韦达定理
韦达定理详细讲解
韦达定理详细讲解韦达定理是数学中的一个重要定理，它被广泛应用于代数、几何和概率等领域。
该定理的内容较为复杂，但通过详细的讲解，我们可以更好地理解和应用韦达定理。
我们来了解一下韦达定理的基本概念。
韦达定理又称作“韦达三角定理”或“韦达方程”，它是代数中关于多项式根与系数之间的关系的一个重要定理。
韦达定理是指对于一个二次方程，其两个根的和等于系数b的相反数，而两个根的乘积等于方程的常数项c。
为了更好地理解韦达定理，我们以一个具体的例子来说明。
假设我们有一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以使用韦达定理来求解该方程的根。
根据韦达定理，我们知道两个根的和等于系数b的相反数，即根的和等于5的相反数，即-5。
所以，我们可以得到一个等式：x1 + x2 = -5。
接下来，根据韦达定理，我们知道两个根的乘积等于方程的常数项c，即根的乘积等于6。
所以，我们可以得到另一个等式：x1 * x2 = 6。
通过这两个等式，我们可以得到一个由根和系数构成的方程组，进一步求解得到方程的根。
在本例中，我们可以得到x1 = 2和x2 = 3，即方程的两个根分别为2和3。
除了二次方程，韦达定理也可以扩展到高次方程。
对于一个n次方程，韦达定理可以表示为：方程的n个根的和等于系数b的相反数，而n个根的乘积等于方程的常数项c。
韦达定理在代数中的应用非常广泛。
它可以用于求解方程的根，进一步用于因式分解、求解多项式的系数和揭示方程与根之间的关系。
通过韦达定理，我们可以更好地理解和解决各种代数问题。
除了代数中的应用，韦达定理在几何和概率中也有重要的应用。
在几何中，韦达定理可以用于求解三角形的边长，利用三角形的边长关系来解决几何问题。
在概率中，韦达定理可以用于计算多个独立事件同时发生的概率，从而帮助我们进行概率分析和计算。
总结一下，韦达定理是数学中的一个重要定理，它可以用于代数、几何和概率等领域。
通过韦达定理，我们可以求解方程的根，进行因式分解，揭示方程与根之间的关系，解决几何问题和计算概率等。
韦达定理
韦达定理
英文名称：Vieta's formulas
韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1*X2=c/a 定理内容
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2 则
X1+X2= -b/a X1*X2=c/a
1/X1+1/X2=X1+X2/X1*X2
用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，
若b^2-4ac<0 则方程没有实数根
若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
定理拓展
(1)若两根互为相反数，则b=0
(2)若两根互为倒数，则a=c
(3)若一根为0，则c=0
(4)若一根为1，则a+b+c=0
(5)若一根为-1，则a-b+c=0
(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根。
韦达定理
韦达定理韦达生于法国西部普瓦图的丰特标勒贡特，曾经在法王亨利四世手下任职，还当过律师，数学原本只是他的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。
他在数学方面的主要贡献有，第一次用字母代替已知量，确定了符号代数的原理和方法，使当时的代数学系统化，并把代数学作为解析的方法使用，因此有“代数学之父”之称。
在几何学方面，他利用阿基米德的方法，通过多边形来计算圆周率π，在计算中，他使用了393216边形，得到π的近似值为3.141592653……。
精确到小点后面的第9位，是第一个超越祖冲之的人（祖冲之当时算到第六位）。
韦达不仅是一个数学家，而且还是一个破译密码的专家。
他在法国政府任职时，曾经帮助法国政府破译了西班牙国王菲利浦二世使用的密码，对法国战胜西班牙起了重要作用，这样引起了西班牙国王的大怒，致使菲利蒲二世认为是法国人使用了什么“巫术”，因而还向罗马教皇指控法国“犯罪”。
青少年朋友们在初中学了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）方程的根α，β和系数a、b、c的关系式是这就是我们熟悉的韦达定理。
但是这种说法不是很确切。
请看下面几个定理的发表时间就清楚了。
