与凸函数有关的两个加权Hadamard型不等式

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协同s-凸函数的Herimite-Hadamard型积分不等式

协同s-凸函数的Herimite-Hadamard型积分不等式
协同s-凸函数的Herimite-Hadamard型积分不等式春玲，双叶【摘要】〔摘要〕凸函数是现代数学中的重要概念,而凸函数的Hermite-Hadamard型不等式在控制理论等领域内有广泛的应用.本文利用新的引理和H?lder不等式给出了第二种意义下的二元协同s-凸函数的一些新的Herimite-Hadamard型不等式.
【期刊名称】内蒙古民族大学学报（自然科学版）
【年(卷),期】2013(000)006
【总页数】4
【关键词】〔关键词〕凸性；协同凸性；Herimite-Hadamard型不等式
1 引言
设函数f:[a,b]→?为凸函数，则有如下的Herimite-Hadamard型积分不等式其中a＜b.
近些年,Herimite-Hadamard型积分不等式得到加细推广,见文献〔1～5〕.
本文中，令是的矩形区域，其中a＜b,c＜d.
定义1.1设对任意的(x,y),(z,w)∈Δ,λ∈[] 0,1，有
则称函数f:Δ→?为Δ上的凸函数.
定义1.2设函数如果偏导函数和是协同凸函数,则称f:Δ→?为Δ上的协同凸函数.
定义1.3设对任意的(x,y),(z,w)∈Δ,λ∈[] 0,1,和s∈[0,1],有
则称函数f:Δ→?为第二种意义下的s-凸函数.。

hadamard不等式凸函数

hadamard不等式凸函数Hadamard不等式是数学中的一个重要不等式，它描述了凸函数的性质。

凸函数是一类在数学和经济学中广泛应用的函数，具有许多重要的性质和应用。

在本文中，我们将介绍Hadamard不等式以及凸函数的相关概念和性质。

我们来了解一下凸函数的定义。

在数学中，给定一个定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意的x1和x2以及0≤t≤1，有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凸函数。

简单来说，凸函数的定义表明函数上任意两点的连线上的函数值都小于等于这两点函数值的加权平均值。

Hadamard不等式是由法国数学家雅克·索洛蒙·哈达玛(Hadamard)于1893年提出的。

它描述了凸函数的一个重要性质，即凸函数的导数是递增的。

具体而言，如果f(x)是一个凸函数且可导，那么对于任意的x1和x2，有f'(x1)≤f'(x2)，其中f'(x)表示f(x)的导数。

为了证明Hadamard不等式，我们可以利用凸函数的定义和导数的定义。

假设f(x)是一个凸函数且可导，我们可以根据凸函数的定义，得到对于任意的x1和x2以及0≤t≤1，有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)。

我们再对这个不等式两边关于t求导，得到f'(tx1+(1-t)x2)(x1-x2)≤f'(x1)(x1-x2)。

由于x1和x2是任意选取的，我们可以得到f'(tx1+(1-t)x2)≤f'(x1)，即f'(x)是递增的。

Hadamard不等式的重要性在于它揭示了凸函数的导数性质。

凸函数的导数递增意味着当自变量增大时，函数的增长速度也会增大。

这个性质在优化问题、经济学和物理学等领域中都有重要的应用。

例如，在经济学中，凸函数可以用来描述效用函数或生产函数，而Hadamard不等式则表明了边际效用递减和边际生产力递减的性质。

凸函数的一个Hadamard型不等式

Ｋｉ给出了下面一个Ｈａａｒｍｄｍａｄ型不等式：
ＰｆｘｄＩ（）ｘ
— — — — — —
！—— —— —一 —— —— — — —
— 一— — — ——— ｉ———— — — — —— —— ——— — ～
（一Ｉ（）ｘ１）ｚｄ
Ｐ（６一口）
摘要：通过对两个积分式做变量代换和利用拉格朗日中值定理，出了一个关于凸函数的Ｈａａｒ得ｄｍａｄ型不
等式；推广了前人的成果。
关键词：函数；ｄｍａｄ不等式；凸Ｈａａｒ变量代换；积分
中图分类号：７０１２文献标识码：Ａ文章编号：０８— ０１２０１０２ —０１０６２（０７０ — １３２Ｊ
（～ｐ（一ｎｌ（１）＋培ｄ１）６）厂（一￡ｎ）ｔ
ｆｐ＋（一户６ ≤ 三而（ａ１））＿
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＋
Ｉ（）一（一）１（＋（～￡）ｔｚ６ｒ培１）ｄＩ６
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（１～）６～口。（）
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蒯ｚ）（口（～ｆ ≤ ６））＿．３
Ｐ０（一ｆ＋薛出＋（～Ｊ厂薛１）ｄＪ厂（）１１口）１）０（＋（一ｔ）ｔＩｂ
应用拉格朗日中值定理和Ｍ—Ｓｐ棚Ｉ（）＜。ｕ￡Ｉ。
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安徽广播电视大学学报２０第１期０７年

凸函数的一个Hadamard型不等式

安徽广播电视大学学报 ! " " ’ 年第 % 期
凸函数的一个 < B C B F B 1 C 型不等式
赵伟珍 ! ! 李爱军
" 河南理工大学数学与信息科学学院 ! 河南焦作 !* # ( * " " "
摘!要! 通过对两个积分式做变量代换和利用拉格朗日中值定理 # 得出了一个关于凸函数的 < B C B F B 1 C型不等式 & 推广了前人的成果 $ 关键词 ! 凸函数 & 变量代换 & 积分 < B C B F B 1 C 不等式 & 中图分类号 ! " # ‘ % ’ !!!!! 文献标识码 ! +!!!! 文章编号 ! % " " & # " ! % ! " " ’ " % " % ! ) " !
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凸函数与不等式

