高中数学第一章立体几何1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球课件新人教B版必修2
高中数学必修2第1章112圆柱圆锥圆台和球课件(31张)
方法归纳 不规则平面图形旋转形成的几何体的结构特征的分析方法
2．若将题(1)中的第②个平面图形旋转一周，想象并说出它 形成几何体的结构特征． 解：如下图所示，①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是 梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以 旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该组合体是 由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．
______________________________________________
__________
3．下图中的组合体的结构特征是 _由__一__个__四__棱_台__挖__去__一__个_圆__柱__构__成__的_________________
解析：此几何体是由一个四棱台挖去一个圆柱构成的． 4．根据“球”的定义,乒乓球是“球”.这种说法是否正确？ 解：不正确．数学中的球，是球体的简称，它包括球面及其 所围成的空间部分．所以生活中的乒乓球不是数学中的球， 而是球面．
形的
__垂__直__于__轴______的边
__直__角__边____ _所在直线为
旋__转__而__成__的__圆叫面做圆锥
圆 锥
旋转轴，其 余两边旋转 形成的面所
围成的旋转
的底面；侧面：直角三 角_转_形而__的成_斜_的_____曲____面______边__旋__
体叫做
叫做圆锥的侧面；母线：
方法归纳 简单组合体识别的要诀 (1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征． (2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式． (3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地 作出辅助线(或面)．
3. 如图所示，几何体可以看作是由一个___长_方__体______和一 个长_方__体_____组合而成的简单组合体，也可以看作是由一个 __正__方_体___去掉一个_长_方__体____形成的几何体．
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引入：观察这些美丽的的图片， 你发现了什么？
球与多面体的 切接问题
思考：球与多面体的切和接是什么意思？
定义1： 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 定义2： 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球
人教B版高中数学必修2第一章.3圆柱 、圆锥 、圆台 和球课 件
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探究二：球与正四面体的切接问题 1、正四面体内切球
结论：半径与棱长的关系
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半径比值为：
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探究二：球与正四面体的切接问题
小组探究： 1、如何确定球心？ 2、分别写出正四面体内切球、棱切球、 外接球半径R与棱长a的关系？
要 求： 1、在学案上作图完成探究. 2、小组代表展示成果.
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探究一：球与正方体的切接问题 1、正方体内切球（球外切正方体）
结论：半径与棱长的关系
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探究一：球与正方体的切接问题 2、正方体棱切球
结论：半径与棱长的关系
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小结：球与正四面体的切接问题
人教B版必修二：第一章-立体几何初步-1.1.3ppt课件
教
学 教
1．1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
思 想
法 分
教师用书独具演示
方 法
析
技
巧
教
学
当
方 案
●三维目标
堂 双
设
基
计 1．知识与技能
达 标
课
前 自
(1)会用语言概述圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．
课
主
时
导 学
(2)理解由柱、锥、台、球组成的组合体的结构特征．
作 业
课 (3)能运用组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型．
基 达
标
课 前
征．在此基础上，再通过让学生说一说、举一举等方式，明
自
课
主 导
确组合体的结构特征，最终达到通过空间图形培养和发展学
时 作
学
业
生的空间想象能力的目的．
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
教
学
教
法
●教学流程
分
析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
互
动 探
何体．
究
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 必修2
教
学
思
教
想
法
方
分
法
析
技
巧
教 学
(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中垂线为轴， 当
方
堂
案 设
各边旋转180°形成的面所围成的几何体．
双 基
计
达
课
(3)类比棱椎的定义圆台还可以如下得到：
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数学1.1.3圆柱圆锥圆台和球人教B版必修2可用
12
圆柱、圆锥、圆台
名称 圆柱
圆锥
圆台
图形
l
hl
h
r
r
r
hl
R
以矩形一边所在 直线为轴，其余 定义 各边旋转而成的 曲面所围成的几 何体。
轴截面是全等的
性质
矩形
以直角三角形一直 角边所在直线为轴， 其余各边旋转而成 的曲面所围成的几
何体
轴截面是全等等腰 三角形
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上底面
母线 轴
侧面
母线
下底面
3．圆台的表示方法：用表示它的轴的字 母表示，如圆台OO’。
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11
