16.3(3)分母有理化
《分母有理化》 讲义
《分母有理化》讲义一、什么是分母有理化在数学中，分母有理化是一种重要的运算技巧。
当我们面对一个分式，其中分母是含有根式的表达式时，通过一定的方法将分母中的根式去掉，把分母化为有理数，这个过程就叫做分母有理化。
比如说，对于分式\（＼frac{1}｛＼sqrt{2}｝＼），它的分母\（＼sqrt{2}＼）是一个无理数。
经过分母有理化后，我们可以将其化为\（＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＼），此时分母\（2\）就是一个有理数。
分母有理化的目的主要是为了简化计算和表达式，使得数学运算更加方便和清晰。
二、为什么要进行分母有理化分母有理化在数学中具有重要的意义和作用，主要体现在以下几个方面：1、简化运算当分式的分母中含有根式时，进行计算往往比较复杂。
通过分母有理化，可以将分母化为有理数，从而简化运算过程，提高计算的准确性和效率。
2、统一形式在数学问题中，为了便于比较和分析不同的表达式，常常需要将它们化为相同的形式。
分母有理化可以帮助我们将分式化为具有统一分母的形式，便于进行后续的运算和处理。
3、便于理解和分析有理化后的分母更容易被理解和直观地把握，有助于我们更深入地研究和分析数学问题。
三、分母有理化的基本方法分母有理化的方法主要有以下几种：1、乘法有理化对于形如\（＼frac{A}｛＼sqrt{B}｝＼）的分式，我们可以将分子分母同时乘以\（＼sqrt{B}＼），得到\（＼frac{A\sqrt{B}｝｛B}＼）。
例如，对于\（＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＼），分子分母同时乘以\（＼sqrt{3}＼），得到\（＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼）。
2、平方差公式有理化当分母是形如\（a ＋＼sqrt{b}＼）或\（a ＼sqrt{b}＼）的式子时，我们可以利用平方差公式\（（a ＋ b)（a b) ＝ a^2 b^2\）来进行有理化。
例如，对于\（＼frac{1}｛2 ＋＼sqrt{3}｝＼），分子分母同时乘以\（2 ＼sqrt{3}＼），得到：＼＼begin{align}＼frac{1}｛2 ＋＼sqrt{3}｝＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛（2 ＋＼sqrt{3}）（2 ＼sqrt{3}）｝＼＼＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛2^2 （＼sqrt{3}）＾2}＼＼＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛4 3}＼＼＆＝2 ＼sqrt{3}＼end{align}＼四、分母有理化的实例下面通过一些具体的例子来进一步理解分母有理化的过程和方法。
16.3二次根式的加减导学案
第7课时 16.3 二次根式的加减导学案（1）【学习目标】理解和掌握二次根式加减的方法． 【学习重点】二次根式加减的运算【学习难点】会判定是否是最简二次根式 一、 学前准备 计算．（1）2x+3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2；（3）x+2x+3y ； （4）3a 2-2a 2+a 3以上题目，是我们所学的同类项合并．同类项合并就是 ．二、探索思考（一）思考：现有一块长7.5dm 、宽5 dm 的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm 2和18 dm 2的正方形木板？（二）探索： 计算下列各式，分析计算过程，你发现什么规律？ ①5+5 ②5-125 ③5-50+20归纳：二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，•再将 的二次根式进行合并．练习一：计算（先阅读P13例1） （1）x x 4916+； （2）7250-.三、典例分析 例1．计算（1）481312（2）4820）+125练习二、计算（1）52080+- （2）)2798(18-+（3）)681()5.024(--+ （4）482108.01031332-+-例2．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（293x x +y 3x y -（x 1x-5y x四、当堂反馈112344863_________． 2．下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ）A 1272B 6378C 38x 2xD ．1863．下列根式合并过程正确的是（ ）A ．33B ．c c cC ．a 12a a +12a D ．133a 143a 1123a4．一个等腰三角形的两边分别为32 ）A ．23B ．23C ．23D ．23235．