凸函数与不等式凸函数是一类数学函数，在它的图像上，任意两点之间的连线都位于函数图像之上。

这意味着凸函数的图像呈凸形，具有单调递增或单调递减的性质。

常见的凸函数包括线性函数、二次函数、对数函数和指数函数等。

不等式是一种数学命题，表示两个数之间的大小关系。

常见的不等式包括等式、大于等于不等式和小于等于不等式等。

不等式在数学中广泛应用，可用于描述函数的性质、解决实际问题和进行数学归纳等。

凸函数与不等式之间存在一定的联系。

例如，凸函数的单谷点（也称为局部最小值）一定满足不等式f(x)≤f(a)，其中x是函数的变量，a是单谷点的位置。

此外，凸函数的图像一定位于函数的单谷点之上，也就是说，凸函数的图像一定满足f(x)≥f(a)另一方面，凸函数的单峰点（也称为局部最大值）一定满足不等式f(x)≥f(a)，其中x是函数的变量，a是单峰点的位置。

凸函数的图像一定位于函数的单峰点之下，即f(x)≤f(a)。

此外，凸函数的单谷点和单峰点都可以作为凸函数的端点，即函数的最小值和最大值。

对于凸函数f(x)，如果存在常数a和b，使得f(x)≤a（或f(x)≥a），f(x)≥b（或f(x)≤b），则a和b分别是函数的最小值和最大值。

凸函数的最小值和最大值可以通过求解不等式的方法得到。

例如，对于凸函数f(x)，如果要求函数的最小值，则可以解决不等式f(x)≥a 的最小值问题；如果要求函数的最大值，则可以解决不等式f(x)≤b的最大值问题。

这些问题通常可以使用数学规划方法来解决。

凸函数与不等式还可以结合使用，用于描述函数的性质。

例如，对于一个凸函数f(x)，如果存在常数a，使得对于任意的x，都有f(x)≤a ，则称函数f(x)是单谷函数。

如果存在常数a和b，使得对于任意的x，都有a≤f(x)≤b，则称函数f(x)是双谷函数。

hadamard不等式的几何解释

hadamard不等式的几何解释Hadamard不等式是数学中的一个重要不等式，它在几何上有着丰富的解释。

以下是关于Hadamard不等式的几何解释的一些内容：1. 向量的长度：Hadamard不等式可以用来证明向量的长度。

对于一个向量的模长为1的向量（单位向量），其内积的绝对值不会超过1。

这可以被解释为单位向量在任意两个方向之间的夹角不会大于180度。

换句话说，Hadamard不等式说明了单位向量在空间中的分布会更加均匀。

2. 几何中心：Hadamard不等式与几何中心有着密切关系。

几何中心是指在给定一组点的情况下，存在一个点使得到该点的距离之和最小。

Hadamard不等式可以用来证明在欧几里德空间中，几何中心存在且唯一。

这意味着Hadamard不等式在几何中心的问题上起到了关键作用。

3. 凸集：Hadamard不等式可以用来证明凸集的性质。

凸集是指包含其任意两点之间的线段的集合。

Hadamard不等式可用于证明一个凸集中的任意两个向量的内积的绝对值不超过这两个向量的模长之积。

这个结果可以被解释为凸集中的向量趋向于平行分布，而不会过于聚集在一起。

4. 极大化最小角度：Hadamard不等式可以应用于极大化最小角度的问题。

给定一组向量，Hadamard不等式可以用来证明最小角度的正弦值不会超过向量模长的最小值。

这意味着通过使向量的模长最小化，可以使最小角度的正弦值最大化。

Hadamard不等式在几何中有着广泛的应用和解释。

它涉及到向量的长度、几何中心、凸集以及极大化最小角度等问题。

这些几何解释帮助我们更好地理解和应用Hadamard不等式。

凸函数及其在不等式证明中的应用

凸函数及其在不等式证明中的应用
凸函数是一种特殊的函数，它是数学及其应用中最重要的函数之一，它具有许多特性，可以用于在约束条件下寻找最优解和不等式证明中。

凸函数具有一个很重要的性质，它满足凸性，即任何两个点之间的夹
线都必须全部位于函数的上方。

这一性质的重要性在于可以将复杂的
问题表示为凸多变量函数的形式，从而使其更容易求解。

在数学分析中，凸性可以用来证明不同的不等式。

def-convex函数的
不等式可以满足：f（x）> a*x + b，其中a,b是算数常数，x是n维向量。

同样，f（x）< a*x + b也可以适用于凸函数，而这正是满足凸函数性质的常见不等式。

此外，凸函数可以用来求解约束优化问题。

如果函数是凸函数，则可
以确保取得最优值，而这样的解决方案也可以用来验证不等式或求解
数学建模问题。

总而言之，凸函数在数学及其应用中十分重要，它的凸性和求解最优
值的能力可用来证明不等式和解决约束优化问题，可以说是一种非常
强大的函数类型。

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March凸函数的性质及其在证明不等式中的应用数学计算机科学学院摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果.关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用Nature of Convex Function and its Application in ProvingInequalitiesChen Huifei, College of Mathematics and Computer ScienceAbstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality).We also have promoted and proved some inequality (Triangle inequality, Jensen inequality) and reached new results.Key words : Convex function;Logarithmic convex function ; Jensen inequality; Hadamard Inequality;Application1 引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中.凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数,即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数.本文试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其作用.2 概念2.1 凸函数的定义上面对凸函数作了直观的描述，我们用分析式子给出其精确定义.定义[1]2.1设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，若对[,]a b 上任意两点12,x x 和正数λ∈（0,1）,总有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (A)则f 为区间[,]a b 上的凸函数.（同时也称为上凸函数，若是不等号反向则称为下凸函.）定义[1]2.2 若函数()f x 在D 上是正的,且ln ()f x 在D 上是下凸函数,则称()f x 是D 上的对数下凸函数这时, 对于任意,x y D ∈ 和(0,1)λ∈,有ln [(1)]ln ()(1)ln ()f x y f x f y λλλλ+-≤+-. 