离散数学复习1
离散数学复习要点
离散数学复习要点第一章命题逻辑一、典型考查点1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。
其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。
详见教材P12、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1⇔1，0∨0⇔0，1→0⇔0，11⇔1，00⇔1详见P53、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。
特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q →P；除非P否则Q，应为┐P→Q。
B设出原子命题写出符号化公式。
详见P54、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。
详见P95、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。
②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。
③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。
详见P8。
6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P15,7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A B的充要条件是A B且B A。
主要等价式：(1)双否定：A A。
(2)交换律：A∧B B∧A，A∨B B∨A，A B B A。
3)结合律：(A∧B)∧C A ∧(B∧C)，(A∨B)∨C A∨(B∨C)，(A B)C A(B C)。
(4) 分配律：A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)。
(5) 德·摩根律：(A∧B)A∨B，(A∨B)A∧B。
(6) 等幂律：A∧A A，A∨A A。
(7) 同一律：A∧T A，A∨F A。
(8) 零律：A∧F F，A∨T T。
(9) 吸收律：A∧(A∨B)A，A∨(A∧B)A。
(10) 互补律：A ∧A F，(矛盾律)，A∨A T。
(排中律)(11) 条件式转化律：A→B A∨B，A→B B→A。
离散数学复习题1-3
1．设A-B=∅，则有（）A．B=∅B．B≠∅C．A⊆B D．A⊇B2.设P={x|(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x},则下列选项正确的是A.P⊃QB.P⊇QC.Q⊃PD.Q=P3．A，B是集合，P（A），P（B）为其幂集，且A∩B=∅，则P(A)∩P(B)为（）A．∅B．{∅}C．{{∅}} D．{∅，{∅}}4．下列式子正确的是（）A．（A－B）-C=A-（B∪C）B．A－（B∪C）=（A－B）∪CC．~（A－B）= ~（B－A）D．~（A∩B）⊆A1．下列语句中不．是命题的只有（）A．鸡毛也能飞上天？B．或重于泰山，或轻于鸿毛。
C．不经一事，不长一智。
D．牙好，胃口就好。
2．下列语句中不是．．命题的只有（）A．这个语句是假的。
B．1+1=1.0C．飞碟来自地球外的星球。
D．凡石头都可练成金。
3.下列命题为假．命题的是（）A.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式惟一B.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不惟一C.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式惟一D.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不惟一4．设P ：他聪明，Q ：他用功，命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是（ ）A ．⎤ P ∧QB ．P ∧⎤ QC ．P →⎤ QD ．P ∨⎤ Q5.设P ：天下大雨,Q ：他在室内运动,命题“除非天下大雨，否则他不．在室内运动”可符合化为（ ）A.⎤P ∧QB.⎤P →QC.⎤P →⎤QD.P →⎤Q6．下列命题公式不是重言式的是（ ）A ．Q →（P ∨Q ）B ．（P ∧Q ）→PC ．⎤（P ∧⎤ Q ）∧（⎤ P ∨Q ）D ．（P →Q ）（⎤ P ∨Q ） 7．下列命题公式为重言式的是（ ）A ．p → (p ∨q)B ．(p ∨┐p)→qC ．q ∧┐qD ．p →┐q8．下列命题公式中不．是重言式的是（ ） A ．p →(q →r)B ．p →(q →p)C ．p →(p →p)D ．(p →(q →r))(q →(p →r))1．下列是谓词演算中的合式公式的是（ ）A ．))()((y x p x ∃→∀B ．),()()(y x G x F x ∧∃C ．),(),()(z y Q y x P x ∀D ．),()(y x P x x ∧⌝∀2．设论域为整数集，下列真值为真的公式是（ ）A ．)0)()((=-∃∀y x y xB ．)0)()((=-∀∃y x x yC ．)0)()((=-∀∀y x y xD ．)0)(()(=-∃⌝∃⌝y x y x3．设个体域是整数集，则下列命题的真值为真的是（ ）A ．y x(x ·y=1)B ．x y (x ·y ≠0)C ．x y (x ·y=y 2)D ．y x(x ·y=x 2)4．在公式),()())(),()()((z y P y z Q y x P y x ∃→∧∀∃中变元y 是（ ）A ．自由变元B ．约束变元C ．既是自由变元，又是约束变元D ．既不是自由变元，又不是约束变元5．关于谓词公式（x ）(y)(P(x,y)∧Q(y,z))∧(x)p(x,y),下面的描述中错误．．的是（ ）A ．（x ）的辖域是（y ）（P （x,y ）∧Q(y,z)）B ．z 是该谓词公式的约束变元C ．（x ）的辖域是P （x,y ）D ．x 是该谓词公式的约束变元6．下列等价式正确的是（ ）A ．┐)()(x A x ∃⇔∃┐AB ．A y x A y x ))(())((∀∃⇔∀∀C ．┐)()(x A x ∃⇔∀┐AD ．)()()()())()()((x B x x A x x B x A x ∀∨∀⇔∧∀7．下列等价式不正确的是（ ）A ．)(Q )(P ))(Q )(P (x x x x x x x ∀∨∀⇔∨∀B ．)(Q )(P ))(Q )(P (x x x x x x x ∀∧∀⇔∧∀C ．)(Q )(P ))(Q )(P (x x x x x x x ∃∨∃⇔∨∃D ．Q )(P )Q )(P (∧∀⇔∧∀x x x x8．设论域D={a,b}，与公式xA （x ）等价的命题公式是（ ）A ．A （a ）∧A （b ）B ．A （a ）→A （b ）C ．A （a ）∨A （b ）D ．A （b ）→A （a ）9．下列公式是前束范式的是（ ）A ．))(),()()((y G x z F y x ∨⌝∀∀B ．)())()()()((z H y G y x F x ∧∀∨∃⌝C ．)()(),()(y G y y x F x ∀→∃D ．)),()(),()((y x G y y x F x ∀→∀1．设A={1，2}，B={2，3}，则A ⊕A=__________，A ⊕B=__________。
