三阶常系数齐次线性微分方程通解结构
1 3 二阶常系数线性齐次微分方程
y C1 e x C2 e3x
微分方程
例2. 求方程 y " 2 y ' y 0 的通解.
解: 特征方程 r2 2 r 1 0
有重根:
r1 r2 1
因此原方程的通解为，
y (C1 C2 x ) e x
微分方程
例3. 求方程 y " 2 y ' 5y 0 的通解.
y x2 1
微分方程
例2：自由落体运动
根据Newton第二定律：
F
mg
m
d2x dt 2
所以，
g
d2x dt 2
，
两次积分得到：x
1 2
gt 2
c1t
c2
微分方程
例3：简谐振动
胡克定律：F kx
由牛顿第二定律：
kx
m
d2x dt 2
d2x k
dt 2
x0 m
如何求解？
微分方程
微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶
通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同
.
特解—不含任意常数的解
微分方程
二阶微分方程
y P(x) y Q(x) y f (x), 二阶线性微分方程
酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？
会员免费下载 明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适
常系数齐次线性微分方程解法
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ′′+py ′+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ′′+py ′+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r −±+−= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数、是方程的两个线性无关的解.x r e y 11=x r e y 22= 这是因为,函数、是方程的解, 又x r e y 11=x r e y 22=x r r x r x r e ee y y )(212121−==不是常数. 因此方程的通解为.x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数、是二阶常系数齐次线性微分x r e y 11=x r xe y 12=方程的两个线性无关的解.这是因为, 是方程的解, 又x r e y 11=x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+′+′′ ,0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以也是方程的解, 且xr xe y 12=x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为.x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α−i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α−i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α−i β)x =e αx (cos βx −i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1−y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x −=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为r 2−2r −3=0, 即(r +1)(r −3)=0.其根r 1=−1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为y =C 1e −x +C 2e 3x .例2 求方程y ′′+2y ′+y =0满足初始条件y |x =0=4、y ′| x =0=−2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=−1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e−x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e−x.将上式对x求导,得y′=(C2−4−C2x)e−x.再把条件y′|x=0=−2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e−x.例 3 求微分方程y′′−2y′+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2−2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1−2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n−1)+p2 y(n−2) +⋅⋅⋅+p n−1y′+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n−1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y′, D2y=y′′, D3y=y′′′,⋅⋅⋅,D n y=y(n).分析:令y=e rx,则L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n)e rx=L(r)e rx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r 1, 2=α ±i β 对应于两项: e αx (C 1cos βx +C 2sin βx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1);一对k 重复根r 1, 2=α ±i β 对应于2k 项:e αx [(C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1)cos βx +( D 1+D 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +D k x k −1)sin βx ].例4 求方程y (4)−2y ′′′+5y ′′=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4−2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2−2r +5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0.解 这里的特征方程为r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±−=β. 因此所给微分方程的通解为)2sin 2cos (212x C x C e y x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++−.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:一、 f (x )=P m (x )e λx 型当f (x )=P m (x )e λx 时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e λx , 将其代入方程, 得等式Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).(1)如果λ不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则λ2+p λ+q ≠0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式:Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=Q m (x )e λx .(2)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0 的单根, 则λ2+p λ+q =0, 但2λ+p ≠0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +1 次多项式:Q (x )=xQ m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解 y *=xQ m (x )e λx .(3)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0的二重根, 则λ2+p λ+q =0, 2λ+p =0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +2次多项式:Q (x )=x 2Q m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=x 2Q m (x )e λx .综上所述, 我们有如下结论: 如果f (x )=P m (x )e λx , 则二阶常系数非齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =f (x )有形如y *=x k Q m (x )e λx的特解, 其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式, 而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =3x +1的一个特解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=3x +1, λ=0). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−2y ′−3y =0,它的特征方程为r 2−2r −3=0.由于这里λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得−3b 0x −2b 0−3b 1=3x +1,比较两端x 同次幂的系数, 得, −3b ⎩⎨⎧=−−=−13233100b b b 0=3, −2b 0−3b 1=1.由此求得b 0=−1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+−=x y .例2 求微分方程y ′′−5y ′+6y =xe 2x 的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=x , λ=2). