自由曲线与曲面

如果想使用三次样条获得一条通过各个型值点
的连续曲线，需要利用三次样条分段插值得到通过 每个型值点的分段三次样条曲线。对n+1个型值点， 分段插值时段与段之间要建立合适的边界条件，既 能使各段之间平滑连续，又可建立起足够的方程数， 求出所有的系数。
2019/7/26
7
7.2.1 Hermite 样条插值曲线
2．参数样条表示 在计算机图形学应用中使用几种不同的样条描述。
每种描述是一个带有某特定边界条件多项式的特殊 类型。
2019/7/26
5
例如空间一条曲线用三次参数方程可以表示如下：
x(u)﹦axu 3﹢bxu 2﹢cxu﹢dx y(u)﹦ayu 3﹢byu 2﹢cyu﹢dy z(u)﹦azu 3﹢bzu 2﹢czu﹢dz u[0,1] 或
同样，如果用u,w表示参数，二维空间自由曲面的参数方程
表示为：
x﹦x(u,w),y﹦y(u,w)
u,w[0,1]
曲面上一点的参数表示为：
P(u,w)﹦[x(u,w),y(u,w)]
三维空间自由曲面的参数方程表示为：
x﹦x(u,w),y﹦y(u,w),z﹦z(u,w)；u,w[0,1]
曲面上一点的参数表示为：
Hermite样条插值（以法国数学家Charles Hermite命名）使用值点和型值点处的一阶导数建立边界条
件。设Pk和Pk+1为第K个和第K+1个型值点，Hermite样 条插值边界条件规定为：
P(0) ﹦Pk P(1) ﹦Pk+1 P’(0)﹦Dk P’(1)﹦Dk+1 其中，Dk和Dk+1分别为Pk和Pk+1处的一阶导数。 将参数方程写成矩阵形式为：
二阶几何连续性，记为G2连续，指两个曲线段在相交 处其一阶和二阶导数均成比例。G2连续下，两个曲线段在 交点处的曲率相等。
2019/7/26
4
7.1.4 参数样条曲线 1．样条曲线
在计算机图形学中，术语样条曲线指由多项式曲 线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定连 续条件。而样条曲面可用两组正交样条曲线来描述。 样条用来设计曲线和曲面形状，典型的CAD应用包 括汽车、飞机和航天飞机表面设计以及船壳设计。
其中 H0(u)﹦2u3﹣3u2﹢1 H1(u)﹦-2u3﹢3u2 H2(u)﹦u3﹣2u2﹢u H3(u)﹦u3﹣u2
称为Hermite样条调和函数，因为它们调和了边界约束值， 使在整个参数范围内产生曲线的坐标值。调和函数仅与 参数u有关，而与初始条件无关，且调和函数对于空间的 三个坐标分量(x,y,z)是相同的。
P(u,w)﹦[x(u,w),y(u,w),z(u,w)]。
2019/7/26
2
7.1.2 插值、逼近和拟合 给出一组有序的型值点列，根据应用的要求来得
到一条光滑曲线，通常采用两种不同的方法，即插 值方法和逼近方法。
插值方法要求生成的曲线通过每个给定的型值点。
曲线插值方法有多项式插值，分段多项式插值，样 条函数插值等。
自由曲线和曲面
自由曲线和曲面是指那些形状比较复 杂、不能用初等解析函数直接表示出来的 曲线和曲面。汽车车身、飞机机翼和轮船 船体等的曲线和曲面均属于这一类。一般 情况下，它们需要利用插值或逼近的方法， 对型值点进行拟合，得到拟合曲线和曲面。
2019/7/26
1
7.1 曲线曲面的参数表示及连续性
7.1.1曲线曲面的参数表示
2019/7/26
6
7.2 三次样条插值曲线 实际上，通常使用的是三次样条曲线。这是因
为三次多项式曲线是能使曲线段的端点通过特定的 点，并能使曲线段在连接处保持位置和斜率连续性 的最低阶次的多项式。与更高次多项式相比，三次 多项式只需较少的计算和存储且较稳定，而更低次 多项式又难以用来描述复杂形状的曲线。
逼近方法要求生成的曲线靠近每个型值点，但不 一定要求通过每个点。逼近方法有最小二乘法， Bezier方法，B样条方法等。
用插值或逼近来构造曲线的方法通称为曲线拟合 方法。
2019/7/26
3
7.1.3 参数连续性条件 0阶导数连续性，记作C0连续，是指曲线相连。即第一
个曲线段在u﹦1处的x,y,z值与第二个曲线段在u﹦0处的 x,y,z值相等。
如果用u表示参数，二维空间自由曲线的参数方程可以记为：
x﹦x(u),y﹦y(u)
u[0,1]
二维空间曲线上一点的参数表示为：
P(u)﹦[x(u),y(u)]
三维空间自由曲线的参数方程表示为：
x﹦x(u),y﹦y(u),z﹦z(u)；u[0,1]
曲线上一点的参数表示为：
P(u)﹦[x(u),y(u),z(u)]
2019/7/26
8
将边界条件P(0) ﹦Pk和P(1) ﹦Pk+1代入方程得： Pk ﹦d Pk+1﹦a﹢b﹢c﹢d
一阶导数为：
将边界条件P’(0)﹦Dk和P’(1)﹦Dk+1代入方程得： Dk ﹦c Dk+1﹦3a﹢2b﹢c
2019/7/26
9
由边界条件构成的4个方程联立：
Pk ﹦d Pk+1﹦a﹢b﹢c﹢d Dk ﹦c Dk+1﹦3a﹢2b﹢c 写成矩阵的形式为：
P(u)﹦au 3﹢bu 2﹢cu﹢d
u[0,1]
如果曲线的边界条件设定为端点处满足给定坐标值 P(0)和P(1)，同时端点处的导数也满足给定值P’(0) 和P’(1)。这四个边界条件对决定上式中方程的系数 是充分条件。例如已知x(0)、x(1)、x’(0)和x’(1)， 则ax、bx、cx和dx就可以求出。解出各个系数后的上） 式就是一种确定的三次参数样条表示式。
一阶导数连续性，记作C1连续，指两个相邻曲线段在 交点处有相同的一阶导数。
二阶导数连续性，记作C2连续，指两个相邻曲线段在 交点处有相同的一阶和二阶导数。高阶参数连续性可类 似定义。
0阶几何连续性，记为G0连续，与0阶导数连续性相同。 即两个曲线段在公共点处有相同的坐标。
一阶几何连续性，记为G1连续，指一阶导数在两个相 邻段的交点处成比例，而大小不一定相等。
2019/7/26
10
解此方程得：
2019/7/26
11
称为Hermite矩阵，插值样条参数方程可以写成
2019/7/26
12
将上式展开写成代数形式为： P(u)﹦Pk(2u3﹣3u2﹢1)﹢Pk+1(-2u3﹢3u2)
+Dk(u3﹣2u2﹢u)﹢Dk+1(u3﹣u2) ﹦PkH0(u)﹢Pk+1H1(u)﹢DkH2(u)﹢Dk+1H3(u)