人教版高数选修2第3讲：椭圆的标准方程与性质(教师版)

椭圆的标准方程与性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1．椭圆的定义在平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数： (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)图形性范围 －a ≤x ≤a－b ≤x ≤b质－b ≤y ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c离心率e ＝ca ∈(0，1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2类型一 椭圆的定义及其应用例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【解析】根据CD 是线段MF 的垂直平分线.可推断出,进而可以知道结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P 的轨迹 【答案】根据题意知,CD 是线段MF 的垂直平分线. ,(定值),又显然,根据椭圆的定义可推断出点P 轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆.所以A 选项是正确的练习１：已知F 1，F 2是椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥2PF ，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________． 【解析】由题意的面积∴故答案为：【答案】3练习2：已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】由椭圆方程知，椭圆的长轴，则周长为16，故第三边长为6.所以正确答案为A.【答案】A类型二 求椭圆的标准方程例2：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．【解析】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，故a ＝4. ∴b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. 【答案】x 216＋y 28＝1 练习1：设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．【解析】x 2+3y 2/2=1 【答案】x 2+3y 2/2=1 类型三 椭圆的几何性质例3：如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆()222210x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．【解析】直线A 1B 2的方程为x －a ＋y b ＝1，直线B1F 的方程为x c ＋y－b＝1，二者联立，得T(2ac a －c ，b （a ＋c ）a －c)，则M(ac a －c ，b （a ＋c ）2（a －c ）)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)上，∴2222()1()4()c a c a c a c ++=--， c 2＋10ac －3a 2＝0，e 2＋10e －3＝0，解得e ＝27－5. 【答案】27－5练习1：已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的公共顶点．P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点(P 、M 都异于A 、B )，且满足AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记为k 1、k 2、k 3、k 4，k 1＋k 2＝5，则k 3＋k 4＝________．【解析】设出点P 、M 的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足及其斜率的计算公式即可求出．【答案】∵A ，B 是椭圆和双曲线的公共顶点，∴（不妨设）A （-a ，0），B （a ，0）．设P （x 1，y 1），M （x 2，y 2），∵，其中λ∈R ，∴（x 1+a ，y 1）+（x 1-a ，y 1）=λ[（x 2+a ，y 2）+（x 2-a ，y 2）]，化为x 1y 2=x 2y 1．∵P 、M 都异于A 、B ，∴y 1≠0，y 2≠0．∴．由k 1+k 2==5，化为，（*）又∵，∴，代入（*）化为．k 3+k 4==，又，∴，∴k 3+k 4===-5．故答案为-5．类型四 直线与椭圆的位置关系例4：(2014·四川卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2，0)，离心率为63.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．【解析】（1）根据已知条件求得和的值，于是可得的值，即得到椭圆的标准方程； （2）设出点坐标和直线和的方程，将其与椭圆方程联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据边角关系得到平行四边形底边的长和对应的高，代入面积的表达式即可得到结论。

【答案】（1）由已知可得，，，所以。

又由，解得，所以椭圆的标准方程是。

（2）设点的坐标为，则直线的斜率。

当时，直线的斜率，直线的方程是。

当时，直线的方程是，也符合的形式。

设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得。

消去，得。

其判别式，所以，，。

因为四边形是平行四边形，所以，即。

所以，解得。

此时，四边形的面积。

练习1：(2014·陕西卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB||CD|＝534，求直线l 的方程．【解析】（1）根据椭圆上的一点和离心率建立方程，求出椭圆方程中的参数。

（2）根据圆心到直线的距离求出的长度，建立直线和椭圆的方程组求出的长度，根据和的关系求出。

【答案】由题设知解得，，，所以椭圆的方程为。

（2）由题设，以为直径的圆的方程为，所以圆心到直线的距离，由得。

所以。

设，，由得。

由求根公式可得，。

所以，由得，解得，满足。

所以直线的方程为或。

类型五 圆锥曲线上点的对称问题例5：椭圆E 经过点A (2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12，其中∠F 1AF 2的平分线所在的直线l 的方程为y ＝2x －1.(1)求椭圆E 的方程；(2)在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由 【解析】（1）由定义法代入即可得答案。

（2）假设存在直线，先设出直线方程代入，与椭圆方程联立后得到矛盾，即可。

【答案】（1）设椭圆E 的方程为+=1,由e=,即=,a=2c,得b 2=a 2-c 2=3c 2.∴椭圆方程具有形式+=1.将A(2,3) 代入上式, 得+=1,解得c=2, ∴椭圆E 的方程为+=1.（2）解法一:假设存在这样的两个不同的点B(x 1,y 1)和C(x 2,y 2), ∵BC ⊥l,∴k BC ==-.设BC 的中点为M(x 0,y 0),则x 0=,y 0=,由于M 在l 上, 故2x 0-y 0-1=0.① 又B,C 在椭圆上,所以有+=1与+=1.两式相减,得+=0,即+=0.将该式写为·+··=0, 并将直线BC 的斜率kBC 和线段BC 的中点表示代入该表达式中,得x 0-y 0=0,即3x 0-2y 0=0.②①×2-②得x 0=2,y 0=3,即BC 的中点为点A, 而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的点B 和C.解法二:假设存在B(x1,y1),C(x2,y2)两点关于直线l 对称,则l ⊥BC,∴k BC =-. 设直线BC 的方程为y=-x+m,将其代入椭圆方程+=1, 得一元二次方程3x 2+4=48,即x 2-mx+m 2-12=0.则x 1与x 2是该方程的两个根. 由韦达定理得x 1+x 2=m,于是y 1+y 2=-(x 1+x 2)+2m=, ∴B,C 的中点坐标为.又线段BC 的中点在直线y=2x-1上, ∴=m-1,得m=4.即B,C 的中点坐标为(2,3),与点A 重合,矛盾. ∴不存在满足题设条件的相异两点.练习1：(2014·湖南)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b(a<b)，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px(p>0)经过C ，F 两点，则ba＝________.【解析】由题可得C(,2a a -),F(,2a b b +),因为C,F 在抛物线上,代入抛物线可得21ba=+,故填21+。