线性规划的有关概念

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线性规划知识点总结

线性规划知识点总结线性规划知识点总结 1.线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解 3.解线性规划实际问题的步骤：（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（4）验证. 4.两类主要的目标函数的几何意义: （1）-----直线的截距；（2）-----两点的距离或圆的半径；（3）-----直线的斜率风格很统一！以下资料为赠送资料：《滴水之中见精神》主题班会教案活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。

”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。

听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。

人教版高中数学必修5第三章不等式-3

在可行域内打出网格线，
y
B(3,9)
x y0
M(18 , 39) 55
C(4,8)
x
O
2x+y=15 x+2y=18 x+3y=27
直线 x y=12 经过整点B(3,9)和C(4,8)，
它们是最优解.
z最小值 =12.
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板3 张，第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4 张，第二种钢板8张；这两种截法都至少要两种钢板 12张.
或最后经过的点为最优解；（4）求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的
最值.
简单线性规划问题的图解方法
例1 设 z＝2x＋y，式中变量x、 y满足下列条件：
x 4 y 3,
3x 5 y 25, 求z的最大值和最小值.
x 1,
分析：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.
y x1
第2课时简单线性规划的应用
1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决一些简单的实际问题； 2.利用线性规划解决具有限制条件的不等式； 3.培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提高数学建模和解决实际问题的能力.
在实际问题中常遇到两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，
如何使用它们来完成最多的任务；
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,

关于线性规划的一个历史背景介绍【精编】

关于线性规划的一个历史背景介绍现代企业的规模越来越庞大，管理也越来越复杂。

单凭人力对管理问题进行分析与判断，已属力不从心。

例如汽车装配线上成千上万的部件之库存与分配，银行对多种股票债券的投资与管理，或港口多种货物的装卸与调度，都必须在电脑的帮助下完成。

而电脑总是按照某种数学模型来运算的。

所以，现代企业家了解一些与管理有关的数学模型，应该是很重要的。

本文所介绍的，是一种叫作「线性规划」的数学模型。

我们不介绍这种模型的具体内容，只谈这种模型的发展历史及有关的故事。

希望读者可以从中了解，管理问题是如何促进数学的研究，而数学的进展又如何推动了管理的革新。

从军用转到商用二十世纪三十代，苏联科学院院士康托洛维奇写过一本书，讲述解决经济问题的数学方法，其中已有线性规划的论述。

不过线性规划真正成为一门学科并得到应用，还是从二次世界大战开始。

当时一批在军队中服务的英国科学家，可能为了保密，把他们的工作对外统称为「线性规划」，这个名称居然沿用到今。

其後在美国军队中也有了类似的机构。

当时在美国空军服役的科学家丹茨格把他用来解决某一些管理问题的方法加以总结，提出了「单纯形方法」。

这个方法一直保密，直到战後的1947年，当丹茨格离开军队，转任斯坦福大学教授之後，才公开发表。

同时，一批从军队中转业到工商界的科学家，也把他们在处理军事问题中研究出来的方法，应用到工业和商业的管理中去，使得战後的管理科学蓬勃发展。

加上高速电脑的帮助，大量的数学方法，在管理中得到广泛应用。

康托洛维奇由於在这方面的创造贡献，得到诺贝尔奖；而丹茨格由於发明了单纯形法，也被誉为「线性规划」之父。

为了说明什麽是线性规划，我们引用丹茨格解决的一个问题来作例子。

这个问题称为「配餐问题」。

美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食品中，要保证一定的营养成份，例如蛋白质、脂肪、维生素等等，都有定量的规定。

当然这些营养成份可以由各种不同的食物来提供，例如牛奶提供蛋白质和维生素，黄油提供蛋白质和脂肪，胡萝卜提供维生素，等等。

线性规划标准型以及定义

0
B6

2
1
B7

2
0 B8 6 1 B9 0 1
解的定义
2x1 x2 x3 x4 3 例： x1 x2 x3 x5 2
xi 0
解：A=

2 1
-1 -1
-1 1
-1 0
0 -1

P1
P2
min Z 2 x1 x2 3 x3

5 x1 x2 x3 7

x1 x2 4 x3 2 3 x1 x2 2 x3 5
x1 , x2 0, x3无约束
解:（１）因为x3无符号要求，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以
解的定义
B4 P1
P5
＝

2 1
0 －1
非奇异，
B31b

1 2
1 1
0 3
－2

2

1 2
3 －1
,
解

3 2
0
0
0
－
1 2
T

是基解，但非基可行解。
解的定义
类似可得所有基解。代入目标函数，通过比较可得最优解。
思考：线性规划的基解最多有多少个？基可行解呢？
可行解
非可行解
基解
基可行解
例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。
max Z 4 x1 2x2 x3
5x110x1x2
x3 x4 3 6x2 2x3 x5

2

x

中职数学教案：线性规划问题的有关概念(全2课时)

限制条件或约束条件：
1.该公司现有资金9000万元；
2.该公司拍得土地11000m2。
解决问题：
应该怎样的投资组合，才能获利最多。
像这样在约束条件下求目标最大值或最小值的问题，就是线性规划问题。
二巩固数学
例1 某点心店要做甲、乙两种馒头，甲种馒头的主要原料是每3份面粉加2份玉米粉，乙种馒头的主要原料是每4份面粉加1份玉米粉。这个点心店每天可买进面粉50kg、玉米粉20kg，做1kg甲种馒头的利润是5元，做1kg乙种馒头的利润是4元，那么这个点心店每天各做多少甲、乙两种馒头才能获利最多？
分析：
面粉
玉米粉
获利
甲种馒头
0.6
0.4
5
乙种馒头
0.8
0.2
4
限制
50
20
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教学Leabharlann 内容解：设甲、乙两种馒头计划产量分别为xkg、ykg，利润为z元。
生产这两种馒头所用面粉总量为（0.6x+0.8y）kg，现共有50kg面粉，因此，应有
，
即
类似地，有
即
由于产品数量不能为负数，应有
1.每一个问题都用一组决策变量来表示，这些变量一般情况下取非负值；
2.存在一定的约束条件，通常用一组一次（线性）不等式或等式表示；
3.都有一个要达到的目标，用决策变量的一次（线性）函数即目标函数来表示，按问题的不同实现最大化或最小化。
满足以上三个条件的线性规划数学模型的一般形式为：
目标函数
约束条件
二巩固数学
总利润为
综合起来，可以把这个问题的数学形式表达为
其中，记号“ ”表示取函数的最大值。

线性规划的基本定理

考察线性规划的标准形式(3. 2)
设可行域的极点为x(1) , x(2) ,..., x(k) ,极方向为d (1) , d (2) ,..., d (t)。
根据表示定理，任意可行点x可表示为
k
t
x i x(i) id(i)
i=1
i=1
(3.3)
k
i 1
i=1
i 0, i 1,2,..., k
1,(3. 2)存在最优解的充要条件是所有 cd(j) 非负,其中 d(j) 是可行域的极方向 2,若(3. 2)存在有限最优解,则目标数的最优值可在某极点达到.
5
3.线性规划的基本性质
2021/7/17
• 3最优基本可行解
前面讨论知道们最优解可在极点达到，而极点是一几何概念，下面从代数的角度来考虑。
x1p1 x2p2 ... xsps 0ps1 ... 0pm b
即 BxB b,且 xB B1b 0
从而xHale Waihona Puke xB xNxB 0
是基本可行解
7
3.线性规划的基本性质
2021/7/17
2)设x是Ax=b,x0的基本可行解,记
x
xB xN
xB 0
0
假设存在两点x(1) ,x(2)及某 (0,1),使得
x
8
3.线性规划的基本性质
2021/7/17
• 2 基本性质
– 2.1 线性规划的可行域
定理线性规划的可行域是凸集.
– 2.2 最优极点
观察上例，最优解在极点(15,2.5)达到，我们现在来证明这一事实:线性规划若存在最优解, 则最优解一定可在某极点上达到.
9
3.线性规划的基本性质

