七年级数学下册5.3 简单的轴对称图形(第2课时)
北师大版数学七年级下册5.3.2《简单的轴对称图形》教案
北师大版数学七年级下册5.3.2《简单的轴对称图形》教案一. 教材分析《简单的轴对称图形》是北师大版数学七年级下册第五章第三节的内容。
本节主要让学生了解轴对称图形的概念，学会判断一个图形是否为轴对称图形，以及如何找出轴对称图形的对称轴。
通过本节的学习，学生能更好地理解轴对称现象，提高他们的空间想象能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了平面图形的知识，对图形的性质有一定的了解。
但是，对于轴对称图形的概念和判断方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际例子中发现轴对称现象，逐步引入并讲解轴对称图形的概念和判断方法。
三. 教学目标1.让学生了解轴对称图形的概念，学会判断一个图形是否为轴对称图形。
2.让学生能够找出轴对称图形的对称轴，并理解对称轴的意义。
3.培养学生的空间想象能力，提高他们解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.轴对称图形的概念及其判断方法。
2.找出轴对称图形的对称轴。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法进行教学。
通过实际例子引导学生发现轴对称现象，讲解轴对称图形的概念和判断方法，然后让学生分组讨论，找出具体图形的对称轴，最后进行总结和拓展。
六. 教学准备1.准备一些轴对称图形的实例，如剪纸、图片等。
2.准备多媒体教学设备，用于展示实例和动画。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些轴对称图形的实例，如剪纸、图片等，引导学生发现轴对称现象，激发学生的兴趣。
让学生尝试解释这些实例中的对称现象，从而引入轴对称图形的概念。
2.呈现（10分钟）讲解轴对称图形的概念，让学生明白什么是轴对称图形。
通过展示一些动画和实例，让学生更好地理解轴对称图形的性质。
同时，讲解如何判断一个图形是否为轴对称图形，以及如何找出轴对称图形的对称轴。
3.操练（10分钟）将学生分成若干小组，每组提供一个轴对称图形，让学生找出该图形的对称轴。
通过小组合作，让学生加深对轴对称图形和对称轴的理解。
《简单的轴对称图形》第二课时教案2
《简单的轴对称图形》教案教学目标一、知识与技能1．本节通过实践操作与思考的有机结合，帮助我们认识简单的轴对称图形。
经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．2．探索并了解线段垂直平分线的有关性质．3．应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题．4．尺规作图。
二、过程与方法本节知识是通过对现实生活情景中的轴对称现象引出课题，在观察生活的基础上，从生活实践中探索轴对称现象的共同特征，进一步发展空间观念，体会轴对称在生活中的广泛运用和丰富的文化价值。
因此，在学习中，首先要养成善于观察的习惯，从不同的情境中，通过思考、分析，总结共性，学会学习。
三、情感态度和价值观1．培养学生的抽象思维和空间观念，结合教学进行审美教育，让学生充分感知数学美，激发学生热爱数学的情感。
2．结合教材和联系生活实际培养学生的学习兴趣和热爱生活的情感。
3．通过小组折叠协作活动，培养学生协作学习的意识和研究探索的精神。
教学重点线段垂直平分线的轴对称性及其有关性质教学难点尺规作图.教学方法探究——归纳法课前准备PPT课件课时安排1教学过程一、导入新课（一）、“玩”对称，谈话激趣交流：从“玩”这一话题引入，结合师生的撕纸作品，自然引入新课学习，激发学生的兴趣.二、新课学习（二）、“识”对称，体悟特征1．结合学生的撕纸作品，引导学生进行观察、比较、概括，抽象出这类平面图形的特点.在此基础上，引导学生结合图形的特征（对折后，折痕两侧完全重叠），师生共同揭示轴对称图形的概念.2．从“轴”字出发，引导学生认识轴对称图形的对称轴，并通过说一说、指一指、画一画，深入认识对称轴，体会“对称轴是折痕所在的直线”这一内涵，并通过例题图再次感受轴对称图形的特征.3．结合轴对称图形的特征，判断下列图形是否为轴对称图形.（1）学生根据经验大胆猜想.（2）结合手中的学具，小组合作，共同验证猜想.（3）进行交流，着重引导学生说清判断的依据.4．判断国旗中的图案是否是轴对称的.交流时，引导学生说说判断的依据.5．判断交通标志中的图案是否是轴对称的.交流：剩下的图案为什么不是轴对称的.6．想象小游戏：根据给出的轴对称图形（字母）的左半边，想象它的另一半，并判断给出的是什么字母.（三）、“做”对称，深化体验1.观看桂林山水的图片，感受对称的美，激发学生创造对称美的激情.2.自学三种“做”对称的方法，再引导学生结合轴对称图形的特点，利用师生共同准备的一些素材，自己想办法创造一个轴对称图形.3.汇报交流，着重引导学生说清创作过程，并给予激励性评价.（四）、“画”对称，提升技能（五）、“赏”对称，加深认识由轴对称图形，进而拓展到现实生活中的轴对称现象.引导学生通过赏析脸谱艺术和剪纸艺术，并进一步拓宽学生的视野，受到美的洗礼.三、结论总结：线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等，线段是轴对称图形，垂直平分线段的直线是它的对称轴，尺规作图应用了三角形全等的知识四、课堂练习活动内容：1.如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周长是cm。
