图象如3简谐运动的能量简谐运动过程中
简谐运动简谐运动的图象
简谐运动简谐运动的图象1、简谐运动简谐运动的图象2、简谐运动的能量特征受迫振动共振3、实验：用单摆测定重力加速度简谐运动简谐运动的图象：1、简谐运动：简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，是一种变加速运动。
2、弹簧振子（1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）。
（2）当与弹簧振子相接的小球体积较小时，可以认为小球是一个质点。
（3）当水平杆足够光滑时，可以忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。
（4）小球从平衡位置拉开的位移在弹簧的弹性限度内。
3、单摆：悬挂物体的细线的伸缩和质量可以忽略，线长比物体的直径大得多。
单摆是实际摆的理想模型。
单摆摆动的振幅很小即偏角很小时，单摆做简谐运动。
4、描述简谐运动特征的物理量（1）位移、简谐运动的位移，以平衡位置为起点，方向背离平衡位置。
（2）回复力：回复力的作用效果是使振子回到平衡位置。
简谐运动中，，负号表示力的方向总是与位移的方向相反。
（3）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需的时间。
用T表示，单位秒（s）。
单摆周期弹簧振子的频率只与弹簧的劲度系数和振子质量有关。
（4）频率：单位时间内完成全振动的次数。
用f表示，单位赫兹（Hz）。
周期与频率的关系：（5）振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离。
5、简谐运动的公式描述：，A是简谐运动的振幅，ω是圆频率（或角频率），叫简谐运动在t时刻的相位，是初相位。
6、简谐运动的图象简谐运动的图象是正弦（或余弦）函数图象（注意简谐运动的具体图象形状，取决于t=0时振动物体的位置和正方向的选取，可参看“例1”）。
简谐运动图象的应用如下：（1）可直观地读取振幅A、周期T、各时刻的位移x及各时刻的振动速度的方向和加速度的方向；（2）能判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。
7、简谐运动的能量：如忽略摩擦力，只有弹力做功，那么振动系统的动能与势能互相转换，在任意时刻动能和势能的总和，即系统的机械能保持不变，机械能由振幅决定。
简谐运动的回复力和能量知识讲解
kx2
Ek
1 2
mv2
a kx m
EEk Ep
（1）关于平衡位置的 对称点 ①a、F、X大小相同，方向相反； 动能势能相同
②V大小相同，方向不一定 （2）先后通过同一位置
①a、F、X，动能势能相同
②V大小相同，方向相反
3
(多选)在物体做简谐运动的过程中，t1、t2 两时刻物体 分别处在关于平衡位置对称的两点，则从 t1 至 t2 这段时间物
体的( ABD ) X大小相同 → EP相同 → Ek相同
A．t1、t2 两时刻动能一定相同
B．t1、t2 两时刻势能一定相同
C．速度一定先增大，后减小
D．加速度可能先增大，后减小，再增大
Aa
O
bB
振子连续两次通过P位置，下列 各量哪些是相同的？
位移（ √ ） 回复力（ √ ） 加速度（ √ ） 动能（ √ ）
势能（ √ ） 速率（ √ ） 速度（ × ） 动量（ × ）
x
A
O PB
二.简谐运动的能量
简谐运动中动能和势能在发生相互转化，但机械 能的总量保持不变，即机械能守恒。
简谐运动的能量由劲度系数和振幅决定.
E12kA2 12mm2
试画出物体在做简谐运动时的Ek-t和Ep-t及E-t图象
E
机械能
势能
0A O B
证明:平衡状态时有:
KX0 K（X+X0)
mg
mg
F 当向下拉动x长度时弹簧所 受的合外力为
Fk(xx0)-mg kxkx0-mg
kx
振动方向上合力F与位移X 方向相反，故 F= - kx成立， 该振动为简谐运动
分析总结：结合下图完成下表
高中物理：简谐运动
高中物理：简谐运动【知识点的认识】简谐运动1．定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象是一条正弦曲线，这样的振动叫简谐运动。
2．简谐运动的描述（1）描述简谐运动的物理量①位移x：由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，是矢量。
②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱。
③周期T和频率f：物体完成一次全振动所需的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成全振动的次数，它们是表示振动快慢的物理量。
二者互为倒数关系。
（2）简谐运动的表达式x＝Asin（ωt+φ）。
（3）简谐运动的图象①物理意义：表示振子的位移随时间变化的规律，为正弦（或余弦）曲线。
②从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asinωt，图象如图1所示。
从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acosωt，图象如图2所示。
3．简谐运动的回复力（1）定义：使物体返回到平衡位置的力。
（2）方向特点：回复力的大小跟偏离平衡位置的位移大小成正比，回复力的方向总指向平衡位置，即F＝﹣kx。
4．简谐运动的能量简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒，振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大。
5．简谐运动的两种基本模型弹簧振子（水平）单摆模型示意图条件忽略弹簧质量、无摩擦等阻力细线不可伸长、质量忽略、无空气等阻力、摆角很小平衡位置弹簧处于原长处最低点回复力弹簧的弹力提供摆球重力沿与摆线垂直（即切向）方向的分力周期公式T ＝2π（不作要求）T ＝2π能量转化弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒重力势能与动能的相互转化，机械能守恒【命题方向】常考题型是考查简谐运动的概念：简谐运动是下列哪一种运动（）A ．匀变速运动B ．匀速直线运动C ．变加速运动D ．匀加速直线运动分析：根据简谐运动的加速度与位移的关系，分析加速度是否变化，来判断简谐运动的性质，若加速度不变，是匀变速直线运动；若加速度变化，则是变加速运动。
解：根据简谐运动的特征：a ＝﹣，可知物体的加速度大小和方向随位移的变化而变化，位移作周期性变化，加速度也作周期性变化，所以简谐运动是变加速运动。
简谐运动的恢复力和能量课件高二上学期物理人教版选择性
CONTENTS
当我们把弹簧振子的小球拉离 平衡位置释放后，小球就会在 平衡位置附近做简谐运动。
思考1:小球为什么会做往复运动? 存在力和惯性
思考2:小球的受力满足什么特点才会做这种运动呢？
x
F
x F
AC O DB x F
AC OD B Fx
A CO DB
A C O DB
所受的合力总是指向平衡位置且与振子位移方向相反
常用步骤：（1）找平衡位置 （2）找回复力
（3）找F=kx （4）找方向关系
如图，一弹簧上端固定，劲度系数为k，另一端挂一质量为m的小球，平衡 位置时弹簧的形变量为x0，释放后小球做上下运动，弹簧此时没有超出弹 性限度，小球的运动是简谐运动吗？其回复力是谁提供的？
证明：平衡位置时弹簧的形变量为x0， 则 mg=kx0 当小球向下运动到离平衡位置的距离是x时， 回复力：F=mg-k(x0+x) 得F=-kx， 即小球的运动是简谐运动。 重力和弹力的合力提供回复力
“-” 表示回复力方向始终与位移方向相反. 4.方向: 总是指向平衡位置.
5.注意：K在弹簧振子中表示劲度系数，而在其他振动系统中表示由系 统本身决定的系数
6.简谐运动的定义的另一种表述：
回复力满足 F= -kx的运动就是简谐运动。
7.判断物体是否做简谐运动的两种方法
2.F-x 满足 F=-kx的形式
始时小球静止于O点。现用一竖直向上的拉力将小球缓慢拉至P点，此时弹
簧恢复原长。t=0时刻撤去拉力，小球由静止开始做简谐运动，经时间 t
第一次回到O点，已知弹簧的形变量为x时，弹性势能为
EP
1 2
kx2
，重力加
速度为g。求：
（1）小球的振幅A；
《简谐运动的图象》课件
简谐运动的波形和波长
展示简谐运动在波形和波长方 面的图象表现。
简谐运动在坐标系中的 图象
演示简谐运动在坐标系中的图 像表示。
理解简谐运动的相位和相位差
1
相位和相位差的定义
阐述相位和相位差的意义和物理定义。
2
相位差的图象表示
使用图像描述相位差在简谐运动中的图象表现。
简谐运动的图象的重要性和应用
总结简谐运动图象在物理学中的重要作用和实际应用。
简谐运动在物理学中的表现意义
说明简谐运动在物理学领域中的意义和应用。
未来研究方向和应用前景
展望简谐运动的未来研究方向和应用前景。
《简谐运动的图象》PPT 课件
这是一份关于《简谐运动的图象》的PPT课件。通过生动的图像和简洁的文 字，帮助大家更好地理解简谐运动的概念和特性。
介绍简谐运动
定义
解释简谐运动的概念和基本含义。
方程
介绍简谐运动的数学表示方式。
特点和性质
描述简谐运动的特点和表现方式。
理解简谐运动的图象
幅度、周期、频率的概念
3相位差对简谐运动的影响源自讨论相位差如何影响简谐运动的特性和行为。
应用简谐运动的图象
波的叠加原理和干涉现象
说明波的叠加原理以及简谐运动在干涉现象中的应用。
球的竞赛问题与简谐运动的应用
介绍如何利用简谐运动的概念解决球的竞赛问题。
摆的周期问题与简谐运动的应用
探讨简谐运动在摆的周期问题中的应用和意义。
总结
简谐运动的六种图象
简谐运动的六种图象简谐运动的六种图象北京顺义区杨镇第⼀中学范福瑛简谐运动在时间和空间上具有运动的周期性，本⽂以⽔平⽅向弹簧振⼦的简谐运动为情境，⽤图象法描述其位移、速度、加速度及能量随时间和空间变化的规律，从不同⾓度认识简谐运动的特征．运动情境：如图1，弹簧振⼦在光滑的⽔平⾯B、C之间做简谐运动，振动周期为T，振幅为A，弹簧的劲度系数为K。