线性规划模型

线性规划模型线性规划的英文全称为：Linear Programming ，可简称为LP ．一、线性规划所属学科线性规划是“运筹学”中应用最广泛、理论最成熟的一个分支．0-1⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩线性规划非线性规划静态规划整数规划规划论规划多目标规划动态规划运筹学对策论决策论排队论图论存储论模型论二、线性规划发展简史早在19世纪法国数学家傅里叶关于线性不等式的研究表明，他对线性规划已有所了解，还提出了单纯形法求解线性逼近中的线性规划20世纪三是年代末，苏联数学家康托洛维奇开始研究生产组织中的线性规划问题，并写出了线性规划应用于工业生产问题的经典著作《生产组织与计划中的数学方法》．1947年美国数学家丹奇格提出了单纯形(Simplex)方法及有关理论，为线性规划奠定了理论基础．五十年代，线性规划成为经济学家分析经济问题的重要工具．随着计算机的迅猛发展，线性规划现被广泛应用于工业、农业、商业等各个领域．三、用线性规划方法解决实际问题的两大特点1、全局性——从全局出发，将全局目标作为追求目标；2、定量性——通过建立数学模型，对实际问题进行定量分析，而不是只做定性分析．数学模型指：将实际问题用一系列数学表达式(函数、方程、不等式等)表示出来，称这一系列数学表达式为该实际问题的数学模型．四、线性规划方法解决的两类问题1、任务一定，如何安排，可使人、财、物最省；2、人、财、物一定，如何安排，可使任务完成量最多．五、线性规划可解决以下几方面的问题１、运输问题：某产品有若干个产地、若干个销地，如何运输，使总运费最省；2、生产组织问题：⎩⎨⎧产，使成本最低产值一定，如何安排生最高或利润产，使产值资源一定，如何安排生)(3、配料问题：如何搭配各种原料，既符合质量(营养)要求，又使成本最低；4、投资问题：资金一定，投向谁、投多少、期限多长，使若干年后本利和最高；5、库存问题：在仓库容量有限情况下，如何确定库存物资的品种、数量、期限，使库存效益最佳；6、合理播种问题：在土地资源有限的情况下，种什么、种多少，使效益最高；……第一节线性规划模型的基本概念一、建立模型的方法1 根据影响所要达到的目的的因素找到决策变量2 由决策变量和所要到的目的之间的函数关系确定的目标函数3 由决策变量所受到的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件若模型满足：1 目标函数是线性函数 2 约束条件是线性等式或不等式；则称为线性规划模型二、常用模型例1：生产计划莫工厂生产I II 两种产品需要A 、B 两种原料，问怎样生产获利最大？1）决策变量：设12,x x 分别生产I II 的数量 2）目标函数：获利最大 12max 24x x + 3）约束条件：1228x x +≤ 设备约束 12416,412x x ≤≤ 原料约束 12,0x x ≥ 基本约束则我们可以建立模型12121212max 24.28416412,0z x x s tx x x x x x =++≤≤≤≥例2：配料问题某养鸡场有一万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养，每天每只鸡平均吃混合饲料一斤，其中动物饲料不少于1/5，动物饲料每斤0.25元，谷物饲料每斤0.2元，饲料公司每周至多能供应谷物饲料5万斤，问怎样混合饲料才能使每周成本最低？解：1）决策变量设动物饲料1x 斤，谷物饲料2x 斤。

高中数学线性规划知识点汇总

高中数学线性规划知识点汇总一、知识梳理1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。

2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。

3 整点：坐标为整数的点叫做整点。

4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。

只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。

5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。

线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。

1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。

2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。

若直线不过原点，通常选择原点代入检验。

3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。

4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。

5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。

积储知识：一、1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+ y0+C=02．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；当B<0时，Ax0+ y0+C<03．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；当B>0时，Ax0+ y0+C>0注意：（1）在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax+ By+C=0，所得实数的符号都相同。

求所有基解,基可行解,最优解例题

《深度解析：求所有基解、基可行解、最优解》1. 引言在线性规划中，寻找最优解是一个重要的问题。

为了解决这个问题，我们需要先了解基解、基可行解和最优解的概念。

本文将对这些概念进行深入探讨，并通过一个例题来加深理解。

2. 基解的概念基解是指线性规划问题的可行解中，包含的非零变量是线性无关的，而且这个可行解是非退化的。

基解是一组可行解中的特殊可行解，它们可以通过线性组合得到所有其他可行解。

在一个线性规划问题中，如果有n个变量，那么基解就是n个非零变量的线性无关组，且它们所对应的约束条件恰好构成一个方程组，且这个方程组有唯一解。

3. 基可行解的概念基可行解是对一个线性规划问题的可行解进行选择而得到的可行解。

选择的方法是，从所有的变量中选取n个线性无关的变量，然后根据这n个变量的约束条件，得到一个基可行解。

在一个线性规划问题中，如果有n个变量，那么基可行解就是选择n个线性无关的变量，然后根据这些变量对应的约束条件得到的可行解。

4. 最优解的概念最优解是指在线性规划问题中，所求得的目标函数值是最优的可行解。

在一个线性规划问题中，如果目标函数值是有限的，那么就一定存在最优解。

最优解可以是有限的，也可以是无限的。

5. 例题分析假设有如下线性规划问题：Max z = 3x1 + 4x2Subject to:2x1 + x2 ≤ 8x1 + 2x2 ≤ 6x1, x2 ≥ 0我们首先要求所有的基解。

根据基解的定义，我们可以先找到对应的方程组：2x1 + x2 = 8x1 + 2x2 = 6根据这个方程组，我们可以求得以下三个基解：(4, 0), (0, 6), (2, 2)接下来我们要求基可行解。

根据基可行解的定义，我们选择出n个线性无关的变量，然后根据这些变量的约束条件得到基可行解。

在这个例题中，我们可以选择x1和x2作为线性无关的变量，因此基可行解即为基解。

在这个例题中，基可行解即为：(4, 0), (0, 6), (2, 2)我们要求最优解。

运筹学(重点)

两个约束条件
(1/3)x1+(1/3)x2=1
及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分
－－图中阴影区, 就是满足所有约束条件和非负
条件的点的集合, 即可行域。在这个区域中的每
一个点都对应着一个可行的生产方案。
22
5–
最优点
4–
l1 3B E
2D
（1/3）x1+(4/3)x2=3
l2 1–
0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
运筹学 Operational Research
运筹帷幄，决胜千里
史记《张良传》
1
目录
绪论第一章线性规划第二章运输问题第三章整数规划第四章动态规划第五章目标规划第六章图与网络分析
2
运筹学的分支数学规划: 线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划、多目标规划图论与网络理论随机服务理论: 排队论存储理论决策理论对策论系统仿真: 随机模拟技术、系统动力学可靠性理论
32
西北角
(一)西北角法
销地
产地
B1
0.3
A1
300
0.1 A2
0.7 A3
销量 300
B2
1.1
400
0.9
200
0.4
600
B3
0.3
0.2
200
1.0
300 500
B4
产量
1.0
700 ②
0.8
400 ④
0.5
600
900 ⑥
600
2000
①
③
⑤
⑥
34
Z
cij xij 0.3 300 1.1 400 0.9 200

简单的线性规划问题(二)

3 ．在△ ABC 中，三顶点坐标为 A (2,4) ， B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及边界运动，则z＝x－y的最大，最小值分别是 ( ) A．3,1 B．－1，－3 C．1，－3 D．3，－1

解析：本题运用线性规划问题的图象解法．只需画出约束条件对应的可行域，即一个封闭的三角形区域(含边界)，再平移直线x－y＝0使之经过可行域，观察图形，找出动直线纵截距最大时和最小时经过的点，然后计算可得答案．答案：C
x－y＝－1，解方程组 x＋y＝5，
得 A(2,3)，
所以 zmin＝2×2－3×3＝－5. 当直线经过点 B 时，直线的纵截距最小，此时 z 最大．
x－y＝3，解方程组 x＋y＝1，
得 B(2，－1)，
所以 zmax＝2×2－3×(－1)＝7. 所以 2x－3y 的取值范围是[－5,7]
[点评] 对于线性规划中的最优整数解的问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可用下面的方法求解： ①平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线 l ，最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解． ②检查优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解． ③调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最
[解] 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，获得收益为 z 元，则
18x＋15y≤180， 1000x＋600y≤8000， x≥0，y≥0，且x，y∈N， 6x＋5y≤60，① 即5x＋3y≤40，② x≥0，y≥0，且x，y∈N.
目标函数为 z＝200x＋150y，画出可行域如右图 8 所示．

