二项分布_超几何分布_正态分布

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超几何分布、二项分布、正态分布

超几何分布、二项分布、正态分布【学习目标】1、通过实例,理解超几何分布及其特点，掌握超几何分布列及其导出过程，并能进行简单的应用。

ﻫ２、理解n次独立重复试验(即n重伯努利试验)及其意义,理解二项分布并能解决一些简单的实际问题。

ﻫ3、借助直观图，了解是正态分布曲线与正态分布,认识正态分布曲线的特点及曲线表示的意义。

4、会查标准正态分布表，会求满足正态分布的随机变量x在某一范围内的概率。

ﻫ【重点与难点】重点：正确理解超几何分布、二项分布、正态分布的意义。

ﻫ难点:正确进行超几何分布、二项分布、正态分布有关概率的计算。

ﻫﻫ【知识要点】１、超几何分布：一般地,若一个随机变量x的分布列为:P(x＝r）＝①其中r＝0，１,2,3,…… ，,＝miｎ(ｎ，M),则称x服从超几何分布。

记作ｘ～H(n，Ｍ,N),并将P（x=r)＝,记为Ｈ(r，n,Ｍ,N)。

ﻫ如：在一批数量为N件的产品中共有M件不合格品，从中随机取出的n件产品中，不合格品数x的概率分布列如表一所示：(表一)其中＝ｍin(n，M)，满足超几何分布。

ﻫﻫ２、伯努利试验(n次独立重复试验),在ｎ次相互独立试验中，每次试验的结果仅有两种对立的结果A与出现,Ｐ（A)=p∈(0,1),这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。

P()＝1-p=ｑ,则在n次独立重复试验中，事件Ａ恰好发生k次的概率(0≤ｋ≤n)为P(k）＝（k=0，1，2,３,……,n)，它恰好是(q+p)n的二项展开式中的第k+1项。

ﻫ3、二项分布:若随机变量ｘ的分布列为p(x=k）=，其中0＜p<1，p+q=1,k=0，１，2,……，ｎ,则称x服从参数为n、p的二项分布,记作x~Ｂ（n，p)。

ﻫ如:ｎ次射击中,击中目标k次的试验或投掷骰子ｎ次，出现k次数字5的试验等均满足二项分布。

3、正态分布曲线。

(1)概率密度曲线:当数据无限增多且组距无限缩小,那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线,则称此曲线为概率密度曲线。

第9节二项分布、超几何分布与正态分布

[解析] (1)因为X的可能取值为0,1,2,3,所以P(X=k)=,k=0,1,2,3,所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.
A
[解析]由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.
5. (2022年新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)= .
0.14
考点一二项分布
【例 1】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠,若该电梯在底层有5个乘客,且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为,用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)= .
D
(2)科研人员在另一个实验中发现,疫苗可多次连续注射,白兔多次注射疫苗后,每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响,相互独立,试问:如果将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当作疫苗的有效率,那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%?若能,请说明理由;若不能,请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求.
[解析]每一位乘客是在第20层下电梯为一次试验,且每一位乘客在第20层下电梯的概率都是,因此这是5次独立重复试验,故ξ~B(5,) ,所以P(ξ=4)=() 4×=.
二项分布满足的条件1.每次试验中,同一事件发生的概率是相同的;2.各次试验中的事件是相互独立的;3.每次试验只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生;4.随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
一批产品的一等品率为0.9,从这批产品中每次随机抽取一件,有放回地抽取100次,Χ表示抽到的一等品件数,则D(X)= .

10.8 二项分布、超几何分布与正态分布

§10.8 二项分布、超几何分布与正态分布【一】独学：主干知识知识梳理一、二项分布1．伯努利试验只包含试验叫作伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为。

