密云区2019-2020学年第二学期高一数学期末试卷
2019-2020学年内蒙古包头市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年内蒙古包头市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．与直线3x﹣4y+5＝0关于坐标原点对称的直线方程为（）A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．3x﹣4y+5＝0D．3x﹣4y﹣5＝0 2．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＜3．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（）①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形．A．1B．2C．3D．44．点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是（）A．1B．C．2D．25．已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．若a1＝a3，则a1＝a2B．若a2＞a1，则a3＞a2C．a1+a3≥2a2D．a12+a32≥2a226．在△ABC中，sin A：sin B：sin C＝7：3：5，那么这个三角形的最大角是（）A．B．C．D．7．某几何体的三视图如图所示，该几何体由平面将正方体截去一部分后所得，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为（）A．B．C．D．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为线段AB，DD1的中点，则异面直线B1P与CQ所成角的大小为（）A．B．C．D．9．已知点A（﹣4，0），B（3，﹣1），若直线y＝kx+2与线段AB恒有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣1，]B．[﹣，1]C．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）10．已知0＜a＜1，0＜b＜1，则+++的最小值为（）A．2B．2C．2D．411．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥A﹣BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝2，BD＝2，且三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为（）A．12B．18C．24D．3612．已知函数y＝f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1，若数列{a n}满足a n＝f（0）+f（）+f （）+…+f（）+f（1），则数列{a n}的前10项和为（）A．B．33C．D．34二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上对应题的横线上．13．已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为．14．关于x的一元二次方程mx2﹣（1﹣m）x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是．15．《莱因德纸草书》（RhindPapyus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使得每个人所得成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的1份为．16．设三棱锥S﹣ABC的底面和侧面都是全等的正三角形，P是棱SA的中点．记直线PB 与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则a，β，γ中最大的是，最小的是．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．已知x＞y＞0，z＞0，求证：（1）＜；（2）（x+y）（x+z）（y+z）＞8xyz．18．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝﹣，β是第三象限角．（1）求cos（α+β）的值；（2）求tan（α﹣β）的值．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝2，b＝，B＝2A．（1）求sin A；（2）求△ABC的面积．20．已知A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），试求点D的坐标，使四边形ABCD为等腰梯形．21．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n═2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．22．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，B1E⊥EC．（1）证明：B1E⊥平面EBC；（2）若点E为棱AA1的中点，AB＝2；（i）求四棱锥E﹣BB1C1C的体积；（ii）求直线EC1与平面BB1C1C所成角的正弦值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．与直线3x﹣4y+5＝0关于坐标原点对称的直线方程为（）A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．3x﹣4y+5＝0D．3x﹣4y﹣5＝0解：设直线3x﹣4y+5＝0点Q（x1，y1）关于点M（0，0）对称的直线上的点P（x，y），∵所求直线关于点M（0，0）的对称直线为3x﹣4y+5＝0，∴由中点坐标公式得＝0，＝0；解得x1＝﹣x，y1＝﹣y代入直线3x﹣4y+5＝0，得3（﹣x）﹣4（﹣y）+5＝0，整理得：3x﹣4y﹣5＝0，即所求直线方程为：3x﹣4y﹣5＝0．故选：D．2．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＜解：A．c＝0时不成立；B．成立．C．a＜b＜0，则a2＞ab＞b2．因此不成立．D．a＜b＜0，则＞．因此不成立．故选：B．3．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（）①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形．A．1B．2C．3D．4解：用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，如平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，变为原来的，所以②错误；对于③，相等的角在直观图中不一定相等，如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是45°和135°，所以③错误；对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；综上知，正确的命题序号是①，共1个．故选：A．4．点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是（）A．1B．C．2D．2解：∵点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，∴|OP|的最小值是点O到直线x+y﹣2＝0的距离，∴则|OP|的最小值是d＝＝．故选：B．5．已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．若a1＝a3，则a1＝a2B．若a2＞a1，则a3＞a2C．a1+a3≥2a2D．a12+a32≥2a22解：根据题意，依次分析选项：对于A，若q＝﹣1，则有a1＝a3，但a1＝﹣a2，A错误；对于B，若a1＜0，且q＝﹣1，则有a2＞0＞a1，但a3＜0＜a2，B错误；对于C，若a1＜0，且q＜0时，a1+a3＜0，a2＞0，则有a1+a3＜2a2，C错误；对于D，由基本不等式的性质可得：a12+a32≥2a1a3＝2a22，D正确；故选：D．6．在△ABC中，sin A：sin B：sin C＝7：3：5，那么这个三角形的最大角是（）A．B．C．D．解：设三角形的三边长分别为a，b，c，根据正弦定理化简已知的等式得：a：b：c＝7：3：5，设a＝7k，b ＝3k，c＝5k，可得a为最大边，A为三角形最大角，根据余弦定理得cos A＝＝＝﹣，∵A∈（0，π），∴A＝．则这个三角形的最大角为．故选：B．7．某几何体的三视图如图所示，该几何体由平面将正方体截去一部分后所得，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为（）A．B．C．D．解：设正方体的棱长为a，由几何体的三视图得到截去的部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示，∴截去几何体的体积V1＝，剩余几何体的体积为V2＝a3﹣V1＝＝，∴截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为：＝＝．故选：C．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为线段AB，DD1的中点，则异面直线B1P 与CQ所成角的大小为（）A．B．C．D．解：取AA1中点E，AE中点F，连结BE，PF，FC1，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为4，∵点P，Q分别为线段AB，DD1的中点，∴PF∥BF∥CQ，∴∠FPB1是异面直线B1P与CQ所成角（或所成角的补角），PF＝＝，PB1＝＝2，FC1＝＝5，∴PF2+B1P2＝FB12，∴异面直线B1P与CQ所成角为．故选：A．9．已知点A（﹣4，0），B（3，﹣1），若直线y＝kx+2与线段AB恒有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣1，]B．[﹣，1]C．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）解：直线y＝kx+2经过定点M（0，2），点A（﹣4，0），B（3，﹣1），直线MA的斜率为＝，直线MB的斜率为＝﹣1，∵直线y＝kx+2与线段AB恒有公共点，故k≥，或k≤﹣1，故选：D．10．已知0＜a＜1，0＜b＜1，则+++的最小值为（）A．2B．2C．2D．4解：如图，令O（0，0），C（0，1），A（1，0），B（1，1），可得+++＝|PO|+|PC|+|PA|+|PB|，又|PO|+|PC|+|PA|+|PB|≥|AC|+|OB|＝2．则+++的最小值为2．故选：B．11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥A﹣BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝2，BD＝2，且三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为（）A．12B．18C．24D．36解：若三棱锥A﹣BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝2，BD＝2，如图所示：所以CD＝，所以S表面积＝6×2×2＝24．故选：C．12．已知函数y＝f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1，若数列{a n}满足a n＝f（0）+f（）+f （）+…+f（）+f（1），则数列{a n}的前10项和为（）A．B．33C．D．34解：∵a n＝f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），∴a n＝f（1）+f（）+f（）+…+f（）+f（0），又f（x）+f（1﹣x）＝1，∴+…+＝n+1，∴．∴数列{a n}的首项a1＝1，公差为d＝．则数列{a n}的前10项和为．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上对应题的横线上．13．已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为﹣3．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，﹣1）．化z＝x+2y为y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1+2×（﹣1）＝﹣3．故答案为：﹣3．14．关于x的一元二次方程mx2﹣（1﹣m）x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（）．解：由于关于x的一元二次方程mx2﹣（1﹣m）x+m＝0没有实数根，故它的判别式△＝（1﹣m）2﹣4m•m＜0，且m≠0，求得m＞或m＜﹣1，故m的范围为（﹣∞，﹣1）∪（）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（）．15．《莱因德纸草书》（RhindPapyus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使得每个人所得成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的1份为．解：设每人分得的数量构成等差数列{a n}，d＞0，则a5+a4+a3＝7（a1+a2），S5＝100，所以，解可得，a1＝，d＝，∴a5＝＝．故答案为：16．设三棱锥S﹣ABC的底面和侧面都是全等的正三角形，P是棱SA的中点．记直线PB 与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则a，β，γ中最大的是α，最小的是β．解：如图，取BC中点D，作SO⊥平面ABC于点O，由题意知O在AD上，且AO＝2OD，作PE∥AC，PE∩SC＝E，作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ABC，取AC中点M，连结BM，SM，设SM交PE于点H，连结BH，由题意知BH⊥PE，作PG⊥AC于点G，连结FG，由面面垂直的性质定理可得FG⊥AC，作FN⊥BM于点N，由作图知平面PGF∥平面SMB，PH∥FN，∴PH＝FN，∴直线PB与直线AC所成角α＝∠BPE，直线PB与平面ABC所成角β＝∠PBF，二面角P﹣AC﹣B的平面角γ＝∠PGF，cosα＝＝cosβ，∵α，β∈[0，]，∴α＞β，∵tanγ＝＞＝tanβ，且γ∈[0，]，∴γ＞β，设AB＝2，则PH＝，PB＝BH＝SN＝BM＝＝，PG＝＝，GF＝＝＝，BH＝＝，cosα＝＝＜cosγ＝＝＝，∴α＞γ．∴a，β，γ中最大的是α，最小的是β．故答案为：α；β．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．