锐角三角函数测试题

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《锐角三角函数》习题(含答案)

《锐角三角函数》一、选择题1. 4sin tan 5ααα=若为锐角,且，则为 ( )933425543A B C D ．．．．2．在Rt△ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（）A ．sinA = sinB B ．cosA=sinBC ．sinA=cosBD ．∠A+∠B=90°3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A ．10B ．C ．10或D ．无法确定4．在Rt△ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（）A ．c =B ．c =C ．c = a·tanAD ．c = sin a A cos a A tan a A 5、的值等于（）o o 45cos 45sin +A. B. C. D. 12213+36．在Rt△ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S△ABC 等于( )A. 3B. 300C.D. 155037．当锐角α>30°时，则cosα的值是（）A ．大于B ．小于CD 12128．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（）A ．1米B 米C ．9．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）（A ）4 （B ）5 （C ）（D10．已知Rt△ABC 中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC 等于（）43 A ．6 B ． C ．10 D ．12323二、填空题11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．12．若sin28°=cosα，则α=________．13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．14．某坡面的坡度为1，则坡角是_______度．15．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝，则BC 的长为_______cm .5416.如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，则该高楼的D 30︒C 45︒高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米17．如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB 底部相距6m 的C 处，量出测倾器的高度CD ＝1m ，测得旗杆顶端B 的仰角＝60°，则旗杆AB 的高度为．（计算结果保留根号）α （16题)三、解答题18．由下列条件解直角三角形：在Rt△ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，（2）已知b=10，∠B=60°．（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=35°19．计算下列各题．（1）s in 230°+cos 2sin60°·tan45°；（2）+ sin45°22cos 30cos 60tan 60tan 30︒+︒︒⨯︒四、解下列各题20．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？（第21．如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥．经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）22. 如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o ，∠ACB=30o ，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。

锐角三角函数练习卷(含答案)

锐角三角函数练习卷(含答案)
一、选择题
1. 设角A为锐角，且sin(A) = 0.6，那么A的近似值是多少？- A）36.87°
- B）45°
- C）53.13°
- D）64.04°
答案：C）53.13°
2. 三角函数tan(A)的值是斜边长与________的比值。

- A）对边长
- B）邻边长
- C）斜边长
- D）角A的弧度
答案：B）邻边长
3. 三角函数cot(A)的值是邻边长与________的比值。

- A）对边长
- B）斜边长
- C）角A的弧度
- D）斜边长的倒数
答案：A）对边长
二、填空题
4. 已知角B是锐角，且cos(B) = 0.8，那么角B的近似值是________度。

答案：37°
5. 已知角C是锐角，且tan(C) = 0.5，那么角C的近似值是________度。

答案：26.57°
三、计算题
6. 已知三角形的两边分别为5和12，夹角为60°，求第三边的长度。

答案：13
7. 已知一个角的弧度为π/3，求sin和cos的值。

答案：sin(π/3) = (√3) / 2, cos(π/3) = 1 / 2
四、证明题
请证明：sin^2(A) + cos^2(A) = 1，其中A是任意角。

证明：
由三角恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1可得：
sin^2(A) + cos^2(A) = (1 - cos^2(A)) + cos^2(A) = 1
证毕。

锐角三角函数专项练习题

锐角三角函数专项练习题一. 选择题1. 在锐角三角形ABC中，已知∠A=30°，∠B=60°，则∠C 等于：a) 30°b) 60°c) 90°d) 120°2. 在锐角三角形ABC中，已知a=3，b=4，则∠C等于：a) 30°b) 45°c) 60°d) 90°3. 已知在锐角三角形ABC中，a=5，c=13，则∠C等于：a) 30°b) 45°c) 60°d) 90°4. 在锐角三角形ABC中，已知a=8，b=15，则sinC等于：a) 8/17b) 15/17c) 17/8d) 17/155. 在锐角三角形ABC中，已知a=7，b=24，则cosC等于：a) 7/24b) 24/7c) 7/25d) 24/25二. 填空题1. 在锐角三角形ABC中，已知a=4，b=5，则c=____。

2. 在锐角三角形ABC中，已知a=7，c=10，则b=____。

3. 在锐角三角形ABC中，已知b=9，c=15，则a=____。

4. 已知sinA=3/5，∠A为锐角，则cosA=____。

5. 已知cosA=4/5，∠A为锐角，则sinA=____。

三. 计算题1. 在锐角三角形ABC中，已知a=6，b=8，求c。

解：利用勾股定理，c=sqrt(a^2+b^2)c=sqrt(6^2+8^2)=sqrt(36+64)=sqrt(100)=102. 在锐角三角形ABC中，已知a=5，c=13，求∠A。

解：利用余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)cosA=(5^2+13^2-5^2)/(2*5*13)= (25+169-25)/(130)=169/130然后，∠A=arccos(169/130)=22.62°3. 在锐角三角形ABC中，已知b=7，c=10，求∠B。

锐角三角函数练习题及答案

锐角三角函数（一）1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定2．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（）A．34 B．43 C．45 D ．35图 1 图 2 图3 图4图53．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=23，则tanB等于（）A．35 B．53 C．255 D．525．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，•tanA=_______．6．如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．7．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B的度数为_______．8．如图4，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值．9．已知：α是锐角，tanα=724，则sinα=_____，cosα=_______．10．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，•另一边经过点P（2，23），求角α的三个三角函数值．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sinα，cosα，tanα的值．解直角三角形一、填空题1．已知cosA=23，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________．2．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，cot(900-A)=1.524，则tan(900-B)=_________．3． ∠A 为锐角，已知sinA=135，那么cos (900-A)=___________．4．已知sinA=21(∠A 为锐角)，则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________．5．用不等号连结右面的式子：cos400_______cos200，sin370_______sin420．6．若cot α=0.3027，cot β=0.3206，则锐角α、β的大小关系是______________． 7．计算： 2sin450-3tan600=____________． 8．计算： (sin300+tan450)·cos600=______________．9．计算： tan450·sin450-4sin300·cos450+6cot600=__________．10．计算： tan 2300+2sin600-tan450·sin900-tan600+cos 2300=____________．二、选择题：1．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（）A ． 43；B ． 34；C ．53；D ． 54．2．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA=22，则cosB 的值是( )A ．21；B ．23；C ．1；D ．223．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A=300，则sinA+sinB=( )A ．1；B ．231+；C ．221+；D ．414．当锐角A>450时，sinA 的值( )A ．小于22； B ．大于22； C ．小于23； D ．大于235．若∠A 是锐角，且sinA=43，则( )A ．00<∠A<300； B ．300<∠A<450；C ．450<∠A<600；D ． 600<∠A<9006．当∠A 为锐角，且tanA 的值大于33时， ∠A( )A ．小于300； B ．大于300； C ．小于600； D ．大于6007．如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于D ，已知AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于( )A ．43；B ．34；C ．53；D ．548． Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A 的四个三角函数中正确的是( )A ． sinA=135； B ．cosA=1312； C ． tanA=1213；D ． cotA=1259．已知α为锐角，且21<cos α<22，则α的取值范围是（）A ．00<α<300；B ．600<α<900；C ．450<α<600；D ．300<α<450．三、解答题1、在△ABC 中，∠C 为直角，已知AB=23，BC=3，求∠B 和AC ．2、在△ABC 中，∠C 为直角，直角边a=3cm ，b=4cm ，求sinA+sinB+sinC 的值．3、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b=3， c=14．求∠A 的四个三角函数．4、在△ABC 中，∠C 为直角，不查表解下列问题：（1）已知a=5，∠B=600．求b ；（2）已知a=52，b=56，求∠A ．5、在△ABC 中，∠C 为直角， ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a=25，b=215，求c 、∠A 、∠B ．6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知a ＝156， b ＝56，求c; （2）已知a ＝20， c ＝220，求∠B ；（3）已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a ；（4）已知b ＝15， ∠A ＝30°，求a ．7、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长．8、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30︒=∠30DCB ，400=CD 米），测得A 的仰角为︒60，求山的高度DCAB9、会堂里竖直挂一条幅AB，如图5，小刚从与B成水平的C点观察，视角∠C＝30°，当他沿CB方向前进2米到达到D时，视角∠ADB＝45°，求条幅AB的长度。

锐角三角函数练习题(含答案)

锐角三角函数练习题一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分）1．一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（D）A.30米B.10米C. 米D. 米2．如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离AC为，则两树间的坡面距离AB为（C）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3.如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（A）Ａ.250ｍＢ．ｍＣ．ｍＤ．ｍ4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是（C）Ａ．2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3（第2题）（第3题）（第4题）5．如果∠A是锐角，且，那么∠A=（B）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角为（A）A. B. C. D.7．若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（B）A．150 B．C．9 D．78．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，则边AC的长是（A）A．B．3 C．D．9．如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ A ）A. (m2)B. (m2)C.1600sinα(m2)D.1600cosα(m2)10.如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若tan∠BCD＝，则tanA ＝（C）A.1B.C.D.（第9题）（第10题）二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分）11．已知为锐角, sin( )=0.625, 则cos =___ 0.625 。

