课时跟踪检测(八) 等式性质与不等式性质

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等式与不等式的性质(原卷版)

等式与不等式的性质【考纲要求】1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.2、会利用不等式性质比较大小【思维导图】【考点总结】【考点总结】一、等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .二、不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．三、比较两个实数a 、b 大小的依据文字语言符号表示如果a ＞b ，那么a －b 是正数；如果a ＜b ，那么a －b 是负数；如果a ＝b ，那么a －b 等于0，反之亦然a >b ⇔a －b >0 a b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .推论(同向可加性)：⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性： ⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc ；推论(同向同正可乘性)：⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ； (5)正数乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N *，n ≥2)． [化解疑难]1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．【题型汇编】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小题型二：作差法比较数（式）大小题型三：利用不等式的性质证明不等式【题型讲解】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小一、单选题1．（2022·浙江·三模）已知,,,a b c d ∈R ，且,,()()()a b c c d a d b d c d c d <<≠---+=，则（） A ．d a 2．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（） A ．c ca b> B ．2ab b <C ．12a b a b-+≥- D ．1111a b <-- 3．（2022·江西萍乡·三模（理））设2ln1.01a =， 1.021b =，1101c =，则（） A ．a b c <>”是“()22()log log 0-->m n m n ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e 1b a a b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（） ①1122b a --< ②11b a a b -<- ③e e b a b a -<- ④52727ln 5a a b b ++-+<+A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（） A ．a c b c +<+B ．11a b< C ．ac bc > D ．b a c ->7．（2022·陕西渭南·二模（文））设x 、y 都是实数，则“2x >且3y >”是“5x y +>且6xy >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（） A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>9．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极小值点，则（） A ．a b C ．2ab a <D ．2ab a >10．（2022·江西·二模（文））已知正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论不正确的是（） A ab 12B ．14a b+的最小值是9C ．若a b >，则2211a b < D ．22log log a b +的最大值为0 二、多选题1．（2022·全国·模拟预测）已知110a b<<，则下列不等关系中正确的是（） A ．ab a b >-B ．ab a b <--C ．2b aa b+>D ．b a a b> 2．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b >D ．1ab b>+ 3．（2022·重庆·二模）已知2510a b ==，则（） A ．111a b+> B ．2a b > C ．4ab > D ．4a b +>题型二：作差法比较数（式）大小一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知10a b a>>>，则下列结论正确的是（） A ．1a bb a -⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．log log a a bba b <C ．log log a b baa b <D ．11b a a b-<- 2．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（） A ．11a bC ．22lg lg a b >D ．33a b >3．（2022·江西上饶·二模（理））设e 4ln 2313e 4ln 214e ea b c ===，，其中e 是自然对数的底数，则（）注：e 2.718ln 20.693==，A ．b a c <，则下列不等式一定成立的是（） A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>5．（2022·广东广州·一模）若正实数a ，b 满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（） A ．log 0a b - C ．122ab a b ++< D ．11b a a b --<6．（2022·山西太原·二模（文））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（） ①a b < ②11a b ab+<+ ③2a b ab +< ④b a a a b b +<+ A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2022·河北衡水中学一模）已知110a b<<，则下列结论一定正确的是（） A ．22a b >B ．2b aa b+<C ．a ba a <D ．2lg lg a ab <8．（2022·重庆·三模）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b a c >>9．（2022·湖南·雅礼中学二模）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A ．ax by cz ++ B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++二、多选题1．（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（）A ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强 2．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知0a b >>，115a b a b+++=，则下列不等式成立的是（） A ．14a b <++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知1m n >>，若1e 2e e m n m m m n +-=-（e 为自然对数的底数），则（） A ．1e e 1m n m n +>+ B ．11122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．4222m n --+>D ．()3log 1m n +>4．（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（）． A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭5．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（） A ．1ab a b +>+ B ．()2log 1a b +> C ．11a b ab+<+D ．11a b a b+>+ 15．（2022·山东聊城·三模）已知实数m ，n 满足01n m <<<，则下列结论正确的是（） A ．11n n m m +<+ B ．11m n m n+>+ C ．n m m n >D ．log log m n n m <题型三：利用不等式的性质证明不等式一、单选题1．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）设,a b ∈R ，则“||1+≤a b ”是“||1a b +≥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·浙江·模拟预测）已知a ，b R ∈，则“a b b ->”是“12b a <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2021·上海长宁·二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值．则下列判断正确的是（） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题D ．p 是假命题，q 是真命题5．（2021·浙江·模拟预测）已知x ，y ∈R ，则“2214xy +≤”是“12x y +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2021·全国·模拟预测）已知a ∈R ，()21ln 0ax x a x --+≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．（2021·浙江·模拟预测）已知0a b >>，给出下列命题： 1a b =，则1a b -<； ②若331a b -=，则1a b -<； ③若1a b e e -=，则1a b -<； ④若ln ln 1a b -=，则1a b -<. 其中真命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．48．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（） A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]9．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知,,a b c ∈R 且0,++=>>a b c a b c ，则22a c ac +的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．(],2-∞-C ．5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦10．（2022·浙江·模拟预测）若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞二、多选题1．（2021·江苏·扬州中学模拟预测）已知两个不为零的实数x ，y 满足x y <，则下列说法中正确的有（） A ．31x y ->B ．2xy y <C ．x x y y <D ．11x y> 2．（2021·福建·模拟预测）下列说法正确的是（）A ．设,x y R ∈，则“222x y +≥”是“1≥x 且1y ≥”的必要不充分条件B ．2πα=是“cos 0α=”的充要条件C ．“3x ≠”是“3x ≠”成立的充要条件D ．设R θ∈，则 “1212ππθ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件 3．（2021·广东·石门中学模拟预测）设,a b 为正实数，下列命题正确的有（） A ．若221a b -=，则1a b -<；B ．若111b a -=，则1a b -<；C 1a b =，则1a b -<；D ．若331a b -=，则1a b -<.4．（2021·江苏南京·二模）已知0a >，0b >，且221a b +=，则（） A ．2a b +≤B ．1222a b -<< C ．221log log 2a b -D ．221a b ->-。

课时跟踪检测(八) 等式性质与不等式性质

课时跟踪检测（八）等式性质与不等式性质A 级——学考水平达标练1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤400解析：选B x 月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400.2．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( )A ．b ＜0，c ＜0B ．b ＞0，c ＞0C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0解析：选D 由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0，又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.3．若1a <1b <0，则下列结论中不正确的是( )A ．a 2|a ＋b |解析：选D ∵1a <1b <0，∴b <a <0，∴b 2>a 2，ab b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，c <d ，则a c >b dD ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选B 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才成立．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.5．已知0<a 1<1,0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．M ≥N解析：选B ∵0<a 1<1,0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N .6．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．解析：∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0， ∴x 1＋x 2≤12. 答案：x 1＋x 2≤12 7．已知1<α<3，－4< β <2，若z ＝12α－β，则z 的取值范围是________．解析：∵1<α<3，∴12<12α<32，又－4<β<2，∴－2<－β<4.∴－32<12α－β<112，即－32<z <112. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪－32<z <112 8．已知三个不等式①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．解析：若ab >0，c a >d b 成立，不等式c a －d b>0两边同乘ab ，可得bc －ad >0，即①②⇒③；若bc >ad ，ab >0成立，不等式bc －ad >0两边同除以ab 可得c a －d b >0，即③①⇒②；由②得bc －ad ab >0，又由③得bc －ad >0，所以ab >0，即②③⇒①.所以可以组成3个正确命题．答案：39．比较x 6＋1与x 4＋x 2的大小，其中x ∈R .解：∵x 6＋1－(x 4＋x 2)＝x 6－x 4－x 2＋1＝x 4(x 2－1)－(x 2－1)＝(x 2－1)(x 4－1)＝(x 2－1)2(x 2＋1)≥0，∴当x ＝±1时，x 6＋1＝x 4＋x 2，当x ≠±1时，x 6＋1＞x 4＋x 2.综上可知，x 6＋1≥x 4＋x 2，当且仅当x ＝±1时等号成立．10．(1)已知a b ，1a <1b，求证：ab >0. 证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab， ∵a 0，ab >0.∴(b ＋a )(b －a )ab <0. 故b a <a b. (2)∵1a <1b ，∴1a －1b <0，即b －a ab <0，而a >b ，∴b －a <0，∴ab >0.B 级——高考水平高分练1．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .则将a ，b ，c ，d 按照从小到大的次序排列为________．解析：由②得a ＝c ＋d －b 代入③得c ＋d －b ＋d 0,1－a >0.即11＋a 1－a ＝11－a 2∵0<1－a 2≤1，∴11－a 2≥1，∴11＋a≥1－a . 答案：11＋a≥1－a 3．已知1≤a －b ≤2,2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．解：令4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，－m ＋n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. 又∵1≤a －b ≤2，∴3≤3(a －b )≤6，又∵2≤a ＋b ≤4，∴5≤3(a －b )＋(a ＋b )≤10，即5≤4a －2b ≤10.故4a －2b 的取值范围为5≤4a －2b ≤10.4．已知a >b >0，c <d <0.求证：3a d <3b c .证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0，∴0<－1c <－1d. 又∵a >b >0，∴－a d >－b c >0，∴ 3－a d > 3－b c ，即－3a d >－3b c ，两边同乘以－1，得3a d <3b c.5．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．解：设住宅窗户面积、地板面积分别为a ，b ，同时增加的面积为m ，根据问题的要求a 0，于是a ＋m b ＋m >a b .又a b ≥10%，因此a ＋m b ＋m >a b≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．。

2023年高考数学一轮复习讲义——等式性质与不等式性质

§1.3 等式性质与不等式性质考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a b ⇔b <a ；性质2 传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3 可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4 可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5 同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6 同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7 同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．常用结论1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2．若a >b >0，m >0⇒b a a >0，m >0⇒b a >b ＋ma ＋m .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则b >a .( × ) (3)若x >y ，则x 2>y 2.( × )(4)若1a >1b，则b <a .( × ) 教材改编题1．(多选)设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是( )A ．1122a b ＜B.1a >1bC.a ＋2b ＋2>a bD ．ac 3<bc 3 答案 ABC解析因为y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增，所以1122a b ＜，A 正确；因为y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >1b，B 正确；因为a ＋2b ＋2－a b ＝2(b －a )(b ＋2)b >0，所以a ＋2b ＋2>a b，C 正确；当c ＝0时，ac 3＝bc 3，所以D 不正确．2．已知M ＝x 2－3x ，N ＝－3x 2＋x －3，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 M －N ＝(x 2－3x )－(－3x 2＋x －3)＝4x 2－4x ＋3＝(2x －1)2＋2>0，∴M >N .3．已知－1<a <2，－3qD ．p ≥q答案 B解析 p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a)ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)(2022·菏泽模拟)已知a ，b ，c ∈(0,3)，且a 5＝5a ，b 4＝4b ，c 3＝3c ，下列不等式正确的是() A ．a >b >c B ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b答案 C解析 a 5＝5a ，即ln a a ＝ln 55，b 4＝4b ，即ln b b ＝ln 44，c 3＝3c ，即ln c c ＝ln 33，设f (x )＝ln x x ，则f (a )＝f (5)，f (b )＝f (4)，f (c )＝f (3)，f ′(x )＝1－ln xx 2(x >0)，当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )＝ln x x 单调递减，当0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )＝ln x x单调递增，因为a ，b ，c ∈(0,3)，f (a )＝f (5)，f (b )＝f (4)，f (c )＝f (3)，所以a ，b ，c ∈(0，e)，因为f (5)<f (4)<f (3)，所以f (a )<f (b )<f (c )，a N解析方法一 M －N ＝e 2 021＋1e 2 022＋1－e 2 022＋1e 2 023＋1＝(e 2 021＋1)(e 2 023＋1)－(e 2 022＋1)2(e 2 022＋1)(e 2 023＋1)＝e 2 021＋e 2 023－2e 2 022(e 2 022＋1)(e 2 023＋1)＝e 2 021(e －1)2(e 2 022＋1)(e 2 023＋1)>0. ∴M >N .方法二令f (x )＝e x ＋1e x ＋1＋1＝1e (e x ＋1＋1)＋1－1e e x ＋1＋1＝1e ＋1－1e e x ＋1＋1，显然f (x )是R 上的减函数，∴f (2 021)>f (2 022)，即M >N .思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1 (1)已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b， ∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0.∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b )>0， ∴M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．答案 e π·πe <e e ·ππ解析 e π·πe e e ·ππ＝e π－e ππ－e ＝⎝⎛⎭⎫e ππ－e ，又0<e π<1,0<π－e<1， ∴⎝⎛⎭⎫e ππ－e <1，即e π·πe e e ·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ. 题型二不等式的性质例2 (1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a a >b >0，则a c －a b >c >0，则a b >a ＋c b ＋c答案 D解析对于A 选项，当c ＝0时，显然不成立，故A 选项为假命题；对于B 选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a b c －b ＝12，故C 选项为假命题；对于D 选项，由于a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c ＝a (b ＋c )－b (a ＋c )b (b ＋c )＝ac －bc b (b ＋c )＝(a －b )c b (b ＋c )>0，即a b >a ＋c b ＋c ，故D 选项为真命题．(2)(多选)若1a <1b<0，则下列不等式正确的是( ) A.1a ＋b <1abB ．|a |＋b >0C ．a －1a >b －1bD ．ln a 2>ln b 2答案 AC解析由1a <1b<0，可知b <a <0. A 中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab ，即A 正确； B 中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故B 错误；C 中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故C 正确； D 中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b 2>ln a 2，故D 错误．教师备选若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c |D.a c 2＋1>b c 2＋1答案 D解析对于A ，若a >0>b ，则1a >1b，故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 20，又a >b ，所以ac 2＋1>bc 2＋1，故D 正确．思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2 (1)(2022·珠海模拟)已知a ，b ∈R ，满足ab <0，a ＋b >0，a >b ，则() A.1a <1b B.b a ＋a b >0C ．a 2>b 2D ．a <|b |答案 C解析因为ab <0，a >b ，则a >0，b <0，1a >0，1b <0，A 不正确；b a <0，a b <0，则b a ＋a b <0，B 不正确；又a ＋b >0，即a >－b >0，则a 2>(－b )2，a 2>b 2，C 正确；由a >－b >0得a >|b |，D 不正确．(2)(多选)设a >b >1>c >0，下列四个结论正确的是( )A.1ac >1bcB ．ba c >ab cC ．(1－c )a <(1－c )bD ．log b (a ＋c )>log a (b ＋c )答案 CD解析由题意知，a >b >1>c >0，所以对于A ，ac >bc >0，故1ac <1bc ，所以A 错误；对于B ，取a ＝3，b ＝2，c ＝12，则ba c ＝23，ab c ＝32，所以ba c <ab c ，故B 错误；对于C ，因为0<1－c <1，且a >b ，所以(1－c )a <(1－c )b ，故C 正确；对于D ，a ＋c >b ＋c >1，所以log b (a ＋c )>log b (b ＋c )>log a (b ＋c )，故D 正确．题型三不等式性质的综合应用例3 (1)已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是______，3x ＋2y 的取值范围是______．答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.延伸探究若将本例(1)中条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. (2)已知3<a <8,40，即0<α－β<π2. 思维升华求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)已知a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，则c a的取值范围是( ) A ．－3<c a<－1 B ．－1<c a <－13 C ．－2<c a<－1 D ．－1<c a <－12答案 A解析因为a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b ＝－2a －c ，因为a >b >c ，所以－2a －c <a ，即3a >－c ，解得c a >－3，将b ＝－2a －c 代入b >c 中，得－2a －c >c ，即a <－c ，得ca <－1，所以－3<c a <－1.(2)已知1<a 13，∴13<ab <1.综上所述，a －b 的取值范围为(－2,0)；a b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.课时精练1．(2022·长春模拟)已知a >0，b >0，M ＝a ＋b ，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为() A ．M >N B ．M <NC ．M ≤ND ．M ，N 大小关系不确定答案 B解析 M 2－N 2＝(a ＋b )－(a ＋b ＋2ab )＝－2ab <0，∴M <N .2．已知非零实数a ，b 满足a b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，a a b ，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确．3．已知－3<a <－2,31，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是() A ．n >m >p B ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n答案 B解析由a >1知，a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，而2a －(a ＋1)＝a －1>0，即2a >a ＋1，∴a 2＋1>2a >a ＋1，而y ＝log a x 在定义域上单调递增，∴m >p >n .5．(2022·杭州模拟)若⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫13b <1，则下列各式中一定成立的是( )A ．ln(a －b )>0B ．2b －a >1C ．－1a >－1bD ．log c a >log c b (c >0且c ≠1)解析指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，＋∞)上单调递减，由⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫13b <1可知，a >b >0.所以1a <1b ，则－1a >－1b ，故C 正确；a －b >0，但不一定有a －b >1，则不一定有ln(a －b )>0，故A 错误；函数y ＝2x 在(－∞，＋∞)上单调递增，b －a <0.则2b －a <20＝1，故B 错误；当0<c <1时，函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，则log c a <log c b ，故D 错误．6．(多选)(2022·济宁模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式不成立的是() A ．xy >yz B ．xy >xzC ．xz >yzD ．x |y |>|y |z答案 ACD解析因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，y 的符号无法确定，对于A ，因为x >0>z ，若y <0，则xy <0<yz ，故A 错误；对于B ，因为y >z ，x >0，所以xy >xz ，故B 正确；对于C ，因为x >y ，z <0，所以xz <yz ，故C 错误；对于D ，因为x >z ，当|y |＝0时，x |y |＝|y |z ，故D 错误．7．(多选)设a ，b ，c ，d 为实数，且a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的有() A ．c 2＜cd B ．a －c ＜b －dC ．ac ＜bd D.c a －d b ＞0解析因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，所以a >b >0,0>c >d ，对于A ，因为0>c >d ，由不等式的性质可得c 2<cd ，故选项A 正确；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则a －c ＝3，b －d ＝3，所以a －c ＝b －d ，故选项B 错误；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝－2，bd ＝－2，所以ac ＝bd ，故选项C 错误；对于D ，因为a >b >0，d <c <0，则ad <bc ，所以c a >d b，故c a －d b＞0，故选项D 正确． 8．(多选)若0<a <1，b >c >1，则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a >1B.c －a b －a >c b C ．c a －1c >1，∴b c>1. ∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故选项A 正确；对于B ，若c －a b －a >c b，则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故选项B 错误；对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故选项C 错误；对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故选项D 正确．9．已知M ＝x 2＋y 2＋z 2，N ＝2x ＋2y ＋2z －π，则M ________N ．(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .10．(2022·烟台模拟)若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2.其中正确的不等式的序号为________．答案 ①④解析因为1a <1b<0，所以b <a <0，故③错误；所以a ＋b <0<ab ，故①正确；所以|a |<|b |，故②错误；所以b a >0，a b >0且均不为1，b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ＝1时，等号成立，所以b a ＋a b>2，故④正确． 11．若0<a 1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12，即a <2ab <12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.∵12<b <1， ∴(a 2＋b 2)－b ＝[(1－b )2＋b 2]－b ＝2b 2－3b ＋1＝(2b －1)(b －1)<0，即a 2＋b 2<b ，综上可知a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 12．(2022·上海模拟)设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．答案 27解析 x 3y 4＝x 4y 2·1xy 2＝⎝⎛⎭⎫x 2y 2·1xy 2≤81×13＝27，当且仅当x 2y ＝9，xy 2＝3，即x ＝3，y ＝1时等号成立．13．(多选)(2022·长沙模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则下列不等式成立的是( )A ．c <bB ．b ≥1C ．b ≤aD ．a <c 答案 BD解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，两式相减得2b ＝2a 2＋2，即b ＝a 2＋1，∴b ≥1.又b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a .而c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，从而c ≥b >a .14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d d >c >a解析由题意知d >c ①，②＋③得2a ＋b ＋d <2c ＋b ＋d ，化简得a <c ④，由②式a ＋b ＝c ＋d 及a <c 可得到，要使②成立，必须b >d ⑤成立，综合①④⑤式得到b >d >c >a .15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则c a的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0，所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >c a. 所以⎩⎨⎧ 2c a <－1，c a >－2，解得－2<c a <－12. 即c a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z均为正整数． ①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.。