即(1)[(1)]()()f x y f x f y λλλλ-+-≤ (B)如果(2) 中的不等号反向,则称()f x 是D 上的对数上凸函数.2.2 对数凸函数的性质我们已经有了凸函数以及对数凸函数的定义，现在我们来看一下对数的一些引理，定理及其性质等.定理 2.1[2] (对数下(上) 凸函数的判定定理) 设()f x 是D 上的正值函数,且在D 上有二阶导数,则()f x 在D 上为对数下(上) 凸函数的充要条件为对于任意x ∈D ,有2()()(())0(0)f x f x f x '''-≥≤先证下引理引理 2.1[2] （1) 若()g x 是[,]a b 上的下(上) 凸函数,则()()g x f x e = 为[,]a b e e 上的对数下(上) 凸函数.（2) 若()f x 是[,]c d 上的对数下(上) 凸函数,则()ln ()g x f x =为[ln ,ln ]c d 上的下(上) 凸数.证明（1) 任取12,[,]c d x x e e ∈,由()g x 在[,]c d 上是下凸函数,对任意01λ<<有()()121212[(1)]()(1)()121()()112[(1)][][]()()g x x g x g x g x g x f x x e e e e f x f x λλλλλλλλλλ+-+---+-=≤==（2）任取12,[ln ,ln ]x x c d ∈ ,由()f x 是[,]c d 上的对数下凸函数,对任意01λ<<有11212121212[(1)]ln [(1)]ln[()][()]ln ()(1)ln ()()(1)()g x x f x x f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλ-+-=+-≤=+-=+-所以()g x 为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)下证定理2.1[2] “⇐” 设[,]D c d =，()ln ()g x f x =，则 ()()[ln ()]()f xg x f x f x '''==，22()()[()]()()f x f x f x g x f x '''-''= 所以()g x 是为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,根据引理1 得()ln ()()g x f x e e f x ==为[ c ,d] 上的对数下凸函数“⇒” 若()f x 为[,]c d 上的对数下凸函数,由引理1 得()ln ()g x f x =为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,从而()0g x ''≥ ,对()ln ()g x f x =求二阶导数即得2()()(())0f x f x f x '''-≥. (用类似方法可证上凸的情形) .推论2.1[2] 设12(),()f x f x 是D 上的对数下(上) 凸函数,则1212()(),()()f x f x f x f x +也是D 上的对数下(上) 凸函数证明：设1212()()(),,,(0,1)g x f x f x x x D λ=+∀∈∈121122121111112221221121122212((1))((1))((1))()()()()[()()][()()]()()g x x f x x f x x f x f x f x fx f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλλλλλ----+-=+-++-≤+≤+⨯+= 其中(A) 由..H older 不等式得到根据定义 2.2 得出1121()()f x f x +是D 上的对数下凸函数.122112[()()]()()()()f x f x f x f x f x f x '''=+12211212[()()]()()2()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''=++2121212222221111222[()()][()()]{[()()]}(){()()[()]}(){()()[()]}0f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x '''-=''''''-+-≥根据定理2.1 得12(),()f x f x 是D 上的对数下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)用数学归纳法可将推论1 推广到有限情形.推论 2.2[2] 设()f x 是定义在D 上的正值函数,1) 若()f x 是对数下凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数上凸函数. 2) 若()f x 是对数上凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数下凸函数. 证明 1) 设1()()x f x φ=22322224241()()()2(())()(),()[]()()()()()2(())()()()(())()()[()][][][]()()()f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x f x f x f x φφφφφ''''-''''==-=-'''''''--'''-=--=-显然是小于0的，所以1()()x f x φ=是对数上凸函数，同理可证2) . 定理 2.2[2] (Jensen 型不等式) 设()f x 是D 上的正值对数下凸函数, 12,01, (1)i i n x D λλλλ∈<<+++=12112212(...)()()...()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤ （*）若()f x 是D 上的正值对数上凸函数,则(*) 中不等号反向.证明 (用数学归纳法) 当2n =时，由定义2.2 知不等式(*) 成立. 假设n k =时不等式(*) 成立,即121122121(...)()()...()(1,0)kkk k k i i i f x x x f x f x f x λλλλλλλλ=+++≤=>∑ ,(1,2,...,1),i x D i k ∈=+设1(1,0)ki i i λλ==>∑111211121111221111111121111211[...()()]()()...()()()()...()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x f x x x x x f x f x f x f f x f x f x f x f x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+++--++++++-++-+++++++++≤+≤++ 所以当1n k =+时,不等式(*) 成立,从而对于一切自然数(2)n n ≥ 不等式(*) 成立. 用同样方法可证明上凸情形.当然这里的定理对凸函数也是成立的.在下面的运算性质中有介绍.也就是下面的Jensen 不等式 1,Jensen 不等式 2.引理 2.2[2] (凸函数的Hadamard 不等式) 设()x φ是区间D 上的下凸函数则对于任意,.a b D a b ∈≤有11()[()()]22b a a b x dx a b b aφφφφ+⎛⎫≤≤+ ⎪-⎝⎭⎰ （#）若()x φ是区间D 上的上凸函数,则对于任意,.a b D a b ∈≤,(#)中不等号反向.