以振⼦经过平衡位置O向右运动的时刻为计时起点和初始位置，取向右为正⽅向。
分析弹簧振⼦运动的位移、速度、加速度、动能、弹性势能随时间或位置变化的关系图象。
1.位移-时间关系式，图象是正弦曲线，如图22．速度-时间关系式，图象是余弦曲线，如图33．加速度-时间关系式，图象是正弦曲线，如图44.加速度-位移关系式，图象是直线，如图55．速度-位移关系式，图象是椭圆，如图6，整理化简得6．能量-位移关系弹簧和振⼦组成的系统能量（机械能）守恒，总能量不随位移变化，如图7直线c弹性势能，图象是抛物线的⼀部分，如图7曲线b振⼦动能，图象是开⼝向下的抛物线的⼀部分，如图7曲线a图象是数形结合的产物，以上根据简谐运动的位移、速度、加速度、动能、弹性势能与时间或位移之间的关系式，得到对应的图象，从不同⾓度直观、全⾯显⽰了简谐运动的规律，同时体现了数与形的和谐完美统⼀。
2011-12-20 ⼈教⽹【基础知识精讲】1.振动图像简谐运动的位移——时间图像叫做振动图像，也叫振动曲线.(1)物理意义：简谐运动的图像表⽰运动物体的位移随时间变化的规律，⽽不是运动质点的运动轨迹.(2)特点：只有简谐运动的图像才是正弦(或余弦)曲线.2.振动图像的作图⽅法⽤横轴表⽰时间，纵轴表⽰位移，根据实际数据定出坐标的单位及单位长度，根据振动质点各个时刻的位移⼤⼩和⽅向指出⼀系列的点，再⽤平滑的曲线连接这些点，就可得到周期性变化的正弦(或余弦)曲线.3.振动图像的运⽤(1)可直观地读出振幅A、周期T以及各时刻的位移x.(2)判断任⼀时刻振动物体的速度⽅向和加速度⽅向(3)判定某段时间内位移、回复⼒、加速度、速度、动能、势能的变化情况.【重点难点解析】本节重点是理解振动图像的物理意义，难点是根据图像分析物体的运动情况.⼀切复杂的振动都不是简谐运动.但它们都可以看做是若⼲个振幅和频率不同的简谐运动的合运动.所有简谐运动图像都是正弦或余弦曲线，余弦曲线是计时起点从最⼤位移开始，正弦曲线是计时起点从平衡位置开始，即⼆者计时起点相差.我们要通过振动图像熟知质点做简谐运动的全过程中，各物理量⼤⼩、⽅向变化规律.例1⼀质点作简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如下图所⽰，由图可知，在t=4S时，质点的( )A.速度为正最⼤值，加速度为零B.速度为负最⼤值，加速度为零C.速度为零，加速度为正最⼤值D.速度为零，加速度为负最⼤值解析：(1)根据简谐运动特例弹簧振⼦在⼀次全振动过程中的位移、回复⼒、速度、加速度的变化求解.由图线可知，t=4s时，振动质点运动到正最⼤位移处，故质点速度为零，可排除A、B选项.质点运动到正最⼤位移处时，回复⼒最⼤，且⽅向与位移相反，故加速度为负最⼤值，故选项D正确.(2)利⽤图线斜率求解.该图线为位移、时间图像，其曲线上各点切线的斜率表⽰速度⽮量.在t=4s时，曲线上该点切线的斜率为零，故该点速度⼤⼩为零，可排除A、B项.由简谐运动的动⼒学⽅程可得a=-x,当位移最⼤时，加速度最⼤，且⽅向与位移⽅向相反，故选项D正确.说明本题主要考查简谐运动过程中的位移，回复⼒，速度和加速度的变化情况.运⽤斜率求解的意义可进⼀步推得质点在任意瞬间的速度⼤⼩，⽅向.t=1s、3s时质点在平衡位置，曲线此时斜率最⼤，速度最⼤，但1s时斜率为负，说明质点正通过平衡位置向负⽅向运动，3s时斜率为正，表过质点通过平衡向正⽅向运动.例2如下图所⽰是某弹簧振⼦的振动图像，试由图像判断下列说法中哪些是正确的.( )A.振幅为3m，周期为8sB.4s末振⼦速度为负，加速度为零C.第14s末振⼦加速度为正，速度最⼤D.4s末和8s末时振⼦的速度相同解析：由图像可知振幅A=3cm，周期T=8s，故选项A错.4s末图线恰与横轴相交，位移为零，则加速度为零.过这⼀点作图线的切线，切线与横轴的夹⾓⼤于90°(或根据下⼀时刻位移为负)，所以振⼦的速度为负.故选项B正确.根据振动图像的周期性，可推知第14s末质点处于负的最⼤位移处(也可以把图线按原来的形状向后延伸⾄第14s末)，因此质点的加速度为正的最⼤值，但速度为零，故选项C 错误.第4s末和第8s末质点处在相邻的两个平衡位置，则速度⽅向显然相反(或根据切线斜率判断)，所以选项D错误.选B.说明根据简谐运动图像分析简谐运动情况，关键是要知道图像直接表⽰出哪些物理量，间接表⽰了哪些物理量，分析间接表⽰的物理量的物理依据是什么.【难题巧解点拨】简谐运动图像能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图像跟具体的运运过程联系起来不失为讨论简谐运动的⼀种好⽅法.(1)从简谐运动图像可直接读出不同时刻t的位移值，从⽽知道位移x随时间t的变化情况.(2)在简谐运动图像中，⽤作曲线上某点切线的办法可确定各时刻质点的速度⼤⼩和⽅向，切线与x轴正⽅向的夹⾓⼩于90°时，速度⽅向与选定的正⽅向相同，且夹⾓越⼤表明此时质点的速度越⼤.当切线与x轴正⽅向的夹⾓⼤于90°时，速度⽅向与选定的正⽅向相反，且夹⾓越⼤表明此时质点的速度越⼩.也可以根据位移情况来判断速度的⼤⼩，因为质点离平衡位置越近，质点的速度就越⼤，⽽最⼤位移处，质点的速度为零.(3)由于简谐运动的加速度与位移成正⽐，⽅向相反，故可以根据图像上各时刻的位移变化情况确定质点加速度的变化情况.同样，只要知道了位移和速度的变化情况，也就不难判断出质点在不同时刻的动能和势能的变化情况.根据简谐运动图像分析其运动情况，⽅法直观有效.简谐运动的周期性是指相隔⼀个周期或周期的整数倍时，这两个时刻质点的振动情况完全相同，即质点的位移和速度⼤⼩和⽅向(以⾄于回复⼒、加速度等)都总是相同的.同相的两个时刻之差等于周期的整数倍，这两个时刻的振动情况完全相同；但是位移相同的两个时刻，不⼀定是同相的，振⼦通过某⼀位置时，它们的位移相同，但它们的速度⽅向可能相同，也可能相反.如果时间相隔半个周期的奇数倍时，这两个时刻的振动反“相”，其振动位移和速度⼤⼩相等，⽅向相反.例甲、⼄两⼈先后观察同⼀弹簧振⼦在竖直⽅向上下振动的情况.(1)甲开始观察时，振⼦正好在平衡位置并向下运动.试画出甲观察到的弹簧振⼦的振动图像.已知经过1s后，振⼦第⼀次回到平衡位置.振⼦振幅为5cm(设平衡位置上⽅为正⽅向，时间轴上每格代表0.5s).(2)⼄在甲观察3.5s后，开始观察并记录时间.试画出⼄观察到的弹簧振⼦的振动图像.解析：由题意知，振⼦的振动周期T=2s，振幅A=5cm.根据正⽅向的规定，甲观察时，振⼦从平衡位置向-y⽅向运动，经t=0.5s，达到负⽅向最⼤位移，⽤描点法得到甲观察到的振⼦图像如图(甲)所⽰.因为t=3.5s=1T，根据振动的重复性，这时振⼦的状态跟经过t′=T的状态相同，所以⼄开始观察时，振⼦正好处于正向最⼤位移处，其振动图像如图(⼄)所⽰.【课本难题解答】167页(3)题：a.处在平衡位置左侧最⼤位移处；b.4S；c.10cm,d.200N,400m/s2【命题趋势分析】本节主要考查学⽣运⽤图像来表达给出的条件，然后去回答问题的能⼒，命题⼀般以选择、填空形式出现.【典型热点考题】例1如下图所⽰为⼀单摆(单摆周期公式T=2π)及其振动图像由图回答：(1)单摆的振幅为，频率为，摆长为，⼀周期内位移x(F回，a，E p)最⼤的时刻为.(2)若摆球从E指向G为正⽅向，α为最⼤摆⾓，则图像中O、A、B、C点分别对应单摆中点.⼀周期内加速度为正且减⼩，并与速度同⽅向的时间范围是，势能增加且速度为正的时间范围是.解析：(1)由图像可知：A=3cm,T=2s,振动频率f==0.5Hz,摆长l==1(m)，位移为最⼤值时刻为0.5s末和1.5s末.(2)图像中O点位移为零，O到A过程位移为正，且增⼤，A处最⼤，历时周期，即摆球是从E点起振并向G⽅向运动的.所以O对应E，A对应G，A到B的过程分析⽅法相同，因⽽O、A、B、C分别对应E、G、E、F点.摆动中F、E间加速度为正且向E过程中减⼩，在图像中为C到D过程，时间范围1.5s～2.0s.从E向两侧运动势能增加，从E向G的过程速度为正，在图像中为从O到A，时间范围是0～0.5s.例2下图(甲)是演⽰简谐振动图像的装置，当盛沙漏⽃下⾯的薄⽊板N被匀速地拉，摆动着的漏⽃中漏出的沙在板上形成的曲线显⽰出摆的位移随时间变化的关系.板上的直线OO′代表时间轴.下图(⼄)是两个摆中的沙在⾃各⽊板上形成的曲线.若板N1和板N2的速度υ1和υ2的关系为υ2=2υ1，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为( )A.T2=T1B.T2=2T1C.T2=4T1 D.T2=T1解析：因N2板和N1板匀速拉过的距离相同，故两板运动时间之⽐==2. ①在这段距离为N1板上⽅的摆只完成⼀个全振动，N2板上⽅的摆已完成两个全振动，即t1=T1和t2=2T2. ②将②式代⼊①式，得T2=T1.可知选项D正确.【同步达纲练习】1.⼀质点做简谐运动的振动图像如下图所⽰，由图可知t=4s时质点( )A.速度为正的最⼤值，加速度为零B.速度为零，加速度为负的最⼤值C.位移为正的最⼤值，动能为最⼩D.位移为正的最⼤值，动能为最⼤2.如下图中，若质点在A对应的时刻，则其速度υ、加速度a的⼤⼩的变化情况为( )A.υ变⼤，a变⼤B.υ变⼩，a变⼩C.υ变⼤，a变⼩D.υ变⼩，a变⼤3.某质点做简谐运动其图像如下图所⽰，质点在t=3.5s时，速度υ、加速度α的⽅向应为( )A.υ为正，a为负B.υ为负，a为正C.υ、a都为正D.υ、a都为负4.如下图所⽰的简谐运动图像中，在t1和t2时刻，运动质点相同的量为( )A.加速度B.位移C.速度D.回复⼒5.如下图所⽰为质点P在0～4s内的振动图像，下列说法中正确的是( )A.再过1s，该质点的位移是正的最⼤B.再过1s，该质点的速度⽅向向上C.再过1s，该质点的加速度⽅向向上D.再过1s，该质点的加速度最⼤6.⼀质点作简谐运动的图像如下图所⽰，则该质点( )A.在0⾄0.01s内，速度与加速度同⽅向B.在0.01⾄0.02s内，速度与回复⼒同⽅向C.在0.025s末，速度为正，加速度为负D.在0.04s末，速度为零，回复⼒最⼤7.如下图所⽰，简谐运动的周期等于s，振幅m，加速度为正的最⼤时刻是，负的最⼤时刻是，速度为正的最⼤时刻是，负的最⼤时刻是，0.1s末与0.2s 末的加速度⼤⼩分别是a1与a2，则⼤⼩是a1，0.1s末与0.2s末其速度⼤⼩分别υ1与υ2，则其⼤⼩是υ1υ2.8.