Ch3线性规划模型
线性规划基本模型
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
线性规划模型
线性规划模型线性规划的英文全称为：Linear Programming ，可简称为LP ． 一、线性规划所属学科线性规划是“运筹学”中应用最广泛、理论最成熟的一个分支．0-1⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩线性规划非线性规划静态规划整数规划规划论规划多目标规划动态规划运筹学对策论决策论排队论图论存储论模型论 二、线性规划发展简史早在19世纪法国数学家傅里叶关于线性不等式的研究表明，他对线性规划已有所了解，还提出了单纯形法求解线性逼近中的线性规划20世纪三是年代末，苏联数学家康托洛维奇开始研究生产组织中的线性规划问题，并写出了线性规划应用于工业生产问题的经典著作《生产组织与计划中的数学方法》．1947年美国数学家丹奇格提出了单纯形(Simplex)方法及有关理论，为线性规划奠定了理论基础．五十年代，线性规划成为经济学家分析经济问题的重要工具．随着计算机的迅猛发展，线性规划现被广泛应用于工业、农业、商业等各个领域． 三、用线性规划方法解决实际问题的两大特点1、全局性——从全局出发，将全局目标作为追求目标；2、定量性——通过建立数学模型，对实际问题进行定量分析，而不是只做定性分析． 数学模型指：将实际问题用一系列数学表达式(函数、方程、不等式等)表示出来，称这一系列数学表达式为该实际问题的数学模型． 四、线性规划方法解决的两类问题1、任务一定，如何安排，可使人、财、物最省；2、人、财、物一定，如何安排，可使任务完成量最多． 五、线性规划可解决以下几方面的问题１、运输问题：某产品有若干个产地、若干个销地，如何运输，使总运费最省；2、生产组织问题：⎩⎨⎧产，使成本最低产值一定，如何安排生最高或利润产，使产值资源一定，如何安排生)(3、配料问题：如何搭配各种原料，既符合质量(营养)要求，又使成本最低；4、投资问题：资金一定，投向谁、投多少、期限多长，使若干年后本利和最高；5、库存问题：在仓库容量有限情况下，如何确定库存物资的品种、数量、期限，使库存效益最佳；6、合理播种问题：在土地资源有限的情况下，种什么、种多少，使效益最高；……第一节 线性规划模型的基本概念 一、建立模型的方法1 根据影响所要达到的目的的因素找到决策变量2 由决策变量和所要到的目的之间的函数关系确定的目标函数3 由决策变量所受到的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件若模型满足：1 目标函数是线性函数 2 约束条件是线性等式或不等式； 则称为线性规划模型 二、常用模型 例1： 生产计划莫工厂生产I II 两种产品需要A 、B 两种原料，问怎样生产获利最大？1） 决策变量：设12,x x 分别生产I II 的数量 2） 目标函数：获利最大 12max 24x x + 3） 约束条件：1228x x +≤ 设备约束 12416,412x x ≤≤ 原料约束 12,0x x ≥ 基本约束 则我们可以建立模型12121212max 24.28416412,0z x x s tx x x x x x =++≤≤≤≥例2： 配料问题某养鸡场有一万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养，每天每只鸡平均吃混合饲料一斤，其中动物饲料不少于1/5，动物饲料每斤0.25元，谷物饲料每斤0.2元，饲料公司每周至多能供应谷物饲料5万斤，问怎样混合饲料才能使每周成本最低？ 解：1）决策变量 设动物饲料1x 斤，谷物饲料2x 斤。
运筹学模型的分类和类型
运筹学模型的分类和类型运筹学是一门应用于决策制定和问题解决的学科，它通过数学模型和分析方法来优化资源的利用。
运筹学模型是在特定情境中描述问题和优化目标的数学表示。
根据问题的性质和优化目标的类型，运筹学模型可以被分类为多种类型。
在本文中，我将介绍一些常见的运筹学模型分类。
一、线性规划模型：线性规划模型是最基本的运筹学模型之一。
它的特点是目标函数和约束条件均为线性的。
线性规划模型常用于求解资源分配、生产计划、物流运输等问题。
通过线性规划模型，我们可以找到使资源利用最优化的决策方案。