离散数学复习资料
离散数学复习资料一、考试内容（1）考试内容以课堂上讲的内容为范围；（2）每次课后布置的作业。
二、各章节提要教学目的及要求：教学内容：命题及表示、联结词、命题公式与翻译、真值表与等价公式、重言式与蕴含式、对偶与范式、推理理论。
教学重点：命题逻辑中的基本概念和基本推理方法。
教学难点：推理理论小结：学习第一章要注意以下几点：（1）弄清命题与陈述句的关系。
（2）弄清由5种基本联结词联结的复合命题的逻辑关系及其真值。
特别是要弄清蕴含式”P→Q“的逻辑关系及其真值。
（3）记住常用的蕴含式和等价式，这是学好命题逻辑的关键问题。
（4）会准确地求出给定公式的主析取范式和主合取范式。
掌握主析取范式与真值表、成真赋值、主合取范式的关系。
（5）会用多种方法判断公式的类型及判断两个公式是否等价。
（6）会用等价变换法将一个联结词集中的公式等价地化为另一个联结词全功能集中的公式。
（7）掌握推理和判断推理是否正确的方法。
教学目的及要求：深刻理解和掌握谓词逻辑的基本概念和基本推理方法。
教学内容：谓词的概念与表示、命题函数与量词、谓词公式与翻译、变量的约束、谓词演算的等价式与蕴涵式、前束范式、谓词演算的推理理论。
教学重点：谓词逻辑中的基本概念和基本推理方法。
教学难点：谓词演算的推理理论。
小结：学习第二章要注意以下几点：(1)同一个命题在不同个体域内可能有不同的符号化形式，同时也可能有不同的真值，因而在将一个命题符号化之前，必须弄清个体域。
(2)在将命题符号化时，要特别注意量词与联结词的搭配。
经常的情况是全称量词∀与蕴含词→搭配，存在量词∃与合取词∧搭配。
因此有下面两种形式的公式：（∀x）(A(x) →B(x)) ①（∃x）(A(x) ∧ B(x)) ②而（∀x）(A(x) ∧ B(x)) ③（∃x）(A(x) → B(x)) ④③与①，④与②的含义完全不同。
(3)记住主要的等价式。
会用约束变元和自由变元换名规则进行等价演算，求出给定公式的前束范式。
离散数学复习知识点
复习知识点： 第1章1． 命题、真命题、假命题 2． 命题符号化〔连接词〕设P ：天下大雨，Q ：他在室内运动，命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”可符合化为〔 D 〕A ．Q P ∧⌝B ．Q P →⌝C ．Q P ⌝→⌝D ．Q P ⌝→设P ：只有你通过了大学英语六级考试，Q ：你是英语专业的学生，R ：你可以选修这门课程。
命题“只有你通过了大学英语六级考试而且不是英语专业的学生，才可以选修这门课程”( B )A ．R Q)(P →∧B ．R Q)(P →⌝∧C ．R Q)(P ↔⌝∧D ．R Q)(P ↔∧3． 什么是命题公式 4． 命题公式的等价式5． 利用逻辑等价关系证明下面的等价关系 Q P Q)(P P))(Q Q)((P ∨⇔∧→→∧→证明：6． 用真值表法求命题公式的主析取范式和主合取范式 7． 符号化以下语句，并推证结论的有效性。
有些学生相信所有的老师，任何一个学生都不相信骗子，所以老师都不是骗子。
解：设论述域为全总个体域，S(x)：x 是学生，T(x)：x 是老师，P(x)：x 是骗子，L(x,y)：x 相信y 。
将前提和结论符号化为P(x))x(T(x)y)))L(x,y(P(y)x(S (x)y))),L(x,y(T(y)x(S (x)⌝→∀⇒⌝→∀→∀→∀∧∃〔1〕y)))L(x,y(T(y)x(S (x)→∀∧∃ P 〔2〕y))L(a,y(T(y)S (a)→∀∧T1，ESQ)(P TQ)(P Q)Q (Q)(P Q Q)(P T)(Q Q)(P P))P ((Q Q)(P Q)(P P)(Q Q)(P Q)(P P)Q (Q)P (Q)(P P))Q (Q)P ((Q)(P P)Q (Q)P (Q)(P P))(Q Q)((P ∨⇔∧∨⇔∨⌝∧∨⇔∨⌝∧⇔∧∨⌝∧⇔∨⌝∧∨⌝∧⇔∧∨⌝∧∨⌝∧⇔∧∨∨⌝⌝∨∨⌝⌝⇔∧∨∨⌝∧∨⌝⌝⇔∧→∨⌝∧∨⌝⇔∧→→∧→〔3〕S(a) T2，I 〔4〕y))L(a,y(T(y)→∀ T2，I 〔5〕b)L(a,T(b)→T4，US 〔6〕y)))L(x,y(P(y)x(S (x)⌝→∀→∀ P 〔7〕y))L(a,y(P(y)S (a)⌝→∀→ T6，US 〔8〕y))L(a,y(P(y)⌝→∀ T3,7，I 〔9〕b)L(a,P(b)⌝→ T8，US 〔10〕P(b)b)L(a,⌝→ T9，E 〔11〕P(b)T(b)⌝→T5,10，I 〔12〕P(x))x(T(x)⌝→∀T11，UG侦查员在调查了某珠宝店的珠宝失窃案现场以及询问了认证之后，得到以下事实： （1） 是营业员甲或营业员乙作案。
离散数学复习题
离散数学复习题第⼀套题⼀、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2},则A - B＝____________________;ρ(A) - ρ(B)＝_________________ .答案：{3};{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.2. 设有限集合A, |A| = n,则|ρ(A×A)| = ____________.答案：22n.3. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是____________.答案：(P∧?Q∧R).4. 设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_____; A?B＝_____;A－B＝_____.答案：{4}；{1, 2, 3, 4}；{1, 2}.5. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______, ________, ________.答案：⾃反性；对称性；传递性.6. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)},则R1?R2=________；R2?R1 =________；R12=___________.答案：{(1,3),(2,2),(3,1)};{(2,4),(3,3),(4,2)};{(2,2),(3,3)}.7. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n,则| |ρ(A?B)| = ___________.则R以集合形式(列举法)记为______________.答案：{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.9. 设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
