角的和差运算习题课
冀教版七年级上册数学《角的和与差》PPT教学课件
如图，如果∠AOC=∠DOB，那么∠AOD与∠COB相等吗？说明理由．
相等．
A
C
因为∠AOC=∠DOB，
所以∠AOC+∠COD=∠DOB +∠COD．
D
所以∠AOD=∠COB．
O
B
如图，如果∠AOD=∠COB，那么∠AOC与∠DOB相等吗？说明理由．
相等．
因为∠AOD=∠COB，
所以∠AOD -∠COD=∠COB-∠COD．
注意：两个角的和与差仍是一个角． 两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角．它的度数等于 这两个角的度数的和（或差）.
在一张透明纸上任意画一个角∠AOB，把这张纸折叠，使角的两边OA
与OB重合，然后把纸展开，画出折痕OC．问∠AOC与∠BOC之间有
怎样的大小关系？ ∵折叠时∠AOC与∠BOC重合，
类似地，∠AOC－∠AOB= ∠BOC .
知识讲解
1. 如图，∠AOB=∠__A_O_C__+_∠__C_O_D__+__∠__B_O_D_， ∠AOD=_∠__A_O_C__+_∠___C_O_D_=_∠__A_O_B__-__∠__B_O_D_.
2.如果∠AOB=∠COD， 那么∠AOC与∠DOB相等吗？ 解：相等. 因为∠AOB=∠COD，由等式的性质，得 ∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB.
（4）互补的两个角不可能相等。
（ ）
（5）钝角没有余角，但一定有补角。（
）
（6）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.（ ）
（7）互补、互余的两角一定有公共顶点或公共边（
）
知识讲解
4 余角和补角的性质
角的比较和运算 课件(共20张PPT) 华师大七年级数学上册
线段 定义 类比
角
定义
表示 表示
大小 运算
大小 运算
叠合法 度量法 和、差、倍、分 叠合法 度量法 和、差、倍、分
合作探究
1 角的大小
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角 的大小？
结论：角的大小比较：度量法、叠合法
叠
C
C
C
合
法 O'
D
O'
结B
论
D
D C
O'
第三章 图形的初步认识
3.6 角
2 角的比较和运算
华师版七年级(上)
教学目标
1. 运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角 的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系.
2. 借助三角板拼出不同度数的角，认识角的平分线及角 的等分线，会画角的平分线.
重点：比较角的大小，认识角的平分线，做一个角等于
B C
从一个角的顶点引出一条射线，
把这个角分成两个相等的角，这条
射线叫做这个角的平分线.
O
A
几何语言
因为 OC 是∠AOB 的角平分线， 所以∠AOC＝∠BOC = 1 ∠AOB
2 或∠AOB ＝2∠BOC＝2∠AOC
试一试
D
类比：仿照角平分线的结论，你能写出
C
B
角的三等分线的结论吗？
O
A
因为射线 OB、OC 是 ∠AOD 的三等分线，
所以 ∠AOD = 3∠AOB = 3∠BOC = 3∠COD，
∠AOB =∠BOC =∠COD = ∠AOD.
例1 如图，已知点 O 为直线 AB 上一点，OM，ON 分别 是∠AOC，∠BOC 的平分线，求∠MON 的度数． [解析] 首先应确定∠MON 的转化 问题：∠MON＝∠MOC＋∠CON， 再结合角平分线的定义，易得到 ∠MOC＋∠CON＝ 1 2∠AOB.
冀教版七年级数学上册说课稿 2.7 角的和与差
冀教版七年级数学上册说课稿 2.7角的和与差一. 教材分析冀教版七年级数学上册2.7节“角的和与差”是学生在学习了角的初步知识后，进一步深化对角的概念的理解和应用。
本节内容主要介绍了角的和与差的概念，包括同角间的和与差、补角、余角的概念，以及角的和与差的计算方法。
通过本节的学习，学生能够理解角的和与差的概念，掌握角的和与差的计算方法，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了角的初步知识，对角的概念有一定的理解。
但是，学生对角的和与差的概念和计算方法可能还比较陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解角的和与差的概念，掌握角的和与差的计算方法，能够运用角的和与差的概念解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，学生能够培养观察能力、动手能力和语言表达能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，增强对数学的兴趣和信心，培养合作意识和解决问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解角的和与差的概念，掌握角的和与差的计算方法。
2.教学难点：学生能够运用角的和与差的概念解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例教学法、合作学习法等，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，掌握角的和与差的概念和计算方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、练习题等，辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.引入新课：通过展示生活中的实例，引导学生思考角的和与差的概念，激发学生的学习兴趣。
2.讲解角的和与差的概念：通过多媒体课件和实物模型的演示，讲解角的和与差的概念，引导学生理解和掌握。
3.角的和与差的计算方法：通过示例和练习，引导学生掌握角的和与差的计算方法，能够熟练运用。
4.巩固练习：设计一些具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固对角的和与差的理解和计算方法的掌握。
《4.3.2 角的比较与运算》同步练习 2021-2022学年人教版七年级数学上册