某公司需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润，且需满足各种资源约束条件，这时可以使用线性规划模型进行求解。
二、整数规划模型：整数规划模型是在线性规划模型的基础上引入整数变量的扩展。
在某些情况下，问题的决策变量只能取整数值，这时就需要使用整数规划模型进行求解。
某物流公司需要确定车辆的调度方案，每辆车的装载量可以是整数，这时可以使用整数规划模型来求解最佳调度方案。
三、动态规划模型：动态规划模型是一种考虑时间因素的决策模型。
它通常用于求解多阶段决策问题。
动态规划模型通过将问题划分为多个阶段，并建立各阶段之间的转移方程，来寻找最优决策序列。
在项目管理中，我们需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总工期和成本，这时可以使用动态规划模型进行求解。
四、网络流模型：网络流模型是一种描述网络中资源分配和流量传输的模型。
它通常用于求解网络优化问题，如最小费用流问题、最大流问题等。
网络流模型中，节点表示资源或流量的源点、汇点和中间节点，边表示资源或流量的传输通道。
通过建立网络流模型，我们可以确定资源的最优分配方案，以及网络中的最大流量或最小成本。
在供应链管理中，我们需要确定货物从生产商到消费者的最佳流向，以最小化总运输成本，这时可以使用网络流模型进行求解。
五、排队论模型：排队论模型是一种描述排队系统的模型。
它通常用于评估系统性能指标，如平均等待时间、平均逗留时间等。
线性规划问题的数学模型
(2)
x j 0 j 1, 2,L , n
(3)
（1）式称为目标函数（2）式中等式或不等式称为约束条件 （3）式是非负约束条件
x1 , x2, …,xn称为决策变量，简称变量。
满足约束条件的一组变量的值 x1 x10 , x2 x20 ,L , xn xn0
称为线性规划问题的一个可行解，使目标函数取得最大（或最 小）的可行解称为最优解。此时，目标函数的值称为最优值。
单位产品
产品
耗用资源
资源
铜（吨）
电力（千瓦）
劳动日（个）
单位利润 （万元/公斤）
A（公斤）
9 4 3 7
B（公斤）
4 5 10 12
现有资源
360 200 300
解：假设生产A产品x1公斤， B产品x2公斤， x1 ， x2称为决 策变量，简称变量。得到利润7 x1 +12 x2万元，这一问 题的数学模型为：
数学建模系列讲座
（一）线性规划模型
线性规划问题
第一节 线性规划问题的数学模型
（一）引言
线性规划是运筹学的重要分支之一，也是研究较早、发展较快、应用较广 而且比较成熟的一个分支。自1947年线性规划被成功的运用于工业、交通、 农业和军事等各个领域后，现在它已成为管理科学的重要基础和手段之一。 随着计算机的普及，它的适应领域越来越广泛。
x1
-x1 + x2 =1
没有可行解，当然没有最优解。
第三节 单纯形法
（一）线性规划问题的标准形式
线性规划问题的数学模型有各种不同的形式。为了便于讨论，需要将线性 规划数学模型写成统一格式。
线性规划问题的标准型是：
max f c1x1 c2 x2 L cn xn
线性规划模型
线性规划模型线性规划（Linear Programming，LP）是一种用于求解线性优化问题的数学建模方法。
线性规划模型是在一组线性约束条件下，通过线性目标函数来寻找最优解的数学模型。
其基本形式如下：最大化或最小化：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ（目标函数）约束条件为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, …, xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数中各项的系数；a₁₁,a₁₂, …, aₙₙ为约束条件中各项的系数；b₁, b₂, …, bₙ为约束条件中的常数项；x₁, x₂, …, xₙ为决策变量。
线性规划模型的求解过程分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据问题的描述，确定决策变量，确定最优化目标，建立目标函数和约束条件。
2. 确定可行解区域：根据约束条件，画出约束条件所确定的可行解区域。
3. 求解最优解：在可行解区域内寻找目标函数最大化或最小化的解。
常用的求解方法有单纯形法和对偶单纯形法。
