六年级奥数01

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小学六年级奥数教材(上册)

第一讲工程问题第一讲工程问题工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）．这三个量之间有下述一些关系式：工作效率×工作时间＝工作总量，工作总量÷工作时间＝工作效率，工作总量÷工作效率＝工作时间．为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效．例1 一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？答：甲、乙、丙三队合作需10天完成．说明：我们通常把工量“一项工程”看成一个单位．这样，工效就用工例2 师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5天批零件各需几天？工效和．要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天．答：如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天．例3 一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？分析解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据题目的条件，找到等量关系，列方程解题。

解：设甲做了x天．那么，两边同乘36，得到：3x＋40－4x＝36，x＝4．答：甲做了4天．例4 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？分析设一件工作为单位“1”．甲做6小时，乙再做12小时完成或者甲先做8小时，乙再做6小时都可完成，用图表示它们的关系如下：由图不难看出甲2小时工作量＝乙6小时工作量，∴甲1小时工作量＝乙3小时工作量．可用代换方法求解问题．解：若由乙单独做共需几小时：6×3＋12＝30（小时）．第一讲工程问题若由甲单独做需几小时：8＋6÷3＝10（小时）．甲先做3小时后乙接着做还需几小时：（10－3）× 3＝21（小时）．答：乙还需21小时完成．例5 筑路队预计30天修一条公路．先由18人修12天只完成全部工程之几（即一人的工效）．解：①1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）：②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：＝36（人）．③需增加几人：第一讲工程问题36－18＝18（人）．答：还要增加18人．例6 蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小时．排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水…的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）分析与解答①在解答“水管注水”问题时，会出现一个进水管，一个出水管的情况．若进水管、出水管同时开放，则积满水的时间＝1÷（进水管工效－出水管工效），排空水的时间＝1÷（出水管工效－进水管工效）．②这道应用题是分析推理与计算相结合的题目．根据已知条件推出水池好排完．一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？分析这道题是工程问题与分数应用题的复合题．解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单位“1”（总工作量）的几分之几？第一讲工程问题如果二人一起干，完成任务时乙比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？分析求这批树一共多少棵，必须找出与36棵所对应的甲、乙工效＝4∶3，所以甲与乙的工效比是3∶4．这个间接条件一旦揭示出来，问题就得到解决了．甲与乙的时间比是4∶3．工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比是时间比的反比，为3∶4．答：这批树一共252棵．例9 加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成．现在由甲先做16天，第一讲工程问题个零件，求这批零件共多少个？分析欲求这批零件共多少个，由题中条件只需知道甲、乙二人每天共做多少个即可，然后这就转化为求甲、乙两人单独做各需多少天，有了这个结论后，只需算出3个零件相当于总数的几分之几即可．由条件知甲做16甲单独做所用天数可求出，那么乙单独做所用天数也就迎刃而解．解：甲、乙合作12天，完成了总工程的几分之几？甲1天能完成全工程的几分之几？乙1天可完成全工程的几分之几？这批零件共多少个？答：这批零件共360个．第一讲工程问题例10 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，…，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？分析要求共用多少小时？可以设想把这些小时重新分配：甲做1小时，乙做1小时，它们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时．这样先大致算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了．解：①若甲、乙两人合作共需多少小时？②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？④共用了多少小时？习题一习题一1．一项工程，甲单独做12天可以完成．如果甲单独做3天，余下工作由乙去做，乙再用6天可以做完．问若甲单独做6天，余下工作乙要做几天？2．一条水渠，甲乙两队合挖30天完工．现在合挖12天后，剩下的由乙队挖，又用24天挖完．这条水渠由乙单独挖，需要多少天？3．客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，经2小时24分钟相遇，相遇时客车比货车多行9.6千米．已知客车从甲站到乙站行4小时30分钟，求客车与货车的速度各是多少？4．水箱上装有甲、乙两个注水管．单开甲管20分钟可以注满全箱．现满水箱？5．一项工程，甲、乙单独做分别需要18天和27天．如果甲做若干天后，乙接着做，共用20天完成．求甲乙完成工作量之比．7．做一批儿童玩具．甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成，丙组每天可生产64 件．如果让甲、乙两组合作4天，则还有256件没完成．现在决定三个组合做这批玩具，需要多少天完成？习题一解答习题一解答②余下工作乙几天完成？答：余下工作乙要4天完成．答：乙队单独挖需40天完成．＝32（千米/小时）．答：客车与货车的速度分别为每小时32千米和28千米．答：单开乙管需30分钟注满水箱．5．解：设甲先做x天，乙做（20－x）天．20－x＝20－14＝6．答：甲乙完成工作量之比是7∶2．②甲乙工作时间比：3∶2，工效比为2∶3．答：单独做甲需18天，乙需12天．7．解法1：①要加工儿童玩具多少件？②丙组单独做需要几天？960÷64＝15（天）．③甲乙丙三组合作，共需几天？答：三组合作做这批儿童玩具要4天完成．解法2：甲、乙两组合作4天后，所剩没有完成的256件，由丙组完成，需：256÷64＝4（天）．答：甲、乙、丙三组合作这批儿童玩具要4天完成．第二讲比和比例第二讲比和比例在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断．成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例．下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始．例1 下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？①速度一定，路程与时间．②路程一定，速度与时间．③路程一定，已走的路程与未走的路程．④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间．⑤总产量一定，亩产量和播种面积．⑥整除情况下被除数一定，除数和商．⑦同时同地，竿高和影长．⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积．⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数．⑩圆的半径和面积．(11)长方体体积一定，底面积和高．第二讲比和比例(12)正方形的边长和它的面积．(13)乘公共汽车的站数和票价．(14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数．(15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．分析以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如①×零件数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例．解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15)成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14)不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)．例2 一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？分析要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小时行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程．解：上坡路的路程：走上坡路用的时间：第二讲比和比例上坡路所用时间与全程所用时间比：走完全程所用时间：例3 一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？分析要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量．应该注意到铜和锌的比是2∶3时，合金的重量不是36克，而是（36－6）克．铜的重量始终没有变．解：铜和锌的比是2∶3时，合金重量：36－6＝30（克）．铜的重量：新合金中锌的重量：36－12＝24（克）．新合金内铜和锌的比：12∶24＝1∶2．第二讲比和比例答：新合金内铜和锌的比是1∶2．例4 师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？工作量与工作效率成正比例．解法1：设师傅加工x个，徒弟加工（168－x）个．5x＝168×9－9x，14x＝168×9，x＝108．168－x＝168－108＝60（个）．答：师傅加工108个，徒弟加工60个．第二讲比和比例＝60（个），（徒弟）．考方法可求出两人各用了多少分钟．然后用师、徒每分钟各自的效率，分别乘以540就是各自加工零件的个数．解法4：按比例分配做：第二讲比和比例例5 洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？分析这是一道比例应用题，工效和工时是变量，不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工效看，有原来的效率1600÷20＝80台/天，又有提高后的效率80×（1＋25％）＝100台/天．从时间看，有原来计划的天数，要求效率提高后还需要的天数．根据工效和工时成反比例的关系，得：提高后的效率×所需天数＝剩下的台数．解法1：设完成计划还需x天．1600÷20×（1＋25%）×x＝1600－1600÷20×580×1.25×x＝1600－400100x＝1200x＝12．答：完成计划还需12天．解法2：此题还可以转化成正比例．根据实际效率是原来效率的1＋25因为工效和工时成反比例，所以实际与原来所需时间的比是4∶5，如果设实际还需要x天，原来计划的天数是20－5＝15天，根据实际与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比，可以用正比例解答．设完成计划还需x天．第二讲比和比例5x＝60，x＝12．解法3：（按工程问题解）设完成计划还需x天．例6 一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？