4.3.2 角的比较与运算一．填空题1．如图，∠AOB∠AOC，∠AOB∠BOC（填＞，＝，＜）；用量角器度量∠BOC ＝，∠AOC＝，∠AOC∠BOC．2．如图，∠AOC＝+＝﹣；∠BOC＝﹣＝﹣．3．如图，O是直线AB上一点，∠BOD＝90°，∠COE＝90°，那么下列各式中错误的是（）A．∠AOC＝∠DOE B．∠COD＝∠BOE C．∠AOD＝∠BOD D．∠BOE＝∠AOC 4．将一副常规三角板拼成如图所示的图形，则∠ABC＝度．5．如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC＝度．6．OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线，若∠AOB＝90°，∠AOB＝2∠BOC，求∠AOC的度数．7．如图．∠AOB＝∠COD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．∠1与∠2的大小无法比较8．如图，∠AOB＝∠AOC，∠BOC＝110°，∠AOB＝．9．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOD+∠COB的度数为度．10．如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在C'、D'的位置上，EC'交AD于点G，已知∠FEC＝48°，那么∠BEG＝．11．钟面上8：30这一时刻，钟面上时针与分针所形成的角度是．12．已知∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝．13．用三角板画15°角，如图所示，使30°角的顶点与45°角的顶点，30°角的相邻直角边与45°角的相邻斜边重合，用铅笔沿AB，ED画线，移开三角板，延长DE 与AB交于点A，∠DAB＝．二．选择题14．下列说法正确的是（）A．不大于90的角是锐角B．一个钝角减去比它小的钝角，差是锐角C．钝角与锐角的差小于直角D．两个锐角的和是钝角15．下列说法错误的是（）A．角的大小与角的边画出部分的长短没有关系B．角的大小与它们的度数大小是一致的C．角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分D．若∠A+∠B＞∠C，那么∠A一定大于∠C16．用一副三角板不能画出（）A．75°角B．135°角C．160°角D．105°角17．如果∠1﹣∠2＝∠3，且∠4+∠2＝∠1，那么∠3和∠4间的关系是（）A．∠3＞∠4B．∠3＝∠4C．∠3＜∠4D．不确定18．在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，那么有（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOB D．∠AOB＞∠AOC三．解答题19．如图，把∠AOB绕着O点按逆时针方向旋转一个角度，得∠A′OB′，指出图中所有相等的角，并简要说明理由．20．如图：∠AOB是哪几个角的和？∠DOC是哪几个角的和？若∠AOB＝∠COD，则还有哪两个角相等？21．下面是小马虎解的一道题题目：在同一平面上，若∠BOA＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数．解：根据题意可画出图∵∠AOC＝∠BOA﹣∠BOC＝70°﹣15°＝55°∴∠AOC＝55°若你是老师，会判小马虎满分吗？若会，说明理由．若不会，请将小马虎的错误指出，并给出你认为正确的解法．22．已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°．（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是；（2）将∠COD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转n°（即∠AOC＝n°），且0＜n＜180．①如果∠COD的一边与∠AOB的一边垂直，则n＝．②当60＜n＜90时（如图2），作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，试求∠MON 的度数．参考答案与试题解析1．如图，∠AOB＞∠AOC，∠AOB＞∠BOC（填＞，＝，＜）；用量角器度量∠BOC ＝30°，∠AOC＝25°，∠AOC＞∠BOC．【分析】根据图形，射线OC在∠AOB的内部，即可判断角之间的大小关系．【解答】解：由图知，射线OC在∠AOB的内部，所以∠AOB＞∠AOC，∠AOB＞∠BOC，用量角器量得∠BOC＝25°，∠AOC＝30°，故∠AOC＞∠BOC．故答案为：＞，＞，25°，30°，＞．2．如图，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝∠AOD﹣∠COD；∠BOC＝∠BOD ﹣∠COD＝∠AOC﹣∠AOB．【分析】根据图形即可求出∠AOC及∠BOC的不同表示形式．【解答】解：根据图形，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝∠AOD﹣∠COD；∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝∠AOC﹣∠AOB．故答案为：∠AOB+∠BOC，∠AOD﹣∠COD，∠BOD﹣∠COD，∠AOC﹣∠AOB．3．如图，O是直线AB上一点，∠BOD＝90°，∠COE＝90°，那么下列各式中错误的是（）A．∠AOC＝∠DOE B．∠COD＝∠BOE C．∠AOD＝∠BOD D．∠BOE＝∠AOC 【分析】由∠BOD＝90°，∠COE＝90°，得∠AOD＝∠BOD＝90°．根据同角的余角相等，得∠COD＝∠BOE，∠AOC＝∠DOE．那么，∠AOC+∠BOE＝90°．进而推断出A、B、C不合题意，D符合题意．【解答】解：A：∵∠BOD＝90°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝90°．∴∠AOC+∠COD＝90°．又∵∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°，∴∠AOC＝∠DOE．故A不合题意．B：∵∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°，∠BOD＝∠BOE+∠DOE＝90°，∴∠COD＝∠BOE．故B不符合题意．C：∵BOD＝90°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝90°．∴∠AOD＝∠BOD．故C不符合题意．D：由B知：∠BOE＝∠COD．∵∠AOD＝∠AOC+∠DOC＝∠AOC+∠BOE＝90°．∴∠BOE与∠AOC不一定相等．故选：D．4．将一副常规三角板拼成如图所示的图形，则∠ABC＝135度．【分析】根据图形得出∠ABD和∠CBD的度数，即可求出∠ABC的度数．【解答】解：∵∠ABD＝90°，∠DBC＝45°，∴∠ABC＝∠ABD+∠BCD＝90°+45°＝135°．