高二数学练习19---双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程(专题训练)
双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离 等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线. 如图所示：双曲线的概念注：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准 线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．标准方程 )0,0(12222>>=-b a by ax)0,0(12222>>=-b a bx ay图形性 质焦点F 1（-)0,c ，F 2（)0,cF 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 x≤-a 与x ≥ay ≤-a 与y ≥a对称性 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。
（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴A 1A 2长2a ，虚轴B 1B 2长2b准线cax 2±= cay 2±=渐近线 x ab y ±=.a y x b=±共渐近线的双曲线系方程λ=-2222by ax （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.题型一：双曲线定义问题1.若+∈R a ，方程()()2222556x y x y-+-++=，表示什么曲线？若改成：()()2222556x y x y -+-++= ？2．已知ABC ∆的顶点()4,0-A 、()4,0B ，且()4sin sin 3sin B A C -=，则顶点C 的轨迹方程是 3．双曲线221169xy-=上一点P 到左焦点的距离为15，那么该点到右焦点的距离为变式：设12,F F 是双曲线2211620xy-=的焦点，点P 是双曲线上的点，点P 到焦点1F 的距离等于9，求点P 到2F 的距离。
4..若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k yk x表示双曲线”的( )A. 充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.题型二，利用标准方程确定参数1. 求双曲线22254100x y -=-的实半轴长 虚半轴长 焦点坐标, 焦距 离心率 2．若方程22125xyk k-=+-表示x 型双曲线，则k 的取值范围是表示y 型双曲线，则k 是 表示双曲线，则k 的取值范围是 3.已知双曲线228y 8kx k -=的一个焦点为()3,0，k 为4．椭圆14222=+ay x与双曲线1222=-yax有相同的焦点，则a 的值是5变式：与椭圆224936x y +=有相同焦点，且过点()3,2的双曲线方程6．等轴双曲线的一个焦点是()16,0F -，则它的标准方程是题型三。
双曲线及其标准方程练习题答案及详解
双曲线及其标准方程练习题高二一部数学组刘苏文2017年5月2日一、选择题1．平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是()A．双曲线B．一条直线C．一条线段D．两条射线2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．－1<k<1 B．k>0C．k≥0 D．k>1或k<－13．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为()A．双曲线的一支B．圆C．抛物线D．双曲线4．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是A.－y2＝1 B．y2－＝1C.－＝1 D.－＝15．“ab<0”是“曲线ax2＋by2＝1为双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是()A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1 D．x2－＝17．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是() A．±1 B．1C．－1 D．不存在8．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程为()A.－＝1B.－＝1(y>0)C.－＝1或－＝1D.－＝1(x>0)9．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是()A．16 B．18C．21 D．2610．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()A．m－a B．m－b C．m2－a2 D.－二、填空题11．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________．12．过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________．13．如果椭圆＋＝1与双曲线－＝1的焦点相同，那么a＝________. 14．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．三、解答题15．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．16．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且·＝0，求点M到x轴的距离．答案及详解1、D2、A由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.3、A设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．4、B由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，双曲线方程为y2－＝1.5、C ab<0?曲线ax2＋by2＝1是双曲线，曲线ax2＋by2＝1是双曲线?ab<0.6、C∵c＝，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.7、A验证法：当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点．直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.∴m2＝1，即m＝±1.8、D由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：－＝1(x>0)9、D|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.10、A设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2，由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2.∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，∴|PF1|·|PF2|＝m－a.11、－＝112、∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝，该弦所在直线方程为x＝，由得y2＝，∴|y|＝，弦长为.13、1由题意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1.14、－＝1(x≤－2)设动圆圆心为P(x，y)，由题意得|PB|－|P A|＝4<|AB|＝8，由双曲线定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点，且2a＝4，a＝2的双曲线的左支．其方程为：－＝1(x≤－2)．15、椭圆＋＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)，又点A(x0,4)在椭圆＋＝1上，∴x＝15，又点A在双曲线－＝1上，∴－＝1，又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，所求的双曲线方程为：－＝1.16、解法一：设M(x M，y M)，F1(－，0)，F2(，0)，＝(－－x M，－y M)，＝(－x M，－y M)∵·＝0，∴(－－x M)·(－x M)＋y＝0，又M(x M，y M)在双曲线x2－＝1上，∴x－＝1，解得y M＝±，∴M到x轴的距离是|y M|＝.解法二：连结OM，设M(x M，y M)，∵·＝0，∴∠F1MF2＝90°，∴|OM|＝|F1F2|＝，∴＝①又x－＝1②由①②解得y M＝±，∴M到x轴的距离是|y M|＝.。
2019_2020学年高中数学第二章2.3.1双曲线及其标准方程练习(含解析)新人教A版选修2_1
2.3.1 双曲线及其标准方程课时过关·能力提升基础巩固1若方程y24−y2y+1=1表示双曲线,则实数y的取值范围是()A.-1<m<3B.m>-1C.m>3D.m<-1解析:∵方程y24−y2y+1=1表示双曲线,∴m+1>0,∴m>-1.答案:B2已知双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()A.(√22,0)B.(√52,0)C.(√62,0)D.(√3,0)解析:∵双曲线方程化为标准方程为x2−y212=1,∴a2=1,b2=12.∴y2=y2+y2=32.∴c=√62,故右焦点坐标为(√62,0).答案:C3已知双曲线的一个焦点坐标为(√6,0),且经过点(−5,2),则双曲线的标准方程为()A.y25−y2=1B.y25−y2=1C.y225−y2=1D.y24−y22=1答案:A4平面内有两个定点F1(-5,0)和F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是()A.y216−y29=1(y≤-4) B.y29−y216=1(y≤-3)C.y216−y29=1(y≥4)D.y29−y216=1(y≥3)答案:D5已知双曲线C :y 29−y 216=1的左、右焦点分别为y 1,y 2,y 为双曲线y 的右支上一点,且|yy 2|=|y 1y 2|,则△PF 1F 2的面积等于( ) A.24B.36C.48D.96解析:由题意得,a=3,b=4,c 2=a 2+b 2=25,所以c=5.因为|PF 2|=|F 1F 2|=2c=10,P 为双曲线C 的右支上一点, 所以|PF 1|-|PF 2|=2a=6, 所以|PF 1|=16.过点F 2作F 2T ⊥PF 1于点T , 则T 为PF 1的中点. 且|PT|=8,所以|F 2T|=6,故y △yy 1y 2=12×16×6=48.答案:C6已知双曲线中心在坐标原点,且一个焦点为F 1(−√5,0),点y 位于该双曲线上,线段yy 1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是______________________. 答案:x 2−y 24=17过双曲线y 24−y 23=1左焦点y 1的直线交双曲线的左支于y ,y 两点,y 2为双曲线的右焦点,则|yy 2|+|yy 2|−|yy |的值为______________________. 解析:因为M ,N 两点在双曲线的左支上,所以由双曲线的定义得|MF 2|-|MF 1|=2a=4,|NF 2|-|NF 1|=2a=4,所以|MF 2|-|MF 1|+|NF 2|-|NF 1|=4a=8,又|MF 1|+|NF 1|=|MN|,所以|MF 2|+|NF 2|-|MN|=8. 答案:88已知双曲线的两个焦点F 1(−√5,0),y 2(√5,0),y 是双曲线上一点,且yy 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·yy 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|yy 1|·|PF 2|=2,则双曲线的标准方程为 . 解析:因为yy 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·yy 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以PF 1⊥PF 2,所以|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,即(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1||PF 2|=|F 1F 2|2,又||PF 1|-|PF 2||=2a ,|F 1F 2|=2c=2√5,|yy 1|·|PF 2|=2, 所以(2a )2+2×2=(2√5)2,解得a 2=4,b 2=1. 所以双曲线的标准方程为y 24−y 2=1.答案:y 24−y 2=19已知双曲线的实半轴长a=4,且经过点y (1,4√103),求双曲线的标准方程.解:若设所求双曲线方程为y 2y 2−y 2y 2=1(y >0,y >0),则将a=4代入,得y 216−y 2y 2=1.又点y (1,4√103)在双曲线上,∴116−1609y 2=1.由此得b 2<0,∴不合题意,舍去.