多属性效用理论
临床效用指标在早期药品研发决策中的应用
临床效用指标在早期药品研发决策中的应用临床效用指标（Clinical utility index，CUI）是对药品进行多尺度测量的一种手段，可对药品的不同属性进行量化分析。
CUI作为一种实用性工具，用单一效用函数对早期药品研发中药品的多重属性如安全性、有效性、耐受性等进行评估，以量化风险-效益比[1]。
本文分析药品研发决策所面临的问题，通过引入CUI 帮助早期药品研发决策。
1 药品研发决策面临的问题及对策1.1 传统药品研发决策面临的问题1.1.1 药品研发决策的多目标性。
药品研发不同阶段的决策均至关重要[2]，既要考虑降低研发成本，又要考虑药品的安全性和有效性，即要考虑多个目标作出决策，故药品研发为一种多目标决策。
多目标决策具有目标矛盾性、不可公度性以及因决策人的偏好不同决策也有所不同的特点[3]。
以往应用于决策中评估临床效用的方法包括联合分析或离散选择分析方法，但这2种分析方法都存在着具主观性、评价标准不一致以及非定量等问题。
离散选择分析需要大量的来自于临床医师的关于其药物选择的数据，同样对这些数据属性的权衡也来自于医师的选择和评价。
联合分析的数据来源与离散选择分析相似，也需要通过采访大量的临床医师才能建立一个有意义的模型，从而导致了决策的高额成本[4]。
1.1.2 药品研发决策中风险和效益平衡的量化比较困难。
每种药品都存在着风险和效益，研发团队在药品研发决策中需要评估药品的风险和效益，同时也要平衡药品的风险和效益。
药品具有一系列呈现不同风险和效益水平的属性，例如，药物的耐受性不同，患者对高效低耐受和低效高耐受的药物的选用问题；药物的副作用多样，患者对具有罕见却严重和常见却不严重的副作用的药物的选用问题；一般而言，提高药物剂量在增加疗效的同时会降低安全性和耐受性，那么是应该每天服药2次以缓和药物的作用，还是应该每天1次以方便服用，这涉及给药频率调整问题[5]。
综合以上这些情况，研发团队在研发新药的过程中必须要面对由剂量、给药频率等各个属性带来的风险和效益，考虑这些属性的不确定性并权衡各属性的风险和效益，量化风险-效益比从而进行决策。
多属性决策理论方法与应用研究
多属性决策理论方法与应用研究摘要：多属性决策理论是一种重要的决策方式，可以为复杂的决策问题提供科学有效的解决方案。
本文对多属性决策理论的相关理论和应用进行研究，主要探讨了多属性决策理论的基础概念、分类方法、常用模型及其优缺点，以及多属性决策理论在各个领域中的应用实践。
通过对多属性决策理论的研究与分析，本文认为多属性决策理论是一种科学、可靠的决策方式，可为各类决策问题提供较为优质的决策方案。
关键词：多属性决策；理论方法；应用研究；优缺点；决策方案。
一、引言多属性决策理论是一种重要的决策方式，广泛应用于各个领域。
在政府、企业、社会团体等各种机构的决策中，多属性决策理论的应用已经趋于成熟。
多属性决策理论通过对决策对象进行多因素分析，综合考虑多个指标因素，最终得出相对优的决策方案。
本文旨在对多属性决策理论的相关理论和应用进行研究，以期为各种机构提供科学、有效的决策支持。
二、多属性决策理论的基本概念多属性决策理论最基本的概念是“指标”，即决策对象中各项属性的度量值，表示决策对象在不同方面的表现。
每个指标又可以分为“定量指标”和“定性指标”两类。
另外，多属性决策理论还涉及到“权重”、“偏差”、“优化方法”等相关概念。
权重指标的重要性或优先级，偏差表示指标测量误差，优化方法则指在满足各种约束条件的基础上，寻求全局最优决策方案。
三、多属性决策理论的分类方法在多属性决策理论中，存在着多种分类方法，包括基于效用函数的分类方法、基于模糊数学的分类方法、基于层次分析法的分类方法、基于模型建立的分类方法等。
不同的分类方法适用于不同情况下的决策问题，各有优缺点。
需要根据具体的决策问题确定合适的分类方法，并根据需要进行组合应用。
四、多属性决策模型及其优缺点在多属性决策理论中，包含了多种模型，包括加权线性模型、层次分析模型、TOPSIS模型、熵权法模型等。
这些模型各有不同的优缺点，不同模型适用于不同情况，需要根据实际决策问题进行选择。
多属性决策的敏感性分析方法及在评标管理中的应用
AbstractSensitivity analysis is an important tache of using models and making quantitative decisions.People will be affected by the uncertain decision parameters when they are devoted to the study on multi-attribute decision making to obtain optimal solutions.Due to the influence of the uncertain problems or parameters on the results of the evaluation,the reliability of evaluation results is often a problem for the decision makers. Sensitivity analysis can reflect the degree of influence on the decision from uncertainty factors, and decision makers can know which parameters are most sensitive, so as to turn their attention more effectively on the key part, which has important practical significance for the multi-attribute decision making.Based on the National Natural Science Foundation of China and the Hubei Electric Power Commission project "Research on the methods and mechanism of bidding and purchasing of electric power materials", the following research work has been carried out: First of all, we discuss the common methods of multi-attribute decision making, and