北航附中初二数学第二学期统一测评9

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2024届北京西城北师大附属实验中学八年级数学第二学期期末达标测试试题含解析

2024届北京西城北师大附属实验中学八年级数学第二学期期末达标测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，▱ OABC 的顶点 O 、A 、C 的坐标分别是（0，0），（2，0），（0.5，1），则点 B 的坐标是（）A ．（1，2）B ．（0.5，2）C ．（2.5，1）D ．（2，0.5）2．如图，菱形ABCD 中，∠A 是锐角，E 为边AD 上一点，△ABE 沿着BE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边CD 上，连接EF ，BF ，给出下列结论：①若∠A =70°，则∠ABE =35°；②若点F 是CD 的中点，则S △ABE 13=S 菱形ABCD 下列判断正确的是（）A ．①，②都对B ．①，②都错C ．①对，②错D ．①错，②对3．一次函数24y x =+的图像与y 轴交点的坐标是（）A ．（0，-4）B ．（0，4）C ．（2，0）D ．（-2，0）4．下面哪个点在函数y=2x+4的图象上（）A ．（2，1）B ．（-2，1）C ．（2，0）D ．（-2，0）5．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，以A 为圆心，AE 长为半径画弧，分别交AB 、AC 于F 、E 两点；分别以点E 和点F 为圆心，大于12EF 且相等的长为半径画弧，两弧相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，若BD ＝43，AC 长是分式方程135(2)x x =-的解，则△ACD 的面积是（）A ．103B ．203C ．4D ．36．将一次函数12y x =的图象向上平移2个单位，平移后，若0y >，则x 的取值范围是（） A ．4x >B ．4x >-C ．2x >D ．2x >- 7．计算×的结果是（） A ．B ．4C ．D ．28．在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（） A ．B ．C ．D ．9．下列命题正确的是（）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．一组邻边相等的矩形是正方形10．一元二次方程2230x x -+=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知函数2x y +=，则自变量x 的取值范围是___________________． 12．如图，在ABE △中，90BAE ∠=︒，AB AE =，12BE cm =，过点A 作//AF BE 且点F 在点A 的右侧．点D 从点A 出发沿射线AF 方向以1cm /秒的速度运动，同时点P 从点E 出发沿射线EB 方向以2cm /秒的速度运动，在线段PE 上取点C ，使得2PC cm =，设点D 的运动时间为x 秒．当x =__________秒时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形．13．在平面直角坐标系中，点P （a-1，a ）是第二象限内的点，则a 的取值范围是__________。

北航附中初二数学第二学期统一测评16

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北航附中初二数学第二学期统一测评（十六）北航附中初二数学第二学期统一测评（十六）
班，姓名：姓名：，学号：学号：，成绩
选择题（一、选择题（每题 4 分，共 36 分） 1．以下方程中，一定是关于 x 的一元二次方程的是（．以下方程中， A． 3 x 2 + 5 x = 3 x ( x ? a ) ． C． (a 2 + 1) x 2 ? 5 x = 7 ． B． ax + bx + c = 0 ．
1
9 题图
二、填空题（每空 4 分，共 36 分）填空题（ 10. 1 ? 5 是一元二次方程 x ? 2 x + m = 0 的一个根，则方程的另一个根是的一个根，
2
m = __．．
2 2 2 2 2 2 11．已知 ( x + y ?1)( x + y + 2) = 4 ，则 x + y = ． 2
1 8
B.
1 4
C.
1 2
D. 1
9．如图，P 是等边 ?ABC 内部一点， ∠APB 、 ∠BPC 、 ∠CPA 的大小之．如图，内部一点，比是 5:6:7，以 PA、PB、PC 的长为边的三角形的三个角的大小之比，、、的长为边的三角形的三个角的大小之比是（） A ．2:3:4 B． 3:4:5 C． 4:5:6 D ．不能确定．．
14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169 人患了感冒，则每轮传染中平均一人传．有一人患了流感，人患了感冒，染人．

2024届北京师范大附属中学八年级数学第二学期期末监测试题含解析

2024届北京师范大附属中学八年级数学第二学期期末监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）1．为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（）A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m2．如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D 与⊙C的位置关系是（）A．点D在⊙C上B．点D在⊙C内C．点D在⊙C外D．不能确定3．某篮球队10 名队员的年龄结构如下表：年龄/岁19 20 21 22 24 26人数 1 1 x y 2 1已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数是（）A．21 岁B．22 岁C．23 岁D．24 岁4．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 的表示的数为（）A ．（2，0）B ．（5-1，0）C ．（101-，0）D ．（5，0）5．若m ＜n ，则下列结论正确的是（）A ．2m ＞2nB ．m ﹣4＜n ﹣4C ．3+m ＞3+nD ．﹣m ＜﹣n6．小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x 轴，对称轴为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm ，则图中转折点P 的坐标表示正确的是( )A ．(5，30)B ．(8，10)C ．(9，10)D ．(10，10)7．宁宁所在的班级有42人，某次考试他的成绩是80分，若全班同学的平均分是78分，判断宁宁成绩是否在班级属于中等偏上，还需要了解班级成绩的（）A ．中位数B ．众数C ．加权平均数D ．方差 8．已知函数225y x =-，不在该函数图象上的点是（） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．()4,3 D ．()3,4-9．设max{a ，b }表示a ，b 两个数中的最大值，例如max{0，2}=2，max{12，8}=12，则关于x 的函数y =max{2x ，x +2}可以是（）A ．()2(2)22x x y x x +<⎧=≥⎨⎩B ．()2(2)22x x y x x <⎧=+≥⎨⎩C ．2y x = D ．2y x =+10．如图，将边长为10的正三角形OAB 放置于平面直角坐标系xOy 中，C 是AB 边上的动点（不与端点A ，B 重合），作CD ⊥OB 于点D ，若点C ，D 都在双曲线y ＝k x上（k ＞0，x ＞0），则k 的值为（）A ．253B ．183C ．9D ．9311．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 在y 轴上，已知B(﹣3，0)、C(2，0)，则点D 的坐标为（）A ．(4，5)B ．(5，4)C ．(5，3)D ．(4，3)12．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是CAB ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DE 平分ADB ∠，则B 等于（）A ．1．5°B ．30°C ．25°D ．40°二、填空题（每题4分，共24分）13．化简：100.1⨯＝_______．14．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE .若点D 在线段BC 的延长线上，则B 的大小为________.15．如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，△ABD 的周长为16cm ，则△DOE 的周长是_________；16．若关于x 的不等式组2()102153x m x +->⎧⎨+<⎩的解集为﹣172＜x ＜﹣6，则m 的值是_____． 17．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为_____．18．已知一次函数y kx b =+（k 0<）经过点(1,0)-，则不等式(3)0k x b -+<的解集为__________．三、解答题（共78分）19．（8分）为了倡导“全民阅读”，某校为调査了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成统计图表如下：根据以上信息，解答下列问题（1）共抽样调查了名学生，a = ；（2）在扇形统计图中，“D ”对应扇形的圆心角为；（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书超过60本的人数．20．（8分）用4A 纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．设在同一家复印店一次复印文件的页数为x （x 为非负整数）（1）根据题意，填写下表：一次复印页数（页) 5 10 20 30 ⋯甲复印店收费（元) 0.5 2 3 ⋯乙复印店收费（元) 0.6 1.2 2.4⋯ （2）设在甲复印店复印收费1y 元，在乙复印店复印收费2y 元，分别写出1y ，2y 关于x 的函数关系式；（3）顾客如何选择复印店复印花费少？请说明理由．21．（8分）如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且CE=BF.连结DE ，过点E 作EG ⊥DE ，使EG=DE ，连结FG 、FC（1）请判断:FG与CE的数量关系是________，位置关系是________ 。

人教数学八年级下册北京师范大学附属实验中学第二学期初二年级期中试卷及答案.docx

初中数学试卷桑水出品北京师范大学附属实验中学2014—2015学年度第二学期初二年级数学期中试卷班级姓名_______ 学号_______ 成绩_______一、选择题：（每题3分，共30分．请将唯一正确的答案填涂在机读卡上．）1．在三边分别为下列长度的三角形中，不是．．直角三角形的是 A ．9，12，15 B ．1，2，3 C ．2，3，5 D ．4，7，52．用配方法解方程0522=--x x 时，原方程应变形为A. 6)1(2=+xB. 6)1(2=-xC. 9)2(2=+xD. 9)2(2=-x3．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是A ．AB ＝CD B ．AC ＝BD C ．AB ＝BC D ．AC ⊥BD4．如图，矩形ABCD 中,AB=3，两条对角线AC 、BD 所夹的钝角为120°，则对角线BD 的长为A ．3B ．6C ．D ．5. △ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若△DEF 的周长为6，则△ABC 周长为A. 3B. 6C. 12D. 246．如图，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是A ．O D C B A 7．若关于y 的一元二次方程 ky 2 - 4y - 3 = 3y + 4 有实数根, 则k 的取值范围是A ． k ≥74-且k ≠ 0B ． k > 74-且k ≠ 0C ．k ≥74-D ．k > 74-8. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米 9. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm(第9题) (第10题)10．如图，四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的个数有① 四边形A 2B 2C 2D 2是矩形； ② 四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；③ 四边形A 5B 5C 5D 5的周长是4a b +； ④ 四边形A n B n C n D n 的面积是12n ab +． A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个二、填空题：（每题2分，共20分．请将答案写在答题纸上．）11. 一元二次方程x 2－5 x ＝0的根是________．12. 若1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =________．13．若03)2(22=-+--x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值是． 14. 如右图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，若EF ＝3，则菱形ABCD 的周长是．15．已知菱形的一条对角线长为12，面积是30，则这个菱形的另一条对角线长是________.16．如右图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O,两条对角线的和为18，AD 的长为5，则∆OBC 的周长为___________．17．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它的斜边上F EA的高为．18．把一张矩形纸片ABCD按如右图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若∠ DEF=60°，FC=2，则BF的长为．19．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是线段OA上一点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____________________.20. 如图，由全等三角形拼出的一系列图形中，第n个图形由n+1个全等三角形拼成，则第4个图形中平行四边形的个数为；第2n－1个图形中平行四边形的个数为.……以下空白处可当草稿纸使用D CB A 北京师范大学附属实验中学2014—2015学年度第二学期初二年级数学期中试卷（答题纸）班级姓名_______ 学号_______ 成绩_______二、填空题：（共20分．请将答案写在横线上．）11. ． 12. ．13. ． 14. ．15. ． 16. ．17. ． 18. ．19. ． 20. ，．三、解答题：（共50分）21．解方程（共16分）（1） ()232=+x （2）2250x x +-= （3）9)7)(3(-=+-x x （4）2632-=x x 22.(5分) 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，且CF AE =.求证：四边形BFDE 是平行四边形.23.(5分) 如图，四边形ABCD 中, AD//BC, ∠ABC=45︒ , ∠ADC=120︒ ，AD=DC ，AB=22,求BC 的长.24.(5分) 列方程解应用题：某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，求该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？25.(4分) 根据题意作出图形，并回答相关问题：（1）现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请在图1中用分割线把它们分割后标上序号，重新在图2中拼接成一个正方形．（标上相应的序号）（2）在△ABC 中，AC =BC =2，∠ACB =90︒，D 是BC 边上的中点，E 是AB 边上一动点，在右图中作出点E ，使EC +ED 的值最小 (不写作法，保留作图痕迹) ，BC DA E F此时EC +ED 的值是________.26.(5分) 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m --+-= .（1）证明：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若0≠m ，设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x >2x ），若y 是关于m 的函数，且121x x y -=，求y 与m 的函数解析式. 27.(5分) 有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm ，BC = 8cm.①如图1，现将纸片沿直线AD 折叠，使直角边AC 落在斜边AB 上，则CD = _________ cm.图1 图2②如图2，若将直角∠C 沿MN 折叠，点C 与AB 中点H 重合，点M 、N 分别在AC 、BC 上，则2AM 、2BN 与2MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.班级姓名_______ 学号_______28.(5分) （1）如图1，将∠EAF 绕着正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转，∠EAF 的两边交BC 于E ，交CD 于F ，连接EF ．若∠EAF=45°，BE 、DF 的长度是方程2560x x -+=的两根，请直接写出EF 的长；（2）如图2，将∠EAF 绕着四边形ABCD 的顶点A 顺时针旋转，∠EAF 的两边交CB 的延长线于E ，交DC 的延长线于F ，连接EF ．若AB=AD ，∠ABC 与∠ADC互补，∠EAF=21∠BAD ，请直接写出EF 与DF 、BE 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的前提下，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长．图1 图2（1）EF 的长为：；（2）数量关系：；证明：附加题（共10分）29.(4分) 请阅读下列材料：问题：如图1，点A ，B 在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使得BP AP +的值最小．小明的思路是：如图2，作点A 关于直线l 的对称点'A ，连接B A '，则B A '与直线l 的交点P 即为所求.图3l C A B P A 'D PB A l l 图2图1AB请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设'AA 与直线l 的交点为C ，过点B 作l BD ⊥，垂足为D . 若1=CP ，2=PD ，1=AC ，写出BP AP +的值为；（2）将（1）中的条件“1=AC ”去掉，换成“AC BD -=4”，其它条件不变，写出此时BP AP +的值；（3）1)32(2+-m +4)28(2+-m 的最小值为．30.(6分) 如图1，在△ACB 和△AED 中，AC=BC ，AE=DE ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，点E 在AB 上，点D 在AC 上．（1）若F 是BD 的中点，求证：CF=EF ；（2）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转，使AE 恰好在AC 上（如图2）．若F 为BD 上一点，且CF=EF ，求证：BF= DF ；（3）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转任意的角度（如图3）．若F 是BD 的中点．探究CE 与EF 的数量关系，并证明你的结论．以下空白处可当草稿纸使用参考答案一、选择题 1. D 2. B 3. B 4. B 5. C 6. A 7. A 8. C 9. A 10. C 二、填空题11. 0,512. -2. 113. -214. 2415. 516. 14 17. 1360 18. 419. (2，4)、(3，4)、 (8，4)20. 6， n ²三、解答题 21. (1) 23±-=x(2) 1211x x =-+=-（3）9)7)(3(-=+-x x ；解：92142-=-+x x01242=-+x x …… 2分0)2)(6(=-+x x∴2,621=-=x x …… 4分（4）333±=x 22. 证明：连接BD 交AC 于点O ．．．．．．．1分 Q □ ABCD,AO CO BO DO ∴== ．．．．．．．3分又 AE CF =QEO FO ∴=且BO DO = ．．．．．．．4分∴□ BFDE ．．．．．．．5分（其他证法相应给分）23. 解：如图，过A 作AE ⊥BC 于E, 连接AC.∴ ∠AEB=∠AEC=90︒.∵ ∠ABC=45︒，AB=22,O F E D C B A∴ AE=BE =2. ………………1分∵ AD//BC, ∠ADC=120︒，∴ ∠1=∠2, ∠D+∠DCB=180︒.∴ ∠DCB=60︒. ………………………………………………………………………2分 ∵ AD=DC,∴ ∠1=∠3.∴ ∠2=∠3=21∠DCB=30︒. ……………………………………………………3分在Rt △AEC 中，∠AEC=90︒，∴ AC=2AE=4∴EC=22AE AC -=32.…………………………………………………4分∴ BC= BE+EC=2+32. …………………………………………………5分24. 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．则依题意得：21010(1)10(1)x x ++++=33.1把（1+x ）看成一个整体，配方得： 21(1)2x ++=2.56，即23()2x +=2．56, ∴x +32=±1.6，即x +32=1.6或x +32=-1.6. ∴1x =0.1=10%，2x =-3.1∵因为增长率为正数，∴取x =10%.答:该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．25. （1）（226. 解：（1）由题意有22[(21)]4()1m m m ∆=----=＞0.∴ 不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根. ---------------------2分（2）方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x >2x ），解关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m --+-=可得1x m =，21x m =-. ---------------------4分∴mm m x x y 111112=--=-=. --------------5分 27. (1) 3 ……2分（2）答：2AM +2BN =2MN ……… 3分证明：过点B 作BP ∥AC 交MH 延长线于点P ，∴∠A=∠PBH在△AMH 和△BPH 中∠A=∠PBHAH=BH∠AHM=∠BHP∴△AMH ≌△BPH∴AM=BP ，MH=PH又∵NH ⊥MP∴MN=NP∵BP ∥AC ，∠C=90︒∴∠NBP=90︒∴222NP BN BP =+∴2AM +2BN =2MN ……… 5分28. 解：（1）5． ………… 1分（2）EF=DF-BE ． ………… 2分证明：在DF 上截取DM=BE ，连接AM ．如图，∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°,∴∠D=∠ABE ．∵AD=AB ，∴△ADM ≌△ABE ．∴AM=AE ，∠DAM=∠BAE ．∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=21∠BAD ，∴∠DAM+∠BAF=21∠BAD ．∴∠MAF=21∠BAD ．∴∠EAF=∠MAF ．∵AF 是△EAF 与△MAF 的公共边，∴△EAF ≌△MAF ．∴EF=MF ．∵MF=DF-DM=DF-BE,∴EF=DF-BE．……… 4分(3) △CEF的周长为15．……… 5分29.（1）3倍根号2 ………2分（2）5 ………2分（3）根号34 ………1分30.（1）略（2）略（3）CE=EF取AD、AB的中点分别为M、N ，证明△EMF与△FNC全等，进而证明△CEF是等腰直角三角形即可。