高中试卷-专题2.1 等式与不等式性质解析版)(含答案)

专题2.1 等式与不等式性质知识点①等式性质1．如果a ＝b ，那么b ＝a ．2．如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ．3．如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ．4．如果a ＝b ，那么ac ＝bc ．5．如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc．知识点②不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a ⇔2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 不可逆3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6同向同正可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向同正7可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点③两个实数比较大小的方法1．作差法：⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a ba b a b a b a 0002．作商法：()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∈<⇔<≠∈=⇔=>∈>⇔>010101b R a b a b ab R a b a b ab R a b a b a，，，知识点④常用结论1．倒数性质的几个必备结论(1)a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ；(2)a ＜0＜b ⇒1a ＜1b；(3)a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd；(4)0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a.2．两个重要不等式若a ＞b ＞0，m ＞0，则：(1)b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)；(2)a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －mb －m(b －m＞0)．一、单选题1．已知R a b c d ∈、、、，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若,a b c d >>，则ac bd >C ．若a b >，则11a b<D ．若11||||a b <，则||||a b >【来源】四川省乐山市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】对于A ，当0c £时不成立；对于B ，当1,2,0,1a b c d ==-==-时，显然不成立；对于C ，当1,2a b ==-时不成立；对于D ，因为110||||<<a b ，所以有||||0a b >>，即||||a b >成立.故选：D ．2．下列命题正确的是（）A ．22,0a b c ac bc >≠⇒>B ．a b <⇒<C ．a b >且c d a c b d <⇒+>+D ．22a b a b >⇒>【答案】A【解析】对于选项A ，∵0c ≠，∴20c >，又a b >，22ac bc \> 成立，故A 正确；对于选项B ，当0a <，0b >时，结论明显错误，故B 错误对于选项C ，当4,3,1,2a b c d ====时，a c b d +=+，所以结论错误，故C 错误对于选项D ，当1,2a b ==-时，22a b <，所以结论错误，故D 错误故选：A3．下列命题正确的是（）A ．若ac bc >，则a b >B ．若ac bc =，则a b =C ．若a b >，则11a b<D ．若22ac bc >，则a b>【答案】D【解析】对于A ，若0c <，由ac bc >可得：a b <，A 错误；对于B ，若0c =，则0ac bc ==，此时a b =未必成立，B 错误；对于C ，当0a b >>时，110a b>>，C 错误；对于D ，当22ac bc >时，由不等式性质知：a b >，D 正确.故选：D.4．已知04x <<，06y <<，则2x y -的取值范围是（）A ．(2,0)-B ．(0,2)C ．(8,6)-D ．(6,8)-【来源】第07讲不等式的基本性质-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）【答案】D【解析】解：因为04x <<，06y <<，所以028x <<，60y -<-<，所以628x y -<-<，所以2x y -的取值范围是(6,8)-，故选：D.5．如果,,a b c ∈R ，且0abc ≠，那么下列命题中正确的是（）A ．若11a b<，则a b >B ．若ac bc >，则a b >C ．若33a b >，则11a b<D ．若a b >，则22a b>【来源】山西省运城市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】D【解析】对于A ，若1a =-，1b =，满足11a b<，但a b >不成立，错误；对于B ，若0c <，则a b <，错误；对于C ，若2a =，1b =-，满足33a b >，但11a b<不成立，错误；对于D ，由指数函数的单调性知，正确.故选：D.6．若,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若c a <，则cb ab<C ．若0ab ≠且a b <，则11a b>D ．若a b >，则a c b c+>+【来源】新疆巴音州轮台县三校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题【答案】D【解析】对A ，取1,2a b ==-，则有22a b <，A 错；对B ，取0b =，则有cb ab =，B 错；对C ，取1,2a b =-=，则有11a b<，C 错；对D ，若a b >，则a c b c +>+正确；故选：D7．设a ＞b ＞1，y 12311,,11b b b y y a a a +-===+-，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 3＜y 1【来源】专题2.1 等式性质与不等式性质（4类必考点）【答案】C【解析】解：由a ＞b ＞1，有y 1﹣y 2()()1111b b ab a ab b a ba a a a a a ++---=-==+++＞0，即y 1＞y 2，由a ＞b ＞1，有y 2﹣y 3()()1111b b ab b ab a a ba a a a a a ---+-=-==---0，即y 2＞y 3，所以y 1＞y 2＞y 3，故选：C.8．若,,,R a b c d ∈，则下列说法正确的是（）A ．若a b >，c d >，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，则a c b c->-D ．若0a b <<，则1a<1b【来源】四川省成都市金牛区2021-2022学年高一下学期期末考试数学（文科）试题【答案】C【解析】对于A ，若2,1,1,2a b c d ===-=-，则2ac bd ==-，所以A 错误，对于B ，若0c =，则220ac bc ==，所以B 错误，对于C ，因为a b >，所以由不等式的性质可得a c b c ->-，所以C 正确，对于D ，因为0a b <<，所以0ab >，所以a b ab ab<，即11b a <，所以D 错误，故选：C9．若0a b >>，则下列不等式正确的是（）A ．ac bc>B ．33a b >C ．a b->-D ．a b ab+<【来源】四川省绵阳市南山中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题【答案】B【解析】对于A ，若0c =，则ac bc =，所以A 错误，对于B ，因为0a b >>，所以330a b >>，所以B 正确，对于C ，因为0a b >>，所以a b -<-，所以C 错误，对于D ，若2,1a b ==，则32a b ab +=>=，所以D 错误，故选：B10．对任意实数a b c d ,,,，命题：①若,0a b c >≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc >，则a b >.④若33,0a b ab ><，则11a b>，其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【来源】四川省自贡市2021-2022学年高一下学期期末考试数学（文）试题【答案】C【解析】对于①，若a b >，0c <，则ac bc <，①错；对于②，若0c =，则22ac bc =，②错；对于③，若22ac bc >，则20c >，由不等式的基本性质可得a b >，③对；对于④，若33,0a b ab ><，则0a b >>，则110a b>>，④对故选：C11．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（）A ．22a b >B ．11a b>C ．a b>D ．11a b a>-【来源】第05讲等式性质与不等式性质-【暑假自学课】2022年高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）【答案】D【解析】因为0a b <<，所以0a b +<，0a b -<，0ab >，0b a ->，又22()()a b a b a b -=-+，所以220a b ->，所以22a b >成立，110b aa b ab --=>，所以11a b>，0a b a b -=-+>，所以a b >，取2,1a b =-=-可得11=121a b =---+，112a =-，11a b a <-，所以11a b a>-不成立，故选：D.12．已知a b <，3x a b =-，2y a b a =-，则,x y 的大小关系为（）A ．x y >B ．x y <C ．x y=D ．无法确定【答案】B【解析】()()3221x y a b a b a a b a -=--+=-+，因为a b <，所以0a b -<，又210a +>，所以2()(1)0a b a -+<，即x y <.故选：B13．已知0,0,0a b c d e >><<<，则下述一定正确的是（）A ．ae be >B ．22c d <C ．0e e a c d b+>--D ．()ea d c b->【来源】山东省青岛市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】C【解析】解：因为0,0,0a b c d e >><<<，所以ae be <，22c d >，故AB 错误；0c d ->->，所以0a c b d ->->，所以11a c b d<--，所以e ea cb d >--，即0e ea c d b+>--，故C 正确；对于D ，若12,1,1,,12a b c d e ===-=-=-时，则()2ead c b-==，故D 错误.故选：C.14．下列说法中，错误的是（）A ．若22a b >，0ab >，则11a b ，则a b >C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+D ．若a b >，c d <，则a c b d->-【来源】广东省广州市越秀区2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】A【解析】对A ，取3,2a b =-=-，所以11a b>，故错误；对B ，由20c >，22a b c c >，所以a b >，故正确；对C,()()()m b a a m a ab bm ab am b m b b b m b b m -++---==+×+×+，由0b a >>，0m >，所以()()0m b a b b m ->×+，所以a m ab m b+>+，故正确；对D ，由c d <，所以c d ->-，又a b >，所以a c b d ->-故选：A15．已知0a b >>，则（）A ．22ac bc >B ．22a ab b >>C ．11a b>D 的取值范围是[)2,+¥【来源】山西省吕梁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】当0c =时，22ac bc >不成立，A 错误．因为0a b >>，所以22a ab b >>，11b a>，B 正确，C 错误．当0a >，0b >时，a b +³a b =时，等号成立，而a b >，D 错误．故选：B16．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中的假命题是（）A ．若22ac bc >，则a b >B ．若0,0bc ad bd -³>，则a b c db d++£C ．若0a b <<，则b aa b>D ．若11,a b a b>>，则0,0a b ><【答案】C【解析】对于A ：若22ac bc >，则20c >，所以a b >，故A 正确；对于B ：若0bc ad -³，0bd >，则0bc ad bd -³，化为c ad b ³，可得a b c d b d++£，故B 正确；对于C ：若0a b <<，所以220a b >>，0ab >，则220b a b a a b ab --=<，故b a a b<，故C 错误；对于D ：若a b >，11a b>，则110b aa b ab --=>，所以0ab <，所以0a >，0b <，故D正确；故选：C。

专题2.1 等式性质与不等式性质【八大题型】(解析版)

+2
−+2 =
(+2)−(+2)
(+2)
2(−)

+2
= (+2) < 0N < +2N C §7¨
¦ DNğ > > 0N}− > 0, + > 0N
4
-.10)*+, ............................................................................................................................6
5
./0)*2 !&+,&3 ........................................................................................................7
1+
1+
1−
1−
= 1+ + 1+
2(1−)
= (1+)(1+) > 0NĠÔN > .
! 3-223-24 `ĥ·àĲ·ģ
!LėD&
1
1
ABğ < < 0N}3 + 3 > 2 + 2 BBğ < < 0N} <
+2
-
!&'(:;<=> ..........................................................................................................14

高中数学教案《等式性质与不等式性质》

教学计划：《等式性质与不等式性质》一、教学目标1.知识与技能：学生能够准确理解并掌握等式的基本性质（反射性、对称性、传递性）和不等式的基本性质（加法性质、乘法性质、方向性），能够运用这些性质进行简单的等式变形和不等式推导。

2.过程与方法：通过实例分析、逻辑推理和动手操作，培养学生的观察能力、分析能力和问题解决能力，同时引导学生学会归纳总结的学习方法。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的逻辑思维能力和严谨的科学态度，感受数学在日常生活中的应用价值。

二、教学重点和难点●重点：等式的基本性质（反射性、对称性、传递性）和不等式的基本性质（加法性质、乘法性质、方向性）的理解与应用。

●难点：如何灵活运用不等式性质进行不等式推导，特别是涉及负数时乘法性质的方向性判断。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：以天平称重为例，引导学生思考天平平衡时两边重量相等（等式）和不平衡时一边重于另一边（不等式）的情况，引出等式与不等式的话题。

●提出问题：在等式中，我们可以做哪些操作而不改变其平衡状态？在不等式中，哪些操作会改变或保持其不平衡的方向？●明确目标：简要介绍本节课将要学习的等式与不等式的基本性质，并明确学习目标。

2. 讲解新知（15分钟）●等式性质：o反射性：以“我=你，则你也=我”为例，说明等式两边可以互换。

o对称性：通过具体等式展示，如“a=b，c=d，则a+c=b+d”，说明等式在相等关系下可以进行对称操作。

o传递性：利用“如果a=b，b=c，那么a=c”的逻辑链，强调等式的传递性质。

●不等式性质：o加法性质：以实际情境（如增加相同重量的物品）为例，说明不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变。

o乘法性质：分正数、负数两种情况讨论，通过实例展示（如放大或缩小比例），强调正数时方向不变，负数时方向反转。

o方向性：强调不等式总是指向较大的数，并通过实例加深理解。

3. 案例分析（10分钟）●精选例题：选取几道涉及等式与不等式性质应用的典型例题，逐步分析解题步骤和思路。

课时作业——等式性质与不等式性质(高三一轮复习)

数字 N
— 4—
3．已知 a>b>c，且 a＋b＋c＝0，则下列不等式一定成立的是( C ) A．ab2>bc2 B．ab2>b2c C．(ab－ac)(b－c)>0 D．(ac－bc)(a－c)>0
数字 N
— 5—
解析由题意可知 a>0，c<0，当 b＝0 时，ab2＝bc2＝0，ab2＝b2c＝0，则排除 A、 B；
选项 D，取 x＝m＋0.5，y＝m－1，满足 x>m 或 y<m，但 x＋y<2m，故充分性不
成立．
数字 N
— 12 —
10．设 f(x)＝ax2＋bx，若 1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则 f(－2)的取值范围是 [5,10] ．
解析设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a ＋b)，
数字 N
— 6—
4．(多选)(2023·菏泽摸底)下列给出的条件中，其中能得出1a<1b的是( AD )
A．b>0>a
B．b>a>0
C．a>0>b
D．a>b>0
解析对于 A，∵b>0>a，∴1b>0，1a<0，∴1a<1b，故 A 正确；对于 B，∵b>a>0， ∴1a－1b＝b－ aba>0，∴1a>1b，故 B 错误；对于 C，∵a>0>b，∴1a>0，1b<0，∴1a>1b，故 C 错误；对于 D，∵a>b>0，∴1a－1b＝b－ aba<0，∴1a<1b，故 D 正确．
A．x>m 或 y>m

【高中数学专项突破】专题8 等式性质与不等式性质专题突破(含答案)

