第二节倒点阵和X射线衍射条件
X射线衍射原理
2
I m q c 2 o d I c s q c 2 o d G s 2 F H 2m K 2 e c 4 4 R L 2 ( 1 c 2 2 2 o ) I 0 s
影响衍射强度的其它因素
• 多重性因子--PHKL 晶体中晶面间距相等的晶面(组)称为等同晶面(组)．晶体中 各面的等同晶面(组)的数目称为各自的多重性因子。
•例如的一组晶面间距从大到小的顺序：2.02Å，1.43Å，1.17Å，1.01 Å，
0.90 Å，0.83 Å，0.76 Å……当用波长为λkα=1.94Å的铁靶照射时，因
λkα/2=0.97Å，只有四个d大于它，故产生衍射的晶面组有四个。如用铜
靶进行照射， 因λkα/2=0.77Å， 故前六个晶面组都能产生衍射。
3、面心点阵
单胞中有四种位置的原子，它们的坐标分别是（0，0，0）、 （0,1/2,1/2）、 （1/2,0,1/2)、（1/2,1/2,0）
FHK2L[f1co2s(0)f2co2s(K 2L 2)f3co2s(H 2K 2)f4co2s (H 2L 2)2][fssi2n(0)f2si2n(K 2L 2)f3si2n(H 2K 2)f4si2n (HL)2]f2[1cos(KL)cos(HK)cos(HL)2]
1
d HKL
S
S0
N
由倒易矢量性质可知，（HKL）晶面对 应的倒易矢量r*HKL//N且 r*HKL=1/dHKL，引入r*HKL，则上式可
写为
SS0
rHaKbLc
衍射矢量方程
厄瓦尔德图解
• 以球的1 为倒半易径点作对球应，的得晶到面厄组瓦均尔可德参球与。衍所射有。落在厄瓦尔德
hkl
S/
x射线衍射
❖ 当Bragg条件满足时， 图中的散射线就变为衍 射线，入射线，法线和 衍射线处于同一个平面 上。入射角与衍射角相 等，都为θ。入射线与 衍射线之间的夹角为 2θ。
X射线衍射的强度
产生衍射线或衍射强度的条件： 1.满足Bragg条件。相互干涉而发生衍
射现象。 2.衍射强度不为0。
椭圆 抛物线 双曲线 直线
α≦450 450 ﹤ α﹤ 900
α = 900
不相交 双曲线 直线
物相分析的主要任务
❖ 鉴定待测物由哪些物相组成（定性分析） ❖ 各组成的含量是多少（定量分析）
物相分析的主要依据参数
各个衍射面族的面间距d 衍射线的相对强度I/I0
基本原理
❖ 每一种晶体物质都有各自的晶体结构，当x射线穿 过晶体时，每一种晶体物质都有自己独特的衍射花 纹。
❖ 该种点阵其结构因数与HKL无关，即HKL为任意整数 时均能产生衍射，例如（100）、（110）、 （111）、（200）、（210）…。能够出现的衍射
面指数平方和之比是
(H12
K12
L12 ) :
(
H
2 2
K
2 2
L22 )
:
(
H
2 3
K
2 3
L23 )
12 : (12 12 ) : (12 12 12 ) : 22 : (22 12 ) 1: 2 : 3 : 4 : 5
强度决定因素：晶胞内原子的位置和 3.X射线衍射强度是被照射区所有物质原子核 外电子散射波在衍射方向的干涉加强.是一种 集合效应.
❖ 4. 2.X射线衍射强度反应的是晶体原子位置 与种类.
