求函数的平均变化率49页PPT
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《函数的平均变化率》课件
在投资决策中，平均变化率可以帮助投资 者评估投资标的的潜在收益和风险。
平均变化率在物理学中的应用
速度和加速度的测量
在物理学中，平均速度和平均 加速度是通过计算位移和时间
的平均变化率来定义的。
热传导研究
在研究热传导的过程中，材料 的热容和导热系数可以通过测 量温度随时间的变化率来计算 。
波动现象
在波动现象的研究中，波的传 播速度是通过测量波峰或波谷 随时间的变化率来定义的。
02
平均变化率是函数在区间上的整 体表现，反映了函数值随自变量 变化的平均速度。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具。
通过比较不同区间的平均变化率，可 以了解函数在不同区间上的表现，从 而对函数的整体性质有更深入的理解 。
平均变化率的计算方法
复杂函数的平均变化率计算
总结词
掌握复杂函数的平均变化率计算技巧。
详细描述
对于复杂的函数，如多项式函数、三角函数等，其平均变化率的计算需要更高级的技巧。通过具体的计算实例， 可以掌握如何处理复杂函数的平均变化率计算，并理解其在实际问题中的应用。
实际问题的平均变化率计算
总结词
将平均变化率应用于实际问题中。
在优化问题中，平均变化率可 以帮助我们找到函数的极值点
，从而找到最优解。
平均变化率在经济学中的应用
经济预测
成本分析
通过分析经济数据的平均变化率，可以预 测未来的经济走势。
在成本分析中，平均变化率可以帮助我们 了解成本随时间的变化趋势，从而制定出 更合理的成本控制策略。
供需关系
投资决策
平均变化率可以用来分析供需关系的变化 ，从而帮助企业做出更合理的生产和销售 决策。
函数的平均变化率课件
实际问题中如何应用函数的平均变化率？
运动学
速度和加速度的变化率都是平均 变化率，可以通过这些平均变化 率来了解运动学中的物理现象。
商业领域
可以通过函数的平均变化率来评 价某一产品或公司的增长速度。
时间管理
可以通过函数的平均变化率来了 解时间利用效率的变化。
平均变化率的图像解释
相邻两点之间的斜率
在图像上，平均变化率可以表示为相邻两条线段的 斜率。
函数的平均变化率的应用举例
1
应用一
在积分计算中，常用平均变化率来近似求解曲线下的面积。
2
应用二
在微分方程的求解中，平均变化率可以用于简单的数值方法计算。
3
应用三
在统计学中，业务活动的整体变化趋势可以通过平均变化率来进行分析。
函数的平均变化率在物理学中的应用
万有引力
质点在单位时间内运动的平均速 度可以用万有引力的平均变化率 来计算。
1 步骤一
首先，要知道函数在哪里发生了断裂，也就 是函数不连续的地方。
2 步骤二
判断函数在不连续点与相邻区间之间的平均 变化率是否存在。
3 步骤三
如果这一区间存在平均变化率，那么新的区 间一定就是函数的定义域。
4 步骤四
如果不存在平均变化率，则需要进一步的讨 论和推导。
如何根据函数的平均变化率推断函数 的值域？
1 步骤一
求出函数的导数。
2 步骤二
根据导数的正负来判断函数的值域。
3 步骤三
如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减；否则，需要进 一步研究函数。
函数的平均变化率的重要性
平均变化率是微积分的基础概念之一，不仅在学术研究中广泛应用，而且在 日常生活中也具有重要的意义。通过平均变化率可以揭示出事物在不同时间 段内的变化趋势，从而帮助我们做出更好的决策。
函数的平均变化率课件
10
目求录函| 数添加平标题均内变容 化率
例2． 如图,函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为( )
A．1
B．-2
C．2
D. -1
答案：D
y x
f
3 f 31
1
1.
11
目求录函| 数添加平标题均内变容 化率
变式2. 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5,当x1＝4,且Δx＝1时,求函数在x1,x1 x 上
18
目平录均| 变添加化标题率内的容 应用
当容器是如下图（1）所示圆台时，函数的图像应该是？
当容器是如下图（1）所示圆台时， 由容器的形状可知，在固定的Δt时间内， 随着t的增加，Δy应该越大，因此函数的 图像如图（2）所示.
19
目平录均| 变添加化标题率内的容 应用
例4. 李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为： 如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么 杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是( )
解析：由题意可知， f x 在R 上单调递增，所以：
2 a 0
a 0
a 2 a
解得 1 a 2.