4．圆台具有以下性质： （1）圆台的底面是两个半径不等的圆，两圆 所在的平面互相平行又都和轴垂直； （2）平行于底面的截面是圆； （3）通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面 是全等的等腰梯形； （4）任意两条母线（它们延长后会相交）确 定的平面，截圆台所得的截面是等腰梯形； （5）母线都相等，各母线延长后都相交于一 点。
16
（3） r R2 d2 (其中r为截面圆半径， R为球的半径，d为球心O到截面圆的距离，
即O到截面圆心O1的距离；
5．球面距离：在球面
上，两点之间的最短距
离就是经过两点的大圆
在这两点间的一段劣弧
的长度。这个弧长叫做
两点的球面距离。
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球面距离
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2．相关概念： （1）球面：球面可以看作一个半圆绕着它 的直径所在的直线旋转一周形成的曲面； （2）球心：形成球的半圆的圆心叫做球心； （3）半径：连接球面上一点和球心的线段 叫球的半径； （4）直径：连接球面上的两点且通过球心 的线段叫球的直径；
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1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
实习作业
1.2.2 空间中的平行关系
本章小结
ห้องสมุดไป่ตู้
第二章 平面解析几何初步
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
2.2.2 直线方程的几种形式
2.2.4 点到直线的距离
2.3.2 圆的一般方程
2.3.4 圆与圆的位置关系
2.4.2 空间两点的距离公式
阅读与欣赏
笛卡儿
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1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球 的表面积
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1.1.7 柱、锥、台和球的体积
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后记
第一章 立体几何初步
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1.1 空间几何体
1.1.1
构成空间几何体的基本元素
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1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结 构特征
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0002页 0040页 0102页 0185页 0223页 0295页 0343页 0365页 0411页 0460页 0490页 0520页 0548页 0570页 0601页 0603页
第一章 立体几何初步
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.4 投影与直观图
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
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1.1.4 投影与直观图
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1.1.5 三视图
高中数学1.1空间几何体1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球课堂探究新人教B版必修2(2021年整理)
高中数学1.1 空间几何体1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球课堂探究新人教B 版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学1.1 空间几何体1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球课堂探究新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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1。
1.3 圆柱、圆锥、圆台和球课堂探究探究一概念辨析题(1)对于旋转体，必须清楚直角梯形必须绕其垂直于底边的腰旋转才能形成圆台；直角三角形必须绕直角边旋转才能形成圆锥；圆柱是由矩形绕其一边旋转而形成的几何体，类比棱台的定义，圆台也可以看作是一个圆锥被一个平行于底面的平面所截得的．（2）对于组合体我们要弄清楚它是由哪几个简单的几何体组合而成的，尤其对于旋转体先要看清所选取的旋转轴，再结合圆柱、圆锥、圆台和球的定义加以判断．【典型例题1】 (1）下列说法中正确的是( ）A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的C．圆柱不是旋转体D．圆台可以看作是由平行于底面的平面截一个圆锥而得到的解析：根据旋转体的定义及圆锥与圆台的内在联系易知D正确．答案：D（2)如图，由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个几何体，下面说法不正确的是（）A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点解析:旋转180°后形成的组合体是由一个圆锥、一个球体、一个半球、一个圆柱和一个圆台组合而成，故选项A不正确．答案：A探究二简单旋转体的计算问题（1)对于圆柱的性质，要注意以下两点：一是轴线垂直于圆柱的底面;二是三类截面的性质——平行于底面的截面是与底面全等的圆，轴截面是一个由上、下底面圆的直径和母线组成的矩形、平行于轴线的截面是一个由上、下底面圆的弦和母线组成的矩形．（2）对于圆锥的性质，要注意以下两点：一是两类截面-—平行于底面的截面是与底面相似的圆,过圆锥的顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形；二是圆锥的母线l、高h和底面圆的半径R组成一个直角三角形．有关圆锥的计算，一般归结为解这个直角三角形,往往会用到关系式l2＝h2＋R2．（3)对于圆台的性质，要注意以下两点：一是圆台的母线共点，所以由任意两条母线确定的截面为一等腰梯形，但是与上、下底面都相交的截面不一定是梯形；二是圆台的母线l、高h和上底面圆的半径r、下底面圆的半径R组成一个直角梯形，且有l2＝h2＋（R－r)2成立，有关圆台的计算问题,常归结为解这个直角梯形．