考研数学：求函数渐近线的方法
考研数学求函数渐近线的方法
考研数学求函数渐近线的方法函数的渐近线是指当自变量趋近于无穷大或负无穷大时，函数值也趋近于一些确定的常数或无穷大的现象。
求函数的渐近线是数学分析和微积分中的重要知识点之一，本文将介绍几种常用的方法来求函数的渐近线。
一、水平渐近线的求解方法水平渐近线是指当自变量趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于一些常数的现象。
对于给定的函数y=f(x)，要求函数y=f(x)的水平渐近线，可以按照以下步骤进行求解：1. 首先求解函数y=f(x)的极限lim(x→±∞) f(x)。
当该极限存在时，可以得到函数的水平渐近线y=y0，其中y0为该极限的值。
2.接着需要对函数y=f(x)进行化简和变形，以便能够找到函数的水平渐近线。
常见的化简和变形方法包括分式分解、因式分解、复合函数分解等。
3.最后，通过分析函数的化简形式，找到函数的水平渐近线。
常见的情况有：如果函数的化简形式为y=a+g(x)，其中a为常数，g(x)为一个关于x的函数，那么可以得到水平渐近线y=a；如果函数的化简形式为y=g(x)，其中g(x)为一个关于x的函数，那么该函数没有水平渐近线。
二、垂直渐近线的求解方法垂直渐近线是指当自变量趋近于一些确定的常数时，函数值趋近于正无穷大或负无穷大的现象。
对于给定的函数y=f(x)，要求函数y=f(x)的垂直渐近线，可以按照以下步骤进行求解：1. 首先求解函数y=f(x)的极限lim(x→c) f(x)。
对于一些确定的常数c，当该极限存在时，可以得到函数的垂直渐近线x=x0，其中x0为c的值。
2.然后需要对函数y=f(x)进行化简和变形，以便能够找到函数的垂直渐近线。
常见的化简和变形方法包括分式分解、因式分解、复合函数分解等。
3.最后，通过分析函数的化简形式，找到函数的垂直渐近线。
常见的情况有：如果函数的化简形式为x=x0，则可得到函数的垂直渐近线为x=x0；如果函数的化简形式中含有分母，且其限制条件表明分母为0时，函数的极限趋于正无穷大或负无穷大，则可得到函数的垂直渐近线为x=c，其中c为分母为0的点。
考研数学：求函数渐近线的方法
考研数学：求函数渐近线的方法
求函数渐近线是指求出函数在无穷大时的行为，是高等数学中一个比较重要的概念，
函数渐近线分为两种情况：一种是渐近不变线，另一种是渐近无穷大线。
求渐近不变线的方法很简单，只需要构造函数的分母和分子，然后在各自取x趋于无
穷大的情况下，分母分子相等即可求出该函数的渐近不变线值。
求渐近无穷大线的方法比较复杂，首先应该把函数分解为有理函数和无理函数，然后
依次对有理函数和无理函数进行求解：
对于有理函数，如果分母正次数比分子大，则当x趋于正无穷大时，函数渐近不变线
为零，如果分母正次数比分子小，则当x趋于无穷大时，渐近线等于分子和分母分别除以(x的正次数减分子正次数)的极限。
对于无理函数，如果分母当极限为无穷的时候，分母不可分解，则待分母分解成可数
的多项式，再将无穷小值约为0，最后求出渐近线。
求函数渐近线共有两种情况，其求解方法也有所不同，如果判断错误，其结果就会出
现偏差。
因此要想准确求出函数的渐近线，应加以先行判断，对不同的情况分别进行求解，才能得出正确的函数渐近线值。
(整理)考研数学(三)大纲
数学三考试大纲[考试科目]微积分、线性代数、概率论与数理统计微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性反函数、复合函数、隐函数、分段函数基本初等函数的性质及图形初等函数数列极限与函数极限的概念函数的左极限和右极限无穷小和无穷大的概念及关系无穷小的基本性质及阶的比较极限四则运算两个重要极限函数连续与间断的概念初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法。
深入了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
2．理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念。
3. 掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
4．会建立简单应用问题中的函数关系式。
5．了解数列极限和函数极限（包括左、右极限）的概念。
6．了解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小的阶的比较方法。
了解无穷大的概念及其与无穷小的关系。
7．了解极限的性质与极限存在的两个准则（单调有界数列有极限、夹逼定理），掌握极限四则运算法则，会应用两个重要极限。
8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）。
9，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值与最小值定理和介值定理）及其简单应用。
二、一元函数微分学考试内容导数的概念函数的可导性与连续性之间的关系导数的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的导数高阶导数微分的概念和运算法则微分中值定理及其应用洛必达（L'HoSpital）法则函数单调性函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1. 理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念）。
2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；掌握反函数与隐函数求导法以及对数求导法。
3．了解高阶导数的概念，会求二阶、三阶导数及较简单函数的N阶导数。
东南大学高等数学复习 考研数学