北大附中学第二学期初二年级数学期末考试试卷

北大附中学第二学期初二年级数学期末考试试卷Newly compiled on November 23, 20202006-2007学年度初二下学期期末考试数学试卷一、选择题（每题3分，共24分）1、已知一直角三角形的木板，三边长度的平方和为21800cm ，则斜边长为（） A 、80cmB 、30cmC 、90cmD 、120cm2、某服装销信商在进行市场占有率的调查时，他最应该关注的是（） A 、服装型号的平均数 B 、服装型号的众数 C 、服装型号的中位数 D 、最小的服装型号3、有三个角相等的四边形是（）A 、矩形B 、菱形C 、正方形D 、矩形、菱形、正方形作为结论都不对 4、如图，等腰梯形ABCD 中，AD10 C4 C y x =1y x =A C AB x ⊥B CD y ⊥D ABCD325210mm 2S 甲2S 乙22S S >乙甲22S S =乙甲22S S <乙甲22S S ≤乙甲2|1|0b a -+=250ax x b +-=22(1)(3)50b x a x -++-=2(1)(1)70a x b x -+--=2(1)10b x ax ---=113x y -=2322x xy y x xy y +---213x y x +=-x x 2301()20.1252007|1|2---⨯++-a 2320a a +-=22212211144a a a a a a a +-+-⨯+-++11322x x x --=--235(21)0x x ++=<），请你用所学过的有关统计知识（平均<<<<<<<<<p q10cm a b c d e f g h20cm数、中位数、方差和极差）回答下列问题：（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点（2）哪段台阶路走起来更舒服为什么（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议。

北大附中初中部2019-2020学年度第二学期八年级数学期末练习(pdf版,无答案)

二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分）
11. 一次函数 y kx b k 0 的图象过点 0, 2 ，且 y 随 x 的增大而减小，请写出一个
符合条件的函数表达式：
．
12．已知 2 x (y 1)2 0 ，那么 y x 的值是．
第2页共6页
13．如图，在 ABCD 中，CH⊥AD 于点 H，CH 与 BD 的交点为 E.
宽 3dm 的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方
形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边
长为多少时，盒子的体积最大．
下面是探究过程，请补充完整：
（1）设小正方形的边长为 x dm，体积为 y dm3，根据长方体的体积公式得到 y 和 x 的关
系式：
；
（2）确定自变量 x 的取值范围是
A. 测量对角线是否互相平分
B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角
D. 测量其中三个内角是否都为直角
6. 如图，□ABCD 中，AB=3，BC=5，AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，则 CE 的长为
A．1
B．2
C．3
D．4
7.在平面直角坐标系中，一次函数 y1 k1x b1 与 y2 k2 x b2 的图象互相平行，如果这两
如果 1=70 ABC=32 ，那么 ADC=
°．
14.把直线 y 5x 2 向上平移 a 个单位后，与直线 y 2x 4 的交点在第一象限，则 a 的
取值范围是_____________．
15．已知 a 5 1 ，则代数式 a2 2a 7 的值为___________．
16．如图，每个小正方形的边长为 1，在△ABC 中，点 A，B，

2023—2024学年北京市海淀区首都师范大学第二附属中学八年级下学期期中数学试卷

2023—2024学年北京市海淀区首都师范大学第二附属中学八年级下学期期中数学试卷一、单选题(★★) 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．(★★) 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，(★★★) 3. 下列计算正确的是（）A．B．C．D．(★) 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（）A．B．C．D．(★★) 5. 如图，在数轴上点A表示的实数是（）A．B．C．D．(★★) 6. 点O是四边形对角线的交点，给出下列四个条件：①，；②，；③，；④，．能判定四边形是平行四边形的有（）．A．①②B．③④C．②③D．①④(★★★) 7. 如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是( )A．AB＝36m B．MN∥AB C．MN＝CB D．CM＝AC(★★★) 8. 如图，在等腰直角三角形中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点，的运动过程中，给出下面三个结论：①；②；③，且等号可以取到．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题(★★) 9. 使有意义的x的取值范围是 ________ ．(★★) 10. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝120°，BD＝6，则AB的长为 ___ ．(★★) 11. 如图，在中，是斜边上的中线，度，则 __ 度．(★★) 12. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC=1．点Q在直线BC上，且AQ=2，则线段BQ的长为 ___________ ．(★★) 13. 图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为 ___________ ．(★★★★) 14. 如图，在平面直角坐标系中，长方形MNPQ的顶点M，N分别在轴，轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN＝4，PN＝2，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值是 ________ ．三、解答题(★★★) 15. （1）；（2）．(★★) 16. 已知，求代数式的值．(★★★) 17. 如图，四边形中，，是上两点，，．若，求证：四边形是平行四边形．(★★) 18. 如图所示，在四边形中，，，，．(1)求的长；(2)四边形的面积．(★★) 19. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，求作：矩形ABCD，作法：如图，①作线段AC的重直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；③连接AD，CD．所以四边形ABCD即为所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵OA＝OC，OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形（）．（填推理的依据）∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形（）．（填推理的依据）(★★) 20. 如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，求的长．(★★★) 21. 同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如、等等．(1)猜想：______；(2)请再写出1个具有“穿墙”性质的数______；(3)请用只含有一个正整数的等式表示上述规律：______．(★★★) 22. 如图，在等腰中，，平分，过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于．(1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，，求的长．(★★★) 23. 如图，在△ABC中，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)请你将的面积直接填写在横线上：______；(2)思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的；并求出它的面积______．(3)探索创新：若三边的长分别为，，，，且）请用以上方法求的面积．(★★★) 24. 如图，在正方形中，E、F分别为和上的点，作于M．(1)求证：；(2)在上截取，连接，G为中点，连接，．①依题意补全图形；②用等式表示线段和的数量关系，并证明．(★★★★) 25. 在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点T且与x轴垂直．对于图形M和图形N，给出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为，图形关于直线l对称的图形记为，若图形与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”．例如，如图1，当时，对于点和第三象限角平分线，点P关于y轴的对称点是，点关于直线l的对称点在射线上，则点P是射线的“双称图形”．已知点，，图形N是以线段为一边在直线上方所作的正方形．(1)当时，直线l和正方形如图2所示．①在，，这三个点中，点是图形N的“双称图形”；②点，，，是图形N的“双称图形”，求m的取值范围；(2)若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围．。

2023—2024学年北京交通大学附属中学第二分校八年级下学期期中数学试卷

2023—2024学年北京交通大学附属中学第二分校八年级下学期期中数学试卷一、单选题(★★) 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．(★) 2. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为（）A．B．C．D．(★★) 3. 如图，数轴上点表示的数为1，，且，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为（）A．B．C．D．(★) 4. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，1，1B．2，3，4C．1，2，3D．5，12，13(★★★) 5. 下列图象中，y是x的函数的是（）A．B．C．D．(★★) 6. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（）A．B．C．D．(★★) 7. 甲、乙二人约好同时出发，沿同一路线去自贡恐龙博物馆参加科普活动．下图是甲、乙二人走的图象，表示的是行走时间（单位：分），表示的是与学校的距离（单位：米），最后两人都到达了目的地；根据图中提供的信息，下面有四个推断：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；②甲先到达目的地；③甲停留10分钟之后提高了行走速度；④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．所有正确的推断的序号是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②④(★★★) 8. 如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点为平面内一个动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q，在点的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形是平行四边形；②存在无数个中点四边形是菱形；③存在无数个中点四边形是矩形；④存在无数个中点四边形是正方形．其中，所有正确的有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④二、填空题(★★) 9. 函数中，自变量的取值范围是 _____ ．(★) 10. 一元二次方程的根是 __________ ．(★★) 11. 平面直角坐标系中，点A，B，C，D的位置如图所示，当且时，A，B，C，D四点中，一定不在一次函数图象上的点为___________ ．(★★) 12. 如果是方程的一个根，那么代数式的值为_________ ．(★★★) 13. 如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为______ ．(★★) 14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ______ ．(★) 15. 如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为 ________ ．(★★) 16. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列结论中所有正确的序号有__________ ．①直线与轴所夹锐角等于；②；③关于的不等式的解集是；④．三、解答题(★★) 17. 解方程：x2－2 x－3＝0(★★★) 18. 计算：．(★★★) 19. 已知：为锐角三角形，．求作：菱形．作法：如图，①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O；③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接，；四边形就是所求作的菱形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：(2)完成下面的证明：证明：∵平分，∴__________．∵，∴四边形是平行四边形（）（填推理的依据）．∵，∴四边形是菱形（）（填推理的依据）．(★★★) 20. 已知关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的一根为负数，求m的取值范围．(★★) 21. 如图，平行四边形，E、F两点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．(★★) 22. 一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点．（1）求一次函数的表达式；（2）画出一次函数的图象；（3）结合图象解答下列问题：①当时，的取值范围是___________；②当时，的取值范围是___________；(★★★) 23. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．(★★★) 24. 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程．(1)函数的自变量的取值范围是___________．(2)下表是与的几组对应值：13写出表中的值；(3)如图，在平面直角坐标系中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(4)小明结合该函数图象，解决了以下问题：①对于图象上两点，若，则_________ (填“>”，“=”或“<”)；②当时，若对于的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，则的取值范围是_________．(★★★★★) 25. 已知正方形，点，分别在射线，射线上，，与交于点．(1)如图1，当点，分别在线段，上时，求证：，且；(2)如图2，当点在线段延长线上时，将线段沿平移至，连接．①依题意将图2补全；②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明．(★★★★★) 26. 在平面直角坐标系中，对于图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形和的“极大距离”，记为．已知：正方形，其中，，，．(1)已知点，①若，则（点，正方形；②若（点，正方形，则．(2)已知点，，若（线段，正方形，求的取值范围．(3)一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求（线段，正方形的最小值，并直接写出此时的取值范围．。

