2016.7北京市海淀区高一第二学期期末数学(理)试题及答案

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北京市高一下学期数学期末考试试卷

北京市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一下·吉林月考) 若点是角终边上异于原点的任意一点，则的值是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·黄陵开学考) y=（sinx﹣cosx）2﹣1是（）A . 最小正周期为2π的偶函数B . 最小正周期为2π的奇函数C . 最小正周期为π的偶函数D . 最小正周期为π的奇函数3. （2分） (2016高一下·华亭期中) 已知cosα= ，则sin2α等于（）A .B . ±C .D . ±4. （2分） (2019高三上·西藏月考) 已知tan θ＝3，则cos ＝（）A . －B . －C .D .5. （2分） (2017高一下·新余期末) 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），且函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·吉林期中) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A . 关于点（，0）对称B . 关于直线x= 对称C . 关于点（，0）对称D . 关于直线x= 对称7. （2分）已知，则cos2θ等于（）A .B .C .D .8. （2分）已知tanx=，则sin2（+x）=（）A .B .C .D .9. （2分）如图，已知 = ， = ， =3 ，用，表示，则等于（）A .B .C .D .10. （2分）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足，则·(＋)等于（）A .B .C .D .11. （2分）(2016·诸暨模拟) 已知△ABC中，AC=2，AB=4，AC⊥BC，点P满足 =x +y ，x+2y=1，则•（ + ）的最小值等于（）A . ﹣2B . ﹣C . ﹣D . ﹣12. （2分）已知向量，若，则等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）下列命题：①函数y=sin（2x+）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；②函数y=cos2x﹣sin2x图象的一个对称中心为（， 0）；③函数y=sin（x﹣）在区间[﹣，]上的值域为[﹣，]；④函数y=cosx的图象可由函数y=sin（x+）的图象向右平移个单位得到；⑤若方程sin（2x+）﹣a=0在区间[0，]上有两个不同的实数解x1 ， x2 ，则x1+x2=．其中正确命题的序号为________14. （1分）(2017·安徽模拟) 已知向量，与的夹角为30°，则最大值为________．15. （1分） (2016高二下·黑龙江开学考) 下列4个命题，其中正确的命题是________①“ ”是“ 不共线”的充要条件；②已知向量是空间两个向量，若，则向量的夹角为60°；③抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是；④与两圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x﹣5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为．16. （1分） (2018高二上·六安月考) 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知A为钝角，且2a，若，则△ABC的面积的最大值为 ________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2017·烟台模拟) 已知向量，向量，函数．（1）求f（x）的单调减区间；（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式及其图象的对称中心．18. （10分）化简：（1）；（2）[2sin50°+sin10°（1+ tan10°）]• ．19. （10分）化简（1）已知tan（α+β）= ，tan（β﹣）= ，求的值；（2）已知β，β均为锐角，且cos（α+β）= ，sin（α﹣β）= ，求β．20. （10分） (2016高三上·无锡期中) 已知三点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1），P为平面ABC上的一点，=λ +μ ，且• =0，• =3．（1）求• ；（2）求λ+μ 的值．21. （10分） (2017高一下·西华期末) 已知向量与向量的夹角为θ，且| |=1，| |= ．（1）若∥ ，求• ；（2）若﹣与垂直，求θ．22. （5分） (2016高一下·华亭期中) 求函数y=tan2x+tanx+1（x∈R，且x≠kπ+ ）的值域．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

2016-2017学年北京市海淀区首师大附中高二下学期期末试卷数学(理科)-解析版

2016-2017学年北京市海淀区首师大附中高二下学期期末试卷数学（理科）-解析版评卷人得分一、单选题1．在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由条件求得圆心的直角坐标进而求出圆的直角坐标方程，再利用把它化为极坐标方程即可.详解：由题意可得圆心的直角坐标为，半径为1，故圆的直角坐标方程为，即，再把它化为极坐标方程为，即，故选A.点睛：本题主要考查求圆的标准方程，把直角坐标方程化为极坐标方程，熟练掌握的运用是解题的关键，属于基础题．2．已知平面向量，，满足，，，若，则实数（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵，，∴，故选D考点：平面向量共线的坐标表示．3．在等比数列中，，，则公比等于（）．A. B. 或 C. D. 或【答案】B【解析】分析：根据等比数列的通项公式将，用和表示，可得关于的一元二次方程，解方程可得.详解：∵等比数列中，，，∴，∴，解得或，故选B．点睛：本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题．4．用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】从到成立时，左边增加的项为，因此增加的项数是，选A.5．在所在平面内有一点，满足，，则等于（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到为直径，故为直角三角形，求出三边长可得的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．详解：∵，，∴，∴，∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵，∴，，，故．则，故选C．点睛：本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识，求出为直角三角形及三边长，是解题的关键.6．已知，观察下列算式：；，；若，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据已知中的等式，结合对数的运算性质，可得（），进而得到答案.详解：∵，∴；；…归纳可得：（），若，则，故选C.点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．7．函数在上的图象大致为（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：求出函数在上导函数，求出极值点的个数，以及的值，即可判断函数的图象.详解：函数在是偶函数，则在可得，令，可得方程只有一个解，如图：可知在有一个极值点，排除B，D，，排除C，故选A.点睛：本题考查函数的图象的判断，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力，主要利用的是排除法，除上述排除法以外，常见的还有通过函数的单调性、奇偶性、特殊点（其中包括方向和）等等.8．数列满足，前项和为，，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：化简可得，从而可得数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，即，从而可得数列是以为首项，以为公差的等差数列，从而解得.详解：∵，∴，解得；由，得，，故数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，∴，∴，∴数列是以为首项，以为公差的等差数列，∴，∴，∴，故选A.点睛：本题考查了等差数列与等比数列的应用及数列的化简与构造，属于难题；常见求数列通项公式几种常见的形式：1、公式法；2、利用数列前项和与通项的关系式：；3、累加法；4、累乘法；5、已知递推关系求，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题9．若复数为纯虚数，那么实数的值为__________．【答案】【解析】分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，又已知复数为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案.详解：，又∵为纯虚数，∴，解得，故答案为．点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及学生的运算能力，是基础题．10．__________．【答案】【解析】分析：找出函数的原函数，根据微积分基本定理即可得结果.详解：，故答案为.点睛:本题主要考查了利用微积分基本定理求定积分，准确找出被积函数的原函数是解题的关键，属于基础题.11．圆（为参数）被直线截得的弦长为__________．【答案】2【解析】分析：首先将圆的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，根据圆心到直线的距离，弦的一半以及圆的半径构成直角三角形可得结论.详解：圆（为参数）的一般方程为，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，故圆被直线截得的弦长为，故答案为2.点睛：本题主要考查了将圆的参数方程化为普通方程，以及直线与圆相交求所得弦长，属于基础题.12．设，是单位向量，且，若与的夹角不超过，则的最大值是__________．【答案】【解析】分析：先计算向量与的数量积，再由两向量角不超过，可得它们的数量积不小于0，解不等式即可得最值.详解：∵与的夹角不超过，∴，∴，∵是单位向量，且，∴，∴，即的最大值为，故答案为.点睛：本题考查了向量数量积运算的应用，特别是运算性质和运算律的运用，解题时要善于转化，属于中档题.13．已知数列满足：，，对于任意正整数，，，，总有成立，则__________，通项__________．【答案】10【解析】分析：根据，，成立，可以求得，，数列为等差数列，从而可求得.详解：∵，，对于任意正整数，，，（），总有成立，，∴，∴令，，，得，即∴该数列是以首项是1，公差为3的等差数列，∴，，故答案为10，．点睛：本题考查等差数列的通项公式，解决的方法是特值法，解题的关键是得出数列为等差数列，属于中档题．14．已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点，则曲线关于曲线的关联点的个数为__________个．【答案】1【解析】分析：由定义，先设点的坐标，再由点，的坐标表示出中点的坐标，由中点坐标在曲线上，建立关于的方程，研究此方程根的个数，即可得出关联点的个数.详解：设点，则点，的中点的坐标是，由于此点也在曲线上，故有，即，此方程的根即两函数与的交点的横坐标，由于此二函数一为增函数，一为减函数，故两函数与的交点个数为1，故符合条件的关联点仅有一个，故答案为1.点睛：本题考查函数图象的对称性，考查了转化思想，数形结合的思想，解题的关键是紧紧抓住题中的定义，将其转化为方程根的问题，进而等价为函数图象交点个数问题，根据函数的单调性及图象的大致趋势即可.评卷人得分三、解答题15．在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点．（）求证：．（）若为线段上一点，且，求证：平面．（）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】）证明见解析；（）证明见解析；（）为中点．【解析】分析：（1）证明，，即可证明平面，利用直线与平面垂直的性质定理证明；（2）以为原点，，为，轴，建立如图所示的坐标系，求出平面的一个法向量，根据可证得结果；（3）设，，，利用若直线与平面所成的角为，列出方程求出，即可得到点的位置．详解：（）∵，是的中点，∴，又∵平面，，∵点，∴平面，∴．（）如图，以为原点，，为，轴，建立如图所示的坐标系，∴，，，，，∴，，设平面的一个法向量．∴，∴，取，∵，∴，∴，∴平面．（）在棱上存在一点，设，且，∴，∴，∴，，，若直线与平面所成角为，∴，解得，∴存在点符合条件，且点是棱的中点．点睛：本题考查直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，直线与平面所成角的处理方法，空间向量的数量积的应用，线面平行等价于直线的方向向量和平面的法向量互相垂直，直线与平面所成的角满足，其中为直线的方向向量，为平面的法向量.16．已知函数，其中实数．（）判断是否为函数的极值点，并说明理由．（）若在区间上恒成立，求的取值范围．【答案】（）是的极值点；（）．【解析】试题分析: （Ⅰ）对函数求导,将代入导函数的分子,可得函数值为0,根据判别式结合验证可得,1是函数的异号零点，所以是函数的极值点．（Ⅱ）分类讨论参数a, 当时，函数单调递减，所以恒成立；当时，在区间上单调递增，所以，所以不等式不能恒成立.试题解析:（Ⅰ）由可得函数定义域为．，令，经验证，因为，所以的判别式，由二次函数性质可得，1是函数的异号零点，所以是的异号零点，所以是函数的极值点．（Ⅱ）已知，因为，又因为，所以，所以当时，在区间上，所以函数单调递减，所以有恒成立；当时，在区间上，所以函数单调递增，所以，所以不等式不能恒成立；所以时，有在区间恒成立．点睛:本题考查学生的是导数在单调性以及恒成立问题的应用,属于中档题目.导数与极值点的关系：(1)定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x0两侧异号，若左负右正为极小值点，若左正右负为极大值点；(2)函数f(x)在点x0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y＝|x|，结合图象，知它在x＝0处有极小值，但它在x＝0处的导数不存在；(3)f′(x0)＝0既不是函数f(x)在x＝x0处取得极值的充分条件也不是必要条件．最后提醒学生一定要注意对极值点进行检验．17．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过焦点的直线（斜率不为）与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，直线交椭圆于，两点．（）求椭圆的方程．（）当四边形为矩形时，求直线的方程．【答案】（1）；（）．【解析】试题分析：(I)借助题设条件运用参数之间的关系等知识建立方程组求解；(II)依据题设运用直线与椭圆的位置关系进行探求.试题解析：（Ⅰ）由题意可得解得，.故椭圆的方程为...........（5分）（Ⅱ）由题意可知直线斜率存在，设其方程为，点，.，，由得.所以，因为.所以中点.因此直线方程为.由解得，.因此四边形为矩形，所以，即.所以.所以.解得，故直线的方程为...........（14分）考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是椭圆的标准方程等基础知识与直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念,求得椭圆的标准方程为；第二问的求解过程中,先设直线的方程为,再借助题设中的矩形满足的条件建立方程,求得,从而使得问题获解.18．如果数列，，，（，且），满足：①，；②，那么称数列为“”数列．（）已知数列，，，；数列，，，，．试判断数列，是否为“”数列．（）是否存在一个等差数列是“”数列？请证明你的结论．（）如果数列是“”数列，求证：数列中必定存在若干项之和为．【答案】（）数列不是“”数列，数列是“”数列；（）不存在等差数列是“”数列；（）证明见解析．【解析】分析：（1）根据定义直接判断即可得解；（2）假设存在等差数列是“”数列，由，得，与矛盾，从而可证不存在等差数列为“”数列；（3）将数列按以下方法重新排列：设为重新排列后所得数列的前项和（且），任取大于0的一项作为第一项，则满足，然后利用反证法，证明即可.详解：（）由题目是定义可直接判断出，数列不符合数列要求，数列是“”数列．（）不存在一个等差数列是“”数列，证明：假设存在等差数列是“”数列，则由，得与矛盾，说明假设不成立，即不存在等差数列是“”数列．（）将数列按以下方法重新排列：设为重新排列后所得数列的前项和（，且），任取大于的一项作为第一项，则满足，假设当时，，若，则任取大于的一项作为第项，可保证，若，则剩下的项必有或与异号的一项，否则总和不是，∴取或与异号的一项作为第项，可保证，如果按上述排列后存在成立，那么命题得证，否则，，这个整数只能取区间内的非整数，∵区间内的非整数至多个，∴一定存在，那么从第项到第项之和为，命题得证，综上所述，数列中一定存在若干项之和为，证毕．点睛：本题主要考查了新定义和数列的应用，解答新定义的试题的关键是把题目中的定义转化已经学过的知识进行解决，属于中档题.。

