16.3(3)分母有理化
《分母有理化》 讲义
《分母有理化》讲义一、什么是分母有理化在数学中,分母有理化是一种重要的运算技巧。
当我们面对一个分式,其中分母是含有根式的表达式时,通过一定的方法将分母中的根式去掉,把分母化为有理数,这个过程就叫做分母有理化。
比如说,对于分式\(\frac{1}{\sqrt{2}}\),它的分母\(\sqrt{2}\)是一个无理数。
经过分母有理化后,我们可以将其化为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\),此时分母\(2\)就是一个有理数。
分母有理化的目的主要是为了简化计算和表达式,使得数学运算更加方便和清晰。
二、为什么要进行分母有理化分母有理化在数学中具有重要的意义和作用,主要体现在以下几个方面:1、简化运算当分式的分母中含有根式时,进行计算往往比较复杂。
通过分母有理化,可以将分母化为有理数,从而简化运算过程,提高计算的准确性和效率。
2、统一形式在数学问题中,为了便于比较和分析不同的表达式,常常需要将它们化为相同的形式。
分母有理化可以帮助我们将分式化为具有统一分母的形式,便于进行后续的运算和处理。
3、便于理解和分析有理化后的分母更容易被理解和直观地把握,有助于我们更深入地研究和分析数学问题。
三、分母有理化的基本方法分母有理化的方法主要有以下几种:1、乘法有理化对于形如\(\frac{A}{\sqrt{B}}\)的分式,我们可以将分子分母同时乘以\(\sqrt{B}\),得到\(\frac{A\sqrt{B}}{B}\)。
例如,对于\(\frac{1}{\sqrt{3}}\),分子分母同时乘以\(\sqrt{3}\),得到\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
2、平方差公式有理化当分母是形如\(a +\sqrt{b}\)或\(a \sqrt{b}\)的式子时,我们可以利用平方差公式\((a + b)(a b) = a^2 b^2\)来进行有理化。
例如,对于\(\frac{1}{2 +\sqrt{3}}\),分子分母同时乘以\(2 \sqrt{3}\),得到:\\begin{align}\frac{1}{2 +\sqrt{3}}&=\frac{2 \sqrt{3}}{(2 +\sqrt{3})(2 \sqrt{3})}\\&=\frac{2 \sqrt{3}}{2^2 (\sqrt{3})^2}\\&=\frac{2 \sqrt{3}}{4 3}\\&=2 \sqrt{3}\end{align}\四、分母有理化的实例下面通过一些具体的例子来进一步理解分母有理化的过程和方法。
16.3二次根式的加减导学案
第7课时 16.3 二次根式的加减导学案(1)【学习目标】理解和掌握二次根式加减的方法. 【学习重点】二次根式加减的运算【学习难点】会判定是否是最简二次根式 一、 学前准备 计算.(1)2x+3x ; (2)2x 2-3x 2+5x 2;(3)x+2x+3y ; (4)3a 2-2a 2+a 3以上题目,是我们所学的同类项合并.同类项合并就是 .二、探索思考(一)思考:现有一块长7.5dm 、宽5 dm 的木板,能否采用如图所示的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8 dm 2和18 dm 2的正方形木板?(二)探索: 计算下列各式,分析计算过程,你发现什么规律? ①5+5 ②5-125 ③5-50+20归纳:二次根式加减时,可以先将二次根式化成 ,•再将 的二次根式进行合并.练习一:计算(先阅读P13例1) (1)x x 4916+; (2)7250-.三、典例分析 例1.计算(1)481312(2)4820)+125练习二、计算(1)52080+- (2))2798(18-+(3))681()5.024(--+ (4)482108.01031332-+-例2.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0,求(293x x +y 3x y -(x 1x-5y x四、当堂反馈112344863_________. 2.下列各组二次根式中,可以进行加减合并的一组是( )A 1272B 6378C 38x 2xD .1863.下列根式合并过程正确的是( )A .33B .c c cC .a 12a a +12a D .133a 143a 1123a4.一个等腰三角形的两边分别为32 )A .23B .23C .23D .23235.计算:(1)1248 (2)2818(383120.125632 (4)1432a 18a 3a 2a五、学习反思7.5dm 5dm第8、9课时 16.3 二次根式的加减导学案(2)【学习目标】1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用. 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算. 【学习重点】混合运算的法则,明确三级运算的顺序,运算律的合理使用.【学习难点】灵活运用因式分解、约分等技巧,使计算简便. 一、学前准备1、(1)要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并? (2)下列各式中哪些是能合并的二次根式?2、下列计算哪些正确,哪些不正确?(1) ( ) (2)( ) (3) ( ( ) (4) ( ) (5) ( )二、探索思考(一)1、 如何进行单项式与多项式相乘的运算?多项式除以单项式呢?2、阅读P14例3后,完成下面的练习一计算:)53(2)3(+ 5)4080)(4(÷+(二)1、多项式乘多项式的法则(用式子表示): 我们学了哪些整式的乘法公式: 2、阅读P14例4后,完成下面的练习二计算:)25)(35)(1(++ )26)(26)(2(-+)74)(74)(3(-+ ))()(4(b a b a -+三、典例分析例1、计算: )5223)(5223)(2(-+ 2)5223)(3(+练习三、例2、先化简,再求值:54455545x x x x-+,其中3x =四、当堂反馈1、计算)21218(3)1(+-⨯ (2)101252403--(5)()()()2743743351+---2、先化简,再求值.)364()36(3xy yxxxy yx y x +-+,其中x =32,y =27.五、学习反思332,26,832,3,271,501,75,2⑧⑦⑥⑤④③②①bab ab 325=a b a b +=a b a b =-1132032a a a a ==()a ab a a b a +ab ab ab b a ÷+-)3)(4(33(11242322(271233-(12311535-2)25(1)(-2)23)(1(+2)252()2(-)223)(3332(3)(2+-,322322)2(,231)1(3-++化简::例.2,2231,2231的值求代数式已知四:练习bab a ba b a +---=+=第10课时 二次根式的小结与复习导学案【学习目标】1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质,并能熟练地化简含二次根式的式子; 2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 【学习重点】含二次根式的式子的混合运算.【学习难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子. 一、知识点:1.二次根式有哪些性质?用式子表示出来(1) (2) (a )2= (3)a 2= (4) ab = ,(a 0,b 0);(5)ab= (a 0,b 0). 2.二次根式的乘法及除法的法则是什么?用式子表示出来.乘法法则: . 除法法则: 3.最简二次根式满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.(1)被开方数不含 ;(2)被开方数中不含能 的因数或因式. 二、练习巩固1、当x 时,x +3在实数范围内有意义;当x 时,x 24-在实数范围内有意义。
分母有理化
分母有理化
目录
数学术语
什么是分母有理化
分母有理化的分类
拓展
有理化因式
有理化因式举例
数学术语
什么是分母有理化
分母有理化的分类
拓展
有理化因式
有理化因式举例
展开
编辑本段数学术语
什么是分母有理化
分母有理化(fēn mǔ yǒu lǐ huà)
又称"有理化分母".通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算.在根式运算及把一个根式化成最简分式时,都要将分母有理化.最快最常见的是分母带根号的.
分母有理化的分类
如果是一个单项式,如,2/√2
则将分子分母同时乘以√2,分母变为2,分子变为2√2,分数值为√2.