已知x＞y＞0，z＞0，求证：（1）＜；（2）（x+y）（x+z）（y+z）＞8xyz．【解答】证明：（1）因为x＞y＞0，∴，∴，∴，又z＞0，∴＜．（2）∵x＞y＞0，z＞0，∴，∴，当且仅当x＝y＝z时，等号成立，∵x＞y，∴上式中等号不能同时取得，∴（x+y）（x+z）（y+z）＞8xyz．18．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝﹣，β是第三象限角．（1）求cos（α+β）的值；（2）求tan（α﹣β）的值．解：（1）已知sinα＝，α∈（，π），所以，由于cosβ＝﹣，β是第三象限角．所以．故：cos（α+β）＝．（2）由于，，故＝19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝2，b＝，B＝2A．（1）求sin A；（2）求△ABC的面积．解：（1）由正弦定理知，＝，因为B＝2A，所以＝，所以cos A＝，因为A∈（0，π），所以sin A＝＝．（2）由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以，整理得，2c2﹣5c+2＝0，解得c＝2或．当c＝2＝a时，有A＝C，因为B＝2A，所以A＝C＝，所以sin A＝，与（1）中结论相矛盾，不符合题意，故c＝．所以△ABC的面积＝＝．20．已知A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），试求点D的坐标，使四边形ABCD为等腰梯形．解：∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），设D（x，y），若AB∥DC，则，解得，或（此时，ABCD为平行四边形，故舍去）．若AD∥BC，则，求得，或（此时，ABCD为平行四边形，故舍去）．当AC∥BD时，根据四边形ABCD字母顺序可得，它根本不会是梯形，不满足条件．综上，点D的坐标为（﹣2，3）、（﹣，）．21．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n═2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，整理，得，解得，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（2）由题意，令b n＝，则b n＝＝，则T n＝b1+b2+b3+…+b n＝1+++…+，T n＝++…++，两式相减，可得T n＝1+++…+﹣＝1+（1++…+）﹣＝1+﹣＝3﹣，∴T n＝6﹣．22．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，B1E⊥EC．（1）证明：B1E⊥平面EBC；（2）若点E为棱AA1的中点，AB＝2；（i）求四棱锥E﹣BB1C1C的体积；（ii）求直线EC1与平面BB1C1C所成角的正弦值．解：（1）证明：由长方体的性质可知，BC⊥平面ABB1A1，∵B1E⊂平面ABB1A1，∴BC⊥B1E，∵B1E⊥EC，BC∩EC＝C，BC、EC⊂平面EBC，∴B1E⊥平面EBC．（2）（i）由（1）知，∠BEB1＝90°，由题设可知，Rt△ABE≌Rt△A1B1E，∴∠AEB＝∠A1EB1＝45°，∴AE＝AB＝2，AA1＝2AE＝4，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，∴点E到平面BB1C1C的距离d＝AB＝2，∴四棱锥E﹣BB1C1C的体积V＝•d•＝＝．（ii）取棱BB1的中点F，连接EF、C1F，则EF∥AB，EF＝AB＝2，∵AB⊥平面BB1C1C，∴EF⊥平面BB1C1C，则∠EC1F为直线EC1与平面BB1C1C所成的角．在Rt△FB1C1中，FC1＝＝＝，∴tan∠EC1F＝＝＝，∴sin∠EC1F＝．故直线EC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为．。
2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
2020北京高一数学下学期期末汇编：立体几何(填空题)(教师版)
2020北京高一数学下学期期末汇编：立体几何（填空题）一．填空题（共18小题）1．（2020春•海淀区校级期末）已知a，b是不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a⊥α，a∥β，则α⊥β；②a∥α且α∥β，则a∥β；③若a⊥α，b∥α，则a⊥b．所有正确命题的序号为．2．（2020春•顺义区期末）如图，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线AC与A1B所成的角的大小是；直线A1B和底面ABCD所成的角的大小是．3．（2020春•海淀区校级期末）某正方体的体对角线长为，则这个正方体的表面积为．4．（2020春•朝阳区期末）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）．则该几何体共有个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是cm2．5．（2020春•延庆区期末）如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为2，记四面体ABCD的表面积为F （x），则函数F（x）的定义域为；最大值为．6．（2020春•海淀区校级期末）已知正四棱锥的高为4，侧面积为4，则该棱锥的侧棱长为．7．（2020春•密云区期末）将底面直径为8，高为2的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为．8．（2020春•房山区期末）已知一个长方体的长、宽、高分别为2，2，1，则它的体对角线的长为．9．（2020春•海淀区校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝，AA1＝AB＝AC＝1，CC1的中点为H，点N在棱A1B1上，HN∥平面A1BC，则的值为．10．（2020春•通州区期末）棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是．11．（2020春•丰台区期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，DD1＝1，则异面直线AA1与BC1所成角的大小为．12．（2020春•海淀区校级期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为60，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．13．（2020春•东城区期末）已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个论断：①l∥m，②α∥β，③m⊥α，④l⊥β．以其中的两个论断作为命题的条件，l⊥α作为命题的结论，写出一个真命题：．14．（2020春•延庆区期末）一个圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则圆锥底面半径为．15．（2020春•密云区期末）已知a，b是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：①a⊥b；②a⊥α；③b∥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．16．（2020春•通州区期末）若空间中两直线a与b没有公共点，则a与b的位置关系是．17．（2020春•西城区期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是；球的表面积是．18．（2020春•大兴区期末）三棱锥的三条侧棱两两垂直，长分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为．2020北京高一数学下学期期末汇编：立体几何（填空题）参考答案一．填空题（共18小题）1．【分析】对于①，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于②，a∥β或a⊂β；对于③，由线面垂直的性质得a⊥b．【解答】解：由a，b是不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，知：对于①，若a⊥α，a∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；对于②，若a∥α且α∥β，则a∥β或a⊂β，故②错误；对于③，若a⊥α，b∥α，则由线面垂直的性质得a⊥b，故③正确．故答案为：①③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．2．【分析】连接A1C1，证明四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，得到异面直线AC与A1B所成的角即为∠BA1C1，再说明△BA1C1为等边三角形，可得异面直线AC与A1B所成的角的大小是60°；由正方体的结构特征可得∠A1BA为直线A1B和底面ABCD所成的角，再由等腰直角三角形得答案．【解答】解：如图，连接A1C1，∵AA1∥CC1，AA1＝CC1，∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，∴异面直线AC与A1B所成的角即为∠BA1C1，连接BC1，则△BA1C1为等边三角形，∴异面直线AC与A1B所成的角的大小是60°；∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，∴∠A1BA为直线A1B和底面ABCD所成的角，大小为45°．故答案为：60°；45°．【点评】本题考查异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．3．【分析】设正方体的棱长为a，由体对角线长求出a2，即可求得正方体的表面积．【解答】解：设正方体的棱长为a，由体对角线长为，得3a2＝6，解得a2＝2，所以正方体的表面积为S＝6a2＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了正方体的结构特征与表面积的计算问题，是基础题．4．【分析】由题意知截去的八个四面体，再加上6个正方形，该几何体共有14个面；由此计算该几何体的表面积．【解答】解：由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是S表面积＝8××25×25×sin60°+6×25×25＝（7500+2500）（cm2）．故答案为：14，7500+2500．【点评】本题考查了空间几何体的结构特征与计算问题，是基础题．5．【分析】设AD＝x，其余各棱为2；求出四面体ABCD的表面积F（x），利用三角函数求出F（x）的最大值和它的定义域．【解答】解：如图所示，四面体ABCD中，设AD＝x，其余各棱为2；则△ABC、△BCD是正三角形，所以四面体ABCD的表面积为F（x）＝2S△ABC+2S△ACD＝2××2×2×sin60°+2××2×2×sin∠ACD＝2+4sin∠ACD；当sin∠ACD＝1时，函数F（x）取得最大值为4+2；又x2＝22+22﹣2×2×2×cos∠ACD＝8（1﹣cos∠ACD），其中∠ACD∈（0，π），所以cos∠ACD∈（﹣，1），所以x2∈（0，12），解得x∈（0，2），所以F（x）的定义域为（0，2）．故答案为：（0，2）4+2．【点评】本题考查了空间四面体的表面积计算问题，是基础题．6．【分析】由题意画出图形，设正四棱锥的底面边长为a，由侧面积列式求得a值，进一步求得侧棱长．【解答】解：如图，设正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为a，底面中心为O，取BC的中点M，连接OM，PM，则OM＝，斜高PM＝＝．∴该棱锥的侧面积S＝，解得a2＝4．又OB＝，∴该棱锥的侧棱长为．故答案为：．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查正四棱锥侧面积的求法，是基础题．7．【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h，底面半径为r，用r表示h，从而求出圆柱侧面积的最大值．【解答】解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h，底面半径为r，则＝，解得h＝2﹣r；所以S圆柱侧＝2πrh＝2πr（2﹣r）＝4π（r﹣r2）；当r＝2时，S圆柱侧取得最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了旋转体的侧面积最值问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．8．【分析】一个长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的体对角线的长为．【解答】解：一个长方体的长、宽、高分别为2，2，1，∴它的体对角线的长为：＝3．故答案为：3．【点评】本题考查长方体的体对角线长的求法，考查长方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力、空间思维能力，属于基础题．9．【分析】取A1C1的中点M，A1B1的中点N，连接HM，MN，证明平面MNH∥平面A1BC，得NH∥平面A1BC，由此可得的值．【解答】解：如图，取A1C1的中点M，A1B1的中点N，连接HM，MN，由H，M，N分别为CC1，A1C1，A1B1的中点，得MH∥A1C，MN∥B1C1∥BC．∵A1C⊂平面A1BC，MH⊄平面A1BC，∴MH∥平面A1BC；∵BC⊂平面A1BC，MN⊄平面A1BC，∴MN∥平面A1BC，又MH∩MN＝M，∴平面MNH∥平面A1BC，则NH∥平面A1BC．由N为A1B1的中点，可知的值为．故答案为：．【点评】本题考查直线与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10．【分析】取BC中点E，连结AE、ED，可得∠AED是二面角的平面角，再由余弦定理求解．【解答】解：如图，三棱锥A﹣BCD的棱长都相等，取BC中点E，连结AE、ED，∵三棱锥A﹣BCD各棱长均相等，∴AE⊥BC，ED⊥BC，∴∠AED是二面角A﹣BC﹣D的平面角，设棱长AB＝2，则AE＝ED＝，∴cos∠AED＝．即棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是．故答案为：．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，熟练掌握正四面体的性质、二面角的定义、余弦定理的应用是解答此题的关键，是中档题．11．【分析】由于AA1∥BB1，所以∠B1BC1即为所求，在Rt△B1BC1中，根据三角函数的知识求出tan∠B1BC1即可得解．【解答】解：因为AA1∥BB1，所以∠B1BC1为异面直线AA1与BC1所成角，在Rt△B1BC1中，tan∠B1BC1＝，即∠B1BC1为45°，所以异面直线AA1与BC1所成角的大小为45°．故答案为：45°．