画出图便于解题：解法1：BC的长：182÷13＝14（厘米），BD的长：14＋13＝27（厘米），从图中看出AB长就是原长方形的宽，AD与AB的比是14∶5，AB与BD的比是5∶（14－5）＝5∶9，第二讲比和比例原长方形面积是42×15＝630（平方厘米）．答：原长方形面积是630平方厘米．解法2：设原长方形长为14x，宽为5x．由图分析得方程（14x－13）× 13－5x×13＝182，9x＝27，x＝3．则原长方形面积（14×3）×（5×3）＝630（平方厘米）．例4、例5、例6是综合性较强的题，介绍了几种不同解法．要求大家从不同角度、综合、灵活运用所学知识，多角度去思考解答应用题，从而提高自己思维判断能力．习题二习题二1．一块长方形的地，长和宽的比是3∶2，长比宽多24米，这块地的面积是多少平方米？2．一块长方形的地，长和宽的比是3∶2，长方形的周长是120米，求这块地的面积？3．水果店运来橘子、苹果共96筐，橘子和苹果筐数的比是5∶3，求橘子、苹果各是多少筐？4．化肥厂计划生产化肥1400吨，由于改进技术5天就完成了计划的25％，照这样计算，剩下的任务还需多少天完成？5．小强买了一件上衣和两条裤子，小明买了同样价钱的上衣和裤子各一件，他们用去钱数的比是4∶3，已知一件上衣7元，求一条裤子多少元？页，这时已读的页数与剩下页数的比是3∶7，小刚再读多少页就能读完这本书？7．甲、乙两车由A、B两地同时出发相向而行，甲乙两车速度比是2∶8．“长江”号轮船第一次顺流航行21公里又逆流航行4公里，第二次在同一河流中顺流航行12公里，逆流航行7公里，结果两次所用的时间相等．求顺水船速与逆水船速的比．习题二解答习题二解答2．120÷2＝60（米），36×24＝864（平方米）．3．5＋3＝8，4．设剩下的任务还需x天完成．25％x=75％×5，x=15．习题二解答5．设一件上衣与一条裤子的价钱之比是1∶x，则小强和小明用去钱数的比是：3（1＋2x）＝4（1＋x）,3＋6x＝4＋4x，2x＝1，7．设乙车行完全程用x小时．8．顺水船速∶逆水船速＝（21－12）∶（7－4）＝3∶1．第三讲分数、百分数应用题（一）第三讲分数、百分数应用题（一）分数、百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学重点和难点之一．一方面它是在整数应用题基础上的继续和深化；另一方面，它有其本身的特点和解题规律．因此，在这类问题中，数量之间以及“量”、“率”之间的相依关系与整数应用题比较，就显得较为复杂，这就给正确地选择解题方法，正确解答带来一定困难．为了学好分数、百分数应用题的解法必须做好以下几方面工作．①具备整数应用题的解题能力．解答整数应用题的基础知识，如概念、性质、法则、公式等仍广泛用于分数、百分数应用题．②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用．③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件．它可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理．④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，在寻找正确的解题方法同时，不断地开拓解题思路．例1 （1）本月用水量比上月节约7％，可以联想到哪些关系？①上月用水量与单位“1”的关系．②本月节约用水量与上月用水量的7％的关系．③本月用水量与上月用水量的（1－7％）的关系．（2）蓝墨水比红墨水多20％，可以联想到哪些关系？①红墨水与单位“1”的关系．②蓝墨水比红墨水多出的量与红墨水的20％的关系．③蓝墨水与红墨水的（1＋20％）的关系．（3）已看的页数比未看的页数多15％，可以联想哪些关系？第三讲分数、百分数应用题（一）①未看的页数与单位“1”的关系．②已看的与未看的页数的差与未看页数的15％的关系．③已看的页数与未看的页数的（1＋15％）的关系．是多少页？分析每天看15页，4天看了15×4＝60页．解题的关键是要找出解：①看了多少页？15×4＝60（页）．②看了全书的几分之几？③这本书有多少页？答：这本故事书是150页．事书分析要想求这本书共有多少页，需要找条件里的多21页，少6页，剩下172页所对应的百分率．也就是说，要从这三个量里找出一个能明确占全书的几分之几的量．画线段图：答：这本故事书共有264页．例4 惠华百货商场运到一批春秋西服，按原（出厂）价加上运费、营知售价是123元，求出厂价多少元？于123元，相当如上图可以得出解答：答：春秋西服每套出厂价是108元．其余部分时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少千克？率”的关系已经直接对应，求每筐的千克数的条件完全具备．解：其余部分是总千克数的几分之几：克，收完与百分西红柿总数共装了多少筐：每筐是多少千克：共收西红柿多少千克：综合算式：答：共收西红柿384千克．解法2：（以下列式由学生自己理解）答：共收西红柿384千克．水泥没运走．这批水泥共是多少吨？分析上图中有3个相对各自讨论范围内的单位“1”（“全部”、“余下”、“又余第三讲分数、百分数应用题（一）下”）．依据逆向思路可以得出，最后剩下的15吨对应的是下”的吨数90吨（即“余下”含义中的1个单位是90吨）．这90吨恰是“全例7 某人在公共汽车上发现一个小偷向相反方向步行，10秒钟后他秒？分析与解答这是一个追及问题，因此求追上所花时间必须求出相距距离及它们速度差．相距距离是因为车上之人与小偷反向走了10秒钟产生的．而速度差是易求的．所以追上所花时间是答：追上小偷要110秒．例8 A有若干本书，B借走一半加一本，剩下的书，C借走一半加两本，再剩下的书，D第三讲分数、百分数应用题（一）借走一半加3本，最后A还有2本书，问A原有多少本书．答：A原有50本书．解法2：用倒推法解．分析A剩下的2本应是C借走后剩下的一半差3本，所以C借走后还综合算式：答：A原有50本书．习题三习题三比苹果少1440千克，运来橘子多少千克？2．有两袋米，甲袋比乙袋少18千克．如果再从甲袋倒入乙袋6千克，3．一本书，已看了130页，剩下的准备8天看完．如果每天看的页数苹果？每天各吃了几个苹果？5．古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年．再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一．再过了五年，他幸福地得到了一个儿子．可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半．儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯”．你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？6．一瓶酒精，当用去酒精的一半后，连瓶共重700克；如只用去酒精多少台？习题三解答习题三解答1．①苹果重量占总重量的几分之几？③总重量是多少千克？④运来橘子多少千克？2．①倒米后甲袋比乙袋少多少千克？18＋6×2＝30（千克）．②倒米后甲袋比乙袋少几分之几？③倒米后乙袋有米多少千克？习题三解答④原来乙袋有米多少千克？80－6＝74（千克）．⑤原来甲袋有米多少千克？74－18＝56（千克）．4．共买苹果：习题三解答＝605（台）．第四讲分数、百分数应用题（二）第四讲分数、百分数应用题（二）在解题过程中，除了要利用上一讲中所说的一些技巧和方法（如画线段示意图等）之外，还要注意在解题过程中量的转化．例如，在解题过程的不同阶段，有时需把不同的量看成单位1，即要把单位1进行“转化”；有时，在解题过程中需把相等的量看成完全一样，即其中之一可“转化”为另一．通过这样的转化，往往能使解题思路清晰，计算简便．几？而问题“女工人数比男工人数少几分之几”是把男工人数看作单位“1”．解答这题必须转化单位“1”．说明：“1”倍量的转换引起了“百分率”的转化，其规律是，甲数是第四讲分数、百分数应用题（二）修路程的比是4∶3，还剩50O米没修，这条路全长多少米？分析此题条件中既有百分率又有比，可以把比转化成百分率，按分数应用题解答．第二天与第一天所修路程的比是4∶3．即第二天修的占4份，第一天米相对应的百分率，进而求出全长有多少米．＝1200（米）．答：全长是1200米．求两个班各分到多少皮球？相等，单位“1”不一致，因此一班与二班分到的皮球之间缺乏统一的倍数关系，率”转化，才能做此题．二班的球数相当于一班的几分之几．总球数120就和两个班的百分率之和相对应，求出一班分到多少皮球．二班分到的球占一班的几分之几：二班分到多少皮球：120－72＝48（个）．答：一班分到72个皮球，二班分到48个皮球．倍题，就可求出二班分到多少球．一班分到的占二班几分之几：二班分到多少球：一班分到多少球：120－48＝72（个）．一班与二班分到皮球数的比：问两班第四讲分数、百分数应用题（二）各多少人？画出线段图：由量、百分率的对应就不难求出甲班人数了．乙班人数：84－40＝44（人）．答：甲班有40人，乙班有44人．例5 加工一批零件，甲乙二人合作需12天完成；现由甲先工作3天，这批零件共有多少个？分析解答此题要用条件转化法，即把“甲工作3天，乙工作2天”，转化为“二人合作第四讲分数、百分数应用题（二）2天，再由甲独干一天”，问题便可以得到解决．件所对应的百分率，求出这批零件有多少个．解：甲每天完成这批零件的几分之几：乙每天完成这批零件的几分之几：这批零件共有多少个：答：这批零件共有240个．第四讲分数、百分数应用题（二）分析题目中除全厂外，还有两个单位“1”：一个是一车间，另一个是二车间．可以通过转化的思路，统一到一车间．找到三车间的156人相当于一车间的几分之几，从而先求出一车间的人数，由于一车间人数占全厂的25％，从而直接求出全厂的人数，这样可无需求出二车间的具体人数．解：二车间人数是一车间的几分之几：三车间的人数是一车间的几分之几：一车间有多少人：答：这个服装厂全厂共有600人．全厂共有多少人：150÷25％＝600（人）．综合算式：习题四习题四2．修路队修一条1800米的路，前5天完成了全长的25％，照这样计算，把这条水渠还要多少天？3．甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经4小时相遇，相遇后各自继续前进，又经过3小时，甲车到达B地，乙车离A地还有70千米，求A、B两地相距多少千米？4．哥哥和弟弟共有人民币10．8元，哥哥用去自己钱数的75％，弟弟用去自己钱数的80％，两人所剩的钱正好相等，哥哥原来有多少钱？5．一项工程，甲、乙两队合作可30天完成，甲队独做24天后，甲、乙两队又合作了12 天，然后甲调走，乙又做了15天才完成了全部的工程，甲队若单独做这项工程需几天完成？6．甲、乙两台抽水机共同工作10小时，可以把整池水抽完，如果甲台两台抽水机单独抽各需几小时？7．二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少少人？习题四解答习题四解答甲班：120－24＝96（棵）2．解法1：1800×（1－25％）÷（1800×25％÷5）＝15（天）．解法2：1800÷（1800×25％÷5）－5＝15（天）．解法3：1÷（25％÷5）－5＝15（天）．解法4：5×[（1－25％）÷25％]＝15（天）．4．解法2：1－75％＝25％，1－80％＝20％，（1÷25％）∶（1÷20％）＝4∶5，10.8÷（4＋5）×4＝4.8（元）．习题四解答二班人数：90－48＝42（人）．第五讲长方体和正方体长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立体图形．如下图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱．在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．两个全等图形的面积相等，对应边也相等）．长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac）；长方体的体积：V长方体＝abc．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么：S正方体=6a2，V正方体=a3．例1有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积．解：设原来长方体的底面边长为a厘米，高为h厘米，则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为2a2平方厘米，而这也就是原长方体被截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面积所增加的数值，因此，根据题意有：190＋2a2＝240，可知，a2＝25，故a＝5（厘米）．又因为2a2＋4ah＝190，。