如果是一个多项式,如,2/(√2-1)
则分子分母同时乘以√2+1
使用平方差公式,分母变为1,分子变为2√2+2,分数值为2√2+2.
此方法可应用到根式大小比较中去
编辑本段拓展
有理化因式
例如:
将分子、分母同时乘以分母的有理化因式。
有理化因式举例
如√a的有理化因式是正负√a,√a+√b的有理化因式是
√a-√b或√b-√a.。
16.3(3)分母有理化
例题1 计算
(1) 2 12 (2)a a b (a b 0) (3) a b 2a 2b
2 2
例题2 面积为2a的正方形ABCD
3 a 中,截得Rt ABE的面积为 3
求EC的长.
A
D
B
E
C
例题3 解下列方程和不等式
(1) 3(1 2 2) x 2 2 (2)3 5 x 6 3 7 5 x
3b 3a 2 3a
3b 3a 6a
b 3a 2a
分母有理化后,别忘了结果要化简!
练习1 把下列各式分母有理化
a 1 (2) a2
a4 (3) a 2
a2 (a 1)
53 2 (4) 53 2
解:原式=
(a 1) a 2 a2 a2 a2
分母有理化时 原式中的分子和分母有时需要添括号!
4)
3 5 7 1 a 已知:a ,求 . 1 a 3 5 7
5)
已知 : x 2 2
2
1
, y 2 3
1
求[a 1 b 1 ]
1 2 2
如何计算
2a 3b
?
方法1 解 由题可知 3b>0 原式=
2a 3b
方法2 解 原式=
2a 3b
2a 3bb
6ab 3b
6ab 3b
把分母中的根号化去,叫做分母有理化.
方法:
把分子与分母乘以适当的代数式,
使分母不含根号.
分母有理化的关键是: 分子和分母同乘以乘以适当的代数式 3b 练习1 把下列各式分母有理化 (1) 12a 解: 3a 3b 3b 3b 3b 2 3a 3a 4 3a 2 3a 12a
16.3.分母有理化(2)
(7)2 3 8 11
3 4 11 (默2)
(8)a x a ( x a)
a x a
2 2
(默2)
例
将下列各式分母有理化因式
(默3)
3 1 m -n ( 1 ) () 2 () 3 (m ¹ n) 3+ 1 4 3+ 3 2 m+ n
3- 3 3 3 ?( 3 - 1) = (1) = 3 + 1 ( 3 + 1)( 3 - 1) 解: 2 1 4 3- 3 2 4 3- 3 2 () 2 = = 2 2 4 3+ 3 2 (4 3) - (3 2) 30
平方差公式
2 2
( a-
2 2( a + b ) 2( a + b ) = = a- b a - b ( a - b )( a + b )
( a-
b ) ( ? a
2 2 b ) =( a ) -( b ) = a- b
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果它们的积 不含有二次根式,我们就说这两个二次根式互为有理 化因式 (默1)
a b 2、a b的有理化因式为 _____________ ;
3、a n b的有理化因式为 _____________ ; an b
a b 4、 a b的有理化因式为 _____________ ;
3 3
5、m a n b的有理化因式为 _____________ m a n b ;
b a b a (3) a b a b .
4.
我们把上面的过程叫做分母有理化,如果分母是 一个正实数的算术根只要分子,分母同时乘上这 个二次根式即可,如果是一个二项式只要乘上一 个二项式使分母变成平方差即可。
分母有理化
分母有理化
分母有理化是一种常见的代数学方法,用于将有理数分式的分母化为一个多项式。
这个方法是为了方便的进行分式的运算和化简而存在的。
分母有理化的基本思路是,将分母中的根式或含参量化为分母为多项式的形式。
具体来说,分母中的根式需要通过有理化公式,将其化为分母为多项式的形式;而分母中含有参量的分式,则需要通过乘上适当的分母,将其化为分母为多项式的形式。
例如,对于分式$frac{1}{sqrt{2}+1}$,我们可以使用有理化公式将分母化为多项式的形式,具体为:
$$frac{1}{sqrt{2}+1}=frac{1}{sqrt{2}+1}timesfrac{sqrt{2}-1} {sqrt{2}-1}=frac{sqrt{2}-1}{(sqrt{2}+1)(sqrt{2}-1)}=frac{sq rt{2}-1}{1}=sqrt{2}-1$$
因此,$frac{1}{sqrt{2}+1}$可以化简为$sqrt{2}-1$。
在实际应用中,分母有理化常常用于求解方程、计算极限、化简复杂的分式等问题,因此对于学习代数学的人来说,掌握这种方法是非常重要的。
- 1 -。
数学分母有理化的知识点
数学分母有理化的知识点
分母有理化有两种方法,一个是分母是单项式,另一个是分母是多项式。
分母有理化
I.分母是单项式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多项式
可以利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/(√a+√b)(√a-√b)=√a-√b/a-b
根式中分母不能含有根号,且要变为最简的才行。
整式的运算
1、幂的运算法则(m,n是整数):
(1)a×a=a;
(2)a÷a=a;(a≠0)
(3)(a)=a
(4)(ab)=ab
2、整式的运算(略)
3、乘法公式:
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)( a^2-ab+b^2) =a^3+b^3
(a-b)( a^2+ab+b^2) =a^3-b^3
(三)多项式的因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的`形式叫做因式分解
1、提公因式法;
2、公式法:
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
3、十字相乘法或求根法分解二次三项式:ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
代数的学习离不开分母有理化知识的应用。
【数学分母有理化的知识点】。
16.3(3)二次根式的乘除法
1 x-2
解:由题意得,
x 0 x 2 0 x 0且 x 4
1 x-2
解:由题意得,
x 2 0 x2 0 x2 0 x2
?
解:由题意得, | x | 3 0 1 4x 1 4 x 0
2 x 1 9x 6 2x ; 2 3 4 x 3 2x x . 3 3 2
1 例题3 已知 x , 3 2 2
x 6 x 2 求 值. x3 先将 x 分母
2
有理化. 例题4 解不等式:
2x 3 3x.
