9直线与方程习题课(1)
高中直线与方程练习题及讲解
高中直线与方程练习题及讲解### 高中直线与方程练习题及讲解题目一：直线方程的求解题目描述：已知点A(2,3)和点B(-1,-2)，求经过这两点的直线方程。
解题步骤：1. 首先，我们需要找到直线的斜率。
斜率公式为 \( k = \frac{y_2- y_1}{x_2 - x_1} \)。
2. 将点A和点B的坐标代入公式，得到 \( k = \frac{-2 - 3}{-1 - 2} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \)。
3. 有了斜率，我们可以使用点斜式方程 \( y - y_1 = k(x - x_1) \) 来写出直线方程。
选择点A代入，得到 \( y - 3 = \frac{5}{3}(x - 2) \)。
4. 最后，将方程化为一般形式 \( Ax + By + C = 0 \)，得到 \( 5x - 3y + 1 = 0 \)。
题目二：直线的平行与垂直题目描述：已知直线 \( l_1: 3x - 4y + 5 = 0 \)，求与 \( l_1 \) 平行且与直线 \( 2x + y - 7 = 0 \) 垂直的直线方程。
解题步骤：1. 平行直线的斜率相同，所以 \( l_1 \) 的斜率为 \( k =\frac{3}{4} \)。
2. 垂直直线的斜率互为相反数的倒数，因此 \( l_1 \) 垂直的直线斜率为 \( -\frac{4}{3} \)。
3. 利用点斜式方程，我们可以选择直线 \( l_1 \) 上的一点，比如\( (0, 5/4) \)，代入 \( y - y_1 = k(x - x_1) \)，得到 \( y - \frac{5}{4} = -\frac{4}{3}(x - 0) \)。
4. 将方程化为一般形式，得到 \( 4x + 3y - 15 = 0 \)。
题目三：直线的交点题目描述：求直线 \( l_1: 2x + 3y - 6 = 0 \) 与直线 \( l_2: x - y + 1 = 0 \) 的交点坐标。
(完整版)直线与方程练习题及答案详解
直线与方程练习题及答案详解一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________;若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________;若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。
4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________. 5．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。
直线与方程基础练习题1
直线与方程基础练习题一、选择题1．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ）A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．220x y +-=D ．210x y --= 3．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是( )A ．x －2y ＋7＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0 4．已知直线l 的方程为20(0)x y a a --=≠,则下列叙述正确的是( )A. 直线不经过第一象限B. 直线不经过第二象限C. 直线不经过第三象限D. 直线不经过第四象限 6．已知两条直线01:1=-+y x l ，023:2=++ay x l 且21l l ⊥，则a =． -3 D ．37．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若三点(2,3),(5,0),(0,)(0)A B C b b ≠共线，则b =（ ）A ．2 B ．3 C ．5 D ．1 9．如果直线（m+4）x+（m+2）y+4=0与直线(m+2)x+(m+1)y-1=0互相平行，则实数m 的值等于( ) A 、0 B 、2 C 、-2 D 、0或-210．以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） A 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0C C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=011．已知点A(0, –1)，点B 在直线x –y+1=0上，直线AB 垂直于直线x+2y –3=0，则点B 的坐标是( ) A.(–2, –3) B.(2, 3) C.(2, 1) D.(–2, 1)12．已知直线方程：1l ：2x-4y+7=0, 2l :x-2y+5=0,则1l 与2l 的关系（ ） A.平行 B.重合 C.相交 D.以上答案都不对13与直线320x y --=平行，那么系数a 等于（ ）.A. 6 B 14．若直线20mx y m +-=与直线(34)10m x y -++=垂直，则m 的值是（ ）A.1-或B.1或 或1- 115．两条平行线l 1：3x-4y-1=0与l 2：6x-8y-7=0间的距离为（ ）A 、116．已知直线l 方程为25100x y -+=,且在x 轴上的截距为a ,在y 轴上的截距为b （ ）A ．3 B ．7 C ．10 D ．517．直线02=++by ax ，当0,0<>b a 时，此直线必不过 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限18在y 轴上的截距是（ ）A B ．2b - C ．b 2D ．±b 19．若直线Ax ＋By ＋C=0与两坐标轴都相交，则有A 、0AB ⋅≠ B 、0A ≠或0B ≠C 、0C ≠D 、A 2＋B 2=020．点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 ( )A 、 (－a,－b)B 、 (a,－b)C 、 (b,a)D 、 (－b,－a) 21．已知点(x ，-4)在点(0，8)和(-4，0)的连线上，则x 的值为 A ．-2 B.2 C.-8 D.-622．已知两点A （1，2）．B （2，1）在直线10mx y -+=的异侧，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（,0-∞）B ．（1,+∞）C ．（0，1）D ．（,0-∞）(1,)+∞23．