【高中数学专题突破】专题8 等式性质与不等式性质题组1 用不等式（组）表示不等关系1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总重量T 应满足的关系为( ) A.T <40 B.T >40 C.T ≤40 D.T ≥402.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种3.将一根长5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m x ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（） A ．25105x x -⎧⎨<<⎩B ．251x -或521x -C ．52105x x -⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-⎨<<⎩4.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工()0x x ≥人，瓦工()0y y ≥人，则关于工资,x y 满足的不等关系是（） A ．54200x y +< B ．54200x y +≥ C ．54200x y +=D ．54200x y +≤5.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2 100 h ；预计此产品明年销售量至少80 000袋；每袋需用4 h ；每袋需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量x (写出不等式(组)即可)为________.题组2 作差法比较大小5.设a >b >c >0，x ＝，y ＝，z ＝，则x ，y ，z 的大小顺序是________.6.规定AB ＝A 2＋B 2，A ⊖B ＝A ·B ，A ，B ∈R .若M ＝a －b ，N ＝a ＋b ，a ，b ∈R ，判断MN 与M ⊖N 的大小.7.已知0a b +>，比较22a b b a +与11a b+的大小.题组3 不等式的性质8.若a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.a 2＋b 2≥2ab B.a ＋b ≥2C.a 2＋b 2≥(a ＋b )2D.＋<(a ≠b )9.已知x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，则实数a ，b 满足的一个条件可以是( )A.a 0>bD.a >b >010.已知a ，b ，c 均为实数，有下列说法： ①若a b ，则c －2a <c －2b ；④若a >b ，则<. 其中，正确的结论是________.(填序号)11.若正数x 、y 满足x y xy +=，则4x y +的最小值等于（）A ．4B ．5C ．9D ．1312.若102a <<，则()12a a -的最大值是（） A ．1 8B ．1 4C ．1 2D ．1题组4 利用不等式的性质判断或证明14.已知a >6，求证：－<－.15.已知a ，b 为正实数，且2c >a ＋b ，求证：c －<a <c ＋.16.已知a ，b 都是正数，并且a ≠b ，求证：a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2.17.已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．题组5 利用性质比较大小18.a ∈R ，且a 2＋a <0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A.a 2>－a 3>－a B. －a >a 2>－a 3 C. －a 3>a 2>－a D.a 2>－a >－a 319.若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A.a 1b 1＋a 2b 2 B.a 1a 2＋b 1b 2 C.a 1b 2＋a 2b 1 D.题组6 利用不等式的性质求范围20．已知1122α-≤≤，02β≤≤，则22βα-的取值范围是________. 21．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ 22．已知实数a 满足ab 2>a>ab ，则实数b 的取值范围为________．23．若两个正实数x ，y 1x y=246x y m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是________.专题8 等式性质与不等式性质题组1 用不等式（组）表示不等关系1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总重量T 应满足的关系为( ) A.T <40 B.T >40 C.T ≤40 D.T ≥40 【答案】C2.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种【答案】C【解析】设购买单片软件和盒装磁盘分别为x 片，y 盒.则即①当x ＝3时，7y ≤32，y ≤.∵y ∈N *且y ≥2，∴y 可以取2,3,4，此时有3种选购方式；②当x ＝4时，7y ≤26，y ≤，∵y ∈N * 且y ≥2，∴y 可以取2,3，此时有2种选购方式；③当x ＝5时，y ≤，∵y ∈N *且y ≥2，∴y 只能取2，此时有1种选购方式；④当x ＝6时，y ＝2，此时有1种选购方式.综上，共有7种选购方式.3.将一根长5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m x ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（）A ．25105x x -⎧⎨<<⎩B ．251x -或521x -C ．52105x x -⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-⎨<<⎩【答案】D【解析】由题意，其中一段的长度为x m 可知另一段绳子的长度为()5m x -，因为两段细子的长度之差不小于1m ，可得()5105x x x ⎧--⎪⎨<<⎪⎩，即25105x x ⎧-⎨<<⎩. 故选D.4.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工()0x x ≥人，瓦工()0y y ≥人，则关于工资,x y 满足的不等关系是（） A ．54200x y +< B ．54200x y +≥ C ．54200x y += D ．54200x y +≤【答案】D【解析】由题意，可得50040020000x y +≤，化简得54200x y +≤. 故答案为: D.5.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2 100 h ；预计此产品明年销售量至少80 000袋；每袋需用4 h ；每袋需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量x (写出不等式(组)即可)为________.【答案】【解析】由题意可得题组2 作差法比较大小5.设a >b >c >0，x ＝，y ＝，z ＝，则x ，y ，z 的大小顺序是________.【答案】z >y >x【解析】方法一 ∵a >b >c >0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2c (a －b )>0，∴y 2>x 2，即y >x ， ∵z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b )2－b 2－(c ＋a )2＝2a (b －c )>0，∴z 2>y 2，即z >y ，故z >y >x . 方法二特值代换法，令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝，y ＝，z ＝，则x <y <z ，故z >y >x .6.规定AB ＝A 2＋B 2，A ⊖B ＝A ·B ，A ，B ∈R .若M ＝a －b ，N ＝a ＋b ，a ，b ∈R ，判断MN 与M ⊖N 的大小. 【答案】∵MN ＝M 2＋N 2＝(a －b )2＋(a ＋b )2＝2a 2＋2b 2， M ⊖N ＝M ·N ＝(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，∴MN －M ⊖N ＝2a 2＋2b 2－(a 2－b 2)＝a 2＋3b 2≥0，∴MN ≥M ⊖N . 7.已知0a b +>，比较22a b b a +与11a b+的大小. 【答案】2211a b b a a b+≥+ 【解析】222211a b a b b a b a a b b a--⎛⎫+-+=+ ⎪⎝⎭2211()a b b a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭222()()a b a b a b+-=. ∵0a b +>，2()0a b -≥，∴222()()0a b a b a b +-≥，当且仅当a b =时，取等号，∴2211a b b a a b+≥+.题组3 不等式的性质8.若a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.a 2＋b 2≥2ab B.a ＋b ≥2C.a 2＋b 2≥(a ＋b )2D.＋<(a ≠b )【答案】D【解析】显然有a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2，又a 2＋b 2－(a ＋b )2＝a 2＋b 2－ab ＝(a －b )2≥0，所以a 2＋b 2≥(a＋b )2，故选D.9.已知x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，则实数a ，b 满足的一个条件可以是( )A.a 0>bD.a >b >0 【答案】D【解析】因为x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，所以，a >b >0，故选D.10.已知a ，b ，c 均为实数，有下列说法： ①若a b ，则c －2a <c －2b ；④若a >b ，则<. 其中，正确的结论是________.(填序号) 【答案】③【解析】①用特殊值法检验.令a ＝－2，b ＝－1，有4>1，故①错误；②当b <0时，有a >bc ，故②错误；③当a >b 时，有－2a <－2b ，从而c －2a <c －2b ，故③正确；④当a >0，b <0时，显然有>，故④错误.综上，只有③正确.11.若正数x 、y 满足x y xy +=，则4x y +的最小值等于（） A ．4 B ．5 C ．9 D ．13【答案】C【解析】因为正数x 、y 满足x y xy +=，所以1xy x =-（1x >），所以441x x y x x +=+-441x x =++-，令1t x =-，0t >， 44455x y t t t t+=++=++，由对勾函数4()f t t t=+在(0,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，所以min ()(2)4f t f ==，所以4x y +的最小值为9，此时33,2x y ==．故选：C ． 12.若102a <<，则()12a a -的最大值是（） A ．1 8B ．1 4C ．1 2D ．1【答案】A【解析】102a <<，故120a ->，则()()()()2212111122122228a a a a a a ⎛⎫+--=-≤⋅= ⎪⎝⎭，当14a =时取“=”，所以正确选项为A13.若非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式不一定成立的是（） A ．1ab11a b -==-，此时1a b<不成立；对于选项B ，当1,1a b =-=，a b <，+2b a a b =-，此时+2b aa b≥不成立；对于选项C ，2222221111,,0a b a b b a a b a a b b b a --=<∴-<，所以2211ab a b<成立；选项D ，当222,1,+2,+0a b a b a a b b =-=-<==，，此时22++a b a b <不成立. 故选：ABD.题组4 利用不等式的性质判断或证明14.已知a >6，求证：－<－. 【答案】方法一要证－<－，只需证＋<＋，只需证<，只需证2a －9＋2<2a －9＋2，只需证<，只需证(a －3)(a －6)<(a －5)(a －4)，只需证18<20，因为18<20显然成立，所以不等式－<－成立. 方法二要证－<－，只需证<，因为a >6，所以a －3>0，a －4>0，a －5>0，a －6>0，又因为a －3>a －5，所以>，同样有>，则＋>＋，所以－<－.15.已知a ，b 为正实数，且2c >a ＋b ，求证：c －<a <c ＋. 【答案】证明要证c －<a <c ＋，只需证－<a －c <，即证|a －c |<，两边平方得a 2－2ac ＋c 2<c 2－ab ，即证a 2＋ab <2ac ，因为2c >a ＋b ，a 为正实数，所以a 2＋ab <2ac 成立，所以原不等式成立.16.已知a ，b 都是正数，并且a ≠b ，求证：a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2.【答案】证明 (a 5＋b 5)－(a 2b 3＋a 3b 2)＝(a 5－a 3b 2)＋(b 5－a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)－b 3(a 2－b 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a ＋b )·(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2). ∵a ，b 都是正数，∴a ＋b >0，a 2＋ab ＋b 2>0.又∵a ≠b ，∴(a －b )2>0，∴(a ＋b )(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)>0， ∴a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2.17.已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥（2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥，b c +≥a c +≥a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc = ()()()33324a b b c c a ∴+++++≥题组5 利用性质比较大小18.a ∈R ，且a 2＋a <0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A.a 2>－a 3>－a B. －a >a 2>－a 3 C. －a 3>a 2>－a D.a 2>－a >－a 3 【答案】B【解析】因为a2＋a<0，所以a(a＋1)<0，所以－1<a<0，根据不等式的性质可知－a>a2>－a3，故选B.19.若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是()A.a1b1＋a2b2B.a1a2＋b1b2C.a1b2＋a2b1D.【答案】A【解析】方法一特殊值法令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，a1b2＋a2b1＝＝，∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.方法二作差法∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0<a1<a2,0<b1<b2，∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，∴0<a1<，0<b1<.又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1，a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－－，a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1，∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝＋－2a1b1＝(a1－b1)2≥0，∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)＝4>0，∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.∵(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1)＝2>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.题组6 利用不等式的性质求范围20．已知1122α-≤≤，02β≤≤，则22βα-的取值范围是________. 【答案】[]2,1- 【解析】由1122α-≤≤，则121α-≤≤，又由02β≤≤，得102β-≤-≤，则2212βα-≤-≤.故答案为：[]2,1-.21．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______【答案】[]1,7【解析】令3()()x y s x y t x y -=++- ()()s t x s t y =++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩, 12s t =⎧∴⎨=⎩, 又11x y -≤+≤①13x y ≤-≤,22()6x y ∴≤-≤⋯②∴①+②得137x y ≤-≤.故答案为[1,7]22．已知实数a 满足ab 2>a>ab ，则实数b 的取值范围为________．【答案】(－∞，－1)【解析】若a<0，则b 2<10，则b 2>1>b ，解得b ∈(－∞，－1)．23．若两个正实数x ，y 1=26m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是________.【答案】(2,8)-. 【解析】解：411x y+=44⎛⎫=+=++816≥+= 当且仅当16x y =，即4y =且64x =时取等号.246x m m +>-恒成立，则2166m m >-解得28m -<<即()2,8m ∈- 故答案为：()2,8-。

等式性质与不等式性质

2021-2022学年高一上数学必修一第二章第2课时等式性质与不等式性质学习目标 1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一等式的基本性质(1)如果a＝b，那么b＝a.(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.(4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a ⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c 不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c 可逆4可乘性⎭⎬⎫a>bc>0⇒ac>bcc的符号⎭⎬⎫a>bc<0⇒ac<bc5同向可加性⎭⎬⎫a>bc>d⇒a＋c>b＋d 同向6同向同正可乘性⎭⎬⎫a>b>0c>d>0⇒ac>bd 同向7可乘方性a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2) 同正1．若a>b，则a－c>b－c.(√)2.ab>1⇒a>b.(×)3．a>b⇔a＋c>b＋c.(√)4.⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d .( × )一、利用不等式的性质判断或证明例1 (1)给出下列命题： ①若ab >0，a >b ，则1a <1b ；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ；③对于正数a ，b ，m ，若a 0，则1ab>0，又a >b ，所以a ab >b ab ，所以1a <1b ，所以①正确；对于②，若a ＝7，b ＝6，c ＝0，d ＝－10，则7－0<6－(－10)，②错误；对于③，对于正数a ，b ，m ，若a 0，所以a b <a ＋m b ＋m ，③正确．综上，真命题的序号是①③.(2)已知a >b >0，c <d <0.求证：3ad<3b c. 证明因为c <d <0，所以－c >－d >0. 所以0<－1c <－1d.又因为a >b >0，所以－a d >－bc>0.所以3－ad>3－bc，即－3a d>－3b c，两边同乘－1，得3a d<3b c. 反思感悟 (1)首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．(2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导．跟踪训练1 若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a |>|b |，②a b 3. 则不正确的不等式的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①②均不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2. 二、利用性质比较大小例2 若P ＝a ＋6＋a ＋7，Q ＝a ＋5＋a ＋8(a >－5)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P >Q D ．不能确定答案 C解析 P 2＝2a ＋13＋2(a ＋6)(a ＋7)， Q 2＝2a ＋13＋2(a ＋5)(a ＋8)，因为(a ＋6)(a ＋7)－(a ＋5)(a ＋8)＝a 2＋13a ＋42－(a 2＋13a ＋40)＝2>0，所以(a ＋6)(a ＋7)>(a ＋5)(a ＋8)，所以P 2>Q 2，所以P >Q . 反思感悟比较大小的两种方法跟踪训练2 下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ，且1a >1b ，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则ab >1C ．若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >dD ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d 答案 A解析对于A ，∵1a >1b ，∴b －a ab >0，又a >b ，∴b －a <0，∴ab <0， ∴a >0，b <0，故A 正确；对于B ，当a >0，b <0时，有ab<1，故B 错；对于C ，当a ＝10，b ＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3，故C 错；对于D ，当a ＝－1，b ＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D 错．三、利用不等式的性质求范围例3 已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和ab 的取值范围．解 ∵15<b <36，∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45. 又136<1b <115，∴1236<a b <6015，即13<a b <4. 故－24<a －b <45，13<a b <4.延伸探究已知1≤a －b ≤2且2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．解令a ＋b ＝μ，a －b ＝ν，则2≤μ≤4,1≤ν≤2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝μ，a －b ＝ν，解得⎩⎨⎧a ＝μ＋ν2，b ＝μ－ν2，∴4a －2b ＝4·μ＋ν2－2·μ－ν2＝2μ＋2ν－μ＋ν＝μ＋3ν.而2≤μ≤4,3≤3ν≤6，则5≤μ＋3ν≤10，∴5≤4a －2b ≤10.反思感悟同向不等式是有可加性与可乘性(需同正)，但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．跟踪训练3 已知0<a ＋b <2，－10，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b答案 C解析由a ＋b >0知，a >－b ，∴－a 0，∴a >－b >b >－a .2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1b D.⎭⎬⎫ab >0a >b ⇒1a >1b答案 C解析当c ＝0时，A 不成立；当c <0时，B 不成立；当ab <0时，a >b ⇒a ab 1b ，C成立．同理可证D 不成立．3．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >bc B.ad b d D.a c －d >0，即1－d >1－c>0. 又a >b >0，所以a －d >b－c ，从而有a d b >c ，则下列不等式成立的是( ) A.1a －c >1b －c B.1a －c <1b －c C ．ac >bc D ．ac <bc答案 B解析 ∵a >b >c ，∴a －c >b －c >0，∴1a －c <1b －c ，故选B.5．若α，β满足－12<α<β<12，则α－β的取值范围是________．答案－1<α－β<0 解析 ∵－12<α<12，－12<－β<12， ∴－1<α－β<1.又α<β，∴α－β<0，∴－1<α－β<0.1．知识清单： (1)等式的性质．(2)不等式的性质及其应用．2．方法归纳：作商比较法，乘方比较法．3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．1．如果a <0，b >0，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a <1b B.－a |b |答案 A解析 ∵a <0，b >0，∴1a <0，1b >0，∴1a <1b，故选A.2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bc C.c 2a －b >0 D ．(a －b )c 2≥0答案 D解析 ∵a >b ，∴a －b >0，∴(a －b )c 2≥0，故选D. 3．已知a >b >c ，则1b －c ＋1c －a 的值是( )A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数答案 A 解析1b －c ＋1c －a ＝c －a ＋b －c (b －c )(c －a )＝b －a (b －c )(c －a )， ∵a >b >c ，∴b －c >0，c －a <0，b －a <0， ∴1b －c ＋1c －a>0，故选A. 4．若x >1>y ，下列不等式不一定成立的是( ) A ．x －y >1－y B ．x －1>y －1 C ．x －1>1－y D ．1－x >y －x答案 C解析利用性质可得A ，B ，D 均正确，故选C. 5．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b 2>a 答案 D解析 ∵a <0，b <－1，∴ab >0，b 2>1，∴0<1b 2<1，∴0>a b 2>a 1，∴a b >a b2>a . 6．不等式a >b 和1a >1b 同时成立的条件是________．答案 a >0>b解析若a ，b 同号，则a >b ⇒1a <1b .7．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 2>b 2；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①当c 2＝0时不成立；②一定成立；③当a >b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立； ④当b <0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.8．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________．答案 z >y >x 解析 ∵a >b >c >0，y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2ac －2bc ＝2c (a －b )>0， ∴y 2>x 2，即y >x . 同理可得z >y ，故z >y >x .9．判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)若a b ； (3)若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ； (4)若a >b ，b >c ，则a －b >b －c .解 (1)假命题．∵a 0， ∴1a >1b 不一定成立， ∴推不出c a <cb，∴是假命题．(2)假命题．当c >0时，c －3>0，则a b ，b >c 这两个条件，但是a －b ＝2<b －c ＝3，∴是假命题．10．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，求2a ＋3b 的取值范围．解设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12.因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132，所以－92<2a ＋3b <132.11．下列命题正确的是( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ．若a 2>b 2，则a >b C ．若1a >1b ，则a <bD ．若a 0，b <0，其不成立；对于D ，其中a ≥0，b >0，平方后显然有a y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y |答案 C解析因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz .13．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1 D ．a |c |>b |c |答案 C解析对于A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b，∴A 不成立；对于B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2b ， ∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 成立；对于D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．14．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c b >a >c B ．b >c >d >a C ．d >b >c >a D ．c >a >d >b答案 A解析 ∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，∴a ＋d ＋(a ＋b )>b ＋c ＋(c ＋d )，即a >c .∴b <d . 又a ＋c b >a >c .15．若x >0，y >0，M ＝x ＋y 1＋x ＋y ，N ＝x 1＋x ＋y1＋y ，则M ，N 的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M <NC ．M ≤ND ．M >N 答案 B解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1>1＋x >0,1＋x ＋y >1＋y >0， ∴x 1＋x ＋y <x 1＋x ，y 1＋x ＋y <y1＋y，故M ＝x ＋y 1＋x ＋y ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y <x 1＋x ＋y1＋y ＝N ，即M <N .16．若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e (a －c )2>e(b －d )2.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又a >b >0，∴a －c >b －d >0，则(a －c )2>(b －d )2>0，即1(a －c )2<1(b －d )2. 又e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2.。

高中试卷-2.1 等式的性质与不等式的性质(含答案)