定理 2.3[2] ( Hadamard 型不等式) 设():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则11()()[()()]2ln ()ln ()b a a b f f x dx f b f a b a f a f b +≤≤---⎰ （@）若():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则(5) 中不等号反向. 证明由引理2.1 和引理2.2有1ln ()ln ()11ln ()()lim lim lim n f a bbf x naan i f a nn n b a f x dx edx e n +∆→∞=+∆→∞→∞-==≥=∑⎰⎰nn 由平均值i=1（b-a ）e（b-a ）11(ln ())()2lim ()ln ()()()()2ni b aif a bnn b aan a blmf b a ef x dxa bb a eb a f =-+∆-→∞+∑==-+≥-=-⎰1b-a （b-a)e（其中b a ∆=-）又令()ln ()x f x φ=，根据定义2.1，对于a x b <<，有()()()()()a b x b x a x b aφφφ-+-≤-()()()()()()ln ()()()()()()()()()()()exp()|()()[]()()ln ()ln (b a x b a a b x b x a bbbbf x x b aaaaa b a a b b a a b bbb ab aa ab a f x dx edx edx edxb a b a eedx ex b a b a b a b a e e b a f b f a φφφφφφφφφφφφφφφφφ-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦-+------==≤--⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦--=-=--⎰⎰⎰⎰⎰[()()])f b f a - 定理得证.2．3[3] 凸函数的性质在讨论了一些对数凸函数的定理，引理，我们来看一看凸函数的运算性质以及它们实用的定理：（1) 若()f x 与()g x 均为区间[,]a b 上的凸函数，则()f x +()g x 也是区间[,]a b 上的凸函数.（2）若()f x 与()g x 为区间[,]a b 上的凸函数，则ⅰ）0λ≥，则()f x λ是[,]a b 上的凸函数；ⅱ）0λ<，则()f x λ是[,]a b 上的凹函数.(3) 设()f x 与()g x 都是[,]a b 上的非负单调递增的凸函数，则()()()h x f x g x =也是[,]a b 上的凸函数.证明：对任意12,x x ∈[,]a b 且12x x <和任意λ∈(0,1)，因()f x 与()g x 在[,]a b 上单调递增，故：1212[()()][()()]0f x f x g x g x --≥即： 12211122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+ (1) 又因为()f x 与()g x 在[,]a b 上的凸函数，故1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，2121g(x +(1-)x )g(x )+(1-)g(x )λλλλ≤而()0,()0f x g x ≥≥，设将上面两个不等式相乘，可得2122222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()](1)()()f x xg x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλλ+-+-≤+-++-又由⑴知21212222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()(1)()()]f x x g x x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλ+-+-≤+-++-=1122(1)()()()()f x g x f x g x λλ-+由凸函数的定义知：()()()h x f x g x =是[,]a b 上的凸函数. 注：1°()f x 与()g x 非负不能少,2°(),()f x g x 单调递增不能少.(4)[4][5] 设()u ϕ是单调递增的凸函数，()u f x =是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数.对于其他情况也有类似的情况的命题，如下列：我们也可以看一下单值有反函数的函数的反函数与自身的凸凹性的关系. 如下表：(5) 若()f x 为区间I 内的凸函数，且()f x 不是常数，则()f x 在I 内部不能达到最大值.2.4[3] 凸函数的等价定义和判定设函数f 在区间(,)a b 上有定义，则下列命题彼此互相等价：（1）对任意12,x x ∈(,)a b 及任意恒有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-（2）对任意i x ∈(,)a b 及任意i p >0. 1,2,...,i n =. 11ni i p -=∑ 恒有11()n ni i i i i i f p x p f x ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ （3）对任意1,2,(,)x x x a b ∈, 12x x x <<,恒有12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x---≤≤---（4）在(,)a b 上曲线在其每一点处具有不垂直于x 轴的左、右切线，并且曲线在左、右切线之上.（5）若在(,)a b 内存在单调递增的函数()x ϕ.以及0x ∈(,)a b ，使得对任意(,)x a b ∈，恒有00()()()xx f x f x t dt ϕ-=⎰，（6）对任意12,x x ∈(,)a b ，12x x <，恒有21121221()()1()22x x x x f x f x f f t dt x x ++⎛⎫≤≤ ⎪-⎝⎭⎰（7）对任意12,(,)x x a b ∈，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于凸函数定义等价性的证明，可参看[4]及[5].对于等价定义（5）事实上，我们也有类似的这样一个定理：定理 2.4 设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，则f 在[,]a b 上为上(下)凸函数（严格上（下）凸函数）的一个必要充分条件f '是在(,)a b 上递增（减）（严格递增（减））.证明先证条件是必要的.设()12,(,)x x a b ⊂.只要x x '与满足12x x x x '<<<，由于等价定义（3）可知12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x '---≤≤'---在上式中令12,x x x x +-'→→，得211221()()()()f x f x f x f x x x -''≤≤-.