定理1.一元二次方程ax2+px+q=0两个根为α和β，则α+β=-p，αβ=q定理2.一元三次方程x3+px2+qx+r=0的三个正根是α、β、γ，则α+β+γ=-p，αβ+βγ+αγ=q，αβγ=-r定理3.一元n次方程x n+ax n-1+ax n-2+x n-3+…+a n-1x+a n=0的n个正根为x1，x2，x3，…x n，则x1+x2+x3+…x n=-a1x1x2+x1x3+x1x4+…x2x3+x2x4+…x n-1x n=a2x1x2x3+x1x2x4+…+x2x3x4+x2x3x5+…+x n-2x n-1x n=-a3……。
x1x2…xn=（-1）n a n定理4.（把定理2中的“正”字去掉就得到定理4）定理1的发表时间在历史上没有记载，然而定理2却是意大利数学家卡丹（1501～1576年）在1545年发表的，所以定理1应在此之前，而法国数学家的创作年代应在1550年之后，因此定理2也不应当是韦达的功劳。
韦达定理常见公式
韦达定理常见公式韦达定理，也称作费马点定理，是数学中一个重要的定理。
它的原理是：如果一个平面上的三角形，三边为AB、AC、BC，点D在BC上，则当且仅当AD经过BC中点时，BD²+CD²=2AD²+2BD·CD。
这个定理常常被用于解决各种三角形问题。
应用一：海伦公式海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它利用了韦达定理的原理。
设三角形三边分别为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))。
其中，s=(a+b+c)/2。
应用二：余弦定理余弦定理是用于计算三角形边长或角度的公式。
它同样利用了韦达定理的原理。
设三角形三边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则有下列公式：a²=b²+c²-2bc*cosAb²=a²+c²-2ac*cosBc²=a²+b²-2ab*cosC应用三：正弦定理正弦定理是用于计算三角形边长或角度的公式。
它同样利用了韦达定理的原理。
设三角形三边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则有下列公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆半径）应用四：角平分线定理角平分线定理是用于计算三角形内角平分线长度的公式。
它同样利用了韦达定理的原理。
设三角形三边分别为a、b、c，内角A的平分线交BC于点D，则有下列公式：BD/DC=AB/AC=a/b应用五：垂心定理垂心定理是用于计算三角形垂心位置的公式。
它同样利用了韦达定理的原理。
设三角形三边分别为a、b、c，三条高分别为AD、BE、CF，则有下列公式：AD·HD=BD·CDBE·HE=AE·CECF·HF=AF·BF结语韦达定理是数学中一个非常重要的定理，它的应用广泛，涉及到海伦公式、余弦定理、正弦定理、角平分线定理、垂心定理等多个领域。
韦达定理及其应用
韦达定理及其应用
韦达定理是一种基本的数学定理，它描述了一个三角形中两条边的长度与第三边的夹
角之间的关系。
它可以用来求解一个三角形的性质，甚至解决更复杂的几何问题。
韦达定理由法国数学家查尔斯·韦达提出，于1806年于科学期刊《乌拉法叶斯特》
上发表。
它首先被用来证明三角形的直角性质，然后被扩展用来证明更多其它的相关性质。
韦达定理可以用下面的公式表示：
a^2+b^2=c^2-2*c*a*cos(B)
其中a,b,c分别表示三角形ABC的3条边的长度，B表示边AC与BC之间的夹角。
由于韦达定理可以用来求解三角形的特性，因此它可以用来解决几何问题。
例如，如
果我们有一个三角形ABC，我们想求解它的外角A、边BC的长度和边AB的长度，则可以
用韦达定理：
假设a=3,c=4,B°=30°，根据韦达定理，
即 b^2= 16-24*cos(30°)=16-24*3^(1/2)/2
所以b=√5
另外，由余弦定理可以求出A°=60°
因此，三角形ABC的三角形性质为a=3,b=√5,c=4,A=60°,B=30°。
此外，韦达定理还有许多额外的应用。
例如，它可以用来求解由全等三角形的边来确
定的三角形的外角的性质，用来解决椭圆的几何上的直角形之间的关系等等。
它的应用非常广泛，几乎每一门数学和几何课程中都会涉及到它。
韦达定理不但可以
帮助我们在解决几何问题中取得关键性的进展，而且还多次提供了无穷多有用的解法。
韦达定理及其推广
扩展形式
研究韦达定理的扩展形式，将其应用于更广泛 的数学问题中。
应用实例
收集和整理韦达定理在不同领域的应用实例，展示其实际价值。
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韦达定理及其推广
目录
• 韦达定理的概述 • 韦达定理的证明 • 韦达定理的推广 • 韦达定理的应用实例 • 韦达定理的局限性 • 韦达定理的未来发展