22
目录 | 添加标题内容
Part 3 课堂小结
课目录堂|小添结加标题内容
一 称_般_y的_2－_，_y_给1__定为平直面线直A角B的坐斜标率系；中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时， x2－x1
函数的平均变化率
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Part 1 引入新知
目问录题| 引添加入标题内容
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢 固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：
目求录函| 数添加平标题均内变容 化率
例2． 如图,函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为( )
A．1
B．-2
C．2
D. -1
答案：D
y x
f
3 f 31
1
1.
11
目求录函| 数添加平标题均内变容 化率
变式2. 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5,当x1＝4,且Δx＝1时,求函数在x1,x1 x 上
18
目平录均| 变添加化标题率内的容 应用
当容器是如下图（1）所示圆台时，函数的图像应该是？
当容器是如下图（1）所示圆台时， 由容器的形状可知，在固定的Δt时间内， 随着t的增加，Δy应该越大，因此函数的 图像如图（2）所示.
19
目平录均| 变添加化标题率内的容 应用
例4. 李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为： 如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么 杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是( )
解析：由题意可知， f x 在R 上单调递增，所以：
2 a 0
a 0
a 2 a
解得 1 a 2.
22
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Part 3 课堂小结
课目录堂|小添结加标题内容
一 称_般_y的_2－_，_y_给1__定为平直面线直A角B的坐斜标率系；中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时， x2－x1
函数的平均变化率
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Part 1 引入新知
目问录题| 引添加入标题内容
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢 固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：
新教材人教B版必修第一册 3.1.2第2课时函数的平均变化率 课件(48张)
第三章 函数
3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调性
第2课时 函数的平均变化率
学习目标
核心素养
1.理解斜率的含义及平均变化率的 通过利用函数f(x)的平均变化证明
概念．(重点) f(x)在I上的单调性，提升数学运算
2．掌握判断函数单调性的充要条 和培养逻辑推理素养．
件．(重点、难点)
情景 导学 探新 知
1．直线的斜率
(1)定义：给定y2平－面y1直角坐标系中的任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当 x1≠x2 时，称__x_2－__x_1__为直线 AB 的斜率；(若记Δx＝x2－x1，相应 的Δy＝y2－y1，当Δx≠0 时，斜率记为Δ Δyx)，当 x1＝x2 时，称直线 AB 的斜率不 __存__在__．
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙 漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据 曲线图思考下列问题：
问题 (1)在区间[6，17]对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1)， B(x2，y2)，Δ Δyx＝yx22－ －yx11一定大于零吗？
(2)如果在区间[2，10]对应的曲线上任取不同两点C(x3，y3)， D(x4，y4)，Δ Δyx＝yx44－ －yx33一定大于零吗？
5．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5，当x1＝4，且Δx＝1时，求Δy的
平均变化率Δ Δyx. [解] ∵f(x)＝2x2＋3x－5，x1＝4，x2＝x1＋Δx，
∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x
2 1
＋3x1－5)
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
[解] 设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为： ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δ t)2，所以平均膨胀率ΔΔSt ＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.
3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调性
第2课时 函数的平均变化率
学习目标
核心素养
1.理解斜率的含义及平均变化率的 通过利用函数f(x)的平均变化证明
概念．(重点) f(x)在I上的单调性，提升数学运算
2．掌握判断函数单调性的充要条 和培养逻辑推理素养．
件．(重点、难点)
情景 导学 探新 知
1．直线的斜率
(1)定义：给定y2平－面y1直角坐标系中的任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当 x1≠x2 时，称__x_2－__x_1__为直线 AB 的斜率；(若记Δx＝x2－x1，相应 的Δy＝y2－y1，当Δx≠0 时，斜率记为Δ Δyx)，当 x1＝x2 时，称直线 AB 的斜率不 __存__在__．
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙 漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据 曲线图思考下列问题：
问题 (1)在区间[6，17]对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1)， B(x2，y2)，Δ Δyx＝yx22－ －yx11一定大于零吗？
(2)如果在区间[2，10]对应的曲线上任取不同两点C(x3，y3)， D(x4，y4)，Δ Δyx＝yx44－ －yx33一定大于零吗？
5．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5，当x1＝4，且Δx＝1时，求Δy的
平均变化率Δ Δyx. [解] ∵f(x)＝2x2＋3x－5，x1＝4，x2＝x1＋Δx，
∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x
2 1
＋3x1－5)
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
[解] 设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为： ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δ t)2，所以平均膨胀率ΔΔSt ＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.
函数的平均变化率讲解49页PPT
Байду номын сангаас
函数的平均变化率讲解
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
函数的平均变化率讲解
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
人教B版选修2-2高中数学1.1.1《函数的平均变化率》ppt课件
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
r2
2
r1
1
0.16dm
/
L.
可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨
胀率逐渐变小了.