运筹学—线性规划第2章

1 1
1 0
0 1
0 0
6 2 0 0 1
1 0 0
则
B 0
1
0
的列是线性无关的，即
1
0
0 0 1
p3 0, p4 1 0 0
•
0
p5 0 是线性无关，因此 1
x3
x4
x5
是, 0
p2
1 2
不在这个基中，所以x1,
x2为非基变量。
定义10：使目标函数达到最优值的基本可行解，称为基
本最优值。
• 例4：（SLP)如例3，试找一个基本可行解。
1 1 0
解：B1
1
0
0
是其一个基矩阵.p1,p3, p5是一个基。
6 0 1
则 x1 , x3, x5为基变量。X2, x4为非基变量。令 x2=x4=0. 得x1=2, x3=3, x5=9. 故 x1=(2,0,3,0,9)是原问题的一个基本可行解，B1为基可行基。
•当由0连续变动到1时，点z由y沿此直线连续的变动到x，且因z-y平行x-y，则有：z y (x y) 于是有：
z x (1 ) y
•这说明当 0 1 时，x (1 ) y表示以x.y为端点的直线段
上的所有点，因而它代表以 x.y为端点的直线段。一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则有如下定义：
• 定义14：设R是Rn中的一个点集，（即R Rn），对于任意两点x R, y R 以及满足0 1 的实数 ,恒有
x (1 )y R
则称R为凸集。
• 根据以上定义12及13可以看到，凸集的几何意义是：连接凸集中任意两点的直线段仍在此集合内。
其可行域如上图，可行解（3，1，0，0）T。用x1, x2 表示则为图上点（3，1）。由图可见这不是可行域的顶点。而我们将证明基本可行解是可行域的顶点。而在例4中p1,p3线性无关，所以B=(p1,p3)是一个基矩阵，对应的基本解为（4，0，0，0）T。用坐标x1, x2表示则为平面上的点（4，0），是上图可行域的顶点。

单纯形法

矩阵A表示为： A = ( p1 ，p2 ，…，pn ) ，其中 pj = ( a1j ，a2j ，…，amj )T。若找到一个可行基，无防设 B = ( p1 ，p2 ，…，pm ) ，则m个基变量为 x1 , x2 , …, xm，n-m个非基变量为 xm+1 ，xm+2 ，…，xn 。通过运算，所有的基变量都可以用非基变量来表示：
f(x
6 )=3
二、单纯形法的基本思路要找到线性规划问题的最优解，只要在基本可行解中寻找就可以了。虽然基本可行解的数目是有限个（不超过Cnm个），但当m,n较大时，要用“穷举法”求出所有基本可行解是行不通的。利用LP问题基本可行解（极点）的方法来求解较大规模的问题是不可行的。单纯形法的基本思路是：从线性规划问题的一个基本可行解开始，沿边界转换到另一个使目标函数值增大的基本可行解。反复迭代，直到目标函数值达到最大时，就得到了最优解。

基本解对于基B，令非基变量为零，求得满足AX=b的解,称为基B对应的基本解。若得到的基变量的值均非负，则称为基本可行解，同时称这个基B为可行基。令非基变量 XN = 0，求得基变量 XB的值称为基本解即 XB = B1 b XB 是基本解的必要条件为XB 的非零分量个数 m 基本可行解基本解 XB 的非零分量都 0 时，称为基本可行解，否则为基本非可行解基本可行解的非零分量个数 < m 时，称为退化解
2.线性规划的基、基本解与基本可行解
基：设B是A矩阵中的一个非奇异（可逆）的 m×m子矩阵，则称B为线性规划的一个基。与B中的这些列向量对应的变量称为基变量， m Cm n 个基。其余变量称为非基变量。最多有
在标准型中，技术系数矩阵有 n×m 列，即 A = ( P1, P2 , … , Pn×m ) A中线性独立的 m 列，构成该标准型的一个基，即 B = ( P1 , P2 , … , Pm )， | B | 0 P1 , P2 , … , Pm 称为基向量与基向量对应的变量称为基变量，记为 XB = ( x1 , x2 , … , xm )T，其余的变量称为非基变量，记为 XN = ( xm+1 , xm+2 , … , xm+n ) T ，故有 X = XB + XN m Cm n 个基最多有

