一次函数与一元二次方程
一次函数与方程(组)、不等式及二次函数与二元一次方程、不等式的关系
一次函数与方程（组）、不等式及二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系1、一次函数与一元一次方程从“数”的角度看，解方程kx+b=0相当于一次函数y=kx+b 的函数值为0时，求自变量的取值；从“形”的角度看，解方程kx+b=0，相当于确定直线y=kx+b 与x 轴交点横坐标的值 一次函数与一元一次不等式从“数”的角度看，解不等于式kx+b 〉0（<0）相当于一次函数y=kx+b 的函数值>0(<0)时，求自变量x 的取值范围；从“形”的角度看，求不等于式kx+b>0(<0）的解集，相当于确定直线y=kx+b 在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 从“数”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +相当于一次函数111b x k y +=与222b x k y +=函数值y 1>y 2时，求自变量的取值范围；从“形”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +，相当于确定直线111b x k y +=在直线222b x k y +=上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 一次函数与二元一次方程组从“数”的角度看，解二元一次方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2相当于求自变量x 为何值时相应的两个函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的函数值相等，从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2交点的坐标类比可得出二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系：1、从数的角度看，解方程02＝c bx ax ++相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y=0时自变量x 的值，从形的角度看，解方程02=++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点模坐标的值2、从数的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y>0(<0)时自变量x 的取值范围，从形的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围。
高中数学复习 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数一、一次函数函数(0)y ax b a =+≠叫做一次函数，当a>0时，该函数是增函数，当a<0时，该函数是减函数。
由于函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、小值一定在端点取得。
故若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈时恒为正（负），则在p 、q 处的函数值满足:f(p)、f(q)恒为正（负）；若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈上与x 轴有交点，则在p 、q 出的函数值满足f(p)、f(q)一正一负。
二、二次函数1、 一元二次函数的定义:形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数叫做一元二次函数。
2、二次函数的三种表示形式：（1） 一般式：2(0)y ax bx c a =++≠ （2） 顶点式: 2()y a x k h =++ （3） 零点式: 12()()y a x x x x h =+++ 3、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的性质（1） 定义域为R ，当a>0时，值域为 244(,)a c ba-+∞； 当a<0是，值域为 244(,)a c ba--∞ （2） 图像为抛物线，其对称轴方程为2b a -，顶点为：2424(,)b ac ba a --；（3） 当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下； （4） 当a>0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，当a<0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数（5） 当 时，该函数是偶函数，当 时，该函数是非奇非偶函数。
