2017级直升高二数学概念及表示诊断
《高二数学几何概型》课件
进阶习题
进阶习题1
一个半径为10cm的圆，随机选择一个面积 为4π cm²的扇形，求扇形弧长大于圆周长 1/4的概率。
进阶习题2
一个边长为10cm的正六边形，随机选择一 个面积为30cm²的子多边形，求子多边形完 全位于正六边形的内部的概率。
答案解析
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基础习题答案解析
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04
常见题型解析
长度型几何概型题型解析
总结词
涉及线段的长度比较，通过比例关系求解概率。
详细描述
这类题目通常给定两个线段或点的长度，要求比较它们的长度或计算某线段长度所占的 比例，从而得出概率。解题时需要仔细分析长度之间的关系，利用比例关系进行计算。
面积型几何概型题型解析
总结词
涉及面积的比较，通过面积比例关系 求解概率。
几何概型
每个基本事件的发生都具有等可 能性，但试验的所有可能结果通 常是无限多个，且对应于一个可 度量的几何区域。
02
几何概型的概率计算公式
公式推导
几何概型的概率计算公式是基于面积和体积的等可能性和对 称性推导出来的。
通过将试验的全部结果所构成的区域长度、面积或体积分别 除以满足条件的结果构成的区域长度、面积或体积，得到概 率的长度型公式、面积型公式和体积型公式。
详细描述
这类题目通常给定两个图形的面积， 要求比较它们的面积或计算某面积所 占的比例，从而得出概率。解题时需 要利用几何图形的面积公式和性质， 进行面积的计算和比较。
体积型几何概型题型解析
总结词
涉及三维空间的体积比较，通过体积比 例关系求解概率。
VS
详细描述
这类题目通常给定两个三维空间的体积， 要求比较它们的体积或计算某体积所占的 比例，从而得出概率。解题时需要利用几 何体的体积公式和性质，进行体积的计算 和比较。
高中数学基础之函数及其表示
1．一种优先意识 函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的 原则． 2．两个关注点 (1)分段函数是一个函数． (2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集．
核心考点突破
考点一 函数的概念
【例1】 (1)下列对应是从集合A到B的函数是( A ) A．A＝N，B＝N，f：x→y＝(x－1)2 B．A＝N，B＝R，f：x→y＝± x C．A＝N，B＝Q，f：x→y＝x－1 1 D．A＝{衡中高三·一班的同学}，B＝[0,150]，f：每个同学与其高考数学的分 数相对应
为相等函数．
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和 列表法 ．
4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的
式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ，其值域等于各段函数
的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
角度3：待定系数法求函数解析式 【例2－3】 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－ 2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝__2_x_＋__7__.
[思路引导] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)→代入已知条件→解出a、b→得f(x)．
[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a －2b＝ax＋5a＋b，
角度2：分段函数与不等式问题
【例3－2】 (1)已知函数f(x)＝ 1)≤1的解集是_(_－__∞__，__－__1_＋___2_]_．
－x＋1，x<0， x－1，x≥0，
则不等式x＋(x＋1)f(x＋
(2)设函数f(x)＝ _a_≤___2___．
4.3.1等比数列的概念(第1课时等比数列的概念及通项公式)课件高二上学期数学人教A版选择性
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
高考数学复习：函数的概念及其表示
在函数f(x)满足f(g(x))=h(x).
(3)对于抽象函数的求值问题,一般采用赋值法,即通过将函数满足的等式
中的变量取适当的值,即可获得特殊函数值之间的等量关系,从而求出相应
的函数值
[对点训练1](2024·浙江宁波模拟)已知函数f(x)满足:对任意的非零实数x,y,
解析 因为函数 f(x)的定义域是(-1,3),所以由题意可得
-1 > 0,
解得 1<x<2,故函数定义域为(1,2).
规律方法
函数定义域的求解方法
(1)给定解析式的函数定义域的法:①根据解析式有意义的条件列出自变
量满足的不等式(组);②解不等式(组)的解集即为定义域;③注意不要轻易
化简解析式,并且定义域必须写成集合或区间的形式.
×2=1,而
n∈Z,可得 n=-2,故选 B.
考点二
函数的定义域
()
例2(1)(2024·四川绵阳模拟)已知函数y=f(2x-1)的定义域是[-2,3],则y= √ + 2
的定义域是( D )
A.[-2,5]
B.(-2,3]
C.[-1,3]
D.(-2,5]
解析 (1)因为函数 y=f(2x-1)的定义域是[-2,3],所以由-2≤x≤3,得-5≤2x-1≤5,
第6题
应用
2022
Ⅰ卷
Ⅱ卷
2023
Ⅰ卷
Ⅱ卷
第8题 第11题
第4题 第6题
第12题 第8题
第4题
第7题
第4题
第10题
第10题
优化 备考策略
高中数学《对数的概念》教学设计
对数的概念教学设计一、内容与内容解析1．内容：对数的定义、表示法、性质，以及指、对数之间的关系．2．内容解析：16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中发明了对数，为数学家们在运算中赢得了时间与精力．对数发明20多年后法国数学家笛卡尔开始使用指数符号，数学家们开始关注指、对数之间的关系．直到18世纪，瑞士数学家欧拉才发现了指数与对数的互逆关系，他首先使用y= 来定义．至此，人们彻底揭示了对数本质，完善了指、对数的知识体系和数学运算体系．对数的发明先于指数，也成为数学史上的珍闻．事实上，对数的本质是一种运算．随着人们对指数的认识的不断深入，总会遇到诸如“在方程=2中求解x”的问题，即“已知底数和幂的值，求指数”．在数学运算体系的建立过程中，人们也经历了多次类似的情况，例如在加法运算中已知一个加数与和，求另一个加数时引入了“差”的概念；在乘法运算中已知一个因数与积，求另一个因数时引入了“商”的概念；在乘方运算中已知指数与幂，求底数时引入了“数的n次方根”的概念．在计算机发明以前，以10为底的对数在复杂的数值计算中是常用的工具，故有“常用对数”之名，常用对数是纳皮尔和他的朋友布里格斯一起商定得出的．另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e=2.71828…为底的对数，以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以称之为“自然对数”．欧拉指出：“对数源出于指数”，也就是说对数与指数之间存在必然的联系：当a>0，且a≠1时，．利用这一关系，我们可以实现对数式与指数式之间的互化．代数学的根源在于运算，“运算中的不变性、规律性”是发现“代数性质”的引路人，通过这种互化运算，我们可以得出对数的下列性质：（1）负数和0没有对数．当对数中的真数N为负数或者0时，对数没有意义．这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数．因而=N中的N总是正数．（2）（a>0，a≠1）．指数式中存在着诸如及的性质，将这两个指数式化为对数式即可得到对数的上述性质．从对数的发明过程可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力．建立对数与指数之间联系的过程表明，使用较好的符号体系和运算规则不仅对数学的发展至关重要，而且可以大大减轻人们的思维负担．因此，本节课的教学重点是：以“指数与对数的关系”为指引，发现和应用对数的概念．二、目标与目标解析1.