若设所求双曲线方程为y 2y 2−y 2y 2=1(y >0,y >0), 则将a=4代入,得y 216−y 2y 2=1,代入点y (1,4√103),得b 2=9,故双曲线的标准方程为y 216−y 29=1.10已知F 1,F 2是双曲线y 29−y 216=1的两个焦点,若y 是双曲线左支上的点,且|yy 1|·|PF 2|=32.试求△F 1PF 2的面积.解:因为P 是双曲线左支上的点,所以|PF 2|-|PF 1|=6,两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=36.所以|PF 1|2+|PF 2|2=36+2|PF 1|·|PF 2|=36+2×32=100. 在△F 1PF 2中,由余弦定理, 得cos ∠F 1PF 2=|yy 1|2+|yy 2|2-|y 1y 2|22|yy 1|·|yy 2|=100-1002|yy 1|·|yy 2|=0,所以∠F 1PF 2=90°.所以y △y 1yy 2=12|yy 1|·|PF 2|=12×32=16.能力提升1若点P (x ,y )满足√(y -5)2+y 2−√(y +5)2+y 2=6,则点y 的轨迹是( )A.双曲线B.双曲线的左支C.双曲线的右支D.一条射线解析:依题意,点P 到定点(5,0)的距离与到定点(-5,0)的距离之差等于6,且6<10,所以点P 的轨迹是以(5,0)与(-5,0)为焦点的双曲线的左支. 答案:B2“k>3”是“方程y 23-y +y 2y -1=1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:当k>3时,3-k<0,k-1>0,此时方程y 23-y +y 2y -1=1表示双曲线.反之,若方程y 23-y +y 2y -1=1表示双曲线,则有(3-k )(k-1)<0,即k>3或k<1.故“k>3”是“方程y 23-y+y 2y -1=1表示双曲线”的充分不必要条件.答案:A3已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在双曲线C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( )A .14B .35C .34D .45解析:由题意可知,a =√2=y ,则c=2. 设|PF 1|=2x ,|PF 2|=x , 则|PF 1|-|PF 2|=x=2a=2√2,故|PF 1|=4√2,|yy 2|=2√2,|y 1y 2|=4. 利用余弦定理, 得cos ∠F 1PF 2=|yy 1|2+|yy 2|2-|y 1y 2|22|yy 1|·|yy 2|=√2)2√2)22=34.答案:C4若双曲线y 2-5x 2=-m 的焦距等于12,则实数m 的值等于( ) A.30B.-30C.±30D.±120解析:当m>0时,方程化为y 2y 5−y 2y=1,焦点在x 轴上,a 2=y 5,y 2=y ,所以y 5+y =(122)2,解得m=30;当m<0时,方程化为y2-y −y2-y5=1,焦点在y轴上,a2=-m,b2=−y5,所以−y5−y=(122)2,解得m=-30,综上,m=±30.答案:C5已知点F1,F2分别是双曲线y2y2−y29=1(y>0)的左、右焦点,y是该双曲线上的一点,且|yy1|=2|yy2|=16,则△PF1F2的周长是. 解析:∵|PF1|=2|PF2|=16,∴|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,∴a=4.又∵b2=9,∴c2=25,∴2c=10.∴△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.答案:346★已知F是双曲线y24−y212=1的左焦点,y(1,4),y是双曲线右支上的动点,则|yy|+|yy|的最小值为______________________.解析:如图,已知F(-4,0),设F'为双曲线的右焦点,则F'(4,0),点A(1,4)在双曲线两支之间.由双曲线的定义,得|PF|-|PF'|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF'|+|PA|≥4+|AF'|=4+5=9.当且仅当A,P,F'三点共线时,取等号.答案:97动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=9,C2:(x-3)2+y2=1都外切,求动圆圆心C的轨迹方程.解:如图,由题意,得定圆圆心C1(-3,0),C2(3,0),半径r1=3,r2=1,设动圆圆心为C(x,y),半径为r,则|CC1|=r+3,|CC2|=r+1.两式相减,得|CC1|-|CC2|=2,则点C的轨迹为以C1,C2为焦点,实轴长为2的双曲线的右支.∵a=1,c=3,∴b2=c2-a2=8.∴动圆圆心C的轨迹方程为x2−y28=1(y≥1).8已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,∠F1PF2=60°,求点P到x轴的距离.解:因为||PF1|-|PF2||=2,所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4,所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|·|PF2|,由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1|·|PF2|cos60°,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|·|PF2|,又a=1,b=1,所以c=√y2+y2=√2,所以|F1F2|=2c=2√2,所以4+2|PF1||PF2|=|PF1|·|PF2|+8,所以|PF1|·|PF2|=4.设点P到x轴的距离为|y0|,y△yy1y2=12|yy1||yy2|sin60°=12|y1y2|·|y0|,所以12×4×√32=12×2√2|y0|.所以|y0|=√32=√62,即点P到x轴的距离为√62.9★某部队进行军事演习,一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B,C的报告:正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声,正东观测点听到爆炸声的时间比其他两个观测点晚4 s,已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m,试确定该枚炮弹的袭击位置.(声音的传播速度为340 m/s,相关各点均在同一平面内)解:如图,以指挥中心为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).设P(x,y)为炮弹的袭击位置,则|PB|-|PA|=340×4<|AB|.由双曲线的定义,知点P在以A,B为焦点的双曲线的左支上,且a=680,c=1020,故b2=10202-6802=5×3402.因此,双曲线方程为y2 6802−y25×3402=1(y≤-680).①又|PA|=|PC|,因此点P在直线y=-x上,把y=-x代入①式,得x=-680√5.所以P(-680√5,680√5),|yy|=680√10(m).故该枚炮弹的袭击位置在北偏西45°,距指挥中心680√10m处.。
双曲线双曲线及其标准方程练习题(带答案)
双曲线双曲线及其标准方程练习题（带答案）双曲线及其标准方程练习一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（）A． B． C．或 D． 2．“ab<0”是“方程表示双曲线”的（） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（） A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆 4．P为双曲线上的一点，F 为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（） A．内切 B．内切或外切 C．外切 D．相离或相交 5．双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（）A．（-∞，0]∪[1，+∞） B．（-∞，0）∪（1，+∞） C．（-∞，-1）∪[1，+∞） D．（-∞，-1）∪（1，+∞） 6．若椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两曲线的一个公共点，则的值是（） A．m -a B． C． D．二、填空题 7．双曲线的一个焦点是，则m的值是________ _。
8．过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。
三、解答题 9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。
10．已知直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km， A若炮击P地，求炮击的方位角。
答案与提示一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．A 二、7．-2 8．三、9．提示：易知由双曲线定义知即① 即此时点的轨迹为线段AB 的中垂线，其方程为x=1(y≠0) ② 即此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为（y≠0） 10．不存在 11．提示：以AB的中点为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（-3，0），，依题意|PB|-|PA|=4 ∴ P 点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，其中c=3，2a=4，则，方程为又|PB|=|PC| ∴P在线段BC的垂直平分线上联立解得∴ 又∴α=60° ∴P点在A点东偏北60°处，即A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°。
双曲线及其标准方程
双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0；(1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线．(2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线．(3)当a >c 时，P 点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线．(2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线．2．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(（4）．双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是m （5）．若双曲线x )x ±ny ＝0.( )2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 222．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )()A ．2B ．22C ．4D ．423．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.454．(教材改编)过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是()A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．825．已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为__________．双曲线的定义的应用例题：（1）已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A.x 22－y 216＝1(x ≤－2) B.x 22－y 214＝1(x ≥2)C.x 22－y 216＝1 D.x 22－y 214＝1（3）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______________(4)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝__________.(5)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为()A ．1B ．52C ．2D ．5(6)．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为()A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2(8)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线．P 在l上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为()A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1(9)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是()A．4B．6C．8D．16(10)双曲线C的渐近线方程为y＝±233x，一个焦点为F(0，－7)，点A的坐标为(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为()A．