圆柱圆锥圆台PPT课件
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8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A版2
解：当球内切于正方体时用料最省 此时棱长＝直径＝5cm
答：至少要用纸150cm2
练习
解析 设球 O 的半径为 r，则圆柱的底面半径为 r， 高为 2r，所以VV12＝π43rπ2·r23r＝32.
三、课堂小结:
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
1).圆柱 2).圆锥
S 2r 2 rl
S r 2 rl
如果圆台的上、下底面半径分别为ｒ和Ｒ，母线长为l，你能计算它的
表面积吗？
r O’
RO
圆台的侧面展开图是扇环
x x
r 'O’
rO
xl r x r' l rr' x r'
xl 1 r 1 x r'
x r' l r r'
∵圆台侧面展开图是一个扇环
S侧面积
1 2
2 r( x
l)
1 2
2 r
'
x
r( x l ) r ' x rx rl r ' x
A
B
D
C
A1 D1
B1 C1
变式 球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、 3 ,求此球体的表面积 和体积。
分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们 中心重合，则长方体对角线与球的直径相等。
内切球问题
例题3 把直径为5cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸? 分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
解：一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478(m2) 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478×0.5×1000 =423.9(kg).
答：至少要用纸150cm2
练习
解析 设球 O 的半径为 r，则圆柱的底面半径为 r， 高为 2r，所以VV12＝π43rπ2·r23r＝32.
三、课堂小结:
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
1).圆柱 2).圆锥
S 2r 2 rl
S r 2 rl
如果圆台的上、下底面半径分别为ｒ和Ｒ，母线长为l，你能计算它的
表面积吗？
r O’
RO
圆台的侧面展开图是扇环
x x
r 'O’
rO
xl r x r' l rr' x r'
xl 1 r 1 x r'
x r' l r r'
∵圆台侧面展开图是一个扇环
S侧面积
1 2
2 r( x
l)
1 2
2 r
'
x
r( x l ) r ' x rx rl r ' x
A
B
D
C
A1 D1
B1 C1
变式 球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、 3 ,求此球体的表面积 和体积。
分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们 中心重合，则长方体对角线与球的直径相等。
内切球问题
例题3 把直径为5cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸? 分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
解：一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478(m2) 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478×0.5×1000 =423.9(kg).
圆柱圆锥圆台PPT课件
§2．4 圆柱、圆锥、圆台
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．圆柱、圆锥、圆台的概念和性质。
2．圆柱、圆锥、圆台的直观图的画法。
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积。
(二)能力训练点
1．理解圆柱、圆锥、圆台的概念，掌握它们的性质，能利用它们之间的内在联 系进行转化，不断提高学生分析问题的能力。
2．通过它们直观图画法的教学，使学生掌握正等测法的作图，进一步提高学生 作图及识图能力。
3．掌握它们侧面积的计算公式，能综合应用这些公式计算有关图形的面积， 提高学生综合应用知识的能力。
完整版课件
1
(三)德育渗透点
1．圆柱、圆锥、圆台的形成是通过平面图形的旋转而得到，即通过运动的 形式来给出定义．教学过程要结合实际注意培养学生掌握运用运动变化的观 点来分析问题．
2．圆柱、圆锥及圆台的共同属性是，都由平面多边形旋转而得到，因此平 面图形之间的关系决定了它们之间的关系．教学过程要注意培养学生抓住它 们的内在联系来把握它们的变化，帮助学生树立联系变化的辩证唯物主义观 点．
生：有，应该加上全等两个字．
(教师肯定学生的答案后，板书出两条性质．)
师：性质2．给出了圆柱、圆锥、圆台的本质特征．今后有关三个几何 体的计算问题只要在它们轴截面上作文章，甚至今后分析有关问题可直 接在其轴截面上进行而不必画出它们的实际图形．另外有了性质1．我们 可以认为圆台是一个圆锥截掉一个小圆锥后余下的部分，所以有关圆台 的问题就可以转化为圆锥的问题来解决．
性质2给出了圆柱圆锥圆台的本质特征今后有关三个几何体的计算问题只要在它们轴截面上作文章甚至今后分析有关问题可直接在其轴截面上进行而不必画出它们的实际图形另外有了性质1我们可以认为圆台是一个圆锥截掉一个小圆锥后余下的部分所以有关圆台的问题就可以转化为圆锥的问题来解决例1把一个圆锥截成圆台已知圆台的上下底面半径是14母线长是10cm求圆锥的母线长分析
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．圆柱、圆锥、圆台的概念和性质。
2．圆柱、圆锥、圆台的直观图的画法。
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积。
(二)能力训练点
1．理解圆柱、圆锥、圆台的概念，掌握它们的性质，能利用它们之间的内在联 系进行转化，不断提高学生分析问题的能力。
2．通过它们直观图画法的教学，使学生掌握正等测法的作图，进一步提高学生 作图及识图能力。
3．掌握它们侧面积的计算公式，能综合应用这些公式计算有关图形的面积， 提高学生综合应用知识的能力。
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1
(三)德育渗透点
1．圆柱、圆锥、圆台的形成是通过平面图形的旋转而得到，即通过运动的 形式来给出定义．教学过程要结合实际注意培养学生掌握运用运动变化的观 点来分析问题．