下图(A)是⼀弹簧振⼦，O为平衡位置，BC为两个极端位置，取向右为正⽅向，图(B)是它的振动图线，则：(1)它的振幅是cm,周期是s,频率是Hz.(2)t=0时由图(B)可知，振⼦正处在图(A)中的位置，运动⽅向是(填“左”或“右”)，再经过s,振⼦才第⼀次回到平衡位置.(3)当t=0.6s时，位移是cm，此时振⼦正处于图(A)中的位置.(4)t由0.2s⾄0.4s时，振⼦的速度变(填“⼤”或“⼩”，下同)，加速度变，所受回复⼒变，此时速度⽅向为(填“正”或“负”，下同)，加速度⽅向为，回复⼒⽅向为.【素质优化训练】9.如下图所⽰，下述说法中正确的是( )A.第2s末加速度为正最⼤，速度为0B.第3s末加速度为0，速度为正最⼤C.第4s内加速度不断增⼤D.第4s内速度不断增⼤10.⼀个做简谐振动的质点的振动图像如下图所⽰，在t1、t2、t3、t4各时刻中，该质点所受的回复⼒的即时功率为零的是( )A.t4B.t3C.t2D.t111.如下图所⽰为⼀单摆做间谐运动的图像，在0.1～0.2s这段时间内( )A.物体的回复⼒逐渐减⼩B.物体的速度逐渐减⼩C.物体的位移逐渐减⼩D.物体的势能逐渐减⼩12.⼀个弹簧振⼦在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，如下图a所⽰，以某⼀时刻作计时起点(t为0)，经周期，振⼦具有正⽅向增⼤的加速度，那么在下图b所⽰的⼏个振动图像中，正确反映振⼦振动情况(以向右为正⽅向)的是( )13.弹簧振⼦做简谐运动的图线如下图所⽰，在t1⾄t2这段时间内( )A.振⼦的速度⽅向和加速度⽅向都不变B.振⼦的速度⽅向和加速度⽅向都改变C.振⼦的速度⽅向改变，加速度⽅向不变D.振⼦的速度⽅向不变，加速度⽅向改变14.如下左图所⽰为⼀弹簧振⼦的简谐运动图线，头0.1s内振⼦的平均速度和每秒钟通过的路程为( )A.4m/s,4mB.0.4m/s,4cmC.0.4m/s,0.4mD.4m/s,0.4m15.如上右图所⽰是某弹簧振⼦在⽔平⾯内做简谐运动的位移-时间图像，则振动系统在( )A.t1和t3时刻具有相同的动能和动量B.t1和t3时刻具有相同的势能和不同的动量C.t1和t5时刻具有相同的加速度D.t2和t5时刻振⼦所受回复⼒⼤⼩之⽐为2∶116.从如下图所⽰的振动图像中，可以判定弹簧振⼦在t= s 时，具有正向最⼤加速度；t= s时，具有负⽅向最⼤速度；在时间从s ⾄s内，振⼦所受回复⼒在-x⽅向并不断增⼤；在时间从s⾄s内振⼦的速度在+x⽅向上并不断增⼤.17.如下图所⽰为两个弹簧振⼦的振动图像，它们振幅之⽐A A∶A B= ；周期之⽐T A∶T B= .若已知两振⼦质量之⽐m A∶m B=2∶3，劲度系数之⽐k A∶k B=3∶2，则它们的最⼤加速度之⽐为.最⼤速度之⽐.18.⼀⽔平弹簧振⼦的⼩球的质量m=5kg，弹簧的劲度系数50N/m，振⼦的振动图线如下图所⽰.在t=1.25s时⼩球的加速度的⼤⼩为，⽅向；在t=2.75s时⼩球的加速度⼤⼩为，速度的⽅向为.19.如下图所⽰，⼀块涂有碳⿊的玻璃板，质量为2kg，在拉⼒F的作⽤下，由静⽌开始竖直向上做匀变速运动，⼀个装有⽔平振针的振动频率为5Hz的固定电动⾳叉在玻璃板上画出了图⽰曲线，量得OA=1.5cm,BC=3.5cm.求：⾃玻璃板开始运动，经过多长时间才开始接通电动⾳叉的电源?接通电源时玻璃板的速度是多⼤?【知识探究学习】沙摆是⼀种经常⽤来描绘振动图像的简易演⽰实验装置.同学们弄清如下问题对深⼊细致地理解沙摆实验很有帮助.(1)⽔平拉动的玻璃板起到了怎样的怎⽤?答：使不同时刻落下的沙⼦不会重叠，区别出各时刻沙摆的位置，起到了相当于⽤时间扫描的作⽤.(2)为什么要匀速拉动玻璃板?答：因为沙摆实验显⽰的是纵轴表⽰位移、横轴表⽰时间的单摆振动较图像，玻璃板的中轴线就是表⽰时间的横轴.⽽时间轴应是均匀的，所以玻璃板必须匀速拉动.(3)玻璃板静⽌时沙⼦落下形成沙堆的形状是怎样的?答：应为中间凹两端⾼的沙堆如图1-A，不能为图1-B的形状.原因是沙摆过最低点的速度最快，所以中间漏下的沙⼦最少.(4)玻璃板抽动速度的⼤⼩对图像的形状有什么影响?答：玻璃板的速度越⼤，图像中OB段的长度也越⼤，其中=υ(式中υ为玻璃板抽动的速度，T为沙摆的周期).因图2-A⽐图2-B中的抽动速度⼤；所以OB的长度前者也⽐后者⼤，但不能说成周期变⼤.另外图像的振幅不受玻璃板抽动速度的影响.(5)由这个实验能否求出拉动玻璃板的速度?答：能够利⽤式⼦υ=/T求出，这时需要测出沙摆的周期和的长度，并多测⼏组数据，求出其平均值.(6)玻璃板的速度恒定，形成的图像是否为正弦(或余弦)曲线?答：严格的说不是.因为随着沙⼦的漏下，沙摆的周期越来越⼤，⼀个周期⾥玻璃板的位移越来越⼤，图像出现变形.沙⼦全部漏出后，沙摆的周期⼜保持不变，但这时没有图像了.当然如果沙粒很细，漏孔⼜很⼩，⽽且沙摆线摆动的⾓度很⼩(⼩于5°)，那么开始的⼀段图像，可近似看成是正弦(或余弦)曲线.参考答案【同步达纲练习】1.B、C2.C3.A4.C5.A、D6.A、D7.5；0.1；1.5s末；0.5s末；0与2s末；1s末；＜；＞8.(1)2；0.8；1.25 (2)0；右；1.4；-2；C；⼤；⼩；⼩；负；负；负【素质优化训练】9.A、B、C 10.D 11.A、C、D 12.D 13.D 14.C 15.B、D16.0.4；0.2；0.6；0.8；0.4；0.617.2∶1；2∶3；9∶2；3∶118.6m/s2；向上；0；向下19.0.1s；0.1m/s—。
简谐运动
弹簧振子
概念： 小球和弹簧所组成的系统称作弹簧振子，有时也把这样的小球称做弹簧振 子或简称振子。
理想化模型： ①不计阻力 ②弹簧的质量与小球相比可以忽略。 振子的运动是怎样一种运动呢？
弹簧振子的位移随时间变化规律
位移随时间的变化规律 振子的位移x都是相对于平衡位置的位移，以平衡位置为坐标原点O，沿 振动方向建立坐标轴。规定在O点右边时位移为正，在左边时位移为负。
简谐运动记录方法的应用
上述记录振动的方法在实际中有很多应用。 医院里的心电图及地震仪中绘制的地震曲线等，都是用类似的方法记录 振动情况的。
绘制地震曲 线的装置
简谐运动是最简单、最基本的振动。
下面我们就来一起研究简谐运 动的运动学物理量有怎样的变 化规律
简谐运动的规律
学会分析简谐运动中的位移、加速度、速度 知道位移、加速度、速度的变化规律
（1）质点离开平衡位置的最大距离为10cm （2）在1.5s和2.5s时，质点的位置都在距平衡位 置约7cm处，分别位于平衡位置两侧 （3）在这两个时刻，质点都向x轴的反方向运动
问题与练习
如图，在t=0到t=4s的范围内回答以下问题。 （1）质点相对平衡位置的位移的方向在哪些时间内跟它的瞬时速度 的方向相同？在哪些时间内跟瞬时速度的方向相反？ （2）质点在第2s末的位移是多少？ （3）质点在前2s内走过的路程是多少？
（1）第1s内和第3s内，位移方向跟瞬时速度 的方向相同。第2s内和第4s内，位移方向跟 瞬时速度的方向相反。 （2）0 （3）20cm
总结
机械振动：物体在平衡位置（中心位置）两侧附近所做往复运动 。简称振动。 平衡位置：振子原来静止时的位置 弹簧振子理性化模型： 不计阻力、弹簧的质量与小球相比可以忽略。
简谐运动及其图像
专题一：简谐运动及其图象知识点一：弹簧振子1.弹簧振子如图，把连在一起的弹簧和小球穿在水平杆上，弹簧左端固定在支架上，小球可以在杆上滑动。
小球滑动时的摩擦力可以忽略，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略。
这样就成了一个弹簧振子。
注意：①小球原来静止的位置就是平衡位置。
小球在平衡位置附近所做的往复运动，是一种机械振动。
②小球的运动是平动，可以看作质点。
③弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子（金属小球）的大小和形状的理想化的物理模型。
2.弹簧振子的位移——时间图象（1）振动物体的位移是指由平衡位置指向振子所在处的有向线段，可以说某时刻的位移。
说明：振动物体的位移与运动学中位移的含义不同，振子的位移总是相对于平衡位置而言的，即初位置是平衡位置，末位置是振子所在的位置。
因而振子对平衡位置的位移方向始终背离平衡位置。
（2）振子位移的变化规律振子的运动A→O O→B B→O O→A对O点位移的方向向右向左向左向右大小变化减小增大减小增大（3）弹簧振子的位移－时间图象是一条正（余）弦曲线。
知识点二：简谐运动1.简谐运动如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦曲线，这样的振动，叫做简谐运动。
简谐运动是机械振动中最简单、最基本的振动。
弹簧振子的运动就是简谐运动。
2.描述简谐运动的物理量（1）振幅（A）振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离，是表征振动强弱的物理量。
（2）周期（T）和频率（f）周期和频率的关系是：（3）相位（φ）相位是表示物体振动步调的物理量，用相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的阶段。
3. 固有周期、固有频率简谐运动的周期只由系统本身的特性决定，与振幅无关，因此T叫系统的固有周期，f叫固有频率。
弹簧振子的周期公式：，其中m是振动物体的质量，k为弹簧的劲度系数。
4.简谐运动的表达式y=Asin（ωt+φ），其中A是振幅，，φ是t=0时的相位，即初相位或初相。
2021届山东新高考物理一轮复习讲义：第13章 第1节 机械振动 Word版含答案
第1节机械振动一、简谐运动的特征1．简谐运动(1)定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(3)回复力①定义：使物体返回到平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
2．简谐运动的两种模型1．简谐运动的表达式(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝A sin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf，表示简谐运动的快慢，ωt＋φ代表运动的相位，φ代表初相位。