对任意实数m ,直线(1)260m x m y -++=必经过的定点是A.(1,0)B.(0,3)-C.(6,3)- 25．点P （2，5）关于直线x 轴的对称点的坐标是 （ ） A ．（5，2） B ．（－2，5）C ．（2，－5） D ．（－5，－2）26．直线l 1: ax+3y+1=0, l 2: 2x+(a+1)y+1=0, 若l 1∥l 2,则a=A ．-3B ．2C ．-3或2D ．3或-2 28． 直线:10l x y -+=关于y 轴对称的直线方程为（ ）A ．10x y -+=B ． 10x y +-=C ．10x y ++=D ．10x y --=33．经过点)1,2(的直线l 到A )1,1(、B )5,3(两点的距离相等，则直线l 的方程为（ ） A ．032=--y xB ．2=xC ．032=--y x 或2=xD ．都不对35．AB C ∆中，(2,0)A - 、(2,0)B C(3,3)、，则 AB 边的中线对应方程为( ) A ．x y = B ．3)x x(0y ≤≤= C ．x y -= D ．3)x x(0y ≤≤-= 36．无论m 取何值，直线210mx y m -++=经过一定点，则该定点的坐标是 （ ）. A.（-2，1） B.（2，1） C.（1，-2） D.（1，2） 37．直线02=+--m y mx 经过一定点，则该点的坐标是（ ） A ．)2,1(- B ．)1,2(- C ．)2,1( D ．)1,2( 38．直线l 与直线0432=+-y x 垂直，则直线l 的方程可能是（ ）A.0123=-+y xB.0723=+-y xC.0532=+-y xD.0832=++y x 39．若n m ,满足012=-+n m , 则直线03=++n y mx 过定点 ( )40．已知点P （3，2）与点Q （1，4）关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ）A ．01=+-y x B ．0=-y x C ．01=++y x D ．0=+y x 42．直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ）A.210x y +-=B.210x y +-=C.230x y +-=D.230x y +-=44．已知两直线1l ：08=++n y mx 和012:2=-+my x l 若21l l ⊥且1l 在y 轴上的截距为 –1，则n m ,的值分别为（ ） A ．2 ，7 B ．0，8 C ．-1，2 D ．0，-8 46．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+= 47．若直线0=++C By Ax 经过第一、二、三象限，则（ ） A ．AB<0,BC<0 B ．AB>0,BC<0 C ．AB<0,BC>0D ．AB>0,BC>0二、填空题48．直线01052=--y x 与坐标轴围成的三角形的面积为 .49．直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为 . 50.与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________三、解答题52. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程;②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是1053的直线的方程.53.直线x+m2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点，求实数m 的值.圆与圆的方程一、选择题1．圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，则圆心的坐标是( )A 、(1,－1)B 、－1)C 、(－1,2)D 、(－1) 2．过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为( )A ．(x －3)2+(y+1)2=4B ．(x －1)2+(y －1)2=4C ．(x+3)2+(y －1)2=4D ．(x+1)2+(y+1)2=4 3．方程()22()0x a y b +++=表示的图形是（ ）A 、以(a,b)为圆心的圆B 、点(a,b)C 、(－a,－b)为圆心的圆D 、点(－a,－b)4．两圆x 2+y 2－4x+6y=0和x 2+y 2－6x=0的连心线方程为( )A ．x+y+3=0B ．2x －y －5=0C ．3x －y －9=0D ．4x －3y+7=0 5．方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是( ) A ．141<<m B ．141><m m 或 C ．41<m D ．1>m7．圆22220x y x y +-+=的周长是（ ）A ． B ．2π C D ．4π 9．点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ． 0<a <1 C ．–1<a <51 D ．－51<a <1 10．点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是( )A.｜a ｜＜1B.a ｜a D .｜a 二、填空、解答题11．若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____ 15．求过点A （2，0）、B （6，0）和C （0，－2）的圆的方程。
直线与方程习题课
C B A
∴直线 l 的方程为5x－2y＝1 或－x52＋4y＝1，即 2x－5y－10＝0 或 8x－5y＋20＝0.
四、拓展应用
练习：已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程．
解析： 方法一 设直线方程为xa＋by＝1(a>0，b>0)， 把点 P(3,2)代入得3a＋b2＝1≥2 a6b，得 ab≥24， 从而 S△AOB＝21ab≥12，当且仅当a3＝2b时等号成立，这时 k＝－ab＝－23， 从而所求直线方程为 2x＋3y－12＝0.
A2 B2
分别相等的系数． 4．两直线平行时，直线可设为 ax by c1 0, ax by c2 0 ，两直线垂直时，直线可设为 ax by c1 0,bx ay c2 0 ，可以简化运算．
方法二 设直线 l 的方程为 y－2＝k(x－3)(k<0)，且有 A3－2k，0，B(0, 2－3k)，
∴ S△ABO＝21(2－3k)3－2k＝2112＋－9k＋－4k≥1212＋2
－9k·－4k
＝21×(12＋12)＝12.