七年级数学北师大版贵州专版下册课件：5.3简单的轴对称图形(第2课时)
解析:因为等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°,所以 ∠ABC=80°,因为DE是线段AB的垂直平分线,所以AE=BE,所 以∠A=∠ABE=20°,所以∠CBE=∠ABC- ∠ABE=80°20°=60°.故选C.
3.如图所示,在△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分 线分别交AB,BC于点E,D,BE=6,求△BCE的周长.
(3)由此你能得到什么结论?
线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. 线段还有一条对称轴,它就是线段AB所在的直线.
线段垂直平分线的定义与性质
【活动内容一条线段,并且平分这条线段的直线,
叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线. 【活动内容2】
线段的对称性
【活动内容】 线段是轴对称图形吗?如果是,你能找出它的一条对称轴吗? 做一做:为了解决这个问题,请同学们拿出
准备好的纸,在纸上画出一条线段AB,对折AB
使点A,B重合,折痕与AB的交点为O. 想一想:(1)折痕两旁的部分能重合吗?线段是一个轴对称图形吗?这 条折痕是线段的对称轴吗?
(2)点O是线段AB的中点吗?折痕与线段AB垂直吗?为什么?
为AO=BO,∠AOM=∠BOM=90°,OM=OM,所以
△AOM≌△BOM,所以AM=BM.
线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离相等.
尺规作图:作线段垂直平分线
已知:线段AB.
C
求作:线段AB的垂直平分线.
(1)分别以点A和B为圆心,任意长为半 径作弧,两弧相交于点C和D. (2)作直线CD.直线CD就是线段 AB的垂直平分线. 你能说明为什么所作的直线就是已知线段 的垂直平分线吗? 只要连接CA,CB,DA,DB就可以了,因为在△ADC和△BDC 中,AC=BC,AD=BD,CD=CD, 由SSS可知△ADC≌△BDC,得到∠ACD=∠BCD,再由等腰三角形的 “三线合一”就可知道CD是AB的垂直平分线.
北师大版初一数学下册简单的轴对称图形第二课时教学设计(黄丽平)
杏坛梁銶琚中学课堂教学设计一、基本信息课题：北师大版数学七年级下册第五章《生活中的轴对称》第三节简单的轴对称图形（2）设计人/单位：佛山市顺德区杏坛镇杏坛梁銶琚初级中学黄丽平学情分析：心理学研究指出，初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
从年龄特点来看，初中学生好动、好奇、好表现，抓住学生特点，积极采用形象生动、形式多样的教学方法和学生广泛的、积极主动参与的学习方式，定能激发学生兴趣，有效地培养学生能力,促进学生个性发展。
生理上，青少年好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住学生这一生理特点，一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过生活中的轴对称图形，对轴对称图形的特点及对称轴有所了解，并能通过折纸动手制作轴对称图形。
在本章前面一节课中，又学习轴对称现象，对轴对称和轴对称图形的概念有了进一步的了解，具备了动手操作的基本技能。
教材分析：简单的轴对称图形”是北师大版数学七年级下册第五章《生活中的轴对称》第三节，它对轴对称的学习具有承上启下的作用。
学生在前面已学习了轴对称及轴对称图形的基础上，认识简单的轴对称图形较容易，而让学生主动探索简单的轴对称图形的基本性质，认识线段垂直平分线的性质在现实生活中的广泛应用是学习本节内容的主要目标，对学生来说也是一个难点。
课型、时间：新授课（一个课时）教学目标或内容要求：（1）知识与技能1.本节通过实践操作与思考的有机结合，帮助我们认识简单的轴对称图形。
经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。
2•探索并了解线段垂直平分线的有关性质。
3•应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题。
4•线段垂直平分线的尺规作图。
北师大版七年级数学下册5.3简单的轴对称图形2
学习目标：1、经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念2、探索并了解角的平分线、线段垂直平分线的有关性质。
一、自主预习：
（一）预习准备（1பைடு நூலகம்预习书123~126页
思考：角平分线有什么特征？线段垂直平分线有什么特征？
（2）预习作业：
1、角是轴对称图形，它的对称轴是_______，角的平分线上的点到这个角的两边的距离_______。
2、线段是轴对称图形，它的一条对称轴是_______，另一条对称轴是线段所在的直线。
3、线段垂直平分线上的点到这条线段_______。
二、合作探究：
例1．如图，在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E和D，BE=6，求△BCE的周长．
三、当堂检测：
（1）如图，AB是△ABC的一条边，，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB＝8cm，BD＝6cm，那么EA＝________，DA＝____.