12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC= ，则梯子长AB = 4 米。

九年级下学期第28章《锐角三角函数》达标检测卷含答案

九年级下学期第28章《锐角三角函数》达标检测卷时间：100分钟满分：120分一、选择题(每题3分，共30分) 1．cos 45°的值为( ) A.12 B.22 C.32 D ．12．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高．若AB ＝5，AC ＝3，则tan ∠BCD 为( )A.43B.34C.45D.35(第2题) (第4题) (第5题) (第6题) 3．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋(1－tan B )2＝0，则∠C 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°4．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为( ) A.12B.13C.14D.245．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为24 m ，那么旗杆AB 的高度是( ) A ．12 mB ．8 3 mC ．24 mD ．24 3 m6．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10 m ，坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( ) A ．26 mB ．28 mC ．30 mD ．46 m7．如图，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( ) A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(23－2)mD ．(26－2)m(第7题)(第8题)8．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan ∠OAB等于()A.25 B.23 C.52 D.329．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sin A＝35，则下列结论中正确的有()①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝210 cm.A．1个B．2个C．3个D．4个(第9题)(第10题) (第12题)10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是()A.312 B.36 C.33 D.32二、填空题(每题3分，共24分)11．已知α为锐角，sin(α－20°)＝32，则α＝________.12．如图，若点A的坐标为(1，3)，则∠1＝________.13．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．(第14题) (第15题) (第16题) (第18题)14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，若sin ∠CAM ＝35，则tan B ＝________．15．如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90 m ，那么该建筑物的高度BC 约为________m(精确到1 m ，参考数据：3≈1.73)． 16．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tan D ＝________．17．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为________． 18．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF ∥MN ，小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30 m ，到达B 处，测得河对岸电线杆D 位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD ＝10 m ．请根据这些数据求出河的宽度为______________m. 三、解答题(19，21，24题每题12分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)(－2)3＋16－2sin 30°＋(2 019－π)0；(2)sin 2 45°－cos 60°－cos 30°tan 45°＋2sin 2 60°·tan 60°.20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知2a ＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．21．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sin A＝45，求AD的长．(第21题)22．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现，一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．(第22题)23．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋3)m，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为22m/s.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？(第23题)24．如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3 m到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2 m，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．求：(1)树DE的高度；(2)食堂MN的高度．(第24题)答案一、1. B 2. A 3. C 4. B 5. B 6. D7．B 8. B 9. C10．B 点拨：如图，设BC ＝x .在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2x ，AB ＝3BC ＝3x .根据题意，得AD ＝BC ＝x ，AE ＝DE ＝AB ＝3x ，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，则AM ＝12AD ＝12x .在Rt △AEM 中，cos ∠EAD ＝AM AE ＝12x3x＝36.(第10题)二、11. 80° 12. 60° 13. 12 14. 23 15. 20816．22 点拨：如图，连接BC ，易知∠D ＝∠A .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝3×2＝6，AC ＝2，∴BC 2＝62－22＝32, ∴BC ＝4 2.∴tan D ＝tan A ＝BC AC ＝422＝2 2.(第16题)17．123 点拨：如图，过A 点作AD ⊥CB ，交CB 的延长线于点D ，则∠ABD ＝180°－120°＝60°.在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin ∠ABD ＝6×32＝33，∴S △ABC ＝12AD ·BC ＝12×33×8＝12 3.(第17题)18．(30＋103)三、19.解：(1)原式＝－8＋4－2×12＋1＝－8＋4－1＋1＝－4；(2)原式＝(22)2－12－32＋2×(32)2×3＝ 3.20．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32.设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k ，∴sin B ＝b c ＝2k 13k ＝21313，cos B ＝a c ＝3k 13k ＝31313，tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23.21．解：(1)在Rt △ABE 中，∵∠A ＝60°，∠ABE ＝90°，AB ＝6，tan A ＝BEAB ，∴∠E ＝30°，BE ＝AB ·tan A ＝6×tan 60°＝6 3.在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝4，sin E ＝CDCE ，∠E ＝30°， ∴CE ＝CD sin E ＝412＝8.∴BC ＝BE －CE ＝63－8.(2)∵∠ABE ＝90°，AB ＝6，sin A ＝45＝BEAE ，∴可设BE ＝4x (x ＞0)，则AE ＝5x ，由勾股定理可得AB ＝3x ， ∴3x ＝6，解得x ＝2. ∴BE ＝8，AE ＝10.∴tan E ＝AB BE ＝68＝CD DE ＝4DE ，解得DE ＝163.∴AD＝AE－DE ＝10－163＝143.22．解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝BCtan A＝2 3.∴EF＝AC＝2 3.∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sin E＝ 6.∴AF＝AC－FC＝23－ 6.23.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，小明的行走速度是a.(第23题)∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴CD＝AD＝x，∴AC＝2x.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝CDsin 30°＝x12＝2x.∵小军的行走速度为22m/s，小明与小军同时到达山顶C处，∴2x22＝2xa，解得a＝1(m/s)．答：小明的行走速度是1 m/s. 24．解：(1)设DE＝x.∵AB＝DF＝2，∴EF＝DE－DF＝x－2.∵∠EAF＝30°，∴AF＝EFtan∠EAF＝x－233＝3(x－2)．又∵CD＝DEtan ∠DCE ＝x3＝33x，BC＝ABtan ∠ACB＝233＝23，∴BD＝BC＋CD＝23＋3 3x.由AF＝BD可得3(x－2)＝23＋33x，解得x＝6(m)．答：树DE的高度为6 m.(2)如图，延长N M交DB的延长线于点P，则AM＝B P＝3.(第24题)由(1)知CD＝33x＝33×6＝23，BC＝23，∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋4 3. ∵∠NDP＝45°，∴NP＝PD＝3＋4 3.∵MP＝AB＝2，∴NM＝NP－MP＝3＋43－2＝1＋43(m)．答：食堂M N的高度为(1＋43)m.。

人教版九年级数学下册第28章：锐角三角函数全章测试含答案

人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》全章测试一、选择题1. 在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( )A. 都扩大1倍B.都缩小为原来的一半C.都没有变化D. 不能确定2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( )A ．6B ．52C ．53D ．132 3.已知β为锐角，cos β≤21，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 4．化简：140tan 240tan 2+-︒︒ 的结果为( )A.1+tan40°B. 1－tan40°C. tan40°－1D. tan 240°+1 5．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3486．如图,△ABC 中,,90︒=∠C AD 是BAC ∠的角平分线,交BC 于点D ,那么CDACAB -=( )（A ）BAC ∠sin （B ）BAC ∠cos （C ）BAC ∠tan （D ）无法确定7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 18．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m 9．已知α是锐角，且sin α+cos α=332,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 61D. 110．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin RB ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R二、填空题11. 计算：1sin 60cos302-= . 12.ABC △中，90C =∠，若1tan 2A =，则sin ______A =13. 已知山坡的坡度i =1，则坡角为________．14. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______． 15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度．第6题第7题16. 菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形的相邻的两内角分别为_________.17.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．18. 如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31s i n =∠A C B 则cos ∠ADC ＝______．19.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝米（用根号表示）． 20.在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC •和△DEF ，数据如图7，如果把小敏画的三角形面积记作ABC S ∆，小颖画的三角形面积记作DEF S ∆，那么你认为小敏和小颖画的两个三角形的面积的大小关系是ABC S ∆ DEF S ∆.(填“＞,＜,或＝”) 三、解答题 21.计算:(1) 200822)45cot (30cot 60tan 60cot 30sin 2︒-+︒︒-︒+︒ (2) 130cos 260sin 60tan 45tan 2+︒-︒+︒-︒ (3)已知α是锐角，且sin (α+15°)=32，求8 －4cos α—( 2 －1)0+tan α的值． 22. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.23由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC 中∠A =30°，tan B = ▲，AC =AB 的长”。