4. 解释结果：根据最优解，给出对决策变量和目标函数的解释，进一步分析结果的意义。
线性规划模型适用于许多实际问题的求解，如生产计划、资源分配、物流调度等。
通过构建适当的数学模型，可以帮助管理者做出理性决策，最大化或最小化目标函数。
然而，线性规划模型也有其局限性。
首先，线性规划只能处理线性约束条件和线性目标函数，对于非线性问题无法求解。
其次，线性规划假设决策变量是连续的，对于离散的决策问题，线性规划无法适用。
此外，线性规划模型还需要求解算法的支持，对于复杂问题需要较高的计算资源。
总之，线性规划模型是一种常用的数学建模方法，通过线性约束条件和线性目标函数，求解最优解，帮助解决实际问题。
但线性规划模型也有其适用范围和局限性，需要根据具体问题来选择合适的求解方法。
线性规划模型的建立与应用
其简缩形式为
min Z = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn
∑a x
j =1 ij
n
j
≥ bi j = 1,2,3, LL , n
xj ≥ 0 ,
极小值模型
其简缩形式为 第 一 节 线 性 规 划 模 型 的 基 本 原 理 可用向量表示：
Max z = CX n ∑ Pjx j ≤ b j=1 x j ≥ 0
一、建模 [例2]某农户计划用12公顷耕地生产玉米， 例 大豆和地瓜，可投入48个劳动日，资金 360元。生产玉米1公顷，需6个劳动日， 资金36元，可获净收入200元；生产1公 顷大豆，需6个劳动日，资金24元，可获 净收入150元；生产1公顷地瓜需2个劳动 日，资金18元，可获净收入1200元，问 怎样安排才能使总的净收入最高。 设种玉米，大豆和地瓜的数量分别为 x1、x2和x3公顷，根据问题建立线性规 划问题模型如下：
（一）可行解 线性规划问题的可行解是指，满足规划 中所有约束条件及非负约束的决策变量的一组取值， 其仅与约束条件有关而与目标函数值的大小无关。 （二）可行域 可行域是由所有可行解构成的集合。 根据线性规划的基本理论，任一个线性规划问题的可 行域，都是一个有限或无限的凸多边形，凸多边形的 每个角，称为可行域的极点。 （三）最优解 线性规划的最优解是指，使目标函数值 达到最优(最大或最小)的可行解。一个线性规划问题 可以是有解的，也可能是无解的，最优解的个数可能 是惟一的，也可能是有无穷多个，即决策变量有许多 组不同的取值，都使目标函数达到同一个最优值。
一、建模 Max Z=200 x1+150 x2+100 x3 x1+x2+x3≤12 (1) (2) 6x1+6x2+2x3≤48 36x1+24x2+18x3≤360 (3) x1≥0，x2≥0，x3≥0
线性规划模型
线性规划模型线性规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题，确保特定的目标实现而满足一定约束条件。
它是基于线性关系的一类优化模型，其目的是最大化或最小化一个线性函数，同时满足相关的线性约束条件。
线性规划模型涉及了数学、经济、管理、工程等领域，常常被用于优化决策和资源分配。
线性规划模型有五个基本要素：决策变量、目标函数、约束条件、可行解和最优解。
其中，决策变量是待优化的参数或变量；目标函数是一个以决策变量为自变量的线性函数，代表目标的数学表达式；约束条件是必须满足的限制条件，它们也是线性函数形式；可行解是满足所有约束条件的决策变量组合，这些组合可以被用于计算目标函数的值；最优解是在所有可行解中，能够使目标函数取得极值（最大化或最小化）的可行解。
线性规划模型的主要应用在资源优化领域，例如制造、物流、贡献分析和供应链管理。
其中，生产调度和库存管理是常见的应用场景。
生产调度通常涉及如何分配生产设备的时间和资源，以最小化成本并最大化效益。
库存管理通常涉及如何保持合理库存水平以满足需求，同时尽量减少成本和风险。
线性规划模型计算软件广泛应用，其中最广泛的是 Microsoft Excel 中的插件，如Solver。
Solver 可以通过线性规划模型来找到最佳决策组合，以最小化或最大化目标函数。
其他流行的线性规划软件包包括 MATLAB，AMPL 和 Gurobi 等。
然而，线性规划模型有几个限制：一是实际问题往往不是线性的，因此需要更复杂的模型来处理更复杂的问题；二是线性规划模型假设所有参数是确定的，但在许多情况下参数是不确定的，需要采用随机规划模型。