8B．10C．4＋37D．3＋317双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法:(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)．例题：（1）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．(2)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为(－3,0)，且C 的离心率为32，则双曲线C 的方程为()A.y 24－x 25＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1(3)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是()A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1（4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1（5）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是()A ．x12－y 2＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 223－y 232＝1（6）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为()A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(7)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON |－|NF 2|＝2b ，∠ONF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为23，则该双曲线的方程为__________．双曲线的几何性质求双曲线的渐近线方程例：（1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x（2）已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形．若点A 在x 轴上，点B ，C 在双曲线T 上，且双曲线T 的虚轴为△ABC 的中位线，则双曲线T 的渐近线方程为()A ．y ＝±153xB ．y ＝±53xC ．y ＝±33x D ．y ＝±55x (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝12的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x(4)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形F 1NF 2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S ＝p 2，则该双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±32x B ．y ＝±233xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x求双曲线的离心率(范围)例：(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13（2）．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__________．(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 的左、右支分别交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为()A ．3B ．1＋3C ．2＋3D ．4＋23(4)(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(5)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A ．(2，5)B.⎪⎭⎫⎝⎛2535，C.⎪⎭⎫⎝⎛2545，D ．(5，2＋1)双曲线几何性质的综合应用例：（1）已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3333， B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6363，C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322322， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332332，逻辑推理(2020·新高考卷Ⅰ)(多选)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.()A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线直线与双曲线的位置关系例题：若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．双曲线课后练习1．方程x2m＋2＋y2m－3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜0B．－1＜m＜3C．－3＜m＜4D．－2＜m＜3 2．在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为()A.3B．23C．33D．433.设双曲线C：x2－4y2＋64＝0的焦点为F1，F2，点P为C上一点，|PF1|＝6，则|PF2|为()A．13B．14C．15D．224．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则C的渐近线方程为()A．y＝±13x B．y＝±33x C．y＝±3x D．y＝±3x5．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点A到一条渐近线的距离为223a，则双曲线的离心率为()A．223B．13C．3D．226．已知双曲线的一个焦点F(0，5)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为_____________7．已知双曲线x24－y25＝1的左焦点为F，点P为其右支上任意一点，点M的坐标为(1,3)，则△PMF周长的最小值为()A．5＋10B．10＋10C．5＋13D．9＋138．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB 的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A．12B．1C．2D．49.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|.若cos ∠F 1PF 2＝14，则该双曲线的离心率等于()A.22 B.52C ．2 D.3＋110．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．3211．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°，若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝()A ．11＋43B ．13＋53C ．16－63D ．19－10312．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为()A.52 B.5C.2D ．213．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为)______________14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝120°，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线C 的实轴长为4，则△F 1PF 2的面积为__________．15．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于_____________16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N .若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|＝|NF 2|，则双曲线的离心率为____________.17．已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为_____________，其离心率为__________.18．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．19．(2021·山东淄博二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论错误的是()A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14。
高二数学双曲线练习题及答案
高二数学双曲线练习题及答案下面是一份高二数学双曲线练习题及答案的文章，请你仔细阅读：高二数学双曲线练习题及答案双曲线是数学中重要的曲线之一，在高二数学学习中也占有重要地位。
为了帮助同学们更好地掌握双曲线知识，我们提供一些练习题以及答案，供同学们进行巩固和练习。
题目一：已知双曲线C的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，焦点F在y轴上，顶点坐标为(0, a)，离心率为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，求双曲线C的方程。
答案一：由双曲线的性质可知，焦点到顶点的距离与焦点到曲线上一点的距离之比等于离心率。
设F的坐标为（0, c），则离心率为：$\frac{CF}{Ca}=\frac{1}{\sqrt{2}}$由焦点的坐标可得c=a(1/√2)由离心率的定义可得：$\sqrt{a^2-c^2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$解得a^2=4c^2。
将焦点的坐标带入，得到方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4c^2}=1$题目二：已知双曲线C的一支渐近线方程为y=3x-2，焦点的坐标为（1,0），求双曲线C的方程。
答案二：由双曲线的性质可得，双曲线的渐近线的斜率为圆心到焦点连线的斜率。
设焦点坐标为(F, 0)，则斜率为：k = tanα，其中α为双曲线的倾斜角又由渐近线y=3x-2可得，圆心到焦点连线的斜率为3因此，k=3=tanα，则α为60度，倾斜角为60度。
由焦点坐标可知，焦点在(x1, y1)上，即（1,0）由双曲线的方程性质可得，双曲线的公式为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$根据双曲线标准方程，我们可以将双曲线方程改写为：$\frac{(y-y1)^2}{a^2}-\frac{(x-x1)^2}{b^2}=1$代入焦点坐标（1,0）得到：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{(x-1)^2}{b^2}=1$将双曲线的倾斜角代入，可得：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{(x-1)^2}{b^2}-\frac{(y-x)^2}{a^2}=1$化简得：$\frac{2x^2+2xy+2x+2y^2-4y}{a^2}=0$这样得到了双曲线C的方程。
(完整版)双曲线标准方程及几何性质知识点及习题
双曲线标准方程及几何性质知识点及习题1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。
2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。
当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
无限接近，但不可以相交。
例1. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。
注：c 2＝a 2＋b 2【例2】求虚轴长为12，离心率为54双曲线标准方程。
【例3】求焦距为26，且经过点M （0，12）双曲线标准方程。
练习。
焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x【例4】与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -练习。
求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出ce a=和222c a b =+的关系式。
高二数学双曲线标的准方程
添加标题
解:
x2
y2
1
9 16
2
2
2x5 7y5 例2、若P是以F1、F2为焦点的双曲线
上的点,且P到F1的距离是12,求点P到F2的
距离。
1
x2 y2
01
1 练习1:如果方程
2 m m 1 表示双曲线,求m的取值范围.