多晶材料的x射线衍射强度的计算公式
❖ 对于多晶试样中任意一组晶面的衍射强度为（单位 长度衍射线的积分强度）：
x射线衍射工作原理
x射线衍射工作原理X射线衍射是一种广泛应用于材料结构分析和晶体学研究的技术。
其工作原理基于X射线穿过晶体后的散射现象。
X射线通过晶体时，会与晶体内的原子发生作用，导致X射线的散射方向和强度发生改变。
通过测量和分析散射X射线的特性，我们可以得到关于晶体的结构信息。
X射线衍射的工作原理可以用布拉格定律来解释。
根据布拉格定律，当入射X射线的波长和晶体的晶格常数满足特定条件时，散射的X射线波面会叠加形成衍射图样。
这些衍射图样呈现出明亮的衍射斑点，每个斑点对应着晶体中特定的晶面。
为了进行X射线衍射实验，首先需要一台X射线发生器。
X射线发生器会产生高能的X射线束，该束通过使用称为X射线管的装置产生。
X射线管由阴极和阳极组成，当阴极发射电子时，经过加速和碰撞作用，产生X射线。
产生的X射线束通过调节的光学元件来聚焦，并进一步通过样品。
样品是一个晶体，在X射线束的作用下，产生散射。
散射的X射线被称为衍射光，其角度和强度可以通过衍射图样来确定。
接下来，衍射光会被收集并聚焦到一个光学探测器上，比如一个镜子或一个光电二极管。
探测器会记录下衍射光的特性，并通过电信号转换为可见的图像或者其他数据。
最后，通过分析衍射图样和探测器记录的数据，我们可以推断出晶体的结构信息，比如晶胞参数、晶面排列等。
这些结构信息对于研究材料性质和开发新材料具有重要意义。
总之，X射线衍射通过测量和分析散射的X射线来研究晶体结构。
它的工作原理基于X射线的穿透和散射现象，通过衍射图样和探测器记录的数据可以获得晶体的结构信息。
这种技术在材料科学和晶体学研究中发挥着重要作用。
x射线衍射原理
X射线在晶体中的衍射现象，实质上是大量的原子散射 波互相干涉的结果。每种晶体所产生的衍射花样都反映出 晶体内部的原子分布规律。
衍射花样的特征可以认为由两个方面内容组成：一方面 是衍射线在空间的分布规律（称之为衍射几何），由晶胞 的大小、形状和位向决定；另一方面是衍射线束的强度， 取决于原子的品种和它们在晶胞中的位置。
2OA (ss0)
考虑干涉加强方向，衍射矢量方程代入上式，有 2 O r H *A K 2 ( x j a L y j b z j c ) ( H * K * a L * b ) c
2 (Hj xKj y Lj)z
－ X射线衍射原理 第二节 X射线衍射强度
1、晶胞散射波合成与结构因子
－ X射线衍射原理 第二节 X射线衍射强度
1、小单晶散射波合成与干涉函数
小晶体合成散射波振幅为：
N 1 1 N 2 1 N 3 1
T A ce A le l F HK e i( k m L n a p b ) c A e F HK e im k La e in kb e i p kc
I e I e x I e z I 2 0 R 2 m e 4 2 c 4 s 2 i z n I 2 0 R 2 m e 4 2 c 4 s 2 i x n I 0 R 2 m e 4 2 c 4 ( 1 c 2 2 2 o ) s
这里，z＝90 º- 2； x=90 º。由此可知，电子散射在各个方向 的强度不同，非偏振X光被偏振化了，故称(1+cos22)/2为偏振因子。
－ X射线衍射原理 第二节 X射线衍射强度
二、原子散射强度
一个原子对X射线的散射是原子中各电子散射波总的叠加
（1）理想情形：一个原子中Z个电子集中在一点，则原子散射振幅Ea： Ea=Z字母，从而原子散射强度Ia：Ia=Z2Ie
第二章++X射线衍射和倒格子
第⼆章++X射线衍射和倒格⼦第⼆章 X 射线衍射和倒格⼦⼤多数探测晶体中原⼦结构的⽅法都是以辐射的散射概念为基础的。
早在1895年伦琴发现X 射线不久，劳厄在1912年就意识到X 射线的波长量级与晶体中原⼦的间距相同，⼤约是0.1nm 量级，晶体必然可以成为X 射线的衍射光栅。
随后布拉格⽤X 射线衍射证明了NaCl 等晶体具有⾯⼼⽴⽅结构，从⽽奠定了⽤X 射线衍射测定晶体中的原⼦周期性长程有序结构的地位。
随着科学技术的不断发展，电⼦、中⼦衍射有为⼈类认识晶体提供了有效的探测⽅法。
但到⽬前为⽌，X 射线衍射仍然是确定晶体结构、甚⾄是只具有短程有序的⽆定形材料结构的重要⼯具。