2．圆柱、圆锥及圆台的共同属性是，都由平面多边形旋转而得到，因此平 面图形之间的关系决定了它们之间的关系．教学过程要注意培养学生抓住它 们的内在联系来把握它们的变化，帮助学生树立联系变化的辩证唯物主义观 点．
生：有，应该加上全等两个字．
(教师肯定学生的答案后，板书出两条性质．)
师：性质2．给出了圆柱、圆锥、圆台的本质特征．今后有关三个几何 体的计算问题只要在它们轴截面上作文章，甚至今后分析有关问题可直 接在其轴截面上进行而不必画出它们的实际图形．另外有了性质1．我们 可以认为圆台是一个圆锥截掉一个小圆锥后余下的部分，所以有关圆台 的问题就可以转化为圆锥的问题来解决．
性质2给出了圆柱圆锥圆台的本质特征今后有关三个几何体的计算问题只要在它们轴截面上作文章甚至今后分析有关问题可直接在其轴截面上进行而不必画出它们的实际图形另外有了性质1我们可以认为圆台是一个圆锥截掉一个小圆锥后余下的部分所以有关圆台的问题就可以转化为圆锥的问题来解决例1把一个圆锥截成圆台已知圆台的上下底面半径是14母线长是10cm求圆锥的母线长分析
圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征 课件
2．圆柱、圆锥、圆台的关系
探究点 1 旋转体的结构特征 判断下列各命题是否正确．
(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成 的几何体是圆台； (2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰 三角形，圆台的轴截面是等腰梯形； (3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．
【解】 (1)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成 的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图 所示．
(3)圆台的截面 ①平行于圆台底面的截面都是圆面，如图(1)所示．
②过轴的截面(简称轴截面)是全等的等腰梯形，如图(2)所示． ③圆台的母线 l、高 h 和上下两底面圆的半径 r、R 组成一个 直角梯形，且有 l2＝h2＋(R－r)2 成立，圆台的有关计算问题， 常归结为解这个直角梯形．
(4)球的截面 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面． ②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 有如 下关系：r＝ R2－d2．
简单组合体的结构特征
1．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
定义及结构特征
图形及记法
定义：以__矩__形____的一边所在 直线为旋转轴，其余三边旋转
形成的面所围成的旋转体叫做
圆柱
_圆__柱_____ 特征：(1)圆柱的轴垂直于底面，
所有母线互相平行且相等
记作：__圆__柱__O__′O____
(2)底面是平行且全等的两个圆
截得圆台的圆锥的母线长为 12 cm，求圆台的母线长．
【解】 如图是圆台的轴截面，由题意知 AO＝
2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm．
由 A′O′ ＝ SA′ ， 得 AO SA
SA′
＝
A′O′ AO
圆柱圆锥圆台体积和表面积.ppt
1
1
A.4
B.2
3 C. 6
3 D. 4
[答案] D
[解析]
三棱锥B1－ABC的高h＝3，底面积S＝S△ABC＝
3 4
×12＝ 43，
则VB1－ABC＝13Sh＝13×
43×3＝
3 4.
5．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那
么圆柱与圆锥的体积之比为( )
A．1
1 B.2
3
3
C. 2
D.4
例题解析
命题方向 多面体与旋转体的面积
【例1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧 面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?
命题方向 多面体的体积
[例 2] 长方体相邻三个面的面积分别为 2、3、6 求它的
体积．
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c则有
据条件得到
1 2
πl2＝2π，解得母线长l＝2,2πr＝πl＝2π，r＝1所以
该圆锥的体积为：V圆锥＝13Sh＝13×
22－12π＝
3 3 π.
[点评] 本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开 图．审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在 展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记 牢，属于中低档题．
[解析]
三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面积之比为4:9.连接 A1B、BC1和AC1，把棱台分为三个棱锥B－A1B1C1，C1－ ABC，A1－ABC1.则这三个棱锥体积之比为________．
[答案] 4:9:6
[解析] 如图，设三棱锥B－A1B1C1，C1－ABC，A1－ ABC1体积分别为V1、V2、V3，又设棱台的高为h，上、下底面 积分别为S1、S2.依题意，得
圆柱、圆锥、圆台和球的表面积课件人教新课标B版
S圆柱侧 S矩形＝2rh
圆锥的侧面积
扇形
l
r
把圆锥的侧面沿着一条母 线展开，得到什么图形?展 开的图形与原图有什么关 系？
c
S圆锥侧＝S扇＝12 cl rl
圆台的侧面展开图
S c1
r O1 l
R O2
圆台可以看成是用一 个平行底面的平面截 圆锥所得，因此圆台 c2 的侧面展开图是一个 扇环形。
h'
h'
S正
棱
台
侧＝
1（c 2
c'
)h'
思考讨论
正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：
c’=c
上底扩大
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 2
c '
ch'
1 S锥侧 2 ch '
圆柱的侧面积
把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图 形?展开的图形与原图有什么关系？
r
h
矩形
宽＝h
长 ＝2r
例1．已知正四面体S-ABC各棱长为 a，求它的表面积 ．
分析：正四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成． 解：过点S作 SD ，BC 交BC于点D．
∵
BC a, SD
SB2 BD2
a2 (a )2
3 a
22
S
1
1
SSBC
2
BC
SD
a 2
3a 2
3 a2 4
A
因此，四面体S-ABC的表面积为
P 面和底面之间的部分叫正棱台.