2．简谐运动的图象(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，图象如图甲所示。
甲乙(2)从最大位置开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt，图象如图乙所示。
三、受迫振动和共振1．受迫振动(1)概念：振动系统在周期性驱动力作用下的振动。
(2)特点：受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关。
2．共振(1)现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大。
(2)条件：驱动力的频率等于固有频率。
(3)特征：共振时振幅最大。
(4)共振曲线(如图所示)。
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。
(×)(2)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。
(×)(3)公式x＝A sin ωt说明是从平衡位置开始计时。
(√)(4)简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹。
(×)(5)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。
(√)(6)物体受迫振动的频率与驱动力的频率无关。
(×)2．(多选)做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，相同的物理量是()A．位移B．速度C．加速度D．回复力ACD[简谐运动的位移是指由平衡位置指向物体所在位置的有向线段，物体经过同一位置时，运动位移一定相同，选项A正确；回复力产生加速度，回复力与位移满足F＝－kx的关系，只要位移相同，回复力一定相同，回复力产生的加速度也一定相同，选项C、D正确；经过同一位置，可能远离平衡位置，也可能靠近平衡位置，因此，速度的方向可能相反，选项B错误。
课件-1.3 简谐振动的图象和公式
x/m
T
A
0
-A
T/4 T/2 3T/4 T
sin( + ሻ
其中：
2
=
1
=
2
= sin( + ሻ = sin 2 +
相位
初相
说明：一切复杂的振动都不是简谐振动，但它们都可以看作是若
干个振幅和频率不同的简谐振动的合成，因而它们的振动曲线是
的是（ A B ）
A、振子偏离平衡位置的最大距离为10cm
B、1s到2s的时间内振子向平衡位置运动
x/cm
C、2s时和3s时振子的位移相等，
1 2 3 4 5 6 t/s
运动方向也相同
D、振子在2s内完成一次往复性运动
10
5
0
-5
-10
一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述中正确的是
(
)
A.质点的振动频率为4 Hz
x
1、匀速直线运动的x-t图像：
Δx=x-x0=vt
斜率表示—— 速度（v）
0
t
2、变速直线运动的x-t图像：
x
t
0
变速直线运动的x—t图象为曲线
思考：如何获得简谐运动的位移时间图像
简谐运动 ： 弹簧振子 单摆 等
结论：简谐运动的位移时间图像是一条正弦（或余弦）曲线。
x/m
0
T/4 T/2 3T/4 T
第一章 机械振动
1.3 简谐运动的图像和公式
一、简谐运动的位移时间图像
回顾：匀速直线运动的x-t图像和匀变速直线运动的x-t图像。
位移—时间图像（x-t图像）
描述位移x与时间t关系的图象叫做位移—时间图像
简谐运动的六种图象
简谐运动的六种图象北京顺义区杨镇第一中学范福瑛简谐运动在时间和空间上具有运动的周期性，本文以水平方向弹簧振子的简谐运动为情境，用图象法描述其位移、速度、加速度及能量随时间和空间变化的规律，从不同角度认识简谐运动的特征．运动情境：如图1，弹簧振子在光滑的水平面B、C之间做简谐运动，振动周期为T，振幅为A，弹簧的劲度系数为K。
以振子经过平衡位置O向右运动的时刻为计时起点和初始位置，取向右为正方向。
分析弹簧振子运动的位移、速度、加速度、动能、弹性势能随时间或位置变化的关系图象。
1.位移-时间关系式，图象是正弦曲线，如图22．速度-时间关系式，图象是余弦曲线，如图33．加速度-时间关系式，图象是正弦曲线，如图4 4.加速度-位移关系式，图象是直线，如图55．速度-位移关系式，图象是椭圆，如图6，整理化简得6．能量-位移关系弹簧和振子组成的系统能量（机械能）守恒，总能量不随位移变化，如图7直线c弹性势能，图象是抛物线的一部分，如图7曲线b振子动能，图象是开口向下的抛物线的一部分，如图7曲线a图象是数形结合的产物，以上根据简谐运动的位移、速度、加速度、动能、弹性势能与时间或位移之间的关系式，得到对应的图象，从不同角度直观、全面显示了简谐运动的规律，同时体现了数与形的和谐完美统一。
2011-12-20 人教网【基础知识精讲】1.振动图像简谐运动的位移——时间图像叫做振动图像，也叫振动曲线.(1)物理意义：简谐运动的图像表示运动物体的位移随时间变化的规律，而不是运动质点的运动轨迹.(2)特点：只有简谐运动的图像才是正弦(或余弦)曲线.2.振动图像的作图方法用横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据定出坐标的单位及单位长度，根据振动质点各个时刻的位移大小和方向指出一系列的点，再用平滑的曲线连接这些点，就可得到周期性变化的正弦(或余弦)曲线.3.振动图像的运用(1)可直观地读出振幅A、周期T以及各时刻的位移x.(2)判断任一时刻振动物体的速度方向和加速度方向(3)判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况.【重点难点解析】本节重点是理解振动图像的物理意义，难点是根据图像分析物体的运动情况.一切复杂的振动都不是简谐运动.但它们都可以看做是若干个振幅和频率不同的简谐运动的合运动.所有简谐运动图像都是正弦或余弦曲线，余弦曲线是计时起点从最大位移开始，正弦曲线是计时起点从平衡位置开始，即二者计时起点相差.我们要通过振动图像熟知质点做简谐运动的全过程中，各物理量大小、方向变化规律.例1一质点作简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如下图所示，由图可知，在t=4S时，质点的( )A.速度为正最大值，加速度为零B.速度为负最大值，加速度为零C.速度为零，加速度为正最大值D.速度为零，加速度为负最大值解析：(1)根据简谐运动特例弹簧振子在一次全振动过程中的位移、回复力、速度、加速度的变化求解.由图线可知，t=4s时，振动质点运动到正最大位移处，故质点速度为零，可排除A、B选项.质点运动到正最大位移处时，回复力最大，且方向与位移相反，故加速度为负最大值，故选项D正确.(2)利用图线斜率求解.该图线为位移、时间图像，其曲线上各点切线的斜率表示速度矢量.在t=4s时，曲线上该点切线的斜率为零，故该点速度大小为零，可排除A、B项.由简谐运动的动力学方程可得a=-x,当位移最大时，加速度最大，且方向与位移方向相反，故选项D正确.说明本题主要考查简谐运动过程中的位移，回复力，速度和加速度的变化情况.运用斜率求解的意义可进一步推得质点在任意瞬间的速度大小，方向.t=1s、3s时质点在平衡位置，曲线此时斜率最大，速度最大，但1s时斜率为负，说明质点正通过平衡位置向负方向运动，3s时斜率为正，表过质点通过平衡向正方向运动.例2如下图所示是某弹簧振子的振动图像，试由图像判断下列说法中哪些是正确的.( )A.振幅为3m，周期为8sB.4s末振子速度为负，加速度为零C.第14s末振子加速度为正，速度最大D.4s末和8s末时振子的速度相同解析：由图像可知振幅A=3cm，周期T=8s，故选项A错.4s末图线恰与横轴相交，位移为零，则加速度为零.过这一点作图线的切线，切线与横轴的夹角大于90°(或根据下一时刻位移为负)，所以振子的速度为负.故选项B正确.根据振动图像的周期性，可推知第14s末质点处于负的最大位移处(也可以把图线按原来的形状向后延伸至第14s末)，因此质点的加速度为正的最大值，但速度为零，故选项C 错误.第4s末和第8s末质点处在相邻的两个平衡位置，则速度方向显然相反(或根据切线斜率判断)，所以选项D错误.选B.说明根据简谐运动图像分析简谐运动情况，关键是要知道图像直接表示出哪些物理量，间接表示了哪些物理量，分析间接表示的物理量的物理依据是什么.【难题巧解点拨】简谐运动图像能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图像跟具体的运运过程联系起来不失为讨论简谐运动的一种好方法.(1)从简谐运动图像可直接读出不同时刻t的位移值，从而知道位移x随时间t的变化情况.(2)在简谐运动图像中，用作曲线上某点切线的办法可确定各时刻质点的速度大小和方向，切线与x轴正方向的夹角小于90°时，速度方向与选定的正方向相同，且夹角越大表明此时质点的速度越大.当切线与x轴正方向的夹角大于90°时，速度方向与选定的正方向相反，且夹角越大表明此时质点的速度越小.也可以根据位移情况来判断速度的大小，因为质点离平衡位置越近，质点的速度就越大，而最大位移处，质点的速度为零.(3)由于简谐运动的加速度与位移成正比，方向相反，故可以根据图像上各时刻的位移变化情况确定质点加速度的变化情况.同样，只要知道了位移和速度的变化情况，也就不难判断出质点在不同时刻的动能和势能的变化情况.根据简谐运动图像分析其运动情况，方法直观有效.简谐运动的周期性是指相隔一个周期或周期的整数倍时，这两个时刻质点的振动情况完全相同，即质点的位移和速度大小和方向(以至于回复力、加速度等)都总是相同的.同相的两个时刻之差等于周期的整数倍，这两个时刻的振动情况完全相同；但是位移相同的两个时刻，不一定是同相的，振子通过某一位置时，它们的位移相同，但它们的速度方向可能相同，也可能相反.如果时间相隔半个周期的奇数倍时，这两个时刻的振动反“相”，其振动位移和速度大小相等，方向相反.