analyze their advantages and disadvantages as well as the future development.Then we research sensitivity measurements based on distance measure and vectorial angle measure,and test the sensitivity of the project by the minimum variation of the local parameters and the vector angle of the global parameters separately.Next,we regard the bidding as multi-attribute decision making under SAW, establish the model and analyze the sensitivity of attribute value,attribute weights and expert weights individually.We put forward the concept and calculation method of minimum variation and sensitivity coefficient when analyzing the sensitivity of attribute value.While introducing the vectorial angle to analyze the sensitivity of attribute weights and expert weights.We give some definitions ,geometric representation and solving methods and then discuss the rationality and validity.Combining with the specific bidding example and datas,we verify and compare the methods of sensitivity analysis,then give some suggestions for experts.The methods of sensitivity analysis in this paper extend the range of sensitivity analysis on multi-attribute decision making to a certain degree,which have theoretical significance and application value on research of decision making theory.Keywords：Multi-attribute Decision Making; Sensitivity Analysis; Angle Measure; Electric Power Materials Bid; Simple Additive Weighting目录摘要 (I)Abstract ........................................................................................................... I I 1 绪论.. (1)1.1 研究背景、目的及意义 (1)1.2多属性决策的敏感性分析及研究概况 (2)1.3 电力物资评标及研究概况 (7)1.4 研究内容与结构安排 (9)2 多属性决策及敏感性分析方法研究 (11)2.1 多属性决策方法研究 (11)2.2 敏感性分析方法研究 (16)2.3 本章小结 (20)3 基于多属性决策的评标模型及其敏感性分析 (22)3.1 评标模型的建立 (22)3.2 方案排序关于属性值的敏感性分析 (25)3.3 方案排序关于属性权重的敏感性分析 (30)3.4 方案排序关于专家权重的敏感性分析 (34)3.5 本章小结 (37)4 湖北电力公司评标结果的敏感性分析 (39)4.1 案例背景 (39)4.2 专家评价及各方案排序 (41)4.3 排序结果的敏感性分析 (43)4.4 本章小结 (49)5 总结与展望 (50)5.1 主要结论与创新点 (50)5.2 研究展望 (51)致谢 (52)参考文献 (53)附录1 攻读硕士学位期间参加的科研项目 (57)附录2 技术专家和商务专家的评分表 (58)1 绪论1.1研究背景、目的及意义作为决策科学的一个重要研究领域[1]，多属性决策（Multiple Attribute Decision Making，MADM）方法，是指决策者在考虑多个属性的情况下对有限个备选方案进行科学合理排序的理论和方法。
第三讲多属性决策分析
确定权的方法有两大类： 主观赋权法：根据主观经验和判断，用某种方法测定属性指标 的权重； 客观赋权法：根据决策矩阵提供的评价指标的客观信息，用某 种方法测定属性指标的权重。 两类方法各有利弊，实际应用时可以结合使用。
下面介绍几种常用的确定权的方法
得到的新权应该更有效。
例：设某决策矩阵(假设都是正向指标)如下：
X1
A1 2.0
D A2 2.5
A3 A4
1.8 2.2
X2 X3 X4 X5 X6
1500 2000 5.5 5 9 2700 1800 6.5 3 5 2000 2100 4.5 7 7 1800 2000 5.0 5 5
使用pij
xij
4
, 进行变换得：
xij
i 1
X1
X2
X3
X4
X5
X6
A1 0.2353 0.1875 0.2530 0.2558 0.25 0.3462
P A2 0.2941 0.3375 0.2278 0.3023 0.15 0.1923
A3 A4
0.2118 0.2588
0.2500 0.2250
0.2658 0.2530
指标的标准化可以部分解决目标属性的不可公度性。
下面介绍几个常用的预处理方法。在决策中可以根据情况 选择一种或几种对指标值进行处理。
1、向量归一化
2、线性比例变化法
3、极差变换法
（3）最优值为给定区间时的变换
4、标准样本变换法
5、定性指标的量化处理 如一些可靠性、满意度等指标往往具有模糊性，可以将指标 依问题性质划分为若干级别，赋以适当的分值。一般可以分 为5级、7级、9级等。
多属性决策的理论与方法