本章以X 射线衍射为例介绍晶体的衍射理论，引⼊倒格⼦的概念，在此基础上介绍原⼦形状因⼦和⼏何结构因⼦，并介绍⼏种确定晶格结构的实验⽅法。
§2.1 晶体衍射理论⼀、布拉格定律（Bragg ’s Law ）X 射线是⼀种可以⽤来探测晶体结构的辐射，其波长可以⽤下式来估算012.4()()hcE h A E KeV νλλ==?= （2.1.1）能量为2~10KeV 的X 射线适⽤于晶体结构的研究。
在固体中，X 射线与原⼦的电⼦壳层相互作⽤，电⼦吸收并重新发射X 射线，重新发射的X 射线可以探测得到，⽽原⼦核的质量相对较⼤，对这个过程没有响应。
X 射线的反射率⼤约是10-3~10-5量级，在固体中穿透⽐较深，所以X 射线可以作为固体探针。
1912年劳厄（/doc/eb1ccaba1a37f111f1855b71.html ul ）等发现了X 射线通过晶体的衍射现象之后，布拉格（W.L.Bragg ）⽗⼦测定了NaCl 、KCl 的晶体结构，⾸次给出了晶体中原⼦规则排列的实验数据，发现了晶态固体反射X 射线特征图像，推导出了⽤X 射线与晶体结构关系的第⼀个公式，著名的布拉格定律（Bragg ’s Law ）。
布拉格对于来⾃晶体的衍射提出了⼀个简单的解释。
x射线衍射技术课
X射线衍射技术课程大纲一、课程简介X射线衍射技术是一门应用物理学和技术学科的交叉课程，旨在介绍X射线衍射的基本原理、实验技术和应用领域。
本课程主要面向物理学、材料科学、化学、生物医学等领域的研究生和高年级本科生。
二、课程目标通过本课程的学习，学生应该能够：1. 掌握X射线衍射的基本原理和数学模型；2. 了解X射线衍射技术的实验方法和设备；3. 掌握X射线衍射技术在材料科学、化学、生物医学等领域的应用；4. 能够独立设计和实施简单的X射线衍射实验。
三、教学内容1. X射线衍射基本原理：介绍X射线的产生、性质、波长和强度衰减等基本概念，以及布拉格方程（d/λ=n入/2d）用于描述衍射角度和晶面间距的关系。
2. 晶体学基础：介绍晶体的对称性、晶胞和点阵结构等基本概念，以及空间群表示和倒易空间等重要概念。
3. X射线衍射实验技术：介绍X射线源、探测器、样品制备、实验条件优化等实验技术要点，以及如何使用X射线衍射仪进行样品分析。
4. 应用领域：介绍X射线衍射技术在材料科学、化学、生物医学等领域的应用，如晶体结构解析、物相分析、应力测量、纳米尺寸测量等。
5. 实验设计和数据分析：教授学生如何根据研究目的设计简单的X射线衍射实验，并学会使用数据分析软件处理实验数据。
四、教学方法与手段本课程将采用理论讲授与实验实践相结合的教学方法，通过PPT、视频、案例分析等多种教学手段，帮助学生更好地理解和掌握课程内容。
五、课程评估课程评估包括平时作业、实验报告和期末考试三个部分。
平时作业应围绕课堂讲解的内容进行思考和讨论，实验报告需根据实际操作和数据分析撰写，期末考试则以笔试形式进行，全面考察学生对X射线衍射技术的掌握情况。
六、参考资料1. 《X射线衍射技术》教材；2. 相关学术期刊论文；3. 实验设备使用手册；4. 网络资源（如学术论坛、专业网站）上的相关资料。
七、课程结语最后，希望同学们通过本课程的学习，能够更加深入地了解X射线衍射技术的原理和应用，并在未来的学习和工作中能够熟练运用这一工具。
第二章射线衍射原理
⑴干涉晶面和干涉指数
2dhklsinθ=nλ ↓
2（dhkl /n）sinθ=λ ↓ 令dHKL=dhkl /n
2dHKLsinθ=λ
（hkl）面的n级反射可以看成 是（HKL）面的一级反射， 对布拉格方程进行了简化。 （HKL）称为干涉晶面，H、 K、L称为干涉指数，其中：
H=nh, K=nk,L=nl 。
劳厄方程
1.一维劳厄 方程 —— 单一原子列衍射方向
a•(S S 0)H
a（cosβ1-cosα1）=H λ
S—衍射线单位方向矢量
S0—入射线线单位方向矢量
劳厄方程
当X射线照射到一列原子上时，各原子散射线之间相
干加强成衍射波，此时在空间形成一系列衍射圆锥。
劳厄方程
a 2、•(二S 维S 劳0)厄 方H 程→—a—（单co一sβ原1-c子os面α 1衍）射=H方λ向
⑵周转晶体法
——用单色X射线照射转动的单晶体的衍射方法。其衍 射原理如图示。单晶体转动相当于其对应倒易点阵绕 与入射线垂直轴线转动，使得原来与反射球不相交的 倒易点在转动过程中与反射球有一次或两次相交机会， 从而产生衍射。
