微分方程中的常系数齐次线性方程求解

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四阶常系数齐次微分方程通解方程

四阶常系数齐次微分方程通解方程四阶常系数齐次微分方程通解方程引言四阶常系数齐次微分方程是微积分课程中的重要内容之一，它在工程、物理、数学等多个领域都有广泛的应用。

本文将从介绍四阶常系数齐次微分方程的基本概念开始，逐步深入探讨其通解方程及其应用。

一、四阶常系数齐次微分方程基本概念在微积分领域中，四阶常系数齐次微分方程可以用以下一般形式表示：\[a_4y^{(4)}+a_3y^{(3)}+a_2y^{(2)}+a_1y'+a_0y=0\]其中，$a_4, a_3, a_2, a_1, a_0$为常数，$y^{(4)}, y^{(3)}, y^{(2)},y', y$分别表示函数y的四阶导数、三阶导数、二阶导数、一阶导数和函数自身。

二、通解方程的求解针对上述的四阶常系数齐次微分方程，我们可以通过特征方程的求解来得到其通解方程。

特征方程的一般形式为：\[a_4r^4+a_3r^3+a_2r^2+a_1r+a_0=0\]通过解特征方程得到的根的个数和情况，我们可以分别得到不同的通解形式。

具体来说，如果特征方程有四个不同的实根$r_1, r_2, r_3,r_4$，那么通解方程为：\[y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+C_3e^{r_3x}+C_4e^{r_4x}\]其中$C_1, C_2, C_3, C_4$为待定系数。

如果特征方程有两对共轭复根$α±βi, γ±δi$，那么通解方程为：\[y=e^{αx}(C_1cosβx+C_2sinβx)+e^{γx}(C_3cosδx+C_4sinδx)\]通过以上的通解方程形式，我们可以看到四阶常系数齐次微分方程的通解具有很高的灵活性和多样性，这也为其在实际问题中的应用提供了方便。

三、四阶常系数齐次微分方程的应用举例四阶常系数齐次微分方程在物理学和工程学中有着广泛的应用。

振动问题中的自由振动系统可以建立四阶常系数齐次微分方程模型。

第七节常系数齐次线性微分方程

5 4 3 2
(r 1)(r 2 1)2 0,
特征根为 r1 1, r2 r3 j , r4 r5 j , 故所求通解为
y C1e x (C2 C3 x ) cos x (C4 C5 x ) sin x .
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:
r1 j ,
1 x y ( y y ) e cos x, 重新组合 1 1 2 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x, 2j
得齐次方程的通解为
y1 e
( j ) x
,
y2 e
( j ) x
,
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0,
知 u 0,
rx 则 y xe , 取 u( x ) x , 2
1
得齐次方程的通解为 y (C1 C 2 x )e
r1 x
;
有一对共轭复根特征根为
( 0)
r2 j ,
令 z ln y
则 z z 0,
特征根 1
x x x x z C e C e y C e C e . 通解 1 2 1 2
y2 e ,
r2 x
r1 x
得齐次方程的通解为 y C1e
C2e ;
r2 x
有两个相等的实根 ( 0)
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2
设另一特解为 y2 u( x )e r1 x ,
，y2 代入原方程并化简，将 y2 ，y2

常系数线性微分方程

常系数线性微分方程常系数线性微分方程是微分方程中一类重要的特殊形式，其特点是方程中的系数是常数。

本文将介绍常系数线性微分方程的定义、求解方法以及相关性质。

一、常系数线性微分方程的定义常系数线性微分方程又称为齐次线性微分方程，其一般形式为：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=0\]其中，n为方程的阶数，$y^{(n)}$表示y的n阶导数。

二、常系数线性微分方程的求解方法1. 特征方程法通过设定方程的解为$y=e^{mx}$，将其代入原方程中，得到特征方程：\[a_nm^n+a_{n-1}m^{n-1}+...+a_1m+a_0=0\]解特征方程，可得到n个不同的解，分别是$m_1, m_2,..., m_n$。