2.1 等式的性质与不等式的性质1. 一元一次方程、一元二次方程的解法；2. 一元二次方程根的判别式；3.一元二次方程根与系数的关系；4. 用不等式表示不等关系；5. 比较数或式子的大小；6.利用不等式性质判断；7. 不等式的证明；8. 利用不等式的性质求值或取值范围一、单选题1．（2021·浙江湖州·高一期中）设集合()(){}110A x x x =-+=，则（）A ．AÆÎB ．1A ÎC ．{}1A -ÎD ．{}11A -Î,【答案】B【解析】集合()(){}{}1101,1A x x x =-+==-，A \ÆÍ，所以选项A 错误，1A Î，所以选项B 正确，{}1- A,{}1,1=A -，所以选项C ，D 错误.故选：B2．（2021·浙江高一期中）已知集合2{|1}P x x==， 2{|0}Q x x x =-=，那么P Q U =( )A ．{1,1}-B ．{1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1}【答案】C【解析】因为2{|1}{1,1}===-P x x ，2{|0}{0,1}=-==Q x x x ，所以{}1,0,1P Q È=-，故选：C3．（2021·浙江高一单元测试）已知2t a b =+，21s a b =++，则t 和s 的大小关系为A ．t s>B ．t s ³C ．t s<D ．t s ≤【答案】D【解析】s﹣t=a+b 2+1﹣a﹣2b=b 2﹣2b+1=（b﹣1）2≥0，故有 s≥t，故选D ．4．（2021·武汉外国语学校高一月考）下列结论正确的是（）A ．若a b >，则11b a >B ．若22a b <，则a b<C ．若a b >，c d >则a d b c->-D ．若a b >，则22ac bc >【答案】C【解析】对于A ，取1,1a b ==-时，11b a<，则A 错误；对于B ，取0,1a b ==-时，a b >，则B 错误；对于C ，因为,a b d c >->-，所以由不等式的性质可知a d b c ->-，则C 正确；对于D ，取0c =时，22ac bc =，则D 错误；故选：C5．（2021·全国高三课时练习（理））若0a b >>，0c d <<，则一定有( )A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c<【答案】D【解析】0c d <<Q ，0c d \->->，0a b >>Q ，ac bd \->-，\ac bd cd cd-->，\a b d c <．故选：D ．6．（2021·全国高一课时练习）已知，那么,,,a b a b --的大小关系是（）A ．a b b a>>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a>->>-D ．a b a b >>->-【答案】C【解析】由，则0a b >->，所以a b -<，所以a b b a >->>-，故选C.7．（2021·浙江高一单元测试）若12a <<，13b -<<，则-a b 的值可能是（）．A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】C【解析】13b -<<Q ，31b \-<-<，23a b \-<-<．故选：C.8．（2021·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（）A ．11a b >B ．11a b a >-C ．|a|>|b|D ．22a b >【答案】B【解析】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b a a b ab --=>，所以11a b>，所以成立；选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立；选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立.故选：B.9．（2021·浙江高一课时练习）设a b c ==-=-，则,,a b c 的大小关系为（）．A ．a b c>>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】B 【解析】b ==，c ==+>+<，b c \<.又0a c -==->，故a c >．综上可得：a c b >>．故选：B .10．（2021·安徽金安·六安一中高一期中（文））已知二次函数()y f x =的图象过原点，且1(1)2,3(1)4f f ≤-≤≤≤，则(3)f 的取值范围为（）A ．[6,10]B ．[21,30]C ．3963,22éùêúëûD ．[4,12]【答案】B【解析】Q 二次函数()y f x =的图像过原点，Q 设二次函数为：2()f x ax bx =+，Q 1(1)2f -≤-≤，3(1)4f ≤≤，\ 12a b ≤-≤……①，34a b ≤+≤……②，则3①+6②得：219330a b ≤+≤即21(3)30f ≤≤，故选：B.二、多选题11．（2021·山东济南·高一期末）若0a b >>,0d c <<,则下列不等式成立的是( )A ．ac bc >B ．a d b c ->-C ．11d c <D ．33a b >【答案】BD【解析】对A,因为0a b >>,0c <,故ac bc <,故A 错误.对B,因为0a b >>,0d c <<,故d c ->-,故a d b c ->-,故B 正确.对C,取2,1d c =-=-易得11d c >,故C 错误.对D,因为()3f x x =为增函数,故D 正确.故选：BD12．（2021·江苏省天一中学高一期中）对于实数,,a b c ，下列说法正确的是( )A ．若0a b >>，则11a b ，则22ac bc ³C ．若0a b >>，则2ab a<D ．若c a b >>，则a b c a c b>--【答案】ABC【解析】A.在0a b >>三边同时除以ab 得110b a >>，故A 正确；B.由a b >及2c ³0得22ac bc ³，故B 正确；C.由0a b >>知a b >且0a >，则2a ab >，故C 正确；D.若1,2,3c a b =-=-=-，则2a c a =--，32b c b =--，322-<-，故D 错误.故选：ABC.13．（2021·福建高一期末）（多选题）下列命题为真命题的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c c a b >D ．若a b >且11a b >，则0ab <【答案】BCD【解析】选项A ：当0c =时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B: 2222,00a b a b a ab ab b a ab b a b <<ììÞ>Þ>\>>íí<<îî，所以本命题是真命题；选项C: 22222211000,0c c a b a b c a b a b >>Þ>>Þ<<<\>Q ，所以本命题是真命题；选项D:2111100,00b a a b b a ab a b a b ab->Þ->Þ>>\-<\<Q ，所以本命题是真命题，所以本题选BCD.14．（2021·湖南雁峰·衡阳市八中高二期中）已知660a <<，1518b <<，则下列正确的是（）A ．1,43a b ⎛⎫Î ⎪⎝⎭B ．()221,78a b +ÎC ．()12,45a b -Î-D ．7,56a b b +⎛⎫Î ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】A 中，11115181815b b <<Þ<<，又660a <<，所以根据不等式的性质可得1111660418153a a b b ⨯<⨯<⨯Þ<<，故A 正确；B 中，30236b <<，36296a b <+<，故B 错误；C 中，1815b -<-<-，1245a b -<-<，故C 正确；D 中，41,53a b a b b +⎛⎫=+Î ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC.三、填空题15．（2021·全国高一）已知a ，b ，x 均为正数，且a ＞b ，则b a ____b x a x++（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】<【解析】由题得()()()b b x ab bx ab ax b a x a a x a a x a x a ++----==+++，因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,所以()0,()b a x a x a -<+所以b b x a a x+<+.故答案为＜16．（2021·浙江高一课时练习）设,,a b c ÎR ，且满足2643b c a a +=-+，244c b a a -=-+，则,,a b c 的大小关系为_______．【答案】c b a >…．【解析】因为2244(2)0c b a a a -=-+=-…，所以c b …．又因为)()22211=[()()][(64344122b b c c b a a a a a ù+--=-+--+=+û，所以22131024b a a a a ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭，所以b a >，综上可得，c b a >…．17．（2021·浙江高一课时练习）若x y >，a b >，则在①a x b y ->-，②a x b y +>+，③ax by >，④x b y a ->-，⑤a b y x>这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是_______.【答案】②④【解析】令2,1,2,1x y a b ====，则a x b y -=-，故①错误；令2,1,1,2x y a b ==-=-=-，则：ax yb <，故③错误；令1,2,1,2x y a b =-=-=-=-，则：a b y x<，故⑤错误；由于x y >，a b >，根据不等式的性质可知a x b y +>+，故②正确；由于x y >，a b >，则b a ->-，根据不等式的性质可知x b y a ->-，故④正确.故答案为：②④四、双空题18．（2021·全国高一课时练习）关于x 的一元一次不等式组21,52x x m ->ìïí+≤ïî中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是_______，m 的值为_______.【答案】(],1-¥- 2【解析】解21x ->得1x <，解52x m +≤得25x m ≤-.由题图知这个不等式组的解集是(],1-¥-，且251m -=-，\2m =.故答案为(],1-¥-； 219．（2021·湖北高三月考（文））张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x(2x ∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x=________；②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为_____.【答案】10 18.5【解析】①顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付12070180x +-=元，则10x =.②设顾客一次购买干果的总价为M 元，当0150M <<时，张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总价的七折.当150M ³时，0.8()0.7M x M -³.即8M x …对150M …恒成立，则8150x …，18.75x …，又2x ÎZ ,所以max 18.5x =.20．（2021·上海）（1）“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的________条件；（2）“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的________条件.【答案】充要充分非必要【解析】（1）根据不等式性质可得“1>0x 且20x >”Þ“120x x +>且120x x >”，所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的充分条件；“120x x +>且120x x >”Þ“1>0x 且20x >”，所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的必要条件.所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的充要条件.（2）根据不等式性质可得“12x >且22x >”Þ“124x x +>且124x x >”，所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的充分条件；例如：121,5,x x ==满足“124x x +>且124x x >”，但是不满足“12x >且22x >”.“124x x +>且124x x >”不能推出“12x >且22x >”.所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的非必要条件.所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的充分非必要条件.故答案为：充要；充分非必要.21．（2021·全国高一课时练习）已知6084,2833x y <<<<，则x y -的取值范围为_______，x y 的取值范围为_________.【答案】(27,56) 20,311⎛⎫⎪⎝⎭【解析】∵2833y <<，∴3328y -<-<-.又∵6084x <<，∴2756x y <-<.由2833y <<，得1113328y <<，即20311x y<<.故答案为：(1)(27,56) (2)20,311⎛⎫⎪⎝⎭.五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）如果0a b >>，0c d >>，证明：ac bd >.【答案】证明见解析.【解析】证明：由0a b >>，0c >，则0ac bc >>，又0c d >>,0b >，则bc bd >，又ac bc >，故ac bd >.23．（2021·全国高一课时练习）已知0a b >>，0c <，求证：c c a b>.【答案】证明见解析.【解析】()---==c b a c c bc ac a b ab ab，因为0a b >>，0c <，所以0b a -<，()0->c b a ，0ab >故()0->c b a ab ，即证：c c a b>.24．（2021·全国高一课时练习）已知a ，b 均为正实数，试利用作差法比较33+a b 与22a b ab +的大小.【答案】3322a b a b ab +³+【解析】∵()()()33223232a b a b ab a a b b ab +-+=-+-()22222()()()()()a a b b b a a b a b a b a b =-+-=--=-+.又a ，b 均为正实数，当a b =时，33220,a b a b a b ab -=+=+；当a b ¹时，2()0,0a b a b ->+>，则3322a b a b ab +>+.综上所述，3322a b a b ab +³+.25．（2021·浙江高一单元测试）当,p q 都为正数且1p q +=时，试比较代数式2()px qy +与22px qy +的大小．【答案】222()px qy px qy+≤+【解析】()()()()22222112px qy px qy p p x q q y pqxy +-+=-+-+因为1p q +=，所以1,1p q q p-=--=-因此()()()()2222222px qy px qy pq x y xy pq x y +-+=-+-=--因为,p q 为正数，所以()20pq x y --≤因此()222px qy px qy +≤+，当且仅当x y =时等号成立26．（2021·浙江高一课时练习）甲、乙两车从A 地沿同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度为a ，另一半时间的速度为b ；乙车一半路程的速度为a ，另一半路程的速度为b ．若a b ¹，试判断哪辆车先到达B 地．【答案】甲先到达B 地．【解析】设,A B 两地间的路程为s ，甲、乙两辆车所用的时间分别为12,t t ，则12s t a b =+，222s s t a b=+．方法一因为22124()2()0222()2()s ab a b s s s s a b t t a b a b ab a b ab a b éù-+-⎛⎫ëû-=-+==-< ⎪+++⎝⎭，即12t t <，所以甲先到达B 地．方法二 1224()t ab t a b =+，因为a b ¹，所以2()4a b ab +>，从而121t t <，即12t t <，所以甲先到达B 地．27．（2021·全国高一课时练习）比较下列各组中两个代数式的大小：（1）231x x -+与221x x +-；（2）当0a >，0b >且a b ¹时，a b a b 与b a a b .【答案】（1）223121x x x x -+>+-；（2）a b b a a b a b >.【解析】（1）()()()2222312122110x x x x x x x -+-+-=-+=-+>Q ，因此，223121x x x x -+>+-；（2）1a b a b a b a b b a a b b a a b a a b a a b b b -----⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.①当0a b >>时，即0a b ->，1a b >时，01a b a a b b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a b b a a b a b \>；②当0b a >>时，即0a b -<，01a b <<时，01a b a a b b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a b b a a b a b \>.综上所述，当0a >，0b >且a b ¹时，a b b a a b a b >.。

【教学教案】《等式性质与不等式性质》参考教案

《2.1 等式性质与不等式性质》◆教学目标1、知识与技能（1）能用不等式(组)表示实际问题的不等关系；（2）初步学会作差法比较两实数的大小；（3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.2、过程与方法使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系.3、情感态度与价值观通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量.◆教学重难点◆【教学重点】能用不等式(组)表示实际问题的不等关系，会作差法比较两实数的大小，通过类比法，掌握不等式的基本性质.【教学难点】运用不等式性质解决有关问题.◆教学过程（一）新课导入用不等式(组)表示不等关系中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ).12v v v ≤<（二）新课讲授问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km /h ；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40.对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%.2.5%2.3%f p ≥⎧⎨≥⎩ 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c .对于（4），如图2.1-1，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE .以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图2.1-1接着，就可以用不等式研究相应的问题了问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？解：提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20. ① 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围.如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质.为此，我们需要先研究不等式的性质.实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2，设a ，b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A ，B .那么，当点A 在点B 的左边时，a ＜b ；当点A 在点B 的右边时，a ＞b .探究一：比较两个数(式)的大小的方法:我们用数学符号“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.判断两个数(式)的大小的依据是:( 作差法)a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础. 作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小.（三）例题探究例1 比较（x +2）（x +3）和（x +1）（x +4）的大小.分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系。

第8讲等式性质与不等式性质6种题型(解析版)高一数学同步教学题型(人教A版2019必修第一册)