2016高一海淀期末及答案

2016高一海淀期末二、单项选择（共10小题；每小题1分，共10分）从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。

13. Auckland has ________ population of under a million people and _______ warm climatewith plenty of sunshine.A. a, aB. /, aC. a, theD. the, /14. Every year in April, the Water Festival______among the Dai people in Xishuangbanna.A. celebratesB. is celebratingC. is celebratedD.is being celebrated15. The new school term in China on the first day of September.A. beginsB. beganC. has begunD. will begin16. －How was the party? －Fantastic! We_____ a great time!A. have hadB. had hadC. were havingD. had17. －I thought I asked you to fix the radio the day before yesterday.－Oh, I am sorry. I______ it right away.A. have doneB. will doC. am doingD. am going to do18. If you make a promise, you should keep it; you______break a promise.A. couldn’tB. needn’tC. oughtn’t toD. wouldn’t19. －Shall we take the 10:00 train? －No. If we take that train, we______too late.A. arriveB. arrivedC. will arriveD. would arrive20. The engineers are so busy that have no time for sports,______they have the interest.A. untilB. even ifC. as ifD. because21. We were leaving the office______a stranger with a bunch of flowers in his hands came in.A. asB. whileC. whenD. after22. His mother drew piano keys on a piece of paper______the boy could learn as early aspossible.A. now thatB. such thatC. for fear thatD. so that三、完形填空（共20小题；每小题1分，共20分）阅读下面短文，从各题A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。

2016年北京市海淀区高三一模理科数学试卷含答案

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为（） A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为（）A ．－1B ．1C ．－ID ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为（）A ．52 B ．3 C ．72D ．4 4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A 3B 323 D 265．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝（） A ．1 B 2 C 3 D ． 2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是（）A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种；（ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝_______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分）如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β．（Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=；（Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ．（Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数f (x) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x)的最小值；（Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g(x)的切线。

北京市海淀区2015-2016学年高一下期末练习数学试题含答案

海淀区高一年级第二学期期末练习数学 2016.7学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式2230x x +-<的解集为（） A. {|31}x x x <->或 B. {|13}x x x <->或 C. {|13}x x -<< D. {|31}x x -<<2. 若等差数列{}n a 中，33=a ，则{}n a 的前5项和5S 等于（）A ．10B ．15C ．20D ． 303．当3a =，5b =，7c =时，执行如图所示的程序框图，输出的m 值为（）A ．12B ．12-C ．32D ． 32-4．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（） A ．b c a c -<- B ．22ac bc >C ．11a b <D ．1ba<5．若向面积为2的ABC ∆内任取一点P ，并连接PB ，PC ，则PBC ∆的面积小于1的概率为（）A.14 B. 12 C. 23 D. 346．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C （元），其中C ＝500＋30x 元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（）A. 20≤x ≤30B. 20≤x ≤45C. 15≤x ≤30D. 15≤x ≤45 7. 在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对应的边分别为a ，b ，c . 若30C ∠=︒，2a c =，则B∠等于（） A. 45︒ B. 105︒C. 15︒或105︒D. 45︒或135︒8．某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班.如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”.这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表：初一年级平均值为2，方差为2 初二年级平均值为1，方差大于0 高一年级中位数为3，众数为4 高二年级平均值为3，中位数为4从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是（）A. 初一年级B.初二年级C.高一年级D.高二年级二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．若实数,a b 满足02a <<，01b <<，则a b -的取值范围是． 10．公比为2的等比数列{}n a 中，若123a a +=，则34a a +的值为．11．如图，若5=N ，则输出的S 值等于_________．12．函数24()(0)x x f x x x-+-=>的最大值为_________，此时x 的值为_________．13．高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知a = .现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在[)20,30年龄段抽取的人数应为_________．14．设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1||n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为；64a 的最大值为 .三．解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足11a =，2a 是1a 与5a 的等比中项（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n a nb =，判断数列{}n b 是否为等比数列. 如果是，求数列{}n b 的前n 项和n S ，如果不是，请说明理由.16. （本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，=2CD .（Ⅰ）若3AD BD ==，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若=2AD ，=4BD ,求sin B 的值.17. （本小题满分12分）某家电专卖店试销A 、B 、C 三种新型空调，连续五周销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周 A 型数量/台 12 8 15 22 18 B 型数量/台 7 12 10 10 12 C 型数量/台C 1C 2C 3C 4C 5（Ⅰ）求 A 型空调平均每周的销售数量；（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店第二周售出的A 、B 型空调销售记录中，随机抽取一台，求抽到B 型空调的概率；（III ）已知C 型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，且每周销售数量C 1，C 2，C 3，C 4，C 5互不相同，求C 型空调这五周中的最大销售数量.（只需写出结论）18. （本小题满分8分）高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧.游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i次得到的点数为i x，若存在正整数n，使得126 nx x x+++=，则称n为游戏参与者的幸运数字.（Ⅰ）求游戏参与者的幸运数字为1的概率；（Ⅱ）求游戏参与者的幸运数字为2的概率.海淀区高一年级第二学期期末练习参考答案2016.7数学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3.B4.A5.D6.B7.C8.A二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分)9. (1,2)- 10. 12 11.5612. 3-, 2 13. 035.0 , 10 14. {3,1,1,3}-- , 2016三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），则由11a =得211a a d d =+=+；51414a a d d =+=+.--------------------------2分因为2a 是1a 与5a 的等比中项，所以2215a a a =⋅，即2(1)14d d +=+， --------------------------4分解得0d =（舍）或2d =， --------------------------5分故数列{}n a 的通项公式为1(1)21n a a n d n =+-⋅=-.--------------------------6分（Ⅱ）由2n a nb =，得（1）当1n =时，11220a b ==≠--------------------------7分（2）当2n ≥时，12123122422n n a n n a n n b b ----===--------------------------9分故数列{}n b 为以2为首项，4为公比的等比数列，有()111422411143n n n n q S b q --=⋅=⋅=⨯---.-------------------------12分16. （Ⅰ）解法一：当3AD BD ==时，ABD ∆的面积11393sin 332224ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=-----------2分 ACD ∆的面积11333sin 322222ACD S AD CD ADC ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=-----------4分 ABC ∆的面积9333153424ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+=+=-----------5分解法二：当3AD BD ==时，过点A 作BC AE ⊥于点E ,如上图所示,--------2分因为060=∠ADC ，所以23360sin 3sin 0=⨯=∠=ADE AD AE .----------4分又因为=2CD ，所以5=+=CD BD BC .所以ABC ∆的面积431521=⋅=∆AE BC S ABC .---------5分（Ⅱ）解法一：当2AD =，4BD =时，180120ADB ADC ∠=︒-∠=︒ ----------6分在ADB ∆中，由余弦定理ADB BD AD BD AD AB ∠⋅-+=cos 2222 -----------7分 28214224222=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+= 故27AB =. -----------9分在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠∠， -----------10分即272sin 32B =∠，整理得3212sin 147B ∠==. -----------12分解法二：当2AD =，4BD =时，过点A 作BC AE ⊥于点E ,如图所示, -----------6分因为060=∠ADC ，所以360sin 2sin 0=⨯=∠=ADE AD AE .---------7分160cos 2cos 0=⨯=∠=ADE AD DE , -----------9分又因为4BD =，所以5=+=DE BD BE .所以7222=+=BE AE AB . -----------10分所以321sin 1427AE B AB ===-----------12分17．解：（Ⅰ）A 型空调平均每周的销售数量12+8+15+22+18=155（台）； ----------4分（Ⅱ）设“随机抽取一台，抽到B 型空调”为事件D ， ----------5分则事件D 包含12个基本事件， ----------6分而所有基本事件个数为81220+=， ----------7分所以()123205P D ==； ----------8分（III ）10台. ------------12分18．解:（Ⅰ）设“游戏参与者的幸运数字为1 ”为事件A -------------1分由题意知61=x ，抛掷了1次骰子，相应的基本事件空间为{}6,5,4,3,2,1=ΩA ，共有6个基本事件， -------------2分而{}6=A ，只有1个基本事件， ------------3分所以61)(=A P ------------4分（Ⅱ）设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件B ， ------------5分由题意知621=+x x ，抛掷了2次骰子，相应的基本事件空间为(){}N N ∈∈≤≤≤≤=Ω212121,,61,61,x x x x x x B ，共有36个基本事件， -----------6分而{})1,5(),2,4(),3,3(),4,2(),5,1(=B ，共有5个基本事件， ----------7分所以365)(=B P . -----------8分注：第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答见第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答8.解：根据题目要求，如果符合“学生视力保护达标年级”，则需要该年级7个班的近视人数都不超过5人.为了便于说明，不妨设某年级各班的近视人数分别为）（7i 1≤≤i x ，并且1i x +≤i x .A. 初一年级：平均值为2，方差为2. 易知1471=∑=i ix且14)2(712=-∑=i i x .由于14<16，所以42<-i x ,由于只有7个样本且都为整数，所以可以把14分解成以下两种形式： ①22212314++=； ②222221122214++++=对于情况①，只能有一种情况：0,1,2,2,2,2,5；而情况②中可以有0,0,2,2,3,3,4和0,1,1,2,2,4,4这两种情况.B. 初二年级：平均值为1，方差大于0.如果出现的不符合的情况，在满足各班人数和为7的前提下，除了7x ，其他各班都尽量小即可，本选项的反例有以下两种：0,0,0,0,0,0,7；0,0,0,0,0,1,6.C. 高一年级：中位数为3，众数为4.易知34=x ，由于众数为4，可知765x x x ，，三个中至少有两个为4，如果出现的不符合的情况，则需要，465==x x 且57>x 即可，由于众数为4，所以其他每班的人数必须各不相同，所以本项的反例前六个班的近视人数只有0,1,2,3,4,4一种.D. 高二年级：平均值为3，中位数为4.易知44=x ，如果出现的不符合的情况，需要让321,,x x x 尽量小，所以令0321===x x x ，同时为了让7x 尽量的大，则只需令465==x x ,由已知可知2171=∑=i ix，所以此时97=x ，当然，对于本选项的反例还可以举出如下几种：0,0,1,4,4,4,8；0,0,0,4,4,5,8；0,0,2,4,4,4,7；0,1,1,4,4,4,7；0,0,0,4,4,6,7；0,0,0,4,5,5,7； 0,0,1,4,4,5,7；0,0,3,4,4,4,6；0,1,2,4,4,4,6；1,1,1,4,4,4,6；0,0,0,4,5,6,6；0,0,1,4,4,6,6； 0,0,1,4,5,5,6；0,0,2,4,4,5,6；0,1,1,4,4,5,6.综上，本项所涉及的三种情况均符合班的近视人数都不超过5人，所以初一年级符合“学生视力保护达标年级”.14. 设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1||n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为；64a 的最大值为 .解析: 设1n n n a a b +-=，则（1）若11b =， 22b =，则33a =若11b =-，22b =，则31a = 若11b =， 22b =-，则31a =- 若11b =-，12b =-，则33a =-（2）6411263a a b b b -=++⋅⋅⋅+注意到10a =，||n b n =，得 6412632016a ≤++⋅⋅⋅+=17.（Ⅲ）解：由于C 型空调的每周销售数量54321，，，，C C C C C 互不相同，所以不妨设54321C C C C C <<<<，因为C 型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，所以3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C .为了让C 型空调这五周中的最大周销售数量最大，即只需让5C 最大即可，由于20）7-（51i 2i=∑=C，所以易知115≤C ，当115=C 时，由于3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C ，所以2441i i=∑=C，421(7)4i i C =-=∑此时必然有64321====C C C C ，而与题目中所要求的每周销售数量54321，，，，C C C C C 互不相同矛盾，故115≠C . 当105=C 时，由于3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C ，所以2541i i=∑=C，11）7-（41i 2i =∑=C ，且37-i ≤C ，若不存在37-i =C 的情况，则∑=41i 2i）7-（C的最大值为11101144<=+++，所以必有37-1=C ，即41=C ，而此时2142i i=∑=C，2）7-（42i 2i =∑=C ，易知8，7，6432===C C C ，符合题意，故C 型空调的五周中的最大周销售数量为10台.。