答案：21.10. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是_____________.答案：(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)).11. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的⼆元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)},S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。
离散数学复习题及答案
总复习题（一）一．单选题1 (C)。
一连通的平面图，5个顶点3个面，则边数为（）。
、4 、5 、6 、72、 (A)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的无向4阶自补图有（）个。
、1 、2 、3 、43、 (D)。
为无环有向图，为的关联矩阵，则（）。
、是的终点、与不关联、与关联、是的始点4、 (B)。
一连通的平面图，8个顶点4个面，则边数为。
、9 、10 、11 、125、 (D)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的3阶有向完全图的子图中自补图有个。
、1 、2 、3 、46、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、107、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路8、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、129、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、1010、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路11、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、1212、 (B)。
为有向图，为的邻接矩阵，则。
、邻接到的边的条数是５、接到的长度为４的通路数是５A B C D GG ≅G A B C D E ,V D =[]m n ij m ⨯D 1m ij =A i v je B i v j e C i v j e D i v j e A B C D GG ≅G A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D E ,V D=[]n n ij a ⨯D 5a )4(ij =A i v j v B i v j v、长度为４的通路总数是５、长度为４的回路总数是５13、 (C)。
在无向完全图中有个结点，则该图的边数为（）。
成人教育《离散数学》期末考试复习题及参考答案
离散数学复习题二一、简要回答下列问题：1．请给出⌝P，P∧Q，P∨Q的真值表。
2．请给出公式蕴涵的定义。
举一个例子。
3.请给出命题∀xG(x)的真值规定。
4.什么是谓词逻辑公式的解释？5.叙述谓词逻辑公式G与它的Skolem范式之间的区别与联系。
6.什么是图的关联矩阵？7.什么是简单路？举一例。
8.什么是有向树？举一例9.设G为整数加群，H为5的所有倍数组成的加法群，给出H的所有陪集。
二、判断下列公式是恒真？恒假？可满足？a) (P→(Q∧R))∧(⌝P→(⌝Q∧⌝R))；b) P→(P∧(Q→P))；c) (Q→P)∧(⌝P∧Q)；d) (⌝P∨⌝Q)→(P↔⌝Q)。
三、指出下列公式哪些是恒真的哪些是恒假的：(1)P∧（P→ Q）→Q(2)（P→ Q）→（⌝P∨Q）(3)（P→ Q）∧（Q→R）→（P→ R ）(4)（P↔ Q）↔（P∧ Q∨⌝P∧⌝ Q）四、给P和Q指派真值1，给R和S指派真值0，求出下面命题的真值：a) (P∧(Q∧R))∨⌝((P∨Q)∧(R∨S))b) (⌝(P∧Q)∨⌝R)∨(((⌝P∧Q)∨⌝R)∧S)c) (⌝(P∧Q)∨⌝R)∨((Q↔⌝P)→(R∨⌝S))d) (P∨(Q→(R∧⌝P)))↔(Q∨⌝S)五、证明：连通图中任意两条最长的简单路必有公共点。
离散数学复习题二答案一、简要回答下列问题：1．请给出⌝P，P∧Q，P∨Q的真值表。
P Q ⌝P P∧Q P∨Q0 1 1 0 11 0 0 0 11 1 0 1 10 0 1 0 02．请给出公式蕴涵的定义。
举一个例子。
答：设G，H是两个公式，如果解释I满足G，I也满足S，称G蕴涵H。
例如：P∧Q蕴涵P。
3．请给出命题∀xG(x)的真值规定。
答：∀xG(x)取1值⇔对任意x∈D，G(x)都取1值；∀xG(x)取0值⇔有一个x0∈D，使G(x0)取0值。
4．什么是谓词逻辑公式的解释？答：词逻辑中公式G的一个解释I，是由非空区域D和对G中常量符号，函数符号，谓词符号以下列规则进行的一组指定组成：1. 对每个常量符号，指定D中一个元素；2. 对每个n元函数符号，指定一个函数，即指定D n到D的一个映射；3. 对每个n元谓词符号，指定一个谓词，即指定D n到{0，1}的一个映射。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学（1）复习笔记
离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。
命题的真值，真命题，假命题。
* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。
1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。
* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。
* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。
注意命题符号化的蕴涵⽅向。
* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。
* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。
合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。
* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。
*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。
真值表。
* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。
*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。
1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。
* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。
2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。
* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。
* 注意充分条件和必要条件的区别 ** 注意语义是否考虑完整 *1.6 波兰表达式中置式 | 中缀式，前置式 | 前缀式 | 波兰式，后置式 | 后缀式 | 逆波兰式。
Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。
离散数学总复习-知识点
离散数学总复习第1章命题逻辑一、命题的判断例：1、仁者无敌！2、x+y<23、如果雪是红的，那么地球是月亮的卫星。
4、我正在说谎。
二、命题符号化例：1、蓝色和黄色可以调成绿色。
2、付明和杨进都是运动员。
3、刘易斯是百米游泳冠军或百米跨栏冠军。
4、李飞现在在宿舍或在图书馆。
5、只要天不下雨，我就步行上学校。
6、只有天不下雨，我才步行上学校。
7、并非只要你努力了，就一定成功。
三、主范式1、会等值演算；2、主合取和主析取范式的相互转换。
例：求命题公式P∨Q的主析取范式和主合取范式。
3、根据主范式进行方案的选择例1：某科研所要从3名科研骨干A,B,C中挑选1-2名出国进修，由于工作需要，选派需同时满足条件：（1）若A去，则C同去；（2）只有C不去，B才去；（3）只要C不去，则A或B就可以去。
问有哪些选派方案？例2：甲、乙、丙、丁四人有且仅有两个人参加比赛，下列四个条件均要满足：（1）甲和乙有且只有一人参加；（2）丙参加，则丁必参加；（3）乙和丁至多有一人参加；（4）丁不参加，甲也不会参加。
问哪两个人参加了比赛？四、简单的推理例1：如果明天天气好我们就去爬长城。
明天天气好。
所以我们去爬长城。
例3：课后习题16第2章谓词逻辑一、谓词逻辑中的命题符号化例：1、所有运动员都是强壮的2、并非每个实数都是有理数3、有些实数是有理数二、量词的辖域，约束变元换名、自由变元代替例：1、∀x(P(x)∨∃yR(x,y))→Q(x)2、∀x(P(x,z)∨∃yR(x,y))→Q(x)中量词的辖域，重名情况，改名等三、命题逻辑永真式的任何代换实例必是谓词逻辑的永真式。
同样，命题逻辑永假式的任何代换实例必是谓词逻辑的永假式。
例：1、(∀xP(x)→∃xQ(x))↔(⌝∀xP(x)∨∃xQ(x))2、(∀xP(x)→∃xQ(x))∧(∃xQ(x))→∀zR(z)))→(∀xP(x) →∀zR(z))1-2是永真式（重言式）3、⌝(∀xF(x) ∃yG(y)) ∧ ∃yG(y) 永假式（矛盾式）四、消量词例：个体域D={1,2}，对∀x∀y(P(x)→Q(y))消量词五、简单的前束范式会判断即可。
《离散数学》复习题及答案
《离散数学》复习题及答案《离散数学》试题及答案⼀、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪⼏个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，⾃由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华⼈民共和国的⾸都。
(2) 陕西师⼤是⼀座⼯⼚。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三⾓形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我⼀杯⽔吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在⼀些⼈是⼤学⽣”的否定是( )，⽽命题“所有的⼈都是要死的”的否定是( )。
答：所有⼈都不是⼤学⽣，有些⼈不会死7、设P：我⽣病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在⽣病时，我才不去学校 (2) 若我⽣病，则我不去学校(3) 当且仅当我⽣病时，我才不去学校(4) 若我不⽣病，则我⼀定去学校答：（1）PP?P→（4）QQ→→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)答：（1）对任⼀整数x存在整数 y满⾜x+y=0（2）存在整数y对任⼀整数x满⾜x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) ⾃然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成⽴答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学期末复习题
离散数学期末复习题第一章集合论一、判断题（1）空集是任何集合的真子集． （ 错 ）（2）{}φ是空集． （ 错 ） （3）{}{}a a a },{∈ （ 对 ） （4）设集合{}{}{}{}AA 22,1,2,1,2,1⊆=则. ( 对 ） （5）如果B A a ⋃∉，则A a ∉或B a ∉． （ 错 ）解 B A a ⋃∉则B A B A a ⋂=⋃∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ∉且B a ∉（6）如果A ∪.,B A B B ⊆=则 （ 对 ）（7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则},,,,,{332211><><><=⨯b a b a b a B A （ 错 ）（8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A2到A 的关系． （ 对 ）解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =⨯A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><><A A φφ（9）关系的复合运算满足交换律． （ 错 ）（10）.条件具有传递性的充分必要上的关系是集合ρρρρA = （ 错 ）（11）设.