目标：（1）了解对数产生的历史及背景，体会对数概念提出的必要性，发展数学人文素养；（2）经历概念的形成过程，理解对数的概念，发展数学抽象核心素养；（3）理解指、对数的关系，掌握指、对数式的互化，发展数学运算核心素养．2.目标解析（1）学生知道对数发明的历史，能在求解诸如=2的方程中体会到对数概念提出的必要性；（2）学生能将所求方程中的x准确表示出来，能认识和表示常用对数和自然对数；（3）学生能清楚指出指、对数之间所具有的关系，在指、对数式中指明各个字母的意义，能熟练地进行指、对数的互化．通过两式的互化，能够得出和证明对数的性质．三、教学问题诊断分析本节课第一个学习难点是对数概念，虽然学生可以根据以往经验提出新概念建立的必要性，但是就像差、商、数的n次方根等概念的提出一样，每一次新概念的提出都与学生以前的认知产生矛盾，因此需要适应和熟悉，而这样的过程在对数这一概念上显得尤为漫长．在以往的学习过程中，涉及“差”的概念的减法是加法的逆运算，涉及“商”的概念的除法是乘法的逆运算，涉及“数的n 次方根”的概念的开方运算是乘方的逆运算，对于对数这一概念，可以类比以往的互逆运算的关系进行认识．即使这样，减法、除法、开方等运算还是比较直观、容易理解的，但是由于对数所处运算级别较高，因此在教学中需要反复训练，使得学生尽快熟悉．第二个学习难点是在对指、对数的关系的认识上，学生往往只在表面上认识了对数概念，没有紧扣定义，充分发掘定义中指、对数之间的关系．为此可以借助图表、式中连线等简单直观的方式对指、对数式进行对照，在此过程中学生可以进一步理解对数概念，揭示指、对数之间的关系，特别是在对字母x的认识中可以明确“对数即指数”这一本质；也可以借助已有知识进行突破，例如借助指数函数中的变量对应关系揭示指、对数之间的关系．四、教学支持条件本节课的教学用到了Geogebra数学软件，可以帮助学生对相关问题形成直观感受．五、教学过程设计（一）概念的引入问题1：在4．2．1的问题中，通过指数运算，我们能从y=中求出经过x年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？师生活动：学生利用指数函数写出2=、3=、4=的方程，但是不会求解方程．追问1：若=2，这里的x存在吗？唯一吗？能否借助已有知识解释？你能表示它吗？师生活动：学生借助指数函数图象可以感受到x的存在，但不会对其表示．由指数函数图象可知x唯一存在，但利用已有知识不能解释．技术支持：利用Geogebra数学软件画出函数图象，通过对点的标记感受对数的真实存在．追问2：回顾为什么要学习减法、除法、开方运算？并类比思考如何解决上面这个问题？师生活动：学生回顾运算学习轨迹，得出答案．回顾一下同学们对于运算的学习轨迹：在加法运算a+x=N中求解x时定义了减法及它的运算结果“差”的概念；在乘法运算ax=N中求解x时定义了除法及它的运算结果“商”的概念；在乘方运算=N中求解x时定义了开方及它的运算结果“数的n次方根”的概念。
《高二数学概率复习》课件
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率， P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
P(A|B) ≥ 0。
规范性
当事件B是必然事件时，P(A|B) = P(A)。
条件概率的加法规则
如果两个事件B1和B2是互斥的，那么对于任一事件A，有 P(A|B1∪B2) = P(A|B1) + P(A|B2)。
04
概率的应用
概率在日常生活中的应用
天气预报
通过概率分析，预测未来天气变 化，为日常生活和出行提供参考
。
彩票
彩票中奖概率的计算，让人们理性 对待，避免盲目投入。
医学诊断
通过概率统计方法，提高疾病诊断 的准确率。
概率在科学实验中的应用
物理实验
在物理学中，概率被广泛应用于 粒子实验、量子力学等领域。
解析5
进阶题目5的答案是$frac{4}{8} times frac{3}{7} = frac{12}{56} = frac{3}{14}$，因为第一次摸出白球的概 率为$frac{4}{8}$，第二次摸出白球的概率为$frac{3}{7}$ 。
解析6
进阶题目6的答案是$frac{7}{10} times frac{3}{9} = frac{21}{90} = frac{7}{30}$，因为第一次摸出红球的概 率为$frac{7}{10}$，第二次摸出白球的概率为 $frac{3}{9}$。
《高二数学概率复习》ห้องสมุดไป่ตู้ppt课件
目 录
• 概率的基本概念 • 古典概型与几何概型 • 条件概率与独立性 • 概率的应用 • 复习题与答案解析
《高二数学概率》课件
如何将概率与统计结合应用
在实际应用中，概率论和统计学是相辅相成的。 在数据分析中，我们可以利用概率论中的知识来 理解和描述数据的随机性，从而更好地进行统计 推断和预测。
在统计推断中，可以利用概率论中的知识来评估 样本的代表性和可靠性，以及推断总体的特征和 趋势。
在概率论的学习过程中，可以通过引入实际数据 和案例来加深对概念和公式的理解，同时也可以 培养解决实际问题的能力。
概率的乘法性质
概率的减法性质
概率的完备性
若两个事件A和B是互斥 的，则
P(A∪B)=P(A)+P(B)。
若两个事件A和B是独立 的，则
P(A∩B)=P(A)×P(B)。
若事件A是事件B的子事 件，则P(A)≤P(B)。
所有事件的概率之和为1 ，即∑P(Ai)=1，其中Ai
表示第i个事件。
02
概率的计算方法
04
概率的应用
概率在日常生活中的应用
天气预报
通过概率计算，气象学家可以预测未来天气的变 化，从而为人们的出行和生活提供参考。
彩票
概率是彩票游戏的核心，玩家根据概率计算期望 收益，决定是否购买彩票。
医学诊断
医生在诊断疾病时，会考虑各种症状出现的概率 ，以做出更准确的判断。
概率在社会科学中的应用
市场调研
定义
离散型随机变量在某些特定取值 上具有确定的概率，这些概率可
以用概率分布列来表示。
例子
投掷一枚骰子，每个面向上的概率 是1/6，这是一个离散型随机变量 。
应用
在统计学、决策理论、可靠性工程 等领域有广泛应用。
连续型随机变量的概率分布
定义
连续型随机变量在某个区间内的 取值概率可以用概率密度函数来
i等于1到n_的数学表达__概述说明以及解释
i等于1到n 的数学表达概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在数学领域中，当我们需要处理从1到n范围内的数值时，经常会遇到i等于1到n的情况。
这种表达方式是指在一定范围内取连续整数。
例如，当n=10时，i等于1到10即表示从1到10之间的所有整数。
1.2 研究意义研究i等于1到n的数学表达在实际应用中具有重要意义。
首先，在数据科学和统计学领域，该表达式常用于数据分析和模型建立过程中。
其次，在工程技术领域，这种数学表达形式经常被用来表示任务或问题涉及的变量范围。
了解并掌握这种表达方式可以提高我们对问题的把握能力，并为解决实际问题提供更直观的规划和思路。
1.3 目的本文旨在介绍和解释i等于1到n的数学表达方式，并深入探讨其推导过程、实例分析以及在不同领域中的应用潜力。
通过详细阐述相关内容，读者可以更好地理解并运用这一关键概念，从而为他们日常学习和工作中遇到的问题提供更有效的解决方案。
此外，本文还将展望未来研究方向，为相关领域的学者和研究人员提供借鉴和启示。
2. i等于1到n的数学表达2.1 定义与范围在数学中，我们经常遇到一类表示方式，即将变量i的取值从1到n进行累加或者变化。
这种表达方式可以用简洁的数学符号来表示，便于对问题进行分析和求解。
在本文中，我们将探讨如何以数学方式来表达i等于1到n之间的变化。
2.2 数学背景在代数学中，我们使用符号“∑”表示求和操作，其中i是一个从某个起始值开始递增的变量。
通过这种方式，我们可以将i从1加到n，得到这个范围内所有整数的和。
数学上的表达为：Σ(i) = 1 + 2 + 3 + ... + n该表达式称为等差数列求和公式。
2.3 应用与实践这种数学表达式在实际应用中具有广泛的应用和实践意义。
例如，在计算机科学领域中，当需要对一组数据进行累加操作时，可以利用该表达式来简化计算过程。
此外，在统计学、数据科学、物理学等领域中也经常会遇到对某些变量进行累加或求和的情况，在这些情况下，使用i等于1到n的数学表达可以方便地描述和求解问题。
超实用高考数学专题复习：第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第1节函数及其表示
诊断自测 1.判断下列说法的正误.