【点评】本题考查异面直线夹角的求法，采用平移的思想，将异面直线平移至一个平面内便于找出其平面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．12．【分析】设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，由题意可得abc＝60，再由棱锥体积公式求得三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，由题意可得，abc＝60，∵E为CC1的中点，∴．故答案为：5．【点评】本题考查棱柱与棱锥体积的求法，是基础的计算题．13．【分析】若l∥m，m⊥α，则l⊥α，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论．【解答】解：l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，可得若l∥m，m⊥α，则l⊥α，理由：在α内取两条相交直线a，b，由m⊥α可得m⊥a．m⊥b，又l∥m，可得l⊥a．l⊥b，而a，b为α内的两条相交直线，可得l⊥α．【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．14．【分析】根据直角三角形的性质即可计算底面半径．【解答】解：设圆锥顶点为S，底面圆心为O，A为底面圆周上一点，则SO⊥OA，由题意可知：SA＝10，∠OSA＝30°，∴圆锥的底面半径为OA＝10sin30°＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，属于基础题．15．【分析】②③⇒①，可由线面平行的性质定理和线面垂直的性质，可得证明．【解答】解：若a⊥α，b∥α，则a⊥b．理由：过b画一个平面β，使得β∩α＝c，∵b∥α，b⊂β，β∩α＝c，∴b∥c，又a⊥α，c⊂α，可得a⊥c，又b∥c，可得a⊥b．故答案为：若a⊥α，b∥α，则a⊥b．【点评】本题考查空间线线和线面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于基础题．16．【分析】可考虑无公共点的两直线a，b是否在同一个平面内，可得a，b的位置关系．【解答】解：空间中两直线a与b没有公共点，若a，b在同一个平面内，则a，b为平行直线；若a，b不同在任何一个平面内，则a，b为异面直线．故答案为：平行或异面．【点评】本题考查空间两直线的位置关系，考查分类讨论思想，属于基础题．17．【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r，则：（2r）2＝22+22+22＝12，解得r＝，故球的直径为2．球的表面积为S＝．故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：正方体和外接球的关系的应用，球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18．【分析】由已知画出图形，再由等体积法求三棱锥的体积．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，不妨设PA＝1，PB＝2，PC＝3．则，由PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，得PC⊥平面PAB．∴V P﹣ABC＝V C﹣PAB＝．故答案为：1．【点评】本题考查棱锥体积的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是基础题．。
2019-2020学年云南省云天化中学高中联盟学校高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年云南省云天化中学高中联盟学校高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|y＝ln（x+1）}，B＝{x|x2﹣4≤0}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|x≥2}2．已知直线l过圆x2+y2﹣2x＝0的圆心，且与直线2x﹣y﹣1＝0平行，则l的方程是（）A．2x+y﹣2＝0B．2x﹣y+2＝0C．2x﹣y﹣3＝0D．2x﹣y﹣2＝0 3．已知＝（4，2），＝（3，9），则在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin A﹣a cos B＝2b﹣c，则A＝（）A．B．C．D．5．函数y＝sin2ωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则ω的一个可能取值是（）A．2B．C．D．6．等差数列{a n}中，a3+a9＝12，则数列{a n}前11项和S11＝（）A．12B．60C．66D．727．已知a＝（）2，b＝2，c＝log2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a8．已知圆x2+y2﹣2x+2y+a＝0截直线x+y﹣2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣8B．﹣6C．﹣5D．﹣49．已知△ABC中，AB＝AC＝3，且||＝||，点D，E是BC边的两个三等分点，则＝（）A．3B．4C．5D．610．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）＝，cos（﹣）＝，则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣11．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50B．0C．2D．5012．直线ax+by+c＝0与圆O：x2+y2＝4相交于M，N两点，若c2＝a2+b2，P为圆O上任意一点，则的取值范围为（）A．[﹣2，6]B．[﹣2，4]C．[1，4]D．[﹣1，4]二、填空题（共4小题.）13．设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为．14．等比数列{a n}的各项均为正数，且a2a4＝，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5＝．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝2，则a+3c的最小值为．16．已知﹣，sin x+cos x＝，则2sin x cos x﹣cos2x的值为．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．圆C：x2+y2﹣2x﹣11＝0内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．（Ⅰ）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长；（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；18．已知函数f（x）＝，数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝f（）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝a，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）若c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为S且满足，．（1）求角B的大小；（2）当a+c＝9时，求a，c的值．20．已知数列{a n}满足：a1＝1，且﹣1，a n，a n+1成等差数列；（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n+n+1}的前n项和S n．21．已知向量＝（m，cos2x），＝（sin2x，n），设函数f（x）＝•，且y＝f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y＝f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调增区间．22．已知圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（Ⅱ）设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为＝，求此时直线l的方程．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|y＝ln（x+1）}，B＝{x|x2﹣4≤0}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|x≥2}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤2}．故选：B．2．已知直线l过圆x2+y2﹣2x＝0的圆心，且与直线2x﹣y﹣1＝0平行，则l的方程是（）A．2x+y﹣2＝0B．2x﹣y+2＝0C．2x﹣y﹣3＝0D．2x﹣y﹣2＝0【分析】由圆的方程可得圆心坐标，再由两直线平行则斜率相等求得直线l的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案．解：圆x2+y2﹣2x＝0的圆心为（1，0），由题意可知，所求直线l的斜率为2，则直线l的方程为y﹣0＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0．故选：D．3．已知＝（4，2），＝（3，9），则在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】由题意可求＝（1，﹣7），可求在方向上的投影为，代入数据即可计算得解．解：∵＝（4，2），＝（3，9），∴＝（1，﹣7），∴在方向上的投影为＝＝＝﹣．故选：A．4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin A﹣a cos B＝2b﹣c，则A＝（）A．B．C．D．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin B≠0，可得2sin （A+）＝2，根据题意可求范围A∈（0，π），根据正弦函数的图象和性质即可求解A的值．解：∵b sin A﹣a cos B＝2b﹣c，∴由正弦定理可得：sin B sin A﹣sin A cos B＝2sin B﹣sin C，∴sin B sin A﹣sin A cos B＝2sin B﹣sin C＝2sin B﹣（sin A cos B+cos A sin B），∴sin B sin A＝2sin B﹣cos A sin B，又∵sin B≠0，∴sin A+cos A＝2，∴2sin（A+）＝2，可得A+＝+2kπ，k∈Z，又A∈（0，π），∴A＝．故选：C．5．函数y＝sin2ωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则ω的一个可能取值是（）A．2B．C．D．【分析】由题意根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论．解：把函数y＝sin2ωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin（2ωx+）的图象，根据所得图象关于y轴对称，可得＝kπ+，k∈Z，则ω的一个可能取值为，6．等差数列{a n}中，a3+a9＝12，则数列{a n}前11项和S11＝（）A．12B．60C．66D．72【分析】由等差数列的求和公式和性质可得S11＝＝，代入已知条件化简即可．解：由等差数列的求和公式可得S11＝＝＝＝66故选：C．7．已知a＝（）2，b＝2，c＝log2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．解：∵0＜a＝（）2＜（）0＝1，b＝2＞20＝1，c＝log2＜log1＝0，∴a，b，c的大小关系为c＜a＜b．故选：B．8．已知圆x2+y2﹣2x+2y+a＝0截直线x+y﹣2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣8B．﹣6C．﹣5D．﹣4【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析其圆心与半径，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可得r2＝d2+（）2，计算可得答案．解：根据题意，圆x2+y2﹣2x+2y+a＝0，即（x﹣1）2+（y+1）2＝2﹣a，其圆心为（1，﹣1），半径r＝，圆心到直线x+y﹣2＝0的距离d＝＝，又由圆截直线x+y﹣2＝0所得弦的长度为4，则有r2＝d2+（）2＝2+2＝2﹣a，解可得a＝﹣4；9．已知△ABC中，AB＝AC＝3，且||＝||，点D，E是BC边的两个三等分点，则＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】由||＝||知，•＝0；根据平面向量的线性运算可推出＝+，＝+；故＝（+）•（+），展开后代入数据进行运算即可．解：∵||＝||，∴•＝0，∵点D是BC边的三等分点，∴＝+＝+＝+＝+，同理可得，＝+，∴＝（+）•（+）＝（）＝＝4．故选：B．10．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）＝，cos（﹣）＝，则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+）＝cos[（+α）﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案．解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）＝＝，sin（﹣）＝＝∴cos（α+）＝cos[（+α）﹣（﹣）]＝cos（+α）cos（﹣）+sin （+α）sin（﹣）＝故选：C．11．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50B．0C．2D．50【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．12．直线ax+by+c＝0与圆O：x2+y2＝4相交于M，N两点，若c2＝a2+b2，P为圆O上任意一点，则的取值范围为（）A．[﹣2，6]B．[﹣2，4]C．[1，4]D．[﹣1，4]【分析】取MN的中点A，连接OA、OP，由点到直线的距离公式可得OA＝1，于是推出cos∠AON＝，cos∠MON＝，而＝cos∠MON＝﹣2，故＝（）•（）＝+﹣＝2﹣4cos∠AOP，其中cos∠AOP∈[﹣1，1]，从而得解．解：取MN的中点A，连接OA、OP，则OA⊥MN，∵c2＝a2+b2，∴点O到直线MN的距离OA＝＝1，在Rt△AON中，cos∠AON＝，∴cos∠MON＝2cos2∠AON﹣1＝＝，∴＝cos∠MON＝2×2×（）＝﹣2，∴＝（）•（）＝+﹣＝﹣2+4﹣2＝2﹣2cos∠AOP＝2﹣4cos∠AOP，当，同向时，取得最小值，为2﹣4＝﹣2；当，反向时，取得最大值，为2+4＝6．∴的取值范围为[﹣2，6]．