02
分析:
由 (2 m)(m 1) 0
y
M
o F2 x
3.列式|MF1| - |MF2|=
2a
即(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
y
4.化简.
F1
M
o
F2 x
(c2 a2) x2 a2 y2 a2(c2 a2)
令：c2-a2=b2 代入上
式得：b2x2-a2y2=a2b2y
x2 y2
即：a2 b2 1 （a>0，b>0） F 1 o
添加标题 单击此处输入你的正文，文字是
c, 0 您思想的提炼，请尽量言简意赅
1 2 的阐述观点
c, 0
的点的轨迹是什么呢？
平面内与两个定 义定: 点F1，
动 画
F2的距离的差
M
的绝对值
添加标题
单击此处输入你的正文，文字是
等于常数
您思想的提炼，请尽量言简意赅
的阐述观点
F oF
的点的轨迹叫做双曲线. 添加标题 单击此处输入你的正文，文字是 您思想的提炼，请尽量言简意赅 的阐述观点
M
x
F2
•想一想
焦点在y轴上的双
曲线的标准方程
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
双曲线及其标准方程-数学选修
contents
目录
• 双曲线的定义与性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的图像与性质 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
01 双曲线的定义与性质
双曲线的定义
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线。双曲面是一种三维几何体，它有两个对 称的曲面，称为双曲抛物面。
在平面直角坐标系中，双曲线通常表示为两个分支的曲线，这两个分支在两个不同 的象限内。
双曲线反射镜常用于反射望远镜的主 反射镜，能够将光线反射并聚焦在副 镜上，再通过目镜观察。
物理中的应用
波动理论
在物理中，双曲线常被用于描述 波动现象，如声波、电磁波等。 通过双曲线方程可以描述波的传 播规律和性质。
运动轨迹
在某些物理问题中，双曲线可以 用来描述物体的运动轨迹，例如 行星绕太阳的椭圆轨道可以用双 曲线的一段来表示。
02 双曲线的标准方程
焦点在x轴上的双曲线标准方程
方程形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$
焦点位置
$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$
参数含义
$a$为半主轴长，$b$为半副轴长，$c=sqrt{a^2+b^2}$为焦 距。
焦点在y轴上的双曲线标准方程
方程形式
01
$frac{y^2}{b^2} - frac{x^2}{a^2} = 1$
焦点位置
02
$F_1(0,c)$，$F_2(0,-c)$
参数含义
03
与焦点在x轴上的双曲线相同。
双曲线标准方程的推导
基于平面几何的性质
推导过程
通过平面几何中点与点的距离公式， 推导出双曲线的标准方程。
2019版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线的标准方程练习(含解析)新人教B版选修
2.3.1 双曲线的标准方程课时过关·能力提升1.若双曲线的方程为则它的焦点坐标是A.(± , )B.(±4, )C.( ,± )D.( ,±4)c2=a2+b2=10+6=16,焦点在x轴上,所以焦点坐标为(4,0),(-4,0).表示双曲线则的取值范围是2.若方程-A.-1<k<1B.k>0C.k≤D.k>1或k<-1表示双曲线,-所以有(1+k)(1-k)>0,解得-1<k<1.与双曲线有相同的焦点则实数的值为3.若椭圆4A.1B.1或3C.1或3或-2D.3m>0,于是焦点都在x轴上,故有4-解得m=1.4.已知方程ax2-ay2=b,且ab<0,则它表示的曲线是()A.焦点在x轴上的双曲线B.圆C.焦点在y轴上的双曲线D.椭圆可知它表示焦点在y轴上的双曲线.即--共焦点且过点的双曲线的标准方程为★5.与双曲线4AC.,c2=16+4=20,设所求的双曲线方程为则a2+b2=20,且4解得a2=12,b2=8.所以双曲线的标准方程为6.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为.x=0,得y2-4y+8=0,方程无解,即该圆与y轴无交点.令y=0,得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,所以a=2,c=4,b2=c2-a2=16-4=12,且焦点在x轴上.故双曲线的标准方程为47.已知F是双曲线4的左焦点点4是双曲线右支上的动点则的最小值为F1,依题意,有|PF|=|PF1|+4,∴|PF|+|PA|=|PF1|+4+|PA|=|PF1|+|PA|+4≥|AF1|+4=5+4=9,当A,P,F1三点共线时取等号.★8.已知双曲线4的两个焦点分别为点在双曲线上且满足∠F1PF2则△F1PF2的面积是.P为双曲线左支上的点,F1为左焦点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,则-4,,①②②-①2,得r1r2=2.所以△9.已知双曲线的焦点为F1(0,-6),F2(0,6),且经过点(2,-5),求该双曲线的标准方程.,焦点在y轴上,可设方程为又知c=6,再把点代入即可求得.则有-4 ,,解得 ,4故所求的双曲线的标准方程为★10.已知双曲线的焦点在坐标轴上,且双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.,所以应先分两种情况来讨论,再把两点代入.此题还可以先设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0),再把两点代入求解.x轴上时,设所求的双曲线的标准方程为因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,所以- , (- )- ,解得,当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为同理,有- ,-(- ) ,解得- ,-,舍去.故所求的双曲线的标准方程为Ax2+By2=1(AB<0).因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,代入上述方程有,4 ,解得, -故所求的双曲线的标准方程为。
高二数学双曲线方程练习
高二数学双曲线及其标准方程练习【同步达纲检测】A 级一、选择题 1.设θ∈(43 ，π)则方程x 2·cos θ-y 2sec θ=1所表示的曲线是( ) A.焦点在x 轴上的双曲线 B.焦点在y 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的椭圆D.焦点在y 轴上的双曲线2.如果双曲线92x -y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，A 是双曲线上一点，且｜AF 1｜=5，那么｜AF 2｜等于( )A.5+10B.5+210C.8D.113.与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x+7=0都相切的圆的圆心轨迹是( ) A.两个椭圆 B.两条双曲线C.一条双曲线和一条直线D.一个椭圆与一条双曲线4.以椭圆32x +42y =1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.32x -y 2=1B.y 2-32x =1 C.32x -42y =1D. 32y -42x =15.设动点P 到定点F 1(-5，0)的距离与它到定点F 2(5，0)的距离的差等于6，则P 点轨迹方程是( )A. 92x -162y =1B. 92y -162x =1C. 92x -162y =1(x ≥3)D. 92y -162x =1(x ≤-3)二、填空题6.若椭圆mx 2+ny 2=1(0＜m ＜n)和双曲线ax 2-by 2=1(a ＞0,b ＞0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则｜PF 1｜·｜PF 2｜= .7.过点A(-23，42)、B(3，-25)的双曲线的标准方程为 . 8.与双曲线16x 2-9y 2=-144有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程为 . 三、解答题9.已知点A(3，0)，圆C ：(x+3)2+y 2=16，动圆P 与圆C 相外切并过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程.10.在双曲线x 2-y 2=1上求一点P ，使它到直线y=x 的距离为2.AA 级一、选择题1.直线l 过双曲线22ay -22b x =1的下方焦点F 1且与双曲线的下支交于A 、B 两点，F 2是双曲线的另一个焦点，且｜AB ｜=m,则△ABF 2的周长为( )A.4a+mB.4a+2mC.4a-mD.4a-2m2.若曲线x 2-y 2=a 2与曲线(x-1)2+y 2=1恰好有三个不同的公共点，则实数a 的值只能是( )A.a=0B.a=±1C.0＜｜a ｜＜1D.｜a ｜＞13.若a m x +32+a m y -42=1表示双曲线，a 为负常数，则m 的取值范围是( )A.(3a ,-4a) B.(4a ,-3a) C.(-∞,-4a )∪(3a,+∞)D.(- 3a ,4a )4.依次连接双曲线x 2-y 2=12与圆x 2+y 2=25的交点，则所成的图形是( ) A.三角形 B.菱形 C.矩形 D.正方形5.