第8讲等式性质与不等式性质6种题型【考点分析】考点一：两个实数的加、乘运算结果的符号的性质：①两个同号实数相加，和的符号不变，即：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数，即：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数，即：0,00a b ab ><⇒<④任何实数的平方为非负数，0的平方为0，即：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=.考点二：比较两个实数大小的方法①作差法：对任意两个实数a ,b1.0b a b a ->⇔>；2.0b a b a -<⇔<；3.0b a b a -=⇔=.②作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小.1.1a a b b >⇔>；2.1a a b b <⇔<；3.1aa b b=⇔=.③中间量法：若a b >且b c >，则a c >，一般选择0或1为中间量.考点三：不等式的性质①基本性质有：1.对称性：a b b a >⇔<2.传递性：, a b b c a c >>⇒>3.可加性：a b a c b c >⇔+>+(c ∈R )4.可乘性：a >b ，000c ac bc c ac bcc ac bc >⇒>⎧⎪=⇒=⎨⎪<⇒<⎩②运算性质1.可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+2.可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>⇒⋅>⋅>3.可乘方性：*0,0n n a b n N a b >>∈⇒>>【题型目录】题型一：作差法比较两数(式)的大小题型二：作商法比较两数(式)的大小题型三：利用不等式的性质判断命题真假题型四：利用不等式的性质证明不等式题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一：作差法比较两数(式)的大小【例1】（2022·安徽·高一期中）已知a b <，3x a b =-，2y a b a =-，则,x y 的大小关系为（）A ．x y >B ．x y <C ．x y=D ．无法确定【答案】B 【解析】【分析】作差可得x-y 的表达式，根据题意，分析可得x-y 的正负，即可得答案.【详解】()()3221x y a b a b a a b a -=--+=-+，因为a b <，所以0a b -<，又210a +>，所以2()(1)0a b a -+<，即x y <.故选：B【例2】（2022·全国·高一课时练习）若0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11b b a a +>+B ．11a b a b+>+C ．11a b b a+>+D ．22a b aa b b+>+【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断【详解】对于A ，11(1)b b b a a a a a +--=++，因为0a b >>，故101(1)b b b a a a a a +--=<++，即11b b a a +<+，故A错；对于B ，111()()(1)a b a b a b ab +-+=--不确定符号，取11,2a b ==则11a b a b +<+，故B 错误；对于C ，111(()(1a b a b b a ab+-+=-+，因为0a b >>，故111()()(1)0a b a b b a ab +-+=-+>，即11a b b a+>+，故C 正确；对于D ，2()()2(2)a b a b a b a a b b a b b++--=++，因为0a b >>，故2()()02(2)a b a b a b a a b b a b b ++--=<++，即22a b a a b b+<+，故D 错误．故选：C【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知a =b =c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】B 【解析】【分析】通过作差法，a b -D 选项；通过作差法，a c -=，确定符号，排除C 选项；通过作差法，b c -=-，确定符号，排除A 选项；【详解】由a b -=257=+>，故a b >；由a c -=286=>，故a c >；b c -=-且299=++，故c b >.所以a c b >>，故选：B .【题型专练】1.（2021·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））设21P a =+，2Q a =，a R ∈，则P 、Q 的大小为（）A ．P Q ≥B ．P Q>C ．P Q<D ．P Q≤【答案】A 【解析】【分析】利用作差法计算可得；【详解】解：因为21P a =+，2Q a =，所以()221210P Q a a a -=+-=-≥，所以P Q ≥；故选：A2.（2022·新疆克孜勒苏·高一期中）已知21P x =-，22Q x x =-，则P _______Q ．（填“>”或“<”）【答案】<【解析】【分析】作差判断正负即可比较.【详解】因为()222213121024P Q x x x x x x ⎛⎫-=---=-+-=---< ⎪⎝⎭，所以P Q <.故答案为：<.3.（2022·广西·高一阶段练习）（1）比较231x x -+与221x x +-的大小；（2）已知0c a b >>>，求证：a bc a c b>--．【答案】（1）223121x x x x -+>+-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求差法进行大小比较即可；（2）求差法去证明即可解决.【详解】（1）由()()222312122x x x x x x -+-+-=-+()2110x =-+>，可得223121x x x x -+>+-．（2）()()()()()()()a cb bc a a b c a bc a c b c a c b c a c b -----==------，∵0c a b >>>，∴0a b ->，0c a ->，0c b ->，∴()()()0a b c c a c b ->--，∴a bc a c b>--．4.（2022·全国·高一课时练习）已知,,R ,a b c a b c +∈≠≠且，试比较()()()6ab a b bc b c ac a c abc +++++与的大小.【答案】()()()6ab a b bc b c ac a c abc +++++>【解析】【分析】应用作差法：()()()6ab a b bc b c ac a c abc +++++-222()()()b a c a b c c b a =-+-+-，结合已知条件，即可确定大小关系.【详解】()()()6ab a b bc b c ac a c abc +++++-2222226a b ab b c bc a c ac abc=+++++-222222(2)(2)(2)a b bc abc ab ac abc b c a c abc =+-++-++-222()()()b a c a b c c b a =-+-+-∵,,R ,a b c a b c+∈≠≠且∴222()()()0b a c a b c c b a -+-+->，即()()()6ab a b bc b c ac a c abc +++++>.5.（2021·江苏·高一单元测试）证明不等式：（1）设0,0a b >>，求证：3322a b ab a b +≥+；（2）设,x y R ∈，求证：2252(2)x y x y ++≥+.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用作差法运算即可得证；（2）利用作差法运算即可得证.【详解】证明：（1）因为()3322a b ab a b +-+3322a b ab a b =+--3232a ab b a b=-+-()()2222a a b b b a =-+-()()()()222a b a b a b a b =--=+-，因为00a b >>，，所以()()20a b a b +-≥，所以()33220a b ab a b +-+≥，所以3322a b ab a b +≥+；（2）因为()22522x y x y ++-+22542x y x y =++--22425x x y y =-+-+()()22210x y =-+-≥，所以()22522x y x y ++≥+.题型二：作商法比较两数(式)的大小【例1】（2021·全国·高一专题练习）2211,,()1P a a Q a R a a =++=∈-+，则,P Q 的大小关系为_______．【答案】≥【分析】用作商法比较,P Q 的大小关系，化简即可得结果.【例2】（2017·上海市宝山区海滨中学高一期中）如果0x <，01y <<，那么x，x ，x 从小到大的顺序是___________【例3】（2023·全国·高三专题练习）设0a b >>，比较22a b -+与a b +的大小【点睛】比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；【题型专练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知：a 、b R +∈，且a b ¹，比较a b b a a b a b 与的大小.>3.（2021·全国·高一课时练习）已知0a >，0b >题型三：利用不等式的性质判断命题真假【例1】（2023·全国·高三专题练习）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A ．11a b，故A 不正确．可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确．可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确．故选：D ．【例2】（2022·青海西宁·高一期末）如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（）A ．若a >b ，则11a bb ，则22ac bc >C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +d D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A:取2,1a b ==-则11a b>，故A 错，对于B:若0c =，则22=ac bc ，故B 错误，对于C:由同号可加性可知：a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，故C 正确，对于D:若2,1,2,3a b c d ===-=-，则4,3ac bd =-=-，ac bd <，故D 错误.故选：C【例3】（2022·四川成都·高一期末（理））已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，0ac <，那么下列选项中一定成立的是（）A ．()0ac a c ->B ．22cb ca <C ．ab ac >D ．()0c b a -<【答案】C 【解析】【分析】由已知可得0,0a c ><，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可【详解】因为实数a ，b ，c 满足c b a <<，0ac <，所以0,0a c ><，对于A ，因为a c >，所以0a c ->，因为0ac <，所以()0ac a c -<，所以A 错误，对于B ，若0a b >>，则22a b >，因为0c <，所以22ca cb <，所以B 错误，对于C ，因为,0b c a >>，所以ab ac >，所以C 正确，对于D ，因为b a <，所以0b a -<，因为0c <，所以()0c b a ->，所以D 错误，故选：C【例4】（2022·四川成都·高一期末（文））若a ，b 为实数，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若22a b >，则a b >D ．若a b >，则22a b >【答案】D 【解析】【分析】据特值可说明ABC 不正确；根据不等式的性质可得D 正确.【详解】对于A ，当1,2a b =-=-时，满足a b >，不满足22a b >，故A 不正确；对于B ，当1,2a b =-=-时，满足||a b >，不满足22a b >，故B 不正确；对于C ，当2,1a b =-=-时，满足22a b >，不满足a b >，故C 不正确；对于D ，若a b >0≥，则222||a b b >=，故D 正确.故选：D.【例5】（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期末多选题）若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b>B ．若01a <<，则2a a<C ．若0a b >>且0c >，则b c ba c a+>+D ．()221222a b a b ++≥--【答案】BCD 【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：对于A ，当0a b <<时，结论不成立，故A 错误；对于B ，2a a <等价于()10a a -<，又01a <<，故成立，故B 正确；对于C ，因为0a b >>且0c >，所以b c ba c a+>+等价于ab ac ab bc +>+，即()0a b c ->，成立，故C 正确；对于D ，()221222a b a b ++≥--等价于()()22120a b -++≥，成立，故D 正确.故选：BCD.【题型专练】1.（2021·湖北黄石·高一期中）若,R a b ∈，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．R c ∈，若a b >，则22ac bc >C ．若33a b ->-，则a b <D ．0a ≠，0b ≠，若a b >，则11a b<【答案】C 【解析】【分析】利用特值法可判断ABD ，利用不等式的性质可判断C.【详解】对于A ，当12a b =>=-时，2214a b =<=，故A 错误；对于B ，当0c =时，22ac bc =，故B 错误；对于C ，若33a b ->-，则a b <，故C 正确；对于D ，当12a b =>=-时，11112a b =>=-，故D 错误，故选：C.2.（2022·贵州·高二学业考试）已知a b >，则下列不等关系中一定成立的是（）A ．0a b ->B ．2ab b <C ．22a b <D ．11a b>【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ，利用特殊值判断B 、C 、D ；【详解】解：因为a b >，所以0a b ->，故A 正确；对于B ：当0b =时20ab b ==，故B 错误；对于C ：当2a =，0b =，显然满足a b >，但是22a b >，故C 错误；对于D ：当2a =，1b =，显然满足a b >，但是11a b<，故D 错误；故选：A3.（2022·河南驻马店·高二期末（理））若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a bC ．()2a b c -≥D ．b c ba c a+>+【答案】C 【解析】【分析】对于ABD ，举例判断，对于C ，利用不等式的性质判断即可【详解】对于A ，若2,1a b ==-，则满足a b >，此时11112a b=>=-，所以A 错误，对于B ，若2,1a b ==-，则满足a b >，而当1c =-时，则21ac bc =-<=，所以B 错误，对于C ，因为a b >，所以0a b ->，因为2c ≥0，所以()20a b c -≥，所以C 正确，对于D ，若2,1a b ==-，则满足a b >，而当1c =-时，则21212b c b a c a +--==-<=+，所以D 错误，故选：C4.（2022·北京昌平·高二期末）已知01,0a b <<<，则下列大小关系正确的是（）A ．21ab a b <，()2210,ab a b ab a ab a b -=-<<，所以21ab a b <<.故选：C5.（2022·北京海淀·高二期末）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A ．11a b【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一判断.【详解】由0a b <<可得：110a b >>，()()2222-=0a b a b a b a b +->⇒>,1ab>，故A ，B ，C 错误,()220ab b b a b ab b -=->⇒>，故D 正确.故选：D6.（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习（多选题））下列命题为真命题的是（）A ．若23,12a b -<<<<，则42a b -<-，则a b >C ．若0,0b a m <<<，则m ma b>D ．若,a b c d >>，则ac bd >【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：利用同向不等式相加，即可证明；对于B 、C ：利用不等式的可乘性可以证明；对于D ：取特殊值2,1;2,3a b c d ===-=-即可否定结论.【详解】对于A ：因为12b <<，所以21b -<-<-.因为23a -<<，利用同向不等式相加，则有42a b -<-<.故A 正确；对于B ：因为22ac bc >，所以20c ≠，所以210c >，对22ac bc >两边同乘以21c ，则有a b >.故B 正确；对于C ：因为0b a <<，所以110a b<<.因为0m <，所以0m ->.对11a b <两边同乘以m -，有m m a b --<，所以m m a b>.故C 正确；对于D ：取2,1;2,3a b c d ===-=-，满足,a b c d >>，但是4,3ac bd =-=-，所以ac bd >不成立.故D 错误.故选：ABC7.（2023·全国·高三专题练习多选题）下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，c d >，则a c b d +>+B ．若a b >，c d >，则ac bd >C ．若a b >，则22ac bc >D ．若0a b <<，0c <，则c ca b<【答案】AD 【解析】【分析】A ．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由0c =判断；D.作差判断.【详解】A ．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；B.当1, 2.2,1=-=-==a b c d 时，ac bd =，故错误；C.当0c =时，22ac bc =故错误；D.()c b a c c a b ab--=，因为0b a ->，0c <，0ab >，所以0c c a b -<，故正确；故选：AD8.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）下列命题正确的是（）A ．若c ca b>，则a b ，则11a b>C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0,0a b c d >><<，则ac bd<【答案】BD 【解析】【分析】A 选项可举出反例；BCD 选项，可通过不等式的基本性质进行证明.【详解】对选项A ：可取3a =，2b =，1c =-，则满足c ca b>，但此时a b >，所以选项A 错误；对选项B ：因为0ab >，所以若0b a >>，则11a b >；若0a b <<，则11a b>；所以选项B 正确；对选项C ：若0a b <<，则2a ab >，所以选项C 错误；对选项D ：若0c d <<，所以0c d ->->；又因为0a b >>，所以由同向同正可乘性得：ac bd ->-，所以ac bd <，所以选项D 正确，故选：BD ．题型四：利用不等式的性质证明不等式【例1】（2022·全国·高一课时练习）a ，b ，c ，d R +∈，设a b c dS a b d b c a c d b d a c=++++++++++，证明：21<<S(1)11a cb d<--；(2)m ma cb d>--.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据不等式的性质证明即可；（2）结合（1）和不等式的性质求解.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知下列三个不等式：①0ab >，②a b>，③bc ad >，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个真命题？请证明你的结论.【答案】3个，证明见解析.【解析】【分析】先写出组成的命题，然后结合不等式的性质进行证明.【详解】可以组成3个真命题.（1）若0ab >，c da b>，则bc ad >.证明：因为0ab >，0bc adab->，所以0bc ad ->，即bc ad >.（2）若0ab >，bc ad >，则c d a b>.证明：因为0ab >，0bc ad ->，所以0bc adab ->，即c d a b>.（3）若bc ad >，c da b>，则0ab >.证明：因为0bc ad ->，0bc adab->，所以0ab >.【题型专练】1.（2022·湖南·高一课时练习）求证：(1)若0a b >>，且0c d <<，则ac bd <；(2)若a b >，且，b 同号，0c >，则c ca b <；(3)若0a b >>，且0c d >>>．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】（1）将0c d <<变为0c d ->->，利用不等式同向正值的可乘性，即可证明结论；（2）由a b >以及0c >，可得ac bc >，再根据，b 同号，得1ab>，利用不等式同向正值的可乘性证明结论；（3）由0c d >>可得110d c >>，继而可得0a bd c>>,利用不等式的性质可得结论.(1)证明：因为0c d <<，所以0c d ->->，又0a b >>，故()()0a c b d ->->，即ac bd <；(2)证明：因为a b >，0c >，所以ac bc >，因为，b 同号，所以0ab >，10ab>，故11ac bc ab ab⨯>⨯，即c c b a >，所以c c a b <；(3)证明：因为0c d >>，所以110d c>>，又0a b >>，所以0a bd c>>，>.2.（2022·全国·高一专题练习）若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：22()()e ea cb d >--3.（2021·江苏·高一专题练习）（1）设0b a >>，0m >，证明：b b m<+；（2）设0x >，0y >，0z >，证明：12x y zx y y z z x<++<+++.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据作差法证明即可；4.（2022·全国·高一课时练习）若()0,a b ∈+∞，则223a b a b +≤++.(1)若存在常数M ，使得不等式2222a b a bM a b a b a b a b+++≤≤+++对任意正数，b 恒成立，试求常数M 的值，并证明不等式：22a bM a b a b++≤+；(2)证明不等式：32232332a b a ba b a b a b a b ≤++++++.【答案】(1)23M =，证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)令a b =即可求解M ，利用不等式性质即可证明不等式；(2)从原不等式入手，对原不等式变形，通过分类讨论与b 之间的大小关系即可证明.【详解】证明：(1)当a b =时，2233M ≤≤，故23M =，由(2)2(2)222(222222a b a b b a b a b a a b a b a b a b a b a b +-+-+=+=-+++++++，且2223a b a b a b +≤++，利用不等式性质可得，2322a ba b a b≤+++；(2)欲证32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++，只需证明32322323a b a ba b a b a b a b≤--++++，即3223a b a b a b a b --≤++，①当a b =时，显然不等式3223a b a ba b a b--≤++成立，②当a b ¹时，不妨令a b >，即0a b ->，故32233223a b a ba b a b a b a b--≤⇔+≥+++，由于a b >，显然3223a b a b +≥+成立，故原不等式32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++成立；同理，当a b <时，原不等式32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++也成立.综上所述，对于任意，()0b ∈+∞，32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++均成立.题型五：利用不等式的性质比较大小【例1】（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（）A ．若ac bc >，则a b >B ．若ac bc =，则a b=C ．若a b >，则11a b<D ．若22ac bc >，则a b >【答案】D 【解析】【分析】由不等式性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，若0c <，由ac bc >可得：a b <，A 错误；对于B ，若0c =，则0ac bc ==，此时a b =未必成立，B 错误；对于C ，当0a b >>时，110a b>>，C 错误；对于D ，当22ac bc >时，由不等式性质知：a b >，D 正确.故选：D.【例2】（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中（多选题））已知1a b >>，R c ∈，下列不等式中正确的是（）A ．a c b c ->-B ．c ca b<C ．c c a b >D ．1111a b <--【答案】AD【分析】根据不等式性质及特殊值判断即可.【详解】对于A ，由不等式性质，a b >可得a c b c ->-，正确；对于B ，0c =时，c ca b<显然不成立，故错误；对于C ，0c =时，c c a b =，故错误；对于D ，由1a b >>可得110a b ->->，所以11(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a b a b -⋅>-⋅----，即1111a b <--，故正确.故选：AD【例3】（2022·北京海淀·高二期末）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A ．11a b【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一判断.【详解】由0a b <<可得：110a b >>，()()2222-=0a b a b a b a b +->⇒>,1a b>，故A ，B ，C 错误,()220ab b b a b ab b -=->⇒>，故D 正确.故选：D 【题型专练】1.（2022·广东·小榄中学高一阶段练习（多选题））对于实数,,a b c ，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >C ．若0c a b >>>，则a bc a c b<--D ．若a b >，11a b>，则0,0<>b a 【答案】BD 【解析】【分析】A 特殊值法0c =判断；B 由||||0a b >>结合不等式性质判断；C 作差法判断；D 由0a b >>或0a b <<时11,a b的大小情况判断.A ：当0c =时，ac bc <不成立，错误；B ：由0a b <<，有||||0a b >>，则22a ab b >>，正确；C ：由()0()()a b c a b c a c b c a c b --=>----，则a b c a c b>--，错误；D ：若0a b >>或0a b <<，有11a b>，与题设矛盾，故0,0a b ><，正确.故选：BD2.（2022·贵州贵阳·高一期末（多选题））下列说法正确的有（）A ．若,a b c d ><，则a c b d ->-B ．若0,0a b c d >><<，则ac bd <C ．若0a b c >>>，则c ca b >D ．若0a b c >>>，则a a cb b c+<+【答案】AB 【解析】【分析】对于A ：利用同向不等式相加可以证明；对于B ：利用同向不等式相乘可以证明；对于C ：利用不等式的可乘性可以判断；对于D ：取特殊值3,2,1a b c ===可以判断.【详解】对于A ：因为c d <，所以c d ->-，利用同向不等式相加可以得到：a c b d ->-.故A 正确；对于B ：因为0c d <<，所以0c d ->->，又因为0a b >>，利用同向不等式相乘可以得到：ac bd ->-，所以ac bd <.故B 正确；对于C ：因为0a b c >>>，所以11a b <.因为0c >，所以c ca b<.故C 错误；对于D ：取特殊值3,2,1a b c ===满足0a b c >>>，但是32a b =，43a c b c +=+，所以a a cb b c+>+.故D 错误.故选：AB3.（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（）A ．22a b >B ．11a b>C ．a b >D ．11a b a>-【答案】D 【解析】【分析】根据条件，结合结合不等式性质判断A ，B ，C 正确，再举例说明D 错误..【详解】因为0a b <<，所以0a b +<，0a b -<，0ab >，0b a ->，又22()()a b a b a b -=-+，所以220a b ->，所以22a b >成立，110b a a b ab --=>，所以11a b>，0a b a b -=-+>，所以a b >，取2,1a b =-=-可得11=121a b =---+，112a =-，11a b a <-，所以11a b a>-不成立，故选：D.4.（2022·广东·深圳科学高中高一期中（多选题））下列说法正确的是（）A ．若0a b >>，则11a b>，0m >，则b m ba m a+>+C ．0a b >>，则3322a b a b ab ->-D ．若0a b >>，则22ac bc >【答案】ABC 【解析】【分析】根据不等式的性质判断AD ，结合作差法比较大小判断BC.【详解】解：对于A 选项，因为0a b >>，故10ab>，故110a b <<，正确；对于B 选项，由于0a b >>，0m >，故0a b ->，0a m +>，故()()()()()0a b m b a m m a b b m b a m a a a m a a m +-+-+-==>+++，即b m ba m a+>+，正确；对于C 选项，由于0a b >>，故0a b ->，故()()()()332222220a b a b ab a a b b a b a b a b --+=-+-=-+>，即3322a b a b ab ->-，正确；对于D 选项，当0c =时，220ac bc ==，故错误.故选：ABC题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【例1】（2022·全国·高一专题练习）设27a <<，12b <<，求3a b +，2a b -，ab的范围.则（）A ．x 的取值范围为(1,2)-B ．y 的取值范围为(2,1)-C ．x y +的取值范围为()3,3-D ．x y -的取值范围为(1,3)-则t 的取值范围为______．18(4x y ⋅的取值范围是（）A ．[]4,128B ．[]8,256C ．[]4,256D ．[]32,1024【例5】（2021·全国·高一课时练习）已知x ，y 为实数，满足223xy ≤≤，34y ≤≤，则5y的最大值是______，此时x y +=______.1.（2022·吉林延边·高一期末）已知12a ≤≤，14b -≤≤，则2a b -的取值范围是（）A ．724a b -≤-≤B ．629a b -≤-≤C ．629a b ≤-≤D ．228a b -≤-≤【答案】A 【解析】【分析】先求2b -的范围，再根据不等式的性质，求2a b -的范围.【详解】因为14b -≤≤，所以822b -≤-≤，由12a ≤≤，得724a b -≤-≤.故选：A.2.（2020·浙江台州·高一期中）已知a b c <<且230a b c ++=，则ba的取值范围是【答案】115b a-<<【解析】【分析】由已知条件推导出0a <，0b >，再由230a b c ++=得出23a bc +=-，由a b c <<得出23a ba b +<<-，结合不等式的基本性质可求得b a 的取值范围.【详解】a b c << ，230a b c ++=，则606a c <<，0a ∴<，0c >，则23a bc +=-，由b c <得23a b b +<-，则5b a <-，即51b a>-，即15b a >-，又a b <，1ba ∴<，因此，b a 的取值范围是115b a-<<.3.（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）若实数,αβ满足11αβ-≤+≤，123αβ≤+≤，则3αβ+的取值范围为________．【答案】[]1,7【分析】设()3(2)αβλαβμαβ+++=+，解得1λ=-，2μ=，再由不等式的性质即可求解.【详解】设()3(2)αβλαβμαβ+++=+，解得1λ=-，2μ=所以()(322)αβαβαβ++-+=+．又11αβ-≤+≤，123αβ≤+≤，()11αβ∴-≤-+≤，()2226αβ≤+≤所以137αβ≤+≤.故答案为：[]1,7．【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的性质求取值范围，变形()(322)αβαβαβ++-+=+是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题.4.（2021·全国·高一课时练习）已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，求42a b -的取值范围___________.【答案】[]2,10-【分析】利用待定系数法可得()()423a b a b a b -=++-，利用不等式的基本性质可求得42a b -的取值范围.【详解】设()()()()42a b x a b y a b x y a x y -=++-=++-，所以42x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，因为14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则()336a b -≤-≤，因此，24210a b -≤-≤.故答案为：[]2,10-.5．（2021·全国·高一课时练习）已知实数x 、y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则3x y +的最大值为___________.6.（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足11a b ⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是【答案】24210a b ≤+≤【解析】【分析】设()()42+=++-a b A a b B a b ，求出A B ，结合条件可得结果.【详解】设()()42+=++-a b A a b B a b ，可得42+=⎧⎨-=⎩A B A B ，解得31=⎧⎨=⎩A B ，()423+=++-a b a b a b ，因为1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩可得()33911⎧≤+≤⎨-≤-≤⎩a b a b ，所以24210a b ≤+≤.7.（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）（1）已知23x <<，23y <<，求x y -和xy的取值范围；（2）已知24<+≤x y ，13x y -<-<，求3x y +的取值范围.【答案】（1）11x y -<-<，2332x y <<；（2）3311x y <+<.【解析】【分析】（1）根据不等式的性质求解（2）由待定系数法配凑后求解【详解】（1）23y << ，32∴-<-<-y 又23x << ，11∴-<-<x y 23y << ，11132y <<又23x << ，2332∴<<x y （2）设3()()x y a x y b x y +=++-，得3211a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩即32()()+=++-x y x y x y 而42()8<+≤x y ，13x y -<-<3311∴<+<x y。