六年级(上)奥数思想第01讲比赛中的推理

第一讲比赛中的推理这一讲我们学习的主要内容是与比赛有关的逻辑推理问题．这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理．在逻辑推理中，特别有用的方法是画示意图或表格，这种方法相信大家并不陌生，用它来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了．例题1编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号一样，那么编号为6的同学赛了几盘？「分析」为了让问题更加直观，我们可以画出一个示意图，用6个点来表示这6个同学．如果两个同学之间比赛过，则把对应的两个点用实线连起来，如果没比赛过，则用虚线连起来．练习1A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛．不同学校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队赛过的场数依次为4、3、2、1．问：这时候A校的足球队已赛过的场数？例题2A、B、C、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C．那么第五天与A队比赛的是那个队？A B C D E F1 D B2 E C3 F D4 C B5「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示．如图，第二列从上到下依次表示A在5天中分别遇到的对手，第三列表示B在5天中遇到的对手，依此类推．观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习2五个国家足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空．已知第一天比赛的是A与D，C轮空；第二天A与B比赛，E轮空；第三天A与E比赛；第四天A与C比赛；B与C的比赛在B与D的比赛之前进行．那么C与E在哪一天比赛？例题3甲、乙、丙、丁四个同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：（1）一共有多少场比赛？（2）四个人最后得分的总和是多少？（3）如果最后结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得了多少分？「分析」（1）每两人之间都比赛一场，总比赛场数就是从四个人中挑出两人的方法数；（2）比赛的胜负情况有很多种可能？那么总分也有很多种可能吗？大家考虑一下每场比赛，比赛双方的得分之和就知道了；（3）乙、丙最后的分数一样，由于总分是固定的，这个相同的分数既不能太大，也不能太小，那么会是多少呢？练习3有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，每两队都比赛一场．比赛规定：胜一场得2分，平局各得1分，负一场得0分．全部比赛结束后，A、B两队的总分并列第一名，C队第二名，D队第三名，C队最多得多少分？例题44支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少？「分析」4支球队之间一共比赛了多少场？所有比赛的总分最多是多少，最少是多少？你能由此推断出各队的得分吗？练习4甲、乙、丙、丁4个队举行足球单循环赛．规定：每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．已知：（1）比赛结束后4个队的得分都是奇数；（2）甲队总分超过其他各队，名列第一；（3）乙队恰有两场平局，并且其中一场是与丙队平局．那么丁队得了多少分？例题5A、B、C、D四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如下：场数胜平负进球失球A 3 2 1 0 2 0B 2 1 1 0 4 3C 2 0 0 2 3 6D问：D赛了几场？D所参与的各场比赛的比分分别是什么？「分析」对于整个表格来说总进球数等于总失球数．总胜场应当等于总负场，平局数为偶数场．另外表格中的A很特别，两胜一平却只进两个球，这说明什么呢？例题6A、B、C、D、E五位同学分别从不同的途径打听到五年级那位获得数学竞赛第一名的同学的情况：A打听到的：姓李，是女同学，13岁，东城区；B打听到的：姓张，是男同学，11岁，海淀区；C打听到的：姓陈，是女同学，13岁，东城区；D打听到的：姓黄，是男同学，11岁，西城区；E打听到的：姓张，是男同学，12岁，东城区．实际上该同学的情况在上面都出现过，而且这五位同学的消息都仅有一项正确，那么第一名的同学应该是哪个区的，今年多少岁呢？「分析」每个同学打听到的消息都只有一项正确，可谓相当的少！5420⨯=个判断，一共才5个正确的，其中关于姓氏、性别、年龄、地区的判断各有几项是正确的呢？课堂内外足球世界杯世界杯（World Cup，FIFA World Cup），世界足球锦标赛是世界上最高荣誉、最高规格、最高水平的足球比赛，与奥运会并称为全球体育两大顶级赛事，是影响力、转播覆盖率很高的全球体育盛事．世界杯是全球各个国家最梦寐以求的神圣荣耀，哪一支国家足球队能得到它，就是名正言顺的世界第一．整个世界都会为之疯狂沸腾，世界杯上发挥出色的球员都会被该国家奉为民族英雄永载史册，所以它亦代表了各个足球运动员的终极梦想．世界杯每四年举办一次，任何国际足联会员国（地区）都可以派出代表队报名参加这项赛事．世界杯的奖杯为大力神杯，它采用意大利人加扎尼亚的设计方案——两个大力士双手举起地球的设计方案．这个造形象征着世界第一运动的规模．该杯高36.8厘米，重6.175公斤，其中4.97公斤的主体由纯金铸造．底座由两层孔雀石构成，珍贵无比．1974年第十届世界杯赛，德国队作为冠军第一次领取了该杯．国际足联规定新杯为流动奖品，不论哪个队获得多少冠军，也不能永久占有此杯．在大力神杯的底座下面有能容纳镌刻17个冠军队名字的铭牌——可以持续使用到2038年．世界杯32支队伍，在小组赛阶段进行的是单循环比赛，16强阶段进行的是淘汰赛，积分规则是3分制．大力神杯作业：1.A、B、C、D四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知A、B、C三队的成绩分别是：A队二胜一负，B队二胜一平，C队一胜二负．那么D队的成绩是什么？2.3.6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：（1）一共有多少场比赛？（2）6个人最后得分的总和是多少？（3）得分最高的三名同学的分数之和最多是多少？4.5.六个人参加乒乓球比赛，每两人之间都要比赛一场，胜者得2分，负者得0分，没有平局．比赛结束时发现，有两人并列第二名，两人并列第五名．那么第一名和第四名各得了多少分？6.7.足球甲A联赛共有12个足球俱乐部参加，实行主客场双循环赛制，即任何两队分别在主场和客场各比赛一场，胜一场得3分，平一场各得1分，负一场得0分，在联赛结束后按积分的高低排出名次．那么，在积分榜上第一名与第二名的积分差距最多可达多少分？8.9.A、B、C、D四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如下：10.11.问：D赛了几场？D所参与的各场比赛的比分分别是什么？第一讲比赛中的推理【答案详解版】例1．答案：3详解：5号已经赛过5盘，说明他和其他5个人都已经赛过了．而1号只赛了一盘，所以1号这一盘是同5号赛的，他同其他四个人都没有赛过，如图1所示．再看4号，他赛过4盘，且同1号没有赛过，所以4号赛过的同学是除1号以外的4个人．而2号只赛过两盘，所以2号只同5号、4号赛过，如图2所示．3号赛过3盘，而且他同1号、2号没有赛过，那么同3号赛过的就是4号、5号和6号，如图3所示．于是我们知道同6号赛过的有3号、4号和5号．他赛了3盘．例2．答案：B 详解：如图4，列出表格后发现，每行、每列各有6个字母，而且同一行或列的6个字母互不相同，只需用这一原则把表格补充完整即可．首先可以确定（2，D ）处应填A ．这是因为第2行已经有E 和C ，第4列已经有D 、B 和F ，所以这一个格不能填这些字母，只能填A ．由于第二天A 与D 比赛，那么对应地（2，A ）处也应填D ．第二天余下的一场就是B 对F ，因而（2，B ）处应填F ，（2，F ）处应填B ．我们用类似的方法推理各行、列，最终把整个表格填出来，得到图5．于是，第五天与A 比赛的球队是B ．例3．答案：6；12；3 详解：（1）6；（2）12；（3）3．（1）详解：从四个人中选出两人，有246C 种方法．每两人之间比赛一场，那么一共就有6场比号5号图135号图2号5号图3赛；（2）详解：不论胜负还是平局，每场比赛两人得分之和都是2分．一共6场比赛，所以四个人最后得分的总和就是2612⨯=分；（3）详解：四个人得分之和是12分，甲得分最高，丁得分最低，而乙、丙得分相同．如果乙、丙得分是4分，则甲得分超过4分，这三人的得分之和已经超过12分，与题意矛盾．因此乙、丙得分最多是3分．如果乙、丙得分是2分，则丁最多得了1分，而甲至少得了122217---=分．但是连胜3场也只能得6分，不可能达到7分，因此乙、丙得分至少是3分．所以乙、丙得分就是3分．例4．答案：4详解：如果比赛分出胜负，那么双方得分之和就是3分；如果平局，双方得分之和就是2分．4支球队之间要进行246C =场比赛，所以总分就要在12分和18分之间．由题意，四支球队的得分是4个连续的自然数．而四个连续自然数的和可能是：01236+++=，123410+++=，234514+++=，345618+++=，…… 在12分和18分之间的只有14和18．如果是3分、4分、5分、6分，总分是18分，那么每场比赛都分出了胜负，但这是不可能的（大家自己想想这是为什么）．所以四个连续的分数为2分、3分、4分、5分．于是第一名得5分，只能是1胜2平；第二名得4分，只能是1胜1平1负；第三名得3分，可能是1胜2负，也可能是3平；第四名得2分，只能是2平1负．其中只有第三名的比赛结果有两种情况．综合考虑第一名、第二名、第四名的胜负情况：他们一共有2胜5平2负．由于总胜场数与总负场数相同，所以第三名只能是3平．容易画出四支队之间的比赛胜负关系，如图6所示．因此输给了第一名的只有第二名，他得了4分．例5．答案：3，A :D =1:0，B :D =4:3，C :D=3:5详解：首先A 两场胜场均为1比0胜出，平局为0比0，而且一定是A 以1比0胜C ，同样以1比0胜D ，0比0平B ，而B 胜的那场胜场以4:3胜出，C 的负场以3比5败北，所以不能是B 胜C ，那么一定是B 胜D ，D 胜C ，所以，D 参加了3场比赛．分别是A :D =1:0，B :D =4:3，C :D=3:5．例6．答案：海淀区，12岁详解：5420⨯=个判断，一共才5个正确的，可以推断出第一名同学的姓名、性别、年龄、城区，分别有1项、2项、1项、1项是正确的．先来看性别，有2项正确，那么第一名是女同学；再来看年龄，2个人说是13岁，2个人说是11岁，只有1个人说是12岁，由于只有1项消息正确，则第一名是12岁；再看城区，3人说东城区，1人说海淀区，1人说西城区，那么第一名在海淀区或第一名1胜2平第二名 1胜1平1负第三名3平第四名 2平1负图6者西城区；类似地，可以分析出第一名同学姓李，或姓陈，或姓黄．综合考虑第一名同学的姓名与城区，就很容易判断出唯一的答案：姓黄，是女同学，12岁，海淀区．练习答案：练习1答案：赛2场简答：连线，从胜得最多的和胜得最少的队伍入手分析．练习2答案：第五天简答：列表分析，用*表示轮空，可得下图．练习3答案：3简答：四人总得分是12分，其中C 的分数肯定小于1234÷=分，所以得分不多于3分．四人分别得4分、4分、3分、1分是容易构造出来的，所以C 队得分最多就是3分．练习4答案：3简答：先推断出各队得分分别为7分、5分、3分、1分，然后分析胜负情况即可．图1作业：12. 答案：一平二负．简答：B 队有一平，只可能平D ，所以对A 、C 是二胜．于是A 的两胜是赢了C 和D ．故C 的一胜是胜D ，于是D 的成绩是一平二负．13.14. 答案：（1）15；（2）30；（3）24．简答：（1）；（2）；（3）． 15.16. 答案：10；4．简答：并列第五名的两人至少要各赢1场，所以第四名至少要赢2场，并列第二名至少要各赢3场，第一名至少要赢4场．，而一共要进行15场比赛，所以只能是第一名赢5场得10分，第四名赢2场得4分．17.18. 答案：46．简答：第一名要积分多，最好是要22场全胜，得66分．剩下的11支球队还要比赛（场），每场比赛两队合起来至少得2分，于是剩下11队总共至少得220分．因此得分最多的队伍至少有分，当这11队全平时，第二名只能得20分，因此分差最大为46分．19.20. 答案：2；A 与D 是1:0、B 与D 是1:0．21. 简答：由A 全胜，且进球数为3，可知A 与其他三队的比分都是1:0．B 赛了三场，且两胜一负，所以B 胜C ，而C 只比了两场，进球数为0，所以B 与C 的比分是3:0；而B 与D 只能是1:0．2201120÷= 2112110C ⨯= 12232414⨯++⨯+= 303224-⨯= 15230⨯=2615C =。