4、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[p,q]（p<q ）上的最值问题（以a>0为例）（1）若2b a q ≤-, 则该函数的最大值为 最小值为 （2）若22p q b a q +≤- ， 则该函数的最大值为 最小值为（3）若22p q b a p +≤-，则该函数的最大值为 最小值为（4）若2b a p - ， 则该函数的最大值为 最小值为 解决这种问题不能死记，应利用数形结合的方法来记忆，也就是抓住“三点一轴”（三点是指区间的端点和区间的中点，一轴是指对称轴。
一元二次方程和一次函数的关系
3 图像表示
一次函数的图像可以 通过绘制直线、标记 截距和斜率来表示。
一元二次方程与一次函数的关系
交点
一元二次方程和一次函数的 交点表示了两者的解集，可 以通过求解方程组得到。
平行线
当一元二次方程的抛物线与 一次函数的直线平行时，方 程没有实数解。
切线
当一元二次方程的抛物线与 一次函数的直线相切时，方 程有且仅有一个实数解。
因式分解
通过找到一个数对(a, b)， 使得二次项和一次项的 乘积等于常数项，将方 程因式分解为两个一次 因式。
求根公式
应用二次方程的求根公 式，直接计算方程的根。
实例分析
方程
a=1, b=4, c=4 a=1, b=-3, c=2 a=2, b=-5, c=3
解集
x =-2 x=1, x=2 x=1/2, x=3/1
一元二次方程和一次函数 的关系
本次演示将阐述一元二次方程与一次函数的关系。通过深入剖析这两个数学 概念的定义、性质以及图像表示，我们将揭示它们之间的紧密联系，并分享 一些有趣的求解方法及实例分析。
一元二次方程的定义与性质
定义
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知系数，且a ≠ 0。
结论与应用
1 结论
一元二次方程和一次函数之间的关系提供了解方程的方法和图像表示的便利性。
2 应用
这种关系在物理、经济、工程等领域的建模和问题求解中具有广泛的应用。
3 扩展
进一步学习多项式函数和其他高阶方程的性质和求解方法。
性质
一元二次方程的图像是一个抛物线，且其开口方向与a的正负有关。方程的解可以为实数或 复数。
图像表示
人教版一次函数与一元二次方程八年级数学
1、下列各点中在函数y=x 21+3的图象上的是（ ） （Ａ）(3,-2) （Ｂ）(32,3) （Ｃ）(-4,1) （Ｄ）(5, 25)2、已知直线y=2x 与直线y=kx+5互相平行，则k 的值为 （ ）A 、k=-2B 、k=2C 、k=±2D 、无法确定k 的值3、一次函数y=kx+b,若k+b=1,则它的图象必经过点 （ ） A 、（-1，-1） B 、（-1，1） C 、（1，-1） D 、（1，1）4、 一根蜡烛长20cm ，点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时剩下的高度(cm)与燃烧时间（小时）的函数关系用图象表示为（ ）5、已知函数y=(2m +2)x ，y 随x 增大而 （ ） A 、增大 B 、减小 C 、与m 有关 D 、无法确定6、若一次函数y=(1-2m)x+3的图象经过A （1x ，1y ）和B(2x ，2y )，当1x ＜2x 时，1y ＜2y ，则m 的取值范围是 （ ）A 、m ＜0B 、m ＞0C 、m ＜12 D 、m ＞127、直线y=-2x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则b 的值为 （ ）A 、4 B 、-4 C 、±4 D 、±2 8、函数y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么m 的取值范围是( )（A ）34m < （B ）314m -<< （C ）1m <- （D ）1m >-9、函数y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么m 的取值范围是( ) （A ）34m <（B ）314m -<< （C ）1m <- （D ）1m >-10、下图中表示一次函数y ＝mx+n 与正比例函数y ＝m nx(m ，n 是常数，且mn<0)图像的是( )．11、直线y=kx+b 在坐标系中的位置如图，则( ) （A ）1,12k b =-=- （B ）1,12k b =-= （C ）1,12k b ==- （D ）1,12k b ==12、如图，是函数的图象，要使图象处于虚线部分时自变量的取值范围是 .这个取值范围也就是不等式 的解集.xAxBxCx D13、如图，直线与直线相交于点P ，则P 点的坐标是（ ， ）.不等式的解集为1、一次函数y=4x+8的图象与y 轴相交，则交点坐标为 。
一次函数与一元二次方程的关系
学习目标：
1、理解一次函数与二元一次方程的关系
2、理解一次函数与二元一次方程组的关系
3、应用一次函数与二元一次方程组的关系解 决实际问题
探究新知
y=3x+1这是什么？
一次 函数
二元一次 方程
这是怎 么回事？
y=3x+1
y-3x=1
探究学习一： 探究一次函数与二元一次方程的关系
7 y=x+1
6 5 4 3
2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x
-1
结论:
以二元一次方程的解为坐标的点都在 相应的函数图象上.
反过来,一次函数图象上的点的坐标 都是相应的二元一次方程的解.