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为﹣5．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5．故答案为：﹣5．14．等比数列{a n}的各项均为正数，且a2a4＝，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5＝﹣5．【分析】由题意利用等比数列的性质求得a3的值，再利用对数的运算性质，求得结果．解：等比数列{a n}的各项均为正数，且a2a4＝＝，∴a3＝则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5＝＝5log2a3＝5•（﹣1）＝﹣5，故答案为：﹣5．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝2，则a+3c的最小值为8+4．【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．解：如图所示，则△ABC的面积为ac sin120°＝a•2sin60°+c•2sin60°，即ac＝2a+2c，∴．∴a+3c＝（a+3c）（）×2＝2×＝8+4．当且仅当时取等号．所以，a+3c的最小值为8+4．答案为：8+4．16．已知﹣，sin x+cos x＝，则2sin x cos x﹣cos2x的值为﹣．【分析】由已知可得|cos x|＞|sin x|，可求范围﹣＜2x＜0，将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求sin2x，cos2x的值，根据二倍角公式化简所求即可计算求解．解：∵﹣，sin x+cos x＝，∴|cos x|＞|sin x|，∴﹣＜x＜0，﹣＜2x＜0，∵sin x+cos x＝，两边平方，可得sin2x＝﹣，cos2x＝，∴2sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣＝﹣．故答案为：﹣．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．圆C：x2+y2﹣2x﹣11＝0内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．（Ⅰ）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长；（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；【分析】（Ⅰ）化圆C的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出直线l的方程，由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长；（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，求出PC所在直线当斜率，可得直线l的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．解：（Ⅰ）化圆C：x2+y2﹣2x﹣11＝0为（x﹣1）2+y2＝12，圆心坐标为C（1，0），半径R＝．直线l的倾斜角为45°，则斜率为1，又直线l过点P（2，2），则直线方程为y﹣2＝x﹣2，即x﹣y＝0．圆心C到直线l的距离d＝，圆的半径为，则弦AB的长为；（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，l⊥PC．又，∴直线l的斜率为，则直线l的方程为y﹣2＝（x﹣2），即x+2y﹣6＝0．18．已知函数f（x）＝，数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝f（）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝a，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）若c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）直接利用函数的关系式和数列的递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．（Ⅲ）利用裂项相消法求出数列的和．解：（Ⅰ）函数，由于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝f（）．所以a n+1﹣a n＝1（常数），所以数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n＝1+n﹣1＝n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n＝a＝n•2n，所以①，②，①﹣②得整理得．（Ⅲ）c n＝＝所以＝．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为S且满足，．（1）求角B的大小；（2）当a+c＝9时，求a，c的值．【分析】（1）利用已知条件，结合三角形的面积，通过余弦定理，转化求解B的大小即可．（2）利用余弦定理结合a+c＝9，求解即可．解：（1）由，得：，化简得，∴，又0＜B＜π，∴B＝60°．（2）由（1）及余弦定理得：21＝a2+c2﹣2ac cos60°，∴a2+c2﹣ac＝21，与a+c＝9联立：，解之得：．20．已知数列{a n}满足：a1＝1，且﹣1，a n，a n+1成等差数列；（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n+n+1}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用等比数列的定义和构造新数列法求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．解：（1）数列{a n}满足：a1＝1，且﹣1，a n，a n+1成等差数列；所以2a n＝﹣1+a n+1，整理得a n+1＝2a n+1，故a n+1+1＝2（a n+1），所以（常数），所以数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，整理得．（2）由（1）得：，所以＝．21．已知向量＝（m，cos2x），＝（sin2x，n），设函数f（x）＝•，且y＝f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y＝f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调增区间．【分析】（Ⅰ）首先根据向量的数量积的坐标运算求得f（x）＝m sin2x+n cos2x，进一步根据图象经过的点求得：m和n的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：＝，f（x）向左平移φ个单位得到g（x）＝2sin（2x+2Φ+）设g（x）的对称轴x＝x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：g（x）＝2sin（2x+）＝2cos2x，进一步求得单调区间．解：（Ⅰ）已知：，，则：＝m sin2x+n cos2x，y＝f（x）的图象过点y＝f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．则：解得：，即：m＝，n＝1（Ⅱ）由（Ⅰ）得：＝，f（x）向左平移φ个单位得到：g（x）＝2sin（2x+2Φ+），设g（x）的对称轴x＝x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，则：g（0）＝2，解得：Φ＝，所以：g（x）＝2sin（2x+）＝2cos2x．令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ（k∈Z）则：单调递增区间为：[]（k∈Z）故答案为：（Ⅰ）m＝，n＝1（Ⅱ）单调递增区间为：[]（k∈Z）22．已知圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（Ⅱ）设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为＝，求此时直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由直线系方程说明直线l过定点P（1，1），再由P在圆C内，说明直线l与圆C总有两个不同的交点；（Ⅱ）当M与P不重合时，连接CM，CP，则CM⊥MP，可得|CM|2+|MP|2＝|CP|2，设M（x，y）（x≠1），代入整理可得M的轨迹方程；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由＝，得，可得x2＝3﹣2x1，联立直线方程与圆的方程，得到，解得，代入关于x的方程求得m值，则直线方程可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵直线l：mx﹣y+1﹣m＝0过定点P（1，1），而P（1，1）在圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0内，∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（Ⅱ）解：如图，当M与P不重合时，连接CM，CP，则CM⊥MP，∴|CM|2+|MP|2＝|CP|2．设M（x，y）（x≠1），则x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，化简得：x2+y2﹣x﹣2y+1＝0（x≠1）；当M与P重合时，x＝1，y＝1也满足上式，故弦AB的中点的轨迹为x2+y2﹣x﹣2y+1＝0；（Ⅲ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由＝，得，∴，化简得x2＝3﹣2x1，①又由，消去y得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5＝0（*）．∴，②由①②解得，代入（*）解得m＝±1．∴直线l的方程为x﹣y＝0或x+y﹣2＝0．。
2019-2020学年荆州市高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年荆州市高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|−2≤x <5}，B ={x|2<x ≤7}，则A ∩B =( )A. {x|−2<x <5}B. {x|2<x <5}C. {x|2≤x ≤7}D. {x|−2≤x ≤7}2.已知a =0.20.5，b =ln0.2，c =lg11，则( )A. a >b >cB. c >a >bC. a >c >bD. c >b >a3.从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是( )A. 34B. 23C. 12D. 144.函数y =e x (x 2+2x +1)的图象可能是( )A.B.C.D.5. 某校高中三个年级，其中高三有学生1000人，现用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一抽取了75人，高二抽取了60人，则高中部共有学生( )人．A. 3700B. 2700C. 1500D. 12006.设p ：√2x −1≤1，q ：(x −a)[x −(a −1)]≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A. [1,32]B. (1,32)C. (−∞,1)∪[32，+∞)D. (−∞,1)∪(32,+∞)7.下列说法正确的是( )A. “f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件B. 若p ：∃x 0∈R ，x 02−x 0−1>0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2−x −1<0C. 若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D. “若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”8.在锐角中，三个内角满足：，则角与角的大小关系是A.B.C.D.9.已知平面向量a =(1,−2)，b =(2,1)，c =(−4,−2)，则下列说法中错误的是A. c//bB. a ⊥bC. 对同一平面内的任意向量d ，都存在一对实数k 1,k 2，使得d =k 1b +k 2cD. 向量c 与向量a −b 的夹角为45∘10. 已知变量x ，y 之间的一组数据如表：x 1 2 3 4 5 y3.47.59.113.8m若y 关于x 的线性回归方程为 y⏜=3x +1，则m 的值为( ) A. 16 B. 16.2 C. 16.4 D. 16.611. 设实数x ，y 满足约束条件{4x −y −10≤0x +3≥3y x ≥0,y ≥0，若目标函数Z =ax +by ，(其中a >0，b >0)的最大值为3，则2a +3b 的最小值为( )A. 24B. 83C. 8D. 5312. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1)=0，且对任意的正数a 、b(a ≠b)，有f(a)−f(b)a−b<0，则不等式f(x−2)x−2<0的解集是( )A. (−1,1)∪(2,+∞)B. (−∞,−1)∪(3,+∞)C. (−∞,1)∪(3,+∞)D. (−∞,−1)∪(2,+∞)二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 从原点O 向圆x 2+y 2−4y +3=0作两条切线，切点为A ，B ，则OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______． 14. 函数y =b +asinx(a <0)的最大值为−1，最小值为−5，则y =tan(3a +b)x 的最小正周期为15. 侧棱长为1，底面边长为√2的正三棱锥的外接球的体积为______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 设函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax+b，且f(x)为奇函数，则a+b=(1)，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为(2)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知，(1)求的定义域；(2)证明为奇函数；(3)求使>0成立的x的取值范围。
期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。
高中数学必修二 北京市丰台区 — 学年度 高一下学期期末练习数学试题(含答案)
【答案】
【解析】
【分析】
先求解出分层抽样的抽样比，然后根据每一层入样的个体数等于该层个体数乘以抽样比，由此可计算出结果 .