斜率为2的直线与双曲线2x 2-y 2=2交于P 、Q 两点，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )A.y=xB.y=x(｜x ｜＞2)C.y=x(｜x ｜＞22)D.y=x(｜x ｜≥2 )二、填空题6.已知B(-5，0)，C(5，0)是△ABC 的两个顶点，且sinB-sinC=53sinA,则顶点A 的轨迹方程是.7.已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)的弦AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则直线OM和直线AB 的斜率的乘积为.8.关于x 的方程12-x =x+b 没有实数根，则实数b 的取值范围是 . 三、解答题9.已知不论b 取何实数，直线y=kx+b 与双曲线x 2-2y=1总有公共点，试求实数k 的取值范围.10.双曲线3x 2-y 2=1上是否存在关于直线=2x 对称的两点A 、B?若存在，试求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.【素质优化训练】1.平面内有一条定线段AB ，其长度为4，动点P 满足｜PA ｜-｜PB ｜=3,O 为线段AB 的中点，则｜OP ｜的最小值是( )A.1B.23C.2D.42.P 为双曲线C 上的一点，F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，过双曲线C 的一个焦点作∠F 1PF 2的平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线3.给出下列曲线：①4x+2y-1=0;②x 2+y 2=3;③22x +y 2=1;④22x -y 2=1，其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是( )A.①③B.②④C.①②③D.②③④4.若动圆P 与两定圆(x+5)2+y 2=1及(x-5)2+y 2=49都相内切或都相外切，则动圆圆心轨迹方程是( )A. 32x -42y =1B.32x -42y =1(x ＞0)C.92x -162y =1D.92x -162y =1(x ＞0)5.已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程mx-y+n=0与nx 2+my 2=mn 所表示的示意曲线是( )二、填空题6.已知双曲线x 2-32y =1,过点P(2，1)作直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则｜AB ｜= .7.若圆C 过双曲线92x -162y =1的两焦点，且截直线y=-1所得弦长为8，则圆C 的方程为 .8.过点M(3，-1)且被点M 平分的双曲线42x -y 2=1的弦所在直线方程为 .三、解答题9.若双曲线y 2-x 2=1上的点P 与其焦点F 1、F 2的连线互相垂直，求P 点的坐标.10.设k 和r 是实数，且r ＞0，使得：直线y=kx+1既与圆x 2+y 2=r 2相切，又与双曲线x 2-y 2=r 2有两个交点.(1)求证：21r-k 2=1,且｜k ｜≠1; (2)试问：直线y=kx+1能否经过双曲线x 2-y 2=42的焦点?为什么?【生活实际运用】活动1：求证直线y=kx+m 与双曲线22a x +22by =1相切的充要条件是：m 2=a 2·k-b 2若过双曲线上一点P(x 0,y 0)斜率为k 的切线为y=kx+y 0-kx 0,其中m=y 0-kx.且b 2x 20-a 2b 2,联立可解得斜率k=0202y a x b (y ≠0),代入切线方程可得过点P(x 0,y 0)双曲线的切线方程为20a x x -20byy =1 特别地，当y 0=0时亦合上面的方程.活动2：运用上面结论可求过双曲线22a x -22b y =1上一点(x 0,y 0)的切线方程与法线方程，若双曲线方程为22a y -22bx =1时，过曲线上点(x 0,y 0)的切线和法线方程又是怎样?【知识验证实验】1.运用双曲线定义解方程｜｜x-3｜-｜x+3｜｜=2.解：该方程的解是以(-3，0)，(3，0)为焦点，2为实轴长的双轴线与x 轴交点的横坐标，其方程为x 2-82y =1，令y=0得x=±1，即原方程的解为x=±1. 2.运用双曲线图形解无理不等式212-x ＞x+1解：令y 1=212-x ,y 2=x+1，即x 2-421y =1(y 1≥0),在同一坐标系中画出两图形，使得双曲线的部分在直线部分上方的x 的值为原不等式的解.故原不等式的解集为(-∞，-1). 【知识探究学习】1.设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A 、B 两监听室中，听到一爆炸声的时间差为6秒，且纪录到B 处的声强是A 处的4倍，若已知声速a=340米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点P 到AB 的中点M 的距离.解：以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则A(-5a ，0)，B(5a,0)，P(x,y)，｜PA ｜-｜PB ｜=6a ，到A 、B 两点距离差为6a 的点在双曲线，22)3(a x-22)4(a y =1(x ≥3a)上 ①, 又B 处的声强是A 处声强的4倍，∴｜PA ｜2=4｜PB ｜2,即(x+5a)2+y 2=4［(x-5a)2+y 2］，3x 2+3y 2-50ax+75a 2=0 ②，由①、②消去y,得25x 2-150ax+81a 2=0，x=527a 或x=53a(舍去)，y=5896a ，∴｜PM ｜=22)5896()527(a a =65a=34065(米)， 答：P 点到AB 中点M 的距离为34065米.2.如图所示，某农场在P 处有一肥堆，今要把这堆肥沿道路PA 或PB 送到大田ABCD 中去，已知AP=100m ，PB=150m,∠APB=60°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿PA 送肥较近，而另一侧的点沿PB 送肥较近?如能，请确定这条界线.解题思路：大田ABCD 中的点分成三类：第一类设PA 送肥较近，第二类沿PB 送肥较近，第三类沿PA 和PB 送肥一样远近，第三类构成第一类、第二类点的界线，即我们所要求的轨迹，设以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，设M 为界线所在曲线上的一点，则满足｜PA ｜+｜AM ｜=｜PB ｜+｜BM ｜,于是｜MA ｜-｜MB ｜=｜PB ｜-｜PA ｜=50.可知M 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线一支其方程可求得为6252x -37502y =1.(0≤y ≤60，25≤x ≤35)界线为双曲线在矩形中的一段.参考答案：【同步达纲检测】A 级1.D2.D3.C4.B5.C6. m 1-a 17.42x -162y =1 8. 42y -212x =19.解：设P(x,y),依题意有｜PC ｜=｜PA ｜+4，∴P 点的轨迹是以C(-3，0)，A(3，0)为焦点，且实轴长为4的双曲线的右支、其方程为42x -52y =1(x ≥2)10.解：设P(csc θ,cot θ)，则2cot csc θ-θ=2∴,θθsin cos 1- =±2，∴tan 2θ=±2，由万能公式求得P(±45,±43)AA 级1.B2.A3.B4.C5.B6. 92x -162y =1(x ＜-3)7. 22a b 8.(-∞,-1)∪［9，1］9.解：联立方程组⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y 消去y 得(2k 2-1)x 2+4kbx+2b 2+1=0,依题意有△=(4kb)2-4(2k 2-1)(2b 2+1)=-4(2k 2-2b 2-1)＞0，对所有实数b 恒成立，∴2k 2-1＜0，得-2k ＜k ＜22 10.解：设AB ：y=-21x+m,代入双曲线方程得11x 2+4mx-4(m 2+1)=0,这里△=(4m)2-4×11［-4(m 2+1)］=16(2m 2+11)＞0 恒成立，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为M(x 0,y 0,)则x 1+x 2=-11m4，∴x 0=-112m ,y 0=-21x 0+m=1112m ,若A 、B 关于直线y=2x 对称，则M 必在直线y=2x上，∴1112m =-114m得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=-21x 与双曲线的交点的A 、B 必关于直线y=2x 对称.∴存在A 、B 且求得A(112，-111)，B(-112，111)【素质优化训练】1.B2.B3.D4.C5.C6.43374 7.x 2+(y-4)2=41 8.3x+4y-5=0 9.解：设P(x,y),∵F 1(0,-2),F 2(0, 2),∴1PF k =x y 2+,2PF k =xy 2-,∵x y 2+·x y 2-=-1,即x 2+y 2=1,又y 2-x 2=1，∴x=±22,y=±26,∴P 的坐标为(22，26)，(22，-26)，(-22，26)和(-22，-26) 10.解(1)因为直线y=kx+1与圆x 2+y 2=r 2相切，所以有1k 10k 02++-∙=r,∴2k11+=r 2,∵r 2≠0,∴21r-k 2=1，又由于直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=r 2相交，故交点坐标(x,y)满足方程组⎩⎨⎧=-+=2221r y x kx y ②①,将①代入②得(1-k 2)x 2-2kx-(1+r 2)=0 ③,因直线与双曲线有两个交点，且对任意实数k ，直线不平行y 轴，故③有两个不同的实数根，因此1-k 2≠1,∴｜k ｜≠1(2)双曲线x 2-y 2=r 2的过点是F 1(-2r,0),F 2(2r,0)，若直线y=kx+1过点F 1,则 -2rk+1=0,即k=r21-，又由(1)结论21r-k 2=1得k 2=1与｜k ｜≠1矛质.故直线y=kx+1不可能过双曲线x 2-y 2=r 2的左焦点，同理可得，直线y=kx+1也不可能过双曲线x 2-y 2=r 2的右焦点.。