六年级上册奥数

六年级上册奥数第一讲牛吃草问题1：牧场上有一片青草，可以供6头牛吃8天，或者供10头牛吃4天，如果这片青草每天生长的速度相同，则这片青草可供18头牛吃几天？2、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。

如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水8小时淘完。

如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？3、牧场上有一片青草，每天生长速度相同，可供27头牛吃6天，或供69只羊吃9天，如果1头牛的吃草量等于3只羊的吃草量，那么这片青草可供11头牛和30只羊吃几天？4、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。

从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。

如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？5、因天气渐冷，牧场上的草以均匀的速度减少。

已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。

照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？6、一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同。

17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头，余下的牛再吃2天就将草吃完。

则没有卖掉之前这群牛共有多少头？7、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。

已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。

问该扶梯共有多少级？8、一个蓄水池，每分钟流入4立方米水，如果打开5个水龙头，150分钟就把水池中的水放光；如果打开8个水龙头，90分钟就把水池中的水放光。

现打开13个水龙头，要多少时间才能把水池中的水放光？9、甲、乙、丙三个仓库，各存放着两样数量的化肥，甲仓库用皮带输送机一台和12名工人需要5小时才能把甲仓搬空；乙仓库用一台皮带输送机和28名工人需要3小时才能把乙仓搬空；丙仓库用二台皮带输送机，如果需要2小时把乙仓搬空，同时还需要多少名工人？（皮带输送机工效相同，每个工人每小时搬运量相同。

六年级(上)奥数知识第一章：第一节《巧用运算定律和性质》

第一章分数的简便计算第一节巧用运算定律和性质探究目标1．能够根据四则运算的定律及性质使一些计算变得简便。

2．能利用和、差、积、商的变化规律进行简便运算。

3．进一步提高分析、抽象、综合、概括等能力。

探究过程参与一下“做数学”的过程，探究过程参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！例1 计算：分析：通过观察发现这样就可以运用乘法的分配律达到简算目的。

通过观察，还可以发现55加上1正好等于56，所以也可以这样简算：本题关键是先要观察题目的特点，可以将第一个因数变化，也可以将第二个因数进行变化。

例2 计算：本题中关键是将再运用乘法分配率进行简便计算。

例3 计算：本题的关键是将算式中的某个整体看作一个数，再运用有关定律进行简便计算。

例4计算：(1＋0.23＋0.34)×(0.23＋0.34＋0.65)－(1＋0.23＋0.24＋0.65)×(0.23＋0.34).[完全解题] 仔细观察，这组算式中的数就是1，0.23，0.34，0.65，它们按某种规律排列，像这样的题目可以将它的某一部分看作一个整体，用字母代替，这样可简化计算的过程。

设A＝0.23＋0.34,B＝0.23＋0.34＋0.65。

原式＝(1＋A)×B－(1＋B)×A＝B＋AB－A－AB(AB与BA一样的结果，且可相互抵消)＝B－A＝0.23＋0.34＋0.65－(0.23＋0.34)＝0.65[技法点睛] 本题从题目本身看是不能简便计算的，所以要善于运用拆数的方法。

例5 (2003·浙江省小学数学活动课夏令营)计算：[技法点睛] 本题在利用乘法分配律之前，要运用等差数列求和的方法求出这些数的和一共有多少个。

例6 (2002·天津市数学学科竞赛)计算：例7 (2002·四川省小学生数学夏令营)计算：[完全解题] 题目中每组两个因数中的第一个因数接近一个整十数，并且这个整十数正好是第二个因数分母的倍数。