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−5y ′+6y =0,它的特征方程为r 2−5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于λ=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为 y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得−2b 0x +2b 0−b 1=x .比较两端x 同次幂的系数, 得, −2b ⎩⎨⎧=−=−0212100b b b 0=1, 2b 0−b 1=0. 由此求得210−=b , b 1=−1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*−−=. 从而所给方程的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+−+=.提示:y *=x (b 0x +b 1)e 2x =(b 0x 2+b 1x )e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′=[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′=[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x .y *′′−5y *′+6y *=[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′−5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′+6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ] =[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x −5[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x +6(b 0x 2+b 1x )e 2x =[2b 0+4(2b 0x +b 1)−5(2b 0x +b 1)]e 2x =[−2b 0x +2b 0−b 1]e 2x .方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解形式应用欧拉公式可得e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i n x i x i l x ωωωωλ−−−++= x i n lx i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()(21)]()([21ωλωλ−+++−= x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ−++=, 其中)(21)(i P P x P n l −=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y ′′+py ′+qy =P (x )e (λ+i ω)x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (λ+i ω)x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y −=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y −=+′+′′的特解, 其中k 按λ±i ω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解为 x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ−++= )sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ−++= =x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y ′′+py ′+qy =f (x )的特解可设为y *=x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按λ+i ω (或λ−i ω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.例3 求微分方程y ′′+y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )属于e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]型(其中λ=0, ω=2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y ′′+y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里λ+i ω=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(−3ax −3b +4c )cos2x −(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31−=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+−=. 提示:y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *′=a cos2x −2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x ,=(2cx +a +2d )cos2x +(−2ax −2b +c )sin2x ,y *′′=2c cos2x −2(2cx +a +2d )sin2x −2a sin2x +2(−2ax −2b +c )cos2x =(−4ax −4b +4c )cos2x +(−4cx −4a −4d )sin2x .y *′′+ y *=(−3ax −3b +4c )cos2x +(−3cx −4a −3d )sin2x .由, 得⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−=+−=−0340304313d a c c b a 31−=a , b =0, c =0, 94=d .。
线性微分方程解的结构
上线性无关。 则 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上线性无关。
例
证
证明： cos 线性无关的。 证明： x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。
上线性相关， 若 cos x 与 sin x 在某区间 I 上线性相关，则存在不 全为零
π
2
) 上线性无关。 上线性无关。
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理 1 若 y1 ( x)、y2 ( x) 是二阶齐线性方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = 0
的两个线性无关的解， 的两个线性无关的解，则
(2)
y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)
x ex W [ x, e x ] = = e x ( x − 1) ， 1 ex
从而， 线性无关。 由题意 x ≠ 1，故 W [ x, e x ] ≠ 0，从而，x 与 e x 线性无关。
由叠加原理， 由叠加原理，原方程的通解为
y = C1 x + C2 e x 。
问题： 问题：
的一个解， 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = 0 的一个解， 如何求出方程的一个与 y1 ( x) 线性无关的解 y2 ( x) ?
怎么做？
′ y1 z ′ + (2 y1 + p ( x) y1 ) z = 0。
即 故有
z′ +
′ 2 y1 + p ( x) y1 z = 0。 y1
−
关于 z 的一阶线性方程
线性微分方程解的结构
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解 取平衡时物体的位置为坐标原点,
如图建立坐标系. 设时刻 t 物体位移为x = x(t).
物体所受的力有: 1. 弹性恢复力
o x
2. 阻力
x
据牛顿第二定律得
c 令 2 n , k , 则得有阻尼自由振动方程: m m d2 x dx 2n k 2 x 0. dt d t2
Y C1 cos x C2 sin x ,
因此该方程的通解为
例1 已知 e x , e x 为二阶线性齐次方程y y 0 的两个解 , 又 y x 为 y y x 的一个特解, 求 y y x 的通解.
y x C1e C2e
三、已知 y1 ( x ) e x 是齐次线性方程 ( 2 x 1) y ( 2 x 1) y 2 y 0 的一个解,求此方程 的通解 . 四、已知齐次线性方程 x 2 y xy y 0 的通解为 Y ( x ) c1 x c 2 x ln x ,求非齐次线性方程 x 2 y xy y x 的通解 .
2
* y1* y 2 就是原方程的特解. 的特解, 那么
(非齐次方程之解的叠加原理)
n 阶线性微分方程
y ( n ) P1 ( x ) y ( n1) Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).
二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广:
定理 设 y 是 n 阶非齐次线性方程
y3 y2 e x , y2 y1 x 2 是对应齐次方程的解,
y3 y2 e 2 常数 y2 y1 x
x
常系数齐次线性微分方程组
是特征根， 对应的特征向量也与 对应的特征
向量共轭，因此方程组（2）出现一对共轭
的复值解.
常系数线性方程组
例 求解方程组
dx dt
1
2
5 1 x
解 系数矩阵A的特征方程为
1 5 2 9 0 2 1
故有特征根 1 3i, 2 3i 且是共轭的. 1 3i 对应的特征向量 r (r1, r2 )T 满足方程
2
x1
(t
)
3
et
.
2
常系数线性方程组
对2 1 2i, 有特征向量 r2 (0,1, i)T . 因此
0
0 0
x(t)
1
e(1
2i
)t
et (cos 2t
i
sin
2t
)
1
i
0
i
1 1
0 0
et
cos
2t
iet
sin 2t
.
