第一讲复数与复变函数

第一讲 复数及复变函数1.复数的基本概念R ∈+=y x y i x z , , ．其中：x 称为复数z 的实部，y 称为复数z 的虚部．分别记为：Im , Re z y z x ==．设两个复数222111 , y i x z y i x z +=+=，我们规定212121 , y y x x z z ==⇔=．当00 , 0i y x +==时称为复数零，仍用0表示．a ．复数的运算设222111 , y i x z y i x z +=+=，则. )3(;)( )2( 1.1 ; )( )( )1(2222211222222121211221212121212121y x y x y x i y x y y x x z z y x y x i y y x x z z y y i x x z z +-+++=++-=⋅±+±=±）（b ．复数的模与幅角复数集C 与平面点集R ，和平面中从原点发出的向量一一对应．所以我们将不加区别地使用．容易证明，复数的加减法(1.1)与向量的加减法(平行四边形)法则相吻合． 复数与平面上的点一一对应，所以我们可用平面坐标表示复数．y i x z +=的坐标为()y x , ．这样，平面上的点可以表示复数了．这个复化后的平面我们称之为复平面，仍用C 表示．x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴．设y i x z +=，称22 y x z r +==为z 的模，而复向量z 与x 轴正向的夹角称为复数z 的幅角，记为π2 Arg k z +=θ，其中θ为z 的主幅角，ππ≤<-θ，记为z arg ．由此 Z ∈+=k k z z ,2arg Arg π． (1.2) c ．复数的三角表示设非零复数z 的模r z = ，幅角πk z 2 Arg +=θ，其中θ为主幅角．则θθsin ,cos r y r x ==．若记θθθsin cos e i i +=，则θθθi r i r y i x z e )sin (cos =+=+=． (1.3)不难证明：)(2121e e )1(θϑθθ+=⋅i i i e ；)(2121e e /e (2)θϑθθ-=i i i ；特别θθi i -=e e1． 由此不难得到：.Arg Arg ) ( Arg )3(; )2(;)1(212121212121z z z z z z z z z z z z +==⋅=⋅(1.4)但要注意，一般说来：2121arg arg )arg(z z z z +≠．d ．开方运算若a z n =，则n a z =，设θϕρi i r a z e ,e ==，则θϕρi in n r e e =．由此.1 , , 1 , 0 ,π 2 ,-=+==n k n k r n Λθϕρ 即.1 , , 1 , 0 ,e e )π2(-=⋅==+n k r r a k n i n n i n Λθθ例1 求31 i +．解 ,e 21 4πi i =+因为由(1.4)式2 , 1 , 0 e 21)π24π(363==++k i k i则12πe 2)1(603ii =+；i i π43613e 2 )1(=+； i i π1217623e2 )1(=+． 例2 请同学们求方程 1 3=ω的三个根321 , , ωωω．(321 , , ωωω称为三次单位根)2．复变函数与平面曲线a ．复变函数定义1.1 E 是复平面C 上的一个非空集合，若对E 中的任意一点，存在唯一的C ∈w 与之对应，称在E 上确定了一个单值复变函数，记为E z z f w ∈= , )(． (1.5)若对E 中的每一点z ，存在若干个(有限个或无限个)C ∈w 与之对应， 称在E 上确定了一个多值函数) ( , )(E z z f w ∈=．一般说来，若不加说明，)(z f w =总是指单值函数．设v i u w y i x z z f w , , )(+=+==，则) , ( ) , ( )(y x v i y x u z f w +==，其中) , ( , ) , (y x v y x u 分别称为)(z f w =的实部函数与虚部函数．比如：若y x i y x y i x z z f 2) ()(2222+-=+==，则实部函数与虚部函数为xy y x v y x y x u 2), ( , ), (22=-=．例3 将函数2 )(y i y x z f +=写成以z 为变量的函数．解 因为iz z y z z x 2 , 2-=+=， 则 2))(4())((41)(z z i z z z z i z f --++-= ) 2(4)(42222z z z z i z z i +----= ) (2) 22(422z z z i z z z i --=--=．b ．平面曲线在数学分析中，平面的曲线C 方程βα≤≤⎩⎨⎧==t t y y t x x )()(， (1.6) 而该曲线在复平面上的表示方程为：, )( )()(βα≤≤+==t t y i t x t z z ．设 )( , )(t y t x 在], [ βα连续可微，定义 )(' )(')('t y i t x t z +=，则若)('t z 连续(即)('t x 、)('t y 连续)且0)('≠t z ，则称该曲线是光滑曲线． (1.7) 若曲线C 是由有限段光滑曲线衔接而成的连续曲线，称C 为按段光滑曲线．今后，我们若不加特别说明，曲线均指按段光滑曲线．按段光滑曲线是可求长的，计算公式为t t z t t y t x L d )(' d )(')(' 22⎰⎰=+=βαβα． (1.8) 下面我们介绍简单曲线的概念．设曲线βα≤≤=t t z z , ) (，若存在βα≤<≤1010 , , t t t t (10 t t 、不同时为βα 、)，使)()(10t z t z =，则我们称) () (10t z t z p ==为曲线C 的一个重点．无重点的曲线称之为简单曲线，或称Jordan 曲线．