多属性决策的理论与方法目录:前言 3常用符号说明 12第1篇预备知识与基础第1章预备知识 21.1基本术语 21.2决策内容 41.2.1决策要素 51.2.2决策过程 71.3决策方法 81.3.1决策方式 81.3.2决策标准 91.3.3决策偏好 101.3.4方法分类 11第2章属性度量 122.1度量基础 122.1.1集合与运算 122.1.2关系及性质 132.1.3序结构性质 152.1.4偏好模型法 182.2效用理论 212.2.1效用的基本原理 212.2.2多属性效用理论 252.2.3效用加性的理论 342.3属性规范 372.3.1数量化 382.3.2标准化 39第3章属性集结 423.1权重设置 423.1.1特征向量法 423.1.2最小加权法 443.1.3信息熵方法 453.2集结算子 483.2.1加权平均算子 48 3.2.2有序加权算子 49 3.2.3组合加权算子 50 第2篇确定多属性决策第4章基本方法 544.1无偏好信息方法 54 4.1.1属性占优法 544.1.2最大最小法 554.1.3最大最大法 584.2有属性信息方法 59 4.2.1多属性效用理论 59 4.2.2级别优先关系法 85 4.3有方案信息方法 105 4.3.1相互偏好方法 105 4.3.2相互比较方法 116 第5章综合方法 1215.1层次分析方法 121 5.1.1方法步骤 1215.1.2原理运用 1335.2MonteCarlo方法 140 5.2.1方法基础 1405.2.2决策运用 1425.3数据包络分析 144 5.3.1模型基础 1445.3.2排序方法 1485.3.3决策问题 1545.4决策敏感分析 1565.4.1权重的敏感性分析 157 5.4.2属性值敏感性分析 158 第3篇随机多属性决策第6章随机决策原理 162 6.1模型特点 1636.2主观概率 1646.2.1基础概念 1646.2.2先验分布 1666.3决策准则 1676.3.1不确定型准则 167 6.3.2风险随机准则 171第7章随机决策方法 177 7.1Bayes决策分析法 177 7.1.1Bayes定理 1777.1.2Bayes规则 1797.1.3Bayes分析 1817.1.4信息与决策 1847.2随机优势决策分析 190 7.2.1随机优势的基础 190 7.2.2第一类随机优势 191 7.2.3第二类随机优势 194 7.2.4第三类随机优势 197 7.2.5随机优势的判断 200 7.2.6随机优势的应用 202 7.3随机层次分析方法 205 7.3.1区间判断矩阵 205 7.3.2排序反转概率 208 7.3.3层次组合排序 213第4篇模糊多属性决策第8章模糊集与决策 2188.1模糊决策原理 2188.1.1模糊决策的基本特征 218 8.1.2模糊决策原理的变化 219 8.1.3模糊多属性决策模型 220 8.2模糊集与运算 2228.2.1模糊集合基础 2228.2.2模糊集合运算 2248.2.3扩展模糊算术 2288.2.4确定隶属函数 2328.3模糊集的排序 2368.3.1偏好关系方法 2378.3.2均值散布方法 2508.3.3模糊评分方法 252第9章模糊决策方法 2599.1模糊属性的转换 2609.2无偏好信息的决策 262 9.2.1模糊乐观型决策方法 262 9.2.2模糊悲观型决策方法 263 9.2.3模糊折中型方法 264 9.3有属性信息的决策 265 9.3.1模糊联合与分离法 266 9.3.2模糊加权平均方法 268 9.3.3模糊决策扩展方法 271 9.4有方案信息的决策 273 9.5模糊决策综合方法 275 9.5.1模糊层次分析方法 275 9.5.2区间层次分析方法 278 第5篇粗糙多属性决策第10章粗糙集理论基础 290 10.1数据表与关系 290 10.2粗糙集与近似 291 10.3依赖性与约简 297 10.3.1知识的依赖性 298 10.3.2差别矩阵函数 301第11章粗糙集决策方法 303 11.1决策基础 30311.1.1决策规则 30311.1.2相互作用 30411.1.3相似关系 30611.1.4不完全信息 30811.2分类排序 30911.2.1多属性分类问题 310 11.2.2多属性有序分类 314 11.2.3不完全信息问题 316 11.3选择评级 31811.3.1成对比较表 31911.3.2多等级占优 32011.3.3无偏好占优 32311.4粗糙集方法的扩展 327 附录A备选属性集结算子 330 附录B特征向量理论概率 339 参考文献 343索引 369。
多属性效用理论在口服降糖药药物经济学评价中的适用性
ｒｃｍｍｅ ｄ ｔ ｎ ［ ． ｎ ｎ ｏ ２ ０ ， （ｕ ｐ ４ ： １２ ｉ ８ ． ｅｏ ｎ ａ ｏ ｓ ］ ｎＯ ｃ ｌ ０ ９ ０ Ｓ ｐ ｌ ） ｖ８ 一 １ ４ ｉ ＪＡ ２ ｉ ｖ
多属性效用理论在 口服降糖药药物经济学评价 中的适用性
马向君 朱文 涛 郭 国 富 王 煊
６ ・文献综述 ・ ４
Ｓ ｐ ｍ ｅ １， ｏ． ， ｏ２ 圈衄 ｅ ｔ ｂ ｒ ０ Ｖ １０ Ｎ ．７ ｅ ２ ２ １
ｒｔｏ ｐ ｃ ｉｅｓｕ ｙ ｏ ２ ９ｐ ｔｅ ｔ ｅ ｔｄ ｉ ｉｇ ｅｓ ｅ ｉ ｌ ｅ ｅｒ ｓ ｅ ｔ ｄ ｆ ３ ａｉｎ ｓ ｒ ａｅ ａｓｎ ｌ ｐ ｃ ａｉ ｄ ｖ ｔ ｔ ｎ ｚ
Ｒ ｓ ００１ ５Ｓ ｐ ｌ ） １ ８Ｓ ３ ． ｅ， １ ， （ｕ ｐ ： ２ 一 １３ ２ ２ ２Ｓ 【 ］ Ｌ ｍａ Ｈ， ｕ ｅｅ ．ｒｖ ｎｉｎ ａ ｄｔ ａｍｅ ｔ ｆ ｅ ｏ ｓ ２ ２ ｙ ｎ Ｇ Ｋ ｄ ｒｒ ＮＭ Ｐ ｅ ｅ ｏ ｎ ｅ ｔ ｎ ｎ ｕ ｔ ｒ ｏｖ
其 在 药物经 济 学中 的应 用情况 ，进 而论述 多属 性效 用理 论在 口服 降糖 药药物 经 济学评价 中的可行 性和应 用优 势 。笔者 认 为多属 性效 用理论 在 口服 降糖 药 药物 经 济 学评 价 中具备 适 用性 。 【 键 词】 药物 经济 学 ；多属性 效 用理论 ；口服 降糖 药 ；２型糖尿 病 关
ｃｎ ｅ［ ．ｈ ｍｏ ｅａ ｙ ０ １ ７３： ３２ ８ ｅ ｔ Ｊ Ｃ ｅ ｔ ｒｐ ， １， （ ２ —５ ． ｒ］ ｈ ２ ５ ）５
『９ ＣＯ ｅ ａ Ｍ ａ Ｃａ ｌ １１ １ ｍ ｎ Ｒ， ｃ ｌｕｍ Ｔ ｅ ｔ ｅ ｔａ ｅ ｏ ｄ ｒ Ｐ．ｒ ａ ｍ ｎ ｎｄ Ｓ ｃ ｎ ａ Ｙ
行为多属性决策理论与方法研究
行为多属性决策理论与方法研究多属性决策是与多个属性有关的有限方案选择问题,其在经济管理领域中有着广泛的实际背景,如风险投资项目选择、新产品开发方案选择等问题。