转专业复习高等数学知识清单2019.7一．极限，连续，微分学1.1极限1.1.1数列极限的定义式：1.1.2函数极限的定义式：1.1.3函数极限和数列极限的局部有界性：1.1.4局部保序（号）性：1.1.5海涅定理：1.1.6利用极限求函数渐近线的方法：1.1.7极限存在准则：夹逼定理：1.1.8单调有界性原理：1.1.9柯西收敛准则：1.1.10二元函数极限的定义：1.1.11二元函数连续的定义：1.1.12二元函数极限存在（不存在）的判断：1.2两个重要极限1.2.1第一个重要极限：1.2.2第二个重要极限：1.3无穷小与无穷大1.3.1无穷小的定义：1.3.2无穷大的定义：1.3.3等价无穷小的定义：1.3.4高阶无穷小同阶无穷小的符号表示：1.3.5常见的等价无穷小代换：1.4函数的连续1.4.1一元函数连续的定义：1.4.2一元函数与其反函数连续的关系：1.4.3函数的间断点的定义及判断：1转专业复习1.5连续函数的性质：1.5.1最值定理：1.5.2介值定理：1.5.3零点存在性定理：1.6函数的一致连续性1.6.1一致连续性的定义：1.7导数1.7.1一元函数导数的定义和可导性的定义：1.7.2一元函数可导性与连续性的关系：1.7.3常见一元函数的导数公式：1.7.4隐函数求导的方法：1.7.5高阶导数求导方法：（注意：莱布尼兹公式86页和多个数乘积的区别）1.7.6二元函数偏导数的定义与可偏导：1.7.7二元函数的高阶偏导数：1.8微分1.8.1一元函数的微分和可微的定义：1.8.2一元函数某点的线性主部与局部线性化：1.8.3高阶微分的计算：1.8.4二元函数的全微分与可微：1.8.5二元函数可微的充分条件：1.8.6一元函数连续，可导，可微的关系：1.8.7二元函数连续可导可微偏导连续的关系：1.8.8二元函数复合函数微分法：1.8.9一阶全微分形式不变性：1.8.10二元函数隐函数微分法：1.8.11※多元函数隐函数微分法：1.9微分基本定理：1.9.1费马引理：2转专业复习1.9.2罗尔中值定理：1.9.3拉格朗日中值定理：1.9.4拉理之有限增量公式：1.9.5柯西中值定理:1.9.6洛必达法则求未定式极限：1.9.7泰勒公式：1.9.8麦克劳林公式，peano余项，拉格朗日余项：1.9.9一些特殊函数的泰勒公式：1.10一元函数性态的研究1.10.1一元函数单调性：1.10.2一元函数极值定义：1.10.3一元函数极值第一充分条件：1.10.4一元函数取极值第二充分条件：1.10.5一元函数求最值：1.10.6※一元函数的凹凸性：1.10.7拐点与驻点：1.10.8平面曲线的曲率和曲率半径：1.10.9多元函数极值的必要条件：1.10.10多元函数极值的充分条件：1.10.11多元函数的最值：1.10.12多元函数在约束条件下的极值的求法：1.10.13多元函数的方向导数：1.10.14空间曲线的切线与法平面：（参数方程）1.10.15空间曲线的切线与法平面：（两柱面交线或两一般方程交线）：1.10.16空间曲面的法线和切平面（参数方程）：1.10.17空间曲线的法线和切平面（z=f（x，y）形式）：3转专业复习4二．一元函数积分学2.1基本积分方法2.1.1第一换元积分法：2.1.2第二换元积分法：2.1.3分部积分法：2.1.4以上积分方法在定积分中的运用：2.2一些特殊函数的积分公式2.2.1tanx=2.2.2cotx=2.2.3secx=2.2.4cscx=2.2.5secx ×tanx=2.2.6cscx ×cotx= 2.2.722a x += 2.2.822a x -= 2.2.922x a -= 2.2.10221a x ±= 2.2.11221x a - = 2.2.12==⎰⎰x x n n 220cos sin ππ2.3有关反常积分的初步探究2.3.1用定义法求反常积分的书写：2.3.2用定义法判断反常积分的敛散性：2.4一元函数积分学的综合运用2.4.1弧微分（直角坐标形式）：2.4.2弧微分（极坐标形式）：2.4.3弧微分（参数方程形式）：2.4.4图形面积（直角坐标形式）：转专业复习2.4.5图形面积（极坐标形式）：2.4.6图形面积（参数方程形式）：2.4.7截面面积已知求体积：2.4.8与坐标轴连接的平面绕轴转：2.4.9“球壳”型旋转体：2.4.10一重积分求质量：2.4.11一重积分求做功：2.4.12一重积分求液体压力2.5定积分的定义2.5.1定积分的定义：三．微分方程3.1一阶可分离变量微分方程3.1.1直接求解：3.1.2如何转化成？（3种情况）：3.2 一阶线性微分方程3.2.1一阶线性齐次微分方程的形式和通解：3.2.2一阶线性非齐次微分方程的特解：3.2.3常数变易法：3.3伯努利方程3.3.1形式：3.3.2解法：3.4可降阶的高阶微分方程3.4.1解法：3.5二阶线性微分方程3.5.1齐次通解的三种形式3.5.2e的幂指数乘幂函数型非齐次通解：3.5.2e的幂指数乘三角函数型非齐次通解：5转专业复习3.6高阶微分方程3.6.1高阶齐次微分方程通解的特征：3.7欧拉方程3.7.1欧拉方程的形式：3.7.2欧拉方程的解法：四．多元函数积分学4.1二重积分4.1.1定义式：4.1.2极坐标式：4.2三重积分4.2.1切片法：4.2.2细棒法：4.2.3柱坐标：4.2.4球坐标：4.3第一型曲线积分：4.3.1直角坐标形式：4.3.2极坐标形式：4.3.3参数方程形式：4.4第二型曲线积分：4.4.1直角坐标形式：4.4.2极坐标形式：4.4.3参数方程形式：4.5第一型曲面积分：4.5.1隐函数式形式：4.5.2一般方程形式：4.6第二型曲面积分：4.6.1定义法求解：4.7第一型曲面→第二型曲面关系式：4.8格林公式4.8.1定义式：4.8.2四个等价命题：4.9高斯公式：6转专业复习4.10.斯托克斯公式4.10.1定义式：4.10.2四个等价命题：（p167）4.11场论4.11.1梯度grad：4.11.2散度div:4.11.3旋度rot：4.11.4（罕见）格林第一公式（P162）：※4.11.5有势场=无源场=保守场（P171）4.11.6势函数：五．有关复变函数5.1复数5.1.1辐角定义：5.1.2共轭复数：5.1.3欧拉公式：5.2复变函数的导数与解析函数5.2.1复变函数可微的定义：5.2.2复变函数导数的定义：5.2.3柯西黎曼条件：5.2.4可微的充要条件：5.2.5解析函数的定义与判断：5.2.6可单独表示定理：5.2.7调和函数：5.2.8共轭调和函数：5.2.9如何将有关x，y的函数化为有关z的：5.3初等函数的复变函数5.3.1指数函数去指数法：5.3.2主值：5.3.3三角函数化为指数函数：5.3.4对数函数的化简公式：5.3.5幂函数的指数化：5.3.6幂函数的多值性问题：7转专业复习85.4复变函数的积分5.4.1复变函数积分定义法展开式： 5.4.2⎰-L n z z )(dz 0=5.4.3何时积分实部=实部积分：5.4.4柯西积分定理：5.4.5复合闭路定理：5.4.6闭路变形原理：5.4.7柯西积分公式：5.4.8高阶柯西积分公式：六．常数项级数与函数项级数1常数项级数的性质6.1.1级数收敛的必要条件：6.1.2余项的趋向：6.1.3柯西收敛准则：6.2常数项级数的判敛法6.2.1与部分和数列的关系：6.2.2比较判敛法：6.2.3比较判敛法的极限形式：6.2.4比值判敛法：6.2.5根值判敛法：6.2.6积分判敛法：6.3交错级数的判敛法6.3.1莱布尼兹判别法：6.3.2条件收敛与绝对收敛：6.4反常积分的判敛法6.4.1无穷区间上的反常积分：6.4.2无界函数的反常积分：6.5.√函数6.5.1特征：6.5.2对某几个特殊值时的函数值：6.6一致收敛性6.6.1定义：转专业复习6.6.2柯西一致收敛准则：6.6.3M判别法：6.6.4P227页两个定理6.7幂级数6.7.1阿贝尔定理：6.7.2求收敛域的方法：6.7.3 求幂级数和函数的两种方法：6.7.4如何将函数展开为幂级数：6.7.5实函数可以展开为幂级数的条件：6.7.6一些常见函数展开为幂级数的形式：6.8罗伦级数6.8.1如何将函数在圆域内展开为罗伦级数：6.9孤立奇点与留数6.9.1奇点的三个分类与判别方法6.9.2如何判断极点的级数6.9.3有关无穷远点处极点的判断的不同之处6.9.4 留数的定义：6.9.5计算一级，n级极点处留数公式6.9.6比值形式下留数的计算公式：6.9.7无穷远处留数6.9.8留数定理求复积分6.9.9三类利用留数计算的实积分：6.10傅里叶级数6.10.1公式：6.10.2奇偶延拓，正余弦函数：6.10.3杜利克雷条件：6.10.4将函数展开为傅里叶级数的方法9转专业复习六．其他知识7.1三角公式7.1.1和差化积（4个）7.1.2积化和差（4个）7.1.3万能公式（3个）7.2常见曲线及其表达式7.2.1星型线7.2.2摆线7.2.3心形线7.2.4阿基米德螺旋线7.2.5对数螺线7.2.6双曲螺线7.2.7伯努利双扭线7.2.8贝努利双扭线7.2.9三叶玫瑰线7.2.10四叶玫瑰线（2种）10。