在是严格上凸函数的情形，我们取一点*x 满足*12x x x <<，从而得出**1212**12()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x --''≤<≤--. 这样就得出了严格的不等式12()()f x f x ''<，必要性得证.再证充分性.设f '是在(,)a b 上递增.对任何()12,x x x ∈，由Lagrange 中值定理，可只存在()12,x x ξ∈与()12,x x η∈，使得11()()()f x f x f x x ξ-'=-，22()()()f x f x f x xη-'=-因为x ξη<<，所以()()f f ξη''≤.从而有1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--所以，可知函数f 在[,]a b 上为上凸函数.容易看出，当f '严格递增时，()()f f ξη''<.上述不等式中成立着严格的不等号，从而函数f 在[,]a b 上是严格的上凸函数.同理可以证明下凸时的情景.当函数f 在[,]a b 内有二阶导数时，我们有下列应用起来就会更方便的定理定理 2.5 设函数f 在[,]a b 上连续，f 在(,)a b 内有二阶导数，则f 在[,]a b 上为上凸函数（下凸函数）的充分条件0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 内成立；而f 在[,]a b 上为严格上（下）凸函数的充分必要条件是0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 内成立并且在(,)a b 的任何开的子区间内f ''不恒等于0.证明第一个结论，由于0f ''≥得出f '在(,)a b 上递增再由定理4可得出.同理可证明下凸时的情景；第二个结论，先证充分性由于0f ''≥在(,)a b 内成立并且在(,)a b 的任何开的子区间内f ''不恒等于0.对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，又由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，所以21()()f x f x ''>.所以函数f 在[,]a b 上为严格的凸函数.充分性得证. 再证必要性（反证法）因为函数f 在[,]a b 上为严格凸函数，对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，则21()()f x f x ''>，而由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，若是有一个(,)a b 的子区间恒等于0.不妨设为(,)(,)a b ξη⊂，对任意(,)x ξη∈，()0f x ''=.则由于21()()()x x f f f x dx ηξ''''=+⎰，()()f f ξη''=，这与已知条件相矛盾.所以，必要性得证.同理可证明下凸时的情景. 所以，定理得证.关于凸函数的判定有很多，应用范围最广的是Jensen 不等式.Jensen 不等式 1 设()f x 在区间I 上有定义，()f x 为凸函数，当且仅当12,,...,n x x x I∀∈1212...()()...()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭（J1）此外，当且仅当12...n x x x === 时，上式等号成立（证明略请参考附[1]）. Jensen 不等式 2 12,,...,[,]n x x x a b ∀∈，12,,...,0n λλλ>，且11ni i λ==∑，1.则()f x 为凸函数的充要条件为：11()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ （J2）此外，上式当且仅当12...n x x x === 时，等号成立.（证明略请参考附[1]）. 这里对任意12,,...,0n βββ>，若是令1ii nii βλβ==∑，那么就有1111()nni i i i i i n n i i i i x f x f ββββ====⎛⎫ ⎪ ⎪≤⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ (J3) 每个凸函数都有一个Jensen 不等式，Jensen 不等式的应用范围甚广，既可用于求解不等式问题，又可用于证明不等式定理，应用Jensen 不等式解题的关键有两条：一是必须先判明函数的上(下)凸性，二是直接应用Jensen 不等式有困难时，可以根据命题的特点，选择恰当的上凸函数和下凸函数，然后再进行解答.3 凸函数以及对数凸函数的应用在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙.证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数.例 1[1] 利用凸函数证明调和平均值H ≤几何平均值G ≤对数平均值L ≤指数平均值E ≤算术平均值A.证明：事实上，我们可以用凸函数理论证明，对任意0(1,2,...,)ix i n 有1212...111...nnx x x n nx x x +++≤≤+++ （2）只要将不等式各部分同时取对数，这时左边的不等式可变为121111...1111ln (ln ln ...ln )n nx x x n n x x x +++-≤----.从而由函数()ln f x x =-在(0,)+∞上的（严格）凸性可得；右边的不等式可直接由()ln g x x =上的(0,)+∞（严格）下凸性可得.（具体证明可参看[2]）为了证明例1 中的连不等式，我们先来看下面两个小题：（1）设0(1,2,...,)i a i n >=且不全相等，0(1,2,...,)i p i n >=有不等式链11111ln ln exp exp n n nii i i i i i i i i nn n ii i i i n i i p a p a p a a p p p a ======⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （3）证：凸函数()ln f x x =-的Jensen 不等式：取0i q >，11ni i q ==∑，0(1,2,...,).i a i n >=得11ln ln n n i i i i i i q a q a ==-≤-∑∑ [4] 111ln ln nni i i i i i q q a a ==-≤-∑∑ （5）在[4]中令1iini ii ip a q p a ==∑得 1111exp ln nn niiii ni i i i iii ip p p a p a a a ====⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ （6）又由（4），(5)可得 1111in nq i i i n i i i i ia q a q a ===≤≤∑∏∑ （7）在此令1ini i i p q p ==∑，可得111111ln exp nn ni i i i ii i i n n n ii i i i i ip p a p a p p p a ======⎛⎫ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （8）联立(6),(8)既得证 (3).