sin 2t cos 2t
常系数线性方程组
(1 3i)r1 5r2 0
取 r1 5 得 r2 1 3i,则 r (5,1 3i)T是 1
对应的特征向量，因此原微分方程组有解
x(t)
1
5 3i
e3it
5e3it
(1
3i)e3it
cos
3t
5cos 3t 5i sin 3t 3sin 3t i(sin 3t
x(t)
X
(t)
1
1
X (t)
t 0
X
(s)
es
0
ds
cos 2s
常系数线性方程组
0
0
et
4.2.1常微分方程-线性齐次常系数方程解读
1 , 2 ,L, n
均为实根
方程 ( ) 的通解可表示为
x c1e 1t c2 e 2t cn e nt
②若特征方程有复根 因方程的系数是实常数。复根将成对共轭出现 设
1 a ib 是方程的一个特征根
2 a ib 也是一个特征根 则方程 ( ) 有两个复值解
e e
(a i b ) t (a i b ) t
e (cos bt i sin bt )
ea t (cos bt i sin bt )
at
对应两个实值解
e cos bt , e sin bt
at
at
例1 解
求方程 x 2 x 3x 0
第一步：求特征根
的通解。
性质1
e e
t
t
性质2
性质3 性质4
det et dt
e
( 1 2 ) t
e e
1t 2t
d n et n t e n dt
3、复值解 定义 如果定义在 [a, b] 上的实变量的复值函数
x z (t ) 满足方程
dnx d n 1 x a1 (t ) n 1 n dt dt dx an 1 (t ) an (t ) x f (t ) dt ()
三、变系数齐次线性方程
欧拉(Euler) 方程
n n 1 d x d x dx n n 1 t a1t an1t an x f (t ) n n 1 dt dt dt
其中 a1 , a2 ,..., an 为常数。
引入自变量代换
t eu , u ln t
类似方法进行下去，可得
(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。
微分方程要点概要
4、 全微分方程（恰当方程 ）
M N M x, y dx N x, y dy 0, 其中 y x
必存在 F x, y 满足 dF x, y M x, y dx N x, y dy 可得解： F x, y c
或选折线 x0 , y0 x, y0 x, y 积分，得
x M x, y0 dx y N x, y dy c
0 0
x
y
若存在 x, y 使 (M )dx (N )dy 0 为全微分方程, 则称 ( x, y) 为积分因子。
由 M N , 得 y M M y x N N x y x
a1 x b1 y c1 dy 2、 f dx a2 x b2 y c2 a1 b1 若 , 令 u a2 x b2 y c2 a2 b2 a1x b1 y c1 0 a1 b1 若 , 先解 得唯一解 x0 , y0 a2 b2 a2 x b2 y c2 0 x X x0 dY Y 再令 , 原方程化为 g dX X y Y y0
(1) ( 2) y x k ex [ Rm ( x) cosx Rm ( x) sin x]
0 , 若 i 不是特征根； 其中k １ ， 若 i 是特征根．
R ( x) , R ( x) 为两ｍ次多项式， m maxl , n
(1) m ( 2) m
６、特殊代换
二、可降阶的高阶微分方程
一般 F x, y, y, y 0, 其中可求解形式为 y f x, y, y
1、 yn f x : 积分 n 次.
几类三阶常微分方程的通解公式【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学几类三阶常微分方程的通解公式一、前言部分数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。
如函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数。
同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，得到的便是微分方程。
如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程。
常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。
塞蒙斯(Simmons)曾如此评价微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏．这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源．”很多物理与技术问题可以化归为常微分方程的求解问题，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，而上述这些问题都可以化为求常微分方程的解，因此，学好微分方程的求解相当重要．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。
微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
又因为许多力学，电学与生物化学的模型都可以归结为高阶微分方程的模型(见文献[1，2])，因此探求高阶微分方程的求解是一项既有实际意义又有理论意义的工作。
二、主题部分有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，许多数学家早已经对这个课题展开过讨论，并做了很多相关的课题研究和论文。
现将已有文献的研究结果综述如下：文献[2]中讲述线性微分方程的基本理论和常微分方程的解法，也简单介绍某些高阶微分的降阶方法。
关于线性微分方程的解法，作者介绍了五种较常用的方法：（1）求常系数齐次线性微分方程的基本解组的特征根法（欧拉待定指数函数法）；（2）求常系数非齐次线性微分方程的特解的待定系数法和拉普拉斯变换法；（3）求一般非齐次线性微分方程特解的常数变异法；（4）求一般二阶齐次线性微分方程的幂级数解法。
常微分方程33线性常系数齐次方程
2! 4!
3! 5!
cos t i sin t ei t cos t i sin t
cos t 1 (ei t ei t )
2
sin t 1 (ei t ei t )
2i
4
2) 复指函数的性质
记 i 表示 i 的共轭. 性质1: et et
设特征方程有k 重根 1 ,则有 F (1) F ' (1) F (k1) (1) 0, F k (1) 0
（1） 若 1 0 则特征方程有因子k，因此，
an an1 ank1 0
则特征方程有形式：n a1n1 ankk 0
则方程相应地有两个复值解：
e(i )t et (cos t i sin t) e(i )t et (cos t i sin t)
由定理3.12知它们的实部和虚部也是方程的解，
故方程的两个实值解为：et cos t, et sin t
14
2 特征根有重根
因此有解 et , e2t ,te2t . 方程通解为：
x(t) c1et c2e2t c3te2t . 其中 c1, c2, c3 为任意常数.