01 韦达定理的概述
韦达定理的定义
韦达定理
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其根的和等于方程的一次项系数 除以二次项系数的负值，根的积等于 常数项除以二次项系数。
推广到复数域
韦达定理在复数域中的推广，主要是将实数 域中的根与系数的关系扩展到复数域。在复 数域中，根和系数的关系可以通过共轭复数 进行表述，并涉及到复数的模和幅角。
具体来说，如果一个n次多项式在复数域中的 根为α1, α2, ..., αn，那么这些根的共轭复数 和为0，即α1 + α2 + ... + αn = 0。此外， 根的乘积等于常数项除以首项系数，即α1 *
04 韦达定理的应用实例
在数学竞赛中的应用
代数方程的求解
函数性质分析
韦达定理在数学竞赛中常用于求解代数方程， 特别是二次方程和其变种。通过利用根与系 数的关系，可以快速找到方程的解。
利用韦达定理，可以分析函数的性质，如对 称性、单调性等。例如，通过分析二次函数 的根，可以判断函数的开口方向和顶点位置。
数学表达式
根的和 $x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$，根 的积 $x_1 cdot x_2 = frac{c}{a}$。
初中数学韦达定理
初中数学韦达定理韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它主要用于解二次方程。
通过韦达定理，我们可以快速地求得二次方程的根，并且可以判断根的性质。
韦达定理的表述如下：对于二次方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a≠0，它的两个根x1和x2的关系为x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。
下面我们通过一个具体的例子来说明韦达定理的应用。
假设有一个二次方程2x^2+3x-2=0，我们想要求解它的根。
首先，我们可以看出a=2，b=3，c=-2。
根据韦达定理，我们可以得到x1+x2=-3/2，x1*x2=-1。
接下来，我们可以利用韦达定理的结果来求解这个二次方程的根。
首先，我们可以通过求和的方式得到x1+x2的值，即-3/2。
然后，我们可以通过求积的方式得到x1*x2的值，即-1。
接下来，我们需要找出两个数，它们的和为-3/2，积为-1。
通过观察，我们可以发现这两个数分别为2和-1/2。
因此，这个二次方程的解为x=2和x=-1/2。
通过这个例子，我们可以看出韦达定理的实际应用价值。
通过韦达定理，我们可以简化求解二次方程的过程，只需要求出x1+x2和x1*x2的值，就可以得到二次方程的解。
这大大提高了我们解题的效率。
除了求解二次方程的根，韦达定理还可以帮助我们判断二次方程的根的性质。
根据韦达定理的结果，如果x1+x2>0且x1*x2>0，那么二次方程的两个根都是正数；如果x1+x2<0且x1*x2>0，那么二次方程的两个根一个是正数，一个是负数；如果x1+x2>0且x1*x2<0，那么二次方程的两个根一个是负数，一个是正数；如果x1+x2<0且x1*x2<0，那么二次方程的两个根都是负数。
这样，我们可以根据韦达定理的结果来判断二次方程的根的性质，从而更好地理解和应用二次方程。
韦达定理是初中数学中的一个基础定理，它在解二次方程和判断根的性质方面起着重要的作用。
什么是韦达定理
什么是韦达定理韦达定理（Vandermonde's Identity）是组合数学中一个重要的等式，经常用于解决排列组合问题。
由于题目并未明确要求按照特定的格式书写，因此以下内容将以段落形式呈现。
韦达定理是由18世纪法国数学家亚历山大·韦达（Alexandre-Théophile Vandermonde）提出的。
韦达定理的表述如下：对于任意非负整数m、n和非负整数k，韦达定理给出了如下等式：C(n + m, k) = ∑C(n, i) * C(m, k - i)其中，C(n, i)表示从n个元素中选择i个元素的组合数，也可以写作"n choose i"。
韦达定理的等式右侧为一个求和式，该式中的i从0到k，表示在一次组合中从n个元素中选择i个元素，以及在另一次组合中从m个元素中选择k-i个元素。
而通过累加，即可得到从n+m个元素中选择k个元素的组合数。
这个等式看起来可能有些抽象，我们来看一个具体的例子。
假设有两个集合A和B，分别包含1,2,3和4,5,6三个元素。
我们要从这两个集合中总共选择两个元素，即m = 3, n = 3, k = 2。
根据韦达定理，我们可以计算从这两个集合中选择两个元素的所有组合数。