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
1
3
5 3 3
;
2
4
x ; ax
ab . 2 2 ab a b
ab ; 2 2 a b
例题1 把下列各式分母有理化:
1
3 ; 3 1
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
3
mn m n ; m n
例题2 计算:
(2) 3y 2x y
5 2 (1) 4 3
(3) 4x 27 x 3 y
2
5 + 10 (4) 10
3a (1) 75a
x y (2) x y
2
2
填空:
1。
a a的有理化因式是
——
2。化简:
x x 1 1) x 1 x 1 —————
x
1 2 2) 5 10 5 ———— 3) ( 3 6 )( 3 6)
( a b )( a b ) a a b b
(a b)( a b )
分母有理化双案
第 2 周第 1 课时编号:6第周第课时编号:分母有理化学习目标:1能对分母中含有二次根式的式子进行化简.2熟练进行分母有理化。
三、学习过程:任务一阅读下列运算过程:==,==数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”.......。
利用上述方法化简:(1)=_______ __ (2=____ _____ (3=___ __ ___ (4)=__ _ ___任务二、阅读下列分母有理化的运算过程:121212)12)(12()12(1121-=--=-+-⨯=+===仿照上述方法化简:===精习: 一知识梳理:1、化简二次根式的方法有多种,比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理....化.。
2、判断是否为最简二次根式的标准:(1)被开方数中不能含有 的数或式; (2)被开方数中不含 ; (3)分母中不含有 。
二知识运用:(1(y>0)是二次根式,化为最简二次根式是( ).A(y>0) B y>0) C y>0) D .以上都不对(2)已知x =x x 1-的值等于____ ______.(3==(4)(挑战题)观察下列各式,通过分母有理化,把不是最简二次根式的化成最简二次根式:===……从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算(++++231121……))的值.。
人教版八年级数学下册教案16.3.3二次根式的混合运算-分母有理化
一、教学内容
人教版八年级数学下册教案16.3.3二次根式的混合运算-分母有理化
1.理解分母有理化的概念及其在二次根式混合运算中的应用。
2.掌握分母有理化的方法,包括乘以共轭式、平方差公式等。
3.熟练运用分母有理化简化二次根式混合运算,解决以下问题:
3.成果展示:每个Байду номын сангаас组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“分母有理化在实际数学运算中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.增强数学交流能力,在小组讨论和问题解决过程中,鼓励学生用清晰、准确的语言表达自己的思考和解题过程,促进同伴间的交流与学习。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握分母有理化的概念和方法,包括乘以共轭式、平方差公式等。
-能够熟练运用分母有理化进行二次根式的混合运算,包括分数加减乘除。
-将分母有理化应用于解决实际问题的计算过程中。
-在讲解复杂运算时,指导学生识别何时进行分母有理化,如何选择有理化方法,避免学生在选择方法时产生困惑。
-强调在运算过程中,对平方差公式等基础运算规则的熟练掌握,避免因基础不牢导致的错误。
-通过对比不同类型的例题,让学生掌握在特定情况下如何简化根式,如√(a^2) - √(b^2) = |a| - |b|等。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解分母有理化的基本概念。分母有理化是指将分母中的根式转化为整数或整式的过程,以便于进行混合运算。它是解决含有二次根式分数运算的关键步骤,能简化计算,避免根号出现在分母中。
16.3 分母有理化(第3课时)(教学课件)-2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教
(a b)(a b)
(
2 a b)
2(a b)
a b a b
二次根式性质3
2 ab
2( a b )
a b 2
4
2 2
(
2 a b)
2
a b
2
2
除法法则
3. 分母有理化应用
例题7:
如图,在面积为2a的正方形ABCD中,截得直角三角形ABE的面积为
2
4.
2
a2 b2
(2)
a b
a2 b2
(2)
a b
(a b)( a b)
a b
(a b)(a b) a b
a b a b
(a b)( a b) a b
a b
(a b) a b
2: 解不等式: 3 2 6 x 2 2
法二
解: 2a 3b
解: 2a 3b
2a
3b
2a 3b
2
(3b)
6ab
3b
使用除法法则
6ab
3b
化简
最简二次根式
2a
3b
2a 3b
3b 3b
2a 3b
2
( 3b)
6ab
3b
分子分母同乘以 3b
把分母中的根号
化去
2. 分母有理化计算
例6:计算 (1) 2
解:(1) 2 12
2a
2a
2a 3b
6ab
6ab
人教版数学八下16.3《二次二次根式的加减》 (2)
解:R r
S
s
18
8
2
R-r
1 (1)3 48 9 3 12; (2)( 48 20) ( 12 5 ) 3 1 解:原式 16 3 4 5 4 3 5 解: 原式 3 16 3 9 3 43 3 4 32 52 3 5 12 3 3 3 6 3 6 3 5
m n 2
) 125
3.如果最简二次根式
2
与
mn
1 D. 6 27
是同类二次根式,求m、n 的值.
知识点2:二次根式的加减法:
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两列火车共运多少? 2x+3x=5x吨 _______________ (2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两列火车共运多少? (2x +3y)吨 _______________ 以下问题你能用同样的方法计算吗?
注意:判断一组式子是否为同类二次根式,只需看化 为最简二次根式后的被开方数是否相同,与最简二次 根式前面的因式及符号无关.
1.在下列各组根式中,是同类二次根式的是( B 1 2, A . 2 , 12 B . 2 C. 4ab , ab2 D. a 1 , a 1
2. 与
)
A.
12是同类二次根式的是( D 32 B. 24 C.
13 3 2 12 3 4 3 3 3 4 9 3
1.下列计算是否正确?为什么?
火眼金睛
( 1)
( 2) ( 3) ( 4)
8
3
8 3
4
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16_3二次根式的加减【2021-2022人教八下数学新课寒假预习精讲精练(自学自练)】(解析版)
专题16.3 二次根式的加减【教学目标】1、同类二次根式2、二次根式的加减运算3、二次根式的混合运算4、分母有理化5、二次根式的应用【教学重难点】1、同类二次根式2、二次根式的加减运算3、二次根式的混合运算4、分母有理化5、二次根式的应用【知识亮解】知识归纳:1、二次根式的加减二次根式的加减:二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不变.二次根式的加减步骤:①如果有括号,根据去括号法则去掉括号.②把不是最简二次根式的二次根式进行化简.③合并被开方数相同的二次根式.2、二次根式的混合运算:(1)二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.①与实数的混合运算一致,运算顺序先乘方再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的.②在运算中每个根式可以看做是一个单项式,多个不同类的二次根式的和可以看作多项式.(2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式或整式.(3)在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.3、二次根式的应用:把二次根式的运算与现实生活相联系,体现了所学知识之间的联系,感受所学知识的整体性,不断丰富解决问题的策略,提高解决问题的能力.二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法.