~,上的传递关系也是则上的传递关系是集合A A ρρ ( 对 ) （12）集合A 上的对称关系必不是反对称的. （ 错 ）（13）设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 则21ρρ⋂也是集合A 上的等价关系( 对 )（14）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈<b a ,时， ρρ][][b a = ( 对 )（15）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则 ( 错 )二、单项选择题（1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 （ A ）A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{}R x x x ∈=+且,09|2C. {}R x x x x ∈+=且,1|D. {}R x x x ∈-=且,1|2（2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有 （ C ）A. φ=B B ．φ≠B C. B A ⊆ D. B A ⊇（3）下列各式中不正确的是 （ C ）A. φφ⊆ B ．{}φφ∈ C. φφ⊂ D. {}}{,φφφ∈ （4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是 （ B ）A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2⊆ C. {}A a 2}{∈ D. {}Aa 2}{⊆ （5）设{}2,1=A ，{}c b a B ,,=，{}d c C ,=，则)(C B A ⨯为 （ B ） A. {}><><c c ,2,1, B ．{}><><c c ,2,,1C. {}><><2,,,1c cD. {}><><2,,1,c c（6）设{}b A ,0=，{}3,,1b B =，则B A 的恒等关系为 （ A ） A. {}><><><><3,3,,,1,1,0,0b b B ．{}><><><3,3,1,1,0,0C. {}><><><3,3,,,0,0b bD. {}><><><><0,3,3,,,1,1,0b b（7）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为 （ D ）A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρB ． {}><><=a c c a ,,,2ρC. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρD. {}><=a a ,4ρ（8）设ρ为集合A 上的等价关系，对任意A a ∈，其等价类[]ρa 为 （ B ）A. 空集； B ．非空集； C. 是否为空集不能确定； D. }|{A x x ∈.（9）映射的复合运算满足 （ B ）A. 交换律 B ．结合律 C. 幂等律 D. 分配律（10）设A ，B 是集合，则下列说法中（ C ）是正确的.A ．A 到B 的关系都是A 到B 的映射B ．A 到B 的映射都是可逆的C ．A 到B 的双射都是可逆的D ．B A ⊂时必不存在A 到B 的双射（11）设A 是集合，则（ B ）成立.A ．A A #22#=B ．A X X A⊆↔∈2 C ．{}A2∈φ D ．{}AA 2∈ （12）设A 是有限集（n A =#），则A 上既是≤又是～的关系共有（B ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．n 个三、填空题1. 设}}2,1{,2,1{=A ，则=A2____________.填}}},2,1{,2{}},2,1{,1{},2,1{}},2,1{{},2{},1{,{2A A φ=2.设}}{,{φφ=A ，则A 2= . 填}}},{{},{,{2A A φφφ=3.设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=⋃B A ，则集合B A ⋂中元素的个数=⋂)(#B A .34.设集合}4,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是，}5,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A 中元素的个数为 .405.设 },{b a A =, ρ 是 A2 上的包含于关系，,则有ρ= .},,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><><A A A b b b A a a a A b a φφφφφ6.设21,ρρ为集合 A 上的二元关系, 则=21ρρ .~1~2ρρ7.集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是 ．ρρρ⊆8. 设集合{}{}><><==0,2,2,02,1,01ρ上的关系A 及集合A 到集合{}4,2,0=B 的关系=2ρ｛><b a ,|><b a ,A b a B A ∈⨯∈,且∩}=21,ρρ 则B ___________________. 填 }2,2,0,2,2,0,0,0{><><><><四、解答题1. 设 A d c b a A },,,,{=上的关系 },,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c d d c a b b a d d c c b b a a ρ（1）写出ρ的关系矩阵；（2）验证ρ是A 上的等价关系；（3）求出A 的各元素的等价类。
离散数学复习资料
离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词，P是命题，P是P的否命题，是由联结词和命题P组成的复合命题.P取真值1，P取真值0，P取真值0，P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词，P Q是命题P，Q的合取式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P Q取值为0，只有P，Q之一取0.h “”析取联结词，“”不可兼析取(异或)联结词， P Q是命题P，Q的析取式，是“”和P，Q组成的复合命题. P Q是联结词“”和P，Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P Q”“(P Q)(P Q)”. P Q取值1，只要P，Q之一取值1，P Q取值0，只有P，Q都取值0.h “”蕴含联结词， P Q是“”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P Q取值为0；其余各种情况，均有P Q的真值为1，亦即10的真值为0，01，11，00的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P Q”.h “” 等价联结词，P Q是P，Q的等价式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“…当且仅当…”，P Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.h命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.h等值式A B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。