2．二项分布若随机变量X 的分布列为其中0＜p ＜1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的，记作X ～B (n ，p )．3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝，D (X )＝(2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝ D (X )＝二、超几何分布1．定义：一般地，若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l ＝min{n ，M }，则称X 服从．记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C r M C n －r N －M C n N 记为H (r ；n ，M ，N )． 2．E (X )＝三、正态分布1．正态密度曲线函数 x ∈R ，其中实数μ(μ∈R )和σ(σ>0)为参数，该函数的图象称为．2．正态密度曲线的特征：(1)当x <μ时，曲线；当x >μ时，曲线．当曲线向左右两边无限延伸时，以为渐近线．(2)曲线关于直线对称．(3)σ越大，曲线越；σ越小，曲线越．(4)在曲线和范围内的区域面积为1.3．正态分布若X 是一个随机变量，则对任给区间(a ，b ]，P (a <X ≤b )是正态密度曲线下方和x 轴上(a ，b ]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X ～N (μ，σ2)．4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值考试要求学习重难点 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．重点：二项分布、超几何分布、正态分布难点：理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.(1)落在区间(μ－σ，μ＋σ)内的概率约为(2)落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内的概率约为(3)落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率约为 .5．正态分布的均值与方差若X ～N (μ，σ2)，则E (X )＝μ，D (X )＝σ2.常用结论1．两点分布是二项分布当n ＝1时的特殊情形．2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n 重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．4．超几何分布有时也记为 X ～H (n ，M ，N )，其均值E (X )＝nM N ，D (X )＝nM N ⎝⎛⎭⎫1－M N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n －1N －1. 教材改编题1．已知X ～B (20，p )，且E (X )＝6，则D (X )等于( )A ．1.8B ．6C ．2.1D ．4.22．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X 表示取到的次品的个数，则P (X ＝2)＝________.3．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布N (110,102)．已知P (100<X ≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．【二】互学：核心题型题型一二项分布例1出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. (1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；(2)求这位司机在途中遇到红灯数X 的均值与方差．跟踪训练1 (2022·黄冈模拟)某公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度，从下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷达图如图所示．规定评分不低于80分为满意，否则为不满意．(1)求这20个会员对售后服务满意的频率；(2)以(1)中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员．①求只有1个会员对售后服务不满意的概率；②记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X ，求X 的均值与标准差(标准差的结果精确到0.1)．题型二超几何分布例2 为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23.A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的．(1)分别求A ，B 两名学生恰好答对2个问题的概率；(2)设A 答对的题数为X ，B 答对的题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．跟踪训练2 阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：(1))(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260,280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和均值．题型三正态分布例3 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm ).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ.(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95，10.12，9.96，9.96，10.01，9.92，9.98，10.04，10.26，9.91，10.13，10.02，9.22，10.04，10.05，9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，16211()16i i s x x ==-∑162211=(16)0.21216i i x x =-=∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =.用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01). 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则0.9974=，160.99740.9592≈0.0080.09≈．跟踪训练3 (1)(2022·苏锡常镇四市调研)若随机变量X ～B (3，p )，Y ～N (2，σ2)，若P (X ≥1)＝0.657，P (0<Y <2)＝p ，则P (Y >4)等于( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8（2）为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N (100,17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.68，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.96)【三】悟学：总结提升1. 知识点总结：2. 方法小结：3. 存在的疑惑：【四】课后作业：1. 做本节对应的课后习题；2. 复习、订正今天上课内容；3. 预习下一节学案。

16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用

16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。

常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。

以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。

1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。

2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。

3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。

4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。

5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。

6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。

二项分布_超几何分布_正态分布

高考总复习.理科.数学
8．3σ原则
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验方法的基本思想．
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解析(1)法一：记“取出的 2 个小球上的数字互不相同” 为事件 A，
∵从袋中的 6 个小球中任取 2 个小球的方法共有 C26种，其中取出的 2 个小球上的数字互不相同的方法有 C23C12C12，
∴P(A)＝C23CC1226C12＝3×3×2×5 2＝45.
法二：记“取出的 2 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A，“取出的 2 个小球上的数字相同”的事件记为 B，则事件 A 与事件 B 是对立事件．
令k＝n得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为P(ξ ＝n)＝Cpn(1－p)0 ＝pn.
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3．超几何分布在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件 “X ＝ k” 发生的概率为： P(X ＝ k) ＝ CkM·CCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N， M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
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正态分布 N(μ，σ2))是由均值 μ 和标准差 σ 唯一决定的分布．
标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位．
7．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(简称三个基本概率值)
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826； P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544； P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.

二项分布与超几何分布、正态分布

,k=t,t+1,…,s,
(2)记法:X~H(N,n,M).
(3)分布列:如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此
时X的分布列如下表所示.
X 0
P
… k
1
0 n
M
N-M
Nn
1 n-1
M
N-M
Nn
…
… s
-
C C-
C
…
-
C
C-
二项分布与超几何分布、正态分布
内
容
索
引
01
必备知识预案自诊
02
关键能力学案突破
03
素养提升微专题15——“小概率事件”及其应用
必备知识预案自诊
【知识梳理】
1.n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是
相互独立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.