当且仅当－9k＝ 4 ，即 －k
k＝－23
时，等号成立．
考点三 两条直线的位置关系 一、问题提出
__________
yy_2－_－__yy_11_＝__xx_2－_－__xx11
a_x＋__by_＝__1_
适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线
不含直线x＝x1 (x1≠x2)和 直线y＝y1 (y1≠y2)
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0_(_A_2_＋__B_2_≠__0)
(精品)直线与方程知识点+经典习题
直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义:倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ; 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点:(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；（2）k 与P 1、P 2的顺序无关；（3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；（4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1. ②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y ab+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ，即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ,B 不全为0)注意：错误!各式的适用范围 错误!特殊的方程如: 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线:a x =（a 为常数）； (5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数) （二）过定点的直线系(ⅰ)斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ;（ⅱ)过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数）,其中直线2l 不在直线系中.(6）两直线平行与垂直当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时,212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否. （7）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的一组解。
直线方程习题课PPT课件
通过已知的A、B、C的值，可以确定 一条直线的方程。
直线方程在实际问题中的应用
在几何学中，直线方 程是描述空间中直线 的基本工具。
在工程学中，直线方 程可以用来设计机械、 建筑和电路等。
在物理学中，直线方 程可以用来描述物体 的运动轨迹和力的方 向。
03 直线方程的变换与化简
直线方程的平移变换
m是斜率。
两点式直线方程是y-y1=(y2y1)/(x2-x1)*(x-x1)，其中(x1,
y1)和(x2, y2)是已知的点。
点斜式和两点式直线方程可以用 来求解直线的方程，特别是当已
知一个点和斜率或两个点时。
一般式直线方程的求解方法
一般式直线方程为Ax+By+C=0，其 中A、B、C是常数。
一般式直线方程可以用来表示任意一 条直线，并且可以用来求解直线的斜 率和截距。
详细描述
直线的点集定义是直线上的所有点满足某种特定条件，如两点确定一条直线。 直线的性质包括直线的平行性、垂直性和相交性。直线的基本特征包括直线的 斜率和截距。
直线方程的表示方法
总结词
直线方程的表示方法是学习直线方程的重要内容，需要掌握 直线方程的几种形式，如点斜式、两点式和截距式。
详细描述
点斜式是已知一点和斜率来表示直线方程的公式。两点式是 已知两点来表示直线方程的公式。截距式是已知直线在x轴和 y轴上的截距来表示直线方程的公式。
形相交或平行。
直线方程的旋转与对称变换
旋转与对称变换的概念
旋转与对称变换是指将直线绕原点旋转一定角度或进行对称变换，以改变其方向和形状。
旋转与对称变换的公式
对于直线方程y = mx + b，若绕原点逆时针旋转θ角度，则新的直线方程为y = mcosθx + msinθx - b；若进行关于原点的对称变换，则新的直线方程为y = -mx - b。
直线方程经典练习题
直线方程经典练习题直线方程是解析几何中的基础知识之一，它在很多数学问题中都起到了重要的作用。
本文将为您介绍几个经典的直线方程练习题，通过解题过程，帮助您更好地理解直线方程的概念和应用。
1. 题目一：通过两点求直线方程已知直线上两点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），求直线的方程。
解析：设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
首先我们需要求解斜率k。
根据两点的坐标计算斜率公式：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。
其次，我们可通过其中一个点的坐标和斜率求解直线的截距b。
将点A的坐标代入直线方程，得到y₁ = kx₁ + b，将斜率k代入，得到b = y₁ - kx₁。
综上，我们求得直线的方程为y = kx + b，其中k和b的值可根据两点的坐标得出。
2. 题目二：通过斜率截距求直线方程已知直线的斜率k和截距b，求直线的方程。
解析：直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
已知斜率k和截距b后，直接代入方程即可求得直线的方程。
3. 题目三：通过点斜式求直线方程已知直线上一点A（x₁，y₁）和斜率k，求直线的方程。
解析：点斜式表示直线的方程为y - y₁ = k(x - x₁)。
已知点A的坐标和斜率k后，直接代入方程即可求得直线的方程。
4. 题目四：通过截距式求直线方程已知直线的x截距a和y截距b，求直线的方程。
解析：直线的方程为x / a + y / b = 1。
已知x截距a和y截距b后，直接代入方程即可求得直线的方程。
通过以上四个经典练习题的解析，我们对直线方程的计算和求解有了更深入的理解。
在实际应用中，直线方程经常被用于解决各种几何问题，如求两条直线的交点、判断点是否在直线上等等。
因此，掌握直线方程的概念和求解方法对于数学学习和应用都具有重要意义。
总结：本文通过经典直线方程练习题的解析，详细介绍了通过两点求直线方程、通过斜率截距求直线方程、通过点斜式求直线方程以及通过截距式求直线方程的方法。
直线与方程问题(含答案)
直线与方程问题(含答案)
直线与方程问题（含答案）
本文将介绍直线与方程问题的基本概念和解题方法，并提供一些示例问题及其答案。
以下是内容的简要概述：
直线与方程的基本概念
- 直线：直线是由一组无限延伸的点组成的，可以用线段来表示。
直线有无限多个点，无限延伸的长度和方向。
- 方程：方程是数学表达式中的等式，其中包含一个或多个未知数。
方程描述了两个对象之间的关系。
直线与方程问题的解题方法
- 求两点间的斜率：通过计算两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来得到直线的斜率。
- 根据斜率和一点求直线的方程：使用斜率和已知点的坐标来确定直线的方程。
- 点斜式方程：通过已知直线上的一点和该直线的斜率来写出直线的方程。
- 一般式方程：将直线的方程转化为一般的标准形式，即Ax + By + C = 0。
示例问题及答案
1. 求经过点A(2, 3)和点B(5, 7)的直线的斜率。
解答：斜率 = (7 - 3) / (5 - 2) = 4/3
2. 已知直线上的一点为P(4, 2)，斜率为2/5，求该直线的方程。
解答：使用点斜式方程，直线的方程为 y - 2 = (2/5)(x - 4)
3. 将直线的方程2x + 3y - 6 = 0转化为一般式方程。
解答：将方程重新排列为3y = -2x + 6，然后将其化简为Ax + By + C = 0的形式，即2x + 3y - 6 = 0。
以上是关于直线与方程问题的基本概念、解题方法和示例问题
的介绍。
希望对您有所帮助！。
高中数学-直线与方程习题课1精品ppt课件
求直线方程
1.经过点(5,10)且与原点相距是5的直线方 程是 ________ .