锐角三角函数的经典测试题含答案

CE平行于AB，BC的坡度为i 1: 0.75，坡长0.64，cos40BC 140米，则AB的长为( )(精确0.77，tan40 0.84 )A．78.6米【答案】CB．78.7 米C．78.8 米D．78.9 米锐角三角函数的经典测试题含答案一、选择题1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高解析】【分析】在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝atan α，BD＝atan β，得出CD＝BC+BD＝atan α +atan即β可．【详解】∴BC＝atan α，BD＝atan β，∴CD＝BC+BD＝atan α+atan β，故选C．点睛】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD 是解题的关键．2．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D处，测得信号塔A的俯角为40 ，若DE 55米，DE CE，CE 36米，acos α +acos βC．atan α +atan βaD．tanatan在Rt△ABD 和Rt△ABC中，AB＝ a ，BC BDtan α＝，tan β＝AB ABB．答案】CA．533B．C．222D．【分析】如下图，先在Rt△CBF中求得BF、CF的长，再利用Rt△ADG 求AG的长，进而得到AB的长度【详解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点F，延长DE交AB延长线于点G∵BC 的坡度为1:0.75∴设CF为xm，则BF 为0.75xm ∵BC=140m∴在Rt△BCF中，x20.75x 21402，解得：x=112 ∴CF=112m，BF=84m∵DE⊥CE，CE∥AB，∴DG⊥AB，∴△ ADG 是直角三角形∵ DE=55m，CE=FG=36m∴DG=167m，BG=120m 设AB=ym ∵∠ DAB=40°DG 167 ∴tan40 °= 0.84AG y 120 解得：y=78.8 故选： C【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值3．如图，在等腰直角△ABC中，∠ C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D 重合，EF为折痕，则sin∠ BED的值是（）35解析】分析】先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ，设CD 1，CF x，则CA CB 2 ，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵△ DEF是△AEF翻折而成，∴△ DEF≌△ AEF，∠ A＝∠ EDF，∵△ ABC是等腰直角三角形，∴∠ EDF＝45°，由三角形外角性质得∠ CDF+45°＝∠ BED+45°，∴∠ BED＝∠ CDF，设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2，∴DF＝FA＝2﹣x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2＝DF2，即x2+1＝（2﹣x）2，3解得：x 3，4CFsin BED sin CDFDF故选：B．点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将VABC如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE 的值是（）71 C．D．7 3 24 3 【答案】 C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，25 25 7解得x= 25，故CE=8-25 = ，4 4 4CE 7∴tan ∠CBE= .CB 24故选 C. 考点：锐角三角函数.5．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ ，观测点P的仰角是45 ，向前走6m到达B 点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60 和30°，则该电线杆PQ 的高度（）A．24B．7A．6 2 3 B．6 3 C．10 3 D．8 3【答案】A【解析】【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x 表示出AE和BE，列出方程求得x 的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则问题求解．【详解】解：延长PQ 交直线AB于点E，设PE=x．在直角△APE中，∠ A=45°，AE=PE=x；∵∠ PBE=60°∴∠ BPE=30°在直角△BPE中，BE= 3 PE= 3 x，33∵AB=AE-BE=6米，则x- x=6，3解得：x=9+3 3．则BE=3 3 +3 ．在直角△BEQ中，QE= 3 BE= 3（3 3 +3）=3+ 3．33∴PQ=PE-QE=9+3 3-（3+ 3 ）=6+2 3．答：电线杆PQ的高度是（6+2 3 ）米．故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题6．如图，在x轴的上方，直角∠ BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠ BOA的两边分别与12函数y 、y 的图象交于B、A 两点，则∠ OAB大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D 【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BE OE ；1设 B 为（a，）， A 为OF AF a2 1 2（b，），得到OE=-a，EB= ，OF=b，AF= ，进而得到a2b22 ，此为解决问题的关 b a b2键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠ OAB= 2为定值，即可解决问题．2【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△ OFA，∴BE OE∴OF AF ，12设点 B 为（a，），A 为（b，2），a b12则OE=-a，EB= ，OF=b，AF= 2，a b2可代入比例式求得 a 2b 2 2 ，即 a 2 2 ， b 2该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．7．如图，要测量小河两岸相对的两点 P ，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一解析】分析】根据正切函数可求小河宽 PA 的长度．【详解】∵PA ⊥ PB ，PC=100米，∠ PCA=35°，根据勾股定理可得： OB= OE 2EB 2a 212，OA= OF 2 AF 2∴tan ∠OAB=OBOA1 b 22 2 (b 2 b 2) = 2 b b2 b 42 = 22∴∠ OAB 大小是一个定值，因此∠ 故选 DOAB 的大小保持不变 .D ． 100tan55 米°a 2a 122 b2b b 42 b 2 b 42点睛】PA 等于（）C ． 100tan35米°∴小河宽PA=PCtan∠ PCA=100tan35°米．故选：C．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．② 根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．8．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB 自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12 米，CD＝8 米，∠ D＝36°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．（精确到0.1 米，参考数据：tan36 °≈0，.7c3os36 °≈0，.8s1in36 °≈）0.59A．5.6 B． 6.9 C．11.4 D．13.9【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE 的长，再根据线段的和差，可得答案．【详解】解:如图,延长DC、AB 交于点E，由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．设BE＝xm，CE＝2xm．在Rt △BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，即x2+（2x）2＝（12 ）2，解得x＝12，BE＝12m，CE＝24m ，DE ＝DC+CE ＝8+24＝32m ，由 tan36 °≈ 0.，73得＝0.73，解得 AB ＝0.73 ×3＝2 23.36m ．由线段的和差，得AB ＝AE ﹣BE ＝23.36﹣12＝ 11.36 ≈ 11m.4，故选： C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出切函数，线段的和差．9．如图，对折矩形纸片 ABCD ，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A ′处，并使折痕经过点 B ，得到折痕 BM ，若矩形纸片的宽 AB=4，则折痕 BM 的长为 ( )1BE= AB ，A ′B=AB=，4∠BA ′M=∠A=90°，∠ ABM=∠MBA ′，可得∠2EA ′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠ E BA ′=60 °，进而可得∠ ABM=30°，在Rt △ABM中，利用∠ ABM 的余弦求出 BM 的长即可 .【详解】 ∵对折矩形纸片 ABCD ，使 AD 与 BC 重合， AB=4，1∴BE= AB=2，∠ BEF=90°，2∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A '处，并使折痕经过点 B ， ∴A ′B=AB=4，∠ BA ′M= ∠ A=90°，∠ ABM=∠ MBA ′， ∴∠ EA ′B=30°， ∴∠ EBA ′=60°， ∴∠ ABM=3°0 ，∴在 Rt △ABM 中， AB=BM cos ∠ ABM ，即 4=BM cos30 °，CE ，BE 的长是解题关键，又利用了正A ． 8 33【答案】 A 【解析】【分析】B ． 4 33C ．8D ． 8 3根据折叠性质可得解得： BM= 8 3 ，3故选 A.【点睛】本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键 .故选 B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．如图 1，在△ABC 中，∠ B ＝90°，∠ C ＝ 30°，动点 P 从点 B 开始沿边 BA 、AC 向点 C 以恒定的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以恒定的速度移动，两点同时到达点 C ，设△BPQ 的面积为 y （cm 2）．运动时间为 x （ s ）， y 与 x 之间关系如图 2所示，当点 P 恰好为 AC 的中点时， PQ 的长为（）10．如图，菱形 ABCD 中， AC 交 BD 于点 O ，DE ⊥BC 于点 E ，连接 OE ，∠ DOE ＝120°，DE A ． 