传统的多属性决策理论与方法大多是建立在决策者完全理性的假设基础之上,主要是基于理性决策理论(或期望效用理论),但大量事实或实验分析结果表明,在决策过程中,决策者具有一些有限理性的心理行为特征,因此,基于理性决策理论来解决考虑行为的决策问题,有时是不合适的。
目前,关于考虑行为的多属性决策(以下简称行为多属性决策)问题的研究已经引起一些学者的关注,.并取得了一些初步的研究成果,然而这些研究成果尚未形成系统的研究体系,并且缺乏决策分析方法与技术的支撑。
因此,对考虑行为的多属性决策问题进行系统研究,并给出有针对性的决策分析方法,具有重要的理论意义和现实意义。
本文对行为多属性决策理论与方法进行了深入研究,主要开展了以下几个方面的研究工作：(1)给出了考虑行为的多属性决策问题的描述及研究框架。
为了明确考虑行为的多属性决策问题的研究体系,将考虑行为的多属性决策问题分为三类：考虑行为的确定型多属性决策问题、考虑行为的风险型多属性决策问题和考虑行为的多属性群决策问题。
此外,给出了考虑行为的多属性决策问题的一般性描述,并给出了解决考虑行为的多属性决策问题的研究框架。
这些基础性研究工作为相关问题的研究提供了理论指导框架和分析框架,并为研究问题的扩展与应用提供了坚实的基础。
(2)研究了考虑行为的确定型多属性决策理论与方法。
具体地,针对属性值和决策者的期望水平为清晰数和区间数两种形式共存的多属性决策问题,提出了基于前景理论的考虑期望水平的多属性决策方法；针对决策者给出多种类型属性期望的多属性决策问题,提出了基于前景理论的考虑多种类型属性期望的多属性决策方法；针对属性值为清晰数、区间数和模糊数三种形式共存的混合多属性决策问题,提出了具有多种形式信息的扩展TODIM方法。
基于多属性效用理论的飞机设计选材方法
或 排 序 问 题 ， 立 选 材 问 题 的 数 学 模 型 ， 用 建 利 Ｍ Ｄ 理论 的方 法 来 对 备 选 材 料 综 合 性 能进 行 排 ＡＭ 序 ， 出性 能最优 的材料 。 得 这些选 材方 法 可 以分 为 两 类 ： １ 基 于 多 属 性 （）
要 困难得 多 。
Ⅲ和 Ｅ Ｅ Ｔ Ｅ Ｉ Ｌ Ｃ Ｒ Ｖ的选 材 方 法 Ｈ ・
等 。上 述文
献中， 文献 ［ ３ １ ］ １ ， 采用 了上述 两 种或 以上 的方法 ， ４
通 过对 比不 同方 法得 到 的材料 综 合 性 能排 序 ， 确定 最终 选择材 料 。文 献 ［ ９ 对 近 ２ １］ ０年来 工程 领 域 的
ＤＯＩ １ ． ９ ９ ｊｉｓ． ０ ５５ ５ ． ０ ０ ３ Ｏ ９ ：０ ３ ６ ／．ｓｎ １ ０ —０ ３ ２ １ ． ． １
中图 分 类 号 ： ２ Ｖ５
文献 标 识 码 ： Ａ
文 章编 号 ：１０ — ５ （００ ０ －０ ８０ ０ ５５ ３ ２ １ ）３０ ８ － ０ ７
飞机 结 构设 计 中 的选 材 工 作 ， 多 次 综合 、 是 权 衡 折衷 的过程 。设计 人 员进 行 飞机 结 构 设计 选材 时， 需要考 虑材料 的各种性 能 ， 而这 些性能 往往是 矛
摘要 ：首先 介 绍 目前 工程 领 域 提 出的 基 于 多属 性 决 策 （ Ｄ 理 论 的 选 材 方 法 ， 结 基 于 该 理 论 选 材 方 法 的 主要 ＭＡ Ｍ） 总 步 骤 。 针对 飞机 金 属 结 构 的选 材 问题 ， 出基 于 多 属 性 效 用 理 论 （ Ａ Ｔ 理 论 的选 材 方 法 。 结 合 分 析 飞机 结 构 设 提 Ｍ Ｕ）
多属性决策分析方法概述
多属性决策分析方法概述多属性决策分析是一种用于解决决策问题的方法，能够同时考虑多个属性或指标，帮助决策者找到最优的方案或做出合理的决策。
在实际应用中，多属性决策分析被广泛应用于各种领域，如企业管理、金融投资、市场营销、工程项目等。
基于价值函数的方法首先要确定决策问题的目标和属性或指标，然后通过构造或归纳得到价值函数，根据价值函数计算出方案的效用值，最后对方案进行排序或筛选。
常见的基于价值函数的方法有加权得分法、受益成本分析法、利益相关者分析法等。
加权得分法是一种简单而直观的方法，它将每个属性或指标的重要性用权重表示，通过计算每个方案在每个属性或指标上的得分乘以权重，得到方案的总得分，然后根据总得分进行排序或筛选。
受益成本分析法是一种经济学上常用的方法，它通过对每个方案的效益与成本进行比较，计算出效益成本比或效益净现值，来评估方案的投资价值和可行性。
利益相关者分析法是一种针对决策问题中的利益相关者的需求进行评估和分析的方法，它通过对每个方案在每个利益相关者需求上的满足程度进行评估，计算出方案的综合满意度，来评估方案的可行性和可接受性。
基于对比矩阵的方法是一种将多属性决策问题转化为矩阵运算和数值计算的方法，通过构建对比矩阵和权重向量，来计算出方案的优劣程度。
常见的基于对比矩阵的方法有层次分析法、模糊综合评判法、灰色关联分析法等。
层次分析法是一种常用的多属性决策分析方法，它通过构建层次结构和对比矩阵，对每个属性或指标进行两两比较，得到权重向量，然后根据权重向量计算出方案的综合得分，最后对方案进行排序或筛选。
模糊综合评判法是一种将模糊数学理论应用于多属性决策分析的方法，它通过构建模糊评价矩阵和模糊综合评判矩阵，计算出方案的模糊综合得分，最后对方案进行排序或筛选。
灰色关联分析法是一种将灰色关联度理论应用于多属性决策分析的方法，它通过构建灰色关联矩阵和关联度向量，计算出每个方案与最优方案之间的关联度，最后对方案进行排序或筛选。
多准则决策
SAW
SAW
(R最大化) (R归一化)
0.266
0.269
0.226
0.223
0.272
0.274
0.236
0.234
WP
0.269 0.219 0.276 0.236
TOPSIS
0.350 0.146 0.334 0.170
A3与A1（A4与A2）差别不大，A3，A1明显优于A4，A2 用各种方法得到的结果没有显著差别
R的列最小值为0 （最大值为1）
属性值(对决策优劣)的性质
• 单调性 效益型属性值单调增 费用型属性值单调减
决策矩阵标准化时先对费用型属性值作倒数变换:
归一化
最大化
注意非单调性属性的标准化处理
• 线性性 对于明显呈非线性的属性值（如边际效益 递减），需先拟合合适的函数作变换.
3．属性权重 X1, X2, …, Xn的权重
4．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策
各种方法的详细步骤参看：
Hwang C.L. and Yoon K. Multiple Attribute Decision Making——Methods and Applications . Berlin/Heidelberg/New York Springer-Verlag ,1981
区间 尺度
严重不妥!