A1
C1
D1
h
A
B1 h' C
C
圆锥的侧面积
扇形
l
r
把圆锥的侧面沿着一条母 线展开，得到什么图形?展 开的图形与原图有什么关 系？
c
S圆锥侧＝S扇＝12 cl rl
圆台的侧面展开图
S c1
r O1 l
R O2
圆台可以看成是用一 个平行底面的平面截 圆锥所得，因此圆台 c2 的侧面展开图是一个 扇环形。
h'
h'
S正
棱
台
侧＝
1（c 2
c'
)h'
思考讨论
正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：
c’=c
上底扩大
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 2
c '
ch'
1 S锥侧 2 ch '
圆柱的侧面积
把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图 形?展开的图形与原图有什么关系？
r
h
矩形
宽＝h
长 ＝2r
例1．已知正四面体S-ABC各棱长为 a，求它的表面积 ．
分析：正四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成． 解：过点S作 SD ，BC 交BC于点D．
∵
BC a, SD
SB2 BD2
a2 (a )2
3 a
22
S
1
1
SSBC
2
BC
SD
a 2
3a 2
3 a2 4
A
因此，四面体S-ABC的表面积为
P 面和底面之间的部分叫正棱台.
A1
C1
D1
h
A
B1 h' C
C
棱台圆柱圆锥圆台的结构特征课件
棱台圆柱圆锥圆台的 结构特征课件
目录
• 棱台 • 圆柱 • 圆锥 • 圆台
棱台
01
概念定 义
01
棱台是由平行于棱锥底面的平面 截棱锥得到的，其中截面和底面 平行且小于底面。
02
棱台是棱锥用平行于底面的平面 截得的，故其具有与棱锥相同的 结构特征。底面。
平的底面称为上底面，不平 的底面称为下底面。
圆柱的侧面是一个矩形，而矩形的一条边是圆柱的高，另一条边是圆柱的底面圆周
结构特征
01
圆柱的底面是一个圆，其半径称为圆柱的底 面半径
02
圆柱的高与底面圆的直径相等，称为圆柱的 高
03
圆柱的母线是垂直于底面且与底面圆相切的 直线段
04
圆柱的结构特征是：有两个底面，一个侧面， 侧面展开图为矩形
表面积计算
圆锥的轴截面是一个等腰三角形， 其中母线是三角形的腰。
结构特征
圆锥的侧面是一个曲 面，由无数个小的扇 形组成。
圆锥的高是母线与底 面之间的距离。
每个扇形的弧长等于 底面的周长，而母线 则是所有这些扇形的 公共弦。
表面积计算
圆锥的表面积等于底面积加上侧面积。
侧面积是一个扇形，其弧长等于底面 的周长，面积计算公式为：1/2 × 母 线 × 底面周长。
底面积是一个圆形，其半径等于圆锥 的底面半径，面积计算公式为：πr²。
因此，圆锥的表面积计算公式为： πr² + 1/2 × 母线 × 底面周长。
圆台
04
概念定 义
圆台是指一个与两个平行平面相交的 平面图形，其内部是一个以交线为轴 的旋转体。
圆台可以看作是由一个平行底面的平 面截一个圆锥而得到的。
棱台具有n个侧面，侧面之间 夹角为180/n度。
目录
• 棱台 • 圆柱 • 圆锥 • 圆台
棱台
01
概念定 义
01
棱台是由平行于棱锥底面的平面 截棱锥得到的，其中截面和底面 平行且小于底面。
02
棱台是棱锥用平行于底面的平面 截得的，故其具有与棱锥相同的 结构特征。底面。
平的底面称为上底面，不平 的底面称为下底面。
圆柱的侧面是一个矩形，而矩形的一条边是圆柱的高，另一条边是圆柱的底面圆周
结构特征
01
圆柱的底面是一个圆，其半径称为圆柱的底 面半径
02
圆柱的高与底面圆的直径相等，称为圆柱的 高
03
圆柱的母线是垂直于底面且与底面圆相切的 直线段
04
圆柱的结构特征是：有两个底面，一个侧面， 侧面展开图为矩形
表面积计算
圆锥的轴截面是一个等腰三角形， 其中母线是三角形的腰。
结构特征
圆锥的侧面是一个曲 面，由无数个小的扇 形组成。
圆锥的高是母线与底 面之间的距离。
每个扇形的弧长等于 底面的周长，而母线 则是所有这些扇形的 公共弦。
表面积计算
圆锥的表面积等于底面积加上侧面积。
侧面积是一个扇形，其弧长等于底面 的周长，面积计算公式为：1/2 × 母 线 × 底面周长。
底面积是一个圆形，其半径等于圆锥 的底面半径，面积计算公式为：πr²。
因此，圆锥的表面积计算公式为： πr² + 1/2 × 母线 × 底面周长。
圆台
04
概念定 义
圆台是指一个与两个平行平面相交的 平面图形，其内部是一个以交线为轴 的旋转体。
圆台可以看作是由一个平行底面的平 面截一个圆锥而得到的。
棱台具有n个侧面，侧面之间 夹角为180/n度。
圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征 课件
【解析】 (1)几何体①是由圆锥和圆台组合而成的．可旋转如 下图(a)180°得到几何体①.