练一练
体验成功喜悦
1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数
y=_2_x_-_1__的图像上。
2、方程-y=1有一个解为
x=2 y=1
，则一次
函数y=x-1的图象上有一点为 (2,1)
3、一次函数y=2x-4上有一点坐标为(3,2),
则方程2x-y=4有一个解为 x=3 . y=2
探究学习二：探究一次函数与二元一次方程组的关系
x+y=1
1、解方程组
-x+y=1
2、在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+1和 y=-x+1的图像。
体验成功喜悦
1、方程组
x-y=4 3x-y=16
的解是 yx==26，由此可知一
次函数 y=x+4 与y=-3x+16 的图像必有一个交点，
且交点坐标是
。
(6，2)
探究学习三：
一次函数与一元二次方程
一次函数与一元二次方程在数学中，一次函数与一元二次方程是两个基本的代数概念。
它们在数学的实际应用中扮演着重要的角色，并且在解决实际问题时起着至关重要的作用。
本文将探讨一次函数与一元二次方程的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一次函数，也称为线性函数，是指具有以下形式的函数：f(x) = ax + b其中，a和b是常数，称为一次函数的系数。
一次函数的图像为一条直线，其斜率为a，截距为b。
一次函数的图像可以通过确定两个点，或者利用斜率截距式来得到。
一次函数在实际中广泛应用于直线运动、经济学中的供需关系等领域。
一元二次方程是指具有以下形式的方程：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b和c是常数，a≠0。
一元二次方程在解决实际问题时起到了关键作用，尤其是在物理学、工程学和自然科学领域。
一元二次方程的解可以通过配方法、公式法以及图像法来求解。
一次函数与一元二次方程之间存在着密切的联系。
事实上，一次函数可以通过一元二次方程来表示。
具体而言，对于一次函数f(x) = ax + b，我们可以将其转化为一元二次方程ax + b = 0。
反过来，对于给定的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过将其写成标准形式来得到一次函数的表达式。
例如，对于方程2x^2 + 3x - 5 = 0，我们可以通过化简得到一次函数f(x) = 2x + 3。
在实际应用中，一次函数与一元二次方程有着不同的应用领域。
一次函数通常用于描述直线运动、线性增长等情况。
例如，在物理学中，我们可以使用一次函数来描述物体的匀速直线运动。
而对于复杂的曲线运动，我们往往需要使用一元二次方程来建立数学模型。
在工程学中，一元二次方程广泛应用于设计和优化问题。
例如，在桥梁设计中，我们可以利用一元二次方程来确定桥梁结构的最佳尺寸。
除了实际应用之外，一次函数与一元二次方程也有着重要的数学性质。
一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距可以提供关于函数特征的重要信息。
一次函数一元二次方程
华贤书院教学过程补充表主题一次函数应用与一元二次方程序教学过程一次函数应用题类型一、直译法即将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法。
例1、乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元.(1)请你求出x≥2时乘车费用y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系式；(2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元)，小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围.二、表格法列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。
例2、某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：A型利润B型利润甲店200 170乙店160 150（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W 关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A B，型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？例3“5²12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市Ａ、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知Ａ蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；ＣＤ总计Ａ200吨Ｂx吨300吨总计240吨260吨500吨（2）设Ａ、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元（m＞０），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案．三、图示法即用图形来表示题中的数量关系，从而观察出函数关系的解题方法。