故答案为：135．5．如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC＝180度．【分析】先利用∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，可得∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC＝180°，而∠BOD＝∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD＝∠AOB，于是有∠AOB+∠COD＝180°．【解答】解：如右图所示，∵∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，∠BOD＝∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD＝∠AOB，∴∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC＝180°，∴∠AOD+2∠COD+∠BOC＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°．故答案是180．6．OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线，若∠AOB＝90°，∠AOB＝2∠BOC，求∠AOC的度数．【分析】利用角的和差关系计算，注意此题要分两种情况．【解答】解：①如图1所示，OC在∠AOB内部，∵∠AOB＝90°，∠AOB＝2∠BOC，∴∠BOC＝×90°＝45°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°；②如图2所示，OC在∠AOB外部，∵∠AOB＝90°，∠AOB＝2∠BOC，∴∠BOC＝×90°＝45°，又∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∴∠AOC＝90°+45°＝135°．7．如图．∠AOB＝∠COD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．∠1与∠2的大小无法比较【分析】根据∠AOB＝∠COD，再在等式的两边同时减去∠BOD，即可得出答案．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠BOD＝∠COD﹣∠BOD，∴∠1＝∠2；故选：B．8．如图，∠AOB＝∠AOC，∠BOC＝110°，∠AOB＝125°．【分析】本题是角的计算问题，根据周角是360°即可求出∠AOB的度数．【解答】解：设∠AOB＝∠AOC＝x，则2x+110°＝360°，解得x＝125°，∴∠AOB＝125°，故答案为125°．9．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOD+∠COB的度数为180度．【分析】根据角度的关系∠AOD+∠COB＝∠COD+∠AOB，据此即可求解．【解答】解：∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD＝∠COD+∠AOB＝90°+90°＝180°．故答案是：180．10．如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在C'、D'的位置上，EC'交AD于点G，已知∠FEC＝48°，那么∠BEG＝84°．【分析】由折叠的性质可得∠FEG＝∠FEC＝48°，再由点E在BC上，可求得∠BEG 的度数．【解答】解：∵长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠FEC＝48°，∴∠FEG＝∠FEC＝48°，∵点E在BC上，∴∠BEG＝180°﹣∠FEC﹣∠FEG＝180°﹣48°﹣48°＝84°．故答案为：84°．11．钟面上8：30这一时刻，钟面上时针与分针所形成的角度是75°．【分析】根据钟面上圆心角的大小关系进行计算即可．【解答】解：钟面上每相邻两个数字之间所对应的圆心角为360°÷12＝30°，即∠DOC＝∠COB＝30°，而钟面上8：30时，时针指向“8与9中间”，因此∠AOB＝×30°＝15°，所以钟面上8：30这一时刻，钟面上时针与分针所形成的角∠AOD＝30°×2+15°＝75°，故答案为：75°．12．已知∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝90°或150°．【分析】由于点C的位置不确定，所有此题要分类讨论，利用角之间相加减求出∠AOC 的大小．【解答】解：①当点C在射线OB左侧时，∠AOC1＝∠AOB﹣∠BOC1＝120°﹣30°＝90°，②当点C在射线OB右侧时，∠AOC2＝∠AOB+∠BOC2＝120°+30°＝150°．故答案为90°或150°．13．用三角板画15°角，如图所示，使30°角的顶点与45°角的顶点重合，30°角的相邻直角边与45°角的相邻斜边重合，用铅笔沿AB，ED画线，移开三角板，延长DE 与AB交于点A，∠DAB＝15°．【分析】根据角的和差计算即可．【解答】解：用三角板画15°角，如图所示，使30°角的顶点与45°角的顶点重合，∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝45°﹣30°＝15°．故答案为：重合，15°．14．下列说法正确的是（）A．不大于90的角是锐角B．一个钝角减去比它小的钝角，差是锐角C．钝角与锐角的差小于直角D．两个锐角的和是钝角【分析】不大于90°的角还有直角，故A错误，135°的钝角﹣1°的锐角差还是钝角，故C错误，两个较小的锐角和可能还是锐角也可能是直角，故D错误，因为两个钝角都大于90°且小于180°，故B正确．【解答】解：∵不大于90°的角还有直角，故A错误，举例：135°的钝角﹣1°的锐角差还是钝角，故C错误，∵两个较小的锐角和可能还是锐角也可能是直角，故D错误，∵两个钝角都大于90°且小于180°，故B正确，故选：B．15．下列说法错误的是（）A．角的大小与角的边画出部分的长短没有关系B．角的大小与它们的度数大小是一致的C．角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分D．若∠A+∠B＞∠C，那么∠A一定大于∠C【分析】根据角的大小与角的开口大小有关，与角的边的长短无关，角的大小是通过角的度数来体现的，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、角的大小与角的边画出部分的长短没有关系，因为角的大小只与角的开口有关，故本选项正确；B、角的大小与它们的度数大小是一致的，正确；C、角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分，正确；D、∠A+∠B＞∠C，∠A与∠C的大小关系无法确定，故本选项错误．