19
例2：求 d 4 x x 0 的通解. dt 4
解：特征方程 4 1 0 故特征根为1 1, 2 1, 3 i, 4 i
nent
nn1ent
1
11
e(1 2 n )t 1
1n 1
2
n2 1
n
nn1
(
1 jin
i
j
常系数齐次线形微分方程
• 引言 • 方程形式与分类 • 求解方法 • 应用场景 • 扩展与深化
01
引言
定义与特点
定义
常系数齐次线形微分方程是微分方程 中的一类，其特点是方程中的系数是 常数，且等号右边为0。
特点
这类方程具有线形性质，即未知函数 的最高阶导数项与其它项之间是线形 关系。
历史背景与发展
常系数齐次线性微分方程在物理 学中有广泛应用，如振动、波动、 热传导等。
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要点二
详细描述
二阶常系数齐次线形微分方程的一般形式为 y'' = -p*y' q*y，其中 p 和 q 是常数。解这类方程通常需要利用三角函 数或双曲函数的性质，通过适当的变量代换将其转化为可解 的形式。
高阶方程
总结词
高阶常系数齐次线形微分方程的解法较 为复杂，需要使用递推关系和数学归纳 法。
VS
+ p(x)y = q(x)。
解法
通过变量代换或积分因子法 ，将非齐次方程转化为齐次 方程，再利用已知的齐次方 程通解，求得非齐次方程的
特解。
应用
非齐次方程在物理、工程等 领域有广泛应用，如振动问 题、热传导问题等。
矩阵形式
定义
将线性微分方程组表示为矩阵形式，可以更方便 地处理多个未知函数的微分方程组。
详细描述
首先将方程中的未知函数与其导数分离，使 方程左侧为代数式，右侧为微分式。然后对 方程进行积分，得到一个关于未知函数的积 分式。最后通过求解代数方程，得到未知函 数的通解。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换，将原微分方程转化为更容易求解的微分方程。
详细描述
常系数线性常微分方程
例5. 解方 d d4 xw 4程 4w0(0).
解: 特征方程: r4 4 (r22)2 22 r20
即 ( r 2 2 r 2 )r 2 ( 2 r 2 ) 0
其根为
r1,2
解: 本题 0, 而特征方程为 r22r30,
0不是特征方程的根 .
设所求特解为 y*b0xb1,代入方程 :
3 b 0 x 3 b 1 2 b 0 3 x 1
比较系数, 得
2b 30 b03b 311
b0
1,
b1
1 3
于是所求特解为 y*x1. 3
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f(x ) P m (x )e ( i )x P m(x)e(i)x
第二步 求出如下两个方程的特解
y p y q y P m ( x ) e ( i ) x
ypyqyP m(x)e(i)x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解
(以上Ci, Di均为任意常 ) 数
例1. 求y 方 2 y 程 3 y 0 的通解.
解: 特征方程 r22r30,特征根: r1 1,r23,
因此原方程的通解为 yC 1e xC 2e3x
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2ds dt
s
0
st04,
ds dt
例2. 求y 方 5 y 程 6 y xe 2 x 的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r25r60,其根为
r12, r23
对应齐次方程的通解为 YC 1e2xC 2e3x 设非齐次方程特解为 y*x(b 0xb 1)e2x
第三讲 解的结构
W[x]
y1
y2 L yn
y1'
y2' L
yn'
L LLL
y y L (n1) 1
( n 1) 2
y ( n 1) n
称为函数y1, y2 ,L , yn的朗斯基(Wronsky) 行列式,写作W (x).
函数的线性相关性与Wronsky行列式的关系
定理3 若函数y1(x), y2 (x)L , yn (x)在区间a x b上线 性相关,则在[a,b]上它们Wronsky的行列式W (x) 0. W (x) 0，线性无关。（充要条件） 证明:由假设可知, 存在一组不全为零的常 数c1, c2, cn ,
y(t) c1e1x c2e2x L cnenx
其中c1, c2 , cn是任常数.
若i (i 1,2, , n)中有复数,
则因方程的系数实常数,复根将成对共轭出现,
设1 i是特征根,则2 i也是特征根 ,
相应方程(4.19)有两个复值解,
e( i)x e x (cos x i sin x), e( i)x e x (cos x i sin x);
这里是待定常数 ,可以是实数也可以是复 数,
把它代入方程(4.19)得
L[ex ] ( n a1 n1 L an1 an )ex 0
因此, ex为(4.19)的解的充要条件是 : 是代数方程
F () n a1n1 an1 an 0, (4.21)
的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为 方程(4.19)的特征根.
把方程 (4.19 )的2k个复值解 , 换成2k个实值解.
et cos t, tet cos t, , t k1et cos t; et sin t, tet sin t, , t k1et sin t.