代数进阶：一元二次方程与一次函数
配方法解一元二次方程
配方法是一 种通过构造 完全平方来 解一元二次 方程的方法
可以将其化 为平方的形 式方便求解
举例：$x^2 - 6x + 9 = 16$通过配 方法求解
构造完全平方
化为平方形式
配方法示例
适用于一般 的一元二次
方程
一般的一元二次 方程
图解一元二次方程
通过图像直观展示一元二次方程的 01 解与性质
直观展示
抛物线的开口方向取决于二次项系 02 数的正负
开口方向
图像与方程之间的关系有助于理解 03 和应用一元二次方程
图像与方程关系
一元二次方程的解法比较
求根公式
适用于一切一元二次方程 可直接求解，无需转换形 式
配方法
需要观察方程是否适合配 方法 通过构造完全平方求解
图解法
利用图像理解方程性质 可视化解法
一次函数方程的解
简单，通过代数求解即可
一元二次方程的解
需要考虑更多情况 具有更多复杂性
实际问题中的一次函数与一元二次方程应用
实际问题中 的运用
一次函数和一元 二次方程均有应模
选择合适的 方程形式
通过具体问题特 点进行建模与求
解
一次函数与一元二次方程的联系
代数中常见 形式
● 06
第六章 总结与展望
本章小结
本章主要讨论了一元 二次方程和一次函数 的性质、应用以及求 解方法。通过具体例 题和图形展示，帮助 加深理解和应用能力。 下一步将继续学习更 多高阶代数知识，拓 展数学视野。
数学知识在现实生活中的重要性
重要作用
各行各业
灵活运用
提升问题解决能 力
代数
重要分支
一元二次方程和一次函数的应用
上海龙文教学管理部1 龙文教育学科辅导学案 教师: 学生: 年级: 八日期:2013. 12.29 星期: 日 时段: 13-15学情分析课 题一元二次方程和一次函数的应用学习目标与考点分析学习目标：、1能将简单的实际问题转化为数学问题(建立：一次函数)，从而解决实际问题 2、一元二次方程的应用掌握 考点分析：一元二次方程和一次函数的应用 学习重点如何将知识点运用到实践中 学习方法 讲练说相结合学习内容与过程上海龙文教学管理部 2 考点一：一元二次方程运用题1、变化率问题这种求变化率的题是一元二次方程中最常见的题。
一般是：已知某年的数量和两年前（或后）的数量，让求平均变化率。
对于这种问题只要把握住一个公式即可。
若设平均变化率为x ，则有变化前的量×(1±x)2=变化后的量。
在此类问题中，一般有变化前的基数（a ）、增长率（X ）、变化的次数（n ），变化后的基数（b ），这四者之间的关系可用公式a （1+ X ）n=b 表示，这类问题中等量关系通常由这个公式及相关的词语“译”出。
例1、某油田今年的产量可达5000万吨，如果计划两年内把产量翻一番，那么平均今后两年内每年需增产百分之几？二、比赛问题（循环）有关比赛问题最常见的应该是：已知比赛的总场数，求参赛队数。
若设参赛对数为N ，对于单循环比赛(两队间只进行一次比赛)只要把握住：1／2×N(N-1)=比赛的场数。
对于双循环比赛(两队间进行两次比赛)只要把握住：N(N-1)=比赛的场数这个公式即可。
例1、 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了多少人。
例2、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛。
3、某次同学聚会中共有若同学聚会，相见时每人都握手问好，某同学发现共握手66次，问这次同学聚会共有多少名同学三面积问题：需要把握好常见图形的面积公式。
一次函数与一元二次方程的实际应用
一次函数与一元二次方程的实际应用一次函数和一元二次方程是数学中常见的数学概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将探讨一次函数和一元二次方程的实际应用，并分析其在不同领域中的具体应用案例。
一、一次函数的实际应用一次函数（线性函数）的一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数。
一次函数可以用来表达一些简单的线性关系，例如速度和时间、温度和时间等。
1. 金融领域：一次函数在金融领域中的应用非常广泛。
例如，银行的年利率计算中就使用了一次函数。
假设某银行的年利率是 5%，那么在一个存款周期（一年）内，存款金额 y 就是存款本金 x 乘以 1.05。
这个关系可以用一次函数形式表示为 y = 1.05x。
