高中数学备课精选352简单线性规划课件新人教B版必修
-高中数学人教B版必修5第三章352简单线性规划二课件
∵－32<－54<－14，
本 课
∴当直线z＝5x＋4y经过点A 95，2130 时，z取到最大值，且zmax＝
时 栏 目
5×95＋4×2130＝1815.
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
问题2
x＋4y≤11，
当变量x，y满足
3x＋2y≤10， x>0，y>0，
x∈Z，y∈Z
时，求z＝5x＋4y的最大
本 值及最优解．
课 时
解 若不考虑x∈Z，y∈Z，则当直线经过点A95，2130时，z＝1815，
栏 目
∵x∈Z，y∈Z，∴z∈Z.令z＝18，则5x＋4y＝18.
开 关
∵4y为偶数，18为偶数，∴5x为偶数，∴x为偶数．
结合可行域可知x＝2，从而y＝2.
经检验(2,2)在可行域内．
般的最优解后，再在可行域内适当调整，从而确定最优整数
解即可.
填一填·知识要点、记下疑难点
1．线性规划中的基本概念
名称
意义
本
约束条件
由变量x，y组成的__不_等__式_或__方__程______
课 时 栏 目
由x，y的__一_次___不等式(或方程)组成的不 线性约束条件
等式组
开 关
目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y
时 栏
元，出售一个书橱可获利润 120 元．
目 (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
开 关
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？
研一研·问题探究、课堂更高效
解 由题意可画表格如下：
方木料 五合板 利润
(m3)
人教B版高中数学必修五课件3.5.2简单线性规划
由53xx＋ ＋25yy＝ ＝210500， ， 解得xy＝＝7111059900，
.
设点 A 的坐标为2700，970，点 B 的坐标为71090，11590， 则不等式组(※)所表示的平面区域是四边形的边界及其内部 (如图中阴影部分)．
令 z＝0，得 7x＋10y＝0，即 y＝－170x.
解决简单线性规划的方法为图解法，就是用一组平行直线 与某平面区域相交，研究直线在y轴上截距的最大值或最小值， 从而求某些函数的最值．
2x＋y≤40 1.若变量 x，y 满足xx＋≥20y≤50
y≥0
，则 z＝3x＋2y 的最大
值是( ) A．90 C．70
B．80 D．40
【解析】 由题意，满足二元一次不等式组的解的可行域 如图所示．
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
3.5.2 简单线性规划
1．在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分成 三类：即点在直线上，点在直线的区域，上点方在直线的区域．
2下．方二元一次不等式组表示的平面区域是其中的每个二元一
次不等式表示的平面区域的． 公共部分
线性规划中的基本概念
名称
目标函 数
由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.要求 z 的最大值，可求2z的 最大值，即求斜率为－32的直线在可行域内在 y 轴上截距的 最大值．
如上图，显然直线过 A 点时，在 y 轴上截距最大． 联立2x＋x＋2yy＝＝4500 ，得xy＝ ＝1200 ， ∴A(10,20)，∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20 ＝70. 【答案】 C
x≥1
，所表示的平面区
域如图所示(阴影部分)
当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截距最大，即 z 最大， 解方程组x3－x＋4y5＝y＝－235 ，得 A 的坐标为(5,2)． 所以 zmax＝2×5＋2＝12. 当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最小． 解方程组xx－ ＝41y＝－3 ，得 B 的坐标为(1,1)． 所以 zmin＝2x＋y＝2×1＋1＝3.
高中数学 3.5.2 简单线性规划课件 新人教B版必修5
求z＝4x－
[思路探索] 属于求线性目标函数的最值．
课堂讲练互动
解
7x－5y－23≤0 不等式组x＋7y－11≤0
4x＋y＋10≥0
所表示的可行域如图所示：
其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)，作一族与4x－3y＝0平
行的直线l：4x－3y－z＝0，
当l过点C时，z值最小；当l过B点时，z值最大，
函数，求出目标函数的最值．
课堂讲练互动
注意：(1)最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多个，还 有可能不存在．
(2)在可行域中，如果存在使ax＋by达到最大值或最小值的点， 那么该点一般在该区域的顶点或边界上．
(3)解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽 可能精确，图上操作尽可能规范．但考虑到作图必然会有误 差，假如图上的最优解并不明显易辨时，不妨将几个有可能 是最优解的点的坐标都求出来，然后逐一检验，以确定最优 解．
课堂讲练互动
最优解
可行解 可行域
使目标函数达到 最大值或最小值的点的 坐标 ， 称为问题的最优解 满足线性约束条件的 解 ，叫做可行解
由所有 可行解 组成的集合叫做可行域
试一试：线性目标函数的最值与y的系数有何关系？
提示 一般地，对目标函数z＝ax＋by，若b>0，则纵截距与z 同号，因此，纵截距最大时，z也最大；若b<0，则纵截距与z 异号，因此，纵截距最大时，z反而最小．
课堂讲练互动
(2)由23xx＋ －yy－ －23＝ ＝00， ， 得yx＝＝01.， 即A点坐标为(1,0)．同理，
距，当直线截距最大时，z的值最大．当然直线要与可行域相
交，即在满足约束条件时目标函数z＝2x＋y取得最大值；当直线
数学人教B版必修5课件：3.5.2 简单线性规划2
，U＝2x－3y 取值的符号判断如下：
由 y＝23x－U3 .当 U＝0 时，过点 A(3,2)，往下平移．经过可行域 内的点－U3 ＜0，∴U＞0，即 2x＞3y.往上平移不经过可行域内 的点．故选 A.