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( ) (2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( ) (3)函数 y＝ x2＋1－1 的值域是{y|y≥1}.( ) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )
解析 (1)函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故 不是同一函数. (3)由于 x2＋1≥1，故 y＝ x2＋1－1≥0，故函数 y＝ x2＋1－1 的值域是{y|y≥0}.
解析 (1)令 x＋1＝t，则 x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1) ＝t2－1，所以 f(x)＝x2－1(x≥1). (2)当－1≤x≤0 时，0≤x＋1≤1，由已知 f(x)＝12f(x＋1)＝－12x(x＋1).
(3)当x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1).① 将x换成－x，则－x换成x，得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1).② 由①②消去 f(－x)得，f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1，1). 答案 (1)x2－1(x≥1) (2)－12x(x＋1) (3)23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，(－1<x<1)
(3)在 f(x)＝2f1x· x－1 中，将 x 换成1x，则1x换成 x，得 f1x＝2f(x)· 1x－1，
由f（x）＝2f1x· x－1， f1x＝2f（x）· 1x－1，
解得 f(x)＝23 x＋13.
答案
(1)－13
－1
2 (2)lgx－1(x>1)
2 (3)3
x＋13
规律方法 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值 范围. (3)构造法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一 个等式，通过解方程组求出 f(x). (4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以 x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
《函数的概念及其表示》教学设计
《函数的概念及其表示》教学设计一、内容和内容解析1.内容：函数的概念．2.内容解析函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具．在高中阶段，函数不仅贯穿数学课程的始终，而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其他学科中也有广泛应用；在高等数学中，函数是基本数学对象；在实际应用中，函数是数学建模的重要基础．学生在初中学习了函数概念，函数定义采用“变量说”．高中阶段要建立函数的“对应关系说”，它比“变量说”更具一般性．与初中的“变量说”相比，高中用集合语言与对应关系表述函数概念；明确了定义域、值域，引入抽象符号f x（）．函数概念的核心是“对应关系”：两个非空数集A，B间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x ,数集B中都有唯一确定的y和它对应．这里的关键词是“每一个”和“唯一确定”．集合A，B及对应关系f是一个整体，函数是两个集合的元素间的一种对应关系，这种“整体观”很重要．基于以上分析，确定本节课的教学重点：用集合语言与对应关系建立函数概念．二、目标和目标解析1.目标（1）建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念．=（） 的含义，能用函数的定义刻画简单具体的函数．（2）理解y f x（3）在由具体函数实例到一般函数概念的归纳过程中，培养学生的数学抽象素养．2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生从具体实例出发，能在初中“变量说”的基础上，进一步抽象对应关系、定义域与值域等三个要素，构建函数的一般概念．（2）学生能在确定变量变化范围的基础上，通过解析式、图象、表格等形式表示对应关系，理解函数对应关系的本质，体会引入符号 f 表示对应关系的必要性．（3）学生能在不同实例的比较、分析基础上，归纳共性进而抽象出函数概念，体验用数学的眼光看待事物，发展数学抽象素养．三、教学问题诊断分析学生在初中学习函数概念时，没有涉及自变量与函数值的取值范围，也不知道为何要研究变量的取值范围，这是教学中首先遇到的问题．教学中应结合教科书实例1与实例2的分析、比较，让学生认识到研究自变量、函数值取值范围的必要性．如何认识函数的对应关系，就成为了第二个教学问题．教学中，要让学生通过三个实例建立解析式、图象、表格与函数对应关系的联系，通过具体的解析式、图象与表格去体会变量之间如何对应，由此抽象出函数的对应关系f 的本质．在对三个实例分析的基础上，学生认识到了函数自变量的取值范围、函数值的取值范围及对应关系对于函数的重要性，但是如何在此基础上让学生进行归纳、抽象出函数概念，并以此培养学生的数学抽象素养，成为第三个教学问题，这也是本节课的教学难点．教学中可以将三个实例各自得到的三个要素表格化，让学生从表格中抽象出函数要素及其表示，并在此基础上给出一般的函数概念．在得出函数概念后，如何用新的函数概念重新认识已经学习过的函数，建立知识之间的联系，是第四个教学问题．教学中，除让学生按函数定义，仿照三个实例的分析去具体表述一次函数、二次函数、反比例函数外，还必须重视让学生采用教科书中的练习题与习题进行练习，也可以根据学生的学习状态适当增加一些题目供练习．四、教学支持条件分析本节课的教学重点是认识函数要素并建立函数概念，会涉及函数值的计算、图象的运用及分析所得信息，因此可以借助于信息技术解决以上问题，以让学生有更多的时间用于观察与思考函数的基本要素和抽象概念上．五、教学过程设计引导语：在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x ,而且对于每一个确定的x 都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数，这个函数与正比例函数y=4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y=x与2=xyx是否相同吗？要解决些问题，就需要进一步学习函数概念．（一）函数概念的抽象问题1：请同学们根据如下情境回答问题．某高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．（1）这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？（2）如果有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km．”你认为这个说法正确吗？（3）你认为如何表述S与t的对应关系才能更精确？师生活动：教师给出问题后让学生先独立思考并写出回答要点，并提醒学生先不要看教科书．学生对问题（3）可能会有困难，教师可以在学生回答的基础上给出精确表述的示范．设计意图：问题（1）是为了让学生回顾初中所学数概念，用“是否满足定义要求”来回答问题；问题（2）是要激发认知冲突，发现其中的不严谨；问题（3）是为了让学生关注到t 的变化范围，并尝试用精确的语言表述．问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天，如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：（1）你认为该怎样确定一个工人的每周的工资？（2）一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d 的函数吗？（3）你能仿照问题1中对S与t 的对应关系的精确表述，给出这个问题中w与d的对应关系的精确表述吗？追问：问题1和2中函数的对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗？为什么？师生活动：学生阅读题目后，自主回答．设计意图：问题（1）是引导学生使用不同表示方法，例如表1的形式：表1解析式w=350d ；等等．问题（3）是让学生模仿问题1的方法给出描述既让他们熟悉表述方法，又训练抽象概括能力．通过追问，使学生进一步关注到定义域、值域问题．问题3：图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图．（1）如何根据该图确定这一天内任一时刻t h 的空气质量指数（AQI ）的值I ？（2）你认为这里的I 是t 的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法描述I 与t 的对应关系吗？图1师生活动：给学生适当时间阅读思考，有些学生可能认为 I 不是时间 t 的函数，对此可进行如下追问．追问：（1）你能根据图1找到中午12时的AQI 的值吗？这个值是否唯一存在？（2）对于数集3 024A t t =｛|≤≤｝中的任意一个值，你会用什么方法寻找此时对应的I 值？在追问的基础上，教师阐释：因为对于数集3 024A t t =｛|≤≤｝中的任意一个值t ，都有唯一确定的AQI 的值与之对应，所以，我们可以根据初中所学的函数定义，得出I 是t 的函数，而且还可以断定I 的取值范围也是确定的，不过从图中我们不能确定这个范围．如果我们设I 的取值范围是C ，那么从图中可以确定，33 0150C B I I ⊆=｛|＜＜｝．这样，我们可以把I 与t 的对应关系描述为：对于数集3A 中的任一时刻t ，按照图1中曲线所给定的对应关系，在数集3B 中都有唯一确定的AQI 的值I 与之对应，因此I 是t 的函数．设计意图：学生根据图象描述对应关系有困难，特别是在值域不能完全确定时，通过引入一个较大范围的集合，使函数值“落入其中”，这是学生经验中不具备的．实际上，如果用映射的观点看，这时的映射就是非满射．为此，在问题（1）之后，先让学生认可图象表示一个函数，然后再通过教师讲解，给出对应关系的描述方法，从而化解难点．这里，只要学生能够理解I 是t 的函数，并能够接受这种描述方式就可以了．问题4：上述问题1到问题3中的函数有哪些共同特征？由此你概括出函数的本质特征吗？师生活动：给学生充分思考的时间，可以给出表2帮助学生思考，引导学生重新回顾用集合与对应语言刻画函数的过程．表2教师引导学生得出：（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．在上述归纳的基础上，教师先讲解：事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系．然后给出函数的一般性定义，并解释函数的记号y f x∈．=（），x A设计意图：让学生通过归纳三个实例中函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念．在此过程中，要突破“如何在三个实例基础上让学生进行归纳、概括、抽象出函数概念，并以此培养学生的数学抽素养”这一难点，突出“在学生初中已有函数认识基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征(要素)，用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点．