2016年北京市海淀区高三一模理科数学试卷含答案

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷〔理科〕本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每题5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为〔〕A ．［0，＋∞〕B ．［1，＋∞〕C ．〔－∞，0］D ．〔－∞，1］2．某程序的框图如下图，假设输入的z ＝i 〔其中i 为虚数单位〕，则输出的S 值为〔〕A ．－1B ．1C ．－ID ．i3．假设x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为〔〕A ．52B ．3C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如下图，则其体积为〔〕A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的〔〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝〔〕A ．1BCD ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则以下结论可能成立的是〔〕A ．,44a b ππ==- B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．假设每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则以下表达正确的选项是〔〕A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，假设a b ，则t ＝ _______．10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．〔ⅰ〕当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种；〔ⅱ〕当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，假设存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H 〔t 〕．〔ⅰ〕当 ()f x ＝2x 时，H 〔0〕＝_______．〔ⅱ〕当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H 〔t 〕的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．〔本小题总分值13 分〕如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β．〔Ⅰ〕求证：sin 3sin AC BC βα=；〔Ⅱ〕假设,,62AB ππαβ===BC 的长．16．〔本小题总分值13 分〕2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的奉献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行比照试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量〔单位：克〕如下表所示：〔Ⅰ〕根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；〔Ⅱ〕记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系〔只需写出结论〕；〔Ⅲ〕从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．〔本小题总分值14 分〕如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ．〔Ⅰ〕求证： BC ⊥平面PAB ；〔Ⅱ〕求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内；〔Ⅲ〕当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3时，求PN 的长．18．〔本小题总分值13 分〕已知函数f (x) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-=〔Ⅰ〕求函数 f (x)的最小值；〔Ⅱ〕求函数g(x)的单调区间；〔Ⅲ〕求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g(x)的切线。

2015-2016年北京市海淀区高一(下)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年北京市海淀区高一（下）期末数学试卷一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）不等式x2+2x﹣3＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣3或x＞1}B．{x|x＜﹣1或x＞3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣3＜x＜1}2．（4分）若等差数列{a n}中，a3＝3，则{a n}的前5项和S5等于（）A．10B．15C．20D．303．（4分）当a＝3，b＝5，c＝7时，执行如图所示的程序框图，输出的m值为（）A．B．C．D．﹣4．（4分）设a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．c﹣a＜c﹣b B．ac2＞bc2C．＜D．＜15．（4分）若向面积为2的△ABC内任取一点P，并连接PB，PC，则△PBC的面积小于1的概率为（）A．B．C．D．6．（4分）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P ＝160﹣2x，生产x件所需成本为C（元），其中C＝500+30x元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（）A．20≤x≤30B．20≤x≤45C．15≤x≤30D．15≤x≤45 7．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对应的边分别为a，b，c．若∠C＝30°，a＝c，则∠B等于（）A．45°B．105°C．15°或105°D．45°或135°8．（4分）某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班．如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”．这四个年级各班近视学生人数情况统计如表：从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是（）A．初一年级B．初二年级C．高一年级D．高二年级二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）若实数a，b满足0＜a＜2，0＜b＜1，则a﹣b的取值范围是．10．（4分）公比为2的等比数列{a n}中，若a1+a2＝3，则a3+a4的值为．11．（4分）如图，若N＝5，则输出的S值等于．12．（4分）函数f（x）＝（x＞0）的最大值为，此时x的值为．13．（4分）高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知a＝．现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在[20，30）年龄段抽取的人数应为．14．（4分）设数列{a n}使得a1＝0，且对任意的n∈N*，均有|a n+1﹣a n|＝n，则a3所有可能的取值构成的集合为；a64的最大值为．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1＝1，a2是a1与a5的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，判断数列{b n}是否为等比数列．如果是，求数列{b n}的前n项和S n，如果不是，请说明理由．16．（12分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝2．（Ⅰ）若AD＝BD＝3，求△ABC的面积；（Ⅱ）若AD＝2，BD＝4，求sin B的值．17．（12分）某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调，连续五周销售情况如表所示：（Ⅰ）求A型空调平均每周的销售数量；（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店第二周售出的A、B型空调销售记录中，随机抽取一台，求抽到B型空调的概率；（Ⅲ）已知C型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，且每周销售数量C1，C2，C3，C4，C5互不相同，求C型空调这五周中的最大销售数量．（只需写出结论）18．（8分）高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧．游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i次得到的点数为x i，若存在正整数n，使得x1+x2+…+x n＝6，则称n为游戏参与者的幸运数字．（Ⅰ）求游戏参与者的幸运数字为1的概率；（Ⅱ）求游戏参与者的幸运数字为2的概率．2015-2016学年北京市海淀区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）不等式x2+2x﹣3＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣3或x＞1}B．{x|x＜﹣1或x＞3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣3＜x＜1}【解答】解：不等式x2+2x﹣3＜0可化为（x+3）（x﹣1）＜0，解得﹣3＜x＜1，所以不等式的解集为{x|﹣3＜x＜1}．故选：D．2．（4分）若等差数列{a n}中，a3＝3，则{a n}的前5项和S5等于（）A．10B．15C．20D．30【解答】解：S5＝＝5a3＝5×3＝15．故选：B．3．（4分）当a＝3，b＝5，c＝7时，执行如图所示的程序框图，输出的m值为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝3，b＝5，c＝7z1＝﹣15，z2＝30，m＝﹣．输出m的值为﹣．故选：B．4．（4分）设a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．c﹣a＜c﹣b B．ac2＞bc2C．＜D．＜1【解答】解：A、由a＞b得到﹣a＜﹣b，则c﹣a＜c﹣b．故本选项正确；B、当c＝0时，该不等式不成立，故本选项错误；C、当a＝1．b＝﹣2时，1＞﹣，即不等式＜不成立，故本选项错误；D、当a＝﹣1，b＝﹣2时，＝2＞1，即不等式＜1不成立，故本选项错误；故选：A．5．（4分）若向面积为2的△ABC内任取一点P，并连接PB，PC，则△PBC的面积小于1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：记事件A＝{△PBC的面积小于1}，基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的，所以P（A）＝．故选：D．6．（4分）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P ＝160﹣2x，生产x件所需成本为C（元），其中C＝500+30x元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（）A．20≤x≤30B．20≤x≤45C．15≤x≤30D．15≤x≤45【解答】解：设该厂每天获得的利润为y元，则y＝（160﹣2x）•x﹣（500+30x）＝﹣2x2+130x ﹣500（0＜x＜80）．由题意，知﹣2x2+130x﹣500≥1300，解得：20≤x≤45，所以日销量在20至45件（包括20和45）之间时，每天获得的利润不少于1300元．故选：B．7．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对应的边分别为a，b，c．若∠C＝30°，a＝c，则∠B等于（）A．45°B．105°C．15°或105°D．45°或135°【解答】解：∵a＝c，∴由正弦定理得sin A＝sin C＝×＝，∴A＝45°或135°，当A＝45°，则B＝180°﹣45°﹣30°＝105°，当A＝135°，则B＝180°﹣135°﹣30°＝15°，即B＝15°或105°故选：C．8．（4分）某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班．如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”．这四个年级各班近视学生人数情况统计如表：从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是（）A．初一年级B．初二年级C．高一年级D．高二年级【解答】解：能反应“学生视力保护达标年级”的是平均值和方差：平均数：与每一个数据有关，更能反映全体的信息；方差：方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．故选：A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）若实数a，b满足0＜a＜2，0＜b＜1，则a﹣b的取值范围是（﹣1，2）．【解答】解：∵0＜b＜1，∴﹣1＜﹣b＜0，∵0＜a＜2，∴﹣1＜a﹣b＜2，故答案为：（﹣1，2）10．（4分）公比为2的等比数列{a n}中，若a1+a2＝3，则a3+a4的值为12．【解答】解：∵公比为2的等比数列{a n}中，a1+a2＝3，∴a3+a4＝q2（a1+a2）＝22×3＝12．故答案为：12．11．（4分）如图，若N＝5，则输出的S值等于．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S＝++…+的值．而S＝++…+＝1﹣＝．故答案为：．12．（4分）函数f（x）＝（x＞0）的最大值为﹣3，此时x的值为2．【解答】解：函数f（x）＝（x＞0），分离常数化简为：f（x）＝﹣x+1﹣（x＞0），∵x+≥＝4，当且仅当x＝2时取等号．∴﹣x﹣≤﹣4因此：f（x）＝﹣x+1﹣≤﹣3．即f（x）的最大值为﹣3，此时的x＝2．故答案为：﹣3，2．13．（4分）高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知a＝0.035．现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在[20，30）年龄段抽取的人数应为10．【解答】解：根据频率和为1，得10a＝1﹣（0.020+0.025+0.015+0.005），解得a＝0.035；又市民年龄在20～50岁的人数为100×（1﹣0.020×10﹣0.005×10）＝75，且在[20，30）年龄段内的人数是100×0.025×10＝25，则采用分层抽样的方法抽取30人，在[20，30）年龄段抽取的人数应为30×＝10．故答案为：0.035，10．14．（4分）设数列{a n}使得a1＝0，且对任意的n∈N*，均有|a n+1﹣a n|＝n，则a3所有可能的取值构成的集合为{﹣3，﹣1，1，3}；a64的最大值为2016．【解答】解：①∵a1＝0，且对任意的n∈N*，均有|a n+1﹣a n|＝n，∴n＝1时，|a2﹣0|＝1，解得a2＝±1．∴a2＝1，则|a3﹣1|＝2，解得a3＝3，﹣1．∴a2＝﹣1，则|a3+1|＝2，解得a3＝﹣3，1．∴a3所有可能的取值构成的集合为{﹣3，﹣1，1，3}．②对任意的n∈N*，均有|a n+1﹣a n|＝n，可得：a n+1﹣a n＝±n，取a n+1﹣a n＝n，a1＝0时，数列{a n}单调递增，可得：a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝（n﹣1）+（n﹣2）+…+1+0＝，则a64的最大值＝＝2016．故答案为：{﹣3，﹣1，1，3}，2016．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1＝1，a2是a1与a5的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，判断数列{b n}是否为等比数列．如果是，求数列{b n}的前n项和S n，如果不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则由a1＝1得a2＝a1+d＝1+d；a5＝a1+4d＝1+4d．因为a2是a1与a5的等比中项，所以，即（1+d）2＝1+4d，解得d＝0（舍）或d＝2，故数列{a n}的通项公式为a n＝a1+（n﹣1）•d＝2n﹣1．（Ⅱ）由，得：（1）当n＝1时，．（2）当n≥2时，．故数列{b n}为以2为首项，4为公比的等比数列，则有．16．（12分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝2．（Ⅰ）若AD＝BD＝3，求△ABC的面积；（Ⅱ）若AD＝2，BD＝4，求sin B的值．【解答】解：（Ⅰ）解法一：当AD＝BD＝3时，△ABD的面积ACD的面积△ABC的面积．解法二：当AD＝BD＝3时，过点A作AE⊥BC于点E，如上图所示．因为∠ADC＝60°，所以又因为CD＝2，所以BC＝BD+CD＝5．所以：△ABC的面积．（Ⅱ）解法一：当AD＝2，BD＝4时，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝120°；在△ADB中，由余弦定理AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD cos∠ADB，即：解得：．在△ADB中，由正弦定理得，即，解得：．解法二：当AD＝2，BD＝4时，过点A作AE⊥BC于点E，如图所示，∵∠ADC＝60°，∴DE＝AD cos∠ADE＝2×cos60°＝1，又因为BD＝4，所以BE＝BD+DE＝5．所以：故．17．（12分）某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调，连续五周销售情况如表所示：（Ⅰ）求A型空调平均每周的销售数量；（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店第二周售出的A、B型空调销售记录中，随机抽取一台，求抽到B型空调的概率；（Ⅲ）已知C型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，且每周销售数量C1，C2，C3，C4，C5互不相同，求C型空调这五周中的最大销售数量．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）结合表格得：A型空调平均每周的销售数量（台）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）第二周售出A型号8台，B型号12台，设“随机抽取一台，抽到B型空调”为事件D，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则事件D包含12个基本事件，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）而所有基本事件个数为8+12＝20，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）所以；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（III）10台．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．（8分）高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧．游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i次得到的点数为x i，若存在正整数n，使得x1+x2+…+x n＝6，则称n为游戏参与者的幸运数字．（Ⅰ）求游戏参与者的幸运数字为1的概率；（Ⅱ）求游戏参与者的幸运数字为2的概率．【解答】解：（Ⅰ）设“游戏参与者的幸运数字为1”为事件A﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）由题意知x1＝6，抛掷了1次骰子，相应的基本事件空间为ΩA＝{1，2，3，4，5，6}，共有6个基本事件，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）而A＝{6}，只有1个基本事件，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件B，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）由题意知x1+x2＝6，抛掷了2次骰子，相应的基本事件空间为ΩB＝{（x1，x2）|1≤x1≤6，1≤x2≤6，x1∈N，x2∈N}，共有36个基本事件，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）而B＝{（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}，共有5个基本事件，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）。

2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题+答案解析

2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z满足，则z的虚部为()A. B.2 C. D.i2.已知向量，则()A.0B.C.D.3.函数的部分图象如图所示，则其解析式为()A. B.C. D.4.若，且，则()A. B. C. D.75.在中，点D满足，若，则()A. B. C.3 D.6.已知，则下列直线中，是函数对称轴的为()A. B. C. D.7.在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中若，则()A. B. C. D.8.在中，已知则下列说法正确的是()A.当时，是锐角三角形B.当时，是直角三角形C.当时，是钝角三角形D.当时，是等腰三角形9.已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.定义域为、的函数的图象的两个端点分别为点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.知复数z满足，则__________，__________.12.在中，，P满足，则__________.13.在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________.14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，如图，相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为，，，根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为___________________15.已知函数，给出下列四个结论：①对任意的，函数是周期函数；②存在，使得函数在上单调递减；③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的，记函数的最大值为，则其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共4小题，共48分。