【典型例题2】轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2,求其底面周长和高．思路分析：作出圆柱的轴截面，建立轴截面边长和圆柱底面半径、高之间的关系，进而求解问题．解：如图所示,作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r cm,则AB＝AD＝2r．其面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16，解得r＝2．所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π（cm)，高2r＝4(cm）．点评解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的基本量：底面半径、高（母线）与轴截面矩形之间的关系，注意在轴截面矩形中的一边长为圆柱的高，另一边长为圆柱的底面直径．【典型例题3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台的上、下底面半径的比是1∶λ,截去圆锥的母线长是l0，求圆台的母线长．解：作原圆锥的截面图如图所示，设圆台的母线长为l,截得圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x，λx，根据相似三角形的性质得：00l l l +＝x x λ＝1λ，所以l ＝l 0(λ－1）． 点评圆锥平行于底面的截面是一个圆面，过圆锥的顶点作的截面是一个等腰三角形，利用相似三角形的理论来求解圆台母线的长，体现了将立体几何问题转化为平面几何问题处理的基本思想．探究三 组合体问题组合体问题中常见的主要是切接问题,解决此类问题关键要画出组合体的核心截面，并保证截面图能搭建起两个或多个几何体的内在联系，能反映出各个几何体的核心元素,这样就将立体几何问题的计算归结为平面几何问题的计算．【典型例题4】若圆锥的轴截面是一个面积为2的正三角形，那么其内切球的半径为( )A ．4πcmB ．6cm C．解析:轴截面如图所示，设正三角形SAB 的边长为a cm ，圆O ′的半径为R cm,则12××a2a＝ 所以a ＝6．又S △SO ′B ＋S △SO ′A ＋S △AO ′B＝,所以3×12×6×R＝RC ．答案：C【典型例题5】 一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x 的内接圆柱． (1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ． （2）当x 为何值时，S 最大？思路分析：考虑应用轴截面中的平行关系列比例式解决．解：(1)根据题意作截面图如图所示,设内接圆柱的底面圆半径为r ， 由已知得66x -＝2r, 所以r ＝63x -． 所以S ＝2·63x -·x ＝－23x 2＋4x ，其中0＜x ＜6． （2)当x ＝－422()3⨯-＝3时，S 最大．点评 涉及立体几何中的最值问题，一般是设出变元，利用函数思想来解决． 探究四 球中的计算问题解决有关球的问题时常用到如下性质：(1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直． （2)如果分别用R 和r 表示球的半径和截面圆的半径，用d 表示球心到截面的距离,则R 2＝r 2＋d 2．球的有关计算问题,常归结为解这个直角三角形问题．【典型例题6】 已知A ，B ,C 是球O 上的三点，AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，球O 的半径等于13，则球心O 到△ABC 所在小圆的距离为__________．思路分析：本题考查了球的性质及截面的性质应用，同时考查了学生识图能力和运算能力．解答本题的关键是AB 为小圆的直径．解析:因为AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，所以△ABC 为Rt △且AB 为点A ，B ，C 所在小圆的直径． 所以r ＝5．轴截面图如图,所以d 2＝R 2－r 2＝132－52＝122，所以d ＝12． 答案：12 探究五 易错辨析易错点:不理解球面距离的含义而致误【典型例题7】 设地球半径为R ，在北纬45°圈上有A ,B 两地，它们的纬线圈上的劣弧长等于4R ,求A ，B 两地间的球面距离． 错解:如图所示,A ，B 是北纬45°圈上两点，O ′为此纬线圈的圆心，易知∠AO ′B 所对的劣弧AB 的长为所求球面距离．故A ，B 两地间的球面距离为4R ． 错因分析：没有理解A ，B 两地间的球面距离是过A ，B 两点的大圆在A ，B 间的劣弧长度． 正解：如图所示，A ，B 是北纬45°圈上的两点，AO ′为此纬线圈的半径，所以OO ′⊥AO ′，OO ′⊥BO ′． 因为∠OAO ′＝∠OBO ′＝45°，所以AO ′＝BO ′＝OA R ． 设∠AO ′B 为α°，则180απ·AO ′＝180απ·2R ＝4R ，所以α＝90．连接AB,则AB＝R．在△AOB中，AO＝BO＝AB＝R，则△AOB为正三角形，所以∠AOB＝60°．所以A，B两地间的球面距离为60180Rπ＝3πR．。
03《圆柱、圆锥、圆台和球》课件(新人教B版必修2)
（5）轴截面是等腰三角 形．
O B
底面
圆台的结构特征 如何描述它们具有的共同结构特征？
圆台 圆柱、圆锥可以看
作是由矩形或三角形绕 用一个平行于圆锥底面的 其一边旋转而成，圆台 平面去截圆锥，底面与截面之 是否也可看成是某图形 间的部分是圆台. 绕轴旋转而成？ O’
O
圆台的性质: ①圆台的轴通过两底面圆的圆心,并 且与底面垂直. ②圆台的母线长都相等. ③平行于底面的截面都是圆. ④轴截面(经过圆台轴的平面截圆台所得的 截面)是全等的等腰梯形,腰长就是母线长.
O P
Q
例2.我国首都靠近北纬40°纬线。求北纬 40°纬线的长度约等于多少km（地球半径 约为6 370km）.
K
A
A
40°
O
B
轴截面
O
B
解:如图，A是北纬40°纬线上的一点，AK是它的 半径，所以OK⊥AK.设c是北纬40°的纬线长， 因为∠AOB=∠OAK=40°，所以 c =2π·AK = 2π·OAcosOAK
如何描述右图的几何结构特征？
圆锥的结构特征
圆锥
以直角三角形的一条直角边 所在直线为旋转轴，其余两边旋 转形成的曲面所围成的几何体叫 做圆锥．
S
顶点
性质 （1）底面是圆 母 （2）侧面展开图是以母线长为半径的扇形 线 （3）母线相交于顶点 （4）平行于底面的截面是与底 面平行且半径不相等的圆
A
轴 侧 面
（4）经过球面上不同的两点只能作一个大圆. (5)球半径是5，截面圆半径为3,则球心到截 面圆所在平面的距离为4.
（ ( × )
√）
经度纬度
经度的定义
纬度的定义
地球的经度
经度纬度
高中数学人教B版必修2第一章立体几何初步1.1.3圆柱、圆锥、圆台课件
为
r，则由已知可得6－x＝ r，所以
r＝6－
x .