根据等式左侧，C(3+3, 2) = C(6, 2) = 15，从6个元素中选择2个元素总共有15种组合方式。
接下来，我们可以使用等式右侧的求和式来计算这个结果。
当i = 0时，C(3, 0) = 1；C(3, 2-0) = C(3, 2) = 3，所以C(3, 0) * C(3,2-0) = 3。
当i = 1时，C(3, 1) = 3；C(3, 2-1) = C(3, 1) = 3，所以C(3, 1) * C(3,2-1) = 9。
当i = 2时，C(3, 2) = 3；C(3, 2-2) = C(3, 0) = 1，所以C(3, 2) * C(3,2-2) = 3。
韦达定理的内容
韦达定理的内容
韦达定理又称“拉边定理”，它是一个重要的分析几何定理，是由十八世纪意大利数学家黎曼·加道夫·韦达（Giacomo Luigi Rodolfo Guido Buffon）发现的。
它犹如一条 : 一个平面中若有任何三角形ABC，它的三边分别为a、b、c，那么它的周长L就是ab+bc+ca的二倍，即：
L = 2(ab + bc + ca)
它也可以把三角形的周长L表示为它的三条边的积的函数，即：
L = 2abc√
由此，韦达定理可以用来求解三角形的边长和周长，也可以用来证明某个三角形的边长及其周长的关系。
韦达定理具有广泛的应用，它可以用来求解三角形的面积，它可以帮助数学家建立圆形、椭圆形、角等几何定义，也可以用来证明蓝洞定理及其他几何定理，在物理和化学方面也有着广泛的应用。
韦达定理一般的证明有两种方法：一是采用几何三角计算的技巧，即立体几何法，必须运用齐次坐标变换和面积公式，去证明韦达定理；另一种是使用当今较为常见的代数方法，即使用高斯-秦九齐公式去证明。
从几何意义上来看，韦达定理告诉我们，任何一个平面三角形的周长是两倍其划分三角形边长之积。
这与它所反映出来的关系一致：面积：周长=周长：3边长=1/2
（ab+bc+ca）：2abc
因此可以说，韦达定理的证明有助于我们更好的理解对周长、面积以及三角形边长之间的关系，其中也运用了当今物理工程学中最常见的客观知识性几何计算知识和代数性证明方法，更是深刻地提升了我们对几何图形新奇、复杂几何定理的理解，具有重要的科学研究意义。
韦达定理
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 4 x1x 2
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 4 x1x 2
x13 x23 ( x1 x2)(x12 x1x2 x22 )
判断根的正负性，包括：
• 两根为正： ≥0 x1+x2＞0 x1x2＞0 • 两根为负： ≥0 x1+x2＜0 x1x2＞0 • 一正一负且 正根绝对值＞负根绝对值： ＞0 x1x2＜0 x1+x2＞0 • 一正一负且 正根绝对值＞负根绝对值： ＞0 x1x2＜0 x1+x2＜0 • 两根同号： ≥0 x1x2＞0 • 两根异号：x1x2＜0 a*c＜0
原式
b x1 x 2 a
c x1* x 2 a
已知根求方程：以x1、x2为根的一元二次方程
变形式
a( x x1)(x x2) 0
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 x1x 2 1 1 x1 x 2 x1 x 2 x1* x 2 x 2 x1 x12 x 2 2 x1 x 2 x1* x 2
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韦达定理 —知识总结
简介Βιβλιοθήκη 韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关 系。因为他是由法国数学家韦达最早发现，所以人 们把这个关系称为韦达定理。
韦达（1540-1603）他一生中最重要的贡献是对代数学 的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论。 他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐 述并改良了多次方程的解法，指出了根与系数之间的关 系。主要著有《分析法入门》、《论方程的识别与修 正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》。
韦达定理初中
韦达定理初中
韦达定理是初中数学中的一种重要的几何定理，用于求解三角形中的各种边长和角度。
韦达定理的表述为：在三角形ABC中，设D、E、F分别是BC、CA、AB上的三个点，则有：
$frac{BD}{DC} cdot frac{CE}{EA} cdot frac{AF}{FB} = 1$ 其中，BD、DC、CE、EA、AF、FB分别表示三角形ABC中的三条边BC、CA、AB被点D、E、F分割的比例。