42常系数线性微分方程的解法
为什么？
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
例2 求方程 y(4) 6y(3) 15y 18y 10y 0 的通解
解：(复单根)特征方程为：
4 63 152 18 10 0
特征根 对应的基本解组
1 1 i,2 1 i,3 2 i,4 2 i
, t k1 e 1 1 t , t k2 1e2t
, t km e 1 mt
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。
要（4.20）是方程（4.2）的解的充要条件为：
F () n a1 n1 an1 an 0 (4.21)
称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征根。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
于是有
求解常系数线性微分方程问题
L[ x]
dnx dt n
z2
(t)]
dz1(t) dt
ห้องสมุดไป่ตู้
dz2 (t) dt
dz dt
[c
z1
(t
)]
c
dz1(t dt
)
乘积性
dz dt [z1(t) z2 (t)]
dz1(t dt
)
z2
(t
)
z1
(t
)
dz2 (t dt
)
注意：同实值函数的微分运算法则一样。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
假如有下面形式（4.20）是方程（4.19）的解
2019年-2008考研数学 数一
æ ｘ１ ö ç ÷ ç ｘ２ ÷，㊀ ｂ ＝ ç︙÷ ç ç ÷ ÷ è ｘｎ ø
æ１ ö ç０ ÷ ç ÷． ç︙÷ ç ÷ è０ ø
（ Ⅲ） 当 ａ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．
（２２） （ 本题满分 １１ 分）
设随机变量 Ｘ 与 Ｙ 相互独立，Ｘ 的概率分布为 Ｐ ｛ Ｘ ＝ ｉ ｝ ＝ ｆ Ｙ （ ｙ） ＝
（ Ｃ） ｊ．
（ Ｄ） － ｊ．
（４） 设函数 ｆ（ ｘ） 在（ － ɕ ， ＋ ɕ ） 内单调有界，｛ ｘ ｎ ｝ 为数列，下列命题正确的是（ ㊀ ㊀ ） （５） 设 Ａ 为 ｎ 阶非零矩阵，Ｅ 为 ｎ 阶单位矩阵，若 Ａ ＝ Ｏ，则（ ㊀ ㊀ ）
３
（ Ｂ） 若｛ ｘ ｎ ｝ 单调，则｛ ｆ（ ｘ ｎ ） ｝ 收敛． （ Ｂ） Ｅ － Ａ 不可逆，Ｅ ＋ Ａ 可逆．
（７） 设随机变量 Ｘ ，Ｙ 独立同分布，且 Ｘ 的分布函数为 Ｆ （ ｘ） ，则 Ｚ ＝ ｍａｘ｛ Ｘ ，Ｙ｝ 的分布函数为（ ㊀ ㊀ ） （ Ａ） Ｆ２ （ ｘ） ． （ Ｂ） Ｆ （ ｘ） Ｆ （ ｙ） ． ２ （ Ｃ）１ － ［１ － Ｆ （ ｘ） ］ ． （ Ｄ） ［１ － Ｆ （ ｘ） ］ ［１ － Ｆ （ ｙ） ］ ． （８） 设随机变量 Ｘ Ｎ（０，１） ，Ｙ Ｎ（１，４） ，且相关系数 ρ ＸＹ ＝ １，则（ ㊀ ㊀ ） （ Ａ） Ｐ ｛ Ｙ ＝ － ２ Ｘ － １｝ ＝ １ ． （ Ｂ） Ｐ ｛ Ｙ ＝ ２ Ｘ － １｝ ＝ １ ． （ Ｃ） Ｐ ｛ Ｙ ＝ － ２ Ｘ ＋ １｝ ＝ １ ． （ Ｄ） Ｐ ｛ Ｙ ＝ ２ Ｘ ＋ １｝ ＝ １ ． 二㊁填空题（ 本题共 ６ 小题，每小题 ４ 分，共 ２４ 分，把答案填在题中横线上． ） （９） 微分方程 ｘｙᶄ ＋ ｙ ＝ ０ 满足条件 ｙ（１） ＝ １ 的解是 ｙ ＝ ． （１０） 曲线 ｓｉｎ（ ｘｙ） ＋ ｌｎ（ ｙ － ｘ） ＝ ｘ 在点（０，１） 处的切线方程是 ．
三阶常系数齐次线性微分方程通解结构
三阶常系数齐次线性微分方程通解结构“三阶常系数齐次线性微分方程通解结构”是一类重要的数学问题，为许多非线性科学和工程提供了解决根据基础及应用问题的有效方法。
三阶常系数齐次线性微分方程是一类常见的微分方程，其方程的系数是常数。
本文主要讨论三阶常系数齐次线性微分方程的解法结构，旨在探究三阶常系数齐次线性微分方程的通解结构规律，掌握它们的求解方法。
首先，我们介绍三阶常系数齐次线性微分方程的基本概念，它可以定义为：方程组中每个微分方程的阶数均相同，而每个微分方程各自具有相同的常系数，该类微分方程被称为三阶常系数齐次线性微分方程。
其次，我们来讨论三阶常系数齐次线性微分方程的求解结构。
一般来说，对于三阶常系数齐次线性微分方程，存在三种不同的求解结构：第一种结构指的是一般的三阶次通解，指的是可以由三个线性无关的通解构成的解；第二种结构指的是二阶重根，指的是含有重根的解，多项式特征方程的位数为2；最后一种结构指的是一阶重根，指的是存在重根的解，多项式特征方程的位数为1。
此外，我们还可以进一步研究三阶常系数齐次线性微分方程的求解方法。
根据不同的求解结构，三阶常系数齐次线性微分方程的求解方法也相应有所不同。
首先，若存在一般的三阶次解，那么此时可以采用分析解的方法求解；其次，若存在二阶重根，可以采用基本变换的方法求解；最后，若存在一阶重根，可以采用改变变量的方法求解。
最后，本文探讨了三阶常系数齐次线性微分方程的通解结构规律以及求解方法，以期为有关的研究提供基础和参考，促进科学家们对相关问题的深入研究。
三阶常系数齐次线性微分方程的研究也是相关科学的一项重要成果，它的研究将为许多非线性科学和工程提供解决问题的有效方法。
综上所述，三阶常系数齐次线性微分方程及其解法结构具有重要意义，它值得被进一步研究和深入研究，以便继续推动科学、技术发展和社会进步。
微分方程选择题及答案