则原方程的通解为：\[y=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+...+c_ne^{m_nx}\]其中，$c_1, c_2,..., c_n$为常数。

2. 变量分离法对于一些特殊的常系数线性微分方程，可以通过变量转换将其化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。

三、常系数线性微分方程的性质1. 零解的存在唯一性对于常系数线性微分方程，其零解必然存在且唯一。

2. 齐次性质如果y1(x)是常系数线性微分方程的一个解，那么ky1(x)（k为常数）也是该微分方程的解。

3. 叠加性质如果y1(x)和y2(x)分别是常系数线性微分方程的解，那么y(x)=y1(x)+y2(x)也是该微分方程的解。

4. 线性性质设y1(x)和y2(x)分别是齐次常系数线性微分方程的两个解，c1和c2为常数，则c1y1(x)+c2y2(x)也是该微分方程的解。

总结：常系数线性微分方程作为微分方程中的重要形式，在工程、物理学以及其他科学领域中具有广泛的应用。

求解常系数线性微分方程的方法多种多样，特征方程法和变量分离法是常用的求解方法。

同时，常系数线性微分方程满足一系列重要性质，这些性质使得我们可以更加灵活地利用微分方程进行问题的建模和求解。

常系数齐次线性微分方程解法

第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ′′+py ′+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ′′+py ′+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r −±+−= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数、是方程的两个线性无关的解.x r e y 11=x r e y 22= 这是因为,函数、是方程的解, 又x r e y 11=x r e y 22=x r r x r x r e ee y y )(212121−==不是常数. 因此方程的通解为.x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数、是二阶常系数齐次线性微分x r e y 11=x r xe y 12=方程的两个线性无关的解.这是因为, 是方程的解, 又x r e y 11=x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+′+′′ ,0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以也是方程的解, 且xr xe y 12=x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为.x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α−i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α−i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α−i β)x =e αx (cos βx −i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1−y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x −=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =0的通解的步骤为:第一步写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =0的通解.解所给微分方程的特征方程为r 2−2r −3=0, 即(r +1)(r −3)=0.其根r 1=−1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为y =C 1e −x +C 2e 3x .例2 求方程y ′′+2y ′+y =0满足初始条件y |x =0=4、y ′| x =0=−2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=−1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e−x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e−x.将上式对x求导,得y′=(C2−4−C2x)e−x.再把条件y′|x=0=−2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e−x.例 3 求微分方程y′′−2y′+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2−2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1−2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n−1)+p2 y(n−2) +⋅⋅⋅+p n−1y′+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n−1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y′, D2y=y′′, D3y=y′′′,⋅⋅⋅,D n y=y(n).分析:令y=e rx,则L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n)e rx=L(r)e rx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r 1, 2=α ±i β 对应于两项: e αx (C 1cos βx +C 2sin βx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1);一对k 重复根r 1, 2=α ±i β 对应于2k 项:e αx [(C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1)cos βx +( D 1+D 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +D k x k −1)sin βx ].例4 求方程y (4)−2y ′′′+5y ′′=0 的通解.解这里的特征方程为r 4−2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2−2r +5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0.解这里的特征方程为r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±−=β. 因此所给微分方程的通解为)2sin 2cos (212x C x C e y x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++−.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:一、 f (x )=P m (x )e λx 型当f (x )=P m (x )e λx 时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e λx , 将其代入方程, 得等式Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).(1)如果λ不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则λ2+p λ+q ≠0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式:Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=Q m (x )e λx .(2)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0 的单根, 则λ2+p λ+q =0, 但2λ+p ≠0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +1 次多项式:Q (x )=xQ m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解 y *=xQ m (x )e λx .(3)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0的二重根, 则λ2+p λ+q =0, 2λ+p =0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +2次多项式:Q (x )=x 2Q m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=x 2Q m (x )e λx .