2. 经济领域：一次函数可以用来分析经济中的供求关系。
就业市场中，一个公司的雇员数量 y 可以表示为公司销售收入 x 的函数。
如果假设公司的销售收入每增加 100 万元，就需要雇佣 10 名雇员，那么这个关系可以用一次函数表示为 y = 0.1x。
这个函数可以帮助企业预测未来的人力资源需求。
3. 工程领域：一次函数在工程中也有广泛的应用。
例如，架设电线杆的成本可能与所用的原材料长度成正比。
假设每米原材料的成本为100 元，那么架设一根长度为 x 米的电线杆所需的成本 y 可以用一次函数表达为 y = 100x。
二、一元二次方程的实际应用一元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
一元二次方程的实际应用非常广泛，例如经济学、物理学、工程学等领域。
1. 抛物线轨迹：抛物线是一元二次方程的图像，它在物理学中有着广泛的应用。
例如，一个抛体在自由落体运动中的轨迹可以用一元二次方程来描述。
假设一个物体从高度 H 抛掷，并以速度 V 抛出，那么物体的运动轨迹可以用一元二次方程 h = -g/2t^2 + Vt + H 来描述，其中g 是重力加速度， t 是时间， h 是物体的高度。
一次函数与二元一次方程组公开课课件
详细描述
二元一次方程组通常由两个一次方程组成，每个方程都包含 两个未知数，并且最高次项为一次。例如，方程组 `{2x + 3y = 7, x - y = 1}` 就是一个二元一次方程组。
二元一次方程组的解法
总结词
解二元一次方程组的方法主要有消元法和代入法两种。
详细描述
消元法是通过加减消元或代入消元的方式，将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。代入法则是通过将一 个方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后将其代入另一个方程来求解。
一次函数的图像
总结词
一次函数的图像是一条直线，其形状由斜率k决定。
详细描述
当k>0时，图像为上坡，即y随x的增大而增大；当k<0时，图像为下坡，即y随x 的增大而减小。b决定了图像在y轴上的截距，当b>0时，图像与y轴交于正半轴 ；当b<0时，图像与y轴交于负半轴。
一次函数的性质
总结词
一次函数具有一些基本的性质，如单调性、奇偶性等。
代入法
将一个变量用另一个变量表示，代入 方程中消元，转化为一次函数形式。
消元法
通过加减消元或代入消元，将二元一 次方程组转化为一个一元一次方程， 再求解。
一次函数与二元一次方程组在实际问题中的应用
物理问题
在物理中，速度、时间和距离的关系可以用一次函数表示，而力的合成与分解可以用二 元一次方程组表示。
经济问题
在经济学中，成本、收益和利润的关系可以用一次函数表示，而供需关系可以用二元一 次方程组表示。
04 习题与解答
习题
一次函数的性质和图像
01
画出给定一次函数的图像，并描述其性质 。
03
02
判断给定函数是否是一次函数，并说明理由 。
一次函数与二次函数的比较与应用
一次函数与二次函数的比较与应用一、引言在数学中，一次函数和二次函数是常见的代数函数类型。
它们在数学应用和实际问题中起着重要的作用。
本文将比较一次函数和二次函数，并探讨它们的应用领域。
二、一次函数概述一次函数又称为一次方程，其一般形式为y = ax + b，其中a和b为常数，且a不为0。
一次函数的图像为一条直线，斜率为a，截距为b。
一次函数的特点包括线性增长，通常用来表示一元线性关系。
三、二次函数概述二次函数是一个关于变量的二次方程，一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为0。
二次函数的图像为一个抛物线，开口方向取决于a的正负，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的特点包括非线性增长和拥有极值点。
四、一次函数与二次函数的比较1. 增长速度一次函数的增长速度是恒定的，斜率决定了该函数的斜率的大小。
二次函数的增长速度是非恒定的，由于存在平方项，二次函数在x轴两侧的增长速度不同。
2. 极值点一次函数没有极值点。
二次函数的抛物线在开口方向上具有一个极小值或极大值点，称为顶点。
3. 函数图像一次函数的图像是一条直线，直线的特点是方向和斜率。
二次函数的图像是一个抛物线，抛物线的特点是开口方向、顶点位置和对称轴等。
4. 解析式一次函数的解析式只有两个常数项a和b，可以通过求解方程得到函数的值。
二次函数的解析式有三个常数项a、b和c，通常可通过配方法、求解方程或顶点法来获得函数的值。
五、一次函数与二次函数的应用1. 经济学一次函数和二次函数在经济学中的应用非常广泛。
例如，成本函数、利润函数、需求函数等可以使用一次函数或二次函数来进行建模和分析。
2. 物理学在物理学中，一次函数和二次函数可以用来描述各种物理量之间的关系。
例如，速度和时间之间的关系可以由一次函数表示，而自由落体高度和时间之间的关系可以由二次函数表示。