例甲、乙两人先后观察同一弹簧振子在竖直方向上下振动的情况.(1)甲开始观察时，振子正好在平衡位置并向下运动.试画出甲观察到的弹簧振子的振动图像.已知经过1s后，振子第一次回到平衡位置.振子振幅为5cm(设平衡位置上方为正方向，时间轴上每格代表0.5s).(2)乙在甲观察3.5s后，开始观察并记录时间.试画出乙观察到的弹簧振子的振动图像.解析：由题意知，振子的振动周期T=2s，振幅A=5cm.根据正方向的规定，甲观察时，振子从平衡位置向-y方向运动，经t=0.5s，达到负方向最大位移，用描点法得到甲观察到的振子图像如图(甲)所示.因为t=3.5s=1T，根据振动的重复性，这时振子的状态跟经过t′=T的状态相同，所以乙开始观察时，振子正好处于正向最大位移处，其振动图像如图(乙)所示.【课本难题解答】167页(3)题：a.处在平衡位置左侧最大位移处；b.4S；c.10cm,d.200N,400m/s2【命题趋势分析】本节主要考查学生运用图像来表达给出的条件，然后去回答问题的能力，命题一般以选择、填空形式出现.【典型热点考题】例1如下图所示为一单摆(单摆周期公式T=2π)及其振动图像由图回答：(1)单摆的振幅为，频率为，摆长为，一周期内位移x(F回，a，E p)最大的时刻为.(2)若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图像中O、A、B、C点分别对应单摆中点.一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是，势能增加且速度为正的时间范围是.解析：(1)由图像可知：A=3cm,T=2s,振动频率f==0.5Hz,摆长l==1(m)，位移为最大值时刻为0.5s末和1.5s末.(2)图像中O点位移为零，O到A过程位移为正，且增大，A处最大，历时周期，即摆球是从E点起振并向G方向运动的.所以O对应E，A对应G，A到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C分别对应E、G、E、F点.摆动中F、E间加速度为正且向E过程中减小，在图像中为C到D过程，时间范围1.5s～2.0s.从E向两侧运动势能增加，从E向G的过程速度为正，在图像中为从O到A，时间范围是0～0.5s.例2下图(甲)是演示简谐振动图像的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系.板上的直线OO′代表时间轴.下图(乙)是两个摆中的沙在自各木板上形成的曲线.若板N1和板N2的速度υ1和υ2的关系为υ2=2υ1，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为( )A.T2=T1B.T2=2T1C.T2=4T1 D .T2=T1解析：因N2板和N1板匀速拉过的距离相同，故两板运动时间之比==2. ①在这段距离为N1板上方的摆只完成一个全振动，N2板上方的摆已完成两个全振动，即t1=T1和t2=2T2. ②将②式代入①式，得T2=T1.可知选项D正确.【同步达纲练习】1.一质点做简谐运动的振动图像如下图所示，由图可知t=4s时质点( )A.速度为正的最大值，加速度为零B.速度为零，加速度为负的最大值C.位移为正的最大值，动能为最小D.位移为正的最大值，动能为最大2.如下图中，若质点在A对应的时刻，则其速度υ、加速度a的大小的变化情况为( )A.υ变大，a变大B.υ变小，a变小C.υ变大，a变小D.υ变小，a变大3.某质点做简谐运动其图像如下图所示，质点在t=3.5s时，速度υ、加速度α的方向应为( )A.υ为正，a为负B.υ为负，a为正C.υ、a都为正D.υ、a都为负4.如下图所示的简谐运动图像中，在t1和t2时刻，运动质点相同的量为( )A.加速度B.位移C.速度D.回复力5.如下图所示为质点P在0～4s内的振动图像，下列说法中正确的是( )A.再过1s，该质点的位移是正的最大B.再过1s，该质点的速度方向向上C.再过1s，该质点的加速度方向向上D.再过1s，该质点的加速度最大6.一质点作简谐运动的图像如下图所示，则该质点( )A.在0至0.01s内，速度与加速度同方向B.在0.01至0.02s内，速度与回复力同方向C.在0.025s末，速度为正，加速度为负D.在0.04s末，速度为零，回复力最大7.如下图所示，简谐运动的周期等于s，振幅m，加速度为正的最大时刻是，负的最大时刻是，速度为正的最大时刻是，负的最大时刻是，0.1s末与0.2s 末的加速度大小分别是a1与a2，则大小是a1，0.1s末与0.2s末其速度大小分别υ1与υ2，则其大小是υ1υ2.8.下图(A)是一弹簧振子，O为平衡位置，BC为两个极端位置，取向右为正方向，图(B)是它的振动图线，则：(1)它的振幅是cm,周期是s,频率是Hz.(2)t=0时由图(B)可知，振子正处在图(A)中的位置，运动方向是(填“左”或“右”)，再经过s,振子才第一次回到平衡位置.(3)当t=0.6s时，位移是cm，此时振子正处于图(A)中的位置.(4)t由0.2s至0.4s时，振子的速度变(填“大”或“小”，下同)，加速度变，所受回复力变，此时速度方向为(填“正”或“负”，下同)，加速度方向为，回复力方向为.【素质优化训练】9.如下图所示，下述说法中正确的是( )A.第2s末加速度为正最大，速度为0B.第3s末加速度为0，速度为正最大C.第4s内加速度不断增大D.第4s内速度不断增大10.一个做简谐振动的质点的振动图像如下图所示，在t1、t2、t3、t4各时刻中，该质点所受的回复力的即时功率为零的是( )A.t4B.t3C.t2D.t111.如下图所示为一单摆做间谐运动的图像，在0.1～0.2s这段时间内( )A.物体的回复力逐渐减小B.物体的速度逐渐减小C.物体的位移逐渐减小D.物体的势能逐渐减小12.一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，如下图a所示，以某一时刻作计时起点(t为0)，经周期，振子具有正方向增大的加速度，那么在下图b所示的几个振动图像中，正确反映振子振动情况(以向右为正方向)的是( )13.弹簧振子做简谐运动的图线如下图所示，在t1至t2这段时间内( )A.振子的速度方向和加速度方向都不变B.振子的速度方向和加速度方向都改变C.振子的速度方向改变，加速度方向不变D.振子的速度方向不变，加速度方向改变14.如下左图所示为一弹簧振子的简谐运动图线，头0.1s内振子的平均速度和每秒钟通过的路程为( )A.4m/s,4mB.0.4m/s,4cmC.0.4m/s,0.4mD.4m/s,0.4m15.如上右图所示是某弹簧振子在水平面内做简谐运动的位移-时间图像，则振动系统在( )A.t1和t3时刻具有相同的动能和动量B.t1和t3时刻具有相同的势能和不同的动量C.t1和t5时刻具有相同的加速度D.t2和t5时刻振子所受回复力大小之比为2∶116.从如下图所示的振动图像中，可以判定弹簧振子在t= s 时，具有正向最大加速度；t= s时，具有负方向最大速度；在时间从s至s内，振子所受回复力在-x方向并不断增大；在时间从s至s内振子的速度在+x方向上并不断增大.17.如下图所示为两个弹簧振子的振动图像，它们振幅之比A A∶A B= ；周期之比T A∶T B= .若已知两振子质量之比m A∶m B=2∶3，劲度系数之比k A∶k B=3∶2，则它们的最大加速度之比为.最大速度之比.18.一水平弹簧振子的小球的质量m=5kg，弹簧的劲度系数50N/m，振子的振动图线如下图所示.在t=1.25s时小球的加速度的大小为，方向；在t=2.75s时小球的加速度大小为，速度的方向为.19.如下图所示，一块涂有碳黑的玻璃板，质量为2kg，在拉力F的作用下，由静止开始竖直向上做匀变速运动，一个装有水平振针的振动频率为5Hz的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线，量得OA=1.5cm,BC=3.5cm.求：自玻璃板开始运动，经过多长时间才开始接通电动音叉的电源?接通电源时玻璃板的速度是多大?【知识探究学习】沙摆是一种经常用来描绘振动图像的简易演示实验装置.同学们弄清如下问题对深入细致地理解沙摆实验很有帮助.(1)水平拉动的玻璃板起到了怎样的怎用?答：使不同时刻落下的沙子不会重叠，区别出各时刻沙摆的位置，起到了相当于用时间扫描的作用.(2)为什么要匀速拉动玻璃板?答：因为沙摆实验显示的是纵轴表示位移、横轴表示时间的单摆振动较图像，玻璃板的中轴线就是表示时间的横轴.而时间轴应是均匀的，所以玻璃板必须匀速拉动.(3)玻璃板静止时沙子落下形成沙堆的形状是怎样的?答：应为中间凹两端高的沙堆如图1-A，不能为图1-B的形状.原因是沙摆过最低点的速度最快，所以中间漏下的沙子最少.(4)玻璃板抽动速度的大小对图像的形状有什么影响?答：玻璃板的速度越大，图像中OB段的长度也越大，其中=υ(式中υ为玻璃板抽动的速度，T为沙摆的周期).因图2-A比图2-B中的抽动速度大；所以OB的长度前者也比后者大，但不能说成周期变大.另外图像的振幅不受玻璃板抽动速度的影响.(5)由这个实验能否求出拉动玻璃板的速度?答：能够利用式子υ=/T求出，这时需要测出沙摆的周期和的长度，并多测几组数据，求出其平均值.(6)玻璃板的速度恒定，形成的图像是否为正弦(或余弦)曲线?答：严格的说不是.因为随着沙子的漏下，沙摆的周期越来越大，一个周期里玻璃板的位移越来越大，图像出现变形.沙子全部漏出后，沙摆的周期又保持不变，但这时没有图像了.当然如果沙粒很细，漏孔又很小，而且沙摆线摆动的角度很小(小于5°)，那么开始的一段图像，可近似看成是正弦(或余弦)曲线.参考答案【同步达纲练习】1.B、C2.C3.A4.C5.A、D6.A、D7.5；0.1；1.5s末；0.5s末；0与2s末；1s末；＜；＞8.(1)2；0.8；1.25 (2)0；右；1.4；-2；C；大；小；小；负；负；负【素质优化训练】9.A、B、C 10.D 11.A、C、D 12.D 13.D 14.C 15.B、D16.0.4；0.2；0.6；0.8；0.4；0.617.2∶1；2∶3；9∶2；3∶118.6m/s2；向上；0；向下19.0.1s；0.1m/s。
(新)简谐运动的六种图象