故选：D．16．用一副三角板不能画出（）A．75°角B．135°角C．160°角D．105°角【分析】用三角板画出角，无非是用角度加减法．根据选项一一分析，排除错误答案．【解答】A选项：75°的角，45°+30°＝75°；B选项：135°的角，45°+90°＝135°；C选项：160°的角，无法用三角板中角的度数拼出；D选项：105°的角，45°+60°＝105°．故选：C．17．如果∠1﹣∠2＝∠3，且∠4+∠2＝∠1，那么∠3和∠4间的关系是（）A．∠3＞∠4B．∠3＝∠4C．∠3＜∠4D．不确定【分析】由∠1﹣∠2＝∠3，可把∠1等效替换为∠2与∠3的和，进而求解．【解答】解：∵∠1﹣∠2＝∠3，∴∠1＝∠2+∠3，又∠4+∠2＝∠1，即∠4+∠2＝∠2+∠3，∴∠4＝∠3故选：B．18．在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，那么有（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOB D．∠AOB＞∠AOC 【分析】根据题意画出图，观察图即可得答案．【解答】解：如图：∵C点是∠AOB内部任一点，∴∠AOC与∠BOC的大小无法确定，由图可知∠AOB必大于∠AOC，故选：D．19．如图，把∠AOB绕着O点按逆时针方向旋转一个角度，得∠A′OB′，指出图中所有相等的角，并简要说明理由．【分析】可根据旋转前后，图形的大小形状不变，旋转角相等的性质，寻找相等角．【解答】解：①∠AOB＝∠A′OB′．因∠A′OB′是由∠AOB旋转得到的．②∠AOA′＝∠BOB′．∵∠AOB＝∠A′OB′，∴∠AOB﹣∠A′OB＝∠A′OB′﹣∠A′OB，∴∠AOA′＝∠BOB′．20．如图：∠AOB是哪几个角的和？∠DOC是哪几个角的和？若∠AOB＝∠COD，则还有哪两个角相等？【分析】本题是角的计算问题，利用角的加法定义即可．【解答】解：由图可知，∠AOB＝∠AOD+∠DOB，∠DOC＝∠DOB+∠BOC，∵∠AOB＝∠COD，∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD，∠COB＝∠COD﹣∠BOD，∴∠AOD＝∠COB．21．下面是小马虎解的一道题题目：在同一平面上，若∠BOA＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数．解：根据题意可画出图∵∠AOC＝∠BOA﹣∠BOC＝70°﹣15°＝55°∴∠AOC＝55°若你是老师，会判小马虎满分吗？若会，说明理由．若不会，请将小马虎的错误指出，并给出你认为正确的解法．【分析】在同一平面内，若∠BOA与∠BOC可能存在两种情况，即当OC在∠AOB的内部或OC在∠AOB的外部．【解答】解：如图，当OC在∠AOB的内部时，∠AOC＝∠BOA﹣∠BOC＝55°，当OC在∠AOB的外部时，∠AOC＝∠BOA+∠BOC＝85°，故∠AOC的度数是55°或85°．22．已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°．（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是60°；（2）将∠COD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转n°（即∠AOC＝n°），且0＜n＜180．①如果∠COD的一边与∠AOB的一边垂直，则n＝60、90、150．②当60＜n＜90时（如图2），作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，试求∠MON的度数．【分析】（1）根据∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝90°，而∠AOD＝∠COD＝30°，代入即可求出结论；（2）①在旋转的过程中，能够发现∠COD的一边与∠AOB的一边垂直共有三种情况，分别求出每种情况下旋转的度数即可；②根据角与角之间的关系，将直接求∠MON得度数转换成求∠AOM，∠DON的度数，再依照角的关系即可求得结论．【解答】解：（1）∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣30°＝60°．故答案为：60°．（2）①∵0＜n＜180，∴分三种情况．a：点D在射线0B上，∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣30°＝60°；b：点C在射线OB上，∠AOC＝∠AOB＝90°；c：点D在AO的延长线上，∠AOC＝180°﹣∠COD＝180°﹣30°＝150°．综上得n为60、90、150．故答案为：60、90、150．②∵∠AOC＝n°，OM平分∠AOC，∴∠AOM＝n°，∠AOD＝∠AOC+∠COD＝n°+30°，∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝n°+30°﹣90°＝n°﹣60°，∵ON平分∠BOD，∴∠DON＝∠BOD＝×（n°﹣60°）＝n°﹣30°，∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON＝n°+30°﹣n°﹣（n°﹣30°）＝60°。
6.3.2角的比较与运算 课件-人教版数学七年级上册
解：因为∠DOE=∠
COD－ ∠
BOC，
所以∠DOE=90 ° － (180 °－∠ AOC)=
90 ° －90°＋
∠
AOC=
∠
AOC=
α
．
综合应用创新
解决问题：(3)如图6.3－19 ②，O 是直线AB 上的一点，
∠ COD 是直角，OE 平分∠ BOC，探究∠ AOC 和∠
出合适未知数，列方程求解.
综合应用创新
解：设∠AOD=5x°，
则∠BOD=7x°，∠AOB= ∠AOD＋∠ BOD=12x°.
因为∠ AOC ∶ ∠ BOC=1∶3，
所以∠ AOC=3x °，∠ BOC=9x°.
又因为∠COD= ∠AOD－ ∠ AOC=15°，
所以15=5x－3x.解得x= ，所以∠ AOB=12x°=90°．
发生改变．理由如下：
1
1
1
易得∠MON＝∠MOC－∠NOC＝ 2∠BOC－2∠AOC＝ 2
1
(∠BOC－∠AOC)＝2∠AOB.因为∠AOB 是直角，度数不
1
改变，所以∠MON＝2∠AOB＝45°，不发生改变．
∠ AOC 的度数.