5. AHP与MAUT的争论——二者的公理化系统有区别 • AHP允许排序逆转而MAUT不允许. • MAUT需要偏好排序的传递性而AHP不需要.
徐玖平，吴巍编著 多属性决策的理论与方法. 北京 清华大学出版社 2006
确定
随机
模糊
粗糙
4．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策
推理的力量：政策过程的理性选择理论
推理的力量：政策过程的理性选择理论作者：李文钊来源：《党政研究》2018年第04期〔摘要〕理性是人类宝贵的财富，所有的人造物都包含了人类智慧。
理性也是公共政策研究的重要途径之一，它强调公共政策是由理性行动者之间互动产生的，从理性的视角看待政策过程所产生的理论又被称之为理性选择理论。
理性选择理论植根于古典政治经济学传统，它主张基于同样的人性假设看待经济、政治和道德。
由于学科的分野，目前形成了经济学的理性选择理论和政治学的理性选择理论，它们对于公共政策有不同的看法。
前者从成本收益分析、多属性效用出发，讨论什么样的公共政策符合理性原则，以及如何在公共政策中思考理性个人的策略互动实现激励兼容。
后者从规则和结构出发，讨论什么样的政策过程结构有利于生产合宜的公共政策，避免“衰退公共政策”的产生。
这些不同视角，形成了政策过程的理性选择理论谱系，主要包括效用理论、多属性效用理论、社会选择理论、公共选择理论和博弈论等。
良好的公共政策是重要的，而产生这一公共政策的土壤更重要。
〔关键词〕推理；理性选择；决策理论；博弈论；政策过程；公共政策〔中图分类号〕D035-01 〔文献标识码〕A 〔文章编号〕2095-8048-（2018）04-0116-13霍布斯指出，人与动物的区别在于推理，尤其是使用语言进行推理。
通过推理，人类找到了告别“人与人像狼一样战争”的自然状态，进入文明社会的路径。
应该说，霍布斯发展了马基雅维利的传统，使得政治学研究从政治哲学走向政治科学，实现了政治的世俗化和研究的科学化，共同开创了基于推理和算计的现代政治科学。
联邦党人更是将这一思想概括为政治学研究的经典之问：人类社会是否真正能够通过深思熟虑和自由选择来建立一个良好的政府，还是他们永远注定要靠机遇和强力来决定他们的政治组织？公共政策是政治领域的重要活动之一，我们可以基于推理来理解纷繁复杂的政策过程吗？很多学者给出了肯定的回答，并将理性作为政策过程研究和政策分析的一种重要途径。
基于熵权D-S理论和心态函数的区间直觉模糊多属性决策方法
基于熵权D-S理论和心态函数的区间直觉模糊多属性决策方法摘要：本文提出了一种权值信息未知且属性值为区间直觉模糊数的多属性排序方法。
该方法利用最大熵原理确定各属性权值，通过证据推理算法集成权值和属性值，进而得到各方案的区间直觉模糊数。
最后在传统得分函数和精确函数中引入心态函数来比较方案区间直觉模糊数的大小，得到方案的排序。
该方法克服了简单加权法的局限性，适合决策者无法提供属性权值的情况，并充分考虑决策者心态对决策行为的影响，具有广泛的应用价值。
关键词：多属性决策区间直觉模糊集熵权证据推理心态函数从广义上来说，多属性决策是多目标决策的一种，处理多属性决策问题有多种方法，如TOPSIS方法[1]，多属性效用理论和PROMETHEE[2]方法等。
当前研究的热点是模糊多属性决策。
对于保加利亚学者Atanassov提出的区间直觉模糊集[3]，目前主要研究其性质、相关性等方面，很少有文献讨论区间直觉模糊决策问题。
另外，在实际决策中，决策者较难给出属性权系数的确定值，或者较难对属性的重要性程度进行两两比较，因而不能使用AHP，ANP或CNP等方法确定属性的权系数。
为此，本文基于最大熵原理、证据推理算法和心态函数，提出一种属性权重未知且属性值为区间直觉模糊数的多属性决策集成方法，以满足实际决策问题的求解。
1、属性权重的确定对于权重完全未知的区间直觉模糊多属性决策问题。
设A={a1,a2,…aN}为方案集，C={c1,c2,…,cM}为属性集。
对方案ai∈A，按属性cj∈C进行测度，得到ai关于cj的属性值为区间直觉模糊数Xij=([aij,bij],[cij,dij])，从而得到决策矩阵A=(Xij)N*M。
试确定方案集A的排序。
本文利用熵权法来确定属性权重。
熵(Entropy)属于热力学的概念，它是物质系统状态的一个函数，用来表示系统的紊乱程度。
在决策系统中，当各评价方案在某指标上的值相差较大、熵值较小时，说明该属性向决策者提供了有用的信息同时还说明在该问题中，各方案在该指标上有明显差异，应重点考察；而指标的熵值越大，则该指标越不重要。
移民安置点优化选择中多属性效用理论的应用
由于新 址 开 发所 需 搬迁 的人 数 ； 由于新 址 开 发 而受 损 的绿 地 面积 ．
１２ 评 估 单 属 性 效 用 函 数 ．
移 民安 置 点 的 选 择 是 一 个 多 目标 决 策 问 题 ， 需
收 稿 日期 ：０ ２ ３ ５ 修 订 日期 ：０ ２ ５—２ ２０ —０ —０ ； ２０ —０ ７ 作 者 简 介 ：杨 文 建 （９４一） 男 ， 徽 桐 城 人 ， 海 大 学 国 际 工 商 学 院 副 教 授 ， 士 研 究 生 ， 要 从 事 工 程 移 民理 论 与 实 践 方 面 １６ ， 安 河 博 主
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第 ２ 卷 第 ３期 ３
２０ ０ ２年 ９月
华
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Ｖｏ ． ３ １ ２ Ｎｏ． ３
Ｓ Ｄ． ００ ｅ ２ ２
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｒｈ Ｃｈ ｎ ｎ ｔｔｔ ｆＷ ａｅ ｎ ｅ ｖ ｎ ｏ ｒ ａ ｆＮｏ ｔ ｉａ Ｉ ｓｉｕｅ ｏ ｔｒＣｏ ｓ ｒａ ｅ
上 能够 对 非 劣势 目标 集 进 行 完 整 排 序 ， 得 出 最 高 能
效 用 的非 劣 势解 ， 为最 佳协 调 解 ． 对工 程 移 民 系 即 针
统 中现 在 及未 来 移 民 安 置 区 的 规 划 选 点 工 作 ， 一 是 项 多 目标 决 策 问题 ， 这 样 的规 划研 究 项 目 ， 对 选择 了
摘 要 ： 用 多 属性 效 用 理 论 对 我 国工 程 移 民 系 统 中移 民 安 置 区 的 规 划 选 点 问 题 进 行 了 目标 和 效 果 测 度 ， 引 评 估 单 属 性 和 多 属 性 效 用 函 数 对 每 个 备 择 方 案 的 可 能 影 响 ， 过 计 算 每 个 备 择 方 案 的 期 望 效 用 ， 评 估 备 择 方 通 来 案 ， 望值最 大的方案 ， 可作 为最高等级 的备择方 案 ． 期 即 关 键 词 ： 用 ； 民 安 置 点 ； 估 效 移 评 中 图 分 类 号 ： Ｖ １ Ｔ ５３ 文献标 识码 ： Ａ