计算：（1）1248 （2）2818（383120.125632 （4）1432a 18a 3a 2a五、学习反思7.5dm 5dm第8、9课时 16.3 二次根式的加减导学案（2）【学习目标】1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 【学习重点】混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用.【学习难点】灵活运用因式分解、约分等技巧，使计算简便． 一、学前准备1、(1)要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？ (2)下列各式中哪些是能合并的二次根式?2、下列计算哪些正确，哪些不正确？(1) ( ) (2)（ ） (3) （ （ ） (4) （ ） (5) （ ）二、探索思考（一）1、 如何进行单项式与多项式相乘的运算？多项式除以单项式呢？2、阅读P14例3后，完成下面的练习一计算：)53(2)3(+ 5)4080)(4(÷+（二）1、多项式乘多项式的法则（用式子表示）： 我们学了哪些整式的乘法公式： 2、阅读P14例4后，完成下面的练习二计算：)25)(35)(1(++ )26)(26)(2(-+)74)(74)(3(-+ ))()(4(b a b a -+三、典例分析例1、计算： )5223)(5223)(2(-+ 2)5223)(3(+练习三、例2、先化简,再求值:54455545x x x x-+，其中3x =四、当堂反馈1、计算)21218(3)1(+-⨯ （2）101252403--（5）()()()2743743351+---2、先化简，再求值．)364()36(3xy yxxxy yx y x +-+，其中x =32，y =27．五、学习反思332,26,832,3,271,501,75,2⑧⑦⑥⑤④③②①bab ab 325=a b a b +=a b a b =-1132032a a a a ==()a ab a a b a +ab ab ab b a ÷+-)3)(4(33(11242322(271233-(12311535-2)25(1)(-2)23)(1(+2)252()2(-)223)(3332(3)(2+-,322322)2(,231)1(3-++化简：：例.2,2231,2231的值求代数式已知四：练习bab a ba b a +---=+=第10课时 二次根式的小结与复习导学案【学习目标】1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 【学习重点】含二次根式的式子的混合运算．【学习难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 一、知识点：1．二次根式有哪些性质？用式子表示出来（1） （2） (a )2＝ （3）a 2＝ (4) ab = ,(a 0，b 0)；(5)ab＝ (a 0，b 0)． 2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．乘法法则： . 除法法则： 3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(1)被开方数不含 ；(2)被开方数中不含能 的因数或因式． 二、练习巩固1、当x 时，x +3在实数范围内有意义；当x 时，x 24-在实数范围内有意义。
分母有理化
分母有理化
目录
数学术语
什么是分母有理化
分母有理化的分类
拓展
有理化因式
有理化因式举例
数学术语
什么是分母有理化
分母有理化的分类
拓展
有理化因式
有理化因式举例
展开
编辑本段数学术语
什么是分母有理化
分母有理化(fēn mǔ yǒu lǐ huà)
又称"有理化分母".通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算.在根式运算及把一个根式化成最简分式时,都要将分母有理化.最快最常见的是分母带根号的.
分母有理化的分类
如果是一个单项式,如,2/√2
则将分子分母同时乘以√2,分母变为2，分子变为2√2，分数值为√2.
如果是一个多项式,如,2/（√2-1）
则分子分母同时乘以√2+1
使用平方差公式,分母变为1，分子变为2√2+2，分数值为2√2+2.
此方法可应用到根式大小比较中去
编辑本段拓展
有理化因式
例如：
将分子、分母同时乘以分母的有理化因式。
有理化因式举例
如√a的有理化因式是正负√a，√a+√b的有理化因式是
√a-√b或√b-√a.。
16.3(3)分母有理化
例题1 计算
(1) 2 12 (2)a a b (a b 0) (3) a b 2a 2b
2 2
例题2 面积为2a的正方形ABCD
3 a 中,截得Rt ABE的面积为 3
求EC的长.
A
D
B
E
C
例题3 解下列方程和不等式
(1) 3(1 2 2) x 2 2 (2)3 5 x 6 3 7 5 x
3b 3a 2 3a
3b 3a 6a
b 3a 2a
分母有理化后,别忘了结果要化简!