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：2.2.1 双曲线及其标准方程 Word版含解析
2.2.1 双曲线及其标准方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.若双曲线E :x 29‒y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|=3,则|PF 2|等于( ) B.9C.5D.3a=3,b=4,c=5.由双曲线定义,可知||PF 1|-|PF 2||=|3-|PF 2||=2a=6,故|PF 2|=9.2.已知点F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=2a ,则当a=3和a=5时,点P 的轨迹分别为( )A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线|F 1F 2|=10,|PF 1|-|PF 2|=2a ,∴当a=3时,2a=6<|F 1F 2|,此时轨迹为双曲线的一支;当a=5时,2a=10=|F 1F 2|,此时轨迹为一条射线.3.若双曲线方程为x 2-2y 2=2,则它的左焦点坐标为( )A .(-22,0)B.(-52,0)C.(-62,0)D.(‒3,0)双曲线标准方程为x 22‒y 2=1,∴c 2=2+1=3.∴左焦点坐标为(‒3,0).4.若椭圆x 24+y 2m 2=1与双曲线x 2m2‒y 22=1有相同的焦点,则m 的值是( )A.±1B.1C.-1D.不存在5.已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2等于( )A .14B.35C.34D.45为x 22‒y 22=1,所以a=b =2,c =2.因为|PF 1|=2|PF 2|,所以点P 在双曲线的右支上.所以|PF 1|-|PF 2|=2a=22,解得|PF 2|=22,|PF 1|=42.所以根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2=(22)2+(42)2-162×22×42=34.6.已知△ABP 的顶点A ,B 分别为双曲线C :x 216‒y 29=1的左、右焦点,顶点P 在双曲线C 上,则|sin A -sin B |sin P的值等于( )A .7B.74C.54D.45|PB|=m ,|PA|=n ,由正弦定理得|sin A -sin B |sin P =|m -n |2c=810=45.7.以椭圆x 28+y 25=1长轴的两个端点为焦点,且经过点(3,10)的双曲线的标准方程为____________.,得双曲线的焦点在x 轴上,且c=22.设双曲线的标准方程为x 2a 2‒y 2b2=1(a >0,b >0), 则{a 2+b 2=c 2=8,9a 2-10b 2=1,解得{a 2=3,b 2=5.故所求双曲线的标准方程为x 23‒y 25=1.‒y 25=18.设P 为双曲线x 2‒y 212=1上的一点,F 1,F 2是该双曲线的两个焦点.若|PF 1|∶|PF 2|=3∶△PF 1F 2的面积为 .2,则|PF 1|-|PF 2|=2a=2,且|PF 1|∶|PF 2|=3∶2,∴|PF 1|=6,|PF 2|=4.又|F 1F 2|=2c=213,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,·|PF 2|∴S △PF 1F 2=12|PF 1|=12×6×4=12.9.根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)经过点P (3,154),Q (-163,5);(2)c =6,经过点(‒5,2),焦点在x 轴上.设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(mn<0),∵,点P (3,154),Q (-163,5)在双曲线上∴{9m +22516n =1,2569m +25n =1,解得{m =-116,n =19.∴双曲线方程为y 29‒x 216=1.(2)∵c x 轴上,=6,焦点在∴设双曲线方程为x 2a 2‒y 26-a 2=1.∵点(-5,2)在双曲线上,∴25a 2‒46-a 2=1,∴a 2=5.∴双曲线方程为x 25‒y 2=1.10.已知动圆C 与定圆C 1:(x+3)2+y 2=9,C 2:(x-3)2+y 2=1都外切,求动圆圆心C 的轨迹方程.,由题意,得定圆圆心分别为C 1(-3,0),C 2(3,0),半径r 1=3,r 2=1.设动圆圆心为C (x ,y ),半径为r ,则|CC 1|=r+3,|CC 2|=r+1.两式相减,得|CC 1|-|CC 2|=2,∴点C 的轨迹是以C 1,C 2为焦点,实轴长为2的双曲线的右支.∵a=1,c=3,∴b 2=c 2-a 2=8.∴方程为x 2≥1).‒y 28=1(x 二、能力提升1.若方程x 2m -1+y 2m 2-4=3表示焦点在y 轴上的双曲线,则m的取值范围是( )A.(1,2) B.(2,+∞)2)D.(-2,2)2.已知双曲线的两个焦点分别为F 1(⊥‒5,0),F 2(5,0),P 是双曲线上的一点,且PF 1PF 2,|PF 1|·|PF 2|=2,则双曲线的标准方程是( )A .x 22‒y 23=1B.x 23‒y 22=1C.x 2‒y 24=1D.x 24‒y 2=1|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,其中m>0,n>0,在Rt △PF 1F 2中,m 2+n 2=(2c )2=20,m ·n=2,由双曲线定义,知|m-n|2=m 2+n 2-2mn=16=4a 2.∴a 2=4,∴b 2=c 2-a 2=1.∴双曲线的标准方程为x 24‒y 2=1.3.已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则点P 到x 轴的距离为( )A .3B.62C.3D.6|PF 1|=m ,|PF 2|=n.由方程知c =2.在△F 1PF 2中,由余弦定理得4c 2=m 2+n 2-mn.∵|m-n|=2,∴8=(m-n )2+mn=4+mn ,∴mn=4.设点P 到x 轴的距离为h ,·h 60°,∴h 则12×2c =12mn sin =62.4.已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2‒y 29=1(a >0)的左、右焦点,P 是该双曲线上的一点,且|△PF 1F 2的周长是 .PF 1|=2|PF 2|=16,则|PF 1|=2|PF 2|=16,∴|PF 1|-|PF 2|=16-8=8=2a.∴a=4.又b 2=9,∴c 2=25.∴2c=10.∴△PF 1F 2的周长为|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=16+8+10=34.5.已知动圆M 过定点B (-4,0),且和定圆(x-4)2+y 2=16相切,则动圆圆心M 的轨迹方程为 .M 的半径为r ,依题意有|MB|=r ,另设A (4,0),则有|MA|=r ±4,即|MA|-|MB|=±4.亦即动圆圆心M 到两定点A ,B 的距离之差的绝对值等于常数4,又4<|AB|,因此动点M 的轨迹为双曲线,且c=4,2a=4,所以a=2,a 2=4,b 2=c 2-a 2=12,故轨迹方程是x 24‒y 212‒y 212=1★6.已知F 是双曲线x 24‒y 212=1的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|PA |值为__________.,已知F (-4,0),设F'为双曲线的右焦点,则F'(4,0),点A (1,4)在双曲线的两支之间.由双曲线的定义,得|PF|-|PF'|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF'|+|PA|≥4+|AF'|=4+5=9,当且仅当A ,P ,F'三点共线时,取等号.7.已知双曲线x 216‒y 24=1的两个焦点分别为F 1,F 2.若点M 在双曲线上,且MF 1·MF 2=0,求点M 到x 轴的距离.M 在双曲线的右支上,点M 到x 轴的距离为h MF 1⊥MF 2.,MF 1·MF 2=0,则设|MF 1|=m ,|MF 2|=n ,由双曲线定义知,m-n=2a=8.①又m 2+n 2=(2c )2=80,②由①②得m ·n=8,·h ,得h 由12mn =4=12|F 1F 2|=255.★8. 已知双曲线的方程为x 2‒y 24=1,如图,点A 的坐标为(‒5,0),点B 是圆x 2+(y ‒5) 2=1上的点,点M 在双曲线的右支上,求|MA |+|MB |的最小值.D 的坐标A ,D 是双曲线的焦点.为(5,0),则点由双曲线的定义,得|MA|-|MD|=2a=2.所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|.又点B 是圆x 2+(y ,圆的圆心为C (01,‒5)2=1上的点,5),半径为所以|BD|≥|CD|-1=10‒1.从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥10+1.当点M ,B 在线段CD 上时取等号,即|MA|+|MB|的最小值为10+1.。