C．两个全等的三角形组成一个轴对称图形;D．直角三角形一定是轴对称图形
4．如图，CD⊥OA，CE⊥OB，D、E为垂足．
（1）若∠1=∠2，则有___________;
（2）若CD=CE，则有___________．
5、下面用我们学过的知识证明发现：
如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC．求证：OE＝OD．
课后反思：
（2）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC＝10cm，那么△BCD的周长是_______cm.
四、总结反思：
1.角是图形。
2.角平分线上的点到这个角的两边的相等。
七年级数学下册 5.3.2《简单的轴对称图形(二)》尺规作图数学史素材 (新版)北师大版
初中尺规作图数学史尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴ 经过两已知点可以画一条直线；⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r 时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴ 正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵ 四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？m【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例2】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】 设半径为1..我们的任务就是做出这个长度..设法构造斜边1.【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2.可算出顶点距圆心距离）的长度等分圆周就可以啦！⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例3】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c b aD'DC B Acb a【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ；⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧).⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例4】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.C B AG'F'E'D'GF E D C B A【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上.⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E .⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D .则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例5】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则A M P ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ；⑶ 过P 、N 作直线l .直线l 即为所求. NM P CB Al。
初中数学北师大版七年级下册《简单的轴对称图形(第2课时)》课件
求证：PA=PB
M
证明：∵ MN⊥AB 于点O （已知）,
P
∴ ∠POA= ∠POB=90°（垂直的定义）
在 △PAO和△PBO中，
AO=BO（已知）,
∠POA= ∠POB（已证）, PO=PO（公共边）
A OB
∴ △POA ≌△ POB（SAS）.
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
N
性质：线段垂直平分线上的点到
（不要求写做法，但要求保存作图痕迹。） 作法：
(1) 以点A为圆心，以大于AB一半 的长为半径画弧； (2) 以点B为圆心，以同样的长为 半径画弧，两弧的交点记为C、D；
(3) 经过点C、D作直线CD．
直线CD即为所求．
1 . 如图，某地由于居民增多，要在公路边增加一个公共汽 车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站P建在 什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？
A
O
B
连接CA,CB.
定义：垂直并且平分线段的直线叫做这条线段的
CC
垂直平分线，简称中垂线。
（1）线段是轴对称图形吗？ 是
（2）AO与BO相等吗？
AO
B
CO与AAOB=有BO怎，样C的O位⊥置AB关系？
（3）CA与CB相等吗？另取一点P试一试。 CA=CB，PA=PB
已知：如图，直线MN⊥线段AB,垂足为O, 且AO=OB.
C.PA＝OB，PB＝OA D.PA＝PB，OA＝
OB
3.在△ABC中，BC=10，DE垂直平分 BC,BE=6，求△BCE的周长．
解：
∵DE⊥BC ,BD=DC ∴EC=EB=6
∴C△BCE=EB+EC+BC=6+6+10=22
5.3简单的轴对称图形(2)——线段的垂直平分线2024学年北师大版数学七年级下册
点(要求写出作法,并保留作图痕迹).
解:作法:如图,
①作E关于BC的对称点E1,
②连接E1F交BC于点M.
则点M即为所求.
思维过关
7.如图,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,连接AO,CO.