离散数学复习资料
《离散数学》习题与解答第一篇数理逻辑第一章命题逻辑1-1（1）指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题指出他的真值a)离散数学是计算机科学系的一门必修棵b)∏> 2 吗？c)明天我去看电影d)请勿随地吐痰e)不存在最大质数f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲的语言就容易多了g)9+5<12h)x<3i)月球上有水j)我正在说假话[解]a)不是命题b)是命题,真值视具体情况而定c)不是命题d)是命题,真值为te)是命题,真值为tf)是命题,真值为fg)不是命题h)是命题, 真值视具体情况而定i)不是命题1-2(1)用P表示命题“天下雪”,(又表示命题“我将去镇上”,R表示命题“我有时间”.以符号形式写出下列命题:(a)如果天不下雪和我有时间,那么我将去镇上.(b)我将去镇上，仅当我有时间.(c)天不下雪(d)天下雪,那么我不去镇上[解]a)(┐P∧R)→Qb)Q→Rc)┐Pd)P→┐Q1-2(2)将下面这段陈述中所出现的原子命题符号化,并指出他们的真值,然后将这段陈述中的每一命题符号化 2 是有理数是不对的.2是偶素数.2或4是素数.如果2是素数则3也是素数.2是素数当且仅当3也是素数.[解]:陈述中出现5个原子命题，将他们符号化为:P: 2 是有理数其真值为FQ:2是素数其真值为TR:2是偶数其真值为TS:3是素数其真值为TU:4是素数其真值为F陈述中各命题符号化为:┐P;Q∧R;Q∨U;Q→S;Q＜＝＞S1-2(3)将下列命题符号化a)如果3+3=6,则雪是白色的.b)如果3+3≠6,则雪是白色的c)如果3+3=6,则雪不是白色的.d)如果3+3≠6,则雪不是白色的e)王强身体很好，成绩也很好.f)四边形ABCD是平行四边形,仅当其对边平行[解]:设P:3+3=6 Q:雪是白色的R:王强成绩很好S:王强身体很好U: 四边形ABCD是平行四边形V: 四边形ABCD的对边是平行的于是:a)可表示为:P→Qb)可表示为: ┐P→Qc)可表示为: P→┐Qd)可表示为：┐P→┐Qe)可表示为：S∧Rf)可表示为:U＜＝＞V1-3(1)判别下列公式中哪些是合式公式,那些不是合式公式a) (Q→R∧S)b) (P＜＝＞(R→S))c) ((┐P→Q)→(Q→P)))d) (RS→T)e)((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)))[解]:a)不是合式公式(若规定运算符优先级后也可以作为合式公式)b)是合式公式c)不是合式公式(括号不配对)d)不是合式公式e)是合式公式1-3(2)对下列各式用指定的公式进行代换:a) (((A→B)→B)→A),用（A→C）代换A，用（（B∧C）→A代换B。
011001[离散数学(1)] 天津大学考试题库及答案
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1 / 6离散数学（1）复习题一、填空题1、集合S={n 100 | n ∈N}的基数为（ 0ℵ ）。
2、设R 是集合A 上的二元关系，则R 是对称的，当且仅当其关系矩阵（ 为对称矩阵 ）。
3、集合P={Ф，{a}}的幂集ρ(P)=（ {Ф,{Ф},{a}, {Ф，{a}} } ）。
4、设A={1,2,7,8}，B={i │i ∈N 且i 2<50}，则A —B=（ {8} ）。
5、设(A ，≤)是一个有界格，只要满足（ 每个元素均有补元 ），它也是有补格。
6、设S 为非空有限集，代数系统（ρ(S)，Y ，I ）中，ρ(S)对Y 的零元为（ S ），ρ(S)对I 的单位元为（ Ф ）。
7、重言式的否定式是（ 矛盾 ）。
8、设A=φ，B={φ，{φ}}，则B －A=（ {}{}φφ， ）。
9、集合A={1，2，…，10}上的关系R={（x ，y ）│x+y=10且x 、y ∈A}，则R 的性质为（ 对称的 ）。
10、有界格（P ，∧，∨）对于“∧”运算的零元为（ 0 ）。
11、设P ：张三可以做这件事，Q ：李四可以做这件事。
则命题“张三或李四可以做这件事”符号化为（ P Q ∨ ）。
12、设M={x| f 1（x ）=0}，N={x| f 2（x ）=0}，则方程f 1（x ）·f 2（x ）=0的答案为（ M N U ）。
13、设 |A|=m ，|B|=n ，则 |ρ(A ×B) | 等于（ 2m n ⨯ ）。
二、计算与证明题1、设A={0，1}，B={a ，b}，求：（1）A ×B ；（2）B ×A答：（1）()()()(){}0,,0,,1,,1,A B a b a b ⨯=（2）()()()(){},0,,0,,1,,1B A a b a b ⨯=2、（1）叙述幂集的定义；（2）求集合P={Ф，{a}}的幂集ρ(P)．。
离散数学复习题(请参考课件)
离散数学Part1_数理逻辑部分1．将下列命题符号化。
P48（1）豆沙包是由面粉和红小豆做成的.（2）苹果树和梨树都是落叶乔木.（3）王小红或李大明是物理组成员.（4）王小红或李大明中的一人是物理组成员.（5）由于交通阻塞，他迟到了.（6）如果交通不阻塞，他就不会迟到.（7）他没迟到，所以交通没阻塞.（8）除非交通阻塞，否则他不会迟到.（9）他迟到当且仅当交通阻塞.分清复合命题与简单命题分清相容或与排斥或分清必要与充分条件及必要充分条件答案：（1）是简单命题（2）是合取式（3）是析取式（相容或）（4）是析取式（排斥或）请分别写出（1）—（4）的符号化形式设p: 交通阻塞，q: 他迟到（5）p→q, （6）⌝p→⌝q或q→p（7）⌝q→⌝p或p→q, （8）q→p或⌝p→⌝q（9）p↔q或⌝p↔⌝q可见（5）与（7），（6）与（8）相同（等值）3．用真值表判断下面公式的类型P51（1）p∧r∧⌝(q→p)（2）((p→q) →(⌝q→⌝p)) ∨r（3）(p→q) ↔(p→r)按层次写真值表，由最后一列判类型答案：（1）为矛盾式，（2）为重言式，（3）为可满足式例用等值演算法判断下列公式的类型P59（1）q∧⌝(p→q)（2）(p→q)↔(⌝q→⌝p)（3）((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)解（1）q∧⌝(p→q)⇔q∧⌝(⌝p∨q) （蕴涵等值式）⇔q∧(p∧⌝q) （德摩根律）⇔p∧(q∧⌝q) （交换律，结合律）⇔p∧0 （矛盾律）⇔ 0 （零律）由最后一步可知，（1）为矛盾式.