周转晶体法
实验中，底片卷成圆筒状接受衍射线，衍射 花样为一系列斑点，其实质为衍射线与底片 的交点。分析这些斑点的分布可以得到晶体 结构信息。此方法常用于测定未知晶体结构。
可知，反射方向S的终点 必落在以O为中心，以 |S0|为半径的球上——厄 瓦尔德球或反射球。 OS方向即为相应晶面的
g2*
g1*
g3*
衍射线方向。
厄瓦尔德图解
厄瓦尔德图的构建——以1/λ为半径构建一个球，球 心位于试样O点，入射线与球交点O*为倒易原点，
则连接O*与S终点的矢量即为g*。在以O*为倒易原 点的倒易点阵中，只要阵点落在球面上，则该点对 应的晶面就可能产生衍射。S即为衍射方向。
X射线衍射原理
F
H K L
HKL
e
i 2 ( Hx Ky Lz )
F F e
i
I ∝∣ F∣2
获得位相Φ是测晶体结构的关键
3. X射线物相定量分析与应用
(1). 依据 混合物衍射谱中某物相的衍射强度是 比例于他的衍射能力与含量的，还受到 其它物相的吸收能力的影响。
(2）衍射线的积分强度
I e＝ I 0 e
2 4 2 4
(
1＋ cos 2
2
2
)
m r c
散射强度随散射方向（2θ）而变的
2、原子对X射线的散射
• 原子中的各电子的散射波间会发生 干涉，会抵消一部分强度 f﹤Z • 位相差
＝ 2
r s － s 0） （
f＝
z
E Ee
原子的散射振幅 一个电子的散射振幅 4 ir j sin
gk为任意整数。此时，
sin N k k
2
sin k
2
N
2 2
2 k
f ( S ) N N N N
2 1 2 3
2
对应于不同的gk，可有多个极大
I＝ I：
k=pk/Nk
|pk|为小于Nk的任意整数，此时：
sin N k k
2
sin k
2
0
在两个极大值之间有Nk-1个极小
1. 定义 a· a*=1, a· b*=0, a· c*=0 b· a*=0, b· b*=1, b· c*=0 c· a*=0, c· b*=0, c· c*=1 决定了a*, b*, c*的方向和长度
正、倒点阵参数间关系
*
1 bc sin a b c v v
X射线衍射
• 探测技术：胶片 测器（面）
闪烁体计数器（点）
（IP）CCD探
图2-22 石英的衍射仪计数器记录图（部分）
*右上角为石英的德拜图，衍射峰上方为（hkl）值，β 代表Kβ 衍射
X射线衍射谱
In the paste
On the interface
2θ
X射线衍射强度
衍射峰的上限强度 半高宽 积分面积 并非所有符合布拉格方程的晶面都能产 生衍射峰。
连续X射线与特征X射线
X射线谱可分为两部分：
1、连续X射线谱：具有从某 相 个最短波长λmin开始的连续波 对 长谱。 强 度 2、特征X射线谱：若干条特 定波长的谱线所组成。 特征X射线只取决于阳 极材料，与X射线管的工作 状态无关。
连 续 X 射 线
特征X射线
I λmin λ
阳极的原子序数一定, 管电是一级反射 的形式。
面间距为dHKL的晶面并不一定是晶体中 的原子面，而是为了简化布拉格方程所 引入的反射面，我们把这样的反射面称 为干涉面。把干涉面的面指数称为干涉 指数，通常用HKL来表示。 根据晶面指数的定义可以得出干涉指数 与晶面指数之间的关系为： H＝nh；K＝nk；L＝n1。 干涉指数与晶面指数之间的明显差别是 干涉指数中有公约数，而晶面指数只能 是互质的整数。
布拉格方程：
2d sin n
式中n为整数，称为反射级数(order of reflection)。
产生衍射的条件
n<2d/λ，一定的晶面对一定波长的X射线只有 有限的几条衍射线 在任何可观测的衍射角下，产生衍射的条件为： 入＜2d。但是波长过短导致衍射角过小，使衍射 现象难以观测，也不宜使用。
c
第二章：X射线衍射的几何条件
体心点阵 I 除8个顶点外，体心上 还有一个阵点，因此， 每个阵胞含有两个阵点， 000，1/2 1/2 1/2
面心点阵 F 除8个顶点外，每个面
心上有一个阵点，每
个阵胞上有4个阵点， 其坐标分别为000， 1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2
二、晶体学指数
1、晶向指数
Braag方程