高斯小学奥数六年级上册含答案第01讲比赛中的推理

第一讲比赛中的推理这一讲我们学习的主要内容是与比赛有关的逻辑推理问题．这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理．在逻辑推理中，特别有用的方法是画示意图或表格，这种方法相信大家并不陌生，用它来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了．例题1编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号一样，那么编号为6的同学赛了几盘？「分析」为了让问题更加直观，我们可以画出一个示意图，用6个点来表示这6个同学．如果两个同学之间比赛过，则把对应的两个点用实线连起来，如果没比赛过，则用虚线连起来．练习1A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛．不同学校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队赛过的场数依次为4、3、2、1．问：这时候A校的足球队已赛过的场数？例题2A、B、C、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C．那么第五天与A队比赛的是那个队？A B C D E F1 D B2 E C3 F D4 C B5「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示．如图，第二列从上到下依次表示A在5天中分别遇到的对手，第三列表示B在5天中遇到的对手，依此类推．观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习2五个国家足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空．已知第一天比赛的是A与D，C轮空；第二天A与B比赛，E轮空；第三天A与E比赛；第四天A与C比赛；B与C的比赛在B与D的比赛之前进行．那么C与E在哪一天比赛？例题3甲、乙、丙、丁四个同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：（1）一共有多少场比赛？（2）四个人最后得分的总和是多少？（3）如果最后结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得了多少分？「分析」（1）每两人之间都比赛一场，总比赛场数就是从四个人中挑出两人的方法数；（2）比赛的胜负情况有很多种可能？那么总分也有很多种可能吗？大家考虑一下每场比赛，比赛双方的得分之和就知道了；（3）乙、丙最后的分数一样，由于总分是固定的，这个相同的分数既不能太大，也不能太小，那么会是多少呢？练习3有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，每两队都比赛一场．比赛规定：胜一场得2分，平局各得1分，负一场得0分．全部比赛结束后，A、B两队的总分并列第一名，C队第二名，D队第三名，C队最多得多少分？例题44支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少？「分析」4支球队之间一共比赛了多少场？所有比赛的总分最多是多少，最少是多少？你能由此推断出各队的得分吗？练习4甲、乙、丙、丁4个队举行足球单循环赛．规定：每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．已知：（1）比赛结束后4个队的得分都是奇数；（2）甲队总分超过其他各队，名列第一；（3）乙队恰有两场平局，并且其中一场是与丙队平局．那么丁队得了多少分？例题5A、B、C、D四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如下：场数胜平负进球失球A 3 2 1 0 2 0B 2 1 1 0 4 3C 2 0 0 2 3 6D问：D赛了几场？D所参与的各场比赛的比分分别是什么？「分析」对于整个表格来说总进球数等于总失球数．总胜场应当等于总负场，平局数为偶数场．另外表格中的A很特别，两胜一平却只进两个球，这说明什么呢？例题6A 、B、C、D、E五位同学分别从不同的途径打听到五年级那位获得数学竞赛第一名的同学的情况：A打听到的：姓李，是女同学，13岁，东城区；B打听到的：姓张，是男同学，11岁，海淀区；C打听到的：姓陈，是女同学，13岁，东城区；D打听到的：姓黄，是男同学，11岁，西城区；E打听到的：姓张，是男同学，12岁，东城区．实际上该同学的情况在上面都出现过，而且这五位同学的消息都仅有一项正确，那么第一名的同学应该是哪个区的，今年多少岁呢？「分析」每个同学打听到的消息都只有一项正确，可谓相当的少！5420⨯=个判断，一共才5个正确的，其中关于姓氏、性别、年龄、地区的判断各有几项是正确的呢？课堂内外足球世界杯世界杯（World Cup，FIFA World Cup），世界足球锦标赛是世界上最高荣誉、最高规格、最高水平的足球比赛，与奥运会并称为全球体育两大顶级赛事，是影响力、转播覆盖率很高的全球体育盛事．世界杯是全球各个国家最梦寐以求的神圣荣耀，哪一支国家足球队能得到它，就是名正言顺的世界第一．整个世界都会为之疯狂沸腾，世界杯上发挥出色的球员都会被该国家奉为民族英雄永载史册，所以它亦代表了各个足球运动员的终极梦想．世界杯每四年举办一次，任何国际足联会员国（地区）都可以派出代表队报名参加这项赛事．世界杯的奖杯为大力神杯，它采用意大利人加扎尼亚的设计方案——两个大力士双手举起地球的设计方案．这个造形象征着世界第一运动的规模．该杯高36.8厘米，重6.175公斤，其中4.97公斤的主体由纯金铸造．底座由两层孔雀石构成，珍贵无比．1974年第十届世界杯赛，德国队作为冠军第一次领取了该杯．国际足联规定新杯为流动奖品，不论哪个队获得多少冠军，也不能永久占有此杯．在大力神杯的底座下面有能容纳镌刻17个冠军队名字的铭牌——可以持续使用到2038年．世界杯32支队伍，在小组赛阶段进行的是单循环比赛，16强阶段进行的是淘汰赛，积分规则是3分制．大力神杯作业：1.A、B、C、D四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知A、B、C三队的成绩分别是：A队二胜一负，B队二胜一平，C队一胜二负．那么D队的成绩是什么？2.6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：（1）一共有多少场比赛？（2）6个人最后得分的总和是多少？（3）得分最高的三名同学的分数之和最多是多少？3.六个人参加乒乓球比赛，每两人之间都要比赛一场，胜者得2分，负者得0分，没有平局．比赛结束时发现，有两人并列第二名，两人并列第五名．那么第一名和第四名各得了多少分？4.足球甲A联赛共有12个足球俱乐部参加，实行主客场双循环赛制，即任何两队分别在主场和客场各比赛一场，胜一场得3分，平一场各得1分，负一场得0分，在联赛结束后按积分的高低排出名次．那么，在积分榜上第一名与第二名的积分差距最多可达多少分？5.A、B、C、D四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如下：问：D赛了几场？D所参与的各场比赛的比分分别是什么？第一讲比赛中的推理例1．答案：3详解：5号已经赛过5盘，说明他和其他5个人都已经赛过了．而1号只赛了一盘，所以1号这一盘是同5号赛的，他同其他四个人都没有赛过，如图1所示．再看4号，他赛过4盘，且同1号没有赛过，所以4号赛过的同学是除1号以外的4个人．而2号只赛过两盘，所以2号只同5号、4号赛过，如图2所示．3号赛过3盘，而且他同1号、2号没有赛过，那么同3号赛过的就是4号、5号和6号，如图3所示．于是我们知道同6号赛过的有3号、4号和5号．他赛了3盘．例2．答案：B 详解：如图4，列出表格后发现，每行、每列各有6个字母，而且同一行或列的6个字母互不相同，只需用这一原则把表格补充完整即可．首先可以确定（2，D ）处应填A ．这是因为第2行已经有E 和C ，第4列已经有D 、B 和F ，所以这一个格不能填这些字母，只能填A ．由于第二天A 与D 比赛，那么对应地（2，A ）处也应填D ．第二天余下的一场就是B 对F ，因而（2，B ）处应填F ，（2，F ）处应填B ．我们用类似的方法推理各行、列，最终把整个表格填出来，得到图5．于是，第五天与A 比赛的球队是B ．例3．答案：6；12；3 详解：（1）6；（2）12；（3）3．（1）详解：从四个人中选出两人，有246C 种方法．每两人之间比赛一场，那么一共就有6场比赛；（2）详解：不论胜负还是平局，每场比赛两人得分之和都是2分．一共6场比赛，所以四个人最号5号图135号图2号5号图3后得分的总和就是2612⨯=分；（3）详解：四个人得分之和是12分，甲得分最高，丁得分最低，而乙、丙得分相同．如果乙、丙得分是4分，则甲得分超过4分，这三人的得分之和已经超过12分，与题意矛盾．因此乙、丙得分最多是3分．如果乙、丙得分是2分，则丁最多得了1分，而甲至少得了122217---=分．但是连胜3场也只能得6分，不可能达到7分，因此乙、丙得分至少是3分．所以乙、丙得分就是3分．例4．答案：4详解：如果比赛分出胜负，那么双方得分之和就是3分；如果平局，双方得分之和就是2分．4支球队之间要进行246C =场比赛，所以总分就要在12分和18分之间．由题意，四支球队的得分是4个连续的自然数．而四个连续自然数的和可能是：01236+++=，123410+++=，234514+++=，345618+++=，…… 在12分和18分之间的只有14和18．如果是3分、4分、5分、6分，总分是18分，那么每场比赛都分出了胜负，但这是不可能的（大家自己想想这是为什么）．所以四个连续的分数为2分、3分、4分、5分．于是第一名得5分，只能是1胜2平；第二名得4分，只能是1胜1平1负；第三名得3分，可能是1胜2负，也可能是3平；第四名得2分，只能是2平1负．其中只有第三名的比赛结果有两种情况．综合考虑第一名、第二名、第四名的胜负情况：他们一共有2胜5平2负．由于总胜场数与总负场数相同，所以第三名只能是3平．容易画出四支队之间的比赛胜负关系，如图6所示．因此输给了第一名的只有第二名，他得了4分．例5．答案：3，A :D =1:0，B :D =4:3，C :D=3:5详解：首先A 两场胜场均为1比0胜出，平局为0比0，而且一定是A 以1比0胜C ，同样以1比0胜D ，0比0平B ，而B 胜的那场胜场以4:3胜出，C 的负场以3比5败北，所以不能是B 胜C ，那么一定是B 胜D ，D 胜C ，所以，D 参加了3场比赛．分别是A :D =1:0，B :D =4:3，C :D=3:5．例6．答案：海淀区，12岁详解：5420⨯=个判断，一共才5个正确的，可以推断出第一名同学的姓名、性别、年龄、城区，分别有1项、2项、1项、1项是正确的．先来看性别，有2项正确，那么第一名是女同学；再来看年龄，2个人说是13岁，2个人说是11岁，只有1个人说是12岁，由于只有1项消息正确，则第一名是12岁；再看城区，3人说东城区，1人说海淀区，1人说西城区，那么第一名在海淀区或者西城区；类似地，可以分析出第一名同学姓李，或姓陈，或姓黄．综合考虑第一名同学的姓名与城区，就很容易判断出唯一的答案：姓黄，是女同学，12岁，海淀区．第一名 1胜2平第二名 1胜1平1负第三名 3平第四名 2平1负图6练习答案：练习1答案：赛2场简答：连线，从胜得最多的和胜得最少的队伍入手分析．练习2答案：第五天简答：列表分析，用*表示轮空，可得下图．练习3答案：3简答：四人总得分是12分，其中C 的分数肯定小于1234÷=分，所以得分不多于3分．四人分别得4分、4分、3分、1分是容易构造出来的，所以C 队得分最多就是3分．练习4答案：3简答：先推断出各队得分分别为7分、5分、3分、1分，然后分析胜负情况即可．图1作业：6. 答案：一平二负．简答：B 队有一平，只可能平D ，所以对A 、C 是二胜．于是A 的两胜是赢了C 和D ．故C 的一胜是胜D ，于是D 的成绩是一平二负．7. 答案：（1）15；（2）30；（3）24．简答：（1）；（2）；（3）．8. 答案：10；4．简答：并列第五名的两人至少要各赢1场，所以第四名至少要赢2场，并列第二名至少要各赢3场，第一名至少要赢4场．，而一共要进行15场比赛，所以只能是第一名赢5场得10分，第四名赢2场得4分．9. 答案：46．简答：第一名要积分多，最好是要22场全胜，得66分．剩下的11支球队还要比赛（场），每场比赛两队合起来至少得2分，于是剩下11队总共至少得220分．因此得分最多的队伍至少有分，当这11队全平时，第二名只能得20分，因此分差最大为46分．10. 答案：2；A 与D 是1:0、B 与D 是1:0．简答：由A 全胜，且进球数为3，可知A 与其他三队的比分都是1:0．B 赛了三场，且两胜一负，所以B 胜C ，而C 只比了两场，进球数为0，所以B 与C 的比分是3:0；而B 与D 只能是1:0．2201120÷= 2112110C ⨯= 12232414⨯++⨯+= 303224-⨯= 15230⨯=2615C =。