62
3
所以轴截面面积 S＝2×6－x·x＝－2x2＋4x，
3
3
(0<x<6)．
(2)由(1)可得，S＝－2(x－3)2＋6，x∈(0,6)， 3
所以当 x＝3 时，S 最大．
【点评】 轴截面是旋转体中一类重要的截面， 它是把立体几何问题向平面几何问题转化的重要 桥梁．圆柱、圆锥的轴截面有无数个，作图时要 注意已知量与未知量的联系，即将未知量和有用 的已知量充分显示在轴截面图形中，从而有利于 问题的解决． 跟踪训练2 设圆锥的高为h，底面圆的半径为r， 把它的侧面沿一条母线切开展平成一个扇形，求 扇形的圆心角．
解 ：过内接 正方体的 一组对 棱作圆锥 的轴截面 ，如 图所示． 设圆锥内接正方体的棱长为 x，则在轴截面中，正方 体的对角面 A1ACC1的一组邻边的长分别为 x和 2x.
∵△ VA1 C1 ∽△ VMN， ∴ 2x＝h－x，
2r h
∴ 2hx＝2rh－2rx，
∴x＝ 2rh . 2r＋ 2h
【解】 设圆台的上底面半径为 r，则下底面 半径为 2r. 将圆台还原成圆锥，作轴截面如图所示，则 ∠ASO＝30°. 在 Rt△SA′O′中，SA′＝ r ＝2r，
sin 30°
在 Rt△SAO 中，SA＝sin23r 0°＝4r，
∴AA′＝SA－SA′＝2r， 即 2r＝8，∴r＝4. ∴S ＝ 上底 πr2＝16π，S 下底＝π·(2r)2＝64π.
即圆锥内接正方体的棱长为 2rh 2r＋
. 2h
课堂小结
1．对于圆柱的性质，要注意以下两点：一是连心 线垂直于底面；二是三个截面的性质——平行于底 面的截面与底面全等，轴截面是一个由上、下底面 圆的直径和母线所组成的矩形，平行于轴线的截面 是一个以上、下底面圆的弦和母线组成的矩形． 2．对于圆锥的性质，要注意以下两点：一是两类 截面——平行于底面的截面是与底面类似的圆面， 圆锥的过顶点且与底面相交的截面是一个由两条母 线和底面圆的弦组成的等腰三角形；
数学：1.1.3《圆柱、圆锥、圆台和球》课件(新人教B版必修2)
你能从旋转体的概念说说它们是由什么图形旋转而成的吗？
旋转体
你能想象这条曲线绕轴旋转而成的几何图形吗？
O
球心
几何体的分类
柱体
锥体
台体
球
多面体
旋转体
知识小结
简单几何体的结构特征
柱体
棱柱 圆柱
锥体 棱锥 圆锥
台体 棱台 圆台
球
日常生活中我们常用到的日用品，比如：消毒液、 暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么？ 由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体．认 识它们的结构特征要注意整体与部分的关系．
圆柱 圆台
S
顶点
（1）底面是圆 （2）侧面展开图是以母线长为半径的扇形 母 （3）母线相交于顶点
轴 侧 面
（4）平行于底面的截面是与底 面平行且半径不相等的圆
（5）轴截面是等腰三角 形．
A
线
O B
底面
前面提到的四种几何体：棱柱、棱锥、圆柱、圆 锥，可以怎样分类？
几何体的分类
柱体
锥体
棱台与圆台的结构特征 下图中的物体具有什么样的共同的结构特征？有 什么不同的结构特征？
有一个面是多边形，其余 各面都是有一个公共顶点的三 角形所围成的几何体叫棱锥．
S
顶点
（1）底面是多边形 （2）侧面都是三角形． （3）侧棱相交于一点．
侧棱
侧面
D
C 底面
B
A
圆柱的结构特征
如何描述下图的几何结构特征？
A′ O′
A
O
圆柱的结构特征
如何描述下图的几何结构特征？
圆柱
底面 以矩形的一边所在直线为 旋转轴，其余边旋转形成的曲 面所围成的几何体叫做圆柱．
简单组合体
人教B版高中数学必修二课件第一章1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球
2 ＝4 3
3
3(cm)．
2
∴S△ASB＝12SO·2AO＝4 3 3(cm2)．
∴圆锥的母线长为433 cm，
圆锥的轴截面的面积为433 cm2.
[悟一法] (1)圆柱、圆锥、圆台的轴截面将其母线、高、上下底面 半径有机地结合在一起，充分利用轴截面可进行相关元 素间的计算． (2)在研究和处理旋转体的相关问题时，通常作出几何体 的轴截面，如圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、 等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体 的各主要元素．
过 B 作 BE 垂直于赤道平面于 E， 则∠BOE＝30°. ∵OO1 垂直于赤道面， ∴∠O1OB＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴过点 A、B 的球大圆的劣弧长 AB＝23πR. 即 A、B 两点的球面距离为23πR.