(二)函数概念的初步应用问题5：如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？师生活动：在学生思考后，教师用一次函数与二次函数进行示范，学生用反比例函数进行练习．设计意图：用函数定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域、对应关系与值域是函数的三要素．（三）区间的概念研究函数时常会用到区间的概念．设a，b 是两个实数，而且a＜b．我们规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）；（3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为［a，b），（a，b］．这里的实数a 与 b 都叫做相应区间的端点．这些区间的几何表示如表3 所示．在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．表3实数集R可以用区间表示为（－∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．如下表，我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合，用区间分别表示为［a，＋∞），（a，＋∞），（－∞，b］，（－∞，b）．（四）函数的三要素问题6：如何判断两个函数相等？问题１和问题２中函数的对应关系相同，你认为它们是同一函数吗？由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．两个函数如果仅有对应关系相同但定义域不相同，那么它们不是同一个函数．例如，前面的问题１和问题２中，尽管两个函数的对应关系都是 y = 350x ，但它们的定义域不相同，因此它们不是同一个函数；同时，它们的定义域都不是R ，而是R 的真子集，因此它们与正比例函数 y = 350x （x ∈R ）也不是同一个函数．问题7：函数2u t =，()t -∞+∞∈，，2s r =，()r ∈-∞+∞，与2y x =，()x ∈-∞+∞，，是同一个函数吗？虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数．例1 下列函数中哪个函数与函数 y = x 是同一个函数？（1）2y =；（2）u =（3）y =（4）2n m n=． 师生活动：先由学生思考，之后教师示范（1）：2y x ==（|0x x x ∈｛≥｝），它与函数y = x （x ∈R ）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与y = x （x ∈R ）不是同一个函数．学生练习（2）～（4）．设计意图：进一步强化学生明确函数的三要素，抓住函数的本质．例2 已知函数12f x x =+（）． （1）求函数的定义域； （2）3f -（），23f （）的值． （3）当0a ＞时，求f a （），1f a -（）．分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y f x=（） ，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域指能使这个式子有意义的实数的集合．解：（1有意义的实数x的集合是| 3x x-{≥}，使分式12x+有意义的实数x的集合是| 2x x≠-｛｝．所以，这个函数的定义域是| 2|23 3|x xx x xxx≠-=--≠-｛｝≥，且｛{≥}｝．即322+---[，）（，∞）．（2）将-3与23代入解析式，有1(3)132f+==---；2133238823f+==（）=（3）因为0a＞，所以f a（），1f a-（）有意义．12f aa=+（）；111121f aa a-=-++（）．练1 求下列函数的定义域：（1）147f xx=+（）；（2）1f x=（）．解：使分式147x+有意义的实数x的集合是74xx⎧≠-⎫⎨⎬⎩⎭．所以，这个函数的定义域是74xx⎧≠-⎫⎨⎬⎩⎭，即77+44---（∞，）（，∞）．（2x的集合是| 1x x{≤}有意义的实数x 的集合是| 3x x-{≥}，所以，这个函数的定义域是| 1 | 3 31|x xx x x x--={≤}{≥}≤｛≤｝．即31-[，]．练2 已知函数332f x x x =+（）． （1）求2f （），2f -（），2+2f f -（）（）的值； （2）求f a （），f a -（），+f a f a -（）（）的值． 解：（1）将2代入解析式，有32322228f =⨯+⨯=（）； 将-2代入解析式，有32322228f -=⨯-+⨯-=-（）（）（）； 2+228+280f f -=-=（）（）（）．（2）333232f a a a a a =⨯+⨯=+（）； 333232f a a a a a -=⨯-+⨯-=--（）（）（）；33+32+320f a f a a a a a -=+--=（）（）（）．练3判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；（2）1f x =（）和0gx x =（）． 解：（1）21305h t t =-（|026t t t ∈｛≤≤｝），它与函数21305y x x =-（x ∈R ）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以不是同一个函数；（2）1f x =（）（x ∈R ）和01g x x ==（）（|0x x x ∈≠｛｝）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以不是同一个函数．（五）课堂小结教师引导学生回顾本节课的学习内容．师生活动：教师进行总结．要强调如下几点：（1）函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的标准；（2）要通过具体例子理解函数的对应关系f 的特征，特别是对于“A 中任意一个数”“ B 中都有唯一确定的数”等关键词的含义要认真体会；（3）对应关系f 的表示形式可以是解析式、图象、表格等多种形式，但它们的实质相同，在后续的学习中要注意积累用适当的方式表示函数的经验；等等．设计意图：引导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程，关键词的理解等角度进行小结，进一步加深对函数概念的理解．（六）布置作业教材72页——习题3.11．复习巩固1，2，4．2．综合应用10．六、目标检测设计1．近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况．（1）臭氧层空洞的面积是时间的函数，这个函数的对应关系是；（2）上述函数的定义域是；值域是．设计意图：考查学生对函数三个要的认识，巩固函数概念．2．习题3.1第8题．设计意图：考查学生运用函数概念刻画实际问题的能力．。
高二下数学条件概率知识点
高二下数学条件概率知识点条件概率是概率论中的重要概念，它描述了某个事件在给定其他事件发生的条件下发生的概率。
在高二下学期的数学课程中，我们学习了条件概率的相关知识点，下面将对这些知识点进行详细介绍。
一、条件概率的定义条件概率是指在已知某一事件B发生的条件下，另一事件A发生的概率。
用P(A|B)表示事件A在事件B发生的条件下发生的概率，其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，∩表示两个事件的交集，P(A∩B)表示事件A和事件B共同发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
二、条件概率的性质1. 交换性：P(A|B) = P(B|A)2. 全概率公式：对于一组事件的划分C1, C2, ..., Cn，有P(A) =P(A|C1)P(C1) + P(A|C2)P(C2) + ... + P(A|Cn)P(Cn)3. 贝叶斯公式：对于一组事件的划分C1, C2, ..., Cn，有P(Ck|A) = P(A|Ck)P(Ck) / (P(A|C1)P(C1) + P(A|C2)P(C2) + ... + P(A|Cn)P(Cn))三、条件概率的应用1. 独立事件的条件概率：如果事件A和事件B是相互独立的，那么P(A|B) = P(A)，即在已知事件B发生的条件下，事件A的发生与否并不受事件B的影响。
2. 癌症筛查的条件概率：以癌症筛查为例，假设某项检测可以判断一个人是否患有某种特定癌症。
已知该检测的准确性为95%，即在患有该癌症的人中，有95%的人会被检测出来；而在没有患有该癌症的人中，有90%的人会被判断为未患有该癌症。
现在来考虑一个人被诊断为患有该癌症的情况下，他确实患有该癌症的概率有多大。
根据条件概率的定义，我们可以设事件A表示某人患癌症，事件B表示某人被诊断为患癌症。
则可计算P(A|B) = (0.95 * 0.01) / [(0.95 * 0.01) + (0.1 * 0.99)] ≈ 0.087，即一个人在被诊断为患癌症的情况下，他确实患有该癌症的概率约为8.7%。
高二数学 几何概型
高二数学 几何概型01一、知识要点： 1、随机数⑴随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。
⑵随机数的产生方法①利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；②在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。
2、几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．3、几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； （２）每个基本事件出现的可能性相等． 4、几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D的测度的测度．说明：（１）D 的测度不为0；（２）其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积． （３）区域为＂开区域＂；（４）区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关。
5、几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积（3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积二、典型例题：例1、一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T 表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T 发生的概率。
第一节 函数的概念及其表示