练习1 把下列各式分母有理化
a 1 (2) a2
a4 (3) a 2
a2 (a 1)
53 2 (4) 53 2
解:原式=
(a 1) a 2 a2 a2 a2
分母有理化时 原式中的分子和分母有时需要添括号!
4)
3 5 7 1 a 已知：a ,求 . 1 a 3 5 7
5)
已知 : x 2 2
2
1
, y 2 3
1
求[a 1 b 1 ]
1 2 2
如何计算
2a 3b
?
方法1 解 由题可知 3b>0 原式=
2a 3b
方法2 解 原式=
2a 3b
2a 3bb
6ab 3b
6ab 3b
把分母中的根号化去,叫做分母有理化.
方法:
把分子与分母乘以适当的代数式,
使分母不含根号.
分母有理化的关键是: 分子和分母同乘以乘以适当的代数式 3b 练习1 把下列各式分母有理化 (1) 12a 解： 3a 3b 3b 3b 3b 2 3a 3a 4 3a 2 3a 12a
16.3.分母有理化(2)
(7)2 3 8 11
3 4 11 (默2)
(8)a x a ( x a)
a x a
2 2
(默2)
例
将下列各式分母有理化因式
(默3)
3 1 m -n （ 1 ） （） 2 （） 3 (m ¹ n) 3+ 1 4 3+ 3 2 m+ n
3- 3 3 3 ?( 3 - 1) = (1) = 3 + 1 ( 3 + 1)( 3 - 1) 解： 2 1 4 3- 3 2 4 3- 3 2 （） 2 = = 2 2 4 3+ 3 2 (4 3) - (3 2) 30
平方差公式
2 2
（ a-
2 2( a + b ) 2( a + b ) = = a- b a - b ( a - b )( a + b )
（ a-
b ） （ ? a
2 2 b ） =（ a ） -（ b ） = a- b
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积 不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为有理 化因式 (默1)
a b 2、a b的有理化因式为 _____________ ；
3、a n b的有理化因式为 _____________ ； an b
a b 4、 a b的有理化因式为 _____________ ；
3 3
5、m a n b的有理化因式为 _____________ m a n b ；
b a b a (3) a b a b .
4.
我们把上面的过程叫做分母有理化，如果分母是 一个正实数的算术根只要分子，分母同时乘上这 个二次根式即可，如果是一个二项式只要乘上一 个二项式使分母变成平方差即可。
分母有理化
分母有理化
分母有理化是一种常见的代数学方法，用于将有理数分式的分母化为一个多项式。
这个方法是为了方便的进行分式的运算和化简而存在的。
分母有理化的基本思路是，将分母中的根式或含参量化为分母为多项式的形式。
具体来说，分母中的根式需要通过有理化公式，将其化为分母为多项式的形式；而分母中含有参量的分式，则需要通过乘上适当的分母，将其化为分母为多项式的形式。
例如，对于分式$frac{1}{sqrt{2}+1}$，我们可以使用有理化公式将分母化为多项式的形式，具体为：
$$frac{1}{sqrt{2}+1}=frac{1}{sqrt{2}+1}timesfrac{sqrt{2}-1} {sqrt{2}-1}=frac{sqrt{2}-1}{(sqrt{2}+1)(sqrt{2}-1)}=frac{sq rt{2}-1}{1}=sqrt{2}-1$$
因此，$frac{1}{sqrt{2}+1}$可以化简为$sqrt{2}-1$。
在实际应用中，分母有理化常常用于求解方程、计算极限、化简复杂的分式等问题，因此对于学习代数学的人来说，掌握这种方法是非常重要的。
- 1 -。
数学分母有理化的知识点
数学分母有理化的知识点
分母有理化有两种方法，一个是分母是单项式，另一个是分母是多项式。
分母有理化
I.分母是单项式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多项式
可以利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/(√a+√b)(√a-√b)=√a-√b/a-b
根式中分母不能含有根号，且要变为最简的才行。
整式的运算
1、幂的运算法则(m,n是整数)：
(1)a×a=a;
(2)a÷a=a;(a≠0)
(3)(a)=a
(4)(ab)=ab
2、整式的运算(略)
3、乘法公式：
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)( a^2-ab+b^2) =a^3+b^3
(a-b)( a^2+ab+b^2) =a^3-b^3
(三)多项式的因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的`形式叫做因式分解
1、提公因式法;
2、公式法：
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
3、十字相乘法或求根法分解二次三项式：ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
代数的学习离不开分母有理化知识的应用。
【数学分母有理化的知识点】。
16.3(3)二次根式的乘除法
1 x－2
解:由题意得,
x 0 x 2 0 x 0且 x 4
1 x－2
解:由题意得,
x 2 0 x2 0 x2 0 x2
?