2024年新高一数学初升高衔接《等式性质与不等式性质》含答案解析

第06讲等式性质与不等式性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过用不等式（组)表示实际问题，提升数学抽象与数学建模素养；2．通过比较两个实数的大小、不等式性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养；3．运用不等式的性质解决有关问题．知识点 1 不等关系与不等式1、不等式的概念（1）用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式．（2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式．2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超过符号语言><≥≤3、用不等式组表示不等式关系当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系．知识点 2 等式性质性质文字表述性质内容注意1对称性a b b a=⇔=可逆2传递性,a b b c a c==⇒=同向3可加、减性a b a c b c =⇔±=±可逆4可乘性a b ac bc=⇒=同向5可除性,0a b a b c c c=≠⇒=同向知识点 3 不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a 可逆2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 同向3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6正数同向可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点 4 比较大小的方法1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；若a ＜b ，b ＜c ，那么a ＜c ．其中b 是介于a 与c 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．3、平方法：对两式先平方，再比较大小．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质．考点一：用不等式（组）表示不等式关系例1．（23-24高一上·广东深圳·月考）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30吨，B 型货车载重量24吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是（）A ．54100x y +D ．54100x y +≤【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共40km ，其中靠近灭火前线5km 的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60km h ，设需摩托车运送的路段平均速度为km h x ，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x 应该满足的不等式为（）．A ．40160x>+B ．40160x<+C ．355160x+>D ．355160x+<【变式1-2】（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ，且体积不超过372000cm ，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a ，b ，c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（）A ．130a b c ++<且72000abc 且72000abc >C ．130a b c ++≤且72000abc ≤D ．130a b c ++≥且72000abc ≥【变式1-3】（22-23高一上·四川眉山·月考）将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（）A ．25005x x ->⎧⎨<<⎩B ．251x -≥或521x -≥C ．52105x x -≥⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-≥⎨<<⎩考点二：比较实数（代数式）的大小例2. （23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元/斤()a b ≠，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为1m ，2m ，则1m 与2m 的大小关系为（）A ．12m m =B ．12m m >C ．12m m <D ．无法确定【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a ，b ，m 都是正数，且a b <，记,a m ax y b m b +==+，则（）A ．x y >B ．x y=C ．x y< D ．x 与y 的大小与m的取值有关【变式2-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）设0a b >>，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小【变式2-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知0a >，0b >的大小；考点三：利用不等式的性质判断命题真假例3. （23-24高一上·河北石家庄·月考）若||||a b >，则下列不等式成立的是（）A ．0a b ->B ．11a b<C ．a b >D ．22a b >【变式3-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若22a bc c >，则a b >C ．若a b >，cd >，则ac bd>D ．若0b a >>，则a c ab c b+>+【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列结论错误的是（）A ．若a b >，则ac bc ，则11a b <C ．若a b >，则22a b >D ．若22ac bc >，则a b>【变式3-3】（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选）若0a b >>，0c <，则下列不等关系正确的是（）A ．a c b c+>+B ．22a bc c >C ．ac bc >D ．11a b b a+>+考点四：利用不等式的性质求范围例4. （23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知23a <<，21b -<<-，则2a b -的取值范围是（）A ．[]6,7B ．()2,5C ．[]4,7D ．()5,8【变式4-1】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知3b a b <<-，则ab的取值范围为（）A ．03ab<D ．13a b<<【变式4-2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是（）A ．{}410x x -<<B ．{}36x x -<<C ．{}214x x -<<D ．{}210x x -≤≤【变式4-3】（23-24高一上·吉林四平·期中）已知2236x y ≤+≤，3569x y -≤-≤，则113z x y =+的取值范围是（）A ．58933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．5|273z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C ．8933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{}327z z ≤≤考点五：利用不等式的性质证明不等式例5. （23-24高一上·河北保定·月考）设,,a b c ∈R ，0a b c ++=，1abc =.(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)若a b >，证明33a b >.【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：(1)已知a b c d >>>，求证：11a db c<--；(2)已知0,0,0a b c d e >><<<，求证：e e a c b d>--.【变式5-2】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）（1）已知0b a >>，证明：2a a b b a<+；（2）若a ，b ，c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++．【变式5-3】（23-24高一上·云南·月考）证明下列不等式：(1)若0,0a b >>，求证：22a ba b b a++≥；(2)若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：()()22eea cb d >--．考点六：不等式性质的实际应用例6. （23-24高一上·四川南充·月考）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A ，B 两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A ，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（）A ．A 货箱28节，B 货箱22节B ．A 货箱29节，B 货箱21节C ．A 货箱31节，B 货箱19节D ．A 货箱30节，B 货箱20节【变式6-1】（22-23高一上·山东·月考）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h ；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h ；生产每袋需用原料20kg ，年底库存原料600t ，明年可补充1200t ；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长13．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（）A ．70000到75000袋之间B ．70000到80000袋之间C ．80000到85000袋之间D ．80000到90000袋之间【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（）A ．18B ．20C ．22D ．28【变式6-3】（23-24高一上·吉林长春·月考）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m 克糖(0)m >(假设全部溶解)，糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：(2)利用（1）中的结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++.一、单选题1．（22-23高一上·河北邢台·月考）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（）A ．41500.5x⨯2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设2254M a a =++，(1)(3)N a a =++，则M 与N 的大小关系为（）A ．M N>B ．M N=C ．M N<D ．无法确定3．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知,,R,a b c a b ∈>，则下列一定成立的是（）A ．11a bC ．b c ba c a+>+D ．()()2211a c b c +>+4．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a ，b ，则下列选项中正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则11a b<5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知15,31a b -<<-<<，则以下错误的是（）A ．155ab -<≠且0a >，0c >，则下列不等式正确的是（）A ．11a b+D ．22222b a a b+>8．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列不等式中，一定成立的是（）A ．若0,a b c >>∈R ，则22c ca b>∈R ，则22ac bc >C ．若0a b <<，则22a ab b >>D ．若0a b <<，则22a a b b+<+三、填空题9．（23-24高一上·广东韶关·月考）已知x ∈R ，则23x + 2x .（填“<”，“>”，或“=”）10．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a ，b ，c 为实数，能说明“若a b c >>，则2a bc >”为假命题的一组a ，b ，c 的值是.11．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为平方米．四、解答题12．（23-24高一上·福建泉州·月考）（1）已知R a ∈，设()21M a a =+，()()21N a a =+-，比较M 与N 的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c ca cb c>--.13．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖（0b a >>），再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++.（2）超市里面提供两种糖：白糖每千克1p 元，红糖每千克2p 元()12p p ≠.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格=物品的总价钱÷物品的总质量）第06讲等式性质与不等式性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过用不等式（组)表示实际问题，提升数学抽象与数学建模素养；2．通过比较两个实数的大小、不等式性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养；3．运用不等式的性质解决有关问题．知识点 1 不等关系与不等式1、不等式的概念（1）用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式．（2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式．2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、小于或等于、至多、至少、不低于不多于、不超过符号语言><≥≤3、用不等式组表示不等式关系当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系．知识点 2 等式性质性质文字表述性质内容注意1对称性a b b a=⇔=可逆2传递性,a b b c a c==⇒=同向3可加、减性a b a c b c =⇔±=±可逆4可乘性a b ac bc=⇒=同向5可除性,0a b a b c c c=≠⇒=同向知识点 3 不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a 可逆2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 同向3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6正数同向可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点 4 比较大小的方法1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；若a ＜b ，b ＜c ，那么a ＜c ．其中b 是介于a 与c 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．3、平方法：对两式先平方，再比较大小．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质．考点一：用不等式（组）表示不等式关系例1．（23-24高一上·广东深圳·月考）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30吨，B 型货车载重量24吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是（）A ．54100x y +D ．54100x y +≤【答案】B【解析】由已知可得，3024600x y +≥，所以有54100x y +≥.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共40km ，其中靠近灭火前线5km 的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60km h ，设需摩托车运送的路段平均速度为km h x ，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x 应该满足的不等式为（）．A ．40160x>+B ．40160x<+C ．355160x+>D ．355160x+<【答案】D【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即355160x+<，故选：D ．【变式1-2】（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ，且体积不超过372000cm ，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a ，b ，c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（）A ．130a b c ++<且72000abc 且72000abc >C ．130a b c ++≤且72000abc ≤D ．130a b c ++≥且72000abc ≥【答案】C【解析】由长、宽、高之和不超过130cm 得130a b c ++≤，由体积不超过372000cm 得72000abc ≤.故选：C.【变式1-3】（22-23高一上·四川眉山·月考）将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（）A ．25005x x ->⎧⎨<<⎩B ．251x -≥或521x -≥C ．52105x x -≥⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-≥⎨<<⎩【答案】D【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为()5m x -.因为两段绳子长度之差不小于1m ，所以()5105x x x ⎧--≥⎪⎨<<⎪⎩，化简得：25105x x ⎧-≥⎨<<⎩.故选：D考点二：比较实数（代数式）的大小例2. （23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元/斤()a b ≠，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为1m ，2m ，则1m 与2m 的大小关系为（）A ．12m m =B ．12m m >C ．12m m <D ．无法确定【答案】C【解析】由题意可得，0a >，0b >，a b ¹，12021010abm a b a b==++，288162a b a b m ++==，()()221224()()0222ab a b ab a b a b m m a b a b a b +-+---=-==<+++ ，12m m ∴<．故选：C ．【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a ，b ，m 都是正数，且a b <，记,a m ax y b m b +==+，则（）A ．x y >B ．x y=C ．x y< D ．x 与y 的大小与m的取值有关【答案】A【解析】由0,0,0a b m >>>，且a b <，即0b a ->，可得()()0m b a a m a b m b x b b m y --=+-=>++，即x y >，故选：A.【变式2-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）设0a b >>，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小【答案】2222a b a ba b a b-->++【解析】00,0a b a b a b >>⇒+>-> ，()()2222220,0a b a b a b a b a b a b a b +---∴=>>+++，222222222()211a b a b ab a b a b a b a b a b-++∴==+>-+++，2222a b a ba b a b--∴>++.【变式2-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知0a >，0b >的大小；≤a b =时取等号）=()()3322x y x y x xy y +=+-+，可得分子)33a b =+=，a b+==进一步对其分子利用基本不等式可得a b+≥=，且等号成立当且仅当a b =，1≥，≤a b =时取等号）.考点三：利用不等式的性质判断命题真假例3. （23-24高一上·河北石家庄·月考）若||||a b >，则下列不等式成立的是（）A ．0a b ->B ．11a b<C ．a b >D ．22a b >【答案】D【解析】因为||||a b >，所以22a b >，D 正确；当2,1a b =-=时，满足||||a b >，但是a b <，A,C 不正确；当2,1a b =-=-时，满足||||a b >，但是11a b>，B 不正确；故选：D 【变式3-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若22a bc c >，则a b >C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若0b a >>，则a c ab c b+>+【答案】B【解析】对于A ：当0c =时，2c =0，若a b >，则220ac bc ==，故A 错误；对于B ：因为22a b c c>，所以20c ≠，即20c >，所以a b >，故B 正确；对于C ：当1a =，0b =，1c =-，2d =-时，满足a b >，c d >，但是ac bd <，故C 错误；对于D ：当0c =时，a c ab c b+=+，故D 错误.故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列结论错误的是（）A ．若a b >，则ac bc ，则11a b <C ．若a b >，则22a b >D ．若22ac bc >，则a b>【答案】AB【解析】取2,2,1a b c ==-=可得，a b >，但22ac bc =>-=，A 错误；取2,2a b ==-可得，a b >，但111122a b=>-=，B错误；因为a b >，又0b ≥，所以22a b >，故22a b >，C 正确；由22ac bc >，可得20c >，所以a b >，D 正确；故选：AB.【变式3-3】（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选）若0a b >>，0c <，则下列不等关系正确的是（）A ．a c b c +>+B ．22a bc c >C ．ac bc >D ．11a b b a+>+【答案】ABD【解析】对A, 0a b >>，0c <，由不等式性质易知 a c b c +>+，故A 正确；对B, 0a b >>，0c <,则22210,a bc c c >∴>，故B 正确；对C, 0a b >>，0c <，由不等式性质易知ac bc <，故C 错误；对D, 若0a b >>，则()11110⎛⎫⎛⎫+-+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b b a ab , 故D 正确.故选：ABD.考点四：利用不等式的性质求范围例4. （23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知23a <<，21b -<<-，则2a b -的取值范围是（）A ．[]6,7B ．()2,5C ．[]4,7D ．()5,8【答案】D【解析】由题意可知426a <<，12b <-<，所以528<-<a b ，故选：D【变式4-1】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知3b a b <<-，则ab的取值范围为（）A ．03a b<D ．13a b<<【答案】B【解析】因为3b a b <<-，所以0b <，则有10b<，将不等式3b a b <<-的两边同时乘1b ，可得31a b-<<，所以03a b ≤<.故选：B ．【变式4-2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是（）A ．{}410x x -<<B ．{}36x x -<<C ．{}214x x -<<D ．{}210x x -≤≤【答案】D【解析】由12a b -≤-≤，14a b ≤+≤，得()()06a b a b ≤-++≤，即026a ≤≤，()224a b -≤-≤，所以()22210a b a -≤-+≤，即24210a b -≤-≤，故选：D【变式4-3】（23-24高一上·吉林四平·期中）已知2236x y ≤+≤，3569x y -≤-≤，则113z x y =+的取值范围是（）A ．58933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．5|273z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C ．8933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{}327z z ≤≤【答案】D【解析】设)231156(3)(x y x x y n y m +=-++，则25)(113(36)x y m n y m n x +++=-，所以2511363m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩，于是1133(56)23)(x y y x x y +++=-又63(23)18x y ≤+≤，3569x y -≤-≤，所以33(56)2723)(x y x y ++≤-≤，即311327x y ≤+≤.故{}327z z ≤≤．故选：D ．考点五：利用不等式的性质证明不等式例5. （23-24高一上·河北保定·月考）设,,a b c ∈R ，0a b c ++=，1abc =.(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)若a b >，证明33a b >.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明:∵()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，∴()22212ab bc ca a b c ++=-++.a ，b ，c 不同时为0，则2220a b c ++>，∴()222102ab bc ca a b c ++=-++<；（2）()()3322a b a b a ab b -=-++.∵222213024a ab b a b b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，取等号的条件为0a b ==，而a b >，∴等号无法取得，即222213024a b b a ab b ⎛⎫=++> ⎪⎝+⎭+，又a b >，∴()()33220a b a b a ab b -=-++>，∴33a b >.【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：(1)已知a b c d >>>，求证：11a db c<--；(2)已知0,0,0a b c d e >><<<，求证：e e a c b d>--.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）a b c d >>>Q ，即,a b d c >->-，0a d b c ∴->->，则11a db c<--.（2）0,0,0a b c d e >><<< ，0c d ∴->->，0,0,0a c b d b a c d ∴->->-<-<，则()()()()()()()()()()0e b d e a c e b d a c e b a c d e ea cb d ac bd a c b d a c b d -----+-+--===>--------，.e ea cb d∴>--【变式5-2】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）（1）已知0b a >>，证明：2a a b b a<+；（2）若a ，b ，c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）()()()()22a b a ab a a b a ab b a b b a b b a +---==+++，由0b a >>，得0a b -<，而0b >，0b a +>，0a >，则()()0a a b b b a -<+，所以2a ab b a<+．（2）,,a b c 为ABC 的三边长，则有0a b c +>>，0a c b +>>，0b c a +>>，由（1）知：c c c a b a b c +<+++，a a a b c a b c +<+++，b b ba c ab c+<+++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b b a b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以2c a b a b b c c a++<+++．【变式5-3】（23-24高一上·云南·月考）证明下列不等式：(1)若0,0a b >>，求证：22a ba b b a++≥；(2)若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：()()22eea cb d >--．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明：因为()()()2223322a b a b a b a b a b ab a b b a ab ab +-⎛⎫+--+-+== ⎪⎝⎭，又因为0,0a b >>，所以()()20a b a b ab+-≥，所以22a b a b b a++≥．（2）证明：由()()()()()()222222e b d a c eea cb d ac bd ⎡⎤---⎣⎦-=----()()()()()()22e a b c d b a c d a c b d ⎡⎤⎡⎤+-+-+-⎣⎦⎣⎦=--，因为0a b >>，0c d <<，所以0a b +>，0c d +<，0b a -<，0c d -<，所以()()0a b c d +-+>，()()0b a c d -+-<．因为0e <，所以()()()()0e a b c d b a c d ⎡⎤⎡⎤+-+-+->⎣⎦⎣⎦又因为()()220a c b d -->，所以()()220eea cb d ->--，即()()22eea cb d >--．考点六：不等式性质的实际应用例6. （23-24高一上·四川南充·月考）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A ，B 两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A ，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（）A ．A 货箱28节，B 货箱22节B ．A 货箱29节，B 货箱21节C ．A 货箱31节，B 货箱19节D ．A 货箱30节，B 货箱20节【答案】C【解析】设A 、B 货箱分别有x ，y 节，则503525153015351150x y x y x y +=⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，A ：共50节且352825221530⨯+⨯=，1528352211901150⨯+⨯=>，满足；B ：共50节且3529252115401530⨯+⨯=>，1529352111701150⨯+⨯=>，满足；C ：共50节且3531251915601530⨯+⨯=>，1531351911301150⨯+⨯=<，不满足；D ：共50节且3530252015501530⨯+⨯=>，153035201150⨯+⨯=，满足；故选：C.【变式6-1】（22-23高一上·山东·月考）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h ；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h ；生产每袋需用原料20kg ，年底库存原料600t ，明年可补充1200t ；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长13．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（）A ．70000到75000袋之间B ．70000到80000袋之间C ．80000到85000袋之间D ．80000到90000袋之间【答案】D【解析】设明年的产量为x 袋，则()42002100160000132060012001000x x x ⎧≤⨯⎪⎪⎛⎫≥+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≤+⨯⎩，所以8000090000x ££，故可以预测明年的产量在80000到90000袋之间，故选：D.【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（）A ．18B ．20C ．22D ．28【答案】C【解析】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为,,,x y z t ，且,,,N x y z t *∈，于是1,12,123y x z y x t z y x ≥+≥+≥+≥+≥+≥+，则46x y z t x +++≥+，又23x t x >≥+，解得3x >，因此min 4x =，此时22x y z t +++≥，所以当4,5,6,7x y z t ====时，min ()22x y z t +++=，即该钉钉群人数的最小值为22.故选：C【变式6-3】（23-24高一上·吉林长春·月考）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m 克糖(0)m >(假设全部溶解)，糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：(2)利用（1）中的结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++.【答案】(1)a a mb b m+<+，(0,0)b a m >>>，证明见解析；(2)证明见解析；【解析】（1）糖水变甜了得出不等式a a mb b m+<+，(0,0)b a m >>>.证明：()()()aa ma b m b a m b b m b b m ++-+-==++()()()ab am ba bm m a b b b m b b m +---=++.0,0,0b a a b b >>∴-<> .0,0m b m >∴+> ，()0()m a b b b m -∴<+，a a mb b m+∴<+.（2）设ABC 的三边长分别为,,a b c ，则有,,a b c a c b b c a +>+>+>，由（1）已证不等式可得：c c c a b a b c +<+++，a a a b c a b c +<+++，b b ba c ab c+<+++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b b a b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以，2c a b a b b c c a++<+++.一、单选题1．（22-23高一上·河北邢台·月考）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（）A ．41500.5x⨯【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x （单位：厘米），故导火索燃烧的时间为0.5x秒，人在此时间内跑的路程为40.5x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭米，由题意可得41500.5x ⨯≥.故选：B.2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设2254M a a =++，(1)(3)N a a =++，则M 与N 的大小关系为（）A ．M N >B ．M N=C ．M N<D ．无法确定【答案】A【解析】因为()()()22213254131024M N a a a a a a a ⎛⎫-=++-++=++=++> ⎪⎝⎭，所以M N >.故选：A.3．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知,,R,a b c a b ∈>，则下列一定成立的是（）A ．11a bC ．b c ba c a+>+D ．()()2211a c b c +>+【答案】D【解析】对于A ，当1,2a b ==-，则11a b>，故A 不正确；对于B ，当0b =时，由a b >可得20ab b ==，故B 不正确；对于C ，当2,1,0a b c ===时，b c ba c a+=+，故C 不正确；对于D ，因为210c +>恒成立，所以由a b >可得()()2211a c b c +>+，故D 正确.故选：D.4．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a ，b ，则下列选项中正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则11a b<【答案】C【解析】对于A 选项，1,1a b ==-，满足a b >，此时221,1a b ==，不满足22a b >，故A 错误；对于B 选项，1,1a b ==-，满足a b >，此时221,1a b ==，不满足22a b >，故B错误；对于C 选项，0a b >≥，所以222a b b >=，故C 正确；对于D 选项，1,1a b ==-，满足a b >，此时,1111a b==-，不满足11a b <，故D错误，故选：C.5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知15,31a b -<<-<<，则以下错误的是（）A ．155ab -<<B ．46a b -<+<C ．28a b -<-<D ．553ab-<<【答案】D【解析】因为1,153a b -<<-<<，所以13b -<-<，对于A ，1515330a ab b -<<⎧⇒-<<⎨-<<⎩，1500a ab b -<<⎧⇒=⎨=⎩,151501a ab b -<<⎧⇒-<<⎨<<⎩,综上可得155ab -<<，故A 正确；对于B ，314156a b --=-<+<+=，故B 正确；对于C ，112358a b --=-<-<+=，故C 正确；对于D ，当14,2a b ==时，8a b=，故D 错误；故选：D.6．（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则32x y -的取值范围是（）A ．2328x y ≤-≤B ．3328x y ≤-≤C ．2327x y ≤-≤D ．53210x y ≤-≤【答案】A【解析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即可得()()153222x y x y x y -=++-，因为11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，所以2≤()()153222x y x y x y -=++-8≤，故选：A ．二、多选题7．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数a ，b ，c 满足()0a b b >≠且0a >，0c >，则下列不等式正确的是（）A ．11a b +D ．22222b a a b+>【答案】BC【解析】对于A ，若1,1a b ==-，则1111a b=>=-，所以A 错误，对于B ，因为a b >，所以a b -<-，因为0c >，所以ac bc -<-，所以B 正确，对于C ，因为a b >，0a >，0c >，所以()0c a b ->，()0a a c +>，所以()()()0()()b c b a b c b a c c a b a c a a a c a a c ++-+--==>+++，所以b c ba c a+>+，所以C 正确，对于D ，若1,1a b ==-，则2222112b a a b+=+=，所以D 错误，故选：BC8．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列不等式中，一定成立的是（）A ．若0,a b c >>∈R ，则22c ca b>∈R ，则22ac bc >C ．若0a b <<，则22a ab b >>D ．若0a b <<，则22a a b b+<+【答案】AC【解析】对于A ，由0a b >>，20c>，知110a b <<，得22c ca b<，故A 正确；对于B ，当0c =时，故B 错误；对于C ，当0a b <<时，由()20a ab a a b -=->，得2a ab >，又()20ab b b a b -=->，则2ab b >，故有22a ab b >>，故C 正确；对于D ，当2a =-，1b =-时，22a a b b +>+，D 中不等式不一定成立，故D 错误．故选：AC.三、填空题9．（23-24高一上·广东韶关·月考）已知x ∈R ，则23x + 2x .（填“<”，“>”，或“=”）【答案】>【解析】()2232120x x x +-=-+>，故232x x +>.故答案为：>.10．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a ，b ，c 为实数，能说明“若a b c >>，则2a bc >”为假命题的一组a ，b ，c 的值是.【答案】1a =，1b =-，2c =-(答案不唯一)【解析】当1,1,2a b c ==-=-时，21a =，2bc =，此时满足a b c >>，但是2a bc <.故答案为：1,1,2a b c ==-=-(答案不唯一).11．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为平方米．【答案】90【解析】设改造前的窗户面积为x ，窗户增加的面积为y ，0,0x y >>，依题意1801802x x yy+≤+，即1802180180,2180,90x xy x y xy y x +≤+≤≤，所以改造前的窗户面积最大为90平方米.故答案为：90四、解答题12．（23-24高一上·福建泉州·月考）（1）已知R a ∈，设()21M a a =+，()()21N a a =+-，比较M 与N 的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c ca cb c>--.【答案】（1）M N >；（2）证明见解析.【解析】（1）()()()221721212()024M a a a a N a a a ++-=++==+--+>，则M N >；（2）因为a b c >>，且0a b c ++=，则0,0a c ><，则0a c b c ->->，则()()0a c b c -->，则10()()a cbc >--，则11()()0()()()()a c b c a c b c a c b c ⋅->⋅->----，则110b c a c>>--，又0c <则c c a c b c>--.命题得证.13．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖（0b a >>），再添加m 克糖。