topsis 负向指标
topsis 负向指标摘要：1.什么是Topsis2.Topsis 的正向指标3.Topsis 的负向指标4.负向指标的作用5.如何在Topsis 中应用负向指标正文：Topsis 是一种多属性效用理论，用于解决决策问题。
它通过评估各个属性的重要性和各候选方案在这些属性上的表现来确定最佳方案。
Topsis 的指标分为正向指标和负向指标，其中正向指标用于评估候选方案在各个属性上的优秀程度，而负向指标则用于评估候选方案在各个属性上的不足之处。
在Topsis 中，负向指标是非常重要的，因为它可以帮助我们识别出候选方案的弱点。
负向指标的值越高，说明候选方案在该属性上的表现越差，因此在决策时应尽量避免选择这些方案。
负向指标的作用主要体现在以下几个方面：1.识别候选方案的不足：通过计算负向指标，我们可以发现哪些候选方案在某个属性上表现较差，从而在决策时可以避免选择这些方案。
2.指导改进：通过对负向指标的分析，我们可以找出候选方案的改进方向，从而指导我们在设计方案时进行相应的调整。
3.权衡利弊：在决策时，我们需要在多个候选方案之间进行权衡。
通过分析各方案的正向指标和负向指标，我们可以更全面地了解各方案的优缺点，从而做出更合理的决策。
在Topsis 中应用负向指标的方法如下：1.确定属性：首先需要确定要评估的属性，这些属性应涵盖决策问题的各个方面。
2.收集数据：收集各候选方案在各个属性上的表现数据，通常使用0-1 之间的数值表示表现优劣。
3.计算负向指标：根据各候选方案在各个属性上的表现，计算负向指标。
常用的方法有TOPSIS 法、VIKOR 法等。
4.分析结果：根据计算出的负向指标，分析各候选方案的优缺点，并据此进行决策。
总之，在Topsis 中，负向指标是一个重要的评估工具，它可以帮助我们更全面地了解各候选方案的优缺点，从而在决策时做出更合理的选择。
第八章 多属性效用理论(Multi-attribute Utility Theory)
第八章 多属性效用理论(Multi-attribute Utility Theory)主要参考文献: 92, 68, 86, 118, 129§8.1 优先序一、二元关系1.无差异(Indifferent to)～2.(严格)优于(Strict preference to)3.不劣于(preference of indifference to) ●可以用 定义～， ：A ～B A B 且B A A B A B 且非B A因此，在任何决策问题中， 是偏好结构的基础，有必要假设 关系的存在。
至于 是否确定实存在，则取决于能否以直接或间接的方式找到构造 的途径。
●在单目标问题，有时存在可测属性(或代用属性)如成本、收益来衡量偏好，这时决策问题简化为各方案属性的比较和排序。
但在一般场合，需要用效用(价值)函数来度量偏好，在多目标决策问题中，即使各目标的属性值或效用已知，偏好次序仍不明确，还需作进一步研究。
二、二元关系的种类(用R 表示二元关系)●传递性，若xRy, yRz 则xRz ●自反性reflectivity: xRx●非自反性：(Irreflexivity)非xRx ●对称性(Symmetry)若zRy,则yRx●非对称性(asymmetry)若xRy ，则非yRx●反对称性(anti-symmetry)若xRy 且yRx 则必有x = y ●连通性(connectivity) completeness, Comparability 对x, y ∈X xRy 或/和 yRx任何次序关系必须满足传递性. 传递性看似合理，实则不然，例如， 20.000～20.001 20.001～20.002 … 99.999～100, 但是20≠100连通性在仔细验证前也不能假设其成立, 因为存在不可比方案; 但是,若将不可比归入无差异类，连通性就可成立. 连通性⊕传递性 完全序§8.2多属性价值函数一、价值函数的存在性定理8.3X ⊂R N, 是X 上的弱序，且① x y X ∙∙∈, 若 x ∙≥y ∙x ∙y ∙;② x y z X ∙∙∙∈,, 若 x ∙y ∙z ∙则 必存在唯一的0＜λ＜1使y ∙～λx ∙+(1-λ)z ∙;则存在定义在X 上的实值函数v ，满足 x ∙y ∙⇔ v(x ∙)＞ v(y ∙)x ∙~y ∙⇔ v(x ∙) = v(y ∙)Note : 1. 条件①为单调性(Monotonicity), 即支配性(dominance): 只要某一属性值增加偏好也增加.2. 条件②为偏好空间的连续性(continuity),即阿基未德性(Archimedean).3. v(x ∙)=f(v x v x n n 11(),,() ) f 的形式通常十分复杂，即使v x i i ()为线性 v 的形式仍十分复杂.例：x 1 , x 2 的价值函数为线性, 即: v 1=k 1x 1 v 2=k 2x 2 且 k 2=1.5k 1, 但是 v(x ∙)≠v 1(x 1)+v 2(x 2)因此, 价值函数的设定相当困难.二、加性价值函数 1.定义： 若 v(y ∙)=v y ii ni=∑1(), 则称价值函数V(y ∙)是加性的2.加性价值函数的存在条件 定理8.6(P133) (n ≥3)定义在Y R N上的价值函数 v(y ∙)=v(y y n 1,, )对任何 y ∙’,y ∙”∈Y ,y ∙’ y ∙” iff v(y ∙’)≥v(y ∙”)则属性集满足互相偏好独立条件时当且仅当存在定义在Y i ,i=1,…,n 上的实值函数 v i 使y ∙’ y ∙”⇔v 1(y 1’)+ …+v n (y n ’) ≥v 1(y 1”)+ …+v n (y n ”)3.互相偏好独立的定义：属性集Ω称为互相偏好独立,若Ω的每个非定正常子集Θ偏好独立于其补集Θ-(Ω=ΘU Θ-) 4.属性集Ω的子集Θ偏好独立于其补集Θ-的定义(P130定义8.2)当且仅当：对特定的y Y ΘΘ--∈ 若 (y Θ’,y Θ-0) ( y Θ”,y Θ-0) 则对所有 y Y ΘΘ--∈必有(y Θ’,y Θ-) ( y Θ”,y Θ-) 称属性集Ω的子集偏好独立于其补集Θ-.5.两个属性的加性定理及偏好独立(定义8.4，定理8.4) 消去条件 对∀x 1,y 1,a 1∈Y 1, x 2,y 2,a 2∈Y 2有(x 1,a 1) (a 1,y 2),(a 1,x 2) (y 2,a 2)则必有(x 1,x 2) (y 1,y 2) 则称 满足消去条件.Thomson 条件 将消去条件中的 改为～. 三、其他简单形式 1.拟加性：v(y ∙)=k v y i ii n i=∑1()+j inij i i n i j j k v y v y >=∑∑1()()+k jnj i n ijk i i n i j j k k k v y v y v y >>=∑∑∑1()()()+ … + k n 12 v 1(y 1) …v n (y n )条件 Y i i=1,2,…,n 弱差独立于其补集Y i- (详见p135,定义8.7)2.