解:由题意得, | x | 3 0 1 4x 1 4 x 0
2 x 1 9x 6 2x ; 2 3 4 x 3 2x x . 3 3 2
1 例题3 已知 x ， 3 2 2
x 6 x 2 求 值. x3 先将 x 分母
2
有理化. 例题4 解不等式:
2x 3 3x.
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
1
3
5 3 3
;
2
4
x ; ax
ab . 2 2 ab a b
ab ; 2 2 a b
例题1 把下列各式分母有理化:
1
3 ; 3 1
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
3
mn m n ; m n
例题2 计算:
(2) 3y 2x y
5 2 (1) 4 3
(3) 4x 27 x 3 y
2
5 + 10 (4) 10
3a (1) 75a
x y (2) x y
2
2
填空:
1。
a a的有理化因式是
——
2。化简：
x x 1 1） x 1 x 1 —————
x
1 2 2） 5 10 5 ———— 3） ( 3 6 )( 3 6)
( a b )( a b ) a a b b
(a b)( a b )
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2a 6ab 和 3ຫໍສະໝຸດ 3b你会把第一个代数式的分母 3b 变成3b吗？
2a = 3b
2a × 3b = 3b × 3b
6ab 3b
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
将下列各式分母有理化:
2 (1) 5
2 2× 5 2 5 解： (1) = = 5 5 5× 5
(2)
5
5 3 3
5× 3 5 3 (2) = = 9 3 3 3 3× 3
a a ab a a+ b (2)原式＝ = a+ b ab ab a+ b
(3)由a>b>0得a＋b>0,a-b>0 原式＝
注意条件的交代
a b a b 2 a b
a 2 - b2 (a b)( a b) 2( a b ) 2 a + 2b
ab 2 = 2 2
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有 理化运算。 2. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化 简的二次根式先化简(能开出来的先开出来或分 子和分母先因式分解约分),再考虑如何化去分母 中的根号。
人教版数学教材八年级下
第16章 二次根式
16.3（3） 分母有理化
二次根式的运算（乘除运算）:
a b
a b
ab （a ≥0 ， b≥0）
a （a ≥0 ， b＞0） b
计算：
2a
3b
即
2a 3b 解 : 原式 3b 3b
2a 3b
6ab 3b
6ab 3b
比较代数式
5x > - 3 3
3 3 x> 5 3 15 x> 5
2 12 + 18 x= ∴原不等式的解集是 12 4 3+ 3 2 3 15 x= x> 12 5 4 3+ 3 2 ∴原方程的根是 x = 12
小结：
1. 二次根式的除法有两种常用方法： （1）利用公式：
a b = a ( a ≥0， b > 0 ) b
分母有理化方法：一般是把分子分母都乘以 一个适当的代数式，使分母不含根号.
例1 计算： a 2 b 2 2a 2b (a b 0) a （1） 2 12 （2） a b （3）
2 21 3 6 6 22 2 = = = = 解 (1)原式＝ 3 12 12 2 12 2 36 3 6 6
2a - 2b (a>b>0) 2
例2 解下列方程或不等式
(1) 3 - 2 6 x = - 2 2
解： 2 6 x = - 2 2 - 3 2 6x = 2 2 + 3 2 2+ 3 x= 2 6
(2 2 3 ) 6 x 2 6 6
(2)3 5 x + 6 3 > 5 x 解： 5 x > - 6 3 2