亮题一:同类二次根式1.(2021·)B C DA【答案】C【分析】化成最简二次根式,判断是否是同类二次根式即可.【详解】===∴故选C.【点睛】本题考查了二次根式的化简,同类二次根式即化为最简二次根式后,被开方数相同的根式,熟练掌握定义是解题的关键.2.(2021·广东·江门市第二中学二模)下列运算正确的是()A B.C.x5•x6=11x D.(x2)5=7x【答案】C【分析】根据同类二次根式的定义,二次根式的乘法法则,同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则逐个判断即可.【详解】解:A不是同类二次根式,不能合并,故A选项错误;B、12a,故B选项错误;C、x5•x6=11x,故C选项正确;D、(x2)5=10x,故D选项错误,故选:C.【点睛】本题考查了同类二次根式的定义,二次根式的乘法法则,同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则,熟练掌握相关定义及运算法则是解决本题的关键.3.(2021·河南息县·八年级期末)已知最简二次根式a+a,b的值分别为()A.a=1,b=2 B.a=﹣1,b=0 C.a=1,b=0 D.a=﹣1,b=2【答案】C【分析】根据最简二次根式和合并同类二次根式的法则得出方程组,求出方程组的解即可.【详解】∵最简二次根式a+∴12 33a ba b++=⎧⎨-=⎩,解得:a=1,b=0,故选:C.【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式,二元一次方程组的解法,掌握这些知识点是关键.4.(2020·河北·育华中学七年级阶段练习)计算|1|2|++的值为()A.1 B.﹣1 C.1﹣D.﹣1【答案】A【分析】直接利用绝对值的性质分别化简,然后合并同类二次根式即可得出答案.【详解】解:原式121=.故选:A.【点睛】本题主要考查了绝对值的性质,正确去掉绝对值,然后合并同类二次根式是解题关键.5.(2021·河北永年·合并,则a的值不可以是()A.12B.8 C.18 D.28【答案】D【分析】是同类二次根式,是否为同类二次根式即可.【详解】当a=12是同类二次根式,故该项不符合题意;当a=8=当a=18=当a=28故选:D.【点睛】此题考查最简二次根式的定义,同类二次根式的定义,化简二次根式,正确化简二次根式是解题的关键.6.(2021·全国·)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】到此方程的正整数解的组数有三组.【详解】解:x,y为正整数,====∴113 27x y =⎧⎨=⎩,224812xy=⎧⎨=⎩,331473xy=⎧⎨=⎩,共有三组正整数解.故选:C.【点睛】本题考查同类二次根式的概念,同类二次根式是化为最简二次根式后,被开方数相同的二次根式称为同类二次根式.7.(2021·全国·八年级专题练习)那么下列各数中,n可以取的数为().A.4 B.6 C.8 D.12【答案】C【分析】是同类二次根式.【详解】解:A2=BC是同类二次根式,正确;D故选:C.【点睛】本题考查了同类二次根式的定义.要化简为最简二次根式后再判断.8.(2019·同类二次根式的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式,再根据同类二次根式的概念解答即可.【详解】被开方数相同,故是同类二次根式;2个,故选:B.【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.9.(2020·全国·x≥0是同类二次根式的个数是().A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】各式化简后,利用同类二次根式定义判断即可.【详解】x≥0)中,(x≥0)共2个,故选B【点睛】本题考查同类二次根式,熟练掌握二次根式的基本性质是解题关键.10.(2020·全国·八年级课时练习)那么a的值是()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2【答案】D【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解.【详解】由题意,得7-2a=3,解得a=2,故选D.【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义,即:二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.亮题二:二次根式的加减运算11.(2021·湖南·衡阳市实验中学九年级期中)下列计算正确的是( )A B .3=C 3-D 2= 【答案】D【分析】根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断,根据二次根式的性质对C 进行判断,根据二次根式的除法法则对D 进行判断.【详解】解:A A 选项不符合题意;B .=B 选项不符合题意;C 3,所以C 选项不符合题意;D 2==,所以D 选项符合题意; 故选:D .【点睛】本题考查了二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键.12.(2021·上海市罗南中学八年级阶段练习)若0a <,0b <,化简 )A .(23-b aB .(23--b aC .(23-+b aD .(23+b a 【答案】C 【分析】a 化简 ,注意0a <,0b <,最后加减运算即可. 【详解】解:223,ab a ab =- 0a <,0b <,(2223332ab a abb a ∴-=-=-+ 故选:C .【点睛】a是解题关键.13.(2021·江西·南昌市心远中学八年级期末)己知0a ≥,那么下列等式中一定不成立的是( )A.0= B.0=C D=【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件、二次根式的性质判断即可.【详解】A.==0a =时0=式子成立,而0a ≠,所以本选项一定不成立;B. 0=,对于任意a 的值都成立;C.20a -≥,解得0a =,此时本选项成立;D.,只有当0a =时成立;故选A .【点睛】本题考查的是二次根式的性质,掌握二次根式有意义的条件、二次根式的性质是解题的关键. 14.(2021·全国·10=,则x 的值等于( ) A .4B .2±C .2D .4±【答案】C【分析】先化简、合并等号左边的二次根式,再将系数化为,继而两边平方,进一步求解可得.【详解】解:原方程化为10=,合并,得2=,即24=x ,∴2x =.故选:C【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简,二次根式的加减运算,先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.15.(2021·河北沧县·12)2+的结果是( )A .1B 1C .1D .3【答案】B【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案.【详解】解:原式1412⨯-21-1. 故选:B .【点睛】此题主要考查了二次根式的加减、绝对值的应用,正确化简各数是解题关键.16.(2021·河北沧县·八年级期中)如图为小明的答卷,他的得分应是( )A.40 B.60 C.80 D.100【答案】B【分析】根据二次根式的基本性质及二次根式的运算法则逐个计算即可得答案.【详解】解:1、255=,故该题正确;2、2(2)2-=,故该题正确;3、623÷=,故该题错误;4、233266⨯=,故该题正确;5、92535834a a a a a a+=+=≠,故该题错误,故小明答对3题,答错2题,他的得分是3×20=60(分),故选:B.【点睛】本题考查了二次根式的化简及加减乘除运算,熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键.17.(2021·湖北十堰·八年级期末)如图,数轴上与1,2对应的点分别为A,B,点B关于点A的对称点为点C,设点C表示的数为x,则|x﹣2|+2x=()A2B.2C.2D.2【答案】C【分析】根据题意A点表示的数是B,C两点表示的数的平均数,可求出x的值为22计算,即可得出结论.【详解】解:∵点B 关于点A 的对称点为点C ,∴AB =AC .∴1﹣x 1,解得,x =2∴点C 表示的数x 为2∵|x =﹣2,2x=2,∴2+2,故选:C .【点睛】本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简等知识点.利用对称的性质求出x 的值是解决本题的关键. 18.(2021·河南开封·一模)下列运算正确的是( )A .824x x x ÷=B =C .