初中数学练习(99)
初中数学专项练习题
初中数(Shu)学专项练习题知识点1 有理(Li)数1．（ 2014·安(An)徽）（﹣2）×3的(De)结果是（）A．﹣5 B．1 C．﹣6 D．6解(Jie)：原式=﹣2×3=﹣6．故选：C．2．（ 2014·广西贺州）在﹣1、0、1、2这四个数(Shu)中，最小的数是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2解：﹣1＜0＜1＜2，故(Gu)选：B．3．（2014·温州）计(Ji)算：（﹣3）+4的结果是（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7解：原式=+（4﹣3）=1，故选：C．4．（2014·泰州）﹣2的相反数等于（）A．﹣2 B．2 C．D．解：﹣2的相反数是﹣（﹣2）=2．故选B．5.（2014·滨州）计算：﹣3×2+（﹣2）2﹣5=（）．A.-6B. -7C.0D.-2解：原式=﹣3×2+4﹣5=﹣6+4﹣5=﹣7．故答案为B：﹣7．6．（2014·武汉）在实数﹣2，0，2，3中，最小的实数是（）A．﹣2 B． 0 C． 2 D．3解：﹣2＜0＜2＜3，最小的实数是﹣2，故选A．7．（2014·湘潭）下列各数中是无理数的是（）A．B．﹣2 C．0 D．解：A．正确；B．是整数，是有理数，选项(Xiang)错误；C．是(Shi)整数，是有理数，选项错误；D．是分数，是有(You)理数，选项错误．故(Gu)选A．8．（2014·益阳）四(Si)个实数﹣2，0，﹣，1中，最大的实数是（）A．﹣2 B．0 C．﹣D． 1解(Jie)：∵﹣2＜﹣＜0＜1，∴四个(Ge)实数中，最大的实数是1．故(Gu)选D．9．（2014·孝感）计算：（﹣）﹣2+﹣|1﹣|．解：原式=+2﹣|﹣2|=4+2﹣2 =4．10．（2014·株洲）计算：+（π﹣3）0﹣tan45°．解：原式=4+1﹣1=4．11．（ 2014·安徽）下列四个多项式中，能进行因式分解的是（）A．a2+1 B．a2﹣6a+9 C．x2+5y D．x2﹣5y解：A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、D不能进行因式分解；B是完全平方公式的形式，故B能分解因式；故选：B．12．（ 2014·福建泉州）分解因式x2y﹣y3结果正确的是（）A．y（x+y）2 B．y（x﹣y）2 C．y（x2﹣y2） D．y（x+y）（x﹣y）解：x2y﹣y3=y（x2﹣y2）=y（x+y）（x﹣y）．故选D．13．（ 2014·广东）计算3a﹣2a的结果正确的是（）A．1 B．a C．﹣a D．﹣5a解：原式=（3﹣2）a=a，故选B．14．（2014·温州(Zhou)）计算m6•m3的结果是（）A．m18 B．m9 C．m3 D．m2解(Jie)：m6·m3=m9．故(Gu)选B．15．（ 2014·福建泉州）先化简(Jian)，再求值：（a+2）2+a（a﹣4），其(Qi)中a=．解(Jie)：（a+2）2+a（a﹣4）=a2+4a+4+a2﹣4a=2a2+4，当(Dang)a=时(Shi)，原式=2×（）2+4=10．16．（2014·滨州）方程2x﹣1=3的解是（）A．﹣1 B．C．1 D．2解：2x﹣1=3，移项，得2x=4，系数化为1得x=2．故选D．17．（2014·浙江湖州）方程2x﹣1=0的解是（）．A.x=B.x=C.x=1D.x=0解：移项得：2x=1，系数化为1得：x=．18．（2014·湘潭）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为（）．A．2x-56=589﹣x B．2x+56=589﹣x C．2x+56=589＋x D．2x+589=56＋x解：设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，由题意得，2x+56=589﹣x．故答案为B：2x+56=589﹣x．19．（2014•株洲）家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：（1）他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米；（2）他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米；（3）抄近路(Lu)下山，下山路程比上山路程近2千米；（4）下山用1个(Ge)小时；根据上面信息，他(Ta)作出如下计划：（1）在山顶(Ding)游览1个小时；（2）中(Zhong)午12：00回到家吃中餐．若依据以上信息和计划登山游玩，孔明同学应该(Gai)在（）从(Cong)家出发。
初中数学三角函数基础练习含答案
三角函数基础练习一．选择题（共40小题）1．如图，△ABC中，∠C＝90o，tan A＝2，则cos A的值为（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．3．如图，已知点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将（）A．增大B．减小C．先增大后减小D．先减小后增大4．在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A．B．C．D．5．一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东60°方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在船的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是（）A．（15﹣15）海里、15海里B．（15﹣15）海里、5海里C．（15﹣15）海里、15海里D．（15﹣15）海里、15海里6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A＝（）A．B．C．D．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AC的长为（）A．B．m•cosαC．m•sinαD．m•tanα8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝2，则tan A等于（）A．B．2C．D．9．如图，测得一商场自动扶梯的长为l，自动扶梯与地面所成的角为θ，则该自动扶梯到达的高度h为（）A．l•sinθB．C．l•cosθD．10．如图，在Rt△ABC中，直角边BC的长为m，∠A＝40°，则斜边AB的长是（）A．m sin40°B．m cos40°C．D．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，则tan∠B的值为（）A．B．C．D．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是（）A．B．C．D．13．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BD＝2，tan∠C＝，则线段AC的长为（）A．10B．8C．D．14．如图，梯子AC的长为2.8米，则梯子顶端离地面的高度AD是（）A．米B．米C．sinα米D．cosα米15．计算2sin30°﹣2cos60°+tan45°的结果是（）A．2B．C．D．116．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sin B的值是（）A．B．C．D．17．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则cos B的值为（）A．B．C．D．18．若锐角A满足cos A＝，则∠A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°19．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是（）米．A．15﹣5B．20﹣10C．10﹣5D．5﹣520．在直角三角形中sin A的值为，则cos A的值等于（）A．B．C．D．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则sin∠B的值为（）A．B．C．D．22．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则∠A的正切值为（）A．B．C．D．23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB长是（）A．4B．6C．8D．1024．已知∠A与∠B互余，若tan∠A＝，则cos∠B的值为（）A．B．C．D．25．如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tan B的值为（）A．B．C．D．26．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cos B的值是（）A．B．C．D．27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，AC＝5，则下列三角函数表示正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．tan B＝28．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则sin C＝（）A．B．C．D．29．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cos B的值为（）A．B．C．D．30．锐角α满足，且，则α的取值范围为（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°31．如图，在△ABC中，AC＝1，BC＝2，AB＝，则sin B的值是（）A．B．C．2D．32．已知cosα＝，且α是锐角，则α＝（）A．75°B．60°C．45°D．30°33．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝34．某人沿着斜坡前进，当他前进50米时上升的高度为25米，则斜坡的坡度是i＝（）A．B．1：3C．D．1：235．如图，有一斜坡AB的长AB＝10米，坡角∠B＝36°，则斜坡AB的铅垂高度AC为（）A．10sin36°B．10cos36°C．10tan36°D．36．某水库大坝的横断面是梯形，坝内一斜坡的坡度i＝1：，则这个斜坡坡角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°37．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tan A＝（）A．B．C．D．38．在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠C＝90°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．60°39．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．40．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠B的正切值为（）A．3B．C．D．三角函数基础练习参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．解：∵△ABC中，∠C＝90o，∴tan A＝＝2，∴设CB＝2k，AC＝k，∴AB＝＝k，∴cos A＝＝＝，故选：B．2．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴cos A＝＝＝，∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故选：A．3．解：点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将增大，故选：A．4．解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∴设AC＝2k，BC＝k，则AB＝＝k，∴sin B＝＝＝．故选：D．5．解：过S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，∴AS＝DS，∴∠CDS＝∠CAS＝30°，∵∠ABS＝15°，∴∠DSB＝15°，∴SD＝BD，设CS＝x，在Rt△ASC中，∵∠CAS＝30°，∴AC＝x，AS＝DS＝BD＝2x，∵AB＝30海里，∴x+x+2x＝30，解得：x＝，∴AS＝（15﹣15）（海里）；∴BS＝＝15（海里），∴灯塔S离观测点A、B的距离分别是（15﹣15）海里、15海里，故选：D．6．解：由图可知：BC＝4，AB＝3，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，tan A＝＝．故选：A．7．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，∴AC＝BC•tan B＝m•tanα，故选：D．8．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴tan A＝═2，故选：B．9．解：∵sinθ＝，∴h＝l•sinθ，故选：A．10．解：∵sin A＝，∴AB＝，故选：C．11．解：由勾股定理得，BC＝＝4，∴tan∠B＝＝，故选：D．12．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∴cos A＝＝，故选：A．13．