若∠OEB=46°,则∠AOC=( B )
3.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于点E,交BC于点
D,△ABD的周长为20 cm,AE=5 cm.求△ABC的周长.
解:因为DE是AC的垂直平分线,所以AD=CD.
所以△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+
CD=AB+BC=20 cm.
因为AE=5 cm,所以AC=2AE=2×5=10(cm).
35°
5
2.(2023·揭阳惠来县期末)如图,已知在△ABC中,∠B=50°,
∠C=20°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平
分线分别交AC,BC于点F,G,连接AE,AG,则∠EAG=_____.
40°
3.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交
又因为BD是AC边上的高,
所以∠DBC=90°-∠C=18°.
巩固提能
1.(2023·揭阳榕城区期末)如图,在△ABC中,直线MN为BC的垂直
平分线,并交AC于点D,连接BD.若AD=3 cm,AC=9 cm,则BD的
长为( A )
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
2.(2023·茂名电白区期末 )如图,△ABC中,ED垂直平分AB.若
七年级数学下册 第五章 生活中的轴对称 5.3 简单的轴对称图形(第2课时)课件
世纪金
(1)AB,AC,CE的长度有什么(shén me)关系?为什么?
(2)AB+BD与DE有什么关系?为什么?
第二十页，共四十七页。
解:(1)结论:AB=AC=CE. 理由(lǐyóu):因为AD⊥BC,BD=DC,所以AB=AC. 因为点C在AE的垂直平分线上,所以AC=CE,所以AB =AC=CE. (2)结论:AB+BD=DE. 理由:因为AB=AC=CE,BD=CD,所以AB+BD=CE+CD,所以
AB+BD=DE.
第二十一页，共四十七页。
知识点二 角平分线的性质(xìngzhì)
【典例2】如图,在△ABC中,∠C=90°. (1)作∠BAC的平分线AD,交BC于点D. (2)若AB=10 cm,CD=4 cm,求△ABD的面积.
第二十二页，共四十七页。
【尝试(chángshì)解答】(1)如图所示, AD即为所求; ………………角平分线作法
A.SSS
B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
第二十八页，共四十七页。
★3.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上(biān shànɡ)的高线,BE平分
∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于
( )C
A.10
B.7
C.5
D.4
第二十九页，共四十七页。
系,并说明理由.
第四十四页，共四十七页。
问题(二)
研究(3):将问题(一)推广,如图③,将四边形ABCD纸片沿EF折叠 (zhédié),使点A,B落在四边形EFCD的内部时,∠1+∠2与∠A,∠B之 间的数量关系是________.(直接写出结论)
新北师大版七下第五章 5.3简单的轴对称图形(二)教学设计1
§5.3《简单的轴对称图形（第2课时）》教学设计【教学目标】1．经历探索线段轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．2．理解线段垂直平分线的概念，探索线段垂直平分线的基本性质．3．掌握线段垂直平分线的尺规作图方法．【教学重点】1、掌握线段的对称性；2、探索线段垂直平分线的有关性质；3、会用尺规平分线段或者作出相应线段的垂直平分线。
【教学难点】能独立归纳出线段垂直平分线的性质，并会在实际应用中灵活应用这一性质。
【教学过程】一、引入新课板书课题二、检查学生对学案“知识回顾”栏的完成情况。
三、探索研究探索1：探索线段的对称性线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？活动内容:按下面的步骤做一做：⑴在纸上画一条线段AB，对折AB使点A，B重合，折痕与AB的交点为O；⑵在折痕上任取一点M，沿MA将纸折叠；⑶把纸张展开，得到折痕MA和MB．问题思考：⑴MO与AB具有怎样的位置关系？⑵AO与BO相等吗？MA与MB呢？能说明你的理由吗？⑶在折痕上移动M的位置，结果会怎样？实验结论：⑴线段是轴对称图形，它的对称轴有两条：一条是线段AB本身所在的直线；另一条是CD，它垂直于AB又平分AB，称作AB的垂直平分线．⑵无论M点取在直线的何处，线段MA和MB都重合．⑶线段垂直平分线的概念：垂直且平分一条线段的直线叫这条线段的垂直平分线．⑷线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．探索2：尺规作图活动内容：如图，已知线段AB，请画出它的垂直平分线.1、先请学生自学124页例1，然后在练习本上进行尺规作图。
2、各小组讨论：为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线？教师适时强调写出规范的己知、求作。
完后各小组互相检查，教师再针对存在的问题进行强调纠正，加深学生对作法的理解和掌握。
四、当堂检测活动内容：1、（2010•义乌市）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A、6B、5C、4D、32、与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边的垂直平分线的交点3、（2011•无锡）如图，在△ABC中，AB=5cm，AC=3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为cm．4、（2011•海南）如图，在△ABC中，AB=AC=3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5cm，则BC的长等于cm．第1题第3题第4题活动目的：对本节知识进行巩固。
5.3 简单的轴对称图形(2)
其中,正确的说法有(
A.1个
B.2个
B
)
C.3个
D.0个
数学
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2.如图,在△ABC中,BC=8,AB,AC的垂直平分线与BC分别交于
E,F两点,则△AEF的周长为(
A.2
B.4
C.8
D.不能确定
C
)
数学
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3.如图,等腰△ABC的周长为13,底边BC=3,AB的垂直平分线DE
交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为(
= .