2017考研数学二之求解渐近线
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2017考研数学二之求解渐近线
渐近线是数二常考的一个知识点，近几年虽然不能说年年考，但可以说隔一年考一次，如2006年，2007年，2010年，2012年2014年都出过题，而今年再次出现，总之考察的频率非常之高。
虽然是一个很小的知识点，只有小小的4分，但应该对其有足够的重视。
从某个方面来讲，高等数学就是求极限，而求渐近线也属于求极限。
就概念本身来说，并不难，无非三种渐近线：水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线。
如果涉及函数极限的求解，有些就不是那么容易做了。
首先我们还是先说说渐近线的考法吧。
出题形式以选择题或填空题呈现，有求具体的渐近线的表达式，特别是斜渐近线的表达式；另外一种形式就是给出一个函数的具体表达式，问有几条渐近线；还有就是从选项中挑出有渐近线的表达式。
下面分别举例来说明。
对于求渐近线的条数，2007年和和201年考过，以2007年的题为例：
从以上两题可以看出，求渐近线时，抛开渐近线的概念不谈，实质就是求函数的极限(包括数列的极限)。
因此，同学们在复习的时候，把重点放在函数的极限的性质上来，特别是对于一些特殊函数的极限，如上面提到的：
等等，先判断x 的趋势，然后再判断函数的极限，这是同学们需要注意的。
1999年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)
(
)
(
)
2 x + y′ = 3 x 2 y + x3 y′ + cos x ， 2 x +y
(B) 2.
为 f ( x ) ，则方程 f ( x ) = 0 的根的个数为(
)
(A) 1. 三、(本题满分5分) 求
(C) 3.
(D) 4.
lim
x →0
1 + tan x − 1 + sin x . x ln (1 + x ) − x 2
+∞
四、(本题满分6分) 计算
∫
1
五、(本题满分7分) 求初值问题
( x − 1)
x3
2
，求
(1)函数的增减区间及极值； (2)函数图形的凹凸区间及拐点 (3)函数图形的渐近线. 八、(本题满分 8 分)
0 ， f (1) = 1 ， 设 函 数 f ( x ) 在 闭 区 间 [ −1,1] 上 具 有 三 阶 连 续 导 数 ， 且 f ( −1) =
f ′ ( 0 ) = 0 ，证明：在开区间 ( −1,1) 内至少存在一点 ξ ，使 f ′′′ (ξ ) = 3 .
总存在正整数 N ， 当 n ≥ N 时， 恒有 xn − a ≤ 2ε ”是数列 { xn } (4) “对任意给定的 ε ∈ ( 0,1) ，
收敛于 a 的 ( ) (A)充分条件但非必要条件. (C)充分必要条件.
考研数学：求函数渐近线的方法
求函数的渐近线是考研数学中经常出现的一个考点，这个知识点不难理解和掌握，考生只要将这个知识点适当加以梳理和练习，就可以稳拿这类考题的分数，但有些考生，由于复习过程中的疏忽和遗漏，没有将这个知识点理解透彻，结果导致丢失这部分分数，实为遗憾。为了帮助各位考生掌握好求函数渐近线的方法，文都考研辅导老师在这里向大家介绍函数渐近线的基本含义、类型和计算时应注意的相关问题，供各位考生参考。
典型例题：
例1.曲线 的渐近线的条数为（）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
解析：∵ 为函数的间断点，且 ，∴ =1为垂直渐进线，而 ，故 不是渐进线，又∵ ，∴ =1为水平渐近线。函数没有斜渐近线，选（C）
例2.下列曲线中有渐近线的是（）
(A) (B)
(C) (D)
解析：∵ ， =0，∴y=x是y=x+ 的斜渐近线，选（C）
函数（曲线）渐近线的定义：
设点 为函数 对应曲线上的动点，若当点 无限远离原点时， 到直线L的距离趋于0，则称直线L为此函数（或曲线）的一条渐近线。
函数（曲线）渐近线的类型：
1）水平渐近线：若 存在，或 与 二者之一存在，则称直线 为函数 的水平渐近线。
2）铅直（或垂直）渐近线：若 ，或 与 二者之一成立，则称直线 为函数 的铅直（垂直）渐近线。
3）斜渐近线：若 ， ，或 与 、 与 ，这二者之一成立，则称 为函数 的斜渐近侧的，也可能是单侧的。若上面极限只是在单个方向上存在（+∞或-∞，左极限或右极限），则渐近线是单侧的，否则是双侧的。
2）求铅直渐近线时，首先要找出函数的间断点，然后判断 或 、 是否成立，若有一个成立，则 为函数 的铅直（垂直）渐近线。
例3.曲线 的渐近线的条数为（）
2012考研数学三【解析版】【无水印】
f ′(1) f ( f (x))
ln
f (x), f (x) ≥ 1 ，而 f (x) ≥ 1 ⇔ x ≥ e2 ，
2 f (x) −1, f (x) < 1
f (x) < 1 ⇔ x < e2
所= 以 y
f ( f= (x))
ln
f (x), x ≥ e2 =
0 0 c3 + c4
−1 1 =(c3 + c4 ) 。 c4
由于 c1, c2 , c3, c4 为任意常数，所以α1,α3,α4 线性相关。故应选（C）。
（6）【答案】B
1 0 0
【分析】考查矩阵的运算。将
Q
用
P
表示，即
Q
=
P
1
1
0
，然后代入计算
0 0 1
即可。
1 0 【详解】由于 P = (α1,α2 ,α3 ) ，所以 Q = (α1 + α2 ,α2 ,α3 ) = P 1 1
±1 ，又因为 lim y x→1
=
lim
x→1
x2 + x x2 −1
=
∞，
= lim y x→−1
xl= →im−1 xx22 +−1x
1 ，所以该曲线只有一条铅直渐近线； 2
斜渐近线：
因= 为 lim y x→∞
lxi= →m∞ xx22 +−1x
1 ，所以该曲线没有斜渐近线。
故应选(C).