（2）设()()f x p x 与在[,]a b 上正的连续函数且()f x ≠常数，在⑻中作代换i b a p p a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，i b a a f a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭并在“∑”号后均乘b a n -，由0b a ->，不改变原不等号方向.令n →∞ 便得(3)的积分形式：ln ln exp exp b bb ba aa ab b bba aa ap fdx pdxp fdx pfdx f p p pdx pdxdx dx f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪≤≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)'在(3)'中令()1,()p x f x x ==()11ln ln ln ln 2b ab a b a b ab a e ----+⎛⎫≤≤≤⎪-⎝⎭再联立(2)，得出H G L E A ≤≤≤≤.例 2 （1）在锐角ABC ∆中，证明1cos cos cos 2A B C ++≤，（2）12,,...,n a a a 设为正数，证明恒成立12...n a a a n +++≥证明（1）令()cos()f x x =-，(0,)x π∈.由于()cos()0f x x ''=>，(0,)2x π∈.所以()f x 在(0,)2x π∈上凸函数，所以由于（J1）()()()()33f A f B f C A B C f ++++≥，即cos()cos()cos()s()33A B C A B C co ---++≥-1()2=-即1cos cos cos 2A B C ++≤；（2）令()ln ,(0,)g x x x =-∈+∞，所以21()0,(0,)g x x x''=>∈+∞，故()g x 是在(0,)+∞上的上凸函数.也是根据（J1）121212121212()()...()...()ln ln ...ln ...ln()ln ln ...ln ...ln()n nn nn n g a g a g a a a a g n n a a a a a a n na a a a a a n n++++++≥++++++-≥-++++++≤即即从而，有12...n a a a n+++≥下面我们再看一个用对数凸函数证明的不等式题. 例 3[2]10,0,12ni i i πλλ=<<>=∑i 设x ，则12112212sin(...)sin sin ...sin n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ （&）12112212cos(...)cos cos ...cos n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ (%)证明设()sin()f x x =，由于2()()[()]10f x f x f x '''-=-<，故sin()x 是(0,)2π上的对数凸函数，同理cos()x 也是(0,)2π上对数凸函数.根据定理2即可得（&），(%).例 4 设()f x 在[,]a b 上可积，且()m f x M ≤≤，()t ϕ是在[,]m M 上的连续下凸函数，则11()(())b b a af x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 证明令,()k n k f f a b a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，,1()k n x b a n ∆=-.由于()t ϕ是凸函数，故有1,2,,1,2,,...()()...()n n n n n n n n f f f f f f n n ϕϕϕϕ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭. 由定积分的定义，上式就相当于,,,,11()n ni n i n i n i ni i f f b a b a ϕϕ==⎛⎫∆∆ ⎪ ⎪≥-- ⎪⎪⎝⎭∑∑，,1()k n x b a n ∆=-在上式中令n →∞时，则有11()(())b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 命题得证.例 5[7]设,i i a b R +∈，111,2,...,,,n n i i i i i n a b ====∑∑则21112nni i i i i ia a ab ==≥+∑∑.证明记1ni i s a ==∑，11ni i a s ==∑，将21112nni i i i i i a a a b ==≥+∑∑变为11121n ii i ia b s a =≥+∑，那么取11i ib a +作为函数1()1f x x=+，则由于3()2(1)0f x x -''=+>，再令i i i b x a =，ii a sλ=所以根据凸函数性质和（J3）得出11111211ni n i i i ii i a b s x a λ==≥=++∑∑结论本文主要讨论了凸函数以及对数凸函数一类重要的函数的概念，包括它们的一些定义，性质，定理，引理和它们在证明一些不等式的重要应用.本文介绍了Jensen 不等式，Hadamard 不等式，叙述了一些定理，引理，性质并给出了它们的证明，并指出它们在判断凸函数的应用.本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用.最后举出了一些例题来具体的来体现凸函数以及对数凸函数在不等式证明的应用.参考文献：[1]汪文珑.数学分析选讲[M].绍兴文理学院数学系，2001[2]刘琼.对数凸函数的Jensen型和Hadamard型不等式[J].邵阳学报,邵阳,2005,3[3]查良凇.凸函数及其在不等式证明中的应用[J].浙江工贸职业技术学院学报,绍兴,2005,3[4]燕建梁,张喜善.凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J].太原教育学院学报,太原,2002,4[5]T.M菲赫金哥尔茨普.微积分教程[M].1965: 290-300[6]常庚哲,史济怀.数学分析教程（上册）(M).高等教育出版社，2003:167-176[7]李碧荣.凸函数及其性质在不等式证明中的应用[J].广西师范学院学报,南宁,2004,2[8]白景华.图函数的性质、等价定义及应用[J].开封大学学报,开封,2003,2[9]Satish Shirali, Harkrishan L. Vasudeva. Mathematical analysis[M]. Alpha Science International Ltd., c2006.[10]Tom M. Apostol.Mathematical analysis[M].China Machine Press, 2004.致谢这是本人的第一篇论文，所以在多方面没有指导老师张金洪老师的指导是很难进行下去的.张老师从我的选题开始便给予了很大帮助，在以后的开题，开题报告，初稿的资料搜索，初稿出来后的校正，进一步的改进都给予了极大帮助，使我在论文的完成进程中得以较为平坦地进行下去.在论文的写作的进行中，我同组等同学也给了我很多帮助.在此表示感谢.也在此对我们的学校安徽师范大学以及我校资料室提供这样一个学习环境和帮助，表示感谢.也感谢那在身后的帮助.。