所以A,B,D项都成立.故选C.
答案:C
数学
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▶▶ 对应练习
1.如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于点D,AC的中垂
线交BC于点E,求△ADE的周长.
数学
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解:因为点D在线段AB的垂直平分线上,
所以DA=DB,
因为点E在线段AC的垂直平分线上,
所以EA=EC,
D
)
数学
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解析:因为BC=BD+CD,AD+CD=BC,所以AD=BD.
由作图痕迹可知,
在选项A中,AB=BD,不符合题意;
在选项B中,AD=CD,不符合题意.
在选项C中,AC=CD,不符合题意;
在选项D中,AD=BD,符合题意.
故选D.
数学
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二、填空题
1.如图,AB是△ABC的一条边,DE是AB的垂直平分线,垂足为
∠ = ∠,
在△FEC与△AED中,ቐ = ,
∠ = ∠,
所以△FEC≌△AED(ASA).所以CF=AD.
数学
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(2)当BC=6时,点B在线段AF的垂直平分线上.理由:
七年级数学下册 5.3.2《简单的轴对称图形(二)》尺规作图数学史素材 (新版)北师大版
初中尺规作图数学史尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴ 经过两已知点可以画一条直线；⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r 时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴ 正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵ 四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？m【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例2】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】 设半径为1..我们的任务就是做出这个长度..设法构造斜边1.【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2.可算出顶点距圆心距离）的长度等分圆周就可以啦！⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例3】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c b aD'DC B Acb a【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ；⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧).⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例4】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.C B AG'F'E'D'GF E D C B A【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上.⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E .⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D .则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例5】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在A M C ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则A M P ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ；⑶ 过P 、N 作直线l .直线l 即为所求. NM P CB Al。
七年级数学下册课件：5.3简单的轴对称图形(二)
极限挑战
如图，点C在直线l外， 你能过点C画出直线l的 垂线吗？
图 24.4.10
作法：(1)以点C为圆心，以适当长为半径 画弧，交直线l于点A、B；
(2)以点A为圆心，以CB长为半径在直线 另一侧画弧． (3)以点B为圆心，以CB长为半径在直线 另一侧画弧，交前一条弧于点D．
(4)经过点C、D作直线CD． 则直线CD即为所求．
小结
1.垂直于一条线段并且平分它的直线叫这 2.条线段的垂直平分线。 2.线段是轴对称图形，它的垂直平分线是 它的一条对称轴. 3.线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等.
A
B
想一想
CC
（1）CO与AB有怎样的位置关系？
垂直
AO
B
（2）AO与BO相等吗？CA与CB 呢？能说明你的理由吗？
AO=BO CA=CB
（3）在折痕上另取一点，再试一试。
探索2 用尺规作线段的垂直平分线 如图，已知线段AB，画出它的垂直平分线.
图 24.4.7
如图，已知线段AB，画出它的垂直平分线.
E
B
（1）
3如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，
AB的垂直平分线交AC于D，
如果BC=10cm，那么△BCD的
周长是_______c2m6 .