解：∵∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠B+∠C＝90°，∠B+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠C．在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝2，∵tan∠BAD＝＝，∴AD＝2BD＝4，∴AB＝＝2．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，∵tan∠C＝＝，∴AC＝2AB＝4．故选：D．14．解：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AB＝2.8m，∠ACD＝α，∴AD＝AC•sin∠ACD＝2.8sinα＝sinα米，故选：C．15．解：2sin30°﹣2cos60°+tan45°＝2×﹣2×+1＝1﹣1+1＝1．故选：D．16．解：由勾股定理得，AC＝＝＝则sin B＝＝，故选：C．17．解：由勾股定理得，AB＝＝＝，则cos B＝＝＝，故选：B．18．解：∵cos A＝，∴∠A＝30°．故选：A．19．解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB•cos∠BAM＝5米，BM＝AB•sin∠BAM＝5米．在Rt△ADE中，AE＝10米，∠DAE＝60°，∴DE＝AE•tan∠DAE＝10米．在Rt△BCN中，BN＝AE+AM＝（10+5）米，∠CBN＝45°，∴CN＝BN•tan∠CBN＝（10+5）米，∴CD＝CN+EN﹣DE＝10+5+5﹣10＝（15﹣5）米．故选：A．20．解：∵在直角三角形中sin A的值为，∴∠A＝30°．∴cos A＝cos30°＝．故选：C．21．解：如图：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝，∴sin∠B＝，故选：A．22．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝＝，∴设BC＝3x，AB＝5x，由勾股定理得：AC＝＝4x，∴tan A＝＝＝，即∠A的正切值为，故选：D．23．解：∵∠C＝90°，sin A＝＝，BC＝6，∴AB＝BC＝×6＝10；故选：D．24．解：∵∠A与∠B互余，∴∠A、∠B可看作Rt△ABC的两锐角，∵tan∠A＝＝，∴设BC＝4x，AC＝3x，∴AB＝5x，∴cos∠B＝＝＝．故选：B．25．解：如图所示，在Rt△ABD中，tan B＝＝．故选：A．26．解：∵∠C＝90°，AC＝，AB＝4，∴BC＝＝＝1，∴cos B＝＝，故选：D．27．解：A、sin A＝＝，故原题说法正确；B、cos A＝＝，故原题说法错误；C、tan A＝＝，故原题说法错误；D、tan B＝＝，故原题说法错误；故选：A．28．解：∵BC＝2AB，∴设AB＝a，BC＝2a，∴AC＝＝a，∴sin C＝＝＝，故选：D．29．解：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝3，∴cos B＝＝．故选：B．30．解：∵，且，∴45°＜α＜60°．故选：B．31．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，AB＝，∴sin B＝．故选：B．32．解：∵cosα＝，且α是锐角，∴α＝30°．故选：D．33．解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，∴sin A＝，故A错误；cos A＝，故B正确；tan A＝；故C错误；cos A＝，故D错误；故选：B．34．解：由题意得：某人在斜坡上走了50米，上升的高度为25米，则某人走的水平距离s＝＝25，∴坡度i＝25：25＝1：．故选：A．35．解：由题意可得：sin B＝，即sin36°＝，故AC＝10sin36°．故选：A．36．解：∵某水库大坝的横断面是梯形，坝内一斜坡的坡度i＝1：，∴设这个斜坡的坡角为α，故tanα＝＝，故α＝30°．故选：A．37．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝＝，故选：B．38．解：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝2，∴cos A＝＝＝，则∠A＝45°．故选：C．39．解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AD＝3，CD＝4，∴由勾股定理可知：AC＝5，∴cos∠BAC＝＝，故选：C．40．解：在Rt△ABC中，tan B＝＝，故选：B．。
初中数学全等图形练习题
初中数学全等图形练习题1. 下列图形是全等图形的是( )A.B.C.D.2. 如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，AD，BE相交于点G，若S△BDE=1，S△ABC=( )A.1B.2C.3D.43. 如图，O是等边△ABC内的一点，OA=1，OC=3，∠AOC=150∘，则OB的长为（）A.3B.4C.2√2D.√104. 下列说法中，正确的个数为（）①用一张像底片冲出来的10张五寸照片是全等形；②我国国旗上的四颗小五角星是全等形；③所有的正六边形是全等形④面积相等的两个直角三角形是全等形．A.1个B.2个C.3个D.4个5. 如果两个图形全等，则这个图形必定是（）A.形状相同，但大小不同B.形状大小均相同C.大小相同，但形状不同D.形状大小均不相同6. 如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60∘，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（）A.8B.9C.D.7. 下列说法正确的是（）A.所有正方形都是全等图形B.所有长方形都是全等图形C.所有半径相等的圆都是全等图形D.面积相等的两个三角形是全等图形8. 如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计）________．9. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形．一定可以拼成的图形是________（填序号）10. 如图，有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有________.11. 请在下图中把正方形分成2个、4个、8个全等的图形：________．12. 下图是由全等的图形组成的，其中AB＝3cm，CD＝2AB，则AF＝________．13. 全等图形的形状和大小都相同．________ （判断对错）．14. 如图，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．15. 判断下列图形是否全等，并说明理由：（1）周长相等的等边三角形；（2）周长相等的直角三角形；（3）周长相等的菱形；（4）所有的正方形．16. 沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用三种不同的方法试一试．17. 我们把两个能够互相重合的图形称为全等形．（1）请你用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且矩形或正方形的各边长均为整数；（2）是否能将上述3×5的矩形分成五个均不全等的整数边矩形？若能，请画出．18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，请用尺规过点C作直线l，使其将Rt△ABC分割成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）19. 如图，△ABC中，∠B=∠C，点D、E、分别在AB、BC、AC上，且BD=CE,∠DEF=∠B，求证：ED=EF．参考答案与试题解析初中数学全等图形练习题一、选择题（本题共计 7 小题，每题 5 分，共计35分）1.【答案】B【考点】全等图形【解析】全等图形应形状相同，大小一致.【解答】解：全等图形应形状相同，大小一致.只有B符合题意.故选B.2.【答案】D【考点】三角形的面积【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得：△BDE和△CDE等底同高，所以S△CDE=S△BDE=1.所以S△BCE=2S△BDE=2.因为△BCE和△BAE等底同高，所以S△ABC=2S△BCE=4.故选D.3.【答案】D【考点】旋转的性质等边三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：将△AOC绕A点顺时针旋转60∘到△AO′B的位置，由旋转的性质，得AO=AO′，所以△AOO′是等边三角形，由旋转的性质可知∠AOC=∠AO′B=150∘，所以∠BO′O=150∘−60∘=90∘.因为OO′=OA=1，BO′=OC=3，所以OB=√12+32=√10.故选D.4.【答案】B【考点】全等图形【解析】根据能互相重合的两个图形叫做全等图形对各小题分析判断即可得解．【解答】解：①用一张像底片冲出来的10张五寸照片是全等形，正确；②我国国旗上的四颗小五角星是全等形，正确；③所有的正六边形是全等形，错误，正六边形的边长不一定相等；④面积相等的两个直角三角形是全等形，错误．综上所述，说法正确的是①②共2个．故选B．5.【答案】B【考点】全等图形【解析】根据全等图形的定义，能够完全重合的两个图形是全等图形解答即可．【解答】解：如果两个图形全等，则这个图形必定是形状大小完全相同．故选B．6.【答案】B【考点】菱形的性质等边三角形的性质与判定相似多边形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】全等图形【解析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．【解答】解：A、所有正方形都是全等图形，说法错误；B、所有长方形都是全等图形，说法错误；C、所有半径相等的圆都是全等图形，说法正确；D、面积相等的两个三角形是全等图形，说法错误；故选：C．二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）8.【答案】21cm【考点】规律型：图形的变化类全等图形【解析】观察图形，发现：以中间的点看，再画第二个图形的时候，需要再往右用1个格，画第三个图的时候，需要再往右用3个格，画第四个图的时候，需要再往右走1个格，以此类推，则画10个图，需要4+1+3+1+3+1+3+1+3+1=21个．【解答】解：∵后面画出的图形与第一个图形完全一样，∴以中间的点看，再画第二个图形的时候，需要再往右用1个格，画第三个图形的时候，需要再往右用3个格，画第四个图形的时候，需要再往右用1个格，以此类推，则画10个图形，需要4+(1+3+1+3+1+3+1+3+1)=21个．故答案为：21cm.9.【答案】①②⑤【考点】全等图形【解析】解：拿两个“90∘60∘30∘的三角板一试可得：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（5）等腰三角形．而菱形、正方形需特殊的直角三角形：等腰直角三角形．故答案为：①②⑤．【解答】此题暂无解答10.【答案】①和⑥，②③⑤【考点】全等图形【解析】设每个小方格的边长为1，分别表示出第个图形的各边长，再根据全等形是可以完全重合的图形进行判定即可．【解答】解：由图可知，①与⑥的的三条边对应相等，②，③，⑤的四条边对应相等，故①⑥是全等形，②③⑤是全等形．故答案为：①和⑥，②③⑤．11.【答案】分法可分别如下所示：【考点】全等图形【解析】(1)选择对边的两个中点连接即可；(2)分别连接对边的两个中点即可；(3)分别连接对边的两个中点及不相邻的两个顶点即可．【解答】解：所作图形如下所示：．12.【答案】27cm【考点】全等图形【解析】根据已知图形得出CD＝2AB＝6cm，进而求出即可．【解答】解:∵AB＝3cm，∴CD＝2AB＝6cm，∴AF＝3AB+3CD＝3×3+3×6＝27(cm)．故答案为:27cm13.【答案】正确【考点】全等图形【解析】利用能够完全重合的两个图形称为全等图形，全等图形的大小和形状都相同，进而判断即可．【解答】解：全等图形的形状和大小都相同，正确．故答案为：正确．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14.【答案】解：如图所示：．【考点】全等图形【解析】利用网格图形的特征和全等图形的性质即可求解．【解答】此题暂无解答15.【答案】解：（1）全等．理由：等边三角形各角都是60∘，各角对应相等，周长相等即边长相等，各边对应相等．（2）不一定全等．理由：由已知条件，只能得到一组直角对应相等，其余的角和边不能确定是否相等．（3）不一定全等．理由：菱形的四条边都相等，由周长相等只能得到四条边对应相等，不能确定四个角是否相等．（4）不一定全等．理由：正方形的四个角都是直角，所有的正方形的角对应相等，但边长不能确定．【考点】全等图形【解析】根据多边形全等必须同时具备各边对应相等，各角对应相等．若不能确定都相等，则两个多边形不一定全等对各小题分析判断即可得解．【解答】解：（1）全等．理由：等边三角形各角都是60∘，各角对应相等，周长相等即边长相等，各边对应相等．（2）不一定全等．理由：由已知条件，只能得到一组直角对应相等，其余的角和边不能确定是否相等．（3）不一定全等．理由：菱形的四条边都相等，由周长相等只能得到四条边对应相等，不能确定四个角是否相等．（4）不一定全等．理由：正方形的四个角都是直角，所有的正方形的角对应相等，但边长不能确定．16.【答案】解：如下图所示：【考点】作图—应用与设计作图全等图形【解析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，即占8个方格，且必须保证分割后的两个图形相同．【解答】解：如下图所示：17.【答案】解：（1）所画图形如上．（2）能，所画图形如上所示．【考点】全等图形【解析】（1）根据题意画出图形即可，注意所得的图形不应全等．（2）作长为1，宽分别为1，2，3，4，5的图形即可．【解答】解：（1）所画图形如上．（2）能，所画图形如上所示．18.【答案】，△ACD和△CDB即为所求【考点】作图—应用与设计作图【解析】作斜边AB的中垂线可以求得中点D，连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边AD＝DB．的一半，可得CD=12【解答】解19.【答案】证明：∠DEC=∠B+∠BDE,∠DEC=∠DEF+∠CEF 又∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF又∵BD=CE，∠B=∠C，∴△EBD≅△FCE，∴ED=EF．【考点】全等三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】证明：∠DEC=∠B+∠BDE,∠DEC=∠DEF+∠CEF 又∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF又∵BD=CE，∠B=∠C，∴△EBD≅△FCE，∴ED=EF．。