韦达定理的证明可以使用相似三角形或者三角形内接圆的性质等方法，但是初中阶段一般不需要深入探讨证明方法，只需要熟练掌握使用即可。
韦达定理的应用非常广泛，可以用于求解三角形中的各种边长和角度，也可以用于证明各种几何问题。
因此，学好韦达定理对于初中数学的学习和理解几何知识非常重要。
- 1 -。
韦达定理逆定理
韦达定理逆定理
韦达定理（Weierstrass Theorem）是拉格朗日的变分法的基础，由德国数学家Karl Weierstrass于1876年提出。
该定理认为对于任意给定的函数f(x)和任意的实常数a，可以在区间[a,b]上找到一个点c，使得f(c)是这个区间上最小值或者最大值。
韦达定量逆定理（Weierstrass Inversion Theorem）是一种常用的数学定理，用于求解某个函数在某个区间上的极值。
其定义如下：设f(x)是一个连续函数，当x在区间[a,b]内时，f(x)有最小值c或最大值c，则必有一个点，使得f'(x)=0. 这个点就是韦达定理逆定理所要找的点。
即：如果在[a,b]上f(x)有最大值或最小值，则在[a,b]上存在一个点，使得f'(x)=0。
韦达定理(多元方程)
3. σk =
xi1 xi2 · · · xik
1≤i1 <···<ik ≤n
··· ··· ··· ··· ··· ···
4. σn = x1x2 · · · xn
以 5 個變元 x1, x2, x3, x4, x5 的初等對稱多項式為例，σ3 可以理解為，從 5 個變元選取 3 個， 共有 5C3 = 10 個不同組合，將每個組合的變元相乘，再將得到的積加總，便可得到 σ3：
f (x1, · · · , xi, · · · , xj, · · · , xn) = f (x1, · · · , xj, · · · , xi, · · · , xn)
則稱 f (x1, x2, · · · , xn) 為對稱多項式
例一. 若 g(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3 g(x1, x3, x2) = x1 + x3 + x2 = x1 + x2 + x3 = g(x1, x2, x3)
m − 重根(m-mutiple root)。 4. 與重根相對的是 單根(simple root)，單根是一個根，而不是重根。故若 c 是 f (x) 的一
個單根，則 f (x) 不能被 (x − c)2 整除。
代數基本定理(Fundamental Theorem of Algebra)
在複數範內，任何一個一元 n (n ≥ 1) 次多項式最少有一個根。
a0xn + a1xn−1 + · · · + an−1x + an = 0 = a0(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn)
將上式的右邊展開再與左式比較系數，便可得出：
韦达定理公式
韦达定理公式
韦达定理公式
韦达定理公式：
一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中
设两个根为x和y
则x+y=-b/a
xy=c/a
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2 (X)
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，∏是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是，那么
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种
关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程。
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韦达定理
如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-
，12c x x a
⋅= 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；
(2)求与方程的根有关的代数式的值；
(3)已知两根求作方程；
(4)已知两数的和与积，求这两个数；
(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；
（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.