满足衍射的条件为： 2dsin = n
d为面间距， 为入射线、 反射线与反射晶面之间的 交角，称掠射角或布拉格 角，而2θ为入射线与反射 线（衍射线）之间的夹角， 称衍射角，n 为整数，称 反射级数，λ为入射线波长。 这个公式把衍射方向、平 面点阵族的间距d(hkl)和X 射线的波长λ 联系起来了。
c
1/lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
1/k
a
1/h
§2－2 倒易点阵
晶体具有空间点阵式的周期性结构，由晶体结 构周期规律中直接抽象出来的点阵，称晶体点 阵，用S 表示。倒易点阵的概念是埃瓦尔德 （P. P. Ewald）在1921年首先引入的。它是 一种虚点阵，是由晶体内部的点阵按照一定的 规则推引出来的一套抽象点阵。用S*表示。倒 易点阵的概念现已发展成为解释各种X 射线和 电子衍射问题的有力工具，并能简化许多计算 工作，所以它也是现代晶体学中的一个重要组 成部分
阵点的坐标表示
• 以任意顶点为坐标原 点，以与原点相交的 三个棱边为坐标轴， 分别用点阵周期（a、 b、c）为度量单位
四种点阵类型 • 简单 • 体心 • 面心 • 底心
简单点阵的阵点坐标为000
• 底心点阵 C 除八个顶点上有阵点外，两个相 对的面心上有阵点，面心上的阵 点为两个相邻的平行六面体所共 有。因此，每个阵胞占有两个阵 点。阵点坐标为000，1/2 1/2 0
材料分析方法第二章X射线衍射原理
29
（3） 衍射极限条件
• 由 sin ，可以 1说明两个问题：
2d • ① 晶体产生衍射的波长条件：λ≤2d
• 由于大部分金属的d为0.2～0.3nm，所以波长λ也是在同一 数量级或更小。
• ② 晶体中产生的衍射线条有限：d≥λ/2
• 所以，采用短波长的X射线时，能参与反射的晶面将会增 多。
仅在正交晶系中，下列关系 成立：
a * // a,b* // b, c * // c
a 1 ，b 1 ，c 1
a
b
c
7
• 另外，正倒空间的单胞体积互为倒数：
V*·V=1
•
倒易点阵的单位晶胞体积
V
*
*
a
*
(b
*
c )
• 正倒空间中角度之间的关系：
cos * cos cos cos sin sin
30
（4）衍射方向与晶体结构具有确定的关系
• 从 2d sin看出，波长选定之后，θ是d的函数。
• 各种晶系衍射角与晶面指数的对应关系：
• 立方系
2
sin 2 θ λ H 2 K 2 L2 4a 2
• 正方系 • 斜方系
sin2
2
4
H
2 K2 a2
L2 c2
sin 2
2
4
H2 a2
K2 b2
• 如图，X-ray以θ角入射到原子面并以β角散射时，相距为a 的任意两原子E、A的散射X射线的波程差为：
• δ=EG-FA=a(cosβ-cosθ)
当δ=nλ时，在β方向干涉加强。
假定原子面上所有原子的散射线 同位相，即δ=0，则a(cosβcosθ)=0，θ=β
高等无机化学-晶体的点阵结构与X射线衍射
布拉格方程应用
• 布拉格方程是X射线衍射分布中最重要的基础公式， 它形式简单，能够说明衍射的基本关系，所以应 用非常广泛。从实验角度可归结为两方面的应用： • 一方面是用已知波长的X射线去照射晶体，通过衍 射角的测量求得晶体中各晶面的面间距d，这就是 结构分析------ X射线衍射学 射线衍射学； • 另一方面是用一种已知面间距的晶体来反射从试 样发射出来的X射线，通过衍射角的测量求得X射 线的波长，这就是X射线光谱学 X射线光谱学。该法除可进行光 谱结构的研究外，从X射线的波长还可确定试样的 组成元素。电子探针就是按这原理设计的。
晶体的点阵结构与X射线衍射— 第 2 章 晶体的点阵结构与X射线衍射—结晶学主要内容
结晶学的基础 1 几何结晶学 研究方法是将各式各样的晶体中的等同单元抽取 为几何上的点, 研究这些几何点在空间的分布规律 （点阵理论）, 这是一个从具体到抽象的过程. X射线结晶学 2 X射线结晶学 结构分析方法 点阵理论得到了直接的实验证实, 是目前测定固 体物质结构的主要手段之一 . 3 晶体化学 点阵理论的具体的分析应用 研究晶体的组成、结构和性质之间的关系. 包括金 属晶体、离子晶体、原子晶体、分子晶体. 4 晶体物理 讨论晶体的光、电、磁、力学等性质与晶体结构、 缺陷等关系.