2022北京北大附中初二(下)期中数学试卷及答案

2022北京北大附中初二（下）期中数学一、选择题（每小题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．）1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A. 1，1，1B. 2，3，4C. 1，2，3D. 5，12，133. 下列曲线中，表示y 是x 的函数的是（）A. B.C. D.4. 下列各式中，运算正确的是（）＝－2B. 3-=C. 2==5. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 中点，若EF =2，则菱形ABCD 的周长为( )A. 4B. 8C. 16D. 206. 如图，E 是平行四边形ABCD 边BC 上一点，且AB BE =，连接AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，如果70F ∠=︒，那么B Ð的度数是（）A. 30C ︒B. 40C ︒C. 50C ︒D. 70C︒7. 如图，正方形ABCD 面积为8，菱形AECF 的面积为4，则EF 的长是（）的的A. 4 C. 2 D. 18. 如图，点E 为矩形ABCD 的边BC 长上的一点，作DF ⊥AE 于点F ，且满足DF =AB ．下面结论：①△DEF ≌△DEC ；②S △ABE = S △ADF ；③AF =AB ；④BE =AF ．其中正确的结论是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题9. 函数y =x 的取值范围是_____．10. 已知ABCD 中，210A C ∠+∠=︒，则B Ð的度数是________．11. 如图，数轴上点A 所表示的数为a ．则a 的值是______．12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．13. 如图，三角形花园的边界AB ，BC 互相垂直，若测得30A ∠=︒，BC 的长度为40m ，则边界AC 的中点D 与点B 的距离是______m ．14. 如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是BC 边上一点，将ABE △沿AE 翻折，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，则BE 的长为________．15. 如图，平行四边形周长为20cm ，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE ＝2cm ，AF ＝3cm ，平行四边形ABCD 的面积为_____cm 2．16. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为_____．三、解答题17. 计算：（1+（2）⎛ ⎝18. 如图，在ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AF CE =．求证：DE BF ∥．19. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形．求作：菱形AECF ，使点E ，F 分别在BC ，AD 上．小军作法如下：（1）连接AC ；（2）作AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于E ，F ；（3）连接AE ，CF ，所以四边形AECF 是菱形．的的老师说：“小军的作法正确．”以下是一种证明思路，请结合作图过程补全填空由作图和已知可以得到：AOF COE≌△△∴AF CE=∵四边形ABCD 是平行四边形∴AF CE∥∴四边形AECF 是平行四边形（依据：________________________________________________）∵EF 垂直平分AC∴________________∴四边形AECF 是菱形（依据：________________________________________________）四、解答题20. 如图，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上C 处有一筐水果，一只猴子从D 处向上爬到树顶A 处，然后利用拉在A 处的滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 处先滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经过的路程都是15m ，求树高AB ．21. 如图，在44⨯的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图．（1）在图①中，画一个格点三角形ABC ，使得AB =，BC =，5CA =；（2）在（1）的条件下，直接写出AC 边上的高；（3）在图②中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数．五、解答题22. 如图，已知ABED ，延长AD 到C 使CD AD =．连接BC ，CE ，BC 交DE 于点F ．若AB BC =．（1）求证：四边形BECD 是矩形；（2）连接AE ，若60BAC ∠=︒，4AB =，求AE 的长．23. 阅读下面材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时：∵20a b =-+≥∴a b +≥a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当0x >时，1x x +的最小值为______．当0x <时，1x x+的最大值为______；（2）若()221011x x y x x ++=>-+，求y 的最小值；（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和10，求四边形ABCD 面积的最小值．24. 如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ．（1）求证：DE DF ⊥；（2）连接EF ，取EF 中点G ，连接DG 并延长交BC 于H ，连接BG ．①依题意，补全图形；②求证：BG DG =；③若45EGB ∠=︒，用等式表示线段BG ，HG 与AE之间的数量关系，请直接写出结论．的25. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，如果点Q 满足条件：以线段PQ 为对角线的正方形，且正方形的边分别与x 轴，y 轴平行，那么称点Q 为点P 的“和谐点”，如图所示．已知点()1,2D ，()1,2E -，()1,2F --．（1）已知点A 的坐标是()2,1．①在D ，E ，F 中，是点A 的“和谐点”的是______；②已知点B 的坐标为()0,b ，如果点B 为点A 的“和谐点”，求b 的值；（2）已知点(),0C m ，如果线段DE 上存在一个点M ，使得点M 是点C 的“和谐点”，直接写出m 的取值范围．参考答案一、选择题（每小题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．）1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断即可．【详解】解：AB、=C2=，故该选项不合题意；D、=，故该选项不合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了最简二次根式的概念，熟悉掌握最简二次根式的概念是解题的关键．2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A. 1，1，1B. 2，3，4C. 1，2，3D. 5，12，13【答案】D【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、12＋12≠12，不能构成直角三角形，不符合题意；B、22＋32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；C、1＋2＝3，不能构成三角形，不符合题意；D、52＋122＝132，能构成直角三角形，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．3. 下列曲线中，表示y是x的函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可判断．【详解】A、B、C对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，不符合题意；C、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．4. 下列各式中，运算正确的是（）-= C. 2==＝－2 B. 3【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质以及化简运算法则求解即可．【详解】解：＝2，∴选项A不符合题意；∵，∴选项B不符合题意；∵2，∴选项C不符合题意；＝∴选项D符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了二次根式的性质以及二次根式的化简和加减运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质以及二次根式的化简和加减运算法则．5. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为( )A. 4B. 8C. 16D. 20【答案】C【解析】【分析】根据三角形的中位线定理求出BC ，再根据菱形的四条边都相等解答．【详解】∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴BC ＝2EF ＝2×2＝4，∴菱形ABCD 的周长＝4×4＝16．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．6. 如图，E 是平行四边形ABCD 边BC 上一点，且AB BE =，连接AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，如果70F ∠=︒，那么B Ð的度数是（）A 30C ︒ B. 40C ︒ C. 50C ︒ D. 70C︒【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质即可得出70BAF F ∠=∠=︒，再根据等边对等角，得出70BAE BEA ∠=∠=︒，最后根据三角形内角和即可得出答案．【详解】解：四边形ABCD 为平行四边形//AB CD∴70BAF F ∴∠=∠=︒AB BE= 70BAE BEA ∴∠=∠=︒180180707040B BAE BEA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键．7. 如图，正方形ABCD 的面积为8，菱形AECF 的面积为4，则EF 的长是（）.A. 4C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】连接AC，由正方形ABCD的面积求出AC的长，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半求出EF的长即可.【详解】解：连接AC，如下图所示：∵正方形ABCD的面积为8，∴AD=，∴在Rt△ACD中，由勾股定理知：4==AC，∵菱形AECF的面积为4，∴12×EF×AC=4，∴EF=2.故答案选：C．【点睛】此题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形和菱形的面积计算公式是解决此题的关键．8. 如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF=AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE = S△ADF；③AF=AB；④BE=AF．其中正确的结论是（）A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】【分析】证明Rt△DEF≌Rt△DEC得出①正确；在证明△ABE≌△DFA得出S△ABE＝S△ADF；②正确；得出BE＝AF，④正确，③不正确；即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，.∴∠C ＝∠ABE ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∵DF ＝AB ，∴DF ＝CD ，∵DF ⊥AE ，∴∠DFA ＝∠DFE ＝90°，在Rt △DEF 和Rt △DEC 中，DE DE DF DC=⎧⎨=⎩，∴Rt △DEF ≌Rt △DEC （HL ），①正确；∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠DAF ，在△ABE 和△DFA 中，ABE DFA AEB DAF AB DF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△DFA （AAS ），∴S △ABE ＝S △ADF ；②正确；∴BE ＝AF ，④正确，③不正确；正确的结论有3个，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．二、填空题9.函数y =x 的取值范围是_____．【答案】2x ≥【解析】【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.【详解】解：依题意，得20x -≥，解得：2x ≥，故答案为2x ≥．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．10. 已知ABCD 中，210A C ∠+∠=︒，则B Ð的度数是________．【答案】75°【解析】【分析】根据平行四边形对角相等求出∠A=105°，再根据邻角互补即可求出答案.【详解】ABCD 中，∠A=∠C ，∠A+∠B=180°,∵210A C ∠+∠=︒,∴∠A=105°，∴∠B=180°-∠A=75°，故答案为：75°.【点睛】此题考查平行四边形的性质：对角相等，邻角互补.11. 如图，数轴上点A 所表示的数为a ．则a 的值是______．【解析】【分析】根据图示，可得：点A 为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a 的值为多少即可．=∴点A∴a【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确应用勾股定理是解题关键．12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．【答案】5【解析】【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，=；②长为3、4的边都是直角边时，5=；∴或5，或5．13. 如图，三角形花园的边界AB ，BC 互相垂直，若测得30A ∠=︒，BC 的长度为40m ，则边界AC 的中点D 与点B 的距离是______m ．【答案】40【解析】【分析】由含30°角的直角三角形的性质可得AC ＝80m ，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得结论．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝40m ，∴AC ＝2BC ＝80m ，∵D 是AC 中点，∴BD ＝12AC ＝40m ，故答案为：40．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．14. 如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是BC 边上一点，将ABE △沿AE 翻折，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，则BE 的长为________．【答案】3【解析】【分析】利用矩形的性质得到BC =AD =8，∠ABC =90°，再根据勾股定理计算出AC =10，接着利用折叠的性质得∠AFE =∠ABE =90°，AF =AB =6，BE =FE ，所以CF =4，设BE =x ，则EF =x ，CE =8-x ，利用勾股定理得到x 2+42=（8-x ）2，解得x =3，即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴BC =AD =8，∠ABC =90°，在Rt △ABC 中，AC 10=，∵△ABE 沿AE 翻折，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，∴∠AFE =∠ABE =90°，AF =AB =6，BE =FE ，∴CF =10-6=4，设BE =x ，则EF =x ，CE =8-x ，在Rt △CEF 中，x 2+42=（8-x ）2，解得x =3，∴BE =3，故答案为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质．15. 如图，平行四边形的周长为20cm，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝2cm，AF＝3cm，平行四边形ABCD的面积为_____cm2．【答案】12【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得BC+CD＝10，根据面积公式可得2BC＝3CD，然后联立组成方程组可得CD 和BC的长，进而可得面积．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，∵周长为20cm，∴BC+CD＝10①，∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝2cm，AF＝3cm，∴2BC＝3CD②，联立①②得=10 23BC CDCB CD+⎧⎨=⎩，解得：=46 CDCB⎧⎨=⎩，∴平行四边形ABCD的面积为：AE×CB＝2BC＝2×6＝12，故答案为：12．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．16. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．【答案】2-【解析】【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．【详解】解：取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于E ，点点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM+ME≥OF ．∵∠AMD ＝90°，AD ＝4，OA ＝OD ，∴OM ＝12AD ＝2，∵AB ∥CD ，∴∠GCF ＝∠B ＝60°，∴∠DGO ＝∠CGE ＝30°，∵AD ＝BC ，∴∠DAB ＝∠B ＝60°，∴∠ADC ＝∠BCD ＝120°，∴∠DOG ＝30°＝∠DGO ，∴DG ＝DO ＝2，∵CD ＝4，∴CG ＝2，∴OG ＝GF OF ＝∴ME≥OF ﹣OM ＝﹣2，∴当O ，M ，E 共线时，ME 的值最小，最小值为2．【点睛】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题17. 计算：（1+（2）⎛⎝【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简二次根式并计算二次根式的除法，然后进行二次根式的加法运算即可；（2）先计算二次根式的乘法并化简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可．【小问1详解】解：原式＝=；【小问2详解】解：原式＝=-=．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．18. 如图，在ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AF CE =．求证：DE BF ∥．【答案】见解析【解析】【分析】连接BD ，交AC 于点O ，利用平行四边形的性质得出OA ＝OC ，OB ＝OD ，进而得出四边形EBFD 是平行四边形即可．【详解】证明：连接BD ，交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，∵AF ＝CE ，∴OF ＝OE ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∴DE ∥BF ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，正确得出四边形EBFD 是平行四边形是解题关键．19. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形．求作：菱形AECF ，使点E ，F 分别在BC ，AD 上．小军的作法如下：（1）连接AC ；（2）作AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于E ，F ；（3）连接AE ，CF ，所以四边形AECF 是菱形．老师说：“小军的作法正确．”以下是一种证明思路，请结合作图过程补全填空由作图和已知可以得到：AOF COE≌△△∴AF CE∵四边形ABCD 是平行四边形∴AF CE∥∴四边形AECF 是平行四边形（依据：________________________________________________）∵EF 垂直平分AC∴________________∴四边形AECF 是菱形（依据：________________________________________________）【答案】有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；AF ＝FC ；有一组邻边相等的平行四边形是菱形．【解析】【分析】首先证明四边形AECF 是平行四边形，然后根据线段垂直平分线的性质和菱形的判定定理填空即可．【详解】解：由作图和已知可以得到：△AOF ≌△COE ，∴AF ＝CE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AF ∥CE ，∴四边形AECF 是平行四边形，（依据：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∵EF 垂直平分AC ，∴AF ＝FC ，∴四边形AECF 是菱形（依据：有一组邻边相等的平行四边形是菱形）故答案为：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；AF ＝FC ；有一组邻边相等的平行四边形是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和菱形的判定，解决本题的关键是综合运用以上知识．四、解答题20. 如图，在树上距地面10m D 处有两只猴子，它们同时发现地面上C 处有一筐水果，一只猴子从D 处向上爬到树顶A 处，然后利用拉在A 处的滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 处先滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经过的路程都是15m ，求树高AB．的【答案】12米【解析】【分析】Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2＋BC2＝AC2，BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m），根据两只猴子经过的路程一样可得10＋a＝x＋b＝15解方程组可以求x的值，即可计算树高＝10＋x．【详解】解：Rt△ABC中，∠B＝90°，设BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m）则10＋a＝x＋b＝15（m）．∴a＝5（m），b＝15﹣x（m）又在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2，即（10＋x）2＋a2＝b2，∴（10＋x）2＋52＝（15﹣x）2，解得，x＝2，即AD＝2（米）∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12（米）答：树高AB为12米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．⨯的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角21. 如图，在44形，分别按下列要求作图．CA=；（1）在图①中，画一个格点三角形ABC，使得AB=，BC=，5（2）在（1）的条件下，直接写出AC边上的高；（3）在图②中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数．【答案】（1）见解析（2）2（3）见解析【解析】【分析】（1）根据网格特点结合勾股定理作图即可；（2）由勾股定理的逆定理可得△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，然后利用面积法求解即可；（3的等腰直角三角形．【小问1详解】解：如图①，△ABC 即为所求．【小问2详解】∵(2225+=，∴图①中△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，∴AC 2=；【小问3详解】如图②，△DEF 即为所求作．【点睛】本题考查作图−应用与设计，勾股定理，勾股定理的逆定理，面积法求高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．五、解答题22. 如图，已知ABED ，延长AD 到C 使CD AD =．连接BC ，CE ，BC 交DE 于点F ．若AB BC =．（1）求证：四边形BECD 是矩形；（2）连接AE ，若60BAC ∠=︒，4AB =，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明四边形BECD 为平行四边形，再根据AB BC =得到BD AC ⊥，即可求证；（2）由60BAC ∠=︒得到ABC 为等边三角形，求得AC 、CE ，再根据勾股定理即可求解．【小问1详解】解：ABED 中，//AD BE ，AD BE =，∴//CD BE ．又∵CD AD =，∴BE CD =，点D 为线段AC 的中点，∴四边形BECD 为平行四边形．∵AB BC =，∴BD AC ⊥，即90BDC ∠=︒，∴平行四边形BECD 为矩形．【小问2详解】解：∵60BAC ∠=︒，AB BC =，∴ABC 为等边三角形．∴4AC AB ==，122AD AC ==．在Rt ADB 中，2,4AD AB ==，∴BD ==，由（1）得BD EC ==90DCE ∠=︒，∴AE ===．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．23. 阅读下面材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时：∵20a b =-+≥∴a b +≥a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题：在（1）请直接写出答案：当0x >时，1x x +的最小值为______．当0x <时，1x x+的最大值为______；（2）若()221011x x y x x ++=>-+，求y 的最小值；（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和10，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；2-；（2）最小值为6 （3）14+【解析】【分析】（1）根据公式计算即可；（2）先配方，化简，运用公式计算即可；（3）设BOC ∆的面积为x ，根据AOB ∆与AOD ，BOC ∆与COD ∆为等高的三角形，且AOB ∆与BOC ∆，AOD ∆与COD ∆为同底的三角形，得到ΔΔΔΔ::BOC COD AOB AOD S S S S =，求出Δ40AOD S x =，利用公式求面积的最小值即可．【小问1详解】当0x >时，10x>，12x x ∴+=…，1x x∴+的最小值是2；当0x <时，0x ->，10x->，11(x x x x∴+=---，12x x --= …，1(2x x∴----…，1x x∴+的最大值为2-；故答案为：2；2-；【小问2详解】2(1)91x y x ++=+911x x =+++，1x >- ，10x ∴+>，236y ∴=⨯=…，y ∴的最小值为6；【小问3详解】设BOC ∆的面积为x ，AOB ∆ 与AOD ，BOC ∆与COD ∆为等高的三角形，且AOB ∆与BOC ∆，AOD ∆与COD ∆为同底的三角形，ΔΔΔΔ::BOC COD AOB AOD S S S S ∴=，Δ:104:AOD x S ∴=，Δ40AOD S x∴=，∴四边形ABCD 的面积40410x x=+++14+…142=+⨯14=+当且仅当40x x=，即x =时，取等号．∴四边形ABCD 面积的最小值为14+．【点睛】本题考查了配方法的应用，列出四边形ABCD 面积的表达式解题的关键．24. 如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ．（1）求证：DE DF ⊥；（2）连接EF ，取EF 中点G ，连接DG 并延长交BC 于H ，连接BG ．①依题意，补全图形；②求证：BG DG =；③若45EGB ∠=︒，用等式表示线段BG ，HG 与AE 之间的数量关系，请直接写出结论．【答案】（1）见解析（2）①见解析；②见解析；③BG 2＋HG 2＝4AE 2．【解析】【分析】（1）证△ADE ≌△CDF （SAS ），得∠ADE ＝∠CDF ，再证∠EDF ＝90°，即可得出结论；（2）①依题意，补全图形即可；②由直角三角形斜边上的中线性质得DG ＝12EF ，BG ＝12EF ，即可得出结论；③先证△DEF 是等腰直角三角形，得∠DEG ＝45°，再证DG ⊥EF ，DG ＝12EF ＝EG ，BG ＝12EF ＝EG ＝FG ，得∠GDF ＝45°，∠EDG ＝∠DEG ＝45°，∠GBF ＝∠GFB ，然后证△CDH ≌△CDF （ASA ），得CH ＝CF ，再由勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠B ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°，∴∠DCF ＝90°，即∠A ＝∠DCF ，又∵AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CDF （SAS ），∴∠ADE ＝∠CDF ，∵∠ADE ＋∠CDE ＝90°，∴∠CDF ＋∠CDE ＝90°，即∠EDF ＝90°，∴DE ⊥DF ；【小问2详解】①解：依题意，补全图形如图所示：②证明：由（1）可知，△DEF 和△BEF 都是直角三角形，∵G 是EF 的中点，∴DG ＝12EF ，BG ＝12EF ，∴BG ＝DG ；③BG 2＋HG 2＝4AE 2，证明：由（1）可知，△ADE ≌△CDF ，DE ⊥DF ，∴DE ＝DF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，∴∠DEG ＝45°，∵G 为EF 的中点，∴DG ⊥EF ，DG ＝12EF ＝EG ，BG ＝12EF ＝EG ＝FG ，∴∠EGD ＝∠HGF ＝∠DGF ＝90°，∠GDF ＝45°，∠EDG ＝∠DEG ＝45°，∠GBF ＝∠GFB ，∵∠EGB ＝45°，∴∠GBF ＝∠GFB ＝22.5°，∵∠DHF ＋∠HFG ＝∠DHF ＋∠CDH ＝90°，∴∠HFG ＝∠CDH ＝225°，∴∠CDF ＝∠GDF −∠HDC ＝22.5°＝∠CDH ，又∵∠DCH ＝∠DCF ＝90°，CD ＝CD ，∴△CDH ≌△CDF （ASA ），∴CH ＝CF ，在Rt △GHF 中，由勾股定理得：GF 2＋HG 2＝HF 2，∵HF ＝2CF ＝2AE ，GF ＝BG ，∴BG 2＋HG 2＝（2AE ）2，∴BG 2＋HG 2＝4AE 2．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．25. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，如果点Q 满足条件：以线段PQ 为对角线的正方形，且正方形的边分别与x 轴，y 轴平行，那么称点Q 为点P 的“和谐点”，如图所示．已知点()1,2D ，()1,2E -，()1,2F --．（1）已知点A 的坐标是()2,1．①在D ，E ，F 中，是点A 的“和谐点”的是______；②已知点B 的坐标为()0,b ，如果点B 为点A 的“和谐点”，求b 的值；（2）已知点(),0C m ，如果线段DE 上存在一个点M ，使得点M 是点C 的“和谐点”，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）①D ，F ；②b ＝3或−1；.（2）−3≤m≤−1或1≤m≤3．【解析】【分析】（1）①画出图形根据“和谐点”的定义判断即可；②画出图形根据“和谐点”的定义确定出点B坐标即可；（2）分别作出临界情况下的“和谐点”，确定出点C（m，0）在线段HM，NG上，进而可得m的取值范围．【小问1详解】解：①如图1中，在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是点D，点F．故答案为：D，F；②如图2中，∵点B的坐标为（0，b），点B为点A的“和谐点”，观察图形可知B（0，3）或B′（0，−1），∴b＝3或−1；【小问2详解】C m的“和谐点”，∵点M在线段DE上，点M是点(),0如图3中，由图可知点C（m，0）在线段HM，NG上，∴−3≤m≤−1或1≤m≤3．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，“和谐点”的定义等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．。