X~B(n,p)(其中p= );若采用不放回抽样的方
法随机抽取则随机变量X服从超几何分布
放回抽样,当n远远小于N时,每抽取
一次后,对N的影响很小,超几何分
布可以用二项分布近似
4.正态曲线及其性质
(1)正态曲线的定义
一般地,函数
1
φμ,σ(x)=
e
2π
μ= E(X)
,σ=
()
(- )2
P(Di)=4.
由于各事件相互独立,故 P(A3)=P(D5)P(D4)P(3 )P(2 1 ∪ 2 D1∪D21 )
1
=4
1
4
× ×
45
.
1 024
3

二项分布与两点分布超几何分布正态分布的区别

用个例子解答吧：假设一批产品有100件，其中次品为10件。

那么：
（1）从中抽取一件产品，为正品的概率？像这种可能结果只有两种（抽的结果正品或次品）情况下就可以归纳为两点分布。

（2）有放回的抽样，抽n次，出现正品数的分布。

这个就是二项分布了，首先，这n 次试验可能出现的正品数为0~n；它相当于做了n次试验，每次都是两点分布，也就是说你这抽取n次，每次是正品的概率都是0.9。

（3）如果不放回抽取m（≤100）个，这m件产品次品数的分布如何？此问就是超几何分布了，当然这个时候要讨论m与10谁大，以便确认分布的可能取值，这里不赘述了。

（4）正态分布是自然界最常见的一种分布。

该分布由两个参数——平均值和方差决定。

它和其它各种分布都有着直接或间接的联系，比如说此题中二项分布，其实每个人抽取n次，最后的结果都是不尽相同的，这是由于抽样误差引起的。

但是，如果好多人（N）都做这么一次试验（每个人都抽n次，并记录下正品数），那么这N个人抽到的正品数的分布就是一个正态分布了。

（正太分布往往是和其它分布的极限分布联系起来的，也就是说N→∞；如果N为有限的<假设为4个>那么N的分布最复杂也就是4个结果）
超几何分布和二项分布都是离散型分布
超几何分布和二项分布的区别：
超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........阅读(131)|评论(1)。

高中数学课件-第8讲二项分布、超几何分布与正态分布

1
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
第8讲二项分布、超几何分布与正态分布
2
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
考试要求
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单
的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.
01
聚焦必备知识
4
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.
答案：0.954
02
突破核心命题
14
考点一二项分布
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
考向 1 伯努利试验
例 1 (2024·江西重点中学协作体第一次联考)我国古代典籍《艺经》
中记载了一种名为“弹棋”的游戏，其规则为：双方各执 4 子，摆放好后，
10
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
2.回源教材
(1)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的
次数，则随机变量X的均值E(X)＝( A )AFra bibliotek2B.1
C.12
D.14
A 由题意可知，X～B(4，12)，E(X)＝4×12＝2.
11
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
②曲线在_□1_2_x_＝__μ_处达到峰值
σ
1 2π.
③当|x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴.
7
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
(3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. (4)正态分布的均值与方差

2023年高考数学一轮总复习第51讲：二项分布超几何分布正态分布

第1页共13页2023年高考数学一轮总复习第51讲：二项分布、超几何分布、正态分布【教材回扣】1．二项分布：(1)概念：一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝________________，k ＝0,1,2，…，n .如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从____________________，记作______________．(2)均值与方差：如果X ～B (n ，p )，那么E (X )＝________，D (X )＝________．2．超几何分布(1)概念：一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝____________，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }．如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布．(2)均值：E (X )＝np .3．正态分布：(1)有关概念：对任意的x ∈R ，f (x )＝1σ2πe －(x －μ)22σ2>0(μ∈R ，σ＞0为参数)，我们称f (x )为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，若随机变量X 的概率分布密度函数为f (x )，则称随机变量X 服从正态分布，记作__________________．特别地，当μ＝__________，σ＝________时称随机变量X 服从标准正态分布．(2)正态曲线的特点：①它的图象在□10________上方；②x 轴和曲线之间的区域的面积为□11________；③曲线是单峰的，它关于直线□12________对称；④曲线在x ＝μ处，达到峰值1σ2π；⑤当|x |无限增大时，曲线无限接近□13________.(3)均值与方差：若x ～N (μ，σ2)，则E (X )＝□14________，D (X )＝□15________.【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．()2．二项分布和超几何分布都是放回抽样．()3．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．()4．一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．()题组二教材改编。