北京市海淀区2016届高三数学下学期期末练习(二模)试题-理

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知全集=U R ，{|1},{|2},M x x P x x =≤=≥ 则()UM P =A.{|12}x x <<B.{|1}x x ≥C.{|2}x x ≤D.{|12}x x x ≤≥或 2.在数列{}n a 中，12a =，且1(1)n n n a na ++=，则3a 的值为 A.5 B.6 C.7 D.83. 若点(2,4)P 在直线1,:3x t l y at=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）上，则a 的值为A.3B.2C.1D.1-4.在ABC ∆中，34cos ,cos ,55A B == 则sin()A B -=A.725-B.725C.925-D.9255.在5()x a +(其中0a ≠)的展开式中，2x 的系数与3x 的系数相同，则a 的值为 A.2- B.1- C. 1 D.26.函数()ln 1f x x x =-+的零点个数是A.1个B.2个C.3个D.4个 7. 如图，在等腰梯形ABCD 中，8,4,4AB BC CD ===. 点P 在线段AD 上运动，则||PA PB +的取值范围是A.[6,43]+B.[42,8]C.[43,8]D.[6,12] 8.直线1:10l ax y a+-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论： ① 11,2AOB a S ∆∀≥=； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD a S ∆∃≥<则所有正确结论的序号是 A.①② B.②③DCABPC.①③D.①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2015_2016海淀区高中一年级下学期期末数学试题和答案解析

海淀区高一年级第二学期期末练习数学 2016.7本试卷共100分.考试时间90分钟.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式2230x x +-<的解集为（）A. {|31}x x x <->或B. {|13}x x x <->或C. {|13}x x -<<D. {|31}x x -<< 2. 若等差数列{}n a 中，33=a ，则{}n a 的前5项和5S 等于（）A ．10B ．15C ．20D ． 303．当3a =，5b =，7c =时，执行如图所示的程序框图，输出的m 值为（）A ．12B ．12-C ．2D ． 2-4．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（） A ．b c a c -<- B ．22ac bc >C ．11a b < D ．1b a<5．若向面积为2的ABC ∆内任取一点P ，并连接PB ，PC ，则PBC ∆的面积小于1的概率为（）A.14 B. 12 C. 23 D. 346．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C （元），其中C ＝500＋30x 元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（）A. 20≤x ≤30B. 20≤x ≤45C. 15≤x ≤30D. 15≤x ≤457. 在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对应的边分别为a ，b ，c . 若30C ∠=︒，a =，则B ∠等于（）A. 45︒B. 105︒C. 15︒或105︒D. 45︒或135︒8．某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班.如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”.这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表：）A. 初一年级B.初二年级C.高一年级D.高二年级二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．若实数,a b 满足02a <<，01b <<，则a b -的取值范围是． 10．公比为2的等比数列{}n a 中，若123a a +=，则34a a +的值为．11．如图，若5=N ，则输出的S 值等于_________．12．函数24()(0)x x f x x x-+-=>的最大值为_________，此时x 的值为_________．13．高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知a = .现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在[)20,30年龄段抽取的人数应为_________．14．设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1||n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为；64a 的最大值为 .三．解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足11a =，2a 是1a 与5a 的等比中项（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n a n b =，判断数列{}n b 是否为等比数列. 如果是，求数列{}n b 的前n 项和n S ，如果不是，请说明理由.16. （本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，=2CD .（Ⅰ）若3AD BD ==，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若=2AD ，=4BD ,求sin B 的值.（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店第二周售出的A 、B 型空调销售记录中，随机抽取一台，求抽到B 型空调的概率；（III ）已知C 型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，且每周销售数量C 1，C 2，C 3，C 4，C 5互不相同，求C 型空调这五周中的最大销售数量.（只需写出结论）18. （本小题满分8分）高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧.游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i 次得到的点数为i x ，若存在正整数n ，使得126n x x x +++=，则称n 为游戏参与者的幸运数字.（Ⅰ）求游戏参与者的幸运数字为1的概率；（Ⅱ）求游戏参与者的幸运数字为2的概率.海淀区高一年级第二学期期末练习参考答案 2016.7数学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3.B4.A5.D6.B7.C8.A二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分)9. (1,2)- 10. 12 11.5612. 3-, 2 13. 035.0 , 10 14. {3,1,1,3}-- , 2016三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），则由11a =得211a a d d =+=+；51414a a d d =+=+.--------------------------2分因为2a 是1a 与5a 的等比中项，所以2215a a a =⋅，即2(1)14d d +=+， --------------------------4分解得0d =（舍）或2d =， --------------------------5分故数列{}n a 的通项公式为1(1)21n a a n d n =+-⋅=-.--------------------------6分（Ⅱ）由2n a nb =，得（1）当1n =时，11220a b ==≠--------------------------7分（2）当2n ≥时，12123122422n n a n n a n n b b ----===--------------------------9分故数列{}n b 为以2为首项，4为公比的等比数列，有()111422411143n n n n q S b q --=⋅=⋅=⨯---.-------------------------12分16. （Ⅰ）解法一：当3AD BD ==时， ABD ∆的面积11sin 3322ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅=-----------2分 ACD ∆的面积11sin 322222ACD S AD CD ADC ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=-----------4分 ABC ∆的面积424ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+=+=-----------5分解法二：当3AD BD ==时，过点A 作BC AE ⊥于点E ,如上图所示,--------2分因为060=∠ADC ，所以23360sin 3sin 0=⨯=∠=ADE AD AE .----------4分又因为=2CD ，所以5=+=CD BD BC . 所以ABC ∆的面积431521=⋅=∆AE BC S ABC .---------5分（Ⅱ）解法一：当2AD =，4BD =时，180120ADB ADC ∠=︒-∠=︒ ----------6分在ADB ∆中，由余弦定理ADB BD AD BD AD AB ∠⋅-+=cos 2222 -----------7分28214224222=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=故AB =分在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠∠， -----------10分2sin B=∠，整理得sin 14B ∠==. -----------12分解法二：当2AD =，4BD =时，过点A 作BC AE ⊥于点E ,如图所示, -----------6分因为060=∠ADC ，所以360sin 2sin 0=⨯=∠=ADE AD AE . ---------7分160cos 2cos 0=⨯=∠=ADE AD DE , -----------9分又因为4BD =，所以5=+=DE BD BE .所以7222=+=BE AE AB . -----------10分所以sin 14AE B AB ===-----------12分17．解：（Ⅰ）A 型空调平均每周的销售数量12+8+15+22+18=155（台）； ----------4分（Ⅱ）设“随机抽取一台，抽到B 型空调”为事件D ， ----------5分则事件D 包含12个基本事件， ----------6分而所有基本事件个数为81220+=， ----------7分所以()123205P D ==； ----------8分（III ）10台. ------------12分18．解:（Ⅰ）设“游戏参与者的幸运数字为1 ”为事件A -------------1分由题意知61=x ，抛掷了1次骰子，相应的基本事件空间为{}6,5,4,3,2,1=ΩA ，共有6个基本事件， -------------2分而{}6=A ，只有1个基本事件， ------------3分所以61)(=A P ------------4分（Ⅱ）设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件B ， ------------5分由题意知621=+x x ，抛掷了2次骰子，相应的基本事件空间为(){}N N ∈∈≤≤≤≤=Ω212121,,61,61,x x x x x x B ，共有36个基本事件， -----------6分而{})1,5(),2,4(),3,3(),4,2(),5,1(=B ，共有5个基本事件， ----------7分所以365)(=B P . -----------8分注：第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答见海淀教研网.第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答8.解：根据题目要求，如果符合“学生视力保护达标年级”，则需要该年级7个班的近视人数都不超过5人.为了便于说明，不妨设某年级各班的近视人数分别为）（7i 1≤≤i x ，并且1i x +≤i x .A. 初一年级：平均值为2，方差为2. 易知1471=∑=i ix且14)2(712=-∑=i i x .由于14<16，所以42<-i x ,由于只有7个样本且都为整数，所以可以把14分解成以下两种形式：①22212314++=；②222221122214++++=对于情况①，只能有一种情况：0,1,2,2,2,2,5；而情况②中可以有0,0,2,2,3,3,4和0,1,1,2,2,4,4这两种情况.B. 初二年级：平均值为1，方差大于0.如果出现的不符合的情况，在满足各班人数和为7的前提下，除了7x ，其他各班都尽量小即可，本选项的反例有以下两种：0,0,0,0,0,0,7；0,0,0,0,0,1,6.C. 高一年级：中位数为3，众数为4.易知34=x ，由于众数为4，可知765x x x ，，三个中至少有两个为4，如果出现的不符合的情况，则需要，465==x x 且57>x 即可，由于众数为4，所以其他每班的人数必须各不相同，所以本项的反例前六个班的近视人数只有0,1,2,3,4,4一种.D. 高二年级：平均值为3，中位数为4.易知44=x ，如果出现的不符合的情况，需要让321,,x x x 尽量小，所以令0321===x x x ，同时为了让7x 尽量的大，则只需令465==x x ,由已知可知2171=∑=i ix，所以此时97=x ，当然，对于本选项的反例还可以举出如下几种：0,0,1,4,4,4,8；0,0,0,4,4,5,8；0,0,2,4,4,4,7；0,1,1,4,4,4,7；0,0,0,4,4,6,7；0,0,0,4,5,5,7； 0,0,1,4,4,5,7；0,0,3,4,4,4,6；0,1,2,4,4,4,6；1,1,1,4,4,4,6；0,0,0,4,5,6,6；0,0,1,4,4,6,6； 0,0,1,4,5,5,6；0,0,2,4,4,5,6；0,1,1,4,4,5,6.综上，本项所涉及的三种情况均符合班的近视人数都不超过5人，所以初一年级符合“学生视力保护达标年级”.14. 设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1||n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为；64a 的最大值为 .解析: 设1n n n a a b +-=，则（1）若11b =， 22b =，则33a =若11b =-，22b =，则31a = 若11b =， 22b =-，则31a =- 若11b =-，12b =-，则33a =-（2）6411263a a b b b -=++⋅⋅⋅+注意到10a =，||n b n =，得 6412632016a ≤++⋅⋅⋅+=17.（Ⅲ）解：由于C 型空调的每周销售数量54321，，，，C C C C C 互不相同，所以不妨设54321C C C C C <<<<，因为C 型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，所以3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C .为了让C 型空调这五周中的最大周销售数量最大，即只需让5C 最大即可，由于20）7-（51i 2i=∑=C，所以易知115≤C ，当115=C 时，由于3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C ，所以2441i i=∑=C，421(7)4i i C =-=∑此时必然有64321====C C C C ，而与题目中所要求的每周销售数量54321，，，，C C C C C 互不相同矛盾，故115≠C . 当105=C 时，由于3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C ，所以2541i i=∑=C，11）7-（41i 2i =∑=C ，且37-i ≤C ，若不存在37-i =C 的情况，则∑=41i 2i）7-（C的最大值为11101144<=+++，所以必有37-1=C ，即41=C ，而此时2142i i=∑=C，2）7-（42i 2i =∑=C ，易知8，7，6432===C C C ，符合题意，故C 型空调的五周中的最大周销售数量为10台.。

北京市海淀区2016届高三一模数学(理)试题【含答案】

北京海淀区高三年级2015-2016学年度第二学期期中练习数学试卷（理科）2016.4一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．函数()21x f x =-的定义域为（）A ．[)0+∞，B ．[)1+∞，C ．(]0-∞，D ．(]1-∞， 2．某程序的框图如图所示，若输入的z i =（其中i 为虚数单位），则输出的S 值为（）A ．1-B ．1C ．i -D ．i3．若x y 、满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为（）A ．52 B ．3 C ．72D ．4 4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（） A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列” 是“n n n N S na *∀∈=，”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．在极坐标系中，圆1:2cos C =ρθ与圆2:2sin C =ρθ相交于A B 、两点，则AB =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．27．已知函数()()()sin 0cos 0x a x f x x b x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩，，是偶函数，则下列结论可能成立的是（）A ．44a b ==-，ππB ．236a b ==，ππC ．36a b ==，ππD ．5263a b ==，ππ8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（） A ．甲只能承担第四项工作 B ．乙不能承担第二项工作 C ．丙可以不承担第三项工作 D ．丁可以承担第三项工作二、填空题：共6小题，每小题5分，共30 分．9．已知向量()()1,,9a t b t ==，，若//a b ，则t =_______． 10．在等比数列{}n a 中，22a =，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数12312log 22-，，中，最小的数是_______．12．已知双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字123，，中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有_______种；（ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在00a b >>，，满足：[]x t a t b ∀∈-+，，使得()()2f x f t -≤，则记a b +的最大值为()H t ．（ⅰ）当()2f x x =时，()0=H _______．（ⅱ）当()2f x x =且[]1,2t ∈时，函数()H t 的值域为_______．三、解答题：共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且13AD DB =．记ACD ∠=α，BCD ∠=β．（Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα= ；（Ⅱ）若1962AB ===，，ππαβ，求BC 的长．16．（本小题满分13分）2004年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1株，记这2株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M N 、分别为线段PB PC 、上的点，MN PB ⊥．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P B 、重合时，M N D A 、、、四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当2PA AB ==，二面角C AN D --的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数()1ln 1f x x x =+-，()1ln x g x x-= （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅲ）求证：直线y x =不是曲线()y g x =的切线．19．（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，椭圆C 与y 轴交于A B 、两点，且2AB =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线PA PB 、与直线4x =分别交于N N 、两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于E F 、两点，求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值．20．（本小题满分13分）给定正整数()3n n ≥，集合{}1,2,,n U n =⋅⋅⋅．若存在集合A B C 、、，同时满足下列条件： ①n U AB C =，且A B B C C A ===∅；②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；③集合A B C 、、中各元素之和分别记为A B C S S S 、、，有A B C S S S ==；则称集合n U 为可分集合．（Ⅰ）已知8U 为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A B C 、、；（Ⅱ）证明：若n 是3的倍数，则n U 不是可分集合；（Ⅲ）若n U 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值．海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案DABC数学（理科） 2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