【详解】因为分层抽样的抽样比为 ，
9.如图所示，在复平面内，复数 ， 所对应的点分别为A，B，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 并结合复数的几何意义得到 的表示.
【详解】因为 ， 与 对应， 与 对应，
所以 ，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的几何意义的简单运用，难度较易.复数 和复平面内的点 一一对应，同时复数 和平面向量 也一一对应.
丰台区2019~2020学年度第二学期期末练习
高一数学
注意事项：
1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据球与正方体位置关系，分析出球 半径，由此球的体积可求.
【详解】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的 ，
所以球的半径为 ，所以球的体积为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查根据正方体与球的相切关系求球的体积，难度较易.当球内切于正方体时，球的半径为正方体棱长的 ；当球外接于正方体时，球的半径为正方体棱长的 .
2019—2020 学年度第二学期期末练习高一数学学科-试卷
2019—2020 学年度第二学期期末练习
高一数学
出题人：侯华芬 朱筱琨 敬蕊萌 审核人：侯华芬 朱筱琨 敬蕊萌
1．本卷共 3 页，包括四个大题，20 小题，满分为 100 分。练习时间 90 分钟。 2．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。 3．考试结束后，将答题纸拍照上传。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
．
AB
E
F
D A
C M B
E
F
G
【附加题】(本小题 5 分)
D A
C M B
对于函数 f (x) 和实数 M ，若存在 m, n N+ ，使 f (m) + f (m +1) + f (m + 2) + + f (m + n) = M 成立，则称
(m, n) 为函数 f (x) 关于 M 的一个“生长点”.若 (1, 2) 为函数 f (x) = cos( x + ) 关于 M 的一个“生长点”，则 26
5.已知 m 是函数 f (x) = cos x 图象一个对称中心的横坐标，则 f (m) = （ ）
（A） −1
（B） 0
（C） 2
（D）1
6.已知 m, n 为两条不同的直线， , 为两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）
（A） m ⊥ , m ⊥ //
（B） // , m ⊥ , n ⊥ m // n
1.已知 sin 0 ，且 tan 0 ，则 的终边所在的象限是（ ）
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷(含答案)
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
期末考试综合检测试卷-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题(人教A版2019必修第二册)
高中数学必修二期末考试综合检测试卷第二学期高一期末测试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )A.-2B.-1C.0D.12.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )A.7B.7.5C.8D.93.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果=a,=b,那么=( )A.a-bB.-a+bC.a+bD.-a-b5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )A.πB.πC.πD.2π6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A. B. C. D.7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h 的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )A.120 kmB.60 kmC.60 kmD.60 km8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2++=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )A.2B.4C.6D.8二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )A.|z|=B.复数z的共轭复数=-1-iC.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层次人数最多C.样本中E层次的男生人数为6D.样本中D层次的男生人数多于女生人数11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0D.如果A与B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.412.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'B.点C到平面ABC'D'的距离为C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcos C+ccos B=asin A,则A= .14.已知数据x1,x2,x3,…,x m的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x m-1的平均数为,方差为.15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为.16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=2,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).(1)若向量c∥a,且|c|=2,求c的坐标;(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=,c=1,A=.(1)求b及△ABC的面积S;(2)若D为BC边上一点,且,求∠ADB的正弦值.从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.(1)求证:EF∥平面ACD;(2)求异面直线AC与BD所成的角.20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E 为线段PC上一点.(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.答案全解全析1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,因为z是纯虚数,所以解得m=-1.2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.4.B =-=+-(+)=+--=-+=-a+b.5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h==,于是体积V=πr2h=π×12×=π.6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵, 则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D ,E),共15个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为=.故选C.7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.因为E为AB的中点,且AB=120 km,所以AE=EB=60 km,又∠DAE=60°,AD=60 km,所以三角形DAE为等边三角形,所以DE=60 km,∠ADE=60°,在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,所以∠EDB=∠EBD=30°,所以∠ADB=90°,所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,所以BD=60 km,因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,所以CD===240 km,所以cos∠BDC===,因为DF=360×=90 km,所以在三角形BDF中,BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cos∠BDF=(60)2+902-2×60×90×=10 800,所以BF=60 km,即此时飞机距离城市B的距离为60 km.8.D 取线段P i P j的中点Q k,因为2++=0,所以+=-2,即2=-2,所以=-,于是Q k,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Q k也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.9.ABCD 由(1-i)z=2i得z==-1+i,于是|z|=,其共轭复数=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B 选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A 选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为B'C=,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=,因此其表面积为4π×=3π,故D选项正确.13.答案90°解析由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.14.答案19;8解析依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2x m-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.15.答案解析设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cos θ-6×22=-18,解得cos θ=,由于θ∈[0,π],故θ=.16.答案解析取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=2,所以VD=,DC=,又VC=1,所以cos∠VDC==.17.解析(1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)则c2=(λa)2,即(2)2=λ2a2,(2分)所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)解法二:设向量c=(x,y).(1分)因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)因为|c|=2,所以=2,(3分)由解得或(4分)所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)即b2-k2a2=0.(7分)因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)所以25-5k2=0,解得k=±.(10分)18.解析(1)由余弦定理得,()2=b2+12-2bcos ,(2分)整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×1×=.(6分)(2)选择条件①.在△ABC中,由正弦定理=,得=,(8分)所以sin B=.(9分)因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=.(12分)选择条件②.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos B==.(8分)因为A=,所以∠BAD=-=,(9分)所以sin∠ADB=cos B,即sin∠ADB=.(12分)19.解析(1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)20.解析(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=××=.(2分)甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,其概率P(B)=××+××+××=.(5分)所以甲队总得分为3分的概率为,甲队总得分为1分的概率为.(6分)(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,则P(C)=××+××+××=.(8分)乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,则P(D)=××+××+××=.(11分)由题意得,事件C与事件D相互独立.所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=×=.(12分)21.解析(1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,所以PA⊥BD.(1分)因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE=V E-ABD=V E-ABC=V P-ABC=×××2×2×2=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE.(8分)由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(9分)由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)所以V A-BDE=AD·S△BDE=×××1×=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法三:由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(8分)由(1)知,BD⊥平面PDE,且S△PDE=DE·AD=×1×=.(10分)所以V P-BDE=V B-PDE=BD·S△PDE=××=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)22.解析(1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为=.(8分)所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×=5,10×=2.(9分)记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4) ,(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分) 其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)所以P(A)=,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为.(12分)。
2019-2020学年山东省菏泽市高一下学期期末数学试卷(A卷) (解析版)