初中数学练习题(含答案)
专题七新定义阅读理解题( 2019·重庆 A 卷)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性数进行研究．如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算 n＋(n ＋1) ＋(n ＋2) 时，各数位都不产生进位，则称这个自然数 n 为“纯数”．例如： 32 是“纯数”，因为计算32＋33＋34 时，各数位都不产生进位；23 不是“纯数”，因为计算23＋24＋25 时，个位产生了进位．(1) 判断 2 019 和 2 020 是否是“纯数”？请说明理由；(2) 求出不大于 100 的“纯数”的个数．【分析】 (1) 根据纯数的定义逐一判断 2 019 和 2 020 即可；(2) 判断不大于 100 的“纯数”的个数，可先从个位数字入手，确定个位数字的特点，再确定十位数字的特点，即可得到对应的“纯数”．【自主解答】1．( 2018·重庆 A 卷) 对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称 n 为“极数”．(1) 请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99 的倍数，请说明理由；(2) 如果一个正整数 a 是另一个正整数 b 的平方，则称正整数 a 是完全平方数，m若四位数 m为“极数”，记D(m)＝33. 求满足 D(m)是完全平方数的所有m.2．( 2020·原创 ) 若在一个两位正整数 N的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“中 2 数”，记作 F(N)，如 34 的“中 2 数”为 F(34) ＝324；若将一个两位正整数M加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为M的“尾 2 数”，记作 P(M)，如 34 的“尾 2 数”为 P(34) ＝36.对于任意一个两位正整数T，令 Q(T)＝F（T）－ P（T）.9(1) 判断 Q(T)是否为整数，并说明理由；(2) 对于一个两位正整数 M，若 P(M)的各位数之和是 M的各位数之和的一半，求M的值．3．( 2017·重庆 A 卷) 对于任意一个三位数n，如果 n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后，可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F(n) ，例如 n＝123，对调百位与十位上的数字得到 213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位和个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为 213＋321＋132＝666，∴ F(123) ＝6.(1) 计算： F(243) ，F(617) ；(2) 若 s，t 都是“相异数” ，其中 s＝100x＋32，t ＝150＋y(1 ≤x≤9，1≤y≤9，F（s）x，y 都是正整数 ) ，规定： k＝F（t），当 F(s) ＋F(t) ＝18 时，求 k 的最大值．4．( 2020·原创 ) 事实：我们知道若一个正整数的各个数位上的数字之和能被 3 整除，则这个数就能被 3 整除，反之也成立．定义：对于一个两位数m和一个三位数 n，它们各个数位上的数字都不为0，将数 m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n 任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这样方式产生的所有新的两位数的和我们称之为“二三联合”，用F(m，n) 表示．例如数12 与 345 的“二三联合”为 F(12，345) ＝13＋14＋15＋23＋24＋25＝114.(1) 填空： F(11，369) ＝________ ；F(16，123) ＝________ ；(2) 若一个两位数 s＝21x＋y，一个三位数 t ＝121x＋y＋199( 其中 1≤x≤4，1≤y≤5，且 x，y 均为整数 )，交换三位数 t 的百位数字和个位数字得到新数t ′，当 t ′与 s 的个位数字的 3 倍的和能被 11 整除，称这样的两个数 s 和 t 为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中的“二三联合”的最大值．5．( 2019·九龙坡区模拟 ) 数学不仅是一门科学，也是一种文化，即数学文化．数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面．古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第 1 格放 1 粒米，第 2 格放 2 粒米，第 3 格放 4 粒米，然后是 8 粒、16 粒、32 粒⋯一直到第 64 格．”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑．大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里有这么多米吗？题中问题就是求1＋21＋22＋23＋⋯＋ 263是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了．设 S＝1＋21＋22＋23＋⋯＋ 263，则 2S＝2(1 ＋21＋22＋23＋24＋⋯＋ 263) ＝2＋22＋34636412346312 32 ＋2 ＋⋯＋ 2 ＋2 .2S－S＝2(1＋2 ＋2 ＋2 ＋2 ＋⋯＋ 2 )－(1 ＋2 ＋2 ＋2 ＋即： S＝264－1. 事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的64 个格子需要 1＋21＋22＋23＋⋯＋ 263＝(2 64－1) 粒米．那么 264－1 到底多大呢？借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个 20 位数： 18 446 744 073 709 551 615，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求．请用你学到的方法解决以下问题：(1) 我国古代数学名著《算法统宗》中有一问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有多少盏灯？(2) 计算： 1＋3＋9＋27＋⋯＋ 3n；(3) 某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知一列数：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是 20，21，22，⋯，依此类推．求满足如下条件的所有正整数 N：10＜N＜ 100，且这一列数前 N项和为 2 的正整数幂．请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数 N 的值．参考答案【例 1】解： (1) 当 n＝2 019 时，n＋1＝2 020 ，n＋2＝2 021 ，∵9＋0＋1＝10，需进位，∴ 2 019 不是“纯数”；当 n＝2 020 时， n＋1＝2 021 ，n＋2＝2 022 ，个位： 0＋1＋2＝3，不需要进位；十位： 2＋2＋2＝6，不需要进位；百位： 0＋0＋0＝0，不需要进位；千位： 2＋2＋2＝6，不需要进位；∴2 020 是“纯数”．(2) 当 n＝0 时， n＋1＝1，n＋2＝2，则 0＋1＋2＝3，不需要进位，∴0 是“纯数”；当 n＝1 时， n＋1＝2，n＋2＝3，1＋2＋3＝6，不需要进位，∴1 是“纯数”；当n＝2 时，n＋1＝3，n＋2＝4，2＋3＋4＝9，不需要进位，∴2 是“纯数”；当n ＝3 时，n＋1＝4，n＋2＝5，3＋4＋5＝12，需要进位，∴3 不是“纯数”，综上可知，当这个自然数是一位自然数时，只能是 0，1，2；当这个自然数是两位自然数时，这个自然数可以是10，11， 12，20，21，22，30，31，32，共 9 个，当这个自然数是三位自然数时，100 是“纯数”，∴不大于 100 的自然数中，“纯数”的个数为3＋9＋1＝13.跟踪训练1．解： (1)1 188 ；2 475; 9 900.(答案不唯一)猜想：任意一个“极数”是99 的倍数．理由如下：设任意一个“极数”为xy(9 －x)(9 －y)( 其中 1≤x≤9，0≤y≤9，且 x，y 均为整数)，则 xy(9 －x)(9 －y) ＝1 000x ＋100y＋10(9 －x) ＋9－y＝1 000x ＋100y＋90－10x＋9－y＝99(10x ＋y＋1) ．∵x，y 为整数，∴ 10x＋y＋1 为整数，∴任意一个“极数”是 99 的倍数．(2) 设 m＝xy(9 －x)(9 －y) ，99（10x＋y＋1）＝3(10x ＋y＋1) ，由题意可知， D(m)＝33∵1≤x≤9，0≤y≤9，∴ 33≤3(10x ＋ y＋1) ≤300，∵D(m)是完全平方数，∴D(m)可取的值为 36，81，144，225，当 D(m)＝36 时， 3(10x ＋y＋1) ＝36，则 x＝1，y＝1，m＝1 188 ；当 D(m)＝81 时， 3(10x ＋y＋1) ＝81，则 x＝2，y＝6，m＝2 673 ；当 D(m)＝144 时， 3(10x ＋y＋1) ＝144，则 x＝4，y＝7，m＝4 752 ；当 D(m)＝225 时， 3(10x ＋y＋1) ＝225，则 x＝7，y＝4，m＝7 425.综上所述，满足D(m)为完全平方数的m的值为 1 188 ，2 673 ，4 752 ，7 425. 2．解： (1)Q(T) 是整数．理由如下：设两位正整数 T 为 ab，则 T＝10a＋b，∴F(T) ＝ a2b＝100a＋20＋b，P(T) ＝10a＋b＋2，∴F(T) － P(T) ＝100a＋20＋b－(10a ＋b＋2)＝90a＋18＝9(10a ＋2) ，∵a为整数，∴ 10a＋ 2 为整数，F（T）－ P（T）∴Q(T)＝9 是整数．(2) 设 M＝ab，1≤a≤9，0≤b≤9，∴M＋2＝10a＋b＋2，∵M＋2 的各数位上的数之和比 M各数位上的数之和小，∴M＋2 后，个位发生了进位，∴b≥8，且 M＋2＝10(a ＋1) ＋(b ＋2－10) ，1∴a＋1＋b＋2－10＝2(a ＋b) ，整理得 a＋b＝14，∴a＝6，b＝8，或 a＝5，b＝9，∴M为 68 或 59.3．解： (1)F(243) ＝(423 ＋342＋234) ÷111＝ 9，F(617) ＝(167 ＋716＋671) ÷111＝ 14.(2) ∵s， t 都是相异数，∴F(s) ＝ (302 ＋10x＋230＋x＋100x＋23) ÷111＝ x＋5，F(t) ＝(510 ＋y＋100y＋51＋105＋10y) ÷111＝ y＋6，∵F(s) ＋ F(t) ＝18，∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18，∴x＋y＝7,∵1≤x≤9，1≤y≤9，且 x，y 都是正整数，x ＝1∴或y ＝6x ＝2 或y ＝5x ＝3 或y ＝4x ＝4 或y ＝3x ＝5或y ＝2x ＝6 ，y ＝1∵s 是相异数，∴ x ≠2，x ≠3，∵t 是相异数，∴ y ≠1，y ≠5，∴满足条件的有 x ＝1 x ＝4 x ＝5或 或 ，y ＝6 y ＝3 y ＝2∴ F （s ）＝ 6 F （s ）＝ 9 F （s ）＝ 10 或或 ， F （t ）＝ 12 F （t ）＝ 9 F （t ）＝ 8F （s ） 6 1 F （s ） 9 F （s ） 10 5 ∴k ＝F （t ）＝12＝2或 k ＝F （t ）＝9＝1 或 k ＝F （t ）＝ 8 ＝4，1 5 ∵ 2<1<4，5∴k 的最大值为 4.4．解： (1)F(11 ，369) ＝13＋16＋19＋13＋16＋19＝96；F(16 ，123) ＝11＋12＋13＋61＋62＋63＝222.