2.求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点 A(1，-1)与直线 2x＋y－6＝0 相交于 B 点且|AB|＝5.
直线与方程习题课
知识内容：
1、直线的倾斜角α与斜率k
2、直线方程的几种形式 3、直线位置关系判定方法 4、点到点、点到线、线到线的距离
练 : (1)直线x cos 3 y 1 0倾斜角的范围是 _____ 3 ( 2)已 知 两 点 A( 1, 2), B( m, 3), m [ 1, 3 1], 求 直 线 3 AB的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 .
直线AD上取一点 (0,2k 1), 它到AB, AC的距离相等，
| 8k 6 | | 24k 10 | 7 4 , 解得k , 或k , 5 13 4 7
直线AD方程 : 7 x 4 y 18 0, 或4 x 7 y 1 0 B, C在直线AD两侧， 4 x 7 y 1 0为所求.
交点( 1,1), l1上点(0,2)关于l对称点为 ( 2,2)
定点问题：
( 1, 2) 6.直线(3m+4)x+(5-2m)y+7m-6=0,恒过定点_____ 7.直线(3m+4)x+(5-2m)y+7m-6=0与点P(1,3)距离最大时， m=_____
综合
8.若 关 于 x的 方 程| x 1 | kx 0有且只有一个 正实数根 ， k 1 则实数 k的 取 值 范 围 是 _____ .或k 0 y=|x-1|
直线方程(习题课)课件
两点式方程
$frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$为直
线上的两点。
直线方程的应用场景
01
02
03
几何问题
解决与直线相关的几何问 题，如两点之间的距离、 点到直线的距离等。
详细描述
当直线与x轴相交时，令y=0，解出x的值即为交点的横坐标 ；当直线与y轴相交时，令x=0，解出y的值即为交点的纵坐 标。
两条直线的交点问题
总结词
求两条直线的交点，需要联立两条直 线的方程组求解。
详细描述
将两个直线的方程联立，形成方程组 ，然后解这个方程组，得到x和y的值 即为两直线的交点坐标。
直线上的任意两点确定一条唯一 的直线，反之，一条直线上的任 意两点确定该直线上唯一的一点
。
直线方程的表示方法
点斜式方程
$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$为直线上的一点，
$m$为直线的斜率。
Hale Waihona Puke 斜截式方程$y = mx + b$，其中$m$为直 线的斜率，$b$为直线在y轴上的
参数方程是一种表示直线 的方法，通过引入参数来 表示直线上点的坐标。
参数方程形式
参数方程的一般形式为 (x = x(t))，(y = y(t))，其中 (t) 是参数。
参数方程的应用
参数方程在解决几何问题 、物理问题以及工程问题 中都有广泛应用。
极坐标形式的直线方程
01
极坐标定义
极坐标是一种表示点在平面上的位置的方法，通过距离原点的长度和与
直线方程(习题课)课件
直线与方程习题课PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
3
2
aa
1，解得a=5，
aa
此时直线方程为x+y-5=0；
当直线在两坐标轴上旳截距均为零时，
设其方程为y=kx，
2
所 以 2=3k ， 则 k=
2 ，此时直线方程为
3
y= 3 x.
综上所述，所求旳直线方程为x+y-5=0
或y= 2 x.
3
(Ⅱ)易得直线 3x+y+3=0旳斜率为- 3,则
倾斜角为2π，所以所求直线旳倾斜角为 π ，
•
（Ⅱ）设所求直线与直线4x+y+6=0,3x-
5y-6=0分别相交于A，B.
•
设A（a,-4a-6），则由中点坐标公式知B
（-a,4a+6），
•
将B（-a,4a+6）代入3x-5y-6=0，得3（-a）
-5（4a+6）-6=0，解得a=
36
.ห้องสมุดไป่ตู้
•
从而求得
A（
36 ,
23 6 ）, B（36 ,
6
•
所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0，
•
因为P点在第一象限，所以3x0+2=0是
不可能旳.
联立方程2x0-y0+
13 2
=0和x0-2y0+4=0，
x0=3
解得 1
y0= 2 (不合，舍去)
由
2x0-y0+
11 6
=0
，解得
x0-2y0+4=0
1 x0 9
y0
37， 18
所以存在点P( 1 , 37 )同步满足三个条件.