2019-2020学年山东省菏泽市高一第二学期期末数学试卷（A卷）一、选择题（共8小题）.1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.45 0.45B．0.5 0.5C．0.5 0.45D．0.45 0.52．复数z＝的虚部为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．﹣3i3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数4．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者B．事C．竟D．成5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，≈1.732）A．63B．69C．75D．816．已知向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2共线，则m的值为（）A．﹣2B．2C．D．7．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10），[10，15），[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（）A．14B．15C．16D．178．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α，满足CP⊥平面α，则平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为（）A．4B．12C．8D．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（）A．从折线图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约15亿C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（）A．若b2+c2﹣a2＞0，则△ABC为锐角三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若b＝3，A＝60°，三角形面积S＝3，则a＝D．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形11．在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．B．C．若点P是线段AD上的动点，且满足＝+，则λ+2μ＝1D．若△ABC所在平面内一点P满足＝λ（）（λ≥0），则点P的轨迹一定通过△ABC的内心12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1B．BM⊥平面CC1FC．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．三棱锥B﹣CEF的体积为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年河南省洛阳市高一下学期期末(理科)数学试卷 (解析版)
2019-2020学年河南省洛阳市高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．直线3x﹣y+1＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．135°2．某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为（）A．B．C．D．3．已知函数f（x）＝lnx+，则f（x）的定义域为（）A．（0，1）B．（1，2]C．（0，4]D．（0，2]4．已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．a⊥α且a⊥βB．α⊥γ且β⊥γC．a⊂α，b⊂β，a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β5．在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．6．某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加，成绩统计如图，根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小（）A．甲＜乙，S甲2＞S乙2B．甲＞乙，S甲2＜S乙2C．甲＜乙，S甲2＜S乙2D．甲＞乙，S甲2＞S乙27．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12B．24C．36D．489．已知的△OMN三个顶点为O（0，0），M（6，0），N（8，4），过点（3，5）作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC，BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．4010．已知体积为4的三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，AC＝4，则球O的表面积是（）A．16πB．32πC．64πD．72π11．若向量的模均为1，且＝0，则|3|的最大值为（）A．5+2B．3C．5D．712．已知函数，当时，时，则ω的值最多有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，且，则tanα＝．14．若直线x﹣3y+9＝0被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝r2截得的弦长为r，则r＝．15．已知||＝1，||＝，＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m+n（m、n∈R），则等于．16．已知f（x）＝e x﹣1﹣e1﹣x+x，则不等式f（x）+f（6﹣3x）≤2的解集是．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（1）已知2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，求的值．（2）设x1满足2x+lnx＝3，x2满足ln（1﹣x）﹣2x＝1，求x1+x2的值．18．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；（2）用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在[105，115）中的概率．19．已知△P1P2P3三个顶点的坐标分别为P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cosγ，sinγ），且++＝（O为坐标原点）．（1）求∠P1OP2的大小；（2）试判断△P1P2P3的形状．20．已知矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E，F分別为AD，BC的中点，现将矩形ABCD 沿EF折起，使二面角D'﹣EF﹣B为60°．（1）求证：EF⊥AD'；（2）求AC'与平面EFC'D'所成角的正弦值．21．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度．得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣，]时，求函数的值域．22．已知动点M到两定点A（1，1），B（2，2）的距离之比为．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过曲线C上任意一点P作与直线l：2x+y﹣6＝0夹角为30°的直线，交l于点Q，求|PQ|的最大值和最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．直线3x﹣y+1＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．135°解：直线3x﹣y+1＝0的斜率为k＝＝，∴tanα＝，∴倾斜角是60°．故选：B．2．某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为（）A．B．C．D．解：某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，甲同学先抽，基本事件总数n＝10，他抽到的出场序号小于4包含的基本事件个数m＝3，则他抽到的出场序号小于4的概率为p＝．故选：D．3．已知函数f（x）＝lnx+，则f（x）的定义域为（）A．（0，1）B．（1，2]C．（0，4]D．（0，2]解：由，得0＜x≤4．∴函数f（x）的定义域为（0，4]．故选：C．4．已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．a⊥α且a⊥βB．α⊥γ且β⊥γC．a⊂α，b⊂β，a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β解：选项A，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确；选项B，α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β相交，所以B不正确；选项C，a⊂α，b⊂β，a∥b，α与β可能相交，故不正确；选项D，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，如果a∥b推出α、β相交，所以D不正确；故选：A．5．在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．解：在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，即x∈[﹣1，1]时，要使的值介于0到之间，需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为．故选：A．6．某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加，成绩统计如图，根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小（）A．甲＜乙，S甲2＞S乙2B．甲＞乙，S甲2＜S乙2C．甲＜乙，S甲2＜S乙2D．甲＞乙，S甲2＞S乙2解：由茎叶图可得甲小组中的20个数据分别为：45，49，51，58，61，63，71，73，76，76，77，77，77，80，82，83，86，86，90，93．＝（45+49+51+58+61+63+71+73+76+76+77+77+77+80+82+83+86+86+90+93）＝72.7．由茎叶图可得乙小组中的20个数据分别为：53，63，66，71，72，74，75，75，75，77，78，78，78，79，81，84，85，86，93，94．（53+63+66+71+72+74+75+75+75+77+78+78+78+79+81+84+85+86+93+94）＝76.85．则甲＜乙，再由茎叶图可知，甲小组的数据比较分散，乙小组的数据集中在茎7上，相对集中，故＞．故选：A．7．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c解：因为正弦在（0°，90°）上单调递增；且sinα＜tanα；又a＝sin33°，b＝cos55°＝sin（90°﹣35°）＝sin35°，c＝tan35°，∴sin33°＜sin35°＜tan35°；即a＜b＜c；故选：A．8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12B．24C．36D．48解：模拟执行程序，可得：n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．9．已知的△OMN三个顶点为O（0，0），M（6，0），N（8，4），过点（3，5）作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC，BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．40解：设△OMN的外接圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由O（0，0），M（6，0），N（8，4），得，解得．∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝52，点（3，5）在圆内部，由题意得最长的弦|AC|＝2×5＝10，点（3，5）到圆心（3，4）的距离为1．根据勾股定理得最短的弦|BD|＝2＝4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S＝|AC|•|BD|＝×10×4＝20．故选：B．10．已知体积为4的三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，AC＝4，则球O的表面积是（）A．16πB．32πC．64πD．72π解：∵AB＝6，BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝AC2，∴AB⊥BC．过O作OD⊥平面ABC，则D为AC的中点．∴V O﹣ABC＝S△ABC•OD＝××6×2×OD＝4．∴OD＝2，∵OD＝＝＝2，解得OA＝4，即球O的半径为4，∴O的表面积是4π×42＝64π．故选：C．11．若向量的模均为1，且＝0，则|3|的最大值为（）A．5+2B．3C．5D．7解：∵，∴，且的模均为1，∴设，∴，∴＝＝，其中，∴sin（θ+φ）＝﹣1时，取得最大值7．故选：D．12．已知函数，当时，时，则ω的值最多有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：因为x∈[0，]，f（x）＝sin（ωx﹣）最大值为，又因为f（x）＝sin（ωx﹣）的最大值小于等于1，所以≤1，即0＜ω≤3，题中已知ω＞0且为正实数，所以ω的可能值为1，2，3，当x∈[0，]时，ωx﹣∈[﹣，﹣]，若﹣≥，即ω≥时，函数f（x）＝sin（ωx﹣）最大值为1，则＝1，即ω＝3，满足题意，若﹣＜，即0＜ω＜时，函数f（x）＝sin（ωx﹣）在[0，]上单调递增，当x＝时，函数f（x）有最大值，此时有＝sin（﹣），满足此方程的正实数ω最多有一个．故ω的值有两个．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，且，则tanα＝﹣．解：∵，∴sinα＝﹣，∵，∴cosα＝＝，∴tanα＝＝﹣．故答案为：﹣．14．若直线x﹣3y+9＝0被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝r2截得的弦长为r，则r＝2．解：因为直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝r2截得的弦长为，因为圆心（2，3）到直线的距离d＝＝1，所以r2＝（）2+1，所以r＝2．故答案为：2．15．已知||＝1，||＝，＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m+n（m、n∈R），则等于3．解：∵||＝1，||＝，＝0，⊥＝＝＝|OC|×1×cos30°＝＝1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵＝m+n＝n+m∴，两式相比可得：＝3．故答案为：316．已知f（x）＝e x﹣1﹣e1﹣x+x，则不等式f（x）+f（6﹣3x）≤2的解集是[2，+∞）．解：构造函数，那么g（x）是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，h（x）的定义域为R，且，所以h（x）为奇函数，图象关于原点对称，所以g（x）图象关于（1，0）对称．不等式f（x）+f（6﹣3x）≤2 等价于f（x）﹣1+f（6﹣3x）﹣1≤0，等价于g（x）+g（6﹣3x）≤0⇒g（x）≤g[2﹣（6﹣3x）]＝g（3x﹣4）结合g（x）单调递增可知，x≤3x﹣4⇒x≥2，所以不等式f（x）+f（6﹣3x）≤2 的解集是[2，+∞）．故答案为[2，+∞）．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（1）已知2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，求的值．（2）设x1满足2x+lnx＝3，x2满足ln（1﹣x）﹣2x＝1，求x1+x2的值．解：（1）由2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy得，lg（x﹣2y）2＝lg（xy），∴（x﹣2y）2＝xy，∴x2﹣5xy+4y2＝0，∴（x﹣y）（x﹣4y）＝0，∴或4；（2）根据题意，2x1+lnx1＝3，ln（1﹣x2）﹣2x2＝1，令1﹣x2＝t，则2t+lnt＝3，∵f（x）＝2x+lnx在（0，+∞）上单调递增，∴t＝x1，∴x1+x2＝1．18．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；（2）用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在[105，115）中的概率．【解答】（本大题12分）解：（1）由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：＝123.6……………………………………………………………………（2）由频率分布直方图得分数低于115分的同学有（10×0.004+10×0.02）×50＝12人，则用分层抽样抽取6人中，分数在[95，105）有1人，用a表示，分数在[105，115）中的有5人，用b1，b2，b3，b4，b5表示，则基本事件有（a，b1），（a，b2），（a，b3），（a，b4），（a，b5），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b1，b5），（b2，b3），（b2，b4），（b2，b5），（b3，b4），（b3，b5），（b4，b5），共15个，满足条件的基本事件为（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b1，b5），（b2，b3），（b2，b4），（b2，b5），（b3，b4），（b3，b5），（b4，b5），共10个，所以这两名同学分数均在[105，115）中的概率为：．