注意：（1）222121212()2x x x x x x +=+-⋅ （2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅； 2
121212()4x x x x x x -=+-⋅ （3）①方程有两正根，则1212
000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；
②方程有两负根，则1212
000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；
③方程有一正一负两根，则12
00x x ∆>⎧⎨⋅<⎩； ④方程一根大于1，另一根小于1，则120(1)(1)0
x x ∆>⎧⎨--<⎩
（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。
根系关系的三大用处
（1）计算对称式的值
例1 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：
(1) 2212x x +；
(2)
1211x x +；
(3) 12(5)(5)x x --；
(4) 12||x x -．
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
222121212()2x x x x x x +=+-，121212
11x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，
33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．
（2）构造新方程
理论：以两个数12,x x 为根的一元二次方程是21212()0x x x x x x -++=。
例2 ：方程 x+y=5和 xy=6有共同的解，求x 、y 的值
（3）定性判断字母系数的取值范围
例3 一个三角形的两边长是方程
的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。
【典型例题】
例4 已知关于x 的方程221(1)104
x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．
分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类讨论．
说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥．
例5 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．
(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-
成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．
(2) 求使1221
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．
说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．
(2) 本题综合性较强，要学会对41
k +为整数的分析方法．
例6关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。
例71x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+
例8已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。
例9已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(442
2=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。
课堂练习
1、证明：方程0199719972=+-x x 无整数根。
2、已知关于x 的方程032=++a x x 的两个实数根的倒数和等于3，关于x 的方程023)1(2=-+-a x x k 有实根，且k 为正整数，求代数式
2
1--k k 的值。
3、已知关于x 的方程03)21(22=-+--a x a x ……①有两个不相等的实数根，且关于x 的方程01222=-+--a x x ……②没有实数根，问：a 取什么整数时，方程①有整数解？
4、已知关于x 的方程03)1(22
2=-++-m x m x
（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。
5、已知关于x 的方程01)12(2=-+-+k x k kx 只有整数根，且关于y 的一元二次方程03)1(2
=+--m y y k 的两个实数根为1y 、2y 。
（1）当k 为整数时，确定k 的值。
（2）在（1）的条件下，若m ＝2，求2221y y +的值。
6、已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实根，问：1x 、2x 能否同号？若能同号，请求出相应m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。
课后练习
1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是(
) A ．2k > B ．2,1k k <≠且 C ．2k < D ．2,1k k >≠且
2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则
1211x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ．12
D ．92 3．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于(
) A ．3- B ．5
C ．53-或
D ．53-或 4．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系
是( )
A ．M ∆=
B ．M ∆>
C ．M ∆<
D ．大小关系不能确定
5．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式
1111b a a b --+--的值为( ) A ．20- B ．2 C ．220-或 D ．220或
6.下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。
7.已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。
8.如果二次三项式k x x 2432+-在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k 的取值范围是 。
9.在一元二次方程02=++c bx x 中)(c b ≠，若系数b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的
个数是 。
10．下列方程中，无实数根的是（ ）
A 、011=-+-x x
B 、762=+y y
C 、021=++x
D 、0232=+-x x
11．若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ）
A 、43<m
B 、m ≤43
C 、43>m 且m ≠2
D 、m ≥4
3且m ≠2 12．在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）
A 、有两个不等实根
B 、有两个相等实根
C 、没有实根
D 、无法确定
13．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．
(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112
x x +=-，求m 的值．
14.已知关于x 的方程022=-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、n 的值。