(2)几何体②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥而得到，且 圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．
可旋转如下图(b)360°得到几何体②.
(3)几何体③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥 的底面与四棱柱底面相同．
该截面所成的角是 60°，则该截面的面积是( )
A．π
B．2π
C．3π D．2 3π
解析：因为 OA 与该截面所成的角是 60°，所以截面圆半径 r
＝12OA＝1，故截面的面积 S＝π. 答案：A
3．正方形 ABCD 绕对角线 AC 所在直线旋转一周所得组合体 的结构特征是________．
解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体． 答案：两个同底的圆锥组合体
类型三 旋转体的侧面展开图 [例 3]
如图，底面半径为 1，高为 2 的圆柱，在 A 点有一只蚂蚁，现 在这只蚂蚁要围绕圆柱由 A 点爬到 B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是 多少？
【解析】
把圆柱的侧面沿 AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形， 如图所示，连接 AB′，则 AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
到什么位置，不垂直于 轴的边都叫作圆柱侧
面的母线
图中圆柱表示为圆柱 O′O
圆锥
轴：旋转轴叫作圆锥的
轴；底面：垂直于轴的
以直角三角形的一条 直角边所在直线为旋 转轴，其余两边旋转形 成的面所围成的旋转
体叫作圆锥
边旋转而成的圆面叫 作圆锥的底面；侧面： 直角三角形的斜边旋 转而成的曲面叫作圆 锥的侧面；母线：无论 旋转到什么位置，不垂
【解析】 (1)不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转 得到的旋转体就不是圆锥，而是两个同底圆锥的组合体；
圆柱圆锥圆台球的结构特征 课件
图形
用表示它的轴的字母，即表示两底面__圆__心____的字母表示，上图 表示法 中的圆柱可记作圆柱___O_′_O_____ 规定 __圆__柱____和__棱__柱____统称为柱体
[归纳总结] 圆柱的简单性质： (1)圆柱有无数条母线，它们互相平行且相等． (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图①所示． (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图②所示． (4)过任意两条母线的截面是矩形，如图③所示．
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段； ⑦球面上任意三点可能在一条直线上； ⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． [思路分析] 准确理解旋转体的定义，在此基础上掌握各旋转体的性质，才 能更好地把握它们的结构特征，以作出准确的判断． [解析] ①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以 直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面； ④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就在球面 上，故⑤错误；根据球的半径定义可知⑥正确；球面上任意三点一定不共线， 故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确．
在 Rt△SOA 中，∠ASO＝45°，所以 SO＝AO＝3x cm， 又 SO′＝A′O′＝x cm，所以 OO′＝2x cm. 又 S 轴截面＝12×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以 x＝7. 综上可知，圆台的高 OO′＝14 cm，母线长 AA′＝ 2OO′＝14 2(cm)， 上、下底面半径分别为 7 cm 和 21 cm.
综上可知，圆台的高 OO′＝14 cm，母线长 AA′＝ 2OO′＝14 2(cm)， 上、下底面的半径分别为 7 cm 和 21 cm.
方法二 圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别 为 x cm 和 3x cm，延长 AA′，BB′交 OO′的延长线于点 S(O′，O 分别为上、 下底面圆心)．
圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征 课件
锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.
[思路探究] 探究点一 圆锥、圆台的轴截面是什么？ 提示 圆锥的轴截面为等腰三角形，圆台的轴截面是等腰 梯形.
探究点二 解决此问题的关键是什么？ 提示 解决此问题关键是，作出轴截面，然后利用相似三角 形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解. 解 设圆台的母线长为l cm，由截得圆台上、下底面面积之 比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r，4r. 过轴SO作截面，如图所示. 则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm. ∴SSAA′＝O′OAA′.∴3＋3 l＝4rr＝14. 解得 l＝9(cm)，即圆台的母线长为 9 cm.
解 (1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示. (2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下 部为圆台，再挖去一个小圆锥.如图(2)所示. (3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去 一个圆锥.如图(3)所示.
类型三 有关几何体的计算问题(互动探究) 【例3】 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个
(2)圆锥 ①定义：以直角三角形的_一__直__角__边__所在直线为旋转轴， 其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做_圆__锥___. ②相关概念(图2) ③表示法：圆锥用_表__示__它__的__轴__的__字__母__表示，图中圆锥表 示为_圆__锥__S_O___.
(3)圆台 ①定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与_截__面__ 之间的部分叫做_圆__台__. ②相关概念(图3) ③表示法：圆台用_表__示__轴__的字母表示，图中圆台表示为 _圆__台__O_O__′ .
解 (1)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴. (2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由 一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.
[思路探究] 探究点一 圆锥、圆台的轴截面是什么？ 提示 圆锥的轴截面为等腰三角形，圆台的轴截面是等腰 梯形.