………………………………………………………………19．已知△P1P2P3三个顶点的坐标分别为P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cosγ，sinγ），且++＝（O为坐标原点）．（1）求∠P1OP2的大小；（2）试判断△P1P2P3的形状．解：（1）由题意可得||＝||＝||＝1，∵+＝﹣，∴（+）2＝2，∴2+2•+2＝2，∴2•＝﹣1，即•＝﹣，∴cos∠P1OP2＝＝﹣，∵∠P1OP2∈（0，π），∴∠P1OP2＝．（2）∵＝﹣，∴||＝＝＝，同理可得，||＝||＝，∴△P1P2P3的形状为等边三角形．20．已知矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E，F分別为AD，BC的中点，现将矩形ABCD 沿EF折起，使二面角D'﹣EF﹣B为60°．（1）求证：EF⊥AD'；（2）求AC'与平面EFC'D'所成角的正弦值．解：（1）证明：∵ABCD是矩形，且E，F分别是AD，BC的中点，∴EF⊥AE，EF⊥D′E，又∵AE∩D′E＝E，∴EF⊥平面AD′E，∵AD′⊂平面AD′E，∴EF⊥AD'．（2）解：取D′E的中点H，连结AH，HC′，由EF⊥平面AD′E可知：AE⊥EF，D′E⊥EF，∴∠D′EA是二面角D′﹣EF﹣B的平面角，∴∠D′EA＝60°，∵AE＝D′E＝1，∴△AD′E是等边三角形，∴AH⊥D’E，由（1）知平面EFC′D⊥平面AD′E，且平面EFC′D′∩平面AD′E＝ED′，∴AH⊥平面EFC′D′，∴∠AC′H为AC′与平面EFC′D′所成角，在Rt△AC′H中，AH＝，AC′＝，∴sin∠AC′H＝＝＝，∴AC'与平面EFC'D'所成角的正弦值为．21．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度．得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣，]时，求函数的值域．解：（1）由图象知T＝﹣＝，得周期T＝2π，即＝2π，得ω＝1，∵0＜φ＜，∴由五点对应法得×1+φ＝，得φ＝，即f（x）＝A sin（x+），∵f（0）＝A sin＝A＝2，得A＝4，则f（x）＝4sin（x+），将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝4sin （2x+），再将所得函数图象向左平移个单位长度．得到函数y＝g（x）的图象，即g（x）＝4sin[2（x+）+]＝4sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，即g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z．（2）＝4sin（2x+）﹣4sin（2x+）＝4（sin2x cos+cos2x sin）﹣4cos2x＝2sin2x﹣2cos2x＝4sin（2x﹣），∵x∈[﹣，]时，∴2x﹣∈[﹣，﹣]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，4sin（2x﹣）∈[﹣4，2]，∴y∈[﹣4，2]，即函数的值域为[﹣4，2]．22．已知动点M到两定点A（1，1），B（2，2）的距离之比为．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过曲线C上任意一点P作与直线l：2x+y﹣6＝0夹角为30°的直线，交l于点Q，求|PQ|的最大值和最小值．解：（1）设M（x，y），由题意知，化简得2（x﹣1）2+2（y﹣1）2＝（x﹣2）2+（y﹣2）2，∴x2+y2＝4，即动点M的轨迹C的方程为x2+y2＝4．（2）记圆C上任意一点P到直线l的距离为d，因为直线PQ与直线l夹角为30°，所以|PQ|＝2d，因为圆心C（0，0）到直线l的距离为，且圆C的半径为2，，即直线l与圆相离，∴，∴．。
2019-2020学年四川省成都市蓉城名校联盟高一下学期期末(文科)数学试卷 (解析版)
2019-2020学年四川省成都市蓉城名校联盟高一第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．下列几何体是旋转体的是（）A．五棱柱B．六棱锥C．八棱台D．球2．已知a＞b，则下列不等式成立的是（）A．2a＞b B．a＞2b C．|a|＞b D．a＞|b|3．已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到的直观图为△A'B'C'，如图，若A'B'＝3，A'C'＝2，则△ABC的面积为（）A．3B．6C．3D．64．若α∈（0°，180°），且cos（α+20°）cos20°+sin（α+20°）sin20°＝，则tanα＝（）A．B．C．﹣D．﹣5．一个简单组合体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图中的圆半径都为3，正视图和侧视图的下半部分都为正方形，则该几何体的体积为（）A．54πB．63πC．72πD．90π6．已知{a n}为等比数列，且a1＝32，a2a3＝128，设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．13B．14C．15D．167．若x＞，则3x+的最小值为（）A．7B．4C．9D．28．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+1＝，a1＝﹣2，则S97＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣79．△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1﹣a n＝2n，则a9＝（）A．510B．512C．1022D．102411．已知sin（α+）＝，则sin（﹣2α）＝（）A．B．C．﹣D．﹣12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S99＝，函数f（x）＝sin2x﹣3cos2x+，则f（a1）+f（a2）+…+f（a99）＝（）A．66B．33C．99D．88二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．求值：＝．14．△ABC中，BC＝6，AC＝2，∠BAC＝90°，把△ABC绕直线AB旋转一周，则形成的旋转体的侧面积为．15．关于x的不等式tx2+tx+5＞0的解集为R，则实数t的取值范围是．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝3，2S n＝（n+1）a n，设b n＝a n a n+1（）n，则数列{b n}的最大项的值为．三、解答题：本题共6小题，共70分。
高中数学必修二 期末测试卷02-新教材-2021学年下学期期末考试全真模拟卷(人教A2019)
2020-2021学年高一数学下学期期末考试全真模拟卷（二）测试时间：120分钟 测试范围：人教A2019必修第一册+第二册满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若集合{}21A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =≤，则A B =（ ）A ．12x xB ．{}01x x <≤C ．{}22x x -≤≤D ．{2x x <-或}2x >【答案】C 【详解】由{}2log 1B x x =≤，得{}02B x x =<≤． 又{}21A x x =-≤≤， 所以{}22AB x x =-≤≤．故选：C ． 2、复数113i-的虚部是（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【详解】 因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A 【详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；4、已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（ ）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.5、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A ．514- B ．512- C ．514+ D ．512+ 【答案】C 【详解】如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得154b a +=（负值舍去）. 故选：C.6、已知π2tan tan()74θθ-+=，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2【答案】D 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.7、如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图的数学风车，若在该数学风车内随机取一点，则该点恰好取自“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的概率为（ ）A ．2543B ．1843C ．2549D ．2449【答案】D 【详解】在Rt ABC ∆中，3sin 5BAC ∠=不妨设3BC =，则5AB =，4AC =则阴影部分的面积为1434242⨯⨯⨯=；数学风车的面积为224549+=∴所求概率2449P =本题正确选项：D 8、已知ABC ∆是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 平面ABC 的距离为（ ）A ．3B ．32C ．1D ．32【答案】C 【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =. 设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴===，∴球心O 到平面ABC 的距离1d ==.故选：C.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共16分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）9、下列说法正确的是（ ） A ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B ．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀C ．某种福利彩票的中奖概率为11000，那么买1000张这种彩票一定能中奖D ．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水 【答案】AB 【详解】对于A ，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A 正确对于B ，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B 正确． 对于C ，中奖概率为11000是指买一次彩票，可能中奖的概率为11000，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C 错误．对于D ，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为0.7，故D 错． 故选：AB ．10、有以下四种说法，其中正确的有（ ） A ．“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件B ．直线l ，m ，平面α，若m α⊂，则“l α⊥”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．“3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab =”的既不充分也不必要条件【答案】BD 【详解】对于A ，由“2x >且3y >”，根据不等式的性质可得5x y +>，充分性满足；反之，5x y +>推不出“2x >且3y >”，必要性不满足，故A 不正确； 对于B ，根据线面垂直的定义：“l α⊥”可推出“l m ⊥”，反之，由线面垂直的判定定理可知：仅“l m ⊥”，不一定得出“l α⊥”，故B 正确； 对于C ，“3x =”可得“2230x x --=”，充分性满足；反之，“2230x x --=”可得“3x =”或“1x =-”，必要性不满足， 所以“3x =”是“2230x x --=”的充分不必要条件，故C 不正确； 对于D ，若“0a ≠且0b =”可推出“0ab =”； 反之，若“0ab =”，可得“0a =”或“0b =”，所以“0a ≠”是“0ab =”的既不充分也不必要条件，故D 正确； 故选：BD11、已知函数()sin()f x x ωϕ=-(0,||2πωϕ><)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为3πB ．5(,0)4π为函数()f x 的一个对称中心 C ．1(0)2f =-D ．函数()f x 向右平移2π个单位后所得函数为偶函数【答案】ACD 【分析】根据图象，先由144T ππ=-得，求ω，判断A 正确，再利用五点法定位确定ϕ得到解析式，结合利用正弦函数性质逐一判断BCD 的正误即可. 【详解】根据函数()sin(),0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=-><⎪⎝⎭的部分图象，由144T ππ=-，所以3T π=，故A 正确； 由23ππω=，可得23ω=， 由点,04π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图像上，可得2sin 034πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，可得2,34k k πϕπ⨯-=∈Z ，解得,6k k πϕπ=-∈Z ， 因为||2ϕπ<，可得6π=ϕ，可得2()sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为52523sin sin 0434632f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 由于1(0)sin 62f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确； 将函数()f x 向右平移2π个单位后所得函数为2f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin cos 3263x x ππ⎡⎤⎛⎫=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为偶函数，故D正确. 故选：ACD.12、如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为11A B 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．DE 与1CC 为异面直线B ．DE 与平面11BCC B 所成角的正切值为24C ．过,,D CE 三点的平面截正方体所得两部分的体积相等D ．线段DE 在底面ABCD 的射影长为2【答案】ABC 【详解】由图可知：DE 与CC1为异面直线，∴A 正确；因为平面11//BCC B 平面11ADD A ，所以DE 与平面11BCC B 所成角即DE 与平面11ADD A 所成角，连接A1D ，显然，1A DE ∠是DE 与平面11ADD A 所成角.在直角三角形EA1D 中：111122tan 42A E A DE A D ∠===，∴B 正确；过D ､C ､E 三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面A1B1CD 截正方体所得两部分的体积关系，由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，∴C 正确； 取AB 中点F ，连接EF ､DF ，∵EF //B1B 且B1B ⊥底面ABCD ，∴EF ⊥底面ABCD ，∴DF 的长为线段DE 在底面ABCD 的射影长，在直角三角形DFE 中：EF=1，DE=32，∴DF=2235122⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴D 错. 故选：ABC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为__________________. 