33【答案】 B 【解析】【分析】证明 △OBE 是等边三角形，然后解直角三角形即可．【详解】∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OD=OB ，CD=BC ． ∵DE ⊥BC ，∴∠ DEB=90°，∴OE=OD=OB ． ∵∠ DOE=120°，∴∠ BOE=60°，∴△ OBE是等边三角形，∴∠ ∵∠ DEB=90°，∴ BD= DE 2 3 ．sin60 3B ．23 3D ． 3 3DBC=60°直角三角形斜边的中3，解：设 AB ＝a ，∠ C ＝ 30°，则 AC ＝2a ，BC ＝ 3 a ，设 P 、 Q 同时到达的时间为 T ，则点 P 的速度为 3a ，点 Q 的速度为 3a ，故点 P 、 Q 的速度比为 3： 3， TT 故设点 P 、 Q 的速度分别为： 3v 、 3 v ，由图 2 知，当 x ＝2 时，y ＝6 3，此时点 P 到达点 A 的位置，即 AB ＝2×3v ＝6v ， BQ ＝ 2×3 v ＝ 2 3 v ，11y ＝AB ×BQ ＝6v ×2 3 v ＝ 6 3 ，解得： v ＝1，22故点 P 、Q 的速度分别为： 3， 3，AB ＝6v ＝6＝a ，则 AC ＝12，BC ＝6 3 ，如图当点 P 在 AC 的中点时， PC ＝6，此时点 P 运动的距离为 AB+AP ＝12，需要的时间为 12÷3＝4，则 BQ ＝3 x ＝4 3 ， CQ ＝ BC﹣ BQ ＝6 3 ﹣4 3 ＝2 3 ，过点 P 作 PH ⊥BC 于点 H ，PC ＝ 6，则 PH ＝ PCsinC ＝ 6×1 ＝3，同理 CH ＝3 3 ，则 HQ ＝ CH ﹣ CQ ＝ 3 3 ﹣2 3 ＝2PQ ＝ PH 2 HQ 2 ＝ 3 9 ＝2 3，D ． 4 3【答案】【解析】【分析】点 P 、 Q 的速度比为【详解】3： 3 ，根据 x ＝2，y ＝6 3 ，确定 P 、Q 运动的速度，即可求解．C故选： C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．12．一艘轮船从港口 O 出发，以 15海里 /时的速度沿北偏东 60°的方向航行 4小时后到达 A 处，此时观测到其正西方向 50 海里处有一座小岛 B ．若以港口 O 为坐标原点，正东方向为 x 轴的正方向，正北方向为 y 轴的正方向， 1 海里为 1 个单位长度建立平面直角坐标系（如解析】分析】【详解】解： OA=15×4=60海里，∵∠ AOC=60°，∴∠ CAO=30°，∵sin30°= OCAO 2∴CO=30 海里， ∴AC=30 3 海里， ∴BC=（30 3 －50）海里， ∴B （ 30 3 －50， 30）故选 A点睛】本题考查掌握锐角三角函数的应用．13．在一次数学活动中，嘉淇利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度 CD .如图，嘉淇与假山的水平距离 BD 为 6m ，他的D ．（30，30 3 ）C ．（30 3 ，30）眼睛距地面的高度为1.6m ，嘉淇的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE经过量角器的60 刻度线，则假山的高度CD 为（）A．2 3 1.6 m B．2 2 1.6 m C．4 3 1.6 m D．2 3m【答案】A【解析】【分析】CK CK根据已知得出AK=BD=6m，再利用tan30 °= ，进而得出CD 的长．AK 6【详解】解：如图，过点 A 作AK CD 于点K∵BD=6 米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠ AOE=6°0 ，∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠ CAK=30°，CK CK∴tan30 °= ，AK 6解得：CK=2 3即CD=CK+DK=2 3 +1.6=（ 2 3 +1.6）m ．故选：A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，解答关键是应用锐角三角函数定义.14．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cosA （）答案】 B 【解析】【分析】构造全等三角形，证明 △ABD 是等腰直角三角形，进行作答【详解】过 A 作 AE ⊥ BE ，连接 BD ，过 D 作 DF ⊥BF 于 F. ∵AE=BF ，∠ AEB=∠ DFB ，BE=DF ，∴△ AEB ≌△ BFD ，∴AB=DB.∠ABD=90°，∴△ ABD 是等腰直角三角形，∴cos ∠ DAB= 22 答案选 B.【点睛】本题考查了不规则图形求余弦函数的方法，熟练掌握不规则图形求余弦函数的方法是本题解题关键 .15．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，AB ：BC ＝2：1，且 BE ∥ AC ， CE ∥答案】 B解析】分析】DC 交线段 DC 延长线于点 F ，连接 OE 交BC 于点 G ．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形 OBEC 是菱形，则 OE 与 BC 垂直平分，易得 EF=1 x ， 2 1 A ． 2B ． 2 2C ． 3 2D ． 55C ． 62 3D ． 10过点 E 作 EF ⊥直线 B ． A ．4CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点 E 作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝1 AD＝1 x，OE∥ AB，22∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，1∴CF＝OE＝x．2本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．16．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m 千米∴tan ∠EDC＝EFDF2x xA．m cotcot千米B．cot cot千米C．tan tan千米D．tan tan故选：B．点睛】m m m【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO cotBO=PO cot m，又AB=m=AO-BO= PO cot - PO cot = . 所以答案选 A. cot cot【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键17．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠ DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是解析】分析】由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ ADC=12°0 ，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠ DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ ADC=18°0 -60°=120 °，∵DF是菱形的高，∴DF⊥ AB，∴DF=AD?sin60 °=834 3，2∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积- 扇形DEFG的面积=8 4 3120 (4 3)32 3 16．360故选： C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．DF 为半径C．32 3 16 D．18 3 答案】C18．如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向，距离灯塔 60 nmile 的小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔小岛 A 的距离是 ( AB 的长．【详解】 CDcos ∠ ACD= ，AC∴CD=AC?cos ∠ACD=6×0 3 30 3 ．2在 Rt △DCB 中，∵∠ BCD=∠ B=45°，∴CD=BD=30 3 ，∴AB=AD+BD=30+30 3 ．答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是( 30+30 3 )nmile ．故选 D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用 -方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化 C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时轮船 B 与A ． 30 3 n mile 【答案】 D【解析】【分析】过点 C 作 CD ⊥AB ， B ． 60 n mile C ．120 nmile D ． (30 30 3) n mile则在 Rt △ACD 中易得A D 的长，再在直角 △BCD 中求出 BD ，相加可得在 Rt △ACD中， AC=60．为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．19．已知 B 港口位于 A 观测点北偏东 45°方向，且其到 A 观测点正北风向的距离 BM 的长为 10 2 km ，一艘货轮从 B 港口沿如图所示的 BC 方向航行 4 7 km 到达 C 处，测得 C 处位于 A 观测点北偏东 75°方向，则此时货轮与 A 观测点之间的距离【答案】 A【解析】【分析】【详解】解：∵∠ MAB=4°5 ， BM=10 2 ，∴AB= BM 2 MA 2 = (10 2)2 (10 2)2 =20km ，过点 B 作 BD ⊥AC ，交 AC 的延长线于 D ，在 Rt △ADB 中，∠ BAD=∠MAC ﹣∠ MAB=7°5 ﹣45°=30°， BDtan ∠ BAD=AD∴AD= 3 BD ， BD 2 +AD 2 =AB 2，即BD 2+( 3 BD )2=202，∴ BD=10，∴ AD=10 3 ，在 Rt △BCD 中， BD 2+CD 2=BC 2， BC=4 3 ，∴ CD=2 3 ， ∴AC=AD ﹣ CD=10 3 ﹣ 2 3 =8 3 km ，答：此时货轮与 A 观测点之间的距离 AC 的长为 8 3 km ．故选 A ．【考点】解直角三角形的应用 -方向角问题．AC 的长为（）B ． 9 3C ． 6 3D ． 7 320．如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，与灯塔 P 的距离为 30 海里的 A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则此时轮船所在位置 B 与灯塔 P 之间的距离为（）【答案】 D【解析】【分析】根据题意得出：∠ B=30°，AP=30 海里，∠ 案．【详解】解：由题意可得：∠ B=30°， AP=30海里，∠ APB=90°，故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为： BP= AB 2 AP 2 故选：D ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． B ． 45 海里 C ．20 3 海里 D ．30 3 海里APB=90°，再利用勾股定理得出 BP 的长，求出答 30 3 （海里）。