简谐运动的六种图象北京顺义区杨镇第一中学范福瑛简谐运动在时间和空间上具有运动的周期性，本文以水平方向弹簧振子的简谐运动为情境，用图象法描述其位移、速度、加速度及能量随时间和空间变化的规律，从不同角度认识简谐运动的特征．运动情境：如图1，弹簧振子在光滑的水平面B、C之间做简谐运动，振动周期为T，振幅为A，弹簧的劲度系数为K。
以振子经过平衡位置O向右运动的时刻为计时起点和初始位置，取向右为正方向。
分析弹簧振子运动的位移、速度、加速度、动能、弹性势能随时间或位置变化的关系图象。
1.位移-时间关系式，图象是正弦曲线，如图22．速度-时间关系式，图象是余弦曲线，如图33．加速度-时间关系式，图象是正弦曲线，如图4 4.加速度-位移关系式，图象是直线，如图55．速度-位移关系式，图象是椭圆，如图6，整理化简得6．能量-位移关系弹簧和振子组成的系统能量（机械能）守恒，总能量不随位移变化，如图7直线c弹性势能，图象是抛物线的一部分，如图7曲线b振子动能，图象是开口向下的抛物线的一部分，如图7曲线a图象是数形结合的产物，以上根据简谐运动的位移、速度、加速度、动能、弹性势能与时间或位移之间的关系式，得到对应的图象，从不同角度直观、全面显示了简谐运动的规律，同时体现了数与形的和谐完美统一。
2011-12-20 人教网【基础知识精讲】1.振动图像简谐运动的位移——时间图像叫做振动图像，也叫振动曲线.(1)物理意义：简谐运动的图像表示运动物体的位移随时间变化的规律，而不是运动质点的运动轨迹.(2)特点：只有简谐运动的图像才是正弦(或余弦)曲线.2.振动图像的作图方法用横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据定出坐标的单位及单位长度，根据振动质点各个时刻的位移大小和方向指出一系列的点，再用平滑的曲线连接这些点，就可得到周期性变化的正弦(或余弦)曲线.3.振动图像的运用(1)可直观地读出振幅A、周期T以及各时刻的位移x.(2)判断任一时刻振动物体的速度方向和加速度方向(3)判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况.【重点难点解析】本节重点是理解振动图像的物理意义，难点是根据图像分析物体的运动情况.一切复杂的振动都不是简谐运动.但它们都可以看做是若干个振幅和频率不同的简谐运动的合运动.所有简谐运动图像都是正弦或余弦曲线，余弦曲线是计时起点从最大位移开始，正弦曲线是计时起点从平衡位置开始，即二者计时起点相差.我们要通过振动图像熟知质点做简谐运动的全过程中，各物理量大小、方向变化规律.例1一质点作简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如下图所示，由图可知，在t=4S时，质点的( )A.速度为正最大值，加速度为零B.速度为负最大值，加速度为零C.速度为零，加速度为正最大值D.速度为零，加速度为负最大值解析：(1)根据简谐运动特例弹簧振子在一次全振动过程中的位移、回复力、速度、加速度的变化求解.由图线可知，t=4s时，振动质点运动到正最大位移处，故质点速度为零，可排除A、B选项.质点运动到正最大位移处时，回复力最大，且方向与位移相反，故加速度为负最大值，故选项D正确.(2)利用图线斜率求解.该图线为位移、时间图像，其曲线上各点切线的斜率表示速度矢量.在t=4s时，曲线上该点切线的斜率为零，故该点速度大小为零，可排除A、B项.由简谐运动的动力学方程可得a=-x,当位移最大时，加速度最大，且方向与位移方向相反，故选项D正确.说明本题主要考查简谐运动过程中的位移，回复力，速度和加速度的变化情况.运用斜率求解的意义可进一步推得质点在任意瞬间的速度大小，方向.t=1s、3s时质点在平衡位置，曲线此时斜率最大，速度最大，但1s时斜率为负，说明质点正通过平衡位置向负方向运动，3s时斜率为正，表过质点通过平衡向正方向运动.例2如下图所示是某弹簧振子的振动图像，试由图像判断下列说法中哪些是正确的.( )A.振幅为3m，周期为8sB.4s末振子速度为负，加速度为零C.第14s末振子加速度为正，速度最大D.4s末和8s末时振子的速度相同解析：由图像可知振幅A=3cm，周期T=8s，故选项A错.4s末图线恰与横轴相交，位移为零，则加速度为零.过这一点作图线的切线，切线与横轴的夹角大于90°(或根据下一时刻位移为负)，所以振子的速度为负.故选项B正确.根据振动图像的周期性，可推知第14s末质点处于负的最大位移处(也可以把图线按原来的形状向后延伸至第14s末)，因此质点的加速度为正的最大值，但速度为零，故选项C 错误.第4s末和第8s末质点处在相邻的两个平衡位置，则速度方向显然相反(或根据切线斜率判断)，所以选项D错误.选B.说明根据简谐运动图像分析简谐运动情况，关键是要知道图像直接表示出哪些物理量，间接表示了哪些物理量，分析间接表示的物理量的物理依据是什么.【难题巧解点拨】简谐运动图像能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图像跟具体的运运过程联系起来不失为讨论简谐运动的一种好方法.(1)从简谐运动图像可直接读出不同时刻t的位移值，从而知道位移x随时间t的变化情况.(2)在简谐运动图像中，用作曲线上某点切线的办法可确定各时刻质点的速度大小和方向，切线与x轴正方向的夹角小于90°时，速度方向与选定的正方向相同，且夹角越大表明此时质点的速度越大.当切线与x轴正方向的夹角大于90°时，速度方向与选定的正方向相反，且夹角越大表明此时质点的速度越小.也可以根据位移情况来判断速度的大小，因为质点离平衡位置越近，质点的速度就越大，而最大位移处，质点的速度为零.(3)由于简谐运动的加速度与位移成正比，方向相反，故可以根据图像上各时刻的位移变化情况确定质点加速度的变化情况.同样，只要知道了位移和速度的变化情况，也就不难判断出质点在不同时刻的动能和势能的变化情况.根据简谐运动图像分析其运动情况，方法直观有效.简谐运动的周期性是指相隔一个周期或周期的整数倍时，这两个时刻质点的振动情况完全相同，即质点的位移和速度大小和方向(以至于回复力、加速度等)都总是相同的.同相的两个时刻之差等于周期的整数倍，这两个时刻的振动情况完全相同；但是位移相同的两个时刻，不一定是同相的，振子通过某一位置时，它们的位移相同，但它们的速度方向可能相同，也可能相反.如果时间相隔半个周期的奇数倍时，这两个时刻的振动反“相”，其振动位移和速度大小相等，方向相反.例甲、乙两人先后观察同一弹簧振子在竖直方向上下振动的情况.(1)甲开始观察时，振子正好在平衡位置并向下运动.试画出甲观察到的弹簧振子的振动图像.已知经过1s后，振子第一次回到平衡位置.振子振幅为5cm(设平衡位置上方为正方向，时间轴上每格代表0.5s).(2)乙在甲观察3.5s后，开始观察并记录时间.试画出乙观察到的弹簧振子的振动图像.解析：由题意知，振子的振动周期T=2s，振幅A=5cm.根据正方向的规定，甲观察时，振子从平衡位置向-y方向运动，经t=0.5s，达到负方向最大位移，用描点法得到甲观察到的振子图像如图(甲)所示.因为t=3.5s=1T，根据振动的重复性，这时振子的状态跟经过t′=T的状态相同，所以乙开始观察时，振子正好处于正向最大位移处，其振动图像如图(乙)所示.【课本难题解答】167页(3)题：a.处在平衡位置左侧最大位移处；b.4S；c.10cm,d.200N,400m/s2【命题趋势分析】本节主要考查学生运用图像来表达给出的条件，然后去回答问题的能力，命题一般以选择、填空形式出现.【典型热点考题】例1如下图所示为一单摆(单摆周期公式T=2π)及其振动图像由图回答：(1)单摆的振幅为，频率为，摆长为，一周期内位移x(F回，a，E p)最大的时刻为.(2)若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图像中O、A、B、C点分别对应单摆中点.一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是，势能增加且速度为正的时间范围是.解析：(1)由图像可知：A=3cm,T=2s,振动频率f==0.5Hz,摆长l==1(m)，位移为最大值时刻为0.5s末和1.5s末.(2)图像中O点位移为零，O到A过程位移为正，且增大，A处最大，历时周期，即摆球是从E点起振并向G方向运动的.所以O对应E，A对应G，A到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C分别对应E、G、E、F点.摆动中F、E间加速度为正且向E过程中减小，在图像中为C到D过程，时间范围1.5s～2.0s.从E向两侧运动势能增加，从E向G的过程速度为正，在图像中为从O到A，时间范围是0～0.5s.例2下图(甲)是演示简谐振动图像的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系.板上的直线OO′代表时间轴.下图(乙)是两个摆中的沙在自各木板上形成的曲线.若板N1和板N2的速度υ1和υ2的关系为υ2=2υ1，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为( )A.T2=T1B.T2=2T1C.T2=4T1 D .T2=T1解析：因N2板和N1板匀速拉过的距离相同，故两板运动时间之比==2. ①在这段距离为N1板上方的摆只完成一个全振动，N2板上方的摆已完成两个全振动，即t1=T1和t2=2T2. ②将②式代入①式，得T2=T1.可知选项D正确.【同步达纲练习】1.一质点做简谐运动的振动图像如下图所示，由图可知t=4s时质点( )A.速度为正的最大值，加速度为零B.速度为零，加速度为负的最大值C.位移为正的最大值，动能为最小D.位移为正的最大值，动能为最大2.如下图中，若质点在A对应的时刻，则其速度υ、加速度a的大小的变化情况为( )A.υ变大，a变大B.υ变小，a变小C.υ变大，a变小D.υ变小，a变大3.某质点做简谐运动其图像如下图所示，质点在t=3.5s时，速度υ、加速度α的方向应为( )A.υ为正，a为负B.υ为负，a为正C.υ、a都为正D.υ、a都为负4.如下图所示的简谐运动图像中，在t1和t2时刻，运动质点相同的量为( )A.加速度B.位移C.速度D.回复力5.如下图所示为质点P在0～4s内的振动图像，下列说法中正确的是( )A.