二项分布、超几何分布与正态分布-高考数学复习

其中 n ， N ， M ∈N*， M ≤ N ， n ≤ N ， m ＝max{0， n － N ＋
M }， r ＝min{ n ， M }.如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，
那么称随机变量 X 服从超几何分布.
目录
提醒
超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数.主要特征
为：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干
对于超几何分布 X ～ H （ n ， M ， N ），则 E （ X ）＝， D

−
（ X ）＝ ·（1－）· .

−1
3. 对于正态分布 X ～ N （μ，σ2）， E （ X ）＝μ， D （ X ）＝σ2.
目录
1. 已知一盒子中有棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，
好 n ， p 和 k 的值，再准确利用公式 P （ X ＝ k ）＝ pk （1－
p ） n － k ， k ＝0，1，2，…， n 求概率.
目录
考向2 二项分布
【例2】
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均
2
为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校
3
1
位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .
2
5
则质点 P 移动五次后位于点（2，3）的概率是 16 .
⁠
解析：由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移
动五次后位于点（2，3），所以质点 P 必须向右移动两次，向上移
1
1
1
5
3
3
3
2
5
动三次，故其概率为 5 （）（）＝ 5 （）＝ .

二项分布与两点分布超几何分布正态分布的区别之欧阳育创编

用个例子解答吧：假设一批产品有100件，其中次品为10件。

那么：
（1）从中抽取一件产品，为正品的概率？像这种可能结果只有两种（抽的结果正品或次品）情况下就可以归纳为两点分布。

（2）有放回的抽样，抽n次，出现正品数的分布。

这个就是二项分布了，首先，这n次试验可能出现的正品数为
0~n；它相当于做了n次试验，每次都是两点分布，也就是说你这抽取n次，每次是正品的概率都是0.9。

（4）正态分布是自然界最常见的一种分布。

该分布由两个参数——平均值和方差决定。

它和其它各种分布都有着直接或
间接的联系，比如说此题中二项分布，其实每个人抽取n次，最后的结果都是不尽相同的，这是由于抽样误差引起的。

但是，如果好多人（N）都做这么一次试验（每个人都抽n次，并记录下正品数），那么这N个人抽到的正品数的分布就是一个正态分布了。

（正太分布往往是和其它分布的极限分布联系起来的，也就是说N→∞；如果N为有限的<假设为4个>那么N的分布最复杂也就是4个结果）
超几何分布和二项分布都是离散型分布
超几何分布和二项分布的区别：
超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）
当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........
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10.4 二项分布与超几何分布、正态分布