【答案】A
变式训练 1：某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知 1 个 单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C；1 个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需 要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质 和 54 个单位的维生素 C.如果 1 个单位的午餐、晚餐的费用分别 是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少， 应当为该儿童分别预订多个单位的午餐和晚餐？
A．－7
B．－4
C．1
D．2
【解析】本题考查线性规划与最优解．
由 x、y 满足的约束条件3x－x＋y－y－26≤≥00 y－3≤0
，画出可行域如图，
容易求出 A(2,0)、B(5,3)、C(1,3)， 可知 z＝y－2x 过点 B(5,3)时， z 最小值为 3－2×5＝－7.
【答案】A
例 1：4 个茶杯和 5 包茶叶的价格之和小于 22 元，而 6 个茶
杯与 3 包茶叶的价格之和大于 24 元，则 2 个茶杯和 3 包茶叶
的价格比较( )
A．2 个茶杯贵
B．3 包设茶杯每个 x 元，茶叶每包 y 元，
则46xx＋＋53yy＜＞2224 x，y∈N
0≤x≤2 变式训练 2：在条件0≤y≤2
x－y≥1
下，z＝(x－1)2＋(y－1)2 的取值
范围是________．
人教新课标版数学高二B必修5课件 3.5.2 简单线性规划(一)
每袋体积(单 每袋质量(单位： 每袋利润(单位：
货物
位：m3)
百千克)
百元)
甲
5
1
20
乙
4
2.5
10
问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋(不一定都 是整袋)时，可获得最大利润？
解 设托运甲种货物x袋，乙种货物y袋，获得利润z百元， 则z＝20x＋10y.
5x＋4y≤24 依题意，可得关于 x，y 的约束条件2x＋5y≥13
小结 (1)在上述问题中，我们把要求最大值或最小值的函 数f＝30x＋40y叫做目标函数，目标函数中的变量所要满足 的不等式组称为约束条件. (2)如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标 函数，如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)， 则称为线性约束条件.
(3)在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问 题，称为线性规划问题.使目标函数达到最大值或最小值的 点的坐标，称为问题的最优解. (4)一般地，满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由 所有可行解组成的集合叫做可行域.
1234
x＋y≥3， 2.设变量 x，y 满足约束条件x－y≥－1，
2x－y≤3，
则目标函数 z
＝2x＋3y 的最小值为( )
A.6
B.7
C.8
D.23
解析 作出可行域如图所示.