综上所述, 我们有如下结论: 如果f (x )=P m (x )e λx , 则二阶常系数非齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =f (x )有形如y *=x k Q m (x )e λx的特解, 其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式, 而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =3x +1的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=3x +1, λ=0). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−2y ′−3y =0,它的特征方程为r 2−2r −3=0.由于这里λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得−3b 0x −2b 0−3b 1=3x +1,比较两端x 同次幂的系数, 得, −3b ⎩⎨⎧=−−=−13233100b b b 0=3, −2b 0−3b 1=1.由此求得b 0=−1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+−=x y .例2 求微分方程y ′′−5y ′+6y =xe 2x 的通解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=x , λ=2). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−5y ′+6y =0,它的特征方程为r 2−5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于λ=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为 y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得−2b 0x +2b 0−b 1=x .比较两端x 同次幂的系数, 得, −2b ⎩⎨⎧=−=−0212100b b b 0=1, 2b 0−b 1=0. 由此求得210−=b , b 1=−1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*−−=. 从而所给方程的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+−+=.提示:y *=x (b 0x +b 1)e 2x =(b 0x 2+b 1x )e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′=[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′=[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x .y *′′−5y *′+6y *=[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′−5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′+6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ] =[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x −5[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x +6(b 0x 2+b 1x )e 2x =[2b 0+4(2b 0x +b 1)−5(2b 0x +b 1)]e 2x =[−2b 0x +2b 0−b 1]e 2x .方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解形式应用欧拉公式可得e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i n x i x i l x ωωωωλ−−−++= x i n lx i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()(21)]()([21ωλωλ−+++−= x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ−++=, 其中)(21)(i P P x P n l −=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y ′′+py ′+qy =P (x )e (λ+i ω)x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (λ+i ω)x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y −=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y −=+′+′′的特解, 其中k 按λ±i ω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解为 x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ−++= )sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ−++= =x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y ′′+py ′+qy =f (x )的特解可设为y *=x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按λ+i ω (或λ−i ω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.例3 求微分方程y ′′+y =x cos2x 的一个特解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )属于e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]型(其中λ=0, ω=2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y ′′+y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里λ+i ω=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(−3ax −3b +4c )cos2x −(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31−=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+−=. 提示:y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *′=a cos2x −2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x ,=(2cx +a +2d )cos2x +(−2ax −2b +c )sin2x ,y *′′=2c cos2x −2(2cx +a +2d )sin2x −2a sin2x +2(−2ax −2b +c )cos2x =(−4ax −4b +4c )cos2x +(−4cx −4a −4d )sin2x .y *′′+ y *=(−3ax −3b +4c )cos2x +(−3cx −4a −3d )sin2x .由, 得⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−=+−=−0340304313d a c c b a 31−=a , b =0, c =0, 94=d .。

四阶常系数齐次线性微分方程

四阶常系数齐次线性微分方程\[a_4y^{(4)}+a_3y^{(3)}+a_2y''+a_1y'+a_0y=0\]的微分方程，其中$a_0,a_1,a_2,a_3,a_4$为常数，$y^{(4)}$表示$y$的四阶导数，$y''$表示$y$的二阶导数，$y'$表示$y$的一阶导数。

在本文中，我们将详细研究这种类型的微分方程及其解的性质。

一、特征方程和特征根对于四阶常系数线性齐次微分方程，我们可以构造其特征方程。

将$y=e^{rx}$代入方程，可得\[a_4r^4+a_3r^3+a_2r^2+a_1r+a_0=0\]这是一个关于$r$的代数方程，称为特征方程。

通过求解特征方程，可以得到其根$r_1,r_2,r_3,r_4$，这些根被称为特征根。

二、特解的形式根据特征根的不同情况，我们可以分为以下几种情况：1.当特征根都是不相同的实数$r_1,r_2,r_3,r_4$时，方程的通解可表示为\[y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+C_3e^{r_3x}+C_4e^{r_4x}\]其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。

2. 当有重根$r_1=r_2=r_3\neq r_4$时，方程的通解可表示为\[y(x)=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{r_1x}+C_4e^{r_4x}\]其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。