探究点二 解决此问题的关键是什么？ 提示 解决此问题关键是，作出轴截面，然后利用相似三角 形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解. 解 设圆台的母线长为l cm，由截得圆台上、下底面面积之 比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r，4r. 过轴SO作截面，如图所示. 则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm. ∴SSAA′＝O′OAA′.∴3＋3 l＝4rr＝14. 解得 l＝9(cm)，即圆台的母线长为 9 cm.
解 (1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示. (2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下 部为圆台，再挖去一个小圆锥.如图(2)所示. (3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去 一个圆锥.如图(3)所示.
类型三 有关几何体的计算问题(互动探究) 【例3】 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个
(2)圆锥 ①定义：以直角三角形的_一__直__角__边__所在直线为旋转轴， 其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做_圆__锥___. ②相关概念(图2) ③表示法：圆锥用_表__示__它__的__轴__的__字__母__表示，图中圆锥表 示为_圆__锥__S_O___.
(3)圆台 ①定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与_截__面__ 之间的部分叫做_圆__台__. ②相关概念(图3) ③表示法：圆台用_表__示__轴__的字母表示，图中圆台表示为 _圆__台__O_O__′ .
解 (1)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴. (2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由 一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.
圆柱、圆锥、圆台的几何特征课件
底面
圆锥的底部是一个圆面， 称为底面。
圆锥的定义与基本元素
01
02
03
04
侧面
连接底面和顶点的曲面，称为 侧面。
母线
连接底面和顶点的线段，称为 母线。
轴
通过底面的圆心与顶点连接的 直线，称为轴。
顶点
圆锥顶部的点，称为顶点。
圆锥的侧面展开图
侧面展开图是一个扇形，扇形的半径 等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于 圆锥底面的周长。
认为圆柱、圆锥、圆台的定义只是简 单地描述了它们的形状，而忽略了它 们是由平面曲线（圆）绕固定直线 （轴）旋转而成的立体几何图形。
误区二
对于圆柱、圆锥、圆台的定义中涉及 的术语理解不准确，如“母线”、“ 轴”、“底面”等。
关于公式应用的误区
误区一
在应用圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式时3
圆台的几何特征
圆台的定义与基本元素
定义
圆台是由一个大的圆平面（下底）和一个小的 圆平面（上底）以及连接两圆的侧面所围成的
几何体。
01
下底
较大的圆形平面。
03
高
上底和下底之间的垂直距离。
05
02
上底
较小的圆形平面。
04
侧面
连接上底和下底的曲面。
06
母线
连接上底和下底边缘的线段。
圆台的侧面展开图
圆柱的体积公式
V = πr^2h，其中r为底面半径，h为高。 体积等于底面积乘以高。
典型例题解析
例题1
已知圆柱的底面半径为3，高为4，求圆柱的表面积和体积。
解析
根据公式S = 2πr^2 + 2πrh和V = πr^2h，代入r = 3，h = 4，即可求出表面积和体积。
《圆柱、圆锥、圆台》课件1 (北师大版必修2)
(l 32 (5 1) 2 5)
h
l
圆柱、圆锥、圆台的平行于底的截面是什么图形？ 它的面积的大小与底面面积有什么关系？
求证：平行于圆锥底面的截面 与底面的面积比，等于顶点到 截面的距离与圆锥高的平方比 证明：由相似三角形的性质得
s
r
o1
r so1 R so r 2 so12 2 2 R so S截 r 2 so12 2 2 S底 R so
o R
例： 把一个圆锥截成圆台，已知 圆台上、下底面半径分别是1：4， 母线长是10cm,求圆锥的母线长。
x 4x
解：设圆锥的母线长为y，圆台的 上、下底面半径分别是x、4x，
由相似三角形的性质得，
y 10 x y 4x
10
即 4( y 10) y
3y=40
40 y (cm ) 3 40 即圆锥母线长为 cm . 3
3、圆柱、圆锥、圆台的母线、底面半径与高的关系？ 作业：P209 习题2 1，5
圆柱、圆锥、圆台
名 称 侧 面 展 开 图 圆柱 圆锥 圆台
c l l
c/
l
c
c
侧 面 积
ห้องสมุดไป่ตู้
S侧=cl=2πrl
S侧=
1 cl 2
=πrl
S侧=
1 (c c / )l 2
=π(r+r/)l
设圆台的母线长为l，上、下底面的周长
为c/、c，半径分别是r/、r,求圆台的侧面积 解：S圆台侧 1 c(l x) 1 c / x
r
/
x c/ c
l
2 2 1 [cl (c c / ) x]. 2
⑴
r
棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征PPT完美课件
思考4：经过圆锥的轴的截面称为轴截面，
你能说出圆锥的轴截面有哪些基本特征
吗？
*
棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征P PT完美 课件
知识探究（四）：圆台的结构特征 棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征PPT完美课件
思考1:用一个平行于圆锥底面的平面去 截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆 台.圆台可以由什么平面图形旋转而形成？
A A
C
棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征P PT完美 课件
B
C
B
D
*
棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征P PT完美 课件
作业: P7练习：1，2. P9习题1.1A组：2.
棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征P PT完美 课件
*
棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征P PT完美 课件
•
1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。
•
2对教育来说，阅读是最基础的教学手 段，教 育里最 关键、 最重要 的基石 就是阅 读。
•
3但是现在，我们的教育在一定程度上 ，还不 够重视 阅读， 尤其是 延伸阅 读和课 外阅读 。
•
4. “山不在高，有仙则名。水不在深 ，有龙 则灵” 四句， 简洁有 力，类 比“斯 是陋室 ，惟吾 德馨” ，说明 陋室也 可借高 尚之士 散发芬 芳
o′
棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征P PT完美 课件
o
*
理论迁移 棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征PPT完美课件
8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征课件(人教版)
O
B
圆锥SO
基本立体图形
圆台的相关概念
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之
间部分叫做圆台.
S
★ 圆台的轴：
轴
圆锥的轴 （SO）；
★ 圆台的底面：
底
圆锥的底面和截面；（圆面O与圆面O′） 面
A′
O′
B′
★ 圆台的侧面：
A
圆锥的侧面在底面和截面之间的部分； 母线
★ 圆台的母线：
圆锥的母线在底面和截面之间的部分；（AA′、BB′）
图形360°得到几何体②;
基本立体图形
思考： (1)与圆柱底面平行的平面截圆柱所得截面的形状为_________；
圆柱的轴截面(过圆柱的轴的截面) 的形状为_________；
基本立体图形
思考： (2)圆锥的轴截面的形状为_________；
过圆锥的顶点的截面的形状为_________；
基本立体图形
基本立体图形
【练习】描述下列组合体的结构特征
【解析】图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体； 图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体； 图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．
基本立体图形
【例2】如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成 的几何体是由哪些简单几何体组成的？ 【解析】画出形成的几何体如图所示.
8.1 基本立体图形
基本立体图形
复习回顾
1.空间几何体
空间几何体：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素， 那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。 多面体：由若干平面多边形围成的几何体叫做多面体,围成多面体 的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体 的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
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二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：圆柱、圆锥、圆台的概念、性质及侧面积公式．
2．教学难点：圆柱、圆锥、圆台的直观图的画法．
3．教学疑点：直观图为什么用正等测法，而不用斜二测法，通过比较让学 生明白用正等测法的便利．
三、课时安排
2课时．
CHENLI
2
四、教与学的过程设计
第一课时 圆柱、圆锥、圆台的概念、性质及直观图的画法
生：有，应该加上全等两个字．
(教师肯定学生的答案后，板书出两条性质．)
师：性质2．给出了圆柱、圆锥、圆台的本质特征．今后有关三个几何 体的计算问题只要在它们轴截面上作文章，甚至今后分析有关问题可直 接在其轴截面上进行而不必画出它们的实际图形．另外有了性质1．我们 可以认为圆台是一个圆锥截掉一个小圆锥后余下的部分，所以有关圆台 的问题就可以转化为圆锥的问题来解决．
请同学们根据课本提供的画法自己画出图形．
师总结：整个作图过程分为四步，1°先画底面；2°画圆台的高；3°画 内接圆柱的上底面，4°画圆锥．大家注意到若不考虑坐标系选取的不同， 以及不区别底面多边形和圆时，棱柱、棱锥、棱台的直观图画法与圆柱、 圆锥、圆台的直观图的画法是一致的．(把新知识纳入学生原有知识结构 中．)
(一)新课引入 师：请同学们打开课本P．74看图2-29，这三个物体的形状分别是：圆柱形、 圆锥形和圆台形．今天我们将研究这三种形状的几何体．首先我们探讨这三种 几何：这三个平面图形是大家熟悉的矩形、直角三角形和直角梯 形．下面我们将这些图形绕着AB所在的直线旋转一周得到什么形状 的图形？(让学生思考一会儿，教师画出旋转所形成的图形．)
3．掌握它们侧面积的计算公式，能综合应用这些公式计算有关图形的面积， 提高学生综合应用知识的能力。
CHENLI
1
(三)德育渗透点