北京师范大学附属中学八年级数学下册第二单元《勾股定理》测试题(答案解析)

一、选择题1．如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，AB =A D ．若这个四边形的面积为16，求BC +CD 的值是（）A ．6B ．8C ．42D ．43 2．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是 ( ) A ．1，2，5 B ．3，5，4C ．5，12，13D ．1，3，7 3．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是（）A ．73厘米B ．10厘米C ．82厘米D ．8厘米4．如图，平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点B 、C 的坐标分别为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．若ABC ∆是等边三角形，则点A 的坐标为（）A ．132⎛ ⎝B ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,2⎫⎪⎭D ．(3 5．如图，在ABC 中，13,17,AB AC AD BC ==⊥，垂足为D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于（）A ．93B ．30C ．120D ．无法确定 6．已知锐角△ABC 的三边长恰为三个连续整数，AB ＞BC ＞CA ，若边BC 上的高为AD ，则BD ﹣DC ＝（）A ．3B ．4C ．5D ．67．如图，90ABC ︒∠=，//AD BC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ．若6AB =，10BC =，则EF 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm ，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分()h cm 的取值范围为（）A ．34h <<B ．34h ≤≤C ．24h ≤≤D ．4h = 9．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ．若CD ＝2，BD ＝4，则AC 的长为( )A ．4B ．3C ．23D ．3 10．以下列各数作为长度的线段，能构成直角三角形的是（） A ．1,2,3B ．3,4,6C ．1,2,3D ．7,15,17 11．下列条件能使ABC （a ，b ，c 为ABC 的三边长）为直角三角形的是（）A ．a b c +=B ．::4:5:3a b c =C ．2A B C ∠+∠=∠D ．::5:12:13A B C ∠∠∠= 12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（）A ．152B ．152C ．3D ．125二、填空题13．已知在ABC 中，45ABC ︒∠=，32AB =，1BC =，且以AB 为边作等腰Rt ABD ，90ABD ︒∠=，连结CD ，则CD 的长为________．14．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC 、BC 为斜边作等腰直角三角形 S 1、S 2，以AB 为边作正方形S ．若S 1与S 2的面积和为9，则正方形S 的边长等于_______．15．如图所示，在ABC 中，90C DE ∠=︒,垂直平分AB ，交BC 于点E ，垂足为点D ，8,15BE B =∠=︒，则EC 的长为________________________．16．如图，已知圆柱的底面周长为10cm ，高AB 为12cm ，BC 是底面的直径，一只蚂蚁沿着圆柱侧面爬行觅食从点C 爬到点A ，则蚂蚁爬行的最短路线为________cm ．17．如图，等腰直角ABC 中，90,4ACB AC BC ∠=︒==，D 为BC 的中点，25AD =，若P 为AB 上一个动点，则PC PD +的最小值为_________．18．“东方之门”座落于美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被评为“中国最高的空中苏式园林”．现以现代大道所在的直线为x 轴，星海街所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示的实际距离为100米），东方之门的坐标为4(6,)A -，小明所在位置的坐标为(2,2)B -，则小明与东方之门的实际距离为___________米．19．在平面直角坐标系中，点A(0，－3)，B(4a ＋4，－3a)，则线段AB 的最小值为 ___________．20．将一根24cm 的筷子，置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm ，则h 的最小值__，h 的最大值__．三、解答题21．在△ABC 中，D 是BC 上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC 的面积．22．有一块四边形草地ABCD （如图），测得10AB AD ==m ，26CD =m ，24BC =m ，60A ∠=︒．（1）求ABC ∠的度数；（2）求四边形草地ABCD 的面积．23．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米．（1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？24．如图①，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，以C 为顶点作45DCE ∠=︒，且CD CE 、分别与AB 相交于D E 、两点，将ACD △绕点C 逆时针旋转90︒得到BCF △．（1）若64AD EB ==,，求DE 的长；（2）若将DCA ∠绕点C 逆时针旋转使CD 与AB 相交于点D ，边CE 与AB 的延长线相交于点E ，而其他条件不变，如图②所示，猜想DE 与AD EB 、之间有何数量关系？证明你的猜想．25．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是线段BC 上的动点（BD ＞CD ），作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E ，作直线CE ，交射线AD 于点F ．连接AE ，BF ．（1）依题意补全图形，直接写出∠AFE 的度数；（2）用等式表示线段AF ，CF ，BF 之间的数量关系，并证明．26．如图，在ABC 中，90C ∠=︒．（1）尺规作图：在BC 上作点D ，使得DA DB =；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若3AC =，15B ∠=︒，求BC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】本题可通过作辅助线进行解决，延长CB 到E ，使BE=DC ，连接AE ，AC ，先证两个三角形全等，利用直角三角形的面积与四边形的面积相等进行列式求解．【详解】解：延长CB 到E ，使BE=DC ，连接AE ，AC ，∵∠ABE=∠BAC+∠ACB ，∠D=180°-∠DAC-∠DCA ，∵∠BAD=90°，∠BCD=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°-∠DAC+90°-∠DCA=180°-∠DAC-∠DCA ，∴∠ABE=∠D ，在△ABE 和△ADC 中，BE DC ABE D AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC(SAS)，∴AE=AC ，∠EAB=∠DAC ，∴∠EAC=90°，∴S △AEC =12AE 2=14CE 2， ∵S △AEC =S 四边形ABCD =16， ∴14CE 2=16， ∴CE=8， ∴BC+CD=BC+BE=CE=8，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，面积及等积变换问题；巧妙地作出辅助线，把四边形的问题转化为等腰直角三角形来解决是正确解答本题的关键．2．D解析：D【分析】直接利用勾股定理的逆定理验证即可．【详解】A 、∵222125+==， ∴以1、2为三边的三角形是直角三角形，A 不符合题意；B 、∵22234255+==，∴以3、5、4为三边的三角形是直角三角形，B 不符合题意；C 、∵22251216913+==，∴以5、12、13为三边的三角形是直角三角形，C 不符合题意；D 、∵2221310+=≠，∴以1、3为三边的三角形不是直角三角形，D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3．B解析：B【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.4．A解析：A【分析】先过点A作AD⊥OB，根据△ABC是等边三角形，求出AC=BC，CD=BD，∠ACB=60°，再根据点B、C的坐标，求出CB的长，再根据勾股定理求出AD的值，从而得出点A的坐标．【详解】过点A作AD⊥OB，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，CD=BD，∠ACB=60°，∵点B 的坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，点C 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴BC=2，OC=12 ∴CA=2，∴CD=1，∴∵OD=CD-CO∴OD=1-12=12∴点A 的坐标是12⎛⎝．故选A ．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是勾股定理，关键是作出辅助线，求出点A 的坐标．5．C解析：C【分析】由,AD BC ⊥结合勾股定理可得：2222,AC AB DC BD -=-2222MC MB DC BD -=-，再把已知线段的长度代入计算即可得到答案．【详解】解：,AD BC ⊥222222,,AB AD BD AC AD DC ∴=+=+22222222,AC AB AD DC AD BD DC BD ∴-=+--=-1713AC AB ==，，22221713304120DC BD ∴-=-=⨯=，,AD BC ⊥222222,,MC MD DC BM BD DM ∴=+=+22222222120.MC MB MD DC DM BD DC BD ∴-=+--=-=故选：.C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解决问题是解题的关键．6．B解析：B【分析】根据勾股定理,因AD 为公共边可以得到AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2再把三边关系代入解答即可．【详解】解：设BC ＝n ，则有AB ＝n ＋1，AC ＝n ﹣1，AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2，∴ AB 2﹣AC 2＝BD 2﹣CD 2∴ （n ＋1）2﹣（n ﹣1）2＝（BD ﹣CD ）n ，∴BD ﹣CD ＝4，故选：B ．【点睛】此题主要考查了勾股定理，根据题意得出 BD ﹣CD 的长是解题关键．7．B解析：B【分析】根据题意结合勾股定理可求出AE 长，再根据//AD BC ，可证明AEB CBF ∠=∠，即可证明()ABE FCB AAS ≅，得出结论BF=AE ，即可求出EF ．【详解】根据题意可知BC=BE=10，90BAE BFC ∠=∠=︒．在Rt ABE △中，22221068AEBE AB ． ∵//AD BC ，∴AEB CBF ∠=∠，∴()ABE FCB AAS ≅，∴BF=AE=8，∴EF=BE-BF=10-8=2．故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质以及勾股定理．利用“角角边”证明ABE FCB ≅是解答本题的关键．8．B解析：B根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm ）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长，高为12cm ，由勾股定理可得：杯里面管长＝13cm ，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm ），∴34h ≤≤故选：B ．【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．9．C解析：C【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD ，再用勾股定理即可求出AC ．【详解】解：∵点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，BD=4，∴AD=BD=4， ∴22224223ACAD CD ；故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 10．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、222123+≠，∴不能构成直角三角形，故A 错误；B 、222346+≠，∴不能构成直角三角形，故B 错误；C 、(22212+=，∴能构成直角三角形，故C 正确； D 、22271517+≠，∴不能构成直角三角形，故D 错误．故选：C ．本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．11．B解析：B【分析】根据三角形三边关系可分析出A 的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B 的正误；根据三角形内角和定理可分析出C 、D 的正误；【详解】解：A 、a b c +=，不能组成三角形，不是直角三角形；B 、222a c b +=，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C 、由∠A+∠B=2∠C ，可得∠C=60°，∠A+∠B=120°，不一定是直角三角形；D 、由∠A ：∠B ：∠C=5：12：13，可得最大角131807830C ∠=︒⨯=︒，不是直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理． 12．D解析：D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF 的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度．【详解】在AB 上取一点G ，使AG ＝AF∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴AB=5，∵∠CAD ＝∠BAD ，AE ＝AE ，∴△AEF ≌△AEG （SAS ）∴FE ＝GE ，∴要求CE+EF 的最小值即为求CE+EG 的最小值，故当C 、E 、G 三点共线时，符合要求，此时，作CH ⊥AB 于H 点，则CH 的长即为CE+EG 的最小值，此时，AC BC AB CH =，∴CH=·AC AB BC =125，即：CE+EF 的最小值为125，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．二、填空题13．或5【分析】根据点C 和点D 与AB 的位置关系分类讨论分别画出对应的图形根据等腰直角三角形的性质勾股定理分别求解即可【详解】解：若点C 和点D 在AB 的同侧时如下图所示延长BC 交AD 于E ∵△ABD 为等腰直角解析：13或5【分析】根据点C 和点D 与AB 的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求解即可．【详解】解：若点C 和点D 在AB 的同侧时，如下图所示，延长BC 交AD 于E∵△ABD 为等腰直角三角形，∠ABD=90°，45ABC ︒∠=∴BD=32AB =∠DBC=∠ABD －∠ABC=45°∴226AB BD +=，∠DBC=∠ABC∴BE ⊥AD ，BE 是AD 的中线 ∴BE=DE=12AD=3 ∴CE=BE －BC=2在Rt △CDE 中，2213CE DE +=若点C 和点D 在AB 的两侧时，如下图所示，过点D 作DE ⊥CB 交CB 延长线于E∵△ABD 为等腰直角三角形，∠ABD=90°，45ABC ︒∠=∴BD=32AB =∠DBE=180°－∠ABD －∠ABC=45°∴△EDB 为等腰直角三角形，DE=BE∵DE 2＋BE 2=BD 2∴2DE 2=(232解得：DE=3∴BE=3∴CE=BE ＋BC=4在Rt △CDE 中，225CE DE +=；综上：135． 135．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质及判定和勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质及判定、勾股定理和分类讨论的数学思想是解题关键． 14．6【分析】过D 作DE ⊥AC 于E 根据等腰直角三角形的性质推出DE=AE=CE=AC 求得同理：求出=36根据勾股定理得求出S==36即可得到答案【详解】如图：过D 作DE ⊥AC 于E ∵△ACD 是等腰直角三角解析：6【分析】过D 作DE ⊥AC 于E ，根据等腰直角三角形的性质推出DE=AE=CE=12AC ，求得21111224S AC AC AC =⋅=，同理：2214S BC =，求出22AC BC +=36，根据勾股定理得222AC BC AB +=，求出S=2AB =36，即可得到答案．【详解】如图：过D 作DE ⊥AC 于E ，∵△ACD 是等腰直角三角形，∴AD=CD ，90D ∠=︒，45CAD ACD ∠=∠=︒，∴AE=CE ，45ADE CDE ∠=∠=︒，∴CAD ACD ADE CDE ∠=∠=∠=∠，∴DE=AE=CE=12AC ，∴21111224S AC AC AC =⋅=，同理：2214S BC =， ∴221211944S S AC BC +=+=， ∴22AC BC +=36，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，222AC BC AB +=，∴S=2AB =36，∴正方形S 的边长等于6，故答案为：6．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握与运用等腰直角三角形的性质是解题的关键．15．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC 根据线段垂直平分线性质求出求出然后求出∠EAC 根据含30°角的直角三角形的性质求解即可【详解】解：∵在△ABC 中∴∵垂直平分∴∴∴∵∴∴∴在Rt △ECA 中故答解析：3【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据线段垂直平分线性质求出8BE AE ==，求出15EAB B ∠=∠=︒，然后求出∠EAC ，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵在△ABC 中，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，∴901575BAC ∠=︒-︒=︒，∵DE 垂直平分AB ，8BE =，∴8BE AE ==，∴15EAB B ∠=∠=︒，∴751560EAC ∠=︒-︒=︒，∵90C ∠=︒，∴30AEC ∠=︒，∴184221AC AE =⋅=⨯=， ∴在Rt △ECA 中， 2264164843EC AB AC =-=-==，故答案为：43．【点睛】本题考查了三角形的边长问题，掌握三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．16．13【分析】把圆柱沿母线AB 剪开后展开点C 展开后的对应点为C′利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AC′然后利用勾股定理计算出AC′即可【详解】把圆柱沿母线AB 剪开后展开点C 展开后的对应点解析：13【分析】把圆柱沿母线AB 剪开后展开，点C 展开后的对应点为C′，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AC′，然后利用勾股定理计算出AC′即可．【详解】把圆柱沿母线AB 剪开后展开，点C 展开后的对应点为C′，则蚂蚁爬行的最短路径为AC′，如图，∵AB ＝12， BC′＝5，在Rt △ABC′，AC′2251213+=∴蚂蚁爬行的最短路程为13cm ．故答案是：13【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．17．【分析】根据中点的含义先求解作点C 关于AB 对称点则连接交AB 于P 连接此时的值最小由对称性可知于是得到再证明然后根据勾股定理即可得到结论【详解】解：为的中点作点C 关于AB 对称点交于则连接交AB 于P 连接解析：5【分析】根据中点的含义先求解,BD 作点C 关于AB 对称点C '，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '，此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小，由对称性可知45C BA CBA '∠=∠=︒，,AB CC '⊥于是得到90C BC '∠=︒，再证明4BC BC '==，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：4AC BC D ==，为BC 的中点，90ACB ∠=︒，2CD BD ∴==， 45CBA ∠=︒，作点C 关于AB 对称点C '，CC '交AB 于O ，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '．此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小．由对称性可知45C BA CBA '∠=∠=︒，,AB CC '⊥ ∴90C BC '∠=︒，∴BC BC '⊥，点C 关于AB 对称点C '，∴AB 垂直平分CC '，∴4BC BC '==，根据勾股定理可得22422 5.DC '+= 故答案为：5【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P 何位置时，使PC+PD 的值最小是解题的关键．18．【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB 的长度再根据个单位长度表示的实际距离为米求出结果即可【详解】解：如图AC=6-（-2）=8BC=2-（-4）=6∴∴小明与东方之门的实际距离为10×10解析：1000【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB 的长度，再根据1个单位长度表示的实际距离为100米求出结果即可．【详解】解：如图，AC=6-（-2）=8，BC=2-（-4）=6 ∴2222=6+8=10AB BC AC +∴小明与东方之门的实际距离为10×100=1000（米）故答案为：1000．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键． 19．【分析】根据勾股定理可得整理配方即可求解【详解】解：根据勾股定理可得：∵∴线段AB 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理的应用完全平方公式的应用根据勾股定理表示出是解题的关键解析：245【分析】根据勾股定理可得()()2224433AB a a =++-，整理配方即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得：()()22222757644332514255525AB a a a a a ⎛⎫=++-=++=++ ⎪⎝⎭， ∵27576576552525a ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭， ∴线段AB 的最小值为245，故答案为：245．【点睛】本题考查勾股定理的应用、完全平方公式的应用，根据勾股定理表示出2AB 是解题的关20．11cm12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小利用勾股定理计算即可【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大h最大=24﹣12=12（cm解析：11cm 12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，此时，在杯子内的长度=13（cm），故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范围是11≤h≤12cm．故答案为：11cm；12cm．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．三、解答题21．△ABC的面积为84．【分析】先根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．【详解】∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，，∴BC=BD+CD=6+15=21，∴S△ABC=12BC•AD=12×21×8=84．∴△ABC的面积为84．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．22．（1）150°；（2）（m2）【分析】（1）连接BD，可得∆ABD是等边三角形，利用勾股定理的逆定理得∠DBC=90°，进而即可（2）过点A 作AP ⊥BD 于点P ，可得AP=53，结合三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）连接BD ，∵10AB AD ==m ，∠A=60°∴∆ABD 是等边三角形，∴∠ABD=∠A=60°，BD=10AB AD ==m ，∵26CD =m ，24BC =m ， ∴BD 2+BC 2=CD 2，∴∠DBC=90°，∴∠ABC=90°+60°=150°；（2）过点A 作AP ⊥BD 于点P ，则BP=DP=12BD=5m ，AP=2253AD DP -=， ∴四边形草地ABCD 的面积=S ∆ABD +S ∆CBD =12BD∙AP+12BC∙BD=12×10×53+12×10×24=253+120（m 2）．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质以及勾股定理的逆定理，添加辅助线，构造直角三角形和等边三角形，是解题的关键．23．（1）7米；（2）不是【分析】（1）利用勾股定理直接求出边长即可；（2）梯子的顶端下滑了4米，则20a =米，利用勾股定理求出b 的值，判断是否梯子的底部在水平方向也滑动了4米．【详解】（1）如图，由题意得此时a ＝24米，c ＝25米，由勾股定理得222+=a b c ，∴2225247b =-=（米）；（2）不是，如果梯子的顶端下滑了4米，此时20a =米，25c =米，由勾股定理，22252015b =-=（米），1578-=（米），即梯子的底部在水平方向滑动了8米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握用勾股定理解直角三角形的方法． 24．（1）213DE =；（2）222DE AD BE =+，证明见解析．【分析】（1）证明△ECD ≌△ECF （SAS ），然后证明∠EBF=90°，利用全等三角形的性质以及勾股定理解决问题即可．（2）利用全等三角形的性质以及勾股定理解决问题即可．【详解】解：如图①中，∵ACD △绕点C 逆时针旋转90︒得到BCF △∴90ACD BCF ACB DCF ∠=∠=︒≌， ∴6ACD BCF A CBF CD CF AD BF ∠=∠∠=∠===，，， ∵45DCE ∠=︒ ∴45DCE ECF ∠=∠=︒ ∵CE CE = ∴ECD ECF ≌ ∴DE EF = ∵90AC BC ACB =∠=︒， ∴45A ABC CBF ∠=∠=∠=︒ ∴90EBF ∠=︒∴222246213DE EF BE BF ==+=+=（2）解：222DE AD BE =+理由：如图②中，连接EF∵CBF 是由CAD ∠旋转得到∴45ACD BCF CD CF AD BF A CBF ∠=∠==∠=∠=︒，，，∴90ACB DCF ∠=∠=︒∵45DCE ∠=︒∴45ECF ECD ∠=∠=︒∵CE CE =∴ECD ECF ≌∴DE EF =∵4545ABC CBF ∠=︒∠=︒，∴90ABF EBF ∠=∠=︒∴222BF BE EF +=∵BF AD EF DE ==，∴222DE AD BE =+【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 25．（1）作图见解析；45°；（2）2AF ，证明见解析【分析】（1）根据轴对称即可补全图形，延长FB 至点M 使MB=CF ，通过ABM ACF △≌△，进而证得△MAF 是等腰直角三角形，问题即可解决；（2）由（1）知△MAF 是等腰直角三角形及CF=BF ，再根据勾股定理问题即可解决；【详解】（1）补全图形，如图所示：∠AFE=45°理由如下：延长FB 至点M 使MB=CF ，∵点B 、E 关于AF 对称，∴AB=AE ，∠ABF=∠AEC ，∠AFB=∠AFE∵AB=AC ，∴AC=AE ，∴∠ACE=∠AEC‘∴180180ACE ABF ︒-∠=︒-∠ ∠ACE=∠ABF ，即：ABM ACF ∠=∠，()ABM ACF SAS ∴△≌△，,CAF AM AF MAB ∴=∠=∠，AMF=AFM MAF=BAC=90∴∠∠∠∠︒，，AFM=45∴∠︒，AFE=45∴∠︒（2）2AF理由如下：由（1）知AM=AF ，CF=MB ，MAF=90∠︒2222AF +AM =MF =2AF ∴∴2AFMF=MB BF +即MB+BF=2AF∴CF+BF=2AF，【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，构造全等三角形是解决本题的关键．26．（1）见详解；（2）6+33【分析】（1）利用尺规作出AB的中垂线，中垂线与BC的交点，即为所求；（2）连接AD，先求出∠ADC=30°，根据直角三角形的性质以及勾股定理，即可求解．【详解】（1）如图，点D即为所求；（2）连接AD，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠DAB+∠B=15°+15°=30°，在Rt∆ADC中，DA=2AC=6，∴DB=6，∵222=+，AD DC AC∴2222--=DC AD AC6333∴BC=DB+DC=6+33【点睛】本题主要考查尺规作图以及直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，是解题的关键．。