选择题（50）（1）知识、概念层次，难度等级11、 下列四个微分方程中，为三阶方程的有（）个.（1）43322320d y d y y dx dx ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）336x dy dy x y e dx dx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ （3）1323yd y ye dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（4）33sin d ydx dy e y dx +=（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案： C难度等级1 知识点：常微分方程的阶的定义分析：根据微分方程的阶的定义，微分方程的阶是指方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，因此，（1），（3），（4）均是三阶微分方程，故应选（C ） 2、 函数（）是微分方程42y y x '=-的通解. （）(A)112y x =+ (B) 2x y Ce = （C ）21212x y C e x C =++ (D)2112x y Ce x =++答案 D难度等级1 知识点：常微分方程通解的定义分析：判断一个函数是否是微分方程的通解，首先是函数代入方程能使方程变为恒等式，其次函数中所含任意常数的个数应与方程的阶数一致，选项（A ）中不含任意常数，是方程的特解，选项（C ）中任意常数的个数多于一个，因此不能选，（B ）不满足方程，故应选（D ）3、 下列等式中（）是线性微分方程.(A) 22y x y '=+ (C) 2x y y e ''+= (B)20y x ''+= (D) 2y y xy '-=答案： B难度等级1 知识点：线性常微分方程的定义 分析：线性常微分方程是指方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，因为(A),(C),(D)选项中出现了非线性项2y ,故应选（B ）4、 微分方程(1)2(1)(2)(1)n n xx nn n x n n d y d ydy e e e e y e dx dx dx-++-++++= 是（）.（A ）n 阶常系数非齐次线性常微分方程 （B ）n 阶常系数齐次线性常微分方程（C ）n 阶变系数非齐次线性常微分方程 （D ）n 阶常变系数齐次线性常微分方程 答案： C难度等级1 知识点：齐次线性常微分方程的定义分析：所给方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，故应为线性常微分方程，又因为其系数是变量x 的函数，故应是变系数，并且有自由项(2)n x e +,因此是非齐次方程，故应选（C ） 5、 微分方程633xy dye e y x y dx=+- 的一个解为（ ）. （A ）6y = （B ）6y x =- （C ）y x =- （D ）y x = 答案： D难度等级1 知识点：常微分方程解的定义 分析：将（A ），（B ），（C ），（D ）所给函数代入所给方程，易知只有y x =满足方程，故应选（D ）6、 下列函数组（）在其定义区间内是线性相关（）.(A)2,x x (B) ln(),ln()x x x （C) cos(2),sin(2)x x (D)sin(2),cos()sin()x x x答案： D难度等级1 知识点：函数组的线性相关与线性无关 分析：由函数组线性相关与无关的判定，（A ），（B ），（C ）中所给的两个函数的比值不为常数，而sin 22sin cos xx x= ，因此应选（D ）7、 下列（ ）不是全微分方程.(A)32(3)0ydx x xy dy +-= (C) 3()()0x y dx x y dy ++-=(B)2210xy y xdx dy y y+-+= (D) 0ydx xdy += 答案： A难度等级1 知识点：全微分方程的判定分析：微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充要条件是M N y x ∂∂=∂∂ ，因此（B ），（C ），（D ）均满足此条件，而22119M Nx y y x∂∂=≠-=∂∂ ，因此应选（A ）8、 方程22()0ydx x y x dy -++= 的积分因子为（ ）.（A ）21()x xμ=（B ）21()y y μ= （C ）221(,)x y x y μ=+ （D ）1(,)x y x yμ=+ 答案： C难度等级1 知识点：积分因子的定义分析：微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 不是全微分方程时，若存在二元函数(,)x y μ ,使得(,)[(,)(,)]0x y M x y dx N x y dy μ+=是全微分方程，则称(,)x y μ为方程的积分因子，因此代入(A),（B ），（D ）所给函数均不满足条件，因此应选（C ）9、 下列方程中，既是齐次方程又是线性方程的是（）（A ）sin dy y dx x = (B) 1dy y dx x x =+ (C) 2dy y ydx x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (D)1dy y dx x=+ 答案： D难度等级1 知识点：齐次方程与线性方程的判定分析：由题意只有(B),(D)是线性微分方程，而（B ）不是齐次方程，因此应选（D ）10、 试指出下列哪个（）函数是二阶微分方程20,(0)y y ωω''+=>的通解.(式中12,C C 为任意常数).(A) 1cos 2sin y C x x ωω=+ (C) 12cos sin y C x C x ωω=+ (B)11cos 2sin y C x C x ωω=+ (D) 212cos sin y C x C x ωω=+答案： C难度等级1 知识点：二阶齐次线性常微分方程通解的定义分析：方程是二阶常系数齐次线性微分方程，其通解中应含有两个独立常数，故(A),(B)不符合要求，（D ）中虽有两个独立常数，但210C > 不是任意常数，故应选（C ）11、 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12x x y C e C e -=+,其中12,C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A)xy y e ''-= (B)20y y ''-=（C)0y y ''+=(D)0y y ''-=答案： D难度等级1 知识点：二阶齐次常系数线性常微分方程 分析：由通解中的两个独立解,xxe e- 知，方程对应的特征方程的特征根为121,1λλ==- ，因此对应的特征方程是2(1)(1)10λλλ-+=-= ，因此对应的微分方程应是0y y ''-=，故应选（D ）12、 