因此，针对问题的实际特点和需求，选择更合适的数学模型和工具是非常重要的。
总之，线性规划模型是优化问题的一个强大工具，可以在许多领域帮助决策者做出最佳决策。
然而，在应用模型过程中要仔细考虑模型的局限性，并尝试更复杂的模型，以获得更好的决策结果。
《线性规划模型》课件
单纯性法
1
单纯形表格
通过单纯形表格的迭代计算，我们可以逐步寻找到线性规划问题的最优解。
2
单纯性法的求解步骤
单纯性法的求解步骤包括初始化、迭代计算和检查终止条件。
3
最优解和无可行解的情况
我们将讨论单纯性法的最优解和无可行解的情况，并介绍相应的处理方法。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以帮助制定最优的 生产计划，优化资源配置和生 产效率。
3 非负约束
非负约束要求决策变量取 非负值，即不能出现负数 的情况。
图形解法
可行解区域
可行解区域是约束条件所定义的 一个多边形区域，决策变量的取 值必须在该区域内。
等值线和等价线
最优解的确定
等值线和等价线显示了目标函数 在可行解区域上的取值相等的点。
通过寻找目标函数最大或最小值 对应的点，我们可以确定线性规 划问题的最优解。
《线性规划模型》PPT课 件
本课件介绍线性规划模型的基本概念、求解方法和应用领域。从什么是线性 规划开始，逐步深入，帮助你理解和应用这一强大的决策分析工具。
简介
什么是线性规划？线性规划模型的基本元素是什么？如何解决线性规划模型？ 在本节中，我们将回答这些问题，让你对线性规划有一个清晰的了解。
线性规划模型的基本元素
决策变量Байду номын сангаас
决策变量是线性规划模型中的未知数，代表决策者需要确定的变量。
目标函数
目标函数衡量决策结果的好坏，我们通过优化目标函数来获得最佳决策。
约束条件
约束条件是对决策变量的限制，确保决策结果在可行范围内。
约束条件
1 等式约束
等式约束确保决策变量的 线性组合等于给定的值。
工业系统工程线性规划模型
资源分配问题
确定资源需求
通过线性规划模型，可以确定完成生 产任务所需的资源需求，如劳动力、 原材料、设备等。
优化资源分配
线性规划模型可以用于优化资源分配 ，包括确定各种资源的最佳组合和分 配方案，以满足生产需求并最小化资 源消耗。
考虑资源约束
资源分配过程中需要考虑各种资源约 束条件，如资源数量、可用时间等， 线性规划模型可以有效地处理这些约 束条件。
分析不同决策方案
通过构建多个线性规划模型，可以分 析不同的决策方案对系统性能的影响 ，从而为决策者提供参考。
预测未来趋势
基于历史数据和线性规划模型，可以 预测未来趋势，为决策者提供前瞻性 的建议。
制定合理决策方案
确定关键因素
通过线性规划模型，可以确定影响系统 性能的关键因素，从而有针对性地制定 决策方案。
1 2
确定目标变量
明确要优化的目标变量，如成本、利润、产量等 。
确定目标函数的数学形式
根据目标变量的性质和要求，选择适当的目标函 数形式，如最小化、最大化等。
3
确定目标函数的约束条件
明确目标函数的约束条件，如资源限制、时间限 制等。
确定决策变量
01
确定决策变量的类 型
根据问题实际情况，选择适当的 决策变量类型，如连续变量、离 散变量等。
生产计划制定
确定生产目标
通过线性规划模型，可以确定生 产计划的目标，如最大化产量、 最小化成本等。
优化生产流程
线性规划模型可以用于优化生产 流程，包括确定原材料采购、库 存管理、生产调度等方面的最佳 策略。
考虑约束条件
生产计划制定过程中需要考虑各 种约束条件，如设备能力、人员 数量、原材料供应等，线性规划 模型可以有效地处理这些约束条 件。
线性规划模型
线性规划模型线性规划的英文全称为：Linear Programming ，可简称为LP ．一、线性规划所属学科线性规划是“运筹学”中应用最广泛、理论最成熟的一个分支．0-1⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩线性规划非线性规划静态规划整数规划规划论规划多目标规划动态规划运筹学对策论决策论排队论图论存储论模型论 二、线性规划发展简史早在19世纪法国数学家傅里叶关于线性不等式的研究表明，他对线性规划已有所了解，还提出了单纯形法求解线性逼近中的线性规划20世纪三是年代末，苏联数学家康托洛维奇开始研究生产组织中的线性规划问题，并写出了线性规划应用于工业生产问题的经典著作《生产组织与计划中的数学方法》．