()32628a a -=-D .101(1)32-⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ 【答案】C【分析】分别根据同底数幂的除法法则,二次根式的加法法则,积的乘方运算法则以及零指数幂、负整数指数幂的运算法则逐一判断即可.【详解】A 、826x x x ÷=原计算错误,不符合题意;B 、 235=+=≠C 、()32628a a -=-正确,符合题意;D 、101(1)1212-⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭原计算错误,不符合题意; 故选:C .【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法,幂的乘方与积的乘方,二次根式的运算,零指数幂、负整数指数幂的运算,熟记二次根式的运算、幂的运算法则是解答本题的关键.19.(2021·北京·九年级专题练习)下列计算正确的是( )A .=B 6=C .-=D 5=【答案】D【分析】根据二次根式的运算法则和性质进行计算,然后判断即可.【详解】 解:33-=A 错误,不符合题意;选项B B 错误,不符合题意;233-=C 错误,不符合题意;5,故选项D 正确,符合题意;故选:D .【点睛】本题考查了二次根式的运算和性质,解题关键是熟练运用二次根式运算法则准确计算.20.(2021·全国·八年级专题练习)下列运算正确的有( )个.①6-=7==2=④⑤=5=A .1B .2C .3D .4【答案】A【分析】 根据二次根式的运算法则分别进行计算,计算出正确结果即可作出判断.【详解】①-===①错误.1122===②错误.=22=-2=,故③错误.④==④错误.⑤12=⨯122=⨯24=,故⑤错误.==5=,故⑥正确. ∴①②③④⑤⑥中只有⑥1个正确.故选A..【点睛】本题主要考查二次根式的运算,解题的关键是能熟练运用二次根式的性质和运算法则进行计算.亮题三:二次根式的混合运算21.(2021·重庆一中八年级期中)估计 ) A .1和2之间B .2和3之间C .3和4之间D .4和5之间 【答案】A【分析】根据乘法分配律先化简,然后估算即可. 【详解】解:原式1, ∵459,∴23<<,∴112<,故选:A.【点睛】本题考查了二次根式的计算,无理数的估算,无理数的估算常用夹逼法,用有理数夹逼无理数是解题的关键.22.(2021·江西婺源·八年级阶段练习)计算:(3-)2020(3+)2021的结果是()A.3-B.3+C.1 D.2021【答案】B【分析】先根据积的乘方得到原式=(3-2020×(3+)2020×(3+)=[(3-(3+2020×(3+,然后利用平方差公式计算.【详解】解, 原式=(3-)2020×(3+)2020×(3+=[(3-(3+2020×(3+=(9-8) 2020×(3+=3+故答案为:B【点睛】本题考查了积的乘方,平方差公式,二次根式的混合运算的应用,主要考查学生的计算能力.23.(2021·河北·石家庄市第四十二中学八年级期中)下列运算中正确的是()A B.C D.)1)=3【答案】C【分析】根据二次根式的运算法则注意判断即可.【详解】解:A不是同类二次根式,不能合并,此选项错误;B.C .6÷2=3,此选项正确;D .(2+1)(2﹣1)=2﹣1=1,此选项错误;故选:C .【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则.24.(2021·河南·郑州外国语学校经开校区八年级阶段练习)如图,数轴上与1,3对应的点分别为A ,B ,点B 与点C 的到点A 的距离相等,设点C 表示的数为x ,则|x ﹣33|+x 2等于( )A 3B .3C .3D .5【答案】D【分析】根据题意,以及数轴上的点的位置,求得点C 表示的数,进而求得代数式的值.【详解】数轴上与13A ,B ,点B 与点C 的到点A 的距离相等,设点C 表示的数为x ,311x =-, 解得23x =∴|x ﹣3x 222333(23)=32433=+- 5=.故选D .【点睛】本题考查了实数与数轴,实数的混合运算,求得点C 表示的数是解题的关键.25.(2021·福建莆田·八年级期末)下列计算中,正确的是( )A 358B .22=2C .232D 6÷23【答案】D【分析】根据二次根式的加减法对A、B、C进行判断;根据二次根式的除法法则对D进行判断.【详解】解:AB、2C、与-3不能合并,所以选项不符合题意;D2故选:D.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解题关键.26.(2021·湖南龙山·八年级期末)下列计算中正确的是()A=B.3=C.已知a<0<b,则|a bD.当a=2,b=﹣8,c=5=【答案】D【分析】先利用二次根式的加减,计算A、B,利用二次根式、绝对值的性质化简C,利用二次根式的混合运算计算D.最后得结论.【详解】=,故选项A错误;≠,故选项B错误;3当a<0<b时,||a=﹣a+b﹣a=b﹣2a≠﹣b,故选项C错误;当a=2,b=﹣8,c=5D正确.故选:D.【点睛】本题考查了二次根式及绝对值,掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则是解决本题的关键.27.(2021·浙江浙江·八年级期末)若使算式○表示的运算符号是()A.+ B.-C.×D.÷【答案】C【分析】分别把四个选项中的符号代入计算,再比较结果,选取结果最大的运算符号即可.【详解】解:因为12,45<<<,所以57;=<;=,89<<;<;1∵>>>“×”的运算结果最大,∴故选:C.【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算,解题的关键是掌握二次根式的运算法则.28.(2021·广东·中考真题)设6a,小数部分为b,则(2a b的值是()A.6 B.C.12 D.【答案】A【分析】首先根据10的整数部分可确定a 的值,进而确定b 的值,然后将a 与b 的值代入计算即可得到所求代数式的值. 【详解】 ∵3104<<,∴26103<-<,∴610-的整数部分2a =,∴小数部分6102410b =--=-,∴()()()()()210221041041041016106a b +=⨯+-=+-=-=.故选:A .【点睛】本题考查了二次根式的运算,正确确定610-的整数部分a 与小数部分b 的值是解题关键.29.(2021·内蒙古·中考真题)若21x =+,则代数式222x x -+的值为( )A .7B .4C .3D .322- 【答案】C【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+,再代入即可求解.【详解】解:()()22222=1121113x x x -+-+=+-+=. 故选:C【点睛】本题考查了求代数式的值,熟练掌握完全平方公式是解题关键,也可将x 的值直接代入计算.30.(2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测)如图,在ABC 中,4,45,30,AC B C AD AB =∠=︒∠=︒⊥交BC 于点,D DE 平分ADB ∠交AB 于点E ,则AE 的长为( )A .2B .22C .42D .422-【答案】D【分析】 分别过点A 、E 作AF ⊥BC ,EG ⊥BC ,分别交BC 于点F ,G ,由题意易得AF =2,则有22AB =,设EG =BG =AE =x ,进而可得2EB x =,然后可得222x x +=,最后问题可求解.【详解】解:分别过点A 、E 作AF ⊥BC ,EG ⊥BC ,分别交BC 于点F ,G ,如图所示:∵45,B AD AB ∠=︒⊥,∴△AFB 、△BEG 、△BAD 都为等腰直角三角形,∴EG =BG ,AF =BF =DF ,2,2AB AF BE EG ==,∵4,30AC C =∠=︒,∴122BF AF AC ===, ∴222AB AF ==∵DE 平分ADB ∠,∴EG =AE ,设EG =BG =AE =x ,则有2EB x =,∵AE BE AB +=,222x x +=422x =-∴422AE =-故选D .【点睛】本题主要考查等腰直角三角形及含30°直角三角形的性质、角平分线的性质定理及二次根式的运算,熟练掌握等腰直角三角形及含30°直角三角形的性质、角平分线的性质定理及二次根式的运算是解题的关键.亮题四:分母有理化b则a与b的关系是()31.(2021·江苏·常熟市第一中学八年级阶段练习)已知:aA.a-b=0 B.a+b=0 C.ab=1 D.a2=b2【答案】C【分析】先分母有理化求出a、b,再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值,即可得出选项.