3. 当有一对共轭复根$r_1 = \alpha + \beta i, r_2 = \alpha -\beta i$和两个不相同实根$r_3, r_4$时，方程的通解可表示为\[y(x) = e^{\alpha x}[(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) + C_3e^{r_3x} + C_4e^{r_4x}]\]其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。

二阶常微分方程的解法

二阶常微分方程的解法二阶常微分方程是微积分中的一个重要概念，涉及到求解具有两个未知函数的微分方程。

本文将介绍二阶常微分方程的一些解法方法。

一、可分离变量法对于形如f''(x) = g(x)的二阶常微分方程，可以通过分离变量的方法求解。

首先将方程进行变形，得到f''(x)-g(x) = 0。

然后令y=f'(x)，将方程转化为一阶方程y'-g(x)=0，再次进行变形得到dy/dx=g(x)。

接下来，对方程两边进行积分，得到y的表达式，再次积分即可得到f(x)的解。

二、特征方程法对于形如f''(x) + a1f'(x) + a0f(x) = 0的二阶常微分方程，可以通过特征方程法求解。

首先假设f(x)的解为f(x) = e^(rx)，其中r为待求解的常数。

代入原方程，得到特征方程r^2 + a1r + a0 = 0。

解特征方程，可以得到两个根r1和r2，然后f(x)的解可以表示为f(x) = C1e^(r1x) +C2e^(r2x)，其中C1和C2为待定常数。

三、常系数齐次线性微分方程法对于形如f''(x) + af'(x) + bf(x) = 0的二阶常微分方程，可以通过常系数齐次线性微分方程法求解。

首先假设f(x)的解为f(x) = e^(rx)，代入原方程，得到特征方程r^2 + ar + b = 0。

解特征方程，可以得到两个根r1和r2。

根据根的不同情况，可以得到不同的解形式。

1）当r1和r2是不相等的实根时，f(x)的解可以表示为f(x) =C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2为待定常数。

2）当r1和r2是相等的实根时，f(x)的解可以表示为f(x) = (C1x +C2)e^(r1x)，其中C1和C2为待定常数。

3）当r1和r2是共轭复数根时，f(x)的解可以表示为f(x) =e^(ax)[C1cos(bx) + C2sin(bx)]，其中C1和C2为待定常数。

高(二)阶常系数线性微分方程-齐次方程解法

定义设 y1 , y2 ,, yn为定义在区间 I 内
n 的n个函数．如果存在个不全为零的常
数，使得当x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0，
那么称这 n 个函数在区间 I 内线性相
关．否则称线性无关。
例如当x (, )时， e x，ex , e2x线性无关
例3：求微分方程y''-2y' 5 y 0的通解
解：特征方程2 2 5 0 特征根为一对共轭虚根1 1 2i，2 1 2i
故通解为：y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x)
练习1 求方程 y 4 y 4 y 0的通解. 解特征方程为 r 2 4r 4 0 ,
(4)
y c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x) y1 c2( x) y2
将 y, y, y 代入方程(2), 得
c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x)( y1 P( x) y1 Q( x) y1) c2( x)( y2 P( x) y2 Q( x) y2 ) f ( x)
y py qy f ( x)
当 f ( x) 0时，二阶常系数线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，二阶常系数线性非齐次微分方程
二、二阶常系数齐次线性微分方程
1.二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式:
y py qy 0
(1)
2.二阶齐次微分方程的解的结构:
(2)求出特征方程的两个根1、2
(3)根据特征根的不同情况写出通解
例1：求微分方程y''+4y' 3y 0的通解解：特征方程2 +4 3 0 特征根为1 3，2 1

常微分方程中的常系数线性方程及其解法

常微分方程中的常系数线性方程及其解法常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是一种数学模型，用于描述时间或空间上量的变化规律。

