示的水准网，A、B为已知点（视为无误差），HA=13.14m，HB=11.12m，为确定C点及 D点的高程，共观测了四个高差，高差观测值及相应水准路线的距离为：通过上面例题可看出条件平差就是在满足r个条件方程的前提下，求改正数V值。
由于观测值的真值未知，因此真误差是未知量，要根据条件方程确定真误差的值，显然其结果不唯一。
测量平差最小二乘法
测量平差最小二乘法
测量平差最小二乘法是一种在测量数据处理中广泛应用的方法，其基本思想是通过最小化误差平方和来估计未知参数。
在实际测量中，由于各种因素的影响，测量数据往往存在一定的误差。
为了得到更准确的结果，我们需要对这些数据进行处理，而最小二乘法就是一种非常有效的处理方法。
最小二乘法的核心思想是最小化误差平方和，即使得所有测量值与估计值之差的平方和最小。
这种方法可以应用于各种类型的数据处理，包括线性回归、曲线拟合、滤波等。
在线性回归中，最小二乘法可以用来估计回归系数，从而得到一条最佳拟合直线。
在曲线拟合中，最小二乘法可以用来估计曲线的参数，从而得到一条最佳拟合曲线。
测量平差最小二乘法的优点在于其简单性和通用性。
这种方法不需要对误差分布做出任何假设，只需要最小化误差平方和即可得到估计结果。
此外，最小二乘法还可以通过各种优化算法来实现，如梯度下降法、牛顿法等，从而提高了计算效率。
然而，测量平差最小二乘法也存在一些局限性。
首先，它对异常值非常敏感，因为异常值会对误差平方和产生很大的影响。
其次，当测量数据的误差分布不满足正态分布假设时，最小二乘法的估计结果可能会产生偏差。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的数据处理方法。
总之，测量平差最小二乘法是一种广泛应用的测量数据处理方法，其优点在于简单性和通用性。
然而，在实际应用中，我们需要注意其局限性，并根据具体情况选择合适的数据处理方法。
平差数学模型与最小二乘原理
t0=3
一个点的坐标、一边方位角
边角三角 网
点数 ×2
t0=3
一个点的坐标、一边方位角
据起算数据情况，把控制网分为：
自由控制网：不足或仅有必要的起算数据 附和控制网：有多余的起算数据
§4-1 测量平差概述
四、计算t和r的例题
1．水准网
2.பைடு நூலகம்角网
B
B 2 C 3 4 5
3 4 C6 8 7
2
1 A
函数模型是指模型(几何、物理)中量(观测量、未知参数)的 真值(或期望值)之间的函数关系式。
函数关系式有线性非线性之分； 线性函数模型与非线性函数模型(线性化后处理)。
随机模型是指描述观测值的先验精度及其相关性的特
征。常用观测值的方差阵或协因数阵或权阵表示。
§4-3 函数模型的线性化
设有函数
设
c1
0 L L L 1 8 0 0 1 2 3 L 0 1 X
X
一般的：
1 2 3 W 0 1 X W c
一、函数模型
3.附有参数的条件平差的函数模型
在具体平差问题中,观测次数n，必要观测次数t，则 多余观测次数r,再增加u个独立参数,且 0 ＜ u ＜ t ， 则总共有r +u = c个条件方程，一般形式是：
(a)
8
5
7
6 D
1 A
D
9
(b)
五、多余观测与平差的关系
多余观测个数：r =n - t 当 n＜ t 时，不能确定平差问题的模型
n = t 时，能确定模型，但无检核、有无粗差不知
n＞ t 时，有多余观测，因观测误差使观测值间产 生矛盾，使模型出现多解。 通过平差处理，让观测值的平差值之间满足相应 的条件关系，消除矛盾，获取模型的唯一最优解。
第四章平差数学模型与最小二乘法
1 1 − 1 0 0 0 A = 0 1 0 0 1 − 1 3,6 0 0 − 1 − 1 0 1
3,6
则有
图4-2
~ A L =0
6 ,1
（4-2-1） ）
又如在图4-1∆ABC中，观测了三个内角，多余观测r=n－t=3－2=1，存 中 观测了三个内角，多余观测 又如在图 － － ， ~ ~ ~ 在条件方程为 L1 + L2 + L3 − 180 = 0 令
~ ~ L2 = L2 + ∆2 , L3 = L3 + ∆3 ~ S2 + ∆S2 = S2
因r=n-t=5-3=2，可组成2个条件方程为
L1 + ∆1 + L2 + ∆2 + L3 + ∆3 = 180°
S2 + ∆S2 = (S1 + ∆S1 ) sin( L2 + ∆2 ) sin( L1 + ∆1 )
第四章
平差数学模型与最小二乘原理
本章介绍测量平差的基本概念， 本章介绍测量平差的基本概念，简要地给出基本平差方法 的数学模型，为以后各章系统学习各种平差理论打好基础。 的数学模型，为以后各章系统学习各种平差理论打好基础。最 后介绍最小二乘原理，这是测量平差法所遵循的准则。 后介绍最小二乘原理，这是测量平差法所遵循的准则。
(3)在图4 的水准网中，要确定A (3)在图4-2的水准网中，要确定A、B、C、D四点之间的相对高差，只要 在图 四点之间的相对高差， 知道3 高差元素即可 即可， 知道3个高差元素即可，如 h1、h2、h6 或h4、h5、h6
~
~
~
~
~
~
等。