错解：∠AOC= ∠AOB＋∠BOC=
70°＋40°=11 0°.
综合应用创新
正解：分两种情况进行讨论：
(1)当∠ BOC 在∠ AOB 的外部时， 如图6.3－20 ①，
∠ AOC= ∠ AOB＋ ∠ BOC=70°＋ 40°=110°；
(2)当∠ BOC 在∠ AOB 的内部时， 如图6.3－20 ②，
角的比较与运算(新人教版)课件
将一个角按照一定的比例进行缩小或扩大，形成一个新的角，这个新的角就是原 来角的比例。
03
特殊角
直角
总结词
直角是角度的一种，度数为90度。
详细描述
在几何学中，直角是一种常见的角度，其度数为90度。直角是两条线段垂直相交形成的角，具有特殊的性质和运 算规则。
平角
总结词 详细描述
钝角
总结词
角度决定几何形状
角度在几何图形中起着至关重要的作用， 不同的角度可以形成不同的几何形状。 例如，两条射线组成的角可以形成平面 几何图形，如三角形、四边形等。
VS
角度与面积的关系
在某些几何图形中，角度的大小与面积的 大小有关。例如，在扇形中，角度越大， 面积越大。
角在日常生活中的应用测量角度 Nhomakorabea导航
角在数学解题中的应用
角的比较与运算(新人教 版)课件
contents
目录
• 角的比较 • 角的运算 • 特殊角 • 角的和差公式 • 角的应用
01
角的比 较
比较大小
直角
等于90度的角。
平角
等于180度的角。
锐角
小于90度的角。
钝角
大于90度但小于 180度的角。
周角
等于360度的角。
角的度量单位
度（°） 分和秒
角的大小比较方法
01
02
03
使用量角器测量
使用叠合法比较
使用三角函数比较
02
角的运算
角的加法
角的加法定 义
角的加法性 质
角的减法
角的减法定 义
角的减法性 质
两个角相减，其度数之差等于两个角 对应边相减后，再除以边的数量所得 的商。
2024--2025学年人教版七年级数学上册+6.3.2++角的比较与运算++第一课时+课件
（2）100° − 36°18′52"=
A B
C D
3.用一副三角尺(两块)画角,不可能画出的角的度数是 ( B )
A.75°
B.85°
C.135°
D.105°
4.在同一平面内,若∠BOA=60.3°,∠BOC=20°30',则∠AOC的度数是
( C)
A.80.6°
B.40°
C.80.8°或39.8°
D.80.6°或40°
5.如图，如图，∠AOC和∠BOD都是直角.若∠DOC
＝28°，说出∠AOB的度数.
A DC
O
B
课堂小结
角的比较与运算
角的比较
度量法 叠合法
角的和差关系
角的运算
角的计算
加与减
课后作业 完成课后练习题.
感谢观看
复习回顾线段的比较方法
从“数”出发，
.
从“形”出发，
利用线段移动叠
通过度量长度进 行数值大小比较
叠合法
合的方法
度量法
AA （AB > AC）
A A （AB = AC）
C
B
A
B
5 cm
C 3 cm D
AB > CD
B (C)
AA
B （AB < AC）
C
新知探究
请同学们任意画出两个角或任意剪出两个角比较一下，并讨论你们的比较方法.
6.3.2 角的比较与运算
第一课时
学习目标
1、运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角的大 小关系的认识。 2、能从数与形两个角度理解角的和与差，会计算角的和与差。 3、会借助三角尺拼出不同度数的角，提高学生的动手能力。
人教版七年级数学上册《角的计算》课件
4．3.2 角的比较与运算(2课时)
第2课时 角的计算
会进行度、分、秒间的单位互化及角的和、差、倍、分 计算．
重点 角的度分秒之间的换算与计算． 难点 借助几何图形进行角的计算．
一、创设情境，导入新课 练习：比较大小． 1．36.5°与36°28′. 2．0.15°与15′. 3．用度分秒表示30.24°. 学生独立完成，然后同学间交流．
解答略，教师应当关注第2个题，一是问题的分析， 二是解答过程的叙述，不必强求过程叙述的完美，但 至少要让学生叙述清楚．
四、小结与作业 小结：谈谈本节课你的收获． 作业：习题4.3第3，5，10，11题．
在本节课教学中，始终坚持以学生为主体，教师为主导， 致力启发学生已掌握的知识，充分调动学生的学习兴趣和 积极性，使他们最大限度地参与到课堂中，使每个学生都 学有所得，真正实现“人人学有价值的数学，人人都能获得 必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，人人都 得到良好的数学”教育的最终目标．
谢谢观赏
You made my d 教师注意规范的书写过程． 点评：观察图形，发现各角之间的关系是解决问题的关 键． 教师出示例2 把一个周角7等分，每一份是多少度的角(精确到分)? 解：略． 点评：教师要注意方法过程，要详细地把计算过程讲解给 学生，学生刚开始对60进制不太熟练，所以要注意放慢速 度．
三、综合运用 练习：教材练习第2，3题． 补充例题(教师投影展示) 1．如果一个角是另一个角的3倍，且这两个角的和是 90°，求这两个角的度数． 2．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平 分∠BOC，求∠DOE的度数．
二、探索新知 教师出示教材例1. 例 1 ： 如 图 ， O 是 直 线 上 AB 一 点 ， ∠AOC ＝ 53°17′ ， 求 ∠BOC的度数．
3.62 角的比较和运算 华东师大版(2024)数学七年级上册课件
B
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相 等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
∠AOC=∠BOC= 1∠AOB
2
A C
O
B
随堂练习
1. 在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在( A )
A．∠AOB＞∠AOC
B．∠AOC＞∠BOA
C．∠BOC＞∠AOC
D．∠AOC＞∠BOC
2. 比较15.30°，15°30′，15.03°的大小，正确的是（ B ） A.15.30°＞15°30′＞15.03° B.15°30′＞15.30°＞15.03° C.15.30°＞15.03°＞1
从而想到，如果两个角中，所作圆弧与角两边的交点之间的线段相
等，那么这两个角就应该相等.