3. 工程学在工程学中，一次函数和二次函数常用于建模和解决实际问题。
二元一次方程和一次函数的区别
二元一次方程和一次函数的区别二元一次方程和一次函数的区别一、二元一次方程和一次函数的定义1. 二元一次方程二元一次方程是指形式为Ax + By = C的方程，其中A、B、C是已知数，x和y是未知数，且A和B不全为零。
2. 一次函数一次函数是指形式为y = kx + b的函数，其中k和b是已知数，x 和y分别表示自变量和因变量。
二、二元一次方程和一次函数的关系1. 形式上的相似从形式上看，二元一次方程和一次函数都含有未知数x和y，并且都是以一次幂的方式出现，所以在外表上二者有相似之处。
2. 直观上的区别二元一次方程更强调两个未知数之间的关系，通常用来描述平面直角坐标系中的直线关系；而一次函数更侧重于自变量和因变量之间的函数关系，以直线图像呈现。
三、深入探讨二元一次方程和一次函数的区别1. 解的不同二元一次方程求解的目的是求出使方程成立的未知数的值，即确定直线在坐标系中的位置；而一次函数求解的目的是得出自变量和因变量的关系，从而描绘出整个函数的图像和特性。
2. 表达方式不同二元一次方程是用等式的形式来表达，描述了两个变量之间的线性关系；一次函数是用函数的显式表达式来描述自变量和因变量之间的函数规律，通常以图像的形式展现。
3. 应用领域不同二元一次方程主要用于解决平面几何中的交点问题、物理问题中的速度、加速度等关系问题；一次函数则广泛应用于经济学、物理学、工程学等领域，用来描述实际问题中的线性关系。
四、总结与回顾二元一次方程和一次函数在形式上有相似之处，但在实际应用和解释上有着明显的区别。
通过学习和理解二者的差别，我们能更清晰地应用于实际问题，并且能更深入地理解数学和函数的内涵。
个人观点对于学习者来说，理解二元一次方程和一次函数的区别有助于拓展数学思维，更好地理解函数的本质和意义。
在教学中，也应该注重强调二者之间的联系和区别，帮助学生建立正确的数学观念。
以上就是关于二元一次方程和一次函数的深度和广度兼具的描述和解释，希望能帮助您更好地理解这两个重要的数学概念。
一次函数与二次函数
一次函数与二次函数一、引言在数学中，一次函数和二次函数是代数学中常见的函数类型。
它们在数学和实际应用中有着广泛的应用和重要性。
本文将分别介绍一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及实际应用，并着重探讨它们的区别和联系。
二、一次函数1. 定义一次函数又被称为线性函数，它的定义可以表示为：f(x) = ax + b其中，a和b为常数。
2. 性质（1）斜率和截距：一次函数的斜率用a表示，表示直线与x轴正向所成角的正切值。
截距用b表示，表示直线与y轴交点的纵坐标。
（2）图像：一次函数的图像是一条直线，斜率为正表示向上斜，斜率为负表示向下斜。
（3）特殊情况：当a为0时，一次函数化为常数函数f(x) = b，图像为水平直线。
3. 实际应用（1）经济学：一次函数可以用来描述市场需求曲线、供应曲线以及成本函数等经济学中的关系模型。
（2）物理学：一次函数可以用来描述匀速直线运动的位移、速度、加速度等物理量之间的关系。
三、二次函数1. 定义二次函数是指形如下式的函数：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数且a ≠ 0。
2. 性质（1）顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中，b为一次项系数，a为二次项系数，f表示函数。
（2）开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定，当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。
（3）图像：二次函数的图像通常是一个抛物线。
3. 实际应用（1）物理学：二次函数可以用来描述自由落体运动的位置、速度等物理量之间的关系。
（2）金融学：二次函数可以用来模拟金融衍生品的价格变动曲线、风险管理模型等。
四、一次函数与二次函数的区别和联系1. 区别（1）定义：一次函数是一次多项式，二次函数是二次多项式。
（2）图像形状：一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。
（3）解的个数：一次函数的解只有一个，即一次方程的根；而二次函数可以有零个、一个或两个解，即二次方程的根。
一元二次不等式一次函数的图像、一元一次方程与一元一
3x
y=对应x=-2 或x=3
y>0对应x<-2 或x>3
y<0对应-2<x<3.
2021/10/10
y 2
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3x
当x=-2 或x=3时，函数对应图像 位于x轴上，此时y=0
当x<-2 或x>3 时，函数对应图像 位于x轴上方，此时 y>0
当-2<x<3 时，函数对应图像位于 x轴下方，此时 y<0.