简单线性规划(一)教案

课题：简单线性规划（一）教学目标：1．知识目标：理解线性规划有关概念，初步学会解决简单的线性规划问题．2．能力目标：渗透数形结合的数学思想；加强学生自主探究、合作交流的意识；进一步培养学生在研究问题中主动借助现代信息技术手段辅助思维的习惯．3．情感目标：让学生感受探究问题的乐趣和解决问题的成就感，通过带领学生解决实际问题及对线性规划有关历史的简单回顾，感受数学的文化价值．教学重点、难点：探究解决简单线性规划问题的方法．教学方式：学生自主探究和教师引导相结合．教学手段：CASIO图形计算器、多媒体、几何画板．教学过程：一. 设置情境，问题引入通过实际问题，创设问题情境．问题一：资金分配前不久的四川大地震，牵动了全国人民的心，灾后重建是当务之急．北京某企业积极响应北京市对口支援什邡市重建的号召，打算对中小学教学楼的重建（包括各项附属设施）提供支援，预算投入资金不超过1000万元．根据当前实际情况，要求投入中学建设的资金不少于投入小学建设资金的1.8倍，初步估算中学教学楼的平均造价为每百平方米14万元，小学教学楼的平均造价为每百平方米8万元．并且对两者的建设面积都不低于1000平方米．请你帮该企业计算一下，如何分配这笔资金能使得教学楼重建后的面积最大？最大面积为多少？学生活动：（1）独立将实际问题转化为数学问题；（2）针对得到的“约束条件”（不等式组），做出相应的平面区域．预案：学生会比较顺利的列出不等式组，不容易想到列出“目标函数”，教师作适当引导，让学生列出二元函数表达式．说明：（1）学生已经学习了“二元一次不等式组表示平面区域”的问题，作为上述知识的应用，这里设计了从实际问题出发，创设问题情境，从而引起学生的探究兴趣；（2）放手让学生独立解决．碰到问题（如何处理一个“二元函数”的最值问题），引起认知冲突，激发求知的欲望．二.深入研究，探求解法针对“问题一”中提出的数学问题，让学生自己探究解决的方法，教师巡视观察．设建设中学教学楼面积为x 百平方米，建设小学教学楼面积y 百平方米，建筑总面积为z 百平方米． z ＝ x ＋y ．满足：学生活动：学生合作交流，进行自主探究．1481000141.881010x y x y x y +≤⎧⎪≥⨯⎪⎨≥⎪⎪≥⎩z ＝x ＋y预案一：学生利用图形计算器的取点功能作出自由点，并度量其坐标，然后在所绘区域内移动该点，并直接计算x＋y的值进行比较，容易猜想出使z取得最大值的点的位置．预案二：让学生思考使z取某个特殊值（如60）时点的位置．部分学生容易想到：满足条件的点的集合为直线x＋y =60与所画区域的交集．可再取两个特殊值让学生思考，引导他们发现直线之间的平行关系，并思考z的几何意义：把目标函数化成=-+的形式，这表示一组平行直线，而z表示的是直线的纵截距，通过平移直y x z线，当直线的纵截距最大时，z取最大值．预案三：（教材解法）利用点到直线的距离公式进行转化，点到直线x + y =0的距离为：d=，把它化成x y+=．因为区域内的点的横纵坐标都是正数，所以=+=．从而到直线x + y =0z x y的距离最大的点就是使z取最大值的点．说明：（1）引导学生合作交流，主动寻求问题的解答；（2）培养学生利用现代信息技术手段辅助思维的意识；（3）教师巡视观察，适当点拨；（4）教师配合学生的探究结果，利用“ClassPad 300计算机模拟软件”及“几何画板”进行动态演示．三. 结合问题，介绍概念结合前面两个实例，介绍线性规划的有关概念：（1）目标函数（线性目标函数）；（2）约束条件（线性约束条件）；（3）线性规划问题；（4）可行解、可行域、最优解．说明：（1）强调“目标函数”是涉及两个自变量的函数；（2）总结解法时明确，涉及两个自变量的线性规划问题可以借助图形解决，但涉及更多自变量时不适用，但在中学阶段不要求．四. 巩固知识，实际演练问题二：食品配制营养学家对高一学生中午的营养配餐提出建议:每人至少需要从食物中获取0．120 kg的碳水化合物，0．024kg的蛋白质，不超过0．032kg的脂肪．现有两种食物A和B，每种食物每千克中所含成分及价格如下表：碳水化合物蛋白质(kg) 脂肪(kg) 价格(元)(kg)A (1kg) 0．120 0．020 0．020 6B (1kg)0．096 0．032 0．020 8为满足上面的饮食要求，并且食物A至少需0.5kg，则两种食物如何搭配可以使花费最低？最低为多少元？学生活动：在笔记本上独立解决．设食物A 需要x kg ，食物B 需要y kg ，花费为z 元．则： z ＝ 6x ＋8y ．满足：说明：（1）换个领域的问题，锻炼学生的类比能力；（2）通过又一个实际问题的解决，帮助学生体会线性规划问题广泛的适用性，从而初步掌握解决简单线性规划问题的一般方法．5455865580.50x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩z ＝6x ＋8y0.1200.0960.1200.0200.0320.0240.0200.0200.0320.50x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩问题三：设变量x 、y 满足下列条件：分别求下列目标函数的最小值：（1）z ＝ y －x ；（2）z ＝ 2x －3y ；（3）z ＝ x ＋y ．学生活动：分组合作完成表格的填写．目标函数最小值最优解 z ＝ y －x z ＝ 2x －3y z ＝ x ＋y说明：（1）借助练习，落实知识的掌握；223435251x y x y x y x +≥⎧⎪-≤⎪⎨+≤⎪⎪>⎩（2）通过题目中呈现出的最优解的不同情况，给学生一个完整的、严谨的数学概念．五. 回顾历史，感受文化“线性规划之父”——“丹齐克”“数学的战争”——“波斯湾战争”说明：通过对“线性规划”的历史及应用的大致介绍，使学生感受数学的文化价值．六. 小结全课，概括升华带领学生从知识与方法两个方面进行回顾与总结，指出：在知识方面，初步学习了解决“简单线性规划”的一般方法；并且更重要的是通过解决问题的过程，体会“模型建立”、“数形结合”以及转化、类比等研究数学问题的一般方法．七. 布置作业，设疑铺垫作业：P94 —练习1、2、3．思考题：34241x yx yx⎧-≤⎪+≤⎪⎨≥⎪已知：x、y 满足条件：求：z= x＋3y的最大值．说明：通过思考题中对变量必须为自然数的限制要求，引导学生思考对“整数规划”问题的继续自主探究，为后面的内容做好铺垫．《简单线性规划一》教案设计说明写在前面的话在准备本节课的过程中，新加坡--麻省理工学院联盟院士、新加坡国立大学企业管理学院决策科学系副教授、《亚太运筹学报》副主编孙捷的一段话引起了我的思考，他说：“在历史上，从来没有哪一种数学方法可以像线性规划一样，在实际生产生活中有着极其广泛的应用，为人类直接和间接地创造出如此巨额的财富，甚至对历史的进程产生影响”．因此我决定对简单线性规划部分的教学做一些尝试：通过实际问题创设情境，让学生体会到数学的应用价值，并通过借助信息技术主动探究问题的解决方法，进一步让学生体会研究数学问题的基本方法思想．下面针对本节课的整体设计做一些说明．一．关于教学思路和内容的确定本节课是在讲了二元一次不等式和二元一次不等式组表示的平面区域的基础上，简单线性规划知识的第一节课．重点是介绍线性规划的有关概念和利用图解法求解，难点是线性规划的实际应用．在教育部制订的《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：“线性规划是优化的具体模型之一，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题．”经过仔细研究教材，结合我校学生的实际情况，我制订了本节课的教学目标和由实际问题引入，学生自主探究的主要思路．二．关于教学目标的确定根据《普通高中数学课程标准》（实验）和新课改的理念，我从知识、能力和情感三个方面制订了教学目标．从知识层面上看，本节课与前面的内容联系紧密，是简单线性规划的第一节课，目的是让学生从实际问题出发建立数学模型，从中理解相关概念，并通过学生自主探究、教师总结点拨，初步掌握图解法．从能力层面上看，根据我校学生的实际情况，我确立了放手让学生利用图形计算器探究问题的教学策略，以培养学生体验、感受、掌握独立研究问题的能力为目标．并努力使学生在探究过程中，体会数学的严谨性、系统性，帮助学生建立严谨的科学态度，发展学生的创新意识和实践能力．同时，注意渗透数学的基本思想和方法．从情感态度层面上看，是想训练学生的探索精神，体会独立研究问题的乐趣和成就感，激发学习数学的兴趣．在教学过程中渗透数学文化，充分体会数学的文化价值．三．教学过程的设计根据教学内容，结合学生的具体情况，我采用了学生自主探究和教师启发引导相结合的教学方式．在整个的教学过程中让学生尽可能地动手、动脑，调动学生积极性，充分地参与学习的全过程．[创设情境]《普通高中数学课程标准》（实验）中要求学生能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题．经过仔细地考虑和研究，结合生活实际，我使用了“资金分配”和“食品配制”两个实际问题来创设情境，激发学生探究的兴趣．让学生体会数学与生活的紧密联系．[合作探究]问题提出后，教师不急于讲解，而是由学生合作解决，教师适当引导．这一环节中，列出“目标函数”，以及“图解法”的得出，都是学生可能碰到的“难题”．但我采取的是放手由学生去做，鼓励他们自己利用已有知识主动探究．同时，在探究过程中注重充分借助图形计算器和计算机辅助思维．[类比深入、落实双基]借助“问题二”、“问题三”，帮助学生巩固探究的结果，落实掌握．并在问题层层深入的过程中，涉及约束条件和目标函数的不同情况，让学生体会线性规划问题中最优解的几种不同可能性，使知识更加完整、严谨，落实知识的掌握与方法的理解．此外，在探究过程中，进一步训练学生分析问题、解决问题和总结归纳等能力．[历史回顾]在课的最后，我设计了一个“对线性规划历史背景简单介绍”的环节，并通过让学生课后查阅资料，渗透数学文化，体现人文精神．让学生逐步了解数学学科与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值和文化价值；开阔视野，探寻数学发展的历史轨迹，提高学生的文化素养，激发学生在后续学习中继续探究的兴趣．[小结提升、后续铺垫]这一环节，主要由学生完成．引导学生从知识与方法两个方面进行小结．培养学生及时总结，概括提升的能力．而思考题是针对“整数规划”的一个设计．目的是让学生在引起了认知冲突后，在课后也能继续独立探究、思考，不但为后面的教学埋下伏笔，也让学生养成不断思考研究的习惯，有利于他们的持续发展．四．教学特点和效果分析线性规划主要是解决日常生活中遇到的求最优解问题.有的题目背景远离学生的生活空间，不同程度的影响了学生的求知欲望.我作课的时间是6月初，当时四川的震情牵动全国亿万人的心.我以灾后重建为背景，编写了问题一，学生感到问题不空洞，数学就在我们身边.并且感到解决好这个问题，也是我们向灾区献爱心的一种表现，学生的求知欲望倍增.问题二也取材于学生的生活空间，现在我们有80％的学生在学校吃营养配餐.在绿色奥运，营养健康的口号下，问题二更体现线性规划的广泛应用，学生在学习过程中，一种亲切感油然而生.技术的发展促进了学习方式的变革.在技术不普及的时候，学生学习这个内容只能单纯的听教师的讲解.现在学生可以自己动手操作，借助CASIO图形计算器可以画出由二元一次不等式组确定的平面区域，然后在限定区域内寻求最优解.学生通过自己的操作，对于问题的理解程度加深了，自我获得知识的成就感也会增加.我在课堂上注重学生的主体参与，努力创设教师引导下的学生自主探究、合作交流的学习方式.通过课堂练习及课后作业，看到学生基本上能掌握利用图解法求解问题.课前制定的教学目标基本实现.。