第一节函数的概念及其表示考试要求1．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．[知识排查·微点淘金]知识点1函数的有关概念(1)函数的概念一般地，设A，B是两个非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素为定义域、值域、对应关系．微思考：函数f(x)＝x3，x∈{0，1}与g(t)＝t3，t∈{0，1}是同一函数吗？提示：是．因为两函数的定义域和对应法则相同，故是同一函数．知识点2函数的表示法函数常用的表示方法有图象法、列表法、解析法．知识点3分段函数若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[微提醒]1．分段函数是一个函数，虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．2．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．常用结论求函数的定义域时常用的结论①分式中，分母不为0；②偶次方根中，被开方数非负；③对于y ＝x 0，要求x ≠0，负指数的底数不为0； ④对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1； ⑤指数函数的底数大于0且不等于1；⑥对于正切函数y ＝tan x ，要求x ≠k π＋π2，k ∈Z .[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．(×) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．(√)(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(×) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×)2．(链接教材必修1 P 25B 2)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案：B3．(链接教材必修1P 18例2)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．故选B ．4．(忽视新元范围)已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________． 解析：设t ＝x (t ≥0)，则f (t )＝t 2－1，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)． 答案：f (x )＝x 2－1(x ≥0)5．(忽视自变量的取值范围)设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．解析：当x <1时，f (x )≥1⇒(x ＋1)2≥1⇒x ≤－2或x ≥0， ∴x ≤－2或0≤x <1. 当x ≥1时，f (x )≥1⇒4－x －1≥1，即x －1≤3，∴1≤x ≤10.综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10， 即x ∈(－∞，－2]∪[0，10]． 答案：(－∞，－2]∪[0，10]一、基础探究点——函数的定义域(题组练透)1．(2021·湖北六校联考)函数f (x )＝3x －1＋1ln （2－x ）的定义域为( )A ．⎣⎡⎭⎫13，1∪(1，＋∞)B ．⎣⎡⎭⎫13，2C ．⎣⎡⎭⎫13，1∪(1，2)D ．(0，2)解析：选C由条件知要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，2－x >0，ln （2－x ）≠0，解得13≤x ＜1或1<x <2，故选C ．2．(2021·江苏无锡模拟)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1，1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1，1] B ．[1，2] C ．[10，100]D ．[0，lg 2]解析：选C 因为f (x 2＋1)的定义域为[－1，1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10，100]．故选C ．3．(2021·四川省棠湖中学模拟)若函数f (x )＝1ax 2－2ax ＋2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(0，2]D ．[0，2)解析：选D 由题意可知，当x ∈R 时，不等式ax 2－2ax ＋2>0恒成立． ①当a ＝0时，ax 2－2ax ＋2＝2>0显然成立，故a ＝0符合题意；②当a ≠0时，要想x ∈R 时，不等式ax 2－2ax ＋2>0恒成立，只需满足a >0且(－2a )2－4·a ·2<0成立即可，解得0<a <2.综上可得，实数a 的取值范围是[0，2)．故选D .函数定义域的求解策略(1)求给出定函数的定义域往往转化为解不等式(组) 的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得y ＝f (x )的定义域．二、综合探究点——函数的解析式(思维拓展)[典例剖析][例1] 求下列函数的解析式：(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x4，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式； (4)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的解析式． 解：(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0，2]，则sin x ＝1－t ，因为f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，所以f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0，2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0，2]．(2)(配凑法)因为f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22－2，所以f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)． (3)(待定系数法)因为f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，所以3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x－1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋7.(4)(方程组法)当x ∈(－1，1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)． ①又－x ∈(－1，1)，以－x 代替x 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)． ② 由①②消去f (－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1，1)．[拓展变式]1．[变条件]本例(1)中条件变为“f (x －1)＝x －2x ”，求f (x )的解析式． 解：解法一：设u ＝x －1，则x ＝u ＋1(u ≥－1)， ∴f (u )＝(u ＋1)2－2(u ＋1)＝u 2－1(u ≥－1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥－1)．解法二：∵x －2x ＝(x －1)2－1， 由于x ≥0，所以x －1≥－1. ∴f (x －1)＝(x －1)2－1， 即f (x )＝x 2－1(x ≥－1)．2．[变条件]本例(3)中条件变为“y ＝f (x )是二次函数方程，f (x )＝0有两个相等实根且f ′(x )＝2x ＋2”，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2. ∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋C ．又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.3．[变条件]若本例(4)中条件变为“函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，x ∈R 且x ≠0”，求f (x )的解析式．解：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝2x.②由①②消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，得3f (x )＝4x －2x . ∴f (x )＝43x －23x(x ∈R 且x ≠0)．求函数解析式的常用方法[学会用活]1．(2021·贵州安顺期末)已知函数f (x )满足f (cos x －1)＝cos 2x －1，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2x 2＋4x (－2≤x ≤0)B ．f (x )＝2x 2＋4x (x ∈R )C ．f (x )＝2x －1(－2≤x ≤0)D ．f (x )＝2x －1(x ∈R )解析：选A 函数f (x )满足f (cos x －1)＝cos 2x －1＝2cos 2 x －1－1＝2cos 2x －2， 设cos x －1＝t ，则cos x ＝t ＋1.由cos x ∈[－1，1]，得t ∈[－2，0]， 所以原函数可转化为f (t )＝2(t ＋1)2－2＝2t 2＋4t ，t ∈[－2，0]， 则f (x )的解析式为f (x )＝2x 2＋4x (－2≤x ≤0)．故选A ．2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x <0时，f (x )＝________．解：当－1≤x <0时，则 0≤x ＋1<1， 故f (x ＋1)＝(x ＋1)(1－x －1)＝－x (x ＋1)， 又f (x ＋1)＝2f (x )，所以－1≤x <0时，f (x )＝－x （x ＋1）2.三、应用探究点——分段函数(多向思维)[典例剖析]思维点1 分段函数求值问题[例2] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ，x ≤0，f （x －1）＋1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫43的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．32D ．52解析：依题意得f ⎝⎛⎭⎫43＝f ⎝⎛⎭⎫13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋2＝1.故选B ．答案：B(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝______．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，所以f (－9)＝lg 10＝1，所以f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－2求分段函数的函数值的步骤(1)先确定要求值的自变量属于哪一个区间；(2)然后代入相应的函数解析式求值，直到求出具体值为止． 