锐角三角函数的经典测试题及答案

锐角三角函数的经典测试题及答案锐角三角函数的经典测试题及答案一、选择题1.“奔跑吧，兄弟！”节目组预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经过A、B、C、D四地。

如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向。

C地在A地北偏东75°方向。

且BD=BC=30m。

从A地到D地的距离是（）A。

303mB。

205mC。

302mD。

156m答案】D解析】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从而得到___的长。

详解】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，由题意可知∠DAC=75°-30°=45°。

因为△BCD是等边三角形，所以∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m。

因此，DH=3/2×30=45，AD=2DH=90m。

所以，从A地到D地的距离是156m。

故选D。

点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想。

2.公元三世纪，我国汉代数学家___在注解《周髀算经》时给出的“___图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。

如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sinθ-cosθ)=()A。

1/5B。

5/5C。

35/5D。

9/5答案】A解析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5√5，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解。

详解】解：因为大正方形的面积是125，小正方形面积是25，所以大正方形的边长为5√5，小正方形的边长为5.因此，55cosθ-55sinθ=5，cosθ-sinθ=2/5.因此，(sinθ-cosθ)=1/5.故选：A。

点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出cosθ-sinθ=2/5.3.如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为()A。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

初三数学锐角三角函数测试题及答案

ACOP D B图3锐角三角函数（一）测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC=5，BC=2，那么sin ∠ACD=（）A 、35B 、32C 、552D 、252、如图1，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B 的距离AB 为（） A 、1200m B 、2400m C 、4003m D 、12003m3、（08）在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（）A ．12B ．22C ．32D ．334、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=43，则sinA=（）A 、34B 、43C 、35D 、535、如图2，CD 是平面镜，光线从A 点射出，经CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11，则tan α的值为（）A 、311B 、113C 、119D 、9116、在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=22ABC 三个角的大小关系是（）A 、∠C ＞∠A ＞∠B B 、∠B ＞∠C ＞∠A C 、∠A ＞∠B ＞∠CD 、∠C ＞∠B ＞∠A7、若关于x 的方程x 2-2x+cos α=0有两个相等的实数根，则锐角α为（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、0°8、如图3，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OB ，PD ⊥DB ，如果PC=6，那么PD 等于（） A 、4 B 、3 C 、2 D 、19、已知∠A 为锐角，且cosA ≤21，则（）A 、 0°≤A ≤60°B 、60°≤A ＜90°C 、0°＜A ≤30°D 、30°≤A ≤90°10、如图4，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于点E ，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则 tan α的值为（）ABC（ α 图1CEDAB图2（αA 、21B 、34C 、43D 、2二、填空题（每小题3分，共30分）11、直线y=kx-4与y 轴相交所成的锐角的正切值为21，则k 的值为。