高考数学必修五第三章 3.3.2 第1课时线性规划的有关概念及图解法

3.3.2 简单的线性规划问题第1课时线性规划的有关概念及图解法学习目标 1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.引例已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0.①该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x ＋3y ②的最大值.以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念. 知识点一线性约束条件及目标函数1.在上述问题中，不等式组①是一组对变量x ，y 的约束条件，这组约束条件都是关于x ，y 的一次不等式，故又称线性约束条件.2.在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数.因为它是关于变量x ，y 的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数. 知识点二线性规划问题一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. 知识点三可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x ，y )叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解.1.可行域内每一个点都满足约束条件.(√)2.可行解有无限多个，最优解只有一个.(×)3.不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.(×)类型一最优解问题命题角度1 问题存在唯一最优解例1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x ＋3y 的最大值.考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值解设区域内任一点P (x ，y )，z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋z3，这是斜率为－23，在y 轴上的截距为z3的直线，如图.由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14.反思与感悟图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤(1)确定线性约束条件，线性目标函数； (2)作图——画出可行域；(3)平移——平移目标函数对应的直线z ＝ax ＋by ，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值. 跟踪训练1 已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围. 考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值解作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图阴影部分所示)即为可行域.设z ＝2x －3y ，变形得y ＝23x －13z ，则得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线.－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最小，由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5，得A 点坐标为(2,3)，∴z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小，即z 最大.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1，得B 点坐标为(2，－1).∴z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.∴－5≤2x －3y ≤7，即2x －3y 的取值范围是[－5,7]. 命题角度2 问题的最优解有多个例2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值有无数个最优解，求实数a 的值.考点线性规划中的参数问题题点无数个最优解问题解约束条件所表示的平面区域如图(阴影部分)，由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ＝0时，最优解只有一个，过A (1,1)时取得最大值；当a ＞0，y ＝－ax ＋z 与x ＋y ＝2重合时，最优解有无数个，此时a ＝1；当a <0，y ＝－ax ＋z 与x －y ＝0重合时，最优解有无数个，此时a ＝－1. 综上，a ＝1或a ＝－1.反思与感悟当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解.跟踪训练2 给出平面可行域(如图阴影部分所示)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取最大值的最优解有无穷多个，则a 等于( )A.14B.35C.4D.53考点线性规划中的参数问题题点无数个最优解问题答案 B解析由题意知，当直线y ＝－ax ＋z 与直线AC 重合时，最优解有无穷多个，则－a ＝5－21－6＝－35，即a ＝35，故选B.类型二生活中的线性规划问题例3 营养专家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少kg? 将已知数据列成下表：考点实际生活中的线性规划问题题点线性规划在实际问题中的应用解设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝28x ＋21y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，把目标函数z ＝28x ＋21y 变形为y ＝－43x ＋z21，它表示斜率为－43，且随z 变化的一族平行直线，z21是直线在y 轴上的截距，当截距最小时，z 的值最小.由图可知，当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距最小，即z 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ＝5，14x ＋7y ＝6，得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫17，47. 所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 17 kg ，食物B 47 kg.反思与感悟 (1)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)在y 轴上的截距zb 是关于z 的正比例函数，其单调性取决于b 的正负.当b >0时，截距z b 越大，z 就越大；当b <0时，截距zb 越小，z 就越大.(2)求解的最优解，和目标函数与边界函数的斜率大小有关.跟踪训练3 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.考点生活实际中的线性规划问题题点线性规划在实际问题中的应用答案 4,1解析设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .目标函数z ＝20x ＋10y ，画出可行域如图阴影部分所示.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝13，5x ＋4y ＝24，得A (4,1). 易知当直线z ＝20x ＋10y 平移经过点A 时，z 取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润.1.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A.－52B.0C.53D.52考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 C解析画出可行域如图阴影部分(含边界)所示.设z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53. 2.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A.6B.7C.8D.23 考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 B解析作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A.－3B.3C.－1D.1 考点线性规划中的参数问题题点无数个最优解问题答案 A解析－1a ＝2－14－1＝13，∴a ＝－3.4.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C.[－1,6]D.⎣⎡⎦⎤－6，32 考点线性目标最优解题点求目标函数的取值范围答案 A解析作出不等式表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝3x －y ，可得y ＝3x －z ，则－z 为直线y ＝3x －z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图形可知，当直线y ＝3x －z 平移到B 时，z 最小，平移到C 时，z 最大，可得B ⎝⎛⎭⎫12，3，z min ＝－32，C (2,0)，z max ＝6，∴－32≤z ≤6. 5.给出平面区域如图阴影部分所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为________.考点线性规划中的参数问题题点无数个最优解问题答案 35解析将z ＝ax ＋y 变形，得y ＝－ax ＋z .当它与直线AC 重合时，z 取最大值的点有无穷多个. ∵k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.一、选择题1.若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域内，则2x －y 的最小值为( ) A.－6 B.－2 C.0 D.2 考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 A解析如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点A (－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6. 2.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A.9B.157C.1D.715考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 A解析画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0，得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9.3.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A.－7B.－4C.1D.2 考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 A解析可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 0过D 点时，z 取得最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得D (5,3). ∴z min ＝3－2×5＝－7，故选A.4.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A.3，－11B.－3，－11C.11，－3D.11,3考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 A解析作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时，z 有最小值，经过点B 时，z 有最大值.易求得A (3,5)，B (5,3).∴z max ＝3×5－4×3＝3，z min ＝3×3－4×5＝－11. 5.已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12C.1D.2 考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案 B解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示.易知直线z ＝2x ＋y 过交点B 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.6.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，若z ＝ax ＋y 的最小值是2，则a 的值为( )A.1B.2C.3D.4考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案 B解析作出可行域，如图中阴影部分所示，又z ＝ax ＋y 的最小值为2，若a >－2，则(1,0)为最优解，解得a ＝2；若a ≤－2，则(3,4)为最优解，解得a ＝－23，舍去，故a ＝2.7.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y确定.若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( ) A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 B解析由线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，当目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.8.已知A (2,5)，B (4,1).若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A.－1 B.3 C.7 D.8 考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 C解析作出线段AB ，如图所示，作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B (4,1)时，2x －y 取最大值，为2×4－1＝7. 二、填空题9.已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________.(答案用区间表示) 考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 [3,8]解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示. 在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值， z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值， z max ＝2×1＋3×2＝8. 所以z ∈[3,8].10.在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，z ＝2x －y 的最小值是________.考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案－7解析如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界.三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)， x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一族与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.11.某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，则所需租赁费最少为________元. 考点生活实际中的线性规划问题题点线性规划在实际问题中的应用答案 2 300解析设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域(图略)，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300. 三、解答题12.设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，求z ＝x ＋y 的取值范围.考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值解作出约束条件表示的可行域，如图所示，z ＝x ＋y 表示直线y ＝－x ＋z 过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域内的A 点时，z 有最小值.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2,0).z min ＝2，z 无最大值.∴x ＋y ∈[2，＋∞).13.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任务.该公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元.请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？考点生活实际中的线性规划问题题点线性规划在实际问题中的应用解设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆.列表分析数据.由表可知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，且目标函数z ＝320x ＋504y .作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示.可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5,0)时，z 最小，但A (7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(8,0)是最优解.这时z min ＝320×8＋504×0＝2 560(元)，即用8辆A 型车，成本费最低.所以公司每天调出A 型卡车8辆时，花费成本最低. 四、探究与拓展14.若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355B. 2C.322 D. 5考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 B解析画出不等式组所表示的平面区域如图(阴影部分)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，得A (1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0，得B (2,1).由题意可知当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，阴影部分夹在这两条直线之间，且与这两条直线有公共点，所以这两条直线为满足条件的距离最小的一对直线，即|AB |＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.故选B.15.已知变量x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a 的取值范围.考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题解依据约束条件，画出可行域.∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－12，目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)对应直线的斜率k 2＝－a ，若符合题意，则需k 1＞k 2.即－12＞－a ，得a ＞12.。

1.2 线性规划的图解法

4x1 16 (0, 4) 4 x2 12 x1 + 2 x 2 8 (8, 0)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x1
图解法例2
9— 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0
8
MaxZ
2 x1 3 x 2
x2
16 4 x1 4 x 2 12 s .t . x1 2 x 2 8 x1 , x 2 0

A）可行解区无界时一定没有最优解 B）可行解区有界时不一定有最优解 C）如果在两个点上达到最优解，则一定有无穷多个最优解 D）最优解只能在可行解区的顶点上达到
C
31
一、选择题（续）
9、关于线性规划模型的可行解区，下面（述正确。

）的叙
A）可行解区内必有无穷多个点 B）可行解区必有界 C）可行解区必须包括原点 D）可行解区必是凸的
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第二节线性规划的图解法
图解法
学习要点
1
2
3
4
5
6
图解法定义
2
图解步骤
解的有关概念
解的可能结果
图解几何意义
解与可行域
一、图解法的定义
图解法

就是用几何作图求LP的最优解的方法。
前提条件

变量个数不能超过两个。
图解法的目的
①利用它来说明LP问题求解的可能结局。 ② 在LP问题最优解存在时，求出最优解。 ③为寻求LP问题的一般算法提供依据。
4x1 16 4 x2 16 x1 + 2x2 8 1、可行域：满足所有约束条件的解的集合，即所有约束条件共同围城的区域（或称可行解集）,记做R 。