知识点2 尺规作角
试一试
如图，∠AOB为已知角，试按下列步骤用圆规和直尺准确 地画一个角等于∠AOB.
B
O
A
B D
B′ D′
O
CA
O′
C′
A′
第一步：画射线O′A′； 第二步：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于 点C，交OB于点D； 第三步：以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； 第四步：以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前一条弧于点D′； 第五步：过点D′画射线O′B′； ∠A′O′B′就是所要画的角.
理由：因为∠AOC=40°,所以∠BOC=180°-∠AOC=140°.
因为∠DOE=90°，
所以∠COE=∠DOE-∠COD=90°-20°=70°，
所以∠COE=
1 2
∠BOC，即OE平分∠BOC.
课堂小结
角 的 比 较 和 运 算
和差问题练习题
和差问题练习题和差问题练习题数学是一门需要不断练习和思考的学科，而和差问题是数学中一个常见且重要的概念。
通过解决和差问题，我们可以培养我们的逻辑思维能力，提高我们的数学运算能力。
本文将给出一些和差问题的练习题，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1. 小明有5个苹果，小红有3个苹果，他们一共有多少个苹果？解答：小明有5个苹果，小红有3个苹果，所以他们一共有5 + 3 = 8个苹果。
2. 有一个长方形，它的长是12厘米，宽是5厘米，它的周长是多少？解答：长方形的周长等于长加宽的两倍，所以周长等于（12 + 5）× 2 = 34厘米。
3. 小明的身高是150厘米，比小红高10厘米，小红的身高是多少？解答：小明的身高是150厘米，比小红高10厘米，所以小红的身高是150 - 10 = 140厘米。
4. 有一个正方形，它的边长是x，它的面积是25平方厘米，x的值是多少？解答：正方形的面积等于边长的平方，所以x² = 25。
开平方得到x = 5。
5. 甲乙两个数的和是30，甲比乙大10，甲和乙的差是多少？解答：甲乙两个数的和是30，甲比乙大10，所以甲的值是（30 + 10）/ 2 = 20，乙的值是30 - 20 = 10。
甲和乙的差是20 - 10 = 10。
通过以上的练习题，我们可以看到和差问题的本质是通过加法和减法来计算数值之间的关系。
通过这些简单的练习题，我们可以培养我们的逻辑思维能力，提高我们的数学运算能力。
除了以上的练习题，我们还可以进行更复杂的和差问题的探索。
例如：6. 有一个三角形，它的两个角的和是90度，一个角比另一个角大30度，这两个角分别是多少度？解答：设这两个角分别为x和x + 30。
根据题意，x + (x + 30) = 90。
解方程得到2x + 30 = 90，化简得到2x = 60，所以x = 30。
所以这两个角分别是30度和60度。
通过这个问题，我们可以看到和差问题不仅仅限于加法和减法，还可以涉及到其他的数学运算，如方程的解法。
角的运算
角的运算（1）一：课前准备1、1°= ′1′= ”2、70′= °′82”= ′”23′88″= ′”134°12′30”=134°11′”134°12′30”=133°′30 ”3、3°＋8°= °11°－4°= °58”－23 ”= ”28”＋54 ”= ”=′”88”－54 ”= ”4、仔细观察下列各式，并回答下面的问题：①24＇28”＋24”= ②103°24′＋30°10′=解: 24＇28”解: 1 03°24′＋ 24”＋30°10′( )＇( )″( )°( )′③24＇28”-24”= ④103°24′-30°10′=解: 24＇28”解: 1 03°24′- 24” - 30°10′( )＇( )″( )°( )′⑤24＇28”＋54”= ⑥ 23＇88”－54”=解： 24＇28”解： 23＇88”＋ 54”－ 54”（）＇（）”（）＇（）”⑦103°24′＋30°10′20”= ⑧思考：如何计算103°24′－30°20”呢？解：103°24′＋30°10′20”( )°（）′( )”6、总结：我们在计算角的和、差运算时应该注意些什么问题呢？（1）下面的计算对吗？列竖式的时候应该注意些什么？103°24′＋30°10′20”133° 10 ′44 ”（2）你认为下面的计算有什么不妥的地方吗？在计算角的和时应该些什么呢？24＇28”＋ 54”24＇82”（3）仔细观察下面的算式，回答：在计算两个角的差时应该注意什么呢？42＇32” －16”=？ 24＇28” － 54”=？42＇32” 解：24＇28”=23＇88”－ 16” 23＇ 88”42＇16” － 54”23＇ 34”二、一起探究独立完成以下问题：计算：（注意书写格式）103°24′28”+30°54” 103°24′28”-30°54”三、课上练习A 组1.（列竖式计算）（1） 98°45′+2°35′ （2）108°18′-52°28′B 已知∠AOC=23°24′，∠COB=30°36′,求∠AOB 的度数解：∠AOB=∠ +∠= += ° ′= °3.如左图：已知∠AOC=134°12′30” ， ∠BOA=25°50′34”，求∠COB 的度数。
七年级上册数学冀教版【课堂练】2.7 角的和与差
探究新知
在图（1）中，∠AOB=90°；在图⑵中，∠DSE=180°． 写出互为余角、互为补角的角。
解:∠AOC与∠BOC互为余角,∠DSF与∠ESF互为补角.