《锐角三角函数》习题（含答案）

《锐⾓三⾓函数》习题（含答案）《锐⾓三⾓函数》⼀、选择题1. 4sin tan 5ααα=若为锐⾓,且，则为 ( )933425543A B C D ．．．．2．在Rt△ABC 中，∠C = 90°，下列式⼦不⼀定成⽴的是（）A ．sinA = sinB B ．cosA=sinBC ．sinA=cosBD ．∠A+∠B=90°3．直⾓三⾓形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A ．10B ．C ．10或D ．⽆法确定4．在Rt△ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（）A ．c =B ．c =C ．c = a·tanAD ．c = sin a A cos a A tan a A 5、的值等于（）o o 45cos 45sin +A. B. C. D. 12213+36．在Rt△ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S△ABC 等于( )A. 3B. 300C.D. 155037．当锐⾓α>30°时，则cosα的值是（）A ．⼤于B ．⼩于CD 12128．⼩明沿着坡⾓为30°的坡⾯向下⾛了2⽶，那么他下降（）A ．1⽶B ⽶C ．9．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）（A ）4 （B ）5 （C ）（D10．已知Rt△ABC 中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC 等于（）43 A ．6 B ． C ．10 D ．12323⼆、填空题11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．12．若sin28°=cosα，则α=________．13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．14．某坡⾯的坡度为1，则坡⾓是_______度．15．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝，则BC 的长为_______cm .5416.如图，在⾼楼前点测得楼顶的仰⾓为，向⾼楼前进60⽶到点，⼜测得仰⾓为，则该⾼楼的D 30?C 45?⾼度⼤约为A.82⽶B.163⽶C.52⽶D.70⽶17．如图，⼩鸣将测倾器安放在与旗杆AB 底部相距6m 的C 处，量出测倾器的⾼度CD ＝1m ，测得旗杆顶端B 的仰⾓＝60°，则旗杆AB 的⾼度为．（计算结果保留根号）α（16题)三、解答题18．由下列条件解直⾓三⾓形：在Rt△ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，（2）已知b=10，∠B=60°．（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=35°19．计算下列各题．（1）s in 230°+cos 2sin60°·tan45°；（2）+ sin45°22cos 30cos 60tan 60tan 30?+四、解下列各题20．如图所⽰，平地上⼀棵树⾼为5⽶，两次观察地⾯上的影⼦，第⼀次是当阳光与地⾯成45°时，第⼆次是阳光与地⾯成30°时，第⼆次观察到的影⼦⽐第⼀次长多少⽶？（第21．如图，AB 是江北岸滨江路⼀段，长为3千⽶，C 为南岸⼀渡⼝，为了解决两岸交通困难，拟在渡⼝C 处架桥．经测量得A 在C 北偏西30°⽅向，B 在C 的东北⽅向，从C 处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）22. 如图，点A 是⼀个半径为300⽶的圆形森林公园的中⼼，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修⼀条长为1000⽶的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o ，∠ACB=30o ，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进⾏说明。

初中数学锐角三角函数的经典测试题含答案解析

初中数学锐角三角函数的经典测试题含答案解析一、选择题1．cos60tan45+o o 的值等于( )A ．32B ．22C ．32 D ．1【答案】A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式13122=+=．故选A ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45【答案】C【解析】【分析】根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=32AE =，．sin ∠AOD=32，∴∠AOD=60°；sin ∠AOE=22，∴∠AOE=45°；∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C ．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.3．如图，在ABC ∆中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且12MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ∆的面积减去CNE ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】设a ＝12BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD −S △CNE ，即可求解．【详解】解：设a ＝12BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC−MN−BM ＝2a−a−x ＝a−x ，DM ＝BM·tanB ＝x·tanα，EN ＝CN•tanC ＝（a−x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD −S △CNE ＝12（BM·DM−CN·EN ）＝()()221tan tan 222x a x a tan x a ααα⋅⎡⎤⋅-⋅=⎣⎦--，∵2a tan α⋅为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．4．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（）A 5B ．35C 2D ．23【答案】B【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ∆≅∆，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ∠=，设1CD =，CF x =，则2CA CB ==，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，∴△DEF ≌△AEF ，∠A ＝∠EDF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠EDF ＝45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°＝∠BED +45°，∴∠BED ＝∠CDF ，设CD ＝1，CF ＝x ，则CA ＝CB ＝2，∴DF ＝FA ＝2﹣x ，∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，CF 2+CD 2＝DF 2，即x 2+1＝（2﹣x ）2，解得：34x =， 3sin sin 5CF BED CDF DF ∴∠=∠==．故选：B．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABCV如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE∠的值是（）A．247B．73C．724D．13【答案】C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，解得x=254，故CE=8-254=74，∴tan∠CBE=724 CECB=.故选C.考点：锐角三角函数.6．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，则tan∠DEC的值是（）A．1 B．12C3D3【答案】C【解析】【分析】先根据题意过点C作CF⊥BD与点F可求得△AEB≌△CFD（AAS），得到AE＝CF＝1，EF＝323-33【详解】过点C 作CF ⊥BD 与点F ．∵∠BAE ＝30°，∴∠DBC ＝30°，∵BC ＝2，∴CF ＝1，BF ＝3 ，易证△AEB ≌△CFD （AAS ）∴AE ＝CF ＝1，∵∠BAE ＝∠DBC ＝30°，∴BE ＝33 AE ＝33， ∴EF ＝BF ﹣BE ＝3 ﹣33＝233 ，在Rt △CFE 中，tan ∠DEC ＝132332CFEF ==，故选C ．【点睛】此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等7．如图，在矩形ABCD 中E 是CD 的中点，EA 平分,BED PE AE ∠⊥交BC 于点P ，连接PA ，以下四个结论：①EB 平分AEC ∠；②PA BE ⊥；③3AD AB =；④2PB PC =．其中结论正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE ≌△BCE （SAS ），进而求出△ABE 是等边三角形，再求出△AEP ≌△ABP （SSS ），进而得出∠EAP ＝∠PAB ＝30°，再分别得出AD 与AB ，PB 与PC 的数量关系即可．【详解】解：∵在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，又∵AD ＝BC ，∠D ＝∠C ，∴△ADE ≌△BCE （SAS ），∴AE ＝BE ，∠DEA ＝∠CEB ，∵EA 平分∠BED ，∴∠AED ＝∠AEB ，∴∠AED ＝∠AEB ＝∠CEB ＝60°，故：①EB 平分∠AEC ，正确；∴△ABE 是等边三角形，∴∠DAE ＝∠EBC ＝30°，AE ＝AB ，∵PE ⊥AE ，∴∠DEA ＋∠CEP ＝90°，则∠CEP ＝30°，故∠PEB ＝∠EBP ＝30°，则EP ＝BP ，又∵AE ＝AB ，AP ＝AP ，∴△AEP ≌△ABP （SSS ），∴∠EAP ＝∠PAB ＝30°，∴AP ⊥BE ，故②正确；∵∠DAE ＝30°，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝tan30°∴AD ，即2AD =， ∵AB ＝CD ，∴③AD AB =正确； ∵∠CEP ＝30°，∴CP ＝12EP ， ∵EP ＝BP ， ∴CP ＝12BP ，∴④PB ＝2PC 正确．综上所述：正确的共有4个．故选：A ．【点睛】此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE 是等边三角形是解题关键．8．如图，已知圆O 的内接六边形ABCDEF 的边心距2OM =，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（）A ．2B ．4C ．63D ．43【答案】D【解析】【分析】连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，证出COB ∆是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．【详解】解：如图所示，连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴60COB ∠=o ，∵OC OB =，∴COB ∆是等边三角形，∴60OCM ∠=o ，∴sin OM OC OCM =•∠， ∴43)sin 60OM OC cm ︒==． ∵30OCN ∠=o ， ∴123,223ON OC CN ===， ∴24CE CN ==， ∴该圆的内接正三角形ACE 的面积123344323=⨯⨯⨯=故选：D ．【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC 是解决问题的关键．9．如图，在ABC ∆中，4AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（）A ．22B 22C 42D ．322【答案】C【解析】【分析】在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD−DE 即可求出AE 的长度．【详解】∵AD ⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90︒在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45︒∴AD=CD=22在Rt △ADB 中，AD=22ABD=60︒∴326． ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBD=30°．在Rt △EBD 中，26，∠EBD=30°∴DE=33BD=223∴AE=AD−DE=22-223=423故选：C【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．10．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()A．4 B．83C．6 D．43【答案】B【解析】【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB3∴光盘的直径为3故选：B．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.11．已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为2km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行7km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（）km ．A ．83B ．93C ．63D ．73【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵∠MAB=45°，BM=102，∴AB=22BM MA +=22(102)(102)+=20km ，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D ，在Rt △ADB 中，∠BAD=∠MAC ﹣∠MAB=75°﹣45°=30°， tan ∠BAD=BD AD =3， ∴AD=3BD ，BD 2+AD 2=AB 2，即BD 2+（3BD ）2=202， ∴BD=10，∴AD=103，在Rt △BCD 中，BD 2+CD 2=BC 2，BC=43，∴CD=23， ∴AC=AD ﹣CD=103﹣23=83km ，答：此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为83km ．故选A ．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．12．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，点P 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），C 、D 分别是弦AP ，BP 的中点．若3CD =AOB 的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π【答案】A【解析】【分析】如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．【详解】解：如图作OH⊥AB于H．∵C、D分别是弦AP、BP的中点．∴CD是△APB的中位线，∴AB＝2CD＝63∵OH⊥AB，∴BH＝AH＝33∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠AOH＝∠BOH＝60°，在Rt△AOH中，sin∠AOH＝AH AO，∴AO＝336 sin3AHAOH==∠，∴扇形AOB的面积为：2120612360ππ=g g，故选：A．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为（）A．12B．22C．3D．3【答案】A【解析】【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．【详解】如图，连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COE=∠A+∠OCA=60°，∴∠E=180°-90°-60°=30°，∴sinE=sin30°=1 2 .故选A.14．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12 CD为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（）A ．60ABC ∠=︒B ．2ABE ADE S S ∆=VC ．若AB=4，则47BE =D ．21sin 14CBE ∠= 【答案】C【解析】【分析】由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12CE=1，EH=3CH=3，利用勾股定理可计算出BE=27 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE=2114EH BE =．【详解】解：由作法得AE 垂直平分CD ，∴∠AED=90°，CE=DE ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=2DE ，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∴∠ABC=60°，所以A 选项的说法正确；∵AB=2DE ，∴S △ABE =2S △ADE ，所以B 选项的说法正确；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，在Rt △ECH 中，∵∠ECH=60°，CH=12CE=1，33，在Rt△BEH中，BE=22(3)527+=，所以C选项的说法错误；sin∠CBE=3211427EHBE==，所以D选项的说法正确．故选C．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．15．一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A．(303-50，30) B．(30， 303-50) C．(303，30) D．(30，303)【答案】A【解析】【分析】【详解】解：OA=15×4=60海里，∵∠AOC=60°，∴∠CAO=30°，∵sin30°=OCAO=12，∴CO=30海里，∴AC=303海里，∴BC=（303－50）海里，∴B（303－50，30）.故选A【点睛】本题考查掌握锐角三角函数的应用．16．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接AM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ，若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是（）A ．21313B ．31313C ．23D ．1313【答案】B【解析】【分析】首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ；设AE=x ，则BF=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到12•x•x+•x×1=6，解方程求出x 得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE ，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，∵∠ABF+∠BAF ＝90°，∠EAD+∠BAF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EAD ，在△ABF 和△DEA 中 BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEA （AAS ），∴BF ＝AE ；设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，∵四边形ABED 的面积为6， ∴111622x x x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2，在Rt △BEF 中，222313BE +∴3313cos 1313BF EBF BE ∠===．故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．17．如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )A ．cot cot m αβ-千米 B ．cot cot m βα-千米 C ．tan tan m αβ-千米 D ．tan tan m βα-千米【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β=cot cot m αβ-. 所以答案选A. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且AE=BF=1，CE 、DF 交于点O ，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE ，③CE=DF ，④tan ∠OCD=43，⑤S △DOC =S 四边形EOFB 中，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确，③CE=D F正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．在△EBC和△FCD中，BC CDB DCFBE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确，∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；连接DE，如图所示，若OC=OE．∵DF⊥EC，∴CD=DE．∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC=DCFC=43，故④正确；∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故⑤正确；故正确的有：①③④⑤．故选D．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．19．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A．2 B．3C．2D．1 2【答案】B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.【详解】连接OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA是圆的切线，∴∠PAO=90°，∵tan∠AOC =PA OA,∴PA= tan60°×1=3.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.20．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为 45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为 60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌CD的高度是( )米．A．15－3B．20－3C．10－3D．35【答案】A【解析】【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论．【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB•cos30°＝3BM＝AB•sin30°＝5（米）．在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，∴DE＝AE•tan60°＝3在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋3CBN＝45°，∴CN＝BN•tan45°＝10＋3（米），∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋33＝3故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．。