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12()x y C C x e =+,其中12,C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A) 20y y y '''--= (C) 20y y y '''-+=(B)210y y '''+=+ (D) 210y y '''-+=答案： D难度等级1 二阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的两个独立解,x xe xe 知，方程对应的特征方程的特征根为121λλ== ，因此对应的特征方程是22(1)210λλλ-=-+= ，因此对应的微分方程应是210y y '''-+=，故应选（D ）13、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为2123y C C x C x =++,其中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）.(A)0y y '''+= (B) 30y y '''+'= （C)0y y '''-= (D) 0y '''=答案： D难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解21,,x x 知，方程对应的特征方程的特征根为1230λλλ=== ，因此对应的特征方程是30λ= ，因此对应的微分方程应是0y '''=，故应选（D ）14、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为123xy C C x C e =++,其中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）.(A)0y y '''-= (C) 10y y y ''''''--=+(B)0y y ''''-= (D) 0y y '''''-=答案： D难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解1,,xx e 知，方程对应的特征方程的特征根为1230,1λλλ=== ，因此对应的特征方程是232(1)0λλλλ-=-= ，因此对应的微分方程应是0y y '''''-=，故应选（D ） 15、 可用变换（ ）将伯努利方程33dyx y y dx=+ 化为线性方程. （A ）1z y -= （B ）2z y -= （C ）3z y -= (D) 4z y -= 答案： B难度等级1 知识点：一阶线性常微分方程、伯努利方程分析：在原方程的两边同除以3y ,得3231dyy y x dx--=+,因此要使方程为线性，只需令2z y -=,则32dz dy y dx dx -=- ，原方程则化为3112dz zx dx-=+，这是线性方程，故应选（B ）16、 微分方程ln (ln )0y ydx x y dy +-= 是（ ）.(A) 可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 答案： B难度等级1 知识点：一阶常微分方程类型的判定 分析：将方程改写为ln ln dy y ydx y x=-,因此不是可分离变量方程，也不是贝努利方程，又由(,)ln ,(,)ln M x y y y N x y x y ==- ,ln 1,1M Ny y x∂∂=+=∂∂ 因此不是全微分方程，又将方程改写为ln 11ln ln dx y x x dy y y y y y-==-+因此是线性方程（将x 看作关于变量y 的函数） ，故应选（B ） 17、 微分方程cos 2y x ''=的通解是（）.(A) 121sin(2)4y x C x C =++ (C) 121cos(2)4y x C x C =++(B)121sin(2)4y x C x C =-++ (D) 121cos(2)4y x C x C =-++答案： D难度等级1 知识点：可降阶的高阶常微分方程的求解 分析：将方程连续积分两次，得通解121cos(2)4y x C x C =-++，故应选（D ） 18、 微分方程21x y '=的通解是（ ）.(A)1y C x =+ (B) 1y C x =+ （C ）1Cy x =-+ (D) 1y x C =-+答案： D难度等级1 知识点：一阶常微分方程的求解 分析：将方程改写为21dy dx x = 并积分，得通解1y xC =-+，故应选（D ） 19、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为123cos sin y C C x C x =++,其中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A)0y y '''''=- (B) 0y y -''''= （C)0y y '''''+= (D) 0y y ''''+=答案： D难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解1,cos ,sin x x 知，方程对应的特征方程的特征根为12,30,i λλ==± ，因此对应的特征方程是2(1)0λλ+= ，因此对应的微分方程应是0y y ''''+=，故应选（D ）20、 若6y x = 是微分方程22(1)6y x y xy x '''''+++= 的唯一解，则初始条件应该是（）（A ）(1)6,(1)6,(1)0y y y '''=== （B ）(1)6,(1)0,(1)6y y y '''=== （C ）(1)6,(1)6,(1)6y y y '''=== （D ）(1)0,(1)6,(1)0y y y '''=== 答案： A难度等级1 知识点：常微分方程的定解条件分析：由6y x =是方程原唯一解，应该满足初始条件，故有(1)6,(1)6,(1)0y y y '''===,故应选（A ）（2）知识简单应用层次，难度等级221、 微分方程xy y e '''-=的通解是（ ）.(A) 122x x xy C C e e =++ (C) 121x x y C e C xe =++(B)12x x y C C e e x x =++ (D) 12x x y C C e xe =++答案： D难度等级2 知识点：二阶非齐次常系数线性常微分方程分析：方程为二阶非齐次常系数线性方程，对应的齐次方程为0y y '''-=，故其特征方程为2(1)0λλλλ-=-= ，特征根为120,1λλ== ，因此齐次方程的通解应为12xy C C e =+ ，因此应在(A),(D)中选择，又因函数2xx y e *=不满足方程，故应选（D ）22、 若1()y x ϕ= , 2()y x ϕ=是一阶非齐次线性微分方程的两个不同特解，则该方程的通解为（）。