再过1s，该质点的位移是正的最大B.再过1s，该质点的速度方向向上C.再过1s，该质点的加速度方向向上D.再过1s，该质点的加速度最大6.一质点作简谐运动的图像如下图所示，则该质点( )A.在0至0.01s内，速度与加速度同方向B.在0.01至0.02s内，速度与回复力同方向C.在0.025s末，速度为正，加速度为负D.在0.04s末，速度为零，回复力最大7.如下图所示，简谐运动的周期等于s，振幅m，加速度为正的最大时刻是，负的最大时刻是，速度为正的最大时刻是，负的最大时刻是，0.1s末与0.2s 末的加速度大小分别是a1与a2，则大小是a1，0.1s末与0.2s末其速度大小分别υ1与υ2，则其大小是υ1υ2.8.下图(A)是一弹簧振子，O为平衡位置，BC为两个极端位置，取向右为正方向，图(B)是它的振动图线，则：(1)它的振幅是cm,周期是s,频率是Hz.(2)t=0时由图(B)可知，振子正处在图(A)中的位置，运动方向是(填“左”或“右”)，再经过s,振子才第一次回到平衡位置.(3)当t=0.6s时，位移是cm，此时振子正处于图(A)中的位置.(4)t由0.2s至0.4s时，振子的速度变(填“大”或“小”，下同)，加速度变，所受回复力变，此时速度方向为(填“正”或“负”，下同)，加速度方向为，回复力方向为.【素质优化训练】9.如下图所示，下述说法中正确的是( )A.第2s末加速度为正最大，速度为0B.第3s末加速度为0，速度为正最大C.第4s内加速度不断增大D.第4s内速度不断增大10.一个做简谐振动的质点的振动图像如下图所示，在t1、t2、t3、t4各时刻中，该质点所受的回复力的即时功率为零的是( )A.t4B.t3C.t2D.t111.如下图所示为一单摆做间谐运动的图像，在0.1～0.2s这段时间内( )A.物体的回复力逐渐减小B.物体的速度逐渐减小C.物体的位移逐渐减小D.物体的势能逐渐减小12.一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，如下图a所示，以某一时刻作计时起点(t为0)，经周期，振子具有正方向增大的加速度，那么在下图b所示的几个振动图像中，正确反映振子振动情况(以向右为正方向)的是( )13.弹簧振子做简谐运动的图线如下图所示，在t1至t2这段时间内( )A.振子的速度方向和加速度方向都不变B.振子的速度方向和加速度方向都改变C.振子的速度方向改变，加速度方向不变D.振子的速度方向不变，加速度方向改变14.如下左图所示为一弹簧振子的简谐运动图线，头0.1s内振子的平均速度和每秒钟通过的路程为( )A.4m/s,4mB.0.4m/s,4cmC.0.4m/s,0.4mD.4m/s,0.4m15.如上右图所示是某弹簧振子在水平面内做简谐运动的位移-时间图像，则振动系统在( )A.t1和t3时刻具有相同的动能和动量B.t1和t3时刻具有相同的势能和不同的动量C.t1和t5时刻具有相同的加速度D.t2和t5时刻振子所受回复力大小之比为2∶116.从如下图所示的振动图像中，可以判定弹簧振子在t= s 时，具有正向最大加速度；t= s时，具有负方向最大速度；在时间从s至s内，振子所受回复力在-x方向并不断增大；在时间从s至s内振子的速度在+x方向上并不断增大.17.如下图所示为两个弹簧振子的振动图像，它们振幅之比A A∶A B= ；周期之比T A∶T B= .若已知两振子质量之比m A∶m B=2∶3，劲度系数之比k A∶k B=3∶2，则它们的最大加速度之比为.最大速度之比.18.一水平弹簧振子的小球的质量m=5kg，弹簧的劲度系数50N/m，振子的振动图线如下图所示.在t=1.25s时小球的加速度的大小为，方向；在t=2.75s时小球的加速度大小为，速度的方向为.19.如下图所示，一块涂有碳黑的玻璃板，质量为2kg，在拉力F的作用下，由静止开始竖直向上做匀变速运动，一个装有水平振针的振动频率为5Hz的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线，量得OA=1.5cm,BC=3.5cm.求：自玻璃板开始运动，经过多长时间才开始接通电动音叉的电源?接通电源时玻璃板的速度是多大?【知识探究学习】沙摆是一种经常用来描绘振动图像的简易演示实验装置.同学们弄清如下问题对深入细致地理解沙摆实验很有帮助.(1)水平拉动的玻璃板起到了怎样的怎用?答：使不同时刻落下的沙子不会重叠，区别出各时刻沙摆的位置，起到了相当于用时间扫描的作用.(2)为什么要匀速拉动玻璃板?答：因为沙摆实验显示的是纵轴表示位移、横轴表示时间的单摆振动较图像，玻璃板的中轴线就是表示时间的横轴.而时间轴应是均匀的，所以玻璃板必须匀速拉动.(3)玻璃板静止时沙子落下形成沙堆的形状是怎样的?答：应为中间凹两端高的沙堆如图1-A，不能为图1-B的形状.原因是沙摆过最低点的速度最快，所以中间漏下的沙子最少.(4)玻璃板抽动速度的大小对图像的形状有什么影响?答：玻璃板的速度越大，图像中OB段的长度也越大，其中=υ(式中υ为玻璃板抽动的速度，T为沙摆的周期).因图2-A比图2-B中的抽动速度大；所以OB的长度前者也比后者大，但不能说成周期变大.另外图像的振幅不受玻璃板抽动速度的影响.(5)由这个实验能否求出拉动玻璃板的速度?答：能够利用式子υ=/T求出，这时需要测出沙摆的周期和的长度，并多测几组数据，求出其平均值.(6)玻璃板的速度恒定，形成的图像是否为正弦(或余弦)曲线?答：严格的说不是.因为随着沙子的漏下，沙摆的周期越来越大，一个周期里玻璃板的位移越来越大，图像出现变形.沙子全部漏出后，沙摆的周期又保持不变，但这时没有图像了.当然如果沙粒很细，漏孔又很小，而且沙摆线摆动的角度很小(小于5°)，那么开始的一段图像，可近似看成是正弦(或余弦)曲线.参考答案【同步达纲练习】1.B、C2.C3.A4.C5.A、D6.A、D7.5；0.1；1.5s末；0.5s末；0与2s末；1s末；＜；＞8.(1)2；0.8；1.25 (2)0；右；1.4；-2；C；大；小；小；负；负；负【素质优化训练】9.A、B、C 10.D 11.A、C、D 12.D 13.D 14.C 15.B、D16.0.4；0.2；0.6；0.8；0.4；0.617.2∶1；2∶3；9∶2；3∶118.6m/s2；向上；0；向下19.0.1s；0.1m/s。
简谐运动的图象
简谐运动的图象物体运动的位移和时间的关系，可以用公式表示，也可以用图象表示．在匀速直线运动中，设开始计时的那一时刻位移为零，则运动的公式是s=vt，运动的位移图象是过原点的一条直线．在初速度为零的匀变速直线运动中，设开始计时的那一时刻位移为零，则运动的公式是s=系，也可以用公式来表示，但较为复杂，所以我们先研究简谐运动的图象．简谐运动的图象图9-4是用频闪照相的办法拍下的一个弹簧振子的振动情况．甲图是振子静止在平衡位置时的照片．乙图是振子被拉伸到左侧距平衡位置20mm处，放手后，在向右运动的1/2周期内的频闪照片．丙图是振子在接下来的1/2周期内的频闪照片．已知频闪的频率为9.0 Hz，即相邻两次闪光的时间间隔t0=0.11s，振动的周期 T=1.33s．照片上记录的是每隔时间t0振子所在的位置．简谐运动是以平衡位置为中心的往复运动，它的位移是指对平衡位置的位移．在图9-4中，取水平向右的方向为位移的正方向，则振子在平衡位置右方时位移为正值，在左方时位移为负值．下表是由照片得到的数据．第一个 1/2周期( T=1.33s)第二个1/2周期以纵轴表示位移x，横轴表示时间t，根据上表的数据在坐标平面上画出各个点，并用平滑曲线将各点连接起来，我们得到一条余弦曲线(图9-5)．简谐运动的位移-时间图象通常称为振动图象，也叫振动曲线．理论和实验都证明，所有简谐运动的振动图象都是正弦或余弦曲线．振动图象表示出振子的位移随时间变化的规律，它可以告诉我们振子在任一时刻对平衡位置的位移，还可以表示出振幅和周期(图9-6)．所以认识振动图象对于学习简谐运动是十分有益的．振动曲线可以用上面介绍的描点法画出，也可以用在振动物体上固定一个记录装置的办法画出．例如在弹簧振子的小球上安置一枝记录用的笔P，在下面放一条白纸带(图9-7)，当小球振动时，沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，笔P就在纸带上画出一条振动曲线．纸带的运动应该是匀速的，这样，纸带运动的距离就可以代表时间(为什么？)．像图9-7这种记录振动的方法在实际中有很多应用．医院里的心电图仪(图9-8)，监测地震的地震仪(图9-9)等，都是用这种方法记录振动情况的．简谐运动虽然是一种理想化的情况，但研究它具有重要的实际意义和理论意义．某些实际的振动，在振幅很小的情况下，可以近似地作为简谐运动来处理．一切复杂的振动都不是简谐运动，但它们都可以看做是由若干个振幅和频率不同的简谐运动合成的．在图9-10中，最下方的曲线表示某个复杂的非简谐运动，它虽然具有周期性，但振动图象不是正弦或余弦曲线，它是由图中上方两条曲线所示的两个简谐运动合成的．。
简谐运动的表达式动力学表达式
性势能各是怎样变化的？
（3）该振子在前100 s的总位移是多少？路程是
多少？
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思维导图
解析 （1）由振动图象可得 A=5 cm,T=4 s, =0
则ω= 2 =π rπad/s
T2
故该振子简谐运动的表达式为 x=5 sin tπ cm
2
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(2)由图可知,在t=2 s时,振子恰好通过平衡位
置,此时加速度为零,随着时间的延续,位移值不
摆球重力沿与摆线 弹簧的弹力提供 垂直（即切向）方
向的分力
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周期公式
m
T=2π k (不作要求)
T=2π
l g
能量转化
弹性势能与动 重 力 势 能 与
能 的 相 互 转 化 ，动 能 的 相 互 机 械 能 守 转化，机械能
恒
守恒
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三、受迫振动和共振
1.受迫振动：物体在 周期性驱动力 作用下的振动.