【答案】1{|1}?2x x -<< 【分析】 【详解】不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<，220ax bx ∴++=的两根为1-，2，且0a <，即12b a-+=-，()212a -⨯=，解得1a =-，1b =，则不等式可化为2210x x +-<，解得112x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为1{|1}2x x -<<．14、在ABC ∆中，2cos ,4,33C AC BC ===，则tan B =____________.【答案】45【详解】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴= 22221145cos sin 1()tan 452999a cb B B B ac +-==∴=-=∴=15、在四边形ABCD 中，AD BC ∥，23AB =，5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则(23,0)B ，535(,)22D ． 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-，直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-． 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -．所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-． 16、设函数()()21ln 11f x x x =+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是____________. 【答案】1(,1)3【详解】试题分析：()()21ln 11f x x x =+-+，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得()()21f x f x >-成立，∴，∴，∴的范围为1,13⎛⎫⎪⎝⎭故答案为A.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）17、成年人收缩压的正常范围是（90，140）（单位：mmHg ），未在此范围的献血志愿者不适合献血，某血站对志愿者的收缩压进行统计，随机抽取男志愿者100名、女志愿者100名，根据统计数据分别得到如下直方图：（1）根据直方图计算这200名志愿者中不适合献血的总人数； （2）估计男志愿者收缩压的中位数；（3）估计女志愿者收缩压的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1）20人；（2）115mmHg ；（3）125mmHg ． 【详解】解：（1）由(0.0100.01520.0200.030)101m +++⨯+⨯=得0.005m =， 故这些男志愿者中有5人不适合献血；由(0.0050.01020.0200.035)101n ++++⨯=得0.015n =， 故这些女志愿者中有15人不适合献血． 综上所述，这些志愿者中共有20人不适合献血．（2）设男志愿者收缩压的中位数为(mmHg)x ，则110120x <<．由0.015100.02010(110)0.0300.5x ⨯+⨯+-⨯=得115x =， 因此，可以估计男志愿者收缩压的中位数为115(mmHg)．（3）950.051050.101150.151250.351350.201450.15125⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因此，可以估计女志愿者收缩压的平均值为125(mmHg)．18、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅰ）求πsin(2)4A +的值． 【答案】（Ⅰ）4C π；（Ⅰ）sin A =（Ⅰ）sin 2426A π⎛⎫+=⎪⎝⎭. 【详解】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-===， 又因为(0,)C π∈，所以4Cπ；（Ⅰ）在ABC 中，由4Cπ，a c ==可得sin sin a CA c===13； （Ⅰ）由a c <知角A为锐角，由sin A =，可得cos A ==进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2coscos2sin444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26.19、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥ 因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC = 所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内20、已知()22sin ,cos ,(3cos ,2),()a x x b x f x a b ===⋅. (1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值.【答案】(1)T π=,单调递减区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)见解析【详解】（1）2()23sin cos 2cos f x a b x x x =⋅=+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222,262k x k k Z πππππ+++∈，得2,63k x k k Z ππππ++∈， ∴()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 取得最小值，为72sin106π+=； 当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 取得最大值，为2sin 132π+=.故函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0.21、在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos cos cos A B C ++的取值范围． 【答案】（I ）3B π=；（II）3]2【详解】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.22、有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm （即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：ppm ），数据统计如下：0.07 0.24 0.39 0.54 0.61 0.66 0.73 0.82 0.82 0.820.87 0.91 0.95 0.98 0.98 1.02 1.02 1.08 1.14 1.201.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.40 1.44 1.58 1.62 1.68（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的80%分位数；（2）有A ，B 两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼.（Ⅰ）将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A 水池和B 水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有13的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；（Ⅰ）将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A 水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A 水池进入B 水池且不再游回A 水池，求这两条鱼由不同小孔进入B 水池的概率.【答案】（1）中位数为1；众数为0.82；极差为1.61；估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.34；（2）（Ⅰ）49；（Ⅰ）910. 【详解】解：（1）由题意知，数据的中位数为0.98 1.0212+=数据的众数为0.82数据的极差为1.680.07 1.61-=估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.31 1.371.342+= （2）（Ⅰ）记“两鱼最终均在A 水池”为事件A ，则212()339P A =⨯=记“两鱼最终均在B 水池”为事件B ，则212()339P B =⨯=∵事件A 与事件B 互斥，∴两条鱼最终在同一水池的概率为224()()()999P AB P A P B =+=+= （Ⅰ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件1C ，“两鱼同时从第二个小孔通过”为 事件2C ，依次类推；而两鱼的游动独立∴12111()()1010100P C P C ===⨯=记“两条鱼由不同小孔进入B 水池”为事件C ，则C 与1210...C C C 对立，又由事件1C ，事件2C ，10C 互斥∴121011()(...)1010010P C P C C C ==⨯=即12109()1(...)10P C P C C C =-=。
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AP
1
AB
m
AC
,则
m
的值为__________．
3
14．将底面直径为 8，高为 2 3 的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值
为__________．
15．下图是某地区 2018 年 12 个月的空气质量指数以及相比去年同期变化幅度的数据统计 图表,根据图表,下面叙述正确的是_________．
C．一个点和一条直线确定一个平面
D．两条直线确定一个平面
6．新冠疫情期间, 某校贯彻“停课不停学”号召，安排小组展开多向互动型合作学习，下 面的茎叶图是两组学生五次作业得分情况，则下列说法正确的是 A．甲组学生得分的平均数小于乙组选手的平均数 B．甲组学生得分的中位数大于乙组选手的中位数 C．甲组学生得分的中位数等于乙组选手的平均数 D．甲组学生得分的方差大于乙组选手的的方差
D. (0, 2)
2．在复平面内，复数 z i(1 2i) 对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3．某工厂有男员工 56 人，女员工 42 人，用分层抽样的方法，从全体员工中抽出一个容量
为 28 的样本进行工作效率调查，其中男员工应抽的人数为
A．16
B．14
C．28
在正方形 BCC1B1 （包括边界）内运动.若 PA1 / / 面 AMN ，则线段 PA1 的长度范围是 A． 2, 5
B． 2, 3
C．
3
2 2
,
3
D．
3
2 2
,
5
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．已知复数 i z 1 i ，则复数 z =______________． 12．已知 a ， b 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在70,80 内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、均值； （Ⅲ）根据评奖规则，排名靠前 10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要
多少分？
高一数学试题第 5 页共 6 页
21. （本小题满分 15 分） 如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， AB / /CD , AB 3 ， CD 1, BC 2 ， E 、 F 分别
A．13 时~14 时
B．16 时~17 时
C．18 时~19 时
D．20 时~21 时
9．在
ABC
中，
A
3
，
BC
3，
AB
6 ，则 C
A． 3
B． 或 2 33
C． 4
D． 或 3 44
10．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2， M , N 分别是棱 BC,CC1 的中点，动点 P
密云区 2019-2020 学年度第二学期期末 高一数学试卷 2020.7
一、选择题：本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项．
1．已知点 A(1, 2) ， B(1,0) ，则 AB
A. (2,0)
B. (2, 2)
C. (2, 2)
7．已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ， a 1 ， b 2 ，当 b 2a b 时，实数 为
A. 1
B. 2
1
C.
2
D. 1 2
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8．北京园博会期间,某日 13 时至 21 时累计入园人数的折线图如图所示,那么在 13 时~14 时, 14 时~15 时，……，20 时~21 时这八个时段中,入园人数最多的时段是
D．12
4．在下列各组向量中，可以作为基底的是
A. e1 (0,0) ， e2 (1,1) C. e1 (3,5) ， e2 (3, 5)
B. e1 (1,2) ， e2 (5, 10)
D.
e1
(2, 3)
， e2
(2,
3) 4
5．在空间中，下列结论正确的是
A．三角形确定一个平面
B．四边形确定一个平面
证．明．； （Ⅲ）若 N 为线段 C ' D' 中点，在直线 BF 上是否存在点 Q ，使得 NQ / / 平面 D' HM ？如果
存在，求出线段 NQ 的长度，如果不存在，请说明理由．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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① a b ；② a ；③ b / / ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： __________．
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13．如图，在△ ABC 中, AN 1 NC .若 AN AC ，则 的值为______； 3
P
是
BN
上的一点,若
已知复数 z 2 i （ i 为虚数单位）. （Ⅰ）求复数 z 的模 z ； （Ⅱ）求复数 z 的共轭复数 z ；
（Ⅲ）若 z 是关于 x 的方程 x2 mx 5 0 一个虚根，求实数 m 的值．
17．（本小题满分 14 分）
已知向量 a 与 b , a (1,0) ， b (2,1) ． （Ⅰ）求 2a b ； （Ⅱ）设 a ， b 的夹角为 ，求 cos 的值； （Ⅲ）若向量 ka b 与 a kb 互相平行，求 k 的值．
18．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，PD 平面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， F 为对 角线 AC 与 BD 的交点， E 为棱 PD 的中点． （Ⅰ）证明： EF // 平面 PBC ； （Ⅱ）证明： AC PB ．
）
① 2 月相比去年同期变化幅度最小,3 月的空气质量指数最高； ② 第一季度的空气质量指数的平均值最大，第三季度的空气质量指数的平均值最小； ③ 第三季度空气质量指数相比去年同期变化幅度的方差最小； ④ 空气质量指数涨幅从高到低居于前三位的月份为 6、8、4 月.
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三、解答题: 本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题满分 14 分）
为腰 AD 、BC 的中点．将四边形 CDEF 沿 EF 折起，使平面 EFC ' D' ⊥平面 ABFE ，如图 ２， H 、 M 分别为线段 EF 、 AB 的中点． （Ⅰ）求证： MH 平面EFC ' D' ； （Ⅱ）请在图 2 所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面 D' HM 垂直，并给出
在 ABC 中， a 7,b 8,cos B 1 . 7
（Ⅰ）求∠ A ； （Ⅱ）求 ABC 的面积．
20．（本小题满分 14 分） 某校为了解疫情期间学生线上学习效果，进行一次摸底考试，从中选取 60 名同学的成
绩（百分制，均为正数）分成40,50,50,60,60,70,70,80, 80,90,90,100 六组