北京市海淀区2016-2017学年高一下学期期末考试物理试题含答案

2016~2107学年度海淀区十年级第二学期期末练习物理试卷 2017.7一、单项选择题。

本题共15小题,在每小题给出的四个选项中，只．有一个．．．选项是符合题意的。

（每小题3分，共45分）1．下列物理量中，属于矢量的是A ．动能B 。

功C ．向心加速度D 。

重力势能2．用火箭发射一颗人造地球卫星,当卫星上升到与地心的距离为r 时,所受地球的万有引力大小为F ;当该卫星上升到与地心的距离为2r 时,所受万有引力大小为 A ．FB ．2FC ．41FD ．21F 3．自古以来，当人们仰望星空时，天空中壮丽璀璨的景象便吸引了他们的注意。

智慧的头脑开始探索星体运动的奥秘，人类对这种运动规律的认识经历了漫长的历程，它随着认识的深入而不断地发展。

下列关于对星体运动认识的叙述中符合现代认识观点的是 A ．人们观测到太阳每天都要东升西落,这说明地球是静止不动的，是宇宙的中心B ．人们观测到行星绕太阳做圆周运动,这说明太阳是静止不动的，是宇宙的中心C ．人们认为天体的运动是神圣的，因此天体的运动是最完美、最和谐的匀速圆周运动D ．开普勒通过对第谷大量观测数据的深入研究,得出的行星绕太阳运动的轨道是椭圆的结论 4．某校师生去位于复兴路的军事博物馆进行参观。

如图1所示,同学们从航天桥(图中A 位置）出发,骑单车经公主坟（图中B 位置）到达军事博物馆(图中C 位置)。

利用网络地图的测距功能测得A 、B 间的距离约为1。

9km,B 、C 间的距离约为1.0km ，A 、C 间的距离约为2.1km.由以上信息可知，同学们从航天桥到军事博物馆的位移大小约为 A ．3。

0km B ．2.1kmC ．1.9kmD ．1。

0km5．某质点做匀速圆周运动，关于该运动，下列说法中正确的是A ．任何相等的时间内通过的路程相等B ．任何时刻的速度大小和方向都相同C ．任何时刻的加速度大小和方向都相同D ．任何相等的时间内发生的位移大小和方向都相同6．据中央气象台消息:2017年第1号台风“梅花（Muifa ）”于4月26日在距离菲律宾马尼拉以东方向1640公里的西北太平洋海面上生成（东经136。

高一下学期期末数学试卷(理科)

高一下学期期末数学试卷（理科）一、选择题1．已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，则集合（UA）∪B=（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}2．x2＞0是x＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件3．在等比数列{a n}中，a2=6，a3=﹣18，则a1+a2+a3+a4=（）A．26B．40C．54D．804．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．若a1=d=1，则A．10B．C．D．+2的最小值为（）5．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移C．向左平移个单位长度个单位长度B．向左平移D．向右平移个单位长度个单位长度6．已知平面向量，满足||==2，（+2）（﹣）=﹣6，则与的夹角为（）A．B．C．D．7．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1对，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A．0B．0或C．0或D．或8．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC二、填空题9．已知两点A（1，1），B（﹣1，2），若=，则C点坐标是______．10．在等差数列{a n}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则此数列的前13项之和等于______．11．设函数，则实数a的取值范围是______．x12．若正数 a ，b 满足 a +b=10，则 + 的最大值为______． 13．在平面直角坐标系 xOy 中，A （1，0），函数 y=e x 的图象与 y 轴的交点为 B ，P 为函数 y=e x 图象上的任意一点，则的最小值______．14．已知点 A （，），B （，1），C （，0），若这三个点都在函数 f （x ）=sinωx的图象上，则正数 ω 的所有取值的集合为______．三、解答题.15．已知{a n }是等差数列，满足 a 1=3，a 4=12，数列{b n }满足 b 1=4，b 4=20，且{b n ﹣a n }为等比数列．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前 n 项和．16．已知函数 f （x ）=sinxcosx +cos 2x ﹣ ．（1）求 f （x ）的最小正周期；（2）求 f （x ）的单调递减区间；（3）若函数 f （x ）在区间[0，m ]上恰好有 10 个零点，求正数 m 的最小值．17．如图，A 、B 是单位圆 O 上的点，C 、D 分别是圆 O 与 x 轴的两个交点，△ABO 为正三角形．（1）若点 A 的坐标为（2）若∠AOC=x （0＜x ＜求出 y 的最大值．，求 cos ∠BOC 的值；），四边形 CABD 的周长为 y ，试将 y 表示成 x 的函数，并18．已知函数 f （x ）=（x 2+ax +a ）e ﹣，其中 a ∈R ．（1）求函数 f （x ）的单调区间；（2）若存在 m ，n ∈（2，3），且 m ≠n ，使得 f （m ）=f （n ），求实数 a 的取值范围． 19．设函数 f （x ）=ln （x +1）+a （x 2﹣x ），其中 a ∈R ．（1）当 a=0 时，求证：f （x ）＜x ，对任意的 x ∈（0，+∞）成立；（2）讨论函数 f （x ）极值点的个数，并说明理由；（3）若 x ＞0，f （x ）≥0 成立，求 a 的取值范围．20．设集合 S={x |x= ，k ∈N *}．（1）请写出 S 的一个 4 元素，使得子集中的 4 个元素恰好构成等差数列；（2）若无穷递减等比数列{a n }中的每一项都在 S 中，且公比为 q ，求证：q ∈（0，）；y，（3）设正整数n＞1，若S的n元子集A满足：对任意的x，∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥求证：n≤15．2015-2016学年北京市清华附中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，则集合（∁U A）∪B=（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与并集的定义，进行计算即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，A={1，3，4}，B={2，4}，∴∁U A={2}，∴（∁U A）∪B={2，4}．故选：D．2．x2＞0是x＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据x2＞0，得到x的范围和x＞0比较即可．【解答】解：由x2＞0得到：x≠0，而x≠0推不出x＞0，不是充分条件，由x＞0能推出x≠0，是必要条件，∴x2＞0是x＞0的必要不充分条件，故选：B．3．在等比数列{a n}中，a2=6，a3=﹣18，则a1+a2+a3+a4=（）A．26B．40C．54D．80【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列{a n}中，a2=6，a3=﹣18，求得数列的首项与公比，即可求和．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=6，a3=﹣18，∴=﹣3，=﹣2∴a1+a2+a3+a4=﹣2+6﹣18+54=40故选B．4．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．若a1=d=1，则的最小值为（）A．10B．C．D．+2【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知条件推导出==，由此利用均值定理取最小值．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．a1=d=1，∴==1+=+≥当且仅当故选：B．+=，，即n=4时，取最小值．5．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移C．向左平移个单位长度个单位长度B．向左平移D．向右平移个单位长度个单位长度【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．6．已知平面向量，满足||==2，（+2）•（﹣）=﹣6，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件进行向量数量积的运算即可得出，从而可求出的值，进而便可得出向量【解答】解：∴==﹣6；∴∵的夹角．；=；；∴．故选：C．7．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1对，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A．0B．0或C．0或D．或【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】由题意可得函数的图象，属性结合可得当直线为图中的m，或n是满足题意，求出其对应的a值即可．【解答】解：由对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）可知，函数的周期为T=2，结合函数为偶函数，且当0≤x≤1对，f（x）=x2可作出函数y=f（x）和直线y=x+a的图象，当直线为图中的直线m，n时，满足题意，易知当直线为m时，过原点，a=0，当直线为n时，直线与曲线相切，联立，消y可得x2﹣x﹣a=0，由△=1+4a=0可得a=故选C，故a的值为0，或，8．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC．【解答】解：设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，=||•||=||2﹣（a+1）||，•于是•=﹣a，≥••恒成立，整理得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC．故选：D．二、填空题9．已知两点A（1，1），B（﹣1，2），若=，则C点坐标是．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算即可得出．【解答】解：∵=，∴===．故答案为：．10．在等差数列{a n}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则此数列的前13项之和等于26．【考点】数列的函数特性．【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出．【解答】解：等差数列{a n}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，∴6a4+6a10=24，∴2a7=4，即a7=2．=13a7=26．则此数列的前13项之和S13=故答案为：26．11．设函数，则实数a的取值范围是﹣3＜a＜1．【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的单调性与特殊点．【分析】由于函数为分段函数，可分别讨论当a≥0和a＜0两种情况，进而求出实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）为分段函数，当a≥0时，＜1，得0≤a＜1．当a＜0时，＜1，解得a＞﹣3，即﹣3＜a＜0，故答案为：﹣3＜a＜1．12．若正数a，b满足a+b=10，则+的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】对无理数可以先求平方，再利用均值定理求出最值，最后得出原表达式的最大值．【解答】解：正数a，b满足a+b=10，令y=+，则y2=a+2+b+3+2，∵a+b=10，∴15=a+2+b+3≥2（当a+2=b+3时等号成立），∴y2≤30，∴+的最大值为．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y=e x的图象与y轴的交点为B，P为函数y=e x图象上的任意一点，则的最小值1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得向量的坐标，进而可得=﹣x0+，构造函数g（x）=﹣x+e x，通过求导数可得其极值，进而可得函数的最小值，进而可得答案．【解答】解：由题意可知A（1，0），B（0，1），故=（0，1）﹣（1，0）=（﹣1，1），设P（x0，），所以=（x0，），故=﹣x0+，构造函数g（x）=﹣x+e x，则g′（x）=﹣1+e x，令其等于0可得x=0，且当x＜0时，g′（x）＜0，当x＞0时，g′（x）＞0，故函数g（x）在x=0处取到极小值，故g min（x）=g（0）=1，故的最小值为：1故答案为：114．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点都在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的所有取值的集合为{ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的值，从而得出结论．【解答】解：若三个点都在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=1，sinω•=0，则，即，{ k k （（求得正数 ω 的所有取值的集合为：ω|ω=8k +2，∈N }∩{ω|ω=12k +2，或 12k +4，∈N }∪{2， 4}．故答案为：{ω|ω=8k +2，k ∈N }∩{ω|ω=12k +2，或 12k +4，k ∈N }∪{2，4}．三、解答题.15．已知{a n }是等差数列，满足 a 1=3，a 4=12，数列{b n }满足 b 1=4，b 4=20，且{b n ﹣a n }为等比数列．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前 n 项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】 1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（2）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求解数列的和．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为 d ，由题意得d= = =3．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3n （n=1，2，…）．∴数列{a n }的通项公式为：a n =3n ；设等比数列{b n ﹣a n }的公比为 q ，由题意得：q 3= = =8，解得 q=2．∴b n ﹣a n =（b 1﹣a 1）q n ﹣1=2n ﹣1．从而 b n =3n +2n ﹣1（n=1，2，…）．∴数列{b n }的通项公式为：b n =3n +2n ﹣1；（2）由（1）知 b n =3n +2n ﹣1（n=1，2，…）．数列{3n }的前 n 项和为 n （n +1），数列{2n ﹣1}的前 n 项和为 =2n ﹣1．∴数列{b n }的前 n 项和为 n （n +1）+2n ﹣1．16．已知函数 f （x ）=sinxcosx +cos 2x ﹣ ．（1）求 f （x ）的最小正周期；（2）求 f （x ）的单调递减区间；（3）若函数 f （x ）在区间[0，m ]上恰好有 10 个零点，求正数 m 的最小值．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．【分析】 1）根据二倍角及辅助角公式求得 f （x ）的解析式，利用周期公式即可求得 f （x ）的最小正周期；（2）令 2kπ+ ≤2x + ≤2kπ+ ，函数 f （x ）单调递减，解得 f （x ）的单调递减区间；f（3）根据正弦函数图象，（x）=0，sin（2x+为f（x）的第10个零点，求得m的最小值．【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx+cos2x﹣．=sin2x+cos2x+﹣，=sin（2x+））=0，解得2x+=kπ，（k∈Z），当k=10，最小正周期T===π，f（x）的最小正周期π；（2）令2kπ+解得：kπ+≤2x+≤x≤kπ+≤2kπ+，（k∈Z），，（k∈Z），∴函数的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（3）函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点，由正弦函数周期性，可知：f（x）=0，sin（2x+解得：2x+∴x=﹣）=0，=kπ，（k∈Z），，∴当k=10，x=正数m的最小值，．17．如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．（1）若点A的坐标为（2）若∠AOC=x（0＜x＜求出y的最大值．，求cos∠BOC的值；），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并） x【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值；平面直角坐标系与曲线方程．【分析】（1）根据△ABO 为正三角形求得∠BOA ，利用点 A 的坐标求得 sin ∠AOC 和 cos ∠AOC ，进而利用两角和公式求得 cos ∠BOC ．（2）利用余弦定理分别求得 AC 和 BD ，进而根据△ABO 为正三角形求得 AB ，CD 可知，四边相加得到 y 的函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用 x 的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值．【解答】解：（1）∵△ABO 为正三角形， ∴∠BOA=60°，∵点 A 的坐标为，∴tan ∠AOC=，∴sin ∠AOC=，cos ∠AOC= ，∴cos ∠BOC=cos （∠AOC +60° =cos ∠AOCcos60°﹣sin ∠AOCsin60°．（2）由余弦定理可知 AC=（﹣ ），AB=OB=1 ，CD=2 ，∴===2sin ，BD= =2sin=∴当 x=，0＜x ＜时，y max =5 ．18．已知函数 f （x ）= （x 2+ax+a ）e ﹣，其中 a ∈R ．（1）求函数 f （x ）的单调区间；（2）若存在 m ，n ∈（2，3），且 m ≠n ，使得 f （m ）=f （n ），求实数 a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．（ x （【分析】 1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）结合（1）得到 f （x ）在（0，2﹣a ）递增，在（2﹣a ，+∞）递减，满足条件，从而得到关于 a 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵f （x ）=（x 2+ax +a ）e ﹣，∴f′（x ）=﹣，①a ﹣2＞0 即 a ＞2 时，2﹣a ＜0，令 f′（x ）＞0，解得：2﹣a ＜x ＜0，令 f′（x ）＜0，x ＞0 或 x ＜2﹣a ，∴f （x ）在（﹣∞，2﹣a ）递减，在（2﹣a ，0）递增，在（0，+∞）递减；②a ﹣2=0 即 a=2 时，f′（x ）=﹣＜0，f （x ）在 R 递减；③a ﹣2＜0 即 a ＜2 时，2﹣a ＞0，令 f′（x ）＞0，解得：0＜x ＜2﹣a ，令 f′（x ）＜0，x ＞2﹣a 或 x ＜0，∴f （x ）在（﹣∞，0）递减，在（0，2﹣a ，）递增，在（2﹣a ，+∞）递减；（2）由（1）得：2＜2﹣a ＜3，解得：﹣1＜a ＜0．19．设函数 f （x ）=ln （x +1）+a （x 2﹣x ），其中 a ∈R ．（1）当 a=0 时，求证：f （x ）＜x ，对任意的 x ∈（0，+∞）成立；（2）讨论函数 f （x ）极值点的个数，并说明理由；（3）若 x ＞0，f （x ）≥0 成立，求 a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】 1）求出 f （x ）的表达式，令g （x ）=ln （x +1）﹣x ，根据函数的单调性求出 g （x ）＜g （0）=0，从而证出结论；（2）求出 f （x ）的导数，令 g （x ）=2ax 2+ax ﹣a +1，通过讨论 a 的范围，判断函数的单调性，从而求出函数的极值的个数；（3）通过讨论 a 的范围，结合函数的单调性求出满足题意的 a 的范围即可．【解答】解：（1）a=0 时，f （x ）=ln （x +1），定义域是（﹣1，+∞），令 g （x ）=ln （x +1）﹣x ，g′（x ）=﹣1=﹣ ＜0，∴g （x ）在（0，+∞）递减， ∴g （x ）＜g （0）=0，故 f （x ）＜x ，对任意的 x ∈（0，+∞）成立；（2）函数 f （x ）=ln （x +1）+a （x2﹣x ），其中 a ∈R ，x ∈（﹣1，+∞）．f′（x ）=，令 g （x ）=2ax 2+ax ﹣a +1．（i ）当 a=0 时，g （x ）=1，此时 f′（x ）＞0，函数 f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（ii ）当 a ＞0 时， △=a 2﹣8a （1﹣a ）=a （9a ﹣8）．①当0＜a≤时，≤△0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a＞时，＞△0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=﹣，∴x1＜﹣，x2＞﹣．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1＜﹣，∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（iii）当a＜0时，＞△0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a≤时，函数f（x）无极值点；当a＞时，函数f（x）有两个极值点．（3）由（2）可知：①当0≤a≤时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．②当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．③当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；＞0．④当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，当x＞1﹣时，y （ax 2+（1﹣a ）x ＜0，此时 f （x ）＜0，不合题意，舍去．综上所述，a 的取值范围为[0，1]．20．设集合 S={x |x= ，k ∈N *}．（1）请写出 S 的一个 4 元素，使得子集中的 4 个元素恰好构成等差数列；（2）若无穷递减等比数列{a n }中的每一项都在 S 中，且公比为 q ，求证：q ∈（0，）；（3）设正整数 n ＞1，若 S 的 n 元子集 A 满足：对任意的 x ， ∈A ，且 x ≠y ，有|x ﹣y |≥，求证：n ≤15．【考点】数列的应用．【分析】 1）由题设，一个 4 元素恰好构成等差数列；4 个元素通分后具有分母相同，分子成等差关系的特点．（2）由题设，公比为 q ，q 是有理数，设，（a ，b 互质），构造无穷递减等比数列证明．（3）在（0，）∪S 中，对任意的 x ，y ∈A ，且 x ≠y ，有|x ﹣y |≥，满足条件有 7 个数．在（，1）∪S 中，最多有 1，，，… ，满足条件有 8 个数，即可得到答案．【解答】解：（1）S 的一个 4 元素恰好构成等差数列，S={（2）由题意，数列{a n }是无穷递减等比数列，q 是有理数，设}，（a ，b 互质），∴∴为 S 中的数（k ∈N *），则 b 必为 1；，（a ∈N +），∴q ∈（0， ]；（3）证明：在（0，）∪S 中，对任意的 x ，y ∈A ，且 x ≠y ，有|x ﹣y |≥，∴在（0，）∪S 中的元素个数不超过．最多有 7 个数．在（，1）∪S 中，满足条件有 1，，，… ，最多 8 个数，∴7+8≤15，即 n ≤15．得证．。