常微分方程中的常系数线性方程是ODE中一个重要的类别，其解法具有一定的规律性和普适性。

本文将就常微分方程中的常系数线性方程及其解法做简要介绍。

一、常系数线性方程的定义常系数线性方程是指其系数不随自变量t的变化而改变的线性方程。

一般写为：$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=f(t)$$其中a的值为常数，f(t)为已知函数，y(t)为未知函数，方程中最高阶导数的阶数为n。

n阶常系数线性方程也称为n阶齐次线性方程；当f(t)≠0时，称其为n阶非齐次线性方程。

二、常系数线性方程的解法对于一般形式的常系数线性方程，我们常用特征根的方法来求解。

具体来说，先考虑对应的齐次线性方程$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=0$$设y(t)=e^{rt}，则有$$r^ne^{rt}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rt}+...+a_1re^{rt}+a_0e^{rt}=0$$整理得到$$(r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0)e^{rt}=0$$根据指数函数的性质得到$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$求解方程$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$可得到n个特征根，设其为$r_1,r_2,...,r_n$。

则对于齐次线性方程，其通解为$$y(t)=c_1e^{r_1 t}+c_2e^{r_2 t}+...+c_ne^{r_n t}$$其中$c_1,c_2,...,c_n$为待定常数。

4.2.1常微分方程-线性齐次常系数方程

x
(n)
a1 x
( n 1)

an1 x an x 0
1、复值函数定义
z (t ) (t ) i (t ) t [a, b]，
(t )， (t )是定义在 [ a , b ] 上的实函数。
极限
lim z (t ) lim (t ) i lim (t ) t0 [a, b]，
z (t ) z (t0 ) dz d lim z (t0 ) t t0 t t0 dt t t0 dt
t t0
d i dt
t t0
易验证
d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) dt dt dt d dz1 (t ) [cz1 (t )] c dt dt d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) z2 (t ) z1 (t ) dt dt dt
()
F ( ) n a1n1 an1 an 0
① 特征根为实根 I. 设 1 0 是 k 重特征根方程 ( ) 有 k 个线性无关的解 II. 设
1, t , t 2 ,
, t k 1
1 0 是 k 重特征根
e1t , te1t , t 2e1t , , t k 1e1t
性质1
e e
t
t
性质2
性质3 性质4
det et dt
e
( 1 2 ) t
e e
1t 2t
d n et n t e n dt
3、复值解定义如果定义在 [a, b] 上的实变量的复值函数
x z (t ) 满足方程

高阶常系数齐次线性微分方程的解法

高阶常系数齐次线性微分方程的解法凯歌【摘要】常微分方程是微积分学的重要组成部分，求解高阶微分方程是常微分方程的一难点问题，通常用适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。

结合多年的教学经验，归纳总结给出高阶常系数齐次线性微分方程的一些求解方法，包括常系数齐次线性微分方程和欧拉方程以及可降阶的高阶微分方程等，并通过例题阐述各种方法。

%Ordinary Differential equation is an important part of differential and integration. Solving Ordinary Differential equation of difficult prob-lem is the differential equations of high order. Generally, in order to achieve the purpose to solve problems, it uses an appropriate variable substitution. With many years of teaching experience, summarizes to give some methods for solving the linear differential equation of higher-order, including homogeneous linear differential equation with constant coefficient, Euler equations and higher-order differential of reduce order and so on, gives an example to explain a variety of methods.【期刊名称】《现代计算机（专业版）》【年(卷),期】2016(000)002【总页数】4页(P26-28,51)【关键词】微分方程;特征方程;欧拉方程;齐次方程【作者】凯歌【作者单位】内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特 010070【正文语种】中文求解常微分方程的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶微分方程则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。