10.4 二项分布与超几何分布、正态分布必备知识预案自诊知识梳理1.伯努利试验(1)定义:只包含两个可能结果的试验.(2)n重伯努利试验:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:①同一个伯努利试验重复做n次,“重复”意味着各次试验成功的概率相同;②各次试验的结果相互独立.注:独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题.温馨提示两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验.由此可见,独立重复试验是相互独立事件的特例,就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.2.二项分布定义:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).温馨提示(1)二项式[(1-p)+p]n的展开式中,第k+1项为Tk+1=(1-p)n-kpk,可见P(X=k)就是二项式[(1-p)+p]n的展开式中的第k+1项,故称随机变量X服从二项分布.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:①在一次试验中,事件A发生与不发生,二者必居其一,且A发生的概率不变;②试验可以独立重复进行n次.(3)P(X=k)=(1-p)n-kpk=[p+(1-p)]n=1.(4)两点分布是特殊的二项分布.3.超几何分布(1)定义一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取任取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.(2)超几何分布与二项分布的关系不同点联系假设一批产品共有N件,其中有M 件次品.从N件产品中随机抽取n 件,用X表示抽取的n件产品中的次品数,若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p)其中p=;若采用不放回抽样的方法随机抽取则随机变量X服从超几何分布二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n 件产品中次品的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n 远远小于N 时,每抽取一次后,对N 的影响很小,超几何分布可以用二项分布近似温馨提示超几何分布广泛地存在于现实生活中,如产品中的合格品与不合格品,盒子中的红球与黑球,学生中的男生和女生等.但超几何分布还必须满足以下三个特点:(1)总体中含有两类不同的个体;(2)不放回的抽取,且无先后顺序;(3)随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.4.正态密度函数与正态曲线(1)定义函数f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.特别地,当μ=0,σ=1时,相应曲线称为标准正态曲线.(2)几何意义:随机变量X落在区间[a,b]的概率为P(a≤X≤b),即由正态曲线、过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积,如图中阴影部分的面积,就是X落在区间[a,b]的概率.(3)特点①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.②曲线与x轴之间的区域的面积为1.③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.④曲线在x=μ处达到峰值(最大值).⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x 轴平移.⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布比较集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布比较分散.5.正态分布(1)概念:①定义:若随机变量X的概率分布密度函数为正态密度函数f(x),则称随机变量X服从正态分布.②表示方法:记为X~N(μ,σ2).③标准正态分布:当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.(2)正态分布的3σ原则假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,10.4 二项分布与超几何分布、正态分布必备知识预案自诊1.伯努利试验(1)定义:只包含两个可能结果的试验.(2)n重伯努利试验:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:①同一个伯努利试验重复做n次,“重复”意味着各次试验成功的概率相同;②各次试验的结果相互独立.注:独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题.温馨提示两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验.由此可见,独立重复试验是相互独立事件的特例,就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.2.二项分布定义:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).温馨提示(1)二项式[(1-p)+p]n的展开式中,第k+1项为Tk+1=(1-p)n-kpk,可见P(X=k)就是二项式[(1-p)+p]n的展开式中的第k+1项,故称随机变量X服从二项分布.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:①在一次试验中,事件A发生与不发生,二者必居其一,且A发生的概率不变;②试验可以独立重复进行n次.(3)P(X=k)=(1-p)n-kpk=[p+(1-p)]n=1.(4)两点分布是特殊的二项分布.3.超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取任取n 件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.(2)超几何分布与二项分布的关系不同点联系假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件,用X 表示抽取的n件产品中的次品数,若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X 服从二项分布,即X~B(n,p)其中p=;若采用不放回抽样的方法随机抽取则随机变量X服从超几何分布二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n件产品中次品的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n 远远小于N时,每抽取一次后,对N 的影响很小,超几何分布可以用二项分布近似温馨提示超几何分布广泛地存在于现实生活中,如产品中的合格品与不合格品,盒子中的红球与黑球,学生中的男生和女生等.但超几何分布还必须满足以下三个特点:(1)总体中含有两类不同的个体;(2)不放回的抽取,且无先后顺序;(3)随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.4.正态密度函数与正态曲线(1)定义函数f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.特别地,当μ=0,σ=1时,相应曲线称为标准正态曲线.(2)几何意义:随机变量X落在区间[a,b]的概率为P(a≤X≤b),即由正态曲线、过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积,如图中阴影部分的面积,就是X落在区间[a,b]的概率.(3)特点①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.②曲线与x轴之间的区域的面积为1.③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.④曲线在x=μ处达到峰值(最大值).⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布比较集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布比较分散.5.正态分布(1)概念:①定义:若随机变量X的概率分布密度函数为正态密度函数f(x),则称随机变量X服从正态分布.②表示方法:记为X~N(μ,σ2).③标准正态分布:当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.(2)正态分布的3σ原则假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,。

第十节二项分布、超几何分布、正态分布

4 (2)ξ 的可能取值为：0、1、2、3 且 ξ～B3，9， 53 125 P(ξ＝0)＝9 ＝， 729
1 4 5 P(ξ＝1)＝C3 × ×
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2 100 ＝， 9 9 243
考点探究
24 P(ξ＝2)＝C3
2 5 80 ·＝， 9 9 243
栏目链接
课前自修
九、几个重要分布的期望和方差
1．若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－ p)． 2．若 X～B(n, p), 则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
n－ k Ck C M M N－M 3．若 X 服从超几何分布 P(X＝k)＝，则 E(X)＝ n, D(X) N Cn N
解析：根据正态曲线的特点知，关于x＝0对称，
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即在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率相
等．故选C.
课前自修
3．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，则取到的次品数 X 的分布列为________________________________．
解析：X服从超几何分布．
＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列 X P 0
n－ 0 C0 · C M N－M Cn N
1
n－ 1 C1 · C M N－M Cn N
2
n－ 2 C2 · C M N－ M Cn N
„ „
m
n－m Cm · C M N－M Cn N
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为超几何分布列，如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称离散型随机变量 X 服从超几何分布．
高考总复习数学（理科）