4
大，这时速度为零.由此可见，丙的速度变化正 好对应甲的位移变化情况.所以A正确.同样可推 出B正确，C、D不正确. 答案 AB
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题型2 简谐运动图象的应用
【例2】如图6为一弹簧振子的振动图象,试完成以
下要求：
（1）写出该振子简谐运动的
表达式.
（2）在第2 s末到第3 s末这
图6
段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹
零
零
T 2
零
零 负向 最大 正向 最大
3T 4
负向 最大 正向 最大
零
零
T
零
零 正向 最大 负向 最大
精品
A.若甲表示位移x,则丙表示相应的速度v B.若丁表示位移x,则甲表示相应的速度v C.若丙表示位移x,则甲表示相应的速度v D.若乙表示位移x,则丙表示相应的速度v 解析 当t=0时，甲的位移为零，这时刻的速度 为正向最大；当t= 1 T时，甲的位移为正向最
简谐运动的图象及公式
3
或
4
或
例题3、某简谐运动的振幅为8cm，f=0.5Hz 零时刻的位移为4cm，且振子沿x轴负方向运动。 (1)写出相应的振动方程。 (2)作出振动图像。
三、简谐运动的相位与相位差的物理意义
用单摆演示当两个摆长与振幅都一样的单摆在 振动步调总一致时，我们就说它们的相位相同， 振动相同；
振动图象：1、定义：简谐运动的位移-时间图象通常 称为振动图象，也叫振动曲线。
2 、特点：都是正弦 或余弦曲线。
3、图像的意义：
简谐运动的图像表示了振动质点的位移随时间变 化的规律。即简谐运动的位置坐标x是时刻t的正 弦或余弦函数。
思考：从简谐运动图象得出描述振动的哪 些物理量？
1、直接描述量： ①振幅A：图像的峰值 ②周期T：相邻两个位移为正的最大值或负的
最大值之间的时间间隔
③任意时刻的位移x。
2、间接描述量 ①频率f=1/T ②不同时刻的v大小方向判定： x-t图线上任一点
的切线的斜率大小等于v。正负表方向，正表 示与x方向相同，负表示与x方向相反 。
③ 任一时刻t的回复力F和加速度a：总是指向平 衡位置（或平行于x轴指向t轴）． x＝0时，F回＝0 、a＝0； x＝±A时，F回和a达最大值．
位移。 2、从振动图象上还可以知道振幅和周期； 3、从振动图象上还可以知道某时刻振子的运动
情况。 4简谐运动的图象不是振动物体的运动轨迹。 5用来描述简谐运动的物理量有：周期、频率、
相位与相位差。
结束
2、导入：那么如果用位移图象来表示简谐运动位移与时间的 关系，形状又如何呢？
弹簧振子：在水平弹簧振子的小球上安置 一支记录用的笔，在下面放一条白纸带， 当小球振动时，沿垂直于振动方向匀速拉 动纸带，笔就在带上画出一条振动图线。
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图2
3.简谐运动的能量 简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能 守恒，振动能量与 振幅 有关， 振幅 越大， 能量越大.
二、简谐运动的两种基本模型 弹簧振子（水 平）
模型示意图
细线不可伸长、质量 忽略弹簧质量、 忽略、无空气等阻力、 无摩擦等阻力 摆角很小
单摆
条件
平衡位置
回复力
弹簧处于原长处
最低点
题型探究
题型1 简谐运动的规律 （ ）
【例1】一弹簧振子做简谐运动，周期为T,则正确
的说法是 A.若t时刻和(t+Δ t)时刻振子运动位移的大小相
等、方向相同，则Δ t一定等于T的整数倍
B.若t时刻和(t+Δ t)时刻振子运动速度的大小相 等、方向相反，则Δ t一定等于T/2的整数倍
C.若Δ t=T，则在t时刻和(t+Δ t)时刻振子运动
1 T
=5 Hz.
(4)确定各质点的振动方向.例如图中的t1时刻，
质点正远离平衡位置向位移的正方向运动;在t3 时刻，质点正向着平衡位置运动.
(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如
在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负； t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因
为|x1|>|x2|,所以|a1|>|a2|示振动物体的位移随时间变化的
规律.
特别提示：振动图象不是质点的运动轨迹. 2.应用 (1)确定振动物体在任意时刻的位 移.如图5中，对应t1、t2时刻的位
移分别为x1=+7 cm,x2=-5 cm.
(2)确定振动的振幅.如图振幅是 10 cm. 图5
(3)确定振动周期和频率.振动图象上一个完整 的正弦（余弦）图形在时间轴上拉开的“长度” 表示周期. 由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周 期，T=0.2 s，频率f =
的加速度一定相等 D.若Δ t=T/2,则在t时刻和(t+Δ t)时刻弹簧的长
度一定相等
解析 弹簧振子做简谐运动的图 象如右图所示，图中A点与B、E、 F、I等点的振动位移大小相等,方 向相同. 由图可知， A点与E、I等点对应的时间差为 T或T的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为 T 或T的整数倍，因此A选项不正确. 图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等， 方向相反 , 由图可知 A 点与 C 、 G 等点对应的时间差 为 T /2 或 T /2 的整数倍 , A 点与 B 、 F 等点对应的时间 差不为 T /2 或 T /2 的整数倍 , 因此 B 选项不正确 ; 如果 t 时刻和 ( t +Δ t ) 时刻相差为一个周期 T , 则这两个时 刻 振 动情 况 完 全相 同 , 加 速度 一 定 相等 , 选 项 C 正 确 ; 如果 t 时刻和 ( t +Δ t ) 时刻相差半个周期 , 则这两 个时刻振动的位移大小相等 , 方向相反 , 弹簧的长 度显然是不相等的，选项D也不正确. 答案 C
一种测定重力加速度g的方法.
g
(2) l 为等效摆长 , 表示从悬点到摆球重心的距离 ,
要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在
圆弧的圆心. (3)g为当地重力加速度.
特别提示 如单摆没有处于地球表面或所处环境为非平衡
态，则 g 为等效重力加速度，大体有这样几种情
况(1)不同星球表面g=GM/r2;(2)单摆处于超重或 失重状态等效 g=g0±a,如轨道上运行的卫星 a=g0 完全失重,等效g=0;(3)不论悬点如何运动还是受 别的作用力，等效 g 的取值等于在单摆不摆动 时，摆线的拉力 F 与摆球质量的比值，即等效 g=F/m.
通式.
热点二
对单摆的理解
1.单摆及成立条件 如图4所示，一根轻细线，悬挂着一个小 球，就构成所谓的单摆.能够视为单摆需 要满足两个条件：(1)和小球的质量m相
比，线的质量可以忽略；(2)小球可视为质点，
心的距离.
图4
如果小球不能视为质点，则单摆半径为悬点到重
2.单摆的受力特征
当单摆做小角度摆动时，其受力情况为：受到一 个恒定的竖直向下的重力mg和一个变化的始终沿
摆球重力沿与摆线 弹簧的弹力提供 垂直（即切向）方 向的分力
周期公式
T=2π (不作要求)
m k
T=2π
l g
能量转化
弹性势能与动 重 力 势 能 与 能 的 相 互 转 化 ，动 能 的 相 互 机 械 能 守 转化，机械能 守恒 恒
三、受迫振动和共振 1.受迫振动：物体在 周期性驱动力 作用下的振动. 做受迫振动的物体，它的周期（或频率）等于 驱动力 的周期（或频率），而与物体的固有周 期（或频率） 无 关.
绳方向指向悬点的拉力F，垂直于速
度方向上的力充当向心力，即F向=F-mgcosθ；摆 球重力在平行于速度方向上的分力充当摆球的回复 力 . 当单摆做小角度摆动时，由于 F 回 = - mg sin θ = - mg x=-kx，所以单摆的振动近似为简谐运动.
l
3.单摆的周期公式
(1)单摆振动的周期公式T=2π l ,该公式提供了
(2)简谐运动的表达式 动力学表达式：F=-kx 运动学表达式：x=Asin(ω t+ ) (3)简谐运动的图象 ①物理意义：表示振子的位移随时间变化的规
律，为正弦（或余弦）曲线.
②从平衡位置开始计时，函数表达式为x= Asinω t,图象如图1.
图1
从最大位移处开始计时，函数表达式为x= Acosω t，图象如图2.
选修3-4
第十二章
机械振动
机械振动
机械波
第1课时
一、简谐运动 1.概念
考点自清
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规 律，即它的振动图象（ x-t 图象）是一条正弦曲
线，这样的振动叫做简谐运动.
2. 简谐运动的描述 （1）描述简谐运动的物理量
①位移x：由 平衡位置指向 振动质点所在位置的
有向线段表示振动位移，是矢量. ②振幅A：振动物体离开平衡位置的 最大距离， 是标量，表示振动的强弱. ③周期T和频率f:做简谐运动的物体完成 一次 全振动所需要的时间叫周期，而频率则等于单 位时间内完成 全振动的次数 ；它们是表示振动 快慢的物理量.二者互为倒数关系.
2.共振：做受迫振动的物体，它的
固有频率与驱动力的频率越接近， 其振幅就越大，当二者 相等 时， 振幅达到最大，这就是共振现象. 共振曲线如图3所示. 图3
热点聚焦
热点一 简谐运动规律及应用 1.回复力——F=-kx.（判断一个振动是不是简谐运 动的依据） 2.对称性——简谐振动物体具有对平衡位置的对称 性，在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势
能相等，位移、回复力、加速度大小相等 ， 方向
相反 , 速度大小相等，方向可能相同，也可能相 反,振动过程相对平衡位置两侧的最大位移值相等 .
3.周期性——简谐运动的物体经过相同时间t=nT(n)
T 为整数,必回复到原来的状态,经时间t=(2n+1) 2
(n为整数)，则物体所处的位置必与原来的位置 关于平衡位置对称，因此在处理实际问题中， 要 注 意 多 解 的 可 能 性 或 需要 写 出 解答 结 果 的