1947年美国数学家丹奇格提出了单纯形(Simplex)方法及有关理论，为线性规划奠定了理论基础．五十年代，线性规划成为经济学家分析经济问题的重要工具．随着计算机的迅猛发展，线性规划现被广泛应用于工业、农业、商业等各个领域．三、用线性规划方法解决实际问题的两大特点1、全局性——从全局出发，将全局目标作为追求目标；2、定量性——通过建立数学模型，对实际问题进行定量分析，而不是只做定性分析． 数学模型指：将实际问题用一系列数学表达式(函数、方程、不等式等)表示出来，称这一系列数学表达式为该实际问题的数学模型．四、线性规划方法解决的两类问题1、任务一定，如何安排，可使人、财、物最省；2、人、财、物一定，如何安排，可使任务完成量最多．五、线性规划可解决以下几方面的问题１、运输问题：某产品有若干个产地、若干个销地，如何运输，使总运费最省；2、生产组织问题：⎩⎨⎧产，使成本最低产值一定，如何安排生最高或利润产，使产值资源一定，如何安排生)(3、配料问题：如何搭配各种原料，既符合质量(营养)要求，又使成本最低；4、投资问题：资金一定，投向谁、投多少、期限多长，使若干年后本利和最高；5、库存问题：在仓库容量有限情况下，如何确定库存物资的品种、数量、期限，使库存效益最佳；6、合理播种问题：在土地资源有限的情况下，种什么、种多少，使效益最高；……第一节 线性规划模型的基本概念一、建立模型的方法1 根据影响所要达到的目的的因素找到决策变量2 由决策变量和所要到的目的之间的函数关系确定的目标函数3 由决策变量所受到的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件若模型满足：1 目标函数是线性函数 2 约束条件是线性等式或不等式；则称为线性规划模型二、常用模型例1： 生产计划莫工厂生产I II 两种产品需要A 、B 两种原料，问怎样生产获利最大？1） 决策变量：设12,x x 分别生产I II 的数量2） 目标函数：获利最大 12max 24x x +3） 约束条件：1228x x +≤ 设备约束12416,412x x ≤≤ 原料约束12,0x x ≥ 基本约束则我们可以建立模型12121212max 24.28416412,0z x x s t x x x x x x =++≤≤≤≥例2： 配料问题某养鸡场有一万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养，每天每只鸡平均吃混合饲料一斤，其中动物饲料不少于1/5，动物饲料每斤0.25元，谷物饲料每斤0.2元，饲料公司每周至多能供应谷物饲料5万斤，问怎样混合饲料才能使每周成本最低？解：1）决策变量 设动物饲料1x 斤，谷物饲料2x 斤。
第二章线性规划模型精品文档
bi 0i1,2, ,m;
x1,x2, ,xn0.
对于非标准形式的线性规划都可以经过适当的转换而化 化为相应的标准型.
二、线性规划的解法
1.解的概念
设线性规划
m a x ( m i n )z c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n , ⑴
s.t.a11x1 a12x2 a1nxn ,b1,
思考 一般情况下, 产销是不平衡的, 此时相应的模型将如何?
在上面例中, 目标函数及约束条件均为线性表达式, 故 把这样的模型称为线性规划模型.
定义 如下的一组数学关系式即称为一个线性规划或线
性规划模型
m a x ( m i n )z c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n , ⑴
1.06
x31
0,
x32 35, x23 40,
x ij 0 ,i 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ;j 1 ,2 ,3 ,4 .
问题三 运输问题
设有一种物资, 它有 m 个产地, 记为A1,A2, ,Am, 产地
A i 的产量分别为ai(i1,2, ,m); 对该类物资, 有n 个需
s.t.a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1, a2nxn b2,
am1x1 am2x2 amnxn bm,
xi0,i1,2,3, ,n.