(2) 已知 s ＝21x ＋y ＝20x ＋(x ＋y)，t ＝121x ＋y ＋199＝100(x ＋2) ＋20x ＋(x ＋y－ 1) ，∵1≤x ≤4，1≤y ≤5，且 x ，y 均为整数，∴ t ′＋ 3(x ＋y) ＝100(x ＋y －1) ＋20x ＋x ＋2＋3(x ＋y) ＝124x ＋103y －98，∵ t ′＋ 3(x ＋y) 能被 11 整除，t ′＋ 3（x ＋y ） 121x ＋99y －99＋ 3x ＋4y ＋13x ＋4y ＋1∴＝＝ 11x ＋ 9y －9＋为111111 11整数，3x ＋4y ＋1∴是整数，∵ 1≤x ≤4，1≤y ≤5，11∴8≤3x ＋ 4y ＋1≤33，∴当 3x＋4y＋1＝11 时， x＝2，y＝1，此时 s＝43，t ＝442；当 3x＋4y＋1＝22 时，得 x＝3，y＝3，此时 s＝66，t ＝565；当 3x＋4y＋1＝33 时， x＝4，y＝5，此时 s＝89，t ＝688.∴F(s ， t) 的最大值为 F(89，688) ＝554.5．解： (1) 设塔的顶层有 x 盏灯，依题意得：x＋21x＋22x＋23x＋24x＋25x＋26x＝381，解得： x＝3，答：塔的顶层共有 3 盏灯．(2) 设 S＝1＋3＋9＋27＋⋯＋ 3n，则 3S＝3(1 ＋3＋9＋27＋⋯＋ 3n) ＝3＋9＋27 ＋⋯＋ 3n＋3n＋1，∴3S－S＝(3 ＋9＋27＋3n＋3n＋1) －(1 ＋3＋9＋27＋3n) ，∴2S＝3n＋1－1，3n＋1－1∴S＝ 2 ，n＋1n3－1即： 1＋3＋9＋27＋⋯＋ 3 ＝.2(3) 由题意这列数分 n＋1 组：前 n 组含有的项数分别为： 1，2，3，⋯， n，最后一组 x 项，根据材料可知每组和公式，求得前 n 组每组的和分别为： 21－1，22－1，23－1，⋯， 2n－1，前 n 组共有项数为 N′＝ 1＋2＋3＋⋯＋ n＝n（n＋1），2前 n 组所有项数的和为 S n＝21－1＋22－1＋23－1＋⋯＋ 2n－1＝(2 1＋22＋23＋⋯＋ 2n) －n＝2n＋1－2－n，由题意可知： 2n＋1为 2 的整数幂．只需最后一组x 项将－ 2－n 消去即可，则① 1＋2＋( －2－n) ＝0，解得： n＝1，总项数为 N＝1×（ 1＋1）＋2＝3，不满2足 10<N<100，②1＋2＋4＋( －2－n) ＝0，解得： n＝5，总项数为 N＝5×（ 5＋1）＋3＝18，满2足 10<N<100，③1＋ 2＋ 4＋8＋ ( －2－n) ＝0，解得： n＝ 13，总项数为N＝13×（ 13＋1）＋42＝95，满足 10<N<100，④1＋2＋4＋8＋16＋( －2－n) ＝0，解得：n＝29，总项数为 N＝29×（ 29＋1）＋25＝440，不满足 10<N<100，∴所有满足条件的软件激活码正整数N的值为： 18 或 95.。
初中数学中考专项练习《一次函数》100道计算题包含与解析(中考冲刺)
初中数学中考专项练习《一次函数》100道计算题包含与解析(中考冲刺)（时间：60分钟满分：100分）班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、计算题(共100题)1、如图所示的折线ABC•表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象．（1）写出y与t•之间的函数关系式．（2）通话2分钟应付通话费多少元？（3）通话7分钟呢？2、如图所示的折线ABC•表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象．（1）写出y与t•之间的函数关系式．（2）通话2分钟应付通话费多少元？（3）通话7分钟呢？3、如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积．4、如图所示的折线ABC•表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象．（1）写出y与t•之间的函数关系式．（2）通话2分钟应付通话费多少元？（3）通话7分钟呢？5、已知，与成正比例，与成正比例，且时，；时，，求y与x的解析式.6、一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），B（a，﹣3），求a的值．7、设一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（1，3），B（0，－2）两点，试求k，b的值．8、如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积．9、在中，当时，，当时，，求和的值．10、一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），B（a，﹣3），求a的值．11、一次函数y =kx+b（）的图象经过点，，求一次函数的表达式．12、在中，当时，，当时，，求和的值．13、已知，当时，；当时，. 求出k，b 的值；14、一次函数y =kx+b（）的图象经过点，，求一次函数的表达式．15、已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个一次函数的解析式．16、已知，与成正比例，与成正比例，且时，；时，，求y与x的解析式.17、如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积．18、如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积．19、已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个一次函数的解析式．20、已知函数y=(2m+1)x+m-3(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；(3)若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限, 求的取值范围.21、函数y＝（k﹣1）x2|k|﹣3是正比例函数，且y随x增大而减小，求（k+3）2018的值．22、设一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（1，3），B（0，－2）两点，试求k，b的值．23、已知y=（k-3）x+k2-9是关于x的正比例函数，求当x=-4时，y的值.24、如图所示的折线ABC•表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象．（1）写出y与t•之间的函数关系式．（2）通话2分钟应付通话费多少元？（3）通话7分钟呢？25、已知，与成正比例，与成正比例，且时，；时，，求y与x的解析式.26、在y=kx+b中，当x=1时y=4，当x=2时y=10．求k，b的值．27、已知函数y=(2m+1)x+m-3(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；(3)若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限, 求的取值范围.28、如图所示的折线ABC•表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象．（1）写出y与t•之间的函数关系式．（2）通话2分钟应付通话费多少元？（3）通话7分钟呢？29、已知，与成正比例，与成正比例，且时，；时，，求y与x的解析式.30、在y=kx+b中，当x=1时y=4，当x=2时y=10．求k，b的值．31、已知，与成正比例，与成正比例，且时，；时，，求y与x的解析式.32、在平面直角坐标系中，直线y=kx+3经过（2，7），求不等式kx﹣6≤0的解集．33、函数y＝（k﹣1）x2|k|﹣3是正比例函数，且y随x增大而减小，求（k+3）2018的值．34、在中，当时，，当时，，求和的值．35、已知函数y=(2m+1)x+m-3(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；(3)若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限, 求的取值范围.36、已知，当时，；当时，. 求出k，b 的值；37、一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），B（a，﹣3），求a的值．38、函数y＝（k﹣1）x2|k|﹣3是正比例函数，且y随x增大而减小，求（k+3）2018的值．39、在中，当时，，当时，，求和的值．40、已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个一次函数的解析式．41、在平面直角坐标系中，直线y=kx+3经过（2，7），求不等式kx﹣6≤0的解集．42、设一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（1，3），B（0，－2）两点，试求k，b的值．43、如图,直线AB交x轴于点B,交y轴于点A（0,4）,直线DM⊥x轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°,AD:AB=1:2．（1）求点D的坐标；（2）求经过O、D、B三点的抛物线的函数关系式．44、函数y＝（k﹣1）x2|k|﹣3是正比例函数，且y随x增大而减小，求（k+3）2018的值．45、已知函数y=(2m+1)x+m-3(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；(3)若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限, 求的取值范围.46、一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），B（a，﹣3），求a的值．47、在平面直角坐标系中，直线y=kx+3经过（2，7），求不等式kx﹣6≤0的解集．48、函数y＝（k﹣1）x2|k|﹣3是正比例函数，且y随x增大而减小，求（k+3）2018的值．49、已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个一次函数的解析式．50、如图所示的折线ABC•表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象．（1）写出y与t•之间的函数关系式．（2）通话2分钟应付通话费多少元？（3）通话7分钟呢？51、已知函数y=(2m+1)x+m-3(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；(3)若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限, 求的取值范围.52、已知函数y=(2m+1)x+m-3(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；(3)若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限, 求的取值范围.53、在直角坐标系中，用线段顺次连结点（－2，0），（0，3），（3，3），（0，4），（－2，0）。
(完整版)初中数学圆的证明题专项练习大全(精华)
OABCDE圆有关的证明题专项练习1、如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连BE. （1）求证：△ABE ∽△ADC ；（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC 的面积.2、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，AD 是△ABC 的边BC 上的高， EF ⊥BC ，F 为垂足。
（1）求证：BF=CD（2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O 的直径。
5、如图，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 上一点，D 是弧BC 的中点，AD 、BC 交于点E ，CF ⊥AB 于F ，CF 交AD 于G 。
（1）求证：AD =2CF ；（2）若AD=34，BC =62，求⊙O 的半径6、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，E 为AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于F 。
（1）求证：BF 平分∠DFE ；（2）若EF=DF=4，BE=5，CH=3，求⊙O 的半径7、如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，D 为弧AC 的中点，DH ⊥AB 于点H ，延长BC 、HD 交于点E 。
（1）求证：AC=2DH ；（2）连接AE ，若DH=2，BC=3，求tan ∠AEB 的值8、在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ． （1）求证：BD=BF ；（2）若BC=6，AD=4，求ECF S 。
9、如图，⊙O 中， 直径DE ⊥弦AB 于H 点，C 为圆上一动点，AC 与DE 相交于点F 。
(1)求证△AOG ∽△FAO 。
(2)若OA=4，OF=8，H 点为OD 的中点，求CGF S 。
10、如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，连接AD 并延长至F 点，使DF=AD,连接BC 、BF 。
（1）、求证：△CBE ∽△AFB 。
初中八年级数学下册第十九章一次函数单元检测试卷习题八(含答案) (99)