A
E D
B
C
课外探究：
如图：A，B，C,D四点表示四个工厂，现要
建一供水站，使它到这四个工厂的距离
相等，请在图中标出供水站的位置P，
请给予说明理由。
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3简单的轴对称图形（第2课时）
复习
温故知新
1、什么样的图形叫做轴对称图形？
2020--2021学年北师大版七年级数学下册简单的轴对称图形(第2课时)课件(共28张)
A．22厘米
B．16厘米
C．26厘米
D．25厘米
解析：根据线段垂直平分线的性质得CD＝AD，
故△BCD的周长为BD＋DC＋BC＝AD＋BD＋
BC＝AB＋BC＝12＋10＝22(厘米)．
巩固练习
变式训练
如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线交BC于D，
(3)以点B为圆心，以大于 AB长为半径在直线另一侧画弧，
交前一条弧于点D．
(4)经过点C、D作直线CD．
则直线CD即为所求．
A
B
图 24.4.10
D
连接中考
1.（202X•呼伦贝尔）如图，AB=AC，AB的垂直平分线MN交
AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（ D ）
A．25°
B．20°
AB一半的长为半径作弧，
两弧相交于点C和D；
2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线．
巩固练习
如图，如果点C不在直线l上，试和同学讨论，应采取怎样的
步骤，过点C画出直线l的垂线？
作法：(1)以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交直线l于点A、B；
(2)以点A为圆心，以大于 AB长为半径在直线另一侧画弧．
8ห้องสมุดไป่ตู้
AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等于___．
A
B
D
E
C
探究新知
素养考点 2
利用线段垂直平分线的性质说明线段间的关系
例2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，
AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
5.3 简单的轴对称图形(二) 课件(共17张PPT)北师大版七年级数学下册
已知： ∠AOB
求作：射线OE，使∠AOE= ∠BOE 作法：
A
C
1.在OA和OB上分别截取
E
OC、OD，使OC=OD
2.分别以C、D为圆心、以大
于
1 2
CD的长为半径作弧，
两弧在∠AOB内交于点E
ＢD
Ｏ
3.作射线OE
OE就是∠AOB的平分线
证明： 在△OCE和△ODE中 OC=OD（已知） CE=DE（已知） OE=OE（公共边） ∴ △OCE≌ △ODE（SSS） ∴∠COE=∠DOE（全等三角形对应角
A C
O
B
结论： 角是轴对称图形，对称轴是角平分线 所在的直线。
有一个简易平分角的仪器（如图），其中 AB=AD,BC=DC,将A点放在角的顶点，AB和AD 与角的两边重合。沿AC画一条射线AE,AE就 是∠BAD的平分线，为什么？
运用角平分仪原理，用尺规作角平分线。
D E
C
A
N
CE
A
B
O
B
M
∵ ∠C=90 °
∴DC ⊥AC
E
∵DE ⊥AB
∴DC=DE=4
S ∴
1 AB• DE 1 15 4 30
ABD 2
2
如图，BD是∠ABC的平分线，AB=AC，点P 在BD上，PM ⊥AD于点M，PN ⊥CD于点N， 求证：PM=PN.
AM
D
P
N B
C
1、如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
证明线 段相等
例1：如图，OC是∠AOB的平分线，P在OC 上，PD ⊥OA，PE ⊥OB，PD=4cm，则
PE=___4_c_m__.
最新北师大版七年级下册数学精品课件设计第五章 生活中的轴对称-3 简单的轴对称图形(第2课时)
4.如图所示,A,B,C三点表示三个城镇的位置,由于城镇的 发展,手机用户人口增多,现在三镇要联合建造一座手机信 号发射塔,使发射塔到三镇的距离相等,你能找出它的位置 吗(用点P表示)?并简要说明理由.
D
的垂直平分线吗?
只要连接CA,CB,DA,DB就可以了,因为在△ADC和△BDC 中,AC=BC,AD=BD,CD=CD,
由SSS可知△ADC≌△BDC,得到∠ACD=∠BCD,再由等腰三角形的 “三线合一”就可知道CD是AB的垂直平分线.
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回过头来解决开头我们提出的问题,码头应建在什么 位置呢?
（6）
（7）
（8）
（9）
3.轴对称图形有什么性质?
在轴对称图形或成轴对称的两个图形中,对应点所连的线
段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.
【活动内容2】
如图,在一条河的岸边有两个仓库A,B,现在要 在靠近A,B一侧的河岸边建造一个码头M,使它 到两个仓库的距离相等,码头M应建在什么位置?
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如图,在一条河的岸边有两个
仓库A,B,现在要在靠近A,B一侧
的河岸边建造一个码头M,使它
M
到两个仓库的距离相等,码头M
应建在什么位置?