专题17 二项分布、超几何分布与正态分布(重难点突破)高二数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题17 二项分布、超几何分布与正态分布一、考情分析二、经验分享知识点1 独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ).(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.知识点2 正态分布 (1)正态分布的定义如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛abφμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2).其中φμ，σ(x )＝12πσe(x －μ)22σ2(σ>0).(2)正态曲线的性质①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974. 【知识必备】1.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P (AB )＝P (A )P (B )，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ).2.若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X ＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1.知识点3、两点分布如果随机变量X 的概率分布表为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从两点分布．知识点4、超几何分布1.概念：一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N(r ＝0,1,2，…，l )．即其中l ＝min(M ，n )，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X 的概率分布三、题型分析重难点题型突破01 古典概型与二项分布例1．（2021·全国高二专题练习（理））甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为（） A ．0.32 B ．0.18 C ．0.50 D ．0.0576【答案】D 【分析】利用相互独立事件的概率求得结果. 【详解】甲命中一次的概率为12C ×0.8×(1－0.8)＝0.32，乙命中一次的概率为12C ×0.9×(1－0.9)＝0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为P ＝0.32×0.18＝0.0576. 故选：D.【变式训练1-1】．（2021·浙江温州市·高三三模）已知随机变量ξ，η满足(2,)B p ξ，21ηξ+=，且3(1)4P ξ≤=，则()D η的值为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】由二项分布的性质推导出23(1)14P p ξ≤=-=，解得12p =，从而求出D ξ，再由12ηξ=-，利用方差的性质能求出D η. 【详解】解：因为随机变量ξ满足(2,)B p ξ， 3(1)4P ξ≤=，所以有23(1)14P p ξ≤=-=，即12p =.则11121222D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，12ηξ=-，42D D ηξ==.故选：C.【变式训练1-2】．（2021·全国高三其他模拟（理））春天是万物生长的季节，春节过后学生甲利用课余时间在花盆中播种了4粒虞美人种子，若每粒种子发芽的概率为23，则这4粒种子中至少有3粒发芽的概率为（） A ．827B ．1927 C ．1627D ．1127【答案】C 【分析】解法一：符合题意的情况是3粒发芽和4粒发芽，结合二项分布概率公式计算可得结果；解法二：确定所求事件的对立事件，利用二项分布概率公式和对立事件概率公式可求得结果. 【详解】解法一：这4粒种子中至少3粒发芽有3粒发芽和4粒发芽两种情况，则这4粒种子中至少有3粒发芽的概率为3434442123216481633381818127P C C ⎛⎫⎛⎫⨯+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 解法二：设这4粒种子中至少有3粒发芽为事件A ，则()()1P A P A =-43221244121211613333327C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】思路点睛：求解复杂问题的概率首先要正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．例2．（2021·全国高一课时练习）小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.【答案】（1）0.398；（2）0.994.【分析】结合独立事件的乘法公式即可.【详解】解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件.则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.【变式训练2-1】．（2021·辽宁高三月考）为了强化体育锻炼，增强青少年体质，国家规定将体育科目纳入高中阶段学校考试招生录取计分科目，并以体育固本行动，开展好学校特色体育项目，大力发展校园体育特色，让每位学生掌握1至2项运动技能，希望学校根据地域特点，大力推广田径、足球、篮球、排球、羽毛球等基础和特色项目．为了增加篮球活动的趣味性，学校设计了如下活动方案：甲、乙两位同学轮流进行投篮比赛，投中自己得1分，对方得0分；不中对方得1分，自己得0分，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多3分或进行完9轮投篮后，活动结束．假设甲、乙两位同学投篮命中率都为12，且两人投球命中与否相互独立．已知现在已经进行了3轮投篮比赛，甲得分2分，乙得分1分，在此基础上继续比赛．（I）只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品，求甲获得游戏奖品的概率；（II）设X表示该活动结束时所进行的比赛的总轮数，求X的分布列及数学期望．【答案】（I）2964；（II）分布列见解析，618.【分析】（I）利用独立重复试验的概率及互斥事件的概率公式求解即可；（II）求出理数学随机变量X的可能取值，求出概率得到分布列，然后可求得数学期望.【详解】（I ）由题可知，甲获胜即甲以4:1，5:2，6:3获胜，所以，甲获得游戏奖品的概率4611112925222264P ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（II ）X 的所有可能取值为5，7，9，111(5)224P X ==⨯=， 44113(7)22216P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9(9)1(5)(7)16P X P X P X ==-=-==. 