由原子、 晶体的定义 由原子、分子或离子等微粒在空间按一定规 律、周期性重复排列所构成的固体物质。 周期性重复排列所构成的固体物质。
晶态结构示意图
非晶态结构示意图
一、晶体结构的特征——三维空间的周期性 晶体结构的特征
•均匀性 均匀性 •各向异性（玻璃为各向同性） 各向异性（玻璃为各向同性） 各向异性 •多面体（F+V=E+2，符合欧拉公式） 多面体（F+V=E+2，符合欧拉公式） 多面体 •有明确的熔沸点（玻璃只有软化温度） 有明确的熔沸点（玻璃只有软化温度） 有明确的熔沸点 •对称性 对称性 •衍射效应（均匀性）x-ray，电子，中子 衍射，有特征的衍射图谱 衍射效应（均匀性） ray，电子， 衍射， 衍射效应
第二节倒点阵和X射线衍射条件
布拉格方程 Bragg equation
Bragg衍射方程： DB=BF=d sin
n = 2d sin 光程差为 的整数倍时加强；
| sin | ≤1；当n = 1 时 / 2d = | sin | ≤1即 ≤ 2d ； 只有当入射X射线的波长 ≤2 倍晶面间距时，才能产生衍 射
布拉格方程的讨论
c n
n
OM dhkl
nrhkl/rhkl
C
b
M
B
O
a
h a kb lc A 1
dhk lOn A a/h(
rh*kl1dhkl
r h kl )r h kl
晶 带 Zone
所有平行或相交于同一直线的这些晶面构成一个晶 带，此直线称为晶带轴。属此晶带的晶面称为晶带 面（共带面）。
三.X射线衍射的条件
劳厄方程 Laue equation :
1912年劳厄（M. Van. Laue）用X射线照射五水硫酸 铜并（由C光u的SO干4·涉5H条2O件）出获发得导世出界描上述第衍一射张线X空射间线方衍位射与照晶片， 体结构关系的公式（称劳埃方程）
a(cos-cos0)=H b(cos-cos0)=K c(cos-cos0)=L
晶面指数 Miller Index ：
对晶体中的一个晶面，可通过下列5个步骤标定其密 勒指数：（1）定坐标：三个坐标轴分别与晶 胞棱边平行 ，且符合右手法则；坐标原点位于晶胞的一个顶角，但不 能在该晶面上；（2）求截距：以晶格常数为单位，求该 晶面在坐标轴上的截距；（3）取倒数: 对三个截距值取倒 数；（4）化整数：将三个截距值化为一组最小整数；（5 ）加括号；给该组整数加上小括号（ ）。
一、晶体特性 二、倒点阵
第二节 倒点阵和X射线衍射条件
第2章X射线衍射原理
X射线晶体学中最基本的方程之一
据此，每当我们观测到一束衍射线，由衍射角θ便可依据布拉格方程计算出 这组晶面的 晶面 间距（X射线波长已知）
布拉格方程的讨论
2.2.3 布拉格方程的讨论 1).选择反射：
仅当d、、三者满足布拉格方程时才能产 生衍射，所以布拉格方程是X射线在晶体中产 生衍射必须满足的基本条件； 意义： 建立了衍射线方向（即空间分布，表征） 与晶体结构（d表征）之间的关系
衍射仪法
基本原理： 表面与测角仪中心轴严格重合的试样 绕测角仪中心轴旋转。改变其表面与入 射单色X射线的夹角，同时计数器按2 沿测角仪圆同向运动，从而使晶体中所 有晶面产生的衍射线均被探测、记录。 最终得到试样的X射线衍射谱图（I－ 2）。
X射线衍射谱图（I－2）
140 120 100 80 60 40 20 0 15 25 35 45 55 65 75 85
n=1
n=1
d111
d333 d222
2d sinθ = λ
2.2.5 X射线衍射基本方法
（1）基本原理 基于布拉格方程： 通过连续改变 （使用白色 X 射线入 射），或者连续改变，以使被测晶体 中的各种晶面都有满足布拉格方程 （产生衍射的基本条件）的机会而产 生衍射线，从而使晶体特征均能在衍 射花样上得到反映。
2.2.4、布拉格方程的应用
1、已知入射x射线的波长，通过测量θ，求 晶面间距。并通过晶面间距，测定晶体结 构或进行物相分析。
2、已知晶体的d值。通过测量θ，求特征x 射线的λ，并通过λ判断产生特征x射线的元 素。这主要应用于x射线荧光光谱仪和电子 探针中元素分析。
练习题：
1、用CrKα辐射α－Fe多晶试样， 求最多可能得到几条衍射线? 解：查附录13和附录2：
x射线在晶体上衍射的条件
X射线在晶体上衍射的条件
解：根据衍射条件，可以得出：
1.衍射波长条件：当入射波长入大于等于晶格常数d时，即入射角。
满足sinθ二人/d时，才能发生衍射。
2.衍射角条件：当入射角。
满足sinθ=入/d时，衍射角Φ必须满足ISinΦ∣<l∕n,其中n为反射级数。
3.晶体结构条件：当入射波长入大于等于晶格常数d时，晶体结构必须具有周期性排列，才能发生衍射。
4.晶体取向条件：晶体必须具有确定的取向，使得晶格周期与入射波长匹配。
这是因为X射线在晶体中的衍射是一个复杂的过程，涉及到晶体内部结构与外部入射波长的相互作用。
只有当晶体的取向与入射波长匹配时，才能产生明显的衍射现象。
5.晶体尺寸条件：用于衍射的晶体尺寸必须足够大，以便在晶格周期内捕获足够的X射线光子。