北京市海淀区学高一下期末练习数学试题含答案

海淀区高一年级第二学期期末练习数学 2016.7学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式2230x x +-<的解集为（） A. {|31}x x x <->或 B. {|13}x x x <->或 C. {|13}x x -<< D. {|31}x x -<<2. 若等差数列{}n a 中，33=a ，则{}n a 的前5项和5S 等于（）A ．10B ．15C ．20D ． 303．当3a =，5b =，7c =时，执行如图所示的程序框图，输出的m 值为（）A ．12B ．12-C ．32D ． 32-4．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（） A ．b c a c -<- B ．22ac bc >C ．11a b <D ．1ba<5．若向面积为2的ABC ∆内任取一点P ，并连接PB ，PC ，则PBC ∆的面积小于1的概率为（）A.14 B. 12 C. 23 D. 346．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C （元），其中C ＝500＋30x 元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（）A. 20≤x ≤30B. 20≤x ≤45C. 15≤x ≤30D. 15≤x ≤45 7. 在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对应的边分别为a ，b ，c . 若30C ∠=︒，2a c =，则B∠等于（） A. 45︒ B. 105︒C. 15︒或105︒D. 45︒或135︒8．某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班.如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”.这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表：初一年级平均值为2，方差为2 初二年级平均值为1，方差大于0 高一年级中位数为3，众数为4 高二年级平均值为3，中位数为4从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是（）A. 初一年级B.初二年级C.高一年级D.高二年级二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．若实数,a b 满足02a <<，01b <<，则a b -的取值范围是． 10．公比为2的等比数列{}n a 中，若123a a +=，则34a a +的值为．11．如图，若5=N ，则输出的S 值等于_________．12．函数24()(0)x x f x x x-+-=>的最大值为_________，此时x 的值为_________．13．高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知a = .现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在[)20,30年龄段抽取的人数应为_________．14．设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1||n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为；64a 的最大值为 .三．解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足11a =，2a 是1a 与5a 的等比中项（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n a nb =，判断数列{}n b 是否为等比数列. 如果是，求数列{}n b 的前n 项和n S ，如果不是，请说明理由.16. （本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，=2CD .（Ⅰ）若3AD BD ==，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若=2AD ，=4BD ,求sin B 的值.17. （本小题满分12分）某家电专卖店试销A 、B 、C 三种新型空调，连续五周销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周 A 型数量/台 12 8 15 22 18 B 型数量/台 7 12 10 10 12 C 型数量/台C 1C 2C 3C 4C 5（Ⅰ）求 A 型空调平均每周的销售数量；（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店第二周售出的A 、B 型空调销售记录中，随机抽取一台，求抽到B 型空调的概率；（III ）已知C 型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，且每周销售数量C 1，C 2，C 3，C 4，C 5互不相同，求C 型空调这五周中的最大销售数量.（只需写出结论）18. （本小题满分8分）高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧.游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i次得到的点数为i x，若存在正整数n，使得126 nx x x+++=，则称n为游戏参与者的幸运数字.（Ⅰ）求游戏参与者的幸运数字为1的概率；（Ⅱ）求游戏参与者的幸运数字为2的概率.海淀区高一年级第二学期期末练习参考答案2016.7数学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3.B4.A5.D6.B7.C8.A二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分)9. (1,2)- 10. 12 11.5612. 3-, 2 13. 035.0 , 10 14. {3,1,1,3}-- , 2016三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），则由11a =得211a a d d =+=+；51414a a d d =+=+.--------------------------2分因为2a 是1a 与5a 的等比中项，所以2215a a a =⋅，即2(1)14d d +=+， --------------------------4分解得0d =（舍）或2d =， --------------------------5分故数列{}n a 的通项公式为1(1)21n a a n d n =+-⋅=-.--------------------------6分（Ⅱ）由2n a nb =，得（1）当1n =时，11220a b ==≠--------------------------7分（2）当2n ≥时，12123122422n n a n n a n n b b ----===--------------------------9分故数列{}n b 为以2为首项，4为公比的等比数列，有()111422411143n n n n q S b q --=⋅=⋅=⨯---.-------------------------12分16. （Ⅰ）解法一：当3AD BD ==时，ABD ∆的面积11393sin 332224ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=-----------2分 ACD ∆的面积11333sin 322222ACD S AD CD ADC ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=-----------4分 ABC ∆的面积9333153424ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+=+=-----------5分解法二：当3AD BD ==时，过点A 作BC AE ⊥于点E ,如上图所示,--------2分因为060=∠ADC ，所以23360sin 3sin 0=⨯=∠=ADE AD AE .----------4分又因为=2CD ，所以5=+=CD BD BC .所以ABC ∆的面积431521=⋅=∆AE BC S ABC .---------5分（Ⅱ）解法一：当2AD =，4BD =时，180120ADB ADC ∠=︒-∠=︒ ----------6分在ADB ∆中，由余弦定理ADB BD AD BD AD AB ∠⋅-+=cos 2222 -----------7分 28214224222=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+= 故27AB =. -----------9分在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠∠， -----------10分即272sin 32B=∠，整理得3212sin 147B ∠==. -----------12分解法二：当2AD =，4BD =时，过点A 作BC AE ⊥于点E ,如图所示, -----------6分因为060=∠ADC ，所以360sin 2sin 0=⨯=∠=ADE AD AE .---------7分160cos 2cos 0=⨯=∠=ADE AD DE , -----------9分又因为4BD =，所以5=+=DE BD BE .所以7222=+=BE AE AB . -----------10分所以321sin 1427AE B AB ===-----------12分17．解：（Ⅰ）A 型空调平均每周的销售数量12+8+15+22+18=155（台）； ----------4分（Ⅱ）设“随机抽取一台，抽到B 型空调”为事件D ， ----------5分则事件D 包含12个基本事件， ----------6分而所有基本事件个数为81220+=， ----------7分所以()123205P D ==； ----------8分（III ）10台. ------------12分18．解:（Ⅰ）设“游戏参与者的幸运数字为1 ”为事件A -------------1分由题意知61=x ，抛掷了1次骰子，相应的基本事件空间为{}6,5,4,3,2,1=ΩA ，共有6个基本事件， -------------2分而{}6=A ，只有1个基本事件， ------------3分所以61)(=A P ------------4分（Ⅱ）设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件B ， ------------5分由题意知621=+x x ，抛掷了2次骰子，相应的基本事件空间为(){}N N ∈∈≤≤≤≤=Ω212121,,61,61,x x x x x x B ，共有36个基本事件， -----------6分而{})1,5(),2,4(),3,3(),4,2(),5,1(=B ，共有5个基本事件， ----------7分所以365)(=B P . -----------8分注：第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答见第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答8.解：根据题目要求，如果符合“学生视力保护达标年级”，则需要该年级7个班的近视人数都不超过5人.为了便于说明，不妨设某年级各班的近视人数分别为）（7i 1≤≤i x ，并且1i x +≤i x .A. 初一年级：平均值为2，方差为2. 易知1471=∑=i ix且14)2(712=-∑=i i x .由于14<16，所以42<-i x ,由于只有7个样本且都为整数，所以可以把14分解成以下两种形式： ①22212314++=； ②222221122214++++=对于情况①，只能有一种情况：0,1,2,2,2,2,5；而情况②中可以有0,0,2,2,3,3,4和0,1,1,2,2,4,4这两种情况.B. 初二年级：平均值为1，方差大于0.如果出现的不符合的情况，在满足各班人数和为7的前提下，除了7x ，其他各班都尽量小即可，本选项的反例有以下两种：0,0,0,0,0,0,7；0,0,0,0,0,1,6.C. 高一年级：中位数为3，众数为4.易知34=x ，由于众数为4，可知765x x x ，，三个中至少有两个为4，如果出现的不符合的情况，则需要，465==x x 且57>x 即可，由于众数为4，所以其他每班的人数必须各不相同，所以本项的反例前六个班的近视人数只有0,1,2,3,4,4一种.D. 高二年级：平均值为3，中位数为4.易知44=x ，如果出现的不符合的情况，需要让321,,x x x 尽量小，所以令0321===x x x ，同时为了让7x 尽量的大，则只需令465==x x ,由已知可知2171=∑=i ix，所以此时97=x ，当然，对于本选项的反例还可以举出如下几种：0,0,1,4,4,4,8；0,0,0,4,4,5,8；0,0,2,4,4,4,7；0,1,1,4,4,4,7；0,0,0,4,4,6,7；0,0,0,4,5,5,7； 0,0,1,4,4,5,7；0,0,3,4,4,4,6；0,1,2,4,4,4,6；1,1,1,4,4,4,6；0,0,0,4,5,6,6；0,0,1,4,4,6,6； 0,0,1,4,5,5,6；0,0,2,4,4,5,6；0,1,1,4,4,5,6.综上，本项所涉及的三种情况均符合班的近视人数都不超过5人，所以初一年级符合“学生视力保护达标年级”.14. 设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1||n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为；64a 的最大值为 .解析: 设1n n n a a b +-=，则（1）若11b =， 22b =，则33a =若11b =-，22b =，则31a = 若11b =， 22b =-，则31a =- 若11b =-，12b =-，则33a =-（2）6411263a a b b b -=++⋅⋅⋅+注意到10a =，||n b n =，得 6412632016a ≤++⋅⋅⋅+=17.（Ⅲ）解：由于C 型空调的每周销售数量54321，，，，C C C C C 互不相同，所以不妨设54321C C C C C <<<<，因为C 型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，所以3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C .为了让C 型空调这五周中的最大周销售数量最大，即只需让5C 最大即可，由于20）7-（51i 2i=∑=C，所以易知115≤C ，当115=C 时，由于3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C ，所以2441i i=∑=C，421(7)4i i C =-=∑此时必然有64321====C C C C ，而与题目中所要求的每周销售数量54321，，，，C C C C C 互不相同矛盾，故115≠C . 当105=C 时，由于3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C ，所以2541i i=∑=C，11）7-（41i 2i =∑=C ，且37-i ≤C ，若不存在37-i =C 的情况，则∑=41i 2i）7-（C的最大值为11101144<=+++，所以必有37-1=C ，即41=C ，而此时2142i i=∑=C，2）7-（42i 2i =∑=C ，易知8，7，6432===C C C ，符合题意，故C 型空调的五周中的最大周销售数量为10台.。