[悟一法] 要求A、B两点的球面距离，需求出过A、B两点的大圆劣 弧所对的圆心角，因此需要通过角的转化求出∠AOB的大 小．
[研一题] [例2] 一个圆锥的高为2cm，母线与轴的夹角为30°，求 圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积． [自主解答] 画出圆锥的轴截面． 如图，设圆锥SO的底面直径为AB， SO为高，SA为母线， 则∠ASO＝30°.在Rt△SOA中，
AO＝SO·tan30°＝2 3 3(cm).
SA＝coSsO30°＝
[通一类] 3．指出图中的两个奖杯分别是由怎样的几何体组成的．
解：图①是由两个圆柱，一个圆台组合而成的； 图②是由一个圆锥，一个圆柱，一个圆台组合而成的．
[研一题] [例4] 地球半径为R，在北纬30°的圆上，A点经度为东 经120°，B点的经度为西经60°，则A、B两点的球面距 离是多少？ [自主解答] ∵点A、B都在北纬30°的圆上，A点经度为 东经120°，B点的经度为西经60°， ∴A、B两点的连线是30°纬线圆的直径， 设球心为O，小圆的圆心为O1，
高中数 圆柱圆锥圆台和球课件 新人教B必修
1.圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以______矩__形__的__一_、边 _直__角__三__角__形__的__一__条__直__角__边__、_直__角__梯__形__中__垂__直__于__底__边__的__腰__所在 的直线为旋转轴，将其分别旋转一周而形成的曲面所围成的几 何体，旋转轴叫做所围成几何体的_____轴___；在轴上的这条边( 或它的长度)，叫做这个几何体的_____高___；垂直于轴的边旋转 而成的圆面叫做这个几何体的____底__面__；不垂直于轴的边旋转 而成的曲面叫做这个几何体的_____侧__面_，无论旋转到什么位置 ，这条边都叫做___侧__面__的__母__线_．
2．(1)球可看作一个___半__圆___绕着它的__直__径__所__在__直__线__旋
转一周所形成的曲面围成的几何体，形成的曲面叫做________
，球形面成球的半圆的圆心叫做________；连球接心球面上一点和球心
的线段叫做球的________；连半接径球面上两点且经过球心的线段
叫做球的________；球面直所径围成的几何体叫做________．
小圆
(5)在球面上两点之间的最短距离就是___经__过__这__两__点__的__大__圆 _在__这__两__点__间__的__一__段__劣__弧__的__长__度___，这个弧长叫做球面距离．
(6)球小圆的圆心O′，球心O，|OO′|＝d，球小圆半径r，球 半径为R，则d2＝R2－r2.
3．圆柱、圆锥、圆台和球等几何体都是由一个平面图形 绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体，这类几何体叫 做__旋__转__体__，这条直线叫做旋转体的___轴_____．
思想方法技巧
球的结构特征及计算
半径是13 cm的球面上有A、B、C三点，并且 AB＝BC＝CA＝12 cm，试求圆心到经过这三点的截面的距离．
人教B版高中数学必修二《第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球》_0
1.1.3球
一．教学目标：
（1）理解、掌握球的概念和性质（重点）
（2）掌握球面距离的概念
（3）掌握球的截面圆的性质（难点）
二.自主学习
1.球的定义：（1）
（2）
2．球的有关概念
球心：
半径：
直径：
3．截面：
截面性质：
4．球大圆：
球小圆：
5．球面距离：球面距离公式：
三．思考与讨论
【问题一】球与球面的区别？
【问题二】平面与球的位置关系？
四．典例分析
类型一球的性质及应用
例1.我国首都北京靠近北纬40°纬线。
求北纬40°纬线的长度约等于多少km .（地球半径约6370 km ）.