所以X 的分布列为则X 的数学期望()579416168E X =⨯+⨯+⨯=．【点睛】方法点睛：求解离散型随机变量X 的数学期望的方法步骤：（1）求出X 的可能取值；（2）计算出X 取每一个可能值时的概率；（3）写出X 的分布列；（4）根据分布列计算出X 的数学期望. 重难点题型突破02 正态分布例3．（多选题）（2021·全国高三其他模拟）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别服从正态分布()211,N μσ，()222,N μσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈．A ．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩B ．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩C ．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近D ．若15σ=，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 【答案】ACD 【分析】根据甲、乙两类正态分布的密度曲线图象，得出平均数的大小，再判断命题是否正确即可．【详解】A 中，由曲线知，甲同学的平均成绩为75，乙同学的平均成绩为85，故乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩，A 正确，B 错；C 中，甲密度曲线图象比乙密度曲线图象更凸起、更瘦，所以甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近，C 正确；D 中，若15σ=，则甲同学成绩高于80分的概率约为10.50.68260.15872-⨯=，故D 正确，故选：ACD【变式训练3-1】．（2021·重庆高三三模）已知随机变量X 服从正态分布()()26,0N σσ>，若()3=0.8P X >，则()39P x <<=（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】C 【分析】根据正态分布曲线的对称性计算概率．【详解】因为X 服从正态分布()()26,0N σσ>，()3=0.8P X >，所以(9)(3)1(3)0.2P X P X P X ≥=≤=->=，所以(39)1(3)(9)0.6P X P X P X <<=-≤-≥=．故选：C ．【变式训练3-2】．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））已知某随机变量ξ服从正态分布N (1，32)，则P (27ξ-<<)为（）(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，2σ)，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=)A ．87.22%B ．13.59%C ．27.18%D ．81.85%【答案】D 【分析】由P (27ξ-<<)(2)P =-<<+，结合所给条件，即可得解.【详解】因为p (-2<ξ<4) ()68.26%P =-<<+=μσξμσ，p (-5<ξ<7)= (22)95.44%P μσξμσ-<<+=，所以p (-2<ξ<7)=68.26%+12(95.44%-68.26%)=81.85%，故选：D.例4．（2021·河南郑州市·高三二模（理））已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X （单位：mm ）服从正态分布(280,25)N ．（1）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm 的概率；（2）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元．假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为14．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y 的分布列与数学期望．参考数据：若~(,2)Z N μσ，则()0.6827P p Z σμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974Z μσμσ-<<+=，100.99870.9871≈．【答案】（1）0.0129；（2）分布列见解析；期望为22000．【分析】（1）根据~(280,25)X N ，利用3σ原则求解；．（2）易得Y 的所有可能取值为20000，22000，24000，26000，28000，分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望. 【详解】（1）因为~(280,25)X N ，则280μ=，5σ=，2653μσ=-，所以10.9974(265)0.00132P X -<==，所以从该生产线生产的零件中随机抽取10个，至少有一个尺寸小于265mm 的概率为：10101(10.0013)10.99870.0129P =--=-≈．（2）由题意可得Y 的所有可能取值为20000，22000，24000，26000，28000，4381(20000)4256P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭， 31413108(22000)44256P Y C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，22241354(24000)44256P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3341312(26000)44256P Y C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，411(28000)4256P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭，所以Y的分布列为：数学期望8110854121()200002200024000260002800022000 256256256256256E Y=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】思路点睛：求离散型随机变量分布列、数学期望、方差的基本思路：一审：随机变量的意义是什么？它的可能取值有哪几个？二审：随机变量的每个取值对应事件是什么？利用何种概率模型求其概率？三审：利用相应公式求概率，并列出分布列．四审：分布列中各概率的和为1吗？五审：求数学期望与方差．【变式训练4-1】．（2021·福建三明市·高三其他模拟）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）设该公路上机动车的行车速度v服从正态分布()2,Nμσ，其中μ，2σ分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差2s(经计算2210.25s=).