可以先作线段AB的垂直平分线,与河岸边的交点就是码头 M的位置.
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1.如图所示,直线CD是线段AB的垂直平 分线,P为直线CD上的一点,已知线段 PA=5,则线段PB的长度为 ( B )
线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到
北师大版数学七年级下册 5.3 《简单的轴对称图形第2课时》教学课件%28共25张PPT%29
AC的中垂线，且交于点P．请同学们想一ห้องสมุดไป่ตู้点P到三角形三个顶点A，B， A
C的距离如何？小明马上就说：“相等．”
他是随便说的吗？你同意他的说法吗？
请说明你的理由．
P
B
C
我同意小明的说法．
如图，∵点P是AB的中垂线上一点，∴PA=PB．
∵点P是AC中垂线上的一点，∴PA=PC．∴PA=PB=PC．
随堂练习
课堂小结
1．线段是轴对称图形； 2.垂直并且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线．简 称中垂线； 3.线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等.
再见
∵AB=AD，∴点A在BD的垂直平分线上; ∵CB=CD，∴点C在BD的垂直平分线上，
E
B
D
∴AC为BD的垂直平分线，∴BE=DE，AC⊥BD．
C
(2)由(1)得：
S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=
1 BD CE 1 BD AE 1 BD AC 1 ab ．
2
2
2
2
随堂练习
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，F分别为AB， AC的中点，DE⊥AB，GF⊥AC，E，G在BC上，BC=15cm，求 EG的长度．
1．（1）等腰△ABC中，AB和AC是腰．AB的中垂线与AC所在直 线相交成的锐角为50°，则底角B的大小为___7_0_°__或__2_0_°__．
（2） 到三角形的三个顶点距离相等的点是 （D ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
随堂练习
2．如图所示，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其 中AB=AD，CB=CD．
北师版 5.3 简单的轴对称图形2 第2课时 线段垂直平分线的性质及画法
第2课时 线段垂直平分线的性质及画法1.经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念.2.探索并掌握线段垂直平分线的有关性质.自学指导 阅读教材P123～P124，完成下列问题.(一)知识探究1.线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.2.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.(二)自学反馈1.如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 是直线CD 上的一点.已知线段PA ＝5，则线段PB 的长度为( B )A .6 B.5 C.4 D.32.如图，在△ABC 中，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点D ，E ，则直线DE 是( D ) A .∠A 的平分线 B.AC 边的中线C .BC 边的高线 D.AB 边的垂直平分线活动1 小组讨论例1 如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE ＝3 cm ，△ABD 的周长为13 cm ，求△ABC 的周长.解：因为DE 是AC 的垂直平分线，所以AD ＝CD ，AC ＝2AE ＝6(cm).因为△ABD 的周长为13 cm ，所以AB ＋BD ＋AD ＝AB ＋BD ＋DC ＝AB ＋BC ＝13 cm.所以△ABC 的周长为AB ＋BC ＋AC ＝13＋6＝19(cm).由垂直平分线的性质得AD ＝DC ，再通过线段之间的等量代换即可得出△ABC 的周长.例2 某旅游景区内有一块三角形绿地ABC ，如图所示，现要在道路AB 的边缘上建一个休息点M ，使它到A ，C 两个点的距离相等.在图中确定休息点M 的位置.解：作AC 的垂直平分线交AB 于M 点，则点M 即为所求.活动2 跟踪训练1.如图，已知直线MN 是线段AB 的中垂线，垂足为N ，AM ＝5 cm ，△MAB 的周长为16 cm ，那么AN 等于( A )A .3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm2.如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD.若CD ＝AC ，∠A ＝50°，则∠ACB 的度数为( D )A .90° B.95° C.100° D.105°活动3 课堂小结本课时主要学些了哪些知识与方法，有何收获和感悟？(1)线段的轴对称性：线段是轴对称图形.(2)线段的垂直平分线的性质⎩⎪⎨⎪⎧内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.作用：见垂直平分线，得线段相等.(3)线段垂直平分线的作图.。
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线段的对称性
【活动内容】 线段是轴对称图形吗?如果是,你能找出它的一条对称轴吗?
做一做:为了解决这个问题,请同学们拿出 准备好的纸,在纸上画出一条线段AB,对折AB 使点A,B重合,折痕与AB的交点为O.
想一想:(1)折痕两旁的部分能重合吗?线段是一个轴对称图形吗?这 条折痕是线段的对称轴吗?