线性规划探索线性规划的基本原理解决线性规划的相关问题

线性规划探索线性规划的基本原理解决线性规划的相关问题线性规划（Linear Programming）是一种常见的最优化方法，旨在找到一组变量的最佳取值，使得目标函数在满足一组线性约束条件的前提下取得最大或最小值。

它被广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域，用于解决各类实际问题。

一、线性规划的基本模型及定义在介绍线性规划的原理之前，首先需要了解线性规划的基本模型和一些相关定义。

1. 目标函数（Objective Function）：线性规划的目标函数是需要进行最大化或最小化的变量，通常用线性函数表示。

以最大化为例，目标函数常用如下形式表示：```max Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ```其中，c₁、c₂、...、cₙ为常数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。

2. 约束条件（Constraint）：线性规划的约束条件反映了问题的限制条件，通常为一组线性不等式或等式。

通常表示为：```a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ```其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为常数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量，b₁、b₂、...、bₙ为常数。

3. 决策变量（Decision Variable）：决策变量是需要确定取值的变量，它们的取值将会影响到目标函数和约束条件。

常用 x₁、x₂、 (x)表示。

基于以上定义，线性规划的一般形式可以表示为：```max Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t.a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ```二、线性规划的解法线性规划问题的解法主要分为图形法、单纯形法和内点法等。