初中八年级数学下册第十九章一次函数单元检测试卷习题八（含答案）（1）已知：一次函数y =kx +b 的图象经过M （0，2），（1，3）两点．求该图象与x 轴交点的坐标．（2）已知点(,)P x y 是第一象限内的点，且8x y +=，点A 的坐标为(10，0) .设△OAP 的面积为S .①求S 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②画出的图像.【答案】（1）（－2，0）（2）①405S x =-，x 的取值范围是08x <<②图像见解析【解析】试题分析：（1）根据待定系数法，把已知点代入函数的解析式即可得到函数的解析式，然后然后让y=0即可求出与x 轴的交点；（2）①三角形的底边是OA ，高是点P 的纵坐标，代入面积公式即可，并根据实际（图像在第一象限）求出x 的取值范围；②先求出与坐标轴的交点，根据两点确定一条直线作出图像，再根据自变量的取值范围取不含端点的线段即可.试题解析：(1)由题意，得23.b k b =⎧⎨+=⎩，解得12.k b =⎧⎨=⎩，①k 、b 的值分别是1和2， ①y ＝x +2,∴当y ＝0时，x ＝－2，①该图象与x 轴交点为（－2，0）.（2）①①(),P x y 在第一象限内，∴0x >，0y >作PM ⊥OA 于M ，则PM y =. ①8x y +=，①8y x =-①()11•10822S OA PM x ==⨯-.即405S x =- x 的取值范围是08x <<①92．（1）如图所示，∠B =∠OAF =90°，BO =3cm ，AB =4cm ，AF =12cm ，求图中半圆的面积．（2）在直角坐标系内，一次函数y =kx +b 的图象经过三点A （2，0），B （0，2），C （m ，3）．求这个一次函数解析式并求m 的值．【答案】(1)图中半圆的面积是1698πcm 2；(2) y =﹣x +2，m =﹣1． 【解析】【分析】(1)首先，在直角△ABO 中，利用勾股定理求得AO=5cm ；然后在直角△AFO 中，由勾股定理求得斜边FO 的长度；最后根据圆形的面积公式进行解答；（2）将两个已知点A （2，0），B （0，2）分别代入y=kx+b ，分别求出k 、b 的解析式，再将未知点C （m ，3）代入一次函数解析式，求出m 的值．【详解】如图，∵在直角△ABO 中，∠B=90°，BO=3cm ，AB=4cm ，∴=5cm ．则在直角△AFO 中，由勾股定理得到：FO==13cm ，∴图中半圆的面积=21FO 116916922248πππ⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭ （cm 2）． 答：图中半圆的面积是1698πcm 2． (2)由已知条件，得2k b 0b 2+=⎧⎨=⎩， 解得k 1b 2=-⎧⎨=⎩． ∴一次函数解析式为y=﹣x+2，∵一次函数y=﹣x+2过C （m ，3）点，∴3=﹣m+2，∴m=﹣1．【点睛】（1）题考查勾股定理和圆的面积的计算．注意，勾股定理应用于直角三角形中；（2）题考查待定系数法求函数解析式，知道函数图象上的点符合函数解析式是解题的关键．93．如图1，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =2x +8与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OA =OC ．点P 为线段AC （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 逆时针旋转90°，得线段OQ （见图2）（1）分别求出点B、点C的坐标；（2）如图2，连接AQ，求证：∠OAQ=45°；（3）如图2，连接BQ，试求出当线段BQ取得最小值时点Q的坐标．【答案】（1）B（-4，0），C（8，0）；（2）详见解析；（3）点Q坐标为（-6，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）只要证明△OAQ≌△OPC，可得∠OAQ=∠OCP=45°；（3）因为∠OAQ=45°，设直线AQ交x轴与E，则点Q在直线AE上运动，根据垂线段最短可知当BQ⊥AE时，BQ的长最短，求出直线AE、BQ的解析式，利用方程组确定交点Q的坐标即可；【详解】解：（1）对于直线y=2x+8令x=0得到y=8，令y=0，得到x=-4，∴A（0，8），B（-4，0），∴OA=OC=8，∴C（8，0）．（2）由旋转可知，OP=OQ，∠POQ=∠AOC=90°，∴∠AOQ =∠COP ，在△AOQ 和△COP 中，AO CO AOQ COP OQ OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OAQ ≌△OPC ，∴∠OAQ =∠OCP ，∵OA =OC ，∠AOC =90°，∴∠OCA =45°，∴∠OAQ =45°．（3）如图2中，∵∠OAQ =45°，设直线AQ 交x 轴与E ，则点Q 在直线AE 上运动， ∵A （0，8），E （-8，0），∴直线AE 的解析式为y =x +8，根据垂线段最短可知当BQ ⊥AE 时，BQ 的长最短，∵BQ ⊥AE ，∴直线BQ 的解析式为y =-x -4，由48y x y x =--⎧=+⎨⎩，解得{62x y =-=， ∴当BQ 最短时，点Q 坐标为（-6，2）．【点睛】本题考查一次函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．94．如图，已知长方形OABC 的顶点(),2B m 在正比例函数12y x =的图像上，点A 在x 轴上，点C 在y 后上，反比例函数的图像过BC 边上点M ，与AB 边交于点N ，且3BM CM =. 求此反比例函数的解析式及点N 的坐标.【答案】反比例函数的解析式为12y =，即点N 的坐标为14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】先将(),2B m 代入正比例函数12y x =得到()4,2B ，再结合题意得到()1,2M ，用待定系数法得到2y x =，将点N 的坐标代入计算即可得到答案. 【详解】∵(),2B m 在正比例函数12y x =的图像上，∴4m =，()4,2B . ∴4CB =，而3BM CM =. ∴1CM =. ∴()1,2M .设反比例函数的解析式为()0k y k x =≠，将()1,2M 代入解析式得到k=2，故解析式为2y x=. ∵M 、N 在反比例函数的解析式为2y x =.设点N 的坐标为()4,y ，则12y =，即点N 的坐标为14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查反比例函数和正比例函数，解题的关键是掌握待定系数法进行求解.95．荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元；（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯．【答案】（1）购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；（2）21个．【解析】【分析】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x 元，则购买一个台灯需要（x+20）元．则根据等量关系：购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半，列出方程；（2）设公司购买台灯的个数为a 各，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8）个，则根据“该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元”列出不等式．【详解】解：（1）设购买该品牌一个手电筒需要x 元，则购买一个台灯需要（x+20）元．根据题意 得4001601202x x =⨯+ 解得 x=5经检验，x=5是原方程的解．所以 x+20=25．答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；（2）设公司购买台灯的个数为a ，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8） 由题意得 25a+5（2a+8）≤670解得 a ≤21所以 荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯．【点睛】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．96．为建设美丽家园，某社区将辖区内的-块面积为1000m 2的空地进行绿化，-部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m 2)，种草所需费用y l (元)与x(m 2)的函数关系图象如图所示，栽花所需费用y 2(元)与x(m 2)的函数关系式为y2=-0.Olx 2-20x+30000(0≤x ≤1000)．(1)求y l (元)与x(m 2)的函数关系式；(2)设这块1000m 2空地的绿化总费用为W(元)，请利用W 与x 的函数关系式，求绿化总费用W 的最大值．【答案】(1)见解析；(2)W=−0.01x 2+36000，W 取最大值为32500元.【解析】【分析】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y 1（元）与x （m 2）的函数关系式；（2）总费用为W=y 1+y 2，列出函数关系式即可求解.【详解】（1）当0⩽x<600时，设函数解析式为y 1=k 1x ，将x=600、y=18000得：600k 1=18000，解之：k 1=30，∴y 1=30x ，当600⩽x ⩽1000时，设y 1=k 2x+b ，将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入分别代入得：2260018000100026000k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解之：2206000k b =⎧⎨=⎩，∴y 1=20x+6000，∴130(06000)206000(6001000)x x y x x ≤<⎧=⎨+≤≤⎩； （2）当0⩽x<600时，W=30x+(−0.01x 2−20x+30000)=−0.01x 2+10x+30000，∵−0.01<0，W=−0.01(x −500)2+32500，∴当x=500时，W 取得最大值为32500元；当600⩽x ⩽1000时，W=20x+6000+(−0.01x 2−20x+30000)=−0.01x 2+36000，∵−0.01<0，∴当600⩽x ⩽1000时，W 随x 的增大而减小，∴当x=600时，W 取最大值为32400，∵32400<32500，∴W 取最大值为32500元,,【点睛】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用．根据函数解析式即可求最大值，但要注意自变量的取值范围．97．在直角坐标系xOy 中，直线l ：y=kx+4过点(1，3)，且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．（1）求直线l 的函数关系式；（2）求AOB 的面积．【答案】（1）y=-x+4；（2）8【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）根据解析式求得A、B的坐标，进而求得OA、OB的长，根据三角形的面积公式求得即可．【详解】解：（1）将点（1，3）代入y=kx+4中，3=k+4，解得：k=-1，∴直线l的函数关系式为：y=-x+4；（2）在y=-x+4中，令x=0，则y=4，令y=0，则x=4，∴A（4，0），B（0，4），∴S△AOB =12AO×BO=12×4×4=8.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和直角三角形的面积，熟练掌握待定系数法是本题的关键．98．问题：探究函数y=|x﹣l|+1的图象与性质．小东根据学习一次函数的经验，对函数y=|x﹣l|+1的图象与性质进行了探究：（1）在函数y=|x﹣l|+1中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值．．①表格中m的值为_____；②在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）结合函数图象，写出该函数的两条性质．【答案】4【解析】【分析】（1）①直接代入解析式可得m的值．②在图象中描点，连线，可得图象．（2）观察图象，从对称性和最值考虑可得其性质．【详解】①当x=4时，y=|4﹣1|+1=4②（2）由图象可得①函数图象关于直线x=1对称②函数当x=1时有最小值为1【点睛】考查一次函数图象，一次函数的性质，本题关键是能通过对称性和最值等方面去考虑函数图象的性质．99．已知：直线l：y＝2kx﹣4k+3（k≠0）恒过某一定点P．（1）求该定点P的坐标；（2）已知点A、B坐标分别为（0，1）、（2，1），若直线l与线段AB相交，求k的取值范围；（3）在0≤x≤2范围内，任取3个自变量x1，x2、x3，它们对应的函数值分别为y1、y2、y3，若以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，求k的取值范围．【答案】（1）（2，3）；（2）12k ≥；（3）﹣34＜k ＜0或0＜k ＜38 【解析】【分析】 (1)对题目中的函数解析式进行变形即可求得点P 的坐标；(2)根据题意可以得到相应的不等式组，从而可以求得k 的取值范围；(3)根据题意和三角形三边的关系，利用分类讨论的数学思想可以求得k 的取值范围．【详解】解：（1）①y ＝2kx ﹣4k +3＝2k (x ﹣2)+3，①y ＝2kx ﹣4k +3(k ≠0)恒过某一定点P 的坐标为(2，3)，即点P 的坐标为(2，3)；(2)①点A 、B 坐标分别为(0，1)、(2，1)，直线l 与线段AB 相交，直线l ：y ＝2kx ﹣4k +3（k ≠0）恒过某一定点P (2，3)，①431,2243 1.k k k -+≤⎧⎨⨯-+≥⎩解得，k 12≥； (3)当k ＞0时，直线y ＝2kx ﹣4k +3中，y 随x 的增大而增大，①当0≤x ≤2时，﹣4k +3≤y ≤3，①以y 1、y 2、y 3为长度的3条线段能围成三角形，①()430,243 3.k k -+>⎧⎨-+>⎩，得k ＜38， ①0＜k ＜38； 当k ＜0时，直线y ＝2kx ﹣4k +3中，y 随x 的增大而减小，①当0≤x ≤2时，3≤y ≤﹣4k +3，①以y 1、y 2、y 3为长度的3条线段能围成三角形，①3+3＞﹣4k +3，得k ＞﹣34， ①﹣34＜k ＜0， 由上可得，﹣34＜k ＜0或0＜k ＜38． 故答案为(1)(2，3)；(2)12k ；(3)﹣34＜k ＜0或0＜k ＜38【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．。