乘性(pp136-137)若属性集Ω的每个非室子集Θ弱差独立于其补集Θ-, 则 v(y ∙)=k v y i ii n i=∑1()+k k k v y vy i j inj i i n i jj >=∑∑1()()+k2k k kv y v y v y ijk jnj i n k ii n i j j k k >>=∑∑∑1()()()+ … + k k k k n n -112 v 1(y 1) …v n (y n )§8.3多属性效用函数 一、二个属性的效用函数〃后果空间X ×Y ，后果(x,y)，设决策人在X ×Y 上的偏好满足公理(1)～(6)，则可用形如 v(x,y)=v X (x)+ v Y (x) 的加性效用函数表示后果空间上的偏好(确定性条件下)〃设决策人关于X ×Y 空间及P 上的抽奖的偏好为u(x,y)则u(x,y)和v(x,y)代表了X ×Y 上相同的偏好，u(x,y)=φ(v(x,y)). 其中φ(〃)是保序变换〃决策人的行为符合理性行为公理时, 形如 <p 1,(x 1,y 1);…；p n ,(x n ,y n )>的抽奖 可以用期望效用E[u(x,y)]=p u x y ii nii=∑1(,) 来衡量其优劣.二、效用独立(Utility Independence)1.例：l 1 : <0.5,(100,150); 0.5, (400,150)> l 2 : <0.5,(175,150); 0.5, (225,150)> l 3 : <0.5,(100,250); 0.5, (400,250)> l 4 : <0.5,(175,250); 0.5, (225,250)> 若效用独立, 则l 1 l 2⇔l 3 l 42.定义：若二个抽奖有公共的固定的Y 的值而X 中的值不同，决策人对它们的偏好与Y 的取值无关，则称X 是效用独立于Y 。
运筹学多属性决策分析
极大－极大型（maximax）
• 该方法只考虑每个方案中最好的属性值 ，然后选出好中之好者对应的方案作为 决策的结果，它反映了某些特定的决策 情形，譬如运动员的选拔问题在许多情 况下只关注运动员成绩最好的某个单项 技能而不在乎运动员在其它项目中的表 现和水准。为了体现这一思想，乐观型 决策的优先解由以下公式确定：
nw
m m
m
n
n
1 2
n
• 如果判断矩阵见是相容矩阵，由矩阵理 论可知，n是R的惟一非零的也是最大的 特征根，记为 ，而w是n所对应的特征 向量。如果判断矩阵正不完全具有相容 性，则上面的等式并不成立．但矩阵R 元素的微小变动则意味着根的微小变动 ．故可先求解R最大特怔根 ，即求解以 下用行列式形式表示的方程组的最大解 且；
j
1, 2.....n?
• 折衷解（Compromise Solution）：距离 理想解最近或距离反理想解最远或以某 种方式将二者结合在一起的可行解被称 为折衷解。
属性指标的量化与转换
1 语言类属性指标的量化 在多属性决策问题中，方案的属性值通常有定量和定性两种不同的表示形式。 为了便于对属性值进行必要的数学处理，普遍采用 MacCrimimon 提出的双向比例标 尺（Bipolar Scaling）将定性指标转换为定量指标。其标尺形式见 10-1
1 3 5 7 9 2，4，6，8 倒数
含义
属性 i 与属性 j 具有相等的重要程度 属性 i 比属性 j 略重要一些 属性 i 比属性 j 明显重要 属性 i 比属性 j 重要的多 属性 i 的重要性完全压倒属性 j 的重要性
介于以上比较之间 相反方向的比较值
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第八章多属性效用理论(Multi-attribute Utility Theory) 主要参考文献: 92, 68, 86, 118, 129§8.1 优先序一、二元关系1.无差异(Indifferent to)～2.(严格)优于(Strict preference to)3.不劣于(preference of indifference to)可以用定义～，：A～B A B且B AA B A B且非B A因此，在任何决策问题中，是偏好结构的基础，有必要假设关系的存在。
至于是否确定实存在，则取决于能否以直接或间接的方式找到构造的途径。
在单目标问题，有时存在可测属性(或代用属性)如成本、收益来衡量偏好，这时决策问题简化为各方案属性的比较和排序。
但在一般场合，需要用效用(价值)函数来度量偏好，在多目标决策问题中，即使各目标的属性值或效用已知，偏好次序仍不明确，还需作进一步研究。
二、二元关系的种类(用R表示二元关系)传递性，若xRy, yRz则xRz自反性reflectivity: xRx非自反性：(Irreflexivity)非xRx对称性(Symmetry)若zRy,则yRx非对称性(asymmetry)若xRy ，则非yRx反对称性(anti-symmetry)若xRy 且yRx 则必有x = y 连通性(connectivity) completeness, Comparability 对x, y ∈X xRy 或/和 yRx任何次序关系必须满足传递性. 传递性看似合理，实则不然，例如， 20.000～20.001 20.001～20.002 … 99.999～100, 但是20≠100连通性在仔细验证前也不能假设其成立, 因为存在不可比方案; 但是,若将不可比归入无差异类，连通性就可成立. 连通性⊕传递性 完全序§8.2多属性价值函数一、价值函数的存在性定理8.3X ⊂R N, 是X 上的弱序，且 ① x y X ••∈, 若 x •≥y •x•y •;② x y z X •••∈,, 若 x•y•z •则 必存在唯一的0＜λ＜1使y •～λx •+(1-λ)z •;则存在定义在X 上的实值函数v ，满足 x•y •⇔ v(x •)＞ v(y •)x •y •⇔ v(x •) = v(y •)Note : 1. 条件①为单调性(Monotonicity), 即支配性(dominance): 只要某一属性值增加偏好也增加.2. 条件②为偏好空间的连续性(continuity),即阿基未德性(Archimedean).3. v(x •)=f(v x v x n n 11(),,()Λ) f 的形式通常十分复杂，即使v x i i ()为线性 v 的形式仍十分复杂.例：x 1 , x 2 的价值函数为线性, 即: v 1=k 1x 1 v 2=k 2x 2且 k 2=1.5k 1, 但是 v(x •)≠v 1(x 1)+v 2(x 2)因此, 价值函数的设定相当困难.二、加性价值函数 1.定义： 若 v(y •)=v y ii ni=∑1(), 则称价值函数V(y •)是加性的2.