(2) 【答案】A
【分析】本题考查全微分的概念与多元函数连续的定义。
【详解】由于 lim f (x, y) − 2x + y − 2 = 0 ，，所以 lim[ f (x, y) − 2x + y − 2] =0
考研数学真题近十年考题路线分析(高数部分)
考研数学真题近十年考题路线分析(高数部分)以下给出了《高等数学》每章近10年（1997-2006）的具体考题题型，可以使考生清晰地了解和把握各章出题的方式、命题的频率及其分值比重，在全面复习的过程中，也不失对重点知识的明确和强化。
高等数学（①10年考题总数：117题②总分值：764分③占三部分题量之比重：53%④占三部分分值之比重：60%）第一章函数、极限、连续（①10年考题总数：15题②总分值：69分③占第一部分题量之比重：12%④占第一部分分值之比重：9%）题型 1 求1∞型极限（一（1），2003）题型 2 求0/0型极限（一（1），1998；一（1），2006）题型 3 求∞-∞型极限（一（1），1999）题型 4 求分段函数的极限（二（2），1999；三，2000）题型 5 函数性质（奇偶性，周期性，单调性，有界性）的判断（二（1），1999；二（8），2004）题型 6 无穷小的比较或确定无穷小的阶（二（7），2004）题型7 数列极限的判定或求解（二（2），2003；六（1），1997；四，2002；三（16），2006）题型8 求n项和的数列极限（七，1998）题型9 函数在某点连续性的判断（含分段函数）（二（2），1999）第二章一元函数微分学（①10年考题总数：26题②总分值：136分③占第一部分题量之比重：22%④占第一部分分值之比重：17%）题型 1 与函数导数或微分概念和性质相关的命题（二（7），2006）题型 2 函数可导性及导函数的连续性的判定（五，1997；二（3），2001；二（7），2005）题型 3 求函数或复合函数的导数（七（1），2002）题型 4 求反函数的导数（七（1），2003）题型 5 求隐函数的导数（一（2），2002）题型 6 函数极值点、拐点的判定或求解（二（7），2003）题型7 函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定（二（1），2001；二（3），2002）题型8 函数在某点可导的判断（含分段函数在分段点的可导性的判断）（二（2），1999）题型9 求一元函数在一点的切线方程或法线方程（一（3），1997；四，2002；一（1），2004）题型10 函数单调性的判断或讨论（八（1），2003；二（8），2004）题型11不等式的证明或判定（二（2），1997；九，1998；六，1999；二（1），2000；八（2），2003；三（15），2004）题型12在某一区间至少存在一个点或两个不同的点使某个式子成立的证明（九，2000；七（1），2001；三（18），2005）题型13 方程根的判定或唯一性证明（三（18），2004）题型14 曲线的渐近线的求解或判定（一（1），2005）第三章一元函数积分学（①10年考题总数：12题②总分值：67分③占第一部分题量之比重：10%④占第一部分分值之比重：8%）题型 1 求不定积分或原函数（三，2001；一（2），2004）题型 2 函数与其原函数性质的比较（二（8），2005）题型 3 求函数的定积分（二（3），1997；一（1），2000；三（17），2005）题型4 求变上限积分的导数（一（2），1999；二（10），2004）题型 5 求广义积分（一（1），2002）题型6 定积分的应用（曲线的弧长，面积，旋转体的体积，变力做功等）（七，1999；三，2003；六，2003）第四章向量代数和空间解析几何（①10年考题总数：3题②总分值：15分③占第一部分题量之比重：2%④占第一部分分值之比重：1%）题型 1 求直线方程或直线方程中的参数（四（1），1997）题型2求点到平面的距离（一（4），2006）题型 3 求直线在平面上的投影直线方程（三，1998）题型4 求直线绕坐标轴的旋转曲面方程（三，1998）第五章多元函数微分学（①10年考题总数：19题②总分值：98分③占第一部分题量之比重：16%④占第一部分分值之比重：12%）题型1多元函数或多元复合函数的偏导的存在的判定或求解（二（1），1997；一（2），1998；四，2000；四，2001；二（9），2005；三（18（Ⅰ）），2006）题型 2 多元隐函数的导数或偏导的求解或判定（三，1999；三（19），2004；二（10），2005）题型 3 多元函数连续、可导与可微的关系（二（2），2001；二（1），2002）题型4 求曲面的切平面或法线方程（一（2），2000；一（2），2003）题型5 多元函数极值的判定或求解（八（2），2002；二（3），2003；三（19），2004；二（10），2006）题型 6 求函数的方向导数或梯度或相关问题（八（1），2002；一（3），2005）题型7 已知一二元函数的梯度，求二元函数表达式（四，1998）第六章多元函数积分学（①10年考题总数：27题②总分值：170分③占第一部分题量之比重：23%④占第一部分分值之比重：22%）题型 1 求二重积分（五，2002；三（15），2005；三（15），2006）题型 2 交换二重积分的积分次序（一（3），2001；二（10），2004；二（8），2006）题型 3 求三重积分（三（1），1997）题型 4 求对弧长的曲线积分（一（3），1998）题型5求对坐标的曲线积分（三（2），1997；六，1998；四，1999；五，2000；六，2001；六（2），2002；一（3），2004；三（19），2006）题型 6 求对面积的曲面积分（八，1999）题型7 求对坐标的曲面积分（三（17），2004；一（4），2005；一（3），2006）题型8 曲面积分的比较（二（2），2000）题型9 与曲线积分相关的判定或证明（六（1），2002；五，2003；三（19（Ⅰ）），2005）题型10 已知曲线积分的值，求曲线积分中被积函数中的未知函数的表达式（六，2000；三（19（Ⅱ）），2005题型11 求函数的梯度、散度或旋度（一（2），2001）题型12 重积分的物理应用题（转动惯量，重心等）（八，2000）第七章无穷级数（①10年考题总数：20题②总分值：129分③占第一部分题量之比重：17%④占第一部分分值之比重：16%）题型1无穷级数敛散性的判定（六，1997；八，1998；九（2），1999；二（3），2000；二（2），2002；二（9），2004；三（18），2004；二（9），2006）题型 2 求无穷级数的和（九（1），1999；五，2001；七（2），2002；四，2003；三（16），2005）题型3求函数的幂级数展开或收敛域或判断其在端点的敛散性（一（2），1997；七，2000；五，2001；四，2003；三（16），2005；三（17），2006）题型 4 求函数的傅里叶系数或函数在某点的展开的傅里叶级数的值（二（3），1999；一（3）；2003）第八章常微分方程（①10年考题总数：15题②总分值：80分③占第一部分题量之比重：1%④占第一部分分值之比重：10%）题型1求一阶线性微分方程的通解或特解（六，2000；一（2），2005；一（2），2006；三（18（Ⅱ）），2006）题型 2 二阶可降阶微分方程的求解（一（3），2000；一（3），2002）题型 3 求二阶齐次或非齐次线性微分方程的通解或特解（一（3），1999）题型 4 已知二阶线性齐次或非齐次微分方程的通解或特解，反求微分方程（一（1），2001）题型 5 求欧拉方程的通解或特解（一（4），2004）题型 6 常微分方程的物理应用（三（3），1997；五，1998；八，2001；三（16），2004）题型7 通过求导建立微分方程求解函数表达式或曲线方程（四（2），1997；五，1999）考研数学真题近十年考题路线分析(线代部分)以下给出了《线性代数》每章近10年（1997-2006）的具体考题题型，可以使考生清晰地了解和把握各章出题的方式、命题的频率及其分值比重，在全面复习的过程中，也不失对重点知识的明确和强化。
考研数学-渐近线
例6.(03-2-10分)设函数
问 为何值时, 在 处连续; 为何值时, 是 的可去间断点.