初中数学专项练习《有理数》100道选择题包含答案
初中数学专项练习《有理数》100道选择题包含答案一、选择题(共100题)1、2020年“五一”假日期间，某电商平台网络交易总金额接近15亿元．其中15亿用科学记数法表示为（）A.1.5×10 9B.15×10 9C.1.5×10 8D.15×10 82、规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（）A.+3B.﹣3C.﹣D.+3、在下面几个说法中正确的有（）①互为相反数的两个数的绝对值相等②正数的绝对值等于它本身③一个数的相反数等于它本身，这个数是0④没有最大的整数⑤几个有理数相乘，如果负因数有奇数个，则积为负数．A.1个B.2个C.3个D.4个4、已知：a，b在数轴上位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A.a＜﹣a＜bB.|a|＞b＞﹣aC.﹣a＞|a|＞bD.|a|＞|﹣1|＞|b|5、太阳半径约696000千米，则696000用科学记数法可表示为（）A.0.696×10 6B.6.96×10 5C.0.696×10 7D.6.96×10 86、计算-3+2-1=（）A.0B.1C.-2D.37、650万用科学记数法表示应是（）A.0.65×10 7B.6.5×10 6C.65×10 5D.65×10 68、|﹣|的相反数是（）A.2014B.﹣2014C.D.﹣9、如果股票指数上涨30点记作+30,那么股票指数下跌20点记作（）A. B. C. D.10、－的倒数是( )A.-B.2C.－2D.11、-3的绝对值是（）A.3B.C.D.12、目前我国经济保持了中高速增长，2020年国内生产总值突破100万亿元，稳居世界第二，将数据“100万亿”用科学记数法表示为（）A.1×10 13B.1×10 14C.1×10 15D.1×10 1613、﹣5的倒数是（）A.5B.-5C.D.-14、比–3小–1的数是（）A.–4B.4C.–2D.215、的倒数等于（）A.-1B.1C.2018D.-201816、下列判断中，错误的有（）①0的绝对值是0；② 是无理数；③4的平方根是2；④1的倒数是-1．A.1个B.2个C.3个D.4个17、不小于-4的非正整数有（）A.5个B.4个C.3个D.2个18、在有理数-3，，，中，负数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个19、在下列四个同学所画的数轴中，正确的是( )A. B. C.D.20、小明家的冰箱冷藏室温度是7℃，冷冻室的温度是－15℃，则他家的冰箱冷藏室比冷冻室温度高（）A.8 ℃B.22 ℃C.－8 ℃D.－22 ℃21、(-1)2013的结果是（）A.-1B.1C.- 2013D.201322、-4的倒数是（）A.-4B.4C.D.23、若与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x +y的值为（）A.3B.9C.12D.2724、3的相反数是（）A.﹣3B.﹣C.D.325、如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（）A.﹣2B.0C.1D.426、下列四个数中，比-1小的数是（）A.-2B.0C.D.27、小华和小丽最近测了自己的身高，小华量得自己约1.6m，小丽测得自己的身高约为1.60m，下列关于她俩身高的说法正确的是( )A.小华和小丽一样高B.小华比小丽高C.小华比小丽低D.无法确定谁高.28、近年来，我国5G发展取得明显成效，截至2020年2月底，全国建设开通5G基站达16.4万个，将数据16.4万用科学记数法表示为（）A. B. C. D.29、下列运算结果最小的是（）A.－1＋0.5B.－1－0.5C.－1×0.5D.－1÷0.530、如图是有理数、在数轴上的位置，下列结论：① ；②；③ ；④，其中正确的是（）A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④31、﹣的相反数是（）A. ﹣B.C.D.-32、|-2020|=( )A.-2020B.2020C.D.-33、计算(0.5×105)3×(4×103)2的结果是（）A.2×10 13B.0.5×10 14C.2×10 21D.8×10 2134、下列说法正确的是（）A.若a是有理数，则-a一定是一个负数B.若一个数是有理数，则它不是正数就是负数C.正数和负数统称为有理数D.整数和分数统称为有理数35、若x=9，|y|=4，且xy＜0，则x+y的值为（）A.1B.5C.1或﹣1D.7或﹣736、计算的结果是（）A. B. C. D.37、下列运算结果为﹣3的是（）A.+（﹣3）B.﹣（﹣3）C.+|﹣3|D.|﹣（﹣3）|38、-3的绝对值的相反数是（）A.-3B.3C.D.39、在﹣4，﹣2，﹣1，0这四个数中，比﹣3小的数是（）A.-4B.-2C.-1D.040、互为相反数的两个数在数轴上对应的点之间的距离为a，则这两个数中较大的数为（）A.aB.-aC.D.-41、如果|a+2|+（b﹣3）2=0，则a b的值是（）A.-6B.6C.-8D.842、下列四个命题:①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②若a＝b，则；③如果两个角是直角，那么它们相等；④同旁内角互补，两直线平行；其中逆命题是真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个43、数轴上表示-3的点与表示+5的点的距离是（）A.3B.－2C.+2D.844、下列各组数中，互为相反数的是（）A.-(+7)与+(-7)B.-(-7)与7C. 与D.与+|-0.01|45、-的相反数是（）A.-B.C.-D.46、下列说法中正确的是（）A.-a一定表示负数B.两数比较，绝对值大的反而小C.互为相反数的两个数对应的点一定在原点两侧D.如果一个数的绝对值等于这个数的相反数,那么这个数是负数或零47、对于代数式: ，下列说法正确的是（）A.有最大值B.有最小值C.有最小值D.无法确定最大最小值48、某年国内生产总值达到136515亿元。
初中数学相似三角形经典练习难题易错题(附详解)
.相似三角形难题易错题一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________．二．解答题（共17小题）3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．4．如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．8．已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．求证：．11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC 延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．15．已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．16．如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．17．如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2=PA•PC．（提示：设法证明△PAB∽△PBC．）18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．19．如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值．20.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证提示：要证明如几何题的常用方法：①比例法：将原等式变为，故构造成以a+b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形。
初中数学相遇问题基本公式及练习题
【导语】这篇关于初中数学相遇问题基本公式及练习题的⽂章，是特地为⼤家整理的，希望对⼤家有所帮助！ 相遇问题基本公式 相遇路程÷（速度和）=相遇时间（速度和）×相遇时间=相遇路程 甲的速度=相遇路程÷相遇时间－⼄的速度 标准型1、甲、⼄两列⽕车同时从相距700千⽶的两地相向⽽⾏，甲列车每⼩时⾏85千⽶，⼄列车每⼩时⾏90千⽶，⼏⼩时两列⽕车相遇？已知相遇路程和（速度和）求相遇时间 2、两列⽕车从两个车站同时相向出发，甲车每⼩时⾏48千⽶，⼄车每⼩时⾏78千⽶，经过2.5⼩时两车相遇。
两个车站之间的铁路长多少千⽶？已知相遇时间和（速度和）求相遇路程 3、甲、⼄两列⽕车同时从相距988千⽶的两地相向⽽⾏，经过5.2⼩时两车相遇。
甲列车每⼩时⾏93千⽶，⼄列车每⼩时⾏多少千⽶？已知相遇路程、相遇时间和⼀个⼈的速度，求另外⼀⼈的速度？ 4.⼀列⽕车长152⽶,它的速度是每秒钟18⽶.⼀个⼈与⽕车相向⽽⾏,全列⽕车从他⾝边开过⽤8秒钟.这个⼈的步⾏速度是每秒多少⽶. 变化型（⼀）“⾛路或者开车”只是相遇问题的⼀个基本载体，还有⼀些习题，看上去和“⾛路、开车”没什么关系，其实质也是相遇问题。
事实上，两⼈共同完成⼀项⼯作也属于相遇问题。
1、师、徒两⼈合作加⼯550个零件，师傅每⼩时加⼯30个，徒弟每⼩时加⼯20个，⼏⼩时以后加⼯完？ 2、甲、⼄两队合修⼀条1800⽶的公路，甲队10天修完，⼄队15天修完，两队合修⼏天完成？ 3、⼀份稿件共有3600字，甲30分钟打完，甲⼄两⼈合打需要12分钟，⼄单独打需要⼏分钟？ 变化型（⼆）有时会遇到“还相距某某千⽶”或者“还有某某⼯作没完成”这样的条件，这时候要把这部分没完成的⼯作从⼯作总量中减掉。
1、甲、⼄两艘轮船从相距654千⽶的两地相对开出⽽⾏，8⼩时两船还相距22千⽶。
已知⼄船每⼩时⾏42千⽶，甲船每⼩时⾏多少千⽶？ 2、甲、⼄两队合挖⼀条⽔渠，甲队从东往西挖，每天挖75⽶；⼄队从西往东挖，每天⽐甲队少挖5⽶，两队合作8天挖好，这条⽔渠⼀共长多少⽶？ 3、师徒两⼈合作加⼯520个零件，师傅每⼩时加⼯30个，徒弟每⼩时加⼯20个，⼏⼩时以后还有70个零件没有加⼯？ 4、王明回家,距家门300⽶,妹妹和⼩狗⼀齐向他奔来,王明和妹妹的速度都是每分钟50⽶,⼩狗的速度是每分钟200⽶,⼩狗遇到王明后⽤同样的速度不停往返于王明与妹妹之间.当王明与妹妹相距10⽶时,⼩狗⼀共跑了多少⽶？ 拓展练习还有⼀些练习题相对就⽐较难⼀些，其中⼀些条件不直接给，需要找到隐含的的条件，在进⾏分析、解答。
初中数学-解分式方程100题
（2）去分母得：1+3y﹣6=y﹣1， 解得：y=2， 经检验 y=2 是增根，分式无解．
20．解方程： （1） ﹣ =0
（2）
．
【解答】解：（1）去分母得：2x﹣x+2=0， 解得：x=﹣2， 经检验 x=﹣2 是原方程的根； （2）去分母得：x2﹣4x+4﹣16=x2﹣4， 解得：x=﹣2， 经检验 x=﹣2 是增根，分式方程无解．
3．解分式方程： （1） = ；
（2） + = ．
4．解方程： （1） +3=
（2） ﹣ =1．
5．解方程 （1） + =2
（2） =1﹣ ．
6．解分式方程：
（1）
=8．
第 1 页（共 30 页）
（2）
．
7．解方程
（1）
=1
（2） =2﹣ ．
8．解方程： （1） + =1
（2） + = ．
9．解方程： （1）
50．解方程： （1） ﹣1= ．
（2） + =2．
第 7 页（共 30 页）
解分式方程 100 题
参考答案与试题解析
一．解答题（共 40 小题）
1．解方程：
（1） ﹣1=
；
（2） =1﹣ ．
【解答】解：（1）去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3， 去括号得：2x﹣2x+x+2=3， 解得：x=1， 经检验 x=1 时，分母为 0，方程无解； （2）去分母得：2x=x﹣2+1， 解得：x=﹣1， 经检验 x=﹣1 是分式方程的解．
（2）
．
38．解方程求 x： （1） ﹣ =1
初中数学经典练习题汇总