P-凸函数的Hadamard型不等式

定设，是Ｐ凸ｆ，Ｒ，对任，２， ∈ ，，＋１ｆ ≤ 义４Ｒ一集，：若于意ｌ ∈，【１有，ｆｏ］（）Ｊ一ｆ
ｔ（，＋（一ｔｘ）ｆｘ）１）２，则称，为，的Ｐ一凸函数；若不等号反向，则称，为上的Ｐ一凹函数．ｆ（上
．．
证明仅证明（）１，同样的方法可证明（）２．因为．为【，厂）ａ纠上的Ｐ一凸函数，所以，由引理１（可，ｐ上的凸函数，于是有ｇ在［ｐｂ］的Ｈｄｍｒｂ】（）ａ，Ｐ上ａａａｄ型不等式
（（
ｇｘ（＜ｘ）ｄ
摘要：通过Ｐ一凸函数的一个充要条件，应用凸函数的Ｈｄｍａ型不等式，得到了Ｐ一凸函数的ａａｒｄ个Ｈａａｒ型不等式．ｄｍａｄ关键词：Ｐ一凸集；Ｐ一凸函数；Ｈａａｒｄｍａｄ型不等式中图分类号：０１８７文献标识码：Ａｃｉ０３６／ｉｎ１０ — ８１００６１ｌ：１．９．ｓ．７９３．１．．７ｏ９ｊｓ０２００
一
１引言及预备知识
１９年，Ｈｄｍｒ提出了著名的Ｈｄｍｒ型不等式：若ｆｘ是区间【，】的凸函数，则有８３ａａａｄａａａｄ（）ａｂ上
，／＿（ｘ＼＿ｆ］ｌ，）、 ≤ ｄ
一
ａ “
，中号且当（为性数成．后ＨａｒＪ其等当仅，）线函时立之，ａａ￣ｄｄｍ
４８

hadamard不等式的几何解释

hadamard不等式的几何解释
Hadamard不等式是一个关于矩阵行列式的不等式，它指出了在正定矩阵中，行列式的值将小于或等于矩阵对应元素的乘积。

几何上，Hadamard不等式提供了一个有关几何体体积的重要结论。

具体来说，对于一个n维空间中的凸包，Hadamard不等式告诉我们凸包的体积将小于或等于以凸包顶点为顶点的n维平行体的体积之积。

进一步解释为，凸包是由一些点组成的多面体，其中的每个点都可以表示为一个n维向量。

凸包的顶点是凸包边界上的极值点，它们决定了凸包的形状和大小。

根据Hadamard不等式，凸包的体积将小于或等于以凸包顶点为顶点的n维平行体的体积之积。

这意味着，凸包的体积受限于凸包顶点的位置和凸包边界的几何形状。

当凸包的顶点位置趋于均匀分布时，体积会趋于最大值。

反之，如果凸包的顶点位置高度集中在某个区域，体积将会减小。

通过这种几何解释，Hadamard不等式提供了一种刻画凸包体积的方法。

它告诉我们，凸包的体积受限于顶点位置的分布，并且给出了一种方法来估计凸包的体积。

这对于在凸包优化问题中的应用非常重要，例如在凸包包络问题、最优化问题和约束优化问题中。

总结起来，Hadamard不等式的几何解释揭示了凸包体积与顶点位置的关系，它为我们理解和应用凸包优化问题提供了重要的几何信息。

与GA-凸函数的Hermite—Hadamard型不等式相关的两个函数

Ｖｏ１．３１．Ｎｏ．３
Ｊｕｎ２０１３
文章编号：１００４－５５７０（２０１３）０３— ００５９— ０５
与ＧＡ．凸函数的Ｈｅｒｍｉｔｅ — Ｈａｄａｍａｒｄ型不等式相关的两个函数
ｔｏｔｈｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｙａｒｅｔｈｅｒｅｂｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｂｙｓｔｕｄｙｉｎｇｔｈｅｉｒｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒｃｈａｒａｃｔｅｉｓｒｔｉｃｓａｎｄｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ，
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＡｎｉｎｔｅｇｒａｌｗｉｔｈａｐａｒａｍｅｔｅｒｒｅｌａｔｅｄｔｏＧＡ— ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉＳｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ．ＴｈｅＨｅｒｍｉｔｅ．Ｈａｄａｍａｒｄ’ ＳｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｆｏｒＧＡ— ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｓｄｅｉｒｖｅｄｂｙｄｅｉｆｎｉｔｉｏｎ，ａｎｄｔｗｏｆｕｎｃｔｉｏｎｓｒｅｌａｔｅ
ｔｙｐｅｉｎｅｑｕｌｉａｔｙ
广
。文［１２］引人了两个函数
０引言与引理
设）是［ａ，ｂ］上的下凸函数，则

HG-凸函数的几何平均型Hadamard不等式

一
证（１）为／）是ｌａ，ｂＪ（０，十∞ ）上的ＨＧ
凸函数，由引理１，知ｇ（）＝－厂（）是［ｂ～，ａ］
由引理２，有ｇ（）在［ｂ～，。一］上的对数凸函数
１引理
引理１［５１设－厂（）是定义在区间［。，ｂ］Ｒ
２０１５年１２月第２８卷第６期
湖北工业职业技术学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕｂｅｉＩｎｄｕｓｔｒｉａｌＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ
ＤｅＣ．，２０１５
Ｖｏ１．２８Ｎｏ．６
ＨＧ一凸函数的几何平均型Ｈａｄａｍａｒｄ不等式
陈少元
（湖北职业技术学院教务处，湖北孝感４３２０００）
摘要：运用ＨＧ一凸函数与对数凸函数的关系、对数凸函数的几何平均型Ｈａｄａｍａｒｄ型不等式，通过积分运算，建立了ＨＧ一凸函数的几何平均型Ｈａｄａｍａｒｄ型不等式，并给出其应用。关键词：ＨＧ一凸函数；对数凸函数；Ｈａｄａｍａｒｄ型不等式；应用
（
） ≤ ｅ印（
≤
厂ｎｇ（）），
，
引Ｌ￥２ｌ４］设＿厂是定义在［。，ｂ］上的正值函数，
若Ｉ厂是［口，ｂ］上的对数凸函数，则有
（ｂ一）ｇ（０），