平差第四章
第4章平差数学模型与最小二乘原理测量———确定模型确定模型的必要元素(量、数据），其个数为t m个。
•必要元素的个数T只取决于模型本身•所有的必要元素都是彼此函数独立的量•模型中所有的量都是必要元素的函数•一个模型中函数独立的量最多只有T个•模型中作为必要元素的“量”不是唯一的必要元素分必要观测量(t 个）和必要起算数据(t o 个）。
一个测量问题中的总观测个数(n 个），则多余观测个数(r 个）相应的有总起算数据个数和多余起算数据个数。
必要观测数据个数：m o t t t =--多余起算数据个数控制网必要元素个数必要起算数据个数与类型水准网点数t=1一个点的高程测角三角网点数×2t=4一个点的坐标、一边边长和方位角⇦⇨两个已知点测边三角网点数×2t=3一个点的坐标、一边方位角边角三角网点数×2t=3一个点的坐标、一边方位角r=n-t当n＜t时，不能确定平差问题的模型n =t时，能确定模型，但无检核、有无粗差不知n＞t时，有多余观测，因观测误差使观测值间产生矛盾，使模型出现多解。
n＞t时，通过平差处理，让观测值的平差值之间满足相应的条件关系，消除矛盾，获取模型的唯一最优解。
4-2函数模型由于只能求出真误差的估值，即真值的估值，函数模型应为：ˆ0AL A +=平差值条件：0()AV W W AL A +==+改正数条件选择t 个函数独立的参数：，这些参数刚好能够确定模型。
则函数模型为：12(,,,)t X X X1()n L F X ⨯=线性情况下111n n t t n L B X d⨯⨯⨯⨯=+ 误差方程：111111()n t t n n n n n V B X l l d L ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=- o o1111()n t n t n n V B x ll BX d L L L ⨯⨯⨯⨯⨯=+=+-=-附有参数的条件平差法模型在具体平差问题中，观测次数n ，必要观测次数t ，则多余观测次数r ，再增加u 个独立参数，且0 ＜u ＜t ，则总共有r +u = c 个条件方程，一般形式是：线性情况下01111c n n c u u c c A L B X A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++=改正数条件方程：01111()c n c u n u c c A V B x W W AL BX A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++==++1(,)0c F L X ⨯=具有约束条件的间接平差法的函数模型选择u 个参数：，u＞t ，且包含t 个函数独立的参数。
误差理论与测量平差基础4-6章
D =σ 02 Q
n ,n
4、估计准则：
T
误差理论与测量平差基础4-6章
第五章
条件平差
条件极值法要点：
当具有约束条件时，求函数的优化解，则应在下述函数达到 优化时寻求其解。
Φ = ϕ + λ1ϕ1 + λ2ϕ 2 + + λmϕ m
T
求偏导：
dΦ =2V TP 2KT A =0 dV
二、平差的数学模型
为了研究并描述这样或那样的客观实际，人们总是通 过抽象和概括，从理论上来定义和客观实际本质相适应 的模型。
1、函数模型 函数模型是描述观测量与待求量间的数学关系。 2、随机模型
随机模型描绘的是观测值的统计性质，是通过 观测值的数学期望和协方差阵（协因数阵）来 表示，借以说明观测值是否受系统误差的影 响、观测值的精度季它们是否相关等。
0
0 0
0 0 1 0 2.3
V =P 1A TK =00 1 0 0 00 0 2.5 0
0 0
0 105 2.7 =
0 1 0 111 1.1
观测值的平差值：
00 0 00 0
0 0
2.5 0
6
0 11 2.5 01
0 1
1100..29
T
检核：
Lˆ1 +Lˆ4 Lˆ6 =0.0230 +0.0769 0.0999 =0 Lˆ2 +Lˆ5 Lˆ6 =1.1163 +0.0999 1.2162 =0 Lˆ6 Lˆ3 Lˆ4 =1.2162 1.1393 0.0769 =0
误差理论与测量平差基础4-6章
第五章
误差平差：平差数学模型与最小二乘原理
思考：以下是否可行？为什么？
h2 h4 h5 0 h h h 0
1 3 5
H A h3 h4 H B 0
h1 h2 h3 h4 0
二、间接平差的函数模型
1、间接平差的函数模型 观测值与待定参数的数学期望之间的函数关系式。 即：先选定t个独立参数，将每一个观测量表达成所选参数的函 数，这种函数关系式称为“观测方程”。 2、间接平差 以上述的观测方程为平差的函数模型，称为间接平差（又称 为参数平差）。
由于多余观测，将会使观测量真值之间产生一个几何或者物 理的约束方程，即函数模型； 而观测值不可避免地存在偶然误差，使得约束条件因实际存 在闭合差而并不满足； 如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到 消除闭合差的目的，这就是测量平差的主要任务！