1．圆柱、圆锥、圆台的形成是通过平面图形的旋转而得到，即通过运动的 形式来给出定义．教学过程要结合实际注意培养学生掌握运用运动变化的观 点来分析问题．
2．圆柱、圆锥及圆台的共同属性是，都由平面多边形旋转而得到，因此平 面图形之间的关系决定了它们之间的关系．教学过程要注意培养学生抓住它 们的内在联系来把握它们的变化，帮助学生树立联系变化的辩证唯物主义观 点．
生乙：直观图中线段长短的取法不同．正等测法中平行于y轴的线段保持不变， 而斜二测法中只能取一半．
师：它们有什么共同点？
生丙：平行于x轴、y轴的线段仍然平行于x'轴和y'轴，平行于x的线段在直观 图中长度保持不变．
例2 画水平放置的圆的直观图．
请同学们阅读课本P．76至P．77面的解答．
师：大家看到圆的水平放置的直观图是一个椭圆，圆心变为椭圆的中心，圆
(五)练习
课本P．76中练习2、3；课本P．79中练习．
(六)总结
本节课我们学习了圆柱、圆锥、圆台的概念和性质．大家知道旋转是它 们的共性，而轴截面则是它们的本质特征．所以大家要善于抓住它们的 轴截面来分析、解决有关的问题．
五、作业
CHENLI
7
(四)直观图的画法
请同学们阅读课本P．76面的黑体字部分．
师：请同学们比较正等测法作图与斜二测法作图有哪些不同点？
(通过类比使学生掌握正等测法)
生甲：坐标系的画法不同．正等测法的坐标系要求＜x'o'y'=60°(或120°)， 而斜二测法中则要求＜x'o'y'=45°(或135°)．
§2．4 圆柱、圆锥、圆台
一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．圆柱、圆锥、圆台的概念和性质。 2．圆柱、圆锥、圆台的直观图的画法。 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积。 (二)能力训练点 1．理解圆柱、圆锥、圆台的概念，掌握它们的性质，能利用它们之间的内在 联系进行转化，不断提高学生分析问题的能力。 2．通过它们直观图画法的教学，使学生掌握正等测法的作图，进一步提高学 生作图及识图能力。
CHENLI
6
例1 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径是1∶4，母线长 是10cm，求圆锥的母线长．
分析：如图2-28，△O'OA是圆锥轴截面的一半，则直角梯形COAB是圆台 轴截面的一半，由BC∥AO易得O'B∶O'A=BC∶AO=1∶4
(具体解答请同学们阅读课本)
师：(小结)．注意“还台于锥”以及利用平行式相似来解决问题．
它们分别就是圆柱形、圆锥形、圆台形．
CHENLI
4
(二)圆柱、圆锥、圆台的概念
师：根据刚才的讨论，通过平面图形的旋转可以得到圆柱形、圆锥 形、圆台形的图形，因此我们可以利用旋转这一事实来给圆柱、圆锥、 圆台下定义．
请同学们认真阅读课本P．74第5行到P．75第2行止．
师：这一段内容介绍了圆柱、圆锥、圆台的定义、基本元素以及表 示方法．大家要注意以下几点问题：
1°圆柱、圆锥、圆台是旋转后形成曲面所围成的几何体，即包括曲 面内部的所有点．
2°一定要绕着指定的直线旋转才行，如直角梯形绕下底边所在直线 旋转就不行．
3°轴是一条直线而不是线段．
4°母线与轴线一定共面，注意圆柱、圆台上、下底面周长上任意各 取一点的连线未必是母线．
5°用轴线来表示它们时前面一定要冠以圆柱或圆锥或圆台．
的任意一对相垂直的直径变为椭圆的一对直径(它们称为椭圆的共扼直
径)．既然圆的直观图是椭圆，为方便起见，今后我们可以直接用椭圆模板或
椭圆的近似画法来画．
CHENLI
8
例3 一个圆锥的底面半径是1.6cm，在它的内部有一个底面半径为0.7cm， 高为1.5cm的内接圆柱，画出它们的直观图．
分析：虽然圆锥的高不知道，但我们可先画出下底、上底半径分别为 1.6cm和0.7cm，高为1.5cm的圆台，然后利用圆台与圆锥的关系来画圆 锥．
CHENLI
5
(三)圆柱、圆锥、圆台的性质
思考题1：如果用一个平行于底的平面去截圆柱、圆锥和圆台，所得的 截面会是什么图形？
生：圆．
思考题2：我们把过轴的截面，叫做轴截面．那么圆柱、圆锥、圆台的 轴截面分别是什么图形？(引导学生从形成图形的过程去思考．)
生：矩形、等腰三角形、等腰梯形．
师：大家想一想圆柱的轴截面有多少个？(生：无数多个)，那么刚才同 学对思考题2的回答有没有需要改进的地方？
1．教学重点：圆柱、圆锥、圆台的概念、性质及侧面积公式．
2．教学难点：圆柱、圆锥、圆台的直观图的画法．
3．教学疑点：直观图为什么用正等测法，而不用斜二测法，通过比较让学 生明白用正等测法的便利．
三、课时安排
2课时．
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2
四、教与学的过程设计
第一课时 圆柱、圆锥、圆台的概念、性质及直观图的画法
生：有，应该加上全等两个字．
(教师肯定学生的答案后，板书出两条性质．)
师：性质2．给出了圆柱、圆锥、圆台的本质特征．今后有关三个几何 体的计算问题只要在它们轴截面上作文章，甚至今后分析有关问题可直 接在其轴截面上进行而不必画出它们的实际图形．另外有了性质1．我们 可以认为圆台是一个圆锥截掉一个小圆锥后余下的部分，所以有关圆台 的问题就可以转化为圆锥的问题来解决．
请同学们根据课本提供的画法自己画出图形．
师总结：整个作图过程分为四步，1°先画底面；2°画圆台的高；3°画 内接圆柱的上底面，4°画圆锥．大家注意到若不考虑坐标系选取的不同， 以及不区别底面多边形和圆时，棱柱、棱锥、棱台的直观图画法与圆柱、 圆锥、圆台的直观图的画法是一致的．(把新知识纳入学生原有知识结构 中．)