2022新教材高中数学课时检测8等式的性质与方程的解集新人教B版必修第一册

等式的性质与方程的解集[A 级基础巩固]1．(多选)下列属于恒等式的有( )A ．(a ＋b )c ＝ac ＋bcB ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2C ．4x ＝2 020D ．(x －1)2＝0 解析：选AB A 、B 属于恒等式；只有当x ＝505时，等式4x ＝2 020才成立，只有当x ＝1时，等式(x －1)2＝0才成立，所以C 、D 不是恒等式．故选A 、B.2．若多项式x 2－3x ＋a 可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值是( )A ．a ＝10，b ＝2B ．a ＝10，b ＝－2C ．a ＝－10，b ＝－2D ．a ＝－10，b ＝2解析：选 C 因为(x －5)(x －b )＝x2－(5＋b )x ＋5b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（5＋b ）＝－3，5b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝－10. 3．若多项式－6ab ＋18abx ＋24aby 的一个因式是－6ab ，那么另一个因式是( )A ．1＋3x －4yB ．－1－3x －4yC ．1－3x －4yD ．－1－3x ＋4y解析：选 C －6ab ＋18abx ＋24aby ＝－6ab (1－3x －4y )，所以另一个因式是(1－3x －4y )．4．(a ＋b )2＋8(a ＋b )－20分解因式得( )A ．(a ＋b ＋10)(a ＋b －2)B ．(a ＋b ＋5)(a ＋b －4)C ．(a ＋b ＋2)(a ＋b －10)D ．(a ＋b ＋4)(a ＋b －5) 解析：选A (a ＋b )2＋8(a ＋b )－20＝ [(a ＋b )－2][(a ＋b )＋10]＝(a ＋b －2)(a ＋b ＋10)．5．小明在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y －1＝y －●，怎么办呢？小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y ＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 设所缺的部分为x ，则2y －1＝y －x ，把y ＝－3代入，求得x ＝4.故选D.6．已知y ＝1是方程2－13(m －y )＝2y 的解，则关于x 的方程m (x －3)－2＝m (2x －5)的解集为________．解析：因为y ＝1是方程2－13(m －y )＝2y 的解，所以2－13(m －1)＝2，即m ＝1.所以方程m (x －3)－2＝m (2x －5)变为(x －3)－2＝2x －5，解得x ＝0.所以方程的解集为{0}．答案：{0}7．若实数a ，b 满足(4a ＋4b )(4a ＋4b －2)－8＝0，则a ＋b ＝________．解析：设a ＋b ＝x ，则原方程可化为4x (4x －2)－8＝0，整理，得(2x ＋1)(x －1)＝0，解得x ＝－12或x ＝1.则a ＋b ＝－12或1. 答案：－12或1 8．小奇设计了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b )进入其中时，会得到一个新的实数a2－3b －5，例如把(1，－2)放入其中，就会得到12－3×(－2)－5＝2.现将实数对(m ，3m )放入其中，得到实数5，则m ＝________．解析：因为将实数对(m ，3m )放入其中，得到实数5，所以m 2－9m －5＝5，解得m ＝10或－1.答案：10或－19．若式子3x 2－mx －2因式分解的结果是(3x ＋2)(x ＋n )，试求实数m ，n 的值．解：∵(3x ＋2)(x ＋n )＝3x 2＋(3n ＋2)x ＋2n ＝3x 2－mx －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋2＝－m ，2n ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－1. 10．用因式分解法求下列方程的解集：(1)x 2－10x ＋9＝0；(2)2(x －3)＝3x (x －3)；(3)4(3x －2)(x ＋1)＝3x ＋3；(4)2(2x －3)2－3(2x －3)＝0；(5)2x 2－16＝x 2＋5x ＋8；(6)(3x －1)2＋3(3x －1)＋2＝0.解：(1)原方程可化为(x －1)(x －9)＝0，所以x ＝1或x ＝9；所以该方程的解集为{1，9}．(2)原方程整理，得(x －3)(2－3x )＝0，所以x －3＝0或2－3x ＝0，所以x ＝3或x ＝23；所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，23. (3)原方程可化为4(3x －2)(x ＋1)－3(x ＋1)＝0，所以(x ＋1)(12x －11)＝0，所以x ＝－1或x ＝1112；所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1112. (4)原方程可化为(2x －3)[2(2x －3)－3]＝0，(2x －3)(4x －9)＝0，所以x ＝32或x ＝94；所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，94. (5)原方程可化为2x 2－x 2－5x －16－8＝0， x 2－5x －24＝0，(x －8)(x ＋3)＝0，所以x ＝8或x ＝－3；所以该方程的解集为{8，－3}．(6)原方程可化为[(3x －1)＋1][(3x －1)＋2]＝0，3x (3x ＋1)＝0，所以x ＝0或x ＝－13；所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－13. [B 级综合运用]11．(多选)下列命题为真命题的是( )A ．若ab ＝1，则a ＝1bB ．若x 2＝x ，则x ＝1C ．若a ＝b ，c ≠0，则ac ＝bcD ．若(a ＋1)x ＝(a 2＋1)y ，则x ＝y解析：选AC 易知A 为真命题；x 2＝x ，即x (x －1)＝0，解得x ＝0或x ＝1，故B 为假命题；易知C 为真命题；由(a ＋1)x ＝(a 2＋1)y ，解得y ＝a ＋1a 2＋1x ，只有当a ＝0或a ＝1时，x ＝y 才成立，故D 为假命题．12.如图所示，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长、宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a ＋bB ．4a ＋bC ．a ＋2bD ．a ＋3b解析：选A 由题意可知，9张卡片的总面积为4a2＋4ab＋b2，∵4a2＋4ab＋b2＝(2a＋b)2，∴大正方形的边长为2a＋b.故选A.13.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．(注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去．)(1)示意图中，BD表示户斜，则线段CE的长为________尺，线段DF的长为________尺；(2)户斜长为________尺．解析：(1)由“横放，竿比门宽长出四尺”可得CE＝4尺，由“竖放，竿比门高长出二尺”可得DF＝2尺．(2)设户斜x尺，则题图中BD＝x，BC＝BE－CE＝x－4(x>4)，CD＝CF－DF＝x－2(x>2)．又在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，由勾股定理得：BC2＋CD2＝BD2,所以(x－4)2＋(x－2)2＝x2,整理，得x2－12x＋20＝0,因式分解，得(x－10)(x－2)＝0,计算得出x1＝10，x2＝2，因为x>4且x>2,所以x＝2舍去，x＝10.故户斜为10尺．答案：(1)4 2 (2)1014．已知方程(2 020x)2－2 019×2 021x－1＝0的较大根为m，方程x2＋2 020x－2 021＝0的较小根为n.求m－n的值．解：将方程(2 020x)2－2 019×2 021x－1＝0化为(2 0202x＋1)(x－1)＝0，所以x1＝－12 0202，x2＝1，所以m＝1.同理，由方程x2＋2 020x－2 021＝0可得(x＋2 021)(x－1)＝0，所以x1＝－2 021，x2＝1，所以n＝－2 021，所以m－n＝2 022.[C级拓展探究]15．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)(1)用含m，n的代数式表示图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和；(2)观察图形，将代数式2m2＋5mn＋2n2因式分解；(3)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求(m＋n)2的值．解：(1)题图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为2(m＋2n)＋2(2m＋n)＝6m＋6n＝6(m ＋n)．(2)2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为(m＋2n)(2m＋n)．(3)依题意得，2m2＋2n2＝58，mn＝10，∴m2＋n2＝29.∵(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2，∴(m＋n)2＝29＋20＝49.。

专题8 等式性质与不等式性质(解析版)