双曲线及其标准方程习题
精心整理[学业水平训练]1．动点P 到点M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为2，则点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线解析：选D.依题意|PM |－|PN |＝2＝|MN |，所以点P 的轨迹不是双曲线，而是一条射线．2．若方程＋＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．(5,10)B ．(－∞，5)C ．3 )A.C.，所以4A B C D 5．( )A ．C ．3|MF 2|，所以3|6．m ＝16.答案：167．已知双曲线的焦点分别为(0，－2)、(0,2)，且经过点P (－3，2)，则双曲线的标准方程是________．解析：由题知c ＝2，又点P 到(0，－2)和(0,2)的距离之差的绝对值为2a ，2a ＝|－|＝2，∴a ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝3.又焦点在y 轴上，∴双曲线的方程为y 2－＝1.答案：y 2－＝18．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线－＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：49．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和(，5)．(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．解：(1)由已知，可设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则解得所以双曲线的方程为－＝1.(2)10F2(c,0)．又c＝1.1．已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M 的距离为()A. B.C. D.解析：选C.不妨设点F1(－3,0)，容易计算得出|MF1|＝＝，|MF2|－|MF1|＝2.解得|MF2|＝.而|F1F2|＝6，在直角三角形MF1F2中，由|MF1|·|F1F2|＝|MF2|·d，求得F1到直线F2M的距离d为.2．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由·＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.203L且4(1)(2)故(1)16(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.。
高二数学选择性必修件双曲线的标准方程
根据题意，可设双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0, b > 0$）。由焦点坐标可得 $c = 5$，进而求得 $a, b$ 的值。
计算
将点 $(3, 4)$ 代入方程 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，解得 $a = 3, b = 4$ 。因此，双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{9} - frac{y^2}{16} = 1$。
与其他圆锥曲线关
04
系探讨
与椭圆关系比较
01
02
03
方程形式
双曲线和椭圆的标准方程 在形式上具有相似性，都 涉及到平方项和线性项。
几何性质
双曲线和椭圆都是中心对 称和轴对称图形，但它们 的离心率和形状有所不同 。
焦点与准线
双曲线和椭圆都有焦点和 准线的概念，但它们的定 义和性质不同。
与抛物线关系比较
化简方程
通过平方、移项、合并同类项等步骤，将方程化简为标准 形式 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $frac{y^2}{b^2} - frac{x^2}{a^2} = 1$。
示例分析与计算
示例一
已知双曲线的一个焦点坐标为 $(5, 0)$，且过点 $(3, 4)$，求双曲线的标准方程。
高二数学选择性必修件 双曲线的标准方程
汇报人：XX 20XX-01-18
目录
• 双曲线基本概念与性质 • 标准方程及其推导过程 • 几何性质与图像分析 • 与其他圆锥曲线关系探讨 • 求解方法与技巧总结 • 典型例题解析与练习题选讲
双曲线基本概念与
【高二】高二数学双曲线的标准方程学案练习题
【高二】高二数学双曲线的标准方程学案练习题§2.3.1双曲线的标准方程一、知识要点1.双曲线的定义：；2.试推导焦点在轴上的双曲线的标准方程。
3.焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点座标为；焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点坐标为；其中的关系为。
二、例题基准1.未知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点至的距离的高的绝对值等同于8，谋双曲线的标准方程。
例2.求适合下列条的双曲线的标准方程：⑴一个焦点为，经过点；⑵过点和。
例3.已知两地相距800m，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处迟2，设声速为340m/s。
⑴爆炸点在什么曲线上？⑵谋这条曲线的方程。
三、巩固练习1.未知双曲线的一个焦点为，则的值。
2.已知方程表示双曲线，求的取值范围。
四、小结五、后反思六、后作业1.双曲线的焦点坐标为；双曲线的焦点坐标为。
2.以椭圆的顶点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线方程就是。
3.若双曲线右支上一点到其一焦点的距离为10，则点到另一个焦点的距离为。
4.未知双曲线的焦点为，点在双曲线上，且，则的面积为。
5.求适合下列条的双曲线的标准方程。
⑴焦距为，经过点，且焦点在轴上；⑵与双曲线有相同的焦点，且经过点。
6.未知，当为何值时，①方程则表示双曲线；②则表示焦点在轴上的双曲线；③则表示焦点在轴上的双曲线。
7.已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，谋。
8.已知是我方三个炮兵阵地，在的正东，相距6km，在的北偏西30°，相距4km，为敌炮兵阵地。
某时刻处发现敌炮兵阵地的某个信号，由于两地比地距离地更远，因此4s 后，两地才同时发现这一信号(该信号的传播速度为1km/s)。
若从地炮击地，求点的坐标。
2019秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程练习(含解析)新人教A版选修1_1
2.2.1 双曲线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析：将双曲线方程化成标准方程为x 21－y 212＝1， 所以a 2＝1，b 2＝12，所以c ＝a 2＋b 2＝62，故其右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0. 答案：C2．若方程x 210－k ＋y 25－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．(5，10)B ．(－∞，5)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，5)∪(10，＋∞) 解析：由题意得(10－k )(5－k )<0，解得5<k <10.答案：A3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1中c a ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析：由题意得c ＝5，c a ＝54，所以a ＝4，则b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9.所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 答案：C4．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1D.x 23－y 22＝1 解析：据已知条件得焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则a 2＋b 2＝5.①因为线段PF 1的中点坐标为(0，2)，所以点P 的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程，得5a 2－16b 2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝4，所以所求双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 答案：B5．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为( )A ．5B ．5＋4 3C ．7D ．9 解析：如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4，0)．由双曲线的定义及标准方程，得|PF |－|PE |＝4，则|PF |＋|PA |＝4＋|PE |＋|PA |.