探究新知
一起探究 1．如果∠1和∠2都是∠α的余角，那么∠1和∠2相等吗? 试着说说理由． 2．如果∠3和∠4都是∠β的补角，那么∠3和∠4相等吗? 试着说说理由． 性质：
探究新知
2.如图： 已知OP是∠AOC 的平分线 ， OQ是 ∠COB的平分线。 （1）已知∠POC=21 °，求∠AOC的度数。 （2）已知∠BOC=40 °，求∠COQ的度数。 （3）∠AOB=82 ° 请指明∠POQ的度数，并说明理由
究新知
解:(1)因为OP是∠AOC的平分线,∠POC=21°, 所以∠AOC=2∠POC=42°. (2)OQ是∠COB的平分线,∠BOC=40°, 所以∠COQ=12∠COB=12×40°=20°.
∠3+∠4=124°15′+55°45′=180°
探究新知
如果两个角的和等于90 °，那么就说这两个角互为余角， 简称互余．其中一个角叫做另一个角的余角．
如果两个角的和等于180 °，那么就说这两个角互为补角， 简称互补．其中一个角叫做另一个角的补角．
探究新知
数学语言： ∵∠α+∠β=90° ∴∠α与∠β互为余角 ∵∠α+∠β=180° ∴∠α与∠β互为补角
巩固练习
2.如图，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交 于点E，F，∠1＋∠2＝180°. 找出图中与∠2相等的角， 并说明理由.
巩固练习
解：因为∠1＋∠3＝180°， ∠1＋∠2＝180°，所以∠3＝∠2. 因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠4＝∠2. 因为∠2＋∠5＝180°，∠6＋∠5＝180°， 所以∠2＝∠6. 所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.
《角的和差》 讲义
《角的和差》讲义一、角的概念在几何学中，角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。
这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。
角通常用三个大写英文字母表示，例如∠AOB，其中 O 为顶点，A 和 B 分别为角的两条边。
也可以用一个大写英文字母表示，但这个字母必须是顶点处的字母，且顶点处只有一个角，比如∠O。
当角的顶点处有多个角时，我们还可以用数字或者一个小写希腊字母来表示角，比如∠1 或者∠α。
角的度量单位是度、分、秒。
1 度＝ 60 分，1 分＝ 60 秒。
二、角的比较比较角的大小有两种方法：1、度量法使用量角器测量出角的度数，度数大的角则大。
2、叠合法将两个角的顶点及一条边重合，另一条边在重合边的同侧，通过观察另一条边的位置来比较角的大小。
三、角的和差1、角的和如果有两个角∠A 和∠B，它们的和可以表示为∠A ＋∠B。
例如，∠A ＝ 30°，∠B ＝ 40°，则∠A ＋∠B ＝ 70°。
2、角的差角∠A 减去角∠B 可以表示为∠A ∠B。
例如，∠A ＝ 60°，∠B ＝ 20°，则∠A ∠B ＝ 40°。
我们可以通过作图来直观地理解角的和差。
（1）作角的和先画出∠A，然后以∠A 的一条边为边，在∠A 的外部画出∠B，此时所形成的角就是∠A ＋∠B。
（2）作角的差先画出∠A，然后以∠A 的一条边为边，在∠A 的内部画出∠B，此时∠A 中剩下的部分就是∠A ∠B。
四、角平分线从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
例如，若 OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC ＝∠BOC ＝1/2∠AOB。
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
反之，到角两边距离相等的点在角的平分线上。
五、例题讲解例 1：已知∠AOB ＝ 70°，∠BOC ＝ 30°，求∠AOC 的度数。
2.7 角的和与差
定义：从一个角的顶点把这个角分成两个相等的角的 射线，叫做这个角的平分线。
练习：已知射线OC是∠AOB的角平分线， 你能写出图中各角的关系吗？
Ａ
Ｃ
Ｏ
Ｂ
类似地：还有角的三等分线
如图 D
C
B
32 ⌒
1
O
A
OB、OC是∠AOD的三等分线
D
C B
O
A
对点突破1 角的和、差
【例1】已知∠AOB＝67°41′35″，∠AOC＝ 48°39′40″，求∠BOC得度数。
④角度的乘法是度、分、秒分别相乘，再把所得的 结果满60向上一级进位.
针对训练
1、计算： （1）90°－36°12′15″ （2）32°17′53″＋42°42′7″ （3）53°÷8
对点突破2 角平分线的概念和应用
【例2】如图，直线AB，CD相交于点O，且 ∠BOC＝80°，OE平分∠BOC，OF为OE的 反向延长线。求∠2和∠3的度数，并说明OF 是否为∠AOD的平分线。
针对训练
2、如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE 的平分线.