（2）(p→q)↔(⌝q→⌝p)⇔ (⌝p∨q)↔(q∨⌝p) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p∨q)↔(⌝p∨q) （交换律）⇔ 1由最后一步可知，（2）为重言式.问：最后一步为什么等值于1？说明：（2）的演算步骤可长可短，以上演算最省.（3）((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)⇔ (p∧(q∨⌝q))∧r（分配律）⇔p∧1∧r（排中律）⇔p∧r（同一律）由最后一步可知，（3）不是矛盾式，也不是重言式，它是可满足式，其实101, 111是成真赋值，000, 010等是成假赋值.总结：从此例可看出A为矛盾式当且仅当A ⇔ 0A为重言式当且仅当A ⇔ 1例求公式A=(p→⌝q)→r的主析取范式与主合取范式. P71（1）求主析取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∧q)∨r（析取范式）①(p∧q)⇔ (p∧q)∧(⌝r∨r)⇔ (p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)⇔m6∨m7②r⇔ (⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r⇔ (⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m5∨m7 ③②, ③代入①并排序，得(p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7 （主析取范式）（2）求A的主合取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∨r)∧(q∨r) （合取范式）①p∨r⇔p∨(q∧⌝q)∨r⇔ (p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)⇔M0∧M2 ②q∨r⇔ (p∧⌝p)∨q∨r⇔ (p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨r)⇔M0∧M4 ③②, ③代入①并排序，得(p→⌝q)→r⇔M0∧M2∧M4 （主合取范式1．设A与B均为含n个命题变项的公式，判断下列命题是否为真？P85 （1）A⇔B当且仅当A与B有相同的主析取范式（2）若A为重言式，则A的主合取范式为0（3）若A为矛盾式，则A的主析取范式为1（4）任何公式都能等值地化成{∧, ∨}中的公式（5）任何公式都能等值地化成{⌝, →, ∧}中的公式（1）为真，这是显然的（2）为假. 注意, 任何公式与它的主范式是等值的，显然重言式不能与0等值。
大学离散数学复习试题 (1)
离散数学练习题目一、选择题1．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列各式中____D______是错的。
A 、A ⊆Φ；B 、{6，7，8}∈A ；C 、{{4，5}}⊂A ；D 、{1，2，3}⊂A 。
2.已知集合A={a,b,c},B={b,c,e},则 A ⊕B=___C___________A.{a,b} B={c} C={a,e} D=φ3.下列语句中，不是命题的是____A_________A.我说的这句话是真话；B. 理发师说“我说的这句话是真话”；C. 如果明天下雨，我就不去旅游；D. 有些煤是白的，所以这些煤不会燃烧；4.下面___D______命题公式是重言式。
A.R Q P ∨→ ；B.)()(Q P R P →∧∨ ；C.)()(R Q Q P ∨↔∨；D 、))()(())((R P Q P R Q P →→→→→→。
5.公式(p ∧q)∨(p ∧～q)的主析取范式是____B_______A.m1∨m2B.m2∨m3C.m0∨m2D. m1∨m36．设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”符号化为___D______。
A 、)),()((y x A x L x →∀；B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ ；C 、)),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀；D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀ 。
7.关于谓词公式（x ）(y)(P(x,y)∧Q(y,z))∧(x)p(x,y),下面的描述中错误的是__B_____A ．（x ）的辖域是（y ）（P （x,y ）∧Q(y,z)）B ．z 是该谓词公式的约束变元C ．（x ）的辖域是P （x,y ）D ．x 是该谓词公式的约束变元8． 设B A S ⨯⊆，下列各式中____B___________是正确的。
离散数学深刻复知识题（全）
离散数学深刻复知识题（全）离散数学复习资料⼀、填空1. 命题“对于任意给定的正实数，都存在⽐它⼤的实数”令F(x)：x 为实数，yx y x L >:),(则命题的逻辑谓词公式为。
2. 设p ：王⼤⼒是100⽶冠军，q ：王⼤⼒是500⽶冠军，在命题逻辑中，命题“王⼤⼒不但是100⽶冠军，⽽且是500⽶冠军”的符号化形式为。
命题“存在⼀个⼈不但是100⽶冠军，⽽且是500⽶冠军”的符号化形式为____。
3. 选择合适的论域和谓词表达集合A=“直⾓坐标系中，单位元（不包括单位圆周）的点集”则A= 。
4. 设 P （x ）：x 是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x 是奇数 N (x,y)：x 可以整数y 。
则谓词(()(()(,)))x P x y O y N y x ?→?∧的⾃然语⾔是对于任意⼀个素数都存在⼀个奇数使该素数都能被整除。
5. 设个体域是{a,b}，谓词公式()()()()x P x x P x ??∨?写成不含量词的形式是。
6. 谓词(((,)(,))(,,))x y z P x z P y z uQ x y u ∧→?的前束范式为。
7. 命题公式)))(((R Q Q P P A →?∧→?∨?的主合取范式为，其编码表⽰为。
8. 设E 为全集，，称为A 的绝对补，记作～A ，且～（～A ）= ，～E = ，～Φ= 。
9. 设={256},{234},{134}A B C ==，，，，，，，则A-B= ，A ⊕B = ，A ×C = 。