思考 当空气的容量从V1增加到V2时,气球的平
均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水
人们发现 , 在高台跳水运动中, 运动员相对于水
面的高度 h 单位 : m与起跳后的时间t单位 : s
存在函数关系ht 4.9t2 6.5t 10.
1运动员在这段时间里是静止的吗?
2你认为用平均速度描述运动员运动
状态有什么问题吗?
如 果 上 述 两 个 问 题 中 的函 数 关 系 用f x表 示, 那 么 问 题 中 变 化 率 可 用式 子 f x2 f x1 表
x2 x1
示, 我 们 把 这 个 式 子 称 为 函数 f x从 x1到 x2的 平均变化率 average rate of change .习 惯 上
第一章 导数
你看过高台跳水比赛吗? 照片中锁定了运动员比
赛 的 瞬 间.已 知 起 跳 1s后, 运动员相对于水面的高
度 h 单位 : m可用函数
ht 4.9t2 6.5t 10表
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
r2
2
r1
1
0.16dm
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L.
可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨
胀率逐渐变小了.
思考 当空气的容量从V1增加到V2时,气球的平
均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水
人们发现 , 在高台跳水运动中, 运动员相对于水
面的高度 h 单位 : m与起跳后的时间t单位 : s
存在函数关系ht 4.9t2 6.5t 10.
1运动员在这段时间里是静止的吗?
2你认为用平均速度描述运动员运动
状态有什么问题吗?
如 果 上 述 两 个 问 题 中 的函 数 关 系 用f x表 示, 那 么 问 题 中 变 化 率 可 用式 子 f x2 f x1 表
x2 x1
示, 我 们 把 这 个 式 子 称 为 函数 f x从 x1到 x2的 平均变化率 average rate of change .习 惯 上
第一章 导数
你看过高台跳水比赛吗? 照片中锁定了运动员比
赛 的 瞬 间.已 知 起 跳 1s后, 运动员相对于水面的高
度 h 单位 : m可用函数
ht 4.9t2 6.5t 10表
《函数平均变化率》课件
函数平均变化率的性质
函数平均变化率与函数的斜率有着密切的关系，我们将深入探讨这一性质。此外，我们还将讨论函数平 均变化率是否具有单调性。
实际应用
函数平均变化率在实际应用中具有广泛的用途。我们将通过两个应用案例来探讨其在统计个人收入变化 率和计算公司股价变化率中的应用。
如何优化平均变化率
优化平均变化率的计算结果需要考虑统计样本的影响，并学习如何剔除异常 值。这将使我们能够得到更准确的结果。
结论
函数平均变化率在数据分析中起着重要的作用。我们将总结其意义，并探讨 其在数据分析中的实际应用。
参考文献
为了更深入地了解函数平均变化率，我们准备了一些参考文献，供您进一步 研究和学习。
《函数平均变化率》PPT 课件
欢迎来到《函数平均变化率》课件！在本课程中，我们将探讨函数平均变化 率的概念、计算变化率是指函数在某个区间内的平均变化速度。我们将介绍它的定 义以及一些常见的应用场景。
如何计算函数平均变化率
函数平均变化率可以通过使用定义公式来计算。我们将提供详细的计算示例， 帮助您更好地理解计算过程。
求函数的平均变化率PPT文档共49页
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
求函数的平均变化率
3 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
求函数的平均变化率
3 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
谢谢！
《函数的平均变化率》幻灯片
于是此人从点A爬到点B的位移可以用
向量 A B ( x , y ) 来表示，
假设向量 AB 对x轴的倾斜角为θ，直 线AB的斜率为k，容易看出
ktany1y0y
x1x0 x
显然，“线段”所在直线的斜率的
绝对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直
位移与水平位移之 比y
的绝对值越大，
x
山坡越陡；反之，山坡越平缓。
例(或2[．x0求+△函x数，xy 0])1x的平在均区变间化[x率0，(xx00≠+0△，x]
且x0+△x≠0).
解：函数 y
1 x
的平均变化率为
1 1
f(x 0 x ) f(x 0 )x 0 xx 0 1
x
x
(x 0 x )x 0
例3．已知函数f(x)=－x2+x的图象上的
一点A(－1, －2)及临近一点B(－1+△x,
《函数的平均变化率》幻 灯片
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教学目标
知识与能力目标：
（1）通过生活实例使学生理解函数增量 、函数的平均变化率的概念；
2.若函数f (x)为常函数时， △y=0；
3. 变式: f(x 2 ) f(x 1 )f(x 1 x ) f(x 1 )
x 2 x 1
x
例1．求函数y=x2在区间[x0，x0+△x] (或 [x0+△x，x0])的平均变化率。
解：函数y=x2在区间[x0， x0+△x] (或[x0+△x，x0])
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16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
求函数的平均变化率
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