（1）如果∠AOB＝50°，∠DOE＝35°， 那么∠BOD是多少度？ （2）如果∠AOE＝160°，∠COD＝40°， 那么∠AOB是多少度？
通过这堂课的学习，你有什么收获？
1、角的和、差、倍、分关系 2、角平分线
同类练习1：
解题技巧
❖ （1）在进行角的和、差运算时，一定要结合图形 ，只有先弄清角之间的位置关系，才能正确求解.
❖ （2）①角度的相减，把度、分、秒分别相减，当 不够减时，借1°当作60′或借1′当作60″，并入原数 相减；
②角度的相加，也要把度、分、秒分别相加，注意 满60要进位； ③角度的除法，先从度开始，余数由度化成分来除 ，重复上一步骤将除后余下的分化成秒来除；
2角的和与差
学习目标
1．结合具体图形，明白两个角的和与差的意义，并会进行两个角的和差运 算． 2．知道角平分线的概念，通过折纸活动进一步明白角平分线的意义． 3．体会简单推理．
同学们，我们已经学习了角的有关知识．请问：你们能用手中三角板画 出30°、45°、60°、90°的角吗？用三角板怎样做出15°、75°、150 °的角呢？ 请同学们动手试一试． 你能拼出大于180 °且小于360 °的角吗？（如210 ° ，270 ° ，195 ° ）
∴ ∠AOC=∠BOC．
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个
相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
温馨提示：角的
平分线是射线．
当∠1 =∠2 时，射线OC把∠AOB分成两个相等的角，这时OC
叫做∠AOB的平分线，也可以说OC平分∠AOB．
几何语言： ∵OC是∠AOB的平分线， ∴ ∠AOC=∠BOC， ∠AOC=∠BOC= 1 ∠AOB，
2.角平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相 等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
几何语言： ∵OC是∠AOB的平分线， ∴ ∠AOC=∠BOC， ∠AOC=∠BOC= 1 ∠AOB，
2
∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．
教材第84页A组1题． 完成配套课后练习．
P A
4．如图，∠AOB=120°，∠BOD=90°，OC平分∠BOD，求∠AOC的度数．
解：因为∠BOD=90°，OC平分∠BOD， 所以∠BOC=∠DOC=45°， 又因为∠AOB=120°， 所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-45°=75°．
1.两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角．它的度数等 于这两个角的度数的和（或差）.
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角的和差运算习题课 一、教学目标：
（1） 熟练进行角的和差运算；
（2） 进一步理解角平分线的意义，并运用到解题过程中； （3） 深入理解两角互余互补的意义 （4） 利用“同角（等角）的余角相等”，“同角（等角）的补角相等”进行角的计算 二、重点、难点：
（1） 重点：角平分线及角的和差运算的综合运用。
（2） 难点：步骤的书写。
三、知识回顾
1、 角的定义： 。
2、 角的和差运算
3、 计算① 40°40′+15°15′= ② 56°18′28″+20°49′39″=
③ 9°14″-57°21′49 ″= ④180°-16°57′-160°57′= 4、 角的比较①角的比较方法 、 、 。
②已知∠A=25°12′，∠B=25.12°，∠C=25.2°则∠A 、∠B 、∠C 的大小关系是（ ）
A ．∠A=∠
B ﹤∠
C B. ∠A=∠C ＞∠B C. ∠A ＞∠C ＞∠B D. ∠B ＞∠A ＞∠C
4、角的平分线的定义： 。
四、教学过程
例 1、若一个角的余角是它补角的
31
，求这个角。
例2、已知∠AOB=90°，过O 点任意作三条射线OM ，ON ，OP ，使得ON 平分∠BOM ，OP 平分∠AOM 。
（1） 试探究∠PON 的度数；
（2） 从（1）中你能得到什么规律？
例 3、时钟在下午4点到5点之间，什么时候分针和时针 （1）重合？
（2）成一条直线？ （3）成45°角？
五、 对应训练
1、如果两个角的和是86°10′，它们的差是12°，那么这两个角分别等于（ ）
A ．49°，37°10′ B.49°, 37° C.49°5′, 37°5 ′ D.37°10′, 49°10′ 2、∠1，∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ ）。
A.
21(∠1+∠2) B. 21∠1 C. 21(∠1-∠2) D. 2
1
∠2 3、已知∠AOC=2∠BOC ，若∠BOC=30°，则∠AOB 等于（ ）。
A ．90° B.30° C.90°或30° D.120°或30°
4、如果∠1和∠2互补，且∠1＞∠2，则下列表示∠2的余角的式子中：① 90°-∠2；② ∠1-90°； ③
21（∠1+∠2）； ④ 2
1（∠1-∠2）。
正确的个数有（ ） A 4个 B 3个 C 2个 D 1个
5、9点40分时，时针和分针的夹角是 度。
6、已知射线OA ，由O 引射线OB ，OC ，∠AOB=72°，∠BOC=36°， 则∠AOC 的度数是 度。
7、一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EM 、F?M 为折痕，折叠后的C 点 落在B ′M 或B ′M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是 。
8、一个角的余角与这个角的补角的和比平角的
4
3
多1°，求这个角。
9、如图，OP 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠BOP 内，OD 是∠BOC 的平分线， 已知∠AOC=80°求∠POD 的度数。
10、（1）时针由3点整的位置（顺时针）转多少度时，时针与分针第一次重合？
(2) 第一次重合时是什么时刻？
（3）时针再转动多少度时，与分针第二次重合？。