10. 设},,{c b a A =考虑下列⼦集}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =，}},{},{{3c b a S =，}},,{{4c b a S =，}}{},{},{{5c b a S =，}},{},{{6c a a S =则A 的覆盖有，A 的划分有。
自考离散数学期末复习
1.5 最小联结词组与范式
主范式 定义1.5.5 n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与
它的否定不能同时存在，但两者必须出现仅且出现一次。 例如：2个命题变元P和Q，其大项为：
P˅Q, P˅¬Q, ¬P˅Q, ¬P˅¬Q 3个命题变元P，Q和R，其大项为： P˅Q˅R, P˅Q˅¬R, P˅¬Q˅R, P˅¬Q˅¬R, ¬P˅Q˅R, ¬P˅Q˅¬R, ¬P˅¬Q˅R, ¬P˅¬Q˅¬R
离散数学期末复习
1.1 命题概念
命题：具有唯一真值的陈述句
1.1 命题概念
练习：
1.下列句子为命题的是（ D ）
A.全体起立！
B. X=0
C. 我在说谎
D.张三生于1886年的春天
2.下列句子不是命题的是（ D ）
A.中华人民共和国的首都是北京 B.张三是学生
C.雪是黑色的
D.太好了！
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词 （3）析取 定义1.2.3 两个命题P, Q的析取是个复合命题，记作P∨Q。 ∨称作析取联结词， 与自然语言中的“或”有些相似 例4 王强是这次校运动会的跳高或100米短跑的冠军。
设P: 王强是这次校运动会的跳高冠军； Q:王强是这次校运动会的100米短跑的冠军。
所以本例可描述为： P∨Q
设P: 我有就学机会； Q:我必用功读书。
所以本例可描述为： P→Q
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词 （4）条件 P→Q的真值
当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，P→Q 为F.其余情况，P∨Q为T
PQ TT TF FT FF
P→Q T F T T
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词 （5）双条件 定义1.2.6 给定两个命题P, Q，其复合命题P↔Q称作双条件命题，读作P当
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11、任一棵树都是自己的生成树 12、任一连通图都有生成树
13、含n个顶点，n-1条边的图一定是棵树 14、一棵树的余树不一定是树 15、可图化的非负整数列在同构的意义下，非负整数列 与图不一定是一一对应的 16、边带权的无向（连通）图一定有最小生成树 ( ) 17、(根)树的顶点分为分支点和树叶 18、最优2叉树一定是2叉正则树 19、含t片树叶的最优2叉树一定含有t-1个分支点 20、含t片树叶并且树叶带权的2叉树一定存在最优2叉树 21、连通图中顶点之间的可达关系是等价关系。 22、连通图中顶点之间的相互可达关系是等价关系。
1、图分为简单图和多重图 2、欧拉 (哈密顿)图都是连通图 3、欧拉 图都是哈密顿图 一欧拉图一定不是半欧拉图。 4、哈密顿图都是欧拉 图 5、半欧拉 图都是半哈密顿图 6、半哈密顿图都是半欧拉 图 7、任一个有限图都可以用矩阵、图形和集合表示 8、图分为欧拉 图和半欧拉 图(图分为欧拉 图、半欧拉 图以及既 不是欧拉 图又不是半欧拉 图的图) 9 、图分为哈密顿图和半哈密顿图 10、树都是连通图 含n个顶点，n-1条边的无向简单图是一棵树 含n个顶点，n-1条边的无向连通图是一棵树 在图论中，平凡图是一棵树。
n
８、命题公式之间的等值关系是等价关系(偏序关系) ( ) 9、p q的逻辑关系为 q是p的充分条件 (必要条件、充要条件 ) () 10、任意一个命题公式的赋值不是成真赋值就是成假赋值 11、真值表是表示命题公式的一种方式 12、任意一个命题公式的层数都为正整数 (整数 ) 13、同一个命题公式的形式可能既是析取范式又是合取范式 14、同一个命题公式可能既是主析取范式又是主合取范式（A=p） 15、一个命题公式有唯一的极小项并且有唯一的极大项 16、一个正确的推理其结论未必是真命题 17、推理定律对应的公式都是永真式 18、 封闭的公式在一确定解释下，其真值是唯一的 19 、同一个命题符号化后的形式可能不唯一 20、顶点之间的连通关系是等价关系(偏序关系) ( ) 21、有向图中顶点之间的相互可达关系是等价关系(偏序关系) ( ) 22、图之间的同构关系是等价关系(偏序关系) ( )
１、集合是二元关系，二元关系是集合 ２、集合可以表示函数 ３、二元关系表示的是一元函数 ，一元函数可以用二元关 系来表示 ４、非空集上一个关系可能既是自反关系又是反自反关系 ５、一个关系可能既是对称关系又是反对称关系 ６、一个关系可能既是等价关系又是偏序关系 7、在集合表达式中，关系运算优先于集合运算。 8、非空集Ａ上的偏序关系与集合Ａ的划分是一一对应的。 9、非空集Ａ上的偏序关系与其哈斯图是一一对应的。 10、非空集Ａ上的等价关系与集合Ａ的划分是一一对应的。
一、填空题
离散数学复习类型
二、判断题
三、综合题 第一部分 基本知识点：命题，联结词，命题公式的类型，极小项，极大项，成真赋值
（成假赋值），基本等值式，推理定律，符号化（命题、谓词） 1、求命题公式的两种主范式（重点3元） 2、构造命题公式序列证明法（正确推理的证明方法） 另外，还需掌握真值表法、等值演算法、主范式法
第二部分 基本知识点：集合（含关系）的运算，幂集，二元关系及性质，
等价关系，划分，偏序关系，哈斯图，函数及性质 1、将A上的关系通过添加最少的有序对使其具有某一性质(如作闭包) 2、构造给定集合上的等价关系、偏序关系 3、判定一关系是否是函数？若是，问函数具有哪些性质？ (满射、单射还是双射？)
第四部分
基本知识点：简单图，子图(含生成子图)，Kn, n阶有向完全图，可图化， 同构，通路，路径，圈，连通图（含强连通图，单向连通图），割点，桥， 二部图，正则图，竞赛图，补图，关联矩阵ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ邻接矩阵，欧拉图、哈密顿图， 无向树，最小生成树，根数，最优二叉树
1、作出K4的生成子图（非同构） 2、作出三阶有向完全图的生成子图（非同构） 3、作出满足一定条件的欧拉图、哈密顿图 4、作出满足条件的无向简单图、无向树、最小生成树、最优2叉树 5、利用邻接矩阵求一有向图中两顶点之间的通路、回路数 二、判断题 １、命题都是陈述句 ２、命题公式包括矛盾式和可满足式两类 ３、命题是０元谓词， ０元谓词不一定是命题 ４、两个命题公式等值就是在同一组赋值下同真值 ５、任一命题公式都存在唯一的两种范式(唯一的主范式 ) ６、任一谓词公式都存在唯一的前束范式 ７、含n个命题变元的所有命题公式的主析取范式最多有有限种， 并且为 2 2