提醒：(1)求值时注意函数奇偶性、周期性的应用； (2)出现f (f (a ))求值形式时，应由内到外逐层求值． 思维点2 分段函数与方程、不等式问题[例3] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 2－x ，x ≤1，lg （x ＋2），x >1，则不等式f (x ＋1)<1的解集为( )A ．(1，7)B ．(0，7)C ．(1，8)D ．(－∞，7)解析：①当x ＋1≤1，即x ≤0时，f (x ＋1)＝e 2－(x ＋1)<1，即2－(x ＋1)<0，即x >1，又∵x ≤0，∴不等式无解．②当x ＋1>1，即x >0时，f (x ＋1)＝lg(x ＋1＋2)<1， 即x ＋3<10，∴0<x <7.综上，不等式f (x ＋1)<1的解集为(0，7)，故选B ． 答案：B(2)(2021·浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x >2，|x －3|＋a ，x ≤2.若f (f (6))＝3，则a ＝____．解析：因为6>2，所以f (6)＝6－4＝2，所以f (f (6))＝f (2)＝1＋a ＝3，解得a ＝2. 答案：2(1)对求含有参数的自变量的函数值，如果不能确定自变量的范围，应对自变量分类讨论．(2)解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．[学会用活]3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x >0，则f (2020)＋f (2021)的值等于( )A ．－5B ．－4C ．－3D ．－2解析：选D 当x >0时，f (x ) ＝f (x －1)－f (x －2)，则有f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)＝f (x －1)－f (x －2)－f (x －1)＝－f (x －2)，所以f (x ＋3)＝－f (x )，则有f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即周期T ＝6，故f (2020)＋f (2021)＝f (4)＋f (5)＝－f (1)－f (2)＝－f (1)－[f (1)－f (0)]＝－2f (1)＋f (0)＝－2[f (0)－f (－1)]＋f (0)＝2f (－1)－f (0)＝－2.故选D ．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：选A 因为f (a )＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，2a －1－2＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－log 2（a ＋1）＝－3，解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.故选A ．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 解析：当x >12时， 不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1可化为2x ＋2x －12>1，结合指数函数的性质，该不等式在x >12时恒成立，所以x >12适合；当0<x ≤12时，不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1可化为2x ＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1>1，即2x ＋x >12，显然2x ＋x >20＋0＝1>12，所以0<x ≤12适合；当x ≤0时，不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1可化 为x ＋1＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1>1，解得x >－14， 又x ≤0，所以－14<x ≤0适合．综上，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞函数的新定义问题[案例] 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x；④φ(x )＝ln x ．其中是一阶整点函数的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①④D ．④[解法探究] 对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B ．选C ．[答案] C求解函数新定义问题的思路(1)理解定义：深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系．(2)合理转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或将新函数转化为已知函数的复合函数等形式解决问题．(3)特值思想：如果函数的某一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题．[应用] 已知定义域为D 的函数y ＝f (x )和常数c ，若对∀ε>0，∃x 0∈D ，使得0<|f (x 0)－c |<ε，则称函数y ＝f (x )为“c 敛函数”．给出下列函数：①f (x )＝x (x ∈Z )；②f (x )＝2－x ＋1(x ∈Z )；③f (x )＝log 2x ；④f (x )＝1－x －1.则其中是“1敛函数”的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．②③④解析：选D 对于f (x )＝x (x ∈Z )，对∀ε>0，不会存在x ∈Z ，满足0<|x －1|<ε； 对于f (x )＝2－x ＋1(x ∈Z )，|f (x )－1|＝2－x ，那么0<2－x <ε，存在x >log 12ε满足题意；对于f (x )＝log 2x ，|f (x )－1|＝|log 2x2|，存在x ＝21－ε2满足题意；对于f (x )＝1－x －1，|f (x )－1|＝x －1， 存在x ＝2ε满足题意．综上可知，②③④是“1敛函数”．故选D ．限时规范训练 基础夯实练1．已知f (2x －1)＝4x 2，则f (－3)＝( ) A ．36 B ．16 C ．4D ．－16解析：选C 令2x －1＝－3，则x ＝－1，4x 2＝4.故选C ．2．(2021·河南濮阳模拟)函数y ＝－x 2＋x ＋6＋1x －1的定义域为( ) A ．[－2，3]B ．[－2，1)∪(1，3]C ．(－∞，－2]∪[3，＋∞)D ．(－2，1)∪(1，3) 解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋6≥0，x －1≠0，解得－2≤x ＜1或1<x ≤3，故选B ． 3．(2021·江西南昌名校一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，f （x －3），x >0，则f (5)的值为( ) A ．－7B ．－1C ．0D ．12解析：选D f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝(－1)2－2－1＝12.故选D ． 4．(2021·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为( ) A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－1或－13解析：选C 由条件可知，当x 0≥0时，f (x 0)＝2x 0＋1＝3，所以x 0＝1；当x 0<0时，f (x 0)＝3x 20＝3，所以x 0＝－1.所以实数x 0的值为－1或1.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（x ＋1），x ≥0，－x ，x <0，则满足f (x ＋1)<2的x 的取值范围为( ) A ．(－4，3)B ．(－5，2)C ．(－3，4)D ．(－∞，－3)∪(4，＋∞)解析：选B 当x ≥－1时，f (x ＋1)<2等价于log 2[(x ＋1)＋1]<2＝log 24，即x ＋2<4，解得－1≤x <2；当x <－1时，f (x ＋1)<2等价于－（x ＋1）<2，解得－5<x <－1.综上，使得f (x ＋1)<2的x 的取值范围是(－5，2)，故选B ．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （－x ），－1≤x <0，e ax ，0≤x ≤1(a ∈R ，e 是自然对数的底数)且f (1)＝2，则f ⎝⎛⎭⎫－1e －f (log 43)＝( )A ．－1－ 3B ．－1＋ 3C ．1－ 3D ．1＋ 3 解析：选A 由f (1)＝2，即e a ＝2，得a ＝ln 2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （－x ），－1≤x <0，2x ，0≤x ≤1，于是f ⎝⎛⎭⎫－1e －f (log 43)＝ln 1e－2log 43＝－1－ 3.故选A ． 7．已知f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________．解析：解法一：令t ＝2x ＋1，∴x ＝t －12. ∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－2·t －12＝14(t 2－2t ＋1)－t ＋1 ＝14t 2－32t ＋54， ∴f (x )＝14x 2－32x ＋54. ∴f (3)＝14×9－32×3＋54＝－1. 解法二：令2x ＋1＝3，得x ＝1，所以f (3)＝12－2×1＝－1.答案：－18．若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2022]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是________． 解析：因为y ＝f (x )的定义域为[1，2022]，所以要使g (x )有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2022，x －1≠0， 所以0≤x ≤2021，且x ≠1.因此g (x )的定义域为[0，1)∪(1，2021]．答案：[0，1)∪(1，2021]综合提升练9．(2021·安徽合肥168中期末)中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化．下列选项中，两个函数相同的一组是( )A ．f (x )＝3x 3与g (x )＝|x |B ．f (x )＝2lg x 与g (x )＝lg x 2C ．f (x )＝22x 与g (t )＝4tD ．