1.（2009•河南）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ，过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ； ②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当α=90°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．2.）如图，在平面直角坐标系中，已知点D 为函数y=x18（x ＞0）上 的一点，四边形ABCD 是直角梯形（点B 在坐标原点处），AD ∥BC ，∠B=90°，A （0，3），C （4，0），点P 从A 出发，以3个单位/秒的速度沿直线AD 向右运动，点Q 从点C 同时出发，以1个单位/秒的速度沿直线CB 向左运动． （1）求点D 的坐标；（2）从运动开始，经过多少时间以点P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形为平行四边形？ （3）当运动时间t=32秒时，在y 轴上找一点M ，使得△PCM 是以．PC ．．为底．．的等腰三角形时，请求出点M 的坐标．5．（7分）3月12日“植树节”这天，某校组织师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？3．如图直线y ＝kx +2k (k ≠0)与x 轴交于点B ，与双曲线y ＝(m +5)x 2m +1交于点A 、C ，其中点A在第一象限，点C 在第三象限.（1）求双曲线的解析式；（2）求B 点的坐标； （3）若S △AOB ＝2，求A 点的坐标；（4）在（3）的条件下，在x 轴上是否存在点P ， 使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出P 点的坐标； 若不存在，请说明理由.4.如图所示在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A ＝90°，AB ＝12，BC ＝21，AD=16.动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t （秒）.（1）设△DPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式； （2）t 为何值时，△DPQ 的面积是60.（3）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？ （4）当t 为何值时， PD ＝PQ.6．（7分）如图，已知一次函数y=k 1x+b 的图象与反比例函数y=xk 2的图象交于A （1，-3），B （3，m ）两点，连接OA 、OB ．（1）求两个函数的解析式； （2）求△ABC 的面积．A B Oxy7．（8分）如图，以△ABC 的三边为边，在BC 的同侧作三个等边△ABD 、△BEC 、△ACF ．（1）判断四边形ADEF 的形状，并证明你的结论；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？是矩形？ 8．（8分）为了缓解用电紧张的矛盾，某电力公司特制定了新的用户用电收费标准，每月用电量x （度）与应付电费y （元）的关系如图所示．（1）根据图象，请分别求出当500≤≤x 和x >50时，y 关于x 的函数关系式；（2）请回答：当每月用电量不超过50度时，收费标准是________________； 当每月的用电量越过50度时，收费标准是________________． 9．（本题满分10分）如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D 点，E 为BD 上的一点，EG ∥AD ，分别交AB 和CA 的延长线于F 、G 两点，∠AFG=∠AGF （1）求证：△ABD ≌△ACD ．（2）若∠ABC=40°，求∠GAF 的大小．A FEDCB20.(本小题8分)已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．（1）猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想．（2）求折痕EF的长．23.(本小题10分) 我区浙江中国花木城组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的苗木共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种苗木，由信息解答以下问题：苗木品种 A B C每辆汽车运载量（吨）12 10 8每吨苗木获利（万元） 3 4 2（1）设装A种苗木车辆数为x，装运B种苗木的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）若装运每种苗木的车辆都不少于2辆，则车辆安排方案有几种？写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润。
初中数学规律题汇总(全部有解析)讲解学习
初中数学规律题汇总(全部有解析)初中数学规律题拓展研究“有比较才有鉴别”。
通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。
然后再简化代数式a+(n-1)b。
例：4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1) 6＝6n－2（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。
（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
找出的规律，通常包序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中精选数学计算题200道
计算题 c l1.33+（π+3）º-327 +∣ 3 -2∣2. 5x+2x²+x=3x+13. 3-xx-4+14-x=14. x²-5x=05. x²-x-1=06. 化简239x +6x4-2x1x7. 因式分解x4-8x²y²+16y48.22x+1+12x-1=54x²-19. 因式分解（2x+y）²-(x+2y)²10. 因式分解-8a²b+2a³+8ab²11. 因式分解a4-1612. 因式分解3ax²-6axy+8ab²13. 先化简，再带入求值（x+2）(x-1)-x²-2x+1x-1,x= 314. ( - 3 )º-∣-3∣+(-1)2015+(1 2)-115. (1a-1-1a²-1)÷a²-aa²-116. 2(a+1)²+(a+1)(1-2a)17. (2x-1x+1-x+1)÷x-2x²+2x+118. (-3-1)×(- 32)²-2-1÷(-12)³19.12x-1=243-21x20. (x+1)²-(x+2)(x-2)21. sin60°-∣1- 3 ∣+（12）-122．（-5）16×(-2)15 (结果以幂的形式表示)23. 若n为正整数且（m n）²=9,求（13m3n）³(m²)2n24. 因式分解a²+ac-ab-bc25. 因式分解x²-5x+626. 因式分解(x+2)(x+3)+x²-427. 因式分解(a²+1)²-4a²28. -12016+18÷(-3)×∣-12∣29. 先化简，再求值3(x²+xy-1)-(3x²-2xy),其中x=1，y= - 1 530. 计算3-4+5-(-6)-731. 计算-1²+(-4)²×∣-18∣-8²÷(-4)³32.计算20-（-7）-∣-2∣33.计算（13-59+1112）×(-36)34.计算（-1）²- 14×[2- (-3)²]35. 解二元一次方程组x-2y=1 ①x+3y=6 ②36. 解二元一次方程组2(x-y)3-x+y4= -112①5y-x=3 ②37. 解二元一次方程组x+2y=6 ①3x-2y=2 ②38. 解不等式3（x-1）＞2x+239. 解不等式3x+13-7x-35≤2+2(x-2)1540. 化简a(a-1)²-(a+1)(a²-a+1)41. (aa-b+bb-a)÷1a+b42. 当m=15-2,求代数式m+1m43. （12）-1 - （ 2 -1）º+∣-3∣+tan45º-cos60ºcos30º·tan60°44. 先化简再求值x²-5x+63x²-3x·(1-3x+1)·(1+2x-3),其中x= 345. 先化简再求值x-yy²-x²,其中x=-1，y=246. 解方程x²-3x=047. 6-(-2)²·2-1+（-3.14）º+3-8 +cos²45°48. 计算（ 3 ）²+4×（- 12）-2³49. 先化简，再求值（a+b）(a-b)+b(b-2),其中a= 2 ,b=-150. 计算 4 -（15+2）º+(-2)³÷3-151. 计算12-1- 3tan²30°+2(sin45°-1)²52. 化简[aa-b+b²a(b-a)]÷a+bab53. 计算- 2²+(3-3.14)º+3sin30°54. 计算（13）-1+（2006-π）º- 3 tan60°55. 计算2013-（π-3.14）º+∣-3∣+（-1）56.57.计算：﹣．58. 计算：．59. 计算：．60.计算：．61. 计算：．62. （a﹣2）2+4（a﹣1）﹣（a+2）（a﹣2）63. （﹣1）2013﹣|﹣7|+×+（）﹣1；64. ．65. 计算：．66. 解方程：．67. 计算：．68. 解方程：=﹣． 69. 求不等式组的整数解． 70. 先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=+1．71. 解方程：72.73. 先化简，再求值：÷+，其中x=2+1．74. 解方程：．75. 计算：．76. 计算：（1+）2013﹣2（1+）2012﹣4（1+）2011．77. 计算：．78. 计算：011821()2π-+--+ ．79. 解方程组： 22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩．80. 计算：（﹣1）3+（+1）0+． 81. 解不等式组：．82. 先化简，再求值：÷（x+1﹣），其中x=﹣2．83. ∣-5∣+2²-( 3 +1)º84. 2×(－5)＋23－3÷1285. 22＋(－1)4＋(5－2)0－|－3| 86.()()0332011422---+÷-87. a a ²-b² -a a-b ÷b b-a88. 2x x ²-4- 1x-289. （a+b ）2+b （a ﹣b ）． 90. (a - 1a )÷a-1a91. 2111x x x -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭92.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋ 1 x －2÷ x 2－2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5．93. （a ﹣1+）÷（a 2+1），其中a=﹣1．94. 2121(1)1a a a a++-⋅+，其中a 2-1.95.)252(423--+÷--a a a a ， 1-=a 96. 化简求值： 111(11222+---÷-+-m m m m m m ）,其中m =3．97. 化简2111x x x -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭98.化简：xx x x x x x x x 416)44122(2222+-÷+----+, 其中22+=x 99. 化简并求值：221122a b a b a a b a -⎛⎫--+ ⎪-⎝⎭，其中33a b =-=-．100.计算：332141222+-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+a a a a a a a ．101. 先化简，再求值：13x -·32269122x x x x x x x-+----，其中x ＝－6．102.先化简再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1a －1÷a 2－4a ＋4a 2－a ，其中a ＝2＋ 2 .103. 先化简，再求值：a －1a ＋2·a 2＋2a a 2－2a ＋1÷1a 2－1，其中a 为整数且－3＜a ＜2.104. 先化简，再求值：222211yxy x x y x y x ++÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-，其中1=x ，2-=y ．105. 先化简，再求值：2222(2)42x x x x x x -÷++-+，其中12x =. 106.先化简，再求值222112()2442x x x x x x-÷--+-，其中2x =107. 22221(1)121a a a a a a +-÷+---+． 108.先化简再求值：1112421222-÷+--•+-a a a a a a ，其中a 满足20a a -=．109. 先化简：144)113(2++-÷+-+a a a a a ，并从0，1-，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值。
初中数学正负数的加减乘除运算分类练习题
正负数的加减乘除运算练习数 学 练 习（一）〔有理数加减法运算练习〕一、加减法法则、运算律的复习。
A ．△同号两数相加，取__________________,并把____________________________。
1、（–3）+（–9）2、85+（+15）3、（–361）+（–332） 4、（–3.5）+（–532）△绝对值不相等的异号两数相加，取_________________________,并用____________________ . 互为__________________的两个数相加得0。
1、(–45) +（+23）2、（–1.35）+6.353、412+（–2.25） 4、（–9）+7△ 一个数同0相加，仍得_____________。
1、（–9）+ 0=______________;2、0 +（+15）=_____________。