六年级上册第一单元奥数题

六年级上册第一单元奥数题
一、分数乘法相关奥数题
1. 题目
- 计算：公式
- 解析
- 我们先对每个分数进行分析，公式，公式，公式，公式，公式，公式。

- 原式公式
- 去括号后可以发现很多项可以相互抵消，得到公式。

2. 题目
- 一个分数乘以公式，公式，公式的积都是整数，这个分数最小是多少？
- 解析
- 要使一个分数乘以这几个数的积都是整数，那么这个分数的分子应该是公式、公式、公式的最小公倍数，分母应该是公式、公式、公式的最大公因数。

- 先求公式、公式、公式的最小公倍数，公式，公式，公式，最小公倍数为公式。

- 再求公式、公式、公式的最大公因数，公式，公式，公式，最大公因数是1。

- 所以这个分数最小是公式。

二、位置与方向（分数乘法在实际问题中的应用）相关奥数题
1. 题目
- 一艘轮船从A地开往B地，第一天行了全程的公式，第二天行了余下路程的公式，第三天行了第二天余下路程的公式，这时距离B地还有210千米。

A、B 两地相距多少千米？
- 解析
- 第一天行了全程的公式，那么剩下的路程是全程的公式。

- 第二天行了余下路程的公式，也就是公式，此时剩下的路程是公式。

- 第三天行了第二天余下路程的公式，即公式，这时剩下的路程占全程的公式。

- 已知这时距离B地还有210千米，设A、B两地相距公式千米，则公式，解得公式千米。

六年级上册数学培优奥数讲义-第1讲对应法解题

第1讲对应法解题2知识装备1、对应法：在解决问题时，通过观察、比较题中的已知条件，研究对应数量的变化，寻找解决问题的途径，这种解决问题的思维方法称为对应法。

2、运用对应法解决问题，应把题中的条件按对应关系一一排列，然后把有对应关系的同类量作比较，寻找解决问题的途径。

这种方法经常与消元法、代入法同时使用。

初级挑战1奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝，需花58元；如果她买同样的6千克梨和5千克荔枝，那么需花62元。

问1千克梨和1千克荔枝各多少元？思路引领：我们可以把两次买的情况列式进行比较：4千克梨＋5千克荔枝＝58元①6千克梨＋5千克荔枝＝62元②比较①和②式，发现两式中（）的重量相等，②式比①式多了（）千克（），多花了（）元，由此可先算出（）的单价，再根据①式或②式算出（）的单价。

答案：1千克梨：（62－58）÷（6－4）＝2（元）1千克荔枝：（58－2×4）÷5＝10（元）能力探索1向1个空瓶里倒水，如果倒进3杯水，连瓶共重440克；如果倒进7杯水，连瓶共重600克。

问空瓶重多少克？答案：1杯水：（600－440）÷(7－3)＝40（克）空瓶：440－3×40＝320（克）初级挑战2学校买鼠标和键盘，如果买3个鼠标和4个键盘共需要190元，如果买同样的6个鼠标和2个键盘需要230元。

一个鼠标和一个键盘各多少元？思路引领：我们可以把两次买的情况列式进行比较：3个鼠标＋4个键盘＝190元①6个鼠标＋2个键盘＝230元②我们把①、②两式进行比较，发现两组条件中鼠标和键盘的数量都不一样，无法直接对比。

再进行观察可以发现：如果把①式左右两边同时扩大2倍，再与②式进行比较得出：6个鼠标＋8个键盘＝380元③6个鼠标＋2个键盘＝230元②鼠标个数相同，所以③式－②式可先求出键盘的单价，从而再算出鼠标的单价。

答案：键盘单价：（190×2－230）÷（4×2－2）＝25（元）鼠标单价：（230－25×2）÷6＝30（元）能力探索24本练习本和5支圆珠笔共14元，同样的2本练习本和4支圆珠笔共10元。

六年级上册数学第一单元奥数

六年级上册数学第一单元奥数一、分数乘法的概念拓展。

1. 带分数乘法的巧算。

- 例题：计算2(1)/(3)×3(1)/(2)。

- 解法：先将带分数化为假分数，2(1)/(3)=(7)/(3)，3(1)/(2)=(7)/(2)。

然后按照分数乘法法则计算，(7)/(3)×(7)/(2)=(49)/(6) = 8(1)/(6)。

- 练习：计算3(1)/(5)×4(1)/(3)。

2. 分数乘法中的约分技巧。

- 例题：计算(12)/(13)×(39)/(48)。

- 解法：观察发现，12和48有最大公因数12，39和13有最大公因数13。

先约分，(12)/(13)×(39)/(48)=(1×3)/(1×4)=(3)/(4)。

- 练习：计算(15)/(16)×(32)/(45)。

3. 乘法分配律在分数乘法中的应用。

- 例题：计算(3)/(4)×(2(1)/(3)+ 3(1)/(2))。

- 解法：先将带分数化为假分数，2(1)/(3)=(7)/(3)，3(1)/(2)=(7)/(2)。

然后利用乘法分配律，(3)/(4)×(7)/(3)+(3)/(4)×(7)/(2)=(7)/(4)+(21)/(8)=(14 +21)/(8)=(35)/(8)=4(3)/(8)。