并且假设在约束条件系数矩阵中前m 个列向量为单位向量,
则相应的单纯形表为
x x1 x2 c c1 c2 x1 1 0 x2 0 1
0 . 1 x 1 0 . 3 x 2 0 . 9 x 3 1 . 1 x 5 0 . 2 x 6 0 . 8 x 7 1 . 4 x 8 ,
ch3运输问题.ppt
三.运输问题的解法
运输问题仍然是线性规划问题，可以用 线性规划法中的单纯形法来解决。但是： 1.运输问题所涉及的变量多，造成单纯 形表太大； 2.若把技术系数矩阵A中的0迭代成非0， 会使问题更加复杂。 以上两个原因使得我们不得不利用运输 问题的特点设计出它的特殊解法——表 上作业法。
表上作业法
2.m+n个约束中有一个是多余的（因为其间含
有一个平衡关系式
ai bj ）
所以R(A)=m+n-1，即解的mn个变量中基变量
为m+n-1个。
3.m+n－1个变量组构成基变量的充要条件是它不
包含任何闭回路。一条回路中的顶点数一定是偶数。
【定理1】设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变 量数为m+n-1。
求检验数的方法有两种，闭回路法和位势法。
1．闭回路法求检验数 求某一非基变量的检验数的方法是：在基 本可行解矩阵中，以该非基变量为起点，以基变量为其它顶点， 找一条闭回路，由起点开始，分别在顶点上交替标上代数符号+、 -、+、-、…，以这些符号分别乘以相应的运价，其代数和就是 这个非基变量的检验数。
第三步：调整运量，即换基。选一个变量出基，对原运量进行 调整得到新的基可行解，转入第二步。
初始基础可行解—西北角法
1
2
3
4
6
7
5
3
1
14
14
左上角法(亦称西北角法)是优先从运价表的左上角的变量赋值，当行或列分
配完毕后，8再在表中余下4部分的左上角2赋值，依次类7推，直到右下角元素分
配个完变2毕量． 作当基出变现量同，8时以分保配 证完最一后1行的3和基一变列量时数，等仍于6然m+应n在－打1“×”的位2置7上选一
线性规划数学模型
七、生产计划问题的数学模型
一、决策变量
设xj为第j种产品的计划产量
二、约束条件 ⑴ 指标约束 ⑵ 需求约束 ⑶ 资源约束
三、目标函数 ⑴ 总产值 ⑵ 总成本
xj ≥ ej ,
xj ≤ dj ,
n
∑a x j=1 ij j
≤
bi,
j = 1,2,… ,n j = 1,2,… ,n i = 1,2,…,m
它的适用领域非常广泛，从工业、农业、商业、交通 运输业、军事的计划和管理及决策到整个国民经济计 划的最优方案的提出，都有它的用武之地，是现代管 理科学的重要基础和手段之一。
3
第一节 线性规划问题的提出
线性规划研究的问题主要有以下两类。
(1) 给出一定量的人力、物力、财力等资源，如何统筹 规划这些有限资源完成最大任务。（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等） (2) 给定一项任务，如何运筹规划，合理安排，以最少 资源来完成它。（如产品量最多 、利润最大.）
原料D不少于25% 原料P不超过50%
单价(元/kg)
50 35
原料
最大供量 (kg/天)
单价 (元/kg)
A 100
65
B 100
25
Z
不限
25
C 60
35
应如合配制，才能使利润达到最大？
二、配料问题的数学模型
一、决策变量
设以 xij 表示每天生产的 第i 种产品中所含第j 种原料 的数量(kg，右表)。
配料问题
原料 化学成分
成分含量(%)
甲
乙
产品成分 最低含量(%)
A
12
3
4
B
2
3
线性规划模型举例
配料问题2 配料问题
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙） 产 品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模 型时，要考虑：
对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33；
人力资源分配问题1
例1： 某昼夜服务的公交线路每天各时间
段内所需司机和乘务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 ： 10： 10：00 —— 14：00 ： 14： 14：00 —— 18：00 ： 18： 18：00 —— 22：00 ： 22:00 —— 02：00 ： 02：00 ——06：00 02： 0 ： 所需人数 60 70 60 50 20 30
容易求解：对线性规划来说，容易求 解问题主要是控制问题的规模，包括 决策变量的个数和约束条件的个数。 这条原则的实现往往会与(1)发生矛盾， 在实现时需要对两条原则进行统筹考 虑。
建立线性规划模型的步骤
设立决策变量； 明确约束条件并用决策变量的线性等 式或不等式表示； 用决策变量的线性函数表示目标，并 确定是求极大还是极小； 根据决策变量的物理性质研究变量是 否有非负性。
目标函数： 目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件： 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0，整数 0，