B ．加法交换律：a + b = ___________ 加法结合律：(a + b) + c = _______________1、（–1.76）+（–19.15）+ (–8.24)2、23+（–17）+（+7）+（–13）3、（+ 341）+（–253）+ 543+（–852） 4、52+112+（–52）5、－57＋（＋101） 6、90－（－3）7、－0.5－（－341）＋2.75－（＋721） 8、 712143269696⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．有理数的减法可以转化为_____来进行。
△减法法则：减去一个数，等于_____________________________。
即a –b = a + ( )1、（–3）–（–5）2、341–（–143） 3、0–（–7）D ．加减混合运算可以统一为_______运算。
即a + b –c = a + b + _____________。
1、（–3）–（+5）+（–4）–（–10）2、341–（+5）–（–143）+（–5）△把–2.4–（–3.5）+（–4.6）+ (+3.5)写成省略加号的和的形式是______________，读作:__________________________，也可以读作：__________________________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
蝴蝶定理[蝴蝶定理] 已知圆O，PQ是一条弦，设M为弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。
SM。
MT。
∵△SMD∽△CMB，且SD=1/2ADBT=1/2BC，∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。
Y。
M均是四点共圆，∴∠XOM=∠YOM∵OM⊥PQ∴XM=YM[推广] 二次曲线S的三条弦AB,CD,EF交于一点M,ED交AB于Q,CF交AB于P,则1/QM-1/PM=1/AM-1/BM.以M为原点，AB为x轴，S:Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,CD:y=k1x,EF:Y=k2x,过C,D,E,F四点的二次曲线系方程：S+t(y-k1x)(y-k2x)=0.令y=0,得(A+tk1k2)x^2+Dx+F=0,其根为曲线与横轴交点的横坐标，则Fx^2+Dx+A+tk1k2=0根为横坐标的倒数，其和=-D/F为定值。
即1/QM+1/(-PM)=1/AM+1/(-BM).得证。
蝴蝶定理蝴蝶定理蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法。
至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
这里介绍一种较为简便的初等数学证法。
证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。
∵△AMD∽△CMB∴AM/CM=AD/BC∵SD=1/2AD，BT=1/2BC∴AM/CM=AS/CT又∵∠A=∠C∴△AMS∽△CMT∴∠MSX=∠MTY∵∠OMX=∠OSX=90°∴∠OMX+∠OSX=180°∴O，S，X，M四点共圆同理，O，T，Y，M四点共圆∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX∴∠MOX=∠MOY ，∵OM⊥PQ∴XM=YM这个定理在椭圆中也成立，如图１，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点Ｃ（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞０）；直线y=k2 x交椭圆于两点Ｇ（x3，y3），Ｈ（x4，y4）（y４＞０）。
求证：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证：| OP | = | OQ |。
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。
满分15分。
（Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1焦点坐标为x代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2， （Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k整理，得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0根据韦达定理，得x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)，x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)所以结论成立。
（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。
由C，P，H共线，得(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)由D，Q，G共线，同理可得q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)所以|p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。
3．简评本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。
试题入门容易，第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。
第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。
待证式子中含有x1x2，x1+x 2，x3x4，x3+x4这样的对称式，式子结构对称优美，和谐平衡，使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理，启示了证明问题的思路。
这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。
解两个联立的二元二次方程组，用代入消元法得到一元二次方程，分离系数利用韦达定理给出关于x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表达式，再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。
证明的过程中，由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个证明过程也令人赏心悦目，感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。
第（Ⅲ）问证明中用到了三点共线的充要条件，用到了过两点的直线的斜率公式，分别解出p，q以后，|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q（或p+q=0。
）此时分析前提条件（Ⅱ）及待证结论p= -q，关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/ (k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系。
参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程，使人不易看出沟通的线索，以及命题人变形的思路，因此读者理解起来感到困难。
如果将两式做如下变形，则思路就显然顺畅自然。
设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2 /x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’将①’两边同乘以k1·k2，即得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4它与②’完全一样。
这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。
思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。
综观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。
4．赏析：上面我们看到，试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目，至此，我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的？它的背景是什么？它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示？关于圆，有一个有趣的定理：蝴蝶定理设AB是圆O的弦，M是AB的中点。
过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE分别交AB于H、G。
则MH=MG。
这个定理画出来的几何图，很像一只翩翩飞舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（图2）。
盯着试题的图1仔细看，它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶？像，而且像极了。
试题的证明过程及结果告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法证明的。
如果令椭圆的长轴，短轴相等，即a=b，则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理，上面的证明一样适用。
由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得，故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。
“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。
”读者诸君欣赏至此，是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心？[关于“椭圆上的蝴蝶”，张景中院士在其献给中学生的礼物一书《数学家的眼光》“巧思妙解”一节中有着精妙的论述，有兴趣的读者请参阅该书P54-59]。
5．启示椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，飞落到了北京数学高考试题的百花（草）园，令人欣喜异常。
它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景，然而这里证明它，却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式，用到了解析几何最基本的方法。
高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修）数处提到三点共线问题，如P13习题一第14题：已知三点A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。
求证：三点在一条直线上：P17练习4：证明：已知三点A、B、C，如果直线AB、AC的斜率相等，那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证明三点A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证明：三点A （-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一条直线上。
你看，课本上的练习、习题、复习参考题，反复提到了三点共线的证明，并且强调用不同的方法来证明。
为什么？你（老师、学生）关注到了它吗？实际上，三点共线的不同证明，可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来，组织起来。
你可以用基本公式——平面上两点间的距离公式证明｜AC｜=｜AB∣+∣BC∣；你也可以应用定比分点公式x=（x1+λx2）/（1 +λ）,y=（y1+λy2）/（1+λ）去证λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1），去证KAB=KAC；你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0，然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x,y) =0；你也可以在建立直线AB的方程之后，利用点到直线的距离公式证明dc-AB=0；你还可以计算△ABC的面积，去证Ｓ△ABC=0。
你看，有五、六种方法可以解决同一个问题，当然难度有高有低。
一题多解中选择方法、优化方法也是能力（洞察、观察）的体现，从比较中才可以鉴别方法的优劣。
据说考试下来，有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第（Ⅲ）问很懊悔，一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”！不知读者诸君欣赏至此，能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里？北京市有许多重点中学的师生，对高中数学课本的习题不屑一顾，很少去钻研教材中的例题、习题，去寻求与发现知识之间的内在联系，去总结解题的原则、思路与规律。