- 练习：计算(2)/(5)×(3(1)/(4)+1(3)/(4))。

二、分数乘法的实际应用中的奥数问题。

1. 工程问题（分数形式）- 例题：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。

甲队每天完成这项工程的(1)/(10)，乙队每天完成这项工程的(1)/(15)。

如果两队合作，每天完成这项工程的几分之几？- 解法：两队合作每天完成的工作量就是甲队每天工作量与乙队每天工作量之和，即(1)/(10)+(1)/(15)=(3 + 2)/(30)=(1)/(6)。

六年级奥数第1讲

六年级奥数第1讲、思考（1）握手游戏：2个人握手需要握手几次？3个人呢？4、5、6、7……100个人需要握手几次？单循环制：参加比赛的各队之间均相互比赛一次,即为单循环赛。

连线对阵图：（2）编号为1、2、3、4、5的五位同学进行围棋单循环比赛，请问总共需要比赛多少场？编号1的同学参加多少场比赛？4场（3）A、B、C、D、E五支队伍参加足球单循环比赛，到目前为止，只知道A队已经进行了4场比赛，E队只进行了1场比赛，请问：E队参加过的比赛，对手是谁？（4）A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支球队进行单循环赛，比赛中间，A校发现另外4支B、C、D、E各比赛了4、3、2、1，问：C队3场比赛和谁比的？ABD练习：A、B、C、D和小强比赛，按照单循环制，小强要比赛几场？10、积分赛制（1）5个人比赛围棋，单循环赛制，胜一局得2分，负一局得0分，平局各得1分，请问比赛结束，5个人总共得了多少分？20（2）某足球联赛20支球队进行单循环赛，即每两队之间都比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者的0分，平局各得1分，，请问各队总分之和最多为多少、最少为多少？570 380（3）8个同学进行单循环赛，每场比赛胜者得3分，负者的0分，平局各得1分，如果比赛中出现10场平局，请问各队总分之和为多少？74、图形（1）E 是BC 中点，DF=2CF ，阴影部分面积是6，求平行四边形ABCD 面积。

（2）设定下图方格纸中每个小方格是边长1cm 的正方形。

a 、画一个长方形，周长是20cm ，长和宽的比是3∶2。

b 、把右边的正方形按面积比2∶3分成一个三角形和一个梯形，并把三角形部分涂色。

（3）某运输队为商店运输花瓶500箱，每箱6个花瓶。

已知每10个花瓶的运费为5.5元，损坏一个花瓶，要赔偿成本11.5元（这只花瓶的运费当然也就得不到了），结果运输队共得到1553.6元。

共损坏了多少只花瓶？ 8（4）在下列两组图形中，正方形的边长都是1。

六年级奥数第一讲

六年级奥数第一讲：加法原理与乘法原理讲义加法原理：如果完成一件工作有几类方法，在每一类方法中又各有几种不同的方法，使用其中的任何一种方法都能独立完成这件工作，那么完成这件工作的不同方法总数，就是完成这件工作各类方法的种数之和。

乘法原理：如果完成一件工作要分几步，而每一步又有几种方法，那么完成这件事的方法总数等于各步方法数的乘积。

注意：（1）有特殊要求的首先考虑。

（2）乘法原理和加法原理的区别：完成一件工作或事情是分类的，每一类中又可以用乘法原理，每一类能独立完成任务，这是加法原理。

完成一件工作或事情是分步的，每一步不能独立完成任务，这是乘法原理。

例题讲解例1：书架上有5本不同的语文书，7本不同的数学书，4本不同的英语书。

（1）如果要在书架上任取一本书，共有多少种不同的取法？（2）如果要在书架上不同科目各取一本书，共有多少种不同的取法？分析与解：（1）不管去什么书，取一本书就完成任务，所以取书分三类是加法原理。

5+7+4=16种。

（2）语文、数学、英语各取一本，即3本。

完成这件事，必须分三步，所以是乘法原理。

5×7×4=140种。

例2：由数字0、1、2、3、4组成三位数。

（1）可以组成多少个不相等的三位数？（2）可以组成几个没有重复数字的三位数？（3）可以组成几个没有重复数字的三位奇数？（4）可以组成几个没有重复数字的三位偶数？分析与解：（1）先考虑百位，百位不能放0，有四种方法，十位、个位各有5种方法，所以4×5×5=100（个）。

（2）先考虑百位，百位不能放0，有4种方法，由于数字不能重复，故十位、个位各有4种、3种方法，所以4×4×3=48（个）。

（3）先考虑个位，个位只能放1和3，2种，还有4个数字包括0，在考虑百位，百位有3种放法，还剩下3个数字放在十位，所以3×3×2=18（个）（4）分两类考虑。

个位放0，4×3=12（个）；个位放2，4，3×3×2=18分析与解：四张卡片共有8个数码，千位不能放0，有7种放法，还剩下3张卡片，共6个密码，百位就有6种可选，还剩下2张卡片，4个数码，个位就有4种选择。

高思奥数导引小学六年级含详解答案第01讲分数数列计算

第7讲几何综合一兴趣篇1. 图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米。

已知a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，求图形的面积。

【分析】2S=⨯+⨯+⨯=++=2716531461535(cm)2. 如图所示，∠+∠+∠+∠+∠+∠123456等于多少度？【分析】将这六个角用中心六边形的六个内角代换，利用六边形内角和为720，列方程得(1801)(1802)(1803)(1804)(1805)(1806)720-∠+-∠+-∠+-∠+-∠+-∠=，所以12345)6360∠+∠+∠+∠+∠+∠=3. 如图，平行四边形ABCD 的周长为75厘米。

以BC 为底时高是14厘米，以CD 为底时高是16厘米。

求平行四边形ABCD 的面积。

【分析】 75237.5BC CD +=÷=,根据面积相等，底的比与高的比成反比例，所以:16:148:7BC CD ==,因此37.5(87)820BC =÷+⨯=,平行四边形ABCD 的面积是2014280⨯=平方厘米4. 如图所示，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是310平方米、25平方米、15平方米和110平方米。

已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？【分析】 1251110CH HD ==,因此23CH =,13HD =,3310245AE EB ==,所以37AE =,47EB =,因此2353721FG =-=,那么它的面积是252521441⎛⎫= ⎪⎝⎭平方米5. 如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠。

已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10。

那么，正方体盒子的底面积是多少？绿黄红【分析】将黄色纸片推到左边，则每块纸片露出的形状如右上图.黄、绿两色的面积之和保持14+10=24不变，则在右图中这两块面积相等，均为24212÷=.根据公式可知，空白处面积=黄⨯绿÷红=1212207.2⨯÷=，则正方形盒底面积是7.212122051.2+++=.6. 如图，在三角形ABC 中，IF 和BC 平行，GD 和AB 平行，HE 和AC 平行。

小学六年级奥数——数论专题第一课

数论（一）整除、奇偶性、极值问题一、知识地图：二、基础知识：数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中， 1. c a ,c a c (a b)2. b a ,c b c a 3. bc a b a ,c a 4. b a ,c a b c 1bc a 5. a b am bm (m 0)6. a b c d ac bd 1. 2,52. 4,253. 8,1254. 3,95. 116. 7(11,13)⎧⎪⎧⇒±⎪⎪⎪⇒⎪⎪⎪⎪⇒⎪⎪⎨⎪⇒⎪⎪⎪⇒≠⎪⎪⎪⎪⇒⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩概念整除性质且（，）=且整除整除特征数论（一）合数整除问题整除应用⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩性质奇偶性数的奇偶分析与应用判断，反证整数拆分中的最值问题极值（最大最小离散）面积乘积（和一定差小乘积大）数论显得格外重要。

数论研究的是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数——整数及其内部关系，但是从这些简单的数中诞生了“费马大定理”、“哥德巴赫猜想”和“朗兰兹纲领”这样的难题，它们吸引数学家们花费数十年、甚至整世纪努力研究。

小学数学竞赛和小升初考试的数论问题，常常涉及整数的整除性、质数与合数、约数与倍数、带余除法、奇数与偶数、整数的分解与分拆。

（一）整除问题数的整除数的整除在算术中应用广泛，下面我们从整除的概念、整除的性质及数的整除特征三方面来介绍。

1.整除的概念在整数范围内，两个数相除，余数为零（没有余数）或不为零，两种结果必定有一种成立。

六年级奥数第一讲

第一讲定义新运算在加.减.乘.除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。

在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。

例1：如果A*B=3A+2B ，那么7*5的值是多少？例2：如果A#B 表示3B A +，照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？例3：规定Y X XY Y X +=∆，求2Δ10Δ10的值。