（i ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：（ii ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为X ，求X 的数学期望.附注：若()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<≤+=，()330.9973P μσξμσ-<≤+=.参考数据：229841=.【答案】（1）70.5千米/时；（2）（i ）1587辆，（ii ）()8.4135E X =. 【分析】（1）利用频率直方图，确定各组中点值i a ，由6110()i ii v a f ==∑即可求平均车速.（2）由题设易知(70.5,210.25)vN ，（i ）(85)()P v P v μσ≥=≥+，结合所提供的三段区间概率值求概率，进而求10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数. （ii ）由（i ）知车速低于85千米/时的概率，则(10,0.84135),X B 利用二项分布的期望公式即可求期望.【详解】（1）由图知：(450.01550.015650.02750.03850.015950.01)1070.5v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=千米/时.∴这1000辆机动车的平均车速为70.5千米/时. （2）由（1）及题设知：(70.5,210.25)vN ，则70.5,14.5μσ==，（i ）1()(85)()0.158652P v P v P v μσμσμσ--≤≤+≥=≥+==，∴10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数100000.158651587⨯≈辆. （ii ）由（2）知：车速低于85千米/时的概率为10.158650.84135P =-=，故(10,0.84135),X B∴()100.841358.4135E X =⨯=. 重难点题型突破03 超几何分布例5．（2020·全国高三专题练习（理））在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于46781015C C C 的是（） A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)【答案】C 【分析】根据超几何分布列式求解即可．【详解】X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝10781015k k C C C -，故k ＝4，故选：C.【变式训练5-1】．（2021·浙江杭州市·高二课时练习）一个口袋中有7个大小相同的球，其中红球3个，黄球2个，绿球2个.现从该口袋中任取3个球，设取出红球的个数为ξ，则()E ξ=______. 【答案】97【分析】先确定随机变量的取值0,1,2,3ξ=，再分别计算对应的概率，最后利用期望的计算公式即得结果. 【详解】依题意，设取出红球的个数为ξ，则0,1,2,3ξ=，而口袋中有红球3个，其他球4个，故()34374035C P C ξ===，()12343718135C C P C ξ===，()21343712235C C P C ξ===，()33375313C C P ξ===，故()418121459012335353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. 故答案为：97. 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的期望的步骤：（1）先确定随机变量的取值12,,...,n x x x ξ=；（2）再计算每个变量所对应的概率(),1,2,3,...,i i P x p i n ξ===；（3）利用公式()112233...n n E x p x p x p x p ξ=++++，计算得到期望即可.【变式训练5-2】．（多选题）（2021·湖南高三月考）在一个袋中装有质地大小一样的6黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X ，则下列结论正确的是（） A ．3(2)7P X ==B ．随机变量X 服从二项分布C ．随机变量X 服从超几何分布D ．8()5E X =【答案】ACD 【分析】利用超几何分布判断B 、C 的正误，求出随机变量X 的概率和数学期望值判断A 、D 的正误即可得解. 【详解】由题意知随机变量X 服从超几何分布，故B 错误，C 正确；随机变量X 的所有可能为0，1，2，3，4，46410C 1(0)C 14P X ===，1346410C C 8(1)C 21P X ===，2246410C C 3(2)C 7P X ===，3146410C C (3)C P X ==435=， 44410C 1(4)C 210P X ===，故18341812341421()7352105E X ，故A ，D 正确．故选：ACD ．【点睛】易错点睛：超几何分布和二项分布的区别：（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）；（3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.【变式训练5-3】．（多选题）（2021·长沙市·湖南师大附中高三二模）下列命题中，正确的命题有（） A ．已知随机变量服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，()20D X =，则23p = B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<≤=- D ．若某次考试的标准分X 服从正态分布()90,900N ，则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为38【答案】BCD 【分析】对四个选项一一判断：对于A:根据二项分布的数学期望和方差的公式,直接计算；对于B:根据数据方差的计算公式可以判断；对于C ：由正态分布的图象的对称性可以判断；对于D:利用独立重复试验的概率计算公式计算即可. 【详解】根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得()30E X np ==，()()120D X np p =-=，解得13p =，所以A 错误；根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以B 正确；由正态分布的图象的对称性可得()()12112110222P p P p ξξ->--<≤===-，所以C 正确；甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率2231131228C ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：BCD。

二项分布_超几何分布_正态分布

超几何分布、二项分布、正态分布

第9节 二项分布、超几何分布与正态分布

10.8 二项分布、超几何分布与正态分布

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