【详解】解:分母有理化,可得a b∴a-b=(-(A选项错误,不符合题意;a+b=(+(=4,故B选项错误,不符合题意;ab=(×(=4-3=1,故C选项正确,符合题意;∵a2=(2b2=(2∴a2≠b2,故D选项错误,不符合题意;故选:C.【点睛】本题考查了分母有理化的应用,能求出每个式子的值是解此题的关键.32.(2021·全国·八年级专题练习)下列二次根式的运算:==,2-;其中运算正确的有().A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】由二次根式的性质、二次根式的混合运算进行计算,再进行判断,即可得到答案.【详解】=①正确;==②正确;22555=,故③正确;()222-=,故④错误;∴正确的3个;故选:C.【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算,解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算.33.(2021·全国·八年级专题练习)已知,在ABC中,D是BC边上一点,30,45ABC ADC∠=∠=.若D 是BC边的中点,则ACB∠的度数为()A.95°B.100°C.105°D.110°【答案】C【分析】过A作AE⊥BC于E,在AE上取点F,连接CF,使得∠CFE=30°,设DE=x,即可得出CE=DE-CD=()23x,进而得到AE=(23CE,再根据3,CF=2CE,得到AF=AE-EF=2CE=CF,即可得到∠ACE的度数,从而得到结果.【详解】解:如图所示,过A作AE⊥BC于E,在AE上取点F,连接CF,使得∠CFE=30°,设DE=x,∵∠ABE=30°,∠ADE=45°,∴AE=x,3,BD=CD=)31x,∴CE=x-)31x=(23x,∴AECE=23AE=(23CE,又∵Rt△CEF中,3,CF=2CE,∴AF=AE-EF=2CE=CF ,∴∠FAC=∠FCA=12∠CFE=15°,∴∠ACE=∠ACF+∠ECF=15°+60°=75°,∴∠ACB=105°,故选C .【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质,在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.34.(2020·广东·深圳市宝安中学(集团)九年级期中)已知三个数224如果再添加一个数,使这四个数成比例,则添加的数是( ). A .22B .222 C .24282.22或42【答案】D【分析】运用比例的基本性质,将所添的数当作比例式a :b =c :d 中的任何一项,进行计算即可,【详解】设添加的这个数是x 当224:x =时,242x =2x = 当2:42x =时,242x =2x = 当2:42x =422x =2x = 当22:4x =28x =, 解得42x =故选D .【点睛】本题考查比例的基本性质,注意写比例式的时候,一定要按照顺序写,顺序不同,结果不同.35.(2021·全国·八年级课时练习)已知a =b ,则a 与b 的大小关系是( ). A .a b >B .a b <C .a b =D .无法确定 【答案】B【分析】 将a =b =进行分母有理化,再比较即可. 【详解】 解:451451515151a , 462462626262b ,1<1< ∴a b <.故选B .【点睛】 本题考查了分母有理化,不等式的性质,实数比较大小等知识点,熟悉相关性质是解题的关键.36.(2021·全国·八年级课时练习)已知1a =,b =a 与b 的关系为( ) A .a b =B .1ab =C .=-a bD .1ab =-【答案】A 【分析】根据分母有理化的知识,即可得解.【详解】解:1a =,b =1,a b ∴=,故选A .【点睛】本题考查了分母有理化的法则,正确找出有理化因式是解题的关键.37.(2020·河北·八年级期末)若a ,2b =a b 的值为( ) A .12B .14CD 【答案】B【分析】将a 乘以可化简为关于b 的式子, 从而得到a 和b 的关系, 继而能得出a b 的值 【详解】解:4b a === 14a b ∴= 故选:B .【点睛】本题考查二次根式的乘除法,有一定难度,关键是在分母有理化时要观察b 的形式.38.(2020·全国·八年级课时练习)下列结论正确的是( )ABC 1=D .不等式(21x >的解集是(2x >- 【答案】A【分析】根据二次根式的性质、最简二次根式的概念和不等式的解法逐项判断即可.【详解】解:A.B.C.11==,故本选项错误;D. 不等式(21x >的解集(2x -<,故本选项错误故选A【点睛】本题考查了二次根式,熟练掌握二次根式的性质和运算法则是关键.39.(2020·全国·八年级课时练习)已知1a =,b =则a 与b 的关系是( ) A .1ab = B .0a b += C .1ab =- D .a b =【答案】D【分析】先化简b 再找关系即可.【详解】b =4∵1a =,∴a b =,故选D. 【点睛】此题考查分母有理化,解题关键在于掌握运算法则.40.(2020·辽宁营口·八年级期中)已知a 2b =则a 与b 的关系是()A .a b =B .1ab =C .=-a bD .1ab =-【答案】C 【分析】将a 分母有理化,然后求出a+b 即可得出结论.【详解】解:2a ====∴()220a b +=-+=∴=-a b故选C .【点睛】此题考查的是二次根式的化简,掌握分母有理化是解决此题的关键.亮题五:二次根式的应用41.(2021·湖北利川·八年级期末)如图,从一个大正方形中裁去面积为218cm和232cm的两个小正方形,则剩余部分(阴影部分)的面积等于()A.260cm C.298cm B.238cm48cm D.2【答案】C【分析】如图,由题意知S正方形BCDM=BC2=32(cm2),S正方形HMFG=HG2=18(cm2),得BC=32=42(cm),HG=18=32(cm),进而求得S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF.【详解】解:如图.由题意知:S正方形BCDM=BC2=32(cm2),S正方形HMFG=HG2=18(cm2).∴BC32=42cm),HG18=32cm).∵四边形BCDM是正方形,四边形HMFG是正方形,∴BC=BM=MD2,HM=HG=MF2cm.∴S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF=BM•HM+MD•MF222×2=48(cm 2).故选:C .【点睛】本题主要考查二次根式,熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键.42.(2021·福建·厦门市集美区乐安中学八年级阶段练习)若实数x ,y 2440y y -+=,则y x 的值是( )A .3-B .19C .9D .3【答案】C【分析】直接利用非负数的性质得出x ,y 的值,进而得出答案.【详解】解:2440y y -+=,2(2)0y -=,30x ∴+=,20y -=,解得:3x =-,2y =,则2(3)9y x =-=.故选:C .【点睛】本题主要考查了非负数的性质,正确得出x ,y 的值是解题的关键.43.(2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测)秦九是我国南宋著名的数学家,他与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家,在他所著的《数书九章》中记录了三斜求积术,即三角形的面积S =a ,b ,c 用公式计算出它的面积为( )A .132BCD .2【答案】B【分析】直接把已知数据代入进而化简二次根式得出答案.【详解】∴它的面积是:S =∴S∴S =∴S == 故选:B .【点睛】此题主要考查了二次根式的应用,正确化简二次根式是解题关键.44.(2021·河北沧县·八年级期中)我们把形如b (a ,b型无理数,如12是( )AB C D【答案】D【分析】先利用完全平方公式计算,再化简得到原式8=+【详解】解:2358=+=+所以2故选:D .【点睛】本题考查了完全平方公式在二次根式中的计算,也考查了无理数,熟练掌握完全平方公式及二次根式的运算法则是解决本题的关键.45.(2021·四川江油·八年级期末)已知1a a -=1a a +的值是( )A .23B .23±C .23-D .6±【答案】B【分析】 根据21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭211=+4a a a a ⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭,求21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,即可求得1a a +的值 【详解】解:21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 211=+4a a a a ⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭ ()2224=+=12所以,123a a +=±. 