【例2】在球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2,400π
cm2，求此球的半径
两地间的球面距离变式训练练习：
1.判断正误：（对的打√，错的打×.）
（1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球. （）
（2）在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球. （）
（3）球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面. （）
2.赤道上有A 、B 两点，它们的经度相差600，求它们的球面距离（地球半径约6370 m ,精确到0.1 km）
求这个球的半径？
，
且距离等于
，它们位于球心同侧，
和
，面积分别是
已知球的两个平行截面1
8
5
.3π
π
课时小结
布置作业。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球学案 新人教B版必修2
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球学习目标 1.认识组成我们生活世界的各种各样的旋转体.2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．知识点一 圆柱、圆锥、圆台 圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征 (1)定义⎭⎪⎬⎪⎫圆柱圆锥圆台分别看作以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫矩形的一边直角三角形的一直角边直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫矩形直角三角形直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体→这类几何体叫旋转体． (2)相关概念①高：在轴上的这条边(或它的长度)． ②底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面． ③侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面． ④母线：绕轴旋转的边． (3)图形表示知识点二 球1．定义：一个球面可以看作半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体叫做球． 2．相关概念(1)球心：形成球的半圆的圆心；球的半径：连接球心和球面上一点的线段． (2)球的直径：连接球面上两点并且通过球心的线段． (3)球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆． (4)球的小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆．(5)两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，把这个弧长叫做两点的球面距离．3．球形表示特别提醒：球与球面是完全不同的两个概念，球指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．知识点三旋转体1．定义：由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体．2．轴：这条直线叫做旋转体的轴．知识点四组合体思考组合体是由简单几何体堆砌(或叠加)而成的吗？答案不是，组合体的组合方式有多种，可以堆砌，可以挖空等．梳理由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体．1．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．( √)2．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．( ×)3．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．( ×)类型一旋转体的结构特征例1 下列命题正确的是________．(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．答案④⑤⑥解析①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．反思与感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．跟踪训练1 下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.类型二简单组合体的结构特征例2 如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰．分别以AB，CD，AD为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．解(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示．(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图(2)所示．(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(3)所示．反思与感悟(1)平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成．(2)必要时作模型，培养动手能力．跟踪训练2 如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解 图(1)、图(2)旋转后的图形如图所示分别是图①、图②.其中图①是由一个圆柱O 1O 2和两个圆台O 2O 3，O 3O 4组成的；图②是由一个圆锥O 5O 4，一个圆柱O 3O 4及一个圆台O 1O 3中挖去圆锥O 2O 1组成的．类型三 旋转体中的有关计算命题角度1 有关圆柱、圆锥、圆台的计算例3 一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2，求： (1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得O 1A ＝2 cm ，OB ＝5 cm. 又由题意知，腰长为12 cm ， 所以高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD 交于点S ， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l ， 则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25，解得l ＝20 cm. 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思与感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．跟踪训练3 如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的底面半径．解 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，则由三角形相似， 得R －r R ＝342－22， 即1－r 2＝12，解得r ＝1.即圆柱的底面半径为1.命题角度2 球的截面的有关计算例4 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的半径． 解 ①若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)． 在Rt△OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49， 在Rt△OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.②若球心在两截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC 1＋OC ＝9，即R 2－49＋R 2－400＝9.整理，得R 2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在． 综上所述，此球的半径为25 cm. 引申探究若将把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是________． 答案 1或7解析 画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形： ①两个平行截面在球心的两侧， ②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m ＝52－32＝4，n ＝52－42＝3， 两平行截面间的距离是m ＋n ＝7； 对于②，两平行截面间的距离是m －n ＝1.反思与感悟 设球的截面圆上一点A ，球心为O ，截面圆心为O 1，则△AO 1O 是以O 1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形或者用过球心和截面圆心的轴截面求解．跟踪训练4 设地球半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两地，它们在纬度圈上的弧长等于24πR .求A ，B 两地间的球面距离．解 如图所示，A ，B 是北纬45°圈上的两点，AO ′为它的半径，O 为地球的球心，∴OO ′⊥AO ′，OO ′⊥BO ′. ∵∠OAO ′＝∠OBO ′＝45°， ∴AO ′＝BO ′＝OA ·cos 45°＝22R . 设∠AO ′B 的度数为α，则απ180°·AO ′＝απ180°·22R ＝24πR ，∴α＝90°. ∴AB ＝AO ′2＋BO ′2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22R 2＝R . 在△AOB 中，AO ＝BO ＝AB ＝R ，则△AOB 为正三角形， ∴∠AOB ＝60°.∴A ，B 两地间的球面距离为60°πR 180°＝π3R .1．下列几何体是台体的是( )考点 圆台的结构特征 题点 圆台的概念的应用 答案 D解析 台体包括棱台和圆台两种，A 的错误在于四条侧棱没有交于一点，B 的错误在于截面与圆锥底面不平行．C 是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D 正确．2．