那么，一个测量平差问题又是怎样来达到消除闭合差的目的呢？ 首先要由观测值和未知量间组成函数模型； 然后采用一定的平差原则对未知量进行估计。
则为：AL A0 0
则为：L BX d
三.附有参数的条件平差的函数模型
1、先仍然按条件平差列r个条件方程；
L1 L2 L3 1800 0
2、然后再增选一个参数，则就会增加 一个条件方程，即
L1 X 0
3、则上式可写成：
X
1 1 1 0 180 A ，B ，A0 1 0 0 1 0
建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法： 1、条件平差； 2、间接平差； 3、附有参数的条件平差； 4、附有限制条件的间接平差。
一、条件平差的函数模型
1、条件平差的函数模型 观测值的数学期望之间的函数关系式,又称为条件方程。 2、条件平差 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。
-平差数学模型与最小二乘原理
必要元素数 t = 3
BM
h2 h6
h1
P2
h3
h5
P3
P1
若仅观测了 h1 , h2 ，
则无法求得P3点的高程。
h4
若仅观测了 h1 , h4 ，
则无法求得P2点的高程。
举例： 如图所示三角网： 必要元素数 t = 5
A
1
2
s4
34
D
s1
s5 s6
s3
B
8 7
s2
6 5
C
若仅观测了 ：
1,2,5,6
5
P5
必要元素数 t = 10
A
必要元素不仅要考虑其个数，
而且要考虑以它的类型。
§4-1 测量平差概述
二、观测模型（几何模型）的基本性质
1、必要元素 必要元素的个数 t ，又称为必须观测数，只与几 何模型有关，与实际观测量无关，一旦给定几何 模型，则其必要元素的个数 t 是唯一的，其类型 不唯一。
§4-1 测量平差概述
二、观测模型（几何模型）的基本性质
2、多余观测
在测量工程中，为使一个几何模型有定解，就 必须进行观测，以获取部分几何元素的量值。
设在给定的几何模型中，总共观测了n个元素的 量值，若观测个数少于必要元素的个数，即 n<t，显然无法定解该模型，即出现了数据不 足的情况。
例1： 如图所示水准网中：
§4-1 测量平差概述
几何观测模型举例 导线 (符合、闭合、导线网)
§4-1 测量平差概述
二、观测模型（几何模型）的基本性质
1、必要元素 为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型 中所有元素（几何量）的量值，只需知道其中 部分元素的量值，其它元素可以通过它们的函 数关系来确定。 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素， 简称必要元素；必要元素的个数用t 来表示。
测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理
二、必要起算数据
确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据： 起算数据 ①水准网（三角高程网）： ②测角网： ③测边网和边角网：
确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据： 起算数据 水准网（三角高程网）： ：一个已知点高程
确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据： 起算数据 ②测角网：
几何观测量：方向、角度、高差、边长 物理模型：与时间、速度、加速度等物理量相关的模型； 物理观测量：时间、速度、加速度
测量平差函数模型
一、条件平差的函数模型 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。
出发点：观测量之间的函数关系式——条件方程
在具体测量问题中，实际观测次数 n，必要观测次数t ，则多 余观测次数r ，那么可建立(n-t)个条件方程，即：
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
同学们，我们学习了误差理论的基本概念。那么 如何处理观测数据、在处理数据中遵循何种原则？ 本次课程我们将简要地叙述这一问题。
Chapter 4 Mathematical Model of Adjustment and Principle of Least Squares §4.1 测量平差概述 §4.2 函数模型 §4.3 函数模型线性化
D Q P
2 0
2 1 0
二、数学模型 1、条件平差
rn
AV W 0
r 1
W(AL A 0)
r 1 r nn 1 r 1
2、间接平差（Gauss-Markoff模型）
ˆ l V Bx
n 1
1 n t t 1 n 1 n
l ( BX d L )
§4.4 测量平差的数学模型
§4.5 参数估计与最小二乘原理