直线方程(习题课)课件
如果直线的斜率为 2，通过点 (4, 3)，那么方程为 y - 3 = 2(x - 4)。
直线方程的截距式
1 截距式介绍
直线方程的截距式为 x / a + y / b = 1，其中 a 和 b 为 x、y 轴的截距。
2 转换到截距式
可以根据已知的一般形式、斜率截距形式或两点式来转换为截距式的方程。
2 寻找直线方程
可根据已知点的坐标，或利用斜率和截距来转换方程形式。
3 例子
2x - 3y + 6 = 0 是直线的一般形式。
直线方程的斜率截距形式
1 斜率截距形式介绍
直线方程的斜率截距形式 为 y = mx + c，其中 m 为 斜率，c 为 y 轴截距。
2 转换到斜率截距形式
根据已知的一般形式或两 点式，可以求出斜率和截 距，从而转换为斜率截距 形式的方程。
直线方程(习题课)课件
直线是几何学中最基本的图形之一，本课件将探讨直线的定义、性质以及不 同的直线方程形式，让你轻松掌握直线方程。
直线的定义与性质
1 直线定义
直线由无限多个点组成，两点确定一条直线。
2 性质
直线是无限延伸的，同时任意两点都在直线上。
3 特殊直线
平行于 x 轴的直线具有斜率 0，平行于 y 轴的直线斜率不存在。
3 例子
如果直线与 x 轴和 y 轴分别截距为 3 和 4，那么方程为 x / 3 + y / 4 = 1。
3 例子
过点 (2, 3) 和 (4, 5) 的直线方程为 (y - 3) / (x - 2) = (5 - 3) / (4 - 2)。
直线方程的点斜式
1 点斜式介绍
直线方程的点斜式为 y - y1 = m(x - x1)，其中 (x1, y1) 为已知点，m 为斜率。
高中数学 第三章 直线与方程习题课(一)新人教A版必修2
习题课(一) 直线的方程1．两条直线的平行与垂直．(1)两条直线垂直的充要条件.注意：这两条直线其中一条斜率不存在，另一条的斜率为0，即k1＝0，k2不存在(或k1不存在，k2＝0)，则两条直线垂直．(2)两条直线平行的充要条件.文字表述两条直线有斜率且不重合如果它们平行，则斜率相等；反之，如果它们斜率相等，则它们平行符号表示l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b2l1∥l2⇔k2＝k2，且b1≠b2l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0l1∥l2⇔A1A2＝B1B2≠C1C2注意：两条直线斜率都不存在，则它们平行．2．直线的方程.方程名称方程形式方程局限性点斜式y－y1＝k(x－x1) 不能表示垂直于x轴的直线3.求直线方程的步骤．求直线方程时，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数法求解．其基本步骤是：(1)设所求直线方程的某种形式； (2)由条件建立所求参数的方程(组)； (3)解方程(组)求出参数； (4)将参数的值代入所设方程． 4．证明三点A ，B ，C 共线的常用方法． (1)k AB ＝k BC ；(2)求出AB 的方程，验证点C 的坐标满足方程； (3)AB 与BC 的方程为同一个方程．一、选择题1．直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a 的值为(B )A ．2B ．－1C .23D ．－1或2解析：k 1＝k 2，∴－a 2＝－1a －1，解得：a ＝－1或2.代回原方程检验知a ＝2时，l 1与l 2重合．2．顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)所组成的图形是(B ) A ．平行四边形 B ．直角梯形 C ．等腰梯形 D ．以上都不对3．如果直线(2a ＋5)x ＋(a －2)y ＋4＝0与直线(2－a)x ＋(a ＋3)y －1＝0互相垂直，则a ＝(C )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．2或0或－2解析：由题意可知：(2a ＋5)(2－a)＋(a －2)(a ＋3)＝(2－a)·[(2a＋5)－(a ＋3)]＝－(a －2)(a ＋2)＝0，解得a ＝±2，故选C .4．点P(1，－2)关于点M(3，0)的对称点Q 的坐标是(C )A ．(3，－1)B ．(1，2)C ．(5，2)D ．(2，－1)5．直线l 1，l 2在x 轴上的截距都是m ，在y 轴上的截距都是n ，则l 1与l 2(D )A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合解析：当m 、n 均不为0时，必重合，当m 、n 均为0时，相交． 6．直线3x －2y ＋m ＝0与直线(m 2－1)x ＋3y ＋2－3m ＝0的位置关系是(C )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．与m 的取值有关解析：因为两直线斜率分别为32，1－m 23，则由32＝1－m23，无解．7．三条直线l 1：x －y ＝0；l 2：x ＋y －2＝0；l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取值范围是(B )A ．k ≠±5且k≠1B ．k ≠±5且k≠－10C ．k ≠±1且k≠0D ．k ≠±5解析：①l 3不过l 1与l 2的交点；②l 3不平行于l 1；③l 3不平行于l 2.由以上三种情况解出选B .8．由方程|x －1|＋|y －1|＝1确定的曲线所围成的图形的面积为(B )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|＋|y －1|＝1，x ≥1，y ≥1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x ≥1，y ≥1. 同理在x ＜1，y ＜1；x ＜1，y ＞1；x ＞1，y ＜1，情形下去绝对值，画图象如右图所示，得其图为边长为2的正方形，故面积为2.二、填空题9．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角的大小是________． 解析：由题意k ＝－33， 即tan θ＝－33，∴θ＝5π6. 答案：5π610．P(－1，3)在直线l 上的射影为Q(1，－1)，则直线l 的方程是________． 解析：如下图所示∵l 过Q 且l⊥PQ，∴k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝－1k PQ ，∴l 为y ＋1＝12(x －1)，∴x －2y －3＝0. 答案：x －2y －3＝011．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________．解析：联立2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0， 得交点P(1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0，则3×1－3＋m ＝0，解得m ＝0.答案：3x ＋y ＝0 三、解答题12．如右下图所示，已知A(1，3)，B(－1，－1)，C(2，1)．求△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程．解析：设BC 边上的高为AD ， ∵k BC ＝1－（－1）2－（－1）＝23，∴k AD ＝－1k BC ＝－32，∴高AD 所在的直线方程为y －3＝－32(x －1)，即3x ＋2y －9＝0.13．直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a∈R)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解析：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等， ∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0； 若a ≠2，则a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，即方程为x ＋y ＋2＝0， ∴a 的值为0或2.(2)∵过原点时，y ＝－3x 经过第二象限不合题意，∴直线不过原点，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝0，a －2＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，a －2a ＋1＞0，∴a ≤－1.14．若一束光线沿着直线x －2y ＋5＝0射到x 轴上一点，经x 轴反射后其反射线所在直线为l ，求l 的方程．解析：直线x －2y ＋5＝0与x 轴交点为P (－5，0)，反射光线经过点P .又入射角等于反射角，可知两直线倾斜角互补．∵k 1＝12，∴所求直线斜率k 2＝－12，故所求方程为：y －0＝－12(x ＋5)，即x ＋2y ＋5＝0.15．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求与l 垂直且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程．解析：设所求直线方程为4x －3y ＋n ＝0， 令y ＝0得x ＝－n 4，令x ＝0得y ＝n3，∴S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－n 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 3＝4，即n 2＝96，∴n ＝±4 6.则所求直线方程为4x －3y ＋46＝0， 或4x －3y －46＝0.16．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0. 试分别求m ，n 的值，使： (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解析：(1)因为m 2－8＋n ＝0，且 2m －m －1＝0，所以m ＝1，n ＝7. (2)由m ·m －8×2＝0.得m ＝±4. 由8×(－1)－n ·m ≠0，得n ≠±2，即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2； (3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2， 又－n8＝－1，所以n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.。
