[精品]2019高考数学一轮复习第8章立体几何第5讲直线、平面垂直的判定与性质分层演练文

第5讲直线、平面垂直的判定与性质一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P­ABC中共有直角三角形的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：选A．由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC．又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体P­ABC中共有4个直角三角形．2．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A．由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1．因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC．所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．3．设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( ) A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c解析：选B．A的逆命题为：当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β．由线面垂直的性质知c⊥β，故A正确；B的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B 错误；C的逆命题为：当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c．由三垂线逆定理知b⊥c，故C正确；D 的逆命题为：当b ⊂α，且c ⊄α时，若b ∥c ，则c ∥α．由线面平行判定定理可得c ∥α，故D 正确．4．已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m ∥l ，则α⊥β． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ．命题①，若α∥β，又m ⊥α，所以m ⊥β，又l ⊂β，所以m ⊥l ，正确； 命题②，l 与m 可能相交，也可能异面，错误； 命题③，α与β可能平行，错误；命题④，因为m ∥l ，又m ⊥α，所以α⊥β，正确．5．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，则P 到BC 的距离是( ) A ． 5 B ．2 5 C ．3 5D ．4 5解析：选D ．如图，取BC 的中点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ． 又PA ⊥平面ABC ，根据三垂线定理，得PD ⊥BC ． 在Rt △ABD 中，AB ＝5，BD ＝3，所以AD ＝4． 在Rt △PAD 中，PA ＝8，AD ＝4，所以PD ＝45．6．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′­BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′­BCD 的体积为13解析：选B ．若A 成立可得BD ⊥A ′D ，产生矛盾，故A 不正确；由题设知：△BA ′D 为等腰Rt △，CD ⊥平面A ′BD ，得BA ′⊥平面A ′CD ，于是B 正确； 由CA ′与平面A ′BD 所成的角为∠CA ′D ＝45°知C 不正确；V A ′­BCD ＝V C ­A ′BD ＝16，D 不正确．故选B ．二、填空题 7．如图，已知∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ，△PAC 的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有__________________；与AP 垂直的直线有________．解析：因为PC ⊥平面ABC ， 所以PC 垂直于直线AB ，BC ，AC ． 因为AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ， 所以AB ⊥平面PAC ， 又因为AP ⊂平面PAC ，所以AB ⊥AP ，与AP 垂直的直线是AB ． 答案：AB ，BC ，AC AB8．如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD ．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD ．又PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，所以BD ⊥PC ．所以当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ．而PC ⊂平面PCD ，所以平面MBD ⊥平面PCD ． 答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC ) 9．如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ．要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF ． 由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h ，又2×2＝h ×22＋（2）2， 所以h ＝233，DE ＝33．在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝（22）2－（33）2＝66． 由面积相等得66× x 2＋（22）2＝22x ，得x ＝12．即线段B 1F 的长为12． 答案：1210．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n ．其中所有正确的命题是________．(将正确命题的序号都填上)解析：借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m ⊥α，α∥β可得m ⊥β，因为n ∥β，所以过n 作平面γ，且γ∩β＝g ，如图(4)所示，所以n 与交线g 平行，因为m ⊥g ，所以m ⊥n ，故④正确．故①④正确．答案：①④ 三、解答题11．如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝DA ＝2PE ，CD ＝3PE ，F 是CE 的中点．(1)求证：BF ∥平面ADP ；(2)已知O 是BD 的中点，求证：BD ⊥平面AOF ． 证明：(1)如图，取PD 的中点为G ，连接FG ，AG ，因为F 是CE 的中点，所以FG 是梯形CDPE 的中位线， 因为CD ＝3PE ，所以FG ＝2PE ，FG ∥CD ， 因为CD ∥AB ，AB ＝2PE ，所以AB ∥FG ，AB ＝FG ，即四边形ABFG 是平行四边形，所以BF ∥AG ，又BF ⊄平面ADP ，AG ⊂平面ADP ，所以BF ∥平面ADP ． (2)延长AO 交CD 于M ，连接BM ，FM ，因为BA ⊥AD ，CD ⊥DA ，AB ＝AD ，O 为BD 的中点， 所以ABMD 是正方形，则BD ⊥AM ，MD ＝2PE ． 所以FM ∥PD ， 因为PD ⊥平面ABCD ，所以FM ⊥平面ABCD ，所以FM ⊥BD ， 因为AM ∩FM ＝M ，所以BD ⊥平面AMF ， 所以BD ⊥平面AOF ．12．(2018·郑州第二次质量检测)如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝13AB ＝1，M 为AB 的三等分点．现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB ，AC ．(1)在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC ?(2)当点P 为AB 边的中点时，求点B 到平面MPC 的距离．解：(1)当AP ＝13AB 时，有AD ∥平面MPC ．理由如下：连接BD 交MC 于点N ，连接NP ．在梯形MBCD 中，DC ∥MB ，DN NB ＝DC MB ＝12，因为△ADB 中，AP PB ＝12，所以AD ∥PN ．因为AD ⊄平面MPC ，PN ⊂平面MPC ， 所以AD ∥平面MPC ．(2)因为平面AMD ⊥平面MBCD ，平面AMD ∩平面MBCD ＝DM ， 平面AMD 中AM ⊥DM ，所以AM ⊥平面MBCD ． 所以V P ­MBC ＝13×S △MBC ×AM 2＝13×12×2×1×12＝16．在△MPC 中，MP ＝12AB ＝52，MC ＝2，又PC ＝（12）2＋12＝52，所以S △MPC ＝12×2×（52）2－（22）2＝64． 所以点B 到平面MPC 的距离为 d ＝3V P ­MBC S △MPC ＝3×1664＝63．1．如图，已知四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，AD ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点． (1)证明：平面PCD ⊥平面PDE ；(2)若PD ＝3AD ，求点E 到平面PBC 的距离． 解：(1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ， 所以PD ⊥AB ，连接DB ，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°， 所以△DAB 为等边三角形，又E 为AB 的中点， 所以AB ⊥DE ，又PD ∩DE ＝D ， 所以AB ⊥平面PDE ，因为CD ∥AB ，所以CD ⊥平面PDE ， 因为CD ⊂平面PCD ， 所以平面PCD ⊥平面PDE ．在Rt △PDC 中，PC ＝4，同理PB ＝4， 易知S △PBC ＝15，S △EBC ＝32， 设点E 到平面PBC 的距离为h ，连接EC ， 由V P ­EBC ＝V E ­PBC 得，13S △ABC ·PD ＝13S △PBC ·h ，所以h ＝155． 2．如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于A ，B 的一点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB ＝2AD ＝2．(1)求证：EA ⊥EC ；(2)设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ，EF ＝1，求三棱锥E ­ADF 的体积． 解析：(1)证明：因为矩形ABCD ⊥平面ABE ，CB ⊂平面ABCD 且CB ⊥AB ， 所以CB ⊥平面ABE ，从而AE ⊥BC ，① 又因为在半圆ABE 中，AB 为直径， 所以∠AEB ＝90°，即AE ⊥BE ，② 由①②知AE ⊥平面BCE ， 故有EA ⊥EC ． (2)因为AB ∥CD ， 所以AB ∥平面DCE ．又因为平面DCE ∩平面ABE ＝EF ， 所以AB ∥EF ， 在等腰梯形ABEF 中，EF ＝1，AF ＝1，∠AFE ＝120°，所以S △AEF ＝12×EF ×AF ×sin 120°＝34，V E ­ADF ＝V D ­AEF ＝13×S △AEF ×AD＝13×34×1 ＝312．。