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五、几何模型 1、确定几何模型的必要元素（必要观测量） （1）几何模型的形状2个 （2）形状、大小3个 （3）形状、大小、位置6个
2、必要元素的选取与性质 （1）能唯一确定该模型 （2）最少需要 （3）元素间不存在任何确定的函数关系
测边网和边角网：
一个已知点坐标，一个相邻已知方位。
三角形
t 2*3 4 2 r 3 2 1
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
同学们，我们学习了误差理论的基本概念。那么 如何处理观测数据、在处理数据中遵循何种原则？ 本次课程我们将简要地叙述这一问题。
Chapter 4 Mathematical Model of Adjustment and Principle of Least Squares §4.1 测量平差概述 §4.2 函数模型 §4.3 函数模型线性化
§4.4 测量平差的数学模型
§4.5 参数估计与最小二乘原理
§4.1 测量平差概述 General
一、测量控制网简介 1.高程控制网(水准网或三角高程网) 包括闭合水准网和符合水准网、三角高程网 网中元素：已知高程点，未知高程点和高差观测值 距 离 测站数 2. 平面控制网 1）三角网：包括测角三角网、测边三角网和边角同测 三角网。 （1）测角三角网： 包括独立三角网和符合三角网。 网中元素：已知点、未知、角度观测值
~ ~ L F(X ) n1 u1 ~ X ( u1) 0 s1
n t r u t s, u t
若平差的函数是非线性的，平差之前就要进行线性化。 线性化的方法是应用台劳级数展开，保留一次项 对于函数
~ ~ F F(L, X )
c1 n1 u1
（2）测边三角网： 包括独立测边网和符合测边网 网中元素：已知点，未知点和观测边长
（3）边角三角网： 包括独立边角网和符合边角网。 网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长
2）导线网：包括独立导线网和符合导线网。 网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。 3）三维GPS控制网 网中元素：已知点，未知点，基线向量。
cu u1 c1
c1
四、 附有限制条件的间接平差法
n ,1
L F(X )
u ,1 ~
~
( X ) 0
s ,1 u ,1
线性方程情况下
% % L BX d % Wx 0 CX
§4.3 函数模型线性化 Linearization of Functional Model
n1 n1
3、附有参数的条件平差
c n n1
ˆ A V B x W 0
cu u 1 c1
c1
W AL BX 0 A0
4、 附有限制条件的间接平差法
n ,1
L F(X )
u ,1 ~
~
( X ) 0
s ,1 u ,1
Bx l Cx Wx 0
F1 ~ L1 F2 ~ L2 Fc ~ L2
F1 ~ Ln F2 ~ B F ~ Ln cu X F Fc ~ Ln L , X 0
c1
L, X 0
F1 ~ X 1 F2 ~ X 1 Fc ~ X 1
几何观测量：方向、角度、高差、边长 物理模型：与时间、速度、加速度等物理量相关的模型； 物理观测量：时间、速度、加速度
测量平差函数模型
一、条件平差的函数模型 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。
出发点：观测量之间的函数关系式——条件方程
在具体测量问题中，实际观测次数 n，必要观测次数t ，则多 余观测次数r ，那么可建立(n-t)个条件方程，即：
二、最小二乘原理 测量平差就是测量数据调整，调整原则是使得观测 值残差的平方和极小为原则：
V T PV min
观测量：
L ˆ 调整后的估值 L
改正数\残差 观测值权阵
V P
小结
重点：理解必要观测、必要起算数据、多余观测的概念 掌握：函数模型、随机模型的涵义、作用和实质 理解：四种平差方法的函数模型 函数模型线性化的方法 最小二乘原理 了解：最小二乘估计的性质
必要元素的特点： （1）元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关 （2）必要元素之间函数独立
必要观测量？ 条件方程？
必要观测量？ 条件方程？
四、多余观测
必要观测之外的观测称为多余观测，其数目用符号r表示。多余观 测数＝观测总数－必要观测数（r=n-t） 与控制网有关几个基本概念： 必要观测、观测量、 起算数据、多余起算数据 待求量
c1
~ X X0 ~ x
~ L L
按台劳级数展开则有
F F( L , X x ) F( L, X 0 )
0
F L
L,X 0
F X
x
L,X 0
令
F A ~ cn L
L, X 0
F1 ~ L1 F2 ~ L 1 Fc ~ L 1
F1 ~ X 2 F2 ~ X 2 Fc ~ X 2
F1 ~ X u F2 ~ X u Fc ~ X u
L, X 0
则函数F的线性形式是
c1