2016北京市海淀区一模数学理试题(含参考答案及评分标准)

DABC海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．解：（Ⅰ）在ACD ∆中，由正弦定理,有sin sin AC ADADC α=∠ …………………2分在BCD ∆中，由正弦定理,有sin sin BC BDBDC β=∠ …………………4分因为πADC BDC ∠+∠=,所以sin sin ADC BDC ∠=∠ …………………6分因为13AD DB =, 所以sin 3sin AC BC βα= …………………7分（Ⅱ）因为π6α=，π2β=, 由（Ⅰ）得πsin32π23sin 6AC BC == …………………9分设2,3,0AC k BC k k ==>,由余弦定理,2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠ …………………11分代入,得到222π1949223cos3k k k k =+-⋅⋅⋅, 解得1k =,所以3BC =. …………………13分16解: (I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数 3.6 4.4 4.4 3.644x +++== …………………2分则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S 估算为100400S x ==g …………………3分（Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差21s 和22s ，结果为21s >22s .…………………6分（Ⅲ）依题意，随机变量ξ可以取7.27.488.28.69.4，，，，，， …………………7分 1(7.2)4P ξ==, 1(7.4)8P ξ== 1(8)4P ξ==, 1(8.2)8P ξ== 1(8.6)8P ξ==, 1(9.4)8P ξ== …………………9分随机变量ξ的分布列为…………………11分随机变量ξ的期望111111()7.27.4+8+8.2+8.6+9.4=8484888E ξ=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯. …………………13分 17解:（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥, …………………1分因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥. …………………2分因为AB PA A = ，且AB ，PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB …………………4分（Ⅱ）证明：因为BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ,所以BC PB ⊥ …………………5分在PBC ∆中，BC PB ⊥，MN PB ⊥，所以MN BC . …………………6分在正方形ABCD 中，AD BC , 所以MN AD ， …………………7分所以 MN AD ，可以确定一个平面，记为α 所以,,,M N D A 四个点在同一个平面α内 …………………8分（Ⅲ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥,PA AD ⊥. 又AB AD ⊥,如图，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -, …………………9分所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)C D B P .设平面DAN 的一个法向量为(,,)n x y z =，平面CAN 的一个法向量为(,,)m a b c =,设PN PC λ=, [0,1]λ∈，因为(2,2,2)PC =- ，所以(2,2,22)AN λλλ=-，又(0,2,0)AD = ，所以00AN n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(22)020x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩，…………………10分取1z =, 得到1(,0,1)n λλ-=, …………………11分因为(0,0,2)AP = ，(2,2,0)AC =所以00AP m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220c a b =⎧⎨+=⎩，取1a =得, 到(1,1,0)m =-, …………………12分因为二面C AN D --大小为3π, 所以π1|cos ,|cos 32m n <>== ,所以1|cos ,|2||||m nm n m n ⋅<>===解得12λ=,所以PN = …………………14分 18解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分22111'()x f x x x x -=-=…………………2分当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：…………………4分函数()f x 在(,)+∞0上的极小值为1()ln1101f a =+-=，所以()f x 的最小值为0 …………………5分（Ⅱ）解：函数()g x 的定义域为(0,1)(1,)+∞ ， …………………6分22211ln (1)ln 1()'()ln ln ln x x x f x x x g x x x x --+-===…………………7分由（Ⅰ）得，()0f x ≥，所以'()0g x ≥…………………8分所以()g x 的单调增区间是(0,1),(1,)+∞，无单调减区间. …………………9分（Ⅲ）证明：假设直线y x =是曲线()g x 的切线. ………………10分设切点为00(,)x y ，则0'()1g x =，即0021ln 11ln x x x +-= …………………11分又000001,ln x y y x x -==，则0001ln x x x -=. …………………12分所以000011ln 1x x x x -==-, 得0'()0g x =，与 0'()1g x =矛盾所以假设不成立，直线y x =不是曲线()g x 的切线 …………………13分19解：（Ⅰ）由题意可得，1b =， …………………1分2c e a ==， …………………2分得22134a a -=， …………………3分解24a =， …………………4分椭圆C 的标准方程为2214x y +=. …………………5分（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+，直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-，线段MN 的中点04(4,)y x ， …………………8分所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-， …………………9分令0y =，则222002016(4)(1)4y xx x -+=-， …………………10分因为220014x y +=，所以 2020114y x -=-， …………………11分所以28(4)50x x -+-=，因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. …………………12分设交点坐标12(,0),(,0)x x，则12||x x -=0825x <≤）所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法二：（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+，直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-，若以MN 为直径的圆与x 轴相交，则004(1)[1]y x -+⨯004(1)[1]0y x +-<，…………………9分即2000200016(1)4(1)4(1)10,y y y x x x --+-+-< 即2020016(1)810.y x x -+-< …………………10分因为 220014x y +=，所以 2020114y x -=-, …………………11分代入得到 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. …………………12分该圆的直径为000004(1)4(1)8|+1(1)|=|2|y y x x x -+---，圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-，该圆在x轴上截得的弦长为82)5x =<≤；所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法三：（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+，直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-，所以000004(1)4(1)8||=|+1(1)|=|2|y y MN x x x -+---， …………………8分圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-， …………………9分若该圆与x 轴相交，则 04|1|x ->004||y x ， …………………10分即2200044(1)()0y x x -->，因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-, …………………11分所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈ …………………12分该圆在x轴上截得的弦长为=≤；所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法四：记(20)D ，, (40)H ，，设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -，所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分 BP 的直线方程为0011y y x x +=-，令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+， 004(1)1y n x +=- ， ……………………….8分所以004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-，若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F ，因为EH MN ⊥，所以2EH HN HM =⋅， ……………………….9分200004(1)4(1)(1)(1)y y EH HN HM x x -+=⋅=-+⋅- 220002016168()y x x x -+-=- ……………………….10分因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-, ……………………….11分代入得到2EH =20020850x x x -=> 所以08(,2]5x ∈， ……………………….12分所以22EF EH ==≤=所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法五：设直线 OP 与4x =交于点T 因为//MN y 轴，所以有,,AP AO OP BP BO OPPN TN PT PM TM PT==== 所以AO BOTN TM=，所以TN TM =，所以T 是MN 的中点. ……………………….6分又设000(,)(02)P x y x <≤, 所以直线OP 方程为0y y x x =, ……………………….7分令4x =,得004y y x =, 所以004(4)y T x ， ……………………….8分而041r TN x ==- ……………………….9分若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F 则00044||1y d r x x =<=- ……………………….10分所以220016(4)y x <-因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-,代入得到 ……………………….11分所以200580x x ->，所以085x >或00x < 因为点002x <≤，所以0825x <≤ ……………………….12分而EF ==2=≤= 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分 20解：（I ）依照题意，可以取{}5,7A =，{}4,8B =，{}1,2,3,6C = …………………3分（II ）假设存在n 是3的倍数且n U 是可分集合. 设3n k =，则依照题意{3,6,,3}k C ⋅⋅⋅⊆，故C S ≥2333632k kk +++⋅⋅⋅+=，而这n 个数的和为(1)2n n +，故21(1)3322C n n k k S ++=⋅=2332k k+<, 矛盾，所以n 是3的倍数时，n U 一定不是可分集合 …………………7分 (Ⅲ)n =35. …………………8分因为所有元素和为(1)2n n +，又B S 中元素是偶数，所以(1)32B n n S +==6m (m 为正整数) 所以(1)12n n m +=，因为,1n n +为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数由（Ⅱ）知道，n 不是3的倍数，所以一定有1n +是3的倍数. 当n 为奇数时，1n +为偶数，而(1)12n n m +=，所以一定有1n +既是3的倍数，又是4的倍数，所以112n k +=,所以*121,n k k =-∈N . …………………10分定义集合{1,5,7,11,...}D =，即集合D 由集合n U 中所有不是3的倍数的奇数组成，定义集合{2,4,8,10,...}E =，即集合E 由集合n U 中所有不是3的倍数的偶数组成，根据集合,,A B C 的性质知道，集合,A D B E ⊆⊆，此时集合,D E 中的元素之和都是224k ，而21(1)24232A B C n n S S S k k +====-，此时n U 中所有3的倍数的和为2(3123)(41)2462k k k k +--=-，2224(242)2k k k k --=,22(242)(246)4k k k k k ---=显然必须从集合,D E 中各取出一些元素，这些元素的和都是2k ，所以从集合{1,5,7,11,...}D =中必须取偶数个元素放到集合C 中，所以26k ≥, 所以3k ≥，此时35n ≥而令集合{7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}A =，集合{8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}B =，集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}C =，检验可知，此时35U 是可分集合, 所以n 的最小值为35. …………………13分。