由图可得，当A ，P ，E 三点共线时，(|PE |＋|PA |)min ＝|AE |＝5，从而|PF |＋|PA |的最小值为9.答案：D二、填空题6．设m 是大于0的常数，若点F (0，5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________． 解析：由题意可知m ＋9＝25，所以m ＝16.答案：167．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，双曲线上的点P 到F 1的距离为12，则点P 到F 2的距离为________．解析：因为||PF 2|－12|＝2a ＝10，所以|PF 2|＝12±10，即|PF 2|＝2或|PF 2|＝22.答案：2或228．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．解析：由双曲线定义可知|AF 1|＝2a ＋|AF 2|＝4＋|AF 2|；|BF 1|＝2a ＋|BF 2|＝4＋|BF 2|， 所以 |AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AF 2|＋|BF 2|＝8＋|AB |＝13.△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝18.答案：18三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上； (2)经过两点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5； (3)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4. 解：(1)由题意得双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 因为a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，代入方程得，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，2520－4b 2＝1， 所以b 2＝16.所以所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1. (2)设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 把(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－19，n ＝116. 所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(3)椭圆x 227＋y 236＝1的两个焦点坐标分别为F 1(0，－3)，F 2(0，3)． 由已知得双曲线与椭圆的交点坐标为(±15，4)， 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.所以所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 10．已知k 为实常数，命题p ：方程(k －1)x 2＋(2k －1)y 2＝(2k －1)(k －1)表示椭圆，命题q ：方程(k －3)x 2＋4y 2＝4(k －3)表示双曲线．(1)若命题p 为真命题，求实数k 的取值范围；(2)若命题p ，q 中恰有一个为真命题，求实数k 的取值范围．解：(1)若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧2k －1＞0，k －1＞0，2k －1≠k －1，解得k ＞1，即实数k 的取值范围是(1，＋∞)．(2)当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，k ≥3，解得k ≥3， 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k ＜3，解得k ≤1， 故实数k 的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．B 级 能力提升1．k ＜2是方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：k ＜2⇒方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线，而方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线⇒(4－k )(k －2)＜0⇒k ＜2或k ＞4，故k ＜2是方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线的充分不必要条件． 答案：A2．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3，0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|的值为________．解析：由题意得Q 为PF 的中点，设左焦点为F ′，其坐标为(－3，0)，所以|OQ |＝12|PF ′|. 若P 在双曲线的左支上，则|OQ |＝12|PF ′|＝12(|PF |－2a )＝12×(6－2×2)＝1； 若P 在双曲线的右支上，则|OQ |＝12|PF ′| ＝12(|PF |＋2a ) ＝12×(6＋2×2)＝5. 综上，|OQ →|＝1或5.答案：1或53．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1、F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF →1·MF →2＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程． 解：(1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，所以12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，所以h ＝255.即M 点到x 轴的距离为255. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．因为双曲线C 过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． 所以所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.。
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2013/09/19 高二数学练习(19)----双曲线及其标准方程（一）
高二( )班 姓名
1. 已知F 1,F 2为定点，)0(,2||||||21>=-a a PF PF ，则动点A 的轨迹是………………（ ）
A.焦点为F 1，F 2的双曲线
B.不存在
C.以F 1，F 2为端点且方向相反且无公共点的两条直线
D.以上都有可能
2. 已知动点P 满足|P A |-|PB |=8，其中A （0，-5），B （0，5）则P 的轨迹方程是………（ ） A.191622=-y x B.191622=-x y C.191622=-y x （x≥4） D.22
1169
y x -=（y≥4） 3. 在双曲线的标准方程中，已知a =6,b =8.则其方程是………………………………………（ ） A.1643622=-y x B.1366422=-y x C.1643622=-x y D.1643622=-y x 或164
362
2=-x y 4. 已知方程1112
2=-++k
y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是……………………………（ ） A.-1<k <1 B.k >0 C.k ≥0 D.k >1或k <-1
5. 双曲线14122
2
22=--+m y m x 的焦距是…………………………………………………（ ） A.4 B.22 C.8 D.与m 有关
6. 双曲线122
22=-b
y a x 过焦点F 1的弦AB 的长为m ，另一焦点为F 2，则△ABF 2的周长为……（ ） A.4a B.4a -m C.4a +2m D.4a -2m
7. F 1、F 2为双曲线116
42
2=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且 9021=∠PF F ，则△F 1PF 2 的面积为………………………………………………………………………………………（ ）
A.2
B.4
C.8
D.16
8. 双曲线122
22=-b
y a x 经过点()1,1A ，且a b 2=，双曲线标准方程是 ； 9.若方程1492
2=---k
y k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 ；
10. 若椭圆14222=+m y x 与双曲线12
2
2=-y m x 有相同的焦点，则实数m 的值为 ； 11.双曲线064422=+-y x 上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离等于
12. 已知：双曲线的两个焦点为)13,0(1-F ，()13,02F ，其上一点P 满足24||||||21=-PF PF ，求双曲线方程
13．求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）a=25,经过点),(25-A ，且焦点在x 轴上； （2）过两定点),(),,(372267B A --。