专题8 等式性质与不等式性质题组1 用不等式（组）表示不等关系1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总重量T应满足的关系为()A.T<40B.T>40C.T≤40D.T≥40【答案】C2.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有()A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种【答案】C【解析】设购买单片软件和盒装磁盘分别为x片，y盒.则即①当x＝3时，7y≤32，y≤.∵y∈N*且y≥2，∴y可以取2,3,4，此时有3种选购方式；②当x＝4时，7y≤26，y≤，∵y∈N*且y≥2，∴y可以取2,3，此时有2种选购方式；③当x＝5时，y≤，∵y∈N*且y≥2，∴y只能取2，此时有1种选购方式；④当x＝6时，y＝2，此时有1种选购方式.综上，共有7种选购方式.3.将一根长5m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m x，若两段绳子长度之差不小于1m，则x所满足的不等关系为（）A．25105xx-⎧⎨<<⎩B．251x-或521x-C．52105xx-⎧⎨<<⎩D．25105xx⎧-⎨<<⎩【答案】D【解析】由题意，其中一段的长度为x m 可知另一段绳子的长度为()5m x -，因为两段细子的长度之差不小于1m ，可得()5105x x x ⎧--⎪⎨<<⎪⎩，即25105x x ⎧-⎨<<⎩. 故选D.4.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工()0x x ≥人，瓦工()0y y ≥人，则关于工资,x y 满足的不等关系是（） A ．54200x y +< B ．54200x y +≥ C ．54200x y += D ．54200x y +≤【答案】D【解析】由题意，可得50040020000x y +≤，化简得54200x y +≤. 故答案为: D.5.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2 100 h ；预计此产品明年销售量至少80 000袋；每袋需用4 h ；每袋需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量x (写出不等式(组)即可)为________.【答案】【解析】由题意可得题组2 作差法比较大小5.设a >b >c >0，x ＝，y ＝，z ＝，则x ，y ，z 的大小顺序是________.【答案】z >y >x【解析】方法一 ∵a >b >c >0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2c (a －b )>0，∴y 2>x 2，即y >x ， ∵z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b )2－b 2－(c ＋a )2＝2a (b －c )>0，∴z 2>y 2，即z >y ，故z >y >x .方法二特值代换法，令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝，y ＝，z ＝，则x <y <z ，故z >y >x .6.规定AB ＝A 2＋B 2，A ⊖B ＝A ·B ，A ，B ∈R .若M ＝a －b ，N ＝a ＋b ，a ，b ∈R ，判断MN 与M ⊖N 的大小. 【答案】∵MN ＝M 2＋N 2＝(a －b )2＋(a ＋b )2＝2a 2＋2b 2， M ⊖N ＝M ·N ＝(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，∴MN －M ⊖N ＝2a 2＋2b 2－(a 2－b 2)＝a 2＋3b 2≥0，∴MN ≥M ⊖N . 7.已知0a b +>，比较22a b b a +与11a b+的大小. 【答案】2211a b b a a b+≥+ 【解析】222211a b a b b a b a a b b a--⎛⎫+-+=+ ⎪⎝⎭ 2211()a b b a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭222()()a b a b a b +-=. ∵0a b +>，2()0a b -≥，∴222()()0a b a b a b+-≥，当且仅当a b =时，取等号， ∴2211a b b a a b+≥+.题组3 不等式的性质8.若a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.a 2＋b 2≥2ab B.a ＋b ≥2C.a 2＋b 2≥(a ＋b )2D.＋<(a ≠b )【答案】D【解析】显然有a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2，又a 2＋b 2－(a ＋b )2＝a 2＋b 2－ab ＝(a －b )2≥0，所以a 2＋b 2≥(a＋b )2，故选D.9.已知x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，则实数a ，b 满足的一个条件可以是( )A.a 0>bD.a >b >0 【答案】D【解析】因为x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，所以，a >b >0，故选D.10.已知a ，b ，c 均为实数，有下列说法： ①若a b ，则c －2a <c －2b ；④若a >b ，则<. 其中，正确的结论是________.(填序号) 【答案】③【解析】①用特殊值法检验.令a ＝－2，b ＝－1，有4>1，故①错误；②当b <0时，有a >bc ，故②错误；③当a >b 时，有－2a <－2b ，从而c －2a <c －2b ，故③正确；④当a >0，b <0时，显然有>，故④错误.综上，只有③正确.11.若正数x 、y 满足x y xy +=，则4x y +的最小值等于（） A ．4 B ．5 C ．9 D ．13【答案】C【解析】因为正数x 、y 满足x y xy +=，所以1xy x =-（1x >），所以441x x y x x +=+-441x x =++-，令1t x =-，0t >， 44455x y t t t t+=++=++，由对勾函数4()f t t t=+在(0,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，所以min ()(2)4f t f ==，所以4x y +的最小值为9，此时33,2x y ==．故选：C ． 12.若102a <<，则()12a a -的最大值是（） A ．1 8B ．1 4C ．1 2D ．1【答案】A【解析】102a <<，故120a ->，则()()()()2212111122122228a a a a a a ⎛⎫+--=-≤⋅= ⎪⎝⎭，当14a =时取“=”，所以正确选项为A13.若非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式不一定成立的是（） A ．1ab11a b -==-，此时1a b<不成立；对于选项B ，当1,1a b =-=，a b <，+2b a a b =-，此时+2b aa b≥不成立；对于选项C ，2222221111,,0a b a b b a a b a a b b b a --=<∴-<，所以2211ab a b<成立；选项D ，当222,1,+2,+0a b a b a a b b =-=-<==，，此时22++a b a b <不成立. 故选：ABD.题组4 利用不等式的性质判断或证明14.已知a >6，求证：－<－. 【答案】方法一要证－<－，只需证＋<＋，只需证<，只需证2a －9＋2<2a －9＋2，只需证<，只需证(a －3)(a －6)<(a －5)(a －4)，只需证18<20，因为18<20显然成立，所以不等式－<－成立.方法二要证－<－，只需证<，因为a >6，所以a －3>0，a －4>0，a －5>0，a －6>0，又因为a －3>a －5，所以>，同样有>，则＋>＋，所以－<－.15.已知a ，b 为正实数，且2c >a ＋b ，求证：c －<a <c ＋. 【答案】证明要证c －<a <c ＋，只需证－<a －c <，即证|a －c |<，两边平方得a 2－2ac ＋c 2<c 2－ab ，即证a 2＋ab <2ac ，因为2c >a ＋b ，a 为正实数，所以a 2＋ab <2ac 成立，所以原不等式成立.16.已知a ，b 都是正数，并且a ≠b ，求证：a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2.【答案】证明 (a 5＋b 5)－(a 2b 3＋a 3b 2)＝(a 5－a 3b 2)＋(b 5－a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)－b 3(a 2－b 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a ＋b )·(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2). ∵a ，b 都是正数，∴a ＋b >0，a 2＋ab ＋b 2>0.又∵a ≠b ，∴(a －b )2>0，∴(a ＋b )(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)>0， ∴a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2.17.已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥（2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又2a b ab +≥，2b c bc +≥，2a c ac +≥（当且仅当a b c ==时等号同时成立）()()()()3332322224a b b c c a ab bc ac abc ∴+++++≥⨯⨯⨯=又1abc = ()()()33324a b b c c a ∴+++++≥题组5 利用性质比较大小18.a ∈R ，且a 2＋a <0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A.a 2>－a 3>－a B. －a >a 2>－a 3 C. －a 3>a 2>－a D.a 2>－a >－a 3 【答案】B【解析】因为a 2＋a <0，所以a (a ＋1)<0，所以－1<a <0，根据不等式的性质可知－a >a 2>－a 3，故选B. 19.若0<a 1<a 2,0>，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. 方法二作差法∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0a 1，b 2＝1－b 1>b 1，∴0<a 1<，0<b 1<.又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1， a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－－， a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1， ∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝＋－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0， ∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1 ＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－＝2a 1b 1＋－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－(2a 1－1)＝(2a 1－1)＝2>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.题组6 利用不等式的性质求范围20．已知1122α-≤≤，02β≤≤，则22βα-的取值范围是________. 【答案】[]2,1- 【解析】由1122α-≤≤，则121α-≤≤，又由02β≤≤，得102β-≤-≤，则2212βα-≤-≤.故答案为：[]2,1-.21．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ 【答案】[]1,7【解析】令3()()x y s x y t x y -=++-()()s t x s t y =++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩,12s t =⎧∴⎨=⎩, 又11x y -≤+≤①13x y ≤-≤,22()6x y ∴≤-≤⋯② ∴①+②得137x y ≤-≤.故答案为[1,7]22．已知实数a 满足ab 2>a>ab ，则实数b 的取值范围为________．【答案】(－∞，－1) 【解析】若a<0，则b 2<10，则b 2>1>b ，解得b ∈(－∞，－1)．23．若两个正实数x ，y 1=26m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(2,8)-. 【解析】解：411x y+=44⎛⎫=+=++816≥+= 当且仅当16x y =，即4y =且64x =时取等号.246x m m +>-恒成立，则2166m m >-解得28m -<<即()2,8m ∈-故答案为：()2,8-。

课时跟踪检测(九) 等式性质与不等式性质

课时跟踪检测（九）等式性质与不等式性质层级(一)“四基”落实练1．若x≠2且y≠－1，则M＝x2＋y2－4x＋2y与－5的大小关系是()A．M＞－5B．M＜－5C．M＝－5 D．不能确定解析：选A因为x2＋y2－4x＋2y－(－5)＝(x－2)2＋(y＋1)2，又x≠2且y≠－1，所以(x －2)2＋(y＋1)2＞0，故M＞－5.2．已知a＜b，那么下列式子中，错误的是()A．4a＜4b B．－4a＜－4bC．a＋4＜b＋4 D．a－4＜b－4解析：选B根据不等式的性质，a＜b,4＞0⇒4a＜4b，A项正确；a＜b，－4＜0⇒－4a ＞－4b，B项错误；a＜b⇒a＋4＜b＋4，C项正确；a＜b⇒a－4＜b－4，D项正确．3．已知c＞1，且x＝c＋1－c，y＝c－c－1，则x，y之间的大小关系是() A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定解析：选C用作商法比较，由题意x＞0，y＞0，∵x y ＝c＋1－cc－c－1＝c＋c－1c＋1＋c＜1，∴x＜y.4．(多选)下列四个选项中能推出1a＜1b的有()A．b＞0＞a B．0＞a＞b C．a＞0＞b D．a＞b＞0解析：选ABD 1a＜1b⇔b－aab＜0⇔ab(a－b)＞0.A．ab＜0，a－b＜0，ab(a－b)＞0成立；B．ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立；C．ab＜0，a－b＞0，ab(a－b)＜0，不成立；D．ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立．5．已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)．(填“＞”“＜”或“＝”)解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，所以(a ＋3)(a －5)＜(a ＋2)(a －4)．答案：＜6．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．解析：①原来每天行驶x km ，现在每天行驶(x ＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km ”，写成不等式为8(x ＋19)＞2 200.②若每天行驶(x －12)km ，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，写成不等式为8x ＞9(x －12)．答案：8(x ＋19)>2 200 8x ＞9(x －12)7．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．解析：∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤152， ∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8， ∴3≤z ≤8.答案：{z |3≤z ≤8}8．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＞0，试比较a 3＋b 3与ab 2＋a 2b 的大小．解：因为a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，所以a 3＋b 3－ab 2－a 2b ＝a 3－a 2b ＋b 3－ab 2＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )≥0，所以a 3＋b 3≥ab 2＋a 2b .层级(二) 能力提升练1．(多选)设a ，b 为正实数，下列命题正确的是( )A ．若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1B ．若1b －1a ＝1，则a －b ＜1C ．若|a －b |＝1，则|a －b |＜1D ．若|a |≤1，|b |≤1，则|a －b |≤|1－ab |解析：选AD 对于A ，若a ，b 为正实数，则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝1a ＋b⇒a －b ＞0⇒a ＞b ＞0，故a ＋b ＞a －b ＞0，若a －b ≥1，则1a ＋b≥1⇒a ＋b ≤1，这与a ＋b ＞a －b ＞0矛盾，故a －b ＜1成立，所以A 正确；对于B ，取a ＝5，b ＝56，则1b －1a ＝1，但a －b ＝5－56＞1，所以B 不正确；对于C ，取a ＝4，b ＝1，则|a －b |＝1，但|a －b |＝3＜1不成立，所以C 不正确；对于D ，(a －b )2－(1－ab )2＝a 2＋b 2－1－a 2b 2＝(a 2－1)(1－b 2)≤0，即|a －b |≤|1－ab |，所以D 正确．2．已知a 1＞1,0＜a 2＜1，设P ＝1a 1＋1a 2，Q ＝1a 1a 2＋1，则P 与Q 的大小关系为________(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：P －Q ＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2－⎝⎛⎭⎫1a 1a 2＋1＝a 1＋a 2a 1a 2－1＋a 1a 2a 1a 2＝a 1－1＋a 2(1－a 1)a 1a 2＝(a 1－1)(1－a 2)a 1a 2，因为a 1＞1,0＜a 2＜1，所以a 1－1＞0,1－a 2＞0，a 1a 2＞0，所以P －Q ＝(a 1－1)(1－a 2)a 1a 2＞0，所以P ＞Q . 答案：＞3．某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：今制定计划欲使总产值最高，则应开发A 类电子器件________件，能使总产值最高为________万元．解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件，则x 2＋50－x 3≤20，解得x ≤20.由题意得总产值：y ＝7.5x ＋6(50－x )＝300＋1.5x ≤330(万元)，当且仅当x ＝20时，y 取最大值330.答案：20 3304．已知－2＜a ≤3,1≤b ＜2，试求下列代数式的取值范围．(1)a ＋b ；(2)2a －3b .解：(1)－1＜a ＋b ＜5.(2)由－2＜a ≤3得－4＜2a ≤6，①由1≤b ＜2得－6＜－3b ≤－3，②由①＋②得，－10＜2a －3b ≤3.5．若bc －ad ≥0，bd ＞0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d .证明：⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad ≥0⇒bc ≥ad ，bd ＞0⇒1bd ＞0，⇒c d ≥a b ⇒c d ＋1≥a b ＋1⇒c ＋d d ≥a ＋b b ⇒a ＋b b ≤c ＋d d .层级(三) 素养培优练1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz 解析：选B 法一：∵x ＜y ＜z ，且a ＜b ＜c ，∴ax ＋by ＋cz －(az ＋by ＋cx )＝a (x －z )＋c (z －x )＝(x －z )(a －c )＞0，∴ax ＋by ＋cz ＞az ＋by ＋cx ；同理，ay ＋bz ＋cx －(ay ＋bx ＋cz )＝b (z －x )＋c (x －z )＝(z －x )(b －c )＜0，∴ay ＋bz ＋cx ＜ay ＋bx ＋cz ；同理，az ＋by ＋cx －(ay ＋bz ＋cx )＝a (z －y )＋b (y －z )＝(z －y )(a －b )＜0，∴az ＋by ＋cx ＜ay ＋bz ＋cx ，∴最低费用为(az ＋by ＋cx )元．故选B.法二：特殊值法，取x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝1×1＋2×2＋3×3＝14，az＋by＋cx＝1×3＋2×2＋3×1＝10，ay＋bz＋cx＝1×2＋2×3＋3×1＝11，ay ＋bx＋cz＝1×2＋2×1＋3×3＝13，故选B.2．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．解：设住宅窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a<b，且ab≥10%.由于a＋mb＋m－ab＝m(b－a)b(b＋m)>0，于是a＋mb＋m>ab.又ab≥10%，因此a＋mb＋m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.。

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课时跟踪检测（八）等式性质与不等式性质A 级——学考合格性考试达标练1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤400解析：选B x 个月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400.2．若ab cd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( )A ．b ＜0，c ＜0B ．b ＞0，c ＞0C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0解析：选D 由a ＞0，d ＜0，且ab cd ＜0，知b c ＞0，又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.3．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( )A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞cB ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋bC ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞b dD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b解析：选B 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立，选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.4．已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．M ≥N解析：选B ∵0<a 1<1，0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N .5．设0<α<π2，0≤β≤π2，则2α－β3的范围是( )A ．0<2α－β3<5π6 B ．－π6<2α－β3<5π6 C ．0<2α－β3<π D ．－π6<2α－β3<π 解析：选D 由已知，得0＜2α＜π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π. 6．给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推得1a <1b成立的是________．解析：1a <1b ⇔b －a ab<0，所以①②④能使它成立．答案：①②④7．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4.解析：a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4]＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1≥1＞0，故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4.答案：＞8．已知三个不等式①ab >0；②c a >d b；③bc >ad .若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．解析：①②⇒③，③①⇒②.(证明略)由②得bc －ad ab>0，又由③得bc －ad >0，所以ab >0⇒①. 所以可以组成3个正确命题．答案：39．已知a ，b ∈R ，a ＋b >0，试比较a 3＋b 3与ab 2＋a 2b 的大小．解：因为a ＋b >0，(a －b )2≥0，所以a 3＋b 3－ab 2－a 2b ＝a 3－a 2b ＋b 3－ab 2＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )(a －b )(a ＋b )＝(a －b )2(a ＋b )≥0，所以a 3＋b 3≥ab 2＋a 2b .10．设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy . 证明：因为x ≥1，y ≥1，所以xy ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上面不等式中的右端减左端，得[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)．因为x ≥1，y ≥1，xy ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．B 级——面向全国卷高考高分练1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示( )A ．v ≤120(km/h)或d ≥10 (m)B.⎩⎪⎨⎪⎧v ≤120（km/h ）d ≥10 （m ） C ．v ≤120 (km/h)D ．d ≥10 (m)解析：选B 最大限速与车距是同时的，故选B.2．(2019·郑州实验中学模考)若1a <1b<0，则下列结论中不正确的是( ) A ．a 2|a ＋b |解析：选D 因为1a <1b<0，所以b <a <0，所以b 2>a 2，ab b >0，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB ．a ＋1a ≥b ＋1b C.b a >b ＋1a ＋1 D ．b －1b >a －1a解析：选A 因为a >b >0，所以1b >1a >0，所以a ＋1b >b ＋1a，故选A. 5．已知|a |＜1，则11＋a与1－a 的大小关系为________．解析：由|a |＜1，得－1＜a ＜1.∴1＋a ＞0，1－a ＞0.即11＋a 1－a ＝11－a 2∵0＜1－a 2≤1，∴11－a 2≥1，∴11＋a≥1－a . 答案：11＋a≥1－a 6．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．解析：∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤152， ∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8， ∴z 的取值范围是3≤z ≤8.答案：3≤z ≤87．已知0<a <b 且a ＋b ＝1，试比较：(1)a 2＋b 2与b 的大小；(2)2ab 与12的大小．解：(1)因为0<a <b 且a ＋b ＝1，所以0<a <12<b ，则a 2＋b 2－b ＝a 2＋b (b －1)＝a 2－ab ＝a (a －b )<0，所以a 2＋b 2<b .(2)因为2ab －12＝2a (1－a )－12＝－2a 2＋2a －12＝－2⎝⎛⎭⎫a 2－a ＋14 ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122<0，所以2ab <12. C 级——拓展探索性题目应用练某种商品计划提价，现有四种方案：方案(Ⅰ)先提价m %，再提价n %；方案(Ⅱ)先提价n %，再提价m %；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价⎝⎛⎭⎫m ＋n 2%；方案(Ⅳ)一次性提价(m ＋n )%.已知m >n >0，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？并说明理由．解：依题意，设单价为1，那么方案(Ⅰ)提价后的价格是：1×(1＋m %)(1＋n %)＝1＋(m＋n )%＋m %·n %；方案(Ⅱ)提价后的价格是：(1＋n %)(1＋m %)＝1＋(m ＋n )%＋m %·n %；方案(Ⅲ)提价后的价格是：⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫m ＋n 2%2＝1＋(m ＋n )%＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m ＋n 2%2；方案(Ⅳ)提价后的价格是：1＋(m ＋n )%.易知方案(Ⅰ)与方案(Ⅱ)提价一样多，方案(Ⅳ)提价最少．∴只要比较m %·n %与⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m ＋n 2%2的大小即可．∵⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m ＋n 2%2－m %·n %＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m －n 2%2≥0，∴⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m ＋n 2%2≥m %·n %.又∵m >n >0，∴⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m ＋n 2%2>m %·n %.因此，方案(Ⅲ)提价最多．。

课时跟踪检测(八) 等式性质与不等式性质

等式与不等式的性质(原卷版)

课时跟踪检测(八) 等式性质与不等式性质

2023年高考数学一轮复习讲义——等式性质与不等式性质

高中试卷-专题2.1 等式与不等式性质解析版)(含答案)

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