2016年北京市海淀区高三一模理科数学试卷含答案

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷〔理科〕2016.4本试卷共4 页,150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题,每小题5 分,共40 分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为〔〕A ．［0,＋∞〕B ．［1,＋∞〕C ．〔－∞,0］D ．〔－∞,1］2．某程序的框图如图所示,若输入的z ＝i 〔其中i 为虚数单位〕,则输出的S 值为〔〕 A ．－1B ．1C ．－ID ．i3．若x ,y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则12z x y =+的最大值为〔〕A ．52B ．3C ．72D ．4 4．某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为〔〕A ．33B ．32C ．233D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,则"{}n a 为常数列"是"*,n n n N S na ∀∈="的〔〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中,圆C 1:2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A,B 两点,则｜AB ｜＝〔〕A ．1B ．2C ．3D ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数,则下列结论可能成立的是〔〕A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器,现有五项工作待完成,每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最大,则下列叙述正确的是〔〕 A ．甲只能承担第四项工作 B ．乙不能承担第二项工作 C ．丙可以不承担第三项工作 D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题,每小题5 分,共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==,若a b ,则t ＝ _______．10．在等比数列{}n a 中,a 2＝2,且131154a a +=,则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中,最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π,且C 的一个焦点到l则C 的方程为_______．13．如图,在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1,2,3 中的一个．〔ⅰ〕当每条边上的三个数字之和为4 时,不同的填法有_______种；〔ⅱ〕当同一条边上的三个数字都不同时,不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ,对于实数t ,若存在a ＞0,b ＞0 ,满足：[,]x t a t b ∀∈-+,使得|()()|f x f t -≤2,则记a ＋b 的最大值为H 〔t 〕．〔ⅰ〕当 ()f x ＝2x 时,H 〔0〕＝_______．〔ⅱ〕当()f x 2x =且t [1,2]∈时,函数H 〔t 〕的值域为_______．三、解答题共6 小题,共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．〔本小题满分13 分〕如图,在△ABC 中,点D 在边 AB 上,且13AD DB =．记∠ACD ＝α,∠BCD ＝β．〔Ⅰ〕求证：sin 3sin AC BC βα=；〔Ⅱ〕若,,1962AB ππαβ===,求BC 的长．16．〔本小题满分13 分〕2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日,我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前,国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响,在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本,每株提取的青蒿素产量〔单位：克〕如下表所示：〔Ⅰ〕根据样本数据,试估计山下试验田青蒿素的总产量；〔Ⅱ〕记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ,22s ,根据样本数据,试估计21s 与22s 的大小关系〔只需写出结论〕；〔Ⅲ〕从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株,记这2 株的产量总和为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望． 17．〔本小题满分14 分〕如图,在四棱锥P －ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,点M ,N 分别为线段PB,PC 上的点,MN ⊥PB ．〔Ⅰ〕求证： BC ⊥平面PAB ；〔Ⅱ〕求证：当点M 不与点P ,B 重合时,M ,N ,D , A 四个点在同一个平面内；〔Ⅲ〕当PA ＝AB ＝2,二面角C －AN －D 的大小为3π时,求PN 的长． 18．〔本小题满分13 分〕已知函数f <x> ＝ln x ＋1x －1,1()ln x g x x-=〔Ⅰ〕求函数 f <x>的最小值；〔Ⅱ〕求函数g<x>的单调区间；〔Ⅲ〕求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g<x>的切线. 19．〔本小题满分14 分〕已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>椭圆C 与y 轴交于A , B 两点,且｜AB ｜＝2．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕设点P 是椭圆C 上的一个动点,且点P 在 y 轴的右侧．直线PA,PB 与直线x ＝ 4分别交于M,N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E,F,求点P 横坐标的取值范围与｜EF ｜的最大值． 20．〔本小题满分13 分〕给定正整数n<n ≥3>,集合{}1,2,,n U n =⋅⋅⋅．若存在集合A,B,C,同时满足下列条件： ① U n ＝A ∪B ∪C ,且A ∩B ＝B ∩C ＝A ∩C ＝∅；②集合A 中的元素都为奇数,集合B 中的元素都为偶数,所有能被3 整除的数都在集合C 中〔集合C 中还可以包含其它数〕；③集合A,B,C 中各元素之和分别记为S A ,S B ,S C ,有S A ＝S B ＝S C ；则称集合U n 为可分集合．〔Ⅰ〕已知U 8为可分集合,写出相应的一组满足条件的集合A,B,C ；〔Ⅱ〕证明：若n 是3 的倍数,则U n 不是可分集合；〔Ⅲ〕若U n 为可分集合且n 为奇数,求n 的最小值．〔考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效〕海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学〔理科〕 2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分. 一、选择题〔本大题共8小题,每小题5分,共40分〕二、填空题〔本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分,DABC共30分〕三、解答题<本大题共6小题,共80分> 15．解：〔Ⅰ〕在ACD ∆中,由正弦定理,有sin sin AC ADADC α=∠ 在BCD ∆中,由正弦定理,有sin sin BC BDBDC β=∠因为πADC BDC ∠+∠=,所以sin sin ADC BDC ∠=∠ 因为13AD DB =, 所以sin 3sin AC BC βα=〔Ⅱ〕因为π6α=,π2β=,由〔Ⅰ〕得πsin32π23sin 6AC BC == 设2,3,0AC k BC k k ==>,由余弦定理, 代入,得到222π1949223cos 3k k k k =+-⋅⋅⋅, 解得1k =,所以3BC =.16解: <I>由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据,得样本平均数则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S 估算为100400S x ==g〔Ⅱ〕比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差21s 和22s ,结果为21s >22s . 〔Ⅲ〕依题意,随机变量ξ可以取7.27.488.28.69.4，，，，，,[23,4]1(7.2)4P ξ==, 1(7.4)8P ξ== 1(8)4P ξ==, 1(8.2)8P ξ== 1(8.6)8P ξ==, 1(9.4)8P ξ==随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的期望111111()7.27.4+8+8.2+8.6+9.4=8484888E ξ=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯.17解:〔Ⅰ〕证明：在正方形ABCD 中,AB BC ⊥,因为PA ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD , 所以PA BC ⊥. 因为ABPA A =,且AB ,PA ⊂平面PAB ,所以BC ⊥平面PAB〔Ⅱ〕证明：因为BC ⊥平面PAB ,PB ⊂平面PAB , 所以BC PB ⊥在PBC ∆中,BC PB ⊥,MN PB ⊥, 所以MNBC .在正方形ABCD 中,AD BC , 所以MN AD ,所以 MN AD ，可以确定一个平面,记为α 所以,,,M N D A 四个点在同一个平面α内〔Ⅲ〕因为PA ⊥平面ABCD ,,AB AD ⊂平面ABCD ,所以PA AB ⊥,PA AD ⊥.又AB AD ⊥,如图,以A 为原点,,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -, 所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)C D B P .设平面DAN 的一个法向量为(,,)n x y z =,平面CAN 的一个法向量为(,,)m a b c =,设PN PC λ=, [0,1]λ∈,因为(2,2,2)PC =-,所以(2,2,22)AN λλλ=-,又(0,2,0)AD =,所以00AN n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即22(22)020x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩,取1z =, 得到1(,0,1)n λλ-=, 因为(0,0,2)AP =,(2,2,0)AC =所以00AP m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即20220c a b =⎧⎨+=⎩,取1a =得, 到(1,1,0)m =-,因为二面C AN D --大小为3π, 所以π1|cos ,|cos 32m n <>==, 所以1|cos ,|2||||2m n m n m n⋅<>=== 解得12λ=, 所以PN= 18解: 〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为(0,)+∞,当x 变化时,'()f x ,()f x 的变化情况如下表：函数()f x 在(,)+∞0上的极小值为1()ln1101f a =+-=,所以()f x 的最小值为0〔Ⅱ〕解：函数()g x 的定义域为(0,1)(1,)+∞,由〔Ⅰ〕得,()0f x ≥,所以'()0g x ≥所以()g x 的单调增区间是(0,1),(1,)+∞,无单调减区间.〔Ⅲ〕证明：假设直线y x =是曲线()g x 的切线.设切点为00(,)x y ,则0'()1g x =,即00201ln 11ln x x x +-=又000001,ln x y y x x -==,则0001ln x x x -=. 所以000011ln 1x x x x -==-, 得0'()0g x =,与 0'()1g x =矛盾所以假设不成立,直线y x =不是曲线()g x 的切线 19解：〔Ⅰ〕由题意可得,1b =,2c e a ==, 得22134a a -=, 解24a =,椭圆C 的标准方程为2214x y +=. 〔Ⅱ〕设000(,)(02)P x y x <≤,(0,1)A ,(0,1)B -,所以001PA y k x +=,直线PA 的方程为0011y y x x +=-, 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+, 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+, 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-, 线段MN 的中点04(4,)y x , 所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-, 令0y =,则222002016(4)(1)4y xx x -+=-,因为220014x y +=,所以 2020114y x -=-, 所以28(4)50x x -+-=, 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解,所以 0850x ->,解得08(,2]5x ∈.设交点坐标12(,0),(,0)x x ,则12||x x -=0825x <≤〕所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.方法二：〔Ⅱ〕设000(,)(02)P x y x <≤,(0,1)A ,(0,1)B -,所以001PA y k x +=,直线PA 的方程为0011y y x x +=-, 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+, 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+, 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-, 若以MN 为直径的圆与x 轴相交,则004(1)[1]y x -+⨯004(1)[1]0y x +-<, 即2000200016(1)4(1)4(1)10,y y y x x x --+-+-< 即2020016(1)810.y x x -+-< 因为 220014x y +=,所以 2020114y x -=-,代入得到 0850x ->,解得08(,2]5x ∈. 该圆的直径为000004(1)4(1)8|+1(1)|=|2|y y x x x -+---,圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-, 该圆在x轴上截得的弦长为8,(2)5x =<≤；所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.方法三：〔Ⅱ〕设000(,)(02)P x y x <≤,(0,1)A ,(0,1)B -, 所以001PA y k x +=,直线PA 的方程为0011y y x x +=-, 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+, 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+, 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-, 所以000004(1)4(1)8||=|+1(1)|=|2|y y MN x x x -+---, 圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-, 若该圆与x 轴相交,则 04|1|x ->004||y x , 即2200044(1)()0y x x -->, 因为 220014x y +=,所以2020114y x -=-,所以0850x ->,解得08(,2]5x ∈ 该圆在x轴上截得的弦长为=≤；所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.方法四：记(20)D ，, (40)H ，,设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -,所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+,BP 的直线方程为0011y y x x +=-,令4x =,分别可得004(1)1y m x -=+,004(1)1y n x +=-, 所以004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-，若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F ,因为EH MN ⊥, 所以2EH HN HM =⋅,因为 220014x y +=,所以2020114y x -=-,代入得到2EH =20020850x x x -=> 所以08(,2]5x ∈,所以22EF EH ==≤= 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.方法五：设直线 OP 与4x =交于点T因为//MN y 轴,所以有,,AP AO OP BP BO OP PN TN PT PM TM PT==== 所以AO BO TN TM=,所以TN TM =,所以T 是MN 的中点. 又设000(,)(02)P x y x <≤, 所以直线OP 方程为00y y x x =, 令4x =,得004y y x =, 所以004(4)y T x ，而041r TN x ==- 若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F 则00044||1y d r x x =<=- 所以220016(4)y x <-因为 220014x y +=,所以2020114y x -=-,代入得到所以200580x x ->,所以085x >或00x < 因为点002x <≤,所以0825x <≤而EF ==所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2.20解：〔I 〕依照题意,可以取{}5,7A =,{}4,8B =,{}1,2,3,6C =〔II 〕假设存在n 是3的倍数且n U 是可分集合.设3n k =,则依照题意{3,6,,3}k C ⋅⋅⋅⊆, 故C S ≥2333632k k k +++⋅⋅⋅+=, 而这n 个数的和为(1)2n n +,故21(1)3322C n n k k S ++=⋅=2332k k +<, 矛盾, 所以n 是3的倍数时,n U 一定不是可分集合<Ⅲ>n =35. 因为所有元素和为(1)2n n +,又B S 中元素是偶数,所以(1)32B n n S +==6m <m 为正整数> 所以(1)12n n m +=,因为,1n n +为连续整数,故这两个数一个为奇数,另一个为偶数由〔Ⅱ〕知道,n 不是3的倍数,所以一定有1n +是3的倍数.当n 为奇数时,1n +为偶数,而(1)12n n m +=,所以一定有1n +既是3的倍数,又是4的倍数,所以112n k +=,所以*121,n k k =-∈N .定义集合{1,5,7,11,...}D =,即集合D 由集合n U 中所有不是3的倍数的奇数组成,定义集合{2,4,8,10,...}E =,即集合E 由集合n U 中所有不是3的倍数的偶数组成,根据集合,,A B C 的性质知道,集合,A D B E ⊆⊆, 此时集合,D E 中的元素之和都是224k ,而21(1)24232A B C n n S S S k k +====-, 此时n U 中所有3的倍数的和为2(3123)(41)2462k k k k +--=-,2224(242)2k k k k --=,22(242)(246)4k k k k k ---=显然必须从集合,D E 中各取出一些元素,这些元素的和都是2k ,所以从集合{1,5,7,11,...}D =中必须取偶数个元素放到集合C 中,所以26k ≥, 所以3k ≥,此时35n ≥而令集合{7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}A =,集合{8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}B =,集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}C =,检验可知,此时35U 是可分集合, 所以n 的最小值为35.。

2016年北京市海淀区高三一模理科数学试卷含答案

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为（）A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为（）A ．－1B ．1C ．－ID ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为（）A ．52B ．3C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝（）A ．1B ．2C ．3D ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是（）A ．,44a b ππ==- B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______．10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154aa +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种；（ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝_______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分）如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β．（Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=；（Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ．（Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数f (x) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-=（Ⅰ）求函数 f (x)的最小值；（Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g(x)的切线。