1234
由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最 小值为7. 答案 B
1234
3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴
呈重点、现规律
1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： (1)寻找线性约束条件，线性目标函数； (2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和 目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l； (3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点 的位置；
高中数学备课精选 3.5.2《简单线性规划》教案 新人教B版必修5
高中数学备课精选 3.5.2《简单线性规划》教案 新人教B 版必修5教学目标（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义； （2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法； （4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题． （5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力． 教学重点、难点二元线性规划问题的解法的掌握． 教学过程一．问题情境1．问题：在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y =+的最大值？二．建构数学首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图（1）所示．其次，将目标函数2P x y =+变形为2y x P =-+的形式，它表示一条直线，斜率为，且在y 轴上的截距为P ．平移直线2y x P =-+，当它经过两直线410x y +=与4320x y +=的交点5(,5)4A 时，直线在y 轴上的截距最大，如图（2）所示．因此，当5,54x y ==时，目标函数取得最大值5257.54⨯+=，即当甲、乙两种产品分别生产54t 和5t 时，可获得最大利润7.5万元． 这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中5(,5)4使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．说明：平移直线2y x P =-+时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．三．数学运用例1．设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．解：由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈， 可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大． 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小， 所以，max 25212z =⨯+=，min 2113z =⨯+=．例2．设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．解：由引例可知：直线0l 与AC 所在直线平行，则由引例的解题过程知，当l 与AC 所在直线35250x y +-=重合时z 最大，此时满足条件的最优解有无数多个， 当l 经过点(1,1)B 时，对应z 最小，∴max 61050z x y =+=，min 6110116z =⨯+⨯=．例3．已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使x y +取最大值的整数,x y ．解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C坐标分别为153(,)84A ，(0,3)B -，7512(,)1919C -， 作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=， 当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大，∴当l 过C 点时x y +最大为6319，但不是整数解，又由75019x <<知x 可取1,2,3，OyxA CB430x y -+=1x =35250x y +-=ACxyO1l3l2l当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-； 当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1； 当3x =时，1y =-， ∴2x y +=，故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩．例4．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：资 金 （百万元） 场 地 （平方米） 利 润（百万元）A 产品 2 2 3B 产品 3 1 2 限 制 14 9然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解解：设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 米，利润为S 百万元，则约束条件为23142900x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数为32S x y =+．作出可行域（如图），将目标函数变形为322S y x =-+，它表示斜率为32-，在y 轴上截距为2S的直线，平移直线322S y x =-+，当它经过直线与29x y +=和2314x y +=的交点135(,)42时，2S最大，也即S 最大．此时，1353214.7542S =⨯+⨯=．因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5米，利润最大为1475万元．说明：（1）解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一）；③建立目标函数；④求最优解． （2）对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．四．回顾小结：1．简单的二元线性规划问题的解法．2．巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法； 3．用画网格的方法求解整数线性规划问题。
人教新课标版数学高二B必修5课件3.5.2简单线性规划(二)
作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图所示.
明目标、知重点
设直线x＋y＝280与y轴的交点为M，则M(0,280)， 把直线l：0.5x＋0.8y＝0向上平移至经过平面区域上的点 M(0,280)时，z的值最小，∵点M的坐标为(0,280)， ∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运 280万吨，向西车站运20万吨时，总运费最少.
∴甲种原料154×10＝28 (g)，乙种原料 3×10＝30 (g)，费用
最省.
明目标、知重点
探究点二 非线性目标函数的最值问题 思考 一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义，利用 数形结合的思想加以解决，例如： ①z＝x2＋y2表示可行域中的点(x，y)与原点(0,0)距离的平方； ②z＝(x－a)2＋(y－b)2表示可行域中的点(x，y) 与点(a，b)距
明目标、知重点
1234
y≤1， 4.已知实数 x，y 满足x≤1，
x＋y≥1，
1 则 z＝x2＋y2的最小值为__2__.
解析 实数x，y满足的可行域如图中阴影部
分所示，
则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方， 故 zmin＝ 122＝12.
明目标、知重点
呈重点、现规律
1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是 在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可 能规范.
明目标、知重点
解 设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨
煤，那么总运费z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(300－y)万元，
即z＝780－0.5x－0.8y，
x≥0 y≥0 其中 x，y 应满足230000－ －xy≥ ≥00 x＋y≤280 200－x＋300－y≤360
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y x
x
y
1
y 1
Z = 3x + y 的最值
y
y=x 1
y = -3x + Z
1
作直线 y = -3x
o
x
y = －1
AA －1
BB
x + y －1 = 0
解
y y
x 得x 1
1,
y
1.
即A的坐标为(-1，-1)。
解xy
1 y
1
得x 0
2,
y
1.
即B的坐标为(2，-1)。
当x=-1,y=-1时，Z=-4。当x=2,y=-1时，Z=5
最大值为5，最小值为1 2
x y50
M (1,00)
B(3,2) x y50
x
x3
例2：
x y5 0
已知x, y满足线性约束条件 x y 5 0 求 :
x 3
4)Z x2 y2的最值
y
C(3,8)
最大值为73，最小值为25 2
A(0,5) P(x, y) B(3,2)
x y50
x y50
y
C
勤
5
能
A
补
B
拙
O1
x
5
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直 角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所 有点组成的平面区域。
确定步骤：
(1)直线定界 注意
看y的系数B和不 等号的方向
“>0 (或<0) ”时, 直线画成虚线;
“≥0(或≤0)”时,直线画成实线.