故选B .【点睛】本题考查完全平方公式和二次根式的的运用,解题的关键是21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的关系. 46.(2021·辽宁朝阳·八年级期中)《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法:“圭田术曰,半广以乘正广”,就是说:“三角形的面积=底×高÷2”,我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”,即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积,用现代式子可表示为:S =2222221()42a b c a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦(其中a 、b 、c 为三角形的三条边长,S 为三角形的面积).如图,在平行四边形ABCD 中,已知AB =6,AD =3,对角线BD =5,则平行四边形ABCD 的面积为( )A .11B .14C .142D .72【答案】B【分析】 根据已知条件的公式计算即可;【详解】根据题意可知:a =6,b =3,c =5,∴S =2222221()42a b c a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦, =216+3563()42-⎡⎤⨯-⎢⎥⎣⎦, ()11844=-, 72=, 142=, ∴△142ABD S =, ∴平行四边形△=214ABCD ABD S S =;故答案选B .【点睛】 本题主要考查了二次根式的应用,准确分析计算是解题的关键.47.(2021·河北宽城·八年级期末)如图.从一个大正方形中裁去面积为8m 2和18cm 2的两个小正方形,则留下的阴影部分的面积为( )A .22B .12cm 2C .8cm 2D .24cm 2【答案】D【分析】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长,进而得出大正方形的边长,即可得出答案.【详解】解:∵两个小正方形面积为8cm 2和18cm 2,∴=∴大正方形面积为(2=50,∴留下的阴影部分面积和为:50-8-18=24(cm 2)故选:D .【点睛】此题主要考查了二次根式的应用,正确得出大正方形的边长是解题关键.48.(2021·江苏·九年级专题练习)已知实数x y ,满足50x -=,则x y ,的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A .21或18B .21C .18D .以上均不对.【答案】A【分析】根据非负数的意义列出关于x 、y 的方程并求出x 、y 的值,再根据x 是腰长和底边长两种情况讨论求解.【详解】解:根据题意得 5080x y -=⎧⎨-=⎩ 解得58x y =⎧⎨=⎩1()若5是腰长,则三角形的三边长为:5、5、8,能组成三角形,周长为55818++=;2()若5是底边长,则三角形的三边长为:5、8、8,能组成三角形,周长58821++=; 即等腰三角形的周长是21或18.故选:A .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系;解题主要利用了非负数的性质,分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断,根据题意列出方程是正确解答本题的关键.49.(2021·湖南岳阳·八年级期末)如图,在长方形ABCD 中无重叠放入面积分别为216cm 和212cm 的两张正方形纸片,则图中空白部分的面积为( )2cmA .1683-B .1283-+C .843-D .423-【答案】B【分析】 先根据正方形的面积公式求出两张正方形纸片的边长,从而可得长方形ABCD 的长与宽,再利用长方形ABCD 的面积减去两个正方形的面积即可得.【详解】面积为216cm 164()cm ,则4CD cm =,面积为212cm 1223()cm =, 则(423)BC cm =+, 因此,图中空白部分面积为21612168316128312()BC CD cm ⋅--=+-=,故选:B .【点睛】本题考查了二次根式的几何应用,正确求出两个正方形的边长是解题关键.50.(2021·全国·八年级单元测试)设n ,k 为正整数,A 1(3)(1)4n n +-+,A 21(5)4n A ++A 3=2(7)4n A ++…A k 1(21)4k n k A -+++A 100=2005,则n =( )A .1806B .2005C .3612D .4011【答案】A【分析】利用多项式的乘法把各被开方数进行计算,然后求出A 1、A 2、A 3的值,从而找出规律并写出规律表达式,再把k =100代入进行计算即可求解.∵(n+3)(n−1)+4=n2+2n−3+4=n2+2n+1=(n+1)2,∴A1n+1,(n+5)A1+4=(n+5)(n+1)+4=n2+6n+5+4=n2+6n+9=(n+3)2,∴A2n+3,(n+7)A2+4=(n+7)(n+3)+4=n2+10n+21+4=n2+10n+25=(n+5)2,A3n+5,…依此类推A k=n+(2k−1),∴A100=n+(2×100−1)=2005,解得n=1806.故选:A.【点睛】本题是对数字变化规律的考查,对被开方数整理,求出A1、A2、A3,从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键.【亮点训练】1.(2021·)A B.C D【答案】D【分析】先将各选项进行二次根式的化简,再根据同类二次根式的概念求解即可.【详解】解:A==B=-C=D=【点睛】本题考查了同类二次根式,解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念.2.(2021·吉林德惠·a等于()A.1 B.﹣1 C.5 D.﹣5【答案】A【分析】根据题意,它们的被开方数相同,列出方程解即可.【详解】解:∵∴3a=5-2a,解得,a=1.故选:A.【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义,即化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.3.(2021·江苏昆山·八年级期中)下列运算或叙述正确的是()A B.4的平方根是C.面积为12的正方形的边长为D±【答案】C【分析】根据合并同类二次根式,平方根,二次根式的性质,逐项判断即可求解.【详解】解:A:被开方数不同,不能合并二次根式,故本选项不合题意;B:4的平方根是±2,故本选项不合题意;C:面积为12∴符合题意;D故选:C.本题主要考查了二次根式的化简,二次根式的加减,熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.4.(2021·河北·=±2;②立方根是本身的数为0,1;x >3;④210.0×104精确到千位,其中正确的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B【分析】根据算术平方根,立方根,二次根式有意义的条件,分母有理化,近似数的定义逐个分析判断即可【详解】解:2=,故①不正确;②立方根是本身的数为0,±1,故②不正确;③有意义,则x ≥3,故③不正确;④2④正确; ⑤10.0×104100000=∴近似数10.0×104精确到千位,故⑤正确故正确的有④⑤,共计2个故选B【点睛】本题考查了算术平方根,立方根,二次根式有意义的条件,分母有理化,近似数的定义,掌握以上知识是解题的关键.5.(2021·浙江嘉兴·中考真题)能说明命题“若x 为无理数,则x 2也是无理数”是假命题的反例是( )A .1xB .1x =C .x =D .x =【答案】C【分析】根据反例满足条件,但不能得到结论,所以利用此特征可对各选项进行判断.【详解】解:A 、)221=3x =-。
知识卡片-分母有理化
分母有理化
能量储备
●分母有理化:二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行,这种化去分母中
根号的变形叫做分母有理化.
●分母有理化的方法是根据分式的基本性质,将分子和分母都乘上分母的有理化因式(两
个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式),化去分母中的根号.分母的有理化因式不唯一,但以运算最简便为宜.
蓄势待发
考前攻略
本部分内容一般融合在计算中考查.