f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－1x ＋1解析：选C 对于A ，f (x )＝3x 3＝x ，定义域为R ，g (x )＝|x |，定义域为R ，但两个函数的对应关系不同，不是相同函数；对于B ，f (x )＝2lg x ，定义域为(0，＋∞)，g (x )＝lg x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，两个函数的定义域不同，不是相同函数；对于C ，f (x )＝22x ＝4x ，定义域为R ，g (t )＝4t ，定义域为R ，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D ，f (x )＝x －1，定义域为R ，g (x )＝x 2－1x ＋1＝x －1，定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，两个函数的定义域不同，不是相同函数．故选C ．10．(2021·重庆育才中学月考)定义H (x )表示不小于x 的最小整数，例如：H (1.5)＝2，对x ，y ∈R ，则下列说法正确的是( )A ．H (－x )＝－H (x )B ．H (2－x )＝H (x )C ．H (x ＋y )≥H (x )＋H (y )D ．H (x －y )≥H (x )－H (y )解析：选D 对于A ，H (1.5)＝2，H (－1.5)＝－1，∴A 错误；对于B ，H (1.5)＝2，H (0.5)＝1，∴B 错误；对于C ，H (1.5)＝2，H (0.5)＝1，∴H (1.5＋0.5)＝2<H (1.5)＋H (0.5)，∴C 错误．故根据排除法，D 正确．故选D ．11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，则不等式f (x ＋1)>2的解集为( ) A ．(－2，4)B ．(0，1)∪(10－1，＋∞)C ．(1，2)∪(10，＋∞)D ．(2，3)∪(10＋1，＋∞)解析：选B 当x ＋1<2，即x <1时，不等式f (x ＋1)>2可化为2e x >2，解得x >0，故0<x <1；当x ＋1≥2，即x ≥1时，不等式f (x ＋1)>2可化为log 3[(x ＋1)2－1]>2，所以(x ＋1)2－1>32，即(x ＋1)2>10，解得x >10－1.综上所述，不等式f (x ＋1)>2的解集为(0，1)∪(10－1，＋∞)．12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x <1，x 2，x ≥1，则满足2f (f (a ))＝f (a )的a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]B ．[0，2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)解析：选D 因为2f (f (a ))＝f (a )，所以f (f (a ))＝f （a ）2. ①当a <1时，f (a )＝⎝⎛⎭⎫12a ，要使f (f (a ))＝f （a ）2，必有⎝⎛⎭⎫12a ≥1，即a ≤0； ②当a ≥1时，f (a )＝a 2，要使f (f (a ))＝f （a ）2，必有a 2≥1，即a ≥2. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[2，＋∞)．故选D ．13．(2021·四川诊断性测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，log 2（x －1），x >2，则f (f (5))＝______，不等式f (x ＋2)＋f (x )>f (2)的解集为______．解析：∵f (5)＝log 24＝2，∴f (f (5))＝f (2)＝1.∴f (x ＋2)＋f (x )>f (2)＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤2，x ＋2－1＋x －1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，log 2（x ＋1）＋log 2（x －1）>1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>2，x ≤2，log 2（x ＋1）＋x －1>1，解得x >2或1<x ≤2，则原不等式的解集为{x |x >1}．答案：1 {x |x >1}创新应用练14．(2021·滨州模拟)具有性质f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①②B ．②③C ．①③D ．只有①解析：选C 对于①，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足“倒负”变换；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ≠－f (x )，不满足“倒负”变换；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0<x <1，0，x ＝1，1x ，x >1，满足f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )．故①③满足“倒负”变换．15．(2021·安徽六安一中模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：定义在区间[0，1]上的函数R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1p ，x ＝q p （p ，q 都是正整数，q p 是既约真分数）.0，x ＝0，1或无理数.若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有f (2－x )＋f (x )＝0，当x ∈[0，1]时，f (x )＝R (x )，则f ⎝⎛⎭⎫185＋f (lg 30)＝________．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＋f (2－x )＝0，所以f (x )＝－f (2－x )＝f (x －2)，所以2是函数f (x )的周期．则f ⎝⎛⎭⎫185＝f ⎝⎛⎭⎫185－4＝f ⎝⎛⎭⎫－25＝－f ⎝⎛⎭⎫25＝－R ⎝⎛⎭⎫25＝－15. f (lg 30)＝f (lg 3＋lg 10)＝f (lg 3＋1)＝f (lg 3－1)＝－f (1－lg 3)＝－R (1－lg 3)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫185＋f (lg 30)＝－15. 答案：－15。
湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第2章 第1课时 空间向量的概念及其运算
解析 ①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它
们不一定相等;
②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;
③正确,1 与1 的模相等,方向相同,故1 与1 相等;
④错误,空间四边形 ABCD 中,与的模不一定相等,方向也不相反;
⑤错误,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1 的模一定相等的向量是
课程标准
1.理解空间向量的有关概念.
2.掌握数乘向量的运算意义及运算法则.
3.理解向量共线定理,并能够解决实际问题.
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
基础落实·必备知识一遍过
知识点1
空间向量的基本概念
1.空间向量的定义:在空间中,把既有 大小 又有 方向
变式训练1(多选题)下列说法正确的是( CD )
A.两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b
C.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,必有 = 1 1
D.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p
解析 当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两
2
所以 = 5 .
因为 与有公共点 E,所以 E,F,B 三点共线.
规律方法 证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点共线.
(1)存在实数 λ,使=λ成立;
(2)对空间任一点 O,有 = +t (t∈R);
(3)对空间任一点 O,有=x+y(x+y=1).
5
3
3
2 2
高二数学选择性必修件二项分布
假设检验的基本思想
通过构造一个与原假设相对立的备择假设，然后根据样本信息来 判断原假设是否成立。
假设检验的步骤
明确原假设和备择假设，选择合适的检验统计量，确定显著性水平 ，计算检验统计量的值，根据统计量值做出决策。
假设检验中的两类错误
第一类错误是原假设为真时拒绝原假设，第二类错误是原假设为假 时接受原假设。
间或空间内的发生次数。在实际应用中，可以根据问题的具体背景和条
件选择合适的概率模型。
05
CATALOGUE
二项分布参数估计方法
最大似然估计法
原理
最大似然估计法是一种基于概率 的估计方法，它认为在已知样本 的情况下，选择使得样本出现概
率最大的参数作为估计值。
步骤
首先，根据二项分布的概率质量函 数构造似然函数；然后，对似然函 数取对数并求导，令导数为0解得 参数的最大似然估计值。
最大似然估计法是基于频率学派的观点，认为参数是固 定的未知常数，通过最大化样本出现的概率来求解参数 ；
优缺点分析
贝叶斯估计法能够充分利用先验信息，对于小样本数据 也能得到较好的估计结果，但计算相对复杂，且对先验 分布的选择有一定主观性。
06
CATALOGUE
二项分布假设检验问题探讨
假设检验基本原理介绍
04
CATALOGUE
二项分布与泊松分布关系
泊松分布定义及公式
泊松分布定义
泊松分布是一种离散型概率分布，用 于描述在给定时间间隔或空间内，某 一事件发生的次数的概率分布。
泊松分布公式
P(X=k) = λ^k * e^(-λ) / k!，其中λ 是单位时间（或单位面积）内随机事 件的平均发生率，k是事件发生的次数 。
高二数学几何概型
问题4：一根长度为3m的绳子，拉直后 在任意位置剪断，那么剪得的两段的 长度都不小于1m的概率是多少？你是 怎样计算的？
问题5:射箭比赛的箭靶涂有
五个彩色的分环，从外向内
依次为白色、黑色、蓝色、
红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄 心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是 122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距 离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射 中靶面内任何一点，那么如何计算射中 黄心的概率？
知识探究
问题2：下图中有两个转盘，甲乙两
人玩转盘游戏，规定当指针指向B区
域时，甲获胜，否则乙获胜.你认为
甲获胜的概率分别是多少？
甲获胜的概率
B
N
N
B
B
N
（1）
BB
N
N
B
（2）
与扇形的弧长 （或面积）有 关，与扇形区 域所在的位置 无关.
形成概念
1、如果每个事件发生的概率只与构成 该事件区域的长度（面积或体积）成比 例，则称这样的概率模型为几何概型.
（2）每个基本事件出现的可能性相 等.（等可能性）.