(一)新课引入 师：请同学们打开课本P．74看图2-29，这三个物体的形状分别是：圆柱形、 圆锥形和圆台形．今天我们将研究这三种形状的几何体．首先我们探讨这三种 几何：这三个平面图形是大家熟悉的矩形、直角三角形和直角梯 形．下面我们将这些图形绕着AB所在的直线旋转一周得到什么形状 的图形？(让学生思考一会儿，教师画出旋转所形成的图形．)
3．掌握它们侧面积的计算公式，能综合应用这些公式计算有关图形的面积， 提高学生综合应用知识的能力。
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(三)德育渗透点
1．圆柱、圆锥、圆台的形成是通过平面图形的旋转而得到，即通过运动的 形式来给出定义．教学过程要结合实际注意培养学生掌握运用运动变化的观 点来分析问题．
2．圆柱、圆锥及圆台的共同属性是，都由平面多边形旋转而得到，因此平 面图形之间的关系决定了它们之间的关系．教学过程要注意培养学生抓住它 们的内在联系来把握它们的变化，帮助学生树立联系变化的辩证唯物主义观 点．
生乙：直观图中线段长短的取法不同．正等测法中平行于y轴的线段保持不变， 而斜二测法中只能取一半．
师：它们有什么共同点？
生丙：平行于x轴、y轴的线段仍然平行于x'轴和y'轴，平行于x的线段在直观 图中长度保持不变．
例2 画水平放置的圆的直观图．
请同学们阅读课本P．76至P．77面的解答．
师：大家看到圆的水平放置的直观图是一个椭圆，圆心变为椭圆的中心，圆
(五)练习
课本P．76中练习2、3；课本P．79中练习．
(六)总结
本节课我们学习了圆柱、圆锥、圆台的概念和性质．大家知道旋转是它 们的共性，而轴截面则是它们的本质特征．所以大家要善于抓住它们的 轴截面来分析、解决有关的问题．
五、作业
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(四)直观图的画法
请同学们阅读课本P．76面的黑体字部分．
师：请同学们比较正等测法作图与斜二测法作图有哪些不同点？
(通过类比使学生掌握正等测法)
生甲：坐标系的画法不同．正等测法的坐标系要求＜x'o'y'=60°(或120°)， 而斜二测法中则要求＜x'o'y'=45°(或135°)．
§2．4 圆柱、圆锥、圆台
一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．圆柱、圆锥、圆台的概念和性质。 2．圆柱、圆锥、圆台的直观图的画法。 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积。 (二)能力训练点 1．理解圆柱、圆锥、圆台的概念，掌握它们的性质，能利用它们之间的内在 联系进行转化，不断提高学生分析问题的能力。 2．通过它们直观图画法的教学，使学生掌握正等测法的作图，进一步提高学 生作图及识图能力。
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例1 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径是1∶4，母线长 是10cm，求圆锥的母线长．
分析：如图2-28，△O'OA是圆锥轴截面的一半，则直角梯形COAB是圆台 轴截面的一半，由BC∥AO易得O'B∶O'A=BC∶AO=1∶4
(具体解答请同学们阅读课本)
师：(小结)．注意“还台于锥”以及利用平行式相似来解决问题．
它们分别就是圆柱形、圆锥形、圆台形．
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(二)圆柱、圆锥、圆台的概念
师：根据刚才的讨论，通过平面图形的旋转可以得到圆柱形、圆锥 形、圆台形的图形，因此我们可以利用旋转这一事实来给圆柱、圆锥、 圆台下定义．
请同学们认真阅读课本P．74第5行到P．75第2行止．
师：这一段内容介绍了圆柱、圆锥、圆台的定义、基本元素以及表 示方法．大家要注意以下几点问题：
1°圆柱、圆锥、圆台是旋转后形成曲面所围成的几何体，即包括曲 面内部的所有点．
2°一定要绕着指定的直线旋转才行，如直角梯形绕下底边所在直线 旋转就不行．
3°轴是一条直线而不是线段．
4°母线与轴线一定共面，注意圆柱、圆台上、下底面周长上任意各 取一点的连线未必是母线．
5°用轴线来表示它们时前面一定要冠以圆柱或圆锥或圆台．
的任意一对相垂直的直径变为椭圆的一对直径(它们称为椭圆的共扼直
径)．既然圆的直观图是椭圆，为方便起见，今后我们可以直接用椭圆模板或
椭圆的近似画法来画．
CHENLI
8
例3 一个圆锥的底面半径是1.6cm，在它的内部有一个底面半径为0.7cm， 高为1.5cm的内接圆柱，画出它们的直观图．
分析：虽然圆锥的高不知道，但我们可先画出下底、上底半径分别为 1.6cm和0.7cm，高为1.5cm的圆台，然后利用圆台与圆锥的关系来画圆 锥．
CHENLI
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(三)圆柱、圆锥、圆台的性质
思考题1：如果用一个平行于底的平面去截圆柱、圆锥和圆台，所得的 截面会是什么图形？
生：圆．
思考题2：我们把过轴的截面，叫做轴截面．那么圆柱、圆锥、圆台的 轴截面分别是什么图形？(引导学生从形成图形的过程去思考．)
生：矩形、等腰三角形、等腰梯形．
师：大家想一想圆柱的轴截面有多少个？(生：无数多个)，那么刚才同 学对思考题2的回答有没有需要改进的地方？