6.6阶常系数齐次线性微分方程解析

若P ( x ), Q( x )恒为常数，
即
d2 y dy p qy 0（ , p, q为常数） 2 dx dx
称之为二阶常系数齐次线性微分方程。
2018/11/14
3
二阶常系数齐次线性微分方程的解法 ——特征方程法 d2 y dy
dx
2
p
rx
dx
qy 0（ , p, q为常数） (1)
r1 r2 R r1 r2 R
y C1e r1 x C 2e r2 x y C1e rx C2 xe rx y e (C1 cos x C2 sin x )
10
r1 i r2 i
2018/11/14
x
例2 求微分方程 y－5 y 6 y 0 的通解.
与位移大小成正比. G为小球的重力.
100 g f ma kx， k 20 g . 5
d2 x d2 x g 100 2 20 gx 即 2 x 0. dt dt 5
2018/11/14 2
在二阶齐次线性微分方程中，
d2 y dy P( x) Q( x ) y 0 2 dx dx
dx
2
p
dx
qy 0（ , p, q为常数） (1)
y1 ( y1 y2 ) e x cos x是方程(1)的解.
1 2
y2
1 2i
( y1 y2 ) e x sin x也是方程(1)的解.
8
y e x (C1 cos x C2 sin x )是方程(1)的通解.
2
设y e 是方程(1)的解，代入(1)得(r pr q)e 0.

常微分方程4.2n阶常系数线性齐次方程解法

Y
C1e1xT1
C2e2xT2

Cne
n
Tx 3n
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
高阶线性方程
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f x (4.5)

c2 e 2 x

c enx n 11
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
例1 求方程 y 8y 7 y 0 的通解。
解第一步：特征方程及特征根
P() 2 8 7 0 1 1, 2 7
P() 0 满足
特征根
特征方程
结论： y e x 是方程的解的充要条件满足 P() 0
9
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。
P() n a1n1 an1 an 0
复习内容
一阶常系数线性齐次方程组的解法高阶线性方程
高阶线性方程的通解结构
2
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
一阶常系数线性齐次方程组的解法
dY AY dx
第一步：写出方程组的系数矩阵A
y e x

常微分方程33线性常系数齐次方程

2! 4!
3! 5!
cos t i sin t ei t cos t i sin t
cos t 1 (ei t ei t )
2
sin t 1 (ei t ei t )
2i
4
2) 复指函数的性质
记 i 表示 i 的共轭. 性质1: et et
设特征方程有k 重根 1 ,则有 F (1) F ' (1) F (k1) (1) 0, F k (1) 0
（1）若 1 0 则特征方程有因子k，因此，
an an1 ank1 0
则特征方程有形式：n a1n1 ankk 0
则方程相应地有两个复值解：
e(i )t et (cos t i sin t) e(i )t et (cos t i sin t)
由定理3.12知它们的实部和虚部也是方程的解，
故方程的两个实值解为：et cos t, et sin t
14
2 特征根有重根
因此有解 et , e2t ,te2t . 方程通解为：
x(t) c1et c2e2t c3te2t . 其中 c1, c2, c3 为任意常数.
19
例2：求 d 4 x x 0 的通解. dt 4
解：特征方程 4 1 0 故特征根为1 1, 2 1, 3 i, 4 i
nent

nn1ent
1
11
e(1 2 n )t 1

1n 1
2

n2 1
n

nn1

(
1 jin
i

j

微分方程-二阶常系数齐次线性微分方程

y ( n) + p1 y ( n1) + L + pn1 y′ + pn y = 0
其中 pi ( i = 1, 2 ,L , n )均为实常数 .
特征方程为
r n + p1r n1 + L + pn1r + pn = 0
特征方程的根
若是 k 重根 r
通解中的对应项
(C0 + C1 x + L + Ck 1 x k 1 )e rx
而 y ′ = 5C1 sin 5 x + 5C 2 cos 5 x 再由 y ′ | x = 0 = 5,
得 C 2 = 1, 故所求方程特解为
y = 2 cos 5 x + sin 5 x
d2 x 3. 求微分方程 + λ x = 0 (λ 为常数 ) 2 dt 的通解
解特征方程为 r 2 + λ = 0, 特征根 r1, 2 = ± λ .
2. 当 Δ = p 2 4q = 0 时，
L[ y2 ] =
r1 x L[ue ]
= 2( r r1 )
0
r1 x = e [u′′ + (2r1 +
p)u′ + (r12 + pr1 + q)u] = 0,
0 Q r是特征根，且是重根
∴ F ( r1 ) = r12 + pr1 + q = 0
下面分三种情况讨论
(1) 若λ < 0,
则 r1, 2 = ± λ 为两个不相等的实根
方程的通解为
λt
x = C1e
+ C 2e
λt
( 2) 若 λ = 0,