结论
1.一元二次方程的解对应于二次函数图像与x轴的交点. 2.一元二次不等式的解对应于使二次函数图像位于x轴 上方（或下方）的自变量x的范围.
2021/10/10
2021/10/10
10
2021/10/10
y
2
抛物线y=x2-x-6与x轴有两个交点， 其坐标为（-2，0）、（3，0）， 将x轴分成3段:x<-2、-2<x<3、x>3 .
3x
一元二次方程的解对应于 二次函数图象与x轴的交点
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y
−2 o
纵坐标y=0、 y>0 、 y<0的点
所对应的横坐标x的取值范围：
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已知二次函数y=x2-x-6，问： 1.怎样画这个二次函数的草图？ 2.根据二次函数的图像，你能求出抛物线
y=x2-x-6与x轴的交点吗？其交点将x轴分成几段？ 3.观察抛物线找出纵坐标y=0、y>0、y<0的点. 4.观察图像上纵坐标y=0、y>0、y<0的那些点所对应
的横坐标x的取值范围？
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由此看到，通过对函数y=ax+b 的图像的研究， 可以求出不等式ax+b>0 与ax+b<0 的解集．
《一次函数与一元二次方程(组)》教学反思
《一次函数与一元二次方程（组）》教学反思
《一次函数与一元二次方程（组）》教学反思上完课后失败感比拟强。
失败感也比平平淡淡的价值大，下面总结一下有何失误。
本节教学内容是《一次函数与一元二次方程（组）》，“一个二元一次方程对应一个一次函数，一般地一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线。
如果一个二元一次方程组有唯一的解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点的坐标。
本节的图象解依据了这个道理。
”因此本节需要迅速画出图象，利用图象解决问题。
而我的失误也主要发生在画图象上，在喧闹声刚刚平息后在九班开始了这节课。
课堂需要的课件无法用内网传递，我只得让学生自己先看书，借机我跑到一楼用软盘把课件拷过来。
或许这节课的例题更适合学生独立学习，我对学生疑难处加以点拨，这样学生的主动性会调动起来，昨天看的文章了说注重学生的想法，体会。
给学生以充分思考的时间。
不过我担忧学生的根底参差不齐，还是以我讲授为主，讲后学生进行训练。
在讲的过程中犯了一个画图错误，2X-Y=1化成了Y=2X+1，并用几何画板作出了图象。
这种低级错误竟然我没有看出来，后来学生给我指出来了，有的学生看到老师出错了，低着头嘀嘀咕咕，我对着电脑是否重新画呢，时间不多了然后转入了例3的讲解。
一个小小的笔误，虽然不是知识性的错误，不能反映老师的教学水平低下，但这种粗心造成的错误在学生的记忆中留下不光荣的一页，看到个别学生眼中不屑的表情，我忍了忍心里的怒火，不能在课堂上训斥他们，错是自己酿成的。
以后一定注意课堂的细节，借机课下我要强化对学生的细节教育，不要在做题过程中出现我所犯的低级错误。
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八年级一次函数和一元二次方程练习一、选择题
1.直线
x
y3
9-
=与x轴交点的坐标是________,与y轴交点的坐标是_______.
2.把直线
1
2
1
-
=x
y
向上平移2
1
个单位,可得到函数__________________.
3.若点P1（–1，3）和P2（1，b）关于y轴对称，则b= _________ ．
4.若一次函数y＝mx-(m-2)过点(0,3)，则m=_________ ．
5.
函数
y=x的取值范围是_________．
6.如果直线
b
ax
y+
=经过一、二、三象限，那么ab____0 (“＜”、“＞”或“＝”).
7.若直线
1
2-
=x
y和直线x
m
y-
=的交点在第三象限,则m的取值范围是__.
8.函数y= -x+2的图象与x轴，y轴围成的三角形面积为_________________.
9.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为___________立方米.