习题课 直线与方程 学案(含答案)
习题课直线与方程学案（含答案）习题课直线与方程学习目标1.掌握与直线有关的对称问题.2.通过解决最值问题体会数形结合思想与转化化归思想的应用.知识点一对称问题1.点关于直线对称设点Px0，y0，lAxByC0A，B不全为0，若点P关于l的对称点为点Qx，y，则l是线段PQ的垂直平分线，故PQl且PQ的中点在l上，解方程组即可得点Q的坐标.常用的结论1Aa，b关于x轴的对称点为Aa，b.2Ba，b关于y轴的对称点为Ba，b.3Ca，b关于原点的对称点为Ca，b.4Da，b关于直线yx的对称点为Db，a.5Ea，b关于直线yx的对称点为Eb，a.6Pa，b关于直线xm的对称点为P2ma，b.7Qa，b关于直线yn的对称点为Qa,2nb.2.直线关于点对称已知直线l的方程为AxByC0A2B20和点Px0，y0，求l关于点P的对称直线l的方程.设Px，y是对称直线l上的任意一点，它关于点Px0，y0的对称点2x0x，2y0y在直线l上，则A2x0xB2y0yC0即为所求的对称直线l的方程.3.直线关于直线对称一般转化为点关于直线对称的问题.在已知直线上任取一点，求此点关于对称轴的对称点，对称点必在对称直线上.常用的结论设直线lAxByC0A，B不全为0，则1l 关于x轴对称的直线是AxByC0.2l关于y轴对称的直线是AxByC0.3l关于原点对称的直线是AxByC0.4l关于直线yx对称的直线是AyBxC0.5l关于直线yx对称的直线是AyBxC0.知识点二最值问题1.利用对称转化为两点之间的距离问题.2.利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.3.利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值.一.对称问题命题角度1关于点对称问题例11求点Px0，y0关于点Aa，b的对称点P的坐标；2求直线3xy40关于点2，1的对称直线l的方程.解1根据题意可知点Aa，b为PP的中点，设点P的坐标为x，y，则根据中点坐标公式，得所以所以点P的坐标为2ax0，2by0.2方法一设直线l上任意一点M的坐标为x，y，则此点关于点2，1的对称点为M14x，2y，且M1在直线3xy40上，所以34x2y40，即3xy100.所以所求直线l的方程为3xy100.方法二在直线3xy40上取两点A0，4，B1，1，则点A0，4关于点2，1的对称点为A14,2，点B1，1关于点2，1的对称点为B13，1.可得直线A1B1的方程为3xy100，即所求直线l的方程为3xy100.反思感悟1点关于点的对称问题若两点Ax1，y1，Bx2，y2关于点Px0，y0对称，则点P是线段AB的中点，并且2直线关于点的对称问题若两条直线l1，l2关于点P对称，则l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上.若l1l2，则点P到直线l1，l2的距离相等.过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点.跟踪训练1已知点Ax,5关于点1，y的对称点为2，3，则点Px，y到原点的距离是________.答案解析由中点坐标公式，得1且y，解得x4，y1，所以点P的坐标为4,1，则点Px，y到原点的距离d.命题角度2关于直线对称问题例2点P3,4关于直线xy20的对称点Q的坐标是__________.答案2,5解析设对称点坐标为a，b，由题意，得解得即Q2,5.反思感悟1点关于直线的对称问题求点Px0，y0关于AxByC0A，B不全为0的对称点Px，y时，利用可以求出点P的坐标.2直线关于直线的对称问题若两条直线l1，l2关于直线l对称，则l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上.过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于点A，B，则点P是线段AB的中点.跟踪训练2求直线x2y10关于直线xy10对称的直线l的方程.解由得两直线的交点为A1,0.在直线x2y10上取点B，设点B关于直线xy10的对称点为Cx0，y0，则有解得即点C的坐标为.由所求直线经过A，C两点，得，即2xy20，所求直线l的方程为2xy20.二.最值问题例3在直线yx2上求一点P，使得点P到直线l13x4y80和直线l23xy10的距离的平方和最小.解设直线yx2上一点Px0，x02到直线l1和l2的距离分别为d1和d2.d1，d2，设Sdd，S，当x0时，S有最小值，这时，x02.所求点P的坐标为.反思感悟解决此类问题通常有两种途径一是利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离；二是利用距离公式转化为二次函数求最值问题.跟踪训练3已知实数x，y满足6x8y10，则的最小值为________.答案解析，上式可看成是直线6x8y10上一个动点Mx，y到定点N0,1的距离，即为点N到直线l6x8y10上任意一点Mx，y的距离，MN的最小值应为点N到直线l 的距离，即MNmind.三.对称与最值的综合应用例4在直线l3xy10上求一点P，使得1点P到点A4,1和点B0,4的距离之差最大；2点P到点A4,1和点C3,4的距离之和最小.解1如图，点B关于l的对称点为B3,3.直线AB的方程为2xy90，由解得即所求点P的坐标为2,5.2如图，点C关于l的对称点为C，由图可知，当A，P，C 三点共线时，PAPC取得最小值.AC所在的直线方程为19x17y930，联立解得即所求点P的坐标为.反思感悟利用对称转化为两点间的距离是求解最值的一种常用方法.跟踪训练4已知直线lx2y80和两点A2,0，B2，4.1在直线l上求一点P，使PAPB最小；2在直线l上求一点P，使|PBPA|最大.解1设A关于直线l的对称点为Am，n，则解得故A2,8.因为P为直线l上的一点，则PAPBPAPBAB，当且仅当B，P，A三点共线时，PAPB取得最小值AB，点P即为直线AB与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为2,3.2A，B两点在直线l的同侧，点P是直线l上的一点，则|PBPA|AB，当且仅当A，B，P三点共线时，|PBPA|取得最大值AB，点P即为直线AB与直线l的交点.又直线AB的方程为yx2，解得故所求的点P的坐标为12,10.1.对称问题在解析几何中，对称问题主要分为两类一是中心对称，二是轴对称.在本章中，对称主要有以下四种点关于点对称.点关于线对称.线关于点对称.线关于线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型.转化思想是解决对称问题的主要思想方法，其他问题如角的平分线.光线反射等也可转化成对称问题.2.最值问题数形结合思想和转化化归思想常体现在求最值问题中.1.过点A1,2且与原点距离最大的直线方程为____________.答案x2y50解析设O0,0，则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于，由点斜式求得所求的直线方程为y2x1，化简可得x2y50.2.设两条直线的方程分别为xya0，xyb0.已知a，b是方程x2xc0的两实根，则这两直线间距离的最大值为________.答案解析a，b是方程x2xc0的两个实根，ab1，abc，ab2ab24ab14c.又两直线间的距离d，d，两直线间距离的最大值为.3.点P2,5关于直线xy1对称的点的坐标是____________.答案4，1解析设对称点坐标为x0，y0，则解得4.已知点A3，1，B5，2，点P在直线xy0上，若使PAPB取最小值，则点P坐标是__________.答案解析点A3，1关于直线xy0的对称点为A1，3，直线AB的方程为yx，与xy0联立方程组并解得所以点P.5.已知点Px，y满足xy10，求x2y22x2y2的最小值.解原式可化为x12y12，其几何意义为点Px，y到点Q1,1的距离的平方，而点Px，y在直线xy10上.设d为点Q到直线xy10的距离，由PQd，得，即x2y22x2y2.故所求的最小值为.。
专题9.1---直线与直线方程--教师版