人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)

人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)28.1《锐角三角函数》一、选择题1.2cos60°=（）A.1B.C.D.2.在菱形ABCD中，BD为对角线，AB=BD，则sin∠BAD=（）A. B. C. D.3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（）个（1）（2）（3）（4）.A.1B.2C.3D.44.tan45°sin45°﹣2sin30°cos45°+tan30°=（）A. B. C. D.5.计算的值是（）A. B. C. D.6.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（）A.1B.C.D.7.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等.若∠BOC=120°，则tanA的值为（）A. B. C. D.8.计算sin60°+cos45°的值等于（）A. B. C. D.9.sin60°的值等于（）A. B. C. D.10.在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则sinA的值是( )A. B. C. D.11.tan30°的值为（）A. B. C. D.12.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则cos∠APB的值是（）A.45°B.1C.D.无法确定二、填空题13.计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°= .14.已知在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB=____________.15.△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C= .16.在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是________.17.计算：=18.△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是三角形.三、计算题19.计算：20.计算：四、解答题21.先化简，再求值，其中a=1+2cos45°；b=1－2sin45°22.一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)=sin αcos β＋cos αsin β；sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β.例如sin 90°=sin(60°＋30°)=sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°=×＋×=1.类似地，可以求得sin 15°的值是___________________.23.小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1.据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1.(1)当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.24.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值.参考答案1.答案为：A；.2.答案为：C3.答案为：C4.答案为：D.5.答案为：A；6.答案为：C.7.答案为：A；8.答案为：B；9.答案为：C10.答案为：C11.答案为：B；.12.答案为：C13.答案为：14.答案为：0.75；15.答案为：60°.16.答案为：75°17.答案为：18.答案为：直角.19.原式=120.原式=721.原式=22.原式=.23.解1：(1)当α=30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）=sin230°+sin260°=（）2+（）2=1；(2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）=（）2+（）2===1.24.解：（1）CD与⊙O相切.理由是：连接OD.则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO=∠AOD=90°.∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切.（2）连接BE，由圆周角定理，得∠ADE=∠ABE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）.在Rt△ABE中，sin∠ABE==，∴sin∠ADE=sin∠ABE=.28.2解直角三角形及其应用一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AB＝2，则∠B等于（）A．15°B．20°C．30°D．60°2．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sin A的值为（）3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（）A．B．C．D．4．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．米C．2米D．3米5．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．6.29B．4.71C．4D．5.336．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B 滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（）7．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（）米（结果精确到1米）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）A．27B．28C．29D．308．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD．在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为45°，测得与大桥主架的水平距离AB为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．（100+100•sinα）米B．（100+100•tanα）米C．（100+）米D．（100+）米9．某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（）（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）A．39.3B．37.8C．33.3D．25.710．在数学综合实践课上，老师和同学们一起测量学校旗杆的高度，他们首先在旗杆底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后沿着斜坡CD到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A的仰角为37°（身高忽略不计），已知斜坡CD的坡度i＝1：2.4，坡面CD长2.6米，旗杆AB所在旗台高度为1.4米，旗杆、旗台底部、斜坡在同一平面，则旗杆AB的高度为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．9.5米B．9.6米C．9.7米D．9.8米二．填空题11．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是．12．如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为．13．一座建于若干年前的水库大坝，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了平方米．14．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为千米．15．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）三．解答题16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝4，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段CD的长；（2）sin∠BAC的值．17．石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB之间15米，使得∠ADC ＝30°，∠ACB＝60°．（1）求CD的长（精确到0.01，≈1.73，≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．18．如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行（40﹣16）海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径16海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°＝，cos22°＝，tan22°＝）参考答案一．选择题1．解：∵∠C＝90°，BC＝，AB＝2，∴cos B＝＝，∴∠B＝30°，故选：C．2．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝＝．故选：A．3．解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AE，∴AE＝＝＝3，∴CE＝＝＝1，∴cos∠ACB＝＝＝，故选：B．4．解：过B作BC⊥地面于C，如图所示：∵BC：AC＝1：3，即1：AC＝1：3，∴AC＝3（米），∴AB＝＝＝（米），即物体从A到B所经过的路程为米，故选：B．5．解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，∵坡面DE的坡度为1，∴＝1，∴DM＝EM＝1＝FC，在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，∵tan∠DAF＝≈0.75，设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，在Rt△ABC中，∵tan∠B＝，∴tan37°＝≈0.75，解得x＝≈6.29（米），故选：A．6．解：如图．∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，∴可设AC＝4x，那么BC＝3x，∴AB＝＝＝5x，∴A′B′＝AB＝5x．∵在直角△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝4x﹣1，B′C＝3x+1，∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，解得x＝1，∴A′C＝3，B′C＝4，A′B′＝5，∴cosβ＝．故选：A．7．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，由题意得：FG＝BC＝20米，DE＝40米，BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝1：2.4，CD＝26米，∴BF＝CG＝10米，GD＝24米，在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝84米，∠E＝24°，∴AF＝FE•tan24°≈84×0.45＝37.8（米），∴AB＝AF﹣BF＝37.8﹣10≈28（米）；即建筑物AB的高度为28米；故选：B．8．解：在Rt△ABC中，，∴BC＝AB•tanα，在Rt△ABD中，tan45°＝，∴BD＝AB•tan45°＝AB，∴CD＝a＝BC+BD＝AB•tanα+AB＝（100+100•tanα）米，故选：B．9．解：如图，延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．∵在Rt△BCF中，BF：CF＝1：，∴设BF＝k，则CF＝k，∴BC＝2k．又∵BC＝12，∴k＝6，∴BF＝6，CF＝6，∵DF＝DC+CF，∴DF＝40+6在Rt△AEH中，tan∠AEH＝，∴AH＝tan37°×（40+6）≈37.785（米），∵BH＝BF﹣FH，∴BH＝6﹣1.5＝4.5．∵AB＝AH﹣HB，∴AB＝37.785﹣4.5≈33.3．答：大楼AB的高度约为33.3米．故选：C．10．解：作DH⊥FC交FC的延长线于点H，延长AB交CF的延长线于点T，作DJ⊥AT于点J，如图所示：则四边形EFTB与四边形DHTJ都是矩形，∴BT＝EF＝1.4米，JT＝DH，在Rt△DCH中，CD＝2.6米，＝，∴DH＝1（米），CH＝2.4（米），∵∠ACT＝45°，∠T＝90°，∴AT＝TC，设AT＝TC＝x．则DJ＝TH＝（x+2.4）米，AJ＝（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，tan∠ADJ＝＝0.75，∴＝0.75，解得：x＝11.2，∴AB＝AT﹣BT＝11.2﹣1.4＝9.8（米），故选：D．二．填空题11．解：如图取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，如图所示：∵DB＝CK＝2，DB∥CK，∴四边形CDBK是平行四边形，∴CD∥BK，∴∠AOC＝∠ABK，过点K作KH⊥AB于H．∵AB＝＝，S△ABK＝•AK•4＝•AB•KH＝20，∴HK＝＝，∵BK＝＝2，∴BH＝＝＝，∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，故答案为：．12．解：如图作PH⊥x轴于H．∵P（6，8），∴OH＝6，PH＝8，∴OP＝＝10，∴cosα＝＝＝．故答案为：．13．解：∵背水坡AB的坡度为1：0.75，AC＝4，∴＝0.75，解得，BC＝3，∵坡AD的坡度为1：2，AC＝4，∴CD＝8，∴BD＝DC﹣BC＝5，∴△ADB的面积＝×5×4＝10（平方米），故答案为：10．14．解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，∴∠PCA＝90°，∠P AC＝30°，∵AP＝12千米，∴PC＝6千米，AC＝6千米，∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，∴∠PBC＝60°，∴BC＝＝＝2千米，∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），故答案为：4千米．15．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．三．解答题16．解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠D＝90°，在Rt△ABD中，∵sin B＝．∴＝，又∵AD＝12，∴AB＝15，∴BD＝＝9，又∵BC＝4，∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5；答：线段CD的长为5；（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵S△ABC＝BC•AD＝AB•CE∴×4×12＝×15×CE，∴CE＝，在Rt△AEC中，∴sin∠BAC＝＝＝，答：sin∠BAC的值为．17．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，∴BC＝＝＝5米，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝15米，∴CD＝BD﹣BC＝10≈17.32米，∴CD的长为17.32米；（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝米/秒，而10÷2≈8.66＞，∴汽车超速．18．解：如图1，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠P AC＝64°﹣42°＝22°，∠PBC＝72°﹣42°＝30°，AB＝40﹣16，设PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝30°，∴BC＝PC＝x，∴AC＝AB+BC＝40﹣16+x，在Rt△P AC中，∵∠P AC＝22°，∴tan∠P AC＝，即＝，解得，x＝16，即PC＝16，BP＝2PC＝32，∵16＜16，∴有危险．如图2，渔船沿着BD方向航行，过点P作PD⊥BD，垂足为D，在Rt△PBD中，∵sin∠PBD＝＝＝，∴∠PBD＝45°，∴∠QBD＝∠QBP﹣∠DBP＝72°﹣45°＝27°，即渔船自B处开始，沿南偏东27°的方向航行，能够安全通过这一海域．。

第四章《锐角三角函数》(基础卷)(解析版)