例4：设M*N 表示M 的3倍减去N 的2倍，即M*N=3M-2N（1）计算（14 *10）*6（2）计算（58*43） *（1 *21）例5：如果任何数A和B有A¤B=A×B—（A+B）求（1）10¤7（2）（5¤3）¤4（3）假设2¤X=1求X例6：设P @ Q=5P+4Q，当X @ 9=91时，1/5 @ （X @ 1/4）的值是多少？例7：规定X*Y=XY YAX，且5*6＝6*5则（3*2）*（1*10）的值是多少？巩固练习1、已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推（1）3▽2 （2）5▽3（3）1▽X=123，求X 的值2、已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7计算（1）（4△2）+（5△3）（2）（3△5）÷（4△4）3、如果A*B=3A+2B ，那么（1）7*5的值是多少？（2）（4*5）*6（3）（1*5）*（2*4）4、A*B= BA B A ÷+ 在X*（5*1）=6中，X 的值是多少？5、如果A>B ，那么｛A ，B ｝=A ；如果A<B ，那么｛A ，B ｝=B ；试求（1）｛8，0.8｝（2）｛｛1.9，1.901｝1.19｝6、对于任意的整数X 、Y 定义新运算“￥”，X ￥Y=YMX XY 26 （其中M 是一个固定的值）如果1￥2=2，那么2￥9=？7、规定（25）=2+5=7 （123）=1+2+3=6 （65）=6+5=11 （11）=1+1=2 则计算（1）（56489）（2）（92045）+（90÷5）÷（12）8、规定64=2×2×2×2×2×2表示成F （64）=6；243=3×3×3×3×3表示成G （243）=5；试求下面各题的值。

小学数学奥数基础教程(六年级)--01

小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共30讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

也就是说，6.借助第三个数进行比较。

有以下几种情况：（1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。

（2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。

前一个差比较小，所以m＜n。

（3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。

注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。

（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。

新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。

利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。

六年级奥数第一册一单元

第一讲分数的意义和性质一、知识要点：【分数的意义】把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。

【分数单位】把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位。

整数的分数单位是1，零没有分数单位，最大的分数单位是1，没有最小的分数单位。

【分数各部分名称】在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

和除法相对应，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，因此0不能作为分母。

例如：3……分子（在除法中相当于被除数）——分数线（在除法中相当于除号） 5……分母（在除法中相当于除数）【真分数】分子比分母小的分数，或者说分数值小于1的分数，如53、72【假分数】分子不小于分母的分数，或说分数值不小于1的分数，如67、99【带分数】由整数和真分数合成的数叫带分数，如411，533【分数的性质】分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数（不为0），分数值保持不变。

将一个分数的分子、分母缩小相同倍数的过程叫约分（缩倍）；将两个或几个分数的分母化为相同的数的过程叫通分（扩倍）二、分数的表达及应用：例1 （1）要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子（每块巧克力最多只能切成两部分），怎么分？分析：要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子，则每个孩子应该分得49块，能不能分，怎么分？要求每块巧克力最多只能切成两部分。

方法一：把每一块都分成41和43两个部分，则其中一个人分得9个41块，另外三人都分得3个43块。

方法二：从每一个人出发，一块一块的考虑巧克力的分法，则有如下的分法：（2）如果把上面（1）中的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？分析：要把9块完全相同的巧克力平均分给7个孩子，则每个孩子应该分得79块，根据上面的方法二，有如下分法： 721+，7475+，7673+，71171++，7376+，7574+，172+三、通分与约分：利用分数的性质进行等值变换。

小升初六年级奥数题及答案-20道题(中等难度)

小升初六年级奥数题及答案20道题（中等难度）【题-001】抽屉原理有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

【题-002】牛吃草：（中等难度）一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？【题-003】奇偶性应用：（中等难度）桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

【题-004】整除问题：（中等难度）用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？【题-005】填数字：（中等难度）请在下图的每个空格内填入1至8中的一个数字，使每行、每列、每条对角线上8个数字都互不相同．【题-006】灌水问题：（中等难度）公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开小1时，恰好在打开某根进水管1小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．【题-007】浓度问题：（中等难度）瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是百分之几？【题-008】水和牛奶：（中等难度）一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用．现在我把A桶里的液体倒入B桶，使其中液体的体积翻了一番，然后我又把B桶里的液体倒进A桶，使A桶内的液体体积翻番．最后，我又将A桶中的液体倒进B桶中，使B桶中液体的体积翻番．此时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在B桶中，水比牛奶多出1升．现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？【题-009】巧算：（中等难度）计算：【题-010】队形：（中等难度）做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）时，还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人.问：原有多少人？【题-011】计算：（中等难度）一个自然数，如果它的奇数位上各数字之和与偶数位上各数字之和的差是11的倍数，那么这个自然数是11的倍数，例如1001，因为1+0=0+1，所以它是11的倍数；又如1234，因为4+2-（3＋1）=2不是11的倍数，所以1234不是11的倍数.问：用0、1、2、3、4、5这6个数字排成不含重复数字的六位数，其中有几个是11的倍数？【题-012】分数：（中等难度）某学校的若干学生在一次数学考试中所得分数之和是8250分.第一、二、三名的成绩是88、85、80分，得分最低的是30分，得同样分的学生不超过3人，每个学生的分数都是自然数.问：至少有几个学生的得分不低于60分？【题-013】四位数：（中等难度）某个四位数有如下特点：①这个数加1之后是15的倍数；②这个数减去3是38的倍数；③把这个数各数位上的数左右倒过来所得的数与原数之和能被10整除，求这个四位数.【题-014】行程：（中等难度）王强骑自行车上班，以均匀速度行驶.他观察来往的公共汽车，发现每隔12分钟有一辆汽车从后面超过他，每隔4分钟迎面开来一辆，如果所有汽车都以相同的匀速行驶，发车间隔时间也相同，那么调度员每隔几分钟发一辆车？【题-015】跑步：（中等难度）狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。

高斯小学奥数六年级上册含答案第01讲比赛中的推理

第一讲比赛中的推理快*布，这定我找体仟老算抄来的比我们高出臥进了不少球叽駅近矗思、IT 罗.工林三所守校之间锻行了一轮足竦骼环翌- 刚比完・小豪盛皓大案带回* .战fti rK4rSf BL・■社KVteI■yA**kHf7n#>n这一讲我们学习的主要内容是与比赛有关的逻辑推理问题. 这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的•不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理.在逻辑推理中，特别有用的方法是画示意图或表格，这种方法相信大家并不陌生，用它来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了.例题1」 ..................... …一…. ...... . .... . ........ ..编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘.现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号一样，那么编号为6的同学赛了几盘？「分析」为了让问题更加直观，我们可以画出一个示意图，用6个点来表示这6个同学•如果两个同学之间比赛过，则把对应的两个点用实线连起来，如果没比赛过，则用虚线连起来.A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛•不同学校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队赛过的场数依次为4、3、2、1.问：这时候A校的足球队已赛过的场数?例题2———— ... —I，每天同A、B、C、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场）时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E,第三天D对F，第四天B对C•那么第五天与A队比赛的是那个队？A B C D E F1D B2E C3F D4C B5「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第二列从上到下依次表示A在5天中分别遇到的对手，第三列表示B在5天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习五个国家足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一天比赛的是A与D , C轮空；第二天A与B比赛，E轮空；第三天A与E比赛；第四天A与C比赛；B与C的比赛在B与D的比赛之前进行.那么C与E在哪一天比赛？例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A 1 2 3 4 5B C DEC BDE B CF例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A 1 2 3 4 5B C DEC BDE B CF例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A 1 2 3 4 5B C DEC BDE B CF例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A 1 2 3 4 5B C DEC BDE B CF例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天 B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A1 2 3 45 B C DEC BD E B CF「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天 B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A1 2 3 45 B C DEC BD E B CF「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天 B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A1 2 3 45 B C DEC BD E B CF「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天 B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天 C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A 1 2 3 45 B C DEC BD EBC F 「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示 B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与例题 2A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天 B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天 C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？A 1 2 3 4 5BC DE C BD EBCF「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示 B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与例题 2C 比赛；B 与C 的比赛在B 与D 的比赛之前进行.那么 C 与E 在哪一天比赛？A 、B 、C 、D 、E 、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天 B 对D ，第二天C 对E ,第三天D 对F ，第四天「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示•如图，第二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示 B 在 5 天中遇到的对手，依此类推•观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习 2五个国家足球队 A 、B 、C 、D 、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空.已知第一天比赛的是 A 与D , C 轮空；第二天 A 与B 比赛，E 轮空；第三天 A 与E 比赛；第四天 A 与 B 对C •那么第五天与A 队比赛的是那个队？ A1234 5 B C D E C BD E B C F。

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