若简单曲线满足)()(βαz z =，称之为围线．非封闭的简单曲线，也可称之为弧．(1.9)c ．平面点集定义1.2 设{} n z 为复平面上的一复点列，若满足, , 0N ∃>∀ε当N n >时ε<- 0z z n称{}n z 以0z 为极限，记为0lim z z n n =∞→． 很明显：若设000 , y i x z y i x z n n n +=+=，则0lim z z n n =∞→ 的充要条件是00lim , lim y y x x n n n n ==∞→∞→． 下面我们给出平面点集的一些概念．(1) 邻域：由不等式ρ<- 0z z 所确定的平面点集，称为以0z 为心，ρ为半径的邻域，简称0z 的ρ-邻域，记为()ρ, 0z ∆．(2) 设E 是复平面C 上的一个非空点集．0z 是复平面C 上的点．若0z 的任何一个邻域均含E 中的无限多个点，称0z 是E 的一个聚点；若存在0z 的一个邻域，使得在这个空心的邻域内不含E 中的任何点，称0z 是E 的一个孤立点；若00 ,z E z 且∉不是E 的聚点，称0z 是E 的一个外点．(3) E 的所有聚点，称为E 的导集，记为'E ．若E E ⊂'称E 是闭集．(4) 设E z ∈0，若存在E z ⊂∆>) , ( , 00ρρ，称0z 是E 的一个内点．若E 的所有点均是内点，称E 是开集．(5) 若0z 的任何一个邻域既含E 的点，又含非E 的点，称0z 是E 的一个界点，界点的全体称为边界，记为E ∂．(6) 若D 是一个开集，并且D 中的任意两点1z ，2z ，可用D 中的折线连接，我们称D 是区域．(7) 区域D 加上它的边界D ∂，称为闭域．(8) E 是平面上的一个非空集合，若存在正数M ，使E z ∈∀，M z < ．称E 是有界集，否则就称为无界集．下面介绍一些最基本的区域和闭域．例4 {}{}R z z E R z z E ≤=<= , 21．解 1E 是区域，2E 是闭域．例5 上半平面0Im >z 是一个无界区域．左半平面0Re <z 也是一个无界区域．例6 集合{} y z Im y 21<<z 表示一个带形区域．例7 集合{}r 21r a z z <-<表示以a 为心的圆环区域．d ．复变函数的连续性定义1.3 设E 是一复数集，0z 是E 的一个聚点．若满足0, 0>∃>∀δε，当E z z z ∈<-< , 00δ，有ε<-0)(w z f ．称)(z f 沿E ，当0z z →时，以0w 为极限．记为0)(lim 0w z f E z z z =∈→．在不致于混淆的情况下，也可简记为0)(lim 0w z f z z =→．很明显，极限若存在，必唯一．下面的定理反映了复极限与二元函数实极限之间的关系．定理1.1 设) , ( ) , ( )(y x v i y x u z f +=于点集E 上有定义，000 y i x z +=是E 的一个聚点，则000 )(lim 0v i u w z f z z +==→的充要条件是00) , (lim ,) , (lim 0000v y x v u y x u y y x x y y x x ==→→→→． 定义1.4 设)(z f 为E 上的一个复变函数，E z ∈0．若)(z f 满足下列二个情况之一，则称)(z f 在0z z =连续．1．0z 是E 的一个孤立点．2．若'0E z ∈，)()(lim 00z f z f z z =→． 类似地有：)(z f 在0z 连续的充要条件是), ( , ), ( y x v y x u 在) , (00y x 连续． 从而我们得到：)(z f 在点0z 连续的充要条件是)(z f 在0z 连续． 既然)(z f 的连续性可归结为实函数的连续性，则四则运算及复合保连续性就是显然的了．e ．连续函数在有界闭域上的性质若)(z f 在集合E 上的每一点连续，则称)(z f 在集合E 上连续． 定理1.2 设)(z f 在有界闭集E 上连续，则在E 上)(z f 有最大最小模．[证] 推论 若)(z f 在有界闭集E 上连续，则)(z f 在E 上有界．定理1.3 设)(z f 在区域D 上连续，则)(D f 是一个连通集．(这个定理相当于介值性定理) [证]定理1.4 设)(z f 在有界闭集E 上连续，则)(z f 在E 上一致连续． 即：,0 ,0>∃>∀δε只要δ<-21 z z ，就有ε<- )()( 21z f z f ．[证]3．复球面与无穷大邻域设由方程1232221=++x x x 所确定的曲面为S ，点) 1 , 0 , 0 (记为N ，称为北极．21x x O -平面视为复平面，那么复平面C 与} {\N S 构成一一对应．事实上，对平面上的任一点y i x z +=，作z 与N 的连线，该连线与球面S 的交点为p ．作映射 ．；p z N S =→) ( } {\ :σσC 显然σ是}{\N S →C 的一个一一对应．不难看出，当∞→z 时) ( z σ趋于N ．由此我们补充定义：N =∞)(σ，这样σ为S →∞}{Y C 之间的一个一一对应．我们称} {∞Y C 为扩充复平面，记为C ，S 称为黎曼球面，σ称为球极射影．用初等计算的方法，可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-++=1 1 , )1 ( , 1 )(2222z z z i z z z z z z σ 设)(),(, , 221121z p z p z z σσ==∈C ，则弦距2221212121 1 1 2 , z z z z p p z z ++-==；若21 , z z 有一为∞，则 2 12, , z z z +=∞=∞．作为本讲的结束，我们介绍无穷远点的邻域．因为∞对应着北极N ，而在黎曼球面上以北极N 为心的一个小邻域在球极射影σ下的原像应是某一个以原点为心的某圆的外部区域．这个小邻域愈小，那么所对应的圆半径愈大(所对应的圆外部区域就愈小)．根据上面的直观理解，我们规定：{}R)(．∆|z|,=zR>∞。