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三阶常系数齐次线性微分方程通解结构三阶常系数齐次线性微分方程是指形如$ay+by+cy+dy=0$的三阶常系数齐次线性微分方程，其中a，b，c，d均为常数。
因此，三阶常系数齐次线性微分方程又称为三阶常系数线性普通微分方程，是初等微积分学中较为重要的一类微分方程。
二、定理
假设 y = y(x)为$ay+by+cy+dy=0$的通解，则满足下列条件：（1）若 $b^2-3ac>0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为
$$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}$$ 其中$lambda_1、lambda_2、lambda_3$分别为
$$lambda_1= frac{-b-sqrt{b^2-3ac}}{3a}，lambda_2=
frac{-b+frac{sqrt{3}}{2}isqrt{4ac-b^2}}{3a}，lambda_3=
frac{-b-frac{sqrt{3}}{2}isqrt{4ac-b^2}}{3a}$$
（2）若$b^2-3ac=0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为
$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$
（3）若$b^2-3ac<0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为
$$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C
_4sin(lambda_2x)$$
其中$lambda_1、lambda_2$分别为
$$lambda_1=-frac{b}{3a}+frac{sqrt{3}}{3a}sqrt{3ac-b^2}，lambda_2=-frac{b}{3a}-frac{sqrt{3}}{3a}sqrt{3ac-b^2}$$
三、公式
从上述定理中可以看出，三阶常系数齐次线性微分方程的通解可以分为三类：
（1）$b^2-3ac>0$的情况：
$$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}$$ （2）$b^2-3ac=0$的情况：
$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$
（3）$b^2-3ac<0$的情况：
$$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C _4sin(lambda_2x)$$
四、推导
（1）$b^2-3ac>0$的情况：
两边同时乘以$e^{-lambda_1x}，e^{-lambda_2x}，
e^{-lambda_3x}$，得到
$$e^{-lambda_1x}(alambda_1^3y+blambda_1^2y+clambda_1y+dy)=e ^{-lambda_2x}(alambda_2^3y+blambda_2^2y+clambda_2y+dy)=e^{-lambda_3x}(alambda_3^3y+blambda_3^2y+clambda_3y+dy)=0$$ 即
$$(alambda_1^3+blambda_1^2+clambda_1+d)e^{-lambda_1x}y+(bla mbda_1^2+2clambda_1+d)e^{-lambda_1x}y+(clambda_1+d)e^{-lamb da_1x}y+(d)e^{-lambda_1x}y=0$$
令$e^{-lambda_1x}y=Y$，$e^{-lambda_1x}y=Y’$，
$e^{-lambda_1x}y=Y’’$，$e^{-lambda_1x}y=Y’’’$
得到一阶齐次线性微分方程的一般解为
$y=e^{lambda_1x}(C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3)$
可知，设$C_1=C_2=C_3=0$，有特解$y_p=C_4e^{lambda_1x}x^3$ 所以，原方程的通解为
$$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}+C_4e ^{lambda_1x}x^3$$
（2）$b^2-3ac=0$的情况：
类似上述推导，原方程的通解为
$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$
（3）$b^2-3ac<0$的情况：
类似上述推导，原方程的通解为
$$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C _4sin(lambda_2x)$$
五、例题
例 1：求解$y3y+3yy=0$的通解。
解：此方程可化为$y3y+3yy=0$
满足$b^2-3ac=0$，故此方程的通解为
$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$
六、总结
本文完成了对三阶常系数齐次线性微分方程的通解结构的介绍，具体包括定义、定理、公式以及推导、例题以及总结等内容。
首先，介绍了定义，提出了此类方程的形式；接下来，介绍了定理，构成了此类方程的通解；随后，介绍了公式，根据不同情况建立通解的方程；接着，介绍了推导，分三种情况对原方程的通解进行推导；最后，介绍了例题，通过实际计算求得特解和通解；同时也总结了此文的内容。
本文所述内容给出了三阶常系数齐次线性微分方程的通解结构，为进一步研究类似问题提供了理论依据。