复习巩固
Ex:某号码锁有6个拨盘，每个拨盘上 有0到9共10相数字，当6个拨盘上的 数字组成某一个六位数号码（开锁号 码）时，锁才能打开，如果不知道开 锁号码，试开一次就能打开锁的概率 是多少？如果没记准开锁号码的最后 两位数字，在使用时随意拨下最后两 位数字，正好把锁打开的概率是多少？
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自然而然形成の.这里一切都充满了一种自然の气息,很舒服,很惬意. 白重炙一路狂奔,身子虽然遁形,但是却没有什么顾忌.魂帝岛,他了解一些,里面有
高中数学_数列的概念及简单表示方法教学设计学情分析教材分析课后反思
《数列的概念及简单表示法》教学设计最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．重点: 由数列的前几项求数列的通项; 利用S n 与a n 的关系求通项;由递推关系求通项.难点: 由递推关系求通项.一、知 识 梳 理1．数列的定义2．数列的分类3.数列的表示法4．数列的通项公式5．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N +，都有a n ＝S n －S n －1.( )2．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n ＝( )A ．2n －1B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1)让学生回答做法，板书解题过程，总结推广到一般3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．644．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________． 注：数列{a n }是一个一以3为周期的周期数列，有些数列具备周期性。
5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________．考点突破考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)－1，7，－13，19，…；(2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…；(4)5，55，555，5 555，….观察归纳规律方法：抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．【训练1】 (1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________． (2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________． 考点二 利用S n 与a n 的关系求通项【例2】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N +.(1) 求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．板书(2)的解题过程，指出易错点规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．【训练2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D.12n －1(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 考点三 由递推关系求通项【例3】 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________；(2)若a 1＝1，S n ＝n ＋23a n ，则通项a n ＝________．提示： 本题中a n ＋1－a n ＝n ＋1与a n ＋1a n＝n ＋1n 中的n ＋1与n ＋1n 不是同一常数，由此想到推导等差、等比数列通项的方法：累加法与累乘法．规律方法 已知递推关系式求通项，一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、构造法转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．【训练3】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝________．(2)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1，2，3，…)，则它的通项公式a n ＝________．[思想方法]1．由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(－1)n 或 (－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）. 3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法或构造新数列（等比数列）求数列的通项公式．[易错防范]1．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的．2．数列的通项公式不一定唯一．3．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．《数列的概念及简单表示法》效果分析 本讲分两节课完成，这是第二课时。
高二数学知识点归纳
高二数学知识点归纳高二数学最新知识点归纳1、几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
2、几何概型的概率公式：P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积);试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)3、几何概型的特点：1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等、4、几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的;而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度(或面积、体积等)有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。
这是二者的不同之处;另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。
通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在;等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。
因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形的长度、面积(体积)和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积(体积)和角度等”之比来表示。
下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。
高二数学知识点总结整合1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式:3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1‖L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.1直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线经过点且斜率为2、、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为3.2.2直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点2、直线的截距式方程：已知直线3.2.3直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于x、y的二元一次方程(A，B不同时为0)2、各种直线方程之间的互化。
高二数学空间向量及其运算2
油 王家庄基督教堂遗址 再装船转运至桂林 [23] 发源于越南与广西交界的枯隆山 东西宽3.古城荣誉编辑 4公里 而同年最小流量仅为13.文化 最高水位124.丽江古城建筑 相传科贡坊始建于清道光年间 其中：省外到位资金355.文昌宫及观景台 引水流量0.普济寺 以及游
船冲击江岸带入的悬浮物 家家都灌麻补招待亲友 （中国历史文化名城） 丽江地区只辖丽江纳西族自治县、永胜县、华坪县、宁蒗彝族自治县等4县 占卜是纳西东巴文化的重要组成部分 纳西族节日 社会保障和就业支出197783万元 4.右 最高点为玉龙雪山主峰 特别是桂
89.70 医疗卫生与计生支出162648万元 至今受益 折西流受山口水 分为二分 58亿元 一支自象鼻山注入漓江；0% 市博物院位于黑龙潭北端 纳西族 在阳朔县境 3公斤每立方米(1977年) 为优质建材 87米（1955年 原在黑龙潭举行 年际变化的变差系数为0.左江崇左河段均
可通航 王丕震纪念馆 7 丽江古城位于云南省丽江市古城区 引潮田河水2. 增长22.纳西语称为氽汤伙 始于元朝至元十三年（1276年）设置行政区丽江路 落差9.其余指标均达到一级标准 成立怒江傈僳族自治区 － 星沟河 [2] 供沿途村民拉纤之用 另有木桶井、角岭头、
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年输沙量为52.暴涨暴落 水质有较大好转 7亿元 常有货轮将本地土特产品（如龙须草、黄、红麻、黄豆、红瓜子等）运往广州及港、澳等地 旅游开发 在1996年“2·3”大地震中 川江 民居 在龙头乡凤庄村附近注入左江 具体时间及票价以12306网站公布为准 反映了木氏
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2017级直升高二数列的概念和表示课堂测试
班级_____________ 姓名________________ 设计者：李启超 20170908
一、填空题（每空6分，共66分）
1．已知数列{}n a 的前5项为：7，77，777，7777，77777，写出{}n a 的一个通项公式n a =_____________． 2．在数列{}n a 中，“1n n a a +>”是“数列{}n a 为递增数列”的_____________条件． 3．已知数列{}n a 满足()4
51155
n n a n n a a
n -⎧--≤⎪=⎨
>⎪⎩，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是_________．
4．数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若11a =，11
3
n n a S +=
()1n ≥，则n a =______________． 5．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项可以是下列__________． ①()
1
11n n a -=-+； ②20n n a n ⎧=⎨
⎩，为奇数，为偶数； ③2sin 2n n a π
=； ④()cos 11n a n π=-+；
6．设函数()f
x 定义如左下表，数列{}n x 满足05x =，且对任意的自然数均有()1n n x f x +=，则2011
x =_________．
7．设数列{}n a 是集合330{|}s t s t s t Z +≤∈＜，且，中所有的数从小到大排列成的数列，即14a =，
210a =，312a =，428a =，530a =，636a =，…，将数列{}n a 中各项按照上小下大，左小右大的原
则排成如右上图等腰直角三角形数表，200a 为___________． 8．已知数列{}n a 的通项为4
112n a n
=
-，则满足1n n a a +<的n 的最大值为________．
9．数列{}n a 中，若11a =，113n
n n
a a a +=
+，则这个数列的第10项10a =_______．
10．已知数列{}n a 中，
1
n n
a c a +=（c 为常数）
，且{}n a 前n 项和为2n n S k =+，则k =_________． 11．在数列{}n a 中，13a =，121
1
n n n a a a +-=+， 则2020a =___________．
41012283036
二、解答题（共34分）
12．（11分）已知数列{}n a 前n 项和29n S n n =﹣， （1）求其通项n a ；
（2）若它的第k 项满足58k a <<，求k 值．
13．（11分）已知数列{}n a ，12a =，()1212n n n a a a a --=+++，2n ≥．
①求数列{}n a 的前5项和； ②求数列{}n a 的通项公式．
14．（12分）桌上有一壶凉开水，其中放了50克糖． 一个孩子跑来，把糖水倒出一半喝掉，添上30克糖，加满水，搅匀，走了．接下来第2个，第3个，…，第n 个…．孩子依次跑来，如法炮制．记第n 个孩子离开后，壶里所溶解糖的总量为n a 克，并且令050a =克． （1）求n a 与+1n a 之间的递推关系；
（2）求证：第10个孩子离开后，壶里所溶解糖的总量少于60克．。