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对于一个约束条件，若增加（或减少）1个单位 的资源，对生产组合和最优解没有任何影响， 则称该约束有松弛。本例中，产品限量约束有5 个单位的松弛量(Slack)，即 SLACK=5。
24
第三节 敏感性分析
松弛量(Slack)和剩余量(Surplus)
对劳动时间：松弛量 Slack=0 对机器加工时间：松弛量 Slack=0 对产品限量：松弛量 Slack=5
22
第三节 敏感性分析
紧约束: Binding Constraint
机器加工时间：
资源约束为90小时，实际消耗为 3×20+2×15 = 90（小时） 机器加工时间全部用完，说明也是紧约束。
23
第三节 敏感性分析
松弛量(Slack)和剩余量(Surplus)
产品限量约束：
资源约束为20个，实际生产15个。 约束条件没有达到，尚有5个产品指标未被使用。 此时如果增加1个产品的限额，对最优生产组合没有任 何影响，最优解没有变化，相应地不改变最大销售利 润。这样的约束叫非紧约束(Nonbinding)
决策变量：x1 , x2 , 约束条件：
, xn cn xn
目标函数： min c1 x1 c2 x2
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 s.t. am1 x1 am 2 x2 amn xn bm x1 0, x2 0, , xn 0
•线性规划模型的敏感性分析 1.对资源条件变化的敏感性分析：在价值系数 (目标函数系数)不变的前提下，要使优解保持不变， 每个资源条件可以在什么范围变动？ 2.对价值系数的敏感性分析：在各资源条件不 变的前提下，要使最优解保持不变，各个价值系数可 以在什么范围变动？
19
第三节 敏感性分析
Sensitivity Analysis
生产一个单位的产品 机器加工时间 劳动时间 产品需要限量 销售利润 A型工艺品（件） B型工艺品（件） 资源约束 3（小时） 2（小时） 90（小时） 50（小时） 1（小时） 2（小时） / 20 8（元/件） 7（元/件）
5
第一节 线性规划模型的建立
Formulation
线性规划问题的标准形式：
8
第二节 线性规划的图解法
图解法
【例1-1】：
1. 决策变量：x1=A型数量；x2=B型数量 2. 目标函数：利润最大，Max z=8x1+7x2 3. 约束条件: 3x1 + 2x2 ≤ 90 (机器加工时间有限制) x1 + 2x2 ≤ 50 （劳动时间限制） x2 ≤ 20 (产品需要限量) x1 ≥0； x2 ≥0 (非负条件)
对最大化问题：两者相同 对最小化问题：影子价格等于对偶价格的负数。
26
第三节 敏感性分析
影子价格
机器加工时间的影子价格： 假如机器加工时间增加1个小时，即 由原来的90小时增加到9束：3x1 + 2x2 ≤ 91
27
第三节 敏感性分析
影子价格
50 45 40 35 30 25 20 15 10
图解法求最优解：
•法1：计算各个顶角处的目标函数值 •法2：画出目标函数的等值线，考察等值线与可行域 的交点
11
第二节 线性规划的图解法
图解法
顶点
A B C D O
x1
20 10 0 30 0
x2
15 20 20 0 0
利润
265 220 140 240 0
顶角中，A点(20,15)的利润最大，为265元。所以该 线性规划问题的最优解为x1=20,x2=15。 即企业应安排生产A型产品20个，B型产品15个，可 以达到最大利润265元。 12
14
第三节 敏感性分析
Sensitivity Analysis
一、什么是敏感性分析 二、若干概念：紧约束、松弛量、剩余量、 影子价格和对偶价格 三、资源约束的变化范围 四、目标函数系数的变化范围
15
第三节 敏感性分析
什么是敏感性分析 在【例1-1】中，机器加工时间和劳动时间的约束 条件为90和50小时，当A、B两类工艺品的产量分别为 20件、15件时，企业利润达到最大值265元。 现在，如果以下条件改变了，会有什么改变呢？ •生产资源改变：
一、什么是敏感性分析 二、若干概念：紧约束、松弛量、剩余量、 影子价格和对偶价格 三、资源约束的变化范围 四、目标函数系数的变化范围
20
第三节 敏感性分析
若干概念
X1=A型数量；X2=B型数量 Max Z=8X1+7X2 3x1 + 2x2 ≤ 90 (机器加工时间有限制) x1 + 2x2 ≤ 50 （劳动时间限制） x2 ≤ 20 (产品需要限量) x1 ≥0； x2 ≥0 (非负条件)
第二节 线性规划的图解法
图解法 画出目标函数的等值线，并确定该等值线值增加的 平移方向，平移此目标函数的等值线。
3x1+2x2=90
最优解为 A(20,15) 点。
13
第二章 线性规划
Linear Programming 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 线性规划模型的建立 图解法 敏感性分析 规划模型的Excel求解 多变量规划模型
•生产效率或生产过程改变：
如果产品在使用劳动时间方面提高了效率，如B型工艺品 从1小时/件减少到0.5小时/件，同样问各类产品的生产数量应 该如何安排才能使利润达到最大呢？
17
Max 8X1 + 7X2
市场条件变化：目标函数系数
s.t.