这有助于提高衍射信号的强度和稳定性，从而提高实验结果的可靠性。
6.实验设备条件：需要高精度的实验设备来测量和记录衍射数据。
这包括X射线源、探测器、光学系统、计算机控制系统等。
这些设备的精度和稳定性直接影响到实验结果的准确性和可靠性。
综上所述，X射线在晶体上衍射的条件包括入射波长大于等于晶格常数、衍射角满足Isin6|〈l/n、晶体结构具有周期性排列、晶体具有确定取向、晶体尺寸足够大以及高精度的实验设备等。
这些条件的满足有助于提高衍射实验的准确性和可靠性，为研究晶体结构和性质提供有力的支持。
X射线衍射原理
二、布拉格方程
利用X射线研究晶体结构，主要通过X射线在晶体中产生的衍射。
X射线照射到晶体时，被晶体中电子散射，每个电子都是一个新 的辐射波源，向空间辐射出与入射波同频率的电磁波。
把晶体中每个原子都看作一个新的散射波源，它们各自向空间辐
射与入射波同频率的电磁波；这些散射波干涉： 某些方向叠加，可得到衍射线； 某些方向互相抵消，无衍射线。
晶体与非晶体难区分的原因：
①晶体有缺陷，局部破坏有序排列； ②部分高分子物质中，可能单向有序，其它方向无序。 点阵、晶格、晶胞、晶轴、晶面、晶向、七大晶系、晶向指数、 十四种布拉菲点阵、晶向组、晶向族、晶面指数、晶面组、晶面族 晶向族(family),代表原子密度相同(等价)的所有晶向。
一、晶体学基础
若a*2、a*3夹角为α *,a*1、a*3夹角为β *,a*2、a*1夹角为γ *,则倒易
点阵参数可表达为：
（二）倒易点阵
同理，根据正点阵与倒易点阵互为倒易，可推出： a1＝（a*2×a*3）/V*，
a2＝（a*1×a*3）/V*
a3＝（a*2×a*1）/V* V*＝a*1· （a*2×a*3）
V*——倒易点阵晶胞体积
前面表达式结合各晶系可简化，如立方晶系： a*=b*=c*=1/a α *＝β *＝γ *＝90°
（二）倒易点阵
3．倒易矢量及其基本性质
（1）定义：以任一倒易阵点为坐标原点（称为倒易原点，一般取其
与正点阵坐标原点重合），以a*1，a*2，a*3为三坐标轴单位矢量，
由倒易原点向任意倒易阵点（倒易点）的连接矢量称为倒易矢量， 用r*表示。若r*终点（倒易点）坐标为（H,K,L）（此时r*记为
二、布拉格方程
X射线在晶体中衍射的实质： 大量的原子散射波互相干涉的结果。因此衍射花样
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r* r hkl ⊥ ( hkl )
2011-12-8
O A
a
OM垂直于 垂直于ABC面， 垂直于 面 OM方向上的单位矢量为 方向上的单位矢量为 c
C
M
OM
= d hkl
Oห้องสมุดไป่ตู้
r n n
b
r r∗ r∗ n = rhkl / rhkl
d hkl
∴
B
a
A
r∗ r∗ r∗ r r ha + kb + lc 1 = OA ⋅ n = a / h ⋅ ( ) = r∗ r∗ rhkl rhkl
劳厄方程: 劳厄方程:
1912年劳厄（M. Van. Laue）用X射线照射五水硫酸 铜（CuSO4·5H2O）获得世界上第一张X射线衍射照片， 并由光的干涉条件出发导出描述衍射线空间方位与晶 体结构关系的公式（称劳埃方程） a(cosα-cosα0)=Hλ b(cosβ-cosβ0)=Kλ c(cosγ-cosγ0)=Lλ 或 a·(s-s0)=Hλ b·(s-s0)=Kλ c·(s-s0)=Lλ
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二.倒点阵
倒点阵基矢与正点阵基矢的关系
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倒易点阵与正点阵的关系
简单点阵
r*110 b a 000 a* 010 110
220
r*110 b* 100
d110
注意： 注意：具有公因子指数的简单型 正点阵的倒易阵点， 正点阵的倒易阵点，如（220） ） 不对应于真正的晶面。 等，不对应于真正的晶面。
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晶面指数： 晶面指数： 对晶体中的一个晶面，可通过下列5个步骤标定其密 勒指数：（1）定坐标：三个坐标轴分别与晶 胞棱边平行 ，且符合右手法则；坐标原点位于晶胞的一个顶角，但不 能在该晶面上；（2）求截距：以晶格常数为单位，求该 2 晶面在坐标轴上的截距；（3）取倒数: 对三个截距值取倒 数；（4）化整数：将三个截距值化为一组最小整数；（5 ）加括号；给该组整数加上小括号（ ）。 例子：1 2 3
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倒格矢的两个要性质
