第三章n元随机变量及其分布x资料

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6 12
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666
3
1
1
0
12 6
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:
1.找出随机变量X和Y的所有取值结果,得到(X,Y)的所 有取值数对; 2.利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率; 3.列出联合概率分布表.
例3.1.3.二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
结
合
XY 0 1
2
1
P(X≤1,Y≤1}
-10Leabharlann P{X≥0,Y≤1}1
X
三、连续型随机变量的联合分布
⒈定义:设（X，Y）是二维随机向量，若存在非负可积函
2
-1 0.05 0.1 0.1
求:(1)常数a的取值;
下 页 概 率
0
0.1 0.2 0.1
(2)P(X≥0,Y≤1);
分 布
图
1
a 0.2 0.05
(3) P(X≤1,Y≤1)
解:(1)由∑pij=1得: a=0.1
(2)由P{(X,Y)∈D } = pij ( xi , y j )D
得 P(X≥0,Y≤1)= P(X=0,Y=0)+
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.1+0.2+0.1+0.2 =0.6
(3)P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)
+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75
二维联合概率分布区域图: Y
第3章 n元随机变量及其分布
•第3.1节 二元随机变量及其分布 第3.2节 二元随机变量的函数的分布 第3.3节 二元正态分布
返回
第3.1节 n元随机变量及其分布
一、n 维随机变量
以 n 个随机变量 X1，X2，…，Xn 为分量的向量 X=(X1,X2,…,Xn)称为 n 元随机变量。
以下主要研究二元离散型及连续型随机变量的 情形。
p21 p22 … p2j … ②∑∑pij = 1;
… … … … … ③P{(X,Y)∈D } =
pij
pi1 pi2 … p i j …
( xi, y j )D
… … ………
3、离散型随机向量的联合分布函数
则 F(x,y)=P{X≤x，Y≤y}=
pij
xi x y j y
例1. 十个产品中有三件次品，七件正品，每次
⒉联合概率分布及其性质 称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,...,)为(X,Y)的联合概率分布, 其中E={(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下:
XY x1 x2 …
xi …
y1 y2 … y j … 联合概率分布性质:
p11 p12 … p1j … ① pij≥0 ;i,j=1,2,…
（4）F(x,y)关于x,y均为右连续函数。
二元联合分布函数区域演示图: X2
x2
(x1,x2)
{ X1≤x1 , X2≤x2 } x1
X1
二、二元离散型随机变量的联合分布
⒈二元离散型随机变量的概念 如果二元随机变量（X,Y）的全部取值(数对）为有限个或至多可
列个，则称随机变量（X,Y）为离散型的。 易见，二元随机变量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与 Y 分别都是一元离散型的。
联合分布函数 n元实函数 F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}
(x1,x2,…,xn)∈Rn 称为n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数。
注意: X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn 均表示事件,
{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}表示这几个事件同时发生.
任取一件，连续取两次，记
0 X1 1
第1次取到正品 第1次取到次品
0 X 2 1
第2次取到正品 第2次取到次品
分别对不放回抽样与有放回抽样两种情况，写出随机变量
( X1, X 2 ) 的联合概率分布。
解： ( X1, X 2 ) 可以取（0，0）（0，1）（1，0）（1，1）共四
个值。
（1）不放回抽取:
球时,袋中每个球被取到的概率相等,以 X , Y 分别记第
一、二次取得的球上标有的数字，求 ( X ,Y ) 的概率分布。
解：P{X 1,Y 1} 0， P{X 1,Y 2} 1 2 1
43 6
P{X 1,Y 3} 1 1 1 , 4 3 12
P{X 2,Y 1} 2 1 1 43 6
P{X1
0,
X2
0}
P{X1
0}
P{X 2
0
|
X1
0}
7 10
6 9
7 15
P{X1 0, X 2 1} P{X1 0} P{X 2 1| X1 0} 7 3 7 10 9 30
P{X1 1, X 2 0} P{X1 1} P{X 2 0 | X1 1}
3 7 7
10 9 30
特别: 二维随机向量(X1,X2)的联合分布函数为
F(x1,x2)=P{X1≤x1,X2≤x2}(x1,x2)∈R2
联合分布函数的性质：
（1）0 Fx,y 1
(2) lim Fx,y 0, lim Fx,y 0, lim Fx,y 1,
x
y
x
y
lim Fx,y 0
x y
(3)F(x,y)关于x,y均为单调不减函数。
P{X1 0, X 2 1} P{X1 1, X 2 0}
0.7 0.3 0.21
P{X1 1, X 2 1} 0.3 0.3 0.09 有放回抽取
X2 X1
0
0
1
0.49 0.21
1
0.21 0.09
例 2. 一口袋中有 4 个球,依次标有数字 1,2,2,3.从袋中 任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球.设每次取
P{X 2,Y 2} 2 1 1 P{X 2,Y 3} 2 1 1
43 6
43 6
P{X 3,Y 1} 1 1 1 , P{X 3,Y 2} 1 2 1
4 3 12
43 6
P{X 3,Y 3} 0
所以 ( X ,Y ) 的概率分布为：
Y 123
X
1
0
1
P{X1
1,
X2
1}
P{X1
1}
P{X 2
1|
X1
1}
3 10
2 9
1 15
X2
0
1
X1
0
7
7
15
30
1
7
1
30
15
（2）有放回抽取:
由于事件“ X1 i ”与“ X 2 j ”相互独立，因此有：
P{X1 0, X 2 0} P{X1 0} P{X 2 0}
( 7 )2 0.49 10