【答案】 时, 在 处连续 时, 是 的可去间断点
练习
1.（01-2-7分）求极限 ，记此极限为 ，求函数 的间断点，并指出类型.
【答案】 ， 是第一类间断点（可去）， 是第二类间断点.
(C)既有铅直又有水平渐近线. (D)既有铅直又有斜渐近线.
练习
1.(00-2)曲线 的斜渐近线方程为 .
2.(98-2)曲线 的渐近线方程为 .
3.(04-2)曲线 的渐近线的条数为【B】
(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.
题型5 函数的连续性与间断点(*)
一、基础知识
点连续的定义：
2.设 其中 可导,且 ,则 3.
3. (91-1) ,则 = .
4.(94-4)设方程 确定 是 的函数,则 = .
5.设 有任意阶导数,且 ,则 ( ).
6.设 ,求 .
【答案】
(三)几何意义
例17.(07-2)曲线 上对应于 的点处的法线斜率为
例18.(06-1234)设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在 处的增量， 与 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则【A】
2.(98-34)设函数 ,讨论函数 的间断点,其结论为【B】
(A)不存在间断点. (B)存在间断点 . (C)存在间断点 . (D) 存在间断点 .
题型
一、基础知识
导数的定义 ；
；
.
.
几何意义曲线 在点 处切线的斜率为 ．
可微的定义: ,
函数 在点 处可微,
可微、可导及连续之间的关系:
【考研数学】考研数学常考70题型通法
《高等数学部分》题型考点01极限的概念与性质【通用方法】极限与无穷小的关系：00lim (),()(1)x x f x A x x f x A o .题型考点02无穷小的比较（1）高阶无穷小、等价无穷小【通用方法】用定义转化成函数极限的计算问题.（2）无穷小排序【通用方法】利用0()lim0n x f x k x，解得n ，然后排序.题型考点03函数求极限【通用方法】（1）分析：把?x 代入极限，分析类型和化简方法（2）化简：①根式有理化②提公因子③计算非零因子④等价无穷小替换⑤拆分极限存在的项⑥幂指函数指数化⑦变量替换（尤其是倒代换）（3）计算：①洛必达法则②泰勒公式题型考点04极限的反问题（1）已知极限求另一极限【通用方法】加减乘除凑已知极限（2）已知极限求参数【通用方法】7种化简方法、泰勒公式、洛必达法则题型考点05函数的渐近线【通用方法】（1）垂直渐近线：若 )(lim x f ax ，则函数存在渐近线a x ；（2）水平渐近线：若b x f x)(lim ，则函数存在渐近线b y ；（3）斜渐近线：若b kx x f kx x f x x ])([lim )(lim ，则函数存在渐近线b kx y .题型考点06利用单调有界准则求数列极限【通用方法】（1）单调性①计算n n u u 1.若01 n n u u ，则}{n u 单调递增；若01 n n u u ，则}{n u 单调递减.②若)(1n n u f u ，构造函数)(x f ，单调数列应该有0)( x f ，若12u u ，则}{n u 单调递增；若12u u ，则}{n u 单调递减；另外，若0)( x f ，则数列不单调.（2）有界性①数学归纳法②均值不等式题型考点07求n 项和的数列极限【通用方法】①定积分定义②夹逼准则题型考点08判断函数的连续性与间断点【通用方法】①连续的定义②四种间断点的定义题型考点09一个点的导数【通用方法】一个点的导数用定义题型考点10切线方程与法线方程【通用方法】①求00(),()f x f x ②代入切线方程与法线方程.题型考点11各类函数求导（1）反函数求导【通用方法】反函数的导数等于原来函数导数的倒数.（2）复合函数求导【通用方法】从外层往内层逐层求导相乘.（3）隐函数求导【通用方法】把y 看成x 的函数，等式两边直接求导.（4）参数方程求导【通用方法】()()(),()()y t h t y h t y x t x t.（5）变限积分函数求导【通用方法】①设)()(21)()(x x dt t f x F，则)()]([)()]([)(1122x x f x x f x F ；②设xdt t xf x F 0)()(，则)()()()(00x xf dt t f dt t f x x F xx；注：被积函数中含有求导的变量时，要把变量分离出来，再求导.③设xdt t x f x F 0)()(，则令t x u ， xdu u f x F 0)()(，)()(x f x F .注：被积函数中含有求导的变量但不能直接分离时，要通过换元分离，再求导.（6）分段函数求导【通用方法】分段函数分段求，分段点处定义求题型考点12求0x 处的n 阶导数【通用方法】利用泰勒公式的唯一性题型考点13判断函数的单调性、极值点与凹凸性、拐点【通用方法】求函数的一阶导数、二阶导数进行判断题型考点14不等式的证明【通用方法】利用单调性证明（1）移项到大于号一边，构造()F x （2）求()()F x F x ,，判断()F x 的单调性（3）找()F x 的最小值点，验证最小值大于等于0.题型考点15方程根的问题【通用方法】①单调性②零点定理题型考点16曲率与曲率半径（仅数一、二要求）【通用方法】曲率公式232)1(y y K，KR 1.题型考点17罗尔定理的证明题【通用方法】（1）证明一阶导等于零（0)( f ），找两个原函数的点相等；（2）证明二阶导等于零（0)( f ），找三个原函数的点相等，或者两个一阶导相等；（3）证明表达式的题目（0)](),(,[ f f G ），思路如下：草稿纸上：① 换成x 把要证明的表达式抄下来；②两边移项，目的是便于积分求原函数注：遇到)(x f 可以把它除到)(x f 下面去，积分为)(ln x f ；③两边积分，目的是构造有用的)(x F 试卷上：令 )(x F ，易知)(x F 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，再证明)(x F 两个点相等即可.（4）双介值问题：解题思路：①分离介值，把含不同介值的表达式移到等号两边；②结合（3）的思路，分别使用微分中值定理证明左边C ，右边C 即可注：C 为某常数，需要通过其中一边C ，满足罗尔定理的情况下，求得.另外，若只是证明存在两个介值，则不需要把区间分段；若要求证明存在两个不同的介值，则必须把区间分段，证明介值分别来自两个不同的区间.题型考点18拉格朗日中值定理的证明题【通用方法】找对区间（一般需要将区间等分或者根据第一问提示点将区间分开），在各区间上使用拉氏定理，然后相加相减凑所证结论.题型考点19泰勒中值定理的证明题【通用方法】找对展开点（一般为区间中点或端点），然后写出泰勒展开式，带入端点值，相加相减凑所证结论.题型考点20不定积分的计算【通用方法】①凑微分②去根号③分部积分④有理函数积分题型考点21定积分的计算【通用方法】①牛顿莱布尼兹公式②定积分的换元法③区间再现④分段函数分段积分⑤含抽象函数的积分使用分部积分题型考点22积分不等式的证明【通用方法】①转化为函数不等式，利用单调性证明②积分中值定理题型考点23含变限积分函数的等式方程【通用方法】①初值②求导题型考点24反常积分的计算【通用方法】在瑕点处拆开，直接按定积分计算.题型考点25反常积分敛散性的判定【通用方法】根据比较审敛法的极限形式，与P 积分进行比较判断.题型考点26定积分的几何应用【通用方法】微元法（1）求平面图形的面积① dxx y x y S ba121② d r S2221③dtt t ydx S ba3（2）求旋转体的体积① dxx fV bax2②bay dxx xf V2③d y V Dx（3）求平面曲线的弧长d r r dt t y t x dxx y ds 222221（仅数一、二要求）（4）求旋转体的侧面积ydsd S 2 侧（仅数一、二要求）题型考点27定积分的物理应用（仅数一、二要求）【通用方法】微元法（1）变力沿曲线做功①FSW ②maF （2）静水侧压力①PS F ②ghP（3）引力问题①221r m m GF 万②221r Q Q kF 库题型考点28微分方程的求解【通用方法】根据各类微分方程的固定求解步骤进行即可.（1）一阶微分方程①可分离变量的方程②齐次方程③一阶线性微分方程（2）可降阶的微分方程①不显含y 的微分方程②不显含x 的微分方程（3）二阶常系数线性微分方程①二阶常系数线性齐次方程②二阶常系数线性非齐次方程（4）伯努利方程、欧拉方程（仅数一）通过换元化为常见方程求解题型考点29微分方程的物理应用（仅数一、二要求）【通用方法】从问题出发，找两个变量，列微分方程.