加性价值函数的存在条件 定理8.6(P133) (n ≥3) 定义在YR N 上的价值函数 v(y •)=v(y y n 1,,Λ)对任何 y •’,y •”∈Y ,y •’y •” iff v(y •’)≥v(y •”)则属性集满足互相偏好独立条件时当且仅当存在定义在Y i , i=1,…,n 上的实值函数 v i 使y •’y •”⇔v 1(y 1’)+ …+v n (y n ’) ≥v 1(y 1”)+ …+v n (y n ”)3.互相偏好独立的定义：属性集Ω称为互相偏好独立,若Ω的每个非定正常子集Θ偏好独立于其补集Θ-(Ω=ΘU Θ-) 4.属性集Ω的子集Θ偏好独立于其补集Θ-的定义(P130定义8.2) 当且仅当：对特定的y Y ΘΘ--∈ 若 (y Θ’,y Θ-0)( y Θ”,y Θ-0) 则对所有 y Y ΘΘ--∈必有(y Θ’,y Θ-) ( y Θ”,y Θ-) 称属性集Ω的子集偏好独立于其补集Θ-.5.两个属性的加性定理及偏好独立(定义8.4，定理8.4)消去条件 对x 1,y 1,a 1Y 1, x 2,y 2,a 2Y 2有(x 1,a 1)(a 1,y 2),(a 1,x 2)(y 2,a 2)则必有(x 1,x 2)(y 1,y 2)则称满足消去条件.Thomson 条件 将消去条件中的改为～. 三、其他简单形式 1.拟加性： v(y •)=k v y i ii n i=∑1()+j inij i i n i j j k v y v y >=∑∑1()()+k jnj i n ijk i i n i j j k k k v y v y v y >>=∑∑∑1()()()+ … + k n 12Λv 1(y 1) …v n (y n )条件 Y i i=1,2,…,n 弱差独立于其补集Y i- (详见p135,定义8.7)2.乘性(pp136-137)若属性集Ω的每个非室子集Θ弱差独立于其补集Θ-, 则 v(y •)=k v y i ii n i=∑1()+k k k v y vy i j inj i i n i jj >=∑∑1()()+k2k k k v y vy v y ij k jnj i n k ii n ijj k k >>=∑∑∑1()()()+ … + k k k k n n -112Λv 1(y 1) …v n (y n )§8.3多属性效用函数 一、二个属性的效用函数·后果空间X ×Y ，后果(x,y)，设决策人在X ×Y 上的偏好满足公理(1)～(6)，则可用形如 v(x,y)=v X (x)+ v Y (x) 的加性效用函数表示后果空间上的偏好(确定性条件下)·设决策人关于X ×Y 空间及P 上的抽奖的偏好为u(x,y)则u(x,y)和v(x,y)代表了X ×Y 上相同的偏好，u(x,y)=φ(v(x,y)). 其中φ(·)是保序变换·决策人的行为符合理性行为公理时, 形如 <p 1,(x 1,y 1);…；p n ,(x n ,y n )>的抽奖 可以用期望效用E[u(x,y)]=p u x y ii nii=∑1(,) 来衡量其优劣.二、效用独立(Utility Independence)1.例：l1: <0.5,(100,150); 0.5, (400,150)>l2: <0.5,(175,150); 0.5, (225,150)>l3: <0.5,(100,250); 0.5, (400,250)>l4: <0.5,(175,250); 0.5, (225,250)>若效用独立, 则l1l2l3l42.定义：若二个抽奖有公共的固定的Y的值而X中的值不同，决策人对它们的偏好与Y的取值无关，则称X是效用独立于Y。
效用独立又称风险独立(若X效用独立于Y则决策人对抽奖的X上的风险态度与Y无关). 更一般的定义见P147，定义8.103.效用独立蕴含偏好独立(x,)(x’,) 对某个α<1, (x,)> <1, (x’,)><1, (x,)> <1, (x’, )> 由UI，对任何β成立(x,) (x’, )4.引理：X是效用独立于Y的，当且仅当，对固定的yu(x,y)= (y) u(x, y) + (y) (x,y)X Y其中α(y)>0, α(y),β(y)的确定与y有关。
同理，Y是效用独立于X的，当且仅当对固定的xu(x,y)= (y) u(x, y) + (y) (x,y)X Y其中(x)>0, (x),δ(x)的确定与x有关。
5. X、Y相互效用独立定理：X和Y是相互效用独立的，则：若选(x0,y)使u(x,y)=0必有 u(x,y)= u(x, y0)+ u(x,y)+k u(x, y)u(x,y)即X Y相互效用独立且 u(x0,y)=0时，u(x,y)具拟加性.6.加性条件：在上述假设下，再附加：对某个x1,x2X, y1,y2Y,<0.5,(x1, y1); 0.5,( x2,y2)> <0.5,(x1, y2); 0.5,( x2,y1)>且 (x1,y)( x2,y), (x, y2) ( x,y1)则 u(x,y)= u(x, y0)+ u(x,y)7. 加性独立也可以用另一种方式来表示:属性X、Y是加性独立的，若对所有x,x’X, y,y’Y<0.5,(x, y); 0.5,( x’,y’)> <0.5,(x, y’); 0.5,( x’,y)> 8.定理设u(x,y)是X Y上的效用函数,且X、Y是加性独立的,则若选(x0,y)使u(x,y)=0有u(x,y)= u(x, y0)+ u(x,y)加性独立也是效用函数为加性的必要条件。
加性独立条件很难满足。
三. 拟加性效用函数的例某人拟度假，他根据两个属性来确定休安排假的优劣x:每天的日照时数y:每天的费用在与决策分析人讨论后确定了:a. 他的偏好是相互效用独立的;b. x的边际效用是线性的，日照愈长愈好;c. y的边际效用也是线性的，费用愈小愈好;d. 他认为下面的无差异成立：(10,16)～(8,12)(15,16)～(12,8)他面临的度假地有两种选择A：x=10, y=14B: y=15 有25%的可能性是x=13, 75%的可能性是x=4他应选择那一地点度假?解: 先选(x0,y).由于需要(x1,y)～( x,y1)在(10,16)～(8,12)中，x0=8, y=16 则x1=10, y1=12令u(8,16=0) , u(10, 16)=1 , 由x边际效用的线性性u(x, 16)=(x-8)/2同样，由y边际效用的线性性以及u(8, 16)=0 , u(8, 12)=1可得：u(8,y)=(16-y)/4因此：u(x,y)= u(x, y0)+ u(x,y)+k u(x, y)u(x,y)=(x-8)/2 + (16-y)/4 + k(x-8) (16-y)/8∵(15,16)～(12,8) ∴u(15, 16) = u(12, 8)即 (15-8)/2 = (12-8)/2 + (16-8)/4 +k 4/2 8/4 得k=1/8因此 u(x,y)= (x-8)/2 + (16-y)/4 + (x-8) (16-y)/64。