11.Fourier 级数

注
求Fourier系数一般要用分部积分法，有时甚至 要多次分部积分，较麻烦且容易出错，此外，某 些an , bn 需要单独计算，容易忽略而导致错误
求函数的Fourier级数展开式，主要的工作是计算 Fourier系数，利用函数的奇偶性可简化Fourier系 数计算， 当f ( x ) 是奇函数时 1 an f ( x ) cos nxdx 0
a0 f ( x ) 条件 ? (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
以上我们是在f ( x ) 可以展开成三角级数并可以 逐项积分的前提下讨论问题的，下面我们撇开这个 前提 对一般的以2 为周期的函数 f ( x ) 只要公式中的积分都存在，就可以定出系数
an
试求其Fourier级数的和函数
3 s( x )在 x , ,10各点处的值 2
解
s( x )是以2为周期的函数
f ( x )在整个数轴上连续 ，
其Fourier级数处处收敛于f ( x )本身
s( ) 0
3 s( ) s( 2 ) s( ) 2 4 2 2
n1
1 bn f ( x ) sin nxdx 傅里叶系数
( n 1,2,3,)
1 an f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) b 1 n f ( x ) sin nxdx, (n 1,2,)
4 1 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7
4 1 1 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7t sin 9t ) 3 5 7 9
4 1 1 1 u( t ) (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7
当x k时, 收敛于f ( x ).
1 an u( t ) cos ntdt 1 0 ( Em ) cos ntdt 1 Em cos ntdt 0 0 1 bn u( t ) sin ntdt

和函数图象为
u
Fourier 级数
前面两节我们讨论了一般项是非负整数次幂的 幂函数的函数项级数------幂级数，给出了幂级数 的收敛半径和收敛域的求法，讨论了函数展开为 幂级数的条件及函数展开为幂级数的直接展开法、 间接展开法。 从本节开始我们来讨论一般项是三角函数的函 数项级数------三角级数，重点讨论如何把函数展 开为三角级数的问题，它的重要应用之一是对周 期信号进行频谱分析，是学习积分变换的基础， 也可利用三角级数展开式求出某些数项级数的和
0 1 | x | f ( x) | x | 2 x 写出s( x )在[ , ]上的表达式
解
f ( x )如右图所示
满足收敛定理的条件


0 2 | x | x | x | 2 s( x ) x 2 1 1 x2 x x 2 x 0 例3 f ( x ) x x 2 0 x
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1三角级数2.三角函数系的正交性
三角函数系
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,cos nx , sin nx ,
正交 : 任意两个不同函数在 [ , ]上的积分等于零 .
2

2

( n 1,2,)
bn 0 ( n 1,2,)
此时其Fourier级数展开式是只含有常数项和余弦 项而没有正弦项的余弦级数
a0 an cos nx 2 n 1
例2
设s( x )是以2为周期的函数f ( x )的F 级数的和函数
f ( x )在一个周期内的表达式为
bn
( n 0,1,2,) ( n 1,2,)
f ( x ) sin nxdx
2

此时其Fourier级数展开式是只含有正弦项而没有 常数项和余弦项的正弦级数
bn sin nx n1

当f ( x ) 是偶函数时
a0 an
f ( x )dx f ( x ) cos nxdx
一、问题的提出
在自然科学与工程技术问题中，常会遇到周期现 象具有周期现象的量，每经过时间 T 后所取的值就 重复出现，这样的量在数学上可表示成时间 t 的周 期函数 f(t+T)=f(t) 正弦函数是一类比较简单的周期函数，而且是应 用十分广泛的一类周期函数。如在简谐振动和正弦电 路电流分析中常遇到正弦型函数
三、函数展开成傅里叶级数
问题: 1.若能展开, ai , bi 是什么? 2.展开的条件是什么? 1.傅里叶系数
a0 若有 f ( x ) (ak cos kx bk sin kx) 2 k 1 (1) 求a0 . a0 f ( x )dx dx [ (ak cos kx bk sin kx)]dx 2 k 1
y A sin(t )
但是在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到 非正弦周期函数，它们反映了较复杂的周期运动
非正弦型周期函数：巨形波 u( t ) 1, 当 t 0 u 1, 当0 t
1

o
1

t
如何深入地研究非正弦型周期函数呢？联系到前面 介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数，我 们也想将周期函数展开成简单的周期函数如正弦函数 组成的级数 不同频率的正弦波逐个叠加
cos nxdx 0,


sin nxdx 0,

0, m n sin mx sin nxdx , m n, 0, m n cos mx cos nxdx , m n,

sin mx cos nxdx 0.

(其中m, n 1,2,)
(2) 当x 是 f ( x ) 的间断点时,
f ( x 0) f ( x 0) 收敛于 ; 2 (3) 当x 为端点 x 时,
f ( 0) f ( 0) 收敛于 . 2
注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多. 例 1 以2 为周期的矩形脉冲的波形 u
b 的傅里叶系数a n 、n 与 n 、 n ( n 0,1,2,)
之间有何关系？
思考题解答
1 an ( x ) cos nxdx 1 ( t ) cos( nt )d ( t ) 1 ( x ) cos nxdx 1 ( x ) cos nxdx
( n 0,1,2,)
bn ( n 1,2,)
并可唯一地写出f ( x ) 的 F -----级数 a0 f ( x ) ~ (an cos nx bn sin nx ) 2 n 1 至于这个级数是否收敛，如收敛是否收敛到f ( x ) 的问题 ，有以下定理
2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 设 f ( x ) 是以2 为周期的周期函数.如果它满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且 至多只有有限个极值点,则 f ( x ) 的傅里叶级数收敛, 并且 (1) 当x 是 f ( x ) 的连续点时,级数收敛于 f ( x ) ;
0t Em , u( t ) Em , t
m
E

o
Em

t
将其展开为傅立叶级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
在点x k( k 0, 1, 2,)处不连续.
Em Em E m ( E m ) 0, 收敛于 2 2
以电路计算为例，往往将以 T 为周期的函数化 成一系列不同频率的正弦量之和。
y An sin( nt n ) A0 An sin( nt n )
n 1 n 1
将周期函数按上述方式展开，其物理意义是很明确 的，这就是把一个比较复杂的周期运动看成一系列不 同频率的简谐振动的叠加
a0 dx ak cos kxdx bk sin kxdx 2 k 1 k 1
a0 2 , 2
1 a0 f ( x )dx
( 2) 求an .
a0 f ( x ) cos nxdx cos nxdx 2 [ak cos kx cos nxdx bk sin kx cos nxdx ]
二、三角级数 三角函数系的正交性
1.三角级数
f ( t ) A0 An sin( nt n )
n1 n1

谐波分析
A0 ( An sin n cos nt An cos n sin nt )
a0 令 A0 , an An sin n , bn An cos n , t x , 2
m
E

o
Em

t
( n 0,1,2,)
1 0 1 ( Em ) sin ntdt Em sin ntdt 0
2 Em 2 Em [1 ( 1) n ] (1 cos n) n n
4 Em , n 2k 1, k 1, 2, ( 2k 1) 0, n 2k , k 1, 2,
1 2 an 0 f ( x ) cos nxdx, ( n 0,1,2,) 或 1 2 b n 0 f ( x ) sin nxdx, (n 1,2,)
傅里叶级数
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1