人教数学八年级下册北京教育学院附属中学第二学期期中试卷及答案.docx

初中数学试卷桑水出品北京教育学院附属中学2014-2015学年度第二学期期中八年级数学试卷 2015.4考生须知1. 本试卷共4页.正卷满分100分，附加题5分，考试时间100分钟.2. 在试卷的密封线内准确填写班级、姓名、学号.3. 在试卷上按要求作答.4. 考试结束，请将试卷按页码顺序整理好交回.一．选择题（每小题3分，共30分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把正确结论的代号写在题后的括号内. 1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，若AC=3，BC=5，则AB 等于（）. A ．34 B ．4 C ．20 D ．都不对 2. 下列各组数中，以a 、b 、c 为边长的三角形不是．．直角三角形的是（）. A ．a =3， b =4， c =5， B ．a =5， b =12， c =13 C ．a =23， b =2， c =3 D ．a =1， b =2， c =5 3. 顺次连结对角线垂直的四边形各边中点，所得四边形是（）. A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.任意四边形 4. 对于反比例函数2y x=，下列说法不正确．．．的是（）. A 、点(21)--，在它的图象上 B 、它的图象在第一、三象限C 、当0x >时，y 随x 的增大而增大D 、当0x <时，y 随x 的增大而减小 5.用配方法解一元二次方程0542=--x x 的过程中，配方正确的是（）． A ． 1)2(2=+x B ． 1)2(2=-x C ． 9)2(2=+x D ． 9)2(2=-x6. 如图，A 为反比例函数xky =图象上一点，AB ⊥x 轴与点B ，若3=∆AOB S ，则k 的值为（）. A ．3 B ．6 C ．23D ．无法确定 7. 在下列方程中，没有实数根的是（）．A ．0122=-+x x B ．02222=++x xC ．0122=++x xD ．022=++-x x 8. 在函数xy 3-=的图象上有三个点)4(1y ，-，)1(2y ，-， )3(3y ，，则函数值 1y 、2y 、3y 的大小关系是（）． A.2y <3y <1y B.3y <2y <1y C.1y <2y <3y D.3y <1y <2y9. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为正方形，需要添加的条件（）.A ．AB=CDB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．AC=BD 且AC ⊥BD10. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF ．若AD ＝3，则菱形AECF的面积为（）.A ．23B ．34C ．4D ．8 二．填空题（11--19每小题2分，20题3分，共21分）11. 已知双曲线7m y x+=在第二、四象限内，则m 的取值范围是 . 12. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90︒，∠B =40︒，D 为线段AB 的中点，则∠ACD = .13.一元二次方程052=-x x 的根是 .14.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若DE ＝6㎝，则BC ＝ cm ．15. 如图，菱形ABCD 中，若BD=24，AC=10，则AB 的长等于． 16. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，过O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，已知AD=4 cm ，图中阴影部分的面积总和为6 cm 2，则矩形的对角线AC 长为 cm ．第14题第15题第16题 17. 平行四边形ABCD 的周长为20cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若△BOC 的周长比 A D CBOB CDA A ED EO△AOB 的周长大2cm ，则CD ＝ cm .18. 如图，正方形ABCD 的边长为4，M 在DC 上，且DM=1，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值为．第18题第20题19. 平行四边形的一个角的平分线分对边为3和4两部分，则平行四边形的周长为 .20. 已知，如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为．三．解答题（第21题10分，第22-24题6分，共28分） 21. 解一元二次方程：49)52)(1(2=-x 084)2(2=-+x x.22. 已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，BE=DF 。

2021年北京师范大学附属中学八年级数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

2021年北京师范大学附属中学八年级数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，函数y kx =(0k ≠)和4y ax =+(0a ≠)的图象相交于点A 23（，），则不等式kx ＞4ax +的解集为（）A ．x ＞2B ．x ＜C ．x ＞3D ．x ＜32．给出下列命题：(1)平行四边形的对角线互相平分；(2)矩形的对角线相等；(3)菱形的对角线互相垂直平分；(4)正方形的对角线相等且互相垂直平分．其中，真命题的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．13．已知甲，乙两组数据的折线图如图所示，设甲，乙两组数据的方差分别为S 2甲，S 2乙，则S 2甲与S 2乙大小关系为（）A ．S 2甲＞S 2乙B ．S 2甲＝S 2乙C ．S 2甲＜S 2乙D ．不能确定42的等腰直角三角形与边长为3的等边三角形在同一水平线上，等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，设穿过时间为t ，两图形重合部分的面积为S ，则S 关于t 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．下列命题是真命题的是( ) A ．平行四边形对角线相等 B ．直角三角形两锐角互补C ．不等式﹣2x ﹣1＜0的解是x ＜﹣12D ．多边形的外角和为360°6．解关于x 的方程311x mx x -=--产生增根，则常数m 的值等于（） A ．-2B ．-1C ．1D ．27．如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=1，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC=∠B ；③△ADO ≌△ACH ；④=3ABCD S 菱形；其中正确的结论个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 中点，BF 平分∠ABC ．交DE 于点F ．AB ＝8，BC ＝6，则EF 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．用同一种规格的下列多边形瓷砖不能镶嵌成平面图案的是（） A ．三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形10．后面的式子中（1）13；（2）3-；（3）21x -+；（4）38；（5）213⎛⎫- ⎪⎝⎭；（6）1(1)x x ->；二次根式的个数有（）． A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题(每小题3分,共24分)11．请写出一个过点（0，1），且y 随着x 的增大而减小的一次函数解析式_____． 12．数据-2，-1，0，1，2，4的中位数是________ 。