(2)特殊点定域 注意:
如果C≠0,可取(0,0);
y 1
y = -3x + Z
作直线 y = -3x
Z = 3x + y 的最值
y y=x
1
1
o
x
y = －1 －1
x + y －1 = 0
y x
x
y
1
y 1
Z = 3x + y 的最值
y
y=x 1
y = -3x + Z
1
作直线 y = -3x
o
x
y = －1
A －1
x + y －1 = 0
x
0
经过B（5，2）时，zmax 12
x1
l : y 2x
3x 5 y 25
例3： 若x, y满足下列条件: x - 4y -3
3x 5y 25
1)求z=2x-y的最值
x 1
y C(1, 22)
5
x 4 y 3
0
l0 : y 2x
A(1,1)
x1
B(5,2)
x
3x 5 y 25
例3 ： 若x, y满足下列条件: x - 4y -3
3x 5y 25
2)求z=x+2y的最值
x 1
y C(1, 22)
5
x 4 y 3
B(5,2)
A(1,1)
x
0
x1
3x 5 y 25
1
l0 : y 2 x
例3 ： 若x, y满足下列条件: x - 4y -3
3x 5y 25
所有的满足线性约束条件的解（x,y）的集合 可行域
解线性规划题目的一般步骤：
1、画：画出线性约束条件所表示的可行域；
2、移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移找出与可行域有公共点且纵截距 最大或最小的直线；
3、求：通过解方程组求出最优解；
4、答：做出答案。
yx 例1：已知x,y满足下面不等式组，x y 1
0
x1
x 4 y 3
B(5,2)
x
3x 5 y 25
例3： 若x, y满足下列条件: x - 4y -3 3x 5y 25
5)求Z x2 y2的最值 x 1
y C(1, 22)
5
P
A(1,1)
0
x1
x 4 y 3
B(5,2)
x
3x 5 y 25
例3 ： 若x, y满足下列条件: x - 4y -3 3x 5y 25 x 1
y 1
试求Z = 3x +y 的最大值和最小值
y x
x
y
1
y 1
Z = 3x + y 的最值
y y=x
1
1
o
x
y = －1 －1
令Z 0,作直线l0 :3x y 0
即 y = -3x
x + y －1 = 0
例2：
x y5 0
已知x, y满足线性约束条件 x y 5 0 求 :
x 3
2)Z y 的最值 x
最大值不存在，最小值为 2
y
C(3,8)
P(x, y)
A(0,5)
3
B(3,2)
x y50
x y50
0
x
x3
例2：
x y5 0
已知x, y满足线性约束条件 x y 5 0 求 :
x 3
3)Z y 的最值 x 1
y
C(3,8)
A(0,5) P( x, y)
小诀窍
如果C＝0,可取(1,0)或(0,1).
画出下面二元一次不等式组表示的平面区域
y
y x
x
y
1
பைடு நூலகம்
1
y=x
y 1
1
o
x
y = －1 －1
x + y －1 = 0
yx 例1：已知x,y满足下面不等式组，x y 1
y 1
试求Z = 3x +y 的最大值和最小值
y x Z直的线x几的何y纵意截1义距？
3)求z=3x+5y的最值
x 1
y C(1, 22)
5
x 4 y 3
B(5,2)
A(1,1)
x
0
x1
3x 5 y 25
3
l0 : y 5 x
例3 ： 若x, y满足下列条件: x - 4y -3
3x 5y 25
4)求Z y 的最值 x
x 1
y C(1, 22)
5
P
A(1,1)
6)若 z=ax+y取得最大值的最优解 有无数个, 求实数a的值
y C(1, 22)
5
x 4 y 3
A(1,1)
0
x1
B(5,2)
x
3x 5 y 25
例3 ： 若x, y满足下列条件: x - 4y -3 3x 5y 25 x 1
∴Z max =5， Z min = -4
线基本性概规念划：问题 线性约束条件
y x
已知x,y满足下面不等式组，
x
y1
y 1
试求Z=3x+y的最大值和最小值
线性 目标函数
最优解
解得：在点(-1，-1)处， Z有最大值5。 在点(2，-1)处，Z有最小值-4。
可行解
任何一个满足线性约束条件的解（x,y）
0
x
x3
例3 : 求z 2x y的最大值和最小值，
x - 4y -3 其中x, y满足下列条件 : 3x 5y 25
z 2x y y 2x z
平行于l0 : y 2x
x 1
y C(1, 22)
5
x 4 y 3
平移l0
B(5,2)
经过A（1，1）时，zmin 3
A(1,1)
1)Z 2x 4y的最值
x 3
y
最大值为－2，最小值为－26
C(3,8)
2)Z y 的最值 x
A(0,5)
3)Z y 的最值 x 1
x y50
B(3,2) x y50
4)Z x2 y2的最值
10
l0 : y 2 x
x
x3
例2：
x y5 0
已知x, y满足线性约束条件 x y 5 0 求 :