完胜关卡。
分母有理化
分母有理化
分母有理化是数学中的一个概念,指的是将一个分数的分母化成有理数的过程。
这个过程通常用于简化分式,方便运算。
一般来说,分母有理化有两种方法:通分法和借助特殊公式法。
通分法是指将两个分式的分母通分,然后通过合并同类项,将分母化为有理数。
比如,将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 和
$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 的分母有理化,可以将两个分式的分母都乘以相应的有理数,如下所示:
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{ \sqrt{2}}{2}$$
$$\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{ \sqrt{3}}{3}$$
此时,两个分式的分母都变成了有理数,不再含有无理数。
借助特殊公式法是指利用已知的数学公式,将分式化为等价的形式,从而得到有理分母。
比如,将 $\frac{1}{a\sqrt{b}}$ 分母有理化,可以将分母乘以分式的共轭形式,即
$\frac{1}{a\sqrt{b}}\cdot\frac{a\sqrt{b}}{a\sqrt{b}}=\frac{\s qrt{b}}{ab}$。
此时,原分式的分母已经化为了有理数。
总之,分母有理化是数学中的一个重要概念,它可以帮助我们简化分式,方便数学计算。
分母有理化的公式
分母有理化的公式一般来说,分母有理化的公式有两种情况,一种是含有一项根式的分母有理化,另一种是含有两项根式的分母有理化。
下面将分别介绍这两种情况的有理化方法。
一、含有一项根式的分母有理化对于分母为√a的有理数,有理化的方法如下:(1)分母的形式为√a,可以通过乘以一个合理的有理数,使得根号下的部分变成一个整数。
例如,对于1/√2,我们可以乘以√2/√2,得到√2/2、这样分母就变成了2,分子变成了√2,从而实现了有理化。
(2)当分母的形式为1/√a时,我们可以采用乘以一个合理的有理数的方法。
例如,对于1/√3,可以乘以√3/√3,得到√3/3、同样地,分母变成了3,分子变成了√3,实现了有理化。
二、含有两项根式的分母有理化对于含有两项根式的分母有理化,我们需要采用一个特殊的公式,即“差平方公式”或“和平方公式”。
差平方公式是指:(√a-√b)*(√a+√b)=a-b通过应用差平方公式,我们可以将分母中含有两项根式的有理数有理化。
具体步骤如下:(1)将分母与差平方公式中的分子相乘,并将每一项的分子与分母相乘。
(2)根据差平方公式,分母中的根号项相乘得到一个整数。
例如,对于分母为√a+√b的有理数,根据差平方公式,有(√a+√b)*(√a-√b)=a-b。
分母就变成了一个整数。
(3)将每一项的分子与分母相乘后,整理得到一个最简形式的结果。
通过以上的方法,我们可以将含有一项或两项根式的分母有理化成无根号的有理数。
这样可以方便我们进行计算和进一步的数学推导。
需要注意的是,有理化的目的是为了方便计算,但在实际应用中,有时根号形式的结果可能更符合实际情况,因此需要根据具体问题的需求来决定是否进行有理化操作。
分母有理化的方法
分母有理化的方法首先,我们来看一下什么是分母有理化。
在分式中,如果分母是一个多项式,我们通常希望将其化为一个较为简单的形式,这样可以更方便地进行运算。
分母有理化的方法就是将分母化为一个多项式的形式,这样可以使得分式更易于处理。
接下来,我们将介绍两种常见的分母有理化方法,一是用因式分解法,二是用通分法。
首先是因式分解法。
当分母是一个多项式时,我们可以尝试对其进行因式分解,然后再进行化简。
例如,对于分式$\frac{1}{x^2-1}$,我们可以将分母$x^2-1$进行因式分解为$(x+1)(x-1)$,然后再进行化简得到$\frac{1}{(x+1)(x-1)}$。
这样,我们就成功地将分母有理化了。
其次是通分法。
当分母是两个不同的多项式时,我们可以通过通分的方法将分母有理化。
例如,对于分式$\frac{1}{x^2-1}+\frac{1}{x^2-4}$,我们可以通过通分的方法将其化为$\frac{1}{(x+1)(x-1)}+\frac{1}{(x+2)(x-2)}$,这样就完成了分母有理化的过程。
通过以上两种方法,我们可以将分母有理化的技巧灵活运用到各种数学问题中。
在解决方程、简化分式、进行数学运算时,分母有理化的方法都可以帮助我们更加方便地进行操作,提高解题效率。
在实际应用中,分母有理化的方法也经常出现在各种数学题目中。
例如,在求极限、求导、积分等过程中,分母有理化往往是必不可少的一步。
因此,掌握好分母有理化的方法对于提高数学解题能力是非常重要的。
总之,分母有理化是数学中常见的一种技巧,通过因式分解和通分的方法,我们可以将分母化为一个较为简单的形式,从而更方便地进行数学运算。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和掌握分母有理化的方法,提高数学解题的能力。
分母有理化教案
《分母有理化》教学设计一、教材分析《分母有理化》是北师大版八年级上册第二章第六节的第二课时,是“数与代数”的重要内容,是学习二次根式运算的依据。
一方面,它是在了解了勾股定理,学习了平方根基础之上对实数的进一步深入。
另一方面,又为学习二次根式的加减法、一元二次方程、二次函数、三角函数等知识奠定基础。
因此有承上启下的作用。
二、学情分析学生已学习了分解因数和平方差公式,进而又学习了二次根式的乘除法及二次根式的化简公式,学生掌握的基础知识和基本技能良好,但是做题速度和正确率有待提高。
三、教学目标1.知识与技能(1)理解最简二次根式的概念。
(2)掌握二次根式的分母有理化。
2.过程与方法通过对最简二次根式的概念学习,提高学生对概念学习的理解能力和自主学习能力、归纳表达能力。
3.情感和态度目标(1)通过二次根式的分母有理化,培养学生的运算能力,让学生经历合作探究、归纳比较等数学活动,感受学习数学的乐趣。
(2)通过学习分母有理化与除法的关系向学生渗透转化的数学思想,知道数学来源于生活。
四、重点与难点教学重点:化简二次根式、分母有理化的方法教学难点:分母有理化的技巧、正确进行分母有理化五、教学策略与手段学生是学习的主体,教师是学生学习的组织者、参与者、合作者。
所以在教学过程中把自主权、话语权留给学生;结合“自主学习、小组合作、当堂训练、及时巩固”的模式利用学案为载体,让学生乐学会学。
并进行一部分的练习,使其掌握应用。
六、课前准备学生课前自学、教师准备学案教案以及课件七、教学过程1.旧知回顾、引入新知师:谁还记得二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式呢?(1)(先乘除,后加减).(2)(有括号,先去括号;不宜先进行括号内的运算).(3)辨别有理化因式:举例题师:非常好!那如果在计算中分母是无理数该怎么办呢?又如果分母是两个二次根式的和,应该怎样化简?举例题2.合作探究师:好现在小组讨论看看你们是如何解决这些问题的。
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2a 6ab 和 3ຫໍສະໝຸດ 3b你会把第一个代数式的分母 3b 变成3b吗?
2a = 3b
2a × 3b = 3b × 3b
6ab 3b
把分母中的根号化去,叫做分母有理化。
将下列各式分母有理化:
2 (1) 5
2 2× 5 2 5 解: (1) = = 5 5 5× 5
(2)
5
5 3 3
5× 3 5 3 (2) = = 9 3 3 3 3× 3
a a ab a a+ b (2)原式= = a+ b ab ab a+ b
(3)由a>b>0得a+b>0,a-b>0 原式=
注意条件的交代
a b a b 2 a b
a 2 - b2 (a b)( a b) 2( a b ) 2 a + 2b
ab 2 = 2 2
(2)把除法先写成分式的形式,再进行分母有 理化运算。 2. 在进行分母有理化之前,可以先观察把能化 简的二次根式先化简(能开出来的先开出来或分 子和分母先因式分解约分),再考虑如何化去分母 中的根号。
人教版数学教材八年级下
第16章 二次根式
16.3(3) 分母有理化
二次根式的运算(乘除运算):
a b
a b
ab (a ≥0 , b≥0)
a (a ≥0 , b>0) b
计算:
2a
3b
即
2a 3b 解 : 原式 3b 3b
2a 3b
6ab 3b
6ab 3b
比较代数式
5x > - 3 3
3 3 x> 5 3 15 x> 5
2 12 + 18 x= ∴原不等式的解集是 12 4 3+ 3 2 3 15 x= x> 12 5 4 3+ 3 2 ∴原方程的根是 x = 12
小结:
1. 二次根式的除法有两种常用方法: (1)利用公式:
a b = a ( a ≥0, b > 0 ) b
分母有理化方法:一般是把分子分母都乘以 一个适当的代数式,使分母不含根号.
例1 计算: a 2 b 2 2a 2b (a b 0) a (1) 2 12 (2) a b (3)
2 21 3 6 6 22 2 = = = = 解 (1)原式= 3 12 12 2 12 2 36 3 6 6
2a - 2b (a>b>0) 2
例2 解下列方程或不等式
(1) 3 - 2 6 x = - 2 2
解: 2 6 x = - 2 2 - 3 2 6x = 2 2 + 3 2 2+ 3 x= 2 6
(2 2 3 ) 6 x 2 6 6
(2)3 5 x + 6 3 > 5 x 解: 5 x > - 6 3 2