3X1 + 2X2 <= 90 X1 + 2X2 <= 50 X2 <= 20 X , Y >=0
第三节 敏感性分析
资源约束的变化范围
为什么要研究资源约束的变化范围？ 作为经理，你知道机器加工时间的影子价格 为2.25元，如果购买机器时间的成本是每小时 1.25元，意味着每购买1小时机器加工时间，你 可以净赚1元。那么你会尽可能购买更多的机器 时间(称为放松约束，Relaxing a constraint)。 多购买1小时，利润增加2.25元； 多购买2小时，利润增加2×2.25元 多购买10小时？
3x1+2x2=90
3x1+2x2=91
A
A*
5
0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
28
第三节 敏感性分析
影子价格
原最优解：A(20,15) 现最优解A*: (20.5, 14.75) 直线3x1 + 2x2 = 91与x1 + 2x2 = 50 交点(如何求？) 原最大利润：Z=265 现最大利润： Z1=8×20.5 +7×14.75 = 267.25 Shadow Price =目标函数改变量 =267.25-265 = 2.25 i.e. 如果机器时间增加1小时，最大利润可以 增加2.25元。
生产资源改变：约束不等式 右边常数
生产效率或生产过程改变：约束不等式左边系数
最优解(X1,X2)=(20,15)，即当A、B两类工艺品的产量 分别为20件、15件时，企业利润达到最大值265元
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第三节 敏感性分析
什么是敏感性分析 •所谓敏感性分析(Sensitivity Analysis)，就是研究 当模型（系统）的某些条件发生变化时，模型（系统） 相应会发生何种变化。
32
第三节 敏感性分析
资源约束的变化范围
资源约束的变化范围： 在什么范围内，影子价格保持不变？
（影子价格保持不变意味着什么？意味着在该范围 内，只要购买额外资源的成本低于影子价格，企业 都是有利可图的）。
如果资源约束的条件发生改变，比如机器加工的时间约束由 原来的90小时增加到95小时（通过购买或租赁机器设备获得）， 这时: -企业的最优生产组合和最大利润是否会发生改变？ -购买额外的5个小时的机器加工时间需要一定的费用，这是 否值得？
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第三节 敏感性分析
什么是敏感性分析 •市场条件改变：
如果产品市场受供求的影响，导致单位产品的利润发生 了变化，原先A型工艺品的单位利润从8元增加或降低1元，这样 对生产资源的运用是否要改变呢？各类产品的数量应该如何调 整才能使利润达到最大呢？
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第三节 敏感性分析
影子价格
劳动时间的影子价格：1.25 （练习）
产量限制约束的影子价格：0 (Why?)
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第三节 敏感性分析
Sensitivity Analysis
一、什么是敏感性分析 二、若干概念：紧约束、松弛量、剩余量、 影子价格 三、资源约束的变化范围 四、目标函数系数的变化范围
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商务决策模型
先 要 改 变 脑 袋 。
要 想 改 变 口 袋 ，
思 而 不 学 则 殆 。
学 而 不 思 则 罔 ，
第三章 线性规划模型
Linear Programming
商务决策经常遇到资源配置问题，这些问题往往 需要考虑各种类型的约束：资金、人力资源、法律和 行为限制等。线性规划模型是解决约束条件下如何取 得最优配置的最简单有效的方法。 如何建立LP模型 如何求解LP模型 -图解法(只有两个决策变量) -Excel求解(Solver) 敏感性分析
2
第三章 线性规划模型
Linear Programming 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 线性规划模型的建立 图解法 敏感性分析 规划模型的Excel求解 多变量规划模型
3
第一节 线性规划模型的建立
Formulation
例2-1（生产计划问题） 某企业生产两种产品：A型和B型工艺品，使用机器和 劳动力加工生产，机器使用时间和劳动力的工作时间 有限制。问题：如何科学安排A型和B型工艺品的产量 ，使得该企业的利润最大。该企业的资源约束、单位 消耗状况和单位销售利润如下表：