题型考点30多元复合函数求偏导【通用方法】①画出复合函数关系图②从外往内逐层求偏导题型考点31多元隐函数求偏导【通用方法】①直接求②公式法③一阶微分形式不变性（全微分法）题型考点32偏积分【通用方法】注意对x 积分时加)(y C ，对y 积分时加)(x C .题型考点33多元函数极值【通用方法】①令偏导数等于0解得驻点②根据充分条件判断极值题型考点34多元函数条件极值【通用方法】①代入法②拉格朗日乘数法题型考点35多元函数求闭区域上的最值【通用方法】①开区域内求极值②边界上求条件极值③比大小题型考点36各类积分比大小【通用方法】①不等式性质②对称性③格林公式、高斯公式（仅数一）题型考点37二重积分的计算【通用方法】①画D②观察对称性③选择坐标系和积分次序④化为累次积分计算题型考点38数项级数敛散性的判断（仅数一、三）【通用方法】（1）正项级数①比较审敛法（极限形式）②比值（根植）审敛法（2）交错级数①加绝对值后判断是否绝对收敛②莱布尼兹判别法（3）一般级数①加绝对值后判断是否绝对收敛②级数敛散性的性质题型考点39幂级数的收敛域及和函数（仅数一、三）【通用方法】（1）收敛域比值法（2）和函数逐项积分，逐项求导（3）函数展开成幂级数①逐项积分，逐项求导②常见泰勒级数题型考点40函数展开成傅里叶级数（仅数一）【通用方法】（1）周期为 2的傅里叶级数①10sin cos 2~)(n n n nx b nx a a x f ，其中,2,1,sin )(1,)(1,2,1,cos )(1n nxdx x f b dx x f a n nxdx x f a n n.②余弦级数若)(x f 为偶函数，则10cos 2~)(n n nx a a x f ，其中.0,)(2,2,1,cos )(200n n b dx x f a n nxdx x f a③正弦级数若)(x f 为奇函数，则1sin ~)(n nnx bx f ，其中,2,1,sin )(2,2,1,0,00n nxdx x f b n a n n（2）周期为l 2的傅里叶级数10sincos 2~)(n n n lxn b l x n a a x f ，其中 l l n l l n dx lxn x f l b dx l x n x f l a sin )(1,cos )(1.（3）狄里克雷收敛定理设)(x f 是周期为 2的可积函数，且满足①)(x f 上],[ 连续或只有有限个第一类间断点；②)(x f 上],[ 只有有限个单调区间，则)(x f 的以 2为周期的傅里叶级数收敛，且2)0()0()(000x f x f x S .题型考点41空间解析几何（仅数一）【通用方法】（1）平面与直线①平面点法式②直线点向式（2）曲面与曲线①旋转曲面轨迹法②投影曲线消元法（3）空间曲面的切平面与空间曲线的切线①曲面的法向量),,(z y x F F F ②曲线的切向量))(),(),((t z t y t x 或))(),(,1(x z x y 等.题型考点42三重积分的计算（仅数一）【通用方法】①投影法②截面法③柱面坐标④球面坐标题型考点43曲线积分的计算（仅数一）【通用方法】（1）第一类曲线积分①对称性②参数法（2）第二类曲线积分①对称性②参数法③积分与路径无关④格林公式题型考点44曲面积分的计算（仅数一）【通用方法】（1）第一类曲面积分①对称性②一投二代三计算（2）第二类曲面积分①对称性②一投二代三定号③轮换投影法④高斯公式题型考点45多元积分学的应用（仅数一）【通用方法】（1）质心、形心①质心横坐标D Dd y x f d y x xf x),(),(；dVz y x f dV z y x xf x ),,(),,(；LL dsy x f ds y x xf x ),(),(；dSz y x f dS z y x xf x ),,(),,(.②形心横坐标（数二、三的同学要求掌握平面图形的形心）DDd xd x；dVxdV x ；L Ldsxds x ；dSxdSx .（2）转动惯量2mr I 题型考点46场论公式（仅数一）【通用方法】（1）方向导数①定义),()cos ,cos (lim 00000y x f y x f l.②可微函数cos cos y x f f l.（2）梯度),(),(y x f f y x gradf （3）散度zR y Q x P A div（4）旋度Qy j A rot题型考点47经济学应用（仅数三）【通用方法】（1）边际)(x f dxdy（2）弹性xdx y dy E yx《线性代数部分》题型考点01数值型行列式的计算【通用方法】边化零，边展开题型考点02抽象行列式的计算【通用方法】①化为乘法②特征值的乘积题型考点03方阵的幂【通用方法】（1）找规律（2）若1)( A r ，则A A 1n nl，其中)(A tr l .（3）若1A P ΛP ，则P ΛP A nn1.题型考点04矩阵的秩【通用方法】①化行阶梯形②利用秩的9个结论题型考点05具体方程组的求解【通用方法】①化行阶梯形②化行最简形③写出同解方程组④写出通解题型考点06抽象方程组的求解【通用方法】解的结构（1）齐次方程组的基础解系：①是解②无关③个数()n r A （2）非齐次方程组的通解： 通通特非齐非题型考点07向量组的线性相关性【通用方法】①秩②定义题型考点08向量组的线性表示【通用方法】①秩②定义题型考点09向量组的极大无关组【通用方法】①部分组②无关③个数()r A .题型考点10相似对角化【通用方法】（1）解0 E A 得特征值123,, ；（2）解()0x E A 得特征向量123,,ααα；（3）令123(,,) P ααα，则1P AP Λ.题型考点11正交变换法化二次型为标准形【通用方法】（1）解0 E A 得特征值123,, ；（2）解()0x E A 得特征向量123,,ααα；（3）正交化得：123,,βββ；（4）单位化得：123,,γγγ；（5）令123(,,) Q γγγ，则在正交变换x y Q 下，二次型的标准形为222112233y y y .题型考点12配方法化二次型为标准形【通用方法】①优先配交叉项少的变量②所用变换必须为可逆变换题型考点13二次型的正定型【通用方法】等价条件：①0,0Tx x x A ；②特征值均大于0；③正惯性指数为n ；④顺序主子式均大于0.《概率统计部分》题型考点01概率计算公式【通用方法】（1）加法公式()P A B C 加奇减偶（2）减法公式()()()P AB P A P AB （3）乘法公式()(|)()(|)()P AB P A B P B P B A P A （4）条件概率()(|)()P AB P A B P B（5）全概率公式1()(|)()nk k k P A P A B P B （6）贝叶斯公式(|)()(|)()k k k P A B P B P B A P A题型考点02概率密度与分布函数【通用方法】（1）概率密度①()1f x dx；(,)1xoyf x y d ②()0f x ；(,)0f x y （2）分布函数①规范性()0,()1F F ②右连续性00(0)()F x F x ③单调不减性题型考点03常见分布【通用方法】题型考点04二维连续型随机变量的分布【通用方法】（1）边缘概率密度()(,),()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx（2）条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y（3）独立性若(,)()()X Y f x y f x f y ，则,X Y 独立（4）事件概率{(,)}(,)DP X Y D f x y d题型考点05随机变量函数的分布【通用方法】（1）一维连续型随机变量函数的概率密度分布函数法：①定义②代入③讨论④求导（2）一维连续型随机变量函数的概率密度分布函数法：①定义②代入③讨论④求导公式法：()(,(,))Z y f z f x y x z dx z（3）离散型+连续型随机变量函数的概率密度分布函数法：①定义②代入③全概率公式④讨论⑤求导题型考点06数字特征【通用方法】（1）随机变量的数字特征①期望 取值概率②方差性质化简，公式计算③协方差性质化简，公式计算④相关系数性质化简，公式计算（2）统计量的数字特征①E X EX②1D X DX n③2ES DX④2()E n n⑤2()2D n n题型考点07二维正态分布的性质【通用方法】若221212(,)~(,;,;)X Y N ，则：（1）边缘分布都是服从一维正态分布，即 221122~,,~,X NY N .（2）X 和Y 任意的非零线性组合aX bY 服从一维正态分布.（3）X 和Y 相互独立的充要条件是相关系数0 .（4）若12,Z Z 是,X Y 的非零线性组合，则 12,Z Z 也服从二维正态分布.题型考点08三大抽样分布【通用方法】（1）2分布：222212()nn X X X （2）F 分布：22()(,)()m mF m n n n（4）t 分布：()t n（5）若12,,,n X X X 为来自正态总体2~(,)X N 的简单随机样本，则：~(0,1)X N②222(1)~(1)n S n ~(1)X t n 题型考点09点估计【通用方法】（1）矩估计总体的矩等于样本的矩（2）最大似然估计①离散型1()()n i i L P X X ；1()ln(())ni i LnL P X X ②连续型1()()ni i L f x ；1()ln(())ni i LnL f x 题型考点10估计量的评选标准【通用方法】（1）无偏性 ()E（2）有效性若 12()()D D ，则 1 比 2更有效（3）一致性P。