F F ( L, X 0 ) A B ~ x
cn n1
rn n1
~ A L A0 0
r1
L2
r n n1
A W 0
r 1
L1
L3
二、间接平差法
选择几何模型中t个独立量为平差的参数，将每一个观测量表达成 所选参数的函数，以此为平差的函数模型，称为间接平差法。 在具体测量问题中，实际观测次数n ，必要观测次数t ，则多余 观测次数r=(n-t) 。选择t个函数独立的参数后可列出观测方程：
（1）两个相邻点坐标 （2）一个已知点坐标，一个相邻已知方位， 一个相邻已知边长。
L2
L1
L3
③测边网和边角网：
一个已知点坐标，一个相邻已知方位，
一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。
L2
L1
L3
三、必要观测
必要观测/必要元素：唯一确定一个确定几何、物理模型 的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号 用符号t表示。
二、必要起算数据
确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据： 起算数据 ①水准网（三角高程网）： ②测角网： ③测边网和边角网：
确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据： 起算数据 水准网（三角高程网）： ：一个已知点高程
确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据)
n
ˆ lim P( ) 1
ˆ ˆ ˆ D( 1 ) D( 2 ) D( ) min
一、参数估计及最优性质 数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量必 然是一致性估计量，所以测量平差中参数的最佳估值要求 是最优无偏估计量。由于平差模型是线性的，最佳估计也 称为最优线性无偏估计。
% L F(X )
线性方程情况下
n1
~ ~ L B X d
nt t 1
n1
n1
l B X
n1
nt t 1
其中
n1
l L d
n1
n1
三、附有参数的条件平差法
c1
~ ~ F (L , X ) 0
线性方程情况下
cn n1
~ ~ A L B X A0 0
§4.5参数估计与最小二乘原理
Estimation of Parameters and Principles of Least Squares 一、参数估计及最优性质
平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生，不论何种平差方 法，平差最终目的都是对参数和观测量 （或Δ ）作出某种估计，并 评定其精度。所谓评定精度，就是对待估量的方差与协方差作出估计。 所以，可统称为对平差模型的参数进行估计。 无偏性 一致性 有效性
个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数学模
型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这种估计 要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。
§4.2 测量平差函数模型 Functional Model
函数模型： 是描述观测量与未知量间的数学函数关系模型，是确定 客观实际的本质或特征的模型。
几何模型：各种测量控制网
D Q P
2 0 2 0
1
二、数学模型 1、条件平差
r n
A V W 0
r 1
W ( A L A0 )
r1 rn n1 r1
2、间接平差（Gauss-Markoff模型）
ˆ V B x l
n1 nt t 1
n1
n1
l ( BX 0 d L )
大地四边形
t 2*4 4 4 r 84 4
t 2*7 4 10 r 18 10 8
中心多边形
扇形
t 2*5 4 6 r 11 6 5
观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量 平差得以实现 由于观测不可避免地存在偶然误差，当n>t时，几何 模型中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不 满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使 其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一
cu u1
§4.4 测量平差的数学模型 Mathematical Model
函数模型
数学模型
随机模型：
D Q P
2 0 2 0
1
一、平差的随机模型 随机模型：描述平差问题的中随机量及其相互间统计相 关性质的模型, 随机模型描绘的是观测值的统计性质，是通过观测值的 数学期望和协方差阵（协因数阵）来表示，借以说明观 测值是否受系统误差的影响、观测值的精度季它们是否 相关等。