下列选项中的三角形绕直线l 旋转一周，能得到如下图中的几何体的是( )答案 B解析 由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B 正确． 3．下面几何体的截面一定是圆面的是( ) A ．圆台 B ．球 C ．圆柱 D ．棱柱 答案 B解析截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为________．考点圆锥的结构特征题点与圆锥有关的运算答案 2解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝34AB2，∴3＝34AB2，∴AB＝2.故圆锥的母线长为2.5．湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则球的半径为________ cm.答案13解析设球的半径为R cm，由题意知，截面圆的半径r＝12 cm，球心距d＝(R－8)cm，由R2＝r2＋d2，得R2＝144＋(R－8)2，即208－16R＝0，解得R＝13 cm.1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.一、选择题1．下列几何体中不是旋转体的是( )答案 D2．下列说法正确的是( )A．到定点的距离等于定长的点的集合是球B．球面上不同的三点可能在同一条直线上C．用一个平面截球，其截面是一个圆D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面考点球的结构特征题点球的概念的应用答案 D解析对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C错，故选D.3．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为( )A．10 B．20 C．40 D．15答案 B4．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为( )A．10 3 cm B．20 3 cm C．20 cm D．10 cm答案 A解析如图所示，在Rt△ABO中，AB＝20 cm，∠A＝30°，所以AO＝AB·cos 30°＝20·3 2＝103(cm)．5．如果圆台两底面的半径分别是7和1，则与两底面平行且等距离的截面面积是( ) A．24πB．16πC．8πD．4π答案 B解析 截面圆的半径为7＋12＝4，面积为πr 2＝16π.6.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形答案 D解析其中ABCD不是面，该几何体有8个面．7．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( ) A．2 B．2πC.2π或4πD.π2或π4答案 C解析如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝4π；同理，若矩形的宽4为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2π，故选C.8.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体答案 B解析圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B.二、填空题9．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________． 答案 两个圆锥解析 连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥．10．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________． 答案 2 2解析 设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的高h ＝42－r 2， ∴由题意可知12·2r ·h ＝r 42－r 2＝8，∴r 2＝8，∴h ＝2 2.11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________． 考点 圆锥的结构特征 题点 与圆锥有关的运算 答案3解析 由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl 2，所以母线长为l ＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr ＝2π，所以底面圆半径为r ＝1，所以该圆锥的高为h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3. 三、解答题12．A ，B ，C 是球面上三点，已知弦(连接球面上两点的线段)AB ＝18 cm ，BC ＝24 cm ，AC ＝30 cm ，平面ABC 与球心的距离恰好为球半径R 的一半，求球的半径． 解 如图所示，因为AB 2＋BC 2＝AC 2， 所以△ABC 是直角三角形．所以△ABC 的外接圆圆心O 1是AC 的中点． 过A ，B ，C 三点的平面截球O 得圆O 1的半径为r ＝15 cm.在Rt△OO 1C 中，R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋r 2.所以R 2＝R 24＋152，所以R 2＝300，所以R ＝103(cm)． 即球的半径为10 3 cm.13．圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．解 设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，圆台上底面面积为S 1，下底面面积为S 2，两底面面积之和为S . 如图所示，∠ASO ＝30°，在Rt△SO ′A ′中，rSA ′＝sin 30°， ∴SA ′＝2r .在Rt△SOA 中，2rSA＝sin 30°，∴SA ＝4r .又SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，∴r ＝a . ∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2. 四、探究与拓展14．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )答案 B解析 由组合体的结构特征知，球与正方体各面相切，与各棱相离，故选B.15．圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A ，求： (1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 考点 圆台的结构特征 题点 与圆台有关的运算解 (1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM 的长度，设OB ＝l ，则θ·l ＝2π×5，θ·(l ＋20)＝2π×10， 解得θ＝π2，l ＝20 cm.∴OA ＝40 cm ，OM ＝30 cm. ∴AM ＝OA 2＋OM 2＝50 cm. 即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQ ⊥AM 于点Q ，交弧BB ′于点P ， 则PQ 为所求的最短距离． ∵OA ·OM ＝AM ·OQ ，∴OQ ＝24 cm.故PQ ＝OQ －OP ＝24－20＝4(cm)，即在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球导学案 新人教B版必修2
1.1.3《圆柱、圆锥、圆台和球》导习案【学习目标】：1、对圆柱、圆锥、圆台等旋转体概念的再认识，了解它们的轴截面和平行于底面的截面的有关性质。
2、会用旋转的方法定义圆柱、圆锥、圆台。
重点：旋转体概念的认识难点：圆柱、圆锥、圆台的轴截面和侧面展开图的认识。
课前自学：轴：课内思考2：对于圆柱，圆锥，圆台，平行于底面的截面是什么样的图形？轴截面分别是什么图形？课内思考3：研究圆柱，圆台，圆锥之间的关系。
课内思考4：任意一个圆柱，圆锥，圆台，去掉底面，沿任意一条母线割开，然后放在平面上展平，它们各是什么样的平面图形？【自学检测】：下列说法正确的是（）A ．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B ．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C ．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D ．通过圆台侧面上一点，有无数条母线【合作探究】题型一、母线问题：例1：用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长。
变式1:一个圆台的母线长为12cm ，两底面面积分别为42cm π和252cm π，求（1） 圆台的高。
（2） 截得此圆台的圆锥的母线长。
题型二、截面问题：例2．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积 。
变式2：． 圆台的两底面半径分别是2cm 和3cm ，母线长是，则其轴截面的面积为 。
题型三、侧面展开图例3：．圆柱1OO 的底面半径为2cm ，高为4cm ，一只蚂蚁沿着圆柱的侧面从点A 爬到点1B 的最短路程。
总结：球 组合体导学案学习目标（1）理解球形成过程及其有关概念，性质，理解球面距离的概念。
（2）通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究培养空间想象力及知识的自我生成和发展能力。
预习新知1 （1）类比圆柱，圆锥圆台的生成过程，思考球的生成过程，并掌握基本概念。
球面是指球面围成的几何体，叫做。
叫做球心；叫球的半径叫球的直径。
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析
概念辨析题 【例1】 下列说法正确的是( ) A.圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的 B.圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的 C.圆柱不是旋转体 D.圆台可以看作是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的 解析:根据旋转体的定义及圆锥与圆台的内在联系易知D正确. 答案:D 反思感悟对于旋转体,必须清楚直角梯形必须绕其垂直于底边的 腰所在直线旋转才能形成圆台;直角三角形必须绕直角边所在直线 旋转才能形成圆锥;圆柱是由矩形绕其一边所在直线旋转形成的几 何体.类比棱台的定义,圆台也可以看作是圆锥被平行于底面的平 面所截得的.