2012年考研数学一真题解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 曲线221x xy x +=-渐进线的条数（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3【考点分析】：曲线的渐近线条数。
【求解过程】：C⏹ 方法一：利用函数图像的平移，将已知的函数的渐近线条数转化为简单的基本函数的渐进线条数。
由于22(1)111(1)(1)11x x x x x y x x x x x ++====+--+--， 可知，221x x y x +=- 的图像是由1y x=的图像向由右平移一个单位，再向上平移一个单位所得。
由于图像平移并不改变其渐进线的条数。
1y x=有两条渐进线，其中一条为水平渐近线0y =，一条为垂直渐近线0x =。
所以221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。
【相关补充】：函数平移口诀：上加下减，左加右减。
例如，把函数()y f x =依次做以下四次的平移：（1）向上平移1个单位，（2）向下平移2个单位（3）向左平移1个单位（4）向右平移2个单位。
则新函数的解析式为(12)12(1)1y f x f x =+-+-=--。
⏹ 方法二：直接求解函数的渐近线。
因为 22lim 1,1x x xx →∞+=- 所以1y = 为水平渐进线。
又由于有水平渐进线，所以一定不存在同一趋向下的斜渐进线。
又因为221lim ,1x x xx →+=∞-所以1x =为垂直渐进线。
综上所述，221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。
【相关补充】：斜渐进线的求解步骤：1) 考察是否有lim ()x f x →±∞=∞？若是，则转2）2) 考察是否有()limx f x a x→±∞=（常数）？，若是，则转3） 3) 是否有lim[()]x f x ax b →±∞-=存在？若是，则()y f x =有斜渐进线y ax b =+，上述任何一个步骤中，若否，则无斜渐进线。
跨考教育考研数学高数第一章常考题型分析六
Born to win考研数学高数第一章常考题型六：渐近线的计算65.【94—23 3分】曲线2121arctan (10)(2)x x x y e x x ++=-+的渐近线有（ ） ()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条66.【05—1 4分】曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _________ 67.【06—2 4分】曲线4sin 52cos x x y x x+=-的水平渐近线方程为 68.【10—2 4分】曲线3221x y x =+的渐近线方程为 . 【小结】：1.求函数斜渐近线及水平渐近线的方法：计算极限()lim x f x x→+∞，如果该极限值存在，则()lim x f x a x→+∞=；计算极限lim (())x f x ax →+∞-，如果该极限存在，则lim (())x b f x ax →+∞=-.以上两步中如果任何一步的极限不存在，则渐近线不存在. 需要注意的是，水平渐近线可以看做是特殊的斜渐近线（斜率为0的）。
2.很多渐近有关渐近线的考题让考生比较头疼的一点是它们需要求所有渐近线，或者直接问渐近线有多少条。
一般来说，为了不重不漏地计算出所有渐近线，我们可以按照下面的步骤：1）首先找垂直渐近线，这只需要找出函数所有的无穷间断点就可以了（按照求间断点的方法，先找所有“可疑点”，再一一判断）；2）再分别对x →+∞和x →-∞求斜渐近线（注意这里是把水平渐近线看做特殊的斜渐近线的）。
x →+∞和x →-∞这两种情况下渐近线有可能一样，也有可能不一样，还有可能一边有渐近线另一边没有；因此，一般情况下要对两边分别求。
当然，如果确定两边的渐近线一样，也可以直接一起求。
参考答案65.【94—23 3分】()B66.【05—1 4分】124x y =- 67.【06—2 4分】15y = 68.【10—2 4分】2y x =。
中公考研培训之浅析如何求函数的渐近线
浅谈如何求函数的渐近线曲线的渐近线是我们考研数学必考的内容，它属于函数极限的应用部分的内容，今天我们就通过例题去求解如何函数的三类渐近线。
一、曲线的三类渐进线1、铅直渐近线)(lim )(lim x f x f cx c x +-→→与中至少有一个是无穷大，则称c x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线.2、水平渐近线若b x f b x f x x ==+∞→-∞→)(lim )(lim 或,其中b 为常数，则称b y =为曲线)(x f y =的水平渐近线.注：水平渐近线0x x =一般都是函数)(x f 的表达式中分母为零的点。
3、斜渐近线若()lim x f x k x →-∞=存在且不为零,同时lim [()]x f x kx b →-∞-=也存在（或()lim x f x k x→+∞=存在且不为零,同时lim[()]x f x kx b →+∞-=存在），则称y kx b =+为曲线)(x f y =斜渐近线.注：(1)若0=k ，则斜渐近线变成水平渐近线。
(2)在趋于同一方向时，水平渐近线与斜渐近线不共存。
(3)若∞=k ,则无斜渐近线。
典型例题例1、(2012年真题)曲线122-+=x x x y 的渐近线条数为()(A)0(B)1(C)2(D)3解析：应选(C)因为11lim 22=-+∞→x x x x ，所以1=y 为曲线122-+=x x x y 的水平渐近线。
又因为∞=-=+-+=-+→→→1lim )1)(1()1(lim 1lim 11221x x x x x x x x x x x x ，211lim )1)(1()1(lim 1lim 11221-=-=+-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 所以1=x 为曲线122-+=x x x y 的垂直渐近线。
例2、(2005年真题)曲线122+=x x y 的斜渐近线为解析：应填412-=x y 因为21)12(lim )(lim 2=+==∞→∞→x x x x x f k x x 且412)(lim -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∞→x x f b x 所以曲线122+=x x y 斜渐近线为412-=x y 。
考研必看考研数学基础知识点梳理(高数篇)
考研数学基础知识点梳理(高数篇) 第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二)) 第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)。
考研数学高等数学知识点总结渐近线
考研数学高等数学知识点总结渐近线高等数学中的渐近线是指一条曲线无限靠近于一个直线或双曲线，但是永远不会与其相交的特殊情况。
渐近线是数学中的一种重要概念，在图像的研究和计算中有着广泛的应用。