• 倒点阵矢量和相应正点阵中 同指数晶面相互垂直，并且 它的长度等于该平面族的面 间距的倒数；Planes family • 倒点阵矢量与正点阵矢量的 标积必为整数。Scalar product
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r* rhkl ⊥ (hkl )
r* rhkl = 1 d hkl
性质一证明 r r r r O A = a / h OB = b / k
r r OC = c / l
r∗ r∗ r r∗ r r r∗ rhkl ⋅ AB = (ha + kb + lc )(b / k − a / h) = 1 − 1 = 0 r r∗ ∴ rhkl ⊥ AB c r r∗ 同理可证： 同理可证： r hkl ⊥ AC C r b r∗ rhkl ⊥ BC B
2 d HKL sin θ = λ
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布拉格方程
1913年英国的布拉格父子，提出了另一种精确研究 X 射线 的方法，并作出了精确的定量计算。由于父子二人在X射线 研究晶体结构方面作出了巨大贡献，于1915年共获诺贝尔物 理学奖。 Bragg衍射方程： DB=BF=d sinθ nλ = 2d sinθ θ 光程差为λ 的整数倍时加强； | sinθ | ≤1；当n = 1 时 λ / 2d = | sinθ | ≤1即 λ ≤ 2d ； 只有当入射X射线的波长λ ≤2 倍晶面间距时，才能产生衍 射
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布拉格方程的讨论
• 布拉格方程描述了“选择反射”的规律。产生 “选择反射”的方向是各原子面反射线干涉一 致加强的方向，即满足布拉格方程的方向。 • 布拉格方程表达了反射线空间方位（θ）与反 射晶面面间距（d）及入射线方位（θ）和波长 （λ）的相互关系。 • 入射线照射各原子面产生的反射线实质是各原 子面产生的反射方向上的相干散射线，而被接 收记录的样品反射线实质是各原子面反射方向 上散射线干涉一致加强的结果，即衍射线。因 此，在材料的衍射分析工作中，“反射”与 “衍射”作为同义词使用。
r* rhkl = 1 d hkl
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晶
带
所有平行或相交于同一直线的这些晶面构成一个晶 带，此直线称为晶带轴。属此晶带的晶面称为晶带 此直线称为晶带轴。 面（共带面）。 共带面）。 晶带轴[u w]与该晶带的晶面 与该晶带的晶面（ l） 晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下 关系： 关系： hu + kv + lw = 0 凡满足此关系的晶面都属于以[u 凡满足此关系的晶面都属于以 v w]为晶带轴的晶 为晶带轴的晶 故此关系式也称作晶带定律。 带，故此关系式也称作晶带定律。
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• 布拉格方程由各原子面散射线干涉条件 导出，即视原子面为散射基元。原子面 散射是该原子面上各原子散射相互干涉 （叠加）的结果。 • 干涉指数表达的布拉格方程 •衍射产生的必要条 件 “选择反射”即 反射定律+布拉格方 程是衍射产生的必 要条件。
2011-12-8
d hkl 2 sin θ = λ n
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倒易点阵小结 1、均为无限的周期点阵， 、均为无限的周期点阵， 2、正点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点 、 （除有公因子指数外）； 除有公因子指数外）； 3、晶系不变，为11种中心对称的劳厄点 、晶系不变， 种中心对称的劳厄点 群；
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三.X射线衍射的条件 .X射线衍射的条件
第一章 X射线衍射分 析
一、晶体特性
二、倒点阵
第二节 倒点阵和X射线衍 倒点阵和 射线衍 射条件
三、X射线衍射的条件 射线衍射的条件
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一、 晶体特性
晶体： 晶体 ： 原子、离子、分子在空间周期性排列而构成的固态物 ，三维空间点阵结构；点阵 + 结构基元； 晶胞： 晶胞：晶体中空间点阵的单位，晶体结构的最小单位； 晶胞参数： 晶胞参数：三个向量a、b、c，及夹角α、β、γ ； r,s,t；1/r,1/s,1/t：晶面在三个晶轴上的截数 倒易截数 截数和倒易截数 截数 1/r∶1/s∶1/t=h∶k∶l；晶面(110)与C 轴平行； 晶体结构： 晶体结构：1 2