北大附中学第二学期初二年级数学期末考试试卷

北大附中学第二学期初二年级数学期末考试试卷Revised on July 13, 2021 at 16:25 pm2006-2007学年度初二下学期期末考试数学试卷一、选择题每题3分;共24分1、已知一直角三角形的木板;三边长度的平方和为21800cm ;则斜边长为A 、80cmB 、30cmC 、90cmD 、120cm2、某服装销信商在进行市场占有率的调查时;他最应该关注的是 A 、服装型号的平均数 B 、服装型号的众数 C 、服装型号的中位数 D 、最小的服装型号3、有三个角相等的四边形是A 、矩形B 、菱形C 、正方形D 、矩形、菱形、正方形作为结论都不对 4、如图;等腰梯形ABCD 中;AD//BC;∠B ＝60°;BC=3;△ABE 的周长为6;则等腰梯形的周长是A 、8B 、10C 、12D 、165、有一组数据如下：3;6;5;2;3;4;3;6..那么这组数据的中位数是 A 、3或4 B 、4 C 、3 D 、3.56、正比例函数y x =与反比例函数1y x =的图象相交于A 、C 两点;AB x⊥轴于B ;CD y ⊥轴于D 如图;则四边形ABCD 的面积为A 、1B 、32 C 、2 D 、527、某工厂为了选择1名车工参加加工直径为10mm 的精密零件的技术比赛;随机抽取甲、乙两名车工加工的5个零件;现测得的结果如下表;请你比较2S 甲、2S 乙的大小甲 10.05 10.02 9.97 9.96 10 乙1010.0110.029.9710A 、22S S >乙甲B 、22S S =乙甲C 、22S S <乙甲D 、22S S ≤乙甲 8、若2|1|0b a -+=;则下列方程一定是一元二次方程的是 A 、250ax x b +-= B 、22(1)(3)50b x a x -++-= C 、2(1)(1)70a x b x -+--= D 、2(1)10b x ax ---= 二、填空题每空3分;共15分9、如图;在平行四边形ABCD 中;E 为AB 边的中点;BF 平分∠ABC 交AD 于F;P 是BF 上任意一点; ∠＝60°;AB=4;则PE ＋PA 的最小值为______________________..10、已知113x y -=;则分式2322x xy yx xy y+---的值为_____________..11、函数213x y x +=-的自变量x 的取值范围是________;其图像与x 轴的交点坐标为_____________..12、如图;将一块边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E;使DE=5;折痕为PQ;则PQ 的长为____________.. 三、解答题共61分13、4分计算：2301()20.1252007|1|2---⨯++-14、4分已知实数a 满足2320a a +-=;求22212211144a a a a a a a +-+-⨯+-++的值.. 15、4分解分式方程11322x x x --=--； 16、4分解方程235(21)0x x ++=17、5分某公司对应聘者进行面试;按专业知识;工作经验;仪表形象给应聘者打分;这三个方面的重要性之比为6:3:1;对应聘的王丽、张瑛两人打分如右表：如果两人中只录取一人;若你是人事主管;你会录用谁说说你的理由..18、5分如图;在菱形ABCD 中;∠BAD=80°;AB 的垂直平分线对角线AC 于点F;E 为垂足;连结DF;求∠CDF 的度数..19、5分如图所示;已知B 、C 两个乡镇相距25千米;有一个自然保护区A 与B 相距15千米;与C 相距20千米;以点A 为圆心;10千米为半径是自然保护区的范围;现在要在B 、C 两个乡镇之间修一条笔直的公路;请问：这条公路是否会穿过自然保护区试通过计算加以说明.. 20、5分如图;在梯形ABCD 中;AD//BC;AB=DC=AD;∠C=60°;AE ⊥BD 于点E;AE=1;求梯形ABCD 的高..21、4分你去过黄山吗在黄山的上山路上;有一些断断续续的台阶;如图间其中的甲、乙两段台阶路的示意图;图中的数字表示每一级台阶的高度单位：cm;并且数d;e;e;c;c;d 的方差为p;平均数为m ；数b;d;g;f;a;h 的方差为q;平均数m 10cm a b c d e f g h 20cm <<<<<<<<<.且p q <;请你用所学过的有关统计知识平均数、中位数、方差和极差回答下列问题： 1两段台阶路有哪些相同点和不同点 2哪段台阶路走起来更舒服为什么3为方便游客行走;需要重新整修上山的小路;对于这两段台阶路;在台阶数不变的情况下; 请你提出合理的整修建议..22、8分在△ABC 中;借助作图工具可以作出中位线EF;沿着中位线EF 一刀剪切后;用得到的△AEF 和四边形EBCF 可以拼成平行四边形EBCP;剪切线与拼图如图示1;仿上述的方法;按要求完成下列操作设计;并在规定位置画出图示;1在△ABC 中;增加条件___________________;沿着___________一刀剪切后可以拼成矩形;剪刀线与拼图画的图示2的位置；2在△ABC 中;增加条件___________________;沿着___________一刀剪切后可以拼成菱形;剪刀线与拼图画的图示3的位置；3在△ABC 中;增加条件___________________;沿着___________一刀剪切后可以拼成正方形;剪刀线与拼图画的图示3的位置；4在△ABCAB ≠AC 中;一切剪切后也可以拼成等腰梯形;剪切线与拼图画在图示5的位置..图示2 图示3图示4 图示523、5分已知关于x 的方程22(1)kx k -+ 10x k +-=有两个不相等的实数根;1求k 的最小整数值：2并求出此时这个方程的解24、8分如图;已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ;与双曲线2ky x=(0)x <分别交于点C 、D ;且C 点的坐标为(1,2)-.. 1分别求出直线AB 及双曲线的解析式； 2求出点D 的坐标；3利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时;12y y >.. 4在坐标轴上找一点M;使得以M 、C 、D 为顶点的三角形是等腰三角形;请写出M 的坐标.. 选做题20分：25、如图;在平面直角坐标系O x y 中;直线323y x =-+分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点..将射线AM 绕着点A 顺时针旋转45°得到射线AN..点D 为AM 上的动点;点B 为AN 上的动点;点C 在∠MAN 的内部.. 1求线段AC 的长；2当AM//x 轴;且四边形ABCD 为梯形时;求△BCD 的面积； 3求△BCD 周长的最小值；4当△BCD 的周长取得最小值;且5BD 23=时;△BCD 的面积为___________________.. 第4问只需要填写结论;不要求书写过程26、二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示..已知它的顶点M 在第二象限;且经过点A1;0和点B0;1..1请判断实数a 的取值范围;并说明现由；2设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为C;当△AMC 面积为△ABC 面积的54倍时;求a 的值..。

精品解析：北京市海淀区首都师范大学附属中学2022~2023学年八年级下学期数学开学测试题(解析版)