一
二
三
3.填空:(1)概念:一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所 形成的曲面叫做球面,球面围成的几何体叫做球.形成球的半圆的 圆心叫球心;连接球面上一点和球心的线段叫球的半径;连接球面 上两点且通过球心的线段叫球的直径. (2)表示:用表示球心的字母来表示. (3)球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集 合.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆,被不经过球心 的平面截得的圆叫做球的小圆. (4)在球面上,两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两 点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点的球面距离.
一
二
三
一、圆柱、圆锥、圆台 【问题思考】 1.圆柱、圆锥和圆台这三类几何体能通过平面图形形成吗? 提示:能.这三类几何体都是旋转体,可以分别通过矩形,直角三角 形,直角梯形绕一特定轴旋转形成. 2.将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,在平面上 展开得到它们的侧面展开图分别是什么图形?请画出来. 提示:将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,然后 在平面上展开,侧面展开图分别是矩形、扇形和扇环,如图所示.
一
二
三
三、组合体 【问题思考】 1.将矩形、直角三角形、直角梯形按如图所示的方式旋转,得到 的图形仍是圆柱、圆锥、圆台吗?
提示:不是.图①旋转后得到的是组合体,大圆柱中间挖掉一个小 圆柱,图②旋转后得到2个对底的圆锥,图③得到的几何体是一个圆 锥和一个圆柱的组合体. 2.填空:由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做 组合体.
一
二
三
一
二
三
3.填写下表:
圆 柱 圆 锥 圆 台 以直角三角形的 一条直角边所在 直线为旋转轴,其 余两边旋转形成 的面所围成的旋 转体叫做圆锥 以直角梯形垂直 于底边的腰所在 直线为旋转轴,其 余三边旋转形成 的面所围成的旋 转体叫做圆台
以矩形的一边所 在直线为旋转轴, 定义 其余三边旋转形 成的面所围成的 旋转体叫做圆柱
一
二
三
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)过球面上的两点可作无数个大圆. ( ) (2)连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线. ( ) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱. ( ) (4)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台. ( ) (5)通过圆台侧面上一点,有无数条母线. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析
变式训练1有下列四个命题: ①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体; ②球心和球面上任意一点的连线是半径; ③圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交; ④圆锥的轴截面是等腰三角形. 其中错误命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①错,以矩形某一边所在直线为轴旋转才是圆柱,以对角线 所在直线为轴旋转则不是圆柱;由球的半径知②正确;③错,一定相 交;④正确. 答案:B
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
课 标 阐 释 思 维 1.理解 圆柱、圆锥、圆台和球的 有关概念,并能从运动的观点来 认识 这四种几何体的形成过程. 2.掌握 圆柱、圆锥、圆台和球的 轴截面的结构特征. 3.能运用 圆柱、圆锥、圆台、球 及简单组合体的结构特征来描述 现实生活中简单物体的结构.
脉 络
二
三
二、球 【问题思考】 1.平时我们大家在体育课上玩的篮球与本节将要研究的球的概 念一致吗? 提示:不一致.因为篮球内部是空的,球是几何体(内部不是空的). 球体的表面称之为球面.若篮球皮厚度不计,篮球不是球体,但比较 接近球面的定义. 2.实际生活中,飞机、轮船为什么尽可能以大圆弧为航线航行? 提示:因为球面上两点间的最短距离是球面距离,这样走可使行 程最短.
三
解析:以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以 得到圆锥,故①错误;以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴旋 转一周才可以得到圆台,故②错误;圆柱、圆锥、圆台的底面为圆 面,故③错误;用平行于圆锥底面的平面截圆锥,才可以得到一个圆 锥和一个圆台,故④错误.因此,正确的个数为0. 答案:A
一
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析
组合体的判断 【例2】 (1)如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法: ①由一个长方体割去一个四棱柱所构成的; ②由一个长方体与两个四棱柱组合而成的; ③由一个长方体挖去一个四棱台所构成的; ④由一个长方体与两个四棱台组合而成的. 其中正确说法的序号是 . (2)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转形成的?
图形
一
二
三
圆 表示
柱
圆
锥
圆
台
圆柱 O1O 两底面平行 底面 且半径相等 的圆面 结 平行且相等 构 母线 特 平行于 与两底面平 征 底面的 行且半径相 截面 等的圆面 轴截面 矩形
圆锥 SO 圆面 相交于顶点 平行于底面且半 径不相等的圆面 等腰三角形
圆台 O1O 两底面是平行且 半径不相等的圆 面 延长线交于一点 与两底面平行且 半径不相等的圆 面 等腰.做一做:有下列命题: ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是 圆锥; ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆 台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
一
二