分形空间中的广义预不变凸函数与相关的Hermite-Hadamard型积分不等式

分形空间中的广义预不变凸函数与相关的Hermite-Hadamard型积分不等式孙文兵【摘要】在分形集Rα(0<α≤1)上定义了广义预不变凸函数,建立了关于广义预不变凸函数的Hermite-Hadamard积分不等式.构建了一个与广义预不变凸函数相关的局部分数阶积分恒等式,由此恒等式并利用广义H?lder不等式和广义幂均不等式得到了关于此类函数的几个Hermite-Hadamard型局部分数阶积分不等式.结果推广了已有研究中的一些结论.【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》【年(卷),期】2019(046)005【总页数】7页(P543-549)【关键词】广义预不变凸函数;Hermite-Hadamard型不等式;广义Hölder不等式;分形集;局部分数阶积分【作者】孙文兵【作者单位】邵阳学院理学院,湖南邵阳 422000【正文语种】中文【中图分类】O178函数凸性在经济数学、管理科学、工程和优化等领域有非常重要的应用。

目前，很多学者展开了对函数凸性推广的研究。

WEIR等[1-2]提出了预不变凸函数的定义：定义 1 设A⊆Rn，若存在一个向量函数η:Rn× Rn→ Rn，对任意x,y∈A,0≤ λ≤ 1,有则称A是不变凸集。

定义2 设A⊆Rn是一个关于η:Rn×Rn→Rn的不变凸集。

f:A→R是一个函数。

若对任意x,y∈A,0≤ λ≤ 1，有则称函数f是预不变凸的。

显然，当式(1)中，取η(x,y)=x-y时，f便是一个凸函数，因此凸函数是一个关于η(x,y)=x-y的预不变凸函数，而预不变凸函数是凸函数的一种推广。

关于预不变凸函数的性质，可参阅文献[3-4]。

Hermite-Hadamard不等式的推广研究是与函数凸性紧密相关的，该不等式叙述如下:令f:I⊆R→R是一个凸函数，其中a,b∈I，a＜ b，则如果f是凹的,则不等式反号。

根据不同的凸性定义，涌现了许多Hermite-Hadamard不等式的新研究结果[5-8]。

HG-凸函数的两个Hadamard型不等式.

・
１０７・
陈少元：ＨＧ一凸函数的两个Ｈａｄａｍａｒｄ型不等式
证明因为）是［ａ，ｂ］Ｒ上的ＨＧ一凸
ｂ — 一 ‘ ～一
函数，由引理１，知ｇ（）＝
对数凸函数．
）是［ｂ～，ａ］上的
则凸函数的Ｊｅｎｓｅｎ不等式及Ｈａｄａｍａｒｄ型不等式．本文函数，运用ＨＧ一凸函数与对数凸函数的关系和对数凸函
≤ ）ｄｘ≤ ．
数的Ｈａｄａｍａｒｄ型不等式，通过积分变换，建立了ＨＧ
２二）
＝
ｆｂ一ａ）
：
Ｊ Ⅱ
＋
＋
（ｂ一０）（ｂ一０）
（：！＝ｇ（：：）一
ｌｎｇ（。）一ｌｎｇ（ｂ）一１６）一１ｎｆ（口）
＝
６一ｌｎｆ（ａ）］（１ｎｂ—ｌｎａ
＝
其应用．
定义１
设ＩＲ
Ｉ＿ ÷ Ｒ．若Ｖｌ，２∈
，ｌ、） ≤ Ｈ “
Ｉ和ＶｔＥ（０，１），都有
如果）是区间Ｉ上的ＨＧ一凹函数，则ห้องสมุดไป่ตู้上式中的不
） ≤ ）（Ｘ２）） ¨
第１８卷第４期
２０１５年１２月
湖北职业技术学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＵＢＥＩＰＯＬＹＴＥＣＨＮＩＣＩＮＳＴＩＴＵＴＥ

区间值h-凸函数的整合分数阶积分Hermite-Hadamard型不等式

f
a+b 2
⊇
Γ(α + 1) (b − a)α
Jaα+ f (b) + Jbα− f (a)
⊇
f (a)
+ 2
f (b) .
受此启发, 本文引入了区间值函数整合分数阶积分的概念, 讨论了其若干重要性质. 将文献 [1] 中的 Hermite-Hadamard 型不等式推广到区间值函数整合分数阶积分的形式中, 同时也推广了文献 [2, 3] 的相关结果.
f
a+b 2
=f
ta + (1 − t)b + tb + (1 − t)b 2
⊇h
1 2
[f (ta + (1 − t)b) + f (tb + (1 − t)a)] .
(3.1) (3.2)
在
(3.2)
式两边同乘以
1 n!
ν
n
(1
−
ν )α−n−1
并在
[0, 1]
上关于
t
取积分,
Γ(α Γ(α +
定义 2 [9] 设 f : [a, b] → RI 且 f (t) = f (t), f (t) . 若 f ∈ IR([a,b]), 那么区间值
Riemann-Liouville 分数阶积分定义为：
Jaα+ f (t)
=
1 Γ(α)
t
(t − τ )α−1f (τ )dτ,
a
Jbα− f (t)
=
1 Γ(α)
b
(τ − t)α−1f (τ )dτ.
t
No.3
史芳芳等: 区间值 h- 凸函数的整合分数阶积分 Hermite-Hadamard 型不等式