2022－2023学年第二学期阶段性调研数学一、选择题1.第24届冬奥会于2022年2月20日在世界首个“双奥之城”—北京圆满落下帷幕．下面是从历届冬奥会的会徽中选取的部分图形，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此判断即可．【详解】解：A 、沿一条直线折叠，直线两旁部分不能完全重合，故不是轴对称图形，不符合题意；B 、沿一条直线折叠，直线两旁部分不能完全重合，故不是轴对称图形，不符合题意；C 、沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合，故是轴对称图形，符合题意；D 、沿一条直线折叠，直线两旁部分不能完全重合，故不是轴对称图形，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义是解本题的关键．2.地处北京怀柔科学城的“北京光源”（HEPS ）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm ）级．1nm 0.000000001=m ．将0.000000001用科学记数法表示应为（）A.8110-⨯ B.9110-⨯ C.101010-⨯ D.80.110-⨯【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】解：90.000000001110-=⨯.故选B ．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3.下列计算正确的是（）A.（x 3）3=x 6B.a 6•a 4=a 24C.（﹣mn ）4÷（﹣mn ）2=m 2n 2D.3a+2a=5a 2【答案】C【解析】【分析】利用幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则进行计算.【详解】解：（x 3）3=x 9A.错误；a 6•a 4=a 10B.错误（﹣mn ）4÷（﹣mn ）2=m 2n 2，C.正确3a+2a=5a ，D.错误故选C.【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及单项式除以单项式，掌握),,m n mn m n m n m n m n a a a a a a a a -+=÷==（是本题的解题关键.4.如图所示的正五边形和等边三角形的一边重合，则α∠的度数是（）A.48︒B.58︒C.60︒D.108︒【答案】A【解析】【分析】分别算出正五边形一个内角度数和等边三角形一个内角度数，即可得出答案．【详解】解：正五边形的一个内角为：3601801085︒︒-=︒，等边三角形的一个内角为60︒，∴1086048a =︒-︒=︒，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正五边形的内角和等边三角形的内角，解题的关键是求出正五边形一个内角度数和等边三角形一个内角度数．5.多项式A 与2x y +的乘积含有xy -项，那么A 可能是（）A.3x y- B.2x y - C.1x- D.2y -【答案】C【解析】【分析】将四个选项中的多项式与2x y +相乘，求出结果，再进行判断即可．【详解】解：A ．∵()()2222236236x y x y x xy xy y x xy y +-=-+-=+-，∴多项式3x y -与2x y +的乘积不含xy -项，故A 不符合题意；B ．∵()()22224x y x y x y +-=-，∴多项式2x y -与2x y +的乘积不含xy -项，故B 不符合题意；C ．∵()()22122x y x x x y xy +-=-+-，∴多项式1x -与2x y +的乘积含有xy -项，故C 符合题意；D ．∵()()222422x y xy x y y y -+=-+-，∴多项式2y -与2x y +的乘积不含有xy -项，故D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算．6.如图，在ABC 中，AB AC =，30C ∠=︒，AD BC ⊥，DE AC ⊥．若1DE =，则BD 的长是（）A.1B.C.D.2【答案】D【解析】【分析】根据含有30︒角的直角三角形的性质可得2DC =，由等腰三角形的性质，可得2BD CD ==，即可得到答案．【详解】解：DE AC ⊥，1DE =，30C ∠=︒，22DC DE ∴==，AB AC =，AD BC ⊥，2BD CD ∴==，故选：D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、含有30︒角的直角三角形的性质，熟练掌握含有30︒角的直角三角形的性质，是解题的关键．7.如果25m m +=，那么代数式()()222m m m -++的值为（）A.-6B.-1C.9D.14【答案】D【解析】【分析】先利用整式的乘法与加减法、完全平方公式化简所求代数式，再将已知等式作为整体代入即可得．【详解】解：()()222m m m -++，22244m m m m =-+++，2224m m =++，由25m m +=得：22210m m +=，则原式10414=+=，故选：D ．【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、代数式求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．8.如图，OA OD ⊥，2OA =，P 是射线OD 上的一个动点，连接AP ，以A 为直角顶点向右作等腰直角PAB ，在OD 上取一点C ，使45BCO ∠=︒，当P 在射线OD 上自O 向D 运动时，PC 长度的变化（）A.一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.保持不变【答案】D【解析】【分析】过点B 作BH OA ⊥于H ，BG OC ⊥于G ，先证明()AAS POA AHB ≅，得2OA BH ==，OP AH =，利用等量代换即可求解．【详解】解：过点B 作BH OA ⊥于H ，BG OC ⊥于G ，ABP 是等腰直角三角形，AB AP =∴，90BAP ∠=︒，90PAO BAH ∴∠+∠=︒，90PAO OPA ∠+∠=︒，OPA BAH ∴∠=∠，在POA 和AHB 中，O AHB OPA BAH AP AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS POA AHB ∴≅，2OA BH ∴==，OP AH =，45BCO ∠=︒，BG OC ⊥，CGB ∴是等腰直角三角形，CG BG ∴=，()PC CG PG OA AH OP OG ∴=-=+--OA AH OP OG=+-+4OA OG =+=，PC ∴的长度保持不变，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是构造全等三角形进行求解．二、填空题9.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______．【答案】1x ≥【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．∴x -1≥0，解得x ≥1．故答案为：x ≥1．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．10.分解因式：233x -=_____．【答案】3(1)(1)x x +-【解析】【分析】先提取公因式，再用平方差公式即可求解．【详解】233x -()231x =-()()311x x =+-，故答案：()()311x x +-．【点睛】本题考查了用提公因式法和平方差公式分解因式的知识．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．因式分解是恒等变形．因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止．11.如图，在正方形方格中，点A ，B ，C 在格点上，则ACB ABC ∠+∠=______°．【答案】45︒【解析】【分析】由网格可知AD BD =且90ADB ∠=︒，再根据三角形外角的性质即可求解．【详解】解：如图，∵AD BD =，且90ADB ∠=︒∴45DAB ∠=︒∵DAB ACB ABC∠=∠+∠∴45ACB ABC ∠+∠=︒故答案为：45︒．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．12.使分式211x x -+的值为0，这时x =_____．【答案】1【解析】【详解】由题意得211x x -+＝0，所以x 2-1=0且x +1≠0，解之得x =1，故答案为：1．13.将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，观察下图，你能写出的等式是______．【答案】222+=a b c 【解析】【分析】用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案．【详解】解：大正方形的边长为()a b +，因此面积可以表示为()2a b +，大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为221422c ab c ab +⨯=+，因此()222a b c ab +=+，即22222a ab b c ab ++=+，∴222+=a b c ．故答案为：222+=a b c ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积．14.如图，在ABC 中，8AB AC ==，4BC =，D 是BC 的中点，DE AB ∥，则CDE 的周长为______．【答案】10【解析】【分析】连接AD ，根据8AB AC ==，D 是BC 的中点，得出AD BC ⊥，CAD BAD ∠=∠，根据DE AB ∥，得出BAD ADE ∠=∠，证明EAD EDA ∠=∠，得出DE AE =，得出2810CD DE CE CD AE CE CD AC ++=++=+=+=．【详解】解：连接AD ，如图所示：∵D 是BC 的中点，4BC =，∴122CD BC ==，∵8AB AC ==，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥，CAD BAD ∠=∠，∵DE AB ∥，∴BAD ADE ∠=∠，∴EAD EDA ∠=∠，∴DE AE =，∴2810CD DE CE CD AE CE CD AC ++=++=+=+=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明DE AE =．15.若2003006n >，则n 的最小正整数解为______．【答案】15【解析】【分析】先根据()1002002n n =，()100300366=，n 为正整数，得出当236n >时，2003006n >，得出36n >根据1415<<，，即可得出结果．【详解】解：∵()1002002n n =，()100300366=，n 为正整数，∴当236n >时，2003006n >，∴n >即n >，∵221421615<<，∴1415<<，∴最小的正整数n 为15．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，无理数的估算，解题的关键是根据积的乘方运算得出当236n >时，2003006n >．16.某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U V W ，，，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a b c ，，，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．在所有的执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是______→______→______．（请分别填入U V W ，，）【答案】①.U ②.V ③.W【解析】【分析】根据题意可得，共有六种顺序，分别求出每一种顺序中三项任务“相对等待时间”之和，由此能求出六种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小顺序．【详解】解：当执行顺序为U V W →→时，三项任务相对等待时间之和为：1a a a b a a b a b c S a a b a b c+++++++=+++++，当执行顺序为U W V →→时，三项任务相对等待时间之和为：2a a a c a a c a b c S a a c a b c+++++++=+++++，当执行顺序为V U W →→时，三项任务相对等待时间之和为：3b b b a b b a b a c S b b a b a c +++++++=+++++，当执行顺序为V W U →→时，三项任务相对等待时间之和为：4b b b c b b c b c a S b b c b c a+++++++=+++++，当执行顺序为W U V →→时，三项任务相对等待时间之和为：5c c c a c c a c a b S c c a c a b+++++++=+++++，当执行顺序为W V U →→时，三项任务相对等待时间之和为：6c c c b c c b c b a S c c b c b a+++++++=+++++，a b c <<，∴不防取123a b c ===，，，∴将123a b c ===，，代入可得：14S =，24912S =，392S =，413730S =，55912S =，67415S =，49412>，942>，137430>，59412>，74415>，∴当执行顺序为U V W →→时，三项任务相对等待时间之和最小，故答案为：U V W 、、．【点睛】本题考查简单的合情推理，解题的关键是读懂题目，理解清楚一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．三、解答题17.计算：(11332-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭【答案】2【解析】【分析】根据平方差公式，二次根式性质，负整数指数幂运算法则，进行计算即可．【详解】解：(11332-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭197212=--+9722=--+2=．【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式，二次根式性质，负整数指数幂运算法则，准确计算．18.计算：()()()221x x x x +--+．【答案】4x --【解析】【分析】根据完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则计算即可【详解】解：原式=224x x x---=4x --【点睛】本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．19.解方程：211x x x +=-【答案】2x =【解析】【分析】根据解分式方程的步骤，即去分母化为整式方程，解整式方程，检验，解方程即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以(1)x x -，去分母，得22(1)(1)x x x x -+-=，去括号，得2222x x x x -+-=，移项、合并同类项，解得2x =．