(2)点O是线段AB的中点吗?折痕与线段AB垂直吗?为什么? (3)由此你能得到什么结论?
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（2）
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（3）
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（4）
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（5）
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（6）
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（7）
（8）
（9）
3.轴对称图形有什么性质?
在轴对称图形或成轴对称的两个图形中,对应点所连的线
段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.
【活动内容2】
如图,在一条河的岸边有两个仓库A,B,现在要 在靠近A,B一侧的河岸边建造一个码头M,使它 到两个仓库的距离相等,码头M应建在什么位置?
可以先作线段AB的垂直平分线,与河岸边的交点就是码头 M的位置.
1.如图所示,直线CD是线段AB的垂直平 分线,P为直线CD上的一点,已知线段 PA=5,则线段PB的长度为 ( B )
A.6 B.5 C.4 D.3
解析:因为直线CD是线段AB的垂 直平分线,P为直线CD上的一点,所以 PB=PA,而已知线段PA=5,所以PB=5. 故选B.
七年级数学·下 新课标[北师]
第五章 生活中的轴对称
3 简单的轴对称图形 (第2课时)
学习新知
检测反馈
问题思考
学习新知
【活动内容1】
1.什么叫轴对称图形?
如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相
重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 2.下列图形哪些是轴对称图形?
（1）
解:连接AB,AC,作线段
AB,AC的垂直平分线,交点即
为点P.根据线段垂直平分线
的性质得出,点P到三镇的距
P
离相等.
由SSS可知△ADC≌△BDC,得到∠ACD=∠BCD,再由等腰三角形的
“三线合一”就可知道CD是AB的垂直平分线.
回过头来解决开头我们提出的问题,码头应建在什么 位置呢?
如图,在一条河的岸边有两个
仓库A,B,现在要在靠近A,B一侧
的河岸边建造一个码头M,使它
M
到两个仓库的距离相等,码头M
应建在什么位置?
做一做:请同学们在刚才折后的线段AB的折痕上取一点M, 沿MA,MB将纸折叠,把纸张展开后,你将得到折痕MA和MB.
想一想:MA与MB大小有什么关系?能说明你的理由吗? 如果改变点M的位置,那么AM还等于BM吗? 由此你能得到线段垂直平分线的性质吗?
(1)通过手中的纸片,用刻度尺量取后发现它们相等.
(2)通过折叠纸片,从它们互相重合发现它们相等.
(3)通过三角形全等证明它们相等,在△AOM和△BOM中,因 为AO=BO,∠AOM=∠BOM=90°,OM=OM,所以 △AOM≌△BOM,所以AM=BM.
线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到
这条线段两个端点的距离相等.
尺规作图:作线段垂直平分线
检测反馈
2.如图所示,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°. 线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则 ∠CBE等于 ( C )
A.80° B.70° C.60° D.50°
解析:因为等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°,所以 ∠ABC=80°,因为DE是线段AB的垂直平分线,所以AE=BE,所 以∠A=∠ABE=20°,所以∠CBE=∠ABC- ∠ABE=80°20°=60°.故选C.
C
已知:线段AB.
求作:线段AB的垂直平分线.
(1)分别以点A和B为圆心,任意长为半 径作弧,两弧相交于点C和D.
(2)作直线CD.直线CD就是线段 AB的垂直平分线.
你能说明为什么所作的直线就是已知线段
D
的垂直平分线吗?
只要连接CA,CB,DA,DB就可以了,因为在△ADC和△BDC 中,AC=BC,AD=BD,CD=CD,
线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
线段还有一条对称轴,它就是线段AB所在的直线.
线段垂直平分线的定义与性质
【活动内容1】
线段垂直平分线的定义.
线段垂直平分线的定义:垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线,
叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.
【活动内容2】
线段垂直平分线的性质.
3.如图所示,在△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分 线分别交AB,BC于点E,D,BE=6,求△BCE的周长.
解:因为DE是BC的垂直平分线,所以BE=CE=6. 所以△BCE的周长=BE+CE+BC=6+6+10=22.
4.如图所示,A,B,C三点表示三个城镇的位置,由于城镇的 发展,手机用户人口增多,现在三镇要联合建造一座手机信 号发射塔,使发射塔到三镇的距离相等,你能找出它的位置 吗(用点P表示)?并简要说明理由.