二、选择题
11.函数y＝x-2
x+2
的自变量x的取值范围是（）
Ａ．x≥-2 Ｂ.x＞-2 Ｃ．x≤-2 Ｄ．x＜-2 12.一根弹簧原长12cm，它所挂的重量不超过10kg，并且挂重1kg就伸长1.5cm，写出挂重后弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是（）Ａ．y＝1.5（x+12）(0≤x≤10) Ｂ．y＝1.5x+12 (0≤x≤10)
Ｃ．y＝1.5x+10 (0≤x) Ｄ．y＝1.5(x－12) (0≤x≤10)
13.无论m为何实数，直线
m
x
y2
+
=与4
+
-
=x
y的交点不可能在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
14.某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置（如图），并设法使瓶里的水从瓶中匀速流出.那么该倒置啤酒瓶内水面
高度h随水流出的时间t变化的图象大致是（）
A. B. C. D.
15.已知函数
1
2
2
y x
=-+
,当-1＜x≤1时，y 的取值范围是（）
A.
53
22
y
-<≤
B.
35
22
y
<<
C.
35
22
y
<≤
D.
35
22
y
≤<
16.某学校组织团员举行申奥成功宣传活动，从学校骑车出
发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地
宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速
度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B
地返回学校用的时间是（）
A.45.2分钟
B.48分钟
C.46分钟
D.33分钟
三、解答题
18、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.求两直线与y轴交点A，B的坐标;求两直线交点C的坐标
求△ABC的面积.
19. 某军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行 的运输飞机进行空中加油．在加油的过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱的余油量为Q 2吨，加油时间为t 分钟，Q 1、Q 2与t 之间的函数关系如图.回答问题：
(1) 加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需要多少分钟？
(2) 求加油过程中，运输飞机的余油量Q1（吨）与时间t （分钟）的函数关系式；
(3) 运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地，油料是否够用？ 请通过计算说明理由．
一、选择
1.下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）； A 、02
=++c bx ax B 、
2112
=+x x
C 、)1)(1(22-+=+x x x x D
)1(2)1(32
+=+x x 2.、把方程(2x-1)(3x+2)= x 2 +2化成一般形式后，二次项的系数和常数项分别是（ ）； A 、5 、-4 B 、5 、1 C 、5、 4 D 、1、 -4 3、方程（m²-1）x²+m x -5=0是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是 （ ） A m≠1 B m≠0 C ∣m ∣≠1 D m=±1 4、关于x 的一元二次方程x²-2x+2k=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）；
A k< 21
B k≤ 21
C k> 21
D k≥ 21
6、王刚同学在解关于x 的方程x²-3x+c=0时，误将-3x 看作+3x ，结果解得
x1=1 x2=-4，则原方程的解为（ ）；
（A ） x1=-1 x2=-4 （B ）x1=1 x2=4 （C ）x1=-1 x2=4 （D ）x1=2 x2=3
8、已知m 是方程x 2-x-1=0的一个根，则代数式m 2-m 的值等于（ ） A 、 -1 B 、0 C 、1 D 、2 二、 填空题
9、若关于x 的方程2x 2-3x+c = 0的一个根是1，则另一个根是_________ 11、如果（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b 的值是______ .
12、关于x 一元二次方程 (kx-4) 2x - 2 x +6=0没有实数根，则k 的最小整数值是______。
13、已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，则α+β的值为______. 15.已知
1
x ，
2
x 是方程2
630x x ++=的两实数根，则
2112
x x
x x +的值为______
16、某钢铁厂的钢产量，今年第一季度平均每月增长率为20%，若3月份钢产
量为7200吨，则1月份的钢产量为______吨。
三、解方程
1.
02522=-+）（x 直接开平方法 2. 0542
=-+x x （配方法）
3 x2 -5x+6=0 （因式分解法） 4. 03722
=+-x x （公式法）
四、解答题
1、已知关于x的方程x²-2（m+1）x+m2=0
(1) 当m取什么值时，一元二次方程没有实数根？
（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的差的平方。
2、幸福村种的水稻2006年平均每公顷产7200千克，2008年平均每公顷产8450千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率。
3、有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均1人感染了n个人？如果照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？4．某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
5、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，主邀请多少个球队参加比赛？。