第四章锐角三角函数（基础卷）一、选择题（每小题4分，共40分）1、在Rt△ABC中，∠C＝90∘，BC＝5，AC＝12，则sin B的值是（）A.512B.125C.513D.1213【答案】D【解析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．【解答】如图所示：∵∠C＝90∘，BC＝5，AC＝12，∴AB=13，∴sin B=ACAB =1213．2、在Rt△ABC中，∠C=90∘，则下列式子定成立的是()A.sin A=sin BB.cos A=cos BC.tan A=tan BD.sin A=cos B【答案】D【解析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答．【解答】解：∵∠C=90∘，∴∠A+∠B=90∘，∴sin A=cos B．3、已知sinαα是锐角，则α=( )A.75∘B.60∘C.45∘D.30∘【答案】B【解析】根据sin60∘a的值．【解答】解：∵sinαα是锐角，∴α=60∘．4、sin58∘、cos58∘、cos28∘的大小关系是（）A.cos28∘<cos58∘<sin58∘B.sin58∘<cos28∘<cos58∘C.cos58∘<sin58∘<cos28∘D.sin58∘<cos58∘<cos28∘【答案】C【解析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．【解答】sin58∘＝cos32∘．∵58∘>32∘>28∘，∴cos58∘<cos32∘<cos28∘，∴cos58∘<sin58∘<cos28∘．5、在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果AC=4，BC=3，那么∠A的正弦值是( )A.34B.43C.35D.45【答案】C【解析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】∵AC=4，BC=3，AB=5,∴sin A=BCAB =35.6、拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是BC=10m，则坡面AB的长度是（）A.15mB.C.D.20m【答案】D【解析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【解答】解：Rt△ABC中，BC=10m，tan A=∴AC=BC÷tan A=，∴AB=20m．7、在Rt△ABC中，∠B=90∘．若AC=2BC，则sin C的值是( )A.12B.2【答案】C【解析】利用已知表示出各边长，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵AC=2BC，∴设BC=x，则AC=2x，∴AB=，∴sin C=ABAC=8、如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(4, 3)，OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（）A.35B.45C.34D.43【答案】C【解析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可．【解答】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90∘，∵x轴⊥y轴，∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90∘，∴四边形MONP是矩形，∴PM＝ON，PN＝OM，∵P(4, 3)，∴ON＝PM＝4，PN＝3，∴tanα=PNON =34，9、在Rt△ABC中，已知∠C=90∘，∠A=40∘，BC=3，则AC等于（）A.3sin40∘B.3sin50∘C.3tan40∘D.3tan50∘【答案】D【解析】根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据正切的概念解答即可．【解答】解：∵∠C=90∘，∠A=40∘，∴∠B=50∘.∵tan B=AC，BC∴AC=BC⋅tan B=3tan50∘.10、我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60∘方向走到B地，再沿北偏西37∘方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为（）（参考数据sin53∘≈0.80，cos53∘≈0.60，tan53∘≈1.32）A.12千米B.(3+千米C.(3+千米D.(12―千米【答案】B【解析】作BD⊥AC于点D，根据题意可得，∠A＝60∘，AB＝6，∠CBD＝53∘，再根据锐角三角函数即可求出AD和CD的值，进而求出A，C两地的距离．【解答】如图，作BD⊥AC于点D，根据题意可知：在Rt△ADB中，∠A＝60∘，AB＝6，∴AD＝3，BD＝在Rt△CDB中，∠CBD＝53∘，≈∴CD＝BD⋅tan53∘≈×1.32≈×43∴AC＝AD+CD＝3+则A，C两地的距离为(3+千米．二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）11. 已知tan(α+15∘)=α的度数为________∘．【答案】15【解析】根据tan30∘=α+15∘＝30∘，再解即可．【解答】∵tan30∘=∴α+15∘＝30∘，∴α＝15∘，12.已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=5，则tan B的值为________．13【答案】125，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股【解析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sin A=513定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．【解答】解：∵sin A=513，∴设BC=5x，AB=13x，则AC=12x，故tan∠B=ACBC =125．13.如图，在△ABC中，∠C＝90∘，AC＝6，若cos A=35，则BC的长为________．【答案】8【解析】根据锐角三角函数定义和勾股定理求解．【解答】∵在△ABC中，∠C＝90∘，AC＝6，cos A=35，∴cos A=ACAB =6AB=35，∴AB＝10，∴BC8．14. △ABC中，∠C=90∘，AB=8，cos A=34，则BC的长________．【答案】【解析】首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．【解答】解：如图，∵cos A=ACAB，∴AC=AB⋅cos A=8×34=6，∴BC15. △ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sin A cos B=12，则∠C=________．【答案】60∘【解析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．【解答】解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sin A cos B=12，∴∠A=∠B=60∘．∴∠C=180∘―∠A―∠B=180∘―60∘―60∘=60∘．16. 如图，BE是△ABC的角平分线，F是AB上一点，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于点G．若sin∠AEB=BG＝4，EG＝5，则S△ABE＝________．【答案】81【解析】如图，过点B作BT⊥AC于T，连接EF．在Rt△BET中，解直角三角形求出BT，ET，BC，由△ECG ∽△EBC，求出EC，CG，再利用相似三角形的性质求出EF，BF，AE，AB，证明点T与点A重合即可解决问题．【解答】如图，过点B作BT⊥AC于T，连接EF．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ECG＝∠ABE，∴∠ECG＝∠CBE，∵∠CEG＝∠CEB，∴△ECG∽△EBC，∴ECEB =EGEC=CGCB，∴EC2＝EG⋅EB＝5×(5+4)＝45，∵EC>0，∴EC＝在Rt△BET中，∵sin∠AEB=BTBEBE＝9，∴BT∴ET==∴CT＝ET+CE∴BC=∴CG=EG⋅BCEC=10，∵∠ECG＝∠FBG，∴ E ，F ，B ，C 四点共圆，∴ ∠EFG ＝∠CBG ，∵ ∠FGE ＝∠BGC ，∴ △EGF ∽△CGB ，∴ EF CB =EGCG ，∴510，∴ EF ＝5，∵ ∠AFE ＝∠ACB ，∠EAF ＝∠BAC ，∴ △EAF ∽△BAC ，∴AE AB=AFAC =EFBC =12，设AE ＝x ，则AB ＝2x ，∵ ∠FBG ＝∠ECG ，∠BGF ＝∠CGE ，∴ △BGF ∽△CGE ，∴ BF CE =BGCG ，∴410，∴ BF ∵ AE ⋅AC ＝AF ⋅AB ，∴ x (x ＝(2x ―⋅2x ，解得x =∴ AE ＝ET ∴ 点A 与点T 重合，∴ AB ＝2AE =∴ S △ABE =12×AB ×AE =12××81．三、解答题（本题共计8小题，每题10分，共计86分） 17. 计算(1)tan30∘sin60∘+cos 230∘―sin 245∘tan45∘；(2)2―1+∘+|―5|―(π―2013)0.解：(1)原式=×+―×1=12+34―12=34 .(2)原式=12+―1=12+32+5―1=6 .18. 如图，在△ABC 中，AB =AC =4,BC =6，求cos B 及tan B 的值．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ．∵ AB =AC ，∴ BD =CD =3.在Rt △ABD 中，由勾股定理得AD ===∴ cos B =BDAB =34,tan B =ADBD =19. 在△ABC 中，∠A,∠B,∠C 的对边分别为a ,b ，c ，且a :b :c =3:4:5，求证：sin A +sin B =75 证明：设a =3k ,b =4k ,c =5k (k >0)．∵ a 2+b 2=(3k )2+(4k )2=25k 2=c 2，∴ △ABC 是直角三角形，且∠C =90∘.∴ sin A =ac =3k5k =35,sin B =bc =4k c=45．∴ sin A +sin B =75.20. 如图，一艘船由西向东航行，在A 处测得北偏东60∘方向上有一座灯塔C ，再向东继续航行60km 到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30∘方向上，已知在灯塔C 的周围47km 内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．根据题意可知∠BAC =90∘―30∘=30∘，∠DBC =90∘―30∘=60∘，∵ ∠DBC =∠ACB +∠BAC ，∴ ∠BAC =30∘=∠ACB ，∴ BC =AB =60km ，在Rt △BCD 中，∠CDB =90∘，∠BDC =60∘，sin ∠BCD =ADAC ，∴ sin60∘=CD60，∴ CD =60×sin60∘=60×=km )>47km ，∴ 这艘船继续向东航行安全．21. 如图，王亮为了测量河宽CD，先在A处测得对岸C点在其北偏东45∘方向，然后沿河岸直行100米到B点，在B点测得对岸C点在其北偏西45∘方向，求河宽CD的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732).解：设GD=x米，由题意得：CD⊥AB，∠ACD=30∘，∠BCD=45∘，∴∠ADC=∠BDC=90∘，∴AD=米，BD=CD=x米，∵AD+BD=AB=100米，∴+x=100，解得：x=6.5，即河宽CD约为63.5米（63.4也对）.22. 如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部B恰好落在山坡上的点D处，已知山坡的坡角∠AEF=23∘，量得树干倾斜角∠BAC=38∘，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60∘，AD=4m．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度．（结果保留整数，参考数据≈1.4≈1.7≈2.4）．解：(1)如图，延长BA交EF于点G．在Rt△AGE中，∠AEF=23∘，∴∠GAE=90∘―23∘=67∘．又∵∠BAC=38∘，∴∠CAE=180∘―67∘―38∘=75∘．(2)如图，过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ADH中，∠ADC=60∘，AD=4，cos∠ADC=DHAD ，sin∠ADC=AHAD，∴DH=2，AH=在Rt△ACH中，∵∠C=180∘―75∘―60∘=45∘，∴CH=AH=∴AC=∴ CD =CH +DH =+2．∴ AB =AC +CD =+2≈10（米）．答：这棵大树折断前高约10米．23. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形．∠ACB =90∘，点A ，C 的坐标分别为A (―4,0)，C (2,0)，tan ∠BAC =12，AB 与y 轴相交于点D ．(1)求过点A ，B 的直线的函数表达式；(2)在y 轴上找一点E ，连接EB ，使得△EDB 与△ABC 相似，求点E 的坐标．解：(1)∵ 点A (―4,0)，C (2,0)， ∴ AC =6.∵ tan ∠BAC =12=BC AC ， ∴ BC =3， ∴B 点坐标为(2,3).设过点A ，B 的直线的函数表达式为：y =kx +b ，则―4k +b =0，2k +b =3，解得k =12，b =2，∴ 直线AB 的函数表达式为：y =12x +2.(2)①当∠BED =∠ACB =90∘时，即过点B ，作BE //x 轴，与y 轴交于点E ，则∠EBD =∠CAB ，∴ △EDB ∼△CBA ，则DE BC =BE AC ，即DE 3=26，解得DE =1，∴ E (0,3).②当∠DBE =∠ACB =90∘时，即过点B ，作BE ⊥BD ，与y 轴交于点E ，则∠DEB =∠BAC ，∴ △EDB ∼△ABC ，则DE BA =BD BC ，即=DE =5，∴ E (0,7).24、在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN(如图)，在码头西端M 的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°，且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距的C 处．(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果)；(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．解：(1)∵∠1＝30°，∠2＝60°，∴△ABC为直角三角形．∵AB＝40km，AC＝，∴BC＝km)．∵1小时20分钟＝80分钟，1小时＝60分钟，∴80＝千米/小时)．(2)作线段BR⊥x轴于R，作线段CS⊥x轴于S，延长BC交l于T.∵∠2＝60°，∴∠4＝90°－60°＝30°.∵AC＝km)，∴CS＝30°＝km)．∴AS＝30°＝12(km)．又∵∠1＝30°，∴∠3＝90°－30°＝60°.∵AB＝40km，∴BR＝40·sin60°＝km)．∴AR＝40×cos60°＝40×12＝20(km)．易得，△STC∽△RTB，∴STRT＝CSBR，STST＋20＋12＝解得：ST＝8(km)．∴AT＝12＋8＝20(km)．又∵AM＝19.5km，MN长为1km，∴AN＝20.5km.∵19.5<AT<20.5，故轮船能够正好行至码头MN靠岸．。