第四讲常系数线性齐次微分方程

考虑方程
L[ y]
dny dxn
a1
d n1 y dxn1
L
an y 0
(4.19)
其中a1, a2 , , an为常数, 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.
我们知道,一阶常系数齐线性方程
dy ax 0 dx
有解 y ceax ,
受此启发,对(4.19)尝试求指数函数形式的解
y ex , (4.20)
dy 1 dy , dx x dt
把上式入原方程得
d 2 y 1 d 2 y dy
dx2
x2 ( dt2
), dt
d 2 y dy
dt 2
2 dt
y0
上述方程的通解为: y(t) (c1 c2t)et ;
故原方程的通解为:
y(x) (c1 c2 ln x )x; 这里c1, c2为任常数;
2
en x
n en x
L
e n1 nx n
1 1 1
e (1 2 L n ) x 1
2 n
n1 1
n1
2
n1 n
e(12 L n ) x
(i j ) 0
1 jin
故解组(4.22)线性无关.
若i (i 1,2, , n)均为实数,
则(4.22)是方程(4.19)的基本解组 ,从而(4.19)的通解为
把方程 (4.19 )的2k个复值解 , 换成2k个实值解.
et cos t, tet cos t, , t k1et cos t; et sin t, tet sin t, , t k1et sin t.
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2, , k ,

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明来源：文都教育在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。

一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C eC e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112xx y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+；证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++=212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=，令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dxλλλ'-=⇒=⇒=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----⎰⎰=+=+⎰⎰ …（1） 1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为21212()121212[]x x x x c y e e C C e C e λλλλλλλ-=+=+-，其中1112c C λλ=-，12C C 和为任意常数。

常系数线性齐次微分方程的解法

常系数线性齐次微分方程的解法齐次线性微分方程是一类重要的常微分方程，广泛应用于物理学、数学和工程学中。

它的定义如下：设$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=F$是连续的关于$x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)}$的n阶齐次线性微分方程，其形式为$$a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y=F(x,y,y',\cdots,y^{(n)}).$$其中$a_{0}(x),a_{1}(x),\cdots,a_{n}(x)$都是任意连续函数。

当$a_{n}(x)\neq 0$时，$y^{(n)}$以下各项可以通过一定的函数关系表示，可以把n阶线性微分方程简化为一阶的线性微分方程，从而实现其几何解的求解。

那么，如何才能求解n阶常系数线性齐次微分方程的解呢？常数系数线性齐次微分方程的解法对应有两种，即特征值分解法和非特征值分解法。

首先，我们来介绍一下特征值分解法。

给定n阶常系数线性齐次微分方程，先配合朗普斯特矩阵$\lambda I-A$，$A$为常系数矩阵，$I$为单位矩阵。

求特征值和特征向量，然后可以由下式求出解class解：$$y(x)=e^{\lambdax}\left(C_{1}\vec{v_{1}}+C_{2}\vec{v_{2}}+\cdots+C_{n}\vec{v_{n}}\right)$$其中$\vec{v_{i}}$是特征值$\lambda_{i}$对应的特征向量，$C_{i}$为任意常数。

其次，我们介绍一下非特征值分解法。

首先，先把常系数线性微分方程化为一阶线性微分方程，然后再用比较成熟的求解方法，比如Euler方法、Runge-Kutta方法。

根据已知条件，对积分引力的结果进行求解，求得特定的通解问题，即$y(x)$。