线性代数与线性规划

线性代数与线性规划第一章行列式一、二阶行列式：定义：11122122a a a a =a 11a 22-a 12a 21注：对角线法则二、三阶行列式：1、定义：111213212223313233a a a a a a a a a =a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 11a 23a 32-a 12a 21a 332、代数余子式表达：111213212223313233a a a a a a a a a =2223113233a a a a a -2123123133a a a a a +2122133132a a a a a3、a 11的余子式M 11：22233233a a a a （以此类推）4、a 11的代数余子式：（-1）1+1M 11 四、n 阶行列式：定义：D=nn2n 1n n22221n 11211a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=a 11A 11+a 12A 12+…+a 1n A 1n注：当n=1时，|a 11|=a 11 五、三角行列式：定义：三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积，即nn2n 1n 222111a a a 0a a 00a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯= a 11a 22a 33…a nn六、行列式的基本性质：1、转置行列式：将行列式各行元素作为各列构成的行列式D=nn2n 1n n 22221n 11211a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⇒D t=nnn2n 1n22212n12111a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2、命题及推论：命题1：行列式与它的转置行列式的值相等注：对于行成立的性质，对列也成立命题2：交换行列式的两行或两列，行列式改变符号推论：行列式中，如果有两行或两列对应相等，则此行列式值为零命题3：若行列式中某行或某列元素有一个公因子可以提到行列式符号外面命题4：注：对于列也成立命题5：行列式中某一行或列的元素乘上一个数，加到另外一行或列对应的列上去，行列式的值不变命题6：行列式可以表示为其任一行或列的元素，分别乘上它们对应的代数余子式之和，也称行列式可以按任意行或列展开推论：行列式中某行或列的元素，分别乘上另一行或列对应元素的代数余子式之和值为零⎩⎨⎧≠==+⋯++j i ，0ji ，D A a A a A a jn in 2j 2i 1j 1i ⎩⎨⎧≠==+⋯++j i ，0ji ，D A a A a A a nj ni 2j 2i 1j 1i 七、克莱姆法则：1、n 元线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋯++⋯⋯=+⋯++=+⋯++n n nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a（1）非齐次线性方程组：b 1、b 2…b n 不全为零的方程组（2）齐次线性方程组：b 1、b 2…b n 全为零的方程组2、系数行列式：D=nn2n 1n n22221n 11211a a a a a aa a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3、定理：（1）对于线性方程组1）系数行列式D ≠0，则线性方程组有唯一解：x j =D D j（j=1、2、……、n ）注：D j 是把D 中第j 列元素a 1j 、a 2j 、……、a nj 对应地把常数项b 1、b 2、……、b n 替换，其余各行保持不变的行列式2）系数行列式D=0，且D j =0，则线性方程组有无数解注：D j 不是指一行行列式，而是线性方程组所有行的行列式都为零 3）系数行列式D=0，且D j ≠0，则线性方程组无解注：D j 是指任一行行列式为零（2）对于齐次线性方程组：1）系数行列式D ≠0，则齐次线性方程组只有零解 2）系数行列式D=0，则齐次线性方程组有非零解第二章矩阵代数基础一、矩阵的初步：1、定义：由m×n 个数按一定的次序排成的m 行n 列的矩形数表，通常用大写字母A 、B 、C 等表示⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋯⋯++⋯⋯⋯⋯=+⋯⋯++=+⋯⋯++m n mn 22m 11m 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 中的系数A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯mn 2m 1m n 22221n 11211a a a a a a a a a简称A=(a ij )m ×n2、方阵：矩阵的行数与列数相等时，即m=nA n×n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn 2n 1n n 22221n 11211a a a a a aa a a 3、实矩阵：元素是实数的矩阵 4、复矩阵：元素是复数的矩阵 5、零矩阵：元素都为零的矩阵二、特殊的矩阵： 1、向量：（1）行向量（一行的矩阵）：A=()n 21a a a ⋯（2）列向量（一列的矩阵）：B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯m 21a a a2、对角和数值矩阵：（1）对角矩阵：A=diag （λ1，λ2，……，λn ）=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n 21000000λλλ （2）数值矩阵：A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯λλλ0000003、单位矩阵：=）I （E n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯100010001三、矩阵的线性运算： 1、矩阵相等：A=B1）两个矩阵对应的行和列都相等 2）对应元素相等 2、矩阵的加法：A+B=（a ij +b ij ）m ×n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋯++⋯⋯⋯⋯+⋯+++⋯++mn mn 2m 2m 1m 1m n 2n 222222121n 1n 112121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a 注：只有同行同列的矩阵可加 3、矩阵的减法：A-B=A+（-B ） 4、数乘运算： kA=k （a ij ）=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn 2n 1n n 22221n 11211ka ka kaka ka ka ka ka ka5、矩阵的乘法：C=AB=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nm 2n 1n 2m 22211m 1211a a a a a a a a a ·⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ms 2m 1m 2s 22211s 1211b b b b b b b b b =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋯++⋯+⋯+++⋯++⋯⋯⋯⋯+⋯++⋯+⋯+++⋯+++⋯++⋯+⋯+++⋯++ms nm s 22n s 1n12m nm 222n 121n 1m nm 212n 111n ms s 2s 222s 1212m m 2222212211m m 221221121ms m 1s 212s 1112m m 1221212111m m 121121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 注：①左边矩阵的列数=右边矩阵的行数，两个矩阵可进行乘法，否则无意义 ②乘积矩阵的行数=左边矩阵的行数，乘积矩阵的列数=右边矩阵的列数 ③任何一矩阵乘上或者被乘上单位矩阵，那么乘积还是原来的矩阵 ④一般不满足交换律，即AB ≠BA⑤一般不满足消去律，即AC=BC ≠0⇔A=B6、方阵的幂运算：A k =A·A·…·A（共有k 个A ）注：A 0=E7、运算：（1）A+B=B+A（2）（A+B ）+C=A+（B+C ）（3）A+O=A（4）A+（-A ）=O（5）k （lA ）=（kl ）A （6）（k+l ）A=kA+lA （7）k （A+B ）=kA+kB （8）（AB ）C=A （BC ）（9）（A+B ）C=AC+BC （10）C （A+B ）=CA+CB（11）k （AB ）＝（kA ）B=A （kB ）（12）A m A n =A m+n （m 、n 为非负整数）（13）（A m ）n =A mn（14）当AB=BA 时，则（AB ）m =A m B m（15）（A ±B ）2≠A 2±2AB+B 2 （16）A 2-B 2≠（A-B ）（A+B ）四、矩阵的分块：1、子块：在一个矩阵行和列之间加一些虚线，将矩阵分成一些小的矩阵2、分块矩阵：保持子块的相对位置组成的矩阵若A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nm 2n 1n 2m 22211m 1211a a aa a a a a a ⇒A 11=()11a 、A 12=()m 112a a ⋯、A 21=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯n121a a 、A 22=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯nm 2n m 222a a a a 则A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211A AA A 注：不只分为这种方法，可以任意分3、分块对角矩阵：主对角线以外的子块都是零矩阵的矩阵，A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n 21A O O O A 0O OA 4、运算：（1）矩阵A 与B 的行列都相等：A ±B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛±⋯±±⋯⋯⋯⋯±⋯±±±⋯±±mn mn 2m 2m 1m 1m n 2n 222222121n 11n 12121111B A B A BA B A B A B A B A B A B A （2）常数k 乘以矩阵：kA=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nm 2n 1n 2m 22211m 1211kA kA kAkA kA kA kA kA kA（3）分块矩阵的乘法：AB=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++⋯+⋯+++⋯++⋯⋯⋯⋯+⋯++⋯+⋯+++⋯+++⋯++⋯+⋯+++⋯++ms nm s 22n s 1n12m nm 222n 121n 1m nm 212n 111n ms s 2s 222s 1212m m 2222212211m m 221221121ms m 1s 212s 1112m m 1221212111m m 121121111B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A 注：A 是h ×l 的矩阵，B 是l×t 的矩阵五、线性方程组的矩阵表示：1、矩阵法表示：线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋯++⋯⋯=+⋯++=+⋯++m n mn 22m 11m 2n n 22221211n n 1212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a矩阵形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯mn 2m 1m 2n 22211n 1211a a a a a aa a a （A ）×⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯n 21x x x （X ）=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯m 21b b b （b ） 2、系数矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯mn 2m 1m 2n 22211n 1211a a a a a aa a a （A ）3、解向量：若x 1=c 1，x 2=c 2，……，x n =c n ，则x=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯n 21c c c4、齐次线性方程矩阵法表示：AX=O 六、矩阵的转置：1、转置矩阵：把矩阵的行与同序数的列交换得到的矩阵A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯mn 2m 1m 2n 22211n 1211a a a a a a a a a ⇒A t（A '）=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯mn n 2n 1m22212m12111a a a a a a a a a 2、对称矩阵：A=A t注：关于主对角线对称的矩阵也是对称矩阵 3、反对称矩阵：A t =-A注：每一个方阵总可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和 4、运算：（1）（A T ）T =A （2）（A+B ）T =A T +B T （3）（kA ）T =kA T （4）（AB ）T =B T A T七、方阵的行列式：1、定义：由n 阶方阵的元素构成的行列式（各元素的位置不变），记作：|A|或detAA=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn 2n 1n 2n 22211n 1211a a a a a a a a a ⇒|A|=nn 2n 1n n22221n11211a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 注：方阵与行列式的概念不同，方阵是n 2个数按一定方式排列成的数表，行列式是一个数值 2、运算：（1）|A T |=|A|（2）|kA|=k n|A| （3）|AB|=|A||B| 八、可逆矩阵：1、方阵A 可逆：对于方阵A ，若存在方阵B ，且AB=BA=E ，记作：A -12、矩阵A 的逆： AB=BA=E 中的B 注：①可逆矩阵的逆是唯一的②单位矩阵是可逆的，切逆矩阵就是本身 3、运算：（1）（A -1）-1=A （2）（kA ）-1=k -1A -1 （3）（AB ）-1=B -1A -1 （4）|A -1|=|A|-1 （5）（A T ）-1=（A -1）T4、伴随矩阵：方阵A 的行列式|A|中各个元素的代数余子式A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn 2n 1n 2n 22211n 1211a a a a a a a a a ⇒A *=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn 2n 1n 2n 22211n 1211A A A A A A A A A 5、可逆矩阵的值：A -1=*A A1 注：|A|≠0九、初等变换：1、单位矩阵的初等变换（初等矩阵）：（1）E 的第i 行（列）乘以非零常数k 得到的矩阵：E （i （k ））=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1000k 0001（2）E 的第i 、j 行（列）互换得到：E （i ，j ）=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1000000001000000000001000001000000001000000000000010001000000001（3）E 的第j 行乘以数k 加到第i 行上，或E 的第i 列乘以数k 加到第j 列上得到的矩阵： E （ij （k ））=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯100001000k 1000012、初等矩阵的性质：（1）初等矩阵的逆： 1）E （i （k ））-1=E （i （k -1）） 2）E （i ，j ）-1=E （i ，j ） 3）E （ij （k ））-1=E （ij （-k ））（2）初等矩阵的行列式： 1）|E （i ，j ）|=-1 2）|E （i （k ））|=k 3）|E （ij （k ））|=13、矩阵与初等矩阵关系：设A 是一个m×n 的矩阵（1）若A ×E （i （k ））或E （i （k ））×A，则A 的第i 行（或第i 列）元素乘k （2）若A×E（i ，j ）或E （i ，j ）×A，则A 的第i 行与第j 行（或第i 列与第j 列）互换（3）若A×E（ij （k ））或E （ij （k ））×A，则A 的第j 行乘上常数k 加到了第i 行（或第i 列乘上常数k 加到了第j 列） 4、矩阵的初等变换：（1）以一个非零的常数k 乘矩阵的某一行或某一列（2）交换矩阵的两行或两列（3）把矩阵的某一行或某一列的k 倍加到另一行或另一列 5、梯形矩阵：（1）形式：1）零行（元素都为零的行）位于矩阵的最下方（有零行的情况下） 2）各非零行的首非零元的列标随行标的增大而增大（2）最简行阶梯形矩阵： 1）各非零行的首非零元都是12）每个首非零元所在列的其余元素都是零 6、求逆矩阵的初等变换法：（1）过程：将A 化为单位矩阵，E 化为A -1，即）A E （）E A （-1初等行变换−−−−−→− （2）扩展：）B A E （）B A （-1初等行变换−−−−−→− 注：A 为n 阶可逆矩阵，则矩阵A 经过有限次初等变换可化为单位矩阵E 十、向量的线性相关性： 1、n 元向量（n 维向量）：1×n 或b×1的矩阵，用α、β、γ等表示 2、n 元向量组：α1、α2、α3、……αS3、向量组的线性组合：向量组α1、α2、α3、……、αS ，对于任何一组实数k 1、k 2、k 3、……、k S ，则k 1α1+k 2α2+……+k S αS4、线性组合的系数：k 2、k 3、……、k S5、β的线性组合：β=k 1α1+k 2α2+……+k S αS6、向量组线性相关：向量组α1、α2、α3、……、αS ，对于不全为零的k 1、k 2、k 3、……、k S ，则k 1α1+k 2α2+……+k S αS =0 注：①包含零向量的任何向量组都是线性相关的②向量组只含有一个向量α且α=0，则线性相关 ③向量线性相关的两个向量⇔两个向量分量成比例 7、向量组线性无关：（1）向量组α1、α2、α3、……、αS ，对于不全为零的k 1、k 2、k 3、……、k S ，则k 1α1+k 2α2+……+k S αS ≠0（2）k 1=k 2=k 3=……=k S =0时，则k 1α1+k 2α2+……+k S αS =0 注：①向量组只含有一个向量α且α≠0，则线性无关 ②向量线性无关的两个向量⇔两个向量分量不成比例注：从定义出发判断一个向量组的线性相关性，可以令它的线性组合为零，如果说明系数必须全为零，则此向量组线性无关；如果系数不全为零，则此向量组线性相关 8、定理：（1）向量组α1、α2、α3、……、αS （S ≥2）线性相关⇔向量组至少有一个向量可由其余S-1个向量线性表示（2）如果向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相关注：线性无关的向量组中的任何部分皆线性无关（3）若向量组α1、α2、α3、……、αS ，β线性相关，而向量组α1、α2、α3、……、αS 线性无关，则向量β可由唯一的α1、α2、α3、……、αS 线性表示（4）若向量组β1、β2、β3、……、βt 线性无关且每个向量都可以由α1、α2、α3、……、αS 线性表示，则t ≤S注：当且仅当两向量组等价时，“=”成立 9、向量组的极大无关组：（1）条件：对于向量组α1、α2、α3、……、αn 的一个部分组 1）此部分组线性无关2）α1、α2、α3、……、αn 中的每一个向量都可以由这个部分组线性表示注：向量组的极大无关组不唯一（2）向量组的极大无关组所含向量个数是相同的 10、向量的秩：向量组的极大无关组所含向量的个数第三章线性方程组一、矩阵的秩：1、k 阶子式：在矩阵A 中，位于任意选定的k 行k 列相交处的k 2个元素，按照原来的相对位置构成的k 阶行列式2、非零子式：子式的值不等于零注：①m×n 矩阵A 的k 阶子式一共有kn k m C C ⋅个②当A=O 时，任何子式都为零③当A ≠O 时，至少有一个元素不为零 ④如果A 中有r 阶子式不为零，且没有高于r 阶的不为零的子式，则此时不为零的子式的最高阶数为r3、定义：设A 为m×n 矩阵，如果存在A 的r 阶子式不为零，而任何r+1阶子式（如果存在）皆为零，记作：r （A ）（R （A ））（子时不全为零的最高节数）注：零距阵的秩等于零4、满秩矩阵：当r （A ）=m 或n 中的最小数5、降秩矩阵：当r （A ）<m 或n 中的最小数6、性质：（1）若矩阵A 中某个s 阶子式不为0，则r （A ）≥s （2）若A 中所有t 阶子式全为0，则r （A ）<t （3）r （A ）=r （A T ）（4）若A 为m×n 矩阵，则0≤r （A ）≤m 或n 中最小的数（5）若A 为n×n 矩阵且A 满秩⇔r （A ）=n ⇔行列式一定不等于0⇔一定是可逆的矩阵 7、定理：（1）行阶梯形矩阵的秩等于它所含非零行的个数（2）对矩阵做一次行（列）变换，矩阵的秩不变（3）初等变换不改变矩阵的秩二、线性方程组的解：1、矩阵消元法：对于给定的线性方程组，写出其增广矩阵（A ~），对其进行初等变换为最简阶梯形矩阵，还原成方程组2、有解的条件：n 元线性方程组Ax=b 有解⇔r （A ）=r （A ~）（1）方程有唯一解：r （A ）=r （A ~）=n （2）方程有无穷解：r （A ）=r （A ~）<n （3）对于n 元齐次线性方程组： 1）一定有零解：Ax=0 2）有非零解：r （A ）<n （4）无穷解的向量形式：设x 3=c 1，x 4=c 2（c 1∈R 且c 2∈R ），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=++=2413212211c x c x mc kc j x hc fc d x注：d 、f 、h 、j 、k 、m 都是常数则X=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10m h c 01k f c 00j d x x x x 214321三、线性方程组的结构： 1、向量组：（1）设α1、α2、α3、……、αn 为n 元向量组（m ≤n ） 1）当n 元向量组线性相关时，它的秩小于m 2）当n 元向量组线性无关时，它的秩等于m （2）解向量组是否线性相关的方法：用每个向量的元素作为一列构成一个矩阵，然后化成行阶梯形矩阵，根据上面的定理判断（3）k 元线性无关的向量组每个向量组增加p 个分量后，得到k+p 元向量组仍线性无关设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯=k121111a a a α、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯=k222122a a a α、…、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯=km m 2m 1m a a a α线性无关，则组向量⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯=+*1）p k （1k 21111a a a a α、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯=+*2）p k （2k 22122a a a a α、…、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯=+*m ）p k （km m 2m 1m a a a a α也线性无关 2、齐次线性方程组：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋯++⋯⋯=+⋯++=+⋯++m n mn 22m 11m 2n n 22221211n n 1212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a1）矩阵表示法：A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯mn 2m 1m 2n 22211n 1211a a a a a aa a a ，X=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯n 21x x x ⇒AX=0 2）解向量：X=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯n 21x x x3）若21、ξξ为上面方程组解向量，则21ξξ+也是解向量 4）若1ξ为上面方程组的解向量，则1k ξ（k ∈R ）也是解向量（2）齐次线性方程组AX=0的解集中，所有解向量的极大无关组1η、2η、…、t η满足：1）1η、2η、…、t η线性无关2）方程组任意一解均可用1η、2η、…、t η表示（3）基础解系：此时的1η、2η、…、t η （4）通解：x=2211c c ξξ+（5）设x 3=c 1，x 4=c 2（c 1∈R 且c 2∈R ），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=2413212211c x c x mc kc x hc fc x注：d 、f 、h 、j 、k 、m 都是常数则X=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10m h c 01k f c x x x x 2143211）基础解系：1ξ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01k f ，2ξ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10m h2）通解：x=2211c c ξξ+ 3、非齐次线性方程组：（1）导出的齐次线性方程组的解：设21、ηη是非齐次线性方程组AX=b 的解，则解为：21-ηη（2）非齐次线性方程组的解：设η是非齐次线性方程组AX=b 的解，ξ为导出的齐次线性方程组的解，则解为：ξ+η（3）非齐次线性方程组的通解：设*η是非齐次线性方程组AX=b 的一个解，ξ为导出的齐次线性方程组的通解第四章投入产出的数学模型一、投入产出表：二、意义：1、x ij ：一个周期内第i 个产业部门对第j 个产业部门投入的产品数量（第j 个产业部门消耗地i 个产业部门的产品价值）2、y i ：第i 个产业部门供给市场消耗的产品价值3、z j ：第j 个产业部门在一个生产周期内的创新价值4、x i ：汇总三、方程组： 1、分配平衡：（1）普通：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⋯++⋯⋯=++⋯++=++⋯++n n nn 2n 1n 22n 2222111n 11211xy x x x x y x x x x y x x x（2）矩阵：AX+Y=X2、消耗平衡：（1）普通：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⋯++⋯⋯=++⋯++=++⋯++n n nn n 21n 222n 221211n12111xz x x x x z x x x x z x x x（2）矩阵：CX+Z=X 3、直接消耗系数：jijij x x a = 4、矩阵解释：（1）直接消耗系数矩阵：A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯mn 2m 1m 2n 22211n 1211a a a a a a a a a（2）X=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯n 21x x x ，Y=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯n 21y y y ，Z=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯n 21z z z（3）C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋯++⋯⋯⋯⋯⋯⋯+⋯++⋯+⋯++nn n 21n2n 2212n12111a a a 000a a a 00a a a 第四章线性规划一、模型：1、实际应用类型：（1）任务安排问题：裁决变量：设x j 是第j 种产品的生产总量（j ∈N *）（2）配料问题（3）运输问题（4）作物布局问题（5）合理下料问题 2、线性规划问题：（1）特点：1）每一个问题都可以用一组变量来表示，这组变量的一组定值代表一个具体方案，这些变量的取值通常是非负的2）有约束条件（用一组变量的线性等式或不等式表达） 3）有目标（一组变量的线性函数），按要求求最大值或最小值（2）数学语言表示： 1）最大值模型：（S max ）maxS=c 1x 1+c 2x 2+…+c n x n⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⋯≥≥>≤+⋯++⋯⋯>≤+⋯++>≤+⋯++0x ，，0x ，0x b ）（或x a x a x a b ）（或x a x a x a b ）（或x a x a x a n 213n mn 22m 11m 2n n 22221211n n 12121112）最小值模型：（S min ）minS=c 1x 1+c 2x 2+…+c n x n⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⋯≥≥>≤+⋯++⋯⋯>≤+⋯++>≤+⋯++0x ，，0x ，0x b ）（或x a x a x a b ）（或x a x a x a b ）（或x a x a x a n 213n mn 22m 11m 2n n 22221211n n 12121113、标准形式：（1）表示： 1）数学语言：（S max ）maxS=c 1x 1+c 2x 2+…+c n x n⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⋯≥≥=+⋯++⋯⋯=+⋯++=+⋯++0x ，，0x ，0x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n 213n mn 22m 11m 2n n 22221211n n 12121112）矩阵：（S max ）maxS=CX⎩⎨⎧≥=0x bAX 注：X=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯n 21x x x ，C=（c 1，c 2，…，c n ），A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯mn 2m 1m 2n 22211n 1211a a a a a a a a a =（P 1，P 2，…，P 3），b=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯n 21b b b（2）特点：1）目标函数求最大值2）所有约束条件都用等式表示 3）所有变量要求非负 4）约束常数b i 为非负二、基本概念：1、可行解：满足线性规划模型中，约束条件的决策变量的一组值2、可行域：满足约束条件的解的集合3、最优解：目标函数最大或最小的一组可行解4、最优值：最优解下的值三、图解法： 1、过程：（1）根据约束条件，在平面直角坐标系下画出可行域E（2）根据目标函数S 的表达式画出目标直线S=0，并标明目标函数增加的方向（3）在可行域E 中，寻求符合要求的距离目标直线S=0最远或最近的点，并求该点的坐标 2、类型：（1）唯一最优解（2）有无穷最优解（3）有可行域，无最优解（4）无可行域，无最优解。

高中-数学--线性规划

线性规划一、知识梳理1.目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3.整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、线性规划的有关概念：1、线性约束条件：2、线性目标函数：3、线性规划问题：4、可行解、可行域和最优解：三、二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.四、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y),从Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域。

特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

方法二：利用规律：(总之：看Y)1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。