专题9.1直线与直线方程练基础1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】直线+=0和直线−B =0互相垂直的充要条件是1×(−p +1×1=0，即=1，故选C2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（）ABC．D【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-=== C.3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （）．A．过点)2-BC ．倾斜角为60°D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解【详解】点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l的斜率tan k θ==60°，故B ，C 正确；由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误．故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（）．A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则3m =或3m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误.【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误；∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m =m =B 选项正确；直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-，令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确．故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0°【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确；对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确；对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误；对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确．故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______.【答案】32-43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距.【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43.故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x =2y =【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可.【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒，又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2，所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =．故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________．【答案】-4；2【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案.【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //，334a -∴=，解得4a =-；∴2:3420l x y ++=两直线1l 与2l间的距离是：2d ==.故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________.【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34.因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=，所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310=.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|PA |+|PB |＝a 的取值范围是___________．【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围.【详解】因为||AB ==||||PA PB +=，由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1），画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3，所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．练提升1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（）A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解.【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=，又0a >，0b >，则14144()()5529b a a b a b a b a b +=++=+++，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取“=”，由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,2N ，那么||MN 的最小值为（）A．2B．32C．1D．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q（1,3），所以动点M 在以PQ 5,2=圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N 3=，所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线l 的倾斜角为θ且过点，其中1sin(22p q-=，则直线l 的方程为()20y --=40y +-= C.0x -=360y +-=【答案】B 【解析】122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1cos 2θ∴=-，2 3πθ=则tan θ=直线方程为：1y x -=-40y +-=故选B4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()124πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________.【答案】240x y -+=(0,1)-【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行，所以设方程为()201x y n n -+=≠，因为直线过点(2,1)M -，代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程；（2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ==，解得724k =-.故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=.（2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+，则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=.7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1)求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ；(2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程．【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2)3x +4y +10＝0或x ＝﹣2.【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求.【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2），即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意，综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，()4,B n -在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值；（2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式.【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4），把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8，所以反比例函数解析式为8y x=，把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2；（2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上，所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ，所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==，在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==，而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1，所以144m n-+=，而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2，则A （2，4），B （﹣4，﹣2），设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -.（1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）20x -=或34100x y --=；（2）不存在这样的直线；理由见解析．【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意．②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2=，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=．（2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，OP ==，而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||AB =，动直线l 过点(1,1)P与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标；（2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩ ，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标；(2)由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMN S 的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解.【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k+=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.(2)当1k时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭，1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭.当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，当1k时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+.综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.练真题1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（）.A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2【答案】C 【解析】由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =-和32y =，显然两直线平行．当k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得k=5．综上，k 的值是3或5，故选C．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果.【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>，则角θ是第四象限角，故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A 0y --=B 20y -=C310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=，所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l：)013y x -=-，即10x -=．故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（）A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d ===，故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（）A.（0，1）B.21122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C.21123⎛⎤- ⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0，故ba-≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（12，12），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b1 3 =．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b13＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于1 2，即1122NMB y⋅⋅=，即111212b a ba a+⎛⎫⨯+⋅=⎪+⎝⎭，可得a212bb=-0，求得b12＜，故有13＜b12＜．③若点M在点A的左侧，则b13＜，由点M的横坐标ba--＜1，求得b＞a．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=，即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2．两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b b＞12-，故有122-b 13＜．综上可得b的取值范围应是1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线【答案】①③⑤【解析】①令直线l 为：12y x =+，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；②令直线l为：y =-，则直线经过整点()2,0，②错误；③令直线l 为：y kx =，过两个不同的整点()11,x y ，()22,x y 则112y kx y kx =⎧⎨=⎩，两式作差得：()1212y y k x x -=-即直线l 经过整点()1212,x x y y --∴直线l 经过无穷多个整点，③正确；④令直线l为：1132y x=+，则l不过整点，④错误；⑤令直线l为：y=，则其只经过()0,0一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤。
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直线与方程习题课（1）
教学目标
熟练掌握直线的斜率、直线的方程、两条直线的平行与垂直以及两条直线的交点。
教学重点
掌握直线方程各种形式的应用及两条直线的平行与垂直所具备的条件。
教学难点
直线方程各种形式的应用。
教学方法：启发式，讲授法
教学过程
一、知识点回顾
1．斜率及斜率公式：
倾斜角：
倾斜角与斜率的关系：
2．直线方程的五种形式
点斜式：
斜截式：
两点式：
截距式：
一般式：
3．两直线平行与垂直
4．方程组的解与交点个数的关系
二、讲解例题
例1：已知直线l 1的倾斜角α1＝300，直线l 2⊥l 1，求l 1、l 2的斜率。
解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan300＝33
∵l 2的倾斜角α2＝900＋300＝1200，
∴l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan1200＝－tan600＝－ 3
例2：一条直线经过点P 1(－2，3)，倾斜角α＝45°，求这条直线方程，并画出图形.
解：这条直线经过点P 1(－2，3)，斜率是 k ＝tan450＝1.
代入点斜式方程，得y －3＝x ＋2，即x －y ＋5＝0
这就是所求的直线方程，图形略
例3：三角形的顶点是A (－5，0)、B （3，－3）、C （0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。
解：直线AB 过A (－5，0)、B （3，－3）两点，由两
点式得
y －0－3－0 ＝x －（－5）3－（－5）
整理得：3x ＋8y ＋15＝0，即直线AB 的方程.
直线BC 过C (0，2)，斜率是k ＝2－（－3）0－3
＝－53 , 由点斜式得: y －3＝－53 （x －0）
整理得: 5x ＋3y －6＝0，即直线BC 的方程.
直线AC 过A (－5，0)，C (0，2)两点，由两点式得: y －02－0 ＝x －（－5）0－（－5） 整理得：2x －5y ＋10＝0，即直线AC 的方程.
例4：已知直线m 的倾斜角θ的余弦值等于 45
，在y 轴上的截距为－2，求直线方程。
解：∵cos θ＝ 45 ，0≤θ＜π
∴k ＝ tan θ＝34 ，得y ＝ 34 x －2
例5：一条直线经过点A （－2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求这直线的方程。
解法一：设直线方程为 x a ＋y b = 1，则有：⎩⎪⎨⎪⎧－2a +2b = 1 12 ︱ab ︱= 1
解得a = －1，b = －2 或 a = 2，b = 1
∴直线方程为 x －1 ＋y －2
= 1或 x 2 ＋y 1 = 1 解法二：令y －2 = k （x ＋2）
从y = 0得x = －2k －2
从x = 0得y = 2k ＋2
∴12 ︱（2k ＋2）（2k ＋2）︱＝1
得k = －12 或k = －2
三、课堂小结：
四、布置作业：。