本文将对高等数学中关于渐近线的知识点进行总结。
一、水平渐近线水平渐近线是指曲线在无穷远处与水平轴趋于平行的直线。
设曲线的方程为y=f(x)，如果满足以下条件之一，则水平线y=b为曲线的水平渐近线：1.当x趋于正无穷时，f(x)趋于b；2.当x趋于负无穷时，f(x)趋于b。
二、垂直渐近线垂直渐近线是指曲线在无穷远处与垂直轴趋于平行的直线。
设曲线的方程为y=f(x)，如果满足以下条件之一，则直线x=a为曲线的垂直渐近线：1.当x趋于a时，f(x)趋于正无穷或负无穷；2.当x趋于a时，f(x)不存在。
三、斜渐近线斜渐近线是指曲线在无穷远处与一倾斜直线趋于平行的情况。
设曲线的方程为y=f(x)，如果直线y=kx+b是曲线的渐近线，则满足以下条件之一：1. 当x趋于正无穷时，f(x)/(kx+b)趋于1；2. 当x趋于负无穷时，f(x)/(kx+b)趋于1斜渐近线的方程可以通过以下步骤求解：1. 设y=kx+b为斜渐近线的方程，其中k为斜率，b为截距；2. 将y=f(x)除以kx+b，然后令x趋于无穷大，求出极限值；3. 如果极限存在且等于1，则直线y=kx+b为曲线的斜渐近线。
需要特别注意的是，对于有理型函数，可以通过分别求出x趋于正无穷和负无穷时的极限来确定斜渐近线。
而对于无理型函数，则需要进行等价有理化处理，再进行求解。
四、渐进性质除了渐近线的分类和求解方法，还有一些与渐近线相关的重要性质：1.渐近线的位置是相对的，同一曲线可能存在多条水平、垂直或斜渐近线；2.渐近线仅是曲线在无穷大处的近似趋势，不代表曲线上的每一点都与渐近线相距无限远；3.渐近线的存在是曲线的特殊性质，不同曲线的渐近线的形状和位置都有所不同。
以上就是对高等数学中关于渐近线的知识点的总结。
2020年考研数学二试题及答案
全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞=，b 为常数）、垂直渐近线（0lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞-+=，,a b 为常数）。
（iii ）注意：如果 （1）()limx f x x→∞不存在； （2）()limx f x a x→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中，函数221x xy x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.（而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.又211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C.(2) 设函数2()(1)(2)()xxnx f x e ee n =---,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x→→+-'==. 在本题中，按定义200()(0)(1)(2)()(0)lim lim0x x nx x x f x f e e e n f x x →→----'==-1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--.故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0，故只留下一项.于是20(0)[(2)()]x x nx x f e e e n ='=--1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--故选（A ）.(3) 设0(1,2,)n a n >=，123n n S a a a a =++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B【考点】数列极限 【难易度】★★★【详解】因0(1,2,)n a n >=，所以123n n S a a a a =++++单调上升.若数列{}n S 有界，则lim n n S →∞存在，于是11lim lim()lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S --→∞→∞→∞→∞=-=-=反之，若数列{}n a 收敛，则数列{}n S 不一定有界.例如，取1n a =(1,2,)n =，则n S n =是无界的.因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B ）. (4)设20sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a c b <<，则()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.在本题中，210sin x I e xdx π=⎰，2220sin x I e xdx π=⎰，2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰，2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，222323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx ππππππ-==+⎰⎰⎰2233()22sin()sin t x e t dt e xdx ππππππ-=-+⎰⎰223()312[]sin 0x x e e xdx I I πππ-=->⇒>⎰因此213I I I <<.故选D.（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 在本题中，因(,)0f x y x∂>∂，当y 固定时对x 单调上升，故当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y < 又因(,)0f x y y∂<∂，当x 固定时对y 单调下降，故当12y y >时2122(,)(,)f x y f x y < 因此，当12x x <，12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D.（6）设区域D 由曲线sin y x =，2x π=±，1y =围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰( )（A ）π（B ）2（C ）-2（D ）π-【答案】D【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：10,(,)(,)2(,),(,)DD f x y x y f x y dxdy f x y dxdy f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对或为奇函数，对或为偶函数在本题中，11555222sin sin 221(1)(1)()2x x Dx y dxdy dx x y dy x y y dx ππππ---=-=-⎰⎰⎰⎰⎰5222221(1sin )(1sin )2x x dx x dx πππππ--=---=-⎰⎰ 其中521(1sin )2x x -，sin x 均为奇函数，所以 52221(1sin )02x x dx ππ--=⎰，22sin 0xdx ππ-=⎰故选（D ）(7)设1100c α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=在本题中，显然134123011,,0110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于P 经列变换为Q ，有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故选B.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则22x d ydx== .【答案】1【考点】隐函数的微分 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有：1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。