检验：当2x =时，(1)0x x -≠．所以，原分式方程的解为2x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤与方法是解决本题的关键．20.小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在ABC 中，90ACB ∠︒＝．求作：直线CD ，使得直线CD 将ABC 分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．作法：如图，①作直角边CB 的垂直平分线MN ，与斜边AB 相交于点D ；②作直线CD ．所以直线CD 就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵直线MN 是线段CB 的垂直平分线，点D 在直线MN 上，∴DC DB ＝．（）（填推理的依据）∴DCB ∠∠＝．∵90ACB ∠=︒，∴90ACD DCB ∠︒∠＝﹣，90A ∠︒∠＝﹣．∴ACD A ∠∠＝．∴DC DA ＝．（）（填推理的依据）∴DCB △和DCA △都是等腰三角形．【答案】（1）见详解（2）垂直平分线上的点到线段两端距离相等；DBC ；DBC ；等角对等边．【解析】【分析】（1）作BC 的垂直平分线交AB 于点D ，需分别以B ，C 两点为圆心，以大于12BC 的长度作弧，分别交于M ，N 两点，然后连接MN 交AB 于点D ；（2）根据垂直平分线的性质以及等角关系填空即可．【小问1详解】如图所示：【小问2详解】证明：∵直线MN 是线段CB 的垂直平分线，点D 在直线MN 上，∴DC DB ＝．（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）∴DCB DBC ∠=∠．∵90ACB ∠=︒，∴90ACD DCB ∠︒∠＝﹣，90A DBC ︒∠=-∠．∴ACD A ∠∠＝．∴DC DA ＝．（等角对等边）∴DCB △和DCA △都是等腰三角形．故答案为：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；DBC ；DBC ；等角对等边．【点睛】本题考查垂直平分线的尺规作图与性质以及等腰三角形的相关证明；熟练掌握等腰三角形的判定方法是本题的解题关键．21.先化简，再求值：221111421a a a aa a --⎛⎫+÷- ⎪-+⎝⎭，其中1a =+．【答案】31a -【解析】【分析】先根据分式混合运算法则化简，然后再代入数据求值即可．【详解】解：221111421a a a aa a --⎛⎫+÷- ⎪-+⎝⎭()()()2111141a a a a a a a +-+-=÷--()()141111a a a a a a +=⋅-+--4111a a =---31a =-，把1a =+代入得：原式===【点睛】本题主要考查了分式化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．22.如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a 的长方体形状的无盖纸盒．如果纸盒的容积为24a b ，底面长方形的一边长为(4)b b a <，求长方形纸板的长和宽．【答案】长6a ，宽2a b+【解析】【分析】由长方体的容积除以高，再除以底面的宽可得底面的长，从而可得原长方形纸板的长和宽.【详解】解：纸盒的容积为24a b ，底面长方形的一边长为(4)b b a <，高为a ，∴长方体纸盒的长为：2444,a b a b ab b a ÷÷=÷=∴长方形纸板的长为：426,a a a +=长方形纸板的宽为：2.b a +【点睛】本题考查的是单项式除以单项式的实际应用，合并同类项，掌握“单项式除以单项式的法则：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式”是解题的关键.23.小明想探究两个关于x 的一次多项式相乘的结果中系数变化的规律，他先尝试用1x +与mx n +相乘，变化系数m 与n 的值，并记录相乘的结果如下：m12123……n112-……结果中二次项系数a121……结果中一次项系数b232-……结果中常数项c 112-3……（1）补全表格；（2）若1b =，求m 与n 满足的关系；（3）小明发现不论m 与n 如何变化，a ，b ，c 之间都存在一种永恒不变的关系，请直接写出a ，b ，c 满足的关系式______．【答案】（1）见解析（2）1m n +=（3）a c b+=【解析】【分析】（1）通过多项式与多项式相乘()()()21mx n x mx m n x n ++=+++，结合表格中的数据进行填空即可；（2）根据()()()21mx n x mx m n x n ++=+++得出当1b =时，1m n b +==；（3）根据()()()21mx n x mx m n x n ++=+++得出a m =，b m n =+，c n =，即可得出b a c =+．【小问1详解】解：∵()()()21mx n x mx m n x n ++=+++，∴当1m =，2n =-时，一次项系数()121b =+-=-；当2m =，3c =时，3n =，235b =+=，2a =；当3m =，2b =-时，235n =--=-，3a =，5c =-；填表为：m12123……n112-35-……结果中二次项系数a12123……结果中一次项系数b231-52-……结果中常数项c 112-35-……【小问2详解】解：∵()()()21mx n x mx m n x n ++=+++，∴当1b =时，1m n b +==；【小问3详解】解：∵()()()21mx n x mx m n x n ++=+++，∴a m =，b m n =+，c n =，∴a ，b ，c 满足的关系式为a c b +=．故答案为：a c b +=．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，求出()()()21mx n x mx m n x n ++=+++．24.如图，已知ABC 中，AB AC =，D 是AC 上的一点，BC =3BD =，1CD =，求AB 的长．【答案】5【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理可得BCD △为直角三角形，根据勾股定理即可求得．【详解】在BCD △中，10BC =3BD =，1CD =则2222223110=BD CD BC +=+=∴BCD △为直角三角形即CD AC⊥在Rt △ABD 中，222AB AD BD =+即()22213AB AB =-+解得：5AB =【点睛】本题考察了勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理判定BCD △为直角三角形．25.如图1，我们在2019年10月的日历中发现一种“结构”，现定义一种“结构”运算，(),,,2a b c d bd ac a =--，可以发现，对于符合结构要求的四个数，运算结果是相同的．如101691529192518242187⨯-⨯-⨯=⨯-⨯-⨯=，（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置的“结构”运算，可以发现相应的“结构”运算结果也是一个定值，则这个定值为______．（2）若将正整数依次填入k 列的长方形数表中()3k ≥，继续前面的探究，可以发现相应“结构”运算结果是与列数k 有关的定值，请用k 表示出这个定值，并证明你的结论．【答案】（1）5（2）k ；证明见解析【解析】【分析】（1）设a x =，则1b x =+，4c x =+，5d x =+，然后根据多项式乘多项式运算法则，代入进行计算即可；（2）设a m =，则1b m =+，1c m k =+-，d m k =+，然后根据多项式乘多项式运算法则，代入进行计算即可得出规律．【小问1详解】解：设a x =，则1b x =+，4c x =+，5d x =+，∴(),,,2a b c d bd ac a=--()()()1542x x x x x=++-+-226542x x x x x=++---5=；故答案为：5．【小问2详解】解：“结构”运算的结果为k ，理由如下：设a m =，则1b m =+，1c m k =+-，d m k =+，∴(),,,2a b c d bd ac a=--()()()112m m k m m k m=++-+--222m km m k m km m m=+++--+-k =．【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算．26.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 是BC 上的一点（不含端点，BD CD >），点E 与点B 关于AD 对称．连接BE 交AC 于点F ，过点C 作直线l AC ⊥交射线AE 于点P ．（1）依据题意补全图；（2）若25CAD ∠=︒，求APC ∠的值；（3）求证：AF CP AP +=．【答案】（1）见解析（2）50︒（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质可得70ADB ∠=︒，65BAD ∠=︒，根据对称的性质可得2130BAE BAD ∠=∠=︒，求得9040CAP BAE ∠=∠-︒=︒，根据三角形的内角和定理即可求得；（3）延长PC ，和AD 的延长线交于点G ，根据全等三角形判定和性质可得AF CG =，AGP AFB ∠=∠，等量代换可得AGP PAG ∠=∠，根据等角对等边可得AP PG =，即可求得．【小问1详解】【小问2详解】∵90BAC ∠=︒，AB AC=∴45ABC ACB ∠=∠=︒∵25CAD ∠=︒∴70ADB ∠=︒，65BAD ∠=︒∵点E 与点B 关于AD 对称∴2130BAE BAD ∠=∠=︒∴9040CAP BAE ∠=∠-︒=︒在Rt ACP 中，9050APC CAP ∠=︒-∠=︒【小问3详解】如图：延长PC ，和AD 的延长线交于点G∵AB AC CH ==，90BAC ACP ∠=∠=︒，AG BE⊥∴90GAF AFB ∠=︒-∠，90ABF AFB∠=︒-∠∴GAF ABF∠=∠∴BAF ACG≌∴AF CG =，AGP AFB∠=∠∵90GAF AFB ∠=︒-∠，90GAF BAG∠=︒-∠∴AFB BAG AGP∠=∠=∠∴AGP PAG∠=∠∴AP PG=故AF CP AP+=【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对称的性质，全等三角形判定和性质，等角对等边等，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质构建全等三角形．27.在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点1P 关于y 轴对称，点1P 和点2P 关于直线l 对称，则称点2P 是点P 关于y 轴、直线l 的“二次对称点”．（1）若点()2,0P -，直线l 是经过()0,1且平行于x 轴的一条直线，则点P 的“二次对称点”的坐标为______；（2）如图1，点(),0A a 是x 轴正半轴上的一个动点，直线l 经过原点且与x 轴正半轴的夹角为30︒，若点B 是点A 关于y 轴，直线l 的“二次对称点”，求线段AB 的长度（用含a 的代数式表示）；（3）如图2，()(),00T t t >是x 轴上的动点，线段RS 经过点T ，且点R 、点S 的坐标分别是(),1R t ，(),2S t -，直线l 经过()0,1且与x 轴夹角为60°，在点T 的运动过程中，若线段RS 上存在点N ，使得点N '是点N 关于y 轴，直线l 的“二次对称点”，且点N '在y 轴上，则点N '纵坐标y 的取值范围是______．【答案】（1）()2,2（2（3）满足条件的N '纵坐标的取值范围是51N y '-≤<．【解析】【分析】（1）根据题目中的定义进行求解即可；（2）点A 关于y 轴的对称点为点C ，点C 关于直线l 的对称点为点B ，连接BO ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，证明BOC 为等边三角形，根据等边三角形性质得出1122OD OC a ==，2BD a ==，得出B 的坐标为13,22a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，根据两点间距离公式求出结果即可；（3）当点N 与点S 重合，且N '在y 轴上时，连接SN ''交直线l 于点K ，交y 轴于点J ，连接KN '，设直线l 与x 轴，交于点D ，交y 轴于点C ，求出此时点N '的纵坐标为5-；当点T 与原点重合时，N 与()0,1重合，此时点N '，N ''都与()0,1重合，此时点N '的纵坐标为1，结合图象即可得出答案．【小问1详解】解：∵点()2,0P -，∴点P 关于y 轴的对称点为()2,0，∵直线l 是经过()0,1且平行于x 轴的一条直线，∴点()2,0关于直线l 的对称点为：()2,2，∴点P 的“二次对称点”的坐标为()2,2．故答案为：()2,2．【小问2详解】解：如图，点A 关于y 轴的对称点为点C ，点C 关于直线l 的对称点为点B ，连接BO ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，∵(),0A a 是x 轴正半轴上的一个动点，∴(),0C a -，∴OC a =，∵直线l 经过原点且与x 轴正半轴的夹角为30︒，∴30COM AON ∠=∠=︒，∵点C 与点B 关于直线l 对称，∴OC OB a ==，30BOM COM ∠=∠=︒，∴60BOC ∠=︒，∴BOC 为等边三角形，∵BD x ⊥轴，∴1122OD OC a ==，∴2BD a ==，∴点B 的坐标为1,22a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴线段AB ．【小问3详解】解：当点N 与点S 重合，且N '在y 轴上时，连接SN ''交直线l 于点K ，交y 轴于点J ，连接KN '，设直线l 与x 轴，交于点D ，交y 轴于点C ，如图所示：∵60CDO ∠=︒，OD KJ ∥，∴60CKJ CDO ∠=∠=︒，∴18060120CKN ''∠=︒-︒=︒，∵N '与N ''关于直线l 对称，∴120CKN CKN '''∠=∠=︒，∴1206060N KJ '∠=︒-︒=︒，∵90CJK N JK '∠=∠=︒，∴9030KCJ CKJ ∠=︒-∠=︒，9030KN J N KJ ''∠=︒-∠=︒，∴KCJ KN J '∠=∠，∴KC KN '=，∵KJ CN '⊥，∴()123N J JC '==--=，∴235ON OJ JN ''=+=+=，∴此时点N '的纵坐标为5-；当点T 与原点重合时，N 与()0,1重合，此时点N '，N ''都与()0,1重合，此时点N '的纵坐标为1，如图所示：根据题意可知，0t >，观察图象可知，满足条件的N '纵坐标的取值范围是51N y '-≤<．【点睛】本题主要考查了了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，坐标与图形，新定义问题，两点间距离公式，解题的关键是理解题意，数形结合，根据题意画出图形．。